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Ifo Institute for Economic Research at the University of Munich

Investitionen im Neukeynesianischen Modell - Teil 2Prof. Dr. Kai Carstensen, LMU und ifo InstitutSteffen Elstner, ifo Institut


Tobin‘s Q


Literatur

• Eine schöne Einführung – Sörensen, P. B. and H. J. Whitta-Jacobsen (2005) „Introducing

Advanced Macroeconomics: Growth & Business Cycles“, McGraw-Hill Education (Chapter 15: Investment and Asset Prices).

• Papers zu Investitionen im Neukeynesianischen Modell:– “An optimizing IS-LM framework with endogenous investment“,

Casares, M. and B. McCallum (2006), Journal of Macroeconomics, vol. 28 (4), pp. 621-644.

– “An estimated dynamic stochastic general equilibrium of the Euro area”, Smets, F. and R. Wouters (2003), Journal of the European Economic Association, 1(5), pp. 1123-1175.


Tobin‘s Q

• Einfache Definition von Tobin‘s Q:„Verhältnis des Marktwertes des Kapitalbestandes zu seinen Wiederbeschaffungskosten.“

• Investitionsentscheidung: Wenn Q größer eins, dann soll man in das Unternehmen investieren!

• Genauere Definition von Tobin‘s Q: :„Tobin‘s Q gibt den Wertzuwachs eines Unternehmens durch eine zusätzliche Kapitaleinheit wieder.“

• Bei letzterer Definition bezieht sich Tobin‘s Q auf eine Marginalbetrachtung

t

Marktwert des Kapitalstocks einer FirmaQWiederbeschaffungskosten des Kapitalstocks einer Firma

=


Intuition

• Jede Firma will ihren Unternehmenswert maximieren und wählt im Zuge dessen ihren optimales Investitionsniveau

• Der heutige Unternehmenswert ergibt sich aus der abdiskontierten Summe der erwarteten Dividende und dem zukünftigen Unternehmenswert :

wobei den risikolosen Zinssatz und eine unternehmensspezifische Risikoprämie definieren

• Im Folgenden beschreibt die Variable Q das Verhältnis zwischen Unternehmenswert (Marktwert des Unternehmens) und den Wieder- beschaffungskosten des Kapitalstocks (alles reale Größen)

etD 1

etV +

1

1

e et t

tD VV

r ε++

=+ +

r ε

t t tV Q K=


Intuition (2)

• Der Wiederbeschaffungspreis für eine zusätzliche Kapitaleinheit wird zur Vereinfachung auf 1 normiert

• Wenn also der Kapitalstock um eine Einheit erhöht wird, dann steigt der Unternehmenswert um Q Einheiten.

• Aufgrund folgender vereinfachender Annahme:

gilt:

• Wir benötigen für die Berechnung des heutigen Unternehmenswertes noch die erwartete heutige Dividende

1 1e

t t tV Q K+ +=

1et tQ Q+ =

tK


Intuition (3)

• Bei der vereinfachende Annahme, dass alle Investitionen anhand thesaurierter Gewinne (Gewinne, die nicht an die Unternehmenseigentümer ausgeschüttet werden) finanziert werden und die Erweiterung des Kapitalstocks Kosten der Kapitalanpassung (Investitionskosten) unterliegen, folgt:

wobei die Kosten der Kapitalanpassung (wie Umschulung des Personals, Veränderung der Organisationsstruktur) definiert

• Für die Investitionsanpassungskosten wird folgende Funktion angenommen:

• Für die Anpassung des Kapitalstocks (Abschreibungen werden vernachlässigt) wird folgende Identität angenommen:

( )e et t t tD I c I= Π − −

( ) 2

2t tac I I=

( )tc I

1t t tK K I+ = +


Intuition (4)

• Einsetzen aller Gleichungen in die Gleichung zur Bestimmung des Unternehmenswertes:

• Zur Maximierung des Unternehmenswertes wird diese Gleichung nach den Investitionen abgeleitet und man erhält:

( )2

1 21 1

ee e t t t t t tt t

t

aI I Q K ID VVr rε ε

+Π − − + ++

= =+ + + +

( ) 1 tt

t

c IQ

I∂

= +∂

EntgangeneDividende

ErwarteteUnternehmens-wertzuwachs


Intuition (5)

• Für unsere Kapitalanpassungskostenfunktion ergibt sich folgende Beziehung:

• Für unser einfaches Beispiel bedeutet dies, dass solange investiert werden soll, solange Tobin‘s Q größer als 1!

