introduction to petroleum seismology || front matter

INTRODUCTION TOPETROLEUM SEISMOLOGY

Luc T. Ikelle

Lasse Amundsen

Investigations in Geophysics Series No. 12

Michael R. Cooper, series editor

Anthony F. Gangi, volume editor

Society of Exploration GeophysicistsTulsa, Oklahoma, USA

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ISBN 0-931830-46-X (Series)ISBN 1-56080-129-8 (Volume)

© 2005 by Society of Exploration GeophysicistsAll rights reserved. This book or parts hereof may not be reproduced in any form withoutpermission in writing from the publisher.

Published 2005

Printed in the United States of America

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Introduction to petroleum seismology / Luc T. Ikelle, Lasse Amundsen.p. cm. — (Investigations in geophysics ; no. 12)

Includes bibliographical references and index.ISBN 1-56080-129-8 (alk. paper)1. Petroleum—Prospecting. 2. Petroleum engineering. 3. Seismic waves. 4. Seismic

prospecting. 5. Petroleum—Geology. I. Ikelle, L. (Luc) II. Amundsen, Lasse, 1957-III.Series.

TN271.P4I65 2005622'.1828–dc22

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This book is dedicated to

Caroline Ikelle, my loving and caring wife—Luc T. Ikelle

Eli Reisaeter, Christine, and Birgitte, my loving family—Lasse Amundsen

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wishes to thank the following for their generous contributions to

Introduction to Petroleum Seismology

Statoil ASA

Texas A&M University

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OVERVIEW

Chapter 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chapter 2 The Relationship between Propagation of Seismic Waves and Particle Motionsin Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapter 3 Partition of Energy at an Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Chapter 4 The Fourier Representation of Seismic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Chapter 5 Characterization of Seismic Signals by Statistical Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Chapter 6 The Concepts of Reciprocity and Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Chapter 7 Acquisition Geometries and Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Chapter 8 Wavefield Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Chapter 9 Wavefield Decomposition into P- and S-waves and Upgoingand Downgoing Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Chapter 10 Multiple Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Chapter 11 An Example of an Inverse Problem: Linearized Seismic Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Chapter 12 Anisotropy and Beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Appendix A Some Terminology of Petroleum Geology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Appendix B Velocities and Densities of Reservoir Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Appendix C A Review of Finite-difference Modeling: Explicit Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

Appendix D Definitions of Some of the Integral Transforms Used in Petroleum Seismology . . . . . . . . . . . . 641

Appendix E 3D-to-2D Transformation and 2D-to-3D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Appendix F A Derivation of the Linearized Forward Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

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TABLE OF CONTENTS

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xixAcknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiAbout the Authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii

Chapter 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

The “Bottom Line” of Petroleum Seismology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Petroleum Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1How Does Petroleum Seismology Work? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Challenges of Petroleum Seismology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exploring for Stratigraphic Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exploring the Subsalt Stratigraphic Column . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exploring the Subbasalt Stratigraphic Column . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Environmental Challenges of Exploring the Arctic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Exploring for Gas Hydrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Petroleum Seismologists in Production of Oil and Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Technological Advances outside the E&P Industry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Technological Advances inside the E&P Industry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Instrumented Oil Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Measurement while Drilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Reservoir Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Box 1.1 Marine Electromagnetic Surveying for Hydrocarbon Detection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

The Scope of this Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chapter 2 The Relationship between Propagation of Seismic Waves and Particle Motionsin Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

An Example of Wave Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17The Assumption of a Continuous Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Continuous and Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Particle Positions and Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Homogeneous Media and Heterogeneous Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Internal Forces (Stresses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20The Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Box 2.1 Scalar Product and Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Examples of Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Box 2.2 Conventions of Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Abbreviated Notation of the Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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Box 2.3 Change of Orthonormal Basis: Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Box 2.4 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

