introduction a la s` emantique...

La notation LambdaLe probleme de la quantification

Interpretation via la construction de formules

Introduction a la semantique formelle

Alain LecomteMaster de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS

Cours n◦4

Alain Lecomte Master de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS Cours n◦4Introduction a la semantique formelle



Sommaire

1 La notation LambdaFonctions d’ensemblesAbstraire

2 Le probleme de la quantificationLes SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet

3 Interpretation via la construction de formules




Fonctions d’ensemblesAbstraire

Fonctions a plusieurs variables

Soit f une fonction de n variables x1, x2, ...., xn

f (x1, x2, ...., xn) designe l’image par f du n-uplet x1, x2, ....,xn c’est un element de l’ensemble d’arrivee de fune procedure pour calculer une telle image : dire dansquel ordre on donne des valeurs aux variables

ex: λzλyλx .f (x , y , z)[λzλyλx .f (x , y , z)](a)→ λyλx .f (x , y ,a)[λyλx .f (x , y ,a)](b)→ λx .f (x ,b,a)[λx .f (x ,b,a)](c)→ f (c,b,a)





Fonctions d’ensembles

Une fonction d’ensembles a une variable X (variabled’ensemble) est une fonction qui associe une valeur a toutensemble assigne comme valeur a X

Example

Soit un Univers U = {a,b, c,d ,e, f ,g}Soit f la fonction qui a toute partie de U associe sonintersection avec l’ensemble {d ,e, f ,g}

f (X ) = X ∩ {d ,e, f ,g}

ex: f ({b, c,d ,g}) = {d ,g}





Fonctions d’ensembles - suite

Example

Les operateurs ensemblistes permettent de definir desfonctions d’ensembles a deux variables

inter(X ,Y ) = X ∩ Y

union(X ,Y ) = X ∪ Y





Abstraire

ExampleQuelle fonction d’une variable x permet d’obtenir 3× 12 + 5quand on donne a x la valeur 12?

Rep: la fonction λx .(3× x + 5), car[λx .(3× x + 5)](12) = 3× 12 + 5

ceci est une (λ) abstraction





Abstraire-2

ExampleQuelle fonction d’une variable X permet d’obtenir{= 1 si p ∈ {a,b,p,q}; = 0 sinon} quand on donne a X pourvaleur l’ensemble {a, b, p, q}?

Rep: la fonction λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon}, car[{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon}]({a,b,p,q}) = {= 1 si p ∈{a,b,p,q}; = 0 sinon}

ici, X est une variabled’ensemble





Abstraire-3

La fonction λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} est la fonctionindicatrice de l’ensemble des ensembles qui contiennent p!





Remarque fondamentale

Etant donne la correspondance bijective entre ensembles etfonctions indicatrices, on conviendra aussi que l’expressionλX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} denote l’ensemble desensembles qui contiennent pOn admettra:

λX .Φ peut se lire aussi bien :comme la fonction qui a toute valeur de X associe la valeurcorrespondante de Φque comme l’ensemble des X qui verifient Φ (rendent vraieΦ)

Example

λX .{= 1 si p ∈ X ; = 0 sinon} ≈ {X ; p ∈ X}




Les SN comme ensembles d’ensemblesNecessite de ”typer”Le cas des expressions quantifiees en position d’objet

La phrase ”un enfant dort”

Pierre dort : Pierre est un individu identifiecondition de verite:

[[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M

personne (ne) dort : personne = aucun individu identifievrai si et seulement si l’ensemble associe a dort est vide:

[[dort ]]M = ∅

un enfant dort : un enfant = individu non identifievrai si et seulement si l’ensemble associe a dort possedeau moins un element commun avec l’ensemble associe aenfant

[[dort ]]M ∩ [[enfant ]]M 6= ∅






Recapitulons:Pierre dort :La ”signification” vient de:

la signification de la phrase (S) est le resultat del’application de la fonction associee a dort a l’entiteassociee a Pierrecela donne: 1dort(pierre) ou pierre est l’individu identifie parle nom propre Pierreautrement dit, 1 si pierre ∈ {x ∈ D : dort(x)}, 0 sinond’ou la condition de verite:

[[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M

mais comment faire pour un enfant dort?






