introduction a la physique des plasmas` · 2018-01-04 · chapitre 1 introduction un plasma est un...

Universite Paris-Sud 11

Master 1 Physique Appliquee et Mecanique

Introductiona la Physique des Plasmas

Jean-Luc RaimbaultLaboratoire de Physique des Plasmas

[email protected]

2010 - 2011

Physique des plasmas et applications (3 ECTS)Master 1 de Physique Appliquee et Mecanique

http ://www.masterpam.u-psud.fr/

Cours (14h) : Jean-Luc Raimbault,[email protected]

Travaux diriges (14h) : Kevin Cassou et Olivier [email protected] et [email protected]

Resume

A haute temperature, la dissociation puis l’ionisation des gaz conduit a lacreation de charges libres qui constituent un nouvel etat de la matiere : leplasma. La physique des plasmas se situe en amont d’applications technolo-giques importantes, comme les procedes plasmas utilises dans l’industrie mi-croelectronique ou les propulseurs plasmas envisages pour les missions d’explo-ration spatiale lointaine. C’est egalement la partie de la physique permettantde comprendre les mecanismes de production d’energie etudies dans les pro-grammes de recherche internationaux sur la fusion thermonucleaire par confi-nement magnetique (ITER) ou inertiel.

Dans ce cours, la physique des plasmas est introduite dans la description laplus simple qui consiste a coupler les equations de Maxwell avec les equationsde la mecanique des fluides. Les principaux ordres de grandeurs et quelquesmecanismes physiques sous-jacents sont obtenus dans ce cadre, et illustres pardiverses applications fondamentales et technologiques des plasmas.

Prerequis

Avoir suivi un module d’introduction a la mecanique des fluides et un moduled’introduction a l’electromagnetisme, tous deux de niveau L3.

Sommaire du cours et des tds

Introduction a la physique des plasmas.Rappels de theorie cinetique des gaz, d’electromagnetisme et de mecanique desfluides.Modelisation fluide des plasmas. Ecrantages, plasmas collisionnels et non colli-sionnels.Relaxations electroniques et ioniques : ondes dans les plasmas.Equilibre magnetohydrodynamique.Mouvement cyclotronique et derives electriques.Resume : longueurs, frequences et vitesses caracteristiques dans les plasmas.La physique des plasmas et ses applications.

Bibliographie selective

Cours

- Plasmas Physics and Controlled Fusion, F. F. Chen, Plenum Press, 1984.(Niveau L3-M1-M2)- Plasmas Dynamics, R. O. Dendy, Oxford Academic Press, 1990.(Niveau L3-M1)- Physique des plasmas : J.-L. Delcroix, Editions de Physique, 1994.(Niveau M1-M2)- Fundamentals of Plasma Physics, J. A. Bittencourt, Springer, 2004.(Niveau L3-M1-M2)- Physique des Plasmas, J.-M. Rax, Dunod, 2005.(Niveau M1-M2)- Basic Plasma Physics, B. Browning, Ed. Lulu, 2008.(Niveau L3-M1)

Vulgarisation

- All about Lightning, M. A. Uman, Dover, 1986.(Eclairs et Foudre)- L’energie des Etoiles, P.-H. Rebut, Ed. Odile Jacob, 1999.(Oriente Plasmas de fusion thermonucleaire)- L’univers des Plasmas, P. Bradu, Flammarion, 2002.(Generalites sur les applications des plasmas)- L’etat Plasma : le feu de l’Univers, T. Lehner, Vuibert, 2004.(Oriente Plasmas Astrophysiques)- L’energie bleue, G. Laval, Ed. Odile Jacob, 2007.(Histoire de la fusion thermonucleaire)- The plasma universe, C. Suplee, Cambridge University Press, 2009.(Applications des plasmas avec illustrations)

Chapitre 1

Introduction

Un plasma est un gaz ionise. Comme tel, il est donc constitue en generald’electrons, d’ions, d’especes atomiques ou moleculaires neutres et de photons.Un gaz ionise etant obtenu par apport d’energie a un gaz, les plasmas sont sou-vent presentes comme un “4eme etat” de la matiere, faisant suite aux phasessolide, liquide et gazeuse :

solide =⇒E

liquide =⇒E

gaz =⇒∆E

plasma,

le passage d’un etat a l’autre etant realise par un certain apport d’energie ∆E.

Generation et maintien des plasmas

A la difference des gaz neutres, les plasmas, du fait de leur caractere charge, sontsensibles a l’action des forces electromagnetiques. Un gaz contenant toujoursquelques charges libres (ne serait-ce que par l’effet du rayonnement cosmique),l’application d’un champ electrique peut communiquer une energie suffisanteaux particules les plus mobiles, les electrons, qui produisent une paire electron-ion par collisions sur les especes neutres selon le schema reactionnel :

e− + n −→ i + 2e−

ou n designe un atome ou une molecule neutre et i un ion. L’electron supplementaireproduit peut a son tour etre accelere par le champ electrique et entrer en colli-sion avec un neutre, de sorte que l’on peut ainsi produire un plasma de densitefinie par ce mecanisme d’avalanche electronique (cf. TD). La generation desplasmas par apport d’energie electromagnetique n’est pas le seul processus decreation des plasmas. L’apport direct de chaleur par elevation de la temperature(plasmas thermiques) ou par absorption de photons energetiques (photoionisa-tion) sont 2 autres exemples de processus generateurs de plasmas. L’ordre degrandeurs des energies d’ionisation des atomes etant de l’ordre de quelques eV(pour les halogenes, sauf l’hydrogene) a la dizaine d’eV (pour les gaz rares),l’ordre de grandeur de l’energie a apporter pour produire un plasma est del’ordre de l’eV, soit 11 600 Kelvin.

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6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Outre la question de generation des plasmas que nous venons de discuter brievement,se pose la question essentielle de maintien du plasma. Dans les grandes lignesl’analyse de cet aspect resulte d’une problematique gains/pertes. Les especeschargees sont creees en volume par ionisation mais perdues par diffusion (in-duites par les collisions ou la turbulence) vers les parois du reacteur (donc ensurface), et eventuellement perdues egalement en volume si des mecanismes derecombinaisons de charges sont possibles dans le plasma etudie. Le maintien duplasma sur des temps suffisamment longs passe par cet equilibre.

Plasmas de laboratoire : plasmas froids

Les plasmas faiblement ionises (ou plasmas froids ou decharges electriques) sontcrees au sein de reacteurs initialement remplis de gaz neutres et alimentes parune source exterieure d’energie electromagnetique. Les parametres exterieursde controle d’une decharge comprennent donc le choix d’un gaz a une pressiondeterminee, les diverses longueurs qui fixent la geometrie du reacteur choisi,et les grandeurs physiques caracteristiques de la source d’energie (frequencecaracteristique d’alimentation, tension d’alimentation ou puissance absorbeepar le dispositif) (cf. Figure).

Volume

Gaz, p

Energie

electromagnetique

Figure 1.1 – Schema de principe d’un reacteur a plasma

La nature des gaz utilises depend de l’application visee ; parmi les plus simples,on peut citer, l’argon ou le xenon, souvent utilises comme gaz modeles pourles etudes academiques, l’oxygene moleculaire, O2, et le fluorure de bore, BF3

utilises respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou dedepot de bore sur des substrats de silicium.

Les gaz sont utilises sur une large gamme de pression, typiquement du mTorra la pression atmospherique. Les unites courantes sont le Torr et le bar. Onrappelle les correspondances :

1 atm = 1.013 105 Pa = 760 Torr,1 bar = 105 Pa,1 Torr = 133.3 Pa.

Plusieurs types de reacteurs, qui correspondent a differentes facons de couplerl’energie electromagnetique au plasma ont ete imagines. Par exemple, dans lesreacteurs dits capacitifs, une difference de potentiel, continue ou variable dansle temps est directement appliquee entre deux electrodes qui donne naissance aun champ electrique agissant sur les charges dans le plasmas. Dans les reacteursdits inductifs, on fait circuler un courant variable dans une des electrodes qui

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cree un champ magnetique variable et donc un champ electrique egalementvariable par induction.

Selon le type de reacteur utilise, les densites electroniques (ou ioniques) ob-servees sont de l’ordre de 109 a 1012 particules par cm3 (voire davantage pourles microdecharges ou l’une au moins des dimensions du dispositif est mi-crometrique). Ces densites sont souvent tres faibles par rapport a la densite desneutres qui sont les especes majoritaires. Dans la plupart des plasmas froids, lestaux d’ionisation sont tres faibles, de 10−5 a 10−1. On a donc en general pourle taux d’ionisation α :

α ≡ ne

ne + nn≈ ne

nn≪ 1 plasmas faiblement ionise

Du fait du rapport des masses, les transferts de quantite de mouvement oud’energie sont tres faibles des electrons vers les neutres, et tres efficaces (massesvoisines) entre les ions et les neutres. En consequence, les temperatures desespeces legeres (electrons) et des especes lourdes (ions, neutres) sont tres differentesau sein d’un plasma froid (au moins a basse pression sur des echelles de tempssuffisamment courtes) : les plasmas froids ne sont pas des milieux a l’equilibrethermodynamique, les temperatures des ions et du gaz sont voisines, et d’un a2 ordres de grandeurs plus faibles que la temperature des electrons :

Ti ≈ Tn etTi

Te≪ 1 plasmas hors-equilibre

Le raisonnement qui precede vaut pour les plasmas d’assez basses pressions

Figure 1.2 – Temperature electronique, Te, et temperature du gaz, Tg, enfonction de la pression au sein d’un plasma d’argon.

ou les collisions restent suffisamment peu nombreuses. En se rapprochant de lapression atmospherique et au-dela, le faible transfert de quantite de mouvemententre electrons et atomes est compense par le taux eleve des collisions et les


temperatures des especes legeres et lourdes tendent a s’egaliser : les plasmassont alors a l’equilibre thermodynamique 1(cf. Figure).

Plasmas de laboratoire : plasmas chauds

Dans d’autres dispositifs, comme ceux a confinement magnetique (Tokamaks),a confinement par lasers (fusion inertielle) ou par compression magnetique (Z-pinch), les plasmas sont crees a plus hautes densites et beaucoup plus hautetemperature electronique (on parle de plasmas chauds).

Dans les tokamaks par exemple, le confinement du plasma est obtenu par deforts champs magnetiques dont les lignes de courant s’entourent sur un tore(cf. Figure). Les particules chargees du plasma suivent ces lignes de champ etrestent ainsi confinees un certain temps.

Figure 1.3 – Configuration Tokamak pour les plasmas de fusion magnetique.Les lignes bleues representent les lignes de champ magnetique.

L’objectif recherche dans ce genre de dispositifs est la creation d’energie par fu-sion thermonucleaire controlee d’elements legers, principalement selon la reaction :

2D +3 T −→ α + n + 17.5 MeV

On peut montrer que cette reaction ne peut s’entretenir que pour des temperaturesde l’ordre du keV. A ces temperatures le plasma est completement ionise (α ≈1), les densites observees dans les tokamaks en fonctionnement sont de l’ordrede 1012 a 1013 particules par cm3. Les difficultes associees au developpement detels dispositifs sont a la fois technologiques (generation de champs magnetiquesintenses et stables, tenue des materiaux au flux de neutrons ...) et scientifiques(le probleme majeur de la stabilite du plasma sur des echelles de temps suffisam-ment longues passe par la maıtrise des phenomenes de turbulences observeesdans ces conditions experimentales).

1. On peut egalement s’approcher de l’equilibre thermodynamique en augmentant la den-site d’energie deposee dans le milieu. Dans cette derniere situation, les atomes restituentl’energie aux electrons par collisions dites superelastiques.

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Plasmas naturels : plasmas spatiaux

Mis a part ces plasmas crees en laboratoires (plasmas artificiels), il existe desplasmas naturels. Dans le voisinage de la terre, on peut mentionner les eclairs,les aurores boreales ou l’ionosphere. Dans l’espace, les environnements ou lesinterieurs stellaires constituent d’autres exemples de plasmas presents dansl’univers. Le soleil, par exemple, genere un plasma tres conducteur, le vent so-laire, qui progresse a quelques centaines de km/s dans l’espace interplanetaire.Quand le vent solaire rencontre le champ magnetique terrestre, il subit unedeviation et genere une onde de choc. Face au soleil, le champ se trouve com-prime, alors qu’il est etire sous forme d’une longue queue magnetique du coteoppose (cf. Figure). Pour donner une idee de la variete des plasmas naturels

Figure 1.4 – Interaction du vent solaire avec la magnetosphere terrestre.

et artificiels, quelques-uns d’entre eux sont regroupes dans le plan temperatureelectronique-densite electronique (cf. Figure). On notera que les temperatureset densites varient respectivement sur 8 et 25 ordres de grandeurs.

Figure 1.5 – dd

Figure 1.6 – Diagramme temperature electronique- densite electronique pourquelques plasmas.


Modelisation des plasmas

Par ordre de complexite et d’exactitude les plasmas peuvent etre modelises atrois niveaux : fluide, cinetique ou particulaire (precinetique) :– Dans une modelisation particulaire, la position et l’impulsion de chaque par-

ticule du plasma sont suivies au cours de leurs evolutions dans le temps. Lesequations du mouvement de chaque particule sont donc celles de Newton(pour un plasma classique) :

dxi

dt= vi,

dvi

dt=

qi

mi(e + vi × b)

ou e et b sont les champs electriques et magnetiques microscopiques. Laresolution de ces equations supposent la connaissance de ces champs qui sontsolutions des equations de Maxwell ecrites au niveau microscopique. Les den-sites de charges et de courants, qui sont les sources de ces equations de Max-well, dependent elles-memes des positions et vitesses des particules. Danscette approche, on doit donc suivre a la fois les trajectoires des particuleset resoudre les equations de Maxwell pour une densite finie de particules.Dans un deuxieme temps, des moyennes spatiales ou/et temporelles doiventetre effectuees pour remonter aux grandeurs physiques macroscopiques me-surables. Cette voie peut etre suivie a l’aide de simulations numeriques quiutilisent des methodes approximatives afin de traiter un nombre suffisant departicules.

– Dans une modelisation cinetique, on adopte un point de vue probabiliste. Lagrandeur centrale est la fonction de distribution a un corps, f(r,v, t), telle quef(r,v, t)d3rd3v denombre le nombre de particules dans le volume d3rd3v del’espace des phases. f1 verifie une equation d’evolution, l’equation cinetique,qui s’ecrit formellement :

∂f1

∂t+ v.

∂f1

∂r+

F

m.∂f1

∂v=

δf1

δt,

ou F = q(E+v×B) avec E et B les champs moyens electriques et magnetiquesqui sont solutions des equations de Maxwell macroscopiques. Le membre dedroite de l’equation cinetique correspond a une contribution due aux colli-sions et prend une forme qui depend de la nature des particules considerees.Dans un plasma, il existe une fonction de distribution (et donc une equationcinetique) par composante (electrons, ions, neutres). Les differentes equationscinetiques sont couplees. La resolution de ces equations par des methodes ana-lytiques ou numeriques permet ensuite de calculer les grandeurs physiquesmacroscopiques. Cette approche releve d’enseignements specialises et ne serapas discutees dans ce cours.

– Dans une approche fluide que nous presenterons dans ce cours, on traite leplasma comme un fluide charge reactif a plusieurs composantes. Le problemese ramene donc a resoudre simultanement les equations de Maxwell et lesequations de la mecanique des fluides adaptees aux plasmas. Cette approche,tres physique, est pertinente sur des echelles de temps et de longueurs mesoscopiques,c’est-a-dire, entre les echelles microscopiques et macroscopiques. Par rap-port a l’approche cinetique, toute information dans l’espace des vitesses des

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particules est perdue : les divers champs solutions des equations, champselectromagnetiques, de vitesses, de pression, de densite ... sont des fonc-tions des seules variables r et t. Aucun procede de moyenne n’est necessaire,les grandeurs physiques macroscopiques sont directement les solutions desequations.

Quel que soit le niveau de description retenu, l’originalite, la difficulte et larichesse de la physique des plasmas tient essentiellement dans cette necessaireapproche auto-coherente qui traite la dynamique des particules et des champssur un pied d’egalite.

Applications des plasmas

La principale application des plasmas chauds, encore en developpement, consisteen la production d’energie par fusion thermonucleaire controlee d’elements legers.Compte tenu des temperatures d’amorcages necessaires aux reactions de fusion,l’utilisation de reacteurs a parois materielles n’est pas envisageable, de sorte quele confinement par champs magnetiques (Tokamaks) ou par laser (fusion iner-tielle) semble une des seules voies possibles de production d’energie par fusion.En outre, les elements impliques, essentiellement le deuterium et le tritium, sontdisponibles en quantite abondante et ne produisent que des dechets faiblementradioactifs et pas de CO2.

Les autres applications des plasmas peuvent etre classifiees schematiquement enconsiderant le plasma comme un convertisseur de l’energie electromagnetiquerecue en diverses autres formes d’energie (cf. Figure). Citons en particulier :– la conversion energie electromagnetique/energie lumineuse ou l’on tente d’op-

timiser un processus d’excitation electronique particulier qui conduira a l’emissionde photons (eclairage, ecrans a plasmas, lasers X a plasma ...)

– la conversion energie electromagnetique/energie cinetique ou le plasma estutilise en tant que source de particules chargees (sources d’ions, faisceauxd’electrons, propulsion ionique ...)

– la conversion energie electromagnetique/energie chimique ou l’on exploite lefait qu’un plasma peut etre la source d’especes chimiquement actives (traite-ment des materiaux, sterilisation, depollution ...)

Figure 1.7 – Processus de conversion d’energie par plasmas.

Chapitre 2

Collisions dans les gaz et les

plasmas

Section efficace et taux de collision

Frequence de collision et libre parcours moyen

Fonction de distribution des vitesses

Diffusion

2.1 Section efficace et taux de collision

On entend par collision entre particules tout mecanisme d’interaction, de contactou a distance, qui modifie les trajectoires initiales des particules. La quantitede mouvement totale est un invariant dans les collisions, mais les deviationsde trajectoires s’accompagnent d’un transfert de quantite de mouvement, eteventuellement d’energie cinetique (dans le cas des collisions dites inelastiques),d’une des particules vers l’autre.

