introduccion a los circuitos electricos

7/17/2019 introduccion a los circuitos electricos

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Prólogo

El moti@o mo@iliFador para la elaboración del presente teto es el haber notado la ,alta dematerial adecuado a estos tiempos en lo re,erente a los ,undamentos de electricidad. Esta obraestB dirigida a los alumnos de ni@el medio de las escuelas t+cnicasA en donde se enseDantecnicaturas o ,ormación pro,esional relacionadas con la electrónicaA electromecBnicaAelectricidad y a,ines. :resupone un conocimiento pre@io re,erido a los cBlculos matemBticos ytrigonom+tricos. <o es necesario ningn conocimiento anterior sobre temas relacionados con laelectricidad.

!e comienFaA en el Captulo lA con la naturaleFa de la electricidad y una descripción detallada delos materiales conductoresA aisladores y semiconductores. simismoA se presentan las principalesleyes las cuales dan un adecuado marco de ,undamentación a los temas subsiguientes.

El Captulo 2 estB dedicado a un tema de suma importancia en esta especialidad/ los resistores.En el mismo se obser@an los distintos tiposA su clasi,icaciónA codi,icación e identi,icación.*ambi+n se eplica la asociación de resistores en serieA paralelo y las trans,ormaciones estrella"triBngulo.

El Captulo 3 tiene el tema mBs importante en electricidad y electrónica/ la ley de ;hmA entreotros temasA se desarrollan las leyes de irchho,,A el e,ecto ?ouleA la potencia y el rendimiento dela energaA ,inaliFando con la primera aproimación a la resolución de circuitos.

En el Captulo se describen las distintas ,uentes de alimentaciónA como ser pilasA baterasA,uentes de corrienteI su asociación y cBlculoA as como su resistencia internaA ,inaliFando con la

descripción de los di@isores de tensión y corriente.En el Captulo se brindan todas las herramientas necesarias para la resolución de circuitosA por eJemplo los m+todos de las corrientes en las mallasA de aplicación de la 2K ley de irchho,,A delas tensiones en los nodos y de superposición.

En el Captulo $ se presentan los teoremas ,undamentales de los circuitosA como ser/ con@ersiónde ,uentes y los teoremas de *he@eninA de <ortonA de reciprocidadA de mBima trans,erencia de

potenciaA de sustitución y de 9illman.

El Captulo 7 es una introducción a los circuitos magn+ticos/ campo magn+ticoA regla de la manoderechaA permeabilidadA reluctanciaA ley de ;hm en circuitos magn+ticos y el concepto de

hist+resis.

En el Captulo % se trata el tema de los inductoresA ley de -aradayA ley de =enFA asociación seriey paralelo de inductoresA ciclo de almacenamiento en corriente continuaA ciclo de descargaAconcluyendo con la energa en un conductor.

El Captulo 4 estB dedicado a los capacitoresA desarrollBndose temas como/ campo el+ctricoAcapacitanciaA tensión de rupturaA corriente de ,ugaA clasi,icaciónA asociación serie y paraleloAcodi,icaciónA comportamiento en el ciclo de carga y descarga y la energa en un capacitor.

En el Captulo l;A se realiFa una introducción a las seDales el+ctricasA su descripciónA

caracteriFaciónA notación estBndarA haciendo hincapi+ ,undamentalmenteA en las seDalessenoidalesA descripción de @alores instantBneosA mediosA e,icacesA pico y pico a pico.*ambi+n se eplica la respuesta de circuitos #=C ,rente a tensiones de corriente alterna.



:or ltimoA se incluye una sección de eJercicios de aplicaciónA con problemas resueltos y pararesol@er con sus respuestasA para su autoe@aluación clasi,icados por captulo y en ordencreciente de di,icultad.

El Autor

DedicÞtoriÞ A mi compañera Mary, a quien amo profundamente y padeció mis largas horas de dedicación aesta ora y a pesar de ello resistió estoicamente!

A mis hi"os #oelia y Adri$n, a quienes amo con toda mi alma!

A mis nietos, e%tensión de mis amores!

AgrÞdecimientos mi amigo ntonio costaA quien siempre me apoyó y estimuló.

mi compaDero y Je,e >usta@o CeJasA con quien compartimos mBs horas que con nuestrasmuJeres.

la bibliotecaria 9abel que siempre estB dispuesta a colaborar silenciosamente.

9ario !an,ilippoA con quien siempre estamos trabaJando codo a codo y elaborando proyectos.

*onyA por el apoyo y paciencia.Claudio Esteban Perolini



€ontenido

Cap&tulo ' - Naturaleza de la Electricidad ........................................................... 7

Estructura tómica ................................................................................................................................. 79ateriales ConductoresA isladores y !emiconductores ........................................................................ %

Materiales Conductores !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ( Materiales Aisladores !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ) Materiales *emiconductores !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! )

=a Carga El+ctrica .................................................................................................................................. 4

=ey de Coulomb ................................................................................................................................... 10

El Campo ElectrostBtico ....................................................................................................................... 10

=a Corriente El+ctrica .......................................................................................................................... 10

=a 'i,erencia de :otencial o *ensión ................................................................................................... 12

#esistencia El+ctrica ............................................................................................................................ 12

Cap&tulo + - Resistores .......................................................................................... 15Clasi,icación de los #esistores ............................................................................................................. 1

esistores -i"os !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '. esistores /ariales !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '0

Código de Colores ................................................................................................................................ 17

sociación de #esistores ...................................................................................................................... 14

Asociación *erie !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ') Asociación 1aralelo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +2

Transformación entre 3strella y Tri$ngulo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +2*rans,ormación de Estrella a *riBngulo ....................................................................................... 21*rans,ormación de *riBngulo a Estrella ....................................................................................... 22

Cap&tulo 4 " Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff ................................................. 5=ey de ;hm .......................................................................................................................................... 2

:otencia El+ctrica ................................................................................................................................. 2$

#endimiento de la Energa El+ctrica .................................................................................................... 2%

E,ecto ?oule .......................................................................................................................................... 2%

=eyes de irchho,, ............................................................................................................................... 24

Consideraciones 1re5ias !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +)*entido Con5encional de la Corriente 3léctrica !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +) #odo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +) Malla !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +) ama !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 42 -uente Ideal !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 42 -uente eal !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 42Carga !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4'

#otación !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4' 1rimera 6ey de 7irchhoff !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4'*egunda 6ey de 7irchhoff !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4+

#esolución de Circuitos por plicación de las =eyes de ;hm y de irchho,, ...................................... 33



4 Introducción a los Circuitos Eléctricos 1

Cap&tulo 8 - !ue"tes !i#as de E"er$%a El&ctrica de Corrie"te Co"ti"ua ........ '(8ntroducción ............................................................................................................................................ 34

-uentes de *ensión de CC .................................................................................................................... 34

9ater&as y 1ilas !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4)

:ilas :rimarias lcalinas y de =itio"8ón ...................................................................................... 0:ila !ecundaria de :lomo"Lcido ................................................................................................. 1:ila !ecundaria de <quel"Cadmio .............................................................................................. :ilas !ecundarias de <quel"Hidrógeno y <quel"Hidruro 9etBlico ...........................................

Capacidad de una 1ila o 9ater&a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8. 1ilas en *erie y 1aralelo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 80

-uentes de Corriente ............................................................................................................................. %

'i@isor de *ensión ................................................................................................................................ 4

'i@isor de Corriente ............................................................................................................................. 1

Cap&tulo . - Resoluci)" de Circuitos * M&todos +istematizados ...................... 5'8ntroducción ............................................................................................................................................ 3

9+todo de !uperposición ..................................................................................................................... 3

peratoria del Método !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! .89+todo de las Corrientes en las 9allas ................................................................................................ %

9+todo por plicación de la !egunda =ey de irchho,, ..................................................................... $0

9+todo de las *ensiones en los <odos ................................................................................................. $2

Cap&tulo 0 - ,eoremas e"erales de los Circuitos ............................................. 78ntroducción ............................................................................................................................................ $7

Con@ersiones de -uentes ...................................................................................................................... $7:uente de 6heatstone .......................................................................................................................... $%

*eorema de *he@enin ........................................................................................................................... $4

C$lculo de la Th

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 0)C$lculo de la /

Th !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ;2

*eorema de <orton ............................................................................................................................... 71

#elación entre los *eoremas de *he@enin y <orton ............................................................................. 73

*eorema de #eciprocidad ..................................................................................................................... 73

*eorema de !ustitución ........................................................................................................................ 7

*eorema de la 9Bima *rans,erencia de :otencia ............................................................................... 7

*eorema de 9illman ............................................................................................................................. 7

:aso 1 .......................................................................................................................................... 7:aso 2 .......................................................................................................................................... 7:aso 3 .......................................................................................................................................... 7$

Cap&tulo ; - Circuitos Ma$"&ticos ....................................................................... 7(

8ntroducción ............................................................................................................................................ 74

El Campo 9agn+tico ............................................................................................................................ 74

egla de la Mano Derecha !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! (''ensidad de -luJo ................................................................................................................................ %3

:ermeabilidad 9agn+tica ..................................................................................................................... %3



Contenido 5

#eluctancia ............................................................................................................................................. %

=a =ey de ;hm en Circuitos 9agn+ticos ............................................................................................. %

-uerFa 9agnetiFadora .......................................................................................................................... %

=a Hist+resis ......................................................................................................................................... %$

=ey de mpere ..................................................................................................................................... %4Cap&tulo ( - /"ductores ......................................................................................... (1

8ntroducción ............................................................................................................................................ 41

=ey de -araday ..................................................................................................................................... 41

=ey de =enF .......................................................................................................................................... 42

8nductancia ............................................................................................................................................. 42

*ipos de 8nductores .............................................................................................................................. 43

=a *ensión 8nducida ............................................................................................................................. 4

8nductores en !erie ............................................................................................................................... 4$

8nductores en :aralelo .......................................................................................................................... 4$=os *ransitorios #"= en CC. Ciclo 8nicial ............................................................................................. 4$

=os *ransitorios en CC. -ase -inal ....................................................................................................... 4%

Energa en un 8nductor ....................................................................................................................... 100

Cap&tulo ) - Ca0acitores ..................................................................................... 118ntroducción .......................................................................................................................................... 101

!mbolos ............................................................................................................................................... 101

Campo El+ctrico ................................................................................................................................. 101

Capacitancia ......................................................................................................................................... 102

*ensión de #uptura ............................................................................................................................. 10$

Corriente de -uga ............................................................................................................................... 107

Clasi,icación de los Capacitores ......................................................................................................... 107

Capacitores -i"os !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '2; Capacitores /ariales !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ''4

=os *ransitorios. -ase de Carga .......................................................................................................... 11

=os *ransitorios. -ase de 'escarga ..................................................................................................... 11$

Capacitores en !erie ........................................................................................................................... 11%

Capacitores en :aralelo ...................................................................................................................... 114

Energa en un Capacitor ...................................................................................................................... 114Capacitancias :arBsitas ....................................................................................................................... 120

Cap&tulo '2 - +e2ales El&ctricas ........................................................................ 118ntroducción .......................................................................................................................................... 121

Caractersticas de la *ensión !enoidal ................................................................................................ 122

<eneración !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '++ #otación !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '++

:olaridad de la !eDal lterna ............................................................................................................. 12

Caractersticas de la !eDal !enoidal ................................................................................................... 12

#elación de -ase ................................................................................................................................. 127

Malor :romedio ................................................................................................................................... 127




Malor E,icaF ........................................................................................................................................ 12%

#espuesta de un Circuito con #A = y C a una *ensión !enoidal ......................................................... 124

#esistores ............................................................................................................................................. 124

8nductores ............................................................................................................................................. 130

Capacitores ........................................................................................................................................... 131

E#ercicios de 30licaci)" .................................................................................... 1''

EJercicios #esueltos del Captulo 1 .................................................................................................... 13

3"ercicios a esol5er del Cap&tulo ' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '4(


3"ercicios a esol5er del Cap&tulo + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '8.

EJercicios #esueltos del Captulo3 ..................................................................................................... 1%

3"ercicios a esol5er del Cap&tulo 4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '.)

EJercicios #esueltos del Captulo .................................................................................................... 1$3 3"ercicios a esol5er del Cap&tulo 8 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '0(

EJercicios #esueltos del Captulo .................................................................................................... 173

3"ercicios a esol5er del Cap&tulo . !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ')4

EJercicios #esueltos del Captulo $ .................................................................................................... 14%

3"ercicios a esol5er del Cap&tulo 0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +'2


3"ercicios a esol5er del Cap&tulo ; !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ++2

EJercicios #esueltos del Captulo % .................................................................................................... 22 3"ercicios a esol5er del Cap&tulo ( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +4+


3"ercicios a esol5er del Cap&tulo ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +84

EJercicios #esueltos del Captulo 10 .................................................................................................. 27

3"ercicios a esol5er del Cap&tulo '2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +.'




medida que aumenta el nmero de electrones aparecen distintas órbitas que se encuentran adistancias cada @eF mayores del ncleo. !in embargoA no hay en cada órbita un nmero deelectrones cualquiera sino un mBimo por cada una. En realidadA a partir de la segunda órbitaAaparecen subcapas o subórbitasA como se muestra en la -ig. l.2.

Fig. 1.2. Ca!as suca!as de un /to%o.

MÞteriÞles €onductores,AislÞdores y

Semiconductores'esde el punto de @ista el+ctricoA se pueden clasi,icar a los elementosA en tres grandes gruposque estBn relacionados con el nmero de electrones que poseen en la ltima órbita.

MÞteriÞles €onductores

En +stosA generalmente metalesA encontramos que en su ltima capa tienen un solo electrónA elcual estB d+bilmente ligado al ncleo. En estos casosA con escasa energa aplicada al Btomo es

posible arrancar al electrón de su órbita ,ormando lo que se denomina ión.

Fig. 1.3. to%o de core.



Capítulo 1 - Naturaleza de la Electricidad 9

EJemplo de esto es el elemento cobre que posee un ncleo con 24 protones y girando en cuatrocapas 24 electrones @er la -ig. l.3.

MÞteriÞles AislÞdores

En +stosA generalmente gases inertesA obser@amos que su ltima capa se encuentra completa por lo cual es muy di,icultoso arrancarle un electrón y tampoco que admita uno pues no lo necesitaAde all su nombre de gases inertes. EJemplos de +stos son el neónA enónA argón y criptón. :oreJemplo el neón que posee l; electrones. Mer la -ig. l..

Fig. 1.4. to%o deneón.

MÞteriÞles Semiconductores

!on aqu+llos en donde encontramos que en su ltima órbita eisten aproimadamente la mitadde los electrones que puede admitirA por eJemplo el silicio o el germanio de importancia centralen la ,abricación de componentes electrónicos.

LÞ €ÞrgÞ EléctricÞComo se puede lograr que algunos Btomos pierdan electrones y otros lo ganenA obtenemosBtomos que ya no estBn mBs en equilibrio el+ctricoA sino que ahora se trans,ormaron en ionesA yasea positi@os o negati@osA segn hayan perdido o ganado electrones respecti@amente.

esta circunstancia se la denomina carga el+ctrica y se ha encontrado que cargas el+ctricas deigual signo se repelen y de signos contrarios se atraen. Esto se esquematiFa en la -ig. l..

Fig. 1.5. Atracción re!ulsión de cuer!os carados.




Ley de €oulomb=a ,uerFa con que se repelen o atraen dos cargas se puede obtener si se conoce el @alor de ambasy la distancia a que se encuentranA segn la siguiente epresiónA conocida como la ley de

Coulomb/

!3o R 4 61 7

6

d

! est8 e90resada e" Neto"; 4 ( 7 1( Nm

C

=a magnitud de la carga el+ctrica que tiene un cuerpo estB en relación con el nmero deelectrones en eceso o en de,ecto que +ste posea. El smbolo de carga el+ctrica es la letra 6 y launidad de medida es el coulomb.

Gn coulomb equi@ale a $A21 N l;l% electrones. sA si un cuerpo pierde $A21 N l;l%

electronesA se dice que quedó cargado con Ol C. !i en cambioA ese cuerpo adquiere $A21N l;l% electronesA entonces quedarB cargado con )l C.

El €Þmpo ElectrostÞticoGna carga el+ctrica posee la caracterstica principal de eJercer una ,uerFa mani,estBndose en suscercanas dentro de lo cual se denomina campo electrostBtico que rodea a dicha carga.

!i por un momento suponemos tener dos cargas de signo contrario cercanas una de otraAaparecerBnA a pesar de no @erseA unas lneas de ,uerFa representadas como se muestra en la -ig.

l.$.

Fig. 1.6. Ca%!o %anético.

!i en el campo de la ,igura anterior colocamos una carga puntual negati@aA +sta serB repelida por la carga negati@a y atrada por la positi@a. =a capacidad de atraer o repeler una carga pararealiFar trabaJo se denomina potencial. Cuando las cargas no son iguales aparece una di,erenciade potencial. =a suma de todas las di,erencias de potencial entre todas las cargas del campoelectrostBtico se lo denomina ,uerFa electromotriF.

LÞ €orriente EléctricÞ!upongamos tener un conductor construido en cobre que se encuentra a temperatura ambiente ysobre el cual no se le aplica ninguna ,uerFa eterna. En estas condiciones eistenA dentro delconductorA mo@imientos aleatorios de electrones libres creados por la energa t+rmica del medioque los rodea. Como ya se mencionó anteriormenteA los Btomos que pierden un electrón setrans,orman en iones positi@os y los que lo adquieren en iones negati@os. =os iones positi@os




sólo oscilan alrededor de una posición ,iJaA mientras que los electrones libres son los nicos concapacidad para desplaFarse en medio de los iones positi@os. Mer la -ig. l.7.

Fig. 1.7.)lectroneslires.

'ebido a que los mo@imientos aleatorios son talesA la carga neta que se desplaFa en una seccióndeterminada es nulaA siempre y cuando no eistan ,uerFas eteriores.

Esos mo@imientos son debidos a choques de electrones con iones positi@osA choques deelectrones con electrones y a la ,uerFa de repulsión entre electrones.

!i ahora conectamos a nuestro conductor entre una pila o batera y una lBmparaA como se muestraen la -ig. l.%A se obser@arB el siguiente ,enómeno/ la lBmpara enciende.

Fig. 1.8.Circulaciónde unacorriente.

P9agiaQ. !in duda noA simplemente ocurrió que la bateraA a tra@+s de un proceso qumicoAcolocó una carga negati@a en un terminal y una carga positi@a en el otro. El terminal que posee lacarga positi@a atraJo a un electrón próimoA deJando un espacioA que el+ctricamente pasa a ser

positi@oA por lo tanto el electrón que se encuentra mBs a la derecha se desplaFa hasta el espaciodeJado por el primeroA a su @eFA este segundo electrón deJa otro hueco que de nue@o es positi@oA

atrayendo al tercer electrón ubicado mBs a la derecha toda@aA y as sucesi@amente hasta llegar alltimoA que al deJar el hueco es ocupado por la carga negati@a entregada por la bateraAcontinuando el proceso mientras el circuito est+ conectado.

este ,luJo de cargas se lo denomina corriente el+ctrica / y se la mide en una unidad llamadaamper.

El amper es la cantidad de cargasA en coulombA que circulan en la unidad de

tiempo. !i circula l coulomb en l segundo se dice que la corriente es de l

amper.

/ 4 6t

/ <am0er

6 <

coulom=t < se$u"dos




LÞ DierenciÞ de PotenciÞl o !ensiónEl concepto en electricidad no di,iere sustancialmente del aplicado en ,sicaA ya que estBrelacionado a la energa puesta en Juego. :or eJemploA un cuerpo de determinada masa que se

encuentra por encima de un ni@el de re,erencia tiene la capacidad de generar trabaJoA conocidacomo energa potencial. 'e igual ,ormaA un dispositi@o como por eJemplo la batera o pilaA tienela capacidad de generar trabaJo pues presenta entre sus etremos una di,erencia de potencial queal conectarlo a un conductor permite que las cargas se desplacen. =a unidad de la di,erencia de

potencial es el @olt y se de,ine como/

1 volt es la diferencia de potencial que hay que aplicar entre dos puntos

para mover una carga de 1 coulomb intercambiando 1 joule de

energía. (er la !ig. 1."#.

$a diferencia de potencial o tensi%n siem0re es entre dos puntos.

Fig. 1.9.i3erencia de!otencial.

En ,orma de epresión algebraica se tiene/

> 4?

6

> <

@olt? <

#oule6 < coulom=

:ara tratar de normaliFar la nomenclatura se suele utiliFar la letra E para las ,uentes dealimentaciónA como ser bateras o pilasA y > para las cadas de tensión en un determinadoelemento del circuito. :or eJemplo >R1 representa la cada de tensión en el resistor # l. simismoAcuando se indica la tensión en un punto del circuitoA en realidad se estB re,iriendo a dicha tensión

con respecto a tierraA de no mediar otra indicación.#ecuerde de ahora para siempre/

$a tensi%n "o circula.

"esistenciÞ EléctricÞ=a corriente que atra@iesa un material encuentra mayor o menor oposición a su pasoA pro@ocado

por las colisiones entre los electrones y entre +stos y otros Btomos del materialA hecho que permite con@ertir la energa el+ctrica en calor. =a unidad de medida es el ohmA cuyo smbolo esla letra griega A omega y la representación circuital se muestra en la -ig. l.l;. =os ,actores

que determinan el @alor de la resistencia el+ctrica de un material son/




D El material.D =a longitud.D =a sección [email protected] =a temperatura.

Fig. 1.10.S+%olo deresistencia.

!i consideramos que el conductor se encuentra a temperatura ambiente 2;RCA los otros tres,actores se relacionan como sigue/

R 4 r7l

s

R < e"?

l < e"m s < e" mm

r es una caracterstica propia de cada materialA denominBndose resisti5idad I su unidad es6mm2&m. :ara la comprensión de la aplicación de la epresión anterior @eamos la -ig. l.ll.

Fig. 1.11.4esistencia deun conductor.

En la *abla l.l se muestra la resisti@idad de algunos materiales.

Tabla 1.1. 4esistiidad de alunos %ateriales.

Material +%m=oloResisti@idadB?mmmD

:lata g ;A;l$

Cobre Cu ;A;l723

;ro u ;A;23

luminio l ;A;2%2

*ungsteno 6 ;A;% <quel <i ;A;7%ll

Hierro -e ;Al23

*antalio *a ;Al

<icromo aleación denquel $SA hierro23S y cromo l2S

<i O -e O Cr ;A4472

EstaDo !n 2A;

Carbono C 3




El e,ecto de la temperaturaA con respecto a la resistencia de un conductorA es de sumaimportanciaA pues el aumento de energa hace que se incremente el mo@imiento aleatorio de las

partculas dentro del materialA traduci+ndose en un aumento de la resistencia. En resumenA unconductor tiene coe,iciente positi@o de temperaturaA es decirA aumenta su resistencia con el

incremento de la temperatura.=a relación entre el material con el cual estB hecho el conductor y su @ariación de resistencia conla temperaturaA se traduce en un coe,iciente que nos muestra la sensibilidad de ese material alcambio de temperaturaA dicho coe,iciente se lo conoce con la letra griega a y se mide en l&TC.En la *abla l.2 se muestra el coe,iciente para los distintos materiales a 2;TC.

Tabla 1.2. Coe3iciente a de alunos %ateriales.

!e puede calcular el @alor de resistencia que @a a tener un conductor a una determinadatemperatura aplicando la siguiente epresión/

# t 4 # # 7a7 Ft

siendo / # t < #e sistencia a una temperatura

dada # < #esistencia a GC

a < !acado de *abla 1.

Ft < t,inal - GC

Material Coeficie"te H 01IC

Cobre ;A;;

:lata ;A;;

;ro ;A;;:latino ;Al;$

luminio ;A;;

Hierro ;A;;$

<quel ;A;;1

Uinc ;A;$

:lomo ;A2;%

=atón ;A;7

*ungsteno ;A;;1EstaDo ;All



Capítulo 2

"esistores

€lÞsi#cÞción de los "esistores=os resistores o comnmente mal llamados resistenciasA se clasi,ican en dos grandes grupos/,iJos y @ariables.

"esistores $i%os'entro de los ,iJos se encuentran los resistores de composición de carbono moldeado @er la-ig. 2.lA los de alambre trenFado de esmaltado @treoA los de pelcula de cermetA los de pelculametBlicaA los de pelcula gruesaA entre otros.

Fig. 2.1.4esistor deco%!osición.

En la actualidad los resistores de composición de carbono prBcticamente estBn en desusoA sinembargo presentan una particularidad ,a@orable con respecto a los demBsA que consiste en la

poco probable rotura o corte total del mismoA haci+ndolo seguro en circuitos en donde el corte puede pro@ocar ,allas serias por ,alta de polariFaciónA como el caso del control de temperaturaen hornos.

=os de alambre trenFadoA poseen una capa de esmaltado @treo que permite una rigideF delalambre. EstBn construidos sobre una base generalmente cilndrica de cerBmica sobre la que seen@uel@e el alambre trenFadoA soldando el mismo a sendos terminalesA uno en cada etremoA que

permiten su coneión al resto del circuito. En ,orma esquemBtica se lo puede obser@ar en la

-ig. 2.2.

Fig. 2.2.4esistoroinado.



&uerpo m'teri'l 'isl'nte"ecubrimiento epo(y!ermin'les sold'bles

&int' resisti)'


=os de pelcula metBlicaA sin dudas los mBs di,undidosA son los ,abricados a partir de una ,ormaaislante que posee dos terminales metBlicos soldables y una cinta de metal que se encuentrasoldada en ambos etremos y en@uel@e a la ,orma aislante en una h+lice alrededor de la misma.=a -ig. 2.3 muestra dicho resistor en su ,orma eterior.

Fig. 2.3.4esistor de!el+cula.

;tro tipo especial de resistores son los de pelcula de cermetA construidos para soportar altastensionesA del orden de los l; VM. !e los ,abrican sobre un cuerpo cerBmico de gran aislamiento

sobre el que se deposita la pelcula de cermet y luego una cobertura aislante. =a -ig. 2. muestrala ,orma eterna de dicho resistor.

Fig. 2.4.4esistor decer%et.

"esistores *ÞriÞbles

Este tipo de resistores estBn diseDados para poder alterar su @alor segn las necesidadesA lo cualse realiFa de distintas ,ormasA como por eJemplo un eJe metBlico o plBsticoA un tornilloA un cursor de contactoA u otro dispositi@oA de acuerdo a la aplicación para la que ,ue destinado.

>eneralmente poseen tres terminalesA en donde entre dos de estos terminales etremos se tienela resistencia nominal del elemento y entre el terminal restante cursor y cualquiera de los otrosse obtienen @alores de resistencia que pueden @ariar desde cero al @alor nominal. *ambi+neisten resistores @ariables de dos terminales un etremo y el cursor.

=a denominación mBs comn de estos dispositi@os es potenciómetro @er la -ig.2.A no obstanteAse suele usar tambi+n reóstato y preset . !in embargoA si aJustamos la denominación en ,ormacorrectaA encontramos que potenciómetro se lo debe llamar en aplicaciones en donde se controlani@eles de tensión. 1reset A por lo general indica a un dispositi@o de dos o tres terminales sin eJe yque su @ariación de resistencia se realiFa por medio de un destornillador @er -ig. 2.$. :or

ltimo reóstato suele denominarse a resistores @ariables ,abricados a partir de alambre arrolladoy que admite ele@adas potencias de trabaJo.

Fig. 2.5. Potenció%etro. Fig. 2.6. Preset 6ertical ori8ontal9.



Capítulo 2 - Resistores 17

!i por eJemplo se tiene un resistor @ariable de l;; VWA una posibilidad es que el cursor est+ ensu punto medioA entonces se medirBn entre un etremo y el punto medio ; VW y lo mismo entreel otro etremo y el mencionado punto medio. Esto serB as si la @ariación es lineal. ;tra

posición podrB ser tal que se midan 2 VW y 7 VWA como se obser@a en la -ig. 2.7.

Fig. 2.7.4esistencia entrelos tres ter%inales.

€ódigo de €olores'ebido a que generalmente los resistores suelen ser pequeDosA resulta con@eniente paraidenti,icarlosA el uso de una codi,icación. 'e all surge el código de colores. En realidad noeiste uno sóloA hay circulando @arios de los que indicaremos los mBs comunes. Este código se

basa en la utiliFación de bandas de colorA en determinada posiciónA para indicar no sólo el @alor

del resistorA en ohmA sino tambi+n su tolerancia.=a tolerancia tiene que @er con la precisión con que se ,abrica el resistorA sea como ,uese elm+todo eiste una des@iación del @alor nominal en mBs o en menos. El ,abricante nos in,ormaA atra@+s del códigoA cuBles son los @alores mBimo y mnimo esperables de dicho dispositi@o.

l resistor se lo codi,ica como se @e en la -ig. 2.%A con bandas o anillos de colores. !e lasidenti,ica de la siguiente ,orma/ pueden estar marcadas una al lado de otra o bien tres bandas

Juntas y la cuarta separada.

!i estamos en el primer casoA la banda mBs cercana al etremo del resistor es la banda <T lA la deal lado la <T 2 y as sucesi@amente. !i estamos en el segundo casoA se comienFa la lectura por la

banda opuesta a la que se encuentra separada del resto. En ese caso la banda separada serB latoleranciaA como se obser@a en la -ig. 2.4.

Fig. 2.8. Pri%er caso de identi3icación deresistores.

Fig. 2.9. Seundo caso de identi3icación deresistores.




=a banda <T l es la primera ci,raA la <T 2 la segunda y la banda <T 3 el multiplicador o cantidadde ceros a agregar a las dos primeras ci,ras o bienA si es dorada o plateadaA la ci,ra por la cual sedebe multiplicar. :or ltimoA la banda <T indica la tolerancia. Mer la *abla 2.l.

Tabla 2.1. Códio de colores.

sA un resistor identi,icado con los colores/ marrónA roJoA naranJa y doradoA estarB indicando quesu @alor es de l2.;;; ohm y una tolerancia del S.

;tro código que se suele encontrar es el ,ormado por cinco bandas de coloresA en donde la ltimaestB indicando la con,iabilidad del resistor. 'icha con,iabilidad tiene que @er con el porcentaJe

de ,allas cada l;;; horas de usoA por eJemplo si la ltima banda es de color marrón lSAindicarB que cada l;;; horas de uso sólo el lSA ó l de cada l;;A ,allarB. =a *abla 2.2 muestrael nue@o código de colores.

Tabla 2.2. tro códio de colores.

Ja"das 1 y Ja"da ' Ja"da <egro ; <egro ; 'orado S

9arrón l 9arrón l :lateado l;S

#oJo 2 #oJo 2 !in banda 2;S

<aranJa 3 <aranJa 3

marillo marillo

Merde 1 Merde 1

Ful $ Ful $

Mioleta 7 Mioleta 7

>ris % >ris %

(lanco 4 (lanco 4

'orado ;Al

:lateado ;A;l

Ja"das 1 y Ja"da ' Ja"da Ja"da 5

<egro ; <egro ; 9arrón lS 9arrón lS

9arrón l 9arrón l #oJo 2S #oJo ;AlS

#oJo 2 #oJo 2 'orado S <aranJa ;A;lS

<aranJa 3 <aranJa 3 :lateado l;S marillo ;A;;lS

marillo marillo !in banda 2;SMerde 1 Merde 1

Ful $ Ful $

Mioleta 7 Mioleta 7

>ris % >ris %

(lanco 4 (lanco 4

'orado ;Al

:lateado ;A;l




!i bien t+cnicamente se pueden ,abricar resistores de todos los @alores posiblesA no es muy prBctico ni tampoco e,iciente realiFarloA ya que esto demandara stocV muy abultados y nonecesariosA puesto que con ciertos @alores estBndar se pueden combinar para dar el @alordeseado. Comercialmente eisten en el mercado ciertos @alores como lo muestra la *abla 2.3.

Tabla 2.3. ;alores nor%ali8ados de resistores co%erciales.

En la pBgina de Editorial H!A &&&.hasa.com.arA en el botón Do=nloads>*oft <ratisA podrBdescargar el archi@o Codigo de Colores de esistores!?ipA para calcular el @alor de los resistores.

AsociÞción de "esistores

=os resistores se los puede asociar para dar un nue@o @alorA las ,ormas mBs comunes de hacerloson en serie y en paralelo.

AsociÞción Serie

Gna asociación serie es aqu+lla en donde los resistores se encuentran unidos uno a continuaciónde otroA ,ormando un tren de resistores @er la -ig. 2.l;. !i por un instante suponemos que unacorriente el+ctrica los atra@iesaA eistirB un solo camino para la mismaA por lo cual en estaasociación la corriente es la misma que atra@iesa cada resistor.

$a misma corriente en cada uno.

Fig. 2.10. Asociaciónserie.

Ohm Kilohm Me$ohm

;Al; l l; l;; l;;; l; l;; l l;

;Al2 lA2 l2 l2; l2;; l2 l2; lA2 l2

;Al lA l1 l; l;; l1 l; lA l1

;Al% lA% l% l%; l%;; l% l%; lA% l%

;A22 2A2 22 22; 22;; 22 22; 2A2 22

;A27 2A7 27 27; 27;; 27 27; 2A7

;A33 3A3 33 33; 33;; 33 33; 3A3

;A34 3A4 34 34; 34;; 34 34; 3A4

;A7 A7 7 7; 7;; 7 7; A7

;A$ A$ $ 1$; 1$;; $ 1$; A$

;A$% $A% $% $%; $%;; $% $%; $A%

;A%2 %A2 %2 %2; %2;; %2 %2; %A2

http://www.hasa.com.ar/









:ara obtener el @alor resultante de toda la asociación se aplica la epresión matemBtica quesigue/

R , 4 R 1 R R ' ..... R "

En donde # * representa el @alor total de la asociación y # lA # 2A ...A etc. los resistores que ,orman parte de dicha asociación. El cBlculo se podrB realiFar en ohmA Vilohm o megohmA teniendo la precaución de pasar todos los @alores a la misma unidad.

AsociÞción PÞrÞlelo

En esta asociación los resistores tienen sus lados unidosA ,ormando una escalera en donde cada peldaño sera un resistor @er la -ig. 2.ll. !i por un instante suponemos aplicarle al conJuntouna tensión pro@eniente de una pila o bateraA cada uno tendrB dicha tensión entre sus etremos.

$a misma tensi%n en cada uno.

Fig. 2.11. Asociación!aralelo.

:ara el cBlculo de la resistencia total o equi@alente se aplica la siguiente epresión/

1R ,

41 1 1

R 1 R R '

..... 1

R "

!iendo # * el resistor equi@alente y # lA # 2A ...A etc. los resistores que ,orman el paralelo. En casoque el paralelo estu@iese ,ormado por sólo dos resistoresA la epresión se simpli,ica a/

R 4R 1 7 R

R 1 R

!rÞnsormÞción entre EstrellÞ y !riÞngulo

;tra ,orma de asociar resistores consiste en agrupar tres de ellos ,ormando o bien un triBngulo o bien una estrellaA como se muestra en la -ig. 2.l2. !e puede trans,ormar una asociación en otraaplicando las epresiones de trans,ormación.

,




Fig. 2.12.

Asociaciónestrella tri/nulo.

Transformación de Estrella a Triángulo!upongamos tener una asociación en estrella ,ormada por los resistores # lA # 2 y # 3A como semuestra en la -ig. 2.l3A la que posee determinada resistencia entre los bornes (A (C y C.

Fig. 2.13. Asociación estrella.

!e quiere trans,ormar esta asociación a la ,orma de triBnguloA manteniendo entre los bornes lamisma resistencia anteriorA como se muestra en la -ig. 2.l.

Fig. 2.14.*rans3or%aciónde estrellaa tri/nulo.

=os nue@os resistores # A # (A y # C reemplaFan a los anterioresA manteniendo el @alor deresistencia entre los bornes A ( y C. :ara lo cual se deberBn aplicar las epresiones detrans,ormación/

R 4R 1 7 R R 1 7 R ' R

7 R ' 3

R '



A +

"+ "&

"A

&


R 4R 1 7 R R 1 7 R ' R

7 R ' JR

R 4R

1

7 R

R 1

7 R'

R 7 R ' C R 1

=uego de la trans,ormación sólo quedan los anteriores resistores # A # (A y # CA como lo muestrala -ig. 2.l.

Fig. 2.15. Asociación tri/nulo.

Transformación de Triángulo a EstrellaEn ,orma anBlogaA podemos trans,ormar una asociación en triBngulo en otra en estrellamanteniendo la resistencia entre los bornes. !upongamos tener una asociación como la mostradaen la -ig. 2.l y la queremos trans,ormar en un triBngulo como se @e en la -ig. 2.l$.

Fig. 2.16.*rans3or%aciónde tri/nuloa estrella.

=as epresiones que permiten la trans,ormación son/

R 4R 3 7 R J

R 3 R J R C

R 4R 3 7 R C

R 3 R J R C

1




R 4R C 7 R J

R 3 R J R C=uego de la trans,ormación sólo quedan los resistores # lA # 2A y # 3A como lo muestra la -ig. 2.l7.

Fig. 2.17. Asociacióne<uialentea estrella.

'



-

.*

/)olt0

1 23 21 .3.1 43

5 /'mper0

Capítulo 3

Ley de 67m yLeyes de8irc77o9

Ley de 67mEl ,sico alemBn >eorg ;hm descubrió la relación mBs importante del comportamiento el+ctricode los circuitosA consiste en cómo @ara la circulación de cargas o corriente el+ctrica en unresistor al aplicarle determinada tensión o di,erencia de potencial entre sus etremos.

=a corriente es el e,ectoA la tensión es la causa y la resistencia es la oposición.

!u epresión matemBtica es la siguiente/

/ 4E

R 'icha epresión se la conoce como la ley de ;hmA siendo su enunciado el siguiente/

$a corriente el'ctrica que circula por un circuito es proporcional a la tensi%n

y est) en ra*%n inversa a la resistencia que le ofrece el circuito.

=a corriente / se mide en amperA la di,erencia de potencial E en @olt y la resistencia R en ohm.

!i se representa en un grB,ico cartesiano la tensión en abscisas y la corriente en ordenadasA larecta representa la resistencia # de un determinado @alor en ohm. !i el @alor de la resistenciacambiaA tambi+n lo harB la inclinación de la rectaA tal como lo muestra la -ig. 3.l.

Fig. 3.1.4esistencia eléctrica.




'e la epresión de la ley de ;hm se desprendenA por despeJeA otras dos epresiones que nos permiten calcular la tensión o bien la resistencia/

E 4 / 7 R R 4E

/Es sumamente conocida como regla nemot+cnicaA el triBngulo de la ley de ;hmA tal como lomuestra la -ig. 3.2. En donde tapando el @alor incógnitaA queda eplcita la epresión que lacalcula.

Fig. 3.2.*ri/nulone%otécnicode la le de %.

=a tensión aplicada entre los etremos del resistor o di,erencia de potencialA posee polaridad. Ene,ectoA la energa que pro@ee la ,uente de tensión se @e disminuida luego de pasar por un resistorAya que el mismo consume parte de esa energaA es lógico entonces pensar que hay mBs energa enel etremo en donde ingresa la corriente que en el otro. !iempre en un resistor la polaridad de lacada de tensión sobre el mismo serB mBs positi@a por donde ingresa la corriente como muestrala -ig. 3.3.

$a tensi%n en el e+tremo por donde ingresa la corriente es m)s positiva

que por donde sale.

Fig. 3.3.Sentido de lasca+das de tensiónen un resistor.

En la pBgina de Editorial H!A &&&.hasa.com.arA en el botón Do=nloads>*oft <ratisA podrBdescargar el archi@o Calculo de 6ey de hm!?ipA para calcular cualquier @ariable.

PotenciÞ EléctricÞ

=os resistoresA as como cualquier dispositi@o sometido a la circulación de corriente el+ctricaArealiFan un consumo de energa debido al trabaJo de trans,ormación de un tipo de energa en otraen un determinado tiempo. =a unidad de la energa con@ertida es el Joule ?A y el tiempo ensegundos sA midi+ndose la potencia en ?&s. En honor al ,sico escoc+s ?ames 6attA la potenciael+ctrica se mide en att 6A por lo que/

1 att 4 1 #oule

s 1 ? 4 1 s

En ,orma de una epresión matemBtica se tiene/

4

t

en donde es la energa en Joule y t el tiempo en segundos.






Capítulo 3 – Ley de O! y Leyes de "irco## 27

?ames 6att trató de estandariFar las unidades de potencia creando el caballo de ,uerFa@1 B horse po=er que era el trabaJo durante un da completo de un caballo ,uerte. =a relaciónentre el H: y el att es/

1 4 7 att=a potencia que disipa un dispositi@o o sistema el+ctrico estB relacionado ntimamente con latensión y la corriente que recibe dicho dispositi@oA se puede deducir como sigue/

4

;t

0ero como 4 6 7 >; sie"do 6 < car$a y > < te"si)"; e"to"ces :

46 7 >

; o =ie" 4 > 76

; 0ero / 46

; e"to"ces 4 > 7 /t t t

Es de notar que se utiliFó > para indicar la tensión aplicada sobre el dispositi@o y se reser@a E

para indicar las ,uentes que suministran tensión a un circuito dado.

'ebido a la ley de ;hmA tambi+n es posible deducir otras dos epresiones para el cBlculo de la potenciaA esto es/

4 > 7 /; 0ero como / 4>

; se 0uede reem0lazarR

4>

; bien/

R

4 > 7 /; 0ero como > 4 / 7 R;

e"to"ces 4 / 7 R

En resumen/ 4 > 7 / 4 >R 4 /

7 R

9idi+ndose en att si > se mide en @oltA / en amper y R en ohm.

=a potencia en un resistor siempre es consumida en ,orma de calorA en una ,uente dealimentación puede ser consumida o suministradaA dependiendo si la corriente circula en el

sentido con@encional de O a " o al re@+sA como muestra la -ig. 3..

Fig. 3.4.)ner+a!ro!orcionada disi!ada.

En el caso de una batera o pilaA la potencia se calcula como sigue/

4 E 7 /

Hasta ahora hemos hablado de la potencia el+ctrica como si ,uese una solaA no es asA la potenciaque se mencionó hasta ahora es la 0ote"cia acti@a. En circuitos de corrie"te alter"a aparecen




dos potencias mBs denominadas 0ote"cia reacti@a y 0ote"cia a0are"teA @ol@eremos mBsadelante sobre este tema.

"endimiento de lÞ Energ:Þ EléctricÞEn todo sistema se puede intuir que la energa obtenida es siempre in,erior a la energa aplicadaAya que eisten p+rdidas de energa o almacenamiento de esta energa.

Gn dispositi@o tiene mayor rendimiento cuando la energa obtenida tiene @alores parecidos a laaplicadaA eso indicarB menor p+rdida por moti@os di@ersos y no deseados. Considerando laconser@ación de la energa se puede epresar lo dicho como/

E"er$%a 30licada 4 E"er$%a O=te"ida E"er$%a erdida o 3lmace"ada

Como la potencia nos indica la energa puesta en Juego en un dispositi@oA podemos poner/

e

4 s

0 a

!iendo e la potencia de entradaA s la potencia de salida y 0a la potencia perdida o acumulada.=a relación entre la de entrada y la de salida nos da el rendimientoA como sigue/

h 4s

e

Esta relación es menor a uno y en ella P es el rendimiento. !e suele dar este rendimiento en porcentaJeA siendo/

Eecto ;oule

h 4

s

e

7 1

En cualquier elemento sólido atra@esado por una corriente el+ctrica se produce un ,enómeno de p+rdida de energa debido al choque de los electrones contra la red cristalina del sólido. =aenerga cin+tica de los electrones se trans,orma en calor debido a los choques y a su consiguiente

p+rdida de @elocidad. Esta p+rdida estB relacionada con la corriente que circulaA la resistencia delelemento y el tiempo.

El e,ecto ?oule se lo puede de,inir como/ $a cantidad de energía calorífica producida por una corriente el'ctrica

depende directamente del cuadrado de la intensidad de la corriente del

tiempo que 'sta circula por el elemento y de la resistencia que opone el mismo

al paso de la corriente.

