introduction a la methode des elements finis en …

INTRODUCTION A LA METHODE DES ELEMENTS FINIS EN MECANIQUE DES SOLIDES

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueM. BRUNET

4 et 5 GMC

Année de création : 1981

INSA lyon

INTRODUCTIONA LA METHODEDES ELEMENTS FINISEN MECANIQUE DES SOLIDES

COURS A et 5 GMC

miche! BRUNET

© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

INTRODUCTION

Le but de ce polycopié est de donner les principes de base.de laméthode des éléments finis en élasticité. C'est une méthode de calcul quiconsiste à découper en "éléments11 la structure à étudier. Ces élémentssont définis par des noeuds dont le rôle sera largement précisé et dont Taréunion doit représenter aussi fidèlement que possible la pièce à calculer.

Cette façon d'opérer est satisfaisante pour prendre en compte lagéométrfe exacte de la pièce. On sait en effet que la difficulté principale,,rencontrée au cours d'une mise en équation, est la prise en compte desconditions aux limites géométriques.

A l'origine, la méthode des éléments finis était une généralisationde la méthode des déplacements pour les structures à barres, à la mécaniquedes milieux continus. Depuis, cette technique a largement débordé ce premiercadre pour aboutir à une méthode numérique permettant de résoudre les problèmesd'équations différentielles "aux limites". C'est pourquoi, le premier chapi-tre est consacré à la formulation générale de la méthode, mais sans prétentionmathématique.

Ensuite, c'est application à 1'élasticité plane, aux plaques en fle-xion et aux corps de révolution. Les problèmes non-linéaires tels que laplasticité et les grands déplacements ne sont pas abordés dans ce polycopiéau nombre de pages limité. Ces problèmes importants pour l'ingénieur sonttraités dans les ouvrages cités en référence.

Ajoutons que l'apparition des ordinateurs de grande capacité alargement favorisé l'extension de la méthode puisqu'elle ne saurait existersans leur utilisation.


_ £ -

I. FORMULATION GENERALE

Le but de cette présentation est de rappeler sommairement l'équi-valence entre un problème de minimisation et la résolution d'une équationdifférentielle. Il ne s'agit pas d'un exposé à caractère mathématique, tou-tefois on pourra trouver dans les ouvrages traitant des équations aux déri-vées partielles du type elliptique» le cadre fonctionnel et le détail desdémonstrations.

1.1. - f smoN ^

Considérons le problème général où l'opérateur A n'est pas forcé-ment différentiel «

Soit H un espace de Hilbert dont le produit scalaire est noté ( ; )et A un opérateur linéaire sur H de domaine fi.

On supposera toujours que A est :

II - Symétrique (Au, v) = (u, Av) Vu9 v 6 fi2/ » Positif (Aus u) V 0 ¥u / Q9 u 6 fi

On considère l'équation fonctionnelle suivante

Au = f où u 6 fi (1)f G H et f fixée.

Par exemple» une équation de la forme :

Lu = -H(pfï>-37(p^ + qu = f

donnée dans un domaine fini fi de R2 -de frontière r avec p une fonctionpositive continueront dérivable dans fi• + • r et q > 0 et f continues dansfi -f r.


Ici H = L2(fi) l'espace de Hiîbert des classes de fonctions de carré som-mable sur fi avec le produit scalaire

(*>*) = 0 W do) (doj = dx dy)J"

On montre (formule de Green) que L est symétrique défini positif avec les

££!JJJt"i9Pj_jyJLJLÎIIlJJËËl. e 'un es trois types suivants :

a) De Dirichlet [u] = 0b) De Neumann f j = 0

c) .ixte: Î3ïï+ru]r = °

où r fonction positive continuen dérivée normale extérieure

Pour les équations de la mécanique des solides de ce type» cesconditions aux limites correspondent aux conditions dites géométriques oùcinématiquës.

1.2. - PROBLEME VARIATIONNEL EQUIVALENT

On montre que sous certaines conditions,, on peut remplacer un pro-blème différentiel du type précédent par un problème variationnel ayant lamême solution.

Alors la solution approchée du problème différentiel est la solu-tion approchée du problème variationnel correspondant.

On a le théorème important :

Si l'équation Au = f possède une solution u0 dans H alors u0 donnesa 4y\us petite valeur à "\a fomct-\cm

F(v) = (Av, v) - 2(f, v) v 6 M (2)


. -•* - /; 4. "4

On dit que UQ minimise la fonctionnelle F(v).

Effectivement dans D on peut toujours écrire :

V = Uo + W

F(v) = (Av, v) - 2(f, v)

= (Âuo + Aw, Uo + w) - 2(f, tu + w)

= (Auo u0) + (Aw9 u0) + (Au0 9w) + (Aw, w)

- 2(f,u0) - 2(f, w)

F(v) - F(u0) + 2(Au0 - f. w) + (Aw9w)

= 0 car Au0 = f

F(v) = F(uJ + (.Aw, w)

or (Aws w) > 0 sauf pour w = 0 ce qui montre le théorème. De même onmontre la réciproque :

Si un élément u0 de H minimise la fonctionnelle F alors c'estune solution de l'équation

Au =. f

Donc9 si une solution existes le problème est maintenant de mini-miser la fonctionnelle F.

Les méthodes de minimisation relèvent de l'idée générale suivante :

On construit une suite dsespaces l-Pn'

H .C H C,:. H(") ...CH

tel que Ton puisse résoudre le problême du minimum de la fonctionnelle F dans-r-U-s^nr» r»;av» ri«c mâ-HrinrlûC '6 Q! Ômonf"a "î V»OÇ 8I© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Alors un 6 jrn"' solution exacte dans H*'n* est une solution approchée

dans H.

On définit ainsi une suite .lu } minimisante si

lim F(u ) = inf F(u)n-*° n u G H

Si une suite minimisante converge (au sens de la norme de H)9 la limite u*est la solution des problèmes différentiels et variationnels. Inversement,si nos problèmes ont une solution u , toute suite minimisante convergeravers u si l'opérateur A est fortement positif c'est à dire si :

~] k > 0 Vv € H (Av, v) > k |]v||2

REMARQUES :

1) Equations d'EULER-LAGRANGE

Rappelons qu'à un problème variationnel9 on peut par le biais ducalcul des variations attacher un problème différentiel.

(cf. les équations de Lagrange en mécanique générale). Ainsi par exemple si onconsidère la fonctionnelle

" bF(u) = f(x,u,u'9...u

(n^)dx

• a

où f est donnée et u^ désigne la dérivée neme par rapport à x de u.

Le calcul des variations montre que la fonction u rendant minimaleF est solution de 1féquation différentielle

f i 5 f ' 4. f • j. / i A n * 4? i - nS-d^u'+^TW'-"-^-1) nf<u(n)-°


- 6 -

2) Rappelons qu'en mécanique des milieux continus, les théorèmesde l'énergie nous fournissent directement les fonctionnelles à minimiser.De plus, par intégration par parties successives et en permuttant variationet différentiation, on obtient les équations différentielles de l'équilibreindéfini et les conditions aux limites cinématiques.

(Pour les remarques 1 et 2, voir les exemples en conférences).

I.3.- LA METHODE DE RITZ

Une méthode de construction d'une suite minimisante convergentea été proposée par RITZ.

a) Dans H on détermine une suite {$ } de fonction "simples" formantune suite linéairement indépendante : c'est à dire une base de hrn'.

b) Les vecteurs de hhn' s'écrivent :

u s a1^. (£ sur i de 1 a n ; indice muet) (3)

où les a sont des coefficients a déterminer.

Notons que u doit satisfaire les conditions aux limites du pro-blème.

Il faut alors trouver le minimum de la fonctionnelle F dans Frn'

F(un) - (AV un) - 2{f, uj

= (Aa1' , a1^) - 2(f, o )

= aV (A .., <(>..) - 2 av(f, 0.)


On doit avoir les a1 de telle sorte que F(u ) prenne la valeur Ta plusfaible possible, pour ces valeurs.,-on aura :

3F(u ):p~ = 0 pour j de 1 à n

3a J

il vient , en vertu de la symétrie du produit scalaire :

(A*., * ) = {*., A*..)• j i j

aî(A*.,-*j) = (f, cfu) (4)

on obtient donc un système d'équations linéaires symétriques pour déterminer

les a1, ce système possède toujours une solution.

La solution approchée de Au = f est ainsi

un"ol*i

1.4. - LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

On voit aisément les limites de la méthode de RITZ pour les problèmesconcrets où la géométrie du domaine Œ est compliquée ; d'où l'idée de partagerle domaine Œ en L sous-domaines ft: tels que :

(fà. = « et Cl. n a =0 v., k # 1i 1 K 1


Figure 1 - Décomposition- d'un domaine Q dans ER2

On a vu que déterminer la solution de l'équation (1) équivaut I cher-

cher la fonction u(P) qui rend minimale la fonctionnelle :

F(u) = <Au, u) - 2(u, f)

D'une façon analogue à celle de RITZ; on utilise des fonctions l..(P)t tellesi jque pour jjf1xé(1 'élément fl.) on ait :

# les fonctions l.-(P) constituent une base (j de l à N)

^ 1 ...(P) = 0 si P f «1

^ les l.|(P) vârifient les conditions nécessaires de continuitéet de la dérivai)ilité

les domaines Œ. appelés "éléments finis" sont en pratique des triangles ou

des quadrilatères pour les domaines bidimensionnels/des tores,des tétraèdes,des pentaèdres ou des hexaèdres pour les domaines tridimensionnels.© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

On cherche donc à approcher u(P) par u (P) telle que :

un(F) = q^jtP) (5)

i = 1, L et J = 1, M

les paramètres q1J sont appelés coordonnées généralisées de u dans la base

desl1j(P).

Généralement on prend pour .-(P), i fixé, la base des polynômes' Jde degré ps par exemple pour p = 3 et iï dans IR

2

1x y (M = 10)

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

Ecrivons F(u ) :

F(un) = (Aun, un) - 2(V f)

= (Aqijlij5 q 'l .) - 2(qijlij, f)

or

(Au,u) = Au.u duJn

d'où

F<un> ' fn A^ V2 *- - 2 | a f q 1 d l i j dw

En exprimant les conditions nécessaires de minimum de la fonctionnelle F(u )klen fonction des paramètres q


- 10 -

3F Q k = 1 ' L

^ÏÏT-° 1 = 1 , M

On obtient le système linéaire :

2 A qljl,. !.. do - 2 f T . , du> = 0_ Q 1J Kl JS2 Kl

<Al 1 J , l k 1 )q 1 J -d k l . f ) (6)

L'imposition des conditions aux frontières nécessaires sur lafonction u (P) équivaut à se donner H conditions sur les coordonnées géné-ralisées q si bien que l'ordre du système linéaire se trouve ramené à LM ~ N.

Dans la pratique* on remplace les coordonnées généralisées q1^ parun autre système de coordonnées d1J liées géométriquement à 8..

Par exemple9 en faisant :

dij = un(P1d)

où -P1-3 est un point choisi de la frontière de l'élément ft. ou intérieur à Cl. :ce sont les neouds du mai 11 âge et les d1^ sont les inconnues aux noeuds.

On a donc avec {5) :

dij = q1j l.jCP^)

et par inversion :

.q^-lu'1 (Pij)dij

puis , .. ..un(P) = l,j

X(P1J) l1d{P) d1J


- 11 -

un(P) = N...(P) d1J (7)

ù N. .(P) réalise une fonction d'interpolation.

Avec les techniques de l'interpolation (voir Analyse Numérique) oneut se donner directement ces polynômes d'interpolation,, par exemple :

* Polynômes de Lagrange* Polynômes d'Hermite* Fonctions splines ... etc ...

Si l'opérateur différentiel A fait intervenir des dérivées d'ordrep ou plus9 on appelle dérivées principales celles d'ordre inférieur ou

gai à p. Si les conditions de continuité imposées suffisent à assurer laontinuité de u (P) et de ses dérivées principales, le modèle d'élémentsinis est dit conforme.

.5. - INDICATIONS SUR LA CONVERGENCE DE LA METHODE

De nombreuses démonstrations ont été proposées pour démontrer cetteonvergence* elles nécessitent de longs développements assez difficiles.