Notons generiquement 1 et 2 les 2 types de particules (eventuellement iden-tiques) entrant en collisions selon un schema de reaction bien defini :

1 + 2 −→ · · ·

~v1

~v2

Le nombre de particules de type 1 entrant en collisions avec les particules detype 2, par unite de temps et de volume doit etre proportionnel au flux relatifdes particules de type 1, n1|v1−v2|, et a la densite des particules de type 2, n2.Le coefficient de proportionnalite (homogene a une surface) est, par definition,la section efficace totale σ12 de la reaction 1-2 :

dn1

dt= σ12n2 n1v12

ou on a note par commodite v12 ≡ |v1 −v2| le module de la vitesse relative des

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14 CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS

particules 1. On notera qu’en general, la section efficace depend de cette vitesserelative.

La quantiteK12 ≡ σ12v12

est connue sous le nom de taux de collision (en m3s−1).

Le calcul des sections efficaces et a fortiori des taux de collisions est un exercicedelicat dont le resultat depend tres directement du potentiel d’interaction desparticules entre elles, et necessite parfois un calcul quantique. Le seul cas trivialest celui des collisions de type “spheres dures”, telles qu’on peut les imagineren premiere approximation, lors d’une collision entre 2 atomes neutres nonpolarisables. Soient R1 et R2, les rayons respectifs des atomes qui entrent encollision. Celle-ci ne peut avoir lieu que si leur parametre d’impact n’excede pasR1 + R2.

2R1

2R2

R1 + R2

La section efficace σ12 (efficace pour la collision !) correspondante s’ecrit doncsimplement :

σ12 = π (R1 + R2)2 (spheres dures)

Comme les dimensions atomiques sont de l’ordre de l’Angstrom, on voit que lessections efficaces sont de l’ordre de quelques 10−19-10−20 m2. Le barn est l’unitede section efficace : 1 b ≡ 10−28 m2 (plutot utilise en physique nucleaire).

Les sections efficaces de type spheres dures peuvent etre utilisees en premiereapproximation comme modeles des sections efficaces de collisions entre electronset neutres ou entre ions et neutres, qui sont les collisions dominantes dans le casdes plasmas faiblement ionises. Dans le cas des collisions electrons-neutres, R1+R2 ≈ Rn tandis que pour les collisions ions-neutres, on a approximativementR1 + R2 ≈ 2Rn :

σen ≈ πR2n σin ≈ 4πR2

n

Dans le cas des plasmas fortement ionises les collisions dominantes sont lescollisions entre electrons et ions qui sont intrinsequement de nature coulom-biennes. Les ions tres massifs par rapport aux electrons, ont une dynamiquebeaucoup plus lente, et on considerera pour simplifier un electron d’impulsionmev, de charge −e, qui s’approche d’un ion immobile +Ze. La force de Cou-lomb Fei = −Ze2/(4πǫ0r

2) devie la trajectoire de l’electron et le transfert dequantite de mouvement sur l’integralite de la trajectoire s’ecrit :

(mev) =

∫

Fei dt = − Ze2

4πǫ0

∫

r(t)

r(t)3dt

1. On peut eventuellement introduire un signe moins si l’on considere que les particules 1sont detruites dans la reaction.

2.2. FREQUENCE DE COLLISIONS ET LIBRE PARCOURS MOYEN 15

Ce calcul, bien que faisable, est difficile et on se contentera d’un ordre de gran-deur. Soit L la longueur effective a partir de laquelle nous calculerons la sec-tion efficace par la formule σei = πL2. Physiquement, L doit etre compriseentre un rayon atomique et la longueur de Debye au-dela de laquelle les forcescoulombiennes sont negligeables (cf. ecrantage electrostatique, chapitre sur lamodelisation fluide). Pour determiner cette longueur, il suffit de remarquer quela duree de l’interaction, τ , est de l’ordre de τ ≈ L/v, et que le transfert d’im-pulsion etant necessairement proportionnel a l’impulsion initiale, on peut ecrire,(mev) = α(mev) ou α est un coefficient de proportionnalite. On en deduitdonc

(mev) = α(mev) ≈ Fei × τ =Ze2

4πǫ0L2× L

v⇔ L ≈ Ze2

4πǫ0

1

αmev2

On en deduit donc l’expression approchee de la section efficace de collisioncoulombienne :

σei ∼ L2 ∼ v−4

On notera que cette distance effective L est reliee a la longueur de Landau 2

qui est la distance pour laquelle l’energie potentielle coulombienne est egale al’energie cinetique moyenne (i.e. l’energie thermique) :

e2

4πǫ0λL= 〈1

2mv2〉 ∼ kBT ⇔ λL =

e2

4πǫ0kBT

On en deduit donc que 〈σei〉 ∼ 〈L2〉 ∼ λ2L.

Une section efficace peut etre associee a chaque type de collision, dependantdes particules impliquees (atomes, molecules, ions, electrons ...), de leur loid’interaction (de contact, de polarisation, coulombienne ...), des processus deconservation d’energie considerees (elastiques, inelastiques). Le calcul effectifde ces sections efficaces est en general tres difficile, mais un grand nombre desections efficaces de collisions sont connues au moins experimentalement.

2.2 Frequence de collisions et libre parcours moyen

Le rapport dn1/n1 peut s’interpreter (a une constante de proportionnalite pres)comme une probabilite de collision pendant le temps dt. La probabilite delibre parcours, c’est-a-dire de non-collision pendant le meme temps dt est donc1 − n2σ12v12dt. Si les libres parcours pendant des temps dt successifs sont desevenements independants 3, alors la probabilite de libre parcours pendant letemps t = Ndt vaut donc :

p(t) = Cte limN→∞

(

1 − n2σ12v12t

N

)N

= Cte e−ν12t,

2. Les physico-chimistes la nomme longueur de Bjerrum3. On rappelle que la probabilite que 2 evenements A et B se realisent tous deux est egal

au produit des probabilites de chaque evenement si ceux-ci sont independants : p(A⋂

B) =p(A)p(B).


ou on a introduit la frequence de collision ν12 ≡ n2σ12v12 ≡ n2 K12. Il estpreferable de normaliser cette probabilite a l’unite, ce qui donne :

p(t) = ν12 e−ν12t (libre parcours de duree t)

On en deduit aussitot le temps moyen entre 2 collisions :

t ≡∫ +∞

0t ν12 e−ν12tdt =

1

ν12

Compte tenu de ce resultat, ν12 peut etre interpretee comme une frequence decollision, sa relation a la section efficace etant donnee par la relation impor-tante :

1

t≡ ν12 = n2σ12v12 = n2K12,

La distance relative parcourue pendant le temps dt vaut dx = v12dt. La relationde definition de la section efficace peut donc se recrire sous la forme :

dn1

dx= σ12n2 n1.

La probabilite de collision dans l’intervalle dx est donc proportionnelle a n2σ12dx.La meme demarche que ci-dessus permet d’introduire une probabilite de libreparcours sur la distance x :

p(x) =1

λ12e−x/λ12 (libre parcours de longueur x)

ou λ12 = (n2σ12)−1. On en deduit l’expression du libre parcours moyen des

collisions 1-2 :

x ≡ λ12 =1

n2σ12

2.3 Fonction de distribution des vitesses

Dans les gaz, les vitesses des particules ne sont pas toutes identiques maisdistribuees en suivant une loi de probabilite que l’on appelle fonction de dis-tribution des vitesses. Toutes les grandeurs physiques que nous avons definiesci-dessus dependent des vitesses et doivent donc en general etre moyennees al’aide de ces fonctions de distributions. On montre en physique statistique, quela loi de distributions des vitesses dans un systeme a l’equilibre thermodyna-mique suit, a la temperature T , la loi dite de Maxwell qui s’ecrit :

f(v) =

(

m

2πkBT

)3/2

e− mv

2

2kBT

On verifiera que cette distributions est bien normalisee 4, c’est a dire que∫

R3 f(v) dv =1.

4. Rappel :∫

R

e−αx2

dx =√

π/α pour α > 0 .

2.3. FONCTION DE DISTRIBUTION DES VITESSES 17

Les moments successifs de la loi de distribution des vitesses sont associes a desgrandeurs physiques importantes comme la vitesse moyenne, V, la temperaturecinetique, Tc ou l’energie cinetique moyenne, Ec. Ainsi :

V = 〈v〉 ≡∫

R3

vf(v) dv,

Tc =m

3kB〈(v − V)2〉 ≡ m

3kB

∫

R3

(v − V)2f(v) dv,

Ec = 〈12mv2〉 ≡

∫

R3

1

2mv2f(v) dv

Ces definitions sont generales et s’appliquent quelles que soient les fonctions dedistribution, a l’equilibre ou hors-equilibre. Dans le cas de la distribution deMaxwell, donc a l’equilibre thermodynamique, on verifiera que :

V = 0, Tc = T, 〈Ec〉 =3

2kBT

Dans cette situation, la vitesse moyenne des particules est nulle (on parlera devitesse moyenne ou de vitesse fluide dans la suite) et la temperature cinetiques’identifie avec la temperature thermodynamique. L’energie cinetique moyennepermet d’obtenir un ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne, vq :

vq ≡√

〈v2〉 =

√

3kBT

m

Il ne faut pas confondre la vitesse moyenne, V, qui est une vitesse dirigee dansle sens de l’ecoulement du fluide, avec la vitesse quadratique moyenne (on diraaussi vitesse thermique) qui est une des facons 5 de mesurer la vitesse non di-rigee, isotrope, due a l’agitation thermique. Bien que les formules qui precedentne soient strictement valables que pour des systemes a l’equilibre, elles sontsouvent utilisees, meme dans les milieux hors-equilibre car elles donnent sou-vent des ordres de grandeurs acceptables, ainsi que des lois d’echelles correctes(retenir en particulier l’evolution de la vitesse thermique en (T/m)1/2).

Dans un plasma a l’equilibre thermodynamique avec une temperature de quelqueseV, la vitesse quadratique moyenne est de l’ordre du million de m/s pour leselectrons et seulement de quelques dizaines de milliers de m/s pour les ions plusmassifs. Dans un plasma froid hors-equilibre, ou les ions et les neutres sont plusfroids et ont une temperature de l’ordre de quelques centaines de Kelvin, lesions ont des vitesses thermiques de quelques centaines de m/s.

A titre d’illustration, en utilisant les expressions des sections efficaces trouveesplus haut, on pourra verifier que les frequences de collision moyennes, obtenuesen moyennant sur la fonction de distribution des vitesses 〈ν12〉 = n2 〈σ12v12〉

5. Une autre, tres proche, consiste a calculer la moyenne des modules de la vitesse. Ontrouve :

〈|~v|〉 =

(

8kBT

πm

)

1/2

.


ont les dependances suivantes en densites et temperatures :

νen ∼ nn〈ve〉 ∼ nnT 1/2e ,

νen ∼ nn〈vi〉 ∼ nnT1/2i ,

νei ∼ ni〈v−3e 〉 ∼ niT

−3/2e

2.4 Diffusion

En 1828 le botaniste Brown fut le premier a etudier d’une facon systematiquele mouvement erratique de grains de pollen en suspension dans un liquide. Ilput montrer que le mouvement dependait de la masse des particules en sus-pension mais pas de leur nature. A la fin du meme siecle, on commenca aformuler l’hypothese que ce mouvement desordonne resultait peut-etre des col-lisions avec les constituants microscopiques de la matiere, c’est-a-dire avec lesmolecules. L’etude du mouvement brownien allait ainsi se trouver au cœur de laproblematique sur la validite de l’hypothese atomique. Dans un article celebrede 1905, Einstein a propose une etude du mouvement brownien qui allait don-ner lieu a une serie de travaux sur les aspects statistiques du phenomene dediffusion.

Figure 2.1 – Mouvement brownien d’une particule dans l’eau d’apres un dessinde Jean Perrin.

Au-dela du mouvement brownien lui-meme, on parle de diffusion, chaque foisque la dynamique de la particule etudiee correspond a une suite de deplacementsinterrompus par des collisions qui reinitialisent les conditions initiales du mou-vement. Le phenomene de diffusion peut-etre apprehende par une approchemacroscopique ou microscopique que nous rappellons succinctement dans cequi suit.

2.4.1 Approche macroscopique

A l’echelle macroscopique, nous assimilons l’ensemble des particules a un fluidede densite n(x, t), de pression p(x, t) et de vitesse moyenne v(x, t), que nous

2.4. DIFFUSION 19

decrivons par les equations de l’hydrodynamique 6

n(x, t) mDv(x, t)

Dt= −∂p(x, t)

∂x− mν n(x, t)v(x, t),

ou ν est la frequence de collisions des particules. (le poids ou toute forceexterieure est neglige dans cette approche : il ne s’agit pas de decrire la sedimentationdes particules). S’il s’agit d’un milieu dilue de particules, on peut supposer quela loi des gaz parfaits est verifiee de sorte que :

Dv(x, t)

Dt+ νv(x, t) = −kBT

m

1

n(x, t)

∂n(x, t)

∂x,

Au temps longs, plus precisement pour νt ≫ 1, le regime transitoire est amorti,et on en deduit que la densite de flux de particules Γ(x, t) ≡ n(x, t)v(x, t) s’ecriten regime stationnaire

Γ(x, t) ≡ n(x, t)v(x, t) = −kBT

mν

∂n(x, t)

∂x,

Le coefficient de diffusion, D, en m2 s−1, est obtenu par identification avec laloi empirique de Fick Γ = −D ∂n/∂x, soit

D =kBT

mν

qui est connue comme l’equation d’Einstein-Smoluchowski. Cette relation consti-tue un cas particulier du theoreme de fluctuation-dissipation 7. Il ne faut pasoublier que cette relation ne peut etre utilisee qu’aux echelles de temps suffi-samment longues (νt ≫ 1), c’est-a-dire lorsque de nombreuses collisions ont eulieu.

2.4.2 Approche microscopique

Nous presentons maintenant l’approche microscopique du coefficient de diffusion pro-posee par Einstein en 1905. Compte tenu du mouvement erratique des particules ensuspension (cf. Fig. 2.1), une approche fondee sur la resolution des equations de Newtonsemble difficilement envisageable 8. Einstein saute donc franchement le pas et proposede remplacer les equations deterministes de Newton par une approche entierement pro-babiliste. En d’autres termes l’evolution temporelle n’est plus decrite par une equationdifferentielle, mais par une prescription purement probabiliste, alternance de mouve-ments libres (sans force exterieure appliquee) et de chocs qui modifient la trajectoire.La nouvelle direction prise par la particule apres un choc etant aleatoire, on parle, entermes images, de marches aleatoires pour de tels processus.

6. Notez que l’expression usuelle du terme de dissipation en mecanique des fluides est− η

ρv ; nous utilisons ici une forme approchee.

7. En absence de diffusion, par exemple a temperature nulle, mais en presence d’une forceexterieure, F , (par exemple la gravite), la vitesse limite satisfait l’equation v = µ F ou µ ≡(mν)−1 est un coefficient qu’on appelle la mobilite. L’equation d’Einstein-Smoluchowski s’ecritdonc d’une facon un peu plus universelle sous la forme D = µ kBT .

8. Parlant des trajectoires qu’il observe, Jean Perrin fait remarquer que “ c’est un cas ou ilest vraiment naturel de penser a ces fonctions continues sans derivees que les mathematiciensont imaginees .. ”


Einstein introduit un temps τ , considere comme tres petit par rapport au temps ca-racteristique sur lequel on effectue la mesure, mais cependant suffisamment grand pourpouvoir considerer que les mouvements des particules sur deux intervalles de tempsconsecutifs τ sont mutuellement independants. Il s’agit donc du temps caracteristiquede decorrelation des evenements microscopiques successifs, c’est-a-dire des chocs 9.

Soit donc ϕ(∆, τ) la densite de probabilite de deplacement telle que

n(x, t)ϕ(∆, τ)d∆

compte le nombre de particules par unite de volume qui se deplacent, a l’instant t, dela position x a une position comprise entre x + ∆ et x + ∆ + d∆, dans le temps τ .ϕ(∆, τ) est supposee normalisee et symetrique :

∫

R

ϕ(∆, τ)d∆ = 1, ϕ(∆, τ) = ϕ(−∆, τ),

et ϕ(∆, τ) ne differe de 0 que pour de tres petites valeurs de ∆ (c’est-a-dire que lesgrands sauts sont supposes peu probables). L’equation d’evolution de la densite s’ecrit

n(x, t + τ) =

∫

R

n(x − ∆, t)ϕ(∆, τ)d∆

qui traduit le fait que toutes les particules situees en x a l’instant t + τ , proviennentde deplacements incompatibles 10 de duree τ , issus de x − ∆ et a l’instant t.

Cependant ∆ et τ sont suppose petits (par rapport aux echelles spatiales et temporellesd’observation) de sorte qu’on peut developper les 2 expressions :

n(x, t + τ) = n(x, t) + τ∂n

∂t+ O(τ2),

n(x − ∆, t) = n(x, t) − ∆∂n

∂x+

∆2

2

∂2n

∂x2+ O(∆3),

En substituant dans l’equation d’evolution et en utilisant les proprietes de ϕ, on trouveimmediatement

∂n(x, t)

∂t= D(ϕ)

∂2n(x, t)

∂x2, (2.1)

ou on a defini le coefficient de diffusion par la relation

D(ϕ) ≡ 1

2τ

∫

R

∆2 ϕ(∆, τ)d∆ =〈∆2〉ϕ

2τ(2.2)

Ces 2 relations sont remarquables a plus d’un titre. Premierement, on reconnait dansl’equation (2.1) l’equation de diffusion obtenue dans le cadre macroscopique en com-binant l’equation de Fick et l’equation de conservation du nombre de particules. Celapermet d’identifier D(ϕ) comme le coefficient de diffusion habituel D. Deuxiemement,cette approche probabiliste nous fournit une nouvelle definition du coefficient de diffu-sion, directement reliee aux trajectoires des particules.

Jusqu’a present les deplacements des particules etaient reperes par rapport a un seulet meme systeme de coordonnees. Comme les mouvements de chaque particule sont

9. Cette hierarchie de temps bien separes est caracteristique de toutes les approchestheoriques des phenomenes hors d’equilibre. L’echelle de temps τ definie par Einsteinest ce qu’on appelle aujourd’hui une echelle mesoscopique, intermediaire entre les echellesmicroscopiques et macroscopiques : ν−1 (micro : collisions) ≪ τ (meso : diffusion) ≪T (macro : observation).