!iendo su epresión matemBtica/

6 4 / 7 R 7 t

'onde 6 es la energa calor,ica epresada en JouleA / la intensidad de la corriente que circula en

amperA R la resistencia en ohm y t el tiempo en segundos. Este e,ecto es la base del,uncionamiento de di,erentes dispositi@os de uso comn hogareDoA como ser hornosA tostadorasAcale,actoresA etc.A o bien industriales como ser soldadoras y otros.

Q




<o obstanteA en otras aplicaciones de la electricidad o de la electrónicaA este e,ecto es sumamentenegati@o y se lo busca minimiFar utiliFando @entiladoresA disipadoresA etc.

Leyes de 8irc77o9

€onsiderÞciones Pre)iÞs

Es necesarioA antes de abordar el tema espec,icoA deJar en claro algunas de,iniciones que para eliniciado son desconocidas. <os re,erimos a los conceptos de nodoA mallaA fuente ideal A fuentereal A carga y notación.

Sentido €on)encionÞl de lÞ €orriente EléctricÞ

El sentido con@encional de circulación de la corriente el+ctrica serB del positi@o de la ,uente alnegati@o de la mismaA o bienA del punto mBs positi@o del circuito al mBs negati@o.

En muchos casos se utiliFa el sentido no con@encional de circulación de la corrienteA que es Justoel in@erso al con@encional. Esta nue@a con@ención tiene mBs relación con el ,enómeno ,sico queocurre en la circulación de la corrienteA dado que las partculas que transportan las cargas son loselectrones que tienen carga negati@a y no los huecos de carga positi@aA que generan loselectrones al desprenderse de los Btomos.

Nodo

Es la unión el+ctrica de dos o mBs terminales correspondientes a elementos del circuito oconductores. En el caso de unir sólo dos elementosA se lo denomina nodo secundarioA en cambiosi une a mBs de dos elementos se lo llama nodo principal. Esto se puede obser@ar en la -ig. 3..

Fig. 3.5.&odos!rinci!ales.

MÞllÞ

Es el conJunto de dos o mBs elementos de un circuito unidos de tal ,orma que determinan una,igura cerradaA es ,undamental que sea cerrada. lgunos eJemplos se muestran en la -ig. 3.$.



<=

<=

M'll's

> 4>?> '0 Fuente ideal de tensión, b0 fuente ideal de corriente.


Fig. 3.6.=allas.

"ÞmÞ

Es el tramo de circuito entre dos nodos principales. :uede estar ,ormado por uno o mBscomponentes del circuito.

$uente 5deÞlEs una ,uente de tensión en donde su resistencia interna es cero o una ,uente de corriente en lacual la resistencia interna es in,initaA y por lo tanto el suministro de tensión o corriente segn elcaso se mantiene constante por mBs que @are la carga que se le aplica. El grB,ico que representaeste tipo de ,uentes se aprecia en la -ig. 3.7. aD y =D.

$uente "eÞl

En contraposición con las anterioresA este tipo de ,uentes poseen una resistencia interna lo cualocasiona una disminución en el suministro al @ariar la carga. Esto se aprecia en la -ig. 3.%.



g> 4>@> '0 Fuente real de tensión, b0 fuente real de corriente.


€ÞrgÞ

!e denomina de esta ,orma al elemento o elementos del circuito a los cuales se les aplica laenergaA por eJemplo/ una lBmparaA un resistor cale,actorA una heladeraA un tele@isorA etc. Ende,initi@a es el dispositi@o que dio origen a nuestra instalación.

NotÞción

En el teto se utiliFarB la siguiente nomenclatura/

> < Ca%da de te"si)" so=re la resiste"cia R .1

/ < /"te"sidad de la corrie"te ue circula so=re R .'

E< ,e"si)" de la =ater%a .

< ote"cia disi0ada 0or laresiste"cia R .5

/ < /"te"sidad de la corrie"te e" u" determi"ado sector del

circuito. /, < /"te"sidad de la corrie"te total.

>3J < Fifere"cia de 0ote"cial e"tre dos 0u"tos del circuito ide"tificados como 3 y J.

PrimerÞ Ley de 8irc77o9

'enominarla primera no signi,ica ningn orden de importancia o cosa por el estiloA simplementees una manera de identi,icarlaA otra sera llamarla la ley de las corrientes. Esta ley diceA en ,orma

sint+ticaA que en un nodo no se puede crear ni perder corrienteA es decir que la sumatoria decorrientes en un nodo nos da cero. En otras palabras las corrientes que llegan al nodoA sumadasAtienen que ser num+ricamente iguales a la suma de las corrientes que salen del mismoA como nosmuestra la -ig. 3.4. !u enunciado es el siguiente/

En todo nodo o punto de convergencia de conductores la suma de las

corrientes que llegan es igual a la suma de las que parten de 'l o lo que es

equivalente la suma algebraica de todas las corrientes es igual a cero tomando

con distinto signo las que llegan y las que parten.

!u epresión matemBtica es/

+ /e 4 + /s o =ie" : /1 / ' / 4 / / 5

R 1

R '

R 5



Si 3 B 52 < 5 . < 5- 5 4

I "2

+- ".

"4

'


Fig. 3.9.

Pri%era lede >irco33.

SegundÞ Ley de 8irc77o9

Esta ley estB re,erida a las mallas de un circuito y dice que en toda malla la suma algebraica delas cadas de tensión es igual a cero. En otras palabrasA que el balance entre la tensión aplicada

por las ,uentes y las cadas de tensión en cada elemento debe tener un saldo nulo.

!u enunciado es el siguiente/ En toda malla o circuito cerrado la suma algebraica de las fuer*as

electromotrices es igual a la suma de las caídas de tensi%n es decir a las

intensidades multiplicadas por las resistencias.

!u epresión matemBtica es/

+ E - + > 4

:or eJemplo en el circuito de la -ig. 3.l;A donde se tienen los tres resistores y la bateraA se indicóla corriente con la letra /A tambi+n se marcó la polaridad en las cadas de tensión sobre cada

resistor. =uego se elige un punto en donde comenFar el anBlisisA por eJemplo el aA a continuaciónse determina el sentido en que @amos a recorrer la malla horario o anti"horarioA en nuestro casoelegimos el horario. Encontramos el primer elemento del circuito para la epresión de la 2K leyde irchho,,A la batera. Mamos a tomar la polaridad de la misma como positi@aA que es eletremo por donde salimos de la batera. !eguimos recorriendo el circuito y nos encontramoscon el resistor # lA en +steA se produce una cada de tensión que se epresa por la ley de ;hmcomo 8 X # lA con polaridad negati@aA que es la polaridad del etremo por donde salimos.

Fig. 3.10.

Seunda lede >irco33.

Continuando con la recorrida nos encontramos con # 2 y sucede lo mismo que con # lA acontinuación nos encontramos con # 3 y pasa lo mismo que con los otros dos resistoresA porltimo llegamos al punto de partida ,inaliFando la aplicación de la 2K ley de irchho,, quedando/

E - / 7 R 1 - / 7 R - / 7 R

'4 E - B/ 7 R

1 / 7 R

/ 7 R ' D 4




PYu+ nos estB indicandoQ. Esta epresión nos indica que la tensión pro@ista por la ,uente sereparte en los tres resistores y luego de ello no puede ni ,altar ni sobrar tensión.

PYu+ hubiese sucedido si elegamos recorrer la malla en sentido anti"horarioQ. El nico cambio

serBn todos los signos in@ertidos de las tensiones de la epresiónA como sigue/- E / 7 R 1 / 7 R / 7 R ' 4

Como se aprecia el balance sigue estando y la suma algebraica suma con sus respecti@os signoses igual a cero.

"esolución de €ircuitos porAplicÞción de lÞs Leyes de 67m y de8irc77o9

=a aplicación de las mencionadas leyes se realiFarB en ,unción del circuito con que se cuentaA noobstante las consideraciones a tener en cuenta en este anBlisis son/

D Eiste siempre una ,uente nica o si hay mBs de una se las puede agrupar.D =as mallas son siempre cerradas.D =a corriente total es la que pasa por la ,uente.D =a resistencia total es la del circuitoA @ista desde los etremos de la ,uente.D =as tensionesA sal@o indicación contrariaA son re,eridas a tierra.D *ierra tiene por de,inición potencial cero.

:ara realiFar el anBlisis supondremos tener el circuito de la -ig. 3.ll.

Fig. 3.11.Circuito aanali8ar.

En el mismo se indicaron las tres corrientes que eisten con los nombres /,A /R 3 e /R .

=a otra cuestión que se debe aclarar es qu+ se entiende por resol@er un circuito. !al@o indicacióncontrariaA resol@er un circuito es a@eriguar las corrientes que circulan por distintas ramas delcircuito.

:ara resol@er el circuito se comienFa desde el sector mBs aleJado de la ,uenteA en nuestro caso delos resistores R 'A R y R 5. !i obser@amos dichos resistores @emos que los mismos ,orman unaasociación serie en donde se puede reemplaFar a los tres por un resistor equi@alente quellamaremos R 3/

R 3 4 R ' R R 5

Yuedando el circuito equi@alente como muestra la -ig. 3.l2.



"2<= 5"+

"

5!

E "+


Fig. 3.12.

4educcióndel circuito.

continuación se obser@a que los resistores R y R 3 ,orman una asociación en paraleloA pudi+ndose reemplaFar a ambos por su equi@alente R J/

R 4R 7 R 3

R R 3

Yuedando el circuito reducido como lo muestra la -ig. 3.l3.

Fig. 3.13.4educcióndel circuito.

:or ltimo se obser@a que quedaron tres resistores en serie/ R 1A R J y R A los cuales resueltos nosdan la resistencia total/

R , 4 R 1 R J R

PZa estB resuelto el circuitoQ. <oA ,altan hallar las corrientes en cada rama. Como primer cBlculode las corrientes obtendremos la corriente totalA que circula por la ,uente E. :ara ello aplicamosla ley de ;hm obteniendo/

/ 4E

,,

=uego @emos en el circuito de la -ig. 3.l3 que dicha corriente circula por los tres resistores yaque estBn en serie y se puede obtener la cada de tensión sobre el resistor R J por aplicación de laley de ;hm/

> 4 /, 7 R J

Como el resistor R J surge del paralelo de los resistores R y R 3; la tensión sobre +stos es igual ala calculada para R JA teni+ndose/

> 4 > 4 >J 3

J

R

R J

R R R




!abiendo este dato podemos calcular por ley de ;hm la corriente que circula por R 3;ya que laresistencia es dato y la tensión tambi+n/

>

/ 43

3 R 3

'e ,orma anBlogaA se puede calcular la corriente que circula por R ya que la tensión es la mismaque en R 3 por estar en paralelo/

>/ 4

R

'e esta ,orma hemos calculado todas las corrientes del circuito. :ara @eri,icar que no cometimoserrores se aplica la lKley de irchho,, al nodo l/

/, 4 /R /

;tro eJemplo es el de la -ig. 3.lA en dóndeA como particularidadA encontramos que la ,uente dealimentación se encuentra en la rama central del circuito.

Fig. 3.14.Circuito condos %allas.

!e puede comenFar la resolución tanto desde la iFquierdaA como desde la derecha de la ramacentral. Elegimos comenFar por la iFquierdaA en donde encontramos en serie los resistores R 1A R y R '/

R 3 4 R 1 R R '

R 3 es el resistor equi@alente a la iFquierda de la rama central como muestra la -ig. 3.l.


hora resol@emos los tres resistores de la derechaA R 5A R y R 7; qui+nes estBn en serie.

R J 4 R 5 R R 7

R

R

R R

3 R



52<

= E

5.

"A5!

"+

"-


Yuedando el circuito de la -ig. 3.l$.


continuación se resuel@e la asociación en paralelo de los resistores R 3 y R J/

R 4R 3 7 R JR 3 R J

El circuito reducido es el mostrado en la -ig. 3.l7.

:or ltimo se obtiene R ,/ R , 4 R C R


:aso seguido se puede calcular la corriente total que circula por la ,uente EA aplicando la ley de;hm/

/ 4E

,,

Esta corriente tambi+n circula por R CA lo cual permite hallar la cada de tensión sobre el mismo@er el circuito de la -ig. 3.l7/

> 4 /, 7 R C

Como el resistor R C surge del paralelo de los resistores R 3 y R J , la tensión sobre +stos es igual ala calculada para R C; teni+ndose/

> 4 > 4 >C 3 J

continuación se puede calcular la corriente que circula por R 3 que la hemos denominado /R 3

aplicando como siempre la ley de ;hm/

C

R

R C

R R R




>/ 4 3

3 R 3

En ,orma anBlogaA se puede calcular la corriente que circula sobre R JA que para nuestro circuito,ue llamada /R J/

>/ 4 J

J R J

'e esta ,orma se realiFó el cBlculo completo de todas las corrientes del circuitoA quedando comoresumen el circuito de la -ig. 3.l%.

Fig. 3.18.Circuitoe<uialente.

R R

R R



Capítulo 4

$uentes $i%Þsde Energ:ÞEléctricÞ de

€orriente €ontinuÞ

5ntroducción=as pilas y bateras constituyen ,uentes ,iJas de tensiónA en las que eiste un ,luJo de cargasunidireccional en una dirección.

;tro tipoA son las ,uentes ,iJas de corriente. naliFaremos a continuación los dos grandes grupos.

$uentes de !ensión de €€Es la mBs conocida de las ,uentesA teniendo como smbolo el mostrado en la -ig. .l. En lamisma se obser@a el smbolo de la pila aD y el de la batera =DA aunque se suele utiliFar casisiempre el smbolo mostrado en aD.

Fig. 4.1.S+%olos de!ila, a) ater+a, b).

su @eFA a las ,uentes de tensión se las clasi,ica en tres grandes grupos/ bateras acciónqumicaA generadores acción electromecBnica y ,uentes de corriente recti,icación.

+Þter:Þs y PilÞs

En realidadA el t+rmino batera es un apócope de otro mBs completo que es ater&a de pilas, yaque una batera es en s una combinación de dos o mBs pilasA es por ello la simbologa obser@adaen la -ig. .l. =D.

'icha batera genera su energa mediante la con@ersión de di@ersos tipos de energaA por eJemplo/ qumicaA solarA t+rmicaA etc.

Eisten dos grupos de bateras identi,icadas como primarias y secundariasA las primeras noadmiten su recargaA mientras que las segundas s lo hacenA por in@ersión de la reacción qumicarestableciendo su capacidad.



En)'se de 'cero

Pel:cul' plCstic'

Electrolito dió(ido de pot'sio

nodo de zinc pul)eriz'do&Ctodo de dió(ido de m'ng'neso

&olector de l'tónSep'r'dor de tel'

&ubiert' intern' de 'cero

Sello de nylon

Ar'ndel' de met'lEspolón metClico

&ubiert' neg'ti)' c7'p' de oro "em'c7e de l'tón

&ubiert' positi)' c7'p' de oro


'entro de las pertenecientes al grupo de recargables encontramos las bateras clBsicas de autos ocamionesA ,abricadas con plomo"BcidoI las usadas en calculadoras y otros dispositi@oselectrónicosA construidas mediante una combinación de <i"Cd nquel"cadmio y las utiliFadas en

aplicaciones un poco mBs eigentes como el flash de ,otogra,a que emplean una combinación de <i"metal.

!i bien el costo inicial de las recargables es importanteA se amortiFa dicha in@ersión con la @idatil de estas pilas que suele ser de entre dos y cinco aDosA permitiendo tener una satis,actoriarelación costo"bene,icio.

Pilas Primarias Alcalinas 7 de Litio-Ión*oda pila tiene un electrodo positi@oA uno negati@o y el electrolito. Este ltimo es el elemento decontacto que pro@ee los iones que permiten la conducción entre los terminales.

=a mBs comn de estas pilas estB compuesta por un Bnodo de Finc pul@eriFado electrodo positi@oA un cBtodo de carbono y dióido de manganesoA electrodo negati@o y el electrolito esde hidróido de potasioA que es un metal alcalinoA como se obser@a en la -ig. .2.

Fig. 4.2.Pila!ri%ariaalcalina.

En el caso de las pilas primariasA su tamaDo estB en relación directa a su capacidad de corrienteAcuanto mBs grande esA mayor su posibilidad de entrega de energa y mayor su duración. Esto sedebe simplemente a que puede contener mayor cantidad de electrolito que es qui+n pro@ee losiones. En la -ig. .3 se obser@an los distintos tipos de pilas y sus tamaDos normaliFados eidenti,icados con letras.

=as pilas de litio"ión son de nue@a tecnologa y utiliFan iones de litio. El esquema de suconstrucción se aprecia en la -ig. ..

'entro de las cualidades ,a@orables de este tipo de pilas se pueden destacar/ muy buena relación peso&potenciaA alta densidad de potenciaA ciclo de @ida etendido mBs de 00 recargasA baJaautodescarga un $S al mesA no tiene e,ecto memoriaA alta tensión de trabaJo 3A$ MA tensión dedescarga gradual y constante.



Capítulo $ – %uentes %i&as de Ener'ía Eléctrica de Corriente Continua 41

Fig. 4.3.istintos ti!osde ta%a?os de!ilas.

Fig. 4.4.Pila delitio-ión.

'e los pocos incon@enientes que presentan se puede destacar el e,ecto de pasi@aciónAentendi+ndose como tal la ,ormación de una pelcula de cloruro de litio Cl=i en la super,iciedel Bnodo. Esta pelculaA que presenta una resistenciaA retrasa la autodescarga cuando la pila noes usadaA lo cual sera una @entaJaA pero tambi+n se trans,orma en una resistencia en serie quehace que al utiliFar la pila nue@amenteA la tensión e,ecti@a que entrega sea menor que la nominalA

pudiendo a,ectar el ,uncionamiento del equipo que estB alimentando.Con,orme la pila se comienFa a utiliFar esta ,ina pelcula @a desapareciendo yA cuando la@ol@emos a deJar de usarA nue@amente empieFa a ,ormarse la misma.

Este ,enómeno depende del diseDo y construcción de la pilaA el tiempo que se tarde en usarlaA latemperatura de almacenamiento directamente proporcionalA las temperaturas de usoin@ersamente proporcionalA los ciclos repetidos de pequeDas descargasA etc.

Pila Secundaria de Plomo-ÁcidoEn este tipo de pilasA los electrodos estBn construidos de plomo esponJoso y peróido de plomoA

el electrolito es Bcido sul,rico. =a -ig. . muestra el corte de este tipo de pilasA mBs




comnmente denominadas baterasA ya que normalmente no se las utiliFa en ,orma indi@idualsino como @arias pilas asociadas.

El ,uncionamiento es como sigue/ al cerrar el circuito de la batera con una carga lBmparaA

resistorA etc.A eiste una trans,erencia de electrones del electrodo de plomo esponJoso haca elelectrodo de peróido de plomo a tra@+s de la carga. El ,luJo de electrones se mantendrB hasta ladescarga de la batera. =a duración estB en ,unción de dos parBmetros/ la dilución del Bcido y elespesor del recubrimiento de sul,ato de plomo en los electrodos.

Fig. 4.5.)s<ue%ade una ater+a!lo%o-/cido.

El estado de descarga de una batera de plomo se determina midiendo la densidad relati@a delelectrolito con un hidrómetro. Esta densidad se la de,ine como la raFón entre el peso de un@olumen determinado de la sustancia sobre el peso de un @olumen igual de agua a TC. :ara

bateras completamente cargadas el @alor de la densidad relati@a estB entre los lA2l; y lA3;;A aldescender a lAl;;A se deberB recargar.

l realiFarse la recargaA la corriente que circula en sentido in@erso al ,uncionamiento normalAelimina el sul,ato de plomo de las placas y restablece la concentración de Bcido sul,rico. =arecarga se debe realiFar con una ,uente de tensión constanteA donde la corriente irB tomando los@alores de acuerdo al estado de la batera.

=as bateras comerciales para automó@iles estBn compuestas por seis celdas en serieA donde cadauna aporta 2Al MA dando en conJunto los l2A$ M.

contininuaciónA @emos las reacciones qumicas que se producen en el proceso de carga y en elde descarga/



cido sulrico diluido<

PbSO4 PbSO4 PbO2Pb

F

Desc'rg'd' &'rg'd'


Carga

1olonegati5o:

1* O 2 electrones[ 1 O *2

1olo positi5o:

,escarga

1* " 2 electrones O 2 A

2 [

12

O *2" O A

O

1olo negati5o: 1 " + electrones O *+"[ 1*

8

1olo positi5o:

12 O * O O

O 2 electrones[ 1* O 2 A 2

En la -ig. .$ se obser@aA en ,orma esquemBticaA el estado de las placas antes y luego de

realiFada la carga.

Fig. 4.6.4eacciones enla cara descara.

=os nue@os diseDos de bateras comerciales reemplaFaron las reJillas de plomo"antimonio por lasde plomo"calcioA logrando de esta ,orma las denominadas lires de mantenimientoA como lamostrada en la -ig. .7. Estas bateras disminuyen los gases creados durante la descargaAreduciendo la e@aporación del agua y minimiFando la corrosión.

Fig. 4.7.Bater+a de lire%anteni%iento.

82"




Pila Secundaria de Uíquel-admioEstas pilas ,ueron desarrolladas en aDos recientes para aplicaciones tan di@ersas como linternasAa,eitadoras portBtilesA taladros de potenciaA cBmaras ,otogrB,icasA etc. =a -ig. .% muestra el

aspecto eterno de algunas pilas de esta tecnologa.

!on pilas de buen rendimientoA por lo general resisten mBs de l;;; ciclos decarga&descarga durante un perodo largo de tiempo.

!i un equipo el+ctrico&electrónico requiere este tipo de pilasA lo mBs probable es que no seacon@eniente el uso de pilas primarias como las alcalinasA ya que +stas poseen una tensión delA M por unidadA mientras que las de <i"Cd son de lA2 M.

=a recarga de estas pilas se debe realiFar por medio de una ,uente de corriente constante y conuna tensión estable durante todo el ciclo.

Fig. 4.8.Pilas den+<uel-cad%io.

;tra de las @entaJas es la posibilidad de ,abricarlas en tamaDos muy reducidosA por eJemploA paracalculadorasA reloJesA Juegos electrónicosA etc.A en donde la altura de la pila es crtica.

Pilas Secundarias de Uíquel-!idrógeno 7 Uíquel-!idruro"etálico!on nue@os desarrollos de pilas y en particular las de <i"H son usadas en @ehculos espacialesdebido a su alta densidad de energaA su gran con,iabilidad y alta resistencia a un nmero ele@adode ciclos de carga&descarga.

=a pila de nquel"hidruro metBlico es una combinación de las meJores cualidades de las pilas de <i"Cd y de <i"HA ya que poseen alto ni@el de potencia en un en@ase pequeDo y largo ciclo de@ida. Comnmente se las conoce como <i"9etal.

!on utiliFadas en aplicaciones espec,icas como bateras de computadoras portBtilesA flash de

cBmaras ,otogrB,icasA algunos instrumentos de mediciónA etc.En la -ig. .4 se obser@a el aspecto de una batera de <i"9etal para computadoras portBtiles.




Fig. 4.9.Bater+as den+<uel-%etal.

€ÞpÞcidÞd de unÞ PilÞ o +Þter:Þ

=a capacidad nominal de las pilas y bateras estB medida en amper"horas h oA mBscomnmenteA en miliamper"horas mh.

En teoraA una pila de l;; mh produce una corriente constante de l;; m durante l horaA o bienA ; m durante 2 horasA tambi+n 2 m durante horasA etc.

!e puede epresar en ,orma de ecuación matemBtica/

Furaci)" BhorasD 4 >alor Nomi"al e" m3h

Corrie"te E"tre$ada e" m3

9Bs arriba se mencionó que el cBlculo era teóricoA esto es as debido a que eisten dos ,actoresque a,ectan esta ecuaciónA +stos son/ @elocidad de descarga y temperatura de trabaJo.

En general la descarga rBpida de una pila hace disminuir su capacidad nominal.

*ambi+n producen el mismo e,ecto los @alores de temperatura por encima o por debaJo de latemperatura ambiente.

El grB,ico de la -ig. .l; muestra la relación entre la corriente de descarga y la duración para una pila tpica de <i"Cd.

Fig. 4.10.4elación entre laca!acidad lade%anda de corriente.



?3333133-33433.33233

&orriente de desc'rg' 13 mA

=43=23234313?3G3=.33.3-33@3

!emper'tur' /H&0


:or otra parteA la @ariación de la capacidad de una pila de <i"Cd en ,unción de latemperatura se obser@a en el grB,ico de la -ig. .llA en donde la corriente de descarga es de1; m.

Fig. 4.11.4elación entrela ca!acidad la te%!eratura.

modo de resumenA y para tener un panorama mBs claroA @emos en la *abla .l lasespeci,icaciones mBs sobresalientes de las distintas pilas del mercado actual/

Tabla 4.1. )s!eci3icaciones de las !ilas co%erciales.

Caracter%stica Ni-Cd Ni-MhLi-i)"BcoeD

Li-i)"B$rafitoD

'ensidad energa 6h&Vg ; $; 4; 4;

'ensidad @olum+trica 6h&l l;; l; 2l; 2l;

*ensión nominal M lA2 lA2 3A$ 3A$

Ciclo de @ida recargas l;;; %;; l;;; l;;;

utodescarga S&mes l1 2; $ $

Ciclo de descarga mBima C\ l; 3 2 2

Corriente de carga C\ l l l l

*ensión de carga M lA lA Al A2

*iempo de carga h 3 3 2A 2A

*emperatura de uso TC l1 ) ; l1 " ; l; " ; l; ) \ !iendo C la capacidad nominal

PilÞs en Serie y PÞrÞlelo

=as pilas se pueden asociar o agrupar en serie y en paraleloA para obtener @entaJas comparati@asAsegn las necesidades de alimentación.

!e encuentran en serie cuando las pilas estBn de tal ,orma que tienen unidos sus terminalessiempre al terminal opuesto de la pila mBs próimaA como se obser@a en la -ig. .l2.

C a p a c i d a d ( m A h )



IJKJ#


Fig. 4.12. Asociaciónserie de !ilas.

=a asociación de pilas en serie permite obtener una tensión mayorA ya que el @alor total serB lasuma de todos los @alores de tensión de las pilas de la serieA en ,orma de epresión matemBticatenemos/

E, 4 E1 E E' ...... E"

Es de hacer notar que la corriente de la serie serB la misma en todas las pilas.

!e pueden tambi+n asociar las pilas en paraleloA esto se logra uniendo todos los terminales positi@os entre s y todos los terminales negati@os tienen un punto en comnA tal como lo muestrala -ig. .l3.

Fig. 4.13. Asociación!aralelo de !ilas.

Con esta asociación se logra aumentar la capacidad de la corriente que puede entregar una pilasolaA se debe tener la precaución de conectar en paralelo pilas de igual tensión. !i la capacidad decada pila se la denomina Cp medida en h o mhA la capacidad total se obtiene haciendo/

C, 4 C1 C C ' ...... C"

"esistenciÞ 5nternÞ de lÞs PilÞs

Gn generador ideal es el que no posee resistencia interna @er la -ig. .lA esto en la prBctica noeiste. Gna pila posee resistencia interna debido a distintos moti@osA el principal es la resistenciaque aporta el electrolito entre los electrodosA otra es la que presentan los propios electrodos.!iendo la mBs importante la del electrolitoA +sta se @isualiFa en el esquema de la -ig. .l.a.

Fig. 4.14.@uente detensión ideal.

Cuando entre los etremos de la pila no estB conectada ninguna cargaA se tiene la tensión encircuito abierto y la resistencia interna no produce ninguna cada de tensión ya que no circulacorriente.



IJKJ#


Cuando se conecta una carga la resistencia interna queda en serie con la pilaA produci+ndose unacada de tensión que serB mayor cuanto mayor sea la descarga de la pila. Esto se debe a que laresistencia interna aumenta con la disminución de la densidad relati@aA que a su @eF disminuye al

diluirse el Bcido por la ,ormación de agua.El circuito el+ctrico de una pila con y sin carga se obser@a en la -ig. .l.

Fig. 4.15. @uente real con sin cara.

:ara determinar la tensión aplicada a la carga se deberB primero calcular la corriente que circula por la mismaA luego la cada en i y realiFar la resta.

/C 4 E

R

i

R C

> 4 /C 7 R i

>C 4 E - >R

Habitualmente es complicado conocer la resistencia interna de una pilaA con el agra@ante que noes constante sino que @ara con la descarga de la misma.

Gna manera de encontrar ese @alor en un momento dadoA es medir la tensión sobre la cargaA que@a a ser menor que la de la pila en circuito abiertoA esa di,erencia di@idida por la corriente de lacarga nos darB la resistencia interna para un momento dado.

E - >R R i 4C

< E < ,e"si)" "omi"al

> < Ca%da so=re la car$aC

$uentes de €orriente

/C < Corrie"te so=re la car$a

Gna ,uente ideal de tensiónA como hemos @istoA entrega una tensión constante

independientemente de la @ariación de corriente. 'e la misma ,orma eisten dispositi@osdenominados ,uentes de corrienteA que en ,orma idealA proporcionan una corriente constanteindependientemente de las @ariaciones de tensión.

R i

i

C

/

R



5 &b

b.re v

$uente de &orriente

+

!r'nsistor & S:mbolos

+&&

E

E

$ig> ->2?> Fuente de corriente ideal y real.


(BsicamenteA estas ,uentes de corriente estBn realiFadas a partir de la utiliFación de dispositi@oselectrónicos como los transistores los que son controlados por corrienteA su smbolo y circuito

equi@alente se obser@an en la -ig. .l$.

Fig. 4.16. @uente de corriente.

El smbolo usual para representar una ,uente de corriente es el mostrado en la -ig. .l7A endonde en aD se obser@a una ,uente ideal y en =D una ,uente real con su resistencia interna en

paralelo.

Di)isor de !ensiónEs posible reducir o di@idir una tensión en otros @alores utiliFando resistores en serie entre losetremos de la ,uente de tensión originalA como se obser@a en la -ig. .l%.



=+".

-

5

* 2

E

* .


Fig. 4.18.iisor de tensión.

=a tensión sobre R 1 se puede obtener con el siguiente anBlisis/

/ 4E

R 1 R

< ley de Ohm

E - / 7 R 1 - / 7 R 4 < ley de Kirchhoff

E -E

R 1 R

7

R 1-

ER 1 R

7 R 4

E -E

R 1 R

7 R 4

E

R 1 R

7 R 1

E - > 4 E 7

R 1R 1 R

> 4 E 71

R 1R 1 R

En ,orma anBloga se obtiene la tensión sobre el resistor R /

>R 4 E 7 R

R 1 R

En el caso de tener tres resistores en serieA como muestra el circuito de la -ig. .l4A se procede en,orma similar/

> 4 E 71

> 4 E 7

> 4 E 7'

R 1R 1 R R '

R

R 1 R R '

R '

R 1 R R '

+

A

R1

-

a

R

R

R

R

R




Fig. 4.19.iisor de tensión.

En ,orma gen+rica se puede epresar/

> 4 E 7i R 1

R

R i R

'

... R "

Di)isor de €orriente

'e la misma manera que se puede obtener una tensión menor a partir de una tensión dadamediante el uso de resistoresA tambi+n es posible lograr una disminución de corriente por mediode resistores en paraleloA que ,orman lo que se denomina di@isor de corriente. El circuito semuestra en la -ig. .2;.

El cBlculo de la corriente en cada resistor serB/

Fig. 4.20. iisor de corriente.

/ 4 / 7

1

/ 4 / 7

R

R 1 R

R 1

R 1 R

!i tenemos un circuito con @arios resistores en paraleloA por eJemplo el de la -ig. .2lA y sequiere calcular la corriente que circula por R 1A se deberB resol@er el resto de los resistores atra@+s del paralelo y reemplaFarlos por su equi@alente/

R 3 4 1

1

1

1

R R ' R

/ 4 / 71 R 3

R 1 R 3

Fig. 4.21. iisor de corriente.

R

R

R

R



Capítulo U

"esolución de €ircuitos MétodosSistemÞtizÞdos

5ntroducciónComo se mencionó en captulos anteriores resol@er un circuito signi,icaA bBsicamenteA encontrarlas corrientes que circulan por cada rama. Esto ya se realiFó en el Captulo 3 con la aplicación delas leyes de ;hm y irchho,,A no obstanteA cuando se estB ,rente a un circuito en donde eistenmBs de una malla y mBs de una ,uenteA la manera de resol@erlo di,iere de lo @isto ya quedebemos conocer otras herramientas que nos permitan lograr el obJeti@o.

!i bien eisten @arios m+todos de resoluciónA todos terminan empleando las leyes de ;hm yirchho,,A los m+todos son/ 9+todo de !uperposiciónA 9+todo de las Corrientes en las 9allasA9+todo por aplicación de la 2K ley de irchho,, y 9+todo de las *ensiones en los <odos.

Método de SuperposiciónEste m+todo consiste en superponer e,ectosA es decir que se realiFa el cBlculo de las corrientesdeJando una sola ,uente por @eF y pasi@ando las restantes.

El t+rmino pasi@ar una ,uente signi,ica reemplaFar a la misma por su resistencia internaA siestamos en el caso teórico de una ,uente ideal dicha resistencia interna es cero ,uente detensión o in,inito ,uente de corriente.

:ara la eplicación del m+todo se utiliFarB el circuito de la -ig. .l.

Fig. 5.1.=étodo desu!er!osición.

ntes de comenFar el m+todo propiamente dicho se debe realiFar las siguientes tareas/

1. 8ndicar el sentido de circulación de las corrientes en cada rama.

. Colocarle un nombre a cada corriente.



Ω


'. El sentido de circulación no debe contradecir la lK ley de irchho,, en nuestro eJemplono podran llegar todas las corrientes al nodo o salir todas las corrientes de dichonodo.

6perÞtoriÞ del Método

!e comenFarB por una ,uente cualquieraA en nuestro caso la ,uente E1A el resto de las ,uentes selas pasi@an. :ara nuestro eJemplo la ,uente E es una ,uente idealA el circuito queda como lomuestra la -ig. .2.

Fig. 5.2. 4educción del circuito.

Es de hacer notar las siguientes cuestiones/ el sentido de circulación de corriente en este nue@ocircuito es el que corresponde a la ,uente que quedóA puede o no coincidir con el indicado en elcircuito original y ademBs se deberB mantener el nombre de la corriente en cada rama con unsuprandice que indicarB que es una corriente parcial.

En este circuito se calcularBn a continuación las corrientes en cada rama.

:rimeramente se resuel@e la serie ,ormada por los resistores R y R 5.

R 3 4 R R 5

=uego encontramos que el resistor R 3 estB en paralelo con R 'A su equi@alente serB/

R 4R ' 7 R 3

J El circuito queda como lo muestra la -ig. .3.R ' R 3

Fig. 5.3.4educción delcircuito ree%!la8andoel !aralelo.

En el nue@o circuito encontramos que hay tres resistores en serie que nos dan R ,.

R , 4 R 1 R R J



Capítulo ( – Resolución de Circuitos – )étodos *iste!atizados 55

continuación se puede calcular la corriente que circula por la ,uente E1A que para nuestrocircuito serB /S1.

/S 4E1

1,

=uego se puede calcular la cada de tensión en el resistor R J aplicando la ley de ;hmA ya que por el mismo circula la corriente /S1.

> 4 /S 7 R

J

'ebido a que los resistores R ' y R 3 ,orman un paralelo que dio origen a R JA ambos tienen lamisma tensiónA es decir/

>J

Con ello podemos calcular las corrientes /S

4 > 4 >' 3

e /S .

>R /S 4 '

'

>R /S 4 3

'3

El circuito de la -ig. . muestra el resumen de las corrientes y sus denominaciones.

Fig. 5.4.C/lculo decorrientes enlas ra%as.

*odo lo actuado corresponde a las corrientes debido a la ,uente E1A a continuación se deberB

hacer lo mismo con la otra ,uenteA la E.'eJando la ,uente E y pasi@ando la E1 nos queda el circuito mostrado en la -ig. ..

Fig. 5.5.C/lculos conla 3uente )2.

R

1 JR

R

R R

'

R

R



52 54

5. "4<

E.=

"1

"-

"A


<ue@amente se ha indicado el sentido de circulación de corriente de acuerdo a la ,uente E

manteniendo los nombres de las corrientes en cada rama pero con un suprandice distinto.

#ealiFamos ahora el cBlculo de las corrientes comenFandoA como siempreA desde los resistores

mBs aleJados de la ,uente.

R 3 4 R 1 R

<os queda el circuito indicado en la -ig. .$.


:osteriormente @emos que R 3 estB en paralelo con R 'A resol@iendo nos queda/

R 4R 3 7 R '

R 3 R '

El circuito reducido es el mostrado en la -ig. .7.

Fig. 5.7.4educción del circuitoree%!la8ando el !aralelo.

continuación se obtiene R , ,BcilmenteA ya que se encuentran en serie los resistores del circuito.

R , 4 R J R R 5

Como primer cBlculo de corriente obtenemos la corriente que circula por la ,uente E; que ennuestra nomenclatura es /SS .

/SS 4E

',

Como esta corriente circula tambi+n por R JA podemos hallar la di,erencia de potencial entre susetremos/

> 4 /SS 7 R

J

J

'

R

' JR




R J estB ,ormado por R ' y R 3A que estBn en paraleloA por lo tanto sus tensiones son iguales a lahallada/

> 4 > 4 >J ' 3

Esto nos permite calcular las otras dos corrientes/

>/SS 4

R 3

R 3>

/SS 4R '

R '

El circuito resumen de lo realiFado con la ,uente E se obser@a en la -ig. .%.

Fig. 5.8.C/lculo de corrientesen las ra%as.

:or ltimoA para ,inaliFar el m+todoA se indican en el esquema de un circuito similar al dadoA lascorrientes con sus nombres y sus sentidos de circulación como se muestra en la -ig. .4.

Fig. 5.9.4esu%endecorrientesen cadara%a.

En el circuito resumen @emos que las corrientes sobre la rama de la iFquierda tienen sentidosopuestosA por lo que el @erdadero @alor de la corriente /1 es la resta de las corrientesA en caso quealgn resultado d+ negati@oA signi,ica que se deberB cambiar el sentido de la corriente. En el casode /A ambas corrientes parciales circulan en el mismo sentido por lo tanto se suman. :or ltimoAla corriente /' se obtiene con la di,erencia de las corrientes /S e /SS A consideraremos en nuestro

caso mayor a esta ltima.

/ 4 /S

/ 4 /S

SS

' '

- /SS

/SS

S/ ' 4 / ' - / '

'e esta ,orma queda completado el cBlculo del m+todo precedente.

R R R

1

11

1



A"-

<

2=52 "4 5 E

. .

<=

". "1

&

"2

E


Método de lÞs €orrientes en lÞsMÞllÞs

En este m+todo se emplea la 2K ley de irchho,, por lo que las mallas necesariamente deben ser cerradas.:ara el anBlisis del m+todo supondremos tener el circuito de la -ig. .l;.

Fig. 5.10.=étodo de lascorrientes enlas %allas.

Como se obser@a es el mismo de la -ig. .lA en el que se indicaron las corrientesA una por malla.

El sentido de circulación elegido es absolutamente arbitrarioA en nuestro caso el horarioA luego se procede a recorrer las mallas para ,ormar una ecuación de la 2K ley de irchho,, por malla. Elsentido del recorrido es tambi+n arbitrarioA pero se deberB respetar el mismo para todas lasmallasA si se determinó recorrer las mallas en sentido horarioA en todas deberB ser as. ;traarbitrariedad es dónde comenFarA se podrB realiFar el recorrido a partir de cualquier punto de la

malla.Como acti@idad pre@iaA se indica en los etremos de cada resistor la polaridad de la cada detensión.

continuación se procede a recorrer la malla 8 a partir del punto C en sentido horario.

Malla / < E1 - /1 7 R 1 - B/1 - / D 7 R ' - /1 7 R 4

;bs+r@ese que sobre la R ' no circula sólo /1 ni tampoco /A sino la di,erencia entre ambas podrahaber sido la suma.

!obre la otra malla se tiene comenFando por /

Malla // < - / 7 R - E - / 7 R 5 - B/ - /1 D 7 R ' 4

#esumiendoA se obtu@ieron dos ecuaciones que poseen dos incógnitasA por lo tanto el sistema esA presumiblementeA compatible y debemos hallar los @alores de /1 e / que satis,agan el mismo.

TE1 - /1 7 R 1 - B/1 - / D 7 R ' - /1 7 R 4

U- / 7 R - E - / 7 R 5 - B/ - /1 D 7 R ' 4

Como paso inicial @amos a quitar los par+ntesis en ambas ecuaciones/

V




TE1 - /1 7 R 1 - /1 7 R ' / 7 R ' - /1 7 R 4 VU- / 7 R K - E - / 7 R 5 - / 7 R ' /1 7 R ' 4

=os t+rminos independientes los que no tienen incógnita se pueden pasar al otro miembro conel signo cambiado/

T- /1 7 R 1 - /1 7 R ' / 7 R ' - /1 7 R 4-E1 VU- / 7 R - / 7 R 5 - / 7 R ' /1 7 R ' 4 E

Memos en la primera ecuación que eisten tres t+rminos que tienen en comn la incógnita /1 y enla segunda ecuación pasa lo mismo con la incógnita /A por lo tanto sacamos ,actor comn enambas epresiones/

T- /1 BR 1 R ' R D / 7 R ' 4-E1 V

U- / 7 BR R 5 R ' D /1 7 R ' 4 E

continuación se debe ordenar el sistema de manera que queden encolumnadas las mismasincógnitas/

T- /1 7 BR 1 R ' R D / 7 R 'V

4 -E1

U/1 7 R ' - / 7 BR R 5 R ' D 4 E

:ara poder resol@er el sistema con mayor ,acilidad se reemplaFarBn los dos par+ntesis por suresistor equi@alenteA que en ambos casos es la suma de los mismos/

R 3 4 R 1 R ' R

R J 4 R R 5 R '

El sistema queda entonces/

T- /1 7 R 3 / 7 R ' 4-E1 VU/1 7 R ' - / 7 R J 4 E

:ara resol@er el sistema se pueden emplear distintos m+todos que nos brinda la matemBticaAnosotros elegimos resol@erlo por el m+todo de CramerA conocido mBs popularmente como

por determinantes. #ecordemos cómo proceder para su resolución.

:rimero se obtiene el discriminanteA que es la matriF ,ormada por los coe,icientes queacompaDan a las incógnitas/

- R 3F 4R '

R'

- R J

4 W- R 3

B-R J

DX- WR '

7 R '

X 4 9999 W? X

=uego se ,orma la matriF de cada incógnitaA reemplaFando a la columna de la misma por lost+rminos independientes/

F/1 -E14E

R '

-

R J

4 W- E1

7 B- R J

DX-

WE

7 R '

X 4 yyyy W> 7 ?X



52 54

<= 5. "4 E. <=

". "1

"2 A "-

E2


:ara hallar el @alor de /1 se debe di@idir el @alor hallado en la ltima matriF sobre el @alor deldiscriminante/

/ 4

F/1

4 yyyyW> 7

?X1

F

9999W?X4 """"W3X

:ara el @alor de / se acta de igual ,orma/

F/ 4- R 3

R'

- E1

E

4 W- R 3 7 E X- WR ' 7 B- E1 DX 4 zzzz W> 7 ?X

/ 4 F/

F4 zzzz W> 7

?X9999 W? X4 mmmm W3X

Con esto se concluye el cBlculo mediante el m+todo de las corrientes en las mallas.

Método porAplicÞción de lÞSegundÞ Ley de8irc77o9

Este m+todo es muy similar al anteriorA pero di,iere en que las corrientes en el circuito se lasindica y denomina por rama y no por malla. !uponemos tener el mismo circuito que analiFamosanteriormente @er la -ig. .ll.

Fig. 5.11. A!licación de la 2da. le de >irco33.