En realite, dans ce cas, la phrase est vraie si et seulementsi l’ensemble associe a dort est tel que son intersectionavec l’ensemble associe a enfant est non videcondition de verite:

[[enfant ]]M ∩ [[dort ]]M 6= ∅





suite

S= 1 ssi [[enfant ]] ∩ [[dort ]] 6= ∅

��

HHHH

SN[[un enfant ]]

�� HH

Det

un

N

enfant

SV[[dort ]]

Vi

dort





suite

S= 1 ssi [[enfant ]] ∩ [[dort ]] 6= ∅

��

��

HHHH

HHH

SNλX .{= 1 si [[enfant ]] ∩ X 6= ∅ = 0 sinon}

�� HH

Det

un

N

enfant

SV[[dort ]]

Vi

dort





suite

donc [[un enfant]]M est une fonction qui, selon l’ensembleassocie au verbe intransitif (ou au syntagme verbal),donne 1 ou 0donc c’est une fonction qui prend pour objet (argument)non pas un individu, mais un ensemble






Resume:

[[un enfant ]]M = λE .{1 si [[enfant ]]M ∩ E 6= ∅; 0 sinon}

[[un]]M = λF .λE .{1 si F ∩ E 6= ∅; 0 sinon}





Reformulation

Dans cette approche:nous associons aux expressions linguistiques directementleur denotationselon:phrase 0 ou 1nom propre c ∈ Dnom commun E ⊂ Dverbe intransitif E ⊂ Dverbe transitif R ⊂ D × DSN (un N) P ⊂ ℘(D), {E ; E ∩ [[N]] 6= ∅}SN (tout N) P ⊂ ℘(D), {E ; [[N]] ⊂ E}SN (aucun N) P ⊂ ℘(D), {E ; E ∩ [[N]] = ∅}





Reformulation - 2

soit [[X ]]c la fonction indicatrice de [[X ]]

[[SN(Det ,N)]]M = [[Det ]]c([[N]]M)

[[SN(NP)]]M = [[NP]]M

[[SV (Vi)]]M = [[Vi ]]M

[[SV (Vt ,SN)]]M = ?

[[S(SN,SV )]]M =

si SN = NP : [[SV ]]c([[SN]]M)si SN = Det N : [[SN]]c([[SV ]]M)





Reformulation - 3

Variante, si on veut un traitement uniforme du SN[[SN(Det ,N)]]M = [[Det ]]c([[N]]M)

[[SN(NP)]]M = {E ⊂ D; [[NP]]M ∈ E}[[SV (Vi)]]M = [[Vi ]]

M

[[S(SN,SV )]]M = [[SN]]c([[SV ]]M)





Exercice

Example

Verifier qu’avec cette nouvelle formulation, on a bien encore:

[[Pierre dort ]]M = 1 ssi [[Pierre]]M ∈ [[dort ]]M






S1

��

��

HHHH

HH

SNλE .{1 si E ∩ {b,d ,e} 6= ∅; 0 sinon}

��

HHH

Det

un[[un]]c

N{b, d, e}

enfant{b, d, e}

SV{a, e}

Vi{a, e}

dort{a, e}

avec [[un]]c = λF .λE .{1 si E ∩ F 6= ∅; 0sinon}





typage semantique-1

voir la regle generale :[[X (Y ,Z )]]M = [[Y ]]M([[Z ]]M) si [[Y ]]M est une fonction et[[Z ]]M un argument ”convenable” de cette fonction,ou bien [[X (Y ,Z )]]M = [[Z ]]M([[Y ]]M) si [[Z ]]M est unefonction et [[Y ]]M un argument ”convenable” de cettefonction

que veut-on dire par ”convenable”?comment s’assurer qu’on a bien une situation ou l’un des deuxtermes represente bien une fonction pouvant prendre l’autrecomme objet?pourquoi pas:

[[SV (Vt ,SN)]]M = [[Vt ]]c([[SN]]M) ?

ni[[SV (Vt ,SN)]]M = [[SN]]c([[Vt ]]

