introduction to astrophysics 3

8/13/2019 Introduction to Astrophysics 3

1/35


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e a c h p o i n t t h a t m a t t e r s b u t a l s o t h e d i s t r i b u t i o n o f w h i c h w a y t h e y a r e g o i n g

a n d o f w h a t e n e r g i e s t h e y h a v e . S i n c e t h e m o m e n t u m v e c t o r p e n c a p s u l a t e s

b o t h t h e l a t t e r c o n c e p t s d i r e c t i o n a n d e n e r g y i t i s u s e f u l t o t h i n k a t s o m e

i n s t a n t i n t i m e o f e a c h p h o t o n b e i n g a t a p o i n t i n a 6 d i m e n s i o n a l s p a c e o f

p o s i t i o n a n d m o m e n t u m

x y z p

x

p

y

p

z

I c a n o n l y d r a w 2 o f t h e d i m e n s i o n s

dp

dx

x

px

x

T h e p h a s e s p a c e d e n s i t y N i s t h e n u m b e r o f p h o t o n s d N p e r 6 d i m e n s i o n a l

u n i t p h a s e s p a c e

d N N d x d y d z d p

x

d p

y

d p

z

N d

3

x d

3

p

T h i n g s g e t m o r e i n t e r e s t i n g i f w e d e c i d e t o k e e p t r a c k o f t h e m o m e n t u m p a r t

o f p h a s e s p a c e i n s p h e r i c a l n o t C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s .

pz

py

px

d p = p dpd3 2

d is a solid angle

2 6


3/35

T h e n

d

3

p p

2

d p d

1

c

3

E

2

d E d

S o f o r p h o t o n s i n a x e d e n e r g y i n t e r v a l d E a r o u n d E d

3

p i s p r o p o r t i o n a l t o

t h e s o l i d a n g l e e l e m e n t d t h a t e n c o m p a s s e s t h e i r d i r e c t i o n s a n d t o E

2

d E

W e s h o u l d h e r e s a y a w o r d a b o u t t h e n o t a t i o n d f o r s o l i d a n g l e i t i s

m e a s u r e d i n s t e r a d i a n s a u n i t s u c h t h a t t h e f u l l 2 s p h e r e i s 4 s t e r a d i a n s

i . e .

Z

s p h e r e

d 4

I n s p h e r i c a l p o l a r c o o r d i n a t e s d d e c o m p o s e s i n t o t h e t w o o r t h o g o n a l d i r e c

t i o n s

d s i n d d d c o s d

sin d

d

I f w e c o n s i d e r p h o t o n s m o v i n g i n o n e d i r e c t i o n a n d n o r m a l l y i n c i d e n t o n

a d e t e c t o r t h e n d

3

x i s r e l a t e d t o t h e i r u x

2 7


4/35

Q

dz

Q is area = dx dy

dz is thickness of slab of

photons moving at speed c

P h o t o n s i n v o l u m e d x d y d z w i l l s l a m i n t o w a l l i n a t i m e d z c . S o

n u m b e r p e r v o l u m e

1

c

n u m b e r p e r a r e a p e r t i m e

o r

d

3

x c d x d y

z

n o r m a l a r e a

d

2

d t c d

2

d t

W h y d o w e c a r e B e c a u s e o f a v e r y f a m o u s s u b t l e t h e o r e m o f m e c h a n i c s

L i o u v i l l e s T h e o r e m P h a s e s p a c e d e n s i t y o f p a r t i c l e s i s c o n s t a n t a l o n g

t h e t r a j e c t o r y o f a n y f r e e l y m o v i n g p a r t i c l e .

2 8


5/35

E x a m p l e C o m p a r e p h o t o n s c l o s e t o a n d f a r f r o m a n e x t e n d e d s o u r c e l i k e

a s t a r

star

photons here are diffuse in

physical space (low density)

but highly collimated in

angle (high density).

photons here are crowded in physical

space (high density) but spread out

in solid angle (direction)

S o d i l u t i o n o f p h o t o n d e n s i t y i s a l w a y s a c c o m p a n i e d b y i n c r e a s e d c o l l i

m a t i o n i n a p r e c i s e q u a n t i t a t i v e r e l a t i o n s h i p

3 . 1 . 3 B r i g h t n e s s

L e t s c o m p u t e t h e t o t a l e n e r g y d E i n a s m a l l v o l u m e o f p h a s e s p a c e

d E E d N E N d

3

x d

3

p

E N c d

2

d t

1

c

3

E

2

d E d

E

3

N c

2

d

2

d t d E d

I d

2

d t d E d

H e r e w e h a v e d e n e d

I N E

3

c

2

W e s e e t h a t I i s t h e e n e r g y i n p h o t o n s p e r n o r m a l l y i n c i d e n t a r e a p e r

t i m e p e r s o l i d a n g l e p e r p h o t o n e n e r g y i n t e r v a l d E I i s c a l l e d t h e s p e c i c

i n t e n s i t y o r b r i g h t n e s s o f a r a d i a t i o n e l d a t a p a r t i c u l a r p o i n t i n a

p a r t i c u l a r d i r e c t i o n a t a p a r t i c u l a r e n e r g y .

2 9


6/35

N o t e t h a t s i n c e N i s c o n s e r v e d L i o u v i l l e a n d E i s c o n s t a n t f o r e a c h

p h o t o n I i s c o n s e r v e d t o o I f y o u l o o k a t a s o u r c e w h i l e m o v i n g f a r t h e r a n d

f a r t h e r a w a y i t s b r i g h t n e s s i n t h i s c o n t e x t o f t e n c a l l e d s u r f a c e b r i g h t n e s s

d o e s n t c h a n g e . I t g e t s s m a l l e r b u t n o t d i m m e r p e r u n i t a p p a r e n t s i z e .

A l l o p t i c a l s y s t e m s i n d e e d s a t i s f y L i o u v i l l e s T h e o r e m . O n e i m p l i c a t i o n i s

t h a t n o t e l e s c o p e h o w e v e r l a r g e c a n m a k e a s c e n e l o o k b r i g h t e r t h a n i t l o o k s

t o t h e n a k e d e y e . I t c a n o n l y m a k e i t l o o k b i g g e r . H o w e v e r f o r v e r y s m a l l

u n r e s o l v e d s o u r c e s l i k e s t a r s b i g g e r e e c t i v e l y i s b r i g h t e r s i n c e t h e r e i s

m o r e l i g h t i n t h e r e s o l u t i o n e l e m e n t .

C C D d e t e c t o r s a n d p h o t o g r a p h i c e m u l s i o n s d o n t m e a s u r e s u r f a c e b r i g h t

n e s s a s t h e e y e d o e s b u t r a t h e r r e s p o n d t o t o t a l e n e r g y d e p o s i t e d p e r a r e a

o f c o l l e c t o r . F o r t h e s e a b i g g e r t e l e s c o p e g a t h e r i n g m o r e t o t a l p h o t o n s i s

a d v a n t a g e o u s . W e w i l l c o m e b a c k t o t h i s t o p i c l a t e r .

3 . 2 W a v e d e s c r i p t i o n o f l i g h t

3 . 2 . 1 W a v e s

B e c a u s e o f q u a n t u m m e c h a n i c s w a v e p a r t i c l e d u a l i t y p h o t o n s a l s o c a n

e x h i b i t w a v e l i k e p r o p e r t i e s . I n f a c t i n t h e c l a s s i c a l l i m i t o f m a n y p h o t o n s

t h e y a r e d e s c r i b e d b y t h e c l a s s i c a l M a x w e l l e q u a t i o n s o f e l e c t r o m a g n e t i s m .