Encontramos en el circuito tres corrientesA /1A / e /'A que son nuestras incógnitas. :lanteamosmediante la 2K ley de irchho,, las ecuacionesA una por mallaA que ,orman el sistema a resol@erA

para lo cualA pre@iamenteA indicamos los sentidos de circulación de las corrientes en ,ormaarbitraria y elegimos un sentido de recorrido de las mallasA en nuestro caso el horario/



Malla / < E1 - /1 7 R 1 - / 7 R ' - /1 7 R 4

Malla // < - / ' 7 R - E - / ' 7 R 5 / 7

R ' 4




El sistema estB ,ormado por dos ecuaciones y tres incógnitasA por lo cual resulta incompatible.'ebido a que las incógnitas estBn relacionadas se cumple la lK ley de irchho,, en el nodo Atenemos/

/1 4 / / ' B1D

Es posibleA entoncesA reemplaFar a /1 por la suma de las otras dosA reduci+ndose las incógnitas ados y de esta ,orma ,acilitar su resolución/

TE1 - B/ / ' D 7 R 1 - / 7 R ' - B/ / ' D 7 R 4 VU- / ' 7 R - E - / ' 7 R 5 / 7 R ' 4

:asamos los t+rminos independientes al otro miembro/

T- B/ / 'D 7 R 1 - / 7 R ' - B/ / 'D 7 R 4 -E1 V

U- /

' 7 R

- /

' 7 R

5 /

7 R

'4 E

Yuitamos los par+ntesis/

T- / 7 R 1 - / ' 7 R 1 - / 7 R ' - / 7 R - / ' 7 R 4 -E1 VU- / ' 7 R - / ' 7 R 5 / 7 R ' 4 E

!acamos ,actor comn en ambos miembros/

T- / 7 BR 1 R R ' D - / ' 7 BR 1 R D 4 -E1

U- / ' 7 BR R 5 D / 7 R ' 4 E

;rdenamos el sistema/ T- / 7 BR 1 R R ' D - / ' 7 BR 1 R D 4 -E1V

U / 7 R ' - / ' 7 BR R 5 D 4 E

partir de aqu se resuel@e de manera anBloga al m+todo anterior.

R 3 4 R 1 R R '

R J 4 R 1 R

R C 4 R R 5

El sistema queda con los reemplaFos obtenidos/

T- / 7 R 3 - / ' 7 R J 4-E1 V

U / 7 R ' - / ' 7 R C 4 E

- R 3F 4R '

- R J- R C

4 W- R 3 7 B- R C

DX- WR '

7 B- R J

DX 4 9999 W? X

F/ 4

- E1

E

-

R C

- R J

4 W- E1 7 B- R J DX- WE 7 B- R C DX 4 yyyy W> 7 ?X

V



$ig> 1>2.> Mtodo de las tensiones en los nodos.


/ 4F/

F

4 yyyy W> 7

?X9999 W? X4 """" W3X

F/ ' 4- R 3

R '

-E1

E

4 W- R 3 7 E X- WR ' 7 B- E1 DX 4 zzzz W> 7 ?X

/ 4F/

'

'F

4 zzzz W> 7

?X9999 W? X4 mmmm W3X

:ara ,inaliFar se debe hallar la tercera corrienteA en este caso /1A para lo cual @ol@emos a utiliFar

la epresión 0l /

/1 4 / / '

Método de lÞs !ensiones en los NodosEn este m+todo se aplica la lK ley de irchho,, para luego hallar las tensiones en los nodos y,inalmente a@eriguar las corrientes en cada rama. !upongamos tener el circuito de la -ig. .l2.

En el mencionado circuito se han indicado los nodos principales con las letras A ( y C.

El m+todo consiste en identi,icar los nodos principalesA elegir un nodo cualquiera que serB lare,erenciaA por lo que lo ponemos a tierra y por ltimo indicar las corrientes de los nodosrestantes como salientes de cada nodo. En nuestro circuito elegimos al nodo C como nodore,erenciaA como se obser@a en la -ig. .l3.

*ambi+n se indicaron las corrientes /1A /A /'A / e /5 salientes de los nodos y (. Cabe preguntarseA Plas corrientes de los nodos y ( son las correctas en cuanto a su sentidoQ. =arespuesta sin dudas es noA ya que contradice a la lK ley de irchho,,A no obstante colocar lascorrientes salientes ,acilita la resolución y el propio cBlculo nos indicarB el sentido correcto de

cada una de ellas.



$ig> 1>24> !odo de referencia.


continuación se aplica la lK ley de irchho,, en cada nodo que no sea re,erenciaA en nuestrocaso los nodos y ( se poda haber tomado otro nodo como re,erencia y de todas ,ormas losresultados no se alteraran/

Nodo 3 < /1 / / ' 4

Nodo J < / ' / / 5 4

hora bienA se puede reemplaFar cada corriente aplicando la ley de ;hm/

/ 4>3 E1

R 1 / 4>3

R

/ 4>3 - >J

R '

/ 4>J -

>3

R '

/ 4>J

R

/ 5 4>J -

ER 5 R

BD

lgunas aclaraciones/

D >3 y >J son las tensiones en los nodos con respecto a tierraA es decir con respecto al nodoC y constituyen las incógnitas del problema.

D =a corriente /' tiene dos epresiones con sentidos distintosA al concluir los cBlculosobtendremos el @erdadero sentido de circulación.

continuación ,ormamos el sistema de ecuaciones de los nodos y (/T >3 E1 >3 >3 - >J

4 Y 1 R R 'V

Y >J - >3> > - E

J J 4 YU R '

!eparamos en t+rminosA quedando/

R R 5 R

T >3Y R E1R

>3R

>3R

->J 4 R

Y 1 1 ' 'V

Y >J ->3

>J >J -

E 4 YU R ' R ' R R 5 R R 5 R

1 '

K

'

R Y



2" 4

2"+

2" 4

2"+


los t+rminos independientesA se los puede pasar al otro miembro cambiados de signoAquedando/

T >3Y R 1

V >3

R

>3

R

'

->J

R

'

4 -

E1

R 1

Y >J ->3

YU R ' R '

> J

R

>J

R 5 R

4E

R 5 R

En ambas epresiones hay t+rminos comunesA por lo que se puede sacar ,actor comnA quedando/

T Z 1 1 1 [ > E

Y>3 7 \\ ]] -J

4 -1

YVY >3^R 1

R R '

_Z 1 1

R ' R 11 [ E

Y- >J 7 \\U ' ^ '

R R

5

]]4

R _ 5

R

Como paso pre@io resol@eremos ambos par+ntesisA para obtener un resistor equi@alente/

1 4 1 1 1

R 31 4

R 1 R R '

1 1 1

R J R ' R R R

Emplearemos la regla de Cramer para la resolución del sistema/

1F 4

R 3-

4` 1

1 a ` 1 Z 7 - - 7 -1 [ 9999

` 1

b

-

1 c R 3

R '

d bJ c R

'

\\ ]] d 4 d

^ ' _ e c e

cto seguido ,ormamos la matriF de la incógnita >3/

F> 4-

E1-

R 1

` E4 -1 7

1 a ` E-

a ` > a4 yyyy

3E

bR R

d b

R R

d b?

c 1

R 5 R

yyyy

` >

J c 5 c

b d

> 4F>3 4

? 4 """" W>XF

9999` 1

d c e

Y

R R R

b?

R R

3

b?




ctuamos de igual modo para la incógnita >J:

1-

E1 `

a ` Z [a

R F> 43 R 1

41

7E

1 E ` > a- b- 7 \ - 1 ] d 4 zzzzJ

1 E bR R R

d R \ R ] b?

- c 3

R ' R 5 R

zzzz` >

5 c ' ^ 1 _ e c e

b d

> 4F>J 4 c ? e 4 mmmm W>XF

9999` 1

d c e

Como ltimo paso se deberBn reemplaFar los @alores de >3 y >J en las epresiones BD paraobtener las distintas corrientes. =a corriente /' serB aqu+lla cuyo @alor es de signo positi@o ytendrB el sentido en consecuencia.

J

b?



Capítulo 6

!eoremÞsenerÞles de los

€ircuitos

5ntroducción pesar que ya contamos con @arias herramientas para el anBlisis de circuitosA es necesario enciertos casos la aplicación de teoremas que permiten ,acilitar su resolución. 'entro de los mBsutiliFados se tienen/ Con@ersiones de -uentesA :uente de 6heatstoneA *eorema de *he@eninA*eorema de <ortonA *eorema de #eciprocidadA *eorema de !ustituciónA *eorema de la 9Bima*rans,erencia de :otencia y *eorema de 9illman.

€on)ersiones de $uentesComo ya se mencionó en captulos anterioresA las ,uentes ideales sólo eisten en la imaginaciónAya que todas poseen resistencia interna. En este apartado se eplica cómo trans,ormar una ,uentede tensión real en una ,uente de corriente y @ice@ersa.

=os circuitos serBn equi@alente sólo a partir de sus bornes eternos. !upongamos tener una,uente real de tensión que alimenta una carga R C como muestra la -ig. $.l.

En el mismo se puede calcular la corriente que circula/

Fig. 6.1.@uente detensión real.

/ 4E

R i R C

!i multiplicamos ambos miembros por R i 4 1 A tenemos/

R i



Ω I " #i

$i

"2 ".

52 5.

<=

"4"(

E


R i 7 /

4

R i 7

E R i< /4

ER i 7

i

< /4

R i 7 /

i; 0ero / 7 R 4 E

R i R i R C R i R C R i R C

'os aclaraciones/ en el segundo miembro se tomó el l como R i R i y la ltima epresióncoincide con el concepto de di@isor de tensión @isto en el Captulo A con ello se concluye que es

posible con@ertir una ,uente de tensión en una de corriente y @ice@ersaA haciendo/

E/ i 4

i

o =ie" E 4 / i 7 R i

=os circuitos con@ertidos se @en en la -ig. $.2.

Fig. 6.2. Conersión de 3uente de tensión real a 3uente de corriente real.

Puente de O7eÞtstoneGna de las aplicaciones de este circuito es para hallar el @alor de un resistor desconocido R9. Elcircuito de la -ig. $.3 muestra el puente en donde se tiene una ,uente de tensiónA dos resistores,iJosA un potenciómetro y un gal@anómetro.

Fig. 6.3. Puente de eatstone.

R i i

R



Capítulo + – ,eore!as enerales de los Circuitos 69

El ,uncionamiento es el siguiente/ una @eF armado el puente casi con seguridad el gal@anómetroindicarB un @alor determinado de corriente. Con el potenciómetro se aJusta hasta que no acuse

paso de corriente.

l estar los dos puntos y ( a igual potencial no eiste circulación de corriente entre ellos y sedice que el puente estB en equilibrioA se cumple entonces la igualdad/

/1 7 R 1 4 / 7

R

tam=i&" < /1 7 R ' 4 / 7 R

'i@idiendo ambasA @emos que las corrientes se cancelanA obteni+ndose la relación de resistenciascomo sigue/

/1 7 R 1 4/ 7 R

/1 7 R ' / 7 R

R 1 4 R R ' R

R 1 7 R 4 R 7 R '

=uegoA con un simple despeJeA se obtiene la resistencia incógnita/

R 4R 7

R ' R 1

!eoremÞ de !7e)eninEste teorema permite realiFar con ,acilidad el cBlculo en redes compleJasA ya que su aplicaciónreduce la red a una sola ,uente de tensión en serie con un solo resistor.

!u aplicación se realiFa eclusi@amente entre dos puntos cualquiera del circuito. !upongamostener el circuito de la -ig. $..

Fig. 6.4.

*eore%a de*eenin.

!e aplicarB el teorema entre los puntos y (. ]sta tiene dos pasosA primero se calcula laresistencia @ista desde los puntos y (A dicha resistencia serB la de *he@eninA luego se calcula latensión entre los puntos y (A dicha tensión serB la de *he@enin.

€Þlculo de lÞ "!7

:ara obtener la resistencia de *he@enin se deben pasi@ar todas las ,uentes quedando el circuitocomo se muestra en la -ig. $.A en este caso consideramos a las ,uentes E1 y E como ideales.




Fig. 6.5.C/lculo dela 4*.

!e obtiene la resistencia equi@alente de la rama compuesta por R 1 y R /

R 3 4 R 1 R

continuación R 3 y R ' estBn en paraleloA resol@iendo nos queda/

R 4R 3 7 R '

:or ltimoA se obtieneR ,h:

R 3 R '

€Þlculo de

lÞ *!7

R ,h 4 R J R

!e considera nue@amente el circuito original de la -ig. $.1A sobre el mismo eiste una solacorriente en la nica malla. !u cBlculo se realiFa como sigue/

/ 4E

1

R 1 R R '

=a corriente hallada produce una cada de tensión sobre R 'A cuya polaridad se @e en el circuito dela -ig. $.$.

Fig. 6.6.C/lculo dela ;*.

=a tensión entre los puntos y ( >,h serB la suma de la cada de tensión sobre R ' y la tensión

de la ,uente E se supuso mayor a >R '/

>,h 4 >R ' E

J



Ω

$ig> >@> %eore&a de !orton.


El circuito equi@alente queda como lo muestra la -ig. $.7.

Fig. 6.7. Circuito e<uialente.

!eoremÞ de NortonEn ,orma anBloga al *eorema de *he@eninA eiste la posibilidad de aplicar entre dos puntos deun circuito el *eorema de <ortonA que nos permite reemplaFar al circuito dado por suequi@alenteA compuesto por una ,uente de corriente en paralelo con un resistor.

Como en el caso anteriorA primero se calcula R NA para lo cual se procede de igual ,orma yademBsA para un mismo circuitoA nos da el mismo @alor que R ,h!

R N 4 R ,h

=uegoA se procede a calcular la corriente entre los puntos y (A para lo cual se unen amboscon un conductorA en de,initi@a estamos calculando la corriente sobre el conductor que serB /NA

el circuito de la -ig. $.% muestra lo eplicado.

:ara calcular /N primero se resol@erB el circuito por alguno de los m+todos eplicados en elCaptulo A en este caso se muestra la resolución mediante el m+todo de las tensiones en losnodos haciendo que el nodo ' sea la re,erenciaA es decir la tierra. !e indican las corrientessalientes del nodo CA como lo muestra la -ig. $.4.



Ω


En el nodo C se cumple la lK ley de irchho,,.

/1 / /N 4

#eemplaFando mediante la ley de ;hmA nos queda/

Fig. 6.9.

C/lculo de I&.

>C - E1

R 1 R

> > - E C C 4 R ' R

B1D

'onde se operarB para despeJar >CA que es nuestra incógnita.

>C -E1

> > E C C

- 4

R 1 R

>C

R 1 R > >

C

C

R '

4

E

R R

E1

R 1 R R ' R R R 1 R

>Z 1 1 1 [ E E

4 1

C 7 \\^ R 1 R

]]R ' _ R

R 1 R

>C 4

E R 1

E1

R 1 R 1 1

4 9999 W>X

R 1 R R ' R

#eemplaFando en el tercer t+rmino de la epresión B1DA se tiene /N.

El circuito equi@alente queda como lo muestra el circuito de la -ig. $.l;.

Fig. 6.10. Circuito e<uialente.

R




"elÞción entre los!eoremÞs de !7e)enin y

NortonComo es de esperarA la relación de ambos teoremas es a tra@+s de la ley de ;hmA ya queconociendo los datos de la aplicación de un teorema se puede hallar los datos del otro.

!upongamos que sobre un circuito dado se aplicó el *eorema de *he@enin entre dos puntosAobteni+ndose >,h y R ,hA con esto se puede hallar /N y R N!

>/ 4 ,h

R ,hR ,h 4 R N

'e igual ,orma si se tienen los datos de /N y R NA se puede hallar ,Bcilmente el @alor de >,h.

>,h 4 /N 7 R N

!eoremÞ de"eciprocidÞd

R N 4 R ,h

Este teorema se aplica eclusi@amente a circuitos que posean ,uente nica y consiste en elreemplaFo entre una corriente en una ramaA entre dos puntosA por la tensión de la ,uente entredichos puntosA sin que eistan cambios en la corriente medidaA que aparecerB en el lugar dondese encontraba originalmente la ,uente.

:ara comprender meJor lo eplicado consideremos el circuito de la -ig. $.ll.

Fig. 6.11.*eore%a de4eci!rocidad6!ri%er !aso9.

!e ha obtenido la corriente / que circula entre los puntos y (A el teorema dice que se puede

reemplaFar la ,uente de tensión E , ubicada entre los puntos C y 'A colocBndola entre los puntos y (A apareciendo la misma corriente / entre los puntos C y '.

Yuedando el circuito como lo muestra la -ig. $.l2.

Fig. 6.12.*eore%a de4eci!rocidad6seundo !aso9.

N




!eoremÞ de Sustitución

Este teorema es de aplicación a cualquier circuito de corriente continua y dice que si se conocenla corriente y la tensión en cualquier rama del circuitoA se puede sustituir dicha rama por

cualquier combinación de elementos que mantengan la misma tensión y la misma corriente quela dada.

=a -ig. $.l3 ayudarB a la comprensión del teorema.

Fig. 6.13.*eore%a de

sustitución.

En la rama aDA entre los puntos y (A se tiene una ,uente de tensión de $ MA y circula unacorriente de 3 . Esta rama se puede sustituirA por las combinaciones mostradas en =DA cD y dDAsin que se produFcan alteraciones en los datos originales.

!eoremÞ de lÞMÞ(imÞ!rÞnserenciÞ dePotenciÞ

Este teorema estB relacionado con el teorema de *he@eninA ya que dice que una carga recibirBuna potencia mBima cuando su @alor resisti@o sea eactamente igual a la resistencia de*he@enin del circuitoA de acuerdo a la ,orma cómo la @e la carga.

En el circuito de la -ig. $.l la mBima trans,erencia de potencia sobre la carga R C ocurrirB

cuando/

M89ima tra"sfere"cia de 0ote"cia < R ,h 4 R C

Fig. 6.14.*eore%a de la%/$i%a trans3erenciade !otencia en una3uente de tensión real.

*ambi+n en el caso de haber aplicado el teorema de <orton @er la -ig. $.lA eistirB mBimatrans,erencia de potencia sobre la carga cuando/

R N 4 R C



A

". "4

<<E2E.

==

<E4

=+

"2

"&

25.

"2

25 4

".

2" 4

A

5 2E

2"

"&

2

+


Fig. 6.15.*eore%a de la%/$i%a trans3erenciade !otencia en

una 3uente decorriente real.

!eoremÞ de MillmÞn

=a aplicación de este teorema permite la reducción a una sola ,uente de tensiónA de un nmerocualesquiera de ,uentes de tensión en paralelo. En el circuito de la -ig. $.l$ se obser@an tres,uentes de tensión en paralelo que alimentan una carga R C.

=a aplicación del teorema nos ahorra la tarea de realiFar el cBlculo mediante alguno de losm+todos @istos en el Captulo .

Fig. 6.16.*eore%a de =ill%ancon 3uentes de tensión.

!u aplicación la desarrollaremos en tres pasos/

Paso #!e deben con@ertir todas las ,uentes de tensión en ,uentes de corrienteA como se eplicó al iniciodel presente captuloA quedando el circuito como se @e en la -ig. $.l7.

Fig. 6.17.*eore%a de=ill%an con3uentes decorriente.

Paso $!e deben combinar las ,uentes de corriente para dar una ,uente nica con un resistor en paraleloAcomo se muestra en la -ig. $. l%.




!iendo los @alores de /, y de R , /

Paso%

/, 4 /1 /

/'

y R , 41

1

1

1R 1 R R '

!e debe con@ertir la ,uente de corriente en una nica ,uente de tensión con un resistor en serieA

como se muestra en el circuito de la -ig. $.l4.

El @alor de la ,uente serB/Ee 4 /, 7

R ,o =ie"

Ee

Yuedando el circuito de la -ig. $.2;.

gE1

4 R 11

R 1

gE g

E'

R

R'

1

1

R R '



"2 ". "4

E2<= E.

<= E4

<=

"!

Ee<=

A A

"& Ω "&

+ +


Fig. 6.20. Circuito e<uialente 3inal.



L:ne's de QuRoSección '

L' mism' Cre'Sección b S N

Capítulo 7

€ircuitos MÞgnéticos

5ntroducción!on muy pocos los dispositi@os el+ctricos en los cuales no estB presente el ,enómenoelectromagn+tico y que permiten la utilidad del mismoA como ser/ generadoresA motoresAtrans,ormadoresA tele@isoresA computadorasA sensoresA tel+,onosA etc.

En l%2; el ,sico dan+s ;ersted descubrió que la aguJa de una brJula se des@iaba cuando estabaen las proimidades de un conductor con corriente el+ctricaA a partir de esto y con el aporte degrandes ,sicos del momento como -aradayA mpereA >aussA 9aellA entre otrosA se produJo una@ance muy importante de descubrimientos y conceptos que hoy en da los @emos aplicados eninnumerables dispositi@os el+ctricos o electrónicos.

Con el desarrollo del captulo se @erB la gran similitud entre los circuitos el+ctricos y magn+ticosAa tal punto que la ley de ;hm es aplicable en ,orma anBloga que en los circuitos @istos hasta elmomento.

El €Þmpo MÞgnético

En las cercanas de un imBn permanente aparecen ,enómenos y en dicha Fona se dice que hay uncampo magn+tico que se representa mediante lneas de ,luJoA cuyo sentido es del polo norte delimBn haca el polo sur.

Es de hacer notar la similitud con las lneas de ,luJo el+ctricoA aunque di,ieren en que estasltimas tienen un punto de inicio o ,inalA mientras que las del campo magn+tico son continuasA,ormando anillos sin principio ni ,inalA su representación se @e en la -ig. 7.l.

Fig. 7.1.istriución

del 3luo enun i%/n!er%anente.

l ,luJo magn+tico se lo representa con la letra griega phi. !i el material del imBn eshomog+neoA las lneas de ,luJo serBn sim+tricas ,uera del materialA y mantendrBn un espaciadoequitati@o dentro del ncleo. ;tra caracterstica de las lneas de ,luJoA es que la densidad de ,luJoo sea la cantidad de lneas que atra@iesan una super,icie determinada aumenta en ,ormain@ersamente proporcional al recorrido que e,ectan entre los polos. Es decirA cuanto mBs cerca



'

N S N S

SNNS


es la distancia a recorrer entre los polosA mayor es la densidad de ,luJoA buscando de recorrer elcamino mBs corto entre los polos @er la -ig. 7.2.

Fig. 7.2.istriución del 3luo!ara dos !olosadacentes o!uestos.

;tra particularidadA consiste en la ,uerFa del campo magn+ticoA que es directamente proporcionala la densidad de las lneas de ,luJo en la sección considerada. Esto se aprecia en la -ig. 7.l en

donde la sección = posee el doble de ,uerFa que la sección aA ya que en la primera eiste el doblede lneas de ,luJo. l acercarse los polos iguales de dos imanesA tienden a separarse ya que serepelenA esto se obser@a en la -ig. 7.3.

Fig. 7.3.istriución del 3luo!ara dos !olos iualesadacentes.

!i se realiFa la eperiencia de colocar un material no magn+tico como @idrio o madera en la Fonade las lneas de ,luJoA se comprobarB que dichas lneas prBcticamente no su,ren alteraciones en sudistribución.

Fig. 7.4.esiación de lasl+neas de 3luo !or %ateriales3erro%anéticos.

:or otro ladoA si el material que inter,iere a las lneas de ,luJo ,uese magn+ticoA como poreJemplo hierro dulceA las lneas de ,uerFa pasarBn por el hierroA ya que le resulta mBs ,Bcil



&onductor

5

L:ne's de QuRo m'gnético

Capítulo . – Circuitos )a'néticos 81

hacerlo que por el aire. Esta caracterstica se utiliFa para la protección contra campos magn+ticosindeseables que puedan a,ectar a instrumentos sensiblesA como se obser@a en la -ig. 7..

"eglÞ de lÞ MÞno Derec7Þ

En todo conductor por el cual circula una corriente el+ctricaA aparece un campo magn+tico quetiene sus lneas de ,luJo segn la regla de la mano derechaA la misma consiste en hacer coincidir el dedo pulgar de la mano derecha con la dirección de la corrienteA el resto de los dedos indicanla dirección de las lneas de ,luJo y serBn anillos conc+ntricos perpendiculares al conductorAcomo se @e en la -ig. 7..

Fig. 7.5.4ela de la%ano dereca.

!i el conductor es enrollado en una bobina de una sola @ueltaA las lneas de ,luJo en el centro dela espira tendrBn una sola direcciónA como se obser@a en la -ig. 7.$.

Fig. 7.6.@luo en unaoina de

una es!ira.

!i al conductor se lo enrolla de manera que tiene mBs de una espiraA entonces las lneas de ,uerFatendrBn una trayectoria continua a tra@+s y alrededor de la bobinaA como lo indica la -ig. 7.7.

=a distribución de las lneas de ,uerFa en una bobina nos recuerda a un imBn permanenteA yaque se producen dichas lneas saliendo del polo norte de la bobina e ingresando por el polo sur.

Cod!c"o#

$%&a' d& (l!)o mag*"ico




=a di,erencia con un imBn permanente es que la ,uerFa del campo de una bobina con ncleo deaire es menor que la de otra de iguales dimensionesA pero de ncleo de material ,erromagn+ticoA

por tener la de aire menor densidad de lneas de ,luJo. :ara aumentar esa ,uerFa se utiliFan como

ncleo de la bobina estos materiales ,erromagn+ticos/ hierroA aceroA cobaltoA nquelA etc.

Fig. 7.7.istriución del 3luoen una oina.

!i a una barra de acero le enrollamos un conductor ,ormando una bobina y hacemos circularcorriente por la mismaA hemos ,abricado un electroimBnA que posee similares caractersticas que unimBn permanente con la posibilidad de @ariar su intensidad de campo modi,icando algunos

parBmetrosA como ser la corriente o el nmero de @ueltasA este dispositi@o se @isualiFa en la -ig.7.%.

Fig. 7.8.)lectroi%/n.

:ara determinar la dirección de las lneas de ,luJo en el electroimBnA se colocan los dedos de la

mano derecha abraFando a la bobina con los dedos en la dirección de circulación de la corrienteAen esas condiciones el pulgar etendido de la mano derecha indica la dirección del polo norte yla dirección del ,luJo magn+tico del campoA como se obser@a en la -ig. 7.4.



F

F


Fig. 7.9.eter%inación dela dirección del 3luoen un electroi%/n.

En ,orma con@encionalA la representación de la circulación de la corriente en una bobina serealiFa a tra@+s de un corte longitudinal de la misma en donde se obser@an cruces y puntosA las

primeras indican la corriente entrante en el plano del dibuJo y los puntos la corriente saliente del planoA esto se muestra en la -ig. 7.l;.

Fig. 7.10.&otación de lasl+neas de 3luo.

DensidÞd de $lu%o

=a densidad de ,luJo J se la de,ine como la cantidad de lneas de ,luJo por unidad de Brea. En elsistema +/A el ,luJo se mide en 6eber 6bA el Brea en m^ y la densidad J en *esla */

J 4!

3< J < W,X

< ! < W?=X< 3 < Wm X

En la -ig. 7.ll se @e en ,orma esquemBtica la representación de la epresión indicadaanteriormente.

Fig. 7.11.)s<ue%a de ladensidadde 3luo B.

PermeÞbilidÞd MÞgnéticÞnteriormente se mencionó la con@eniencia de utiliFar ncleos en las bobinas para ele@ar la,uerFa del campoA estos materiales que componen los ncleos permiten la mayor o menorcantidad de lneas de ,luJo que los atra@iesa y con ello la @ariación de la ,uerFaA de,ini+ndose

como permeabilidad a la ,acilidad con que un material establece lneas de ,luJo en +l.




=a permeabilidad en el @aco es/ m 4 K 7 0 7 1-

7 ` ?= d

c 3 7 m

=os materiales no magn+ticos como el aireA maderaA aluminioA cristalA cobre y papelA tienen una permeabilidadA a los e,ectos prBcticosA como la del @aco.

=os materiales que poseen una permeabilidad le@emente in,erior a la del @aco se los llamadiamagn+ticosA qui+nes tienen una permeabilidad le@emente superior a la del @aco se losdenomina paramagn+ticos.

=os materiales que mBs interesan para el uso como ncleos de bobinas son los denominados,erromagn+ticos como el aceroA hierroA cobaltoA nquel y aleaciones de +stosA que poseen una

permeabilidad ciento de @eces superior a la del @aco.

Gna indicación de la relación entre la permeabilidad del material y la del @aco es la denominada permeabilidad relati@a.

m 4m

r

:ara los materiales ,erromagn+ticos el @alor demr

"eluctÞnciÞ

es mayor a l;;.

En ,orma anBloga a los circuitos el+ctricos en donde se tiene la resisti@idad de un materialA en loscircuitos magn+ticos tambi+n eisten las resistencias al paso de las lneas de ,uerFa a tra@+s delmaterialA denominada reluctancia.

=a epresión que permite calcular su @alor es/

4l

m 7 3

do"de : se mide e"3t

?=

3t < 3m0er - @ueltal < lo"$itud de la

trayectoria 3 < 8rea

tra"s@ersal

!e obser@a en la epresión anterior que de igual ,orma que en la resisti@idadA lareluctancia es in@ersamente proporcional al Brea y directamente proporcional a lalongitudA sin embargo no ocurre lo mismo con la permeabilidadA ya que tambi+n esin@ersamente proporcionalA mientras que en la resistenciaA r a,ecta a la epresión en,orma directamente proporcional.

b

m



F


LÞ Ley de 67m en €ircuitosMÞgnéticos

:ara la aplicación de la ley de ;hm se deben conocer tres ,actores/ e,ectoA causa y oposición.Hemos @isto hasta ahora dos de ellos/ el e,ectoA intensidad de ,luJo magn+tico y la oposiciónA lareluctancia.

El tercer elemento es la causaA la ,uerFa magnetomotriFA la cual genera que las lneas de ,luJo pasen por dentro del material.

=a ,uerFa magnetomotriF es proporcional al producto del nmero de @ueltas de una bobinaalrededor del ncleo y la corriente que pasa por el alambreA como se obser@a en la -ig. 7.l2.

En ,orma de epresión matemBtica tenemos/

fmm 4 N 7 / W3tX Bam0er - @ueltasD

Fig. 7.12.Co%!onentes deuna 3uer8a electro%otri8.

hora estamos en condiciones de epresar la ley de ;hm para circuitos magn+ticos como sigue/

! 4 /"te"sidad de !lu#o 4

Z !uerza ma$"etomotriz [I

\Relucta"cia

]

^ _

$uerzÞ MÞgnetizÞdorÞ=a ,uerFa magnetiFadora es la ,uerFa magnetomotriF por unidad de longitudA y su epresiónmatemBtica es/

4fmm

l

=a unidad de medida es el amper"@uelta&metro. !ustituyendo la ,mm por su reemplaFo se tiene/

4N 7 /

W3t mXl

Gn hecho para resaltar consiste en que la ,uerFa magnetiFadora no depende del material delncleo sino del nmero de @ueltasA de la corriente y de la longitud media del ncleoA comose muestra en la -ig. 7.l3.



5

5Longitud

medi'

F

+ /!0

2,@Acerol'min'do

2,

2,-

Acero undido

2,.

2,3

3,@

ierro undido3,

3,-

3,.43333G33 2.33 2133 2@33 .233 .-33 .?33 4333 4433 433 4G33 -.33 -133

/AtTm0


Fig. 7.13.)s<ue%a deun circuito%anético.

Eiste una relación entre la densidad del ,luJo y la ,uerFa magnetiFadora a tra@+s de la permeabilidad/

LÞistéresis

J 4 m 7

=a relación entre la densidad de ,luJo J y la ,uerFa magnetiFadora es de suma importancia enel diseDo de muchas aplicaciones y es por ello que los ,abricantes de materiales magn+ticos

publican la cur@a de J en ,unción de A como se muestra en el grB,ico de la -ig. 7.l.

Fig. 7.14. Cura de %aneti8ación.

=a cur@a caracterstica de cada material se denomina ciclo de histéresisA y se obtiene como sigue/supongamos tener una bobina con un ncleo de hierroA como se @e en la -ig. 7.l.



F

Sección

5

ierro


Fig. 7.15.

Circuito%anético.

Consideramos inicialmente al ncleo desmagnetiFado y la corriente igual a cero. continuaciónincrementamos la corriente a algn @alor dadoA obteni+ndose un incremento de la ,uerFamagnetiFadora hasta por eJemplo el punto aA como se aprecia en el grB,ico de la -ig. 7.l$.

!i se continua incrementando la corrienteA se sigue aumentando la ,uerFa magnetiFadora hasta

llegar al punto =A en donde se ha alcanFado la saturaciónA y a pesar de seguir incrementando lacorrienteA no se obtiene un aumento signi,icati@o de J.

Fig. 7.16.Cura deistéresis,inicio de la%aneti8ación.

!i se reduce a cero la corriente tambi+n lo haceA en consecuenciaA la ,uerFa magnetiFadora y lacur@a seguirB una trayectoria haca cA como lo muestra el grB,ico de la -ig. 7.l7.

Fig. 7.17.Cura deistéresis,%anetis%oresidual.



+/!0

b S'tur'ción

+ c"

=S=d

d /N5Tl0S

+"

S'tur'cióne


En el punto c aparece una intensidad de ,luJo residual JR A que es la densidad de ,luJo que permanece cuando desaparece la ,uerFa magnetiFadoraA quedando magnetiFado el ncleo.

Fig. 7.18.Cura deistéresis,3uer8acoercitia.

!i a partir de c se in@ierte el sentido de la corriente en la bobinaA se obtiene una ,uerFamagnetiFadora *A la densidad de ,luJo J disminuirBA al aumentar la corrienteA hasta llegar a ceroen dA como se obser@a en la -ig. 7.l%.

=a ,uerFa necesaria para que la densidad de ,luJo sea cero se denomina fuer?a coerciti5a y esgenerada por *d. !i se contina incrementando *A llegarB hasta otro punto de saturación en e.!i nue@amente in@ertimos el sentido de circulación de la corrienteA comenFarB un incremento deJ hasta el punto f A de continuar su aumento se llegarB nue@amente al punto =.

!e obtiene de esta ,orma un ciclo determinado por los puntos =-c-d-e-f-=A denominado ciclo dehist+resisA como se obser@a en ,orma completa en la -ig. 7.l4.

Fig. 7.19.Cura de

istéresisco%!leta.



ierroundido

'

5

bN

cAceroundido

Acerol'min'do


Ley de AmpereEn ,orma anBloga a lo que sucede en los circuitos el+ctricos con respecto a la segunda ley deirchho,,A en los circuitos magn+ticos se cumple que/

j 4 donde es la ,mm.

'icha epresión se la conoce como la ley de mpereA siendo su enunciado el siguiente/

$a suma algebraica de las subidas y caídas de la fuer*a magnetomotri* en

un ciclo cerrado de un circuito magn'tico es igual a cero.

Esto es cierto si los circuitos magn+ticos son cerrados y plantea que la suma algebraica de las,uerFas magnetomotrices ,mm es igual a cero.

plicada esta ley a los circuitos magn+ticos queda epresada/

4 N 7 /

=a epresión equi@alente a la ley de ;hm en circuitos magn+ticos queda epresada como sigue/

4 !7I

'onde ! es el ,luJo que pasa por una sección del circuito magn+tico y I la reluctancia de esasección.Es poco usual realiFar el cBlculo de la reluctancia y se emplea una relación mucho mBs prBctica

para hallar la ,mmA esto es/

4 7 l

W3tX'onde es la ,mmA es la ,uerFa magnetiFadora en una sección y l es la longitud en mAde dicha sección.

Como eJemplo de aplicación se obser@a el circuito magn+tico de la -ig. 7.2;.

Fig. 7.20. A!licación

de la lede A%!ere.

'ebido a que el circuito magn+tico estB construido con distintos materialesA la aplicación de laley de mpere serB/

j 4

N 7 / - a= 7 la= - =c 7 l=c - ca 7 lca 4




'onde/N7 / _ subida de ,mm

a= la=; =c l=c y ca lca k ca%das de fmm

El circuito el+ctrico anBlogo se obser@a en la -ig. 7.21.

Fig. 7.21.Circuito eléctricoan/loo.



&onductor

F

N S

Mo)imiento

Capítulo 8

5nductores

5ntroducción

=os inductores son los elementos de un circuito que permiten inducir una di,erencia de potencialcuando la corriente cambiaA esta particularidad se la conoce como autoinductancia o mBs

sencillamente como inductancia. :ara conocer mBs en detalle sus aplicaciones es necesariore@isar algunos conceptos.

Ley de $ÞrÞdÞy

!i se tiene un campo magn+tico ,ormado por dos imanes con sus polos opuestos en,rentados yen sus inmediaciones un conductorA si +ste se mue@e cortando las lneas de ,luJo aparecerB en elconductor una di,erencia de potencialA como se muestra en la -ig. %.l.

Fig. 8.1.*ensión inducida.

Cuanto mayor sea el nmero de lneas cortadas en la unidad de tiempo o mayor sea la ,uerFa delcampoA mayor serB la di,erencia de potencial inducida en el conductor.

!i deJamos quieto al conductor y el que se mue@e es el campo magn+tico el e,ecto es el mismo.

El ,sico ingl+s 9ichael -araday estudió este ,enómeno y determinó el comportamiento delcampo mang+tico que es atra@esado por un conductor.

:odemos enunciar la ley de -araday como/

$a fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapide*

de cambio del flujo magn'tico a trav's del circuito.




En ,orma matemBtica se puede epresar como sigue/

e 4 N 7d! W>X

dt!iendo e la tensión inducida en @oltA N el nmero de espiras de la bobina y ddt la rapideF conque la bobina corta las lneas de ,luJo.

Ley de Lenz

El ,sico alemBn Heinrich -riedrich =enF estudió una de las propiedades que tienen los circuitosel+ctricos de oponerse a las @ariaciones de corrienteA y enunció la ley que lle@a su nombre y quedice/

$a tensi%n inducida tiene un sentido que tiende a oponerse a la causa que

la produce.El ,luJo magn+tico que enlaFa a una bobina se obser@a en la -ig. %.2.

Fig. 8.2.De de Den8.

!i se aumenta la magnitud de la corrienteA se incrementa el ,luJo que enlaFa a la bobinaA pero la@ariación de este ,luJo al atra@esar la bobinaA produce sobre +sta una tensión. =a polaridad deesta tensión inducida produce una corriente en la bobinaA que se opondrB a la corrienteinicialmente aplicada. 'icho de otra ,ormaA la tensión inducida es e,ecto de la corriente crecientea tra@+s de la bobinaA no obstante dicha tensión tenderB a generar una corriente que se opondrB alcambio creciente en la corriente a tra@+s de la bobina.

Este proceso se produce simultBneamenteA en el momento que empieFa a aumentar la magnitudde la corrienteA aparecerB un e,ecto opuesto que tiende a limitar el cambio.

5nductÞnciÞ

Es la capacidad que posee una bobina de oponerse a cualquier cambio en la corrienteA su smboloes L y se mide en Henry H.

El inductor es el elemento ,sico que permite introducir una determinada inductancia en un

circuitoA y no es otra cosa que una bobina que puede tener di,erentes dimensiones.



Capítulo / – Inductores 93

=a @ariación de la inductancia estB ntimamente relacionada con las propiedades magn+ticas dela bobina. !e suelen emplear materiales ,erromagn+ticos como ncleo para aumentar el ,luJo queenlaFa a la bobina.

:ara obtener la inductancia de bobinas como las mostradas en la -ig. %.3 se aplica la siguienteepresión/

Fig. 8.3.Inductancia.

En donde/

N2 7 m 7 3L 4

l

1

N< "mero de @ueltas m< 0ermea=ilidad del "cleo3< 8rea del "cleo BmD l < lo"$itud media del "cleo BmD

Cabe recordar que m no es una constanteA sino que depende del material con que se ,abricael ncleo. :odemos determinar su @alor sabiendo los @alores de J y A utiliFando lasiguiente ,órmula/

m 4J

!e suelen re,erir los @alores de m de los di,erentes elementos en ,unción de la permeabilidad delaire m2A de,ini+ndose entonces lo que llamamos permeailidad relati5a de cada elementoA dela siguiente ,orma/

m 4 mr 7 m

!i se reemplaFa m ` mr N m0. dentro de la ecuación 1 nos queda/

N 7 m 7 m 7 3 N 7 m 7 3L 4 r

l L 4 m 7

O L 4 m 7Llr

'onde 62 es la inductancia de la bobina con ncleo de aire.

!ipos de 5nductores

=os inductores reales no sólo poseen una determinada inductanciaA sino que ademBs tienenasociados una resistencia por las @ueltas de alambre y una capacitancia entre los arrollamientosde la bobina.

El circuito equi@alente se obser@a en la -ig. %..

W X

r




Fig. 8.4.Circuito

e<uialente.

'ebido a que la capacitancia parBsita es muy pequeDaA se la puede ignorar en el circuitoequi@alenteA quedando la resistencia y la inductancia. =a simbologa de estos elementos es la quese obser@a en la -ig. %..

Fig. 8.5.S+%olos deinductores.

=os inductores se clasi,ican en ,iJos y @ariables. =os @ariables permiten el aJuste de lainductancia a tra@+s de un ncleo ,erromagn+tico desliFable. En la -ig. %.$ se obser@an algunostipos de inductores.

Fig. 8.6.istintos ti!osde inductores.

=os @alores estBndar de los inductores emplean los mismos multiplicadores num+ricos que losresistores. En la *abla %.l se obser@an los @alores estBndar que se pueden encontrar en elmercado.

Tabla 8.1. ;alores est/ndar de los inductores.

En la pBgina de Editorial H!A &&&.hasa.com.arA en el botón Do=nloads>*oft <ratisA podrBdescargar el archi@o choquesimpedancias!?ipA para determinar el @alor de los inductores.

:ara poder realiFar un reconocimiento de los inductores se presentan los esquemas de losdistintos tipos y sus aplicaciones mBs usualesA esto se puede obser@ar en la -ig. %.7.

m m

;Al ;A33 l 3A3 l;

;Al2 ;A34 lA2 3A4l2

;Al ;A7 lA A7 l1

;Al% ;A$ lA% A$ l%

;A22 ;A$% 2A2 $A% 22

;A27 ;A%2 2A7 %A2 27








4 L 7di

( dt W>X

=o cual nos indica que la tensión inducida tiene relación directa con la inductancia y la @ariacióninstantBnea de la corriente a tra@+s de la bobina. *ambi+n podemos concluir que la tensióninducida aumentarB con la @elocidad del cambio de la corriente sobre la bobina.

5nductores en Serie

=os inductores se los puede asociar en serieA obteni+ndose un @alor equi@alente mayorA que secalcula en ,orma anBloga a los resistores en serie/

4 L L L ... L

>rB,icamente la asociación es como muestra la -ig. %.%.

Fig. 8.8.Inductoresen serie.

5nductores en PÞrÞlelo

:ara una asociación de inductores en paralelo la inductancia equi@alente serB menor a la menor

del conJunto y se halla del mismo modo que los resistores en paralelo/

% 1 1

1

1

... 1

"

=a asociación se obser@a en la -ig. %.4.

Fig. 8.9.

Inductoresen !aralelo.

Los !rÞnsitorios "=L en €€> €iclo5niciÞl

:ara describir el comportamiento de un inductor en su ,ase inicial al ser alimentado por una

,uente de tensión continua se eplica meJor si consideramos tener el circuito de la -ig. %.l;.l cerrar el interruptorA en el instante inicialA la corriente que circula es ceroA por lo tanto no haycada de tensión sobre el resistor y toda la tensión de la ,uente estB aplicada sobre el inductor.

e

L1 ' ",

L 4

L L L




Fig. 8.10.

Ciclo inicial.

medida que transcurre el tiempo la corriente irB aumentando haciendo que la cada sobre elresistor aumente y simultBneamente disminuya la tensión sobre la bobina. Este proceso continahasta un @alor mBimo de corriente que serB E&#A momento cuando la tensión sobre la bobina escero y toda la tensión de la ,uente estB aplicada al resistor.

