On  1)  inverting  a  12-­‐tone  row  

and  2)  creating  a  matrix  

 This  document  describes  how  to  determine  all  of  the  48  row  forms  of  a  twelve-­‐tone  row.  It  does  this  in  two  steps.  The  first  step  explains  how  to  invert  a  given  row.  The  second  explains  how  to  create  a  12  x  12  matrix  (a  matrix  is  a  repository  of  all  possible  row  forms  for  a  given  row).    1)  Inverting  a  row  Basically,  an  inversion  is  a  mirror  image.  When  we  invert  a  row,  we  take  the  interval  between  each  adjacent  pair  of  pitches  and  change  its  direction.  That’s  right.  The  thing  to  remember  is  that  when  intervals  are  inverted,  they  keep  their  value  but  change  their  direction.      Let’s  take  a  simpler  series  of  just  four  pitch  classes:  3      E      8      1  .  If  we  visualize  them  on  the  clockface,  we  should  be  able  to  find  the  shortest  distance  between  each  pair  of  pitches  (‘directed  interval  classes,’  if  you  will).      From  ‘3’  to  ‘E’  is  minus  4  From  ‘E’  to  ‘8’  is  minus  3  From  ‘8’  to  ‘1’  is  plus  5    Now  the  easiest  approach  to  inverting  the  series  simply  involves  changing  the  directions  of  those  intervals  we  just  got.      ‘3’  plus  4    is  ‘7’  ‘7’  plus  3  is  ‘T’  ‘T’  minus  5  is  ‘5’    So,  the  inverted  series  is     3      7      T      5.    If  you  apply  that  approach  to  the  following  twelve-­‐tone  row,  P8…                  -­‐5                      -­‐1                          -­‐4                        +3                        -­‐4                -­‐2                        -­‐1                        +5                        +1                      +5                      -­‐1          8   3   2   T   1   9   7   6   E   0   5   4    …you’ll  get  I8    8   1   2   6   3   7   9   T   5   4   E   0.              +5                        +1                        +4                      -­‐3                          +4                      +2                        +1                      -­‐5                          -­‐1                        -­‐5                      +1              

2)  Generating  a  matrix    To  generate  a  matrix  for  the  same  row,  you’ll  need  to  present  the  prime  row  horizontally,  with  the  inversion  of  the  prime  running  down  the  left  side  (as  below).  Make  the  initial  pitch  classes  of  P8  and  I8  overlap.      8   3   2   T   1   9   7   6   E   0   5   4    1    2    6    3    7    9    T    5    4    E    0      Next,  you  must  understand  that  when  the  matrix  is  complete,  all  of  the  ‘P’  forms  will  read  from  right  to  left.  So,  to  complete  the  matrix,  simply  transpose  the  first  row  (in  this  case,  ‘P8’)  across  each  horizontal  line  in  the  matrix.  You’ll  need  to  use  each  pitch  class  from  I8  as  the  initial  note  for  each  new  transposition  of  P8.      For  example,  the  second  line  will  be  P1,  a  transposition  of  P8.  Since  pitch  class  1  is  five  semitones  up  from  pitch  class  8,  we  must  transpose  all  of  the  pitch  classes  from  P8  up  5  semitones  in  order  to  generate  P1.                    

The  matrix  below  illustrates.  Here,  the  row  beneath  P8  is  P1.      8   3   2   T   1   9   7   6   E   0   5   4    1   8   7   3   6   2   0   E   4   5   T   9    2    6    3    7    9    T    5    4    E    0    In  the  same  way,  we  can  generate  each  new  P-­‐form  by  transposing  the  line  above  it.  The  distance  between  the  first  pitch  classes  in  each  row  (given  by  I8,  stated  vertically)  tells  us  what  interval  to  transpose  by.  To  derive  from  P1  to  P2,  we  simply  transpose  each  pitch  class  from  P1  up  a  semitone.  To  derive  from  P2  to  P6,  we’ll  have  to  transpose  each  of  the  pitch  classes  from  P2  up  four  semitones.  See  below.      8   3   2   T   1   9   7   6   E   0   5   4    1   8   7   3   6   2   0   E   4   5   T   9    2   9   8   4   7   3   1   0   5   6   E   T    6   1   0   8   E   7   5   4   9   T   3   2    3    7    9    

Continue  filling  in  the  P-­‐forms  until  your  matrix  is  completed.  One  indication  that  you’re  on  track  will  be  that  the  first  pitch  class  of  your  first  P-­‐form  makes  a  straight  path  through  the  matrix  from  the  Northwest  corner  to  the  Southeast  corner.  (Of  course,  it’s  still  easy  to  make  other  silly  mistakes  with  so  much  addition  and  subtraction  along  the  way,  so  remember  to  check  your  work.)      When  you’ve  filled  in  all  of  the  P-­‐forms,  your  matrix  should  look  like  this:    8   3   2   T   1   9   7   6   E   0   5   4    1   8   7   3   6   2   0   E   4   5   T   9    2   9   8   4   7   3   1   0   5   6   E   T    6   1   0   8   E   7   5   4   9   T   3   2    3   T   9   5   8   4   2   1   6   7   0   E    7   2   1   9   0   8   6   5   T   E   4   3    9   4   3   E   2   T   8   7   0   1   6   5      T   5   4   0   3   E   9   8   1   2   7   6    5   0   E   7   T   6   4   3   8   9   2   1    4   E   T   6   9   5   3   2   7   8   1   0    E   6   5   1   4   0   T   9   2   3   8   7    0   7   6   2   5   1   E   T   3   4   9   8      As  each  P-­‐form  runs  from  left  to  right,  each  R-­‐form  runs  from  right  to  left.  Similarly,  each  I-­‐form  runs  from  top  to  bottom,  and  each  RI-­‐form  runs  from  bottom  to  top.      Remember,  we  label  all  R  and  RI  forms  by  their  ending  pitch  classes,  in  order  to  more  clearly  indicate  their  relationship  to  their  corresponding  P  and  I  rows.  So,  the  retrograde  of  P8  is  R8,  not  R4;  the  retrograde  row  form  that  starts  on  F  is  R9;  the  retrograde  of  I3  is  RI3,  even  if  the  row  form  does  start  on  G.