• Tobin‘s Q ist hierbei nicht konstant, sondern wird beeinflusst von makro- ökonomischen Faktoren wie Zinsen oder der Konjunkturentwicklung

• Um dies zu verdeutlichen, wird angenommen, dass der Unternehmenswert sich ergibt aus der abdiskontierten Reihe der zukünftigen Dividenden (die als konstant angenommen werden)

1tt

qIa−

=

( ) ( )2 31 1 1

1 1 1e

t tV Dr r rε ε ε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦…


Intuition (6)

• Diese Beziehung eingesetzt in die Tobin‘s Q Gleichung ergibt:

• Die Dividenden stellen Zahlungen an Personen dar, die dem Unternehmen Kapital zur Verfügung stellen

• Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion betragen diese Zahlungen (Eulertheorem) und sind somit ein Anteil am Output

• Diese Tatsache zusammen mit dem Punkt, dass für zukünftige Dividenden- zahlungen auch Erwartungen eine Rolle spielen, führt zu folgender Darstellung von Tobin‘s Q:

wobei eine Funktion in Abhängigkeit vom Output-Kapital- Verhältnis und den Erwartungen zum heutigen Zeitpunkt darstellt

tYα

et t

tD KQr ε

=+

( ),t t tt

g Y K EQ

r ε=

+( ),t t tg Y K E

tE


Intuition (7)

• Setzt man dieses Q in die Investitionsentscheidung ein, so erhält man:

• In allgemeinerer Form:

• Die Investitionen hängen also nach der Theorie von Tobin‘s Q positiv ab von der Konjunkturentwicklung und den Konjunkturerwartungen ab

• Negativ werden sie von den Marktzinsen (die maßgeblich durch die Geldpolitik bestimmt werden) und von der Höhe des Kapitalstocks beeinflusst.

( ) ( ) ( ) ( ), , ,tI f Y K r E

+ − − +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ),1 1t t tt

g Y K EI

a r ε⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠


Neukeynesianisches Modell mit Tobin‘s Q


Neukeynesianisches Modell mit Tobin‘s Q

• Im Unterschied zum vorangegangenen Neukeynesianischen Modell mit Investitionen wird ab nun unterstellt, dass die Installation von neuem Kapital in ein Unternehmen Anpassungskosten unterworfen ist, die überproportional mit den Investitionen steigen

• Bei diesen Kosten handelt es sich z.B. um die Kosten zur Installation neuer Maschinen, für die Schulungen der Mitarbeiter, um die neuen Maschinen nutzen zu können oder möglicherweise Kosten einer veränderten Firmenorganization aufgrund der neuen Investitionen

• Die Produktionsfunktion und Preissetzung der Firmen bleiben aufgrund dieser Annahme unverändert


Neukeynesianisches Modell mit Tobin‘s Q (2)

• Die Kapitalanpassungskosten drücken sich in der Kapitalakkumu- lationsgleichung aus:

wobei die Kosten für Kapitalanpassung wiedergibt und folgende Eigenschaften aufweist:

( ) 11

1 1 tt t t

t

IK K S IIδ −−

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( ).S

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0, ´ ´ 1 0, ´́ ´́ 1 0I I IS S S S S SI I I= = = = = >



• Der Haushalt maximiert folgende intertemporale Nutzenfunktion

• Dabei ist die Periodennutzenfunktion (keine Betrachtung von Habit- Formation) wie folgt definiert:

• Der Haushalt maximiert seinen Nutzen unter der gegebenen realen Budgetrestriktion

hierbei bezeichnet den Kapitalstock, die Rendite des Kapitalstocks und die Abschreibungsrate; beschreibt 1 plus die nominale Verzinsung der Bonds

0

it t i

iE Uβ

∞

+=∑

111

1 1t

t tNU C

ησ

σ η

+−= −

− +

tK Ktr

δ tR

1 11 1

Kt t tt t t t t t t t t

t t t

b mC m I b w N R r KPπ π

− −− −

Π+ + + = + + + +



( )

] ( ) ( )

111 1 1

1

0 21

1

11 1

1 1

t i

t i

t i t i t i t it i t i t i t i

t i t i t iit

i K tt i t i t i t i t i t i t t t

t

N b mC w N RP

L EIr K C I b m S I K KI

ησ λ

σ η π πβ

λ δ

+

+

+− + + − + − +

+ + + − +∞+ + +

=

+ + + + + + −−

⎧ ⎫⎡ Π− + + + +⎪ ⎪⎢− +⎪ ⎪⎣= ⎨ ⎬

⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞+ − − − − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

∑

• Der Haushalt maximiert seinen Nutzen unter der gegebenen Budgetrestriktion mit Hilfe folgender Lagrangefunktion

• Es existieren nun zwei Nebenbedingungen bei der Maximierung!• Eine Nebenbedingung definiert die eigentliche Budgetrestriktion des

Haushalts, die andere Bedingung beinhaltet die Kapitalakkumulations- gleichung

• Diese Darstellung ist für die weitere Lösung des Modells notwendig!



