inventory management (deterministic model): eoq models and extensions
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Inventory Management (Deterministic Model): EOQ Models and Extensions. Prof. Dr. Jinxing Xie Department of Mathematical Sciences Tsinghua University, Beijing 100084, China http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie Email: [email protected] Voice: (86-10)62787812 Fax: (86-10)62785847 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Inventory Management (Deterministic Model): EOQ Models and Extensions
Prof. Dr. Jinxing Xie
Department of Mathematical Sciences
Tsinghua University, Beijing 100084, China
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie
Email: [email protected]
Voice: (86-10)62787812 Fax: (86-10)62785847
Office: Rm. 1202, New Science Building
2
Inventory Cycle inventory
Exists in a supply chain because different stages exploit economics of scale to lower the total cost
Safety inventory Is carried because demand forecasts are uncertain
and a product shortage may result if actual demand exceeds the actual demand
Other inventory Deals with price fluctuations, etc.
3
库存费用在不同的领域中所占的比重
其它 (12.0%)
农业(8.7%)
制造业(36.4%)
批发商(20.8%)
零售商(22.2%)
要解决的问题要解决的问题• 什么时候发出订货?• 每次应订多少货?
4
库存系统特征
( 库存模型分类)
系统结构 Single stage Multi-stage (echelon): serial, in-tree, out-tree
需求( demand ) 确定性 不确定性
计划期( planning horizon) Single period Finite periods Infinite periods
供货提前期( leadtime) 确定性 不确定性
库存监控方式 (monitoring) 连续盘点 (continuous review) 周期盘点 (periodic review)
缺货 (shortage/stockout) 处理方式 Backlogging (backorder) Lost sales
其他
5
相关成本持货费用 (inventory holding / carrying cost):
与库存量成正比。 c :每件物品的价值I:年利率或其他因素 h :每件物品的年持货费用
则下述关系成立Ich
6
相关成本持货费用 :
一个有趣的问题:当库存量随着时间而变时,如何计算持货费用?
I(t)
tt1 t2
t1至t2 期间的平均库存水平
7
相关成本订购成本 (ordering cost) :
该项成本包含两部分:固定费用 换订成本 (setup cost)
可变部分 与订购量成正比 (purchasing cost)
0
0 0
xcxK
xxC
如果如果
8
相关成本订购成本:
订购成本
斜率 = c
X
K
9
相关成本惩罚成本 (penalty cost) :
惩罚成本是由于缺货而不能满足顾客需求所造成的成本;
此项成本视缺货时的处理方式(等待和不等待)而有不同的内涵;
它应包含“信誉”方面的成本; 用符号 p 表示单位缺货所带来的惩罚成本。
10
经济订货批量模型Economic Order Quantity (EOQ)
( sometimes called EPQ, EMQ)
基本模型:
假设条件: 无穷长的计划时间 单位时间对物品的需求率为已知且为常数( Constant ) 不允许有缺货 无订货提前期 成本包括
每次订货时的换订成本为K 每单件进货成本为 c 单件物品的年持货成本为 h
11
经济订货批量(EOQ)模型基本模型:
库存
I(t
)
斜率 =
Q
T t时间
12
经济订货批量(EOQ)模型基本模型:
每一周期的进货成本
平均库存量
单位时间库存成本
cQKQC
2Q
222
hQc
Q
KhQQ
cQKhQ
T
cQKQG
13
经济订货批量(EOQ)模型基本模型:经济订货批量 (EOQ) (Harris, 1913)
h
KQ
2*
0
100
200
300
400
500
600
5 10 15 20 25 301
hQ2
KQ
G (Q )
G(Q
)
QQ *
14
经济订货批量(EOQ)模型基本模型:
从上述图中可见,最小总成本恰巧是两个分项成本的交叉点。
注意在经济订货批量Q * 的计算公式中,没有进货价格 c 。
15
经济订货批量(EOQ)模型例1:
单位时间的需求率
保管费用
换产成本
经济订货批量 EOQ
31205260
02.025.0 h
3870005.0
31201222*
h
KQ
12K
16
经济订货批量(EOQ)模型包含订货提前期时:
1.24 年
4 个月
订货开始
到货
R = 1040
Q = 3870
I(t)
t
17
经济订货批量(EOQ)模型包含订货提前期时:
0.31 周期 =0.0155 年
订货开始 到货
