itajÁ dantas de souza jÚnior planilha de cÁlculo …

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ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO NATAL-RN 2018 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Page 1: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR

PLANILHA DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DE

PILARES DE CONCRETO ARMADO

NATAL-RN

2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Page 2: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

Itajá Dantas de Souza Júnior

Planilha de cálculo para verificação de pilares de concreto armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do Título de Bacharel

em Engenharia Civil.

Orientadora: Prof. Dra. Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal-RN

2018

Page 3: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Junior, Itaja Dantas de Souza.

Planilha de cálculo para verificação de pilares de concreto

armado / Itaja Dantas de Souza Junior. - 2018.

60 f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande

do Norte, Centro de Tecnologia, Graduação em Engenharia Civil.

Natal, RN, 2018.

Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Pilares - Monografia. 2. Concreto armado - Monografia. 3.

Flexão composta oblíqua - Monografia. 4. Análise de Segunda

ordem - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II.

Título.

RN/UF/BCZM CDU 624.012.45

C626.21

Page 4: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

Itajá Dantas de Souza Júnior

Planilha de cálculo para verificação de pilares de concreto armado

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 28 de Novembro de 2018:

___________________________________________________

Prof. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach

___________________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Barros

___________________________________________________

Eng. Pedro Mitzcun Coutinho

Natal-RN

2018

Page 5: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Itajá Dantas e Sara Joyce, que me deram a vida e os exemplos que me

formaram o caráter, a quem dedico esta conquista.

Ao meu irmão Ítalo Thales, por sempre estar presente nos momentos felizes e tristes, e

pela amizade que só existe entre irmãos.

À minha amada amiga e namorada, Luiza Leiros, por todo apoio e compreensão

durante as horas difíceis e pela adorável companhia nas horas felizes.

Aos meus amigos engenheiros Allan, Johan, Breno, Vanderson, Ewerton, Eduardo,

Amanda, Kaio, João, Paulo Henrique, Ricardo Barros, Maria Lopes e Francisco Romerito

pelo companheirismo nos momentos adversos (dos quais o curso de engenharia civil é repleto,

eles bem sabem) e pelos eventos marcantes no decorrer do curso.

Aos professores do curso de engenharia civil da UFRN, pelas valiosas lições

aprendidas ao longo deste bacharelado, particularmente à minha orientadora, Fernanda

Mittelbach, um verdadeiro anjo em forma de professora.

Ao seu Wilson Martins, da coordenação do curso, quem eu espero que esteja curtindo

sua aposentadoria.

Page 6: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

“É um fato bem conhecido que um ingrediente vital para o sucesso é não sabermos que o que

estamos tentando é impossível.”

– Terry Pratchett

Page 7: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

RESUMO

Este trabalho trata do desenvolvimento de um código computacional inserido numa planilha

do Microsoft Excel. A planilha é uma ferramenta prática capaz de, conforme as prescrições da

ABNT NBR 6118:2014, resolver numericamente problemas de flexão composta oblíqua e

também determinar os esforços de segunda ordem local em pilares biapoiados de concreto

armado com índice de esbeltez não superior a 140 e fck até 50 MPa, com os métodos do pilar-

padrão com curvatura aproximada, pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada, pilar-padrão

acoplado a diagramas momento-curvatura e método geral acoplado a diagramas momento-

curvatura. Os resultados da planilha foram validados analiticamente pela verificação manual

de uma seção de concreto armado, com uma diferença de 0,897%, e numericamente

comparando-os aos resultados do CAD/TQS (MAPE = 0,57%), do P-Calc (MAPE = 0,0%,

análise de seção; MAPE = 0,60%, método geral acoplado a diagramas momento-curvatura) e

do Oblíqua (MAPE = 5,5%).

Palavras-chave: Pilares. Concreto armado. Flexão composta oblíqua. Análise de

segunda ordem.

Page 8: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

ABSTRACT

This paper describes the development of a computer code inserted into a Microsoft Excel

workbook. The workbook is a practical tool able to, according to the ABNT NBR 6118:2014

prescriptions, numerically solve biaxial bending problems and also evaluate the additional

second-order loads in hinge-hinge columns of reinforced concrete whose slenderness ratio is

not greater than 140 and a fck not greater than 50 MPa, using the following methods: model

column with approximate curvature, model column with κ approximate rigidity, model

column with moment-curvature diagrams and general method with moment-curvature

diagrams. The results of the workbook were validated analytically by manually verifying a

reinforced concrete cross-section, with a difference of 0,897%, and numerically by comparing

these results to the CAD/TQS’s (MAPE = 0,57%), P-Calc’s (MAPE = 0,0%, cross-section

verification; MAPE = 0,60%, general method with moment-curvature diagrams) and

Oblíqua’s (MAPE = 5,5%) results.

Palavras-chave: Columns. Reinforced Concrete. Biaxial bending. Second order analysis.

Page 9: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Momentos e excentricidades iniciais no topo e na base do tramo. ......................... 15

Figura 2 – Aproximação em apoios extremos. ......................................................................... 16

Figura 3 – Excentricidades de forma. ....................................................................................... 17

Figura 4 – Excentricidade de forma absorvida por viga. .......................................................... 17

Figura 5 – Imperfeições geométricas globais. .......................................................................... 18

Figura 6 – Excentricidade acidental por imperfeições local..................................................... 19

Figura 7 – Envoltória mínima de primeira ordem. ................................................................... 20

Figura 8 – Envoltória mínima de segunda ordem. ................................................................... 20

Figura 9 – Diagrama de tensão-deformação do concreto submetido à compressão. ................ 25

Figura 10 – Diagrama de tensão-deformação do aço. .............................................................. 26

Figura 11 – Domínios de estado-limite último de uma seção transversal de concreto armado.

.................................................................................................................................................. 26

Figura 12 – Seção de concreto armado no domínio 4. ............................................................. 27

Figura 13 – Seção de concreto armado. .................................................................................... 29

Figura 14 – Intervalo de iteração contendo a posição da linha neutra. .................................... 30

Figura 15 – Diagrama de interação de uma seção de concreto armado. .................................. 31

Figura 16 – Metodologia de solução numérica da planilha. ..................................................... 32

Figura 17 – Momentos de primeira e segunda ordem num pilar em balanço. ......................... 33

Figura 18 – Pilar biapoiado submetido a um carregamento. .................................................... 33

Figura 19 – Esforços num elemento infinitesimal de barra. ..................................................... 34

Figura 20 – Relação momento-curvatura. ................................................................................ 38

Figura 21 – Determinação do comprimento equivalente de flambagem. ................................. 39

Figura 22 – Entrada de dados. .................................................................................................. 45

Figura 23 – Entrada de dados: geometria, esforços e parâmetros de segunda ordem. ............. 46

Figura 24 – Entrada de dados: características dos materiais e detalhamento da armadura. ..... 46

Figura 25 – Saída de dados. ...................................................................................................... 47

Figura 26 – Saída de dados: resistência da seção. .................................................................... 47

Figura 27 – Saída de dados: resistência da seção. .................................................................... 48

Figura 28 – Saída de dados: envoltória resistente. ................................................................... 49

Figura 29 – Seção em análise. .................................................................................................. 50

Figura 30 – Equilíbrio da seção no ELU. ................................................................................. 51

Figura 31 – Seção submetida a flexão composta oblíqua. ........................................................ 52

Page 10: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

Figura 32 – Envoltória resistente calculada pela planilha de cálculo com indicação dos pontos.

.................................................................................................................................................. 52

Figura 33 – Seção genérica. ...................................................................................................... 54

Figura 34 – Seção, comprimento equivalente e esforços atuantes no pilar. ............................. 55

Figura 35 – Envoltória resistente. ............................................................................................. 58

Page 11: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Momentos Resistentes Calculados, em kNm.......................................................... 53

Tabela 2 – Diferenças nos momentos calculados. .................................................................... 53

Tabela 3 – Comparações entre momentos resistentes calculados na planilha e no TQS. ........ 54

Tabela 4 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc. ....................... 57

Tabela 5 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc. ....................... 57

Tabela 6 – Resumo dos resultados da análise de 2ª ordem local. ............................................. 58

Page 12: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

SIMBOLOGIA

SÍMBOLO SIGNIFICADO

𝐴𝑠𝑖 Área da barra de aço “i”

𝑑′ Distância entre a superfície do pilar e o centro da barra de ço

𝑒2 Excentricidade de 2ª ordem

𝑒𝑎 Excentricidade acidental

𝑒𝑐𝑐 Excentricidade suplementar de fluência

𝑒𝑓 Excentricidade de forma

𝑒𝑖 Excentricidade inicial

𝐸𝑠 Modulo de elasticidade longitudinal do aço

𝑓𝑐𝑑 Resistência de cálculo a compressão do concreto

𝑓𝑐𝑘 Resistência característica à compressão do concreto em Mpa

𝑓𝑦𝑑 Resistencia de cálculo ao escoamento do aço

𝑓𝑦𝑘 Resistência característica ao escoamento do aço

𝐼 Momento de inercia

𝑖 Raio de Giração

𝑀 Momento fletor

𝑁 Esforço normal

𝑁𝑠 Esforço normal solicitante

𝑥𝑐 Distância ao longo do eixo x entre o centro geométrico do elemento

considerado e o centro geométrico da seção

𝑥𝐿𝑁 Profundidade da linha neutra

𝑦𝑐 Distância ao longo do eixo y entre o centro geométrico do elemento

considerado e o centro geométrico da seção

𝛼 Inclinação da linha neutra

𝛾𝑐 Coeficiente de ponderação da resistência do concreto

𝛾𝑠 Coeficiente de ponderação da resistência do aço

𝜀𝑐 Deformação específica de encurtamento no concreto

𝜀𝑐𝑔 Deformação específica do centro geométrico da seção

𝜀𝑠 Deformação específica no aço

𝜆 Índice de esbeltez

𝜎𝑐 Tensão normal no concreto

𝜎𝑠 Tensão normal no aço

Page 13: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 14

1.1 Considerações iniciais .................................................................................................. 14

1.2 Excentricidades nos pilares ........................................................................................... 14

Excentricidade inicial ............................................................................................ 15

Excentricidade de forma ........................................................................................ 16

Excentricidade acidental ........................................................................................ 17

Momento mínimo de primeira ordem .................................................................... 19

Excentricidade de segunda ordem ......................................................................... 21

Excentricidade suplementar de fluência ................................................................ 21

Resumo das excentricidades .................................................................................. 22

1.3 Objetivos ....................................................................................................................... 22

Geral ...................................................................................................................... 22

Específicos ............................................................................................................. 23

2 SEÇÕES DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À FLEXOCOMPRESSÃO EM

ESTADO-LIMITE ÚLTIMO ................................................................................................... 24

2.1 Hipóteses básicas .......................................................................................................... 24

2.2 Diagramas de tensão-deformação ................................................................................. 24

2.3 Domínios de estado-limite último ................................................................................ 26

2.4 Deformação num ponto qualquer da seção transversal ................................................ 27

2.5 Resistência à flexão da seção transversal ..................................................................... 28

2.6 Metodologia de solução numérica da planilha de cálculo ............................................ 29

3 ANÁLISE DA SEGUNDA ORDEM LOCAL EM PILARES ......................................... 33

3.1 Equação diferencial do equilíbrio de um pilar sem carregamentos transversais .......... 33

Solução analítica da equação diferencial do equilíbrio ......................................... 35

3.2 Pilar-Padrão .................................................................................................................. 36

3.3 Rigidez e relações momento-curvatura ........................................................................ 37

3.4 Índice de esbeltez 𝝀 ...................................................................................................... 39