En un primer momento el inductor es equi@alente a un circuito abierto como lo muestra

la -ig. %.ll.

Fig. 8.11. Al cerrar el interru!tor.

Cuando ha transcurrido cierto tiempoA el circuito se lo considera en estado estable y elequi@alente del inductor ideal serB un cortocircuito como se muestra en la -ig. %.l2.

Fig. 8.12.)n estadoestale.

=a ecuación que responde al desarrollo de la corriente sobre la bobina en la ,ase dealmacenamiento no serB deducida por eceder los alcances del tetoA no obstante su epresión es/

i 4E 7 B1 - e-t t D

LR

=a @elocidad de cambio en la corriente disminuye con el tiempo y estB ntimamente relacionadacon un parBmetro del circuito denominado constante de tiempo nA que se obtiene/

t 4L WsX Bse$u"dosDR

!i se gra,ica la @ariación de la corriente en ,unción del tiempo nos da lo mostrado en la -ig. %.l3.



i( ".)l- e# * -t (

$ )$

/

lt2 t0t4 t1 t


Fig. 8.13.Er/3ico delciclo de al%acena%iento.

l eJe de tiempos se lo ha graduado en @alores enteros de nA obser@Bndose que el circuito setornarB estable a partir de cinco @eces la constante de tiempo. esta caracterstica de losinductoresA al conectarlos en un circuitoA se la llama ciclo de almacenamiento.

Es de hacer notar que siempre =&# tendrB un @alor num+ricoA aunque puede ser muy pequeDoA el perodo t serB mayor que ceroA lo cual con,irma el hecho que la corriente no puede cambiarinstantBneamente en un circuito inducti@o.

medida que la inductancia aumentaA mBs se opondrB el circuito a un aumento rBpido en el ni@elde corriente.

Los !rÞnsitorios en €€> $Þse $inÞl:ara la eplicación del comportamiento de un inductor al interrumpir el suministro de tensióncontinua se emplearB el circuito de la -ig. %.l.

Fig. 8.14.Circuito !arala descara.

parece en el circuito otro resistor + para e@itar el corte abrupto de circulación de corriente alabrir el interruptor lo cual pro@ocara e,ectos indeseados.

'espu+s de la ,ase de almacenamiento y de haberse establecido las condiciones de circuitoestableA al abrir el interruptorA + proporciona una trayectoria completa para la corriente i 6A paratener mayor comprensión se muestra en la -ig. %.l el circuito que queda luego de la apertura delinterruptor.




Fig. 8.15.

Circuito dedescara.

=a tensión sobre la bobina @L in@ierte su polaridad y tendrB un @alor dado por/

@ L 4 @ R1 @ R BD

#ecordemos que la polaridad en un inductor cambia instantBneamenteA pero no el sentido decirculación de la corriente por lo que i 6 mantiene la misma direcciónA como lo muestra la-ig. %.l. <i bien se abre el circuito la corriente sigue siendo/

/ 4E

m1

#eemplaFando en 2 tenemos/

@ L 4 @ R1 @ R 4 iL 7 R 1 i

L 7 R

Z [4 i 7 BR R D

4

E 7

BR R D 4 \

R 1 R ] 7 E

L 1 1Z [

1

^ 1 1

@ 4 \1 R ] 7

EB'D

\ R 1]

=a tensión sobre la bobina serB # 2 & # l @eces mayor que 3 y disminuirB desde 3 hasta "5 6 latensión sobre la bobina tiene la polaridad in@ersa.

=a constante de tiempo para la ,ase de descarga se obtiene/

tS 4L

R 1 R

!i la descarga es inmediata sin + el grB,ico de la tensión en ,unción del tiempo es el mostradoen la -ig. %.l$.

=a epresión de la @ariación en la tensión sobre la bobina en la ,ase de descarga es/

@ L 4 >i e-t t

!iendo / i la epresión mostrada en 3.

=a corriente sobre la bobina @ara desde un mBimo I m B 3 > ' hasta ceroA con una ley de@ariación que responde a la epresión/

i L 4 /m 7 e-t t

R

\_R R ]R

_L

^

S



)L

E

v(" #.e-t t

3,4@ E3,241 E

3,3-G E3,32G E

3,33? E

3lt2 t0t4 t 1 t

t


Fig. 8.16.Cura dedescara.

=a epresión matemBtica de la tensión sobre los resistores es la siguiente/

Resistor R 1:

@R1 4 i

L 7R 1

@R1

4 /m 7e-t t

S

7 R @ R1 4E 7R 1

1

7 e-t t

S

@ R1 4 E 7 e-t t

=a polaridad de la tensión sobre ' serB la misma que la de la ,ase de cargaA ya que la corriente i 6mantiene la misma dirección.

Resistor R :

@ R 4 iL

7 R

@ R

4 /m 7e-t tS

7

R

@R

4E 7 RR 1

e -t tS

R R

1

Energ:Þ en un5nductor

7 E 7

e

-t tS

Gn inductor ideal no disipa la energa el+ctrica aplicadaA sino la almacena en ,orma de campomagn+tico. En el grB,ico de la -ig. %.l7A @emos que la energa almacenada es representada por elBrea sombreada en donde tambi+n se representó la tensión y corriente sobre el inductor.

Fig. 8.17.)ner+a al%acenada.

=a cur@a anterior estB realiFada baJo las condiciones del transitorio. =a epresión de la energaalmacenada serB/

? 41 7 L 7 /

WXa

m

R

S

1

@ 4

R



b' &'rg' positi)'

<

L:ne's de QuRoeléctrico

d. U d 2

Capítulo 9

€ÞpÞcitores

5ntroducción:ara completar la @ista a los elementos pasi@os de un circuito este captulo contempla lo relati@oa los capacitores. Este dispositi@oA que en ,orma ideal no disipa energaA tiene la particularidad dealmacenar energa para luego entregarla al circuito cuando es requerida.

:ara la compresión mBs acabada del dispositi@oA su construcción y aplicacionesA se debenconocer algunas cuestiones bBsicas.

S:mbolos=os smbolos de los capacitores bBsicamente corresponden a tres clases/ ,iJosA @ariables y

polariFados como se obser@a en la -ig. 4.l.

Fig. 9.1S+%olos de ca!acitores.

€Þmpo Eléctrico!obre cualquier cuerpo cargado el+ctricamenteA en su Fona cercanaA se @eri,ican ,enómenos deatracción o repulsión debido a lo que se denomina campo el+ctrico. 'icho campo se lorepresenta por lneas de ,luJo segn se obser@a en la -ig. 4.2.

Fig. 9.2.@luo eléctricodel ca%!o.

=a intensidad del campo el+ctrico serB mayor en donde sean mBs densas las lneas de ,luJo. En el

punto a el campo tiene mayor intensidad que en el =A pues hay mayor densidad de lneas de ,luJo.



<


El smbolo para la intensidad del ,luJo el+ctrico es la letra griega y 0psiA mientras que ladensidad del ,luJo r se obtiene mediante/

r 4y

3 Wflu#o u"idad de 8reaXEiste una relación directa entre la carga 6 y la intensidad del ,luJoA ya que esta ltimaaumentarB con el incremento de la carga. :or ello se puede epresar/

y 6WCX B1D

=a intensidad del campo el+ctrico en un punto se de,ine como la ,uerFa que acta sobre la unidadde carga en ese puntoA cuya epresión matemBtica es/

9 4!

6

` N

ab d c e

Neto"

Coulom=

!i recordamos la ley de Coulomb y consideramos que una de las cargas @ale l CA se tiene lasiguiente epresión de la intensidad del campo el+ctrico/

9 4 76

d

` N ab d c e

'onde se obser@a claramente que la intensidad depende en proporción directa a la carga ein@ersamente proporcional al cuadrado de la distancia.

=as lneas de ,luJo siempre salen del cuerpo cargado positi@o y @an haca el negati@oA dichaslneas nunca se cortan y llegan en ,orma perpendicular a las cargasA como se aprecia en la-ig. 4.3.

Fig. 9.3.Ca%!o eléctrico.

€ÞpÞcitÞnciÞEl anBlisis de apartados anteriores sobre cargas puntuales se puede hacer etensi@o a super,iciesmayores cargadas que pueden tener cualquier ,orma. :or eJemplo en la -ig. 4. se obser@an dos

placas de un material conductor separadas cierta distancia y conectadas a una pila a tra@+s de uninterruptor y un resistor.

!uponemos en el inicio del anBlisis que las placas no poseen carga alguna y que el interruptor

estB abierto. En el momento que se cierra el interruptor la placa superior atraerB electrones atra@+s del resistor. En un primer momento hay una corriente ele@ada siendo limitada por elresistor en serieA para luego ir decreciendo. =a placa superior adquiere una carga neta positi@a. El

C

C



<<<<<<<<

3

F FF F F FF F

Eectom'rgin'l

Capítulo 0 – Capacitores 103

terminal negati@o de la pila repele los electrones haca la placa in,erior a la misma @elocidad conque los atrae la otra placa. Esta trans,erencia contina hasta que la di,erencia de potencial entrelas placas es igual a la tensión de la pila.

Fig. 9.4.Cara en unca!acitor.

El resultado ,inal es una placa cargada con polaridad positi@a y la otra con polaridad negati@aA enmuchos aspectos similar a las cargas puntuales anteriormente @istas. El elemento descritoconstituye lo que se denomina capacitor.

=a capacitancia es una medida de la capacidad de un capacitor y nos da la idea de cuanta carga puede acumular el mismo. =a de,inición ,ormal sera/

-n capacitor tiene una capacitancia de 1 !arad si se deposita 1 Coulomb

de carga en sus placas mediante una diferencia de potencial de 1 volt

aplicada entre sus placas.

El -arad es una unidad muy grande por lo que en ,orma habitual se emplean submltiplos comoel mili,arad @m- E '2F4 -A el micro,arad @ m - E '2F0 -A el nano,arad @n- E '2F) - o el pico,arad@p- E '2F'+ -. =a capacitancia relacionaA como lo dice su de,iniciónA a la carga y a la tensión dela siguiente ,orma/

C 46

>W C X W>X

W!X

!i se tiene un capacitor ,ormado por dos placas planas separadas por aire y se lo obser@a en,orma lateralA se tiene lo que muestra la -ig. 4..

Fig. 9.5.istriución del3luo entre !lacas.

parecen entre sus placas las lneas de ,luJo del campo el+ctrico siendo muy homog+nea sudistribuciónA no obstante cercano a los etremos aparece una de,ormación del campo



<<<<<<<<

3

FFFFFFFF

d

<F

F<

F

FFFFFFFFF

d

!ensión /*0

Dieléctrico


denominado e,ecto marginal. Este e,ectoA sin cometer errores de importanciaA se lo puede ignorarquedando el campo entre las placas como lo muestra la -ig. 4.$.

Fig. 9.6.istriución ideal.

hora bienA se mencionó anteriormente la distancia de separación entre las placas que estBrelacionada con la intensidad del campo el+ctricoA si se le aplica una di,erencia de potencial entrelas placas que se encuentran a cierta distancia dA la intensidad del campo el+ctrico se obtienemediante/

` > a >9

b m d 4

dW > X WmX BD

c e

'ebido a la homogeneidad del campoA mBs arriba mencionadaA la intensidad del mismo es igualen cualquier punto entre las placas. Con los a@ances en la in@estigación de los capacitores y

buscando obtener mayor capacitancia en menor espacioA se eperimentaron capacitores con el

agregado de ciertos materiales aislantes entre sus placas. este material se lo denominadiel+ctrico y ob@iamente no pueden ser conductores ya que produciran un cortocircuito entre las

placas y deJara de ser un capacitor. =o que ocurre al agregar un aislante entre las placas es losiguiente/ los electrones del material aislante @iaJan haca la placa positi@a y los protonesaparecen en la placa opuesta ,ormando lo que se denomina dipolosA esto se obser@a en la -ig. 4.7.

Fig. 9.7.ieléctricoentre !lacas.




=os dipolos se alinean de manera que el material se polariFa. parece en el aislanteA debido a losdipolosA un campo el+ctrico contrario al campo el+ctrico con separación de aire. 'ando comoresultado una reducción del campo el+ctrico neto/

presulta"te

Esto se esquematiFa en la -ig. 4.%.

4 p aire - p diel&ctric o

Fig. 9.8.

Ca%!o resultantecon dieléctrico.

Como la tensión entre las placas y la distancia no se modi,icaronA y ahora la intensidad delcampo resultante se reduJoA no queda otra alternati@a para mantener la igualdad de la epresión@+ que aumente la carga depositada en las placas. Esto permite obtener mayor capacitancia condiel+ctrico que sin +lA a igualdad de los otros parBmetros.

=as lneas de ,luJo son equi@alentes a la carga @er la epresión lA es por ello que el diel+ctricotambi+n a,ecta al ,luJo y por ende a la densidad de lneas de ,luJoA dado que la super,icie de las

placas es constante/

r 4y

3

El cociente entre la densidad del ,luJo y la intensidad del campo el+ctrico en el diel+ctrico sedenomina permiti@idad del diel+ctrico/

e 4r

` ! ab d

9 m

El @alor de la permiti@idad nos darB una idea de cuBnta carga puede acumular en las placasA amayor @alor mayor carga acumulada y por ende mayor densidad del ,luJo.

!e pueden utiliFar un gran nmero de materiales aislantes como diel+ctrico y cada uno de ellostendrB un @alor de,inido de permiti@idadA no obstante se suele dar como dato la permiti@idad

relati@aA que es la relación que hay entre la permiti@idad en el @aco con la del material encuestión.

%

%

%




:ara el @aco se tiene/e 4 q;q5 7 1-1 ` ! a

b d

=a permiti@idad relati@a se obtiene haciendo/

e 4e

cm e

r

=as tablas de los materiales nos indican el @alor de la permiti@idad relati@aA por lo cual paraobtener la permiti@idad del material se deberB realiFar la operación/

e 4 er 7 e

=a *abla 4.l indica las permiti@idades relati@as para di@ersos materiales utiliFados comodiel+ctrico/

Tabla 9.1. Per%itiidades relatias de los dieléctricos.

=a capacidad de un capacitor se obtiene por aplicación de la siguiente epresión/

C 4 er 3

7 e 7

d

W!X B'D

En donde 3 es el Brea de las placas en m^A d la distancia entre ellas en m.

#ealiFando algunos despeJes y reemplaFosA se puede obtener tambi+n la relación de la intensidad

del campo el+ctrico en ,unción de la permiti@idadA la carga y el Brea de las placas/6 ` > a

9 4 b d

!ensión de"upturÞ

e 73

cm e

Cada diel+ctrico soporta una determinada di,erencia de potencial por unidad de longitudA a partir del cual el diel+ctrico se per,ora y pro@oca un ,luJo de corriente y por lo tanto la destrucción del

capacitor.=as tensiones de ruptura para di@ersos materiales estBn mostrados en la *abla 4.2A en donde a los@alores se los presenta en Vilo@olt&mm.

e

Materialdiel&ctrico er

Maco lA;

ire lA;;;$

9ica 1A;

(aquelita 7A;

:orcelana $A;

gua destilada %;A;

Materialdiel&ctrico er

:apel 2A

ceite A;

Midrio 7A

*e,lón 2A;

CerBmica 71;;A;



< F

&orrientede ug'

"dispersión


Tabla 9.2. *ensiones de ru!tura de los dieléctricos.

€orriente de $ugÞ

En ,orma idealA sólo circularBn cargas entre una placa y otra de un capacitor cuando se llegue a latensión de ruptura del diel+ctricoA pues bienA lo ideal sólo ocurre en la imaginación ylamentablemente eisteA desde el momento que se le aplica tensión entre las placasA una corrientede ,uga.

En el diel+ctrico aparecen electrones libres debido en parte a las impureFas del material y aes,uerFos dentro del mismo. Esta circulación de cargas esA a los e,ectos prBcticosA despreciable

para la mayora de las aplicacionesA no obstante se puede pensar al capacitor como un circuitoequi@alente teniendo una resistenciaA generalmente de alto @alorA en paralelo como lo muestra la-ig. 4. 4.

Fig. 9.9.Circuito e<uialentede un ca!acitor real.

€lÞsi#cÞción de los €ÞpÞcitores'e la misma ,orma que los resistoresA se pueden clasi,icar en dos grandes grupos/ ,iJos y

@ariables. €ÞpÞcitores $i%os

Eisten un gran nmero de capacitores ,iJos de las mBs @ariadas ,ormas y diseDados paraaplicaciones puntualesA entre los mBs comunes se pueden mencionar los de/ micaA cerBmicaAelectrolticosA pelcula de poli+ster y tantalioA entre otros.

=os de mica se los ,abrica a partir de hoJas de mica separadas por hoJas metBlicasA las placasestBn conectadas a dos terminales como se aprecia en la -ig. 4.l;.

Material ,e"si)" de ru0turadiel&ctrico >mm

ire 3

9ica l4;

(aquelita l

:orcelana 7

:apel 1;

ceite l

Midrio ll%

*e,lón $;

CerBmica 3




El Brea total del diel+ctrico es el Brea de una hoJa por la cantidad de hoJas que componen elcapacitor. l conJuntoA luego se lo encapsula en un material aislante quedando con unaspecto como lo muestra la -ig. 4.ll.

Fig. 9.10.)structura de unca!acitor de %ica.

Fig. 9.11.Ca!acitores de%ica co%erciales.

El capacitor de mica posee muy buenas caractersticas ,rente a la @ariación de temperatura y enaplicaciones de alta tensión ademBs de tener muy baJa corriente de ,uga. =os @alores de estoscapacitores estBn entre algunos pico,arad a ;A2 -A con tensiones de trabaJo de l;; M o mBs.

El código de colores para los capacitores de mica moldeados es el mostrado en la *abla 4.3 y enla -ig. 4.l2.

Fig. 9.12. Identi3icación de codi3icación.




Tabla 9.3. Códio de colores de los ca!acitores de %ica.

ColorCifras

si$"ificati@asMulti0licador

,olera"cia

Q

Coeficie"te detem0eratura

MIC"o mayor ue

Feri@a deca0acidad "o

mayor ue

<egro ; l 2; l;;; 01S Ol p-

9arrón l l; """"""" r 1;; 03S Ol p-

#oJo 2 l;; 2 r 2;; ;AS O;A p-

<aranJa 3 l;;; 3 l;; ;A3S O;Al p-

marillo l;;;; """"""" Ol;; "2; ;AlS O;Al p-

Merde """""""" """"""" """""""

Ful $ """""""" """"""" """"""" """""""

Mioleta 7 """""""" """"""" """"""" """""""

>ris % """""""" """"""" Ol1; "1; 0;A;3S O ;A2 p-

(lanco 4 """""""" """"""" Ol;; "1; ;A2S O ;A2 p-

'orado """""""" ;Al """"""" """"""" """"""""

:lateado """""""" ;A;l l; """"""" """"""""

;tro tipo de capacitores muy utiliFado es el de cerBmicaA cuya estructura interna se obser@a en la-ig. 4.l3.

Fig. 9.13.Ca!acitoresde cer/%ica.

=a ,igura muestra el capacitor de cerBmica de una sola capa diel+ctricaA no obstanteA para obtenermayores @alores de capacidad se los ,abrican en @arias capasA como lo muestra la -ig. 4.l.

En la construcción de estos capacitores se cubren con cobre o plata ambos lados de una basecerBmica constituy+ndose en las placasA posteriormente se conectan los terminales a las placas

para ,inalmente realiFar un recubrimiento aislante de cerBmica o plBstico.

:oseen una corriente de ,uga muy pequeDa usBndose tanto en corriente continua como alterna.

=os @alores comerciales @an desde unos pocos pico,arad hasta 2 - con tensiones de trabaJoaltasA de ;;; M o mBs.



"ecubrimiento enólico&'ble sold'do 'l electrodo

Sold'dur'

Dieléctrico de cerCmic'!ermin'l sold'doElectrodos metClicos

&'p'citores monol:ticos


Fig. 9.14.

Ca!acitor de ca!as%Flti!les.

#ecientemente han aparecido los capacitores integrados monolticosA para el uso en circuitosintegrados hbridos. !u ,orma constructi@a se obser@a en la -ig. 4.l.

Fig. 9.15.Ca!acitores%onol+ticos.

En la ,igura se obser@a que estos capacitoresA de muy pequeDo tamaDoA son complicados de

identi,icarA es por ello que se los marca con una letra H high"alto o = lo"baJo. =a H indicaA para un ,abricanteA que posee l$ p- de capacidadA pero si estB escrita con tinta aFulA tiene un,actor de multiplicación por l;;A as el mismo serB de l$;; p-. =a = indica que posee lA$ p- decapacidadA pero si estB escrita con tinta aFulA tiene un ,actor de multiplicación por l;;A as elmismo serB de l$; p- El tamaDo es siempre el mismo y el @alor de capacidad lo da el materialcerBmico con que estB construido. *ambi+n se los encuentra en ,orma integrada sobre una basecomnA como lo muestra la -ig. 4.l$.

Fig. 9.16.Ca!acitores de circuitointerado %onol+ticos.

=os capacitores electrolticos son de los mBs utiliFados y se emplean en aplicaciones querequieren capacidades altas del orden de l a @arios miles de -. !on utiliFados en corrientecontinua ya que poseen muy poca corriente de ,uga en una dirección y prBcticamente secon@ierten en un conductor en la otra dirección. !in embargo eisten capacitores electrolticos en

corriente alterna para el arranque de motoresA pero estos son diseDados para ese uso espec,ico.



F F F F F F F

< < < < < < <

Electrolito V(ido de 'luminio/Dieléctrico0

"ecubrimiento de Mn6 .

&Ctodo /=0&'rbonoSold'dur'

+ ++ +++ +

Sold'dur'++ + +++ + + + ++++ !'nt'lio

+ +++ + +++++ +

Al'mbre de plomo

Al'mbre de t'nt'lio

nodo /<0


=os principales componentes de estos capacitores son el aluminio y el óido y su esquema deconstrucción se obser@a en la -ig. 4.l7.

!e ,abrican a partir de un rollo de chapa de aluminio recubierta en una cara por óido de

aluminioA donde el aluminio es la placa positi@a y el óido el diel+ctrico.=uego se coloca una capa de papel o gasa saturada con un electrolito sobre el óidoA acontinuación se coloca otra capa de aluminio sin el recubrimiento de óido para que ,uncionecomo la placa negati@a. >eneralmente la placa negati@a se conecta al en@ase del capacitor y escomn que se indique sólo la polaridad de la placa positi@a.

Fig. 9.17.Ca!acitor electrol+tico.

*ienen una corriente de ,uga importante y debido a la proimidad entre las placas positi@a ynegati@aA su tensión de ruptura no es ele@adaA los @alores clBsicos @an desde de unos pocos @olthasta ;; M aproimadamente.

!e suele indicar en el capacitor electroltico ademBs de su @alorA la tensión ,uncional y la deruptura. =a tensión ,uncional es aqu+lla que se le aplica al capacitor durante largos perodos sinque haya ruptura del diel+ctrico.

En cuanto a los capacitores de tantalio hay dos tipos/ el sólido y el hmedo. En ambos casos selos ,abrica comprimiendo pol@o de tantalio de alta pureFa en ,orma cilndrica o rectangularAcomo se muestra en la -ig. 4.l%.

Fig. 9.18.Ca!acitor electrol+ticode tantalio.

=a coneión del Bnodo se inserta a presiónA luego la unidad se cuece en el @aco a altastemperaturas estableci+ndose un material sumamente poroso. :osteriormente se sumerge laestructura en una solución Bcida donde se deposita un recubrimiento de dióido de manganeso enel Brea super,icial porosa. continuación se le agrega un electrolito para realiFar el contactoentre el Brea super,icial y el cBtodoA produci+ndose un capacitor sólido de tantalio. !i el depósito,uese de un Bcido hmedoA la denominación sera capacitor de tantalio hmedo.



Pl'c'smetClic's

Pel:cul' depoliéster

A(i'l"'di'l


:or ltimoA el capacitor de pelcula de poli+ster estB ,ormado por dos placas metBlicas separadas por una capa ,ina de poli+sterA como por eJemplo 9ylar. !u construcción se puede obser@ar en la-ig. 4.l4.

Fig. 9.19.Ca!acitor de!oliéster.

El recubrimiento eterior es otra capa de poli+ster que ,unciona como aislante.

!e lo ,abrica en ,orma enrollada para obtener una super,icie de placas y diel+ctrico importante.:ose baJa corriente de ,uga y ,unciona tanto en circuitos de corriente continua como de alterna.

:ueden ser construidos con las coneiones en ,orma aial o radialA como se obser@a en la-ig. 4.2;.

Fig. 9.20.Ca!acitores a$iales radiales.

*picamente tienen @alores desde los ;Al - hasta los l% -A con tensiones de ruptura de $3; M omBs. =a codi,icación de los capacitores de papelA mica y cerBmica se puede obser@ar en la *abla4.. su @eFA la identi,icación de las ci,ras depende de la ,ormaA y las @ariantes mBs comunes seobser@an en la -ig. 4.2l.

En la pBgina de Editorial H!A &&&.hasa.com.ar A en el botón Do=nloads>*oft <ratisA podrBdescargar el archi@o capacitores!?ipA para determinar el @alor de los capacitores con códigonum+rico de tres dgitos.





A+ D E*

!&

A + D!

Sentido de lectur'A A

+D

*

+D E

A+ D

A+D E

A

DA + D E ! A + D E&

Sentido de lectur' E

Mic'

A

+ !& *

<!'nt'lio

+AD


Fig. 9.21. Identi3icación de ca!acitores.

Tabla 9.4. Codi3icación de los ca!acitores de !a!el, %ica cer/%ica.

3 J F E ,c >

8ndicac.

( lra.Ci,ra

2da.Ci,ra

9ultiplicador *olerancia

Coe,.*emp.

*ensión de trabaJo

Color Cl;p Cl;p ;tros 9ica *antalio

<egro ; ; l 2;S ; l;

9arrón l l l; lS ;AlS "33 N l;$ lA$

#oJo 2 2 l;; 2S ;A2S "l;; N 21; 31;

<aranJa 3 3 l;;; "l2; N ;

marillo l; "22; N ;; $A3

Merde l;

S ;AS "33;N

l;; 71;l$

Ful $ $ l;$ "7; N $3;

Mioleta 7 7 l;7 "7; N

>ris % % l;% 2

(lanco 4 4 l;4 l;S lS 2A

€ÞpÞcitores *ÞriÞbles

=os mBs comunes son los capacitores @ariables con diel+ctrico de aire tipo tBndem o trimmer A

que se muestran en la -ig. 4.22.



<)" F

b" i&

<

= &

'

E

<

)F

&


Fig. 9.22. Ca!acitores ariales.

En ambos el cambio de capacidad se logra girando el eJe o el tornillo de aJuste segn el diseDo deque se trate.

En el tBndemA al girar el eJe se cambia el Brea comn entre las placas ,iJas y mó@ilesA cuantomayor sea el Brea comn mayor serB la capacidad como se indicó en la epresión @4!

En el caso del trimmer A al aJustar el tornillo se acercan o aleJan las placas y de esta ,orma se @ara

la capacidad @ariación de d en la epresión @4.

Los !rÞnsitorios> $Þse de €ÞrgÞ!upongamos tener el circuito de la -ig. 4.23 en donde se obser@an una pilaA un resistorA una lla@ein@ersora y por supuesto un capacitor.

Fig. 9.23.Circuito de

cara del ca!acitor.

Mamos a analiFar los e,ectos al comenFar la carga del capacitor suponiendo que el mismo seencuentra descargado al inicio.

=uego de cerrar el interruptor en la posición aA los electrones son atrados por la placa superior ydepositados en la placa in,erior por la pilaA produci+ndose una carga neta positi@a en la placa dearriba y una carga neta negati@a en la de abaJo.

En un comienFo la trans,erencia de electrones se realiFa en ,orma muy rBpida y con,orme se @acargando disminuye la @elocidad de trans,erencia y la tensión entre las placas @a acercBndose al@alor de la pila. Cuando la tensión sea igual a la de la pila se detiene la trans,erencia deelectrones y la carga serB/

6 4 C 7 E

En el grB,ico de la -ig. 4.2A se obser@an las cur@as de respuesta de la corriente y de latensión sobre el capacitor en ,unción del tiempo. <ótese queA en realidadA el capacitor nuncallega a cargarse totalmente a la tensión de la pilaA dado que el tiempo que tardara en logarlosera in,inito. <o obstanteA a los ,ines prBcticosA se considera que el capacitor llegó a

cargarse luego de un tiempo igual a 1t. 9Bs adelanteA @eremos qu+ signi,ica t.



)&

E

W//X//5ncrementom:nimo

56

5ncremento rCpido

57

3

i&

ET"

56

5ncremento rCpido

57

3 t tW//X//5ncrementom:nimo

< F

b"

<=

' )" 3

<

E ) E&

F


Fig. 9.24. Corriente tensión en la cara.

!e @e en el grB,ico de la corriente que en el instante inicial la corriente toma un @alor ele@adoAsólo limitado por el resistor y a medida que se carga disminuye hasta llegar a cero.

En el grB,ico de la tensión entre las placas se obser@a un rBpido crecimiento del @alor al inicioA para luego ir decreciendo la rapideF de cambio hasta llegar al @alor de la ,uente cuando ,inaliFala etapa de carga.

=uego de ,inaliFada la etapa de cargaA al capacitor se lo puede reemplaFar por un circuito abiertoAcomo lo indica el circuito de la -ig. 4.2.

Fig. 9.25.Circuito 3inali8adala cara.

En el momento del inicioA el capacitor se lo puede considerar un cortocircuito.

=a corriente inicial en un capacitor tiene una representación eponencial y la epresiónmatemBtica que permite su cBlculo es/

i 4 E 7e

cR

-t RC

El ,actor C se denomina constante de tiempoA siendo su epresión/

t 4 R 7 C WsX

!e considera al circuito estable completada la carga luego de transcurrir el tiempo equi@alente acinco constantes de tiempo.

Car$a com0leta< 5 7 t

Incrementor$pido

Incrementom&nimo

Incremento m&nimo

Incremento r$pido




=a @ariación de la tensión entre las placas a partir del momento inicial hasta su mBimo @alortiene una epresión matemBtica tambi+n dependiente de la ,orma eponencial de crecimientoA lamisma se epresa/

@ 4 E 7 B1 - e -tRC

D!i el interruptor se abre nue@amenteA el capacitor permanecerB cargado un cierto tiempo quedependerB de la corriente de ,uga que tengaA un capacitor de mica o cerBmico mantendrB su cargaun tiempo prolongado ,rente a un electrolticoA que posee una corriente de ,uga importante y sedescargarB rBpidamente.

Los !rÞnsitorios> $Þse de DescÞrgÞEn el mismo circuito anteriorA con el capacitor ya cargadoA se coloca el interruptor en la posición=A el capacitor comenFarB la descarga a una @elocidad determinada por la misma constante de

tiempo C .

l comienFo de la descarga el capacitor hace las @eces de pila de @alor decrecienteA generandouna corriente a tra@+s del resistorA pero de dirección contraria a la original y tambi+n se in@iertela polaridad de la tensión sobre el resistorA como lo muestra la -ig. 4.2$.

Fig. 9.26.Circuito de descaradel ca!acitor.

El decaimiento de la tensión del capacitor tendrB una @ariación epresada por la ,órmula/

@C 4 Ee

YueA representadaA tiene la misma ,orma de onda que la corriente de carga del capacitor.

=a corriente durante la descarga disminuye en ,unción del tiempo dado por la epresión/

i 4 E 7e

CR

-t RC

=a representación de la corriente en la ,ase de descarga se obser@a en la -ig. 4.27A es de hacer notar que ahora el sentido de circulación es contrario a la ,ase de carga.

'e igual ,orma que para la cargaA la descarga se considera completa en un tiempo de cinco @ecesla constante de tiempo C .

!i se mue@e el interruptor de la posición a a la = con un perodo igual a cinco @eces la constante

de tiempoA la respuesta de carga y descarga del capacitor se puede obser@ar en el grB,ico de la-ig. 4.2%.

c

-t



23t 21t

23t

21t

23t

1t 21t

)&

Posición ' Posición b Posición ' Posición b

E

1t t

i&

1t t

)"

E

t

=E

!ensión sobre el c'p'citor

&orriente en el c'p'citor

!ensión en el resistor

Ll')e in)ersor'


Fig. 9.27. Corriente tensión en la descara.

Fig. 9.28. Ciclos de cara descara.



Y2Y.Y4Y-

<F

*&2 *&. *&4 *&-

E

&2 &. &4 &-


€ÞpÞcitores en Serie'e la misma ,orma que se pueden asociar los resistoresA los capacitores admiten la asociaciónserie y paralelo.

=os capacitores en serie permiten obtener @alores decrecientes de capacidad y todos tienen lamisma carga.

!upongamos tener la asociación de capacitores como lo muestra la -ig. 4.24.

Fig. 9.29. Asociación seriede ca!acitores.

En esta asociación se cumple/

6, 4 61 4 6 4 6 ' 4 6

:or la 2da. ley de irchho,, se tiene/

E 4 >C1 >C >C' >C

=a capacidad equi@alente se obtiene mediante/

C, 4 1

1C1 C

1

1

1

C' C

Yue es similar a la ,orma de resol@er una asociación paralelo de resistores.

!i la serie estB ,ormada sólo por dos capacitores se puede reducir nuestro cBlculo a/

C 4C1 7 C

C1 C

=a tensión sobre cada capacitor se obtiene con la epresión/

>C" 41

E71C"

1 1 1

C1 C C' C

'onde n serB reemplaFado por el nmero del capacitor que se quiera calcularA por eJemplo eneste caso n podrB ser lI 2I 3 ó .

,




€ÞpÞcitores en PÞrÞleloEn paraleloA como lo muestra el circuito de la -ig. 4.3;A todos los capacitores poseen sus placasunidas entre s de manera que se puede imaginar como un aumento de la super,icie de las placas

y con ello se debe esperar un aumento en la capacidad total.

Fig. 9.30. Asociación deca!acitores en !aralelo.

=a tensión sobre cada capacitor es la misma y la carga serB la suma de las cargas de cada uno del paralelo/

6, 4 61 6 6 ' 6

:or lo tanto la capacidad total se obtiene como/

C, 4 C1 C C' C

Energ:Þ en un €ÞpÞcitorGn capacitor ideal no disipa nada de la energa que se le entrega y la almacena en ,orma de

campo el+ctrico entre dos super,icies conductoras.

El grB,ico de la -ig. 4.3l muestra la cur@a de tensiónA corriente y potencia durante la ,ase decarga de un capacitor.

Fig. 9.31.

)ner+a al%acenada.

=a cur@a de potencia se obtiene realiFando el producto de la tensión y corriente para cada punto.

=a energa almacenada estB representada por el Brea sombreada cuya epresión es/

? 41 7 C7

E WLX o =ie" ? 4

6

C

C 7 C



P N P

&onductores !r'nsistor 5nductor


€ÞpÞcitÞnciÞs PÞrÞsitÞsdemBs de las capacitancias normales y de uso deseadoA en algunas oportunidades aparecenotras queA por lo generalA no son con@enientes.

]ste es el caso de la capacitancia que aparece entre conductores que se encuentran cercanos unoal otroA o bienA entre las espiras de una bobina.

!e pueden encontrar tambi+n en dispositi@os acti@os como los transistores. El e,ecto serB demayor importancia a medida que se maneJen seDales de ,recuencia ele@adaA y es por ello que sehace imprescindible su tratamiento de modo cuidadoso. =a -ig. 4.32 esquematiFa lascapacidades parBsitas en algunos elementos de uso corriente en electricidad y electrónica.

Fig. 9.32.

Ca!acidades!ar/sitas endistintosco%!onentes.



8 9 88 89 28 29 08 09 48 49 18 19 98 99 :8

!ensión

t t

2, 1

2

3, 1

3

t

=3 , 1

=2

=2 , 1

Senoid'l &u'dr'd' !ri'ngul'r

Capítulo IO

SeZÞlesEléctricÞs

5ntroducción

Hasta el captulo anterior nuestros anBlisis sobre los ,enómenos el+ctricos que se suceden en losdistintos elementos del circuito ,ueron realiFados teniendo como ,uente de alimentación la pro@ista por una pila o bateraA es decirA una tensión constante en el tiempo luego que pasó untiempo desde la coneión.

=as tensiones domiciliarias y las industriales no tienen ese aspectoA sino que son tensiones@ariables en el tiempoA que responden a una ,orma de onda del tipo senoidal.

esta tensiónA en ,orma gen+ricaA se la denomina corriente alterna y tiene distintos parBmetros aconsiderar como ser/ tensión instantBneaA tensión picoA tensión pico a picoA perodoA ,recuenciaAtensión e,icaFA etc.

Eisten otro tipo de ,ormas de onda de aplicación mBs espec,icaA como por eJemplo la ondacuadrada o la onda triangularA estasA Junto con la senoidalA se obser@an en la -ig. 10.1.

Fig. 10.1. @or%as de onda de tensión.

!i bien todas las seDales mostradas en la ,igura anterior son de corriente alternaA en los apartadossiguientes se considera como talA a las senoidales por serA por leJosA las mBs populares y deaplicación mundial. En caso de considerar otro tipo de ,orma de onda se aclararB debidamente.




€ÞrÞcter:sticÞs de lÞ !ensión SenoidÞl

enerÞción

=a generación de este tipo de tensión se realiFa por distintos m+todos entre los mBs comunes setienen/ planta de generación t+rmicaA generación hidrBulicaA generación por ,usión nuclearAeólicaA solarA etc.

*odos los m+todos tienen en comn que poseen un generador de corriente alterna alternadorcomo muestra la -ig. l;.2A ,iJo a o portBtil b.

Fig. 10.2.Eeneradores

3ios !ort/tiles.

:or cualquiera de los m+todos de generación se termina aplicando una potencia al eJe del rotor que lo hace girar.

El rotor estB constituido por polos magn+ticos alternos dentro de un grupo de de@anadosubicados en el estator que permite inducir una tensión en el de@anado de dicho estator deacuerdo a la ley de -araday/

e 4 N 7F!

Ft

El generadorA al girar con una determinada @elocidad angular @a induciendo una tensión a lasalida queA si suponemos parte desde cero no corta ninguna lnea de ,uerFa @a tomandodistintos @alores positi@os hasta un @alor mBimo para luego ir disminuyendo hasta llegarnue@amente a cero. partir de all comienFa a tomar @alores que para nuestra re,erencia sonnegati@osA hasta llegar a un @alor mBimo negati@o para luegoA ir disminuyendo hasta llegar aceroA cumpli+ndose de esta ,orma un ciclo completo. El esquema de la -ig. l;.3 muestra estageneración.

NotÞción

Como en cualquier idiomaA es importante ponerse de acuerdo en cómo representar cada @alor detensión o corriente en alternaA por lo general la notación se repite en la consideración de muchosautores de tetos t+cnicos al respectoA en +ste se utiliFarBn los siguientes @er la -ig. l;..

=o mostrado en el grB,ico anterior es aplicado tanto a la tensión como a la corriente alterna.

>alor i"sta"t8"eo. Es la magnitud de una ,orma de onda en cualquier instante de tiempoA serepresenta mediante letras minsculas 5'G i4.



t

424201;

t

4242:;;

424

t

424

081;

424

424

t

09;;

t

; ;

424 424

t

41;

424 424

t

<;;

424 424

t

801;

424 424

t

8=;;

424 424

Capítulo 1 – *eales Eléctricas 123

Fig. 10.3. Eeneración de una tensión alterna.

Fig. 10.4.&o%enclaturaest/ndar.

3m0litud m89ima. Es el @alor pico de una ,orma de onda medida a partir de su @alor mediopromedio. En el caso de tensionesA se representa mediante letras maysculas 3 m para ,uentes detensión y / m para cadas de tensión en una carga. :ara una seDal senoidal como la mostrada en la-ig. l;.A el @alor medio es cero.



! 2 s ! 2 s ! 2 s

2 z'0

4 zb0

3,1 zc0


>alor 0ico. Es el @alor instantBneo mBimo medido a partir del ni@el de cero eJe de tiempot .En el caso de la onda mostrada coincide con el @alor de amplitud mBima.!e identi,ica conletras maysculas y el subndice p.

>alor 0ico a 0ico. Es la tensión o corriente entre los picos positi@os y negati@osA se lo identi,icacon letras maysculas con el subndice pFp y queda epresado as/ 3 pFp o / pFp.

er%odo. Es el inter@alo de tiempo entre repeticiones sucesi@as de una ,orma de onda se loidenti,ica con la letra mayscula T epresado en segundos.

Ciclo. Es el conJunto de @alores de una ,orma de onda contenida en un perodo.

!recue"cia. Es la cantidad de ciclos de una seDal que ocurren en l segundo. !e la designacon la letra minscula f y se epresa en ciclos por segundos oA mBs comnmente en HF.0HertF. En la -ig. l;.1 se obser@a una onda senoidal donde en el caso aC hay un ciclo en l

segundoA en C entran 3 ciclos en l segundo y por ltimoA en cC sólo entra medio ciclo en l

segundo.

Fig. 10.5.istintos!er+odos.

En el primer caso la ,recuencia es de l ciclo por segundo l HFA en el segundo caso la,recuencia es de 3 HF y en el ltimoA la ,recuencia es de ;A1 HF.

!e obser@a la relación que eiste entre la ,recuencia y el perodoA mientras que una crece la otradisminuye por lo cual se cumple la siguiente igualdad/

f 41

zo =ie" , 4

1

, WsXW X

PolÞridÞd de lÞSeZÞl AlternÞ

f WzXWsX

En este tipo de seDales el aspecto mBs importante a tener en cuenta es en que momento de laonda estamos re,iri+ndonos a un determinado parBmetroA es decir que los @alores soninstantBneosA es como sacarle una ,oto a la seDal y luego medir los @alores que tiene en esemomento.

Como la seDal de tensión es generada a partir del @alor ceroA al comienFo de la onda habrB uncrecimiento de @alores positi@os hasta llegar a un @alor mBimo a partir del cual comenFarB a

descender nue@amente hasta llegar a cero eJe del tiempo. En toda esta etapa la polaridad de latensión aplicada serB una determinadaA como lo muestra la -ig. l;.$A por lo que la corrientetambi+n se corresponderB con el sentido de circulación ocasionado por la polaridad de la tensión.



>.

r

2 r

2 r'diCn 1?,.GH

4 .2

-1

3,.@r'di'nes

pr'di'nes


Cuando en el generador se in@ierta la polaridad de la tensiónA la corriente acompaDarB dichocambio circulando en sentido in@erso.

Fig. 10.6. Polaridad de la se?al alterna.

€ÞrÞcter:sticÞs de lÞ SeZÞl SenoidÞlEs de hacer notar que las ondas senoidales tienen la particularidad de mantener estable su ,orma,rente a la respuesta en los distintos elementos del circuitoA es decirA al aplicar una tensión senoidalla corriente generada tambi+n es senoidal y puede o no di,erir en la ,aseA tema que se @erB acontinuación. Esta caracterstica descrita no se @eri,ica en ondas triangulares o rectangulares.

=a representación de una onda senoidal se realiFa colocando en el eJe de ordenadas los @aloresde tensión o corriente y en el eJe de abscisas el tiempo. hora bienA Pcómo representar el

tiempoQ. El ciclo completo de una onda senoidal en su generación se ,orma cuando se describiótodo el crculoA es decirA 3$0TA como se obser@a en la -ig. 10.7. En la representación cartesianaAse trasladaA la representación del Bngulo descrito en ,orma lineal.

Fig. 10.7.eter%inacióndel radi/n.

*ambi+n se puede utiliFar como unidad el radiBn que se de,ine como una porción del arco decircun,erencia de longitud igual al radio de la mismaA como se obser@a en la -ig. 10.%.

Fig. 10.8.)l radi/n.