2.31 周期 = 0.1154 年
t
I(t)
Q = 25
R = 8
18
经济订货批量(EOQ)模型包含订货提前期时:
当 时,应用如下方法 :计算比例 将上述比例的余数乘以周期长度将上述结果乘以需求率得出再订货点
TT
19
有限生产率 (limited production rate)
斜率 = -斜率 = -
I(t)
H
T1 T2
T
t
20
有限生产率
TQ QT
1TQ QT 1
1TH 1QH
21
有限生产率
单位时间的总成本
经济订货批量EOQ (here also called EPQ or EMQ)
122
hQ
Q
KhH
T
KQG
'* 2
h
KQ
1' hh
22
按量折扣 (discount) 模型
两种可能性: 所订购的所有物品均具有相同的折扣 所订购的所有物品中,每超过一个基准量其超过部分
物品按一个新的折扣价计算
第一种模式(称其为一致折扣)更加普遍些称第二种模式为分段折扣
23
按量折扣模型例2:
书包的折扣价
QC
1000for28.0
1000500for29.0
5000for30.0
24
按量折扣模型例2:从图中可以看出,一致折扣模式似乎存在不
合理的地方,例如, 499 个书包的总成本是 149.70 元,而 500 个书包的总成本却是 145.0
C(Q)
Q500 1000
c0 = 0.30
c1 = 0.29
c2 = 0.28
25
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
针对各个折扣价格计算对应的EOQ值
40030.02.0
600822
0
0
Ic
KQ
40629.02.0
600822
1
1
Ic
KQ
41428.02.0
600822
2
2
Ic
KQ
26
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
180
190
200
210
220
230
240
G0(Q)
G1(Q)
G2(Q)
G(Q
)
Q
27
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
因为 5004000 , 0Q 是有效的。 然而,无论 1Q 还是 2Q 均为无效( 1Q 应当在 500 至 1000 之间才算有效, 2Q 应当在大于等于 1000 才算有效。)
28
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
有三个值可以作为最优解的候选者: 400, 500 和 1000 。单位时间的成本函数如下
2 and 1, 0,for 2
jQIc
Q
KcQG j
jj
29
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
QQG
QQG
QQG
QC
1000for
1000500for
5000for
2
1
0
00.204$240030.02.0400860030.0600400400 0 GG
10.198$250029.02.0500860029.0600500500 1 GG
80.200$2100028.02.01000860028.060010001000 2 GG
30
按量折扣模型一致折扣模式下的最优订货策略:
小结: 确定最大的有效的 EOQ 值 比较此最大 EOQ 处的成本值与大于此 EOQ 值的各
折扣价格点处的成本值,确定最优解。
31
按量折扣模型分段折扣
C(Q)
Q500 1000
c0 = 0.30
c1 = 0.29
c2 = 0.28
150
295
32
按量折扣模型分段折扣模型:
单位时间平均成本函数
2
Q
Q
QCI
Q
K
Q
QCQG
Q
Q
QC
1000for15
28.0
1000500for5
29.0
5000for30.0
QQQ
QQQ
QC
1000for28.015100028.0295
1000500for29.0550029.0150
5000for30.0
33
按量折扣模型分段折扣模型:
200
202
204
206
208
210
212
214
216
218
200
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Q
G(Q
)
34
按量折扣模型分段折扣模型:
2
30.020.0600830.06000
Q
QQG
40030.02.0
600822
0
0
Ic
KQ
35
按量折扣模型分段折扣模型:
2
520.0
229.020.0
6001360029.0
2
529.020.0
6008529.06001
Q
Q
Q
QQQQG
51929.02.0
6001321
Q
36
按量折扣模型分段折扣模型:
2
1520.0
228.020.0
6002360028.0
2
1528.020.0
60081528.06002
Q
Q
Q
QQQQG
70228.02.0
6002322
Q
37
按量折扣模型分段折扣模型:
和 均为有效值 ; 因为 ,所以 为无效值。最优解可通过比较 和 的大小而获得。
0Q 1Q 2Q 10002 Q
00 QG 1
1 QG
00204$00 .QG
58.204$11 QG
38
按量折扣模型分段折扣模型:
小结 对于每个价格区间,确定其对应的成本代数表达式 将 的表达式代入 表达式中 从上一步中确定最小的有效值(即落在正确的区间中)
QC
QQC QG
39
按量折扣模型其它折扣模式:
斜率 = c
斜率 = c
QM M
C(Q)
40
资源受限时多品种库存系统例3:
商店在进货方面的总投入 ( 仅考虑可变成本 ) 不超 过 : 30000 元 ( 包 括 固 定 成 本 不 超 过 33000 元)
品目 1 2 3
需求率 j 进货价 jc
换订费 jK
1850
50
100
1150
350
150
800
85
50
假设 I = 0.25, 即 hj=0.25cj
41
资源受限时多品种库存系统解:
1725025.0
18501002EOQ1
6335025.0
11501502EOQ2
618525.0
800502EOQ3
42
资源受限时多品种库存系统解:
所需最大进货投入为 35835 元 (仅考虑可变成本 ) 。
可是总投入要求不超过 30000 元,所得的 EOQ 解违反了该约束。
因此必须减少这些批量。如何做?