La transformation du problème continu en un seul problème discret;onduit à la recherche d'une solution u qui approche u lorsque le nombreles points nodaux augmente ou bien lorsque la taille des éléments décroît,l'où deux possibilités :

l/ Assurer des interpolations de plus en plus complexes2/ Diminuer la taille des éléments.

La première possibilité s'identifie à la limite avec la méthode de[ITZ dont la méthode des éléments finis apparaît comme un cas particulier.


- 12 -

lËiiSHLJ ^

On définit la norme "énergie" dans H

I MM2 - (Au, u) > k | | u | | 2 (8)

Si u0 est la solution exacte de Au = f

F(UO) = (Au09 U0) - 2 (f, u0)

— M l U o l l - l 2

et on a vu que F(u0) est le minimum de F(u) et que la suite {u } est mini-misante si

lim F(un) = F(u0) (9)n-x»

or F{un) = (Aun5uri) » 2(Au0s un)

= (Aun,un) ™ (Au0, un) - (Aiin,u0)

= (A^-u-oJ-sfu^-uo.)) - (Auo, u0)

= IMu n -uoHf - M l u o l J ! 2

d'où (9) implique

lim |||un -Ut,i1l2 = 0 (10)

n-x»

(10) montre que toute suite {u } minimisante pour F converge en énergie versla solution exacte u 0 » A partir de Ià9 on obtient les critères sur les

fonctions l.j|(P) et la taille des éléments Q.- pour assurer la convergence enénergie de u vers u0. On donnera les critères dans l'application de la méthodeà l'élasticité.


II. ASPECTS ENERGETIQUES

11.1. - INTRODUCTION

Des fonctionnelles du type F(u) = (Au,u ) - 2(f,u) sont obtenues

pour de nombreux phénomènes physiques et en particulier les expressions des

énergies potentielles en mécanique. (Voir exemples en conférence).

Ainsi, en choisissant les paramètres d1J (inconnues aux noeuds),

la matrice (Al. ., 1,,) de la formulation générale sera composée à partir

des matrices calculées pour chaque élément avec les théorèmes destravaux

virtuels. L'assemblage de ces matrices élémentaires équivaudra physiquement

à rendre minimale l'énergie potentielle de la structure.

Les différentes phases d'un calcul "élément fini" sera donc le

calcul de la matrice d'un élément, l'assemblage des éléments et la résolution

du système linéaire pour avoir les inconnues nodales.

11.2. - NOTATIONS

Du fait de la symétrie du tenseur des contraintes et déformation

on utilisera la notation du produit scalaire pour l'énergie de déformation.

U = \ a., e.. dV = i fa}T {e} dV£• J v 5J 1J V

avec an , / en en

<?22 l C22 £22

{a} = a33 {e} = )£33 = e33 (11)Gl2 \ei2 Yl2

CT23 f-iC23 Y 2 3

\0 3 i / Wsi Y3i


« 14 -

et l'expression matricielle de la loi de HOOKE en élasticité

{al = [D]{e> (12)

1-v v v 0 0 0

1-v v 0 0 0

1-v 0 0 0

[DJ = __£__ SYM ^- 0 0(l+v)(l-2v) *

™L Q

l-2v

E et v module d'Young et de Poisson. [D] est symétrique définie positive

(E positif et v < 1).

11.3. - LES THEOREMES DEL 8 ENERGIE UTILISES

Considérons un solide déformable de volume V et de surface S en

équilibre statique sous l'action de forces de surface et négligeons pour

simplifier les forces de volume dans V ce qui ne restreint pas la générali

des théorèmes.

a) Pour les modèles éléments finis "déplacements"

C'est le théorème des déplacements virtuels.

soient * {F} forces de surface données sur S de S (même nulle?

# S portion de S où les déplacements (u) sont imposés

avec S = S U S


1*J »

La C.N.S. pour qu'un corps déformable soit en équilibre est quele travail des forces extérieures soit égal au travail de déformation pourtout champ de déplacements virtuels cinématiquement admissible (compatibleavec les liaisons).

soit : SU = SU

(ou = 0 sur S )

f {a}T {ôe} dv = f {F}T (6u) ds (13)

Jv 'sa

l'énergie potentielle s'écrit :

n(e) = U - W

n(e) =| {e}T [Dj Ce} dv - {F}T{u} ds (14)

'v J$a

Parmi ttus les champs de déplacements cinématiquement admissible,le champ des déplacements réels est celui qui minimise l'énergie potentielle

6n(e) = 0 (15)

}V ou cinématiquement admissible (ou = 0 sur S )

b) Pour les modèles éléments finis "Equilibre"

C'est le théorème des forces virtuels


- 16 -

La C.N.S. pour qu'un corps déformablé prenne des déplacements ciné-matiquement admissibles est que le travail complémentaire des forces extérieisoit égal au travail de déformation complémentaire pour tout système deforces virtuelles statiquement admissibles (qui respectent les équationsd8équilibre)

OU* « 6VI*

(6F - 0 sur SQ)

{e}T {00} dv = {u} {ÔF} ds (16)

Jv J.SU

l'énergie potentielle complémentaire s'écrit :

n*(ff) = U* - W*

•n*(o> = | (a}T [Dj-1 {a} dv - {û>T{F} ds (17)Jv Jsu

Parmi tous les champs de contraintes statiquement admissibles, le

champ des contraintes réel est celui qui minimise l'énergie potentiellecomplémentaire.

ôïï*(a) = 0 ¥ ôa vérifiant les équations d'équilibre

(18)


' - 17 - -

c) Remarques

L'application de chacun des principes variationnels (travauxvirtuels) rappelés conduits à un type particulier d'éléments finis. Lethéorème des déplacements virtuels conduit aux modèles déplacements quisont de loin les plus utilisés : on étudiera dans la suite uniquement lemodèle déplacement qui est fondé sur la détermination de grandeurs physiquesmesurables. On verra que le modèle déplacement est une généralisation dela méthode des déplacements pour les systèmes hyperstatiques de barres.Par contre, le modèle équilibre est une généralisation de la méthode desforces pour les systèmes hyperstatiques.

Il existe aussi une formulation mixte qui donne les modèleshybrides à partir de la fonctionnelle de REISSNER.

ïïï. FORMULATION MECANIQUE

III.1. - FQJCT^NSJDEJEPUCEMENTS

a) Elasticité plane

Nous allons appliquer la théorie générale et la formulation mécani-

que modèle "déplacement" aux états plans de contraintes :

CTx exa ^ 0 et e JE 0 et indépendants de z

°xy Yxy <Yxy = 2 exy>ez

C'est le cas des plaques minces suivant z et chargées dans leurplan.


- 18 -

Mais aussi aux états plans de déformation

£x axey t 0 et ay ^ 0Yxy axy

az

C'est le cas à V intérieur des plaques épaisses suivant z chargéesdans leur plan»

Remarquons que pour chacun des 2 cas* e ou a sont obtenus en. fonction des autres grandeurs en écrivant soit a = 0 soit e = 0 et par

conséquent on ne considère que les composantes.

ax 1 £x{a} - ay et M = ey (19)

(T Yxy rxy

b) Fonctions déplacements en coordonnées cartésiennes

II faut se donner une fonction représentant la variation des dépla-cements en chaque point de l'élément choisi, ce sont les fonctions 1».(P)de la formulation générale(i fixe'»)»

Prenons comme HlgËJËlLËJSSIlElg. e cas . e Plus siffîP^e : e triangleà 3 noeuds, on aura :

u(Xsy) soient 2 degrés de liber^tê suivant x et yU (en a^ les composantes de u(P)).

v(x,y)


- iy -

REMARQUE IMPORTANTE : Dans le cas général* les degrés de liberté peuvent

être des dérivées de u(P) (Par exemple> les rotations

dans la flexion des. plaques et des poutres que l jon verra

plus loin.

y n À o Y " us/ \ O X 3

t"XL \'/ p-l—•- u \

1 *i*ljjî \^2

yi ^zhr""*Y2

o | ~— %- Figure 2 - Triangle à 3 noeuds, épaisseur h.

On pose :

/ a i \a2

\u(*>y)l s p * y o o 01 a3 (20)î v ( x , y ) ( LU 0 0 1 x yj ouï

a5

a6

Les a- sont les coordonnées généralisées de u(x,y) et v(x9y) dans

la base [19 x9 y]

On assure ainsi une variation linéaire des déplacements à l'intérieurdu triangle.


- 20 -

Pour él iminer les coordonnées généralisées ai et les remplacer par les dépla-cements nodaux u . et v . (les d l j de la formulation générale) il faut que lenombre de composantes de la base [19 x 9 y] soit égal au nombre de pointsnodaux de l ' é l émen t car il faut inverser la relation :

U i u ( X i , y i ) 1 Xi Y! 0 0 0 aiV i v ( x l s y i ) 0 0 0 1 Xi ya a2

Uz u ( < x 2 9 y 2 ) 1 X2 y2 0 0 0 0,3v2 " v ( x 2 9 y 2 ) " 0 0 0 1 x2 y2 on»u 3 u (x 3 , y 3 ) 1 x3 y3 0 0 0 a5

v 3 v ( x 3 9 y 3 ) 0 0 0 1 x3 y3 a6

Les coordonnées(x., y.) des noeuds de l 'é lément étant données.On obtient alors d ' u n e manière générale la relation d_MjTter££l£ti£n.

T^r^j^T^ (2i)On verra plus loin qu'avec les techniques de l ' interpolat ion on

peut se donner directement la matrice [N] .

Ainsi dans l 'exemple du triangle à 3 noeuds (21) s'écrit :

U l \Vi

j u ( x , y ) TN! 0 N2 0 N3 0 ] u2 (22)

(v (x ,y ) LU N! 0 N2 0 N3J v2

U3

V a '

avec NJ = IÂ L^X2y3 "X s y^ + ^y2 • ys)x + ( X j • X2)y]


N2 et N3 s'obtiennent à partir de NI par permutation circulaire des indice1. 2, 3.

A est l'aire du triangle qui s'exprime par le déterminant :

1 Xi yi

A = | 1 x2 y21 x3 y3

b) FojTctions_deg^acements en coordonnées homogènes

II est souvent intéressant de considérer un autre système decoordonnées qui permet un calcul analytique plus simple des intégralesrencontrées par la suite dans l'application du principe des travaux vir-tuels pour le calcul de la matrice de rigidité de l'élément.

Considérons la figure (3).

03 ;

/ Ki j\

o 2 l

— _ i, , -, , _* -, r— P : — ..M .,, —**». — . . . . . i i WV

oT x

- Figure 3 - Coordonnées homogènes bi > La9 La


- 22 -

A la surface du triangle 19 29 3AI la surface du triangle P9 29 3A2 la surface du triangle P» 3» 1A3 la surface du triangle P, 1, 2

avec1 x y 1 KI Y! 1 xa yi

AI = | 1 x2 y2 A2 - ? 1 x y A3 = ~ 1 x2 y21 x3 y3 1 x3 y3 1 x y

le point P est défini de façon unique par ai 9 A29 A39 et on pose :

L Ai i A2 i A3 /oo\i «—*• L2 = — L3 - -i- (23)

A A A

et LI + L2 + L3 * 1

^Pour définir P on utilisera le système de coordonnées homogènes

(ou d'aire) U, L29 L3 sans dimensions qui est indépendant de la positionde l'élément dans le repère principal et de la forme du triangle.