Ap

3 ? 2.? a /r'di'nes ó H0Ap


=a equi@alencia es/0 rad 4 'G tam=i&" 1 rad 4 57;'G

:ara con@ertir de una unidad a otra se aplica/Z 0 [ Z G [NBradD 4 N 7\ ] 7 $rados o MB$radosD 4 M 7 \

1q] 7 rad

^ 1qG _ ^ 0 _

!e puede imaginar la generación de una onda senoidal por eJemplo de tensiónA como un @ector que gira con @elocidad angular constanteA alrededor de un punto ,iJo describiendo los distintos@alores que representados en su conJunto determinan la ,orma senoidal.

!e mencionó @elocidad angular que es el Bngulo a descrito por el ,asor en la unidad de tiempo tAse la designa con la letra griega omega minscula/

4 at

tam=i&" a 4 : 7 t

<ormalmente estB epresada en rad&sA y el Bngulo a obtenido estarB en radA si se lo desea engrados habrB que realiFar la con@ersión @ista mBs arriba.

'ebido a que el tiempo necesario para realiFar un giro completo es igual al perodo se puedecolocar la @elocidad angular en ,unción de +ste/

40,

o tam=i&" 4 0 7 f

=a epresión matemBtica cartesiana para una seDal senoidal es/

30 se"a

'onde 30 es el @alor pico de la onda y a el Bngulo representado en el eJe horiFontal.

En el grB,ico de la -ig. 10.4 se muestra una onda senoidal gen+rica donde se obser@a en el eJehoriFontal la doble indicación de aA en grados y radianes.

Fig. 10.9.Caracter+sticas deuna onda senoidal.

En el caso de una onda de tensión la epresión del @alor para cualquier instante de tiempo es/e Bt D 4 E0 7 se": 7 t



'0b0

a /r'di'nes ó H0

@


!i la onda es de corriente se tiene la epresión general en ,unción del tiempo/

i Bt D 4 /0 7 se": 7 t

"elÞción de $ÞseHemos analiFado las ondas senoidales considerando que en el cero de coordenadas el @alor denuestra seDal es ceroA no obstante si por cualquier moti@o esto no es as nos encontramos con uncorrimiento haca la derecha o haca la iFquierda que lo denominamos *hetta tambi+nllamado des,asaJeA esto se obser@a en el grB,ico de la -ig. 10.10.

Fig. 10.10.es3asae.

El Bngulo puede ser positi@o o negati@oA de acuerdo a si adelanta o atrasa con respecto al cerode coordenadasA la epresión general es/

30se"B: 7 t g D

*Þlor PromedioEl @alor promedio de una seDal senoidal estarB dado por el @alor de un solo semiciclo positi@o onegati@oA ya que si consideramos el ciclo completoA su promedio nos da cero. Consiste en hallar el Brea baJo la cur@a y di@idirla por la longitud de dicha cur@a. El Brea se obtiene mediante el usode integrales de,inidas como se indica/

8rea 4 0

30 7 se"a 7 da

=os lmites de integración son 2 y p , porque se toma un semiciclo. 8ntegrando con respecto a a yaplicando la regla de (arro se tiene/

8rea 4 30 7 W- cosaX

8rea 4 -30 7 Bcos 0 - cos

GD 8rea 4 -30 7 B- 1 -

BED 1D 8rea 4 7 30

0




*eniendo el Brea se obtiene el promedio ,Bcilmente/

7 30m 4

0

*ÞlorE#cÞz

m 4 ;'7 7 30

El @alor e,icaF es un parBmetro de suma importancia ya que relaciona la corriente alterna con ele,ecto que +sta produce trans,ormada en una equi@alente en corriente continua.

El e,ecto analiFado es la potencia el+ctrica entregada a un circuito y el @alor e,icaF es el @alor decorriente alterna que produce los mismos e,ectos que una ,uente de corriente continua.

!upongamos tener un circuito como el mostrado en la -ig. 10.11.

Fig. 10.11.;alor e3ica8de la tensión.

En el mismo se obser@an dos ,uentes de tensiónA una alterna y otra continuaA con suscorrespondientes interruptores y una carga #.

!i deJamos conectada sólo la ,uente de corriente continua circularB una corriente que produceuna disipación de una potencia determinada.

!i deJamos sólo la ,uente de corriente alterna se disipa una potencia sobre el resistor que secalcula mediante/

ca

4 BiD

7

R ca

ca

4 B/

4 B/0

7 se": 7 tD 7 R

7 se" : 7 tD 7 R

#ecordando una identidad trigonom+trica/

se" : 7 t 4 1 7 B1 - cos : 7 tD

#eemplaFando se tiene/ 4 /

7

b 1 7 B1 - cos : 7 tD d 7 R

` aca 0

c e/

7 R / 7 R

4 0

- 0

7cos : 7 tca

0



.

.


El segundo t+rmino de la derecha es cero ya que es el @alor promedio de una onda cosenoA por locual queda/

ca

/ 7

R 4

hora bienA si suponemos que las dos ,uentes generaron en un instante las mismas potencias setiene/

ca 4 cc

/ 7 R

cc

des0e#a"do /0 4 7 /cc

/0

/cc 4 4 ;77 7 /0

El @alor equi@alente en CC de una tensión o corriente senoidal es 0A707 del @alor pico. dicho@alor se lo llama @alor e,icaF de la tensión o de la corriente.

Eef

/ef

4 ;77 7 E0

4 ;77 7 /0

"espuestÞ de un €ircuito con ", L y € Þ unÞ !ensión SenoidÞl

En esta sección se analiFarB en primera instancia la respuesta de cada elemento pasi@o de uncircuito a la aplicación de una tensión alternaA para luego realiFar el anBlisis con elementoscombinados en un mismo circuito.

"esistores

En ,orma general y a los e,ectos prBcticos los resistores no presentan alteración alguna en las,orma de onda de la corriente y en la relación de ,ase para @alores de tensión senoidal de algunoscientos de VHF.

=os cBlculos de corriente se realiFan por aplicación de la ley de ;hm considerandoA como eslógicoA el tipo de tensión aplicadaA esto es/

i 4@R

0ero @ 4 >0se" 7

te"to"ces >0se" 7

ti 4

R >0

como i 4 /0se" 7

treem0laza"do /0 4

R

=a tensión y la corriente estBn en ,ase como lo muestra la -ig. 10.12.

0

04 / 7



a@


Fig. 10.12.Se?ales alternasen un resistor.

5nductores

En un inductor la cur@a de respuesta de la corriente tiene un corrimiento debido a que al aplicarle

una tensión senoidal sobre el inductorA se genera una di,erencia de potencial contraria a la polaridad de la tensión aplicadaA como lo muestra el esquema de la -ig. l;.l3.

Fig. 10.13.*ensión en un inductor.

=a di,erencia de potencial en los etremos del inductor es directamente proporcional a la@elocidad de cambio de la corriente a tra@+s de la bobinaA por lo tanto con el aumento de la,recuencia aumentarB la tensión inducida por ser mayor la @elocidad de cambio del ,luJo en la

bobina.

#ecordando la epresión @ista en el Captulo %A tenemos/

!iendo @L la tensión inducida/

@ L 4 L 7di L

dt

di L

dt4

d B/dt

0 7 se": 7 tD 4 : 7 /

cos: 7 t

*ambi+n se puede epresar a @L en ,unción del sen:

@ L 4 >0 7 se" B 7 t

(GDe" do"de >0 4 7 L 7 /0

=a ltima epresión muestra la relación directa de la ,recuencia y de la inductancia L con latensión inducidaA como se haba anticipado mBs arriba.

Como conclusión decimos que la tensión inducida en una bobina @L adelanta en 4;T a lacorriente. El grB,ico de la -ig. l;.l muestra esta situación.

0



A t

i &[ d) &/20


Fig. 10.14.Se?ales alternasen un resistor.

=a oposición que produce una bobina al paso de la corriente alterna se la denomina reactanciainducti@a representBndosela con la letra H 6 y se obtiene por aplicación de la ley de ;hm comosigue/

>0L 4

/0

L 4 : 7 L 7/0

/0

O L 4 : 7 L o =ie" L 4 0 7 f 7 L

!u unidad es el ohm reacti@oA por lo que se puede decir que la reactancia es la oposición que presenta la bobina a la circulación de una corriente alterna senoidal. :odramos decir que esequi@alente a la resistencia en el caso de los resistores.

€ÞpÞcitores

En el caso del capacitor la oposición a la aplicación de una tensión senoidal es in@ersamente proporcional a la ,recuencia y a la capacidad del capacitor.

=a limitación de la @elocidad de @ariación crecimiento o decrecimiento de la tensión sobre elcapacitor es la @elocidad con que se deposita o liberan las cargas de las placasA cuanto mBs altoes el @alor de capacidad mayor serB la corriente capaciti@a resultante.

!i consideramos el circuito de la -ig. l;.lA podremos recordar la epresión de la corriente en uncapacitor segn lo @isto en el Captulo 4/

Fig. 10.15.*ensión en un ca!acitor.

d@ C

dt

C

4d 7 B>

dt

dt

7 se" 7 tD 4 7 >

cos 7 t

.

0 0



*p ) &

5p

i&

A t


#eemplaFando en 1 se tiene/

i C

4 C 7d@

C

dt

4 C 7 B 7>

7 cos 7 tD

o =ie" i C 4 /0 7 se"B 7 t (GD

!e obser@a que en un capacitor la corriente adelanta 40T con respecto a la tensión y esto seaprecia en el grB,ico de la -ig. 10.1$.

Fig. 10.16.Se?ales alternasen un ca!acitor.

'e igual ,orma que para las bobinasA los capacitores se oponen a la circulación de corrientealterna con un @alor denominado reactancia capaciti@a H C medida en ohm reacti@o.

El @alor se obtiene por aplicación de la ley de ;hm/

>0C 4

/0

O fC 4>0

: 7 C 7 >0

O fC 41

: 7 C

o =ie"

4 1

C0 7 f 7 C

Como regla nemot+cnica recordar la palabra C8M8=A en dónde C es capacitorA 8 es corrienteA M estensión y = es inductor.

En el capacitor la corriente adelanta a la tensión C 8=A mientras que en el inductorA la tensión

adelanta a la corriente C8$.

0



E%ercicios

deAplicÞción



E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo 2

E#ercicio 1.- Gn cuerpo con un aislador cargado tiene una de,iciencia de 3; X l;l% electrones.

Hallar la carga y la polaridad. /oluci%n0 *i tiene deficiencia de electrones es porque posee m$s protones, por lo tanto su polaridad es positi5a y la carga 5ale:

; 5 11q electro"es 1 C

' 11q

electro"es

1 C ' 11q

e9 6 4 4 ; qC ; 5 11q e

E#ercicio .- Gn material con un eceso de electrones de l X l;l% pierde 7 X l;l% de ellos.Hallar la carga que posea al comienFo y luego de la p+rdida.

/oluci%n0 *i posee electones en e%ceso la polaridad es negati5a y los 5alores de carga son:

; 5 11q e 1 C

15 11q

e

9 6i 1 C15 11q

e4 4 -; C

; 5 11q e

6a carga que perdió es:

; 5 1

1q

e 1 C 1q

7 11q e 9 60 41C 7 1 e

4 1;1 C; 5 11q e

1or lo tanto la carga final es:

6f 4 6i 60 6f 4 -; C 1;1 C 6f 4 -1; q C

E#ercicio '.- Gn cuerpo se encuentra cargado con OA$ C y al t+rmino de un proceso su carga esde )lA% C. 8ndicar qu+ sucedió.

/oluci%n0 *i se encontraa cargado positi5amente y luego de un proceso quedó con carganegati5a, la conclusión es que reciió electrones cuya cantidad fueron:

3lectrones reciidos para quedar neutro desde el inicio:

1 C ; 5 711q e

; C

; C 7 ; 5 711q e

9 ca"tidad e 4 4 q; 75 11q

e 1C

3lectrones necesarios para llegar a la carga final:

1 C ; 5 711q e1q

1; qC 9 ca"tidad e 4

1; q C7 ; 51 e4 11; 5

11q e 1C




esumen0 1ara pasar de 8,0 C a J',( C el cuerpo reciió:

Ca"tidad e 4 q;75 7 11q e 11;5 7 11q e 4 7 11q e

E#ercicio.

- :or la super,icie trans@ersal de un conductor ,luye una carga de $ C durantelA2 segundos. 'eterminar la corriente en amper.

/oluci%n

06 4 / 7 t O / 4

6O /

4t

C

1; s4 5 3

E#ercicio 5.- Gn cuerpo tiene un eceso de electrones de ; X l;l%A pierde A% X l;l% electrones yal resto se lo hace circular durante segundos. Hallar la corriente que produce el ,luJo deelectrones.

/oluci%n0

Carga inicial:

; 5 11q e 1 C1q

5 11q

e9 6i 4

1 C7 5 71 e4 q C; 5 11q e

Carga perdida:; 5 11q e 1 C

1q

; q 11q

e9 60 4 1C ; q 1 e 4 ; 7q C; 5 11q e

Carga resultante: 6t 4 6i - 60 6t 4 q C - ;7q C 6t

4 7;' C

Corriente circulante: / 46

/ 47;' C

/ 4 1;qq 3

t s

E#ercicio .- Hallar el tiempo que necesitan l2 X l;l$ electrones para pasar por una super,icie sila corriente es de l m.

/oluci%n0

C$lculo de la carga:

; 5 11q e 1 C1

1 11

e9 6 4

1 C1 1 e4 ; 1( C

; 5 11q e

C$lculo deltiempo:

/ 46

t 46

t 4 ;1( C4 1;'7 s

t / 1K 1-' 3



" 2. mm

-3 mm

3 mm

E&ercicios de plicación 137

E#ercicio 7.- En un sistema el+ctrico el gasto de energa entre dos puntos es de l2; ?A si la carga presente es l; CA hallar la di,erencia de potencial entre los mismos.

/oluci%n

0

> 4?

> 41

4 1 >

6 1 C

E#ercicio q.- Gna carga de %; mC es mo@ida a tra@+s de una di,erencia de potencial de % M.Hallar la energa disipada.

/oluci%n

0? 4 6 7

>

? 4 q 7 1-' C 7 q > ? 4 ;

E#ercicio (.- Hallar la resistencia de un conductor circular de Cu de 1 mm de diBmetro yl2; m de longitud. 0r Cu ` ;A;l723 6 N mm2 & m.

/oluci%n0

*ección:

s 4 0 7 r < s 4 ';1 7 B;5 mmD

4 1(;5 mm

R 4 r7l

R 4 ;17'? 7 mm

7

1 m R 4 ;15 ?

s m 1(;5 mm

E#ercicio 1.- Gn conductor de aluminio como el de la -ig. lE.lA tiene una longitud de 2 m.Hallar la resistencia que posee. r l ` ;A;2%2 6 N mm2 & m.

/oluci%n0

*ección del

conductor: Krea del

c&rculo:

3, 4 3R - 3C

3C 4 0 7 r 3C 4 ';1 7 B1 mmD 3C 4 5;1 mm

Fig. 1.1.4esistiidad.

Krea del rect$ngulo: 3R 4 = 7 h O3R

4 mm 7 mm O3R

4 mm

Krea total: 3, 4 3R - 3C 3, 4 mm - 5;1 mm 3, 4 1(7;q mm

R 4 r7l

R 4 ;q5? 7 mm

7

m R 4 ;' ?

s m 1(7;q mm



E#ercicio 11.- =a resistencia de un alambre de Cu a 2;TC es de ; WA si la temperatura subehasta los l;;TCA PcuBl serB la nue@a resistencia # , Q.




/oluci%n0

R f 4 R R

7 a 7 Ft OR f

4 5 ? 5 ? 7

;

1 7 B1GC - GCD O

R

GCf

4 ?

E#ercicio 1.- Gn conductor de nquel posee una resistencia de l2 W a ;TCA se lo en,ra hastalos )%TCA PcuBl serB la nue@a resistencia # , Q.

/oluci%n0R 4R R 7a7 t -t R 4 1 ? 1 ? 7 ;5

1 7 -qGC - GC OR 4 (;1 ?

f B f i D f B D f

GC

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo 2E#ercicio 1.- Gn material aislante se encuentra cargado con un eceso de 2; X l;l% electrones.Hallar la carga que posee.

espuesta0 F4,+ C!

E#ercicio .- Gn material posee una carga de OA$ CA Pqu+ signi,ica con respecto a loselectronesQ.

espuesta0 '(,;. L '2'( electrones en defecto!

E#ercicio '.- Gn material aislante tiene una carga )lA% C y recibe 2; X l;l%

electrones. PYu+carga tendrBQ.

espuesta0 F.,4+ C!

E#ercicio .- :or un conductor circulan 3 X l;l% electrones en 2A s. PYu+ corriente circulaQ

espuesta0 +,44 A!

E#ercicio 5.- 'os cargas positi@as de ;A% mC y ;A2 mC separadas ; cm generan una ,uerFa derepulsión. PYu+ @alor tieneQ

espuesta0 .;02 #!E#ercicio .- Hallar la distancia que estBn separadas dos cargas de 3; CA si la ,uerFa derepulsión es de A$ X l; <.

espuesta0 2,2'+ m!

E#ercicio 7.- Gn conductor de cobreA como el mostrado en la -ig.lE;2A si su longitud es de2; mA Pqu+ resistencia tieneQ.

espuesta0 2,22.2 ohm!

E#ercicio q.- PYu+ longitud tiene un conductor de plata de 3 mm de diBmetroA con unaresistencia de ;Al2 ohmQ.

espuesta0 .',.4( m!



" 21 mm

EuilCtero

3 mm


Fig. 1.2.4esistiidad.

E#ercicio (.- Gn conductor de cobre se encuentra a ;TC y posee una resistencia de 3; ohmA se loen,ra a );TCA PcuBl serB la nue@a resistenciaQ.

espuesta0 +.,+ ohm!

E#ercicio 1.- !e quiere construir un resistor de alambre de 2A2 ohm utiliFando nicromo de 2 mmde diBmetroA Pqu+ cantidad de alambre hace ,altaQ.

espuesta0 0,)+ m!

E#ercicio 11.- Gn resistor identi,icado con las bandas/ roJoA roJoA negro posee unido a susetremos dos alambres de cobre de 3 mm de diBmetro y una longitud de l; m cada uno. PYu+

resistencia se medirB desde los etremos de los alambresQ.

espuesta0 ++,40 ohm!

E#ercicio 1.- Gn resistor de alambre de nquel ,abricado con un alambre de 2A mm de diBmetroy ; metros de largo se incrementa su temperatura de 2; a %;TC. PYu+ resistencia tendrBQ.

espuesta0 2,(+ ohm!

E#ercicio 1'.- Gn resistor estB ,abricado con alambre de tungsteno de l mm de diBmetro sobreuna ,orma cilndrica de %; mm de largo y 2 mm de diBmetro. PYu+ resistencia tendrBQ.

espuesta0 2,84 ohm!E#ercicio 1.- PCuBl serB la corriente necesaria para cargar un diel+ctrico con una carga de l2 Cen $ segundosQ.

espuesta0 + A!

E#ercicio 15.- Gna carga de l; C pasa por un punto dado cada 2 segundos. PCuBl es el @alor dela corrienteQ.

espuesta0 . A!




E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo .

E#ercicio 1.- Gn resistor posee identi,icado su @alor y tolerancia mediante las bandas/ marrónA@erdeA naranJaA dorado. 8ndicar el @alor nominal y @alores mBimo y mnimo admitido.

/oluci%n0 Marr)" 4 1 >erde 4 5 Nara"#a 4 ' ceros Forado 4 5Q

/alor nominal: 15. ? g 5Q! /alor m$%imo: 15.75 ? !/alor m&nimo: 1.5 ? !

E#ercicio .- Gn resistor identi,icado con las bandas/ naranJaA blancoA marrónA plata se lo mideindicando el @alor de 3; 6 .PEstB dentro de los @alores esperadosQ.

/oluci%n0 lata 1Q

>alor "omi"al '( ?>alor m%"imo '( ? 7 ; ( 4 '51 ?

#o est$ dentro del 5alor admitido!

E#ercicio '.- 'os resistores se encuentran asociados en serieA identi,icados el primero con las bandas/ marrónA roJoA amarilloA dorado y el segundo/ roJoA @ioletaA naranJaA plata. Hallar el @alor mBimo del conJunto que se puede tolerar.

/oluci%n

0R 1 < @alor"omi"al

< 1. ? g 5Q

R < @alor "omi"al < 7. ? g1Q /alor m$%imo ': 1. ? 7 1; 5 41. ? /alor m$%imo +/ 7. ? 1;1 4(.7 ?/alor m$%imo tolerale: 1. ? (.7 ? 4 155.7 ?

E#ercicio .- 'os resistores se encuentran asociados en paralelo identi,icados con las bandas/ el primero aFulA grisA roJoA plata y el segundo @erdeA aFulA marrónA dorado. PCuBl es la resistenciaequi@alente mnima tolerableQ.

/oluci%n

0 R 1< @alor "omi"al < .q ? g1Q R < @alor "omi"al < 5

? g 5Q/alor m&nimo R 4 @alor "omi"al 7 ; (

< R 4 .q ? 7 ; ( <R

4 .1 ?

tolerale:

1m%" 1m%" 1m%"

R m%" 4 @alor "omi"al 7 ; (5 < R m%" 4 5 ? 7 ; (5 < R m%" 4 5' ?

/alor m&nimo R R 7 R 4 1m%" m%" R 4

.1 ? 7 5' ?

R

4 q(; 5 ?

tolerale:

,m%"

R 1m%" R m%"

,m%"

.1 ? 5'?

,m%"

E#ercicio 5.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l.



/oluci%n

0R 3 4 R 1 R R 3 4 1 ? 7 ? R 3 4 '( ?

R 4R 3 7 R ' O

R 4'( ? 7 7 ?

R

4 1';1 ?

J J

R 3 R ' '( ? 7 ?

J




Fig. 2.1.C/lculo de 4*.

R C 4 R J R R C 4 1';1 ? ? R C 4 '';1 ?

R F 4 R 5 R R F 4 1 ? '( ? R F 4 ( ?R 7 R ( ? 7 '';1 ? 1.'q; ?

R 4 F C R 4 R 4 R 4 (; ( ?R F R C

E( ? '';1 ?

E(';1 ?

E

R , 4 R 7 R E R , 4 q ? (; ( ? R , 4 '11; ( ?

E#ercicio .- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.2.

Fig. 2.2.C/lculo de 4*.

/oluci%n

0

R 3 4 R 1 R R 3 4 q ? ? R 3 4 ( ?

R 4R ' 7 R O

R 41 ? 7 q ?

R

4 5; 55 ?

J

R ' R 1q ?R C 4 R 3 R J R C 4 ( ? 5; 55 ? R C 4 1.'5; 55 ?

R 4R C 7 R 5 O

R 41.'5; 55 ? 1.5 ?

R

4 71; 7 ?

F

R C R 5 .q5; 55 ?R E 4 R 7 R F R R E 4 1 ? 71; 7 ? . ? R E 4 '.'; 7 ?

R 4R q 7 R E O

R 4'' ? 7 '.'; 7 ?

R

4 (7; ?

!

R q R E '.'; 7 ?R , 4 R 1 R ( R ! R , 4 7 ? 1.q ? (7; ? R , 4 .'7; ?

E#ercicio 7.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.3.

R7

R4

R 1 4 1 ? R 5 4 1 ?R

5 R1

R

4 7 ? R

4 '( ?

RT R

3R ' 4 7 ? R 7 4 q ?

R6 R

R 4 ?2

E

R10

R9

RT

R8

R7

R6

R5

R3

R4

R

1

R2

R 1 4 q ?

R 4 ?R ' 4 1 ?R 4 q ?R 5 4 1; 5 ?R 4 ; ?

R 7 4 1 ?R q 4 '' ?R ( 4 1; q ?R 1 4 7 ?

J

J

F

F

!

!



/oluci%n

0R 3 4 R ' R R 3 4 1; ? ; ? R 3 4 '; ?



"2

". "A

"

"?"1

"!

"555

"2

".

"555

"?

"!


Fig. 2.3.

)e%!lo dea!licación de latrans3or%aciónestrella-tri/nulo.

*e aplica la transformación estrellaFtri$ngulo al circuito que queda hallando los resistores I, II y III mostrada en la -ig! +3!8!

Fig. 2.4. A!licación de latrans3or%aciónestrella-tri/nulo.

R 4R 3 7 R R 3 7 R 5 R 7 R 5 4

'; ? 7 5; ? '; ? 7 '; ( ? 5; ? 7 ';

( ? R 5 '; ( ?

R / 4 1'; qq ?R 7 R R 7 R

R 7 R 5K;1K ?

R // 4 3 3 5 5 4 4 15; (?

R 3 '; K ?R 7 R R 7 R

R 7 R 5K;1K ?

R /// 4 3 3 5 5 4 4 (; ?R 5; ?

3l circuito resultante es el mostrado en la -ig! +3!.!

Fig. 2.5.Circuitoresultante.

R 4 R 7 R / O

R 4; 7 ? 1'; qq ?

R

4 ; ?

J

R R / 1; 5q ?

R1

RT

R2

R7

R3

R6

R4

R5

R 1 4 ; 7 ?

R 4 ; 7 ?

R ' 4 1; ?R 4 ; ?R 5 4 '; ( ?R 4 5; ?R 7 4 1; q ?

/

J

J



R 4 7 // O

R 41; q ? 15; ( ?

R

4 1; 1 ?

C

R 7 R // 17; 7 ?

C

C



"A

"4 "!

""?

"+


R F 4 R J R C R F 4 '; q7 ?

R 4R F 7 R /// O

R 4

'; q7 ? 7 (; ?

R

4 ; 7 ?

R F R /// 1'; 5' ?E

R , 4 R 1 R E R , 4 ; 7 ? ; 7 ? R , 4 7; ?

E#ercicio q.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.$.

Fig. 2.6.)e%!lo dea!licación de la

trans3or%acióntri/nulo-estrella.

/oluci%n

0 R 4R 7 R 5 O

R

4'; ' ? 7 '; ( ?

R

4 1; 7q75 ?

3

R R 5 7; ?R

J

4 R 1

R

R J

4 ; q ? 1 ? R J

4 1; q ?

Al circuito que queda se le aplica la transformación tri$nguloFestrella entre los resistores A, 9 y 4, quedando el circuito mostrado en la -ig! +3!;!

Fig. 2.7. A!licación de latrans3or%acióntri/nulo-estrella.

R 4R 3 7 R J 4

1; 7q75 ? 1; q ?4 ; 5 ?/

R R R 5; q ?3 J '

R 4R ' 7 R J 4

; ? 1; q ?4 ; ( ?// R R R 5; q ?

3 J '

R 4R 3 7 R ' 4

1; 7q75 ? 7 ; ?4 ; 7q

?/// R R R 5; q ?3 J '

ueda el circuito como se muestra en la -ig! +3!(!R C 4 R // R R C 4 ; ( ? 1; 5 ? R C 4 ;1(?

R F 4 R /// R 7 R F 4 ; 7q ? ; 7 ? R F 4 5; '7q?

R 4R C 7 R F O R

E E

R2

R1

R3

R6

R4

R7

R5

RT

R 1 4 ; q ?

R 4 1?R ' 4 ; ?R 7 4 ; 7 ?

R 4 '; ' ?R 5 4 '; ( ?R 4 1; 5 ?

3

3

E



;1( ? 7 5; '7q ? R 4 1; 55 ?

E

R C R F 7; 5q ?R , 4 R E R / R , 4 1; 55 ? ; 5 ? R , 4 ;11?

E



"5

" 55 "555

"!

""?

"4 "\

"2

"e

"- ".

"e @, .41 ]O"2 , @ ]O". .,? ]O"4 2, . ]O"- 3, @ ]O


Fig. 2.8. A!licación de latrans3or%acióntri/nulo-estrella.

E#ercicio (.- Hallar el @alor del resistor # del circuito mostrado en la -ig. 2E.4.

Fig. 2.9. A!licaciónde le de%.

/oluci%n

0R 3 4 R 9 R R J 4 R ' R R C 4 R 3 R J R e 4 R C R 1

Tamién se puede e%presar como:R e 4 BR 3 R J D R 1R e 4 R C R 1 O R e - R 1 4 R C

R C 4 q; '5 ? - ; q ? O R C 4 1; '5 ?

R 41

1

1

41

1

41

-1

O1

4

R J - R CC 1 1R R R R R R R R 7 R

R 3 R J

3 J C 3 C J 3 C J

R 4R

C 7 R J O

R 41; '5 ? 1; qq ?

O R

4 ?

3

R J - R C ; KK5 ? 1ero como A es igual a:

R 3 4 R 9 R R 9 4 R 3 - R R 9 4 ? - ; 7 ?

R 9 4 '; ' ?

E#ercicio 1.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l;. /oluci%n0

3

3



". "1

"4

"! "2 "- "?

"


Fig.2.10.C/lculo de 4*.

Al circuito se lo puede transformar, para facilitar su resolución, de la manera mostrada en la -ig!+3!''!

Fig.2.11.C/lculo de 4*.

R 3 4 R R 7 R 3 4 7 ? 5 ? R 3 4 1' ?

R 4R 3 7 R O

R 41' ? 1q ?

O

R

4 15; ' ?

J

R 3 R 11 ?

R 4R 7 R 5 O

R 4

15 ? 7 '' ?O

R

4 1; '1 ?

C

R R 5 Kq ?

R 4R J 7 R 1 O

R 415; ' ? 1 ?

O

R

4 ; 5 ?

F

R J R 1 5; ' ?

R E 4 R ' R C R E 4 ? 1; '1 ? R E 4 '; '1 ?

R 4R E 7 R F O

R 4'; '1 ? 7 ; 5 ?

R

4 5; ( ?

,

R E R F 'q; ' ?

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo .E#ercicio 1.- PCuBl es el @alor y tolerancia de un resistor identi,icado con las bandas/ amarilloA@ioletaA marrón y doradoQ.

R4

R 1 4 1 ?

R 4 15 ?

RT

R1

R7

R ' 4 ?R 4 1q ?R 5 4 '' ?R 4 7 ?R 7 4 5 ?

J

J

C

C

F

F

,

,



espuesta0 8;2 ohm al .N!



"2 "4 "-

"e ".

"2 -? ]O ". 44 ]O"4 1 ]O

"- .. ]O


E#ercicio .- PGn resistor identi,icado por las bandas/ @erdeA aFulA roJo plata se lo mide dando el@alor de ;;; ohm. PEstB dentro de la toleranciaQ.

espuesta0 #o, porque el 5alor m&nimo permitido por la tolerancia es de .282 ohm!

E#ercicio '.- Gn resistor identi,icado con las bandas/ amarillaA @ioletaA naranJaA marrónA roJo alser medido indica un @alor de 7.;; ohm.PEs aceptable dicho @alorQ. PCuBntos se esperanque ,allen luego de l;.;;; horas de usoQ.

espuesta0 #o, est$ fuera de tolerancia! Ono sólo dee fallar!

E#ercicio .- 'os resistores se encuentran asociados en serie con las siguientes identi,icaciones/el primero @erdeA aFulA roJoA dorado y el segundo marrónA grisA roJoA plata. 8ndique los @aloresmBimos y mnimos esperados del conJunto.

espuesta0 M$%imo P ;!(02 ohm! M&nimo P 0!)82 ohm!

E#ercicio 5.- 'os resistores se encuentran asociados en paralelo y estBn identi,icados comosigue/ el primero naranJaA blancoA marrónA plata y el segundo amarilloA @ioletaA roJoA dorado.8ndique los @alores mBimo y mnimo esperados de la asociación.

espuesta0 M$%imo P 4)8,; ohm! M&nimo P 4+.,8' ohm!

E#ercicio .- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l2.

Fig. 2.12.

C/lculo de 4e<.

espuesta0 '40 QR!

E#ercicio 7.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l3.

Fig. 2.13.C/lculo de 4e<.

espuesta0 ',.( QR!

E#ercicio q.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l.

R2

R3

R4

R 1 4 1; ?

R1

R 4 ; q ?R ' 4 1; 5 ?R 4 ; ?

R&,



"e


Fig. 2.14.

C/lculo de 4e<.

espuesta0 '2,20 ohm!

E#ercicio (.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l.


espuesta0 '4,;( QR!

E#ercicio 1.- Hallar la resistencia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. 2E.l$. *odos losresistores son de l; W.


espuesta0 (,444 R!

R1

R4 R

6 R 1 4 '; '

R 4 ; 7R ' 4 '; (

R&, R

2

R3 R5 R7 R 4 ; ?R 5 4 ; q ?R 4 1 ?R 7 4 ;

R&,

R1

R4

R3

R2

R5

R 1 4 1 ?

R 4 q; R ' 4 1q ?R 4 ?R 5 4 15 ?





E#ercicio 1.- Hallar la corriente que atra@iesa un resistor de 3A3 V6 si se le aplica entre susetremos % @olt.

/oluci%n0

E 4 / 7 R O / 4E

O

/ 4

q > / 4 ; 15 3 ) 1; 5 m3

R ' 7 '' ?

E#ercicio .- En el circuito de la -ig. 3E.l hallar la resistencia total @ista desde la ,uenteA lacorriente total y la potencia total entregada por la ,uente.

Fig. 3.1.4esolución%ediante lale de %.

/oluci%n

0

R

4R ' 7 R 5 O

R

4'' ? 7 '( ?

R 4 17q; 75 ?

3

R ' R 5 7 ?

R J 4 R 3 R R J 4 17q; 75 ? 7 ? R J 4 q; 75 ?

R , 4 R 1 R R R J R , 4 1 ? q ? 7 ? q; 75 ? R , 4 q(7; 75 ?E

/, 4,

O /, 41 >

q(7; 75?

O /, 4 ;1'' 3

E 4 E7 /, E 4 1 > 7 ;1'' 3 E 4 15; ( ?

E#ercicio '.- Gn resistor de l; 6 tiene aplicada una tensión de l @olt. Hallar/aD =a energa disipada en l minuto.=D !i ahora se lo deJa conectado 2 minutosA Pse incrementa la energa disipadaQA Py la

potenciaQ.

/oluci%n0

aD/ 4

E / 4

15

>

/ 4 1; 5 3

R 1 ?

6 4 / 7 R

7t

=D 6 4 / 7 R

7t

O 6 4 B1; 5 3D2 71 ? 7 s

O 6 4 B1; 5 3D2 71 ? 71 s

6 4 1'5

6 4 7

R1

+

-

R2

T

R6

R3

R4

R5

E 4 1 >

R 1 4 1 ?R 4 q ?R ' 4 '' ?R 4 7 ?R 5 4 '( ?R 4 7 ?

3

3

R



4 / 7

R O 4 B1; 5 3D2 71 ?O 4 ; 5 ?




E#ercicio .- Hallar el rendimiento en S de un motor de ;A H: a cuya entrada se le aplican ; 6.

/oluci%n0 1 4 7 ? h 4+ 1 h4

'7' ?

1

h 4 q; qqQ

Q5 ?

Q

E#ercicio 5.- Gn motor tiene una potencia nominal de 3 H:. !i ,unciona en 22; @olt y posee unae,iciencia del 4;S/

aD PCuBntos att le entrega la lnea de alimentaciónQ.=D PCuBl es la corriente de entradaQ.cD PCuBl serB la corriente de entrada si la e,iciencia baJa al 7;SQ.

/oluci%n0

aD ' 4 ' 7 ? 4 .'q ?

h 4 + 1 4 M+ 1 4 .'q ? 1 4 .q; ?

Q e h e ( ee Q

b 4 E7

/

/ 4

/ 4.q;

?

/ 4 11; ' 3

E >cD

h 4 1 4

1 4

.'q ? 1 4 '.1(7;1 ?

+ +Q e h e 7 e

e Q

4 E7/ / 4

/ 4 '.1(7;1 ? / 4 1; 5' 3E >

E#ercicio .- Gn circuito de % lBmparas en serie estB conectado a la lnea de 22; @olt. !i cadalBmpara tiene una resistencia de ,ilamento de ohm y soporta una tensión mBima de 3; @olt/

aD PYu+ corriente circula por cada lBmparaQ.=D PCuBl es la cada de tensión en cada lBmparaQ.cD !i se quema una lBmpara y se la puenteaA Pqu+ sucedeQ.

/oluci%n

0

aD

R , 4 q 7 R R , 4 q 7 55 ? R , 4 ?

/ 4E

R , / 4 >

/ 4 ; 53 KK ?

=D> 4 / 7 R O>

4 ; 5 37 55 ? >

4 7; 5 >

L L L

cR , 4 7 7 55 ? R , 4 'q5 ?

/ 4E

R , / 4

>

/ 4 ; 573 'q5 ?>L 4 / 7 R >L 4 ; 57 37 55 ? >L 4 '1; '5 >

6as l$mparas restantes se quemar$n ya que e%cede la tensión m$%ima!

E#ercicio 7.- En el tramo de circuito mostrado en la -ig. 3E.2A hallar las corrientes ,altantes.

/oluci%n0 1or aplicación de la 'a ley de 7irchhoff!

eQ



/ 4 /1 / /' / 4 5 3

/( 4 / /5 - / /( 4 ' 3

/q 4 /( - /7 /q 4 3



".

"

"2 " E-

<F "+

"4

"1

"4

"2 "-

<E F "&

"."1


Fig. 3.2. A!licaciónde la1G le de>irco33.

E#ercicio q.- Hallar las corrientes en cada rama del circuito mostrado en la -ig. 3E.3.

Fig. 3.3.4esolución%ediantelas leesde % >irco33.

/oluci%n0 R 3 4 R q R ( R 3 4 q; ? '; ( ? R 3 4 1;1 ?

R 4R 7 7 R 3 O

R 4 5; ? 71;1 ?

O

R

4 '; q ?

J

R 7 R 3 17; 7 ?uedando el circuito mostrado en la -ig! 43!8:

Fig. 3.4.

4esolución%ediante laslees de % >irco33.

R C 4 R R J R C 4 1; q ? '; q ? R C 4 5; ? 6uego se reduce como se 5e en el circuito de la -ig! 43!.:

Fig. 3.5.4esolución

%ediante laslees de % >irco33.

/1 4 1 3

5

/ 4 ( 3/' 4 3

/ 4

.3

4

/5 4 3/ 4 3/7 4 ' 3

/q 4 8 /( 4

R 1 4 ; q ?

R2

R6

R 4 ; 7 ?R ' 4 '; ' ?

R1

R4

+

-

R 4 1 ?R 5 4 ; ?R 4 1; q ?

R3

R5

R8 R 7 4 5; ?

R q 4 q; ?R ( 4 '; ( ?E 4 5 >

J

J



"D "-

<E F "&

"1

"E<E

F"

&

"1

"$ E<F "&

"!<E

F


A continuación el circuito toma la forma 5ista en la -ig! 43!0:

Fig. 3.6.4esolución

%ediante laslees de % >irco33.

R F 4 R 1 R R ' R F 4 ;q? ;7 ? '; ' ? R F 4 1; q ?

R 4R F 7 R O

R 41; q ? 1 ?

O R

4 5; ( ?

E

R F R K; q ?

3l circuito aSn m$s reducido se oser5a en la -ig! 43!;!

Fig. 3.7.4esolución%ediante laslees de % >irco33.

R ! 4 R E R 5 R ! 4 5; ( ? ; ? R ! 4 q;1 ?

6uego nos queda el circuito 5isto en la -ig! 43!(:


1or Sltimo T se oser5a en el circuito de la -ig! 43!):


R 4R ! 7 R C O

R 4q;1 ? 7 5; ?

R

4 '; 'q ?

,R R

,

!1'; 7q?

,

E/, 4

,

O /,

45 >

'; 'q?

O /,

E

E

C

R



4 ; 75 3 ) 75 m3



".

""4

"2 E "A

"- "1 "?

"23


E/R! 4

!O/R!

45 >

q;1?

O/R!

4 ; '3 ) ' m3

E/RC 4C

O/RC

45 >

5; ?

O/RC

4 ; 3 ) ; m3

E#ercicio (.- Hallar la corriente en cada rama y la potencia disipada en cada resistor obser@adasen la -ig. 3E.l;.

Fig. 3.10. A!licaciónde las leesde % >irco33.

/oluci%n

0R 3 4 R q R ( R 3 4 ; ? '; ' ? R 3 4 5; 5 ?

uedando como se oser5a en la -ig! 43!'':


R J 4 R R 7 R J 4 5; ? ; q ? R J 4 1; ?

6uego el circuito toma la forma 5ista en la -ig! 43!'+:

R

R

R 1 4 1 ?

R2

R8

R 4 ; 7?

R

1 R3 R6 R9 R 4 '; (?

R R

5 R7

R 4 5; ?

R q 4 ; ?

R10

R ( 4 '; '? R 1 4 1;E 4 q >



"2

"4

E "A

"- "1 "+

"23

".

".

"4

"2 E "A

"&

"23

".

"D

"2 "A

"23



R 4

1

4

1

4

1

4 1; (5 ?C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;

5 ;17q ; q

R R 5 R J '; (?

5; ?

1; K ? ? ? ?

1osteriormente el circuito se reduce a lo mostrado en la -ig! 43!'4:

Fig. 3.13.

A!licaciónde las leesde % >irco33.

R F 4 R ' R C R F 4 q; ? 1; (5 ? R F 4 1;15 ?

Gna reducción mayor an se puede obser@ar en la -ig. 3E.l/




/ 4>R3 /

4; 7 >

/

4 '; 7 3 4 / 4 /

R33

R35; 5 7

?

R3 R q R (

>RC 4 /RC 7 R C O >RC 4 ; 31; (5 ? O >RC 4 '; ( >

R



"2 "-

".

E"?

"AF

"

"4 "1 "@

/oluci%n0 *e aplica la transformación estrellaFtri$ngulo a los resistores ', + y 4, quedandocomo se oser5a en la -ig! 43!'(!

Fig. 3.18. A!licación de latrans3or%aciónestrella tri/nulo.



"- E "?

"AF "

"1"@

"D E

"

"?

A F"

" "@E

"5 "D

" E"?

55

"A F "

"555 "E"@

' ?

#os queda como se 5e en la -ig! 43!')!

R 4R 7 R J O

R 415 ? 7 q; ?

R

4 (; q ?

F

R R J K'; ?

R 4R 5 7 R C O

R 4q; ? 7 ' ?

R

4 ; qq ?

E

R 5

R C

51; ?


3l circuito reducido es el mostrado en la -ig! 43!+2!


*e 5uel5e a aplicar la transformación tri$nguloFestrella entre los resistores A , D y 3 @5er la -ig! 43!+'!


R 4R 3 7

R F R 4

51;? 7 (; q ?

R

4 7; ' ?

/R R R

/q; ' ?

/

3 F E

F

/F

E

E



"5 "?

E"

" F55

" "@555

"$ E"55 "

"

"55 "

E"


R 4R F 7

R E R4(; q ? 7 ; qq ?

R

4 ; (( ?

// R R R // q; ' ? //3 F E

R 4R 3 7 R E O R

451; ? 7 ; qq ?

R

4 5;1( ?

/// R R R

/// q; '?

///

3 F E

#os queda como se oser5a en la -ig! 43!++!

Fig. 3.22.

A!licación de latrans3or%aciónestrella tri/nulo.

R ! 4 R / R 7 R ! 4 7; ' ? 7 ? R ! 4 '; '

? R 4 R /// R q R 4 17;1( ?

uedando el circuito reducido de la -ig! 43!+4!


R 4R ! 7 R O

R

4

'; ' ? 17;1( ?

R

4 11; ?

R ! R 51; ? 1or Sltimo, el circuito queda simplificado segSn se oser5a en la -ig! 43!+8.


R , 4 R // R R R , 4 ; (( ? ? 11; ? R , 4 '; 5 ?

/ 4E

/ 4 > / 4 ; ( m3 4 / 4 / 4 /, ,

'K; K5?

, R// R R

>R 4 /R 7 R >R 4 ; ( m311; ? >R 4 7; ( > 4 >R 4 >R!

+

R ,



/ 4>

R /4

7; ( >

/

4 ; m3 4 / 4 /

R

R17;1(

?