B a s i c p r i n c i p l e s

R e l a t i o n b e t w e e n f r e q u e n c y a n d w a v e l e n g t h

c

T w o l i n e a r p o l a r i z a t i o n s

R e e c t i o n f r o m c o n d u c t i n g s u r f a c e s e . g . t h e a l u m i n i z e d s u r f a c e o f a

t e l e s c o p e m i r r o r

3 0


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R e f r a c t i o n i n l e n s e s b y t h e p r i n c i p l e o f l e a s t t i m e

I n t e r f e r e n c e e e c t s

F i n i t e r e s o l u t i o n o f a n a p e r t u r e A t e l e s c o p e o f a p e r t u r e d i a m e t e r D

c a n n o t d i s t i n g u i s h d i r e c t i o n s a n y n e r t h a n a b o u t

D

i n r a d i a n s

T h e l i g h t f r o m u n r e s o l v e d p o i n t s o u r c e s i s s e e n a s b l u r r e d i n t o a s p o t

o f a b o u t t h i s r a d i u s .

3 . 2 . 2 C o n n e c t i o n b e t w e e n p a r t i c l e a n d w a v e d e s c r i p t i o n s

T h e e n e r g y o f a p h o t o n a q u a n t u m c o n c e p t i s r e l a t e d t o t h e f r e q u e n c y o f

t h e p h o t o n a c l a s s i c a l c o n c e p t b y P l a n c k s f a m o u s

E h

w h e r e h 6 6 3 1 0

2 7

e r g s e c i s P l a n c k s c o n s t a n t . O n e w a y t o v i s u a l i z e t h e

p h o t o n a s b o t h a p a r t i c l e a n d w a v e i s t o t h i n k o f i t a s a p r o p a g a t i n g w a v e

p a c k e t .

T h e m o r e m o n o c h r o m a t i c s m a l l E o r t h e p h o t o n t h e l o n g e r t h e

w a v e p a c k e t . T h i s i s w h y i t i s e a s y t o d o i n t e r f e r e n c e d e m o n s t r a t i o n s w i t h

l a s e r l i g h t v e r y m o n o c h r o m a t i c b u t q u i t e d i c u l t w i t h w h i t e l i g h t l a r g e

. T h e r e l a t i o n b e t w e e n l e n g t h o f w a v e p a c k e t a n d f r e q u e n c y o r e n e r g y

o r m o m e n t u m l o c a l i z a t i o n i s o f c o u r s e t h e H e i s e n b e r g u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e .

3 1


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N o t i c e t h a t

d E h d

3 . 3 R a d i a t i o n u n i t s

3 . 3 . 1 S p e c i c i n t e n s i t y I

I t i s m o r e c o m m o n t o c h a r a c t e r i z e l i g h t i n t e n s i t y o n a p e r f r e q u e n c y b a s i s

t h a n o n a p e r p h o t o n e n e r g y b a s i s . I n t e r m s o f o u r o l d I b r i g h t n e s s w e

d e n e

I

I

d E

d

h I

T h e n t h e r s t t w o e q u a t i o n s i n 3 . 1 3 a b o v e b e c o m e

p h a s e s p a c e d e n s i t y N

I

3

c

2

h

4

a n d

d E I

d

2

d t d d

w i t h I

h a v i n g t h e u n i t s e n e r g y p e r n o r m a l i n c i d e n c e a r e a p e r t i m e p e r

f r e q u e n c y i n t e r v a l p e r s o l i d a n g l e t h a t i s e r g s

1

c m

2

s t e r

1

H z

1

I

i s a f u n c t i o n o f

p o s i t i o n i n s p a c e

d i r e c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n

p h o t o n f r e q u e n c y u n d e r c o n s i d e r a t i o n

p o s s i b l y t h o u g h n o t u s u a l l y t i m e

3 2


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3 . 3 . 2 S p e c i c i n t e n s i t y I

O c c a s i o n a l l y o n e w a n t s t o d o t h e e n e r g y b o o k k e e p i n g i n t e r m s o f w a v e l e n g t h

i n s t e a d o f f r e q u e n c y . O n t h e n d e n e s I

b y t h e r e l a t i o n

I

d I

d

S o t h a t d E I

d

2

d t d d . T h e a b s o l u t e v a l u e b a r s a r e t o b e s u r e t h a t

e n e r g y c o m e s o u t p o s i t i v e . U s i n g c

d

d

c

2

2

c

S o

I

2

c

I

c

2

I

D o n o t b e c o n f u s e d b y t h e s e e x t r a f a c t o r s o f o r . T h e y a r e j u s t b o o k k e e p

i n g t o m a k e p e r f r e q u e n c y a n d p e r w a v e l e n g t h c o m e o u t c o n s i s t e n t l y

w h e n d e s c r i b i n g t h e s a m e a m o u n t o f e n e r g y .

3 . 3 . 3 N e t u x

I f w e w a n t t o k n o w t h e t o t a l e n e r g y d e p o s i t e d o n t o a s p e c i c e l e m e n t o f a r e a

d A o n a d e t e c t o r s a y w e i n t e g r a t e u p t h e s p e c i c i n t e n s i t y c o m i n g f r o m

s o l i d a n g l e e l e m e n t s i n a l l d i r e c t i o n s . H o w e v e r t h e y d o n o t a l l g e t e q u a l

w e i g h t t h e f a r t h e r t h e y a r e f r o m n o r m a l i n c i d e n c e t h e l e s s p r o j e c t e d a r e a

o f d e t e c t o r i s a v a i l a b l e t o t h e m .

normal direction

d

dA

3 3


10/35

T h e n e t u x F

u n i t s e r g c m

2

s

1

H z

1

i s t h u s

F

Z

I

c o s d

I n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s d s i n d d d c o s d . W h a t a r e t h e l i m i t s

o f i n t e g r a t i o n I f d A r e p r e s e n t s a n o p a q u e d e t e c t o r g o e s f r o m 0 t o 9 0

O n t h e o t h e r h a n d i f d A i s t r a n s p a r e n t t h e n g o e s f r o m 0

t o 1 8 0

a n d

t h e c o s w e i g h t i n g i s n e g a t i v e o n t h e b a c k s i d e 9 0

1 8 0

F o r a n i s o t r o p i c r a d i a t i o n e l d I

i s n o t a f u n c t i o n o f o r a n d o n e s e e s

t h a t t h e n e t u x i n c l u d i n g f r o m t h e b a c k i s e x a c t l y z e r o .

A s b e f o r e w e c a n d o t h e b o o k k e e p i n g p e r w a v e l e n g t h i n s t e a d o f p e r

f r e q u e n c y w i t h

F

2

c

F

c

2

F

F

i s t h e e n e r g y u x p e r a r e a p e r t i m e p e r w a v e l e n g t h i n t e r v a l . I n f a c t i t i s

e x a c t l y t h e s a m e q u a n t i t y t h a t w e c a l l e d f

i n t h e t a b l e o f U B V p h o t o m e t r y

i n 2 . 2 . 1 .