The Stress Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Box 2.5 Changes of Orthonormal Basis (Stress Tensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Principal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Particle Displacement and Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Particle Displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Abbreviated Notation of the Strain Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Examples of Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Example 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Example 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Linear Elasticity (Hooke’s Law): General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Hooke’s Law with Abbreviated Tensor Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Box 2.6 Change of Orthonormal Basis (Stiffness Tensor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Linear Elasticity (Hooke’s Law): Isotropic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Physical Interpretation of Elastic Moduli for an Isotropic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Equations of Elastodynamic Wave Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Newton’s Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Elastic Waves: P-waves and S-waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Box 2.7 Helmholtz Decomposition of Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Box 2.8 Plane Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Parameters of Isotropic, Elastic Rock Formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Relating Elastic Parameters to Petrophysical Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Sources of Seismic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Definition of Sources in the Context of Petroleum Seismology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Equations of Wave Motion and the Generalized Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Examples of Seismic-wave Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Geometric Spreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Box 2.9 Another Form of the Equations of Wave Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Box 2.10 Acoustic Equations of Wave Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Box 2.11 The Equivalence Fluid Model for P-waves in a Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Isotropy, Anisotropy, Homogeneity, and Heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Exercises in Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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viii Table of Contents

Chapter 3 Partition of Energy at an Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Huygens’ Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Fermat’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Snell’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Reflection and Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Snell’s Law: Fluid-fluid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Snell’s Law: Solid-solid and Fluid-solid Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Snell’s Law: Air-water and Air-solid Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

What is a free surface? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Snell’s law at the free surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Traveltime Equations for a Horizontal Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Direct Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Refracted Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Reflected P-P and S-S Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74P-S Converted Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Conversion Point Offset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Box 3.1 Traveltime in 1D Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Turning Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Variation of Linear Velocity with Depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Box 3.2 The Notion of rms Velocity for 1D Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Box 3.3 Dix’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Boundary Conditions for the Elastodynamic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Solid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Fluid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Vacuum-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Fluid-fluid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

From elastodynamic to acoustic fields: A brief background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Boundary conditions at the interface between two fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Interface between Vacuum and Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Zoeppritz’s Equations for a Horizontal Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Zoeppritz’s Equations: Solid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Reflection and transmission coefficients for a downward-traveling incident P-wave . . . . . . . . . . . . . 89Special case: µ constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Special case: VS and ρ constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Special case: Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Reflection and transmission coefficients for a downward-traveling incident SV-wave . . . . . . . . . . . . 91Reflection and transmission coefficients for incident waves from below . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Zoeppritz’s Equations: Fluid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Box 3.4 R/T Coefficients in Terms of Slowness: Solid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Zoeppritz’s Equations: Vacuum-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Zoeppritz’s Equations: Fluid-fluid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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Table of Contents ix

Box 3.5 R/T Coefficients in Terms of Slowness: Fluid-solid Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Reflection and Transmission Coefficients for the Energy of Seismic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Oblique incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Example 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Example 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Surface Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Motivations for Studying Surface Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Evanescent Plane Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Phase Velocity of Scholte and Rayleigh Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Rayleigh waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Scholte waves: A fluid half-space on a solid half-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Scholte waves: A fluid layer above a solid half-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Surface-wave Particle Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Linearized Zoeppritz’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Matrix Form of Zoeppritz’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Linearized Versions of Reflection Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Application to AVA Analysis: P-P Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Box 3.6 Some Probable Values of Reflection Coefficients at Normal Incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Application to AVA Analysis: P-P and P-S Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Dipping Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Traveltime Equation for Refracted Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Traveltime Equation for Reflected Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Diffractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118An Illustration of Diffractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Traveltime Equation for Refracted Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Traveltime Equation for Reflected Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Exercises in Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Chapter 4 The Fourier Representation of Seismic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Signals and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Box 4.1 Periodic and Transient Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

The Cosine Wave: Concept of Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A Useful Form of Cosine Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

The Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Basis Representation for Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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x Table of Contents

Box 4.2 Orthonormal Basis of the Space of Signals: The Vector Space Analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

The Fourier Series: General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132The Fourier Series: Even and Odd Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Example 1: The Fourier Series of Sawtooth Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Example 2: The Fourier Series of Square Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138The Fourier Transform of Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139The Fourier Transform of a Nonperiodic Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Box 4.3 Fourier Transform and Square Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Example 1: The Fourier Transform of the Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Box 4.4 Nyquist Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Example 2: The Fourier Transform of a Symmetrical Rectangular Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143The Multidimensional Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Sampling Theorem and Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Discrete Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Reconstruction of the Continuous Signal from its Discrete Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148The Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Some Properties of the Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Definition of the Impulse Response of a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Examples of the Impulse Response of a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Convolution Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Example 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Convolution Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Seismic Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Basic Terminology of Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Inverse Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159An Example of Inverse Filters: Multiple Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A Limitation of the Effectiveness of the Fourier Transform Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Examples of Nonstationary Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Example: A signal with impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Example: A quadratic chirp signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Example: A signal with a shutdown period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