On a les relations entre coordonnées d'aire et coordonnéescartésiennes

LI px2y3 - y2x3 ai bi"l 112 = TA Xayi " ysXl a2 ba X ^^L3 LXiya - yiX2 a3 b3 J y

avecai = yj - yk bi = xk - xj1 = 1, 2, 3 j = 2, 3, 1 k = 3, 1, 2

ou inversement :


-• £J - '

i r i i i l L! •X = Xi X2 X3 L2

y L y* ^3 J L3

Compte-tenu de ces expression, la relation d'interpolation (22)s'écrit simplement en coordonnées homogènes pour le triangle à 3 noeuds.

uiVi

(u(x,y) s TLi 0 L2 0 L3 0 1 u2 /25 j(v(x,y) LU li 0 L2 0 L3J V2

U3

Va

Par la suite nous avons fréquemment à déterminer des expressionsdu type aF/ax, 9F/ 3y ou les dérivées d'ordre supérieur, avec

F - F(U , L2 , L3 )

donc

3F Y SF 9Li Pt aF V aF 3Ll

îx "' 3T7 " x" et 8y = 3T7 3y"i=l 1 1=1 ]

De plus dans le calcul des matrices de rigidité on rencontrerades intégrales de surface du type

LÎ L^ L^ dAt A

qui s'obtiennent aisément par la formule

LÎ'LJ La dA = -1 ! j ! k 1 2A (26)A (i+j+k+2) !


- 24 -

III.2. - DEFORMATIONS - CONTRAINTES

a) Contraintes planes

La loi de HOOKE s'écrit

f1 v ° 1 exa - -§_ i v 1 Û; "U o -J ;xy Txy

b) Déformations planes

0V fl-v v 0 T evr _ _ A

av 1 = v i"v ° evy (i+v)(i-2v) 1-2 y°xv LU 0 i J YXVxy 2 xy

D'une manière générale, on a la relation (12)

{a} = [D] {e} (12)

c) Par ailleurs9 les déplacements u. sont reliés aux déformationse.. dans le cadre des petits déplacements par la relation :• j

i r8ui audie i j=H^+^JDans le cas particulier de l'élasticité plane il reste :

e =M € >lv _ ^ + M /27^x 3x y 3y Yxy " ax 3y l^ / J


- 25 -

et par dérivation de la relation d'interpolation

(u> = [Nj {d}

il vient :

{e} = [B] {d} (28)

Ainsi, pour le triangle à 3 noeuds, à partir des expressions (24), (25) et(27) on a :

Ui

ex rai 0 a2 0 a3 0 1 Vie, = — 0 bi 0 b2 0 b3 U2 (29)y PAYYV Lbi ai b2 a2 b3 a3J V2AJ

u3

V 3

la relation (28) donne les déformations à 1 intérieur du triangle en fonctiondes déplacements aux noeuds. Dans le cas particulier (29) du triangle à 3noeuds la matrice [B] est constante (indépendante de x et y) et avec (12)les contraintes calculées sont donc constantes sur l'élément et discontinuessur la frontière. Pour ce type d'élément on attribue généralement le niveaude contrainte au centre du triangle,

III.3. - MATRICE DE RIGIDITÉ ELEMENTAIRE

a) Cas général

Exprimons le travail de déformation pour un champ de déplacementsvirtuels cinématiquement admissible

soient {ou} = [N] {ôd}

d'où {6e} = [B] {ôd}


- 26 -

or 6U = {a}T {ôe} dv = {6e}T {a} dv

v Jy

II vient :

6U = {6d}T[BlT[D] [Bl (d) dv

•'v

6U = {ôd}T [B]T [D][B] d v « { d } = (ôd}T [K] (d>

• y

; M = MT MM dV

'v

(WT = M) {30)

U matrice {kj, appelée matrice de rigidité de l'élément dépendde la fonction d'interpolation choisie et des propriétés élastiques du ma-tériau. Pour IMntégration, on uti l ise les formules ^26) mais aussi l ' In-tégration par des méthodes numériques telle que la méthode de Gauss,

Dans le cas du triangle à 3 noeuds, la matrice [k] de dimensions(6 x 6) a tous ses termes constants (indépendant de x et y), ils ne dépen-dent que de la forme de l'élément et dans ce cas l ' intégration est évidente :

[k] - A x h [B]T [D][B]

Ji étant l'épaisseur de Vêlement.


- 21 »

III.4, " FORCESJIODAL^^

îl faut montrer que les forces de surfaces extérieures p(xsy) decomposantes pv(x9y) et{p (x*y) agissant sur une partie S de la frontière

X l y O

S de l'élément (en général un côté de l'élément» voir figure 4) sontegimaljjitj à un vecteur forces concentrées {f} agissant aux noeuds de lafrontière S de l'élément


» 28 -

De même que pour les déplacements.» on développe une JlJtergolatm^ de {p}

en fonction de ses valeurs nodales notées {q}.

Donc comme on a :

{u} = [N] {d}

on pose

{p} = [P] (ql

d'ailleurs on prend souvent [P] = [N]

Par contre$ si p(x9y) est uniforme » la matrice [P] disparaît

(l'interpolation n'est plus nécessaire).

Exprimons le travail virtuel des forces de surfaces extérieures.

6W = {6u}T{p} ds

•Sa

= {ôd}T [N]T [P] ds {q}

•Sa

= {6d}T {f}

Comme {ôd} sont les déplacements nodaux virtuels, {f} est le

vecteur des forces extérieures rtodales équivalentes

^ = DOT fP] ds {q} (31)J Sa


On dit aussi qu'elles sont énergétiquement équivalentes caréquivalentes sur la base du travail fourni 6W. Dans le cas du chargementuniforme :

{f} = [N]T {p} ds

Dans le cas de charges ponctuelles {p} à (x,y) l'expression (31) se réduit à

{f} = [N]T {p}

où [N]T est la matrice [N]T évaluée à (x,y) données.

Avec les coordonnées homogènes, les intégrales de surfaces rencon-

trées dans la formule (31) se calculent analytiquement par la formule :

f i i 1 ' J 'h il li dl = niJl (i+j+l) !

(h épaisseur et 1 longueur du côté changé de l'élément).Ainsi on montre faci-lement (voir conférence) les équivalences.


- Figure 5 - Charges nodales équivalentes

REMARQUE : Le raisonnement est le même pour des forces de volumes éventuelles^

lfintégration se faisant sur le volume de l'élément» (Cas des

forces centrifuges en dynamique notamment).

II 1.5. - ANALYSE GLOBALE A^C_L^

L'énergie de déformation U est une grandeur scalaires pour une struc-ture composée de p éléments. L'énergie totale est la somme des énergies dedéformation de ces p éléments :

p p

U = L U1 =4 E {dV [k^id1} (32)i=l d i=l

car pour un élément i on a :

U = i {dT[D]{e> dv * l {d}T [B]T[D] [Bj dv {d}Jv •'v

= \ (d}T [k] {d}


[k1] matrice de rigidité du ième élément défini par (30){d..} vecteur des déplacements nodaux du ième élément (dans le cas général

ce sont les déplacements nodaux généralisés, c'est-à-dire tous lestypes de degré de liberté).

Considérons la figure 6 où un noeud j est commun à quatre éléments

«• Figure 6 <- Noeud j au sein d'une structure plane

Notons F. la force nodale correspondant à un des degrés de libertéj

du noeud j résultante de toutes les forces nodales équivalentes f. de chacunj

des éléments qui ont le noeud j commun et pour le même degré de liberté.

FJ = f] + fj + f" + f" (33)

Bien entendu, lorsque l'on a que des charges extérieures appliquées encertains points de la frontière de la structure, la somme (33) est nullepour tous les noeuds intérieurs et aussi pour les noeuds de la frontièrenon chargée.


- 32 - .

On définit les vecteurs lignes suivant :

(Ae}T= [{d1}1 {d2}1" ... {dp}TJ

C'est le vecteur composé de tous les ensembles de degrés de liberté deséléments et le vecteur des forces correspondantes s'écrit :

(Fe}T = [{f1}1 {f2}1 — {fp}T]

[KeJ est la matrice globale non assemblée» c'est une matrice diagonalede sous-matrices dont chacune est une matrice de rigidité élémentaire.

l'assemblage s'écrit sous forme matricielle :

{A6} = [A] {A} (34)

où {A} est le vecteur des déplacements généralisés aux noeuds chacun prisune jseu][e fois

[A] est une matrice de connexions, les termes sont des 0 ou des 1 (matricebooléenne).

Ainsi par exemple :

Considérons 2 triangles à 3 noeuds et 1 seul degré de liberté(déplacement suivant x) pour alléger l'écriture (figuré 7),


- 34 -

P

U =| £ «V [k'Kd1} = {Ae}T [Ke](Ae}

i=l

=i<A}T [A]T [K*KA] {A}

M (35)

M = M [K&] M est â matrice de rigidité globale assemblée.Elle est symétrique

M T - WT [KeJT M = KT[K*IKI = M

Le potentiel des forces nodales est moins le produit scalaire des vecteurs{A6} et (Fe)

V = - W - « {Ae}T {F6} = - (A}T [A]T {F6} = - (A}T {F}

{F} est le vecteur des forces nodales asêmblês^ c'est-à-dire le vecteur desforces nodales résultantes. Ainsi sur l'exemple précédent :

{Fe>T . [fi fi n fî fi n]

(F) = [A]T {F6} donne

Fa ri 0 0 1 0- 0-| f}

F2 = 0 1 0 0 0 0 fi

F3 0 0 1 0 1 0 • • f i

Fi, L û O O O O l J ff

fl

f?


- 35 -

et on vérifie bien que :

FI = fî + f? (car 1 commun a (T) et (?) )

F2 = nF3 = fa + fi (car 3 commun à (T) et (2) )F, = f?

on a donc l'énergie potentielle totale :

ïî = U + V = \ {AlT [K]{A} - {A}T {F} (36)

En appliquant Ta condition nécessaire de minimum

JH-^o (37)3{A}

On obtient le système linéaire

[K]{A> = {F} (38)

REMARQUE : On peut également utiliser un ^££cédé^ qui utilise le caractère

de minimum de l'énergie potentielle» L'équation (36) montre que

l'énergie potentielle est une fonction quadratique des variables

[di£?2.«. d ] la condition de solution stable est que Tî soit

minimum. Il existe de nombreux algorithmes d1 optimisation permet-

tant de calculer l'ensemble des variables rendant minimum une

telle fonction quadratique.


- 36 -

III.6. - CON^

En général9 on ne construit pas la matrice de rigidité [K] enfaisant le produit :

[K] = [A]T[Ke][A]

où [A] est la matrice de connexion et [Ke] la matrice de rigidité non

assemblée.

On place plutôt les unes après les autres les matrices de rigiditéélémentaires [k] dans le système de numérotation globale des noeuds.

Noos prenons un exemple simple de 2 triangles à un degré deliberté pour illustrer cette opération :

4*_^ cU

_____^ 2x

- figure 8 -

Nous considérons 3 sortes de mjmero^jt|Qiis_

1. La numérotation des éléments (Y) et (2j

2. La numérotation globale des noeuds ; 1, 2 9 3 9 4

3. La numérotation des noeuds sur chaque élément noté 1, j, k

dans cet ordre


- il -

i j k

© fl 2 3]© Ll 3 4J

La matrice ci-dessus caractérise sans ambiguïté le maillage et la numéro-tation utilisée .

L'équilibre de l'élément (T) nécessite :

OU1 = 6W1

{Sd1}1" jVlfd1} = {«d1}1^1} Vlôd1} cinématiquement admissible,

soit [ka]{da) = {f j}

i k|1 kjj k|k di fi 1

j k ^ . k- d2 = n 2SYM

k k^ d3 fi 3

En "plongeant" cette matrice dans le système globale

kii kij k îk °1 d^ f^

4j kjk ° *> __ f* t

SYM k.k 0 ds fl

0 d:% 0


- 38 -

soit

[K'JU} = {F1}

de même pour l'élément (7)

[k2]{d2} = {f2}

i f k?,. k2 . k2k ! dl f2 1

J k 2 - k2, d3 - f| 3

k k2k d,, f? 4

Dans le système de numérotation globale :

kii ° kij kik| d> 1

0 0 0 d2 0

^ kjk *> «i

kkk| d^ *

soit

[K2]{A} = {F2}

et la matrice de raideur totale :

[K1 -K K2]{A} = {F1 + F2}

[K]{A} = {F}

La matrice de rigidité totale a des propriétés simples. Elle est carrée» dedimension (n x N)(n x N) dans le cas général où :


- 02 ~

. n est le nombre de degrés de liberté par noeud

. N est le nombre de noeuds

Elle est symétrique et c'est une matrice bande dont la largeur de bandedépend de la numérotation globale des noeuds mais pas des éléments. Eneffet,considérons les deux maillages suivants et un seul degré de liberté.