M) ?Alain Lecomte Master de Sciences du Langage, Paris 8 - ENS Cours n◦4Introduction a la semantique formelle




typage semantique-2

Deux objets du modele [[f ]] et [[t ]] sont tels que [[f ]] s’appliquea [[t ]] si:

[[t ]] ∈ E[[f ]] est une fonction de E dans un autre ensemble, disons:F[[f ]] est definie en [[t ]]en ce cas, [[f ]]([[t ]]) ∈ F

On peut dire aussi, en introduisant des types associes auxensembles:

t est de type Ef est de type E→ Fen ce cas (s’il est defini) f (t) est de type Fon pose [[f (t)]] = [[f ]]([[t ]]) si [[f ]] est definie en [[t ]]





typage semantique-3

Par exemple:un NP est de type e (entite individuelle)une phrase S est de type t (truth value)un Vi est de type e→ tun Vt est de type e→ (e→ t) (Pierre regarde Marie)un N est de type e→ t (Pierre (est) alpiniste)un SN est de type (e→ t)→ t (un enfant dort)un Det est de type (e→ t)→ ((e→ t)→ t)





Principe d’application

Principe d’application: si A et B sont deux constituantssyntaxiques, si le type semantique de l’un est α→ β et le typesemantique de l’autre est α et s’il existe dans la grammaire uneregle X −→ A B ou X −→ B A, alors le type semantique duconstituant X est β





Variante

Si l’operation syntaxique Merge s’applique a deux constituantsA et B pour former un constituant C = < A,B >, alors si l’un desdeux (A ou B) est de type α→ β et l’autre est de type α, C estde type β.





Principe d’application-2

Principe d’application: si A et B sont deux constituantssyntaxiques, si le type semantique de l’un est α→ β avec pourinterpretation la fonction λv .φ et le type semantique de l’autreest α et son interpretation a, et s’il existe dans la grammaireune regle X −→ A B ou X −→ B A, alors le type semantique duconstituant X est β et son interpretation est calculee commeetant (λv .φ a), c’est-a-dire φ[v ← a].(φ[v ← a] note la substitution de a a v dans φ partout ou voccurre)





Variante

si Merge s’applique a A et B (deux constituants syntaxiques), sile type semantique de l’un est α→ β avec pour interpretation lafonction λv .φ et le type semantique de l’autre est α et soninterpretation a, alors le type semantique du constituant< A,B > est β et son interpretation est calculee comme etant(λv .φ a), c’est-a-dire φ[v ← a].





des SN en position d’objet

qu’arrive-t-il avec:

S

��

HHHH

SN

NP

Marie

SV

��

HHH

Vt

regarde

SN�� HH

Det

un

N

enfant






Mismatch!

S

��

��

HHH

HH

SN

NP

Marie

SV ?

��

HHH

H

Vte→ (e→ t)

regarde

SN(e→ t)→ t�� HH

Det

un

N

enfant






Il va falloir trouver d’autres solutions!Modifier la syntaxe? (Montague)Utiliser des deplacements? (Quantifier Raising) (Heim &Kratzer)Ajouter d’autres modes de composition? (Lambek,Steedman)




construction de formules

Une autre maniere de faire consiste a utiliser un langageintermediaire : c’est ce que fait Montague.

Langage ordinaire −→traduction Langage formel −→

evaluation Valeur

Avantages:on n’est pas oblige d’evaluer la formule!le langage cible apparaıt comme un langage d’expressiondes significationson peut toujours utiliser l’evaluation si on veut revenir auxmodeles




Types et formules

phrase t propositionnom propre e ou (e→ t)→ t pierre ou λP.P(pierre)

nom commun e→ t λx .boy(x)verbe intransitif e→ t λx .sleep(x)verbe transitif e→ (e→ t) λyλx .see(x , y )Det (un) (e→ t)→(e→ t)→ t λP.λQ.(∃x)(P(x) ∧Q(x))

Det (tout) (e→ t)→(e→ t)→ t λP.λQ.(∀x)(P(x)⇒ Q(x))

Det (aucun) (e→ t)→ (e→ t)→ t λP.λQ.¬(∃x)(P(x) ∧Q(x))


introduction a la s` emantique...

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