N o t e t h a t w e a r e a l w a y s f r e e t o i n t e g r a t e u p a l l t h e d i e r e n t f r e q u e n c i e s

a n d o b t a i n t o t a l i n t e g r a t e d u x

F

Z

F

d

Z

F

d e r g s

1

c m

2

I

Z

I

d

Z

I

d

e r g s

1

c m

2

s t e r

1

3 . 3 . 4 E n e r g y d e n s i t y a n d r a d i a t i o n p r e s s u r e

W e a l r e a d y s a w 3 . 1 . 2 t h a t e n e r g y u x i n a g i v e n d i r e c t i o n i s r e l a t e d t o

t h e e n e r g y d e n s i t y o f p h o t o n s m o v i n g i n t h a t d i r e c t i o n b y a f a c t o r o f c t h e

b l o c k o f p h o t o n s s m a s h e s i n t o t h e d e t e c t o r a t t h a t s p e e d . I n t e g r a t i n g o v e r a l l

d i r e c t i o n s t h e t o t a l e n e r g y d e n s i t y a t a p o i n t d u e t o p h o t o n s w i t h e n e r g i e s

3 4


11/35

b e t w e e n a n d d i s

u

d

1

c

Z

I

d

d

a n d t h e t o t a l e n e r g y d e n s i t y i s

u

Z

u

d

1

c

Z Z

I

d d

P r e s s u r e i s f o r c e p e r a r e a o r m o m e n t u m t r a n s f e r p e r a r e a p e r t i m e . C o n

s i d e r p h o t o n s b o u n c i n g b a c k a n d f o r t h b e t w e e n p a r a l l e l p e r f e c t m i r r o r s o f

a r e a A a n d s e p a r a t i o n L

L

A

E a c h p h o t o n c o n t r i b u t e s u E A L t o t h e e n e r g y d e n s i t y s i n c e t h e

v o l u m e i s A L . E a c h p h o t o n g i v e s a m o m e n t u m t r a n s f e r 2 p e a c h t i m e i t

b o u n c e s o t h e m i r r o r p g o e s t o p s o t h e d i e r e n c e i s 2 p . T h e s e b o u n c e s

o c c u r o n a g i v e n m i r r o r e v e r y 2 L c t i m e s o t h e p h o t o n s c o n t r i b u t i o n t o

t h e p r e s s u r e i s

P

2 p

A 2 L c

p c

L A

E

L A

u

A d d i n g u p a l l t h e p h o t o n s w e w o u l d n d

P u b u t w a i t

W e h a v e f o r g o t t e n t h a t p h o t o n s a r e m o v i n g a t d i e r e n t a n g l e s . A p h o t o n

m o v i n g a t a n g l e t o t h e n o r m a l s t i l l c o n t r i b u t e s E A L t o u b u t

3 5


12/35

L

t h e m o m e n t u m t r a n s f e r i s n o w o n l y 2 p c o s a n d a l s o i t t a k e s l o n g e r b e t w e e n

b o u n c e s

t

2 L C

c o s

T h e r e f o r e

P c o s

2

u

A d d i n g u p a l l t h e p h o t o n s i s t h e s a m e a s a v e r a g i n g a n i s o t r o p i c d i s t r i b u t i o n

o v e r c o s

2

h c o s

2

i

R R

c o s

2

d s i n d

R R

d s i n d

2

R

0

c o s

2

s i n d

2

R

0

s i n d

R

1

1

2

d

R

1

1

d

1

3

w h e r e w e s e t c o s . A n o t h e r w a y t o g e t t h i s r e s u l t i s b y s y m m e t r y

C o n s i d e r a r a n d o m l y o r i e n t e d u n i t v e c t o r x y z w i t h x

2

y

2

z

2

1

S i n c e t h e r e i s n o t h i n g s p e c i a l a b o u t t h e x y o r z d i r e c t i o n s w i t h r e s p e c t t o

t h e u n i t s p h e r e w e m u s t h a v e

h x

2

i h y

2

i h z

2

i

B u t

h x

2

i h y

2

i h z

2

i h x

2

y

2

z

2

i h 1 i 1

s o e a c h o n e m u s t b e 1 3 . N o t e t h a t i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s z c o s a n d

w e a r e d o n e .

3 6


13/35

I n e i t h e r c a s e o u r n a l r e s u l t i s

P

1

3

u

T h e p r e s s u r e o f i s o t r o p i c r a d i a t i o n i s e x a c t l y 1 3 i t s e n e r g y d e n s i t y .

3 . 3 . 5 E x a m p l e S p h e r e o f u n i f o r m b r i g h t n e s s F r o m R y b i c k i a n d

L i g h t m a n

L e t u s c a l c u l a t e t h e u x a t a n a r b i t r a r y d i s t a n c e f r o m a s p h e r e o f u n i f o r m

b r i g h t n e s s I B t h a t i s a l l r a y s l e a v i n g t h e s p h e r e h a v e t h e s a m e b r i g h t

n e s s . S u c h a s p h e r e i s c l e a r l y a n i s o t r o p i c s o u r c e . A t P t h e s p e c i c i n t e n s i t y

i s B i f t h e r a y i n t e r s e c t s t h e s p h e r e a n d z e r o o t h e r w i s e .

R

P

I=B

r

c

T h e n

F

Z

I c o s d B

Z

2

0

d

Z

c

0

s i n c o s d

w h e r e

c

s i n

1

R r i s t h e a n g l e a t w h i c h a r a y f r o m P i s t a n g e n t t o t h e

s p h e r e . I t f o l l o w s t h a t

F B 1 c o s

2

c

B s i n

2

c

o r

F B

R

r

2

T h u s t h e s p e c i c i n t e n s i t y i s c o n s t a n t b u t t h e s o l i d a n g l e s u b t e n d e d b y t h e

g i v e n o b j e c t d e c r e a s e s i n s u c h a w a y t h a t t h e i n v e r s e s q u a r e l a w i s r e c o v e r e d .

3 7


14/35

A u s e f u l r e s u l t i s o b t a i n e d b y s e t t i n g r R

F B

T h a t i s t h e u x a t a s u r f a c e o f u n i f o r m b r i g h t n e s s B i s s i m p l y B

3 . 4 T e l e s c o p e s

3 . 4 . 1 A s t r o n o m i c a l T e l e s c o p e s

A l l m o d e r n t e l e s c o p e s o p t i c a l r a d i o X r a y a r e m i r r o r s n o t l e n s e s . H o w

e v e r m i r r o r o p t i c s i s j u s t l e n s o p t i c s f o l d e d o v e r

L

D D

L

S i n c e i t i s e a s i e r t o d r a w l e n s e s w e w i l l u s e t h e l e f t h a n d g u r e b u t y o u

s h o u l d m e n t a l l y t r a n s l a t e i t t o t h e r i g h t h a n d o n e . D i s t h e a p e r t u r e L t h e

f o c a l l e n g t h .

T h e b a s i c r u l e s o f r a y t r a c i n g a r e

r a y s g o t h r o u g h c e n t e r o f l e n s u n d e e c t e d

p a r a l l e l r a y s g e t c o n v e r g e d a n d c o m e t o g e t h e r a t t h e f o c a l l e n g t h

T h a t i s a l l w e n e e d t o g e t

3 8


15/35

D

d

l

L

T h i s i s t h e b a s i c p r i m e f o c u s a s t r o n o m i c a l t e l e s c o p e . T h e d e t e c t o r C C D

a r r a y g o e s a t t h e f o c u s . T h e i m a g e s c a l e i s t h e r a t i o o f p h y s i c a l d i s t a n c e

a t t h e f o c u s t o a n g u l a r d i s t a n c e i n t h e s k y a n d i t d e p e n d s o n l y o n t h e f o c a l

l e n g t h s e e g u r e

l

L o r

l

1 L

F o r e x a m p l e t h e 1 6 . 8 m f o c a l l e n g t h o f t h e P a l o m a r 2 0 0 i n c h c o r r e s p o n d s t o

1 2 a r c s e c m m c h e c k t h i s

T h e e l d o f v i e w i s d e t e r m i n e d b y t h e f o c a l l e n g t h a n d t h e s i z e o f t h e

d e t e c t o r d i n t h e g u r e

F O V

d L

I n t h e a b o v e e x a m p l e a C C D a r r a y o f d i a m e t e r 6 0 m m 6 c m w o u l d h a v e

a e l d o f v i e w o f

6 0 m m

1 2 a r c s e c

1 m m

1 a r c m i n

6 0 a r c s e c

1 2 a r c m i n 0 2

W h a t i s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s u r f a c e b r i g h t n e s s o f a n o b j e c t i n t h e

s k y a p l a n e t o r g a l a x y s a y a n d t h e u x e n e r g y p e r a r e a p e r t i m e i n i t s

i m a g e o n t h e d e t e c t o r W e m u l t i p l y I

b y t h e a r e a o f t h e l e n s m i r r o r a n d

3 9


16/35

b y t h e a r e a c o n v e r s i o n f a c t o r f r o m s t e r r a d i a n s t o c m

2

o n t h e d e t e c t o r

F

d e t e c t o r I

s o u r c e

D

2

4

l

2

4

I

D

L

2

T h e q u a n t i t y L D i s c a l l e d t h e f n u m b e r o f t h e t e l e s c o p e w r i t t e n f

s o

F

4

I

f

2

N o t i c e t h a t t h e i m a g e p l a n e u x d o e s n o t d e p e n d o n t h e s i z e o f t h e t e l e s c o p e

b u t o n l y o n i t s f . P h o t o g r a p h e r s a r e f a m i l i a r w i t h t h i s f a c t a l i g h t m e t e r

d i c t a t e s a n f a n d s h u t t e r s p e e d i n d e p e n d e n t o f t h e f o c a l l e n g t h o f t h e

l e n s .