10. au sens des evenements incompatibles en probabilite ; c’est la raison de la somme sur ∆.

2.4. DIFFUSION 21

independants, on peut tout aussi bien reperer le mouvement par rapport a un systemede coordonnees dont l’origine coıncide avec la position de chaque particule a l’ins-tant t = 0 11. Si N est le nombre total de particules diffusantes, P (x, t) ≡ n(x, t)/Nrepresente la densite de probabilite conditionnelle de trouver la particule consideree enx a l’instant t, sachant qu’elle etait en 0 a t = 0. La condition de normalisation et lacondition initiale de P sont donnees par

∫

R

P (x, t) dx = 1 et P (x, 0) = δ(x),

la derniere egalite 12traduisant la certitude que l’on a de trouver la particule en x = 0.Comme P satisfait l’equation (2.1) par definition, on a maintenant un probleme bienpose dont la solution s’ecrit (le verifier)

P (x, t) =1√

4πDte−x2/4Dt

-4 -2 2 4x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PHx,t L

Figure 2.2 – Probabilite de diffusion pour plusieurs valeurs de t.

A t fixe, la probabilite obtenue est donc une gaussienne, ce a quoi on pouvait s’attendrecompte-tenu de l’hypothese de chocs (ou de deplacements) sans correlations. Ce qui estplus interessant, comme le fait remarquer Einstein, est la facon dont, temps, positionet coefficient de diffusion sont associes dans l’exposant de la gaussienne. Il est en effetclair (faites-le !) que le deplacement quadratique moyen vaut :

< x2 >≡∫

R

x2 P (x, t) dx = 2Dt

Pour un mouvement diffusif, la distance moyenne parcourue au bout d’un temps t n’estpas proportionnelle au temps, mais seulement a la racine carree du temps ecoule. Les

11. Cette approche correspond au point de vue Lagrangien de la mecanique des milieuxcontinus, tandis que l’approche precedente constituait le point de vue Eulerien.

12. On rappelle que δ est la “fonction” telle que δ(x) = 0 pour tout x 6= 0 et qui verifie enoutre

∫

Rδ(x) dx = 1.


mouvements diffusifs sont donc des mouvements nettement plus lents que les mouve-ments propagatifs. Ce resultat nous donne donc une nouvelle expression pour le coef-ficient de diffusion (a une dimension d’espace) directement reliees aux trajectoires desparticules :

D =< x2 >

2t.

Il faut rappeler que la nature meme du mouvement diffusif suppose qu’un grand nombrede chocs ait eu lieu, et donc que cette formule n’est utilisable qu’a suffisamment grandesechelles.

En identifiant les expressions macroscopique D = kBT/(mν) et microscopique D =<x2 > /(2t) du coefficient de diffusion, Einstein proposa une nouvelle determination dunombre d’Avogadro NA a partir de la formule

NA =RT/f

D=

RT/f

< x2 > /2t

ou R est la constante des gaz parfaits. En 1912, dans une serie d’experiences de grande

precision, Jean Perrin mesura les coefficients de diffusion de petites spheres de gomme-

gutte en suspension dans de l’eau, et utilisa la formule d’Einstein pour determiner une

valeur du nombre d’Avogadro qu’il trouva en bon accord avec les valeurs connues a

l’epoque. Cette verification experimentale fut une des experiences qui contribuerent a

confirmer la structure atomique, discontinue, de la matiere. Elle valut a Jean Perrin le

prix Nobel de Physique en 1926.

Chapitre 3

Rappels d’Electrodynamique

Les equations de Maxwell

Remarques

Dans un plasma l’existence des charges electriques qui le constituent, ne peutetre consideree independamment des champs electriques et magnetiques quiregnent en son sein. Une des caracteristiques de cette discipline est la necessitede traiter sur un pied d’egalite la dynamique des particules et celles des champs.Nous commencons par rappeler succinctement les equations de Maxwell del’Electromagnetisme dans ce chapitre.

3.1 Les equations de Maxwell

Les 2 sources du champ electrique sont les charges libres et les champs magnetiquesdependants du temps, ce que traduisent respectivement les relations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Faraday :

∇.E =ρ

ǫ0,

∇× E = −∂B

∂t

ou ρ est la densite de toutes les charges electriques du plasma.

En utilisant les theoremes d’analyse vectorielle 1, ces equations locales, valablesen tout point de l’espace, peuvent etre ecrite dans une region finie de l’espace,sous la forme du theoreme de Gauss et de la loi de Faraday :

Q = ǫ0

∮

SE. dS, (3.1)

∂Φ

∂t= −

∮

CE. dL, (3.2)

ou Q est la charge electrique totale comprise dans le volume limite par la surfaceS, et Φ ≡

∫

S B. dS, le flux du champ magnetique a travers la surface S limiteepar le contour C.

1. Celui de la divergence et de Stokes.

23

24 CHAPITRE 3. RAPPELS D’ELECTRODYNAMIQUE

Il n’existe pas de monopole magnetique, et les 2 sources du champ magnetiquesont les charges en mouvement (de densite de courant J) et les champs electriquesdependant du temps. C’est le contenu des 2 autres relations de Maxwell :

∇.B = 0,

∇× B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t

On peut egalement ecrire des formes integrees qui correspondent, pour deschamps independants du temps, aux theoremes du flux et d’Ampere :

0 =

∮

SB. dS, (3.3)

µ0I =

∮

CB. dL, (3.4)

ou I ≡∫

S Jtot. dS avec Jtot = J+ ǫ0∂E

∂t est le courant total traversant la surfaceS limitee par le contour C.

En utilisant le fait que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, onetablit facilement la relation de conservation de la charge a partir des equationsprecedentes. Cette equation s’ecrit sous forme locale ou globale de la faconsuivante :

∂ρ

∂t+ ∇.J = 0, (3.5)

∂Q

∂t+

∮

SJ. dS = 0. (3.6)

En d’autres termes, les variations temporelles de charge electrique au sein d’unvolume sont compensees par les charges qui traversent la surface limitant levolume.

On remarquera que les equations de Maxwell ont ete ecrites ici dans le vide, cequi correspond a la situation typique pour les plasmas. ǫ0 et µ0 sont en effetles constantes dielectrique et permeabilite magnetique du vide, qui verifient larelation bien connue :

µ0ǫ0c2 = 1,

ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide.

Soulignons que les equations precedentes doivent etre completees par des condi-tions aux limites adequates qui dependent du probleme etudie. Pour terminer,on rappelle dans un tableau synthetique les unites courantes associees aux gran-deurs electromagnetiques.

ǫ0 F.m−1 µ0 H.m−1 ρ C.m−3 J A.m−2 E V.m−1 B T

3.2. REMARQUES 25

3.2 Remarques

1. Les equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampere peuvent etre in-terpretees comme des equations d’evolution des champs E et B sous laforme :

∂B(r, t)

∂t= −rot E(r, t),

∂E(r, t)

∂t=

1

ǫ0µ0rot B(r, t) − 1

ǫ0J(r, t)

En tant qu’equations d’evolution, ces 2 equations doivent etre completeespar des conditions initiales sur les champs E et B.En utilisant la relation de conservation de la charge et le fait que la diver-gence d’un rotationnel est nulle, les 2 equations d’evolution se recrivent :

∂

∂t(divB) = 0,

∂

∂t

(

divE − ρ

ǫ0

)

= 0,

Les 2 equations de Maxwell sur la divergence sont donc obtenues en fixantles conditions initiales suivantes :

div E(r, 0) =ρ(r, 0)

ǫ0et div B(r, 0) = 0

de sorte que si ces relations sont satisfaites a l’instant initial, elles ledemeurent aux temps ulterieurs.

Il est donc equivalent de se donner les 4 equations de Maxwell, ou les2 equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampere completees par desconditions initiales adaptees.

2. En physique des plasmas, comme on l’a indique plus haut, les sources(ρ,J) ou les champs (E,B) ne constituent pas des donnees independantes,mais sont reliees de facon complexe par les equations de la dynamiquedes charges electriques (i.e. les equations de l’hydrodynamique appliqueesaux plasmas). Lorsque celles-ci permettent d’exprimer les sources en fonc-tions des champs, les equations d’evolution resultantes pour les champsprennent en general la forme d’equations aux derivees partielles forte-ment non lineaires. Une bonne partie de la difficulte et de la richesse dela physique des plasmas vient de cette auto-coherence imposee entre ladynamique des particules et des champs.

26 CHAPITRE 3. RAPPELS D’ELECTRODYNAMIQUE

Chapitre 4

Rappels de Mecanique des

Fluides

Comme on l’a dit plus haut, un plasma peut etre considere comme un fluide aplusieurs composantes. Les diverses composantes sont les electrons, les differentesespeces d’ions, et eventuellement les neutres. A la difference des fluides neutresou la force exterieure dominante est la gravite, la force a prendre en comptepour les plasmas est la force electromagnetique :

F = q (E + V × B)

On rappelle dans ce chapitre les equations de bilan de la mecanique des fluidesqui devront etre appliquees a chacune des especes constituant le plasma. Cesequations peuvent etre derivees directement a l’echelle mesoscopique (cf. coursde mecanique des fluides) ou par le calcul des premiers moments de l’equationde Boltzmann (cf. cours de theorie cinetique).

Lorsque l’approche hydrodynamique est valide 1, un etat thermodynamique estdefini, par composante α (α = e, i, n), par la donnee de 2 champs scalaires :la densite nα(r, t) et la temperature 2 Tα(r, t), et un champ vectoriel : la vi-tesse fluide Vα(r, t). Ces grandeurs sont des fonctions supposees lentement va-riables de la position r et du temps t. Elles rendent compte du comportementd’un nombre eleve de particules microscopiques, quoique suffisamment faible al’echelle du probleme etudie pour apprecier les variations spatiales et tempo-relles (notion de particule fluide et d’echelle mesoscopique). En d’autres termes,les proprietes des constituants microscopiques sont moyennees sur une echellespatiale, ǫ, intermediaire entre le libre parcours moyen, λ, des constituants mi-croscopiques et l’echelle macroscopique, L, a laquelle on decrit le problemeetudie :

λ ≪ ǫ ≪ L .

Les diverses composantes d’un plasma pouvant etre crees et detruites (par ioni-sation, recombinaison ...), les plasmas sont assimilables a des fluides reactifs. Il

1. Ce point ne peut etre assure que par la physique statistique.2. ou la pression scalaire definie par la relation pα(r, t) = nα(r, t) kBTα(r, t).

27

28 CHAPITRE 4. RAPPELS DE MECANIQUE DES FLUIDES

en decoule que le formalisme presente dans ce chapitre s’apparente davantagea celui de l’aerothermochimie (comme en physico-chimie de la combustion parexemple), qu’a celui utilise pour les fluides neutres a une seule composante.

4.1 Rappel sur les equations de bilan

Dans cette section, on rappelle comment on derive une equation de bilan dans le cassimple d’une grandeur scalaire unidimensionnelle. La generalisation aux grandeurs vec-torielles et a plusieurs dimensions d’espace ne pose pas de difficultes, et sera appliqueedans les sections suivantes aux bilans de particules, de quantite de mouvement etd’energie.

Pour fixer les idees, considerons comme grandeur scalaire, le nombre N(t) de particulescontenues dans un intervalle [a(t), b(t)], dont la longueur b(t)− a(t) peut varier avec letemps. Dans cette approche unidimensionnelle, les particules peuvent s’ecouler le longde l’axe 0x avec une vitesse ~V (x, t). Introduisons la densite de particules n(x, t) quicomptabilise le nombre de particules par unite de longueur. On peut donc ecrire :

N(t) ≡∫ b(t)

a(t)

n(x, t) dx

Si le nombre de particules N se conserve au cours du temps, l’equation de bilan sur Ns’ecrit simplement :

dN

dt= 0

S’il y a creation de particules a l’interieur de [a(t), b(t)] (par ionisation, reaction chi-mique ...), l’equation de bilan dans ce cas plus general s’ecrit :

dN

dt=

dNin

dt

ou dNin est le nombre de particules apparaissant ou disparaissant dans l’intervallependant le temps dt.

Explicitons dN/dt. Par application du theoreme de Leibnitz, on trouve aussitot :

dN

dt=

d

dt

∫ b(t)

a(t)

n(x, t) dx = n (b(t), t)db

dt− n(a(t), t)

da

dt+

∫ b(t)

a(t)

∂n(x, t)

∂tdx

Les 2 premieres contributions correspondent aux particules qui sortent ou entrent parles extremites de l’intervalle [a(t), b(t)] pendant le temps dt, tandis que la dernierecontribution est due aux variations temporelles de la densite a l’interieur de l’intervalle.

Introduisons le flux 3 de particules

Γ(x, t) ≡ n(x, t)V (x, t)

Lorsque Γ a des derivees partielles continues,∫ b

a∂Γ∂x dx = Γ(b, t) − Γ(a, t), et on peut

donc ecrire :dN

dt=

∫ b(t)

a(t)

[

∂Γ(x, t)

∂x+

∂n(x, t)

∂t

]

dx,

ou on a suppose que les vitesses de deplacement des extremites de l’intervalle da/dt etdb/dt sont egales aux vitesses des particules V (a(t), t) et V (b(t), t) en ces points.

3. A 1D, le flux est un debit !

4.2. BILAN DE MASSE ET DE CHARGE 29

Introduisons, la densite de particules creees ou perdues par unite de temps, S(x, t), ona donc

dNin(t)

dt≡∫ b(t)

a(t)

S(x, t) dx

S(x, t) est positif si les particules sont creees, negatif dans le cas contraire. L’equationde bilan peut donc s’ecrire sous forme integrale :

∫ b(t)

a(t)

[

∂n(x, t)

∂t+

∂Γ(x, t)

∂x− S(x, t)

]

dx = 0

Cette egalite etant verifiee ∀ a(t) < b(t), si S est egalement continue, on obtientl’equation de bilan de N (ou la loi de conservation associee a N), sous la forme (locale)de l’equation aux derivees partielles :

∂n(x, t)

∂t+

∂Γ(x, t)

∂x= S(x, t)

Le meme type de raisonnement applique a un volume ferme Ω(t), conduit a la generalisation :

d

dt

∫

Ω(t)

n(r, t) d3r =

∫

Ω(t)

[

∂ (n(r, t))

∂t+ ∇.Γ(r, t)

]

d3r,

et donc,∂n(r, t)

∂t+ ∇.Γ(r, t) = S(r, t)

ou Γ(r, t) ≡ n(r, t)V(r, t) est le flux de particules.

4.2 Bilan de masse et de charge

On peut directement appliquer les resultats de la section precedente au nombrede particules Nα d’une espece donnee α. On en deduit aussitot la forme corres-pondante de l’equation de bilan :

∂nα

∂t+ ∇. (nαVα) = Sα,

ou Sα est la densite de particules creees (Sα > 0) ou detruites (Sα < 0) parunite de temps dont la forme sera discutee plus loin.

On notera qu’en regime stationnaire (∂tnα = 0), la conservation du nombre departicules d’une espece donnee dans un volume quelconque du plasma, impliqueque la creation en volume des particules est compensee par un flux de particulessortant par les surfaces limitant ce volume :

∫

V∇. (nαVα) d3r =

∮

SΓα.dS =

∫

VSα d3r .

En utilisant la relation vectorielle

∇. (nαVα) = (Vα.∇) nα + nα (∇.Vα)

on peut obtenir la forme equivalente :

Dαnα

Dt= −nα (∇.Vα) + Sα, (4.1)


ou on a introduit l’operateur de derivee particulaire Dα/Dt :

Dα

Dt≡ ∂

∂t+ (Vα.∇)

Le bilan des especes s’accompagne bien sur d’un bilan de masses des especesainsi que d’un bilan de charges dans le cas des composantes du plasmas (α = e, i)qui sont chargees :

∂ (nα mα)

∂t+ ∇. (nαmαVα) = mαSα, (4.2)

∂ (nα qα)

∂t+ ∇. (nαqαVα) = qαSα, (4.3)

L’equation de bilan de masses est l’equation usuellement utilisee pour les fluidesneutres (avec Sα ≡ 0). On remarquera egalement que le bilan de charges meten jeu la la densite de courant Jα ≡ nαqαVα.

4.3 Bilan de quantite de mouvement

L’equation de bilan de la quantite de mouvement Pα repose sur l’applicationdu principe fondamental de la dynamique a un volume de controle Ω(t) :

dPα

dt= Fα +

∫

Ω(t)[mαUα(r, t)Sα(r, t)] d3r, (4.4)

ou Fα est l’ensemble des forces exterieures s’appliquant au volume considereet sur la surface de celui-ci 4 , et ou le 2eme terme correspond a la quantitede mouvement creee ou detruite pendant le temps dt, dans l’hypothese ou lesparticules sont creees avec la vitesse Uα.

Introduisons une densite volumique de quantite de mouvement, nα(r, t)mαVα(r, t)de sorte que :

Pα(t) ≡∫

Ω(t)[nα(r, t)mαVα(r, t)] d3r

Chacune des coordonnees du vecteur nα(r, t)mαVα(r, t) est une grandeur sca-laire pour laquelle on peut appliquer les resultats de la section precedente. Laieme coordonnee s’ecrit sous la forme :

d

dt

∫

Ω(t)(nαmαVαi) d3r =

∫

Ω(t)

[

∂ (nαmαVαi)

∂t+ ∇. (nαmαVαi V)

]

d3r,

4. Ces forces de contact sont specifiques aux milieux continus

4.3. BILAN DE QUANTITE DE MOUVEMENT 31

La relation vectorielle correspondante s’ecrit 5 :

d

dt

∫

Ω(t)(nαmαVα) d3r =

∫

Ω(t)

[

∂ (nαmαVα)

∂t+ ∇. (nαmαVα ⊗ Vα)

]

d3r(4.5)

ou de facon equivalente 6 :

d

dt

∫

Ω(t)(nαmαVα) d3r =

∫

Ω(t)

[

nαmαDαVα

Dt+ SαmαVα

]

d3r (4.6)

Les forces exterieures a considerer dans un milieu continu sont de deux types :les forces de volume (comme la force de pesanteur, les forces electromagnetiques...) et les forces de contact (comme la pression). La force totale s’exercant surla composante α du fluide qui en resulte s’ecrit :

Fα =

∫

Ω(t)[nαFα + ∇.Πα] d3r (4.7)

ou Fα est la force volumique et Πα le tenseur des contraintes.