Índice de esbeltez limite λ1 .................................................................................... 40

3.5 Métodos de determinação dos efeitos de segunda ordem local .................................... 41

Método do pilar-padrão com curvatura aproximada ............................................. 41

Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada .............................................. 42

Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura ..................... 43

Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura ...................................... 43

Page 14: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

Resumo dos métodos ............................................................................................. 44

4 FUNCIONAMENTO DA PLANILHA DE CÁLCULO .................................................. 45

4.1 Entrada de dados ........................................................................................................... 45

4.2 Saída de dados .............................................................................................................. 47

5 VALIDAÇÃO DA PLANILHA DE CÁLCULO ............................................................. 50

5.1 Verificação de seção ..................................................................................................... 50

Verificação analítica da resistência a flexão normal simples ................................ 50

Verificação da resistência a flexão composta oblíqua ........................................... 51

Verificação da resistência de uma seção submetida a flexão composta normal em

comparação ao CAD/TQS .............................................................................................. 53

5.2 Determinação dos esforços de segunda ordem local .................................................... 55

. Pilar-padrão com curvatura aproximada ................................................................ 55

. Pilar-padrão com rigidez 𝜿 aproximada ................................................................ 56

. Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura ..................... 56

. Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura ...................................... 57

. Resumo dos resultados .......................................................................................... 57

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 59

7 REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 60

Page 15: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

14

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações iniciais

A obtenção de soluções analíticas para o dimensionamento de pilares de concreto

armado representa um grande desafio devido à não linearidade física e geométrica do

problema. Além dos efeitos de fissuração, que reduzem a rigidez das peças de concreto

armado, elementos comprimidos precisam também, em muitos casos, ser analisados quanto à

instabilidade devido a efeitos de segunda ordem (não linearidade geométrica).

No dimensionamento de pilares de concreto armado, portanto, as soluções analíticas

são raramente utilizadas, de modo que os projetistas recorrem a ábacos ou programas de

cálculo estrutural (métodos numéricos). Se por um lado os programas de cálculo estrutural

consagrados no mercado são precisos e eficientes, por outro lado têm um elevado custo de

aquisição e por isso são frequentemente inacessíveis para estudantes (CARVALHO;

PINHEIRO, 2009), pequenos escritórios de engenharia ou engenheiros em início de carreira.

Já os ábacos de dimensionamento de pilares são pouco precisos, pois limitam as dimensões

geométricas, o cobrimento e a distribuição de armaduras no pilar, o que dificulta a sua

aplicação em muitas situações; pois para garantir a segurança de sua estrutura, um projetista

que utiliza um ábaco precisa arredondar seus resultados no sentido do superdimensionamento,

o que acaba elevando o custo da estrutura.

Este trabalho descreve, justifica e elabora um código computacional na linguagem de

programação Visual Basic for Applications [VBA]. Esse código está inserido numa planilha

de cálculo do software Microsoft Excel. A planilha resolve numericamente problemas de

flexão composta oblíqua em pilares com 𝑓𝑐𝑘 até 50 MPa seguindo as prescrições da NBR

6118 (Associação Brasileira de Normas Técnicas [ABNT], 2014).

1.2 Excentricidades nos pilares

Um passo importante do dimensionamento de pilares, não abordado pela planilha de

cálculo desenvolvida neste trabalho, é a obtenção dos esforços solicitantes de projeto nos

pilares. Nesta seção, será feita uma breve introdução acerca de alguns pontos relevantes para a

obtenção dos esforços solicitantes nos pilares.

Quando se realiza a análise de pilares, a determinação dos momentos fletores atuantes

é geralmente feita através da determinação da excentricidade do esforço normal em relação ao

Page 16: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

15

centro geométrico da seção. De acordo com Carvalho e Pinheiro (2009), as excentricidades

atuantes nos pilares são divididas em:

Excentricidade inicial;

Excentricidade de forma;

Excentricidade acidental;

Excentricidade de segunda ordem;

Excentricidade suplementar de fluência.

Excentricidade inicial

A excentricidade inicial é resultado do engastamento parcial entre pilar e viga,

particularmente em pilares de borda e de canto. A ligação monolítica transfere momentos

fletores ao pilar, originando a excentricidade inicial. A excentricidade inicial do esforço

normal atuante (𝑒𝑖) é determinada pela equação 1, onde 𝑀 é o momento fletor transferido ao

pilar e 𝑁 é o esforço normal no pilar.

𝑒𝑖 =𝑀

𝑁 (1)

Convém mencionar que a excentricidade inicial usualmente tem valores distintos no

topo e na base do tramo considerado (figura 1) e também nas das direções 𝑥 e 𝑦.

Figura 1 – Momentos e excentricidades iniciais no topo e na base do tramo.

Fonte: Scadelai, 2004, p. 34.

A NBR 6118/14, no item 14.6.6, permite uma simplificação do cálculo da influência

da solidariedade dos pilares extremos com uma viga contínua, conforme as equações 2 a 4 e a

figura 2:

Page 17: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

16

Na extremidade da viga:

𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝

𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 (2)

No tramo superior do pilar:

𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝 = 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑟𝑠𝑢𝑝

𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 (3)

No tramo inferior do pilar:

𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓 = 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑟𝑠𝑢𝑝

𝑟𝑖𝑛𝑓 + 𝑟𝑠𝑢𝑝 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 (4)

Onde: 𝑟𝑖 = 𝐼𝑖/𝑙𝑖, sendo 𝐼𝑖 o momento de inércia do elemento 𝑖 e 𝑙𝑖 o seu comprimento,

conforme a figura 2.

𝑀𝑒𝑛𝑔 é o momento de engastamento perfeito da ligação viga contínua-pilar extremo;

𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝 é o momento na extremidade inferior do pilar superior;

𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓 é o momento na extremidade superior do pilar inferior;

𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 é o momento na extremidade da viga;

Figura 2 – Aproximação em apoios extremos.

Fonte: ABNT, 2014, p. 94.

Excentricidade de forma

Nos projetos estruturais de edifícios, devido a necessidades arquitetônicas, é comum

que o eixo da viga se desencontre do eixo baricêntrico do pilar no qual se apoia, como

ilustrado na figura 3. Nessas situações, a reação da viga apresenta uma excentricidade em

relação ao centro do pilar: a excentricidade de forma.

Page 18: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

17

Figura 3 – Excentricidades de forma.

Fonte: Pinheiro, 2007, p. 16.9.

Carvalho e Pinheiro (2009) ressalvam que a excentricidade de forma pode, em

algumas situações, ser considerada absorvida por outra viga. É o caso da excentricidade de

forma no pilar P3 da figura 4: a excentricidade da viga V100 é considerada absorvida pela

inércia a flexão da viga V101.

Figura 4 – Excentricidade de forma absorvida por viga.

Fonte: Carvalho e Pinheiro, 2009, p. 332.

Excentricidade acidental

A NBR 6118/14 prescreve, no item 11.3.3.4, que na verificação do estado-limite

último das estruturas reticuladas devem ser consideradas as imperfeições geométricas da

Page 19: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

18

estrutura. Essas imperfeições são classificadas em dois grupos: imperfeições globais e

imperfeições locais.

a) Imperfeições globais

A análise global das estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve sempre

considerar um desaprumo dos elementos verticais, conforme a figura 5.

Figura 5 – Imperfeições geométricas globais.

Fonte: ANBT, 2014, p. 59.

O ângulo de desaprumo, 𝜃𝑎, pode ser avaliado pela equação 5:

𝜃𝑎 = 𝜃1√1 + 1/𝑛

2 (5)

𝜃1 =1

100√𝐻 (6)

Onde: 𝜃1𝑚í𝑛 vale 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;

𝜃1𝑚á𝑥 vale 1/200 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;

𝐻 é a altura total da edificação (para imperfeições globais) ou a altura do lance do

pilar (para imperfeições locais), em metros;

𝑛 é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.

Em pilares isolados em balanço, considera-se 𝜃1 = 1/200, e se o edifício tiver

predominância de lajes lisas ou lajes cogumelo, adota-se 𝜃𝑎 = 𝜃1.

As ações de vento também devem ser consideradas no cálculo das imperfeições

globais, de acordo com os seguintes critérios:

i. Se 30% da ação do vento for maior que a ação total do desaprumo, considera-

se somente a ação do vento.

Page 20: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

19

ii. Se 30% da ação do desaprumo for maior que a ação total do vento, considera-

se somente a ação do desaprumo, respeitando-se a consideração de 𝜃1𝑚í𝑛.

iii. Nos demais casos, as ações de vento e desaprumo devem ser combinadas, sem

a necessidade da consideração do 𝜃1𝑚í𝑛.

b) Imperfeições locais

Imperfeições locais produzem uma excentricidade que é calculada para apenas um

lance de pilar. São considerados, nesse caso, o efeito do desaprumo do pilar e o efeito da falta

de retilineidade no pilar, conforme a figura 6.

Figura 6 – Excentricidade acidental por imperfeições local.

Fonte: Adaptado da ABNT, 2014, p. 60.

O ângulo 𝜃1 pode ser avaliado pela equação 6, e a NBR 6118/14 sugere que nos casos

usuais de estruturas reticuladas a análise das imperfeições locais pode prescindir da

verificação de desaprumo, considerando-se somente os efeitos da falta de retilineidade.

Momento mínimo de primeira ordem

A NBR 6118/14 permite, para estruturas reticuladas, que o efeito das imperfeições

locais seja substituído pela consideração de um momento mínimo de primeira ordem:

𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑑(0,015 + 0,03ℎ) (7)

Onde ℎ é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros.

O momento mínimo de primeira ordem pode ser convenientemente expresso em

termos de uma excentricidade mínima de acordo com a equação 8:

𝑒1𝑑,𝑚í𝑛 = 0,015 + 0,03ℎ (8)

Page 21: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

20

Em pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória mínima de primeira

ordem (figura 7), a qual precisa estar contida na envoltória resistente para atender a

verificação do momento mínimo.

Figura 7 – Envoltória mínima de primeira ordem.

Fonte: ABNT, 2014, p. 61.

Quando for necessário avaliar os efeitos locais de 2ª ordem, deve-se considerar a

envoltória mínima de segunda ordem, conforme a figura 7.

A construção dessa envoltória de segunda ordem pode ser realizada através de duas

análises de segunda ordem na flexão composta normal, em torno dos eixos 𝑥 e 𝑦. A

configuração deformada inicial a ser considerada nessa análise é determinada através da

aplicação dos momentos fletores mínimos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Os métodos

para essas análises de segunda ordem são discutidos na seção 3.5, e a envoltória de segunda

ordem tem o aspecto ilustrado na figura 8. Note-se que nas figura 7 e 8 foram conservadas as

convenções de direção de momento fletor da NBR 6118/14; as convenções deste trabalho são

definidas na seção 2.5, com auxílio da figura 13.

Figura 8 – Envoltória mínima de segunda ordem.

Page 22: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

21

Fonte: ABNT, 2014, p. 102.

Excentricidade de segunda ordem

A força normal solicitante, em conjunto com as excentricidades de primeira ordem,

causam deformações ao longo do pilar as quais dão origem a uma nova excentricidade, que se

denomina excentricidade de segunda ordem. Essa excentricidade é discutida na seção 3 deste

trabalho.

Excentricidade suplementar de fluência

A avaliação dos efeitos de fluência é obrigatória em pilares esbeltos (𝜆 > 90) e,

conforme o item 15.8.4 da NBR 6118/14, seu cômputo pode ser efetuado de maneira

simplificada pela consideração da excentricidade suplementar, 𝑒𝑐𝑐, de acordo com as

equações 9 e 10.