R R/// R q

/ 4>R! /

47; ( >

/4 ; ' m3 4 / 4 /

R!!

R!'K; K'

?

R! R/ R 7

R

R



"2

*"+

".

*"^


>RF 4 >R/ >R//

>R/4 /R/ 7 R / O >R/4 ; ' m3 7; ' ? O >R/4 1; 7

> >R// 4 /R// 7 R // O >R// 4 ; ( m3 ; (( ? O >R// 4

; q > >RF 4 1; 7 > ; q > O >RF 4 ; 'q > 4 >R 4>RJ

/ 4>RF /

4; 'q >

/4 ; m3RF RF RF

R F/ 4

>R

/

(; qK ?

4; 'q >

/

4 ;15 m3

R R R

R >RJ

RJ RJJ

15 ?

4; 'q >

/q; ?

RJ

4 ; q m3

>RE 4 >R//

>R/// >R// 4 ; q

>>R/// 4 /R/// 7 R /// O >R/// 4 ; m3 5;1( ? O >R/// 4 ;

'q > >RE 4 ; q > ; 'q > O >RE 4 '; > 4 >RC 4 >R 5

/ 4>

R5 /4

'; >

/

4 ; '7 m3

R5 R5 R5

R 5/ 4

>RC

/

q; ?

4'; >

/

4 ; 7 m3

RC RC RC

R C K' ?>R3 4 >RC - >RJ 4 '; > - ; 'q > >R3 4 ;

q > >R3 4 >R' - >R1 >RJ 4 >R

>R1 >RC 4 >R >R'

C$lculo de / 1 y / 2

@5er la -ig! 43!+.!

Fig. 3.25.C/lculo de ;41.

esol5emos aplicando el método de las tensiones en los nodos:/1 / /' 4

>3 - >R >3

>3- >

R 5 4 R 1 R R '

4 //R

/



>3 ->R

>3 >3 -

>R5 4

R 1 R 1 R R ' R '

Z 1 1 1 [ > >> 7\ ] 4 RK R5

^ R 1

R

R ' _ R

1R

'3



"2

" <@.

=@ *

"4

<.- *

*

=2 *

". @ O


>R >

R5

; 'q >

'; >> 4

R 1

R ' >4

1 ? 1q ? >

4 1; 5 >3 1 1 1 3 1 1 1 3

R 1 R R ' 1

?1?

1q ?

/ 4>3- >R

/4

1; 5 > - ; 'q >

/

4 -; 7 m3

1 1 1

R 1 1 ?

/ 4>3 /

41; 5 >

/

4 ;15 m3

R 1 ?

/ 4>

3- >

R 5

/ 4 1; 5 > - '; > /

4 -; q5 m3' ' '

R ' 1q ?

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo 4

E#ercicio 1.- Encuentre la potencia suministrada a un motor de corriente continua conectado a120 @olt por el que circulan amper.

espuesta0 2,0 Q!

E#ercicio .- !abiendo que un dispositi@o el+ctrico tiene un rendimiento del %S y la energa de

entrada es de 0 ?ouleA PcuBl es la energa de salidaQ.

espuesta0 8+,. Uoule!

E#ercicio '.- En el circuito de la -ig.3E.2$ hallar los @alores de ' y 4.

Fig. 3.26.iisor resistio.

espuesta0 ' B ( y 4 B 8 !

E#ercicio .- En el circuito de la -ig. 3E.27 hallar las corrientes en cada rama.




Fig. 3.27.C/lculo de lascorrientes.

/ / espuesta0 /, 4 ';5 3 /1 4 3 / 4 1; ' 3 /' 4 ; 3 e / 4 1;5 3.

E#ercicio 5.- En el circuito de la -ig. 3E.2% hallar el @alor de # *A las corrientes y la tensión M.

espuesta0 T B 8 RG / A B 0 /G I ' B 0 AG I + B 4 AG I 4 B 4,0 A e I 8 B +,8 A!

Fig. 3.28.

E#ercicio .- En el circuito de la -ig. 3E.24 encuentre el @alor de la corriente 8 y la tensión sobreel 4.

Fig. 3.29. A!licación dela le de %.

espuesta0 I B 2,0 A y / 4 B +( / .

E#ercicio 7.- En el circuito de la -ig. 3E.3; calcular/ # *I M#2I M#I 8#3 @alor y sentido e 8*.

T

R1

1R 1 4 ?

+

-

R4

4

R 4 ' ?R ' 4 ?

R2 2 R3 3 R 4 q ?

T

+ 3

-

1

R1

R2

R3

4

R4

2

A

R 1 4 1 ?

R 4 15 ?R ' 4 1 ?R 4 ?

+9

R1

R3

R 1 4 7 ?R 4 q ?

R2

R ' 4 5 ?

19



A

+


Fig. 3.30. A!licación de lale de %.

espuesta0 T B ',(( RG / + B / . B 4+ /G I 4 B ( A e I T B ';,2+ A!

E#ercicio q.- En el circuito de la -ig. 3E.3l todos los resistores son de l; ohmA hallar # * entrelos bornes y (.

espuesta0 T B (,44 R!

Fig. 3.31.C/lculode 4*.

E#ercicio (.- En el circuito de la -ig. 3E.32 hallar la potencia que disipa # %.

R5

R5

R4 R3

R2

R2

R 1 4 1

? R 4' ? R ' R 4 q ?

T

R1

R 5 4 1? E 4

- +




Fig. 3.32.C/lculo dela !otenciadisi!ada !or R 8 .

espuesta0 1 ( B 8,88 !

E#ercicio 1.- En el circuito de la -ig. 3E.33 hallar/ # * y M#.

Fig. 3.33. A!licación detrans3or%aciónestrella-tri/nulo.

espuesta0 T B 4 R y / . B . /!

R1

R4

R7

R 1 4 7 ?R 4 1 ?

+

R3 R6 R8 R ' 4 ?R 5 4 1 ?R 4 ?R 7 4 ?

R2

R5

R q 4 1 ?R 4 ?E 4 >

R4

R1R

2

R 1 4 ?R 4 ?R ' 4 ?

+

-

R3 R

5

R 4 ?R 5 4 ?E 4 1 >



=<E!

"

"i

"&

E


E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo -

E#ercicio 1.- Gna pila de ;A4 M tiene una capacidad de ; mh. !i la corriente de descargaes de $;; mA PcuBnto tiempo durarB esa pilaQ.

/oluci%n

0 >ida BhorasD 4Ca0acidad "omi"al Bm3hD >ida BhorasD 4

5 m3h

Co"sumo Bm3D m3

>ida BhorasD 4 ; 75 h ) 5 m .

E#ercicio .- =a asociación de pilasA como se muestra en la -ig. E.lA alimenta a un resistor #Ahallar la corriente @alor y sentido que pasa por dicho resistor.

Fig. 4.1.

Asociaciónserie de !ilas.

/oluci%n0

E, 4 BE1 E D - BE E' D E, 4 B1> >D - B1q > 1>D E, 4 -1K >

3l circuito resultante con la tensión equi5alente es el mostrado en la -ig! 83!+!

Fig. 4. 2.@uenteresultante.

/ 4E, / 4

1 > / 4 1; 3 R 1 ?

E#ercicio '.- En una ,uente de tensión de ; M se conecta una carga de ;; W @er la -ig.E3A con lo cual la tensión disminuye a 3%A M. Hallar la resistencia interna de la ,uente.

Fig. 4. 3.

C/lculo de laresistenciainterna.

/oluci%n

0 /Rc 4>

Rc /R C 4

'q; 5 > /; 5 ?

Rc 4 77 m3

R i 4 E/Rc

- R C R i 4 >

77m3

- ; 5 ? R i

4 1(; Kq ?

+

1

+

2

+

3

+

4

R

E1 4 1 >E 4 1q >

E' 4 1 >E 4 >

R 4 1 ?

+

Rc



?. *

< 5 =

"2 ".


E#ercicio .- 'iseDar un di@isor de tensión de modo que la tensión en # l sea cinco @eces menor a la de # 2. =a corriente que circula es de m. Mer la -ig. E..

Fig. 4. 4.iisor detensión.

/oluci%n0

>R1 4>R R5 1

4R 5

R 4E

R , / ,

47 >m3

O R , 4 1q ?

R 4 R R R 4 R R R 4 Z1

1[ 7 R OR 4 R , R 4 1q ?

, 1 , 5 , \ 5 ] 1

1;

R 4 15 ? ^ _ 15R 1 4 R , - R R 1 4 1q ? - 15 ? R 1 4 ' ?

E#ercicio 5.- 'e acuerdo al circuito obser@ado en la -ig. E.A completar el cuadro mostradomBs abaJo.

Fig. 4. 5.iisor detensión encascada.

>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

% M

/oluci%n0

> 4 > 7R 1

> 4>

7R 1 O

>4

>3, >4

q >

>

4 >

J, 3, R R J, 3, 7R

J, J, J,

1 1 1

>3J 4 >3, - >J, >3J 4 q > - > >3J 4 >> 4 > 7

R

>4>J, >

4 >

>

4 1 >

C, J, R R C, C, C,

>JC 4 >J, - >C, >JC 4 > - 1> >JC 4 1>

A

T

R1

R1

R2

C

R2

R3

R3

>3, 4 q >

R 1 4 1 ?R 4 1?

R ' 4 1?



52"2 "2 5. ".". ".

5 54

5-


> 4 > 7R

'

>4>

C, >4

1 >

>

4 >

F, C, R ' R ' F, F, F,

>CF 4 >C, - >F, >CF 4 1 > - > >CF 4 >

>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

% M 2 M 2 M l2 M l2 M $ M $ M

E#ercicio .- Gn Juego de luces estB compuesto por ocho lBmparas en paralelo con un resistorde lA% VW cada una. !i se lo conecta a una tensión de 22; M hallar la/

aD Corriente total.=D Corriente en cada lBmpara.

cD #esistencia total.dD :otencia de cada lBmpara. /oluci%n0

EaD /, 4

,

O /, 4 >

; 5?

O /,

/ /4 (77;7 m3 ) ; (7 3

/ /

E=D /L 4

L

O /L 4 >

1; q?

O /L 4 1; m3 ) ;1 3

cD R , 4 1

O1 1 ...... 1R 1 R R q

R 41

1

1

1

1

1

1

1

11; q ? 1; q

?1; q?

1; q?

1; q?

1; q?

1; q?

1; q ?

1R , 4

1q 7O R ,

14

/1;

O R , 4 ; 5 ?

1; q ? ?

dD L 4 /L 7 R L L 4 B;13D

1q ? L 4 ; q ?

E#ercicio 7.- En el circuito mostrado en la -ig. E.$A hallar las corrientes indicadas.

Fig. 4.6.iisor de

corriente.

/oluci%n

0 /1 4 / 7

R

R

,

/ /



R 1 R R R R 1 BR 1 R R R D




R 4 11 1 1 1 R 4

11 1 1 1

1 R 4

1 ' R 1 R R R

//

1

?

q ? q ? q

?

1 ? q ?

R 41

R /1

4 ; 1q ?; 5q'

?

/1 4 137

;1q ?

1 ? ;1q?

/1 4 1; q 3 4 /

/ 4 /1 / /' O /' 4 / - 7 /1 O /' 4 1 3 - 1; q 3 O /' 4 q; 'q 3

/ 4 /' 7 R R R BR R D

R 4R 7 R O R

4q ? 7 q ?

OR

4 K ?

R R 1 ?

/ 4 q; 'q 3 7

K ?

q ? K?

O /K 4 ; 77 3

E#ercicio q.- El di@isor de la -ig. E.7 permite obtener las tensiones indicadas en la tabla.Eplique los posibles moti@os de dichos @alores para los cuadros aA b y c.

Fig. 4. 7.etector de3allas en undiisor detensión.

aD>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

l;; M 1; M 1; M 2A3% M 7A$2 M 23A%l M 23A%l M

=D>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

l;; M 1; M 1; M ; M 1; M 2 M 2 McD

>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

l;; M 1; M 1; M 2 M 2 M 2 M ; M

/oluci%n0

M

A

R1

>3, 4 1 >R 4 R 4 1 ?

R2 R

3 R 4 R 4 1 ?

R

C R 4 R 4 1 ?

' '

R2 R

3

T



aD En este caso el resistor # 2 debe estar abiertoA y las tensiones son/




R S R SS ?

> 4 > 7 ' ' O > 4 5 > 7 O > 4 7; >C, J, R S R S R SS

C, 1 ?C,

' '

>JC

4 >J,

- >C,

>JC

4 5 > - 7; > >JC

4 ; 'q >

> 4 >R SS 7 ' O > 4 7; > 7

1 ?

>4 '; q1 > 4 >

F, C,R S R SS

F, ? F, CF' '

=D En este caso # 2J debe estar en cortocircuitoA quedando las tensiones que se calculan acontinuación/

>JC 4 > < te"si)" so=re u"

cortocircuito >J, 4 >C, 4 5 >

> 4 >R SS 7 ' O> 4 5> 7

1 ?O

>4 5> 4 >

F, C,R S R SS

F, ?

F, CF

' '

cD En este caso debe estar # 3 en cortocircuito quedando las tensiones como se muestra acontinuación/

>F, 4 > te"si)" e" u" cortocircuito

>C, 4 >CF 4 5 >

E#ercicio (.- 'eterminar el @alor y la potencia de los resistores # lA # 2 y # 3 para alimentar las

cargas # Cl y # C2A como se muestra en la -ig.E. %.

Fig. 4.8.ise?o deun diisorde tensión.

/oluci%n

0R 4

>R' R

' / '4

1 >5 m3

O R ' 4 ?

4 / 7 R O

4 B5 m3D2 7 ? O

4 ; ?

R' ' R ' R'

3n el nodo A se cumple:/ - /R1 - /1 4 /R1 4 / - /1 /R1 4 5 m3 - m3

/R1 4 ' m3/

.

A

R1

2 +

1

E 4 7 > 60

+ -

RC2

/ 4 5 m3/1 4 m3

R2

RC1 20

- / 4 1 m3>RC1 4 >

R3

>RC 4 >

12



R 4>R1 R

1 / 14

>RC1 - >RC R 4/ 1

>' m3 O R 1 4 1; ' ?

R1 R1 / 4 /

7 R O

4 B ' m3D2 71; ' ? O

4 1;1(7 ?

R1 R1 1 R1 R1

3n el nodo 9 se cumple:




/R1 - /R - / 4 /R 4 /R1 - / /R 4 ' m3 - 1 m3 /R 4 m3

R 4>R R/R 4

> m3

O R 4 1 ?

4 / 7 R O

4 B m3D2 71 ? O

4 ; ?

R R R R

E#ercicio 1.- Hallar las tensiones Ml y M2 en el circuito de la -ig. E.4A con y sin carga.

Fig. 4.9.Potenció%etroco%o diisor de

tensión.

/oluci%n0

*in carga! R S 1 ?

>1 4 E7R S R SS

O >1 4 > 7

?

>1 4 1' >

R SS q ?

Concarga!

> 4 E7R S R SS

O > 4 > 7 ?

O > 4 qq >

R SS 7 R q ? ?R 4 R R SS R

4 R ' ?

4 ?

R S 7 R 1 ? 7 ?R 1 4 1 R R S R

M14 R

7 ?M1 4 1 ?

> 4 E7 R

R 1 R

O>

4 >

7

?

1?

O>

4 q; 5 >

> 4 E7 R 1 O > 4 > 71 ?

O

>4 1'7; 5 >

R 1 R 1 ?

1

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo -

E#ercicio 1.-PCuBnta corriente proporciona teóricamente una batera con un @alor nominal de2;; h durante ; horasQ.

espuesta: . A!

E#ercicio .-Encontrar la resistencia interna de una batera que tiene una tensión de salida sincarga de $ M y proporciona una corriente de l; m para una carga de ;A VW.

R

R

R1

R2

1

2

E 4 >

TR S 4 1? 4 ? VU R SS 4 q?

R 1 4 ? R 4 ?

1

1

1



espuesta0 '22 R!



<2. *

"2

<-

".

"4

*

=- *

=@ *

". @ O


E#ercicio '.-En el circuito mostrado en la -ig. E.l;A hallar los @alores de # l y # 3.

Fig. 4.10.C/lculo delalor de losresistores.

espuesta0 ' B ( R y 4 B 8 R!

E#ercicio .-En el circuito de la -ig. E.ll se tienen dos bateras de distinta tensiónA si seconocen ademBs sus resistencias internas se pregunta/

aD PCircula corriente a pesar de no estar con cargaQ.=D P'e circularA qu+ @alor tieneQ.

Fig. 4.11.

A!licación delas lees de>irco33.

espuesta0 a *&, y '+2 A!

E#ercicio 5.-En el circuito de la -ig. E.l2 hallar 8lA 82A 83 y M;.

R1

R2 E1 4 1 >

E 4 >R i1 4 ; ' ?

1

2

R i 4 ; ?




Fig. 4.12.C/lculo decorrientes tensiones.

espuesta0 I ' B . mA, I + B +,(. mA, I 4 B ',8+( mA y / 2 B ',8+( /!E#ercicio .-'ado el circuito de la -ig. E.l3 y unas tablas con las tensiones medidasA indicar encada caso el moti@o de dichos @alores.

Fig. 4.13.etección de

3allas en undiisor

aD>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

2;; M l;; M l;; M 1; M ; M ; M ; M

=D>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

2;; M l;; M l;; M 1; M 1; M 1; M ; M

cD>3, >3J >J, >JC >C, >CF >F,

2;; M l;; M l;; M l;; M ; M ; M ; M

espuesta0 a +" est$ en corto, 4

" est$ en corto y c +" est$ aierto!

.

R 1 R

/ 4 1 m3R 3 R 4 1 ?

R 2 R R R

0

A

R1

>3, 4 >R 4 R 4 1 ?

R2

1 1

R

4 R

4 1 ?R1 C

R3

R S 4 R SS 4 1 ?' '

R2 R3

T



<= . A "2

<".E=

.A 3 G3

4 A '0 b0

E P 2. O

233 mA c0 d0 54

- ]E ".

E- *

<= 2 ] =

<43 O43

52 ".


E#ercicio 7.-En el potenciómetro de la -ig.E.1 hallar los @alores de resistencia de # 1 y # 2A cony sin carga.

Fig. 4.14.iisor a!artir de un!otenció%etro.

espuesta0 ' B ;.2 R y + B +.2 R!

E#ercicio q.-En los circuitos de la -ig. E.1 hallar los @alores desconocidos.

Fig. 4.15. 4esolución de los !ar/%etros 3altantes.

espuesta: a ' B . R y + B '2 R! 3 B '+ /, I + B ',44 A, I 4 B ' A, 4 B '+ R e I B 8,44 A!c I ' B 08 mA, I 4 B '0 mA, I B 40 mA, B 4,+ QR e I + B +2 mA!

d 3 B 42 /, I ' B ' A, I + B I 4 B 2,. A y + B 02 R!E#ercicio (.-En los circuitos de la -ig. E.1$ hallar las corrientes aplicando el concepto dedi@isor de corriente.

R1

R2

RC

RC

4 1 ?R C 4 1? >Rc 4 '>



52 O 5. 54 @ O @ O O O

52

133 mA23 O.. O

5-

5.

@ O

5.

- O 2. O

54

2@ O

'0 b0 A5.

2. A

4 O 5-

c0 d0

54


Fig. 4.16. C/lculo de los !ar/%etros 3altantes.

espuesta: a I ' B 8 A e I + B ( A! I ' B + A, I + B 8 A, I 4 B ' A e I 8 B ',44 A!c I ' B 4'+,'( mA, I + B '(;,(+ mA, I 4 B 8.,)' mA e I 8 B .22 mA!d I + B 8,. A, I 4 B (,. A e I 8 B (,. A!



"-

5.

52 54 "4

". "1

+

"2 A

E2 E.

A "-

5__.

5__2 5__ "44

<F

"."1

+

"2

E.



E#ercicio 1.- #esol@er el circuito mostrado en la -ig. E.l aplicando el m+todo de superposición.

Fig. 5.1.

/oluci%n0 De"amos la fuente 3 ' y pasi5amos la 3 + , quedando el circuito mostrador en la -ig! .3!+!

Fig. 5.2.

R 3 4 R R 5 R 3 4 ? 5 ? R 3 4 ( ?

R 4R

3 7 R ' O

R 4

( ? 7 ' ?O

R

4 ; 5 ?

J J

R 3 R ' 1 ?R , 4 R 1 R R J R , 4 5; 5 ?

S E1, 1

, /S 4

1 >

5; 5?

O /S 4 ; q 3

> 4 /S 7 R > 4 ; q 3 7 ; 5 ? /S 4 51; ' >

/S 4>3J /S

451; ' >

/S

4 ; 57 3

( ?

/S 4>3J /S

451; ' >

/S

4 1; 71 3

' ' ' ? '

De"amos la fuente 3 + y pasi5amos la 3 ' , quedando el circuito de la -ig! .3!4:

Fig. 5.3.

R 3 4 R 1 R R 3 4 1 ? ? R 3 4 ' ?

+ 1

- 1

R1

R2

3

A

R3

R4

2

+

2 - R

5

E1 4 1 >E 4 >R1 4 1 ?R 4 ?R' 4 ' ?R 4 ?R5 4 5 ?

J

4 // 4 R 1 1

3J 1 J 3J 1

R 3

R '



5`25``25`45``45`.5``.


R 4R 3 7 R ' O

R 4' ? 7 ' ?

O

R

4 15 ?

JR 3 R ' ?R , 4 R J R R 5 R , 4 15 ? ? 5 ? R , 4 15 ?

/ 4 /SS 4E

/SS 4 > /SS 4 1; ( 3,

,SS

15 ?

>3J 4 / 7 R J O >3J 4 1; ( 315 ? O >3J 4 q; 5 >

/SS 4>3J /SS 4

q; 5 > /SS 4 ; (5 3

1 1 ' ? 1

/SS 4>3J /SS 4

q; 5 > /SS 4 ; (5 3

' ' ' ? '

1ara el resumen de lo resuelto se oser5an las direcciones y posiciones de las corrientes encada rama, como 5emos en el circuito de la -ig! .3!8:

Fig. 5.4.

/ 4 /S- /SS

/ 4 ; q 3 - ; (5 3 /

4 1; '' 3

1 1 1 1 1

/ 4 /SS- /S / 4 1; ( 3 - ; 57 3

/4 1; '' 3

/ 4 /S

/SS /

4 1; 71 3 ; (5 3 /

4 ; 3

' ' ' ' '

E#ercicio .- #esol@er el circuito de la -ig. E. aplicando el m+todo de las corrientes en las

mallas.

Fig. 5.5.

/oluci%n0 Determinamos el sentido de circulación en cada malla @aritrario y el sentido en que se 5a a recorrer las mallas, esto se aprecia en la -ig! .3!0:

J

J

R

R 3

R '

+R

1 +R

2

-

1 - 2

R4R

3

R7 E1 4 15 >

E 4 1 >R5 R6

R " 4 " 1 ?



<F

E2 52

"2 ".

E.<F

5.

"?

"-

"1"4

"


Fig. 5.6.

1lanteo de lasmallas: Malla I:

Malla II:

E1 - /1 7 R 1 - E -B/1 - / D 7 R ' - /1 7 R 5 - /1 7 R K 4

-/ 7 R - / 7 R 7 - / 7 R - B/ - /1 D 7 R ' E 4

TE1 - /1 7 R 1 - E - B/1 - / D 7 R ' - /1 7 R 5 - /1 7 R 4 V-/ 7 R - / 7 R - / 7 R - B/ - / D 7 R E 4

T-/1 7 R 1 - /1 7 R 5 - /1 7 R K - B/1 - / D 7 R ' 4 E - E1V-/ 7 R - / 7 R - / 7 R - B/ - / D 7 R 4 -E

T-/1 7 R 1 - /1 7 R 5 - /1 7 R K - /1 7 R ' / 7 R ' 4 E -

E1V-/ 7 R - / 7 R - / 7 R - / 7 R / 7 R 4 -E

T-/

1 7 BR

1 R

5 R

K R

' D /

7

R 'V4 E - E1

U-/1 7 R ' - / 7 BR R 7 R ' R D 4 -E

T-/1 7 B1 ? 5 ? K ? ' ?D / 7 ' ? 4 1 > - 15 >V

7 ' ? - / B ? 7 ? ' ? ?D 4 -1 >

T-1' ? 7 /1 ' ? 7 / 4 -' >V

U' ? 7 /1 - 1q ? 7 / 4 -1 >-1' ?

F 4 4 W-1' ? 7 B-1q ?DX - W' ? 7 B' ?DX O F 4 5 ?

' ? - 1q ?- ' > ' ?F/1 4 4 -' > B-1q ?D - -1 > B' ?D O F/1 4 ( > 7 ?

-1>

- 1q ?

/14

F/1 /

F 14

(> 7 ?

/5 ? 1 4 ; 3

-1' ? - ' >F/ 4 4 -1' ? B-1 >D - -' > B' ?D O F/ 4 15 > 7 ?

' ? - 1 >

/ 4F/ F/

F 415 > 7 ?

/

5 ? 4 ; 7' 3

esumen final @5er la -ig! .3!;:/1 4 m3

/ 4 7' m3

/' 4 / - /1 /' 4 7' m3 - m3 /' 4 '' m3

U 7 1 '

U 7 1 '

U 7 ' 1 '

U/1

'

W X W X

W X W X



52545.

".

<2 F 52 54 "4 5.

<F

"1 "-

"2

E E.


Fig. 5.7.

E#ercicio '.- #esol@er el circuito de la -ig. E.% aplicando el m+todo de la 2K ley de irchho,,.

Fig. 5.8.

/oluci%n: *e indican las corrientes en cada rama @aritrario como se muestra en la -ig! .3!):

Fig. 5.9.

Malla I:

Malla

II:

3n el nodo A secumple:

E1 - /1 7 R 1 - /' 7 R ' - /1 7 R 5

4

-E / 7 R K /' 7 R ' / 7 R 4

TE1 - /1 7 R 1 - /' 7 R ' - /1 7 R 5 4 V-E / 7 R / 7 R / 7 R 4

/1 / 4 /' B1v ley de Kirchhoff D eempla?ando en el sistema anterior, se tiene:

TYE1 - /1 7 R 1 - B/1 / D 7 R ' - /1 7 R 5 4

YU-E / 7 R K B/1 / D 7 R ' / 7 R 4

+ -

1

R1

R5

R3

R " 4 " 1

R2

R4

+2 - E1 4 >

E 4 5 >

U ' '

V




T-/1 7 R 1 - /1 7 R ' - / 7 R ' - /1 7 R 54 -E1

V 7 R / 7 R / 7 R / 7

R 4 E

YT-/1 7 BR 1 R ' R 5 D - / 7 R ' 4 -E1 YU/1 7 R ' / 7 BR R ' R K D 4 E

T-( ?/1 - ' ?/ 4 - >V

U' ?/1 ( ?/4 5 >

-( ? - '?F 4

4 `-( ? 7 B( ?Da - W-' ? 7 ' ?X O F 4 -7 ?

' ?- >

( ? c

- ' ?

F/1 4 4 W- > 7 ( ?X-W-' ? 7 5 >X O F/1 4 -15>? 5 > ( ?

/ 4F/1 /

1 F 1 4-15 >?

/-7 ? 1 4 1; 5 3

-( ? - >F/ 4 4 -( ? 7 5 > - - > 7 ' ? O F/ 4 -15 >?

' ? 5 >

/ 4F/ /

F 4-15 >?

/-7 ? 4 ; ( 3

/' 4 /1 / /' 4 1; 5 3 ; (3 /' 4 '; 73

E#ercicio .- #esol@er el circuito de la -ig. E.l; por el m+todo de las tensiones en los nodos.

Fig. 5.10.

/oluci%n0 3n el circuito mostrado se indicaron los nodos principales, elegimos uno comoreferencia y lo tomamos como tierra @nodo C, indicamos tamién las corrientes salientes de losnodos que no son referencia, esto se oser5a en la -ig! .3!''!

3n los nodos A y 9 se plantea la 'a ley de 7irchhoff quedando:Nodo 3 : /1 / /' 4

Nodo J : /' / /5 4

*e reempla?a cada corriente aplicando la ley de hm quedando:Nodo 3 : >3 - E1 >3 >3 - >J

4 B1D

R 1 R ' R

U/ K 1 ' '

V

W X W X

+

+

- 1

R1

R3

A

C

R2 +

-

R4

R "

4 " w 1

2

-

3

R5

E1 4 1 >E 4 1 >E' 4 >



Nodo J :>J - >3

>J - E >

J E

'

4 BD

R R R 5



"2

A".

+E4

F

52 54 54

E2

"

<E. F

51<

F 4 5"

1. 5-

"-

&


Fig. 5.11.

T >3 - E1 >3

>3 - >J 4 Y R 1 R ' R V

Y >J - >3 >J - E

>J E' 4 UY R

R R 5

T >3 - E1 >3 >3 - >J 4 Y R 1V

R 1 R ' R R Y >J -

>3 >J -

E >J

E' 4

YU R

R R R R 5 R 5

T Z 1> 7 1

1 [

- > 71 4E1

Y 3\R R R

] JR R

Y ^ 1 ' _ 1VY-

>3 > 7

Z 1

1 1 [ E E4 - '

Y R J \ R R R ] R R

U ^ K 5 _ K 5T> 7

Z 1

1 1 [

- > 71

41 >Y 3\

1?

'? ?]J

? 1 ?

Y ^ _VY-

>3 > 7Z 1

1

1 [4

1 >-

>Y ? J \

?K? 5 ?] K? 5 ?

U ^ _

T

> 7

11 - > 71

4 1>

Y 3

? VJ ? ?

Y-> 71

> 71(

4 -1>

YU11 1

3

?

J ? ?

-` a

?F 4 ? ` 114 7 1( a- b

Z

-

1 [ d O F

417(

1 1( b.

? ? d b

\ ?

]

d 1 ?

- ?

?

c e c^ _ e

F> 4

1>

? -1

?

4 1> 7

+

Y

Y

Y



1( a - `-

1> 7

Z - 1

[F>

4'7 >3

1 > 1( b? ? d

b ?

\ ? ] d

3K ?

- ? ?

c e c ^ _ e

`



23 *O*O


'7 >F> K ?

> 4 3 > 4 > 4 ; 1 >3 F 3

11

17( 3

1 ?

F> 4 ? 4

` 11 7

Z -

1 > [a - `

-

1 1

> O F>

4( >

J1

b ?

\ ? ] d

b ? ? d

J1 ?

- - ?

c ^ _ e c e

( >F> 1 ?

> 4 J > 4 > 4 7; '7 >J

FJ 17( J

1 ?

eempla?ando en @' y @+ se tiene:

/ 4>3- E1 /R 1 4

; 1 > - 1 >

/ 1 ?1

4 -'; q 3

/ 4>3 /R ' 4

; 1 > /' ?

4 ; 7 3

/ 4 >3- >J /R 4; 1 > - 7; '7 >

O / @?'

4 1; 7' 3

/ 4>J- >3 /R 4

7; '7 > - ; 1 >

O / ?'

4 -1; 7' 3

/ 4>J- E /R 4

7; '7 > - 1 >

/ ? K

4 -; q1 3

/ 4>

J E

' /R 5 4

7; '7 > >

/ 5 ?5

4 ; 5 3

3n el esquema del circuito mostrado en la -ig! .3!'+ se indican los sentidos reales de las corrientes!

Fig. 5.12.

1 1

' '

' '

K K

5 5

1

3

2 4 5



E#ercicio 5.- #esol@er el circuito de la -ig. E.l3 aplicando los m+todos de las tensiones en losnodos y superposiciónA @eri,icando los resultados.



A +

"2 "4

<F

F

E ". "- E.

2<

&

"n n a 23 O

"2A

"4+

"1

52 54 51

<F E2 ". 5.

"- 5-

FE. <

&


Fig. 5.13.

/oluci%n0

M&todo de las ,e"sio"es e" los Nodos*e identifican los nodos principales, se toma uno como referencia @nodo C y se identifican las

corrientes en cada nodo como salientes, esto se oser5a en la -ig! .3!'8!

Fig. 5.14.

#odo A:

/1 / /' 4

>3- E1 >3

>3-

>J

4 B1D

#odo 9:

R 1 R R '

/' / /5 4

>J - >3 >J >J E 4 BDR ' R R 5

T >3 - E1 >3

>3 - >J 4 Y R 1 R R 'V

Y >J - >3 >J

>J E 4 UY R

' R R 5T >3 -

E1 >3

>3 ->J 4

Y R 1V R 1 R R ' R 'Y >J -

>3 >J

>J E 4

YU R ' R ' R R 5 R 5

Y

Y



1 *

O. *1 O


T Z 1 1> 7 1 [ >- J

4E1Y 3\

R R R]

R R Y ^ 1 ' _ ' 1VY-> 7

1

Z 1 > 7 1 1 [ E4 - Y 3 R

J \ R R R ] R U ' ^ ' K 5 _ 5

T> 7

11 - > 71

45 >

Y 3

? V

J'

?1 ?

Y-> 71

> 77

4 - >

YU11 1

3'

?

J

?5 ?

-` a

?F 4

' ? ` 114 7 7 a

- b

Z

-

1 [

d O F 4

5'

1 7 b .?

? d b\ ' ? ]

d K ?

-' ?

?

c e c^ _ e

F> 4

5>

-?

1'?

4`

5>

77 a

- `Z -

> [ 7

Z

-

1 [F> 47 >

3 > 7 b ? ? d b\ 5 ? ] \ ' ? ] d 3 ?

-5 ? ?

c e c^ _ _ e

7 >F> ?

> 4 3 > 4 > 4 q; 55 >3 F 3

11

5' 3

K ?

F> 4?

` 114 7

Z -

> [a - `Z

-

1 [ 7 5

> a F> 4

7 >

J1

b ?

\5 ? ]

d b\ ' ?]

? d J

75 ?

- -' ?

c ^ _ e c^ _ e

7>F> 75 ?

> 4 J 4 >

4 > 4 7; >

J F J 5' J

K ?

eempla?ando en @' y @+ se otienen las corrientes en cada rama:

/ 4>3- E1 /R 1 4

q; 55 > - 5

>1 ?

O /1 4 ;1 3

Y

1 1



/ 4>3 /R 4

q; 55 > / ?

4 1; 7 3

/ 4>3- >J /R ' 4

q; 55 > - 7; >

O / ' ?'

4 ; 717 3

/ 4 >J /R 47; >

/ ?K 4 ;17 3

' '

K K



A "4 + "1

<=

5`2

".

5`4

5`.

5`1

"-5`-

"2

E2

&

A "4 + "1

5``2

".

5``4

5``5``1

. "-5` -

"2

E.

&


/ 4>J E /R 5

47; > >

/ 5 ?5

4 ; 5 3

M&todo de +u0er0osici)" 1rimero se pasi5a la fuente 3 + , esto se oser5a en la -ig! .3!'.!

Fig. 5.15.

R 4

R 5 7 R OR 4 5 ? 7 ? O

R

4 ; x ?3

R 5 R ( ?

R J 4 R ' R 3 O R J 4 5; x ?R 7 R ? 7 5; x ?

R 4 J R 4 R 4 1; ?R R J 7; x ? C

R , 4 R 1 R C R , 4 1 ? 1; ? R , 4 ; ?

S E1, 1

,S

/S 45 >

K; K?

O /S 4 ; 3

>3C 4 /1 7 R C O >3C 4 ; 3 1K; ? O >3C 4 (; 5 > >RJ

/S 4>RJ /S

4(; 5 >

/

S

4 ; 5 3

0 0 5; x ? 0

/S 4>

3C /S

4(; 5 >

/S

4 ; 5( 3

?

> 4 /S 7 R O> 4 ; 5 3 7 ; x ?O > 4 1; >JC ' 3 JC JC

/S 4>

JC /S

41; >

/S

4 ; '1 3

?

/S 4>

JC /S

41; >

/S

4 ; 3

5 5 5 ? 5

1asi5ando la fuente 3 ' queda el circuito mostrado en la -ig! .3!'0:

Fig. 5.16.

5 5

3

3

C C

// 4

R

1 1

R J

R

R K

R 5



5` 4

5`2 5`1


R 4R 1 7 R O

R 41 ? 7 ?

O

R

4 ; x ?

3 3 3

R 1 R ' ?

R J 4 R ' R 3 O R J 4 ' ? ; x ? O R J 4 '; x ?R 7 R ? 7 '; x ?

R 4 J R 4 R 4 1(;1' ?R R J 7; x ? C

R , 4 R C R 5 R , 4 1(;1' ? 5 ? R , 4 (;1' ?

/ /SS 4E /SS 4

> /SS 4 ; ( 3

, 5 5 5

R , (;1' ?SS

>JC 4 /5 7 R C >JC 4 ; ( 31(;1' ? >JC 4 5; 5 >

/SS 4 >JC /SS 4 5; 5 > /SS 4 ;1' 3R K ?

/SS 4>

JC /SS 45; 5 >

/SS 4 ;15 30 '; x ? 0

> 4 /SS 7 R O > 4 ;15 3 7 ; x ? O

>4 1 >

3C ' 3 3C 3C

/SS 4>3C /SS 4

1> /SS 4 ; 5 3

R ?

/SS 4 >3C /SS 4 1> /SS 4 ;1 3R 1 1 ?

3l resumen de las corrientes en cada rama se puede apreciar en el circuito de la -ig! .3!';!

Fig. 5.17.

/ 4 /S

/SS

/ 4 ; 3 ;1 3 /

4 ;1 31 1 1 1 1

/ 4 /1 - /' / 4 ;1 3 - ; 71 3 / 4 1; ' 3/ 4 / S /SS / 4 ; 5 3 ;15 3

/4 ; 71 3

' ' ' '

/ 4 /S- /SS

/ 4 ; '1 3 - ;1'3

/ 4 ;1q 3

/5 4 /' - / /5 4 ; 71 3 - ;1q 3 /5 4 ; 5' 3

E#ercicio .- #esol@er el circuito de la -ig. E.1% mediante el m+todo de las corrientes en lasmalla.

C C

K

' R J

1 1 1

1

2

2

3

4

4

5




Fig. 5.18.

/oluci%n

0

TE1 - /1 7 R 1 - B/1 / D 7 R - B/1 - /' D 7 R K 4

YV-E B/ /' D 7 R 5 B/ /1 D 7 R / 7 R ' 4 Y- B/ - / D 7 R - B/ / D 7 R E - / 7 R 4

TE1 - /1 7 R 1 - /1 7 R - / 7 R - /1 7 R /' 7 R 4 Y-E / 7 R / 7 R / 7 R / 7 R / 7 R 4

Y-/ 7 R / 7 R - / 7 R - / 7 R E - / 7 R 4

T-/1 7 BR 1 R R K D - / 7 R /' 7 R K 4 -E1YV/1 7 R / 7 BR R ' R 5 D /' 7 R 5 4 E

U/1 7 R K - / 7 R 5 - /' 7 B R K R 5 R D 4

-E' T-/1 7 7 ? - / 7 ? /' 7 ? 4

-q >YV/1 7 ? / 1 ? /' 7 5 ? 4 >Y

7 ? - / 7 5 ? - / 15 ? 4 -q >

- 7 ? - ? K ?

F 4

?

1

?

5 ? 4

? - 5 ? - 15 ?

- 7 ? - ? K ?

?

1?

5 ?

c`B-7 ?D 7 B1 ?D 7 B-15 ?D B ?D 7 B-5 ?D 7 B ?D B ?D 7 B- ?D 7 B5 ?D ea -

`c

BK ?D B1 ?D BK ?D B-7 ?D B-5 ?D B5 ?D B ?D B- ?D B-15

?Da e 4 F 4 575. ?'

R1

R3

+

-

1

2

+

1 -

R4

R2

R5

2

E1 4 q >E 4 >

3 E' 4 q >

R6 3

-

R

10

+

U ' 1 ' 5 ' '

V 5 ' 5 1 '

U ' 1 ' 5 5 ' '

Y

U/1 '




-Kq >

F/1 4 >

- ?

1 ?

K ?

5 ? 4

-q > - 5 ? - 15

-Kq > - K ? > 1 ? 5 ?

4 c`B-q >D 7 B1 ?D 7 B-15 ?D B >D 7 B-5 ?D 7 B ?D B-q >D 7 B-?D 7 B5 ?D ea -

`B-q >D B1 ?D BK ?D B-q >D B-5 ?D B5 ?D B >D B- ?D B-

15 ?Da eF/1 4 7. >?

F/ 7. > ?

/ 4 1 /

1 F 1

4 /

575. ?

' 1 4 1; 1 3

-7 ? - q > K ?

F/ 4 ?

> 5 ? 4

? - q > - 15 ?

-7 ? - q > K ?

? > 5 ?

4 c`B-7 ?D 7 B >D 7B-15 ?D B ?D 7B-q >D 7B ?D B ?D 7 B-q >D 7B5 ?Da e O

O - `cBK ?D B >D BK ?D B-7 ?D 7B-q >D B5 ?D B ?D 7B-Kq >D B-

15 ?Da e 4 F/ 4 -5. > 7 ?

/ 4F/ /

F

-5.> ?

4 /575. ?' 4 -; q7 3

-7 ? - ?- Kq >

F/' 4 ?

1?

> 4

? - 5 ? - q >

-7 ? - ?- Kq >

? 1?

>

4 `cB-7 ?D 7 B1 ?D 7 B-q >D B ?D 7 B-5 ?D 7 B-q >D B ?D 7 B- ?D 7

>a e -

- `cBK?D B1 ?D B-Kq >D B-7 ?DB-5 ?D B >D B ?D B- ?D B-

q >Da e F/' 4 51. > 7 ?

F/ 51. >?

/ 4 ' /' F '

4 /575. ?' ' 4 ; qq7 3

E#ercicio 7.- #esol@er el circuito de la -ig. E.l4 por el m+todo de superposición.



". "2

<E2 =

5`25`45`."4

"-

". "2

5``2 5``4

5``"4

.

E.

"-


Fig. 5.19.

/oluci%n0

M&todo de +u0er0osici)" 1asi5amos 3 + y 3 4 , quedando el circuito de la -ig! .3!+2!

Fig. 5.20.

R 3 4 R 1 ri ' R R 3 4 1 ? ? ? R 3 4

5 ? R J 4 R ' ri R J 4 ' ? 5 ? R J 4 '5 ?

R 4R 3 7 R J O

R 4

5 ? 7 '5 ?

OR

4 1; ' ?

C

R 3 R J q( ?R , 4 R R C R , 4 1; ' ?

S E1, 1

,S

/S 41 >

K1; '?

O /S 4 ; (1 3

>3J 4 /1 7 R C >3J 4 ; (1 3 7 1; ' ? >3J 4 1; 7q >

/S 4>3J /S

41; 7q >

/S

4 1; 7 3

'5 ?

/S 4>3J /S

41; 7q >

/S

4 1;1 3

' ' 5 ? '

1asi5ando las fuentes 3 ' y 3 4 queda el circuito de la -ig! .3!+'!

Fig. 5.21.

+

R2 R1

R3 E1 4 1 >

+ E 4 1 > 1 3

E' 4 1q >

2

R4

ri 4 5 ?ri' 4 ?

R "4 " w 1 ?

C

C

// 4R 1 1

R J

R 3



".

"2

5```2 5```4

5`` ."4

<E

"-4 =

"$E

"55 "

"


R 3 4 R 1 ri ' R R 3 4 1 ? ? ? R 3 4 5 ?

R 4R 3 7 R O

R 45 ? 7

? R 4 1; ?

J

R 3 R 7K ?R , 4 R ' R J R , 4 ' ? 1; ? R , 4 ; ?

/ /SS 4E

/SS 4 1>

/SS 4 ; 3

, ,

SS

; ?

>3J 4 / 7 R J >3J 4 ; 31; ? >3J 4 '; 7 >

/SS 4>3J /SS 4

'; 7 > /SS 4 1; ' 3

1 1 ? 1

/SS

4>

3J /SS

4'; 7 >

/SS

4 ; 3' ' 5 ? '

1asi5ando las fuentes 3 ' y 3 + , queda el circuito de la -ig! .3!++!