T h e P a l o m a r 2 0 0

0 0

i s a s l o w t e l e s c o p e a b o u t f 3 5 t h a t i s f 3 5

M o d e r n t e l e s c o p e s a r e o f t e n b e t w e e n f 1 7 5 a n d s t a t e o f t h e a r t f 1 2 5

T h a t i s t h e y a r e s h o r t f o c a l l e n g t h a n d w i d e a p e r t u r e . I f i m a g e u x

d e p e n d s o n l y o n f n u m b e r w h y n o t m a k e t i n y l i t t l e f a s t f 1 2 5 t e l e s c o p e s

P a l o m a r i n y o u r p o c k e t o r K e c k i n y o u r k h a k i s A n s w e r s

F o r b r i g h t o b j e c t s e . g . p l a n e t s w e w a n t t h e l a r g e i m a g e s c a l e t o g e t

m o r e p i x e l s r e s o l u t i o n e l e m e n t s o n t h e d e t e c t o r a c r o s s t h e i m a g e .

F o r f a i n t o b j e c t s e . g . d i s t a n t g a l a x i e s w e a r e p h o t o n s t a r v e d a n d c a r e

n o t s o m u c h a b o u t e n e r g y p e r u n i t a r e a o n t h e f o c a l p l a n e a s a b o u t

t o t a l n u m b e r o f p h o t o n s f r o m t h e o b j e c t p e r t i m e w h i c h s c a l e s a s D

2

3 . 4 . 2 T e l e s c o p e s y o u l o o k t h r o u g h e . g . b i n o c u l a r s

T h i s i s n o t a s t r o n o m y b u t i t o n c e w a s a n d y o u m i g h t b e i n t e r e s t e d .

4 0


17/35

eyeball

eyepiece

pd

D

angle

focal

plane

lL

D i s t h e a p e r t u r e L i s t h e f o c a l l e n g t h o f t h e o b j e c t i v e l e n s d i s t h e e x i t p u p i l l i s t h e e y e p i e c e f o c a l

l e n g t h

T h e b a s i c i d e a i s t h a t t h e o b j e c t i v e m a k e s a n i m a g e a t t h e f o c a l p l a n e

a n d t h e e y e p i e c e i s s i m p l y a m a g n i f y i n g g l a s s f o r l o o k i n g a t t h a t i m a g e .

F r o m t h e g u r e y o u c a n d e r i v e

M m a g n i c a t i o n

L

l

N o t i c e t h a t i t i s u s e l e s s t o h a v e d b i g g e r t h a n p t h e p u p i l s i z e o f t h e h u m a n

e y e n o g r e a t e r t h a n a b o u t 9 m m w h e n d a r k a d a p t e d b e c a u s e t h e e x t r a r a y s

s i m p l y d o n o t e n t e r t h e e y e T r a c i n g t h e r a y s b a c k t h e m a x i m u m u s e f u l s i z e

o f D i s

D M d M p

B i g g e r t h a n t h i s d o e s n o t m a k e a b r i g h t e r i m a g e L i o u v i l l e s t h e o r e m a g a i n .

S m a l l e r t h a n t h i s d o e s m a k e a d i m m e r i m a g e . H o w c a n t h i s b e t r u e w i t h o u t

v i o l a t i n g L i o u v i l l e A n s w e r f o r r a y b u n d l e s o f d i a m e t e r s m a l l e r t h a n p t h e

e y e i s n o l o n g e r a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o a s u r f a c e b r i g h t n e s s m e t e r i t

i s a r t i c i a l l y s t o p p e d d o w n . I n b r i g h t l i g h t o f c o u r s e t h e e y e n a t u r a l l y

s t o p s d o w n o n i t s o w n w h e n t h e p u p i l c o n t r a c t s .

4 1


18/35

3 . 5 T h e r m a l B l a c k B o d y R a d i a t i o n

3 . 5 . 1 B l a c k B o d y r a d i a t i o n i s u n i v e r s a l

T h e r e a r e m a n y d i e r e n t s p e c i c p r o c e s s e s t h a t c a n p r o d u c e r a d i a t i o n e n

e r g y l e v e l c h a n g e s i n a t o m s f o r e x a m p l e . T h e s e d i e r e n t p r o c e s s e s c a n a n d

d o p r o d u c e d i e r e n t s p e c t r a t h a t i s d i e r e n t f u n c t i o n a l f o r m s f o r t h e d e p e n

d e n c e o f I

o n . I t i s t h e r e f o r e a n a m a z i n g f a c t t h a t a l l s y s t e m s i n t h e r m a l

e q u i l i b r i u m a t a t e m p e r a t u r e T p r o d u c e t h e s a m e u n i v e r s a l s p e c t r u m c a l l e d

t h e P l a n c k o r b l a c k b o d y s p e c t r u m

I

B

T

T h e r e a s o n f o r t h i s i n v o l v e s b o t h s o m e s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s a n d s o m e q u a n

t u m m e c h a n i c s . R o u g h l y i t i s t h a t t h e e l e c t r o m a g n e t i c d e g r e e s o f f r e e d o m o f

t h e s y s t e m c o m e t o t h e s a m e t h e r m a l e q u i l i b r i u m a s t h e m e c h a n i c a l m o t i o n

o f p a r t i c l e s d e g r e e s o f f r e e d o m e a c h o n e g e t t i n g a m e a n e n e r g y o f

e n e r g y i n e a c h

d e g r e e o f f r e e d o m

1

2

k T

w h e r e T i s t h e t e m p e r a t u r e a n d k 1 3 8 0 6 1 0

1 6

e r g

K i s B o l t z m a n s

c o n s t a n t r e a l l y j u s t a u n i t c o n v e r s i o n t o g o f r o m t h e h i s t o r i c a l b u t a r b i t r a r y

t e m p e r a t u r e u n i t o f d e g r e e s t o t h e n a t u r a l t e m p e r a t u r e u n i t o f e r g s .

T h e h u g e i m p o r t a n c e o f t h e P l a n c k s p e c t r u m i n a s t r o p h y s i c s i s b e c a u s e

m a n y t h i n g s w e s e e a r e p e r f e c t l y o r v e r y n e a r l y i n t h e r m a l e q u i l i b r i u m .

S o t h e P l a n c k s p e c t r u m i s a l m o s t t h e u n i v e r s a l s p e c t r u m o f a s t r o p h y s i c s .