O efeito da fluência deve ser considerado como um efeito imediato que se soma à

excentricidade de primeira ordem antes do cálculo dos momentos de segunda ordem.

𝑒𝑐𝑐 = (𝑀𝑠𝑔

𝑁𝑠𝑔+ 𝑒𝑎)(2,718

𝜙𝑁𝑠𝑔𝑁𝑒−𝑁𝑠𝑔 − 1) (9)

𝑁𝑒 =10𝐸𝑐𝑖𝐼𝑐𝑙𝑒2

(𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟) (10)

𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 ∙ 5600√𝑓𝑐𝑘 (11)

Page 23: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

22

Onde: 𝑒𝑎 é a excentricidade acidental devido às imperfeições locais, conforme a figura 6;

𝑀𝑠𝑔 e 𝑁𝑠𝑔 são os o momento fletor e o esforço normal solicitantes devidos à

combinação quase permanente;

𝜙 é o coeficiente de fluência, adotado conforme a tabela 8.2 da NBR 6118/14 ;

𝐸𝑐𝑖 é o módulo de elasticidade longitudinal do concreto em MPa, conforme o item

8.2.8 da NBR 6118/14;

𝛼𝐸 é uma constante que avalia a influência do agregado graúdo na rigidez do

concreto, valendo 1,2 para basalto e diabásio; 1,0 para granito e gnaisse; 0,9 para calcário e

0,7 para arenito.

𝑓𝑐𝑘 é a resistência característica à compressão do concreto em MPa;

𝐼𝑐 é o momento de inércia da seção bruta de concreto para a direção estudada;

𝑙𝑒 é o comprimento equivalente de flambagem, conforme a seção 3.4.

Resumo das excentricidades

As excentricidades abordadas neste trabalho e seus campos de aplicação obrigatória

estão resumidos no quadro 1.

Quadro 1 – Resumo da aplicação das excentricidades.

Excentr. Símbolo Aplicação

Inicial 𝑒𝑖 Análise estrutural da ligação viga-pilar(1).

De forma 𝑒𝑓 𝑒𝑓 = 0 se há viga capaz de

absorver o momento.

𝑒𝑓 ≠ 0 se não há viga

capaz de absorver o

momento.

Acidental 𝑒𝑎 Comparar com a excentricidade mínima e usar a maior.

Mínima 𝑒1𝑑,𝑚í𝑛 Comparar com a excentricidade acidental e usar a maior.

Segunda

ordem 𝑒2 𝜆 ≤ 𝜆1 → 𝑒2 = 0 𝜆 > 𝜆1 → 𝑒2 ≠ 0

Suplementar

(fluência) 𝑒𝑐𝑐 𝜆 ≤ 90 → 𝑒𝑐𝑐 = 0 𝜆 > 90 → 𝑒𝑐𝑐 ≠ 0

(1) Em algumas situações de pilares internos, pode-se desconsiderar a excentricidade inicial, porém sempre se

considera a acidental ou a mínima.

Fonte: Adaptado de Carvalho e Pinheiro, 2009.

1.3 Objetivos

Geral

Desenvolver uma planilha de cálculo capaz de realizar as verificações de esgotamento

da capacidade resistente e estabilidade local de pilares com índice de esbeltez menor ou igual

a 140, confeccionados a partir de concreto de 𝑓𝑐𝑘 menor ou igual a 50 MPa, conforme a NBR

6118/14.

Page 24: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

23

Específicos

Desenvolver uma sub-rotina capaz de verificar a resistência de um elemento

flexocomprimido no Estado-Limite Último (ELU) de esgotamento da capacidade

resistente devido às solicitações normais.

Desenvolver uma sub-rotina capaz de verificar a instabilidade devido a efeitos de

segunda ordem local pelo métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada, método

do pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada, método do pilar-padrão acoplado a

diagramas momento-curvatura e método geral acoplado a diagramas de momento-

curvatura, conforme a NBR 6118/14.

Comparar resultados obtidos pela planilha com métodos analíticos e softwares de

cálculo comerciais.

Page 25: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

24

2 SEÇÕES DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À

FLEXOCOMPRESSÃO EM ESTADO-LIMITE ÚLTIMO

O concreto armado é um material misto formado pela associação de concreto e barras

de aço que se vale da boa resistência a compressão do concreto em conjunto com a resistência

a tração do aço de modo a resistir de forma econômica a esforços de flexão ou

flexocompressão.

A análise de seções de concreto armado submetidas à flexocompressão consiste em

determinar a distribuição de deformações, e correspondentes tensões, que resulta no equilíbrio

das forças e momentos atuantes na seção.

2.1 Hipóteses básicas

No desenvolvimento deste trabalho foram admitidas as seguintes hipóteses básicas:

1. Linhas retas normais ao plano neutro da peça permanecem retas, normais à superfície

neutra e inalteradas em seu comprimento, após o carregamento [Hipótese das seções

planas].

2. As deformações da armadura passiva são iguais às do concreto em seu entorno.

3. A resistência à tração do concreto é desconsiderada.

2.2 Diagramas de tensão-deformação

Os diagramas de tensão-deformação do concreto comprimido e do aço foram adotados

conforme a NBR 6118/14, de acordo os diagramas das figuras 9 e 10, respectivamente.

A tensão de compressão no concreto pode ser determinada a partir da equação 12,

enquanto a tensão no aço pode é descrita pela equação 13. Neste trabalho a tração é

considerada com sinal positivo, portanto as tensões no concreto são sempre negativas.

𝜎𝑐 = {−0,85 𝑓𝑐𝑑 [1 − (1 −

𝜀𝑐𝜀𝑐2)𝑛

] , 0 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐2

−0,85 𝑓𝑐𝑑 , 𝜀𝑐 ≥ 𝜀𝑐2

(12)

|𝜎𝑠| ≤ {𝐸𝑠𝜀𝑠𝑓𝑦𝑑

(13)

Onde: 𝜎𝑐 é a tensão de compressão no concreto.

𝑓𝑐𝑑 é a resistência de cálculo à compressão do concreto, obtida dividindo-se a

resistência característica à compressão do concreto, 𝑓𝑐𝑘, pelo coeficiente de ponderação da

resistência do concreto, 𝛾𝑐, usualmente igual a 1,4;

Page 26: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

25

𝜀𝑐 é a deformação específica de encurtamento no concreto;

𝜀𝑐2 é a deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar

plástico, que é igual a 0,2% para concretos de classe até C50;

𝑛 é um parâmetro adimensional que, para concretos de classes até C50 é igual a

2;

𝜎𝑠 é a tensão no aço, que será positiva na tração e negativa na compressão;

𝐸𝑠 é o módulo de elasticidade longitudinal do aço, que, na falta de ensaios ou

valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido como 210 GPa;

𝜀𝑠 é a deformação específica no aço;

𝑓𝑦𝑑 é a resistência de cálculo ao escoamento do aço, obtida dividindo-se a

resistência característica ao escoamento do aço, 𝑓𝑦𝑘, pelo coeficiente de ponderação da

resistência do aço, 𝛾𝑠, usualmente igual a 1,15.

Figura 9 – Diagrama de tensão-deformação do concreto submetido à compressão.

Fonte: ABNT, 2014, p. 26.

Page 27: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

26

Figura 10 – Diagrama de tensão-deformação do aço.

Fonte: ABNT, 2014, p. 29.

2.3 Domínios de estado-limite último

Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), o estado-limite último [ELU] de esgotamento da

capacidade resistente devido às solicitações normais fica caracterizado quando a distribuições

de deformações da seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 11.

Figura 11 – Domínios de estado-limite último de uma seção transversal de concreto armado.

Fonte: ABNT, 2014, p. 122.

Nesse ELU, a reta que define distribuição de deformações passa, necessariamente, por

um dos pontos A, B ou C, e a ruptura pode ser por deformação plástica excessiva do aço

(domínios 1 e 2 ou reta a) ou por encurtamento-limite do concreto (domínios 3, 4, 4a e 5 e reta

Page 28: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

27

b). O domínio de deformação pode ser definido a partir da inclinação e profundidade da linha

neutra na seção, conforme demonstrado na seção 2.4.

2.4 Deformação num ponto qualquer da seção transversal

Se admitirmos, de acordo com a primeira hipótese básica deste trabalho, que as seções

transversais permanecem planas após o carregamento, a deformação específica de qualquer

ponto da seção (εc) pode ser escrita em função de três variáveis: a deformação específica do

centro geométrico da seção (εcg), a curvatura da seção (𝑘) e a distância do ponto considerado

à linha neutra (𝑦′, ver figura 12), conforme a equação 14.

𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑔 + 𝑘 ∙ 𝑦′ (14)

Figura 12 – Seção de concreto armado no domínio 4.

Fonte: Autor.

A curvatura e a deformação específica do centro geométrico da seção podem ser

determinados a partir da figura 11, segundo as equações 15, 16 e 17.

Se 𝑥𝐿𝑁 ≤ (𝜀𝑐𝑢

𝜀𝑐𝑢+1%)𝑑 → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 1 𝑜𝑢 2:

Page 29: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

28

𝜀𝑐𝑔 = 10‰− 𝑘 ∙ (𝑑 − 𝑦𝑠𝑢𝑝′ ), 𝑘 =

10‰

𝑑 − 𝑥𝐿𝑁

(15)

Se (𝜀𝑐𝑢

𝜀𝑐𝑢+1%)𝑑 < 𝑥𝐿𝑁 ≤ ℎ → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 3 𝑜𝑢 4:

𝜀𝑐𝑔 = 𝜀𝑐𝑢 + 𝑘 ∙ 𝑦𝑠𝑢𝑝′ , 𝑘 =

𝜀𝑐𝑢𝑥𝐿𝑁

(16)

Se 𝑥𝐿𝑁 > ℎ → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 5:

𝜀𝑐𝑔 = (𝑦𝑠𝑢𝑝′ − 𝑥𝐿𝑁) ∙ 𝑘, 𝑘 =

𝜀𝑐2

𝑥𝐿𝑁 −3ℎ7

(17)

2.5 Resistência à flexão da seção transversal

A resistência da seção transversal a momentos fletores está diretamente relacionada à

intensidade do esforço normal solicitante (𝑁𝑠) e ao ângulo de inclinação da linha neutra (𝛼,

conforme a figura 12). Os momentos fletores resistentes só podem ser determinados quando

se encontra a distribuição de tensões da seção transversal que equilibra o esforço normal

solicitante conforme a equação 18. O problema passa a ser, portanto, encontrar a raiz da

função 𝑓. Quando a raiz dessa função é determinada, o cálculo dos momentos resistentes pode

ser realizado através das equações 19 e 20.

𝑓(𝑥𝐿𝑁) = ∫ 𝜎𝑐𝑑𝐴𝐴

+∑𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝐴𝑠𝑖

𝑗

𝑖=1

− 𝑁𝑆 = 𝑅 − 𝑁𝑠 = 0 (18)

𝑀𝑅𝑑,𝑥 = −∫ 𝜎𝑐 ∙ 𝑥𝑐 ∙ 𝑑𝐴𝐴

−∑𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝑥𝑠𝑖 ∙ 𝐴𝑠𝑖

𝑗

𝑖=1

(19)

𝑀𝑅𝑑,𝑦 = −∫ 𝜎𝑐 ∙ 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝐴𝐴

−∑𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖 ∙ 𝐴𝑠𝑖

𝑗

𝑖=1

(20)

Onde: 𝑁𝑠 é o esforço normal solicitante atuando na seção;

𝑅 é o esforço normal resistente da seção;

𝑀𝑅𝑑,𝑥 é o momento fletor de projeto resistido pela seção em torno do eixo y,

conforme a figura 13;

𝑀𝑅𝑑,𝑦 é o momento fletor de projeto resistido pela seção em torno do eixo x,

conforme a figura 13;

𝐴𝑠𝑖 é a área da barra de aço “i” considerada;

Page 30: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

29

𝑗 é o número de barras de aço na seção;

𝑥𝑐 é a distância ao longo do eixo x entre o centro geométrico do elemento

considerado e o centro geométrico da seção conforme a figura 13;

𝑦𝑐 é a distância ao longo do eixo y entre o centro geométrico do elemento

considerado e o centro geométrico da seção conforme a figura 13.