Fig. 5.22.

R 3 4 R ' ri R 3 4 ' ? 5 ? R 3 4 '5 ?//

R 4 R 7 R 3 OR 4 ? 7 '5 ? O

R

4 1; 7 ?

J

R R 3 55 ?

R , 4 R J R 1 R R , 4 1; 7 ? 1 ? ? R , 4 ; 7 ?

/ /SSS 4E

'

/SSS 41q>

/SSS 4 ; q7 3

, ',

'; 7 ?

'

> 4 /SSS 7 R O > 4 ; q7 3 1; 7 ?

>4 '; 5 >

3J ' J 3J 3J

/SSS 4 >3J /SSS 4 '; 5 > /SSS 4 1; q 31 1 ? 1

/SSS 4>3J /SSS 4

'; 5 > /SSS 4 1; 3

'5 ?

3l resumen de las corrientes halladas se oser5a en el esquema de la -ig! .3!+4!

Fig. 5.23.

J

J

R

R

R 3

J

J

R

R

R 3

+




/ 4 /S /SS- /SSS

/ 4 ; (13 1; ' 3 - 1; q3 /

4 ; 7 3

1 1 1 1 1 1

/ 4 /S

/SS /SSS /

4 1; 7 3 ; 3 1; 3 /

4 5; 3

/ 4 /SSS /SS - /S / 4 ; q7 3 ; 3 - 1;1

3 /4 ; '' 3

' ' ' ' ' '

E#ercicio q.- En el circuito de la -ig. E.2 hallar las corrientes en las ramas mediante el m+todode la 2a ley de irchho,,/

Fig. 5.24.

/oluci%n0

2alla .0 -/1 7 R 1 / 7 R ' - E1 E - / 7 R 4

2alla ..0 E1 - / 7 R ' - /' 7 R - / 7 R 5 4

2alla ...0 / 7 R - E / 7 R 5 - E' /5 7 R 4

T-/1 7 R 1 / 7 R ' - E1 E - / 7 R K 4YVE1 - / 7 R ' - /' 7 R - / 7 R 5 4 Y

7 R - E / 7 R - E / 7 R

4

l3

*e aplica la 'a ley de 7irchhoff en los nodos A y 9, quedando como sigue:/ 4 /' - /1

/ 4 /5 /'

/ 4 /5 /1

eempla?ando en @':T-/1 7 R 1 B/' - /1 D 7 R ' - E1 E - B/1 /5 D 7 R K 4 YVE1 - B/' - /1 D 7 R ' - /' 7 R - B/' /5 D 7 R 5 4

UYB/1 /5 D 7 R K - E B/' /5 D 7 R 5 - E' /5 7 R 4

T-/1 7 R 1 /' 7 R ' - /1 7 R ' - E1 E - /1 7 R K - /5 7 R K 4 YVE1 - /' 7 R ' /1 7 R ' - /' 7 R - /' 7 R 5 - /5 7 R 5 4

U/1 7 R K /5 7 R K - E /' 7 R 5 /5 7 R 5 - E' /5 7 R 4

R4

2

R1

1 3R

3

6 R2

+ 1

2

R5

4

R 5

6

R "

4 " w 1

+

3

E1 4 15 >

E 41 >E' 4 >/1 4/ 4/' 4/ 4/5 4/ 4

U/ K K 5 ' 5

Y

Y




-q?

T-/1 7 BR 1 R ' R K D /' 7 R ' - /5 7 R K 4 E1 - EYV/1 7 R ' - /' 7 BR R ' R 5 D - /5 7 R 5 4 -E1

U/1 7 R K - /' 7 R 5 /5 7 B R K R 5 R D 4 E E'

T-/1 7 q ? /' 7 ' ? - /5 7 ? 4 5 >YV/1 7 ' ? - /' 1 ? - /5 7 5 ? 4 -15 >Y

7 ? / 7 5 ? / 15 ? 4

' > ' ? - ?

F 4 ' ? - 1 ? - 5 ? 4

K ? 5?

15 ?

-q ? ' ? - ?' ? - 1 ?- 5 ?

4 `cB-q ?D 7 B-1 ?D 7 B15 ?D B' ?D 7 B5 ?D 7 B- ?D B ?D 7 B' ?D 7 B-5

?Da e -

- c`B?D 7 B-1?D 7 B- ?D B-q ?D 7 B5 ?D 7 B-5 ?D B' ?D 7 B' ?D 7 B15 ?D ea 4

4 5q5?'

5 > ' ? - ?

F/1 4 -15 > - 1 ? - 5 ? 4

' > 5 ? 15 ?

5 > ' ? - ?

-15 > - 1 ? - 5 ?

4 `cB5 >D 7 B-1 ?D 7 B15 ?D B-15 >D 7 B5 ?D 7 B- ?D B' >D 7B' ?D 7 B-5

?Da e -

- `cB

' >

D 7

B-1 ?

D 7

B- ?

D

B5 >

D 7

B5 ?

D 7

B-5 ?

D

B-15 >

D 7

B' ?

D 7

B15

?Da e 4

4 -1' > 7 ?

-q ?

/1

5 >

4F/1 /

F 1

- ?

-1' > ?

4 /5q5 ?' 1

/4 -; 3

F/' 4 ' ? - 15>

- 5 ? 4

? ' > 15 ?

-q ?5>

- ?

' ? - 15 > - 5 ?

Y

U/1 ' 5



4 `cB-q ?D 7 B-15 >D 7 B15 ?D B' ?D 7 B' >D 7 B- ?D B ?D 7 B5 >D 7 B-5 ?Da e-

- c`B ?D 7 B-15 >D 7 B- ?D B-q ?D 7 B' >D 7 B-5 ?D B' ?D 7 B5 >D 7 B15 ?D ea4

4 -'5 > ?

/ 4F/

' /' F '

-'5 > ?

4 /5q5 ?' '

/

4 -; 5 3



"A

"-

5`-

"E2 "1

+

5`1

"&5` "


-q?

'?

5 >

F/5 4 ' ? - 1 ? - 15 > 4

K ?

-q ?

5?

'?

' >

5 >

' ? - 1 ? - 15 >

4 `cB-q ?D 7 B-1 ?D 7 B ' >D B ' ?D 7 B5 ?D 7 B5 >D B ?D 7 B ' ?D 7 B-15 >Da e -

- `cB ?D 7 B-1 ?D 7 B5 >D B-q ?D 7 B5 ?D 7 B-15 >D B ' ?D 7 B ' ?D 7 B '

>Da e4 15 > ?

F/ 15 > 7 ? // 4 /

5 F 54 /

5q5 ?' 5 4 ; 7 3/ / /

/ 4 /' - /1 / 4 -; 5 3 ; 3 / 4 1; 3/ / /

/ 4 /5 /' / 4 ; 7 3 - ; 5 3 / 4 ; 3/ / /

/ 4 /5 /1 / 4 ; 7 3 - ; 3 / 4 ; 5 3

E#ercicio (.- Hallar las corrientes en todas las ramas del circuito mostrado en la -ig. E.2.

Fig. 5.25.

/oluci%n0

M&todo de +u0er0osici)" 1asi5amos la fuente 3 + , quedando el circuito de la -ig! .3!+0!

Fig. 5.26.

+

+R1

R2

1

R3

R "4 " w 1

2

3

1

2

R4

4R5

5

R6

6

E1 4 1 >E 4 1 >



Aplicamos la transformación estrellaFtri$ngulo entre los resistores 'G + y 4 , quedando elcircuito de la -ig! .3!+;!



"A 5` 5-.

" E2+"2

F

"&5` 4

5`1

5`

"-

5` 2

"A5`-

"+E2 "1

5`1

"& "

"-

5`


Fig. 5.27. A!licación de latrans3or%aciónestrella-tri/nulo

R 4R 1 7

R O R41 ? 7 ?

O

R

/4 '; ' ?

3R R R

3 ?

3

1 '

R 4 R 7 R ' O R 4

? 7 ' ?O

R

4 1 ?

JR R R

J ?

J

1 '

R 4R

1 7 R ' O R

41 ? 7 ' ?

O

R

4 5 ?

CR R R

C ?

C

1 '

3l circuito con la transformación reali?ada se puede oser5ar en la -ig! .3!+(!

Fig. 5.28.

/R / 4 R 3 R R / 4 '; ' ? ? R / 4 '; ' ?

R // 4 R C R R // 4 5 ? ? R // 4 5 ?

R /// 4 R J R 5 R /// 4 1 ? 5 ? R /// 4 ?

R 4R / 7 R // O

R 4'; ' ? 7 5 ?

R

4 ?

/> R / R //

/>1q; ' ?

/>

R > 4 R /// R /> R > 4 q ? R ,/ /S

4E1 O /

S

41 >

/S

4 1;1 3

, 5, 5 q ? 5

> 4 /S 7 R O > 4 1;1 37 ? >

+

/

R



4 ';1 >3J 5 /> 3J 3J

/S 4>3J /S

4';1 >

/S

4 ; 3

5 ?

/S 4>3J /S

4';1 >

/S

4 ; ( 3

'; ' ?

R //

/R /



"A 5``-

""1

+

5``1

"& E. "

"-

5``

5`-

5``- 5`1

5``15`

5``


1asi5amos la fuente 3 ', quedando el circuito de la -ig! .3!+)!

Fig. 5.29.

/R / 4 R 3 R R / 4 '; ' ? ? R / 4 '; ' ?R

//

4 R J

R 5

R //

4 1 ? 5 ? R //

4 ?/

R 4R / 7 R // O

R 4'; ' ? 7 ?

R

4 5;1 ?

/// R / R //

/// 1'; '?

///

R , 4 R C R /// R R , 4 5 ? 5;1 ? ? R , 4 (;1 ?

/ /SS 4E

/SS 4 1>

/SS 4 1; 77 3

, ,

(;1 ?

> 4 /SS 7 R O >

4 1; 77 3 5;1 ? > 4 ; 5' >3J /// 3J 3J

/SS 4>3J /SS 4

; 5' > /SS 4 ; 7 3

5 5 ? 5

/SS 4>3J /SS 4

; 5' > /SS 4 1; 3

'; ' ?

3l resumen de las corrientes en cada rama se aprecia en el esquema de la -ig! .3!42!

Fig. 5.30.

/ 4 /S /SS / 4 ; ( 3 1; 3

/4 1; 71 3

/ 4 /SS- /S / 4 1; 77 3 - ; 3

/4 1; '1 3

/ 4 /S- /SS /

/

R

R //

/R /



4 1;1 3 - ; 7 3 / 4 ; 35 5 5 5 5



". 5.5-

"1

"252

"54

E2

4E.

51

"

"-

5


/>R3 4 / 7 R 3 >R3 4 1; 71 3 7 '; ' ? >R3 4 5; 7 >

>RJ 4 /5 7 R J O >RJ 4 ; 31 ? O >RJ 4 ;

> >RC 4 / 7 R C O >RC 4 1; '1 3 7 5 ? O >RC 4 ;

55 > >R 4 >R3 >RJ O >R 4 5; 7 > ; > O>R 4 (; ( >

/ 4>R /R 4

(; ( >

/ ?

4 ; ( 3

>R' 4 >RC - >RJ >R' 4 ; 55 > - ; > >R' 4 ; '5 >

/ 4>

R' /R ' 4

; '5 >

/ ' ? '

4 ; 7q 3

>R1 4 >R3 >RC >R1 4 5; 7 > ; 55 > >R1 4 1; 5 >

/ 4>R1 /R 1 4

1; 5 > /1 ?

1 4 1; 3

6as corrientes en cada rama del circuito original se muestran en la -ig! .3!4'!

Fig. 5.31.


E#ercicio 1.- En el circuito de la -ig. E.32 hallar los @alores de las corrientes en cada ramamediante el m+todo de superposición.

Fig. 5.32.

espuesta0 I ' B ;,)' AG I + B 2,+0 A e I 4 B (,'; A!

' '

1 1

+

+

R3 +R1

1

R4

3

2

E1 4 1 >E 4 1 >

R2 1

R "4 " w 1 ?




E#ercicio .- En el circuito de la -ig. E.33 hallar todas las corrientes aplicando el m+todo de lastensiones en los nodos.

Fig. 5.33.

espuesta0 I ' B 8,'. AG I + B 8,2' AG I 4 B 0,8) AG I 8 B (,'0 AG I . B ',0; A e I 0 B +,8; A!E#ercicio '. En el circuito de la -ig. E.3 encontrar las corrientes en cada malla por el m+todode las corrientes en las mallas.

Fig. 5.34.

espuesta0 I ' B 2,88( AG I + B ',4) A e I 4 B ',44 A!

E#ercicio .- En el circuito de la -ig. E.3 hallar las corrientes en cada rama por el m+todo dela 2a ley de irchho,,.

Fig. 5.35.

espuesta0 I ' B 8,.' AG I + B +,)0 AG I 4 B ',.. AG I 8 B +,8; A e I . B2,)' A!

E#ercicio 5.- En el circuito de la -ig. E.3$ hallar las corrientes en las mallas mediante elm+todo de las corrientes en las mallas.

R4

+1

1

R1

R3

2 4

R2

2

E1 4 >E 4 17 >

6 3E' 4 1 >

5

R "4 " w 1 ? 3

+2

2

R2

R5

3

+

R4

R1

1

3

1 +

R

3

E1 4 15 >E 4 1 >E' 4 q >

+

+

R2 A R6

1

3

32E1 4 1 >

1

R1

24

6 R5 E 4 >E' 4 q >

5 R

3

R4

R "4 " w 1 ?




Fig. 5.36.

espuesta0 I ' B + AG I + B +,+4 A e I 4 B 2,08 A!

E#ercicio .- En el circuito de la -ig. E.37 hallar las corrientes en cada rama por el m+todo desuperposición/

Fig. 5.37.

espuesta0 I ' B ','' AG I + B ',;2 A e I 4 B +,(' A!

E#ercicio 7.- Hallar las corrientes de las ramas del circuito de la -ig. E.3% mediante un m+todo a su elección.

Fig. 5.38.

1

R1

R3

+

3

R5

2

1

R4

2

R2

R6

3E1 4 >E 4 1 >E' 4 15 >

+

1

R1

1

2

+

2

R3

R2

R4

3 3

E1 4 1 >r1 4 AE 4 1 >E' 4 q >r' 4 A

R

R6

+

R7

2

1

6

3

1 R5 8

R3

R4

42

E1 4 1 >E 4 >

R1

72

R "4 " w 1

9

5

R8




espuesta0 I ' B ',.8 AG I + B',08 AG I 4 B 2,2)' AG I 8 B ',;4 AG I . B 2,') AG I 0 B2,2.' AG I ; B ',24 AG I ( B 2,8+ A e I ) B ',8. A!

E#ercicio q.- En el circuito de la -ig. E.34 hallar las corrientes en cada rama por el m+todo de

su elección.

Fig. 5.39.

espuesta0 I ' B 2,2') AG I + B ',4+ AG I 4 B ',8. AG I 8 B 2,2(; AG I . B ',48 AG I 0 B 2,'2 AG I ; B2,2+4 AG I ( B ',8+ A e I ) B 2,'4 A!

E#ercicio (.- En el circuito de la -ig. E.; hallar las corrientes en cada rama por el m+todo a suelección.

Fig. 5.40.

1

R4

5

2

4

R7

1

2

R8

R1

8

R2

6

R6

7

9

R9

R3

3

R "4 " w 1 ?

R5

3

E1 4 q > E 4 1 > E' 4 1 >

9 R1

1

1

12

R8

5

R9

8

R5

R11

R7

6

2

2

+

R2

R10

10

R12

.11

R4

4

R6

7

+

3

3

R3

R "4 " w 1 ?

E1 4 15 >E 4 1q >E' 4 1 >




espuesta0 I ' B 2,() AG I + B ',40 AG I 4 B 2,'0 AG I 8 B 2,+8 AG I . B ',88 AG I 0 B 2,08 AG I ; B 2,.4 AG I ( B 2,(4 AG I ) B 2,.. AG I '2 B 2,40 AG I ''B 2,2(. A e I '+ B 2,+; A!

E#ercicio 1.- En el circuito de la -ig. E.l hallar las corrientes en las ramas.

Fig. 5.41.

espuesta0 I ' B ',+) AG I + B +,2( AG I 4 B ',4. AG I 8 B 4,4; AG I . B +,08 A e I 0 B 2,;4 A 3ota0 *e sugiere resol5erlo por el método de superposición!

+

R2

2

R1 1

R3

4

2

+

R5

E1 4 >E 4 1q >

E' 4 15 >6

1

R4

5

3

+

R6



"1

"2 ".

"-"4

A

+

"1

< 5`.

2 F 5`2 "2 5`4".

"-"4

A

E

+


E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo E#ercicio 1.- En el circuito de la -ig. $E.l aplicar el *eorema de *h+@enin entre los puntos y (.

Fig. 6.1. A!licación del*eore%a de*éenin.

/oluci%n0 C$lculo de la Th! 1ara el c$lculo de la Th se pasi5an todas las fuentes, quedando

el circuito de la -ig! 03!+!


R 4R 5 7 R 1 O

R 45 ? 1 ?

O

R

/4 q; ' ?

3

R 5 R 1 ?/ /R J 4 R 3 R R J 4 q; ' ? ? R J 4 q; ' ?

/

R R J 7R R

q; ' ? 7 ? R 1;1

4 4 / 4 ?C

R J R q; ' ?

R ,h 4 R C R ' R ,h 4 1;1 ? ' ? R ,h 4 ;1 ?

C$lculo de la / Th! *e 5uel5e a utili?ar el circuito original de la -ig! 03!'! esol5emos

mediante el método de superposición, pasi5amos la fuente 3+ quedando el circuito de la -ig!03!4!

Fig. 6.3.C/lculo decorrientes !or su!er!osición)2 !asiada.

R 3 4 R R R 3 4 ? ? R 3 4 ?

R 4R 3 7 R 1 O

R 4 ? 1 ?

OR

4 q; 57 ?

J

R 3 R 1 7 ?

R , 4 R J R 5 R , 4 q; 57 ? 5 ? R , 4 5q; 57 ?

++

1 - 1

R5

R "

R1

" 1

3

2

2

R4

R2

R3

A

E1 4 >

E 4 q >

3

3

C C

J

J



E.

"1

5``.

5``2 "2 5``4".

"-"4

A

+

5 .

5`25``.

5``25``4

5 4


S E1, 1

, /S 4 >

5q; 57?

O /S 4 1; 3

> 4 /S

7 R O > 4 1; 3 7 q; 57 ? O> 4 q; 7 >CF 1 J CF CF

/S 4>CF /S

4q; 7 >

/

S

4 ;1 3

?

/S 4>CF /S

4q; 7 >

/

S

4 ; q7 3

' ' 1 ? '

1asi5amos ahora la fuente 3 ' quedando el circuito de la -ig! 03!8!

Fig. 6.4.C/lculo decorrientes !or su!er!osición)1 !asiada.

R 4

R 5 7 R 1

OR

45 ? 1 ?

O

R

/4 q; ' ?

3R R

3 ?

3

5 1/ /

R , 4 R 3 R R R , 4 q; ' ? ? ? R , 4 q; ' ?

/ /SS 4E

/SS 4 q > / /SS 4 1;17 3

, ,

q; ' ?

/> 4 /SS

7 R O > 4 1;17 37 q; ' ?

>

4 (; 75 >CF 3 CF CF

/SS 4>

CF /SS 4(; 75 >

/SS 4 ;1( 31 1 5 ? 1

/SS 4>

CF /SS 4(; 75 >

/SS 4 ; (7 3' ' 1 ? '

3l esquema resumen de las corrientes halladas se oser5a en la -ig! 03!.!

Fig. 6.5.4esu%en decorrientes.

// 4 R

1 1

R 3

R 1

+

R

R 5

R 1



/ 4 /S- /SS

/

4 1; 3 - ;1(3 /

4 ; q'3

1 1 1 1 1

/ 4 /SS- /S / 4 1;17 3 - ;13

/4 1; '3

/ 4 /S /SS /

4 ; q7 3 ; (7 3 /

4 1; q 3

' ' ' ' '

>,h 4 >R 4 / 7 R 1; ' 37 ? >,h 4 ; >



<F

" ! 7

A

+*! 7

"2 ".

A +

"4 "-


3l circuito equi5alente por aplicación del teorema de Thé5enin queda mostrado en la -ig! 03!0!

Fig. 6.6.Circuito

e<uialentede *eenin.

E#ercicio . En el circuito de la -ig. $E.7 aplicar el teorema de *h+@enin entre los puntos y (.

Fig. 6.7. A!licación del

teore%a de*eenin.

/oluci%n0 C$lculo de la Th! 1asi5amos la fuente 3, quedando el circuito de la -ig! 03!(!


R 4 R R R R R 4

1 ? 7 ' ?

? 7 ?O

,h B1 ' D B K D

,h1 ? '

? ? ?

/ /R ,h 4 7; 5 ? 1'; ' ? R ,h 4 ; q' ?

C$lculo de / Th.

/1 4 E

R 1 R 'O /1 4

1 > /

K ? 1 4 ' 3

/ 4 E

R R O / 4

1 > /

5 ? 4 ; 3

>3, 4 /1 7 R ' O >3, 4 ' 3 7 ' ? O ( >

>J, 4 / 7 R >J, 4 ; 3 7 ? >J, 4 ( >

>3J >,h 4 >J, - >3, >,h 4 (> - (> >,h 4 > 3l circuito equi5alente, luego de aplicado el teorema, es el mostrado en la -ig! 03!)!

+ -

R1

R3

A

R "

R2

R4

" 1

E 4 1 >



" <E F

"2

"1

"-"4

"A

"+

"&

".

" <

F

"2

E"1

"+" "

A &


3ntre los resistores + , 4 y 8 se aplicar$ la transformación estrellaFtri$ngulo, quedando elcircuito mostrado en la -ig! 03!'4!

Fig. 6.13. A!licación de latrans3or%aciónestrella-tri/nuloentre 4#, 4 42.

R 7 R ? 7 ? q ? /

R 4 R 4 R 4 R 4 q; q ?3R R R

3 ? ' ?

?

3( ?

3

'

R 4R ' 7 R O R

J(?

J

R 4R 7 R ' O R

C( ?

C

4 ' ? 7 ?

R( ?

J

4 ? 7 ' ?

R

( ?C

/4 1'; ' ?

/4 ; ?

3l nue5o circuito se oser5a en la -ig! 03!'8!

Fig. 6.14.

/ /R / 4 R 3 R R / 4 q; q ? ? R / 4 q; q ?

/ /R // 4 R 1 R 5 R C R // 4 1 ? 5 ? ; ? R // 4 ; ?

/ //R 4

R / 7 R // O

R

4q; q ? 7 ;

R

4 ''; q ?

/// R / R //

/// 1'5; 5?

///

/ / /R , 4 R /// R J R , 4 ''; q ? 1'; ' ? R , 4 7; ?

E/, 4R O /,

1 >4 /

K7; ?

O /, 4 ;11 3

,/

>R/// 4 /, 7 R /// >R/// 4 ;11 3 7 ''; q ? >R/// 4 71; 5 >

/R/

4 >R/// /R / 4 71; 5 > /q; q ?R/ 4 1; ' 3

/R//4

>R///

R //

O

/R//

471; 5 >

/; ?R//

4 1; 7 3

/

R/

/

/



5N "N

A

+

=<5 4 A ".

E 13 *

"2 "&

"4

"n n[23 O

A".

"2

"4

+


/ />RJ 4 /, 7 R J >RJ 4 ;11 31'; ' ? >RJ 4 q;1' >

/ />R3 4 /R/ 7 R 3 >R3 4 1; ' 3 7 q; q ? >R3 4 (;15 >

/ />RC 4 /R// 7 R C >RC 4 1; 7 37 ; ? >RC 4 7;1' >

/ / />R 4 >R3 >RJ >R 4 (;15 > q;1' > >R 4 '7; q >/ / /

>R' 4 >RJ >RC >R' 4 q;1' > 7;1' > >R' 4 '5; >/

>R 4 >R3 - >RC >R 4 (;15 > - 7;1' > >R 4 ; >/

/R /N4

>R /R 4

; > / ?

N 4 ;1 3

3l circuito equi5alente queda como se muestra en la -ig! 03!'.!

Fig. 6.15.Circuitoe<uialente&orton.

E#ercicio . En el circuito de la -ig. $E.l$A hallar el @alor de # C para la mBima trans,erencia de potencia y determinar el @alor de dicha potencia mBima.

Fig. 6.16.C/lculo de 4C

!ara %/$i%atrans3erenciade !otencia.

/oluci%n0 *e halla la resistencia 5ista desde los ornes A y 9, aplicando el teorema de Thé5enin,quedando el circuito de la -ig! 03!'; en donde se pasi5aron las fuentes del circuito!


R ,h 4 R 1 R R ' R ,h 4 1 ? ? ' ? R ,h 4 ?

C$lculo de la / Th:

>,h 4 E - >R1 >,h 4 5> - '> >,h 4 >

N



"E

"&"e


6a potencia m$%ima ser$:

>

B >D2 /

4 ,h

4 4 1; ?RCm89 RCm89 RCm89

7R ,h

7 ?

E#ercicio 5. HallarA aplicando el teorema de 9illmanA la corriente y la tensión sobre el resistor # C del circuito mostrado en la -ig. $E.1%.

Fig. 6.18. A!licacióndel teore%a

de =ill%an.

/oluci%n0 *e halla la tensión equi5alente:

E1 -E

E' 1 >-

>

1 >

E 4R 1 R

R ' E4

' ? 5 ? ? E 4

7; qW>X

E

4 7; 5 >

e 1 1 1 e 1 1 1 e1; '

e

6a eq

es:R 1 R R ' ' ? 5 ? ?

R e 4 1

R 1 1 1 e 4

1 R

1 1 1 e4

1 R

/1 e4 ; ( ?

1; 'R 1 R R ' ' ? 5

? ? ?

3l circuito equi5alente se oser5a en la -ig! 03!')!

Fig. 6.19.Circuitoe<uialentede =ill%an.

Ahora se calcula la corriente Ic y la tensión / C :

/ 4E

e/ 4

7; 5 > / 4 1; 3C C C

R e R C

>R C 4 /C 7 R C

; ( ? 5 ?

O >R C 4 1; 3 7 5 ? O >R C 4 ; ' >

E#ercicio . En el circuito de la -ig. $E.20 aplicar el teorema de reciprocidad en la rama quecontiene a la corriente 82.

R 1

1

R 2

2

R 3

3

CR

C

E1 4 1 >E 4 >E' 4 1 >R 1 4 ' ?

R 4 5 ?R ' 4 ?R C 4 5 ?

/



"."2

5 5 E.

52 "-

"4


Fig. 6.20.*eore%a de

reci!rocidad.

/oluci%n0 C$lculo de las corrientes!R 3 4 R 1 R R 3 4 1 ? ? R 3 4 5 ?

R 4R 3 7 R ' O

R 45 ? 7 ' ?

O

R

4 1q; 75 ?

J

R 3 R ' q ?

R , 4 R R J R , 4 'q; 75 ?

/ 4 ER ,

/ 4 >'q; 75

?

/ 4 ; 3

>3J 4 / 7 R J >3J 4 ; 31q; 75 ? >3J 4 11; >

/ 4>3J /R ' 4

11; >

/ ' ?

4 ; 'q 3

1or aplicación del teorema de reciprocidad, se traslada la fuente a la rama donde circula I + , se

dee cumplir que dicha corriente apare?ca en la rama donde se encontraa originalmente la fuente, esto se 5isuali?a en el circuito de la -ig! 03!+'!

Fig. 6.21. A!licación delteore%a de4eci!rocidad.

/erificamos su cumplimiento:R 3 4 R 1 R R 3 4 1 ? ? R 3 4 5 ?

R 4

R 7 R 3OR 4 ? 7 5 ? O

R

4 1; q ?J

R R 3 7 ?

R , 4 R ' R J R , 4 ' ? 1; q ? R , 4 ; q ?

/ 4E

R , / 4

>

KK; q?

/ 4 ; 5 3

>3J 4 / 7 R J O >3J 4 ; 5 3 1K; q ? O >3J 4 7; 71 >

/ 4 >3J /R 4 7; 71 >

/ ?

4 ; 'q 3

E#ercicio 7. plicar el teorema de sustitución entre los bornes y ( del circuito de la -ig. $E.22.

+

-

.

R2

R1

2 R3

R

7 10 ?

1 R4 E1 4 >

J

J

J

J



A

<F E

""- 1

"2

+


Fig. 6.22.

*eore%a desustitución.

/oluci%n

0 R 4R 7 R 5 O

R

4 ? 7 5

?

/ R 4 ; ?

R R

5

( ?3

/ /R J 4 R 1 R 3 R J 4 1 ? ; ? R J 4 '; ?

/R 4

R ' 7 R J OR 4

' ? 7 '; ?

R

4 15; 5' ?

C

R ' R J ; ?

R , 4 R R C R , 4 ? 15; 5' ? R , 4 '5; 5' ?

/ 4E

R , / 4

>

'5; 5'?

/ 4 1; q 3

>3J 4 / 7 R C >3J 4 1; q 315; 5' ? >3J 4 ; ( >

3l circuito original puede ser sustituido por el circuito de la -ig! 03!+4!

Fig. 6.23.Circuitosustituido.

E#ercicio q. plicar el teorema de <orton entre los bornes y (A en el circuito de la-ig. $E.2.

Fig. 6.24.4esolera!licando el

teore%a de&orton.

+

-

R2

R3

A

R1

R4 R5 E 4 >

3

3

C

/C

+

-

R3A

R4

E 4 1 >

R2 R1



"4 A

+

E"-

". "2

52 5N

"4 A

+

<F

"-

".

"2

E

5N5

" A4

+

< E F

A " "+

"&


/oluci%n0 C$lculo de la # ! *e pasi5a la fuente 3, quedando el circuito de la -ig! 03!+.!

Fig. 6.25.C/lculode la 4&.

R 4 R 7 R ' O

R 4 ? 7 ' ?

O

R

4 1 ?

3

R R ' 5 ?

R J 4 R R 3 R J 4 ? 1 ? R J 4 5 ?

R 4R 1 7 R J O

R 1 ? 7 5 ?

O

R

4 q; 'q ?

N N

R 1 R J ?

C$lculo de la I # ! 3l circuito que se dee anali?ar es el mostrado en la -ig! 03!+0!

Fig. 6.26.C/lculo dela I&.

1ara poder calcular la corriente I # , se aplicar$ la transformación estrellaFtri$ngulo entre lasresistencias ' , + y 8 , quedando el circuito de la -ig! 03!+;!

Fig. 6.27.

*rans3or%aciónestrella-tri/nuloentre 41, 42 4#.

3

3

N

4



5N "N

A

+


R 4R 7

R O R4

? 7 ?O

R

4 11; ?

3R R R

37 ?

3

1

R 4 R 1 7 R O R 4

1 ? 7 ?O

R

4 5; 71 ?

JR R R

J7 ?

J

1

R 4R 1 7 R O R

41 ? 7

?

R 4 ; q5 ?

CR R R

C7 ?

C

1

R / 4 R ' R 3 R / 4 ' ? 11; ? R / 4 1; ?R 4

R / 7 R J O

R 41; ? 7 5; 71 ?

R

4 5 ?

// R / R J 7;1' ?//

R , 4 R // R C R , 4 5 ? ; q5 ? R , 4 7; q5 ?E

/, 4,

O /, 41 >7; q5?

O /, 4 1; 7' 3

>3J 4 /, 7 R // O >3J 4 1; 7' 37 5 ? O >3J 4 '; 5 >

/ 4>3J /R J 4

'; 5 > /5; 71 ?

N 4 11;1 3

3l circuito final equi5alente se oser5a en la -ig! 03!+(!

Fig. 6.28.Circuitoe<uialentede &orton.

E#ercicio (. En el circuito de la -ig. $E.24 hallar el @alor de la # para que haya mBimatrans,erencia de potencia.

Fig. 6.29.=/$i%atrans3erenciade !otenciaen 4,.

/oluci%n0 *e calcula la Th pasi5ando amas fuentes del circuito dado, el circuito otenido seoser5a en la -ig! 03!42!

//

R

N N

5 AR1

+ R2 RE 4 >R 1 4 R 4 ?

-



R 4R 1 7 R O

R 4 ? 7 ?

OR

4 ?

,h R 1 R

,h q ? ,h




Fig. 6.30.

C/lculo dela 4*.

E#ercicio 1. En los circuitos de la -ig. $E.3l a y bA comprobar si se cumple el teorema dereciprocidad en la rama donde circula la corriente 8.

Fig. 631.Co%!roacióndel teore%adereci!rocidad.

/oluci%n0 Circuito a:R 3 4 R ' R 5 R 3 4 ? ? R 3 4 ?

R 4R 3 7 R O

R 4 ? 7 ? R

4 1 ?J

R 3 R Kq ?

R 4R J 7 R O

R 41 ? 7 ?

R

4 q ?

C

R J R ' ?

C$lculo de la I T :

R , 4 R C R 1 R , 4 q ? q ? R , 4 1 ?

E/, 4

,

O /, 4 >1?

O /, 4 1; 5 m3

>3J 4 /, 7 R C >3J 4 1; 5 m3 7 q ? >3J 4 1 >

R1 5 A R2 R R 4 R ,h 4 ?

R1

a) A

+

R1Ab)

R2

.

R3

.

R5

R4

E 4 >R 1 4 q ?R 4 ?

R3R ' 4 ?R 4 ?

R 5 4 ?

R5

R4

J

J

C

C

R




C$lculo de I:

Circuito :

/ 4>3J /

4R

1 >

K?

/ 4 ; 5 m3

R 4R 1 7 R O

R 4q ? 7 ?

R

4 ?

3

R 1 R ' ?

R J 4 R ' R 5 R J 4 ? ? R J 4 ?

R 4R 3 7 R J O

R 4 ? 7 ?

R

4 ; q ?

C

R 3 R J ' ?

C$lculo de la I T :

R , 4 R R C R , 4 ? ; q ? R , 4 q; q ?

/

E/, 4

,

O /, 4 >

q; q?

O/,

/

4 ; q' m3

C$lculo de I:

>3J 4 /, 7 R C O >3J 4 ; q' m3 ; q ? O >3J 4 >

/ 4 >3J / 4R 1

*e cumple el teorema de reciprocidad!

> / 4 ; 5 m3

q ?

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo

E#ercicio 1. Hallar el circuito equi@alente de *he@enin en el circuito de la -ig. $E.32. Encontrar la corriente que circula por la carga # cuando @ale l;; 6.

Fig. 6.32. A!licar elteore%a de*eenin.

espuesta0 Th B 0 G / Th B 0 / e I B .0,0 mA!

E#ercicio . En el circuito de la -ig. $E.33 hallar el circuito equi@alente de *he@enin entre losnodos y (A calcular la corriente que circula con una carga de 7 V6.

Fig. 6.33.

3

3

C

C

R

R2 R1 A

E 4 1q >

+

- R

3R

R 1 4 ?R 4 ?R ' 4 ' ?

R2

A

R

R1

.R

3

/ 4 1q m3R 1 4 ;7 ?R 4 ;7 ?R ' 4 ';( ?



A!licación delteore%a de*eenin.



" 2 E " 4.

" = E 4

E 2 " .=

E2 -33 * E. .3 * E4 23 * "2 .33 O ". 233 O "4 23 ]O

"2" 5

.

E

"4 "-

"2 ".

5

"4"-

E

'0 b0

E 23 * "2 ". "- - ]O "4 @ ]O


espuesta0 Th B +,2. Q y / Th B '0,;8 /!

E#ercicio '. En el circuito del eJercicio anterior aplicar el teorema de <orton entre los puntos y (.

espuesta0 # B +,2. Q e I # B (,'0 mA!

E#ercicio . En el circuito de la -ig. $E.3 determinar el @alor de # para que haya mBimatrans,erencia de potenciaA y tambi+n la potencia sobre dicha #.

Fig. 6.34.=/$i%atrans3erenciade !otenciaen 4.

espuesta0 B ),;. y 1 B +,+8 !

E#ercicio 5. plicando el teorema de 9illman hallar la corriente y la tensión sobre la resistencia# del circuito de la -ig. $E.3.

Fig. 6.35. A!licación delteore%a de=ill%an.

espuesta0 I B +,+. A y / B 0,2; /!

E#ercicio . Meri,icar si se cumple el teorema de reciprocidad en los circuitos a y b de la-ig. $E.3$.

Fig. 6.36.;eri3icacióndel teore%a dereci!rocidad.

R

+

.R

2

R1

R3

E 4 >/ 4 ' 3R 1 4 1 ?R 4 5 ?R ' 4 ?

+

+

+




espuesta0 I B 2,4.; mA!

E#ercicio 7. En el circuito de la -ig. $E.37 hallar el @alor de # para que haya mBimatrans,erencia de potencia sobre dicha #.

Fig. 6.37.=/$i%atrans3erenciade !otenciaen 4.

espuesta0 B + !

E#ercicio q. plicar entre los nodos y ( del circuito de la -ig. $E.3% el teorema de *he@enin.

Fig. 6.38. A!licación del

teore%a de*eeninentre A B.

espuesta0 Th B .4,'8 y / Th B +2,)' /!

E#ercicio (. En el circuito de la -ig. $E.34 aplicar el teorema de <orton entre los nodos y (.

Fig. 6.39. A!licacióndel teore%ade &ortonentre losnodos A B.

espuesta0 # B 4' e I # B ',4+ A!

+

-

R2

1

R1

R

4

R3

R

2

E1 4 >E 4 >R 1 4 ?R 4 R ' 4 R 4 ?

+

- 1

R2

A

R1

R4

R3

R5

2

+ -

E1 4 >E 4 ' >R 1 4 1 ?

R 4 ?R ' 4 ' ?R 4 ?R 5 4 5 ?

E 4 ' >

+

R2

A

R1

/ 4 3 R 14 1 ?

- R3 R4 R 4 ?R5 R ' 4 ' ?

R6

R 4 ?R 5 4 5 ?R 4 ?



F A

$ @, 4 [23=1 ObA 2, - [23=4 m.


E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo ?

E#ercicio 1.- 'etermine la densidad de ,luJo ( en *eslas del ncleo de la -ig. 7E.l.

Fig. 7.1.C/lculode ladensidadde 3luo.

/oluci%n

0J 4

! q; ' 1-5

?= J 4

O J 4 5; ( 1- ,

3 1; K 1-'

m

E#ercicio .- Considerando el mismo ncleo del eJercicio anterior determinar el ,luJo.J 4 '; , 3 4 ;75 0ul$

/oluci%n0 *e deen pasar las pulgadas a metros!3 4 ; 75 0ul$

7Z 1 m [

7Z

1m [4 ; q'q 1-K m

\'(; '7 0ul$

] \'(; '7 0ul$

]

! 4 J 3 O ! 4 '; , K; q'q 1-K m O ! 4 1; 5Kq 1-' ?=

E#ercicio '.- Hallar la ,uerFa magnetiFadora H para el circuito magn+tico de la -ig. 7E.2.

/oluci%n

0

N7 / 4

'5 3t 4 q7; 5 3t m

l ; m

Fig. 7.2.C/lculode la 3uer8a%aneti8adora H.

E#ercicio .- Hallar el @alor de la corriente 8 para el circuito magn+tico de la -ig. 7E.3A de

manera que/ - ` $ N l;". *ambi+n hallar los @alores de y r A y dibuJar el circuitomagn+tico y su equi@alente el+ctrico.

^ _ ^ _

-

$ogi"!d m&dia

N7 / 4 '53t

l 4 ; m



5

A

Longitud medi'

Ncleo de 'cero undido

$<

F "

F 5

" E

'0 b0


Fig. 7.3.C/lculo

de la!er%eailidad.

/oluci%n0 3l circuito magnético correspondiente es el mostrado en la -ig! ;3!8!a y suequi5alente eléctrico en la !

Fig. 7.4.a) : b).De de %en circuitos%anéticos su e<uialente.

6a densidad del flu"o 9 ser$:-K

J 4!

O J 4 1

?=O J 4 1-1

, J 4 ; ,

3 ' 1-'

m

Considerando que el nScleo es de acero fundido, de las talas se otiene que la fuer?amagneti?adora es:

4 17 3tm Ahora, se puede otener la corriente:

7l B17 3t mD 7 B; mD/ 4 / 4 / 4 7; qm3 N 5 t

6a permeailidad ser$:

m 4J

m

4

; ,

O m 4 1;17 1 -' ?= 3m

17 3t m*iendo la permeailidad relati5a:

m 4m

mr 41;17 1-'

7 0 71-7

mr 4 ('5; q'

E#ercicio 5.- En el circuito magn+tico de la -ig. 7E.A se muestra un electroimBn que hale@antado una barra de acero ,undido. 'eterminar la corriente 8 requerida para establecer el ,luJo

indicado.

mr




a (

b &

c d

Fig. 7.5.C/lculode la Inecesaria.

! 4 ; 1-K ?= l 4 l 4 l 4 l 4 1 cm l 4 l 4 1

/oluci%n. C$lculo de la longitud media:

l=afe 4 1 cm 1 cm 1

cm l=cde 4 1 cm 1 cm 1

cm

l=afe 4 ' cm ; ' m

l=cde 4 1 cm ;1 m

3 4 cm ; m 1-K

m

C$lculo de la densidad de flu"o:

!

K; 1-K ?=

J 4 O J 4 O J4 1; 5 , 3 K 1-K

m

Del gr$fico 5isto en la -ig! ;!'8 se otiene, entrando con los ',2. T: ierro laminado B ++2 At>m Acero fundido B (.2 At>m

6uego, se otienen los datos completos que se muestran en la Tala ;3!':

Tabla 7.1.

+ecci)" - B?=D 3 BmD J B,D B3tmD l BmD l B3tD

=afe A2 N 10"

N 10" lA; 22; ;A3$ 74A2

edc= A2 N 10"

N 10" lA; %1; ;Al ll4

3l circuito magnético queda como se muestra en la -ig! ;3!0:



F

$

"b'e

"edcb

$

"'bcd'

"'bcde'


Fig. 7.6.Circuito%anéticoe<uialente.

Donde se tiene:

N/ 4 =afe l=afe edc= ledc= N/ 4 7(; 3t 11(3t

N/ 4 1(q; 3t

5 t 7 / 4 1(q; 3t / 4

1(q;

3t5 t

/ 4 '; ( 3

E#ercicio .- En el trans,ormador de la -ig. 7E.7 a@eriguar la corriente en el secundario 82.

21 a c

2

1

2

1 b d

Fig. 7.7.eter%inaciónde la corrienteen elsecundario.

-' -5

N1 4 @ueltas N 4 ' @ueltas /1 4 1; 5 3 3 4 ; 1 m la=cda 4 ;1 m ! 4 ;

/oluci%n. 3l circuito magnético equi5alente se puede oser5ar en la -ig! ;3!(:

Fig. 7.8.

Circuito%anéticoe<uialente.

6a densidad de flu"o ser$:

!; 1

-5?=

J 4 O J 4 O J 4 ;11, 3 ; 1-' m

Ingresando al gr$fico ya 5isto en la -ig! ;!'8 se otiene: Acero laminado B +2 At>m

3ntonces:



$

"ncleo

"ncleo de 'ire


N1/1 - N/ 4 a=cda

la=cda

O B tD 7 B1; 5 3D - B' tD 7 / 4 B 3t mD 7 ;1 m

( 3t - ' t 7 / 4 ; 3t O ( 3t - ; 3t 4 ' t 7 /

O

/ 4( 3t - ;

3t

' t

O / 4 ; ( 3

E#ercicio 7. Encontrar la corriente requerida para establecer el ,luJo magn+tico indicado encircuito magn+tico del rel+ mostrado en la -ig. 7E.4/

Ac&#o

(!dido

a b

c

d

( &

;cl&od& ai#&

Fig. 7.9.C/lculode lacorrienteen un relé.