The Windowed Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Example: A signal with impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

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Example: A quadratic chirp signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168The Wavelet Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169An Example of the Wavelet Transform of Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Quadratic (Nonlinear) Time-frequency Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Box 4.5 The Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


Chapter 5 Characterization of Seismic Signals by Statistical Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Examples of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Probability Density Functions and Characteristic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Probability density functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Characteristic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Moments and Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Central moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Joint Moments and Joint Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Linear Regression: An Application of Joint Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Statistics of the Optimization Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Box 5.1 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Seismic Imaging and Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Stochastic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Moments and Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Polyspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Cross-cumulants and their Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Cross-cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Cross-cumulant spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Examples of Calculations of Cumulants, Cross-cumulants, Polyspectra, and Cross-cumulant Spectra 201Example 1: Quadratic phase coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Example 2: Non-Gaussian signal applied to a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Example 3: Gaussian signal applied to a nonlinear Volterra system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Deterministic Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Moments, Cross-moments, and their Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Examples of Calculations of Moments, Cross-moments, and their Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Example 4: Time delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Example 5: Minimum-, maximum-, and mixed-phase signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Box 5.2 Similarities between Crosscorrelation and Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Application of Autocorrelation to Ghost Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Ghost Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214A Mathematical Derivation of the Autocorrelation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Application of Crosscorrelation and Bicoherence Correlation to Moveout Correction . . . . . . . . . . . . . . . . 216Data Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Moveout Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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xii Table of Contents

Box 5.3 Definition of Bicoherence Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Some Differences between Second- and Third-order Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Second-order statistics: Crosscorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Second-order statistics: Coherence correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Third-order techniques: Bispectral correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Third-order techniques: Bicoherence correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

More Insight into Second- and Third-order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Time Delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Normalized Third-order Cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Coherence correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Bispectral correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Seismic Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Wiener-Hopf Equations and the Quadratic Volterra Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Convolution as a Matrix Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228The Method of Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Quadratic Volterra Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Box 5.4 The Concept of Signal-to-Noise Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230


Chapter 6 The Concepts of Reciprocity and Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Time-domain Green’s Functions in Unbounded Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Acoustic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Solving for pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Analytic solutions for a homogeneous medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Elastic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Solving for displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Analytic solutions for a homogeneous medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Frequency-domain Green’s Functions in Unbounded Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Acoustic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Solving for pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Analytic solutions for a homogeneous medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Elastic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Solving for displacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Analytic solution for a homogeneous medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Rayleigh’s Reciprocity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Box 6.1 Divergence Theorem (Gauss’s Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Special Cases of Acoustic Reciprocity for Identical Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Box 6.2 Application of Equation (6.68) to Towed-streamer Acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Lippmann-Schwinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Marine-source Radiation-pattern Determination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

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Betti-Rayleigh’s Reciprocity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Box 6.3 Derivation of Lippmann-Schwinger Equation Using the Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . 245

Special Cases of Elastic Reciprocity for Identical Unbounded Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Reciprocity of particle velocity for point forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Reciprocity of strain for stress-point sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Reciprocity of stress for strain-point sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Reciprocity for P-wave source and force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249


Chapter 7 Acquisition Geometries and Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Seismic Acquisition in Water and in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Marine Towed-streamer Seismics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Acquisition Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Box 7.1 The Superposition Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Shot and Receiver Gathers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Common-midpoint and Common-offset Gathers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Out-of-plane Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Swell Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Measurement of Particle Velocity in Towed-streamer Acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

Box 7.2 Displaying Seismic Data: Amplitude Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Ocean-bottom Seismics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Acquisition Geometry: 4C-OBS Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Ocean-bottom Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Direct waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Receiver ghosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275The dominant converted shear-wave reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275PZ data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Brief History of Marine 4C-OBS Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Some Benefits of 4C Technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Imaging below gas-invaded sediments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Imaging under salt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Imaging of reservoirs with low P-wave reflectivity but high PS-wave reflectivity . . . . . . . . . . . . . . . 280Quantification of amplitude anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Quantitative VP/VS velocity ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Overpressured zones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Anisotropy: Fractured reservoirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Reservoir monitoring (4D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Imaging of complex structures by multiazimuth, true 3D surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Box 7.3 4D Seismic Monitoring of a Subsurface CO2 Repository . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