Dans le cadre des plasmas, les forces exterieures dominantes comprennent laforce electromagnetique et les forces de frictions entre les differentes compo-santes du fluide 7 :

Fα ≡ qα (E + Vα × B) − mα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ)

ou les coefficients ναβ sont homogenes a des frequences de transfert d’impulsionentre les composantes du fluide, et seront precises dans la suite.

Lorsque le fluide est au repos 8, le tenseur des contraintes se reduit au ten-seur de pression (cinetique), dont l’origine est liee a l’agitation thermique desmolecules. Lorsque le fluide est en mouvement, l’interaction entre les couchesfluides voisines introduit une contribution supplementaire qui correspond, pourles fluides neutres, aux contributions de viscosite dues aux gradients de vitessedans l’ecoulement (termes de Navier-Stokes). Pour les plasmas, sauf eventuellementpour la composante neutre, les seuls termes de dissipation retenus sont les forcesde friction inter-fluide deja pris en compte dans l’expression de Fα. Dans le cas

5. On rappelle que c = a ⊗ b represente le produit tensoriel des vecteurs a et b (on ditaussi produit dyadique). c est un tenseur d’ordre 2, dont les composantes sont definies par larelation :

cij ≡ aibj

La divergence d’un tenseur t quelconque est un vecteur, dont les composantes sont definiespar la relation :

(∇. t)j ≡∑

i

∂tij

∂xi

6. En utilisant l’identite :

∇. [nαVα ⊗ Vα] = nα (Vα.∇) Vα + Vα ∇. (nαVα)

et l’equation de bilan de particules.7. La force de pesanteur peut jouer un role pour certains plasmas stellaires.8. ou a une seule dimension d’espace.


des plasmas isotropes (ce qui n’est pas le cas en presence de forts champsmagnetiques), la pression cinetique est un tenseur diagonal 9 et on peut doncposer :

Πα ≡ pαI, (4.8)

ou I est le tenseur identite et pα(r, t) la pression partielle scalaire due a lacomposante α.

En utilisant les equations (4.5), (4.6) et (4.8), l’equation locale de bilan dequantite de mouvement peut s’ecrire sous les 2 formes equivalentes

∂ (nαmαVα)

∂t+ ∇. [nα(mαVα) ⊗ Vα] = −∇pα + nαFα + mαUα Sα,

mαnαDαVα

Dt= −∇pα + nαFα − mα (Vα − Uα)Sα,

Rappelons que Uα est la vitesse avec lesquelles les particules sont creees oudetruites. Lorsque cette vitesse est plus faible que la vitesse moyenne d’en-traınement du fluide Vα, les particules creees (Sα > 0) ralentissent le fluideen ecoulement (d’ou le signe negatif). Lorsque les particules sont creees (oudetruites) a la meme vitesse que la vitesse d’entraınement du fluide (i.e. Vα =Uα) , il n’y a pas de contribution au bilan de quantite de mouvement lorsqu’onsuit les particules dans leur mouvement (2eme equation).

4.4 Fermeture des equations de bilans

Les 2 equations de bilan, de particules et d’impulsion dependent, par compo-sante, de 3 variables dynamiques, les 2 champs scalaires de densites nα(r, t)et de pressions pα(r, t), et du champ vectoriel de vitesses Vα(r, t). Cela fait 5inconnues scalaires pour 4 equations (l’equation de bilan de particules et les 3composantes de l’equation de bilan de quantite de mouvement). Le problemen’est donc pas soluble en l’etat. Dans l’approche traditionnelle utilisee en ther-modynamique, on introduit une equation de bilan supplementaire : l’equationde bilan d’energie. Cette equation introduit a son tour une nouvelle inconnue, leflux de chaleur, que l’on relie aux autres inconnues par une consideration ther-modynamique (par exemple la loi de Fourier ou une hypothese d’adiabacite).

Ce chemin peut egalement etre suivi dans le cadre de l’etude des plasmas, maisil est plus simple d’introduite la contrainte thermodynamique au niveau del’equation de bilan de quantite de mouvement. Les plasmas etant des milieuxdilues, on peut utilise l’equation d’etat des gaz parfaits sous la forme 10 :

pα = nα(kBTα) (4.9)

9. Avec la consequence que si le tenseur est diagonal, sa divergence se reduit a un gradient :

∇.Πα = ∇. [pαI] ≡ ∇pα

10. L’utilisation, lorsque le fluide est en mouvement, d’une equation valable pour une situa-tion a l’equilibre thermodynamique, correspond a l’hypothese d’equilibre thermodynamiquelocal.

4.4. FERMETURE DES EQUATIONS DE BILANS 33

Cette relation introduit cependant un nouveau champ inconnu, le champ detemperature Tα(r, t), ce qui ne resoud donc rien. Une facon de fermer lesequations consiste a introduire une hypothese physique suffisamment forte quifixe le champ de pression.

Dans les situations ou la pression au sein du fluide peut etre negligee par rapportaux autres contributions 11 :

pα → 0,

les 2 equations de conservation de la charge et de l’impulsion suffisent a determinerles champs de densites : nα, et de vitesses Vα.

Dans le cas contraire, la pression (ou la temperature) reste inconnue. Il fautdonc au moins une autre equation independante pour “fermer” l’ensemble desequations, ce qui est facile lorsque les echelles de temps associees a la dynamiquedes particules et a la diffusion de la chaleur sont bien separees.

Considerons d’abord le cas d’une evolution isotherme du plasma (Tα uniforme),c’est-a-dire que les gradients de temperature relaxent rapidement sur l’echellede temps etudiee, l’equation manquante s’ecrit donc :

pα

nα= Cte ou dpα = kBTα dnα = Cα d(nα mα),

ou Cα ≡ (kBTα/mα)1/2 est la vitesse isotherme du son.

Dans le cas oppose d’une evolution adiabatique ou la chaleur n’a pas eu le tempsd’etre transportee, la contrainte thermodynamique est la relation

pα n−γα = Cte ou dpα = γ kBTα dnα = Cγ

α d(nα mα),

ou γ = cp/cv est le rapport des chaleurs specifiques a pression et volumeconstants 12, et ou Cγ

α ≡ (γkBTα/mα)1/2 est la vitesse adiabatique du son. Onremarquera que ce dernier cas comprend le precedent pour la valeur particuliereγ = 1.

En resume, il y a donc (au moins) 3 situations limites pour lesquelles on peutfermer les equations de bilan de particules et de quantite de mouvement :

Approximation des plasmas froids : pα = 0,

Approximation isotherme : pαn−1α = Cte,

Approximation adiabatique : pαn−γα = Cte.

11. Cette situation correspond a celle dite des plasmas froids, puisque une temperature nulleimplique une pression cinetique nulle.

12. Dans le cas des gaz parfaits a d dimensions, γ = (d + 2)/d.

Chapitre 5

Modelisation fluide des

plasmas

Nous presentons dans ce chapitre les equations du modele fluide ou le plasma estassimile a un fluide a plusieurs composantes en interaction. La resolution d’untel systeme dans les cas les plus generaux est fort complexe et passe souvent parune resolution numerique. Nous etudions quelques cas limites, souvent obtenusen dimension reduite, lorsque certains termes sont negliges. Cette approche, oules approximations seront effectuees essentiellement sur l’equation de bilan dequantite de mouvement, permet de degager plusieurs idees physiques impor-tantes caracteristiques du comportement des plasmas. Plusieurs illustrations decette modelisation fluide seront presentees dans les chapitres suivants.

5.1 Equations du modele fluide

Dans le cadre d’une modelisation fluide, on assimile le plasma a un fluide charge,reactif et a plusieurs composantes. Le fluide qui modelise le plasma est multi-fluide car il comprend necessairement les differentes composantes du plasma.Un plasma etant globalement neutre, le nombre minimum de composantes estde 2 : les electrons et une espece ionique positive. Ainsi en est-il pour les plasmascompletement ionises. Dans le cas des plasmas faiblement ionises, on peut etreamene a prendre en compte plusieurs types d’ions (eventuellement de chargesdifferentes et dans differents etats d’energies) ainsi que les atomes ou moleculesneutres 1. Le fluide est egalement reactif en general puisque des reactions d’ioni-sation, recombinaison ... conduisent a des transformations des especes les unesdans les autres. Enfin, bien que le plasma soit globalement neutre, chacune deses composantes (sauf les especes neutres) est porteur d’une charge electriqueet comme tel est soumis aux forces electromagnetiques.

Pour chaque composante α (electrons, ions, neutres), nous introduisons les va-riables dynamiques : densites, nα, pressions, pα, et vitesses moyennes Vα. Enoutre regnent dans le plasma les champs electromagnetiques auto-coherents E et

1. Nous verrons cependant dans un chapitre ulterieur qu’une reduction a un seul fluidepeut parfois etre operee et conduit alors a une formulation plus simple a un seule fluide (cf.Magnetohydrodynamique).

35

36 CHAPITRE 5. MODELISATION FLUIDE DES PLASMAS

B qui resultent a la fois d’eventuels champs exterieurs appliques et des champscrees par le mouvement des charges dans le plasma. Toutes ces grandeurs phy-siques dependent de la position r consideree au sein du plasma, et du tempst.

L’ensemble des equations comprend les equations de bilans de matiere et dequantite de mouvement associees aux equations de Maxwell 2, c’est-a-dire :

∂nα

∂t+ ∇. (nαVα) = Sα,

mαnα

[

∂

∂t+ Vα.∇

]

Vα = −∇pα + nαFα −−mα (Vα − Uα) Sα,

∇× E = −∂B

∂t,

∇× B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t,

auxquelles il convient d’ajouter des conditions initiales et aux limites adaptees.

Dans ces equations, on rappelle que Uα designe la vitesse fluide de creation oude destruction des particules de la composante α, et ou la force exterieure, Fα,comprend generalement les forces electromagnetiques et de friction :

Fα = qα (E + Vα × B) − mα

∑

β 6=α


Par ailleurs, les densites de charges et de courant sont definies par les relations

ρ ≡∑

α

qαnα et J ≡∑

α

qαnαVα.

Tel quel, pour un systeme a N composantes, ce systeme comprend 4N + 6equations pour les 5N + 6 champs inconnus, nα, pα,Vα,E et B. Pour clore lesysteme, il convient de rajouter les N equations de fermeture sur la pressiondeja discute dans un chapitre precedent :

Approximation des plasmas froids : pα = 0,

Approximation isotherme : pαn−1α = Cte,

Approximation adiabatique : pαn−γα = Cte.

Ce scenario coherent consiste a ne retenir que les 2 premieres equations de bi-lans (les 2 premiers moments de l’equation de Boltzmann). Une autre possibiliteconsiste a retenir les 3 premieres equations de bilan (matiere, quantite de mou-vemente et energie). Cela rajoute une variable par composante, la temperatureTα. En utilisant l’equation d’etat des gaz parfaits, acceptables pour les mi-lieux dilues, pα = nα kbTα, on obtient alors un systeme de 6N + 6 equationspour 6N + 6 inconnues. Cette alternative permet une discussion des profils detemperature mais ne sera pas presentee dans ce cours.

2. Nous n’ecrivons dans ce qui suit que les 2 equations de Maxwell-Ampere et Maxwell-Faraday puisque les 2 autres equations sur les divergences peuvent etre fixees par les conditionsinitiales (cf. Rappels d’Electromagnetisme). Il pourra cependant apparaıtre plus commodedans certains problemes d’etre redondant et d’utiliser explicitement l’equation de Maxwell-Gauss ∇.E = ρ/ǫ0 et l’equation ∇.B = 0.

5.2. PLASMAS COLLISIONNELS : MOBILITE ET DIFFUSION 37

5.2 Plasmas collisionnels : mobilite et diffusion

Lorsque le libre parcours moyen des particules chargees (electrons ou ions)est faible devant les dimensions caracteristiques du plasmas, les especes su-bissent de nombreuses collisions avant de ressentir toute acceleration significa-tive. Dans ces conditions, on peut raisonnablement negliger les forces d’inertiesdevant les autres forces (friction, electromagnetiques et de pression), de sorteque l’equation de bilan de quantite de mouvement de l’espece α s’ecrit :

− ∇pα + nαqα (E + Vα × B) − mαnα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ) = 0 (5.1)

Pour fixer les idees, limitons-nous aux cas des plasmas faiblement ionises pourlesquels les collisions dominantes sont les collisions ions-neutres et electrons-neutres. La composante α representant, soit les electrons, soit les ions, la seulecomposante β a retenir est celle representant les especes neutres. Du fait queces dernieres ne sont pas sensibles aux champs electromagnetiques, on pourraen general considerer que la vitesse fluide des neutres est negligeable devantcelles des espaces chargees. Ici, on aura donc Vβ ≪ Vα de sorte que la force defriction s’ecrit :

−mαnα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ) ≈ −mαnαναVα (plasmas faiblement ionises)

ou on a pose ναn ≡ να puisque les seules collisions retenues sont avec les neutres.

L’equation (5.1) s’ecrit donc :

Vα = − 1

mανα

∇pα

nα+

qα

mανα(E + Vα × B)

5.2.1 Plasmas collisionnels non-magnetises

Considerons d’abord la situation sans champ magnetique : B ≡ 0. Les plasmasetant des milieux dilues pour lesquels l’equation d’etat pα = nα kBTα s’applique,l’equation de bilan de quantite de mouvement prend la forme dite de mobilite-diffusion :

Vα = µα E − Dα

(

∇Tα

Tα+

∇nα

nα

)

(5.2)

ou µα et Dα sont des coefficients de transports, respectivement appeles mobiliteet coefficient de diffusion :

µα ≡ qα

mαναDα ≡ kBTα

mανα

Ces 2 coefficients ne sont pas independants mais relies par la relation d’Einstein :

Dα

µα=

kBTα

qα


qui est une des formes du theoreme de fluctuation-dissipation.

L’equation de diffusion-mobilite montre explicitement que la vitesse fluide deselectrons ou des ions au sein d’un plasma collisionnel a pour origine communel’existence de gradients. Chacun des gradients eventuellement presents dans leplasma : gradients de densite, de temperature ou de potentiel electrostatiquecontribue a la vitesse fluide totale. On notera en outre que la direction de lavitesse est celle des gradients (le sens depend du signe de la charge pour lestermes de mobilite).

5.2.2 Plasmas collisionnels magnetises

Lorsque le champ magnetique n’est pas nul, l’equation (5.2) ne donne plusexplicitement la vitesse qui apparaıt egalement dans la force de Laplace :

Vα = µα (E + Vα × B) − Dα

(

∇Tα

Tα+

∇nα

nα

)

(5.3)

Neanmoins, on remarquera que cette equation est une equation vectoriellealgebrique et lineaire pour la vitesse (et pas differentielle non-lineaire commedans sa forme sans approximations). Elle peut donc etre explicitement resolue.Pour cela, on peut soit projeter cette equation sur 3 directions orthogonaleset exprimer les differentes composantes, ou proceder directement sur l’equationvectorielle.

Vous montrerez en TD que Vα peut s’ecrire explicitement comme somme de3 contributions dans des directions orthogonales. (E,B) definissant un plan,ces 3 directions sont : la direction du champ magnetique (notee ‖), la directionorthogonale a B dans le plan (E,B) (notee ⊥), et la direction E×B (notee ×),egalement appelee direction de Hall.

⊥E

B, ‖×

On trouve (en ignorant l’indice α pour simplifier l’ecriture) :

V = V‖ + V⊥ + V×

avec :

V‖ = µ‖ E‖ − D‖

(

∇‖T

T+

∇‖n

n

)

V⊥ = µ⊥ E⊥ − D⊥

(

∇⊥T

T+

∇⊥n

n

)

V× = µ× E⊥ × b − D×

(

∇⊥T

T+

∇⊥n

n

)

× b

5.2. PLASMAS COLLISIONNELS : MOBILITE ET DIFFUSION 39

ou b est le vecteur normalise donnant la direction du champ magnetique :b ≡ B/ ‖b‖. Dans ces expressions les coefficients de transport sont definis parles relations suivantes :

µ‖

µ=

D‖

D= 1,

µ⊥

µ=

D⊥

D=

1

1 + (ωc/ν)2,

µ×

µ=

D×

D=

ωc/ν

1 + (ωc/ν)2.

ou ωc ≡ qB/m est la frequence cyclotron. La solution en presence de champmagnetique est formellement analogue a celle sans champ magnetique, maisavec des coefficients de transport qui dependent de la direction consideree.

Plusieurs remarques decoulent de ces expressions :

1. Le mouvement dans la direction du champ magnetique n’est pas modifiepar la presence du champ magnetique.

2. L’expression des coefficients de transport montre que l’importance descontributions dans les directions ⊥ et × depend du rapport ωc/ν, c’est-a-dire de l’importance relative de la force magnetique et de la force defriction.

A collisionnalite fixee (i.e. a ν fixe) :

– La mobilite et la diffusion transverse ⊥ ont un comportement monotonedecroissant en fonction du champ magnetique : ce dernier a donc uneffet qui confine le plasma.

– Au contraire, la mobilite et la diffusion Hall × varient de facon nonmonotone, croissant puis decroissant lorsque le champ magnetique aug-mente.

A fort champ magnetique :

– Les coefficients ⊥ sont proportionnels a ν (contrairement a D et µ quivarient en ν−1).

– Les coefficients de Hall sont quant a eux independants de la frequencede collision.

3. Les termes proportionnels a µ‖, µ⊥ et D× dependent du signe de la chargeelectrique des particules etudiees, les autres contributions ont meme senspour les electrons et pour les ions.

4. Le terme proportionnel a E⊥ ×b s’appelle la vitesse de derive de champscroises (meme sens de derive pour les electrons et les ions), les termesproportionnels a ∇⊥n×b et ∇⊥T×b sont appeles vitesses diamagnetiques(sens oppose de mouvement pour les electrons et les ions).

Exemple : colonne cylindrique magnetisee

Pour illustrer ces resultats, considerons le cas d’une longue colonne cylindriquede plasma soumis a un champ magnetique axial. Soit (er, eθ, ez) le systeme decoordonnees cylindriques associe. Le systeme etant invariant par translation lelong de Oz et par rotation autour de Oz, tous les gradients sont necessairementradiaux. C’est le cas du champ electrique (gradient de potentiel) generalementdirige vers la peripherie du cylindre. Au contraire, la densite du plasma estmaximale au centre, le gradient correspondant etant donc dirige vers l’axe ducylindre. Tant qu’on reste assez loin de la surface laterale qui confine le plasma,


les gradients de temperature sont generalement faibles et on les negligera parla suite. La situation est donc la suivante :

B = B‖ = B ez,

E = E⊥ = E er,

∇nα = ∇⊥nα = −∇nα er,

∇Tα ≈ 0

Les sens des differentes contributions des vitesses fluides, radiales et othora-diales, sont representees sur la figure suivante.