On voit que la seconde numérotation donne une matrice de largeurde bande égale à 3 au lieu de 5 pour la première numérotation. Il nsestpas nécessaire de stocker les zéros situés au-delà de la largeur de bandemaximale qui peut se calculer de la manière suivante :

largeur de bande maxi : n(d + 1)

où n = nombre de degrés de liberté par noeudd = la plus grande différence de numérotation entre deux noeuds

d'un même élément

II faut donc numéroter de façon à avoir d le plus petit possible pour ungain de place en mémoire* la matrice de raideur globale étant alors stockéesous forme rectangulaire» par exemple pour le deuxième cas :


- -*!*a. - •• •

Kl 1 K i a Kl 3

K22 K23 K24 n° ligne inchangé

v v v n° colonne "rectangle11

M 3 1^3 4 i\3 5

[Kj = = n° colonne "carrée"rectangulaire Klflf Ki|S Klf6 - n° ligne + 1

K55 KS6 0

.K66 0 0

De pi us 9 les temps de calcul pour la résolution du systèmelinéaire dépendent fortement de la largeur de bande de la matrice deraideur globale.

III.7. - CONDITIONS> AUX^ LIMITES

La matrice de rigidité d'une structure est singulière tant queles conditions minimales de l'équilibre statique ne sont pas exprimées.Il suffit d'introduire dans la matrice de rigidité le fait que certainsdéplacements sont jcoruujs1.

En appelant {d.} le vecteur des déplacements inconnus et {d }I C

le vecteur des déplacements connus on peut toujours mettre le systèmelinéaire :

[K] {A} = {F}

sous la forme :

LKi!..- | îi , !« (39,. "d Kcc) "c F1


- 42 -

Soient :

[K.J ià.} H- [K1c]{dc} = {F c > (a)

[Kc1] (d.} + Dy "cî = {F.} (b)

On détermine les déplacements inconnus {d.} avec (a) sous la forme :

Dy (d.} = CFC} - [KIC] ïdc}

connus

Puis -en utilisant (b) on obtient les réactions d'appuis {F,}

Dans le cas particulier où tous les déplacements connus sont nuls({d } = 0) on a simplement

DSil <<V - {Fc>

donc une simple ëlimination dans [Kj des lignes et colonnes correspondantesa ces déplacements nuls, est suffisante.

D'un point de vue pratiquef pour introduire un déplacement nul d.$il suffit d'écrire la iême équation :

nkii di + Z k idd j =FIj=i

JVI

en faisant les k . = 0 (j JE i), FI = 0 et k^ = 1

d'où d^ = 0

dans le cas des déplacements non nuls imposés égaux à certaines valeursdonnées on peut utiliser une procédure de pénalisation.


-•\:. : , . ' • • • ' - ta—

Ainsi si on veut imposer d.. = a , la iëme équation du système est trans-formée en

fi

VdiM + E k i j V a M k i i Wj-1W-

où M (1020 par exemple) est très grand devant k.. d. et F. d'où1J J I

nV"1Jj k.. d. est négligeable devant a M k.. d'oùi.j j 113*1

Wd. = a

quelle que soit la résolution

III.8. - RESOLUTION DU SYSTEME

La méthode de résolution de [K] {A} = {F} peut être directe ouitérative (Voir Analyse Numérique)

a) Parmi les méthodes directes

La méthode d'élimination de GAUSS est la plus connue et sa précisionest fondée sur les notions d'échanges de ligne et de pivots. La valeur dece dernier doit être contrôlée car la résolution n'est effectuée correcte-ment que si les pivots successifs restent assez grands.

Des solutions plus élaborées permettent d'effectuer simultanémentl'assemblage et la résolution. Dès que les matrices de tous les élémentsaboutissant à un noeud ont été formées, les équations correspondantes sontéliminées. C'est le principe de la méthode frontale.


~ 44 -

Procédant d'un aspect mécanique9 la décomposition en sous-structurediminue l'encombrement de la mémoire. Les noeuds intérieurs sont éliminéset l'assemblage est effectué sur les macro-éléments constitués par cessous-structures.

La méthode de CHOLESKI qui s'applique aux matrices symétriquesdéfinies positives est particulièrement adaptée puisque ces propriétéssont celles des matrices de rigidité. Cette méthode est indiquée pourles inversions de ces matrices.

b) Les méthodes itératives

Pour les grands systèmes (n > 1000), la méthode itérative deGAUSS-SEIDEL avec sur-relaxation est la plus employée.

Rappelons que pour que l'itération de GAUSS-SEIDEL converge,il suffit de vérifier :

v* PS il2 —^ < 1 pour i = 1, ..., n

J*H ni

la détermination du facteur de sur-relaxation optimal est difficile,cependant il est possible d'approcher sa valeur par des essais successifs,souvent m est voisin de 1,8,

D'autres méthodes itératives peuvent être appliquées* En particu-lier celles qui dérivent du problème de la recherche du minimum de :

| {A}T£K] {A} - {A}T{f}

équivalente a [K] {A} = {F}

Parmi celles-ci, la méthode du gradient conjugué est la plusrapide et doit par exemple, être préférée à la méthode de la plus grandepente© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

c) En conclusion

La résolution du système linéaire donne donc les déplacements{A} en tous les noeuds du maillage. Les relations :

{e} = [B]{d> et {a} = [D]{£}

permettent ensuite de déterminer les déformations et les contraintes.

La précision des résultats obtenus va dépendre :

1. de la finesse du maillage2- du iZEi d'élément fini utilisé3. de la méthode de résolution du système linéaire

IV, APPLICATION AUX STRUCTURES A BARRES

IV.1. - ELEMENTS FINIS DERIVANT DE LA THEORIE DES POUTRES

La résolution des problèmes des structures à barres par laméthode des déplacements apparaît comme un cas particulier de la méthodedes éléments finis.

Dans le cas des barres, en l'absence de force appliquée entreles noeuds, le champ des déplacements est choisi de telle manière qu'ilsatisfasse à l'équation différentielle des déplacements.

La solution numérique obtenue est donc théoriquement exacte etsi des forces ou des couples existent entre les noeuds, les efforts éner-gétiquement équivalents peuvent être calculés aux noeuds d'après lesformules vues au chapitre précédent.


- 46 -

D'une manière générale, chaque élément barre ij est étudié dansm repère local xyz telle que la direction ijsoit l'axe x et les axesy, z sont les axes principaux de la section droite .

- Figure 11 - Elément barre d'ossature spatiale.

D'une manière générale, on aura 6 degrés de liberté par noeud.

u, v, w composantes du déplacement sur x, y9 z9 , 9 , 9 composantes de la rotation sur x9 y9 zx y z

REMARQUE i' Si la barre est un profil minée ouvert9 un 7e degré de liberté

est nécessaire (Qf ) pour prendre en compte l'effet du bimo-2

ment (voir cours de mécanique des solides) qui nfest pas négli-

geable* Par contre l'effet des efforts tranchants est souvent

négligeable.

La matrice de rigidité d'une barre d'ossature spatiale seraobtenue en superposant les matrices relatives à l'effort normals à laflexion et a la torsion.


- 4/ -

IV.2. - MAT^KQ^IGIDni_D_E_L'EFFORT NORMAL

Considérons une barre de longueur £$ de section uniforme nonchargée entre ses extrémités ij

- Figure 12 - Elément barre (m) de traction-compression

Le déplacement axial u(x) en un point quelconque de la barre s'écrit :

u(x) - [1, x] jai(a2

où ai et a2 sont les coordonnées généralisées dans la base JJL, x]En éliminant a! et a2 en fonction des déplacements nodaux u. et u. on a :' j

«<xî-[i-*.*] UlL JL u.

J

qui est bien cinématiquement admissible.


- 48 -

On obtient la dilatation linéaire unitaire e = e en écrivant :

f du r i i] u i ,£ X - H ; = [ - z*zJ !

-\J

La contrainte normale a :

a = E£ = | ( u j - u . )

et la matrice de raideur :

M . [ MTMCB> . »E r "t * • " • £ ( - ! "îiv o i - c i * * ;£

et l 'équil ibre de la barre s'écrit :

[k]{d} = {f}

soit :

AE l ~ l ui flT5 = m (41)« -1 1 u . N1?

J J

et on vérifie bien que :

Nm + N1? = 0' J


- 49 -

IV.3. - MATRICE DE RIGIDITE DE FLEXION

Considérons le plan de flexion (x, y) :

- Figure 13 - Elément Barre fm) de flexion

le vecteur des déplacements nodaux {d} est dans ce cas :

Tï{d} = 0. et {f} = Mm

i V J Tm *9J j

M"?J

soient deux degrés de libertés par noeud (le déplacement v suivant y et larotation 9 suivant z)

Nous choisissons un polynôme (une cubique) pour décrire le champ

des déplacements v(x)

aj '

v(x) = [1 x x2 x3] (42)

0

Remarquons que ce champ de déplacement vérifie l§équation des poutres enflexion non chargées entre leurs extrémités

EIvIV = 0© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 50 :-

Eliminons les coordonnées généralisée a. du fait que

• • f c ;f ,( \-\^d 'où ] \ Hffil9 (L . - •• ïr""1 ~~T \ i

T \ \ 'v.. * 0,1 \ 1_A__ —J

Ô j = 0^2

Vj = ai + a2£ + a3£2 + a^3

0 . = a2 + 2 a3£ + 3 a^2

J

Par inversion on en tire les a. que l ! o n reporte dans v ( x ) :

viv ( x ) . i - 3 x i + . a ç i . x . . a ç i + x l . 3 x l _ 2 x i . . x l + x l ] e 1 (43)

t2 £ 3 I I 2 l2 £3 l l2 } v,J

6J

soient [NJ(X) ^ N 2 (x ) N 3 ( x ) y NH(x)]

C'est la relation d'interpolation de la théorie générale

M = [N] {d}

et les N.(x) sont les fonctions de déformée

De la théorie des poutres nous avons :

£„ = ~ y - car u = - y9dx2

et ex = djix dx

°x = E ex© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 51 -

d'oùV

e = - y [ - 5_ + if* ._ i + 6x . 6 _ 12x . _ 2 + 6x| 9i (44)

X [ l2 t3 ' t l* ' t2 l3 ' l l*) Vj6J

.soit

r{e} = - y [B']{d} |

La matrice de raideur : /Y/

[le] = y2E [B']T [B'] dv yj//

|b*• •*•

dv = b dx dy

- Figure 14 -

f h f"? ^ £

[k] = E by2 dy [B]T [BJ dx = [B1]1 ] dxJ - J : . J O 12 JO

'L T[k] = EIz [B1] ' [B1] dx et [k] {d} = {f}

• 0

En faisant le produit et en intégrant terme à terme on obtient Ta rela-tion d'ëquflfbre :


- 52 -

' 12 61 - 12 6£ ) v . T1?

. E l 3 6£ 4£2 - 61 2l2 9. = M^ (45)

~T > 12 - 6£ 12 - 6£ v . TïJ

| 6£ 2£2 - 6£ 4£2J 9. WJ J

On obtient bien la même matrice de raideur qu'en appliquant le principe

de superposition aux quatre cas de figures :

- Figure 15 - Principe de superposition

en intégrant l'équation de la déformée :

El <£L -. - (M - T.x)dx2 T 1


- 53 -

compte tenu des quatre types de conditions aux limites et des équationsd'équilibre

W°Mi - ¥ + MJ * °

Charges nodales équivalentes à un chargement réparti

- Figure 16 - Chargement réparti q(x)

En exprimant le travail virtuel du chargement réparti extérieur onobtient les charges nodales énergétiquement équivalentes.