Figura 13 – Seção de concreto armado.

Fonte: Autor.

2.6 Metodologia de solução numérica da planilha de cálculo

Conforme discutido na seção 2.5, a verificação da capacidade resistente de uma seção

de concreto pode ser resumida à determinação da posição da linha neutra (𝑥𝐿𝑁) que equilibra a

seção em termos de esforço normal, para um dado valor de α, com posterior cômputo dos

momentos resistentes. O processo iterativo adotado na determinação da posição da linha

neutra na planilha de cálculo é descrito pelos dois passos a seguir, enquanto que a

determinação do momento resistente é realizada no terceiro passo. Todo o processo é

resumido ao final da seção por um fluxograma (figura 16).

Passo 1: Determinação do intervalo de iteração

O primeiro passo da metodologia de solução consiste em encontrar um intervalo

(𝑥𝑚í𝑛; 𝑥𝑚á𝑥) que contenha a posição de linha neutra que equilibra a seção (𝑥𝐿𝑁). Para tanto,

estimam-se como ponto de partida duas posições de linha neutra, uma inferior (𝑥𝑚í𝑛) e outra

Page 31: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

30

superior (𝑥𝑚á𝑥). Neste trabalho, parte-se dos pontos 𝑥𝑚í𝑛 = ℎ/4 e 𝑥𝑚á𝑥 = ℎ e calcula-se o

esforço normal resistente referente a essas profundidades de linha neutra.

Para garantir que o intervalo (ℎ

4; ℎ) contenha 𝑥𝐿𝑁, a função 𝑓(

4) deve ser positiva,

indicando que a seção está tracionada e que a real posição da linha neutra que equilibra a

seção seria um valor superior a ℎ/4. Analogamente, 𝑓(ℎ) deve resultar num valor negativo,

indicando que a seção está comprimida e que a posição da linha neutra para equilíbrio da

seção (𝑥𝐿𝑁) é um valor inferior a h.

Se tais condições não forem atendidas no intervalo de partida, amplia-se o intervalo,

modificando os valores mínimo e/ou máximo do intervalo até que se garanta que o intervalo

analisado contenha o 𝑥𝐿𝑁, conforme a figura 14.

Figura 14 – Intervalo de iteração contendo a posição da linha neutra.

Fonte: Autor.

Passo 2: Determinação da altura da linha neutra

Uma vez determinado um intervalo (𝑥1; 𝑥2) que contém 𝑥𝐿𝑁, utiliza-se o método das

secantes para determinar a raiz da função 𝑓. Como se trata de uma análise numérica, é

necessário definir uma condição de parada. Neste trabalho, a aproximação é considerada

adequada quando o módulo do valor da função 𝑓 foi menor que 0,1% de 𝑁𝑠 ou 0,1 kN.

A aproximação seguinte do valor de 𝑥𝐿𝑁 (𝑥3) pelo método da secante é calculada pela

equação 21:

xmín ou x1

xLN; R(xLN) ≈ Ns = -1250

xmáx ou x2

5

10

15

20

25

30

35

-2000 -1500 -1000 -500 0 500

x (

cm)

R (kN)

Intervalo Contendo a Posição da Linha Neutra

Page 32: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

31

𝑥3 = 𝑥2 − 𝑓(𝑥2)𝑥1 − 𝑥2

𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2) (21)

Calcula-se 𝑓(𝑥3) e verifica-se se a condição de parada foi atendida. Caso a condição

de parada não seja atendida, analisa-se o sinal da função 𝑓(𝑥3): se positivo, significa que a

seção está tracionada e que 𝑥𝐿𝑁 > 𝑥3, e portanto adota-se 𝑥3 como novo limite inferior do

intervalo. Caso contrário, 𝑥3 é adotado como limite superior do novo intervalo. O passo 2 é

repetido até que se encontre uma posição de linha neutra que satisfaça a condição de parada.

Passo 3: Determinação dos momentos resistentes e produção da envoltória resistente

Determinada a profundidade da linha neutra, os momentos resistentes podem ser

computados pelas equações 19 e 20. A inclinação da linha neutra (𝛼) é aumentada e uma nova

posição de linha neutra é encontrada pelos passos 1 e 2. É feito o cômputo de um novo par de

momentos resistentes; esse processo se repete até que esteja determinada uma envoltória de

ruptura completa, ou seja, o ângulo 𝛼 varie de 0 a 360º, com cada ângulo fornecendo um par

distinto de momentos resistentes. Esses pares de momentos resistentes podem ser plotados

num gráfico para formar a envoltória resistente da seção (figura 15). Se o ponto que define os

momentos solicitantes de projeto estiver interno à envoltória resistente, como é o caso do

ponto losangular na figura abaixo, a seção resiste às solicitações aplicadas.

Figura 15 – Diagrama de interação de uma seção de concreto armado.

Fonte: Autor.

Page 33: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

32

Figura 16 – Metodologia de solução numérica da planilha.

Fonte: Autor.

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33

3 ANÁLISE DA SEGUNDA ORDEM LOCAL EM PILARES

Conforme discutido por Cardoso Júnior (2014), quando um pilar como o da figura 17

é submetido a uma força normal de compressão P e um momento M, a deformação do pilar

causa um deslocamento do ponto de aplicação da força P. Esse deslocamento produz um

aumento do momento fletor no pilar, quando analisado em sua condição deformada. Esse

acréscimo de momento é denominado momento de segunda ordem.

Figura 17 – Momentos de primeira e segunda ordem num pilar em balanço.

Fonte: Adaptado de Cardoso Júnior, 2014, p. 16.

3.1 Equação diferencial do equilíbrio de um pilar sem carregamentos transversais

Considere uma barra biapoiada conforme a figura 18, submetida a uma carga normal P

constante ao longo de seu comprimento, às reações dos apoios V e aos momentos aplicados

M1 e M2.

Figura 18 – Pilar biapoiado submetido a um carregamento.

Fonte: Autor.

Page 35: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

34

Com a aplicação das solicitações, a barra se deforma de tal maneira que a flecha numa

seção transversal qualquer da barra é descrita pela função w(x). Numa seção genérica,

ocorrem o esforço normal P, o momento fletor M(x) e o esforço cortante V. Se for analisado

um elemento infinitesimal de barra de comprimento dx, o equilíbrio desse elemento se deve à

ação de esforços em suas extremidades conforme a figura 19.

Figura 19 – Esforços num elemento infinitesimal de barra.

Fonte: Autor.

O equilíbrio dos momentos em torno da seção C produz a equação 22, que pode ser

simplificada na forma da equação 23:

−𝑀 + (𝑀 +𝑑𝑀

𝑑𝑥𝑑𝑥) − 𝑃

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑑𝑥 − 𝑉𝑑𝑥 = 0 (22)

𝑑𝑀

𝑑𝑥− 𝑃

𝑑𝑤

𝑑𝑥− 𝑉 = 0 (23)

Se a equação 23 for diferenciada em x, e admitindo-se que tanto P quanto V são

constantes1 em x, tem-se:

𝑑2𝑀

𝑑𝑥2− 𝑃

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2= 0 (24)

Essa equação diferencial é válida para qualquer material (de comportamento elástico-

linear ou não), já que não foi feita nenhuma hipótese sobre a relação de momento-curvatura

para as seções transversais da barra. Se for admitido um material elástico-linear no regime de

rotações moderadas, a relação entre o momento fletor e a curvatura de uma seção pode ser

expressa pela equação 25, conforme demonstrado por Garcia (2007).

1

𝑟≈𝑑2𝑤

𝑑𝑥2≈ −

𝑀

𝐸𝐼 (25)

Substituindo a expressão anterior na equação 24, obtém-se:

1 Desconsiderando-se o efeito peso próprio ao longo do tramo do pilar (o que leva a P constante em x) e

admitindo-se a ausência de carregamentos transversais ao longo do pilar (V constante em x).

Page 36: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

35

𝑑2

𝑑𝑥2(𝐸𝐼

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2) + 𝑃

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2= 0 (26)

Essa é a equação diferencial de equilíbrio dos pilares constituídos por um material

elástico-linear e com esforço cortante constante ao longo do comprimento analisado. Se a

rigidez à flexão 𝐸𝐼 for considerada constante ao longo da barra, a equação diferencial de

equilíbrio pode ser simplificada para:

𝐸𝐼𝑑4𝑤

𝑑𝑥4+ 𝑃

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2= 0 (27)

A equação acima é uma equação diferencial homogênea e de quarta ordem e pode ser

resolvida pela solução geral:

𝑤(𝑥) = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) + 𝐶3𝑥 + 𝐶4, 𝑘 = √𝑃/𝐸𝐼 (28)

As constantes C1 a C4 são obtidas por condições de contorno, que podem ser

mecânicas (esforços prescritos) ou geométricas (deslocamentos e rotações prescritos),

dependendo das condições de apoio do pilar, como demonstrado na seção 3.1.1.

Solução analítica da equação diferencial do equilíbrio

Sendo o pilar biapoiado, conforme a figura 18, há duas condições de contorno

geométricas e duas mecânicas, pois os deslocamentos transversais nos apoios serão nulos e os

momentos fletores nos apoios serão iguais aos momentos externos aplicados. As quatro

condições de contorno podem ser escritas da seguinte maneira:

1. 𝑤(0) = 0

2. 𝑤(𝐿) = 0

3. 𝑀(0) = 𝑀1

4. 𝑀(𝐿) = 𝑀2

Se o pilar composto por um material elástico-linear, a equação 25 é válida e o

momento fletor se escreve:

𝑀(𝑥) = −𝑑2𝑤

𝑑𝑥2∙ 𝐸𝐼 = −𝐸𝐼(𝐶1 ∙ k

2 cos(𝑘𝑥) + 𝐶2 ∙ 𝑘2𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)) (29)

Observando-se que k2 = P/EI, a equação 29 pode ser simplificada para:

𝑀(𝑥) = −𝑑2𝑤

𝑑𝑥2∙ 𝐸𝐼 = −𝐶1 ∙ 𝑃 cos(𝑘𝑥) − 𝐶2 ∙ 𝑃𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) (30)

Aplicando-se a terceira condição de contorno à equação 30, obtém-se a primeira

constante:

Page 37: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

36

𝑀(0) = 𝑀1 = −𝐶1 ∙ 𝑃 cos(0)⏞ 1

− 𝐶2 ∙ 𝑃 𝑠𝑒𝑛(0)⏞ 0

) → 𝐶1 = −𝑀1𝑃

(31)

A primeira condição de contorno pode ser aplicada à solução geral para que se obtenha

a quarta constante:

𝑤(0) = 0 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(0) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(0) + 𝐶3 ∙ 0 + 𝐶4 → 𝐶4 = −𝐶1 =𝑀1𝑃

(32)

A quarta condição de contorno, quando aplicada à equação 30, produz:

𝑀(𝐿) = 𝑀2 = −𝐸𝐼(𝐶1 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑠(𝑘𝐿) − 𝐶2 ∙ 𝑃𝑠𝑒𝑛(𝑘𝐿)) (33)

Da equação acima pode-se definir C2:

𝐶2 =−𝑀2 csc(𝑘𝐿) + 𝑀1 𝑡𝑔(𝑘𝐿)

𝑃 (34)

Por fim, a constante C3 pode ser determinada ao se aplicar a segunda condição de

contorno à equação 28:

𝐶3 =1

𝑃𝐿[𝑀2 +𝑀1 (

cos2(𝑘𝐿) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝐿)

cos (𝑘𝐿)−1)] (35)

E o deslocamento transversal resulta:

𝑤(𝑥) =𝑀1𝑃(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)) +

−𝑀2 csc(𝑘𝐿) + 𝑀1 𝑡𝑔(𝑘𝐿)

𝑃𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) +

𝑥

𝑃𝐿∙

∙ [𝑀2 +𝑀1 (cos2(𝑘𝐿) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝐿)

cos (𝑘𝐿)−1)]

(36)

3.2 Pilar-Padrão

O pilar-padrão é um processo simplificado de análise da segunda ordem local em

barras flexocomprimidas. Carvalho e Pinheiro (2009) explicam que o método busca

identificar a seção mais solicitada de um pilar engastado e livre e estabelecer expressões para

o cálculo do efeito de segunda ordem, com uso das seguintes hipóteses simplificadoras:

1. A linha elástica do pilar apresenta forma senoidal;

2. A flecha máxima 𝑎 é diretamente proporcional à curvatura máxima da barra;

3. É desconsiderada a não-linearidade física do pilar.