⊙B

E

∇n

⊙B

µ⊥iE

µ⊥eE

−D×e∇⊥n

n × b

−D×i∇⊥n

n × b

⊙B

−D⊥i∇⊥n

n

−D⊥e∇⊥n

n

µ×eE × b

µ×iE × b

La figure de gauche represente la configuration des champs et gradients etudiee.La figure centrale represente les contributions de sens oppose pour les ions etles electrons (radiales dues aux termes de mobilites ⊥ et azimuthales dues auxcontributions diamagnetiques). La figure de droite represente les contributionsde meme sens pour les ions et les electrons (radiales dues aux termes de diffusion⊥ et azimuthales dues aux derives de champ croises).

5.3 Plasmas non collisionnels : inertie et equilibre

Dans cette section, nous considerons les situations ou le libre parcours moyendes particules est grand devant la taille du systeme etudie. Dans ces conditions,tous les termes de collisions sont negligeables, et l’equilibre se realise, pour uneespece donnee, par compensation des forces d’inertie, de pression et des forceselectromagnetiques :

nm

(

∂

∂t+ V.∇

)

V = −∇p + nq (E + V × B)

Cette equation est encore bien compliquee aussi nous restreignons-nous dans lasuite au cas stationnaire (∂t ≡ 0), et isotherme (∇T ≡ 0), soit :

m (V.∇)V + kBT∇n

n+ q ∇ϕ − q V × B = 0, (5.4)

ou nous avons utilise les relations E = −∇ϕ et p = n kBT et ou nous avonsdivise par n. Bien que simplifiee, cette equation n’est cependant pas triviale dans

5.3. PLASMAS NON COLLISIONNELS : INERTIE ET EQUILIBRE 41

ces consequences. On notera en particulier la presence du terme non-lineaire envitesse du aux forces d’inertie.

On peut maintenant utiliser la relation vectorielle (V.∇)V = rotV × V +∇(

V 2/2)

qui montre que le produit scalaire de l’equation (5.4) par le vecteurV conduit au resultat :

V.∇

(

1

2mV 2 + kBT lnn + qϕ

)

= 0

On en deduit donc l’existence de l’invariant le long d’une ligne de courant :

1

2mV 2 + kBT lnn + qϕ = Cte

Ce resultat constitue une forme particuliere de la la formule de Bernouilli 3

qui s’applique aux fluides parfaits et l’equation (5.4) n’est autre que l’equationd’Euler en presence des forces electromagnetiques. Bien que les lignes de courantsoient evidemment modifiees en presence de champ magnetique, il est cependantremarquable que la forme generale de cet invariant se conserve en presence duchamp magnetique.

Selon les situations particulieres du plasma ou selon la composante du plasma(electrons ou ions) consideree, 2 des 3 termes peuvent etre preponderant parrapport au 3eme, ce que nous detaillons dans ce qui suit.

5.3.1 Equilibre thermodynamique

Cette situation correspond au cas ou l’energie cinetique peut etre negligee. C’estle cas par exemple, dans le cas des plasmas froids, pour les electrons, dont lestres faibles masses tendent a rendre negligeable le terme d’origine inertiel. Leselectrons sont alors a l’equilibre entre eux, sans toutefois etre en equilibre avecles autres composantes du plasmas (ions et especes neutres) qui possedent engeneral une temperature inferieure d’un a 2 ordres de grandeurs. Dans certainessituations de plasmas chauds, les ions et les electrons peuvent se trouver a lameme temperature et donc l’equilibre thermodynamique est complet.

L’equation (5.5) s’ecrit donc :

kBT lnn + qϕ = Cte,

ce qui traduit l’uniformite du potentiel electrochimique 4 le long des lignes decourant. Soit n0 la densite la ou le potentiel electrostatique s’annule, on aura

3. Dans le cas des fluides incompressibles comme l’eau (mais ce n’est pas le cas des plasmasqui s’assimilent plutot a des gaz !), la formule de Bernouilli s’ecrit sous la forme legerementdifferente (chacun des termes est homogene a une densite d’energie et non pas a une energie) :

1

2(nm)V 2 + p + (nq)ϕ = Cte

4. On rappelle que le potentiel chimique du gaz parfait est tel que µGP = kBT ln(nΛ3) ouΛ est la longueur d’onde thermique de la particule.


donc

kBT lnn + qϕ = kBT lnn0 ⇔ n(r) = n0 e−qϕ(r)/(kBT )

Il s’agit la d’une forme de la densite en e−E/(kBT )qui correspond donc a larelation d’equilibre de Boltzmann. Les composantes du plasma qui verifientcette equation sont appelees boltzmanniennes.

5.3.2 Mouvement inertiel

Supposons maintenant qu’il soit possible de negliger le terme proportionnel a latemperature. Cette approximation est envisageable pour les ions au sein d’unplasma partiellement ionise. L’equation correspondante s’ecrit :

1

2mV 2 + qϕ = Cte

ce qui correspond a la conservation de l’energie totale, somme des energiescinetique et potentielle. On notera que sous ces hypotheses, cette composantedu plasma ne se comporte plus comme un fluide mais comme une particule.Comme nous l’avons deja note, en l’absence de temperature (ou de pression),le caractere de milieu continu du fluide est perdu et devient particulaire. SoitV0 la vitesse des particules ou le potentiel s’annule, alors :

1

2mV 2 + qϕ =

1

2mV 2

0 ⇔ V (r) = V0

√

1 − 2qϕ(r)/(mV 20 )

Cette expression peut etre comparee avec la vitesse de chute libre d’une masseplacee dans un champ de gravitation. Ici, c’est le potentiel electrostatique quifreinera ou accelerera les charges en fonction de leur signe.

5.4 Remarques

Il ne faut pas perdre de vue que ce qui precede etablit, sous certaines approxi-mations, des relations fonctionnelles entre des grandeurs physiques qui ne sontpas independantes. Aucune des relations precedemment obtenues n’ont permisd’exprimer les grandeurs physiques en fonction de la position (et eventuellementdu temps), ce qui reste l’objectif d’une description complete des plasmas dansune approche eulerienne. En effet, on a ici seulement exploite les consequencesde certaines approximations sur la seule equation de bilan de quantite de mou-vement, alors qu’une solution complete et auto-coherente suppose de couplerl’ensemble des equations de bilans et des equations de Maxwell.

Il n’en reste pas moins vrai que cette approche partielle permet deja de soulignerles consequences physiques importantes, et la difference des formalismes utilisesen fonction de la plus ou moins grande collisionnalite du plasma etudie. Une ap-proche plus complete qui conduira a l’expression des profils de densites, vitessesfluides, potentiel electrostatique, et sera donnee dans les chapitres suivants.

Chapitre 6

Applications de la

modelisation fluide des

plasmas

Ecrantages

Equilibres magnetohydrodynamiques

Dans ce chapitre, nous presentons 2 applications simples de la modelisationfluide des plasmas. La premiere concerne les phenomenes d’ecrantages (electriqueet magnetique) abordes dans le cadre d’une modelisation a 2 fluides. La se-conde presente une reduction des modeles multifluides a un seul fluide : lamagnetohydrodynamique.

6.1 Ecrantages

Dans les deux sections qui suivent, on considere un plasma perturbe par unchamp electrique ou un champ magnetique exterieurs. Du fait de la mobilitedes especes, un plasma - comme tout milieu conducteur - tend a s’opposer a lapenetration des champs exterieur. Les longueurs caracteristiques sur lesquellesle champ electrostatique ou magnetique peut penetrer (longueurs de Debye oude London) sont mises en evidence dans le cadre d’une modelisation fluidesimplifiee.

6.1.1 Ecrantage electrostatique

On se propose de comparer la distribution de potentiel electrostatique au voisi-nage d’un objet polarise electriquement et immerge, soit dans le vide, soit dansun plasma.

Supposons d’abord que le milieu environnant l’objet est le vide. Le potentielelectrostatique ϕ est solution de l’equation de Poisson (de Laplace dans le caspresent puisqu’il n’y a pas de charges) :

ϕ = 0

43

44CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODELISATION FLUIDE DES PLASMAS

Pour simplifier, supposons que l’objet considere est une plaque suffisammentgrande, le probleme est invariant par translation dans les 2 directions parallelesa la plaque, de sorte que le probleme est unidimensionnel :

d2ϕ

d2x= 0 ϕ(x) = Ax + B

On en deduit donc que le potentiel suit une evolution lineaire dans le vide.

Considerons maintenant que le milieu environnant est un plasma completementionise 1 et que ses 2 composantes, electrons et ions, sont a l’equilibre thermo-dynamique a la meme temperature T . Les densites s’ecrivent donc (cf. chapitreprecedent) :

ne(r) = n0 e+eϕ(r)/(kBT ) et ni(r) = n0 e−eϕ(r)/(kBT )

ou on a suppose que le plasma est quasi-neutre la ou le potentiel electrostatiques’annule.

En couplant ces 2 equations avec l’equation de Poisson ǫ0 ϕ = −e(ni − ne),on obtient l’equation de Poisson-Boltzmann qui decrit l’evolution spatiale dupotentiel electrostatique :

ϕ = +2en0

ǫ0sinh

(

eϕ

kBT

)

(6.1)

Il s’agit d’une equation differentielle non-lineaire du second ordre qui doit etrecompletee par 2 conditions aux limites.

Avant de resoudre cette equation, il est important de noter que cette equationest equivalente au systeme de trois equations differentielles suivante qui couplent,sous certaines approximations, les 2 equations de bilan de quantite de mouve-ment pour les electrons et pour les ions ainsi qu’une seule des equation deMaxwell, l’equation de Maxwell-Gauss :

−kBT ∇ne − ene E = 0,

−kBT ∇ni + eni E = 0,

∇.E =e(ni − ne)

ǫ0

A l’aide de la relation E = −∇ϕ, on retrouve aisement l’equation de Poisson-Boltzmann en eliminant les densites d’entre ces equations 2. A tort ou a raison(c’est au physicien de le dire !), ce systeme montre que l’equation de Poisson-Boltzmann ne retient pas la dependance temporelle, les eventuels effets magnetiques,les forces d’inertie et de friction.

Revenant a l’equation (6.1), il convient tout d’abord de la normaliser. Il estclair que eϕ/kBT , rapport de l’energie potentielle electrostatique a l’energie

1. L’etude est quasi-identique dans le cas d’un plasma partiellement ionise ou l’on pourraconsiderer la distribution des ions comme uniforme et celle des electrons comme boltzman-nienne.

2. Compte tenu des approximations effectuees, on remarquera que les equation de bilan departicules ne sont pas utilisees dans cette approche, ce qui est une consequence du fait que lesvitesses fluides n’apparaissent pas dans ces equations.

6.1. ECRANTAGES 45

thermique, est une grandeur sans dimension. Posons Φ ≡ eϕ/(kBT ) ; l’equation(6.1) s’ecrit donc en multipliant par e/kBT :

Φ =2e2n0

ǫ0kBTsinh Φ

Le laplacien etant un operateur homogene a l’inverse d’une longueur, on endeduit aussitot que la grandeur

λD ≡√

ǫ0kBT

e2n0

est homogene a une longueur que l’on appelle la longueur de Debye 3. Cettelongueur ne depend pas seulement de constantes caracteristiques du milieu oudes composantes du plasma, mais egalement - et surtout - de la densite et dela temperature du plasma. Ainsi l’equation de Poisson-Boltzmann peut-elle sereecrire :

Φ = +κ2D sinh Φ

ou nous avons pose κD ≡√

2/λD qui a les dimensions d’un nombre d’ondes(m−1).

Pour montrer qu’en presence de plasma, le potentiel ne suit plus une evolutionlineaire, contentons-nous de lineariser l’equation precedente. Comme sinh x ≈,on obtient aussitot :

Φ = +κ2D Φ

dont la solution s’ecrit :Φ(x) = Φ0 e−κD|x|

ou Φ0 est le potentiel applique a la plaque supposee placee en x = 0. Le potentielchute donc exponentiellement en presence de plasma : on dit que le potentiel(ou la charge) a laquelle est portee la plaque est ecrantee par les charges mo-biles presentes dans le plasma. Ce comportement n’est pas propre aux plasmasmais est caracteristique des milieux ou il existe des charges libres (conducteurs,electrolyte ...).

6.1.2 Ecrantage magnetique

On vient de voir qu’un plasma s’oppose naturellement a toute presence dechamp electrique en son sein. Les charges electriques se rearrangent spatiale-ment de facon a creer un champ electrique qui s’oppose au champ electriqueperturbateur, et qui tend ainsi a minimiser le champ electrique total resultant.De la meme facon, les charges libres dans un plasma tendent a s’organiseren courants qui creent des champs magnetiques qui s’opposent a un champmagnetique exterieur impose au plasma. On parle d’effet diamagnetique duplasma.

Pour le mettre en evidence, on considere un plasma homogene de densite n0,isotherme, forme d’electrons mobiles de masse m et de charge −e, et d’un fond

3. Mise en evidence en 1923 par Debye et Huckel dans leur etude des electrolytes.


neutralisant d’ions positifs que l’on supposera immobiles. Dans le cadre de ladescription fluide des plasmas, on doit combiner les equations de Maxwell avecl’equation du mouvement du fluide electronique.

m∂tV = −eE − mνV,

∇× E = −∂B

∂t,

∇× B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t,

Dans l’equation du mouvement, on notera que le terme de pression est nul pource plasma isotherme et homogene (∇p = kBTe ∇n ≡ 0), et que l’on a negligeles termes non-lineaires d’inertie. La densite de courant, J, est due aux electronset s’ecrit, J = −en0V. En combinant les 2 equations de Maxwell (et l’egalitetoujours verifiee ∇.B = 0), le systeme se ramene aux 2 equations :

B − 1

c2∂2

ttB = −µ0 ∇ × J,

∂tJ + νJ = ǫ0ω2pE,

ou nous avons introduit la frequence plasma ω2p ≡ n0e

2/(mǫ0).

La densite de courant obeit a une equation differentielle temporelle du 1er ordrequi peut etre aisement resolue. On trouve (par la methode de la variation de laconstante) :

J(r, t) = e−νt J(r, 0) + ǫ0ω2p

∫ t

0

e−ν(t−t′)E(r, t′) dt′

Comme ∇ × E = −∂tB, on a aussi :

µ0 ∇ × J(r, t) = µ0e−νt

∇ × J(r, 0) −ω2

p

c2

∫ t

0

e−ν(t−t′)∂tB(r, t′) dt′

Il est interessant de considerer cette equation dans les 2 limites extremes deforte collisionnalite (ν ≫ 1) et faible collisionnalite (ν ≪ 1). En utilisant lapropriete limν→∞ ν e−ν(t−t′) = δ(t − t′), on trouve :

µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 ∇ × J(r, 0) − 1

δ2L

(B(r, t) − B(r, 0)) (ν ≪ 1)

µ0 ∇ × J(r, t) = − 1

DM∂t B(r, t) (ν ≫ 1)

ou on a introduit la longueur de London, δL et le coefficient de diffusion magnetique,DM , definis par les relations :

δL ≡ c

ωpet DM ≡ δ2

Lν =1

µ0η

ou η = n0e2/(mν) est la conductivite electrique.

6.2. EQUILIBRES MAGNETOHYDRODYNAMIQUES 47

Les equations d’evolution spatio-temporelle du champ magnetique s’ecriventdonc dans ces 2 cas limites :

(

− 1

c2∂2

tt −1

δ2L

)

B(r, t) = −µ0 ∇ × J(r, 0) − B(r, 0)

δ2L

(ν ≪ 1)

DM

(

− 1

c2∂2

tt

)

B(r, t) = ∂t B(r, t) (ν ≫ 1)

Aux frequences utilisees, on peut generalement negliger le terme proportionnela ∂2

tt dont l’origine est le terme de courant de deplacement. Dans ces condi-tions, dans le cas des plasmas non collisionnels, la structure de ces equationsmet clairement en evidence une attenuation exponentielle du champ magnetiquesur une longueur caracteristique, la longueur de London c/ωP . Dans le cas opp-pose des plasmas collisionnels, on assiste a une attenuation par un phenomenede diffusion du aux collisions sur une longueur caracteristique, la longueur deKelvin, λK :

λK ≡√

DM/ω

6.2 Equilibres magnetohydrodynamiques

Dans le cadre de la magnetohydrodynamique (MHD), les ecarts a la neutra-lite au sein du plasma sont supposes suffisamment faibles pour que, partantde la modelisation usuelles a 2 fluides, un jeu de variables reduites puisseetre introduit, conduisant a decrire le plasma a l’aide d’un seul fluide effectif,dont la mobilite est essentiellement due aux electrons et l’inertie due aux ions.Nous donnons une breve application de ce formalisme aux cas des equilibresmagnetohydrodynamiques qui seront detailles en TDs.

6.2.1 Bilan global de masse et de charge

Partons de l’equation de bilan de particules de la composante α (electrons, ionsou neutres) :

∂tnα + ∇. (nαVα) = Sα

ou on rappelle que Sα designe le nombre de particules de l’especes α creees oudetruites par unite de volume et de temps au cours des collisions.

En multipliant cette equation par mα ou qα (masse ou charge des particulesconstituant la composante α) , et en sommant sur α on obtient :

∂t

(

∑

α

nαmα

)

+ ∇.

(

∑

α

nαmαVα

)

=∑

α

mαSα,

∂t

(

∑

α

nαqα

)

+ ∇.

(

∑

α

nαqαVα

)

=∑

α

qαSα


Or, la masse et la charge sont conservees dans toutes les reactions elementairesentre particules. Il en resulte que :

∑

α

mαSα =∑

α

qαSα = 0

Par exemple, dans les reactions de recombinaison : e−+i+ → n ou d’ionisation :e− + n → i+ + 2e−, on aurait :

Se = Si = −Sn = −Kr neni + KI nenn,

ou Kr et KI sont les taux de recombinaison et d’ionisation. Du fait que me +mi = mn et que qe+qi = 0 = qn, on en deduit bien que

∑

α mαSα =∑

α qαSα =0.