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Land-surface Seismics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Contrasting Land and Marine Acquisitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Explosive Sources (Dynamite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Vibroseis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Land Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Ground roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Transition Zones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Box 7.4 Scholte Waves Recorded on the Seafloor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Borehole Seismics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296VSP Acquisition Geometries and Borehole Seismic Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Check shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Zero-offset VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Offset VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Walkaway VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Walkabove VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Drill-noise VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Salt-proximity VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Shear-wave VSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

3D VSPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Through-tubing VSPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Tube Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Vertical Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Marine VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Potential Impact of Land VC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VC data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Resolution of VC data versus surface data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310


Chapter 8 Wavefield Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Plane Waves and the 2D Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Apparent Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Wavenumber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172D Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Example 1: 2D Fourier Transform of the Rectangle Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Example 2: 2D Fourier Transform of an Event with Linear Moveout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Properties of 2D Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Discrete 2D Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Box 8.1 Dispersion, Phase Velocities, and Group Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Criteria of Uniform Spatial Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Energy Distribution in the f -k Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Sampling Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Spatial Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

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Dip Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329An Application of Dip Filtering to Multiple Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330An Application of Dip Filtering to Up-down Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Spatial Resampling Based on a Hardwired Array Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Definition of Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Impulse Responses of Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Wavenumber Response of Arrays: General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Ideal wavenumber response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Wavenumber response of an array with an odd number of elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Wavenumber response of an array with an even number of elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Wavenumber Response of Equally Weighted Line Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Wavenumber Response of Nonuniformly Weighted Line Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Nonuniform line arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Areal arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Wavenumber Response of a Combination of Source and Receiver Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Array System Designed as an Antialiasing Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Array System Designed as a Surface-noise Suppressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Sensitivity of Array Summation to Sensor Dropouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Spatial Resampling Based on Adaptive Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350Single-sensor Recordings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350What Is Beamforming? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351A Formulation of Beamforming as a Variant of the Wiener Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Linearly Constrained Adaptive Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354An Example of Swell-noise Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Box 8.2 Crossline Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553D Wavefield Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356The Multisource and Multistreamer Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356


Chapter 9 Wavefield Decomposition into P- and S-waves and Upgoing and Downgoing Waves . . . . . . 361

The Concept of Decomposition into P- and S-wave Arrivals (P/S) and Total Upgoing andDowngoing Waves (U/D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Definitions of P- and S-wave and Upgoing and Downgoing Wave Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 361The Benefit of Multicomponent Recordings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Derivation of P/S and U/D Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367The Matrix-vector Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Decomposition of the Particle-velocity Vertical-traction Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Box 9.1 The Matrix-vector Differential Equation (9.14) for a Special Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Upgoing and Downgoing P- and S-wave Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Total Upgoing and Downgoing Wave Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Total P- and S-wave Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Box 9.2 Relationship between Vertical-traction and Particle-velocity Vectors for Purely Upgoing orPurely Downgoing Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

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xvi Table of Contents

Application of P/S and U/D Decomposition to 4C OBS Recordings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Upgoing and Downgoing P- and S-wave Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Total P- and S-wave Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378U/D Decomposition Just below the Seafloor as a Demultiple Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Horizontal components of the particle velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380Vertical component of the particle velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Demultiple process as a function of angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Acoustic Wavefield Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Application of U/D Decomposition to Towed-streamer Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Box 9.3 Reflection and Transmission from a Generalized Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Box 9.4 The Relationship between Downgoing Field Components below the Seafloor . . . . . . . . . . . . . 388

Application of U/D Decomposition to VC Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Application of U/D Decomposition to Snapshots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Exercises in Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Chapter 10 Multiple Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Multiple Attenuation: Towed-streamer Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395The Exercise of Constructing Free-surface Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395The Representation Theorem and the Kirchhoff Scattering Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

The integral relationship between data containing multiples and data without multiples . . . . . . . . . . 397Extrapolation of the vertical component of the particle velocity from the receiver positions to

the sea surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Box 10.1 Formulating the Representation Theorem to Predict Data Containing Multiples . . . . . . . . . . 401