4. A curvatura (1/r) é igual ao oposto(2) da segunda derivada da equação da linha elástica,

conforme a equação 38.

A linha elástica 𝑤 é expressa pela seguinte função contínua:

𝑤(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

𝑙𝑒∙ 𝑥) (37)

2 Oposto devido à convenção de sinais utilizada neste trabalho.

Page 38: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

37

Na equação 37, 𝑎 é a flecha máxima do pilar e 𝑙𝑒 é o comprimento equivalente de

flambagem, cuja definição dada pela NBR 6118 é detalhada na figura 21, seção 3.4.

De acordo com a quarta hipótese simplificadora:

−(1

𝑟) =

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2 (38)

Derivando-se a equação 37 duas vezes em 𝑥, chega-se a:

−(1

𝑟) =

𝑑2𝑤

𝑑𝑥2= −

𝜋2

𝑙𝑒2∙ 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

𝑙𝑒∙ 𝑥) (39)

Para 𝑥 = 𝑙𝑒/2 (extremidade livre do pilar engastado e livre, onde se apresenta a flecha

máxima), a equação acima toma a forma de:

(1

𝑟) =

𝜋2

𝑙𝑒2∙ 𝑎 → 𝑎 =

𝑙𝑒2

𝜋2∙ (1

𝑟) (40)

Por fim, se for admitido 𝜋2 = 10, o deslocamento máximo no pilar-padrão é dado por:

𝑎 =𝑙𝑒2

10∙ (1

𝑟) (41)

A equação 41 demonstra que, no pilar-padrão, a excentricidade máxima de segunda

ordem é diretamente proporcional à curvatura máxima do pilar. Portanto, o momento

adicional na seção de flecha máxima devido aos efeitos de segunda ordem pode ser calculado

por:

𝑀2 (𝑥 =𝑙𝑒2) = 𝑃 ∙

𝑙𝑒2

10(1

𝑟) (42)

Desde que se conheça a curvatura máxima do pilar, a determinação do momento de

segunda ordem é direta; essa curvatura pode ser determinada de forma aproximada ou exata,

conforme os métodos expostos em 3.5.

3.3 Rigidez e relações momento-curvatura

Segundo a NBR 6118/14 (p. 100), o efeito da não-linearidade física na rigidez do pilar

pode ser, em geral, considerado através da elaboração da relação momento-curvatura para

cada seção, desde que conhecidos a armadura e o valor da força normal atuante.

Na construção da relação momento-curvatura da seção, a NBR 6118 permite a adoção

de uma formulação de segurança em que os efeitos de 2ª ordem são calculados com cargas

majoradas de 𝛾𝑓/𝛾𝑓3, com 𝛾𝑓3 = 1,1, conforme a equação 44. Posteriormente, os efeitos são

majorados de 𝛾𝑓3, conforme a equação 43:

𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛾𝑓3 ∙ 𝑆(𝐹) (43)

Page 39: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

38

𝐹 = [𝛾𝑓

𝛾𝑓3𝐹𝑔𝑘 +

𝛾𝑓

𝛾𝑓3(𝐹𝑞1𝑘 +∑𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘

𝑛

2

)] (44)

Onde: Sd,tot é a intensidade de projeto da solicitação de 2ª ordem;

𝛾𝑓 é o coeficiente de ponderação das ações;

𝛾𝑓3 é um coeficiente de ponderação que leva em consideração aproximações de

projeto;

𝐹𝑔𝑘 é o somatório das ações permanentes com seus valores característicos;

𝐹𝑞𝑘 é a ação variável com seus valores característicos;

𝜓0 é o fator de redução de combinação para ELU.

Além disso, a tensão de pico do concreto é tomada como 1,10𝑓𝑐𝑑 (e não 0,85𝑓𝑐𝑑, como

no ELU). Essa consideração se deve ao fato de que na situação de perda de estabilidade, nem

todas as seções do pilar estão atingindo o esgotamento da capacidade resistente ao mesmo

tempo (CARDOSO JÚNIOR, 2014). Assim, a relação de momento-curvatura de uma seção

de concreto armado apresenta o aspecto da figura 20.

Figura 20 – Relação momento-curvatura.

Fonte: Adaptado de ABNT, 2014.

Na figura 20, o valor de 𝑀𝑅𝑑, necessário para o traçado da reta AB é o momento

resistente obtido com o esforço normal solicitante igual a 𝑁𝑅𝑑 e tensão de pico do concreto

igual a 0,85 𝑓𝑐𝑑.

A curva cheia AB é resultado da consideração da tensão de pico igual a 1,10 𝑓𝑐𝑑 e do

esforço normal solicitante igual a 𝑁𝑅𝑑/𝛾𝑓3. Essa curva pode ser linearizada, em favor da

Page 40: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

39

segurança, pela reta AB. Dessa reta é determinada a rigidez secante (𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐, que pode ser

utilizada em processos aproximados de flexão composta.

O uso da rigidez secante é um bastante relevante, pois significa que o pilar pode ser

tratado, em processos aproximados, por uma análise elástico-linear.

3.4 Índice de esbeltez 𝝀

A esbeltez de um pilar qualquer pode ser avaliada pelo seu índice de esbeltez. Esse

índice atua como indicativo da importância dos efeitos de segunda ordem local num pilar, e é

calculado pela razão entre o comprimento equivalente de flambagem (𝑙𝑒) e o raio de giração

(𝑖), de acordo com a direção considerada.

𝜆 =𝑙𝑒𝑖, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 = √

𝐼𝑐𝐴𝑐

(45)

𝐼𝑐 é a inércia da seção bruta de concreto, enquanto 𝐴𝑐 é a área da seção bruta de

concreto. O comprimento equivalente de flambagem, para pilares biapoiados, é o menor valor

entre a distância entre eixos dos apoios (𝑙) ou a distância as faces internas dos elementos

estruturais que vinculam o pilar (𝑙0), mais a altura da seção transversal do pilar na direção

considerada (ℎ), conforme a figura 21.

Figura 21 – Determinação do comprimento equivalente de flambagem.

Fonte: Cardoso Júnior, 2014, p. 26.

A NBR 6118 (ABNT, 2014) trata da análise dos efeitos de segunda ordem local na

seção 15.8. Nessa seção, a ABNT prescreve que pilares devem ter índice de esbeltez menor

Page 41: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

40

ou igual a 200 (𝜆 ≤ 200), exceto em casos de elementos pouco comprimidos, com força

normal solicitante inferior a 0,10 𝑓𝑐𝑑𝐴𝑐 (onde 𝐴𝑐 é a área da seção bruta de concreto).

Segundo Araújo (2010), quando analisados em termos de efeitos de segunda ordem, os

pilares podem ser classificados em curtos, medianamente esbeltos e esbeltos. Pilares curtos

(𝜆 < 𝜆1, onde 𝜆1 é definido na seção 3.4) são aqueles cujos esforços obtidos na configuração

deformada – usando a teoria de segunda ordem – são praticamente iguais aos esforços da

configuração indeformada, e portanto os efeitos de segunda ordem são pouco relevantes.

Nos pilares moderadamente esbeltos (𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 90), os efeitos de segunda ordem local

são mais significativos e precisam ser considerados, mas podem ser analisados por processos

simplificados. Por fim, os pilares esbeltos (90 < 𝜆 ≤ 140) são aqueles em que os efeitos de

segunda ordem são tão importantes que sua análise não admite processos simplificados: a

análise de pilares esbeltos requer a consideração da não linearidade física e da não linearidade

geométrica de forma não-aproximada, além da consideração dos efeitos de fluência.

A NBR 6118 (ABNT, 2014) define um último tipo de pilar em termos de esbeltez,

chamado neste trabalho de pilar muito esbelto (𝜆 > 140). Para esses pilares, é obrigatório a

utilização do método geral (descrito em 3.5.1, porém não adotado na planilha de cálculo),

sendo igualmente obrigatório majorar os esforços solicitantes finais de cálculo pelo

coeficiente 𝛾𝑛1, calculado conforme a equação 46:

𝛾𝑛1 = 1 + (0,01 ∙𝛾 − 140

1,4) (46)

Índice de esbeltez limite λ1

Pilares curtos são pilares cujos efeitos de segunda ordem local são pouco significativos

e, portanto, não precisam ser analisados. A NBR 6118 (ABNT, 2014) usa o índice de esbeltez

limite 𝛾1 para definir pilares cujos efeitos de 2ª ordem local podem ser desconsiderados.

O valor de 𝜆1 depende da direção considerada (𝑦 ou 𝑥), da altura da seção na direção

considerada (ℎ), da excentricidade de primeira ordem (𝑒1, que considera também os efeitos de

segunda ordem global, quando houver), da vinculação nos extremos do pilar e da forma do

diagrama de momentos fletores de 1ª ordem. 𝜆1 pode ser calculado pela equação 47:

𝜆1 =25 + 12,5𝑒1/ℎ

𝛼𝑏, 35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 (47)

Page 42: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

41

O parâmetro 𝛼𝑏 considera as vinculações nos extremos do pilar e a forma do diagrama de

momentos fletores, sendo obtido, para pilares biapoiados e sem cargas transversais

significativas (foco deste trabalho), conforme a equação 48:

𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4𝑀𝐵𝑀𝐴, 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 (48)

Onde: 𝑀𝐴 é o momento de primeira ordem (considerando também, se houver, a 2ª ordem

global) no extremo do pilar de maior valor absoluto, e deve ser tomado com valor positivo;

𝑀𝐵 é o momento de primeira ordem no outro extremo do pilar biapoiado, e deve

ter valor positivo se tracionar as mesmas fibras que 𝑀𝐴.

3.5 Métodos de determinação dos efeitos de segunda ordem local

A NBR 6118 (ABNT, 2014) aborda quatro métodos para a determinação dos esforços

adicionais de segunda ordem local em pilares: O método do pilar-padrão com curvatura

aproximada, que pode ser empregado na análise de 2ª ordem local de pilares medianamente

esbeltos; o método do pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada, também limitado a pilares

medianamente esbeltos; o método do pilar-padrão associado a diagramas de momento-

curvatura, que pode ser utilizado no cálculo de pilares esbeltos (90 < 𝜆 ≤ 140) e, por fim, o

método geral, que é obrigatório na análise de pilares muito esbeltos (𝜆 > 140).