• Für den realen Bondbestand ergibt sich folgende Bedingung 1. Ordnung

• Loglinearisierung ergibt:

• Wir erhalten die bekannte Eulergleichung, die das Verhältnis von zukünftigen und heutigen Konsum in Bezug auf den realen Zins definiert

( ) ( )1 11

1

tt t t

t

REλ β λπ+

+

⎛ ⎞⇔ − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )1 11 1

ˆ ˆ ˆ ˆ t t t t t tE R Eλ λ π+ += + −

0t

Lb∂

=∂



• Für die Investitionen ergibt sich folgende Bedingung 1. Ordnung

• Umstellen nach liefert:( )1tλ

( ) ( )

( )

1 2

1 1 1

221

1 1

1 ´

´ 0

t t tt t

t t tt

t tt t

t t

L I I IS SI I II

I IE S I I

λ λ

β λ

− − −

+− −

∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )

( )

1 2

1 1 1

221

1 1

1 ´

´

t t tt t

t t t

t tt t

t t

I I IS SI I I

I IE S I I

λ λ

β λ

− − −

+− −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠



• Für das weitere Vorgehen wird zur Vereinfachung Tobin‘s Q wie folgt definiert:

• Die Lagrangemultiplikatoren können als Schattenpreise interpretiert werden!

• Der Multiplikator drückt den Nutzengewinn aus einer zusätzlichen Investitionseinheit aus und kann als Anschaffungskosten dieser zusätzlichen Einheit an Kapital interpretiert werden

• Der andere Multiplikator drückt den Nutzengewinn aus einer zusätzlichen Einkommenseinheit aus und kann als Marktwert einer zusätzlichen Kapitaleinheit interpretiert werden

( )

( )( ) ( )

12 1

2t

t t t tt

Q Qλ λ λλ

= ⇔ =

( )2tλ

( )1tλ



• Raussubstituieren von durch Tobin‘s Q und einige Umstellungen führen zu folgender Gleichung:

• Loglinearisierung ergibt (zu Hause nachrechnen):

• Die Investitionen hängen ab von den vergangenen und den erwarteten Investitionen sowie positiv von Tobin‘s Q

( )2tλ

( )

( )

1 1 1

1 21

111 1

1 1 ´

´

t t tt

t t t

t t tt t

t tt

I I IQ S SI I I

I IE Q S I Iλβλ

− − −

++

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )1 11 1 ˆˆ ˆ ˆ

1 1 1 ´́ 1t t t t tI E I I QS

ββ β β+ −= + +

+ + +



• Für den Kapitalstock ergibt sich folgende Bedingung 1. Ordnung

• Raussubstituieren von durch Tobin‘s Q und einige Umstellungen führen zu folgenden Gleichung:

• Tobin‘s Q hängt positiv ab vom eigenen Erwartungswert und von der Kapitalrentabilität; je höher die Rendite auf Kapital, desto höher der Marktwert einer zusätzlichen Einheit an Kapital

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 21 1 1 1K

t t t t t tE r Eλ β λ β λ δ+ + +⇔ = + −

( )

( ) ( )( )11

1 11 1 Ktt t t t

t

Q E Q rλβ δλ

++ +

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 21 1 1 1 0K

t t t t t tt

L E r EK

λ β λ β λ δ+ + +

∂= − + + − =

∂

( )2tλ



• Loglinearisieren ergibt:

• Einsetzen der Optimalitätsbedingung bezüglich des realen Bondbestandes führt zu:

• Das ist die entscheidende Gleichung für Tobin‘s Q• Die Variable “Tobin‘s Q“ ist auch der wesentliche Unterschied zum

vorherigen Neukeynesianischen Modell mit Investitionen• Tobin‘s Q entsteht durch die Diskrepanz zwischen dem Marktwert und

den Wiederanschafftungskosten einer zusätzlichen Einheit an Kapital

( ) ( ) ( ) ( )( )1 11 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 Kt t t t t t t tQ E Q E E rβ δ λ λ β δ+ + += − − + + − −