43
资源受限时多品种库存系统解:
我们只需将各 EOQ 值乘以比率30000 / 35835 = 0.8372
即可。
1448372.0172*1 Q
528372.063*2 Q
518372.061*3 Q
44
资源受限时多品种库存系统
一般地,假定 n 类品目其单位成本为 c1, …, cn,
总的可利用投入为C。
CQcQcQc nn 2211
nih
K
i
iii , 1, for
2EOQ
45
资源受限时多品种库存系统两种可能性:
1)如果所得的 EOQ 解有效,则
2)如果所得的 EOQ 解违反约束条件,则
n
iii Cc
1
EOQ
n
iii Cc
1
EOQ最优解必然在等号处取得
46
资源受限时多品种库存系统
如果下列条件成立,即
n
n
h
c
h
c
h
c
2
2
1
1
imQ EOQ*
n
i iicCm1
EOQ
则可容易地获得最优解
n
iii
iiii
i
iiii
n
iii
CQcts
Qhc
Q
KQGQGMin
1
1
..
2;
可用 Lagrangean relaxation method
47
资源受限时多品种库存系统假定约束条件为库存空间约束
则该问题更复杂些( wi/hi 一般不是常数).当约束中等号成立时,可证明最优解是如下形式
( Lagrangean relaxation method)
WQwQwQw nn 2211
ii
iii wh
KQ
2
2*
48
资源受限时多品种库存系统
式中: ( Lagrangean Multiplier )值的选择应使下式成立
其具体值可通过解非线性方程得到,实际应用中也用试错法( try-and-error )来确定 ( 尤其是当要求订货量为非负整数时 ) 。
n
iii WQw
1
*
49
资源受限时多品种库存系统例4:
考虑例3中的情形。 假定可利用的存货空间为 2000 平方米。 三种货品中,每单件物品所占用的空间分别为 9 平方米 , 12 平方米 , 和 18 平方米。
50
资源受限时多品种库存系统例4:
首先,检查对应的 EOQ 是否可被满足
由此可知,可利用的空间不能满足 EOQ 的量。
3402186112639172EOQ iiw
51
资源受限时多品种库存系统例4:
第二步,对各品目计算比率 wi / hi ,它们分别是 0.72, 0.14, 和 0.85 。 由于它们不相等,我们必须确定常数值 经多次试找后, = 1.75 ,此时整数订货量
对应的空间要求为 ,满足约束条件。
92*1 Q 51*
2 Q 31*3 Q
1998* iiQw
52
其他扩展:可用类似方法处理学习效应 (learning effect) :后续产品生产成本逐渐降低
采购降格上升或下降 ( 假设规律已知 )
需求率上升或下降 ( 假设规律已知 )
通货膨胀 (inflation)
需求率与销售价格有关:考虑总利润最大
产品会过时/报废,或有挥发性或变质性( obsolescence, perishable )
53
有限生产能力下的多品种库存系统多品种生产 / 库存问题,假设由单一设备生产,设备生产能力有限
( limited capacity / production rate)
还可以考虑以下一些方面的因素: 有否 SETUP TIME (生产准备时间 / 换产占用能力) 有否资金限制 /仓库容量限制?
这时的生产 / 库存问题一般称为经济批量问题 ( ELSP : Economic Lot-Sizing Problem)
How to build the model? How to solve the model?
54
Multi-Echelon Inventory in Supply Chain
Outside supplier(s)
Central warehouse
Branch warehouse
Retail outlets
Customers
Branch warehouse
55
Two Stage Echelon Inventory
Sequential stocking points with level demand
Two-stage
process
QW
War
ehou
se in
vent
ory
leve
l
Time
Time
QR
Ret
aile
rin
vent
ory
leve
l
Actual physical inventory level at the particular location
Echelon inventory of the warehouse item
56
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
A little reflection shows that at least for the case of deterministic demand it never would make sense to have be anything but an integer multiple of .