E x a m p l e 1 T h e s u r f a c e o f t h e S u n i s n e a r l y a b l a c k b o d y e m i t t e r a t

5 7 7 0

K

E x a m p l e 2 L o o k i n g a t t h e d a r k n i g h t s k y w e a r e a c t u a l l y l o o k i n g a t t h e

4 2


19/35


20/35

T h e o c c u p a t i o n n u m b e r o f a q u a n t u m s y s t e m i s t h e n u m b e r o f p a r t i c l e s i n

o n e q u a n t u m u n i t o f p h a s e s p a c e o r i n t e r m s o f t h e p h a s e s p a c e d e n s i t y N

o c c u p a t i o n n u m b e r N h

3

T h e d e e p r e s u l t o n t h e r m a l s y s t e m s i s t h a t t h e y h a v e a u n i v e r s a l m e a n o c

c u p a t i o n n u m b e r g i v e n b y

o c c u p a t i o n n u m b e r

1

e

E k T

1

N o t i c e t h a t i f E k T t h e 1 i s n e g l i g i b l e a n d w e r e c o v e r t h e c l a s s i c a l r e s u l t .

T h e r e a r e t w o f u n d a m e n t a l l y d i e r e n t k i n d s o f p a r t i c l e s i n t h e u n i v e r s e

F e r m i o n s o b e y P a u l i e x c l u s i o n p r i n c i p l e

u s e 1 a b o v e

i n c l u d e s p r o t o n s n e u t r o n s e l e c t r o n s

B o s o n s l i k e t o c l u m p

c a n c o r r e s p o n d t o c l a s s i c a l w a v e e l d s u s e 1 a b o v e

i n c l u d e p h o t o n s g r a v i t o n s

N o w l e t s p u t t h e p i e c e s t o g e t h e r u s i n g t h e r e s u l t i n 3 . 3 . 1 t h a t r e l a t e s N

a n d I

B

T I

N

3

h

4

c

2

o c c u p a t i o n n u m b e r

h

3

c

2

2

h

3

c

2

1

e

E k T

1

2 h

3

c

2

e

h k T

1

W h e r e d i d t h e e x t r a f a c t o r o f 2 c o m e f r o m i n t h e l a s t t w o e q u a t i o n s I t i s

t h e t w o p o l a r i z a t i o n s o f p h o t o n s . E a c h o n e s e p a r a t e l y g e t s t h e o c c u p a t i o n

n u m b e r e

E k T

1

1

a n d I

c o u n t s b o t h o f t h e m

A s b e f o r e S e c t i o n 3 . 3 . 2 w e h a v e t h e o p t i o n o f a c c o u n t i n g f o r t h e i n t e n s i t y

o n a p e r w a v e l e n g t h i n s t e a d o f p e r f r e q u e n c y b a s i s

B

2

c

B

c

2

B

4 4


21/35

S i n c e w a v e l e n g t h i s e a s i e r t o m e a s u r e f o r l i g h t t h a n f r e q u e n c y o n e m o r e

f r e q u e n t l y s e e s B

a n d I

i n o b s e r v a t i o n a l c o n t e x t s . A g r a p h o f B

T s h o w s

t h a t h o t t e r T s i n d e e d g i v e b o t h

o v e r a l l g r e a t e r i n t e n s i t y e v e r y w h e r e a n d

p e a k a t s h o r t e r w a v e l e n g t h s .

2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

0 1 2 3 4 5

B

(T)

in m

3 . 5 . 3 A s y m p t o t i c s o f t h e P l a n c k s p e c t r u m

F o r h k T t h e r e i s a n e x p o n e n t i a l f a l l o i n b r i g h t n e s s . T h i s i s c a l l e d t h e

W i e n l i m i t . I t i s w h y y o u c a n n o t g e t a t a n u n d e r a n o r d i n a r y i n c a n d e s c e n t

l i g h t b u l b T h e t e m p e r a t u r e o f i t s l a m e n t i s a r o u n d 2 7 0 0

K a n d s o i t m a k e s

a l m o s t n o U V .

F o r h k T t h e e x p o n e n t i a l c a n b e e x p a n d e d

e x p

h

k T

1

h

k T

s o t h a t f o r h v k T w e h a v e t h e R a y l e i g h J e a n s l a w

B

T

2

2

c

2

k T

4 5


22/35

N o t i c e t h a t t h i s r e s u l t d o e s n o t c o n t a i n P l a n c k s c o n s t a n t . I t w a s o r i g i n a l l y

d e r i v e d b y a s s u m i n g a m e a n e n e r g y E k T t h e c l a s s i c a l e q u i p a r t i t i o n v a l u e

f o r t h e e n e r g y o f a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e

1

2

k T i n e a c h o f t w o p o l a r i z a t i o n s .

A p l o t o f t h e P l a n c k f u n c t i o n o v e r m a n y d e c a d e s o f f r e q u e n c y I

a n d t e m

p e r a t u r e s h o w s c l e a r l y t h e a s y m p t o t i c r e g i m e s s e e g u r e o n n e x t p a g e .

Y o u c a n s e e w h y t h i n g s a r e c a l l e d r e d h o t w h e n t h e W i e n l i m i t i s j u s t

b a r e l y p o k i n g i n t o t h e r e d f r o m t h e i n f r a r e d t h e n w h i t e h o t w h e n t h e p e a k

o f B

T i s a t t h e e y e s m a x i m u m v i s i b i l i t y a b o u t 6 0 0 0

K t h e n b l u e h o t

w h e n t h e e y e s s e n s i t i v i t y i s c o m p l e t e l y i n t h e R a y l e i g h J e a n s r e g i m e . T h e r e

i s n o t h i n g h o t t e r t h a n b l u e h o t b e c a u s e h i g h e r t e m p e r a t u r e j u s t i n c r e a s e s

t h e R a y l e i g h J e a n s s p e c t r u m s a m p l i t u d e l i n e a r l y w i t h T w i t h o u t c h a n g i n g

t h e f u n c t i o n a l f o r m o f i t s

2

d e p e n d e n c e o n f r e q u e n c y .

4 6


23/35

B

22

1

10

610

710

105

410

10 3

102

810

10 10 10 10 10 10 10 10106104 8 10 12 14 16 18 20

1012106 104 102 10 4 106 108 10101 10

2

1012106 104 102 106 10101 10

2

1016

1012

108

1020

104

108

410

1

1012 10

10

10

10

10

1010

105

105

1010

1015

1020

25

35

40

45

1

30

10 10 10 10106 108 1010 1012 1014 16 18 20 22

(cm)

(cm)

v(Hz)

v(Hz)

B

(ergsec

cm

Hz

ster1

1

1

2

)

(ergsec

cm

Hz

ster1

1

1

2

)

B

B

T h e p e a k o f t h e b l a c k b o d y s p e c t r u m i s f o u n d l e t t i n g x h k T a s

f o l l o w s

0

d

d x

x

3

e

x

1

3 x

2

e

x

1 x

3

e

x

e

x

1

2

x 3 1 e

x

e . g . b y t r i a l a n d e r r o r x 2 8 2

s o a t t h e p e a k

h

m a x

2 8 2 k T

4 7


24/35

o r

m a x

T

5 8 8 1 0

1 0

H z K

N o t i c e t h a t t h e e x t r a p o w e r s o f i n

B

T B

T

d

d

c

2

B

T

s h i f t s i t s p e a k a b i t r e l a t i v e t o B

s o a t t h e m a x i m u m o f B

y o u c a n c h e c k

t h i s

h

c

m a x

k T 4 9 7

o r

m a x

T 0 2 9 0 c m K W i e n s d i s p l a c e m e n t l a w .

T h e s p e c t r a l s e n s i t i v i t y o f t h e e y e i s d i e r e n t t o b r i g h t l i g h t c o n e s t h a n t o

d i m l i g h t r o d s . B r i g h t s e n s i t i v i t y p e a k s a t 5 6 0 0

A y e l l o w w i t h a n e e c t i v e

w i d t h o f a b o u t 1 1 0 0

A . N o t e c l o s e s i m i l a r i t y t o t h e V b a n d i n U B V D i m

l i g h t s e n s i t i v i t y p e a k s a t a b o u t 5 0 0 0

A g r e e n w i t h a b o u t t h e s a m e e e c t i v e

w i d t h s e e t h e g u r e o n t h e n e x t p a g e .