! 4 1; 71-K ?= N 4 ' @ueltas 3 4 ; 5 71-K m

defa=c

4 1 71-' m l 4 1; q 71-' mcd

/oluci%n. 3l circuito magnético equi5alente se oser5a en la -ig! ;3!'2:

Fig. 7.10.Circuito%anético

e<uialente.

6a densidad de flu"o ser$:

! 1; 1-K

?=

J 4 J 43 ; 5 1

-Km

J 4 ; q ,

Ingresando al gr$fico ya 5isto en la -ig! ;!'8, se otiene: Acero fundido: B +(2 At>m

Como:



"bec

"cd'b

"bc

$ F %


$ O $ 4 B7; ( 71 D 7 ; q

, '; q 15 3t m

"cleo 7 /"cleo 4 Bq 3t mD 1K

1 m$ 7 /$ 4 '; q 1 3t m1; q 1

m

'(; 3t

$ 7 /$ 4 q7; 3t

1or Sltimo:

N7 / 4 "cleo 7 /"cleo $

7 /$

N7 / 4 '(; 3t q7; 3t

N 7 / 4 7; q 3t

' t 7 / 4 7; q3t / 47; q

3t' t

/ 4 ; 3

E#ercicio q. 'eterminar la corriente requerida para obtener el ,luJo indicado en el ncleomostrado en la -ig. 7E.11/

Ac&#o

lamiado

a b &

1 2

d c (

Fig. 7.11.

C/lculo dela corrienteen lasección delnFcleo,

-K -K

! 4 1; q 1 ?= N 4 @ueltas la=cd 4 l=efc 4 ; ' m l=c 4 ; 75 m 3 4 5

/oluci%n. 3l circuito magnético equi5alente es el oser5ado en la -ig! ;3!'+/

Fig. 7.12.Circuitoe<uialente%anético.

6a densidad del flu"o ser$:

! 1; q 1-K ?=

J 4

3O J

4 J5 1

-Km

4 ; ' ,

Ingresando en el gr$fico ya 5isto de la -ig! ;!'8 se otiene:

$ 4 7; ( 71 7 55

-'

5 -'



Acero laminado: efc ` 0 At & m

*e cumple que:



ierroundido

' b5

N

5d c

N 13 )uelt's 5 - A A ., . [23=-

m.

l'bcd 3, - m


j! 4

=c l=c - =efc 7 /=efc 4

=c 7 B; 75 mD - B5 3t mD 7 B; ' mD 4

=c

415 3t; 75m

O=c

4 3t m

Del mismo gr$fico de la -ig! ;!'8otenemos: 9' B ',2+ T

!1 4 J1 7 3

3ntonces, el flu"o total ser$:

O !1 4 1; ,7 5 1m

!1 4 5;11 ?=

!, 4 !1 ! !, 4 5;11 ?= 1; q 1 ?= O !, 4 ; ( 1 ?=

J 4!, ; ( 1-K ?=

J 4 J 4 1; 'q ,3 5 1

-Km

Del mismo gr$fico de la -ig! ;!'8otenemos: cda B )22 At > m

*e cumple que:

N7 / - cda= lcda= - =c l=c 4

N7 / 4 ( 3t m7 ; ' m 3t m7

; 75 m

N7 / 4 q5 3t

7 / 4 q53t

/ 4q5 3t

/ 4 ; 75 3

E#ercicio (. En el circuito magn+tico de la -ig. 7E.13A calcular el ,luJo magn+tico.

Fig. 7.13.C/lculodel 3luo%anético.

/oluci%n. *e cumple que:

N7 / 4 7l O 4N7 /

O

4

5 @ueltas 3

a=cda a=cda a=cda a=cda a=cda

-K -K

-K -K -K

l



; m

a=cda 4 5 3t m



N

$ -, [23=- ObA 3, 3 m.


Del gr$fico ya 5isto de la -ig! ;!'8 otenemos: 9acda B 2,+. T ! 4 J7

3O ! 4 ; 5 , ; 1-

K mO ! 4 ; 55 1

-5?=

E#ercicio 1. Hallar el ,luJo magn+tico del circuito mostrado en la -ig. 7E.l.

-

.

9

.

<i&##o(!dido

;cl&o

d& ai#&

Fig. 7.14.C/lculo del3luo%anético.

N 4 1 @ueltas / 4 ' 3 3 4 ' 1-'"cleo 4 ; m Ncleo de aire 4 11-'

/oluci%n

0 N7 / 4 $ l$

4N7

/l$

O $ 4 1 @ueltas ' 311-' m O $ 4 '; 15

3t m

J$ 4 m 7

$

O J$ 4 B 7 0 71 D 7 B'; 71 3t

mD

J$ 4 ; 5 ,

3l flu"o ser$:

!$ 4 !"cleo 4 J$ 7

3

O !"cleo 4 ; K5 , ' 1m

!"cleo 4 1; '5 1 ?=

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo ?

E#ercicio 1. Hallar la densidad del ,luJo magn+tico en el ncleo del electroimBn mostrado en la-ig. 7E.l.

Fig. 7.15.C/lculo de ladensidad de 3luo.

$

-7 5

-' -'




/ espuesta0 J 4 ; 7 ,

E#ercicio . 8ndicar la corriente necesaria para establecer el ,luJo dado en el circuito magn+ticode la -ig. 7E.l$.

Fig. 7.16.C/lculo de lacorrientenecesaria.

espuesta0 I B +,+. A

E#ercicio '. Hallar el nmero de @ueltas requeridas en <2 para establecer el ,luJo dado en elcircuito magn+tico de la -ig. 7E.l7.

- .2

2

Ac&#o2

(!dido

1

1

1

$ogi"!d

m&dia

Fig. 7.17.C/lculo delnF%ero deueltas de &2.

-K -K

N 4 @ueltas ! 4 1q 1 ?= /1 4 3 / 4 3 3 4 1q 1 m l 4 ;

espuesta0 # ' B 8. 5ueltas .

E#ercicio . :ara el circuito magn+tico de la ,ig. ;7El% hallar la corriente necesaria segn losdatos dados.

-

$ogi"!dm&dia

! 4 1 1-K

3 4 K; 1-'

N 4 q @ueltasl 4 ; ' m



Esp'cio 3,4 cm

Arm'dur'

&ont'ctos

+obin'

5 5

$ 3, . [23=- Ob N .33 )uelt's d 3, . cm Dncleo 3, 32 m


Ac&#o(!dido

<i&##o(!dido

Fig. 7.18.eter%inarla corriente.

! 4 1; 1- ?= N 4 ' @ueltas N 4 5 @ueltas 3 4 ; 1-

m 1

espuesta0 I B ',;' A!

E#ercicio 5. En el rel+ de la -ig. 7E.14 hallar la corriente en la bobina para establecer el @alor del,luJo dado. Hallar la ,uerFa que se eJerce sobre la armadura.

Fig. 7.19.

C/lculodel 3luo la3uer8a sorela ar%adura.

1 J 7

3

TJ < de"sidad del flu#o de"tro del "cleo de aire

! 4 7 $ sie"do V m U3 < 8rea com" del "cleo de aire

espuesta0 a I B +,2+( A y - B + #!

$



Acero undido

F

r

5N r

5

e'

5 4 A A 3,33? m. r 3,3 m


E#ercicio . Hallar el ,luJo magn+tico que se encuentra en el circuito de la -ig. 7E.20.

Fig. 7.20.C/lculodel 3luo.

espuesta0 - B 0,.'V '2F4 !

E#ercicio 7. Hallar la corriente 81 necesaria para establecer el ,luJo dado en el circuito magn+ticode la -ig. 7E.21.

Fig. 7.21.C/lculode lacorriente I2.

espuesta0 I ' B +,.8 A!

E#ercicio q. @eriguar la corriente necesaria para establecer el ,luJo dado en el circuitomagn+tico de la -ig. 7E.22.

- 2

Ac&#olamiado

;cl&o d

d& ai#&

#

1

! 4 7 1

-

?= N1 4 ' @ueltas N 4 q @ueltas 3 4 1 7 1

-

m r 4 ;1 m / 4 1 3 d 4 ;1 m



' b

5

Aceroundido

cNd

d

5

e

.33 )uelt's d 3,33. m A 2,. [ 23=4m. l'b le 3,34 m l' lbe 3,32 m lbc l

b0

" 24 mm

? cm

23 cm

2 cm c0

@ cm

'0

ierro

undido

5 Acerol'min'do

N

5

$ .[23=- Ob N 233 )uelt's A 1 [23=- m. l7ierro'cero l 3, 4 m


Fig. 7.22.C/lculodel 3luo.

espuesta0 I B (,+; A!

E#ercicio (. Hallar la sección que posee mayor reluctancia de las mostradas en la-ig. 7E.23

Fig. 7.23. C/lculo de la reluctancia.

espuesta: 3s la sección !

E#ercicio 1. Hallar la corriente necesaria para generar el ,luJo dado en el circuito magn+tico dela -ig. 7E.2.

Fig. 7.24.C/lculode la corriente.

espuesta: I B 4,++ A!

2 c m

2 c m

1 c m



L2 L.

Le L4

L- L1

3,3. m L. .13 m L4 @333 p L- -33 n L1 3,33332 Le L2 < L. < L


E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo @

E#ercicio 1.- 'eterminar la inductancia de la bobina con ncleo de aire de la -ig. %E.l.

Fig. 8.1.C/lculo dela inductancia.

/oluci%n0

m 4 mr 7m

O m 4 1 7m m 4 m

0 7r

0 7 B 71-' mD

3 4 3 4 3 4 ; 511-5 m

N

7m 7 3 q

@ 7 7 0 71-7 ?= 3 7m 7 ; 51 71-

5 m

L 4

lOL

4 O;1 m

L 4 1; q WmX

E#ercicio .- Hallar la inductancia equi@alente del circuito mostrado en la -ig. %E.2.

Fig. 8.2.Inductores enserie.

/oluci%n. 1a samos todos los 5alores a W:

L1 4 m L' 4 ; q m L 4 ; m L5 4 1 m

Le 4 m 5 m ; q m ; m 1 m Le 4 q; q WmX

E#ercicio '.- Considerando los mismos @alores de los inductores del eJercicio anteriorA hallar lainductancia equi@alente del circuito de la -ig. %E.3.

l

Ai#&

d

N 4 q @d 4 mml 4 1 mm



Le

L2

L.

L4

L-

L1


Fig. 8.3.

Inductores en!aralelo.

/oluci%n0

Le 4 11 1 1 1 1 Le 4

11 1 1 1 1

L1 L L' L L5

m 5 m ; q m ; m 1 m

Le 4 1WmX L4

1

; 5 ; 1; 7 ;1e

1;q5

WmX Le 4 ; 7 WmX

E#ercicio .- Hallar las epresiones matemBticas de los transitorios i= y @= del circuito de la-ig. %E.A traFar tambi+n las cur@as correspondientes.

Fig. 8.4.C/lculo detransitorios.

/oluci%n. C$lculo de la constante de tiempo:

t 4L

O t 4

t 4 ms

R ' ?

Aplicando la siguiente e%presión:

i 4E

7Z1 -e -t

L [R i 4 75 >

7 B1 - e-t 71-0 D

O i4 5 71-'

7 B1 - e- t 71-0 D W3X

L \ ]R ^ _

-tL

R

L' ?

L

-t 1-'

@L 4 Ee @L 4 75 7e W>X

6as formas de onda se oser5an en la -ig! (3!.:

+

-

R

$

E 4 75 >R 4 '? L 4



iL

.1m A)L

?1 *

3lt2 t0t4 t 1 t

tlt2 t0t4 t 1 t

t

"

<F E "2 L


Fig. 8.5. Curas de corriente tensión.

E#ercicio 5.- Hallar las epresiones matemBticas de la corriente y tensión sobre el resistor y la

bobina luego de completarse la carga y desconectar el interruptorA como lo muestra la -ig. %E.$.



tS 4L

R R 1

O tS4

' ? ?

tS 4 1; WmsX

> 4 E 7Z

1 R 1 [ O

>4 75 > 7

Z 1

? [ O

>4 15W>X

i \ R ] i \ ' ? ] i

^ _ ^ _-'

@ 4 -> e -t tS O @4 -15 e

-t

1;1

W>X

i 4E

e -t tSL R O iL 4 5 1

-

' e -t 1;1 W3X

6a tensión sore los resistores ser$:

@ 4 Ee-t tS

O @4 75 e -t

1;1

W>X

@ 4 -R

7 E7e- t

O@ 4 -5 7e- 7 >

1

R1 R t S t 1; 1

R1

E#ercicio .- Hallar la =eq en el circuito de la -ig. %E.7.

L i L

-'

-'

R R

-'

W X



L2 L.

Le L- L1 L4

L

3,@ m L. 2, m L4 2.33 m L- 3,33 L1 .,. m L 23 m

"2 L2 L.

A".

L+ -

L1

L "4 L4

@ m L. 21 m L4 . m L- .. m L1 m L 23 m ., . ]O ". 1, ]O "4 2,1 ]O


Fig. 8.7.C/lculode la De<.

/oluci%n0

L3 4 L L' L3 4 1; m 1; m L3 4 ; q WmXL 4

L3 7 L5 O

L 4; q m 7 ; m

L

4 1; ' WmXJ

L3 L5 5 m

L 4LJ 7 L O

L 41; ' m 7 m

O L

4 1; WmXC

LJ L 7; ' m

Le 4 L1 LC L Le 4 ; q m 1; m 1 m Le 4 11; q WmX

E#ercicio 7.- #educir el circuito dado en la -ig. %E.% a la menor cantidad posible decomponentes.

Fig. 8.8.4educción

del circuitoa su %+ni%ae$!resión.

/oluci%n

0L3 4 L L5 L' L3 4 15 m m m L3 4 ' WmX

/

L 4 L3 7 L O L4

' m 7 m

L

4 11; K WmXJ

L3 L K5 m

LC 4 L1 L LC 4 q m 1 m LC 4 1q WmX

J

J

C

C

J

J



"AL&

A+ ". L+

". "2

A

+"4


R 3 4 R 1 R ' R 3 4 ; ? 1; 5 ? R 3 4 '; 7 W?X

3l circuito reducido queda mostrado en la -ig! (3!)!

Fig. 8.9.Circuitoreducido.

E#ercicio q.- Hallar la epresión matemBtica para la corriente y la tensión del transitorioA

despu+s de cerrar el interruptor ! en el circuito de la -ig. %E.l;.

R2 = R1

A+

$

- R3

Fig. 8.10.C/lculo detransitorios.

R 1 4 1 ? R 4 ; ? R ' 4 1 ? L 4 1 m E 4

/oluci%n. Aplicando el teorema de The5enin entre los ornes A y 9, queda el circuito mostradoen la -ig! (3!'':


R 4 R R R R 4

1; ? 1 ?OR

4 5; 5 ?

,h B ' D 1 ,h; ?

,h W X

C$lculo de la tensión entre los ornes A y 9 por aplicación del di5isor de tensión en el circuitoque se oser5a en la -ig! (3!'+:



"2

<EF

* !7"A

+

A

A "!7

*!7

<

F

+

L


Fig. 8.12.C/lculode la ;*.

> 4 E7R

3O > 4 > 7

1; ?O

>

4 1'; > >

3J R 3 R 1 ; ?

3J ,h

6a corriente sore la oina se otiene a partir de la oser5ación del circuito equi5alentemostrado en la -ig! (3!'4:

Fig. 8.13.Circuito

e<uialentede *eenin.

i 4 >,h

7 B1 - e- t t DR

t 4L,h

1 1-'

O t 4 O t 4 1q;1q 1 s

R 5; 5 1

'

?i 4

1'; > 7 1 - e-t 1q;1q1-

W3X O

iL5; 5 1' ?

L

4 ; 7 B1 - e-t 1q;1q 71- D W3X

@L 4 >,h 7e O @L 4 1'; 7e W>X

E#ercicio (.- Hallar la energa almacenada por el inductor = de la -ig. %E.lA cuando la corrienteha tomado su @alor ,inal.

3J

L

- W X,h

B D

-t t -t 1q;1q1-



"2

L <

EF".

E .- * "2 2. O ". @ O L 23 m

"2

5m

<EF

".


Fig. 8.14.C/lculo

de la ener+aal%acenada.

/oluci%n. Al llegar a la corriente final, el circuito toma un estado equi5alente al mostrado en la -ig! (3!'.:

Fig. 8.15.Circuito encondiciónestale.

6a corriente ser$:

/ 4E

/ 4 > / 4 1; 3

m m m W X

R 1 R

6a energ&a almacenada ser$:1 ? q ?

? 41 7 L7 /

O

?4

1 71 71-

' 7 B1; 3D2 O

?4 ; 7 WX

a m a a

E#ercicio 1.- Hallar las energas almacenadas en cada uno de los inductores mostrados en la-ig. %E.l$.

Fig. 8.16.C/lculo dela ener+aal%acenada.

/oluci%n. 3n la -ig! (3!'; se muestra el circuito equi5alente cuando est$ en estado estale:

+

-

R1

$1

$2 R

2

E 4 1q >R 1 4

? R 4

1 ? L1

L 4



"2 5m

<

F E ".

N

l

d

Aire

d .1, - mml 233 mm

N 2@3 )uelt's


Fig. 8.17.

Circuitoestale.

C$lculo de lacorriente:

/ 4E

/ 41q >

/ 4 ( m3

m m m W XR 1

3nerg&a en los inductores:

?

? 41 7L 7 /

O? 4

1 71 7

( 1-' 3 O ? 4 K; 5 1-

L1 1 m L1 B D L1 W X? 4

1 7L

7 /O? 4

1 7 7 ( 1

-'3 O ? 4 q11-

L m L B D L W X

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo @

E#ercicio 1.- Hallar la inductancia de la bobina de la -ig. %E.l%.

Fig. 8.18.C/lculode la D.

espuesta0 6 B 04,. p!

E#ercicio .- En la asociación serie de inductores de la -ig. %E.l4A hallar la =eq.




Fig. 8.19.

Asociaciónserie deinductores.

espuesta0 6eq B (8,( m!

E#ercicio '.- En la asociación paralelo de la -ig. %E.20A hallar la =eq.

$&,

$1 $2 $3 $4 $5

L1 4 m

L 4 15 m

L' 4 1q m

L 4 1 m

L5 4 m

Fig. 8.20. Asociación !aralelo de inductores.

espuesta0 6eq B 4,(; m!

E#ercicio .- En el circuito combinado de la -ig. %E.21 hallar la =eq.

Fig. 8.21.Circuito

co%inadode inductores.

espuesta

0Le 4 '; ' WX

E#ercicio 5.- :ara el circuito de la -ig. %E.22A hallar/

a =a epresión matemBtica de la corriente i= al cerrarse el interruptor t ` 0 s.

$1$

2 L1 4 m

L 4 15 m$

&, $3L' 4 ; 1q

L 4 m

$4 $5

L5 4 ;

$2 L1 4

$1 $3

L 4 1; 5

L' 4 1; q

$6

L 4 1;

L5 4 ;

$5 $4$

$8 $&,

L 4 1

L7 4 ' 7

Lq 4 1




b =a constante de tiempo.c =a epresión matemBtica de las tensiones @= y @# al cerrarse el interruptor

t ` ; sA yd 'eterminar i= y @= en t ` ltA 3t y 1t

Fig. 8.22.C/lculode lae$!resiónde lacorriente.

espuesta0//

aD i4 ; 71

-'

7 B1 - e

- t ';' 71

-9 DW3X b t 4 '; ' ms cD@ 4 e -t ';'1 W>XL L

TYiLdD 1 t V 4 '; q' 1-'

W3XTYi

L' t V

4 5; 75 1-'

W3XTYi

L5 t V

4 ; 1-' W3X

YU@L 4 7; '5

W>XYU @L 4 1

W>XYU @L 4 ;1' W>X

E#ercicio .- :ara el circuito de la -ig. %E.23A hallar/

a =a epresión matemBtica de la corriente i= y la tensión @= al cerrarse el interruptor b 8dem si se abre el interruptor luego de un perodo de constantes de tiempoc *raFar las ,ormas de onda de i= y @= para los perodos de tiempo de los puntos a y b

Fig. 8.23.C/lculo de!ar/%etros

dedescara.

espuesta

0 aD iL 4 ; q 71 7 B1 - e D W3X

-t ;K1-

L

=D @

4 e-t

;K1

W>Xi 4 ; q 1

-'

e-t

;K1

W3XL L

E#ercicio 7.- Considerando las condiciones iniciales del circuito mostrado en la-ig. %E.2A obtenga las epresiones para la corriente i= y la tensión @= despu+s del cierre delinterruptor !.

+ -

R

$

E 4 >'; ' ?L 4 1 m

-.

R1

E 4 -1 >

R2

$

R 1 4 1 ?

R 4 15 ?

L 4 m

-' -t ;K1-

@ 4 1 7e W>X

-. -.



".

"2

5 L

5 1 mA "2 2, . ]O". ., . ]O

L .

"2 L2

". L. L4"-

"4 L-

2. ]O ". - ]O "4 .. ]O "- ]O L2 .3 m L. 2. m L4 @ m L- 2



espuesta0

-.

iL 4 1; 75 m3 - ; 75 m3e-t 5qq;K1-

L

E#ercicio q.- En el circuito de la -ig. %E.2 se desea hallar las epresiones matemBticas de lacorriente i= y la tensión @= despu+s del cierre del interruptor !.

Fig. 8.25.C/lculo decorrientes

tensiones.

-.

1espuesta0 iL 4 -; ( m3 - ; ' m3e

-t 1(;'1-

L

E#ercicio (.- #educir el circuito de la -ig. %E.2$ a la menor cantidad de componentes.


espuesta0 A B +,8 Q G 9 B 48 Q G 6 A B 8,( mG 6 9 B 4( m!

-t

@ 4 1; 7e W>X

R1

-

R2

$

E 4 1 >/ 4 m3

R 1 4 ;

R 4 q; L 4 m

+

-t @ 4 7e W>X



"2 "."-

<F E "1

"4

L.

L2

E -@ * "2 -? O ". 2@ O "4 O"- 23 O "1 .. O L2 2,. L. 4


E#ercicio 1.- Encuentre la energa almacenada en cada inductor del circuito de la-ig. %E.27.

Fig. 8.27

espuesta0 6' B 2,82 UG 6+ B 2,240 U!



A 3, 3. m.

d . mm

e @, @1 [23=2. $ T m3


E%ercicios "esueltos del €Þp:tulo G

E#ercicio 1.- 'ado los capacitores mostrados en la -ig. 4E.lA hallar el @alor de C en cada caso/

aD C 4 m! =D C 4 ; m! cD C 4 1 m! e r 4 ; 5 dD C 4 0! er 4 5

Fig. 9.1.C/lculo dela ca!acitancia.

/oluci%n0

a 3l $rea del capacitor est$ en relación directa con el 5alor de capacitancia!

CS 4 K7 m! O CS 4 q m!

6a distancia entre placas es una relación in5ersa!

CS4

1 7 ; m!

c 6a permiti5idad est$ en relación directa!

CS 4 ; 5 1 m!

CS 4 ;11 m!

CS 4 5 m!

d CS 4 57

1

7 0! CS 4 qq 0! q; q "!

E#ercicio .- En el capacitor mostrado en la -ig. 4E.2 hallar/

a El @alor de la capacitancia. b =a intensidad del campo el+ctrico si se aplican 3; M entre las placas.c =a carga en cada placa.

Fig. 9.2.C/lculo de laca!acitancia.




/oluci%n

0

a e 7 3 q; q5 71-1 7 ; m

C 4

dOC

4 O 71-' m

C 4 ; qq5 ! qq; 5 1 ! qq; 5 0!

9 4> 9 4

'5 > O 9 4 175 71' > m

d 71-' m

c

C 46

>

O 6 4 C7 > O

6 4 qq; 5 1-1 !

'5 > 6 4 ; '(75 C '; (75 "C

E#ercicio '.- Considerando que el capacitor tiene una relación lineal entre el espesor deldiel+ctrico y el es,uerFo diel+ctricoA hallar la mBima tensión aplicable al mismo para los@alores dados/

3 4 ; 5 m C 4 ;1 m! diel&ctrico 0orcela"a

/oluci%n0

C 4 q; q5 1-1 7e 7

3

O d 4 q; q5 71-1

7e 73

O

r d r C

d 4 q; q5 1-1

7 7 ; 5 m;11-

! d 4 ; 1'75 m 1'; 75 mm ;1'75 mm

3sfuer?o dieléctrico B ; Q/>mmZ 7 > [

7 ;1'75 mm 4 ((; 5 >\ mm ]^ _

E#ercicio .- Hallar la capacitancia equi@alente en el circuito de la -ig. 4E.3.

Fig. 9.3. Asociación!aralelo deca!acitores.

-1

C14 !

C&,

C1

C2

C3

C4

C4 ;5 !

C'4 7 "!

C4 q 0!



&2

&1

&.

&

&@

&e

&4 &-

&?

.. $ &. 3,213 $ &4 2.133 n$ &- G.13333 p$ &1 -? $ & 3,33333 $


/oluci%n0

Ce 4 C1 C C' C Ce 4 m! 5 m! ; 7 m! ; q m! Ce 4 5; 'q m!

E#ercicio 5.- Hallar la capacitancia equi@alente en el circuito de la -ig. 4E..

Fig. 9.4. Asociación serie de ca!acitores.

/oluci%n0

Ce 41

1 1 1 1 Ce 4

1O1 1 1 1

C1 C C' C

1 m! 7 m! 5; m! ; (5 m!

C 41 C 4

1/m!

e / 1 1 1 1e

1; '7'; q' ;

1m!

;17qm!

1; 5m! m!

Ce 4 ; 75 m!

E#ercicio .- Hallar la capacitancia equi@alente en el circuito de la -ig. 4E..

Fig. 9.5.Circuitoco%inado.

/oluci%n0

C1 C2 C3 C4

C14 1 ! C

4 ;7 !

C&,

C'

4 5 "!C

4 (5 0!



& 2 &4

"2

<F

".

&.

E "4

.,. $ &. 2,1 $ &4 -,? $ "2 .. O ". 24 O "4 1 O E 231 *


C3 4 C Cq

C3 4 m! 5m!

C3 4 51 m!

C 4C3 7 C7 C 4

51 m ! 7 ''

m!

C 4 ; ' m!

J J J

C3 C7

CC 4 C' C

CC 4 1;5

qK m!

m! (; 5m!

CC 4 1; 75 m!

C 4CC 7

C5O C 4

1 ; 75 m ! 7 7

m! C 4 1; q m!

F F F

CC C5

q; 75 m!

CE 4 CF CJ C CE 4 1; q m! ; ' m! 15m!

CE 4 1q; q( m!

4C1 7

CE O C 4 m ! 7 1q; q(

m! C 4 1(; m!

Ce e e

C1 CE

; q( m!

E#ercicio 7.- Hallar la energa almacenada en cada capacitor en el circuito de la -ig. 4E.$.

Fig. 9.6.C/lculo de lastensiones corrientes sorelos ca!acitores.

/oluci%n

0 / 4 E

R 1 R / 4

15

>'5 ?

/ 4 ' 3

>C14 / 7 R 1 O >C1

4 ' 3 7 ? O >C14 >

>C 4 >C' 4 / 7 R

3nerg&a en C ':

O >C 4 >C' 4 ' 3 71' ? O >C 4 >C' 4 '( >



? 41 7

C 7>

O ? 4 1 7 ; 71- ! 7 B >D2 O

C8 1 C1 C

8

?C1 4 K; 7( 71 K7( m

3nerg&a en C +:

?C

41 7C

C

O ?C

4 1 71; 5 71-

! 7 B '( >D2O

?C 4 1;1 1- 11 m

-'

7




3nerg&a en C 4:

?C' 41 7C

' C'

O ?C'

4 1 7 ; 7 71- ! B'( >D2 O

?C' 4 '; 57 1- '57 m

E#ercicio q.- En el circuito de la -ig. 4E.7A sabiendo que sobre el capacitor hay una tensióninicial de 2 MA hallar/

a =a epresión matemBtica para la tensión sobre el capacitor luego de cerrado elinterruptor.

b =a epresión matemBtica de la corriente en el perodo transitorioA y

c *raFar el grB,ico de la ,orma de onda inicial y ,inal de cada @alor.

Fig. 9.7.C/lculo de lascondicionesiniciales detensión corriente.


t 4 BR 1 R D 7

C

5 7 t 4 5;1 ms

t 4 B';' ? 1; q ?D 7; m!

t 4 11; ms

a

@C 4 @f B @i @f D 7e

O @C 4 q > B > - q >D 7e O

@C 4 q > - > 7e

/ 4E -

>C /4

q > - >

/ 4 (; m3

m m m

R 1 R iC 4 (;

m3e

5;1 ?

c 3l gr$fico de las formas de onda para la tensión y la corriente se oser5a en la -ig! )3!(!

7

+

-

R1

R2

C

E 4 q >C 4 ; !R 4 ';' ?

1

R 4 1 q ?2

-t

-t 11;

-t 11;

-t 11;



)& -@ *

. *

t

i&

G,3. mA

t


Fig. 9.8.@or%as deonda detensión corriente.

E#ercicio (.- En el circuito de la -ig. 4E.4A luego de transcurrir un tiempo mayor a cinco @ecesAla constante de tiempo de la tensión ,inal sobre el capacitor es de 2; MA a continuación se cambiael interruptor a la posición 2. Hallar las epresiones matemBticas de la corriente y la tensión

sobre el capacitor y el resistor. *raFar el grB,ico de cada parBmetro desde el cierre del interruptor hasta cinco @eces la constante de tiempo.

Fig. 9.9.C/lculo de lascondicionesdurante ladescara.

/oluci%n. Tensión sore el capacitor:@C 4 Ee O @C 4 > 7e

Corriente en el capacitor:

i 4 -E 7e

-t t

C R O iC 4 -

>1?

7e-t t O iC 4 - 71-' 3 7e-t ms

Tensión sore el resistor:

@R 4 -Ee O @R 4 - > e

3l gr$fico de la -ig! )3!'2 muestra las distintas formas de onda!

1

+

-

2

R

C

C4 !R 4 1? >C 4 >

-t -t

-t -t



*&

.3 *

t2 1

i&2 1

t

=.m A

*"

2 1t

= .3 *


Fig. 9.10. @or%as de onda de tensión corriente.

E#ercicio 1.- Hallar la epresión matemBtica para la tensión sobre el capacitor a partir del cierredel interruptor en el circuito de la -ig. 4E.ll.

Fig. 9.11.C/lculo de lastensiones corrientessore elca!acitor.

/oluci%n0

R ,h 4 R 1 R

R ,h 4 7 ? 1' ? R ,h 4 ?

>,h 4 >R1 >R >,h 4 / 7 R 1 >

Constante de tiempo:

>,h 4 15 m3 7 7 ? >,h 4 ;15 >

t 4 R ,h 7

CO t 4 ? 7 71-

!O t 4 ; 71-

' s ; ms

@C 4 ;15 7 B1 - e D W>X

E%ercicios Þ "esol)er del €Þp:tulo GE#ercicio 1.- Gn capacitor de placas paralelas tiene como diel+ctrico el aire y estBn separadas ;A3mmA poseyendo un Brea de ;A;$ m^. !abiendo que se le aplican 3;; M entre sus placasA hallar/

a =a capacitancia. b =a intensidad del campo el+ctrico entre las placas.c =a carga en cada placa.

espuesta0 a ',;; n-G ' L '2 />mG c 2,.4' mC!

E#ercicio .- !e coloca una placa de @idrio de ;A3 mm de espesor y una super,icie de;A;$ m^ entre las placas del eJercicio l/

a Hallar la intensidad del campo el+ctrico entre las placas. b 'eterminar la carga en cada placac 'eterminar la capacitancia

R2 C1 4 !

R1 CR 1 4 7 ?R 4 1' ?/ 4 15 m3

-t ;

0



&2&-

&e &1 &&. &4

&?

&2 44 $ &. 3,..3 $ &4 21133 n$&- G.13333 p$ &1 @ $ & 2. m$ &? 3,33@ $>


espuesta0 a ' L '2 />mG 4,)( mCG c '4,+; n-!

E#ercicio '.- Hallar la tensión mBima que soporta un capacitor de placas paralelas de;A m- de capacidadA siendo el Brea de ;A2 m^ y el diel+ctrico de baquelita. !e supone una

relación lineal entre la ,uerFa y el espesor del diel+ctrico.

espuesta0 .(2,. /!

E#ercicio .- Hallar la capacidad equi@alente en el circuito de la -ig. 4E.l2.

Fig. 9.12.C/lculo de laca!acidade<uialente.

espuesta0 C eq B +),2+ m -!

E#ercicio 5.- Hallar la capacidad equi@alente en el circuito de la -ig. 4E.l3.

C/lculode laca!acidade<uialente.

0

Fig. 9.13.

C4

C3C6

C&,

C7

C1 C2 C8

C9

C 5

C10

C12 C11

C13

C1

4 1 ! C

4 15 ! C'

4 1 ! C

4 ! C5

4 7 ! C

4 '' m! C7

4 1q

! Cq4 5 ! C

(4 ! C

14 5 ! C

114 5 ! C

14 q ! C

1'4 ' !



"2

"4

<FE ".

&2 &.

&2 .. $ &. 21 $ "2 .,. ]f ". @,@ ]f "4 23 ]f E 11 *


espuesta0 C eq B +',;( m -!

E#ercicio .- Hallar la energa almacenada en cada capacitor en el circuito de la -ig. 4E.1.

Fig. 9.14.C/lculo de laener+aal%acenada.

espuesta0 C ' B +,8;. mUG C + B ',0( mU!

E#ercicio 7.- Gn dispositi@o electrónico contiene un capacitor de 2200 m- que se carga a 120 M.Hallar/

a =a energa almacenada por el capacitor. b =a carga del capacitor.

espuesta0 a C B '.,(8 UG B 2,+08 C!

E#ercicio q.- :ara el circuito de la -ig. 4E.1A hallar/

a =a constante de tiempo del circuito. b =a epresión matemBtica para la tensión sobre el capacitor.

c El @alor de la tensión sobre el capacitor para tA 3t y 1t.d =a epresión matemBtica de la corriente en el capacitor.e =a epresión matemBtica para la tensión sobre el resistor.

Fig. 9.15.C/lculo de latensión corriente

sore elca!acitor.

Ft>2,. s espuesta0 a 2,. sG +2 L @'Fe CG cC ' t B'+,08 /G 4 t B') /G . t B '),(; /G

F4d 2,+ L '2

Ft>2,. sL e

Ft>2,. sG e +2 L e

E#ercicio (.- :ara el circuito de la -ig. 4E.1$A hallar/

a =a constante de tiempo del circuito. b =a epresión matemBtica para la tensión sobre el capacitor cuando el interruptor se

coloca en 1.

+ -

R

C

E 4 >R 4 ;1 M?

C 4 ;5 !



)&

4. *

t " 20,1 &S

3 t

i&,- mA

3 t


c =a epresión matemBtica de la corriente en el capacitor cuando el interruptor se coloca en 1.d =a tensión y la corriente en el capacitor cuando se pasa el interruptor a la posición 2 en

t `100 ms.e =a tensión y la corriente en el capacitor cuando se pasa el interruptor a la posición 3 en

t `200 ms.

Fig. 9.16.C/lculo detensiones corrientes enel circuito.

Ft>'2 ms F4 Ft>'2 ms espuesta0 a '2 msG .2 L @'Fe

G c '2 L '2 Le

G d .2 /G 2 AG

e .2 Le

Ft>'2 msG F+. L '2F4 Le

Ft>'2 ms

E#ercicio 1.- !obre el capacitor de la -ig. 4E.17 eiste una tensión inicial de 1 M con la polaridad mostrada/

a Hallar la epresión matemBtica de la tensión y la corriente al cerrar el interruptor. b *raFar las ,ormas de onda del apartado a.

Fig. 9.17.C/lculo de las tensiones corrientes.

espuesta0

a 4+ /F4. L eFt>+4,. ms

G '2 mA L eFt>+4,. ms

+

-

R1 2

1

3 C

R2

E 4 5 >R 1 4 ' ?R 4 ?C 4 ;5 !

E1 4 5 >

1

R1

R2

C

2

E 4 -1q >R 1 4 ' ?

R 4 C 4 ;7 !



Sensibilid'd )ertic'l

3,1 *Tdi)Sensibilid'd 7orizont'l 13 msTdi)



E#ercicio 1.- En una onda senoidal hallar el perodo sabiendo que la ,recuencia es/

a 1; HF. b l2;; HF.

/oluci%n0

a

, 41

, 41 , 4 ms

f 5 z

, 41

, 41

/ , 4 q'; ' ms

f 1 z

E#ercicio .- =a pantalla de un osciloscopio indica una ,orma de onda como se obser@a en la-ig. l;E.lA indicar periodoA ,recuencia y tensión pico a pico.

Fig. 10.1.@or%a deonda en eloscilosco!io.

/oluci%n

0 , 4 5 di@5

ms

di@ , 4 5 ms

f 41

f 41 f 4 z

, 5 ms

>00 4 di@ ;5

>

di@O>

00

4 ' >

E#ercicio '.- !iendo la @elocidad angular ` l;; rad&sA hallar el tiempo que necesita una ondasenoidal en pasar por un Bngulo de 4;T.




/oluci%n

0 a 4 : 7 tO t 4

a

t 4 0 rad

t 4

0s t 4 15; 7 ms

1 rad s

E#ercicio .- !abiendo que la tensión instantBnea tiene la epresión e0t

` E p

X sen a y

que E p`l;A hallar e en/ a a ` ;A$ p y b a ` 1;T.

/oluci%n0

a

a BGD 41qG

B; 0D 0 a BGD 4 1qG

e 4 1 se" 1qG O e 4 1 7 ; (51 O e 4 (; 51 >

e 4 1 se" 5G O e 4 1 7 ;7

e 4 7; >

E#ercicio 5.- !abiendo que la epresión de la tensión es et

` E p

X sen a/

a 'eterminar el Bngulo en el cual la magnitud de la ,unción senoidal e ` % sen l2t es de$ M.

b 'eterminar el tiempo necesario para obtener dicho @alor.

/oluci%n0

a ay dos 5alores de $ngulos para los cuales e B 0 /

a 4 arc se"e

a 4 arc se"

>

a 4 arc se" ; 75 a 4 q; 5(G

1 1 q > 1 1

a

4 1qG - q; 5(G a

4 1'1; 1G

a 4 : 7 tO t 4

a

:

a BradD 40

7 q; 5(G a BradD 4 ; 7 rad1

1qG1

t1 4 ; 7 rad

15 rad s

O t1 4 1; 77 ms

a BradD 40

1'1; 1G a BradD 4 ; 7' rad

1qG

E0



t 4 ; 7' rad

15 rad

s

O t 4 ; q ms

E#ercicio .- !iendo i ` l; X l;-0 sen %;;tA hallar i en t ` 3 ms



.. .

.


/oluci%n

0 a 4 : 7 tO a 4 q rad s 7 B' 71-'

sD a 4 ; rad

aBGD 41qG

7 ;

rad0

aBGD 4 1'7; 5G

i 4 q 1-' se"1'7; 5G i 4 5; m3

E#ercicio 7.-8ndicar cuBl es la relación de ,ase entre las siguientes ,ormas de ondas senoidales/

a @ % sen tO2;T i 3 sen tO$;T

b @ ` l sen tO%;T i ` $ sen tO3;Tc @ 3 sen 0t"l2T i 2 cos 0tOl2T

d @ 2; sen t"l;T i " cos t"$;T

/oluci%n0

a i adelanta a 5 en 82X

5 adelanta a i en .2X

c i 4 cos Bt 1GD se" Bt 1G (GD i 4 se"Bt 1GD

6a i adelanta ''8X a 5

i 4 - cosBt - GD cos Bt - G -

1qGD

i 4 cosBt - GD

dC i 4 se" Bt - G (GD O i 4 se" Bt - 15GD

5 e i est$n en fase!

E#ercicio q.-Gna ,uente de corriente continua de tensión de 22; @olt proporciona a unacarga A att. 'eterminar el @alor pico de la tensión y la corriente aplicadas de una seDalsenoidal para que la carga disipe la misma potencia.

/oluci%n0

4 > 7/

/ 4

CC /4

; ?

/4 ; 3 m3

CC CC CC CC >CCCC > CC

/0 4 7 /CC

E0 4 7

>CC

O /0 4 7 m3

O E0 4 7 >

/0 4 q; qm3

E0 4 '11;1 >



) /*0

.@

=.. @ 2- .- t /ms0

Sensibilid'd )ertic'l 13 m*Tdi) Sensibilid'd 7orizont'l 23 sTdi)



E#ercicio 1.- 'e la ,orma de onda mostrada en la -ig. 10E.A indicar/

a El perodo *. b =a cantidad de ciclos que se @isualiFan.c =a ,recuencia ,.d El @alor M

pp.

Fig. 10.4.C/lculo de latensión e3ica8.

espuesta0 a '8 msG +G c ;',8+ ? y d ( /!

E#ercicio .- Hallar la ,recuencia de una ,orma de onda senoidal que realiFa 120 ciclos en segundos.

espuesta0 42 ?!

E#ercicio '.- En la ,orma de onda mostrada en el osciloscopio de la -ig. 10E.A hallar/

a =a amplitud pico a pico. b El perodo *.c =a ,recuencia ,.

Fig. 10.5.@or%a deonda en eloscilosco!io.

espuesta0 a 2,4 /G 82 W s y c +. Q?!



) /*0

21

pl t

=21 13 z

i /mA0

.

.pl4

=. .333 z

t


E#ercicio .- Encontrar la amplitud y ,recuencia de las siguientes ondas/

a l; sen 2t. b 2 sen l;;t.

c )2A$ sen 22A%t.d ;A; sen 3t.

espuesta0

a A B '2G f B 4(,(. ?G A B +G f B '.,)+ ?G c A B +,0G f B 4,04 ? y

d A B 2,28G f B .0,.+ ?!

E#ercicio 5.- Hallar la relación de ,ase de las ondas de cada grupo/

a @ $ sen tO3;T i sen tO2;T

b @ ` l2 sen t";T i ` 3 sen t"%T

c @ l2; sen t"23;T i 2 sen t";T

espuesta0 a 5 adelanta a i en '2XG i adelanta a 5 en 8(X y c i adelanta a 5 en ')2X!

E#ercicio .- Escriba las epresiones analticas de las ,ormas de onda de la -ig. l;E.$.

Fig. 10.6.eter%inaciónde la e$!resiónanal+tica.

espuesta: a 5 B '. sen @4'8t42X Y / Z y i B + sen @'+.02tF02X Y mA Z!

E#ercicio 7.- En la ,orma de onda de la tensión mostrada en la -ig. l;E.7 hallar el tiempo tl.



) /*0

233 ) 233 sen/.h133t<3H0

3H t 2 t/s0

=233

Sensibilid'd )ertic'l 3,1 *ldi) Sensibilid'd 7orizont'l 23 msldi)

) /*0G4

= 4= = G

. - 2- t /s0


Fig. 10.7.C/lculo de t1.

espuesta0 2,00000 ms!

E#ercicio q.- Hallar el Bngulo de des,asaJe entre las ondas mostradas por el osciloscopio de la-ig. 10E.%.

Fig. 10.8.C/lculo del/nulo de

des3asae.

espuesta0 .;,0X!

E#ercicio (.- Hallar los @alores medios y e,icaF de la onda cuadrada de la -ig. 10E.4.

Fig. 10.9.C/lculo delalor e3ica8.



Sensibilid'd )ertic'l 3,1 *ldi) Sensibilid'd 7orizont'l 23 sldi)


espuesta0 2 / y 0,8( /!

E#ercicio 1.- :ara la ,orma de onda mostrada por el osciloscopio de la -ig. l;E.l; indicar/

a El perodo *. b =a ,recuencia ,.c El @alor medio.d El @alor e,icaF.

Fig. 10.10.

C/lculo de!ar/%etrosdesde eloscilosco!io.

espuesta0 a 48 WsG +)!8'',;0 ?G c 2,).. / y d ',20 /

introduccion a los circuitos electricos

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