'£ . - • ; • : .. . ,- - • • . : - . • • - . • '6W = q(x) Sv(x) dx

• t.O

or 6v(x) - {6d}T [N]T

lld'où 6W «-{6d}T q(x) [N]T dx

Jo

- (6d}T {f}


- 54 -

[ L ' Ti

où {f} = CNJT q(x) dx = MiJ ° TJ

MJ

ainsi dans le cas où q(x) = q = cte9 on obtient :

- Figure 17 -Charges nodales équivalentes à q(x) = cte

Matrice de rigidité globale : exemple d'assemblage direct

L'équilibre se trouve imposé dans la représentation globale

par la simple sommation des forces et des moments aux noeuds, comme

nous l'avons vu au chapitre précédent.

Considérons 1'exemple simple de structure suivante :


- 55 -

La structure est composée de 2 éléments-finis barre de flexion ayantle même système d'axe* les forces extérieures possibles sont :

T2, M2 et M3

l1équilibre au noeud 2 nécessite :

T2 = Ti + Tf

M2 = Ml + Mi

et au noeud 3 :

M3 = Ml

Pour l'élément (T)

T} [12 6l - 12 6l ] viiMi El 4£2 - 6£ 2l2 61 j

Tl = JT 12 - « va -

Ml l 4£2 J 82 ,

Pour l'élément (?)

Ti [ ] v2

Mi a fî. k Q2T| £3 V3

Mi l J 63


» 56 -

La matrice assemblée s'écrit :

T} [ 12 6l - 12 6l 0 0 .. 1 Vi

M} 6£ 4£2 - 6£ 2£2 0 0 0!

T2 £I 12 - 6l 24 0 - 12 6l V2

M2 £3 - 6i 2i2 o ae2 - 6i 2i2 02««.~>n.«.»_i«._~v>wl.m.n.~i«>«~«»«i»_io><»

T| 0 0 - 12 - 6£ 12 - 6l v 3

M3 1 0 0 6£ 2£2 - 6£ 4£2 j 63

soit

{F} -= {K]{A} de la théorie générale.

Introduisons les conditions aux limites de l'exemple :

Vi = 81 = v3 = 0

il reste le système linéaire des inconnues v2, 92 et 03

T2 [ 24 D U ] V2

M2 = — 0 3£2 2£2 02M3 ^3 [ 6l 2l2 4£2 j 83 ;

La résolution du système linéaire donne :

V2 [ 112 3l - 124 ) T292 = l 3l 15 - 12 M203 96EI ( 121 - 12 48 J M3

T2, M2 et M3 étant le chargement donné, on obtient donc v2, 02, 03 puisen remontant la chaîne on trouve les réactions d'appui : Tj 9 M} et T|,l'expression des déplacements v(x) , de la déformation e. et la contraintetfx dans chacun des deux éléments barres.© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 57 -

Par exemple : si T2 = P et M2 = M3 = 0 on obtient :

7/3 0^ 03V2=^— P 02=-±— p e 3 = _ £ _ p

96EI 32EI SE!

TJ = - Mi M} = "3P£ T§ = - -1 16 8 16

IV.4. - MATRICE DE RIGIDITE DE TORSION (ST VENANT)

Ici le plus simple est de partir directement de l'équation

de la torsion

M ri 9X\ = " GJ dT

où £ est le module de cisaillement et J la constante de torsion de la section(voir Mécanique des solides).

Compte-tenu de l'équation d'équilibre des moments de torsion

M . et M . aux noeuds i et j (figure 11) et sans moments de torsion entre

ceux-ci

Mxi + Mxj = °

II vient :

M { GJ GJ } A ïMxi Z 1~ exiM " - GJ GJ (Mxj [ 3T TJ 9xj)


IV.5. - AXES GLOBAUX

Les matrices de rigidité précédentes sont relatives au système(*'axe \Qca^ x z (figure 11) lie à la barre et placé au centre de gravitede la section droite. Avant de procéder à 1'assemblage des matrices deraideur de chaque barre par la technique générale vue au chapitre précc-dent9 il faut les exprimer par rapport à un système d'axes global XCYCZ0.

Prenons comme exemple la barre d'ossature plane chargée dansson plan (figure 19).

- Figure 19 - Barre d'ossature plane

En superposant la rigidité de 1'effort normal et celle due àla flexion, la matrice de raideur élémentaire de la barre s'écrit dans4 es axes locaux xy :


- 59 -

— 0 0 - -^ 0 0 } ; u . A / N -£ £ 1 '

12EI 6EI n 12EI 6EI T— '-'" • U - ——— V . I .£3 £2 £3 £2 1 1

M O - 6§l 2EI Y M./ P2 p ' 1

M-1 r— 0 O u . N£ J d

SYM12 El - 6EI v T

"~~ J J£3 £2

4EI 1 fl M9 T / \ Mi

£ J J

soit [k] {d} = {f}

Par rapport à un autre système d'axe X0Yoon aurait la même

relation :

Oo]{do} = {foî

Avant l'assemblage, il faut exprimer les matrices de raideur

de chaque barre dans le même système d'axe X 0 Y^ .

Si on appelle [R] la matrice de passage des axes X5Y0 aux axe

xy dans notre exemple, le vecteur définissant les efforts est formé d«

deux sous-vecteurs (en i et j) ; la matrice [R] comprendra deux matricde rotation [R0J qui s'écrit :

Ni { cos <x sin a 0 ) N.lo

TÎ = - sin a cos a <3 T^

MÎ ( 0 0 1 J Mi

de même pour les composantes en j.© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 6.0 - ,

où cos a et sin a représentent les cosinus directeurs des axes locauxxy dans le système 4'axes général X0Y0 (figure 20).

W . [?4--9](6x6.) t° ! S'l

[RJ est une matrice orthogonale cToù fR]'1 = {.RJ , donc :

if} = KKMde même {d} = [R]{d.0>

d'où [k]{R]{d.0} = ,[^{f0}

[R]"1W[R]{d0}= ( fo i

[ko]

soit [k0] = [RlT[k]tRj

Cette relation se généralise dans le cas des ossatures spatiales.


V 8 REPRESENTATION DU COMPORTEMENTET DE

LA GEOMETRIE DES ELEMENTS

V.I. - CONDITIONSAREMPLIR SUR LES fONCTIONS D'INTERPOLATION

Deux critères doivent être respectés par la fonction d'inter-polation (matrice [N]de {u} = [N]{d})9ce sont des conditions nécessaires*

1) la fonction d'interpolation doit être telle qu'elle nepermette pas la déformation d'un élément lorsque les déplacements de cesnoeuds résultent d'un mouvement d'ensemble jnSJide*

Ainsi {e} = 0 dans {e} = [Bj{d} si {d} est du à un mouvementd'ensemble rigide.

Notons que ce critère n'est pas toujours respecté mais laconvergence est conservée.

2) la théorie de l'élasticité exige la continuité des fonctionsde déplacement. De chaque côté d'une frontière, la valeur du déplacementdoit être identique. En effets l'expression de l'énergie potentielletotale est obtenue en sommant les contributions de chaque élément finis

ce qui suppose qu'aucune énergie n'est introduite dans les interfaces.Ces éléments qui satisfont à la condition de continuité sont dits

compatibles ou conforme ./

Cependant dans certains problèmes (flexion des plaques parexemple) il y a une difficulté considérable à définir des élémentsconformes mais la convergence est vérifiée numériquement.


- 62 -

Ce critère implique que ces fonctions doivent nécessairementêtre dérivables jusqu'à l'ordre de dérivation le plus élevé apparaissantdans l'expression de l'énergie potentielle,

V.2. - REPRESENTATION PAR POLYNOMES

C'est la description analytique la plus simple pour décrire un

champ de déplacement. Nous l'avons vu pour le triangle à 3 noeuds où

u(x,y) = ai + a2x + a3y

v(x,y) = a^ + a5x * a6y

où les a. sont les coordonnées généralisées dans la base [l, x9 y]

D'une manière générale et en restant dans le cas bidimensionnel :

n

u(xsy) = ]T a. xdyk

1=1

On utilise le triangle de PASCAL pour disposer les termes de la série :

ai constant

a2x ady linéaire

a4x2 a5xy a6y

2 quadratique

a7xd a8x

2y a9xy2 ai0y

3 cubique

et ainsi de suite jusqu'à l'ordre désiré.

Comme nous l'avons déjà vu, on choisit un nombre de coordonnées

généralisées a. êgaj_ au nombre de degré de liberté total de l'élément

(nombre de noeuds multiple par le nombre de degrés de liberté par noeud).


u(x) = ai + a2x

u(x9y) = ai + a2x + a3y

u(x9y) = ai + a2x + a3y + aa2 + a5xy + a6y

2

u(x9y) = ai + a2x + a3y + a5xy

On élimine les coordonnées généralisées en les exprimant enfonction des degrés de liberté aux noeuds en évaluant le polynôme d'in-terpolations on a ainsi autant d'équations que de degrés de liberté de1'élément.

Après résolution, on obtient la relation

{u} = [N] {d}

où la matrice [N] contient les fonctions de déformées N. (x,y)

Ainsi on a obtenu par exemple précédemment :

"w-t 1-?-?) Ulj = (N'N>)!UI!1 / li ' U2) ( U2)

pour la barre de traction

uivi

(u(x,y)j= TN, 0 N2 0 N3 Ol "2

?v(x,y) i L° NI ° N2 ° N

3J Vz

U 3

V 3© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 64 -

pour le triangle à 3 noeuds {voir 22).

V.3, - DETERMINATION DIRECTE DES FONCTIONS DE DEFORMEE

V.3.1. - Interpolation de LAGRANGE

Dans le cas unidimensionnel il existe la formule de LAGRANGE(voir Analyse Numérique) :

ÏÏH-1

u(x) = £ N.(x) u.i=l

t i - -. — * +~ - - » » -*-1 2 i i + 1 m m. + 1 x

avec m+1

n (x-Xj)

N (X) =M___ j JE i1 m+1

n (xrx.)j=l

qui vérifie bien

u(x.) = u1

Par exemple pour la barre de traction à 2 noeuds :

m = 1 et Xi = 0

fc j. t


U(X) = *-^J± ^ + !_ <1_ U2 = (1 - f) «i + f U2

Xl X2 X2 " Xl

On peut introduire les coordonnées naturelles (sans dimensions)qui sont très pratiques pour exprimer les fonctions de déformée.

il 2 li^ - — Li = - Li + L2 = 1

! ' A!,, 1 ,> 2 ^2

I L2 = •— M(X) = LiUi + L2u2Xi X X2 £

en 1 en 2

Li = 1 - L ! = 0 i 1 K f1 M JL^L2 = 0 L2 = 1 ^x-j- (Xi x2J \L2 j

Les coordonnées naturelles sont à la base des généralisationsà deux et trois dimensions où leur rôle est très important dans l'inté-gration de :

M = f MTMK dvJ V

et pour le calcul des forces nodales équivalentes.

Ainsi nous avons vu les coordonnées d'aire triangulaire


- Figure 21 - Tétraèdre

L l=^ L2=^- L 3=^ U=^.V V V V

où V. est le volume "opposé" au noeud i.

1 [1 1 1 1 1 liX Xi Xa Xa Xi* L'2

y = YI y2 y* yv LSz '['zi z2 z3 z4J L4

V.3.2. - Interpolation d'HERHITE

Dans les problèmes de flexion9 il faut représenter à la fois lafonction et sa dérivée première et parfois des dérivées d'ordre supérieurcomme degrés de liberté. Pour ce faire, on a alors recours à l'interpolationpolynomiale d'HERMÏTE (voir Analyse Numérique).

- 66 -

Dans le cas du tétraèdre :


Illustrons ce type d'interpolation sur un exemple simpledéjà vu : la barre à deux noeuds en flexion

- Figure 22 -Vj

Soient 2 noeuds 1 et 2 et 4 degrés de liberté au total {d} = l

v2e2

,,*c e•£

On a : v(x) = NiVj + N26i + N3v2 + Nif92v'(x) = N{Vj + Ni6i + N^V2 + Ni92

Nous disposons ici de 4 conditions pour construire chacune desfonctions de déformée N. puisque chacune de ces fonctions (ou sa dérivée)est évaluée au degré de liberté associé à N. et sera nulle pour tous les3 degrés de liberté restants.