T

0 2 9 0 c m K

5 6 0 0

A

5 2 0 0 K

T

0 2 9 0 c m K

5 0 0 0

A

5 8 0 0 K v e r y c l o s e t o T o f s u n .

N o t c o i n c i d e n c e t h a t w e e v o l v e d t o p u t o u r p e a k s e n s i t i v i t y a t p e a k o f s o l a r

o u t p u t D i m c a v e s m o o n l i g h t e t c .

4 8


25/35

350 400 450 500 550 600 650 700 7500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

RelativeV

isibility

violet blue green yellow orange red

(nm)

cones

"Photopic"

bright light

red looks

"black" in

dim light

rods

"Scotopic"

dim light

3 . 5 . 4 I n t e g r a l o f t h e P l a n c k s p e c t r u m S t e p h a n B o l t z m a n l a w

W h a t i s t h e t o t a l e n e r g y d e n s i t y i n a n i s o t r o p i c r a d i a t i o n e l d a t c o n s t a n t

t e m p e r a t u r e e . g . i n s i d e a f u r n a c e o r a s t a r

F r o m 3 . 3 . 4 w e c a l c u l a t e

u

1

c

Z Z

I

d d

4

c

Z

I

d

4

c

Z

2 h

3

c

2

e

h k T

1

d

4

c

2 h

c

2

k T

h

4

Z

1

0

x

3

d x

e

x

1

w h e r e x h k T . T h e i n t e g r a l i s j u s t a n u m b e r . Y o u c a n d o i t n u m e r i c a l l y

o r l o o k i t u p i n a t a b l e o f i n t e g r a l s . S o m e d a y y o u s h o u l d l e a r n h o w t o d o

i t b y c o n t o u r i n t e g r a t i o n

T h e a n s w e r i s

4

1 5 s o

u

8

5

1 5

k

4

h

3

c

3

T

4

a T

4

4 9


26/35

w h e r e a i s c a l l e d t h e r a d i a t i o n d e n s i t y c o n s t a n t a n d h a s t h e v a l u e

a 7 5 6 4 6 4 1 0

1 5

e r g c m

3

K

4

N e x t W h a t i s t h e e m e r g e n t u x f r o m a b l a c k b o d y s u r f a c e T h a t i s h o w

m a n y e r g s p e r s e c o n d d o e s i t e m i t p e r u n i t a r e a I n 3 . 3 . 5 w e a l r e a d y o b t a i n e d

t h e r e s u l t

F B

r e l a t i n g u x a n d b r i g h t n e s s s o

F

Z

I

d

c

4

u f r o m a b o v e

a c

4

T

4

T

4

T h e p h y s i c a l c o n s t a n t a c 4 i s c a l l e d t h e S t e f a n B o l t z m a n n c o n s t a n t a n d

h a s t h e v a l u e

5 6 6 9 5 6 1 0

5

e r g c m

2

s

1

K

4

E x a m p l e 1 A s p h e r e o f r a d i u s 7 0 1 0

1 0

c m h a s a t e m p e r a t u r e o f 5 7 7 0

K

W h a t i s i t s l u m i n o s i t y

L 4 r

2

F 4 r

2

T

4

4 7 0 1 0

1 0

c m

2

5 7 7 0 K

4

5 6 7 1 0

5

e r g c m

2

s

1

K

4

3 9 1 0

3 3

e r g s

E x a m p l e 2 H o w m a n y w a t t s o f t o t a l l u m i n o u s p o w e r a r e e m i t t e d b y t h e

s t a n d a r d c a n d l e t h a t d e n e s t h e l u m e n 1 6 0 c m

2

a t 2 0 4 4

K

L A T

4

1

6 0

c m

2

2 0 4 4 K

4

5 6 7 1 0

5

e r g c m

2

s

1

K

4

5 2 5 1 0

6

e r g s 0 5 2 5 W

5 0


27/35

I n a r e a l c a n d l e m a n y t i m e s t h i s m u c h p o w e r p e r h a p s 1 0 0 i s c a r r i e d o

c o n v e c t i v e l y b y h o t a i r . N o t e t h a t a t T 2 0 4 4 K m e l t i n g p o i n t o f p l a t i n u m

m a x

0 2 9 0 c m K

2 0 4 4 K

1 4 0 0 0

A i n f r a r e d

S o t h e c a n d l e i s e x t r e m e l y r e d w e a r e s e e i n g o n l y i t s W i e n l i m i t

t a i l . L u m e n s a n d l u x a r e s o c a l l e d p h o t o m e t r i c a p p a r e n t u n i t s w h i c h

t h e r e f o r e i m p l i c i t l y i n c l u d e t h e h u m a n e y e s s e n s i t i v i t y a s o p p o s e d t o r a

d i o m e t r i c u n i t s w h i c h a r e i n a b s o l u t e c . g . s . A t m o r e v i s i b l e c o l o r s t h e r e a r e

t h e r e f o r e m a n y m o r e l u m e n s p e r w a t t t h a n t h e v a l u e 2 t h a t w e g o t a b o v e

f o r t h e d u l l r e d g l o w o f m e l t i n g p l a t i n u m . A t 5 5 5 0

A t h e r e i s a p e a k o f 6 8 0

l u m e n s p e r w a t t . T h e l u m e n s p e r w a t t c o n v e r s i o n a t o t h e r w a v e l e n g t h s i s

t h i s v a l u e t i m e s a s t a n d a r d i z e d f o r m o f t h e s e n s i t i v i t y c u r v e s h o w n a b o v e

3 . 5 . 3 . L i g h t b u l b s a r e o f t e n l a b e l e d w i t h t h e i r l u m e n s v a l u e a s w e l l a s t h e i r

w a t t a g e . F o r e x a m p l e a t y p i c a l 1 0 0 W b u l b m a y y i e l d 1 7 1 0 l u m e n s f o r 7 5 0

h o u r s .

3 . 5 . 5 C o l o r t e m p e r a t u r e a n d b r i g h t n e s s t e m p e r a t u r e

C o l o r T e m p e r a t u r e . O f t e n a s p e c t r u m i s m e a s u r e d t o h a v e a s h a p e m o r e o r

l e s s o f b l a c k b o d y f o r m b u t n o t n e c e s s a r i l y o f t h e p r o p e r a b s o l u t e v a l u e . F o r

e x a m p l e b y m e a s u r i n g F

f r o m a n u n r e s o l v e d s o u r c e w e c a n n o t n d I

u n l e s s

w e k n o w t h e d i s t a n c e t o t h e s o u r c e a n d i t s p h y s i c a l s i z e . B y t t i n g t h e d a t a

t o a b l a c k b o d y c u r v e w i t h o u t r e g a r d t o v e r t i c a l s c a l e a c o l o r t e m p e r a t u r e T

c

i s o b t a i n e d . O f t e n t h e t t i n g p r o c e d u r e i s n o t h i n g m o r e t h a n e s t i m a t i n g

t h e p e a k o f t h e s p e c t r u m a n d a p p l y i n g W i e n s d i s p l a c e m e n t l a w t o n d a

t e m p e r a t u r e . R y b i c k i a n d L i g h t m a n

F o r e x a m p l e t h e c o l o r t e m p e r a t u r e o f m o o n l i g h t i s v e r y n e a r l y t h e s a m e

5 1


28/35

a s t h a t o f s u n l i g h t . L o n g e x p o s u r e c o l o r p i c t u r e s b y m o o n l i g h t a p p e a r i n n o r

m a l c o l o r s d e s p i t e t h e i n a b i l i t y o f y o u r e y e s c o n e s t o f u n c t i o n a t m o o n l i g h t

l e v e l s .