Neste trabalho, a planilha de cálculo foi elaborada para a análise de segunda ordem

local pelos seguintes métodos:

Pilar-padrão com curvatura aproximada;

Pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada;

Pilar-padrão associado a diagramas de momento-curvatura;

Método geral sem a consideração da relação momento-curvatura real.

É importante ressaltar a inadequação desta planilha de cálculo para a análise de pilares

muito esbeltos, pois para esses pilares a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 109) exige a “[...]

consideração da relação momento-curvatura real em cada seção.”

Método do pilar-padrão com curvatura aproximada

O método do pilar-padrão com curvatura aproximada, empregável apenas no cálculo

de pilares medianamente esbeltos (𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 90) com seção constante e armadura simétrica e

constante ao longo do eixo.

Page 43: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

42

Neste método, a não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada,

admitindo-se que a deformação da barra comprimida seja uma curva senoidal; a não

linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada para a curvatura do

pilar, que é calculada da seguinte maneira conforme a equação 49, enquanto o momento fletor

máximo é avaliado pela equação 50:

1

𝑟=

0,005

ℎ(𝜈 + 0,5)≤0,005

ℎ (49)

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴 +𝑁𝑆𝑑𝑙𝑒2

10∙1

𝑟≥ 𝑀1𝑑,𝐴 (50)

Onde: 1

𝑟 é a cuvatura aproximada do pilar;

ℎ é a altura da seção na direção considerada;

𝜈 é a força normal adimensional, calculada por 𝜈 = 𝑁𝑑/(𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑);

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 é o momento fletor solicitante de projeto máximo;

𝑀1𝑑,𝐴 é o maior momento fletor na extremidade do pilar 𝑀𝐴, conforme a seção 3.4;

𝑁𝑆𝑑 é o esforço normal solicitante de projeto.

Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada

Assim como o descrito na seção 3.5.1, o pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada só

pode ser usado no cálculo de pilares com 𝜆 ≤ 90, de armadura simétrica e constante ao longo

do eixo. Uma outra limitação deste método é que ele só se aplica a pilares com seção

retangular constante.

A deformada transversal do pilar é também considerada por uma curva senoidal, mas a

não linearidade física é aproximada pela rigidez adimensional 𝜅. O momento fletor máximo é

calculado pela equação 51. O valor da rigidez κ pode ser determinado pela equação

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 =𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

1 −𝜆2

120𝜅/𝜈

≥ 𝑀1𝑑,𝐴 (51)

𝜅 = 𝜅𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 32 (1 + 5𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡ℎ ∙ 𝑁𝑑

) 𝜈 (52)

Substituindo a equação 52 na equação 51 e desenvolvendo-se a equação, o momento

fletor solicitante de projeto pode ser calculado por:

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 =−𝑏 + √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐

2𝑎 (53)

Onde: 𝑎 = 5 ∙ ℎ

Page 44: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

43

𝑏 = 𝑁𝑑 (ℎ2 −

𝑙𝑒2

320) − 5 ∙ ℎ ∙ 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

𝑐 = −𝑁𝑑 ∙ ℎ2 ∙ 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura

No caso de pilares esbeltos (90 < 𝜆 ≤ 140), os métodos do pilar-padrão com rigidez e

curvatura aproximados não podem ser utilizados. Para esses pilares, a NBR 6118 (ABNT,

2014) apresenta o método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura.

Neste método, utiliza-se a equação 51 para determinar o momento fletor máximo, com

a diferença de que a rigidez adimensional (𝜅𝑠𝑒𝑐) não é dada por uma expressão aproximada:

ela é calculada a partir da rigidez secante ((𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐), que é por sua vez obtida de um diagrama

de momento-curvatura elaborado conforme a seção 3.3. Conhecida a rigidez secante, a rigidez

adimensional do pilar pode ser determinada pela equação 54:

𝜅𝑠𝑒𝑐 =(𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐𝑏ℎ3 ∙ 𝑓𝑐𝑑

=(𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐

𝑏ℎ3 ∙𝑓𝑐𝑘1,4

(54)

E o momento fletor máximo, conforme a equação 55:

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 =𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

1 −𝜆2

120𝜅𝑠𝑒𝑐/𝜈

≥ 𝑀1𝑑,𝐴 (55)

Onde: 𝐼𝑐 é a inércia da seção bruta de concreto.

𝑏 𝑒 ℎ são a base e a altura do pilar, e dependem da direção considerada.

Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura

O método geral acoplado a diagramas de momento curvatura pode ser utilizado para o

cálculo de pilares esbeltos, mas não para pilares muito esbeltos. Isso ocorre porque neste

método a não linearidade física é considerada de maneira aproximada por meio de diagramas

momento-curvatura.

Neste método, os deslocamentos são determinados de forma iterativa por integração

numérica da equação 25, adotando-se a rigidez secante proveniente da relação momento-

curvatura do pilar. Os deslocamentos na iteração 𝑖 podem ser calculados por:

𝑤𝑖(𝑥) = ∬𝑀𝑖(𝑥)

(𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐𝑑𝑥 (56)

A partir dos deslocamentos calculados, novos momentos fletores solicitantes são

determinados:

Page 45: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

44

𝑀𝑖+1(𝑥) = 𝑀𝑖(𝑥) + 𝑁𝑆𝑑 ∙ 𝑤𝑖(𝑥) (57)

O processo é repetido até que a variação dos momentos fletores solicitantes seja

inferior a um valor de parada predeterminado. Neste trabalho, foi adotado um valor de parada

igual a 1% do momento fletor solicitante de primeira ordem.

Resumo dos métodos

Os métodos de determinação dos efeitos de segunda ordem local apresentados nesta

seção são resumidos abaixo no quadro 2.

Quadro 2 – Resumo dos métodos de determinação dos efeitos de segunda ordem local

Método

Pilar Padrão

Com

Curvatura

Aproximada

Pilar Padrão Com

Rigidez Aproximada

Pilar Padrão com

Diagramas

Momento-

Curvatura

Método Geral com

Diagramas

Momento-

Curvatura

Esbeltez 𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 90 𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 90 𝜆 ≤ 140 𝜆 ≤ 140

Não-

Linearidade

Geométrica

𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

+𝑁𝑆𝑑𝑙𝑒10∙1

𝑟

(Eq. 50)

𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

1 −𝜆2

120𝜅/𝜈

(Eq. 51)

𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

1 −𝜆2

120𝜅𝑠𝑒𝑐/𝜈

(Eq. 55)

Integração numérica

Não-

Linearidade

Física

1

𝑟=

0,005

ℎ(𝜈 + 0,5)

𝜅

= 32 (1

+ 5𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡ℎ ∙ 𝑁𝑑

)𝜈

𝜅𝑠𝑒𝑐 =(𝐸𝐼)

𝑠𝑒𝑐

𝑏ℎ3 ∙𝑓𝑐𝑘1,4

(𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐

Disposição

da

Armadura

Simétrica Simétrica Qualquer Qualquer

Forma da

Seção Qualquer Retangular Qualquer Qualquer

Fonte: Autor.

Conforme indicado por Cardoso Júnior (2014), a palavra “qualquer” do quadro 2 deve

ser tomada com cuidado, pois há muitas formas de seção e disposição de armadura que ainda

não foram devidamente investigadas e para os quais a adequação dos métodos descritos ainda

não foi analisada.

É sempre aconselhável buscar soluções que melhorem a segurança e o desempenho da

estrutura, particularmente no projeto de estruturas menos usuais.

Page 46: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

45

4 FUNCIONAMENTO DA PLANILHA DE CÁLCULO

A planilha desenvolvida neste trabalho tem o intuito de auxiliar o estudo de pilares de

concreto armado, usando quatro métodos de determinação dos esforços de segunda ordem.

Este capítulo aborda a utilização da planilha, demonstrando o procedimento de entrada de

dados e os valores esperados na saída.

4.1 Entrada de dados

A entrada de dados se dá pela primeira planilha do arquivo, intitulada “Entrada de

Dados”, ilustrado na figura 22.

Figura 22 – Entrada de dados.

Fonte: Autor.

Conforme as figuras 22 e 23, são solicitadas as dimensões da seção geométrica

retangular, ℎ𝑥 e ℎ𝑦. Podem ser realizados dois tipos de análise: análise de seção ou análise de

pilar biapoiado. A análise de pilar biapoiado difere da análise da seção por incluir o cômputo

dos efeitos de segunda ordem.

Page 47: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

46

Figura 23 – Entrada de dados: geometria, esforços e parâmetros de segunda ordem.

Fonte: Autor.

Caso seja solicitado o cômputo dos efeitos de segunda ordem, é necessário definir o

comprimento efetivo (𝑙𝑒) e, para pilares com índice de esbeltez superior a 90 em alguma das

direções, o coeficiente de fluência (𝜙) e a relação entre o esforço normal devido às ações

permanentes e o esforço normal total (𝑁𝑠𝑔/𝑁𝑠).

Os momentos solicitantes de projeto e o esforço normal de projeto também precisam

ser definidos. No caso de análise de pilar, são necessários os valores de momento no topo e na

base do pilar.

Figura 24 – Entrada de dados: características dos materiais e detalhamento da armadura.

Fonte: Autor.

Conforme a figura 24, é preciso definir as características do concreto (𝑓𝑐𝑘, 𝛾𝑐) e do aço

da armadura longitudinal (𝑓𝑦𝑘, 𝐸𝑠, 𝛾𝑠). Também é necessário dispor a armadura na seção,

sendo essa disposição feita por meio das coordenadas de cada barra sua respectiva área de

aço. Por fim, para executar a planilha, utiliza-se a combinação de teclas “Ctrl + W”.

Page 48: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

47

4.2 Saída de dados

A saída de dados é expressa na planilha “Resultados”. Os resultados da análise

completa de um pilar são mostrados na figura 25 e podem ser divididos em três categorias:

Resistência da seção, esforços de solicitantes e envoltória resistente.

Figura 25 – Saída de dados.

Fonte: Autor.

Em “Resistência da seção”, são expressos em forma de tabela os valores resultantes da

solução numérica do problema de resistência à flexão da seção transversal, conforme 2.6. Os

valores expressos na tabela são o ângulo de inclinação da linha neutra (ang), a profundidade

da linha neutra (𝑥𝐿𝑁), os momentos resistentes (𝑀𝑅𝑥 e 𝑀𝑅𝑦) e o domínio de deformação no

qual a seção se encontra.

Figura 26 – Saída de dados: resistência da seção.

Fonte: Autor.

Page 49: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

48

Em “Esforços Solicitantes”, são expostos os esforços de primeira ordem, definidos

pelo usuário, e os esforços de segunda ordem, calculados pela planilha. Estes são calculados

pelos quatro métodos expostos neste trabalho: pilar-padrão com curvatura aproximada, pilar-

padrão com rigidez aproximada, pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura e

método geral acoplado a diagramas momento-curvatura. Cada um dos métodos produz

resultados de esforços solicitantes diferentes, que são plotados na envoltória resistente para

facilitar a análise do pilar.

Figura 27 – Saída de dados: resistência da seção.

Fonte: Autor.

A envoltória resistente (figura 28) é a ferramenta que confronta os valores dos

momentos resistentes com os momentos solicitantes. Através dela, é possível determinar de

forma prática se o pilar resiste ou não aos esforços de projeto.