Des lors, il convient d’introduire les variables collectives suivantes :

∑

α

nα ≡ n,

∑

α

nαmα ≡ nm,

∑

α

nαqα ≡ ρ,

∑

α

nαmαVα ≡ (nm)V,

∑

α

nαqαVα ≡ J

qui permettent de recrire les equations de bilans sous la forme simplifiee

∂tn + ∇. (nV) = 0,

∂tρ + ∇.J = 0

Ainsi, a l’aide des variables collectives, ces equations apparaissent comme cellesd’un fluide unique.

La vitesse Vα de chaque composante est en general differente de la vitessemoyenne V. Introduisons la vitesse de diffusion de la composante α, δVα ≡Vα − V, telle que :

Vα ≡ V + δVα

On notera que par definition de V, on a :∑

α mαnα δVα = 0, de sorte que lecourant total J s’ecrit :

J = ρV +∑

α

nαqα δVα

Le premier terme est le courant de convection, le second le courant de diffusion.


6.2.2 Bilan global de quantite de mouvement

On suit la meme demarche pour le bilan de quantite de mouvement. Le pointde depart est l’equation de bilan de la quantite de mouvement de la composanteα :

mαnα (∂t + Vα.∇)Vα = −∇pα + nαfα

ou :fα = qα (E + Vα × B) − mα

∑

β 6=α


En remarquant que la somme de toutes les forces interparticulaires est nulle 4 :∑

α,β nαmαναβ (Vα − Vβ) ≡ 0, le bilan global de quantite de mouvement s’ecritsimplement :

∑

α

mαnα (∂t + Vα.∇)Vα = −∇p + ρE + J × B

ou on a introduit la pression totale, p :

p ≡∑

α

pα

En utilisant la decomposition : Vα ≡ V + δVα, la force d’inertie s’ecrit :

∑

α

mαnα (∂t + Vα.∇)Vα = (nm) (∂t + V.∇)V +∑

α

mαnα δVα.δVα

puisque∑

α mαnα δVα = 0. Si l’on neglige le dernier terme (termes quadra-tiques en δVα), a priori faibles pour de petites fluctuations autour de la vitessemoyenne, l’equation de bilan s’exprime seulement en fonction de variables col-lectives :

(nm) (∂t + V.∇)V = −∇p + ρE + J × B

Sur des echelles de longueurs superieures a la longueur de Debye, on peutconsiderer que le plasma est quasi-neutre : ρ ≈ 0. L’equation precedente sesimplifie sous la forme :

(nm) (∂t + V.∇)V = −∇p + J × B

Cette equation du mouvement doit etre completee par une equation sur J etune equation sur B qui sont donnees respectivement par la loi d’Ohm et lesequations de Maxwell.

6.2.3 Equilibres MHD

On se restreint dans cette section aux conditions dans lesquels un equilibre peutetre realise dans le cadre de la description magnetohydrodynamique : on parled’equilibres MHD.

4. Il s’agit du principe des actions reciproques ou 3eme loi de Newton.


En l’absence de mouvement, la vitesse fluide d’ensemble V ≡ 0. Les equilibresMHD sont donc decrits par le systeme simplifie d’equations :

∇p = J × B,

∇ × B = µ0 J

qui correspond a l’equilibre des fores et a l’equation de Maxwell-Ampere.

On deduit immediatement de l’equilibre entre la force de pression et la force deLaplace que J et B sont tous 2 orthogonaux a ∇p. Les surfaces orthogonalesa ∇p sont des surfaces a pression constante : on parle de surfaces isobares.Les surfaces contenant les lignes de champs magnetiques sont appelees surfacesmagnetiques. On deduit donc de l’equilibre des forces MHD, que les surfacesisobares sont les surfaces magnetiques pour les equilibres MHD.

Illustration : Equilibre cylindrique droit : θ-pinch

Considerons une colonne cylindrique de plasma placee dans un champ exterieuruniforme axial B0 ez. Le mouvement cyclotronique des charges autour des lignesde champ magnetique s’accompagne de la creation d’une densite de courant or-thoradiale J = Jθ(r) eθ. Cette densite de courant cree a son tour un champmagnetique B = Bz(r) ez qui tend a s’opposer au champ exterieur. Vous mon-trerez en TD qu’un equilibre magnetohydrodynamique peut se realiser dans unetelle colonne de plasma si un gradient radial de pression, dirigee vers l’axe dela colonne, apparaıt au sein du plasma :

p(r) +B2

z (r)

2µ0=

B0

2µ0

b~B ~J

~J × ~B

~J × ~B −∇p

−∇p

p ≡∑α pα

J ≡∑α nαqαVα

∇p = J × B


D’autres equilibres pression/champ magnetique sont possibles. On peut parexemple induire un champ magnetique orthoradial en faisant circuler un cou-rant purement axial dans une colonne cylindrique de plasma (Z-pinch), ou encombinant les 2 effets precedents : champ magnetique uniforme axial et courantaxial (Screw-pinch). Cf. TD.

Chapitre 7

Ondes dans les plasmas

Ondes acoustiques ioniques

Oscillations du plasma

Ondes d’Alfven

De meme que dans les milieux neutres (gaz ou liquides), des ondes peuvent sepropager dans les plasmas. Du fait qu’il existe un couplage entre les variableshydrodynamiques et electrodynamiques dans les plasmas, la variete des ondespouvant y exister est considerable. La caracterisation des ondes et leurs condi-tions de propagation constitue un champ d’etudes a lui seul de la physique desplasmas. Sans souci d’exhaustivite, nous presenterons dans ce chapitre quelquesexemples caracteristiques d’ondes lineaires. D’autres exemples seront donnes enTD. Faute de temps, nous ne mentionnons pas le cas pourtant tres importantdes ondes non-lineaires dans les plasmas.

Pour mettre en evidence les ondes lineaires dans les plasmas, on peut partirde la modelisation fluide generale et lineariser les contributions non-lineairespar rapport a un etat de reference. Comme on le verra plus bas, cela revientessentiellement a negliger la contribution inertielle d’acceleration (i.e. le termev ∂xv). Cette approche n’est acceptable que pour des amplitudes faibles desgrandeurs physiques perturbees. La mise en evidence des ondes lineaires nousinforment donc sur la reponse des plasmas a de faibles perturbations exterieures.

7.1 Ondes acoustiques ioniques

Les collisions de contact entre molecules sont a l’origine des ondes de pressiondans un gaz neutre. Ces ondes sont caracterisees par leur vitesse de propagation :la vitesse du son. Comme nous l’avons deja note, certains plasmas peuventetre consideres sans collisions. Nous montrons dans cette section que des ondesacoustiques peuvent cependant exister dans un plasma sans collisions du seulfait des interactions coulombiennes entre electrons et ions.

Considerons un plasma non collisionnel, unidimensionnel, decrit dans l’approxi-mation quasi-neutre : ni = ne = n, ou les ions positifs sont consideres commefroids (Ti = 0), et les electrons boltzmanniens. Les equations caracterisant ce

53

54 CHAPITRE 7. ONDES DANS LES PLASMAS

plasma sont les suivantes :

∂tn + ∂x(nvi) = 0,

Mn (∂tvi + vi ∂xvi) = +en E,

kBTe ∂xn = −enE

Si on se limite a rechercher des ondes de faibles amplitudes, on peut considererle systeme linearise autour d’un etat de reference de densite uniforme et sta-tionnaire tel que : n = n0 et ∂xn0 = ∂tn0 = 0, v = 0, E = 0. Par rapport a cetetat de reference, les densites, vitesses et champ peuvent s’ecrire

n = n0 + n1,

vi = v1,

E = E1

ou les grandeurs indexees par 1 representent des perturbations par rapport al’etat de reference. La linearisation consiste a utiliser ces expressions dans lesequations du systeme differentiel en ne gardant que les termes d’ordre 1 (lescontributions non-lineaires, comme v1∂xv1 par exemple, sont negligees en tantque produit de 2 grandeurs perturbatives) :

∂tn1 + n0 ∂xv1 = 0,

M n0 ∂tv1 = +en0 E1,

kBTe ∂xn1 = −en0E1

En combinant les equations entre elles, on peut obtenir l’equation pour lesperturbations de densites sous la forme 1 :

∂2ttn1 −

kBTe

M∂2

xx n1 = 0

Il s’agit manifestement de l’equation de propagation d’une onde de densite avecla vitesse (kBTe/M)1/2.

Rappelons que dans un gaz neutre (a une seule composante), la vitesse depropagation du son cs est definie par la relation thermodynamique :

c2s ≡ ∂p

∂ρ

∣

∣

∣

∣

ρ=ρ0

,

ou ρ ≡ nm est ici la densite de masse. Dans le cas du gaz parfait, p =(nm) kBT/m, et donc

c2s =

kBT

m=

p

nm

Dans le plasma, la pression n’est due qu’aux electrons p = pe ≈ kBTe n (puisquenous avons suppose les ions froids), tandis que l’inertie ne depend que desions nM (puisque nous avons neglige la masse des electrons en les supposant

1. La vitesse et le potentiel obeissent a la meme equation.

7.1. ONDES ACOUSTIQUES IONIQUES 55

boltzmanniens), ce qui conduit bien a une vitesse du son dite vitesse acoustiqueionique :

csi ≡√

kBTe

M

En cherchant des solutions de l’equation d’onde sous la forme d’ondes progres-sives, n1 ∼ ej(kx−ωt), on obtient

(

−ω2 + c2si k

2)

n1 = 0

ce qui consuit a la relation de dispersion :

ω

k= csi

ω

csi

k

csi ≡√

kBTe

M

Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses dephase et de groupe sont identiques 2, ce sont des ondes propagatives de vitessesconstantes. L’etude du systeme linearise montre egalement que la vitesse acous-tique ionique est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles perturbationsexterieures. Cette vitesse joue encore un role important lorsque les effets non-lineaires sont pris en compte et marque, a l’instar de la vitesse du son, unefrontiere entre les comportements subsonique et supersonique.

Remarques

1. Il est facile de montrer (faites-le) que la prise en compte de la temperatureionique (qui interviendrait dans le terme de pression dans l’equation de bilande quantite de mouvement des ions) conduirait a une vitesse acoustique ioniqueegale a

√

(kBTe + kBTi)/M .

A la difference de ce qui se passe dans les fluides neutres, il est remarquable quela vitesse des ions ne s’annule pas, meme si Ti → 0, car il reste la contribution depression (souvent dominante du reste) due aux electrons. Remarquons enfin quela vitesse acoustique ionique prend, dans les plasmas hors-equilibre ou Ti ≪ Te,une valeur intermediaire entre les vitesses thermiques des electrons et des ions :

√

kBTi

M<

√

kBTe

M≪√

kBTe

m

Les ordres de grandeurs correspondants sont de l’ordre de quelques centainesde m/s pour les vitesses thermiques ioniques, quelques milliers de m/s pourles vitesses acoustiques ioniques, et quelques millions de m/s pour les vitessesthermiques electroniques.

2. On rappelle que la vitesse de phase est definie par le rapport ω/k, la vitesse de groupepar la derivee dω/dk.


2. Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons negliges sontresponsables de l’amortissement de ces ondes. Les equations de bilan des ionssont modifiees de la facon suivante :

∂tn + ∂x(nv) = νI n,

Mn (∂tv + v ∂xv) = −kBTe ∂xn − (νinn + νI n) Mv

Dans ce cas le systeme d’equations linearisees devient :

∂tn1 + n0 ∂xv1 = νI n1,

M n0 ∂tv1 = −kBTe ∂xn1 − (νin + νI) Mn0v1,

En combinant ces equations entre elles, on trouve que l’equation d’onde corres-pondante s’ecrit :

∂2ttn1 − c2

si ∂2xxn1 = (νin + νI) νI n1 − νin ∂tn1

Le terme de derivee temporelle du premier ordre est clairement responsable del’amortissement des ondes tandis que le terme lineaire (qui depend essentielle-ment de la frequence d’ionisation) ne joue significativement que pour les lon-gueurs d’ondes λ ≫ λI ≡ uB/νI .

7.2 Oscillations du plasma

Les forces electriques sont tres fortes au sein d’un plasma si bien que son compor-tement etudie a une echelle suffisamment grande (plus grande que la longueurde Debye) apparaıt comme quasi-neutre : les electrons et les ions positifs sontfortement lies. Du fait de leur difference de masses, les comportements dyna-miques des ions et des electrons sont cependant tres differents. De fait, si leplasma vient a etre perturbe, les electrons reagissent beaucoup plus vite que lesions, mais la force de Coulomb agit comme une force de rappel qui tend a ra-mener les electrons vers les ions, voire lorsqu’il n’y a pas trop d’amortissementa provoquer un mouvement d’oscillation des electrons autour des ions.

Considerons un plasma constitue d’ions positifs que nous supposerons immo-biles, ce qui peut etre justifie par la tres grande difference de masses entre ions etelectrons 3 M ≫ m. Les electrons sont donc les seules particules reagissant auxperturbations. Cette classe de plasma ou une seule composante (les electrons)est prise en compte, l’autre composante assurant seulement une neutraliteelectrique globale, s’appelle un plasma a une composante (OCP : one componantplasma, en anglais). En considerant, une fois encore ce plasma unidimensionnelet sans collision, on peut ecrire :

∂tne + ∂x(neve) = 0,

mne (∂tve + ve ∂xve) = −kBTe ∂xne − en E,

ǫ0 ∂xE = e(n0 − ne)

ou on a pose, une fois pour toute, ni = n0.

3. Dans le cas le plus defavorable du plasma d’hydrogene, le rapport est deja de l’ordre de2000.

7.2. OSCILLATIONS DU PLASMA 57

En suivant la meme demarche que dans la section precedente, apres avoir pose,ne = n0 + n1, ve = v1 et E = E1, on procede a la linearisation qui conduit ausysteme :

∂tn1 + n0 ∂xv1 = 0,

mn0 ∂tv1 = −kBTe ∂xn1 − en0 E1,

ǫ0 ∂xE1 = −en1

En eliminant E1 et v1 entre ces equations, on trouve facilement :

∂2ttn1 −

kBTe

m∂2

xx n1 +n0e

2

mǫ0n1 = 0

Les coefficients intervenant dans les second et troisieme termes sont respective-ment homogenes aux carres d’une vitesse et d’une frequence :

vTe ≡√

kBTe

met ωPe ≡

√

n0e2

mǫ0

Il s’agit respectivement de la vitesse thermique electronique et de la frequenceplasma electronique. Ces deux grandeurs sont reliees a la longueur de Debye parla relation :

vTe = λD ωPe

L’equation differentielle peut donc s’ecrire sous la forme :

∂2ttn1 − v2

Te∂2

xx n1 + ω2Pe n1 = 0 (7.1)

Determinons la relation de dispersion associee en cherchant les solutions decette equation sous la forme d’une onde progressive. On trouve aussitot :

−ω2 + (kvTe)2 + ω2

Pe = 0

soit encore

ω = ωPe

√

1 + (kλD)2

ω

ωpe

k

ω = kvTeω = ωPe

ωpe ≡√

n0e2

mǫ0

Le systeme passe donc d’un systeme purement oscillant a la frequence plasmapour les grandes longueurs d’ondes (kλD ≪ 1) a un systeme propagatif a la vi-tesse thermique dans la limite opposee (kλD ≫ 1). Le meme type de conclusionpeut etre obtenue a partir de l’equation differentielle (7.1).


7.3 Ondes d’Alfven

Dans certaines circonstances que l’on precisera dans un chapitre ulterieur, ilest possible de decrire le plasma comme un fluide unique incompressible etparfaitement conducteur (c’est le cas du mercure liquide par exemple). Dans cesconditions, les equations de la magnetohydronamique s’appliquent et s’ecrivent :

ρDV

Dt= −∇p + J × B,

∇ × B = µ0 J,

∂B

∂t= ∇ × (V × B) ,

∇.V = ∇.B = 0

Comme,

J × B =1

µ0(∇ × B) × B =

1

µ0(B.∇)B − ∇

(

B2

2µ0

)

l’equation de bilan de quantite de mouvement s’ecrit donc egalement sous laforme :

ρ

(

∂V

∂t+ (V.∇)V

)

= −∇ (p + pm) +1

µ0(B.∇)B

ou pm ≡ B2/(2µ0) est la pression (ou densite d’energie) magnetique. Une solu-tion stationnaire simple de ces equations est donnee par les 2 conditions :

p + pm = Cte et V = ± B√µ0ρ

On peut considerer que cette solution est une solution d’equipartition puisquel’expression de la vitesse en fonction de B est equivalente a l’egalite :

1

2ρV2 =

B2

2µ0

Ainsi, au cœur meme du probleme non-lineaire apparaıt naturellement une vi-tesse associee a la presence du champ magnetique, la vitesse dite d’Alfven definiepar la relation :

VA ≡ ± B√µ0ρ

Considerons maintenant le probleme linearise par rapport a un etat de referenceou le champ magnetique est stationnaire et uniforme, la pression et la densiteuniformes et la vitesse fluide nulle. La demarche usuelle de linearisation conduitdonc aux equations :

ρ0∂V1

∂t= −∇p1 +

1

µ0(∇ × B1) × B0,

∂B1

∂t= ∇ × (V1 × B0) ,

∇.V1 = ∇.B1 = 0

7.3. ONDES D’ALFVEN 59

Cherchons des solutions sous la forme d’ondes progressives ei(ωt+k.r). Le systemed’equation aux derivees partielles devient algebrique et s’ecrit sous la forme

ρ0 ωV1 = −p1k +1

µ0(k × B1) × B0,

ωB1 = k × (V1 × B0) ,

k.V1 = k.B1 = 0

Or,

k × (V1 × B0) = (k.B0)V1 − (k.V1)B0 = (k.B0)V1,

de sorte que ωB1 = (k.B0)V1, donc,

ω (k × B1) × B0 = B0 × (ωB1 × k) = (k.B0)2V1 − (k.B0) (V1.B0)k

et pour finir,

ρ0 ω2V1 × k =1

µ0(k.B0)

2V1 × k

La relation de dispersion est donc :

ω

k= VA cos θ

ou VA est le module de la vitesse d’Alfven deja definie et θ l’angle entre levecteur d’onde k et le champ magnetique B0. La vitesse d’Alfven est donc lavitesse maximale de propagation des ondes. On notera que leur propagation estanisotrope : non propagative dans la direction orthogonale au champ magnetiqueet de vitesse maximale dans la direction du champ.