Posons : N1 : a . + a2.£ + a3i?2 + a,.ç3 où Ç =|


- 68 -

a2i S3i aS*M « = __1 + 2 —L £ + 3 —1 Ç2

1 £ £ £

Exprimons les conditions sur les N.(Ç)

N! N2 N3 NH I M 1! M'2 N'a N1,g = Q 1 0 0 0 0 1 0 0__ p_ _______™_^p_ ____^^

Ainsi pour Ni(Ç) :

1 = au car Nx = 1 pour ç = 0

0 = *|i car N{ = 0 pour ç = 0

0 = an + a2i + a3i + a^i car NI = 0 pour £ = 1

0 = iLL + iJLll + LitL car N{ = 0 pour ç = 1£ £ £

Après résolution :

an = 1, a2i = 0, a31 = - 3f aH1 = 2

d'où

N! = 1 - 3Ç2 4- 2Ç3

On trouve les autres fonctions de déformées de la même manière

et on voit qu'elles sont identiques à celles du chapitre 4 paragraphe (4.3)

N3 - K2 - 2Ç3 ; N2 = x(Ç » l)

2 ; N, = x(Ç2- Ç)

De même que l'interpolation de LAGRANGE l'interpolation d'HERMÏTE

se généralise à deux dimensions notamment pour les éléments finis rectarv^

£i£ljmre£.


Ainsi9 en utilisant le simple produit de fonctions de déformée uni™dimensionnelles, chacune portant sur l'une des directions x et y9 on obtientl'interpolation de LAGRANGE bilinéaire pour le rectangle à 4 noeuds.

u(x,y) = (Nlx'Nly)u! + (N2x Nly)u2 + (N2)( N2y)u3. + ' (Nlx N2y)u,

où

Nix = (1 - 0,' N2)< = C, Nly =(1 - n), N2y = n

avec

ç = x/x2 et n = y/y3

Interpolation de LAGRANGE Interpolation de LAGRANGEbilinéaire biquadratique

Une interpolation de LAGRANGE à l'ordre supérieur où égale àdeux nécessite l'existence de noeuds intérieurs.

L'interpolation d'HERMITE bidimensionnelle est utilisée pour lesrectangles en flexion.


- 70 -

V.4. - ELEMENTS ISQPARAHETRIQUES

Dans le cas des éléments Ijoparamétrlques, le mode de représen-tation du comportement en déformation est conservé pour représenter lagéométrie de l'élément. Construire un élément isoparamétrique revient àdéfinir une application d'un élément de base (élément parent) comportantun certain nombre de noeuds9 sur l'élément réel à frontière courbe et com-portant le même nombre de noeuds. Une solution élégante est ainsi apportéeau problème de la description des frontières courbes.

Des critères de convergence permettent d'établir la validitéde tels éléments :

- si on choisit des champs de déplacement à compatibilité inter-éléments pour la définition géométriques l'élément "distordu11 s'assemblerasans discontinuité avec ses voisins s'ils sont de même type.

- le critère des déformations constantes pour le mouvement d'en-semble rigide doit être vérifié dans l'élément distordu.

Pour illustrer la formulation isoparamètrique nous envisageronsTe cas bidimensionnel du triangle à déplacement quadratique à 6 noeudsqui sera l'élément "parent" ou élément de base.

(u(x9y) = ai + a2x + a3y + aa2 + ot5xy + a6y

2

( v(x9y) = a7 + a8x + a9y + aîox2 + otjixy + ai2y

2


- /l -

Après élimination des 12 coordonnées généralisées a., le dépla-cement {u} est défini par la relation

{u} = [N] {d}

(2x1) (2x12) (12x2)

où6

u(x,y) = H^u. u.. et v.. déplacements nodaux du noeud 1i=l

6v(x,y) = ]T N1vf

1=1

Les fonctions de déformées N. sont données par les relations

suivantes en fonction des coordonnées homogènes Li, L2» et L3.

Ni = (2 Li - 1) Li

N2 = (2 L2 - 1) 12

N3 = (2 L3 - 1) L3

N, = 4-Li L2

N5 = ^L2 L3

N = 4-L L6 ^ 3 1

En effet9 si le point P est au noeud 1, on a alors LI = 1

et LI, = L^ = 0 et par conséquent u = Ui.

De même si le point P est au noeud 4, L3 = O e t L i = L 2 = 2'et u = u^.

C'est la même chose pour les autres noeuds.


- 72 -

Dans la formulation isoparamètrique* la transformation géométriqueest définie par les mêmes fonctions N..

Ainsi : o

* = E V,1 = 1

6

y » 2 Ni *i-1=1

A un point de coordonnées globales (xsy), la transformation decoordonnées fait correspondre un point de coordonnées homogènes Ll9 L2s L3

qui ne sont pas indépendantes car :

LI + L2 + Li3 = 1

et on posera :

ç = Lin = U1 - ç - n = L3

donc6 6

u = 2 N.(ç9n) u1 x » 2 Ni U.n) x.1=1 1=1

6 6

v = N.(ç9n) v. y = ^'^(.ç.n) y<'1=1 1=1


- 73 -

Les champs de contraintes et de déformations sont linéaires, celuides déplacements quadratique et les côtés de l'élément paraboliques.

Pour calculer la matrice de rigidité de l'élément isoparamétrique,il faut exprimer les déformations qui sont les dérivées par rapport à xet y en fonction des nouvelles coordonnées Ç, n-

8Ni 9N1

3£ -àx= GO

3Ni 3N.

an 3y

fax a/Le jacobien [J] de la transformation : ÇJ) = ^

_9x ay

3n 3n

soit :

'^

G O z x z ' a' ({xi}{yi}lx23N. bx^

- 8n ^2x6 (1 de 1 à 6)

Les dérivées partielles définies dans l'expression ci-dessus sontcalculables à partir des expressions des fonctions de forme données pi us

haut.


- 74 -

f 3 1

>J P

V = ° fy { v }

YX V i_ i_:y 18y 3x -

Tous les termes ci-dessus peuvent être obtenus à partir de :

'ly. 1 1 fiy. ix'3x 3x 3Ç 3Ç

= M"1 =&] "df]M lY. au jh/•*y 9yj bn 3nj

où

!!i[H] = ^ {{u } fv.}]

3 6x2

*n J2x6

tous les termes de la matrice £tQ sont dans [J}"1 ] et [B] est engendréepar identification terme à terme de la forme habituelle :

{e> = [B){d} 'avec {d} = {J}

les équations contraintes déformations s'expriment toujours par :

(a} = [D] {e}

Dans toutes les intégrations, l'aire élémentaire dxdy est remplacée par :

dxdy = |J| dÇdn où |J| = det (0)


- 7D -

Pour une épaisseur unité, la formule de la matrice de rigidité d'un éléments'écrit :

[1 /fl-n xM = s ffl

TCD3[B) ds = ^ (B)T(D)(B)|J| dÇ jdn

Une formulation littérale de (k) est pratiquement impossible et il faututiliser les méthodes d'intégration numérique notamment les méthodes d'in-tégration numérique de GAUSS (voir Analyse Numérique).

Par exemple, pour l'intégration (GAUSS-HAMMER) sur un triangleon aura :

fî = JA f(e,n) dçdn = £ V1)f(s(i) ; n(i))

i=L-

où m est le nombre de point d'intégration choisi et w, (i) une fonction poidsdont les valeurs sont tabulées et données pour ces points d'intégration(points de GAUSS). Le degré de l'intégration est fonction du nombre de pointset ce choix est important car s'il est trop élevé, il conduit à des calculsinutiles et coûteux. En général, m est fixée tel que l'intégration numériquepermette d'évaluer exactement la surface (volume) de l'élément.

La représentation isoparamétrique s'étend surtour au cas tridi-mensionnel de la même manière que précédemment ce qui permet de prendre encompte beaucoup plus facilement la géométrie de la structure.


VI. ELEMENTS FÎNÎS POUR LA FLEXIONDES PLAQUES ET POUR LES CORPS DE REVOLUTION

VI.1. - ELEMENTS POUR LA FLEXION DES PLAQUES

6.1.1. - Hypothèses

Les plaques sont définies comme des structures dont la géométrieparticulière est caractérisée par l'existence d'un plan moyen. L'épaisseu»

e est faible devant les deux autres dimensions qui sont la longueur et lalargeur et l'axe z est perpendiculaire au plan de la plaque définie par x

et y.

- Figure 24 -

On a les hypothèses simplificatrices :

a) la contrainte az est négligeableb) l'effet des cisaillements transversaux CK et a est

négligeable


c) un point situé sur une normale au plan moyen reste sur unenormale à la surface déformée

d) la loi des sections planes est vérifiéee) II nsy a pas de déformation du plan moyen c'est-à-dire :

umoyen ~ vmoyen

Un point quelconque P de la plaque subit un déplacement {u} :

\ulCu} = M

Iwl

La plaque étant placée dans le plan xoy$ u et v sont les dépla-cements parallèles au plan moyen et w est la flèche.

L'hypothèse des sections planes permet d'exprimer les déplacenentsu et v en fonction des rotations e et eu autour des axes 0 et 0 et desx y x ydéplacements des points du plan moyen.


or v en supposé nul d'où v = - z 0x. De même :

- Figure 26 - Rotation autour de y

u = umoyen + z ** ey

umoyen + z ey

or umoyen supposé nul d'où u = z ey.

De plus, du fait de l'hypothèse (c), on a :

ex • *ï et ev -»!ay y ax

Le champ de déplacement est donc défini par w, 8w/8x et 3w/3yet il est nécessaire pour obtenir un modèle conforme de construire un élé-ment fini assurant la continuité de la fonction w et de ses dérivées premières.La conformité est difficile à obtenir mais la convergence est malgré toutobtenue avec des éléments non-conformes.


- 79 »

6.1.2» - Contrar t

Le vecteur colonne des déformations le} s!ëcrit :

ex{e} = e où e et e sont les déformations dues à la flexion

y et la distorsion y est due à la torsionxy Xy

Le matériau étant supposé élastique isotrope :

ax r1 v ° i ex„ _ E 1 n A Comme dans l'état plan0 - — v i u ; e

1-v2 Q Q _l-v y de continuité car 0Z,xy 2 xy axz, et ayz négligés.

soit :

{a} = (0){e}

On introduit le vecteur colonne des courbures

3 w: 3X2

{C} =- iî9y2 !

; 2 ~-

3x9y

et comme :

r - 3U - - 2 8"W u - - 7 9WF „ _ _£ _ y _ £ _

)X 8X2 8X

t = = _ z 8fw y = _ z 3W

s y 3y2 ay, , 3M + 2v = _ 2 z w_y 3y 9x 3x3y


- 80 -

d'où

{£} = Z {C}

Pour avoir une écriture matricielle unique, on introduit leséléments résultants :

re/2MX = I 0 z d z

J-e/2 x

re/2 Mx

% = cr z dz {M} = MwJ-e/2 <,re/2

Mxy = 1 a z dzJ -e/2 xy

soit :

fe/2 re/2

{M} = I z {a} dz = z [b]{e} dzJ -e/2 J -e/2

fe/2= ] z2(D)(C} dz

J-e/2

donc :

{M} = | (D){C}

6.1.3. - Matrice de raideur élémentaire

Exprimons le déplacement transversal w sous la forme habituelle dan:1'élément :

w(x,y) = {N}T {d}


» 81 -

où (N) est la matrice ligne des fonctions de déformée déterminées suivant

le type d'élément par la méthode des polynômes d'HERMÏTE. {d} le vecteur

colonne des degrés de liberté aux noeuds correspondants.

L'expression des courbures est alors :

{C} = (B){d}

avec :

%2 TÉ— {N}!

3x2

(B)=- L{N}T

ay2^2 T2 .£_ {N}

!

9x3y

Si q(x,y) est le chargement extérieur sur l'élément par unité de surface

perpendiculaire au plan de la plaque, l'équilibre de l'élément est obteny

en écrivant le principe des travaux virtuels =

OU = 6W

f fe/2 T fI {6e}'{a} dz dS = I q 6w dS

Js J -e/2 JS

or

{<5e}T - z {ÔC}T avec {a} = z (D){C> et ôw = {ôd}T{N}

f T? {6C}T(D){C} ds = {6d}T f <* {H} ds

^S JS

or {ÔC}T = {Ôd}T(B)T


- 82 -

{Ôd}T | f (BJT(D)(B) ds {d} = (Ôd}T f {N} q ds

^ JS Js

(k) {f}

(k) est la matrice de raideur de l'élément

{f} le vecteur des forces nodales équivalentes.