Box 10.2 Another Choice for the Surface Integral in the Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 402

A Kirchhoff Scattering Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402A Physical Interpretation of the Kirchhoff Scattering Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

The pressure field and the vertical component of particle velocity without ghosts and withoutdirect waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

The pressure field with ghosts and direct waves, and the vertical component of theparticle velocity without ghosts and without direct waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Both the pressure field and the vertical component of the particle velocity with ghosts anddirect-wave arrivals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Box 10.3 Some Basic Taylor Series Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Box 10.4 The Two-reflector Problem in Towed-streamer Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Box 10.5 Computing Particle Velocity from Pressure Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

Estimation of the Inverse Source Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

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Box 10.6 Extrapolation of Missing Near Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Barents Sea Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Troll Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419Pluto 1.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Multiple Attenuation: OBS and VC Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423The Representation Theorem and the Kirchhoff Scattering Series for OBS Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423A Physical Interpretation of the Kirchhoff Scattering Series for OBS Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Box 10.7 The Two-reflector Problem in OBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

An Optimization of the Kirchhoff Series for the OBS Demultiple Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429A Synthetic Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430The Demultiple Process for VC Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435


Chapter 11 An Example of an Inverse Problem: Linearized Seismic Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

A Multiple-step Inversion Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Basic Components of an Inverse Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Nonuniqueness, Instabilities, Convergence, Uncertainties, and Cost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446A Multiple-step Approach to the Seismic Inverse Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Key Assumptions of our Example of an Inverse Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449The Born Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Solving the forward problem, on the basis of the finite-difference technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Solving the forward problem on the basis of the Born approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450Smooth-background medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

An Illustration of the Limitations of the Born Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452Straight-ray Approximation: Hyperbolic and Nonhyperbolic Moveouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456An Optimal Data Set: The Common-azimuthal-section Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Box 11.1 The Born Scattering Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Box 11.2 The Kirchhoff Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

An Example of a Linearized Forward Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465A Physical Interpretation of the Linearized Forward Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Geometric spreading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Traveltimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467Amplitude variations with angles (AVA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

A Numerical Illustration of Out-of-plane Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Box 11.3 Linearized Forward Problem for P-P Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Scattered Wavefield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469AVA Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Box 11.4 Linearized Forward Problem for P-S Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

An Example of a Linearized Inversion Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473A Compact Notation for the Forward Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

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Data-fitting Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Norms and criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Constrained least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

A Derivation of the Least-squares Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480A Physical Interpretation of the Least-squares Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482The Hessian Matrix and its Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Spatial Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

Box 11.5 Covariance Operator in the f -k Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Box 11.6 Scalar Products and Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

Linearized Inversion and AVA Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Preprocessing by AVA Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492What Is Migration? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Poststack Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Dip-moveout (DMO) plus stack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493Normal moveout (NMO) plus stack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4952D prestack f -k migation plus zero-offset f -k migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Time Imaging and Depth Imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495Time imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Box 11.7 f -k Migration and Stolt’s Time Stretch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Depth imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497Models for Estimating Background Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Linking the Imaging Requirements with the Background-velocity Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500Velocity Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501Velocity-migration Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Velocity Building . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Creating an initial-velocity model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503Iterative process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Imaging Receiver Ghosts of Primaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Box 11.8 The Eikonal Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

Box 11.9 Semblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510


Chapter 12 Anisotropy and Beyond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Wave Propagation through 2D Random Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519Description of Random Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

Setting up the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519Elliptical correlation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Other Evidences of Anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520Seismic Coda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

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Seismic Pulse-broadening Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525Scattering Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

Box 12.1 Backus’ VTI-equivalent Medium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

Anisotropic Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

Stiffness tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530Small-scale heterogeneity arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

Transversely Isotropic Media with a Vertical Symmetry Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530Stiffness tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Wave propagation in a homogeneous-VTI medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Box 12.2 Quasicompressional and Quasishear Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Transversely Isotropic Media with a Horizontal Symmetry Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Stiffness tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Wave propagation in a homogeneous-HTI medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

Transversely Isotropic Media with a Tilted Symmetry Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Orthorhombic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

Stiffness tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Wave propagation in a homogeneous orthorhombic medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

Monoclinic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540Stiffness tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540Wave propagation in a homogeneous monoclinic medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