Notons pour terminer que la prise en compte d’une conductivite finie conduita un amortissement des ondes d’Alfven. L’hypothese d’incompressibilite estacceptable pour un liquide charge comme le mercure qui constitue l’archetypedes liquides conducteurs, mais discutable 4 pour les gaz ionises intrinsequementcompressibles. Lorsque le milieu est compressible, les ondes d’Alfven se couplentavec les ondes acoustiques pour former des ondes magnetonosonores.

4. Les effets de compressibilite peuvent etre negliges dans les plasmas lorsque la vitessed’Alfven est tres faible devant la vitesse acoustique cs =

√

p/ρ0, c’est-a-dire :

B2

0

µ0

≪ p

Chapitre 8

Derives electromagnetiques

Mouvement cyclotronique

Quelques exemples de la theorie des derives

Remarques

Dans ce chapitre, on abandonne la demarche auto-coherente qui couple l’hydro-dynamique et l’electrodynamique pour se concentrer sur quelques aspects dumouvement des particules dans des champs electromagnetiques donnes. L’etudedu mouvement d’une particule chargee placee dans un champ magnetique sta-tionnaire et uniforme conduit au mouvement cyclotronique qui est brievementrappele dans la premiere section. En presence de champs dependant du tempsmais homogenes, le probleme reste lineaire et admet une solution exacte. Il estcependant frequent que les variations temporelles des champs soient lentes al’echelle du mouvement cyclotronique. Dans ces conditions, il est tres utile d’in-troduire la theorie dite des derives - due a l’astrophysicien suedois Alfven - quifournit une analyse tres physique de la dynamique des particules chargees. Enpresence de champs inhomogenes, le probleme devient non-lineaire, mais peutegalement etre apprehende par la theorie des derives.

8.1 Mouvement cyclotronique

Considerons donc le cas le plus simple, celui d’une particule, de charge q, demasse m placee dans un champ magnetique, B uniforme et stationnaire, tel queB = B ~ez.

L’equation du mouvement s’ecrit :

mdV

dt= q V × B

Cette equation, projetee sur chacune des directions (Ox, Oy, Oz) s’ecrit :

Vx = +ωc Vy,

Vy = −ωc Vx,

Vz = 0

ou nous avons utilise le point pour designer la derivee par rapport a t, et ounous avons introduit la frequence cyclotron ou de Larmor ou plus correctement

61

62 CHAPITRE 8. DERIVES ELECTROMAGNETIQUES

la pulsation cyclotronique definie par :

ωc ≡qB

m

Pour un champ de 1000 Gauss la frequence cyclotronique des electrons est del’ordre du Ghz, celle des ions dans le meme champ etant inferieur d’un facteurme/mi, donc tres inferieure au MHz pour beaucoup d’atomes.

La forme des equations du mouvement dans le plan (Ox, Oy) ou Vx est coupleea Vy et reciproquement est caracteristique d’un mouvement de rotation. Pourle mettre en evidence, il est commode d’introduire une grandeur complexe, V⊥,qui caracterisera la vitesse dans le plan perpendiculaire au champ magnetique :

V⊥ ≡ Vx + i Vy

Le systeme d’equations se reduit donc a :

V⊥(t) = −iωc V⊥(t),

Vz(t) = 0

dont les solutions sont clairement :

V⊥(t) = |V⊥0| e−iωc t,

Vz = Cte

ou nous avons pose V⊥0 ≡ V⊥(0), et fixe la phase de V⊥(0) a 0 par un choixconvenable de l’origine des temps. Il s’agit d’un mouvement uniforme dans ladirection du champ magnetique et de rotation a la frequence ωc dans le planperpendiculaire a B. Le mouvement est donc helicoıdal : les particules avancenten s’enroulant autour des lignes de champs.

En revenant aux grandeurs reelles, on obtient donc dans le plan transverse :

Vx(t) = +|V⊥0| cos ωc tVy(t) = −|V⊥0| sinωc t

etx(t) = x(0) + ρL sin ωc ty(t) = y(0) + ρL (cos ωc t − 1)

ou nous avons introduit le rayon de l’orbite cyclotronique, ρL appele rayon deLarmor :

ρL ≡ |V⊥0|ωc

Le vecteur de coordonnees (x(0), y(0), z(0) + Vzt) est appele le centre-guide.Si l’on prend pour vitesse caracteristique la vitesse thermique des particules,√

kBT/m, on voit que ρL ∼ √m. Les rayons de Larmor des electrons sont donc

significativement plus petits que ceux des ions. Dans les plasmas, lorsque leschamps magnetiques restent moderes (quelques centaines de Gauss), il existe dessituations ou les electrons sont magnetises tandis que les trajectoires ioniquessont peu affectees par la presence du champ magnetique.

Le sens de rotation sur les trajectoires cyclotroniques depend du signe de lacharge consideree. On verifiera que le sens de rotation est tel que le champ

8.2. QUELQUES EXEMPLES DE LA THEORIE DES DERIVES 63

magnetique cree par le mouvement de rotation de la charge est de sens contraireau champ magnetique applique. Il s’agit donc d’un effet diamagnetique (l’effets’oppose a la cause).

bex

B

ey

Vi

Ji

Ve

Je

Ion Electron

ωc ≡ qBm

ρL ≡ |V⊥0|ωc

8.2 Quelques exemples de la theorie des derives

Le mouvement dans un champ magnetique homogene et stationnaire, c’est-a-dire le mouvement cyclotronique, constitue le mouvement de reference denotre etude. Le cas general consiste dans l’etude du mouvement des champselectriques et magnetiques, eventuellement inhomogene et instationnaire. Lamethode, dite des derives, initiee par le plasmicien sueduois Alfven, concernel’etude du mouvement dans la limite dite adiabatique ou les champs appliquesvarient lentement a l’echelle de temps ou d’espace du mouvement cyclotronique,c’est a dire tres peu par rapport a ω−1

c ou ρL. Cette approximation, justifiee dansun certain nombre de situations pratiques, permet d’interpreter le mouvementdes particules dans un plasma, comme une somme de contributions comprenantle mouvement cyclotronique et divers mouvements de derives dont on peutdonner une interpretation assez intuitive que nous presentons dans les sectionsqui suivent.

8.2.1 Derive electrique temporelle : derive de champs croises

Nous considerons le cas d’une particule (q, m) placee dans un champ magnetiqueuniforme et stationnaire et dans un champ instationnaire E(t).

L’equation du mouvement est donc :

mdV

dt= q V × B + q E(t)

En introduisant une vitesse complexe dans le plan transverse comme dans lasection precedente et en posant

E⊥(t) =q

m(Ex(t) + iEy(t)) ,

l’equation differentielle s’ecrit :

V⊥(t) + iωc V⊥(t) = E⊥(t) (8.1)


Il s’agit d’une equation differentielle lineaire (dans la variable V⊥(t)), du 1erordre, avec second membre. Une solution generale de l’equation sans secondmembre s’ecrit V⊥(t) = Cte e−iωct, de sorte qu’en appliquant la methode de lavariation de la constante, on trouve pour solution generale de l’equation (8.1) :

V⊥(t) = V⊥0 e−iωc t +

∫ t

0

e−iωc (t−τ)E⊥(τ) dτ

Ainsi, pour un champ electrique dont la variation temporelle est quelconque,trouvons-nous que le mouvement est la somme du mouvement cyclotroniqueprecedemment identifie et d’un mouvement qui resulte de la convolution tem-porelle du mouvement cyclotronique avec le champ electrique.

Placons-nous maintenant dans la situation ou la variation temporelle du champelectrique est lente a l’echelle de ω−1

c . Il est bien connu 1 que la transformee deFourier d’une fonction large est une fonction etroite (et vice versa). Pour le casqui nous interesse, la situation est illustree sur la figure suivante :

E⊥(t)

tω−1c

Fonction t 7→ E⊥(t)

E⊥(ω)

ωωc

Transf. Fourier : ω 7→ E⊥(ω)

On retiendra que la transformee de Fourier de E⊥(t), a savoir la fonction E⊥(ω)n’est non nulle que pour ω/ωc ≪ 1.

Prenons la transformee de Fourier de l’equation (8.1). On trouve aussitot 2

qu’une solution particuliere de (8.1) verifie l’equation algebrique :

iω V⊥(ω) + iωc V⊥(ω) = E⊥(ω) ⇔ V⊥(ω) =E⊥(ω)

iωc

1

1 + ω/ωc

Comme E⊥(ω) s’annule tres vite lorsque ω/ωc croıt, on peut sans danger developperla fraction (1 + ω/ωc)

−1 = 1 − ω/ωc + · · · , ce qui conduit au developpement :

V⊥(ω) =E⊥(ω)

iωc(1 − ω/ωc + · · · )

En revenant dans l’espace temporel, on trouve :

V⊥(t) =E⊥(t)

iωc+

1

ω2c

dE⊥(t)

dt+ · · ·

1. Le cas limite est donne par la distribution de Dirac δ, infiniment etroite, dont la trans-formee de Fourier est la fonction constante 1, infiniment large.

2. Si f(ω) =∫

Rf(t) e−iωt dt designe la TF de la fonction t 7→ f(t), on montre (par

integration par parties) que la transformee de la fonction t 7→ f(t) est la fonction ω 7→+iωf(ω).


On en deduit les composantes de la vitesse dans le plan transverse :

Vx(t) = +Ey(t)

B+

m

qB2

dEx(t)

dt+ · · ·

Vy(t) = −Ex(t)

B+

m

qB2

dEy(t)

dt+ · · ·

Rappelons qu’il s’agit la d’une solution particuliere. Pour obtenir la solutiongenerale de l’equation (8.1), il convient d’ajouter la solution de l’equationsans second membre (c’est-a-dire la solution cyclotronique obtenue a la sec-tion precedente), que nous noterons Vc(t) :

V⊥(t) = Vc(t) +E⊥(t) × B

B2+

m

qB2

dE⊥(t)

dt+ · · · pour t ≫ ω−1

c

Le deuxieme terme de ce developpement est la derive electrique de champscroises. On notera que ce terme est independant de la charge. Sous son influence,les electrons et les ions derivent dans une meme direction orthogonale a la foisa E⊥ et B :

E⊥

E⊥ × B

B

Ion Electron

Le dernier terme du developpement, proportionnel a la derivee du champ, pro-voque un mouvement de derive, dans le sens du champ E⊥, oppose pour lesions et pour les electrons. On l’appelle derive de polarisation.

8.2.2 Derive magnetique spatiale : derive de gradient

A la difference du cas ou le champ magnetique est uniforme, le mouvementd’une particule dans un champ magnetique inhomogene est non-lineaire et nepeut etre traite exactement dans les cas les plus generaux. Si l’on se restreintaux champs a variations spatiales lentes (c’est-a-dire tels que le champ variepeu a l’echelle des rayons de Larmor), on peut mettre en œuvre une methodeperturbative qui ramene le probleme en champ magnetique inhomogene a celuien champ electrique dependant du temps.

Concretement, dans un systeme de coordonnees cartesiennes, considerons unchamp magnetique inhomogene axial possedant un gradient selon Oy : B =B(y) ez et ∇B = dB

dy ey. Les equations du mouvement dans la direction ortho-gonale au champ s’ecrivent :

V⊥(t) + iω(y)V⊥(t) = 0


ou ω(y) ≡ qB(y)/m. Comme B est suppose quasi-uniforme le long d’une orbite,on peut le developper autour du centre guide :

ω(y) = ωc + (y − y0) ω′0 + · · ·

ou on a pose par commodite ω′0 ≡ dω(0)/dy. Soit L la longueur caracteristique

du gradient du champ magnetique ω′0 ≈ ωc/L. Le rapport des 2 premiers termes

vaut donc :∣

∣

∣

∣

ω′0 (y(t) − y0)

ωc

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

(y(t) − y0)

L

∣

∣

∣

∣

≈∣

∣

∣

ρL

L

∣

∣

∣≪ 1

Il s’ensuit que l’equation du mouvement s’ecrit :

V⊥(t) + iωc V⊥(t) = −i ω′0 (y(t) − y0) V⊥(t) + · · ·

Le terme du second membre etant petit, on peut le remplacer en premiereapproximation par la solution obtenue dans le cas du mouvement cyclotroniqueparfait, i.e. y(t)−y(0) = ρL (cos ωc t − 1) et V⊥(t) = |V⊥0| e−iωc t ce qui donne :

V⊥(t) + iωc V⊥(t) ≈ −i ω′0ρL|V⊥0| (cos ωc t − 1) e−iωc t

Cette equation est analogue a celle etudiee dans la section precedente ou lechamp electrique dependant du temps serait tel que :

E⊥(t) = −i ω′0ρL|V⊥0| (cos ωc t − 1) e−iωc t

Sous ces approximations, le probleme en champ magnetique inhomogene seramene donc a celui en champ electrique dependant du temps. On en deduitaussitot les vitesses de derives selon Ox ou Oy :

V Dx (t) =

Ey(t)

B= −ω′

0ρL|V⊥0|ωc

(cos ωc t − 1) cos(ωc t),

V Dy (t) =

Ex(t)

B= −ω′

0ρL|V⊥0|ωc

(cos ωc t − 1) sin(ωc t)

Cette forme met donc en evidence des contributions non seulement a la frequenceωc mais egalement a la frequence 2ωc. Cependant, on notera que la vitesse dederive moyennee sur une orbite cyclotronique est telle que :

〈V Dx (t)〉 = = −ω′

0|V⊥0|22ω2

c

,

〈V Dy (t)〉 = 0

ou on a utilise ρL = |V⊥0|/ωc, et ou 〈V D(t)〉 = (ωc/2π)∫ 2π/ωc

0 V D(t) dt.

Ainsi, un champ magnetique dans la direction Oz, avec un gradient dans ladirection Oy produit une derive dans la direction Ox. Cette derive se produiten sens oppose pour les ions positifs et pour les electrons.


8.2.3 Remarques

Nous venons de traiter le cas ou le gradient de champ magnetique est orthogonala B. la theorie des orbites peut egalement etre appliquee aux cas ou le gradientest parallele a B, ce qui conduit aux effets de miroirs magnetiques. Cet effetd’oscillations des charges est observe dans la magnetosphere entre les 2 polesdu champ magnetique terrestre (ceintures de van Allen). D’autres applicationsinteressantes de la theorie des orbites concernent l’etude des effets de courburedu champ magnetique ou du mouvement d’une particule chargee dans le champelectrique d’une onde electromagnetique d’amplitude inhomogene. Dans ce casla frequence de reference n’est pas la frequence cyclotronique, mais la frequencede l’onde. Du fait de l’inhomogeneite du champ, l’acceleration est alteree, et onmontre que la particule subit une force dite ponderomotrice (cf TD).

Chapitre 9

Examens

9.1 Examen 2009 : Colonne cylindrique en regime

ambipolaire

On considere une colonne cylindrique de plasma quasi-neutre, faiblement ionise,comprenant des ions positifs, de masses mi, de charges +e, des electrons demasses me et de charges −e, et des neutres. Dans tout le probleme on ne retien-dra que les collisions elastiques electron-neutre ou ion-neutre, et on negligera lavitesse fluide des neutres par rapport a la vitesse fluide des ions ou des electrons :vn/ve ≪ 1, vn/vi ≪ 1.

On etudie cette colonne de plasma successivement sans champ magnetique (par-tie 1) et en presence d’un champ magnetique exterieur (partie 2).

9.1.1 Colonne non magnetisee

1. Qu’entend-on par “plasma quasi-neutre” et par “plasma faiblement io-nise” ?

2. La forme de l’equation de bilan de quantite de mouvement retenue pourla modelisation de chaque composante du plasma est la suivante :

~Γα = −Dα~∇n − µα n~∇φ (9.1)

ou n designe les especes neutres, α = e (electrons) ou α = i (ions), et oules notations utilisees sont celles du cours.

(a) Quelle est la grandeur physique representee par Γα ?

Quelle est sa dimension ?

(b) Rappelez la definition des coefficients Dα et µα et leurs unites.

(c) Expliquer succinctement quelle est l’origine physique de chacun destermes de l’equation (9.1).

(d) Y-a-t’il des termes negliges dans l’equation de bilan telle qu’elle estecrite en (9.1) ?

Commentez.

69

70 CHAPITRE 9. EXAMENS

3. En geometrie cylindrique, on peut poser :

~Γα = Γαr ~er + Γαθ ~eθ + Γαz ~ez

ou Γαr, Γαθ et Γαz sont respectivement les composantes radiales, orthora-diale (ou azimuthale) et axiale de ~Γα.

Le cylindre est suppose infiniment long, et on choisit l’axe Oz selon l’axedu cylindre.

(a) Pour quelle(s) raison(s) les composantes axiale, Γαz, et orthoradiale,Γαθ sont-elles nulles ?

(b) On suppose que les flux radiaux electronique, Γer et ionique Γir sontegaux en tout point : Γer = Γir ≡ Γr, ∀r.

Utilisez cette egalite et l’equation (9.1) projetee dans la directionradiale, et montrez, en eliminant le champ electrique, que le fluxradial peut s’exprimer sous la forme :

Γr = −Dadn

dr(9.2)

avec Da =Deµi − Diµe

µi − µe

(c) On suppose que les temperature ionique, Ti et electronique, Te sontegales : Ti = Te ≡ T .

Etablir l’expression :

Da =2DeDi

Di + De

(d) Les libre parcours moyens de collisions ion-neutre et electron-neutresont comparables.

Montrer par une estimation des ordres de grandeurs que De/Di ≫ 1.

En deduire, dans ces conditions, que Da ≈ 2Di.

4. En regime stationnaire, l’equation de bilan de particules s’ecrit pour cesysteme :

div ~Γα = νI n (9.3)

ou νI est la frequence d’ionisation.

Montrez que la densite verifie l’equation differentielle suivante :

d2n

dr2+

1

r

dn

dr+

νI

Dan = 0 (9.4)

On rappelle l’expression de la divergence en coordonnees cylindriques :pour tout vecteur ~A(Ar, Aθ, Az) :

div ~A =1

r

∂(rAr)

∂r+

1

r

∂Aθ

∂θ+

∂Az

∂z

9.2. EXAMEN 2008 : DIFFUSION DANS UN PLASMA ELECTROPOSITIF71

9.1.2 Colonne magnetisee

La colonne cylindrique precedente (toujours consideree comme infiniment longueselon Oz) est maintenant placee dans un champ magnetique exterieur uniformetel que ~B = B0 ~ez.