B r i g h t n e s s T e m p e r a t u r e . T h e P l a n c k s p e c t r u m i s m o n o t o n i c w i t h

t e m p e r a t u r e a t e a c h a n d e v e r y f r e q u e n c y s e e p r e v i o u s g u r e . T h e r e f o r e a

m e a s u r e m e n t o f I

a t a n y s i n g l e f r e q u e n c y d e t e r m i n e s a t e m p e r a t u r e c a l l e d

t h e b r i g h t n e s s t e m p e r a t u r e . O f c o u r s e i d e n t i f y i n g t h i s t e m p e r a t u r e w i t h

a r e a l p h y s i c a l t e m p e r a t u r e o f t h e e m i t t i n g o b j e c t d e p e n d s o n k n o w i n g t h e

t h e r e s t o f t h e s p e c t r u m a l s o t s a b l a c k b o d y s h a p e . T h e P l a n c k s p e c t r u m

b y d e n i t i o n h a s t h e s a m e b r i g h t n e s s t e m p e r a t u r e a t a l l f r e q u e n c i e s .

T h e b r i g h t n e s s t e m p e r a t u r e o f t h e n i g h t s k y i s 2 0 0 3 0 0 K w h e r e t h e

a t m o s p h e r e i s o p a q u e a n d a s l o w a s 3

K c o s m i c m i c r o w a v e b a c k g r o u n d

t e m p e r a t u r e i n a t m o s p h e r i c w i n d o w s o f t r a n s p a r e n c y .

0.1 nm 1 nm 10 nm 100 nm 1 m 100 m10 m 1 cm 10 cm 1 m 10 m 100 m0

1

wavelength

transm

ission

Atmosphere

is opaque

Optical

window

Atmosphere

is opaque

Radio window

Atmosphere

is opaque

2.2

3-5

8-12

N o t e t h e i n f r a r e d w i n d o w s a t 2 2 3 5 8 1 2 a s w e l l a s t h e l a r g e

o p t i c a l a n d r a d i o w i n d o w s . U V a n d X r a y a s t r o n o m y c a n o n l y b e d o n e f r o m

s p a c e .

3 . 5 . 6 R a d i a t i v e t e m p e r a t u r e b a l a n c e o f t h e E a r t h

I n t h e m o s t n a i v e m o d e l t h e E a r t h m a i n t a i n s t h a t t e m p e r a t u r e a t w h i c h i t

r a d i a t e s i n t h e i n f r a r e d e x a c t l y t h e s a m e a v e r a g e p o w e r a s i t r e c e i v e s f r o m

t h e S u n . N o t e t h a t t h e S u n i l l u m i n a t e s R

2

o f p r o j e c t e d E a r t h a r e a w h i l e

5 2


29/35

t h e a c t u a l s u r f a c e a r e a i s 4 R

2

s o t h e a v e r a g e i n s o l a t i o n a s i t i s c a l l e d

i s 1 4 t h e s o l a r c o n s t a n t

F

n s

1

4

1 4 0 0 w m

2

3 5 1 0

5

e r g s

1

c m

2

T h e o u t g o i n g i n f r a r e d u x a t t e m p e r a t u r e T i s T

4

s o

5 6 7 1 0

5

e r g c m

2

s

1

K

4

T

4

3 5 1 0

5

e r g s

1

c m

2

T 2 8 0

K 7

C 4 4

F c h i l l y

T h e r e a s o n t h e E a r t h i s a c t u a l l y w a r m e r t h a n t h i s i s b e c a u s e o f t h e

g r e e n h o u s e e e c t . A t m o s p h e r i c g a s s e s a b s o r b t h e I R e m i t t e d f r o m t h e

g r o u n d a n d r e r a d i a t e i t t o s p a c e . Y o u m i g h t t h i n k t h a t t h i s i s a w a s h

b u t n o t s o a s t h e f o l l o w i n g g u r e s h o w s

visible

IR IR

IR

2I I

I

I

greenhouse

gases H O, CO22

Y o u s e e t h a t t h e g r o u n d m u s t r a d i a t e t w i c e t h e i n c i d e n t u x I t o s t a y i n

e q u i l i b r i u m . T h u s

5 6 7 1 0

5

T

4

K

7 0 1 0

5

T

K

3 3 3

K 6 0

C 1 4 0

F h o t

T h e r e a s o n i t i s n o t t h i s h o t i s t h a t t h e g r e e n h o u s e i s n o t t o t a l l y a b s o r b

i n g n o t e t h e p a r t i a l w i n d o w s b e t w e e n 8 a n d 2 0 i n t h e g u r e i n S e c t i o n

3 . 5 . 5 . Y o u c a n s e e w h y t h e r e a r e e n v i r o n m e n t a l w o r r i e s a b o u t i n c r e a s i n g

t h e g r e e n h o u s e g a s s e s h o w e v e r

5 3


30/35

K e e p i n m i n d t h a t t h e a b o v e c a l c u l a t i o n s a r e i d e a l i z e d b e c a u s e c l o u d s

r e e c t s u n l i g h t d i r e c t l y a n d b e c a u s e t r a n s p o r t o f h e a t f r o m e q u a t o r i a l t o

p o l a r r e g i o n s b y w e a t h e r a n d o c e a n c u r r e n t s i s a b i g e e c t . I t m u s t s t i l l b e

t r u e h o w e v e r t h a t n e t s o l a r u x i n e q u a l s t o t a l I R u x o u t w h e n a v e r a g e d

o v e r t i m e a n d l a t i t u d e .

3 . 5 . 7 T h e s p e c t r a l s e q u e n c e o f s t a r s

S t a r s a r e c l a s s i e d o b s e r v a t i o n a l l y p r i m a r i l y b y t h e i r c o l o r t e m p e r a t u r e

b e c a u s e h i s t o r i c a l l y t h i s c a n b e m e a s u r e d w i t h o u t k n o w i n g t h e d i s t a n c e .

B e f o r e b l a c k b o d y r a d i a t i o n w a s u n d e r s t o o d a n a l p h a b e t i c s e q u e n c e w a s d e

v e l o p e d e m p i r i c a l l y . T h i s s p e c t r a l s e q u e n c e c o r r e l a t e s n o t o n l y s t r o n g l y w i t h

c o l o r t e m p e r a t u r e b u t a l s o n o t s u r p r i s i n g l y w i t h t h e a p p e a r a n c e o f d i e r

e n t a b s o r p t i o n l i n e s b e c a u s e t h e a b i l i t y o f a t o m s i n t h e o u t e r a t m o s p h e r o f a

s t a r t o a b s o r b l i g h t d e p e n d s o n t h e i r i o n i z a t i o n s t a t e a n d t h u s t e m p e r a t u r e .

T h e S p e c t r a l S e q u e n c e

S p e c t r a l C o l o r B V c o l o r T e m p e r a t u r e S p e c t r a l l i n e s E x a m p l e s

c l a s s I n d e x K

O B l u e v i o l e t 3 5 2 8 0 0 0 5 0 0 0 0 I o n i z e d a t o m s N a o s P u p

e s p e c i a l l y h e l i u m M i n t a k a O r i

B B l u e w h i t e 1 6 1 0 0 0 0 2 8 0 0 0 N e u t r a l h e l i u m S p i c a V i r

s o m e h y d r o g e n R i g e l O r i

A W h i t e 1 3 7 5 0 0 1 0 0 0 0 S t r o n g h y d r o g e n S i r u s C M a

s o m e i o n i z e d V e g a L y r

m e t a l s

F Y e l l o w w h i t e 4 2 6 0 0 0 7 5 0 0 H y d r o g e n a n d i o n i z e d C a n o p u s C a r

m e t a l s s u c h a s P r o c y o n C M i

c a l c i u m a n d i r o n

G Y e l l o w 7 0 5 0 0 0 6 0 0 0 I o n i z e d c a l c i u m a n d S u n

b o t h n e u t r a l a n d C a p e l l a A u r

i o n i z e d m e t a l s

K O r a n g e 1 2 3 5 0 0 5 0 0 0 N e u t r a l m e t a l s A r c t u r u s B o o

A l d e b r a r a n T a u

M R e d o r a n g e 1 2 2 5 0 0 3 5 0 0 S t r o n g t i t a n i u m o x i d e A n t a r e s S c o

a n d s o m e n e u t r a l B e t e l g e u s e O r i

c a l c i u m

5 4


31/35

9

H e r e w e a r e s e e i n g t h e R a y l e i g h J e a n s

c o n t i n u a u x p r o p o r t i o n a l t o

t e m p e r a t u r e w i t h r e l a t i v e l y

s m a l l a n d f e w a b s o r p t i o n f e a t u r e s .