The Alford Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544A 2 × 2C Experiment (XX, XY , YX, and YY Experiment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Mathematics of Shear-wave Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545A Numerical Illustration of the Alford Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547A Shear Sonic-log Application of the Alford Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

Box 12.3 A Brief Review of the Principles of Sonic-log Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

Phase Velocity as a Function of Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Box 12.4 The Christoffel Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

Box 12.5 Phase and Group Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

Thomsen’s Parameterization for VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558qP-wave Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561qS1- and qS2-wave Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

Box 12.6 Equation of Vertical Slowness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565Slowness Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Dispersion Relationships for Anisotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566The Dispersion Relationship for qP-waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567The Dispersion Relationship for qS-waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

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Applying the Dispersion Relationship for Phase-shift Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571Common-azimuthal section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571Phase-shift migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

Zoeppritz’s Equations for Anisotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Up-down Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Schoenberg and Protázio’s Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

Box 12.7 Linearized Reflection Coefficients for VTI Half-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

Box 12.8 Vertical Wavenumbers, Polarization Vectors, and Slowness Vectors in Isotropic Media . . . . 575

Amplitude Variations with Offsets and Azimuths (AVO-A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577AVO-A Derivation and Analysis for P-P Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Dip and azimuthal angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577Decoupling of AVAZ and AVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578Heterogeneity versus anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581AVO-A analysis for inversion purposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

AVO-A Derivation and Analysis for P-SV Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Dip and azimuthal angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Decoupling of AVAZ and AVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585Heterogeneity versus anisotropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588AVO-A analysis for inversion purposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

AVO-A Derivation and Analysis for P-SH Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590Dip and azimuthal angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590Decoupling of AVAZ and AVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590AVO-A analysis for inversion purposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

AVO-A of a Horizontally Flat Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593Sensitivity of AVO-A to Properties of Fractured Rock Formations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

Linear Anelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598Geometric Spreading and the Concept of Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Box 12.9 Relationships of the Phase Velocity and the Quality Factor with Complex Moduli . . . . . . . . 599

The Maxwell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601The Kelvin-Voigt Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603The Standard Linear Solid Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603The Constant-Q Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

Box 12.10 Models of Linear Attenuation: A 3D Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Perfect Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Elasticity with Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Standard Linear Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

P-wave and S-wave Drifts: An Interplay of Anisotropy and Anelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606Anisotropy Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608Intrinsic Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608Lateral Inhomogeneity Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

Box 12.11 Intrinsic Attenuation and Scattering Attenuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611


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Appendix A Some Terminology of Petroleum Geology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Appendix B Velocities and Densities of Reservoir Fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

Appendix C A Review of Finite-difference Modeling: Explicit Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

Basic Equations for Elastodynamic Wave Motion in Elastic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623Discretization in Both Time and Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Staggered-grid Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Stability of the Staggered-grid Finite-difference Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625Grid Dispersion in Finite-difference Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6263D Elastic Finite-difference Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

Box C.1 Implicit Finite-difference Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

Appendix D Definitions of Some of the Integral Transforms Used in Petroleum Seismology . . . . . . . . . 641

The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641The Mellin Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642The Hartley Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642The nth-order Hankel Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642The Hilbert Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

Analytic Function and Instantaneous Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643The Radon Transform in Petroleum Seismology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

The Abel Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645More on Abel Transform Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

On the Discrete Fast Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646On the Numerical Implementation of the Triangle Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

Appendix E 3D-to-2D Transformation and 2D-to-3D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Explosive Point Source in an Acoustic or Elastic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649Plane-wave Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6493D-to-2D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6502D-to-3D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

Point Force in an Elastic Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6513D-to-2D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6522D-to-3D Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

Appendix F A Derivation of the Linearized Forward Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654Midpoint and Half-offset Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6553D Acquisition Geometry as a Series of 2D Multioffset Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

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PREFACE

Seismology is a branch of geophysics that aimsfor the understanding of earth’s interior, through theanalysis of ground motion.

The science of seismology began with study of nat-urally occurring earthquakes. Seismologists soon foundthat seismic waves produced by earthquakes containedvaluable information about earth’s interior (crust, man-tle, and core). Later they discovered that similar butmuch weaker man-made seismic waves could be usedto interpret the shallow structure of earth, to locate min-erals, water, and petroleum resources. Thus, a specialbranch of seismology known as petroleum seismology1

and the associated seismic exploration industry wereborn. To distinguish between petroleum seismology andthe study of naturally occurring earthquakes, we willcall the latter earthquake seismology.