Page 50: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

49

Figura 28 – Saída de dados: envoltória resistente.

Fonte: Autor.

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

-80,0 -60,0 -40,0 -20,0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0

My (

kN

m)

Mx (kNm)

Envoltória ResistenteMomentos Resistentes Momentos de 1ª Ordem

Pilar-Padrão c/ Rigidez Aproximada Pilar-Padrão c/ Diagramas M, N, 1/r

Pilar-Padrão c/ Curvatura Aproximada Método Geral c/ Diagramas M, N, 1/r

Page 51: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

50

5 VALIDAÇÃO DA PLANILHA DE CÁLCULO

A validação da planilha de cálculo se dá através da comparação de seus resultados

com os resultados de outros métodos de solução, tanto analíticos quanto computacionais.

5.1 Verificação de seção

Nesta seção são verificadas as resistências de diversas seções de concreto armado, ora

por métodos analíticos, ora por métodos computacionais.

Verificação analítica da resistência a flexão normal simples

É estudada uma seção retangular de dimensões 40 x 20 cm de concreto armado. O

concreto tem 𝑓𝑐𝑘 = 30 MPa e é reforçado por aço CA-50. A armadura é formada por 2𝜙20

mm, localizadas nos cantos do bordo inferior da seção, com 𝑑′ = 3,5 cm. O módulo de

elasticidade longitudinal do aço é tomado como 210 GPa e os coeficientes minoradores de

resistência são 𝛾𝑠 = 1,15 e 𝛾𝑐 = 1,4.

Figura 29 – Seção em análise.

Fonte: Autor.

A verificação da capacidade resistente à flexão normal simples é um problema

tipicamente resolvido no dimensionamento de vigas e lajes. Essa verificação se resume a

determinar o momento que leva a seção à ruptura e também o domínio de estado-limite último

no qual a peça falhará. Aqui é verificada a capacidade resistente da seção à flexão em torno

do eixo 𝑥.

Page 52: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

51

Conforme a seção 2.6, o primeiro passo da verificação da resistência de uma seção de

concreto armado é a determinação da posição da linha neutra na falha. Neste exemplo, a

posição da linha neutra, determinada pelo processo iterativo exposto no passo 2 da seção 2.6,

resulta em 𝑥𝐿𝑁 = 9,52 cm. De acordo com o exposto na seção 2.4, pode-se determinar, pela

profundidade da linha neutra, que a peça está no domínio 3 e que a armadura escoa a uma

deformação específica de 9,92‰, conforme a figura 30.

Figura 30 – Equilíbrio da seção no ELU.

Fonte: Autor.

As tensões no aço são calculadas conforme a equação 13, enquanto as tensões no

concreto, para a verificação analítica, são expressas por um retângulo com tensão 0,85 𝑓𝑐𝑑 e

profundidade 𝑦 = 0,8 𝑥𝐿𝑁 (simplificação proposta pela NBR 6118/14 em seu item 17.2.2).

Ressalte-se que na planilha de cálculo as tensões em cada elemento de concreto são

determinadas pela equação 12 (diagrama parábola-retângulo).

O momento fletor resistente de projeto pode ser computado pela equação 20,

reproduzida abaixo:

𝑀𝑅𝑑,𝑦 = ∫ 𝜎𝑐 ∙ 𝑦𝑐 ∙ 𝑑𝐴𝐴

+∑𝜎𝑠𝑖 ∙ 𝑦𝑠𝑖 ∙ 𝐴𝑠𝑖

𝑗

𝑖=1

(20)

𝐌𝐑𝐝,𝐲 = −(𝟏, 𝟖𝟐 ∙ 𝟏𝟔, 𝟐 ∙ (𝟎, 𝟖 ∙ 𝟗, 𝟓𝟐 ∙ 𝟐𝟎)) − 𝟒𝟑, 𝟓 ∙ (−𝟏𝟔, 𝟓) ∙ 𝟔, 𝟐𝟖 = 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝒌𝑵𝒄𝒎

𝐌𝐑𝐝,𝐲 = 𝟗𝟎, 𝟎 𝒌𝑵𝒎

Resolvendo-se a seção acima pela planilha de cálculo, obtém-se um momento

resistente de 𝑀𝑅𝑑,𝑦 = 89,2 kNm. A diferença entre os dois resultados é de 0,897%.

Verificação da resistência a flexão composta oblíqua

Page 53: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

52

Nesta verificação adota-se uma seção com armadura assimétrica, senda a geometria, a

armadura e os materiais conforme a figura 31. O esforço normal solicitante de projeto é -1250

kN (compressão).

Figura 31 – Seção submetida a flexão composta oblíqua.

Fonte: Autor.

A verificação da capacidade resistente de uma seção de concreto armado submetida a

flexão composta oblíqua é usualmente realizada por meio de diagramas de interação. Nesta

seção são comparados 8 pontos do diagrama interação produzido pela planilha de cálculo

(figura 32) com os mesmos pontos dos diagramas de interação produzidos pelos softwares P-

Calc (2014) e Oblíqua (2001).

Figura 32 – Envoltória resistente calculada pela planilha de cálculo com indicação dos pontos.

Fonte: Autor.

1

2

3

4

5

6

7

8

-150

-100

-50

0

50

100

-100 -50 0 50 100 150M

y (

kN

m)

Mx (kNm)

Page 54: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

53

Os momentos resistentes nas direções 𝑥 e 𝑦 (conforme as direções convencionadas na

seção 2.5) são expostos na tabela 1. As diferenças nos resultados dos softwares foram

avaliadas por meio do momento resistente total de cada ponto (𝑀𝑅 = √𝑀𝑅𝑥2 +𝑀𝑅𝑦

2 ),

conforme a tabela 2. Comparando-se as diferenças, observa-se que os resultados de momento

resistente total da planilha de cálculo foram idênticos aos resultados do P-Calc, mas

apresentaram-se conservadores em relação aos resultados do Oblíqua, sendo em média 5,5%

inferiores a estes.

Tabela 1 – Momentos Resistentes Calculados, em kNm.

Ponto Planilha P-Calc Oblíqua

MRx MRy MRx MRy MRx MRy

1 33,8 76,8 33,8 76,8 34,0 80,7

2 88,8 57,9 88,8 57,9 92,0 64,2

3 114,3 37,2 114,3 37,2 119,0 40,1

4 131,8 14,4 131,8 14,4 137,2 15,0

5 59,7 -70,8 59,7 -70,8 62,0 -76,8

6 -19,4 -131,8 -19,4 -131,8 -23,0 -136,2

7 -76,7 -32,3 -76,7 -32,3 -81,5 -33,0

8 -25,9 40,1 -25,9 40,1 -30,8 44,0

Fonte: Autor.

Tabela 2 – Diferenças nos momentos calculados.

Ponto Planilha P-Calc Oblíqua

MR (kNm) MR (kNm) Dif. MR (kNm) Dif.

1 83,8 83,8 0,0% 87,6 -4,3%

2 106,0 106,0 0,0% 112,2 -5,5%

3 120,2 120,2 0,0% 125,6 -4,3%

4 132,6 132,6 0,0% 138,0 -3,9%

5 92,6 92,6 0,0% 98,7 -6,2%

6 133,2 133,2 0,0% 138,1 -3,5%

7 83,2 83,2 0,0% 87,9 -5,3%

8 47,8 47,8 0,0% 53,7 -11,0%

Fonte: Autor.

Verificação da resistência de uma seção submetida a flexão composta normal em

comparação ao CAD/TQS

Os resultados de resistência de uma seção flexocomprimida também foram verificados

com os resultados de um dimensionamento de pilares do CAD/TQS, um sistema

computacional de cálculo estrutural. No relatório de dimensionamento de pilares emitido pelo

CAD/TQS (versão 18.5.71), são dados os valores de esforço normal e momentos fletores

solicitantes de cálculo, disposição da armadura e área de aço necessária (𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑐) para resisti-

Page 55: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

54

los. Esses valores foram verificados pela planilha de cálculo e os resultados encontram-se na

tabela 3.

Para o cálculo do momento resistente na planilha de cálculo, a disposição da armadura

foi adotada conforme especificado no relatório de dimensionamento do TQS. A distância

entre o bordo da seção e o centro geométrico das barras (𝑑′) foi determinado pela soma do

cobrimento (3 cm), do diâmetro do estribo (0,63 mm) e do raio das barras longitudinais (1,0

cm), sendo igual a 4,63 cm para todos os pilares, conforme a figura 33.

Figura 33 – Seção genérica.

Fonte: Autor.

A área de aço adotada para cada uma das barra foi igual à área de aço necessária

indicada pelo relatório (𝐴𝑠,𝑛𝑒𝑐) dividida pelo número de barras longitudinais na seção

(𝑛𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠). No pilar P1, lance 2, por exemplo, foram adotadas 6 barras na seção do pilar. Com

uma área de aço necessária igual a 6,98 cm², cada barra de aço teve uma área igual a 1,163̅

cm². Observe-se que essa área de aço não corresponde a uma bitola comercial, representando

apenas um valor numérico usado no processo de dimensionamento do CAD/TQS.

Tabela 3 – Comparações entre momentos resistentes calculados na planilha e no TQS.

Pilar Lance d′

(cm)

hx x hy

(cm x cm) nbarras

As,Nec

(cm²)

N

(kN)

MRx,TQS

(kNm)

MRx,Planilha

(kNm)

Diferença

(%)

P1 2 4,63 19 x 40 6 6,98 -910 30,17 29,96 -0,7%

P1 1 4,63 19 x 40 6 12,68 -1063 34,56 34,40 -0,5%

P4 2 4,63 19 x 40 6 5,89 -884 29,31 28,99 -1,1%

P4 1 4,63 19 x 40 6 11,47 -1033 33,57 33,38 -0,6%

P16 3 4,63 19 x 60 6 11,49 -1392 46,13 45,75 -0,8%

P16 2 4,63 19 x 60 8 22,66 -1672 55,42 55,17 -0,5%

P16 1 4,63 19 x 60 12 31,86 -1953 60,73 60,86 0,2%

Page 56: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

55

P17 3 4,63 19 x 60 6 13,65 -1446 47,94 47,61 -0,7%

P17 2 4,63 19 x 60 10 25,24 -1737 57,58 57,31 -0,5%

P17 1 4,63 19 x 60 12 34,71 -2029 63,11 63,03 -0,1%

Fonte: Autor.

5.2 Determinação dos esforços de segunda ordem local

Nesta seção, são comparados os resultados da análise de segunda ordem local pelos

métodos descritos nas seções 3.5.1 a 3.5.4. O pilar tem seção retangular, comprimento

equivalente de flambagem e esforços de primeira ordem conforme a figura abaixo. O índice

de esbeltez do pilar estudado é 69,3, em ambas as direções.

Figura 34 – Seção, comprimento equivalente e esforços atuantes no pilar.

Fonte: Autor.

Pilar-padrão com curvatura aproximada

Conforme a equação 49, a curvatura do pilar pode ser determinada por:

1

𝑟=

0,005

h(ν + 0,5)=

0,005

30(0,62 + 0,5)= 1,485 ∙ 10−4 𝑐𝑚−1 = 1,485 ∙ 10−2𝑚−1

A curvatura é igual nas duas direções porque ℎ𝑥 = ℎ𝑦. Já os momentos de segunda

ordem dependem do parâmetro 𝛼𝑏, que são diferentes para as direções 𝑥 e 𝑦.

𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4𝑀𝐵𝑀𝐴, 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 (48)

𝛼𝑏𝑥 = 0,6 + 0,450

50= 1 𝛼by = 0,6 + 0,4

75

25= 0,73̅

O cálculo do máximo momento fletor de segunda ordem, de forma analítica:

𝑀𝑆𝑑𝑥,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏𝑥𝑀1𝑑𝑥,𝐴 + 𝑁𝑆𝑑le2

10∙1

𝑟𝑥= 1 ∙ 50 + 1000 ∙

62

10∙ 1,485 ∙ 10−2 = 103,5 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑆𝑑𝑦,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏𝑦𝑀1𝑑𝑦,𝐴 + 𝑁𝑆𝑑le2

10∙1

𝑟𝑦= 0,73̅ ∙ 75 + 1000 ∙

62

10∙ 1,485 ∙ 10−2 = 108,5 𝑘𝑁𝑚

Page 57: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

56

Na planilha de cálculo, os resultados são:

𝑀𝑆𝑑𝑥,𝑡𝑜𝑡 = 103,5 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑆𝑑𝑦,𝑡𝑜𝑡 = 108,5 𝑘𝑁𝑚

Pilar-padrão com rigidez 𝜿 aproximada

Conforme a seção 3.5.2, o cálculo do pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada pode ser

determinado por processo iterativo ou de forma exata pela equação 53, reproduzida abaixo.

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 =−𝑏 + √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐

2𝑎

Onde: 𝑎 = 5 ∙ ℎ

𝑏 = 𝑁𝑑 (ℎ2 −

𝑙𝑒2

320) − 5 ∙ ℎ ∙ 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

𝑐 = −𝑁𝑑 ∙ ℎ2 ∙ 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴

Na direção x:

𝑎 = 5 ∙ 0,3 = 1,5 𝑚

𝑏 = 1000 (0,32 −62

320) − 5 ∙ 0,3 ∙ 1 ∙ 50 = −97,5 𝑘𝑁𝑚2

𝑐 = −1000 ∙ 0,32 ∙ 1 ∙ 50 = −4500 𝐾𝑁2𝑚³

𝑀𝑆𝑑𝑥,𝑡𝑜𝑡 =−(−97,5) + √(−97,5)2 − 4 ∙ 1,5 ∙ (−4500)

2 ∙ 1,5= 96,2 𝑘𝑁𝑚

Na direção y:

𝑎 = 5 ∙ 0,3 = 1,5 𝑚

𝑏 = 1000 (0,32 −62

320) − 5 ∙ 0,3 ∙ 0,73̅ ∙ 75 = −105 𝑘𝑁𝑚²

𝑐 = −1000 ∙ 0,32 ∙ 0,73̅ ∙ 75 = −4949,8 𝐾𝑁2𝑚³

𝑀𝑆𝑑𝑥,𝑡𝑜𝑡 =−(−105) + √(−105)2 − 4 ∙ 1,5 ∙ (−4949,8)

2 ∙ 1,5= 102,3 𝑘𝑁𝑚

Na planilha de cálculo, os resultados são:

𝑀𝑆𝑑𝑥,𝑡𝑜𝑡 = 96,2 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑆𝑑𝑦,𝑡𝑜𝑡 = 102,3 𝑘𝑁𝑚

Método do pilar-padrão acoplado a diagramas momento-curvatura

Este método requer a elaboração de um diagrama momento-curvatura conforme a

seção 3.3. Como esse diagrama é uma solução numérica ao problema do pilar-padrão, não é

viável fazer uma verificação analítica. Como parâmetro de comparação, portanto, foi adotado

Page 58: ITAJÁ DANTAS DE SOUZA JÚNIOR PLANILHA DE CÁLCULO …

57

o P-Calc (2014) para as comparações. Foi adotado 𝛾𝑓3 = 1,1 na elaboração dos diagramas

momento-curvatura.

Tabela 4 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc.

Posição

Planilha P-Calc

Direção Direção

𝒙 𝒚 𝒙 𝒚

(𝑬𝑰)𝒔𝒆𝒄(𝒌𝑵𝒎²) 1,13∙104 1,13∙104 1,13∙104 1,13∙104

𝜿𝒔𝒆𝒄 78,0 78,0 78,0 78,0

𝑴𝑺𝒅,𝒕𝒐𝒕(𝒌𝑵𝒎) 73,4 80,8 73,0 80,3 Fonte: Autor.

Método geral acoplado a diagramas momento-curvatura

Este método, conforme a seção 3.5.4, determina os momentos de segunda ordem do

pilar através da consideração não-aproximada da não-linearidade geométrica. Para a avaliação

aproximada da não-linearidade física, empregam-se diagramas momento-curvatura.

Assim como na seção anterior, foi adotado 𝛾𝑓3 = 1,1 na elaboração dos diagramas

momento-curvatura. As rigidezes resultantes, em ambas as direções, também foram iguais às

da seção anterior (1,13∙104 kNm²); a média percentual absoluta da diferença foi de 0,60%.

Tabela 5 – Comparações entre momentos calculados na planilha e no P-Calc.

Posição Planilha P-Calc Diferença (%)

𝑴𝑺𝒅,𝒙(𝒌𝑵𝒎) 𝑴𝑺𝒅,𝒚(𝒌𝑵𝒎) 𝑴𝑺𝒅,𝒙(𝒌𝑵𝒎) 𝑴𝑺𝒅,𝒚(𝒌𝑵𝒎) 𝒙 𝒚

L (Topo) 50,0 75,0 50,0 75,0 - -

0,9 L 59,0 80,0 58,8 79,8 0,3% 0,3%

0,8 L 66,4 82,6 66,0 82,2 0,6% 0,5%

0,7 L 71,8 82,9 71,3 82,4 0,7% 0,6%

0,6 L 75,0 80,7 74,5 80,1 0,7% 0,7%

0,5 L 76,2 76,2 75,6 75,6 0,8% 0,8%

0,4 L 75,0 69,4 74,5 68,9 0,7% 0,7%

0,3 L 71,8 60,6 71,3 60,2 0,7% 0,7%

0,2 L 66,4 50,1 66,0 49,8 0,6% 0,6%

0,1 L 59,0 38,1 58,8 37,9 0,3% 0,5%

0 (Base) 50,0 25,0 50,0 25,0 - -

Fonte: Autor.

Resumo dos resultados

Nesta seção (5.2), o pilar foi resolvido por 4 métodos de análise de esforços de

segunda ordem local. A tabela 6 resume os resultados obtidos pela planilha, e a envoltória

resistente do pilar pode é exposta na figura 35.

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Tabela 6 – Resumo dos resultados da análise de 2ª ordem local.

Método 𝑴𝑺𝒅𝒙,𝒕𝒐𝒕

(𝒌𝑵𝒎)

𝑴𝑺𝒅𝒚,𝒕𝒐𝒕

(𝒌𝑵𝒎) 𝑴𝑺𝒅 < 𝑴𝑹𝒅?

Pilar-padrão com curvatura aproximada 103,5 108,5 SIM

Pilar-padrão com rigidez 𝜅 aproximada 96,2 102,3 SIM

Pilar-padrão acoplado a diagramas 𝑁,𝑀, 1/𝑟 73,4 80,8 NÃO

Método geral acoplado a diagramas 𝑁,𝑀, 1/𝑟 76,2 82,9 NÃO Fonte: Autor.

Conforme a tabela 6, observa-se que os métodos numéricos (pilar-padrão acoplado

diagramas 𝑁,𝑀 𝑒 1/𝑟 e método geral acoplado a diagramas 𝑁,𝑀 e 1/4) apresentam pequenas

diferenças entre si, mas resultam em momentos de segunda ordem muito inferiores aos

obtidos com os métodos analíticos, de forma que o pilar resiste aos momentos de segunda

ordem calculados pelos métodos numéricos, mas não aos momentos de segunda ordem

calculados pelos métodos analíticos.

Figura 35 – Envoltória resistente.

Fonte: Autor.

-160

-110

-60

-10

40

90

140

-160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160

My (

kN

m)

Mx (kNm)

Envoltória ResistenteMomentos Resistentes Momentos de 1ª Ordem

Pilar-Padrão c/ Rigidez Aproximada Pilar-Padrão c/ Diagramas M, N, 1/r

Pilar-Padrão c/ Curvatura Aproximada Método Geral c/ Diagramas M, N, 1/r

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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho introduziu uma planilha de cálculo no Microsoft Excel capaz de resolver

problemas de flexão oblíqua em pilares com índice de esbeltez não superior a 140 seguindo as

prescrições da NBR 6118/14. Essa ferramenta possibilita a resolução problemas de flexão

oblíqua sem o uso de ábacos, além de facilitar a abordagem da não-linearidade física e

geométrica em análises de pilares.

Os resultados de verificação de seção da planilha foram comparados com resultados

obtidos em outros programas de cálculo, a saber o CAD/TQS, o P-Calc e o Oblíqua. As

correlações entre a planilha e os dois primeiros programas foram muito boas, sendo as

diferenças da ordem de 1%. Em relação ao Oblíqua, as diferenças foram um pouco mais

significativas, da ordem de 5%. Cabe salientar que em praticamente todas as situações a

planilha de cálculo foi mais conservadora, resultando em resistências menores que os

programas comparados.

No que concerne a determinação dos esforços de segunda ordem, a planilha de cálculo

foi validada analiticamente (método do pilar-padrão com curvatura aproximada e rigidez

aproximada) e numericamente pelo software P-Calc (método do pilar-padrão acoplado a

diagramas e método geral acoplado a diagramas). As correlações com o P-Calc na

determinação dos esforços de segunda ordem também foram muito boas, sendo as diferenças

da ordem 0,60%.

Apesar dos bons resultados obtidos na validação, a planilha ainda deve ser testada

mais extensivamente, com diversos casos de carregamento e índices de esbeltez. Na

verificação de esforços de segunda ordem feita neste trabalho, observou-se que os métodos de

mais precisos (que se valem de diagramas momento-curvatura para avaliar a não-linearidade

física) tendem a resultar em dimensionamentos mais econômicos. No entanto, recomenda-se

que esses métodos, mais arrojados, sejam usados somente nas ocasiões em que o engenheiro

tenha o adequado domínio e experiência da situação de projeto analisada.

Finalmente, em futuros estudos seria oportuno programar a planilha de cálculo para

resolver seções de concreto armado diversas, como a seção em T, em I e em L; também seria

pertinente adaptar a planilha de cálculo para concretos de classe superior a C50.

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7 REFERÊNCIAS

ARAÚJO, José Milton. Curso de concreto armado. 3. ed. Rio Grande: Editora Dunas, 2010.

v. 3.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118/2014: Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

CARDOSO JÚNIOR, Sander David. Sistema computacional para análise não linear de

pilares de concreto armado. 2014. Monografia (Especialização em Gestão de Projetos de

Sistemas Estruturais) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2014.

CARVALHO, Roberto Chust; PINHEIRO, Libânio Miranda. Cálculo e detalhamento de

estruturas usuais de concreto armado. 1. ed. São Paulo: Pini, 2009. v. 2.

GARCIA, Luiz Fernando Taborda. Elasticidade não linear: teoria e aplicações. Rio de

Janeiro: Letra Capital, 2007.

OBLÍQUA. Versão 1.0. Curitiba: Centro de Estudos de Engenharia Civil da Universidade

Federal do Paraná, 2001.

P-CALC. Versão 1.4. São Paulo: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo/Sander

David Cardoso Júnior, 2014.

PINHEIRO, Libânio Miranda. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. São Carlos:

Universidade de São Paulo, 2007.

SCADELAI, Murilo Alessandro. Dimensionamento de pilares de acordo com a NBR 6118:

2003. 2004. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Escola de Engenharia de São

Carlos, Universidade Federal de São Paulo, São Carlos, 2004.