( ) ( ) ( )( )1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 K

t t t t t t t tQ E Q R E E rβ δ π β δ+ + += − − − + − −



• Mit den Optimalitätsbedingungen für Konsum und Arbeit lassen sich folgende relevanten Gleichungen für den Haushalt zusammenfassen:

• Um das Modell zu komplettieren, benötigen wir die bekannte Taylorregel und die Optimalitätsbedingungen der Unternehmen

• Diese Gleichungen sind aber analog zu denen aus dem vorherigen Abschnitt

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

1 1

1 1

1 1 1

1

1ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ1 1 ˆˆ ˆ ˆ

1 1 1 ´́ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

ˆ ˆ ˆ1

t t t t t t

t t t

t t t t t

Kt t t t t t t t

t t t

C E C R E

w C n

I E I I QS

Q E Q R E E r

K K I

πσ

σ ηβ

β β β

β δ π β δ

δ δ

+ +

+ −

+ + +

−

= − −

= +

= + ++ + +

= − − − + − −

= − +


Zusammenfassung aller wesentlichen Gleichungen (1)

• Da wir hier neben einem geldpolitischen Schock auch einen Techno- logieschock betrachten, der die Lösung unter flexiblen Preisen beeinflusst, müssen 2 Gleichungssysteme aufgestellt werden

• Das eine Gleichungssystem beschreibt die Ökonomie unter flexiblen Preisen!

• Das andere Gleichungssytem beinhaltet die Lösung unter rigiden Preisen, in der der Calvo-Mechanismus zur Geltung kommt

• Aus der Differenz zwischen dem Output unter rigiden Preisen und dem Output unter flexiblen Preisen wird der Output Gap bestimmt

• Im Folgenden werden nur die Gleichung für die rigide Welt aufgeschrieben

• Diese Gleichungen gelten analog für flexible Preise, jedoch besitzt jede Variable noch das Hochzeichen „f“ für flexibel


Zusammenfassung aller wesentlichen Gleichungen (2)• Im Folgenden werden nochmal alle wesentlichen Gleichungen

zusammengefasst:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

1 1

1 1

1 1 1

1

1ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ1 1 ˆˆ ˆ ˆ

1 1 1 ´́ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1

ˆ ˆ ˆ1

t t t t t t

t t t

t t t t t

Kt t t t t t t t

t t t

C E C R E

w C n

I E I I QS

Q E Q R E E r

K K I

πσ

σ ηβ

β β β

β δ π β δ

δ δ

+ +

+ −

+ + +

−

= − −

= +

= + ++ + +

= − − − + − −

= − +



• Fortsetzung Gleichungen:

( )1ˆˆ ˆ ˆ1t t t tY A K Nα α−= + + −

( ) ˆˆ ˆ1 Kt t t tmc w r Aα α= − + −

( )( )1

1 1ˆ ˆ tt t tE mc

θ βθπ β π

θ+

− −= +

ˆˆ ˆt t t

C CY C IY Y

= +

1ˆ ˆˆ ˆK

t t t tN r K w−= + −



• Fortsetzung Gleichungen:

• Die Schockprozesse sind definiert durch:

• Wie oben schon erwähnt, müssen die gleichen Gleichung nochmal für die Ökonomie unter flexiblen Preisen aufgeschrieben werden und man erhält für das Output Gap folgende Beziehung:

ˆ ˆ ˆt t x t tR xπφ π φ υ= + +

ˆ ˆ , 1 1At A t t AA Aρ ε ρ= + − < <

1 , 1 1vt t tυ υυ ρ υ ε ρ−= + − < <

ˆ ˆˆ ft t tx Y Y= −


Kalibrierung

• Für die Parameter der Nutzenfunktion wurden folgenden tiefen Parameter gewählt:

• Bezüglich der Firmenentscheidungen werden folgende Werte angenommen:

• Anteile der Verwendungskomponenten am BIP:

• Werte für die geldpolitische Verhaltensregel plus Schock:

1, 1, 0.99σ η β= = =

2 , 0.025, 0.93 Aθ δ ρ= = =

0.51.5, , 0.54π π υγ γ ρ= = =

0.75, 0.25, 0.3C IY Y α= = =


Neukeynesianisches Modell mit Tobin‘s Q – Geldpolitischer Schock


Neukeynesianisches Modell mit Tobin‘s Q – Technologieschock

investitionen im neukeynesianischen modell - teil 2 · ifo institute for economic research at the...

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