1. Quelle est l’effet du champ magnetique sur les trajectoires des ions et deselectrons du plasma ?

2. L’equation de bilan de quantite de mouvement s’ecrit maintenant sous laforme :

~Γα = −Dα~∇n − µα n~∇φ + µα

~Γα × ~B (9.5)

Montrer que les flux verifient les relations suivantes en presence du champmagnetique :

Γαz = 0,

Γαθ = − (µαB0) Γαr,

Γαr = −D⊥α

dn

dr− µ⊥

α ndφ

dr,

ou D⊥α et µ⊥

α sont des coefficients que l’on exprimera en fonction de Dα, µα

et B0.

3. Montrer que le produit µαB0 peut s’ecrire comme le rapport de 2 frequencesque l’on definira.

4. Dans la limite µαB0 ≫ 1, montrer que D⊥α = L2 f ou L et f sont respec-

tivement une longueur et une frequence caracteristiques du systeme quel’on precisera.

Commentez.

5. Sous l’hypothese d’egalite des flux radiaux (Γer = Γir ≡ Γr, ∀r), a quelleequation differentielle la densite obeit-elle en presence de champ magnetique(on ne demande pas de resoudre cette equation differentielle) ?

9.2 Examen 2008 : Diffusion dans un plasma electropositif

On considere un plasma constitue d’electrons et d’ions positifs, tel que les gran-deurs physiques ne dependent que d’une seule coordonnee d’espace, et on seplace en geometrie cartesienne (cf. figure).

x

ΓeΓe

Γ+Γ+

0 +2L

EE

On note nα(x, t) et vα(x, t), la densite et la vitesse de chacune des phases(α ≡ e, i) constituant le plasma.


1. Rappeler quelles sont l’expression et la dimension du flux de particulesdu flux de la phase α que l’on notera Γα.

2. Dans un premier temps, le plasma est decrit par les equations fluidessuivantes,

Γ′+ = S,

Γ′e = S,

0 = −kT+ n′+ + n+eE − m+ν+ Γ+,

0 = −kTe n′e − neeE − meνe Γe,

n+ = ne

(a) Preciser le contenu physique et les approximations effectuees danschacune de ces equations.Quel est le regime de pression de neutres dans lequel cette descriptionest pertinente ?

(b) On suppose que le plan median x = 0 est un plan de symetrie danslequel les 2 flux sont nuls.Montrer que Γ+ = Γe ≡ Γ en tout point.

(c) Rappeler les definitions et unites des coefficients de mobilite µα etDα.

(d) Montrer que Γ et E peuvent s’ecrire sous la forme :

Γ = −Da n′,

E = −Van′

n

avec n+ = ne ≡ n et ou Da et Va sont des grandeurs physiques donton donnera les expressions en fonctions des µα et Dα.

(e) Le plasma etudie est tel que T+/Te ≈ 0.01, et m+/me ≈ 2000.Donner une expression simplifiee des coefficients Da et Va dans cettesituation.

3. Dans un deuxieme temps, le plasma est modelise par le systeme d’equations :

Γ′+ = S,

Γ′e = S,

m+

(

Γ2+

n+

)′

= −kT+ n′+ + n+eE,

me

(

Γ2e

ne

)′

= −kTe n′e − neeE,

n+ = ne

(a) Preciser le contenu physique et les approximations effectuees danschacune de ces equations.Quel est le regime de pression de neutres dans lequel cette descriptionest pertinente ?

9.3. EXAMEN 2007 : PLASMA QUASI-NEUTRE MAGNETISE 73

(b) Montrer qu’il existe un invariant de la forme :

(m+ + me)Γ2

n+ (kT+ + kTe) n = Cte

(c) Quelle interpretation peut-on donner de cet invariant ?

(d) En deduire que le flux de particules s’ecrit sous la forme :

Γ2 = v2B n (n0 − n)

ou n0 = n(0) et ou vB est une grandeur physique que l’on definira.Commentez.

(e) Utilisez l’expression precedente pour montrer que n diminue lors-qu’on va du centre vers le bord de la decharge.

(f) Rappelez quelle est la vitesse maximale atteinte par les ions dans unplasma quasi-neutre sous les hypotheses precedentes.En deduire la rapport de densite n/n0 au point ou cette vitessemaximale est atteinte.

(g) Representer schematiquement les profils de densite, de vitesse et deflux dans ce plasma.

9.3 Examen 2007 : Plasma quasi-neutre magnetise

On etudie la diffusion d’un plasma quasi-neutre (ne ≈ ni ≡ n) en presenced’un champ electrique ~E et d’un champ magnetique ~B tous deux uniformes, eten presence d’un gradient de densite ~∇n. On utilise une description fluide enregime collisionnel.

9.3.1 Generalites

On considere d’abord une des composantes du fluide (ions ou electrons), dont onnotera les charges et masses par q et m. ~u represente la vitesse d’entraınementet n la densite.L’equation d’equilibre des forces s’ecrit :

kBT ~∇n + mnν ~u = nq(

~E + ~u × ~B)

(9.6)

Dans cette expression T designe la temperature (supposee uniforme) du fluideet ν represente une frequence de collisions.

1. Preciser succinctement quelle est l’origine physique de chacun de cestermes.

2. Montrer que cette relation d’equilibre peut etre obtenue a partir de l’equationdu bilan de quantite de mouvement du fluide lorsqu’on fait une approxi-mation que l’on precisera.

3. On utilise un systeme d’axe cartesien orthonormal Oxyz, et on choisit ladirection de l’axe Oz dans la direction du champ magnetique ~B.Projeter l’equation (9.6) sur chacun des axes Ox, Oy et Oz.


4. Montrer que les composantes de la vitesse (ux, uy, uz) peuvent s’ecriresous la forme :

ux = F Ex − G1

n

∂n

∂x+ H uy, (9.7)

uy = F Ey − G1

n

∂n

∂y− H ux, (9.8)

uz = F Ez − G1

n

∂n

∂z(9.9)

On donnera l’expression des constantes F , G et H en fonction des coeffi-cients de mobilite µ et de diffusion D introduits dans le cours, ainsi qu’enfonction du coefficient ωcτ , ou τ ≡ ν−1 et ωc est la frequence cyclotrondes particules.

5. Quel est l’effet du champ magnetique dans la direction parallele au champ~B ?

6. Combiner les equations precedentes, et montrer qu’en definissant

~u⊥ ≡ ux ~ex + uy ~ey,

~E⊥ ≡ Ex ~ex + Ey ~ey

on trouve :

~u⊥ = ~u1 + ~u2 + ~u3 + ~u4, (9.10)

ou on a pose :

~u1 ≡ +µ⊥~E⊥,

~u2 ≡ −D⊥

~∇n

n,

~u3 ≡ +(ωcτ)2

1 + (ωcτ)2

~E⊥ × ~B

B2,

~u4 ≡ − (ωcτ)2

1 + (ωcτ)2D

µ

~∇n × ~B

nB2

avec µ⊥ ≡ αµ, D⊥ ≡ αD ou α ≡(

1 + (ωcτ)2)−1

(on utilisera eventuellementla relation ωcτ = µB).

7. Parmi les 4 composantes de ~u⊥, quelles sont celles qui dependent du signede la charge q ?

8. On considere la limite ωcτ → 0.

(a) A quelle situation physique cette limite correspond-elle ?

(b) Discuter le comportement de µ⊥, D⊥ et u⊥ dans cette limite.

9. On considere la limite ωcτ → ∞.

(a) A quelle situation physique cette limite correspond-elle ?

(b) Discuter le comportement de µ⊥, D⊥ et u⊥ dans cette limite.

9.4. EXAMEN 2006 : EXPANSION D’UN PLASMA DANS LE VIDE 75

9.3.2 Diffusion du plasma

On utilise les resultats de la partie precedente pour discuter la diffusion d’unplasma quasi-neutre compose d’ions et d’electrons. Dans toute cette partie, onchoisira la direction de l’axe Ox dans la direction du vecteur ~E⊥, et on supposeraque le gradient de densite est egalement selon Ox. On pourra donc ecrire :

~E⊥ = Ex ~ex,

~∇n =∂n

∂x~ex

1. On suppose que Ex > 0 et ∂n/∂x < 0.Representer les 4 composantes du vecteur vitesse ~u⊥ dans le plan Oxy(on fera un schema pour les ions et un autre pour les electrons).

2. Montrer que les composantes ux et uy satisfont la relation :

uy = −(ωcτ)ux

3. On utilise l’indice i pour designer les coefficients de transport et la vitessedes ions : µ⊥i, D⊥i, ~ui, et l’indice e pour designer les memes grandeurspour les electrons µ⊥e, D⊥e, ~ue.Montrer que les flux ionique et electronique selon Ox verifient les equationssuivantes (on rappelle que le plasma est quasi-neutre : ne = ni = n) :

nuix = +µ⊥i nEx − D⊥i∂n

∂x,

nuex = +µ⊥e nEx − D⊥e∂n

∂x,

4. Les conditions aux limites et les symetries du probleme etudie sont tellesque les vitesses selon Ox sont egales : uix = uex.Eliminer le champ electrique entre ces 2 equations et en deduire que leflux commun selon Ox, Γx ≡ nux, peut s’ecrire :

Γx = −Da⊥∂n

∂x,

ou Da⊥ est un coefficient de diffusion dont on donnera l’expression et donton commentera la forme.

5. Utilisez les resultats precedents pour montrer que la densite du plasmaverifie une equation de diffusion que l’on ne cherchera pas a resoudre.

9.4 Examen 2006 : Expansion d’un plasma dans le

vide

Dans ce probleme, nous etudions l’expansion spatiale d’un plasma partiellementionise sous l’effet des seules forces qui agissent en son sein. Cette situationapparaıt assez naturellement apres la formation des nuages interstellaires, mais


egalement dans certains regimes de fonctionnement des reacteurs a plasmasexploites industriellement a des fins de depot ou de gravure.

Le plasma etudie est constitue d’electrons, de charges −e et de masse m, deneutres, et d’ions positifs monovalents, de masses M et de charges +e. Poursimplifier, on considerera une situation unidimensionnelle et stationnaire : lesvariables dynamiques ne dependent pas du temps et ne dependent que d’uneseule variable d’espace, disons x. La pression du gaz neutre est tres basse, letaux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse supposer la densitedes neutres uniforme : nn = Cte, et negliger la (lente) dynamique des atomes :vn ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est ni confine, ni magnetise :B = 0.

Le systeme depend donc des 5 variables suivantes : densites et vitesses electroniques,ne(x), ve(x), densites et vitesses ioniques : ni(x), vi(x), et potentiel electrostatiqueϕ(x).

∂x(neve) = +νIne,

∂x(nivi) = +νIne,

0 = −kBTe ∂xne + ene∂xϕ,

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ,

ǫ0 ∂2xxϕ = −e(ni − ne)

Dans ces expressions, ∂x et ∂2xx designent une derivee premiere et seconde par

rapport a la variable x.

Le systeme differentiel precedent est complete par les conditions aux limitessuivantes :

ne(0) = ni(0) = n0, ϕ(0) = 0, ve(0) = vi(0) = 0.

1. Rappeler quelle est la dimension de la constante νI et sa signification.

2. Discuter succinctement mais precisement le contenu physique de chacunedes equations precedentes. On soulignera en particulier quels sont lestermes negliges dans cette modelisation.

3. L’etude du systeme d’equations est facilitee par un adimensionnement desvariables. On pose :

Ni ≡ni

n0, Ne =

ne

n0, V =

vi

uB, Ve =

ve

uB, φ ≡ eϕ

kBTe, X ≡ x

λI,

ou uB est la vitesse de Bohm, et λI ≡ uB/νI , la longueur d’ionisation.Montrer que les equations s’ecrivent sous la forme :

(NeVe)′ = +Ne, (9.11)

(NiVi)′ = +Ne, (9.12)

N ′e = +Neφ

′, (9.13)

ViV′i = −φ′, (9.14)

ǫ2 φ′′ = Ne − Ni, (9.15)

avec ǫ ≡ λD/λI , et λD, la longueur de Debye. L’apostrophe designe unederivee par rapport a la variable X ; par exemple : N ′

e ≡ dNedX .


4. Montrer que ǫ = νI/ωpi, ou ωpi est la frequence plasma ionique.On rappelle que νI = Kng, ou K est une constante et ng, la densite dugaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogene tel que K = 10−14

m3/s, ng = 1019 m−3, n0 = 1015 m−3, M = 1.67 10−27 kg, e = − 1.610−19 C, et ǫ0 = 8.85 10−12 F/m.

5. La resolution numerique du systeme d’equations (9.11-9.15) avec les condi-tions aux limites :

Ne(0) = Ni(0) = 1, φ(0) = 0, Ve(0) = Vi(0) = 0. (9.16)

et ǫ = 0.001 conduit aux resultats reportes sur les figures en fin de texte.

En observant le schema des densites, dire pour quelle raison la region cen-trale est consideree comme un plasma, tandis que la region peripheriqueest assimilee a une gaine ?

6. Les resultats numeriques suggerent l’approximation Ne = Ni ≡ N pouretudier la region plasma.Etablir les 2 lois de conservation :

Ve = Vi, (9.17)

1

2V 2

i + lnN = 0 (9.18)

7. Quelle interpretation physique peut-on donner de l’equation (9.18) ?On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma.

8. Posons V ≡ Ve = Vi. Le plasma est donc assimilable a un fluide uniquede densite N et de vitesse V .Montrer que le plasma satisfait les 2 equations :

(NV )′ = +N, (9.19)

NV V ′ = −N ′ (9.20)

9. Combiner ces 2 equations pour les ecrire sous la forme :

N ′(V 2 − 1) = NV, (9.21)

V ′(V 2 − 1) = −1 (9.22)

10. Utilisez le systeme differentiel precedent pour repondre aux questions sui-vantes :- A quelle vitesse physique la vitesse normalisee V = 1 correspond-elle ?- Quel est le signe des gradients de densites et de vitesses au voisinage deX = 0 ?- Que peut-on dire des gradients de densites et de vitesses lorsque V → 1 ?

11. L’equation (9.22) s’ecrit sous la forme differentielle : V 2dV − dV = −dX.Integrer cette equation et en deduire que la position x ou la vitesse vaut1 verifie :

x =2

3λI

Comparer avec les resultats numeriques.


12. Utiliser les equations (9.14) et (9.18) pour determiner les variations dedensites n/n0 et de potentiel eϕ a la position x = x.

13. Lorsque les ions sont crees sans vitesses initiales, l’equation de bilan dequantite de mouvement des ions doit etre modifiee et ecrite sous la forme :

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ − M vi(νIne)

Les equations de ce modele s’ecrivent donc :

∂x(nivi) = +νIne,

0 = −kBTe ∂xne + ene∂xϕ,

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ − M vi(νIne),

ǫ0 ∂2xxϕ = −e(ni − ne)

Combiner ces equations et etablir la relation :

M niv2i + kBTene −

ǫ0E2

2= Cte, (9.23)

ou E = −∂xϕ designe le champ electrique.

14. La relation (9.23) est valable dans tout le systeme (plasma et gaine).– Determiner la dimension des grandeurs apparaissant dans (9.23), et en

deduire la nature de cette relation de conservation.– Interpreter physiquement chaque terme.– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la

gaine ?– Representer schematiquement chaque contribution de (9.23) en fonction

de la position x.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Distance normalisée

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

De

nsi

tés

no

rma

lisé

es

0.2 0.4 0.6 0.8 1Distance normalisée

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Vite

sse

sn

orm

alis

ée

s

0.2 0.4 0.6 0.8 1Distance normalisée

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Po

ten

tiel

no

rma

lisé

Figure 9.1 – Densite electronique, Ne (tirets), densite ionique, Ni (traitspleins), vitesse electronique Ve (tirets), vitesse ionique, Vi (traits pleins), etpotentiel electrostatique, φ, lorsque ǫ = 0.001.

Table des matieres

1 Introduction 5

2 Collisions dans les gaz et les plasmas 13

2.1 Section efficace et taux de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Frequence de collisions et libre parcours moyen . . . . . . . . . . 15

2.3 Fonction de distribution des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Approche macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.2 Approche microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Rappels d’Electrodynamique 23

3.1 Les equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Rappels de Mecanique des Fluides 27

4.1 Rappel sur les equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Bilan de masse et de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Bilan de quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Fermeture des equations de bilans . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Modelisation fluide des plasmas 35

5.1 Equations du modele fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Plasmas collisionnels : mobilite et diffusion . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 Plasmas collisionnels non-magnetises . . . . . . . . . . . . 37

5.2.2 Plasmas collisionnels magnetises . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Plasmas non collisionnels : inertie et equilibre . . . . . . . . . . . 40

81

82 TABLE DES MATIERES

5.3.1 Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3.2 Mouvement inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Applications de la modelisation fluide des plasmas 43

6.1 Ecrantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Ecrantage electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Ecrantage magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Equilibres magnetohydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.1 Bilan global de masse et de charge . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.2 Bilan global de quantite de mouvement . . . . . . . . . . 49

6.2.3 Equilibres MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Ondes dans les plasmas 53

7.1 Ondes acoustiques ioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2 Oscillations du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3 Ondes d’Alfven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Derives electromagnetiques 61

8.1 Mouvement cyclotronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2 Quelques exemples de la theorie des derives . . . . . . . . . . . . 63

8.2.1 Derive electrique temporelle : derive de champs croises . . 63

8.2.2 Derive magnetique spatiale : derive de gradient . . . . . . 65

8.2.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 Examens 69

9.1 Examen 2009 : Colonne cylindrique en regime ambipolaire . . . . 69

9.1.1 Colonne non magnetisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.1.2 Colonne magnetisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Examen 2008 : Diffusion dans un plasma electropositif . . . . . . 71

9.3 Examen 2007 : Plasma quasi-neutre magnetise . . . . . . . . . . 73

9.3.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.3.2 Diffusion du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.4 Examen 2006 : Expansion d’un plasma dans le vide . . . . . . . . 75

introduction a la physique des plasmas` · 2018-01-04 · chapitre 1 introduction un plasma est un...

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