Although both branches of seismology are basedon study of the generation, propagation, and record-ing of elastic waves in the earth and of the sourcesthat produce them, the job of a petroleum seismol-ogist differs significantly from that of an earthquakeseismologist. The advent of 3D seismics — which canproduce an enormous amount of detail about subsurfacegeology and hydrocarbon reservoirs — has changed thejob profile of a petroleum seismologist tremendously.No longer isolated to the domain of academic, post-doctoral, or postgraduate researchers or of similarlytrained specialists in research centers of the oil and gasindustry, petroleum seismologists are widely acceptedtoday as key players in finding petroleum traps and evenproducing oil and gas more efficiently from complexreservoirs.

In their new role, petroleum seismologists interactwith computer scientists, signal processors, petroleumengineers, geologists, and others whose concerns in-clude the simulation, monitoring, and controlling ofprocesses critical to efficient exploration for and pro-duction from of petroleum reservoirs. Consequently,the basic background requirements for petroleum seis-mologists have changed also. They no longer can beassimilated with those of earthquake seismologists, aswas once the case at many universities. To accommo-date these changes, most geoscience programs world-

1 We elect to use the term petroleum seismology rather than explorationseismology, to emphasize that this science is no longer limited exclusivelyto exploration but is used to enhance oil and gas recovery also.

wide have modified their curricula. However, textbooksto accompany the ever-changing field of petroleumseismology are very limited; Exploration Seismology(Sheriff and Geldart, 1982, revised 1992) is one of thefew examples. We hope our book will add significantlyto the achievements of Sheriff and Geldart.

This book is derived from lectures given to seniorundergraduate and first-year graduate students at TexasA&M University (U.S.A.) and to graduate classes atthe Norwegian University of Science and Technologyfrom 1998 to 2003. We have tried to provide stu-dents with the basic theoretical background needed totackle challenges of petroleum seismology, especiallythose related to seismic data acquisition and process-ing, to reservoir characterization, and to monitoring ofoil recovery based on sensors permanently positionedat the seafloor (4D seismics). Most existing textbooksand syllabi related to petroleum seismology focus on theprocessing of P-wave energy. In this book, we includea background for processing S-wave energy in additionto that of processing P-wave energy, as emerging tech-nologies. Ocean-bottom seismic (OBS) potentially willprovide better access to S-wave energy, therefore lead-ing to better characterizations of reservoirs. We usedthis basic background to introduce state-of-the-art tech-nology and to discuss possible solutions to some of theemerging challenges of petroleum seismology.

We further emphasize that our goal is to providereaders with the basic background needed to tackle notonly present challenges of petroleum seismology butalso some foreseeable challenges. The field is spannedfully by several excellent solution-driven texts that ourreaders can use as specialized applications: Castagnaand Backus, 1993; Evans, 1997; Pieuchot, 1984; Sprad-ley, 1984; Stolt and Benson, 1986; Tarantola, 1987;Toksöz and Johnston, 1981; and Yilmaz, 1987, 2001.

The background required for effective reading ofthis book consists of the typical freshman/sophomorecourses in calculus, elementary differential equations,and geology. It is also helpful but not necessary to havehad some exposure to physics.

One of the key features of this book is the useof finite-difference modeling (FDM) to simulate wavepropagation and to generate and analyze seismic data.The finite-difference modeling provides the reader withthe opportunity to verify theory and to experiment withapplications of the techniques studied. For example, inChapter 2, an FDM simulation of wave propagation

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Preface xxiii

is presented to give some concreteness to the basicidea that a pressure source in a homogeneous, isotropicmedium can produce only compressional waves.

Another feature is the inclusion of a wide range ofexamples and problems drawn from different aspectsof petroleum seismology, including survey design, data

acquisition, and processing. More than 100 problemsare included.

We are indebted to those students who have enduredpreliminary versions of this material, and we invite themto replace those with this updated presentation of coursematerial.