La matrice de raideur globale (K) s'obtient par assemblage detoutes les matrices de raideur élémentaire par la technique généraledéjà vue.

6.1.4. - Conditions aux limites


- 83 -

ifîL. - o (?}3x3y * u (e)

Les conditions (a) à (d) impliquent que le contour reste en

appui et ne présente pas de rotation suivant l'axe Oy.La condition (e)

implique que le moment de torsion M est nul.xy

c) Bord libre :

y 4On doit imposer :

Mx = 0 (a)

3HRy - Q + —^ = 0 (b)

f —Z=L__-^ syii=j =zijjz±r *La deuxième condition exprime le fait que l'effort tranchant est nulau bord libre mais cette condition ne peut être satisfaite avec la pré-cédente formulation élément fini. La relation (a) introduit la relationentre les courbures.

Ifw + v Ifw = o suivant y9x2 8y2

6.1.5. - Eléments rectangulaires d^fl^xjon


- 84 -

En chaque noeud, l'état des déplacements est défini par troiscomposantes :

Wj IN et ^L (4x3 degrés de liberté au total)3x ay

la solution retenue consiste à choisir un polynôme à 12 coefficients symé-triques en x et y.

w(x,y) = ai + a2x + a3y + o^x2 + a5xy + a€y

2 + a7x3

+ a3x2y + a9xy

2 + aïoY3 + au'X3y + ai2xy3

Notons que cette expression vérifie l'équation de la flexion desplaques (non chargées).

-A(Aw) = 0

Avec cet élément, la flèche est continue d'un élément à l'autre mais ladérivée 3w/an ne l'est pas. La convergence est cependant obtenue.

^e nombreuses solutions ont été proposées pour avoir la conformité.Les unes assurent la continuité stricte de la fonction w et de ses dérivéespremières sans faire appel aux dérivées secondes avec des éléments triangu-laires ou des quadrilatères convexes. Les autres solutions utilisent uneou trois dérivées secondes de la flèche.

Les degrés de liberté seront par exemple ;

' l f 8w 8w 32w 32w 32wW, , ', ~ ~r->. "——-- | *~" . :. '

ax ay ax2 axay ay2

Les techniques de 1'Interpolation d'HERMITE comme pour la barrede flexion permettent d'obtenir les fonctions de déformée. En fait, l'em-ploi d'éléments non-conformes est plus simple à mettre en oeuvre et moinscoûteuse que les éléments conformes.


- 85 -

On trouvera dans les ouvrages sur les éléments finis de nombreuxexemples d'éléments finis de flexion conformes ou non conformes,

VI.2.- ELEMENTSFINIS POUR LES CORPS DE REVOLUTION

Un élément fini de révolution est un tore dont toutes les sectionsdroites sont identiques. Un tel élément se décrit dans un système decoordonnées cylindriques dont l'axe de symétrie est 1 'axe z et les distancesradiales sont 1'axe r.

Les éléments finis de ce type sont ceux qui permettent le calculdes structures dans lesquelles la géométrie, les conditions aux limiteset les charges appliquées possèdent la symétrie de révolution. Le champdes déplacements se définit entièrement à l'aide des deux seules composantesde la section droite du tore : les déplacements radiaux u et axiaux v.

6.2.1.- Contraintes et déformations


- 86 -

Compte-tenu des symétries existantes, les seules contraintesnon nulles sont :

ar

- • ::arz

Les équations linéaires entre déformations et déplacements sont :

- 1M. 2ïï(r+u) - 2ïïr-_ u _ JWY* ~~ û "" "" V» -7 ""r 9r 6 Zwr r z 3z

etY = 1M + 9vr r? 3z 9r

La relation contraintes déformations {0} = (D){e} s'écrit :

"1-v v v 0r 1-V V 0

(D)=~~^ SYM 1-v 0(Hv-)(l- ) i.gy

2

Les éléments finis de 1'élasticité plane sont donc utilisablesdans le plan méridien (v,z).

On aura donc les mêmes relations d'interpolation

{u} = (N){d} et {e} = (B){d)


- 87 -

Mais on aura la présence de terme en 1/r dans la matrice (B) du fait de

uee = r

les matrices de raideur :

(k) = f (B)T(D)(B) dv * 2 f(B)T(D)(B)r dr dzJM tore •'S.

En général l'intégration est effectuée numériquement ou dansle cas du tr1angTe_j_jj^oeuds en posant r = R pour tout élément ou Rest le rayon du centre de gravité du triangle, la précision ainsi obtenuedépend de 1'éloignement de l'axe de révolution mais reste très bonne.

Dans ce cas :

(k) = 2,rAR (B)T(D)(B)

Remarques importantes :

1) Dans le cas où les charges ne possèdent pas la symétriede révolution, une procédure consiste à les décomposer en série de Fourier*

2) Dans le cas où le solide de révolution est nmicg^ lescontraintes et les déformations sont remplacées comme dans la flexiondes plaques par leurs éléments résultants selon la théorie des coquesde révolution.

Nous n'aborderons pas ici le problème des éléments finis pourles coques qui sont très nombreux et que l'on pourra trouver dans lalittérature citée en référence.


- 96 -

LISTING D'UN PETIT PROGRAMME. DE CALCUL

DE STRUCTURE A BARRES

DANS LE PLAN

(Thèotuid • CkcipÂ&iz II/)


AGE 1

M NOMBRE DE BARRESNJ NOMBRE DE NOEUDS <3 DEGRES DE LIBERTE PAR NOEUDS )NR NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE IMPOSES NULS

. NRJ NOMBRE DE NOEUDS A DEGRES DE LIBERTE IMPOSES NULSNC NOMBRE DE CAS DE CHARGESE MODULE D ELASTICITEJ » X ( J Î » Y ( J ) NUMERO ET COORDONNEES DU NOEUDS JAX(I)fIZ.(I) SECTION ET INERTIE DE LA BARRE ïL{ I ) t C X < I ) tCY.( I ) LONGUEUR ET COSINUS DIRECTEUR DE LA BARRE ISMD(6»6) MATRICE DE RAIDEUR ELEMENTAIRES MATRICE DE RAIDEUR GLOBALET INVERSE DE SNLJ NOMBRE DE NOEUDS CHARGESA(KÎVECTEUR DES CHARGES NODALESD(J) VECTEUR DES DEPLACEMENTS MODAUX

DIMENSION X(5C ) »Y{ 50 ) » AX ( 50 ) » CX ( 50 ) .» CY ( 50 ) tSMD(6t6) t S U û O t l O O î »1T(100»1005 »A(100) fAC(100) ,D(1CC 5 ,AN(50) iAM(50*2)2»FX(5Ct2)»FY(50»2)REAL IZ(5Q)»L(50)INTEGER JU(50)tUK(50)>RL(100)tCRL(100)I-U = 50ÎG=100READ(105 » 103)M » N J 9 N R > N R U » N C » E

103 FORMAT(5I5*E14.7)NCI = 1 'WRITE(108*102)

102 FORMAT ( ' DONNEES1 t / >5X, » M,' » 5 X » » N ' »4X9 « NJ f t4X ï ' NR ' > 3 X » ' NRJ 1 »4X» 'NC1

1»9A, » E f )N=3*NJ-NRWR1 TE(108 9104)M,N »NU >NR,NRJ t NC t E

104 FORMAT(6I6»4X»Ell«^t/)-COORDONNEES DES NOEUDS

WRITE(103,105)105 FOiXMATM COORDONNEES DES NOEUDS 1)

wRITE(108f106)106 FORMAT(» NOEUDS' t 9 X » ' X « , l ^ X » ' Y « )

00 107 I = 1 » N JREAD(105,103 î J t X { J ) fY(J )

108 FORMAT(I5»2E14.7)WRITE(108»109)JtX{J),Y(J)

109 FORMATd4,2(4X»E11.4 ) )

107 CONTINUE- PROPRITES DES BARRES

vVRITE( 108 t 110 )110 FORMAT(/,'PROPRIETES DES BARRES')


- 98 -

PAGE 2 .'•...

;VRITE-( 138 t 111 )111 FORMAT( ' BARRE ' »4X*'JJ' *4X» ' JK» »9 X » » A X » » 1 3 X » l I Z ' t l 4 X f l L l . » 1 3 X f l C X

1 9 1 3 X » 'CY1 )

DO 112 J=l ,MR£AD< 105,113) I tJJ( I ) »JK( I ) ,AX( I ) ,IZ( I)

113 F O R N ' i A T { 3 I 5 9 2 E l 4 . 7 )X C L = X ( J < ( I ) ) - X ( J J ( I ) )Y C L = r { J K ( I ) ) - Y ( J J { I ) )L( ! ) -SORT ( X C L * X C L + Y C L * Y C L )C X ( î ) = X C L / L ( I )CY( I ) -YCL/U I îw R l T E ( 1 0 8 , 1 1 ^ ) I tJJ( I ) t JK i î ) , A X ( I ) i I Z ( î ) iL( I) t C X ( I) , C Y ( I)

114 FORMATf I3t î8fI-6.f5-(3X,E12.5n112 CONTINUE

CC-)EPLACE.MENTS NULSC • , .

DÛ 120 1 = 1» ÎG12C RL( I )=0 " •--

WRITE ( 108 t 1-15 )115 FQRMATC/»'RESTRAÎNTE5 1 >/>,'NOEUD' »5X,'RSTRT X'f3X,»RSTRT Y'»3X f

l^RSTR Z 1)

00 116 J=1*NRJR E A D ( 1 0 5 » 1 1 7 ) K f R L ( 3 * K - 2 ) t R L ( 3 * K - 1 ) t R L < 3 * < )

117 F O R v » A T ( ^ I 5 )W R I T E ( 10-8» 118 ) K t R L t 3*K-2) tRL(3*K-l î > R L ( 3*K)

118 FORMATA 14,3110)116 CONTINUE

CRU 1 )=RL( 1 )NJ3 = 3-K"Nj"00 1.19 K = 2iMJ3

119 CRLCO =CRL(<-l)+RL(K)D 0 3 î = 1 > I GAC(I)-0«

A( I )=0.DO 3 Jal.t 13S(I»J)=0.