Therefore, we can think of two alternative decision variables and n where
WQ
RQ
RQ
... 3, 2, 1, nnQQ RW
57
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
The first stage cost
The second stage cost
The total cost
rvvQ
QDA
rvQ
QDA
CCQQ WRR
R
RW
W
W
WWRRW
22,TRC
rvQ
Q
DAC R
R
R
RR 2
rvQ
rvQ
Q
DAC W
RW
W
W
WW 22
A : SETUP COST
v : VALUE
58
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
The warehouse echelon inventory is valued at
while the retailer echelon inventory is valued at only
WW vv '
WRR vvv '
59
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
The total relevant (setup plus carrying) costs per unit time are given by
= average value of the warehouse echelon inventory, in units ( =QW/2 )
= average value of the retailer echelon inventory, in units ( =QR/2 )
rvIQ
DArvI
Q
DA,QQ RR
R
RWW
W
WRW
''''TRC
'WI
'RI
60
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
Substituting from equation
and noting that the echelon stocks follow sawtooth patterns,
''
''
2
22TRC
RWRW
RR
RR
R
RWR
R
WRW
vnvrQ
n
AA
Q
D
rvQ
Q
DArvQn
nQ
DA,QQ
... 3, 2, 1, nnQQ RW
61
Two Stage Echelon Inventory
Select (an integer) and in order to minimize
Partial derivation of TRC
n RQ
''
2,TRC RW
RWR
RR vnv
rQn
AA
QD
Qn
02
TRC ''2
RWW
RRR
vnvr
nA
AQ
DQ
rvnv
Dn
AA
nQRW
WR
R
2
''*
62
Two Stage Echelon Inventory
Substitute the result into the cost equation
We recognize that the n that minimizes the simpler expression
rvnvDn
AAn RW
WR 2TRC ''*
''RW
WR vnv
n
AAnF
63
Two Stage Echelon Inventory
A convenient way is to first set
which gives
This solves for
0
nFn
0'2
''
W
WR
WRW v
nA
An
Avnv
'
'*
WR
RW
vA
vAn
64
Two Stage Echelon Inventory
Ascertain and where and are the two integers surrounding the
Whichever gives the lower value of F is the appropriate n to use (because the F function is convex in n).
1nF 2nF 1n 2n*n
65
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
Step 1 Compute
Step 2 Ascertain the two integer values, and , that surround .
'
'*
WR
RW
vA
vAn
1n2n *n
66
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
Step 3
''1
11 RW
WR vvn
n
AAnF
''2
22 RW
WR vvn
n
AAnF
121 use , If nnnFnF
221 use , If nnnFnF
67
Two Stage Echelon Inventory
Two-stage process:
Step 4
Step 5
rvnv
Dn
AA
QRW
WR
R ''
2
RW nQQ
68
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:Let us consider a particular liquid product that a firm
buys in bulk, then breaks down and repackages.
So in this case, the warehouse corresponds to the inventory prior to the repackaging operation, and the retailer corresponds to the inventory after the repackaging operation.
The demand for this item can be assumed to be essentially deterministic and level at a rate of 1000 liters per year.
69
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:The unit value of the bulk material or is
$1/liter, while the value added by the transforming (break and package) operation is $4/liter.
The fixed component of the purchase charge ( ) is $10, while the setup cost for the break and repackage operation ( ) is $15.
Finally, the estimated carrying charge is 0.24$/$/yr.
WA
RA
Wv 'Wv
WRR vvv '
70
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:
Step 1:
Step 2:
11 n
63.1115410*
n
22 n
71
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:Step 3:
that is,
Thus, use n = 2.
125411
10151
F
1204122
10152
F
21 FF
72
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:Step 4:
Step 5:
liters 167
24.0412
10002
10152
RQ
liters 3341672 WQ
73
Two Stage Echelon Inventory
Example 1:In other words, we purchase 334 liters at a
time; one-half of these or 167 liters are immediately broken and repackaged.
When these 167 (finished) liters are depleted, a second break and repackage run of 167 liters is made.
When these are depleted, we start a new cycle by again purchasing 334 liters of raw material.
74
One-warehouse N-retailer System
75
One-warehouse N-retailer System
76
One-warehouse N-retailer System
77
Summary: infinite planning horizon, deterministic constant demand case
Up to now, we focus only on EOQ single stage (single item) deterministic and static demand (not time-varying) infinite planning horizon
How about finite horizon case? Constant demand: equal cycles; or use EOQ approximation
Multiple stage: Serial System General network (e.g., assembly, distribution)
ELSP (Economic Lot-Sizing Problem): Single stage, production capacity is incorporated (single facility)
and there are multiple products