C o m p a r e s h a p e o f c u r v e s i n t h e g u r e

i n S e c t i o n 3 . 5 . 2

h e r e w e c l e a r l y s e e t h e p e a k

o f t h e P l a n c k f u n c t i o n a r o u n d 4 5 0 0

A

t h e S u n t s i n h e r e G 5

9

H e r e w e a r e o n t h e W i e n t a i l

w i t h l o t s o f m e s s y a b s o r p t i o n

l i n e s a n d m o l e c u l a r b a n d s .

5 5


32/35

W i t h i n e a c h s p e c t r a l c l a s s t h e r e a r e n e r s t e p s B 0 B 1 B 2 B 9

A 0 A 1 A 9 . e t c . B 5 i s a t y p i c a l B s t a r . T h e S u n i s a t y p i c a l G s t a r t h a t

i s G 5 . W h e n a s t r o n o m e r s n a l l y k n e w t h e d i s t a n c e s t o e n o u g h s t a r s t o g e t

t h e i r a b s o l u t e m a g n i t u d e s o r l u m i n o s i t i e s a n d p l o t t e d t h e s e a g a i n s t t h e i r

s p e c t r a l t y p e s o r c o l o r t e m p e r a t u r e s t h e y g o t a b i g s u r p r i s e

Barnard's star

Procyon B

Sirius B

SunAltair

Procyon APollux

Arcturus AldebaranMira

Antares

Betelgeuse

DenebRigel

Sirius A

Vega

Regulus

+15

+10

+5

0

10

5

O5 B0 A0 F0 G0 K0 M0 M8

(dim)

(Hot) (Cool)Spectral Type or Temperature

AbsolutemagnitudeorLuminosity

(bright)

T h e s t a r s a r e n o t r a n d o m l y s c a t t e r e d b u t o r d e r e d i n s o m e w e i r d w a y U h

o h c a l l i n t h e a s t r o p h y s i c i s t s T h i s k i n d o f d i a g r a m i s c a l l e d a H e r t z s p r u n g

R u s s e l l o r H R d i a g r a m . E j n a r H e r t z s p r u n g d i s c o v e r e d i t i n 1 9 0 5 a n d H e n r y

M o r r i s R u s s e l l r e d i s c o v e r e d i t n e a r l y 1 0 y e a r s l a t e r . N e w s t r a v e l l e d s l o w

t h e n . T h e r e w e r e v e r y f e w a s t r o n o m e r s i n t h e w o r l d a n d n o t m a n y i n t e r n a

t i o n a l c o n f e r e n c e s .

5 6


33/35

3 . 6 R a d i a t i o n e m i s s i o n m e c h a n i s m s b r i e y d e s c r i b e d

B l a c k b o d y r a d i a t i o n i s r a d i a t i o n t h a t h a s c o m e t o t h e r m a l e q u i l i b r i u m a n d

l o s t t h e m e m o r y o f i t s o r i g i n a l c r e a t i o n . S o m e t i m e s h o w e v e r w e a r e a b l e

t o s e e p h o t o n s d i r e c t l y a s p r o d u c e d b y t h e u n d e r l y i n g m i c r o s c o p i c p r o c e s s e s .

T h e s e n e e d n o t h a v e a P l a n c k s p e c t r u m . W h a t m i c r o s c o p i c a l l y c a u s e s t h e

r a d i a t i o n w e s e e T h e d i r e c t c a u s e i s a l w a y s t h e s a m e a c c e l e r a t i o n o f a

c h a r g e c r e a t e s r a d i a t i o n . T h e r a d i a t i o n i s g e n e r a l l y c l a s s i e d a c c o r d i n g t o

w h a t c a u s e s t h e a c c e l e r a t i o n . W e w i l l l i s t h e r e t h r e e o f t h e m o s t i m p o r t a n t

m e c h a n i s m s . Y o u w i l l l e a r n m u c h m o r e a b o u t t h i s i n A s t r o n o m y 1 5 0 .

3 . 6 . 1 S y n c h r o t r o n r a d i a t i o n

R e l a t i v i s t i c e l e c t r o n s b e i n g a c c e l e r a t e d b y m a g n e t i c e l d s m o v i n g i n h e l i c a l

p a t t e r n s a r o u n d e l d l i n e s

radiation emitted

e

B

-

R a d i a t i o n i s i n t e n s e o f t e n h i g h l y p o l a r i z e d u s u a l l y p o w e r l a w s p e c t r u m .

cut-off at low

frequency may

appear

logmay bend/break

at high frequency.

v

log vI

vI v -

~ 0.5 but may be

~0 or ~2!

is proportional to

R a d i o e m i s s i o n t r a c e s v e r y e n e r g e t i c r e g i o n s .

5 7


34/35

3 . 6 . 2 T h e r m a l b r e m s s t r a h l u n g

T h e r m a l e l e c t r o n s i . e . e l e c t r o n s w i t h M a x w e l l B o l t z m a n d i s t r i b u t i o n s m o v

i n g n e a r p o s i t i v e i o n s e . g . H n u c l e i . C o u l o m b i n t e r a c t i o n s c a u s e t h e a c c e l

e r a t i o n .

e

p

R a d i a t i o n i s l e s s i n t e n s e a l m o s t u n p o l a r i z e d v e r y a t s p e c t r u m i n r a d i o t h e r m a l i n X r a y P l a n c k l i k e .

typical radio:typical X-ray:

e/0

log

0.1

2.5

Ilog

U s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h h o t g a s X r a y s f r o m c l u s t e r s o f g a l a x i e s H I I r e g i o n s s u r f a c e o f s u n .

B r e m s s t r a h l u n g i s u s u a l l y a s s o c i a t e d w i t h h o t g a s X r a y s f r o m c l u s t e r s

o f g a l a x i e s H I I r e g i o n s o r t h e s u r f a c e o f t h e S u n e . g .

S y n c h r o t r o n r a d i a t i o n s a n d t h e r m a l b r e m s s t r a h l u n g a r e t w o o f t h e c o m

m o n c o n t i n u u m e m i s s i o n m e c h a n i s m s o f g a s . S o l i d s e . g . s u r f a c e o f t h e

E a r t h a r e d i e r e n t .

3 . 6 . 3 L i n e e m i s s i o n f r o m a t o m s

E l e c t r o n s j u m p i n g f r o m h i g h e r t o l o w e r l e v e l s i n a t o m s e m i t e x c e s s e n e r g y

a s l i n e r a d i a t i o n . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e l i n e s i n f r e q u e n c y a n d i n t e n s i t y a r e

c h a r a c t e r i s i c o f t h e c h e m i c a l e l e m e n t i n v o l v e d .

5 8


35/35

unbound states

Energy

0

e -

h =

Spectrum

S e e n f r o m h o t g a s m a y s e e l i n e s f r o m m a n y t y p e s o f a t o m s i m u l t a n e o u s l y . M o l e c u l e s a l s o m a k e l i n e s .

T h e r e a r e a l s o a b s o r p t i o n s p e c t r a r a d i a t i o n a b s o r b e d b y c o o l e r m a t e r i a l

l i n e s o r c o n t i n u u m t h e i n v e r s e p r o c e s s .

introduction to astrophysics 3

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