3 TU tJ)=0.C r f

C-CALCU-L DES MATRICES DE RAIDEUR ÉLÉMENTAIRES ET ASSEMBLAGEC

DO 201 1 = 1 •'MSCMl-(E*AX(I13/LïI)SCN2=M4.*E*IZ( I ) ) /Lî î )

SCV3». ( l * 5 *SCM2 î /LU îS C N 1 4 = ( 2 , 0 - « - S C M 3 } / L ( I )S^D ( 1,1) =SCvi l*CX'( I ) *#2^SCM4*CY ( I 5 **2S M D ( 4 , 4 ) = S M D ( 1 » 1)S V D ( 1 9 4 ) =«SMDM tl î :SVD.( 1 » 2 ) = ( SO11-SCM4)*CXU J * C Y ( I )S ^ D ( 4 , 5 ) = S ^ D a t 2 }S ^ D ( 1 » 5 ) = ~ S M D ( 1,2)S ^ D ( 2 f 4 ) = - 5 ^ D ( I t2)SMDd » 3 )= -SC :V3*CY( I )S:-D( 1 » . 6 ï = S M O ' ( lt 3)S^IDf 3 , 4 3 =-SVD( 1 * 3 } . •S ^ D ( 4 t ô ) = - S ^ D ( 1 * 3 )

S v O ( 2 - f 2 ) = S C ^ l * C Y ( I ) * *2 -» -SCy l 4*CX( - I î * * 2 . :© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- yy -

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SVD( 5»5)sS'MD(2t2îSMD(2>5)=-SMD{2»2)SMD( 2*3) «SC^3*CX( I )SMD(2»6)=SMD(2»3)SMDOf5)s-SMDC 2»3 )SMD( 5»6)=-SMD( 2»3:îSMD(3,3)=SCM2SMD(6»6)~SCM2SMD(3»6)*SCM2/2.CALL MATR(N»RI.»CRL»JJ»UK»SMD,S» I »IU,IG)

201 CONTINUECC-CMARGES NODALES EXTERIEURESC " • '

READ(105»302)NLJ302 FORMAT(15)

WRITE(108»303 >NLJ303 FORMAT{ 'NLJ= ' t 12)

WRIT£(108»304)304 FORMATC' NOEUD'» 5X »'CHARGE X'» 5X-» » CHARGE Y '» 5X* ' CHARGE Z 1)

00 305 J=1»MLJREAD(105»306)K»A(3*K-2)tA(3*K-l)tAi3*K)

306 FORMAT(I5»3E14.7)WRITE(108t307XfA(3*K-2) f A(3*K-1) tA(3*K)

307 FORMAT( I4»3(5XtE11.4) )305 CONTINUE

r

C RENUMEROTATION DES CHARGESC

DO 303 J=1»MJ3IF<RL( J) .E-0.0 ) GO TO 309< = N-*-CRL( J)GO TO 310

309 :< = J-CRL(J)310 AC«)=A(J)3CS CONTINUE

r

OINVERSION DE S PAR LA METHODE DE CHOLESKIC

CALL D C O M P ( N » S » r » I U » IG )CALL I K V E R T ( N » T » î U » I G)

C 'C DEPLACEMENTS AUX NOEUDSr

f)0 515 I = 1 » I G515 D ( I ) = 0 ,

DO 501 J = l » MDO 501 <«l.tN

501 D ( J ) =D( J ) + T ( J *K ) - *AC '« )J = N*1DO 302 JJE = i-tiNJ3JE = NJ3-JJE-H1IF(1L(JE).EQ.C)30 TO 503D ( J E ) = 0 •GU TO 502

503 J=U-1D(JE)=D(JJ

502 CONTINUA© [M.BRUNET], [1981], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 100 -

^GE 4

WRITE(108*504)304 F C R M A T C l O X t » DEPLACEMENTS1 t//)

WRITE<108|505 î505 FORMAT(• NOEUD• ,6Xf•DEPL X»,6Xt'DEPL Y',6Xt«DEPL Z » )

DO 506 JE=3tNJ3î3JE3*JE/3

506 WRITE-( 103t507î JE3iDïJE-2î t O < JE-li*D( JE)507 FORMAT(I3i4X»3<1X,E11.4))

Vv'RÎTE( 108,508)508 FORMAT(//t' FORCES ET MOMENTS AUX EXTREMITES DES .BARRES?t

160Xt'EFFORT NORMAL 1/)K/RI T E < 108 «509)

509 FORMAT( ' BARRE» ,8X» »FX( I.1) » ,ôXt•FY(I » 1) • t8X i 'AM( I » 1) ' »8Xt »FX(I,2)1 » » 6 X » « F Y ( I » 2 ) ' > 3 X » « A M ( I >2) » »8X»'AN( I ) * )DO 520 I-ltMJ1=3*JJ(I)-2J2«3*JJ(I)-1J.3»3*JJ< I )K1 = 3*J,« ï )-2<2=3*JK(I)-lK3«3*JK-C I )SCM1»E*AX( I ) /'. ( I )SCM2-(4«0*E*U( î ) )/L( I )SCM3=(1.5*SCM2)/L(I)SCM4=(2«*SCM3)/L(î)AN( î )=SCM1*( (D( Jl )-D(Kl ) i*CX( I ) + <D( J2Ï-D(K2) Î.*CY( I ) )FX( I »1 )»(SCM1*CX( I )#*2-»-SCM4*CY( I )**2 )* ( D( Jl ) -0 ( Kl ) ) •*• ( SCX1-SCM4 ) *

1CX( I}*CY( I )*(D(J2)-D« K2) )-(SCM3*CY( I) ï*(D(J3)+D(K3) )^Y( I >l)s(SCMl-SCM4)*CX( I ) *CY ( ï ) * ( D ( Jl ) -D ( Kl î )+<SCMl*CY ( I r**2-HSCM41*CX( ï )**2î *(D.( J2)-D(K2 ) )-*-SCM3*CX( I ) * (.D ( J3 ) -»-D ( K3 ) îFX( I *2)a(SCMl*CX( î )**2+SCM4*CY( I ) #*2 i* ( D ( .<! î-D( Jl ) )-K SCV1-SCM4 ) *

1CX( I Î*CY( I )*(D«2)-D(J2) )+SCM3*CY( I î *( Û ( J3 )>D ( K3 î )FY( I ,2)-(SCMl~SCM4)*CX( î Î*CY(II *(D(Kl)«D(Jlï )-HSCMl#CY{ I)**2 + SCM41*CX( I )**2)*(D(K2)-D(J2) )-SCM3*GXM )*(D(J3 ) +û(K3) )AM( I ,1 Î»SCM3*.(-(D< Jl )-0(,,<l ) )*CY( I 3-H ( D ( J2 Î-D«-2Î )*CX(.. I - ) H-SCM2*(D< J3

1)+D(K3)/2«)AMC I ,2)SSCM3*(-(D( Jl ) -D ( Kl ) ) *CY ( I ) + ( D ( J2 ) -D ( <2 ) i*CX( I ) .)+SCM2*( D( J3

1 -)/2.*0(K3) )520 CONTINUE

00 510 1 = 1 » M310 W R I T E t 106,511 5 î , F X ( I » 1 ) « F Y ( I ,1 ) , A M ( I s i ) » F X l I f 2 ) « F Y ( I « 2 ) rA.vK ï » 2 ) >

1 A N ( I )511 F O R M A T U 3 t 4 X t 7 ( 4 X f E 1 1 . 4 1 )

STOPEND ,


SUBROUTINE MATR(NsRL>CSLfJJ»JK»SMDtS» I > I U * Ï G )INTE-GER RL(IG)»CRL(IG),JJ(IU)»JK(IU)-DIMENSION S ( I G f I G ) i S M D l 6 » 6 îJ1=3*JJ(I)-2J2=3*JJ( D-lJ3 = 3*JJUK1=3*JK( I -2K2=3*JK(I -1K3*3*JK(IIf (RLU1 .EQ.O) GO TO 202Jl=iY+CRL( Jl) .GO TC 20.3

202 J1=J1-CRL(JI)203 IF(RL-( J2 ) .EQ.OÎ GO TO 204

J2=M+CRL(J2)GO TO 205

2H4 J2 = J2-CRLU2)2^5 IF(RL(J3).EG.O) GO TO 206

J3=N+CRL(J3ÎGO TO 207

206 J3=J3-CRL(J3)207 IF(RL(K1).EQ.O) GO TO 208

K1=ÏM + CRL(K1.)GO TO 209

208 K1 = K1-CRUK1 )209 IF(,?L«2 ) . E Q . O ) GC TO 210

K2 = N + Œ L ( K 2 )GO TU 211

210 <2='<2-CRL( K 2 )211 IF(RL{<3).EQ.O) GO TO 212

K3=^^CRL(K3)GO TO 213

212 <3=<3-C3L(K3)213 IF(RL(3*JJ-U Î-2Î.NE.O) GO TO 214

S(Jl»J1)=S(Jl>Jl)+SVD(1 » 1 JS(J2»J1)=S(J2iJ1)*SMD( 1t2 îStJ3»Jl)-S(J3*Jl) -HS^D( 1 t33S (Kl .,J1 ) =S(K1 t Jlî*S'^û:( 1»4)S(K2 > Jl ) =5'(K2 * Jl) -*-SMD( 1 >5 )S(K3,J1)=S(K3,J1)^SMO( It6)

214 1F(RL(3^JJ(I)-l).NE.O) GO TO 215S ( Jl » J2 ) =S ( Jl t-J2 ) +S'-1D( 1 » 2 JS( J2»J2)=S(J2, J2)"t-SVD-( 2^» 2 )S( J3 t J2~) =S ( J3 9 J2 5-hSMD( 2»3 )5r<l>J2)=S(Kl,J2)^SMD(2,4)S( <2 »J2 ) =5( :<2 »J2 )+SMD( 2,5)S«3 » J2 > =5(-K3 t J2 î +SMD< 2»6 )

215 1F{RL( 3*JJ( I ) ) .-NE..O) ôO TO 216S^ Jl t J3 ) =S ( Jl , J3 ) 4-Sv!D( 1,3)


- 102 -

?AGK 6

S(J2tJ35 =S(J2 f J3}+ SMD < 2 t 3 )S « J 3 , J 3 ) = 5 ( J 3 t J 3 ) + S M D ( 3 t 3 )5«l»J3î=S.(KltJ3) + SV!D{ 3»4 JS «2» J3)=S(K2 9 J3)+SMD-<3»5)5(K3»J3)=S«3«J3) -t-SMDC3f 6)

215 IF(RL(3*JK(IJ-2Î.NE.O) GO TO 217S(J1^K1)=S(J1*K1)+SMD(1>4)S ( J 2 f ,< 1 ) = S ( J 2 t K1 ) -H S M D ( 2 » 4 )S( J3t<l )=S'( J3t K1)>SMD( 3t4)S(K1»K1)»S(K1iKlî+SMD(4,4)S(K2»K1 )=S(K2»KI)-fSMD(4,5)S (<3'fKlï-S(K3t Kl) +SMD(4t6)

^•17 ir-(fRL(3*J<( I )-!)..NE.0') GO TO 213S(J1»K2)=S( JUK2)4-SMD{ 1,5)S( J2VK2)=S( J2«K2)-+-SMD( 2 » 5 îS ( J3 » K2 ) =S ( J3 > K2 ) *S«MD ( 3 15 )S ( Kl ,K2 ) =5 ( Kl >K2 ) +SMD-( 4» 5)S(K2 > K2)=5(K2 » K2)+SMD(5 i 5 )S ( K3 ,K2 î =5 (K3 « K2 ) *SMD-( 5 » 6 )

213 IFÎRL(3*JKt î) ) .NE«OÎ GO TO 2015( J1»K3)=S( Jl «K3 -t-SMD(l,6)S( J2 >K3 3 =5( J2 f ,<3 +SMD(2t6)S( J3f<3)=S( J3i K3 -t-SMO(-3f6)5( Kl »K3)=S{ Kl tK3 -*-S^D(4t6)S(K2»K3 )=S(K2»K3 +S.V'D( 5t6 J5(K3»K3)=S(K3,K3 *SMD(6»6J

201 CONTINUE? E T U R NE^D


= \Gî£ 7

S JB SOUT I NE DCQN'P ( A] » A , 8 » I U 11G )3 I VENS ION A U G » I G ) » 3 U 3 » -I G )00 100 1 = 1 *N00 10C J=I.»MSUM=A(I,J)

<1=I-1IF( I .£Q, 1) GO TO 100 200 K=i*Kl

200 5U.v = SU>i-3( K» I )*3( <> J )1 IF(J ,NE. I) GO TO 2

AA=A(I,J)/500000.I'F(S-UM,L£.,AAÎGO TO 3T£MP=1./SQRT (SU.M)

6-< I » J) =T£MPGO TO 100

2 31 I »J)=SUM*TEVP'ICO CONTINUE

GO TO 43 WRITE(108»5)5 FORMATA10X,'IMPOSSIBLE')4 RETURN

END


-104-

AGE B

SUBROUTîNE'INVERTIN»Ut1U»IG)» DIMENSION Ut 10» ÎG)

-I1»N-1DO 1 I»ltllJl»l*l30 1 JaJltNSUMsOtOKlaJ-l

DO 3 <- î iKl3 S U ^ « S U M - U ( K t I ) * U ( K t J )1 U ( J t I Î « S U M * U ( J t J Î

DO 4 I»ltN00 <i. J«I tNSUM'OtODO 5 K*J»N

5 S U M » S U M * U ( K t 1 ) * U ( K t J )U U t J Î = S U M

' 4 U ( J f I ) » S U M^ETURiSEMD


- 105 -

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I. HOLAND et K. BELL - Tapir éd.


introduction a la methode des elements finis en …

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