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ACKNOWLEDGMENTS

A project such as this cannot be undertaken with-out the help and cooperation of many professionalcolleagues and graduate students. It is impossible toname and sufficiently thank everyone who has helpedus to mature our insights in petroleum seismologythrough numerous discussions during many years. Sev-eral people have contributed directly to this book bycritically reading and commenting on selected chap-ters or sections or by offering figures that have beenincluded. In alphabetical order, they are Børge Arntsen,Anthony T. Buller, Juan Carcuz, Anthony Gangi, KaiHsu, Alexander Kritski, Nick Moldevanu, Are Osen,Erik Skjetne, Andre Tran, and Ryan Wilson.

We would particularly like to record our gratitudeto Anthony Gangi, SEG volume editor of this book, fora critical review of an early version of the manuscriptand subsequently for giving us many helpful commentsand suggestions. In particular, we have rewritten Boxes3.1, 3.2, and 11.8 based on his suggestions.

We also thank Kai Hsu for helping us gain moreinsight into his past work on P-wave and S-wave drifts.His assistance was especially useful because the materi-als in the public domain related to his work on drifts arestill limited to an SEG expanded abstract. We are alsograteful that he provided us with high-quality figures.

We extend our gratitude to Carmen Aroztegui Mas-sera and Amitava Sinharay for assistance in preparingsome figures.

We are indebted to CGG, ChevronTexaco, Conoco-Phillips, PGS, Read Well Services, Schlumberger,Statoil, and Veritas for permission to reproduce certainfigures in the text. We are also indebted to ExxonMobil

for permission to reproduce some examples of theFourier series in Chapter 4 and of the array impulseresponses in Chapter 8.

We express our gratitude to Gary F. Stewart, SharonMason, and Anne H. Thomas for copy editing and to allof them and Sue Coffman for their meticulous efforts inproofreading the book. It was a great pleasure to workwith them.

We thank our publisher, SEG, especially MichaelCooper (Investigation in Geophysics Series editor),Ted Bakamjian, (director of publications), RowenaMills (manager of Geophysics, books, and digitalpublications), William D. Underwood, Linda Adams,and Julie Colley for their encouragement and all theirbehind-the-scenes efforts on this book project.

Luc Ikelle is deeply grateful to Albert Tarantola andRaul Madariaga. Tarantola invited Ikelle to his groupin the mid-1980s and introduced him to the excitingfield of inverse scattering theory, to which Tarantola hasmade substantial contributions. Madariaga introducedIkelle to finite-difference modeling and to asymptotictechniques that play a key role in petroleum seismology.

Our research in petroleum seismology during thetwo years when we were writing this book was sup-ported by Statoil, the Center for Automated SeismicProcessing (CASP), and the Texas Advanced ResearchProgram under Grant No. 010366-0235-1999.

— Luc T. Ikelle— Lasse Amundsen

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ABOUT THE AUTHORS

Luc T. Ikelle is Robert R. Berg Professor in the Department of Geology andGeophysics and director of the Center of Automated Seismic Processing at Texas A&MUniversity. Earlier, he worked at Cray Research Inc. in Minneapolis, developing 3D seis-mic inversion algorithms for CRAY Y-MP. From 1988 to 1997, he worked as a scientist atSchlumberger Geco-Prakla, Schlumberger Doll Research, and Schlumberger CambridgeResearch.

Ikelle earned a Diplôme d’Études Approfondies and a Ph.D. in geophysics and geo-chemistry from Paris 7 University in France. He received Le Prix de These du CNRSin 1986 for his Ph.D. thesis. His research interests include looking at ways of automat-ing seismic data processing for reservoir definition and monitoring. He is coeditor ofAnisotropy 2000: Fractures, Converted Waves, and Case Studies and is a member ofAGU, EAGE, and SEG.

Lasse Amundsen is geophysical adviser at Statoil ASA and adjunct professor inthe Department of Petroleum Technology and Applied Geophysics at the NorwegianUniversity of Science and Technology (NTNU). From 1983 to 1991, he worked as ageophysicist with GECO and SINTEF Petroleum Research.

Amundsen holds M.Sc. and Ph.D. degrees in physics from NTNU and received theNorwegian Geophysical Prize in 2002. His current research deals with the theory of wavepropagation in acoustic, elastodynamic, and electromagnetic media, with application togeophysical problems. He is a member of SEG and EAGE.

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introduction to petroleum seismology || front matter

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