izsó tamás híradástechnikai tanszék 2003izso/combopt.pdfdijkstra algoritmus segítségével 2....

1� BME Híradástechnikai Tsz. 2000. komhal19.ppt

Izsó TamásHíradástechnikai tanszék

2003

Budapesti Műszaki EgyetemVillamosmérnöki kar

Műszaki informatika szakKommunikációs hálózatok szakirány V. évf., 9. félév


Rendszer

Rendszer

Rendszer

Szakaszolás n. szint

n+1. szint

n+2. szint

Szakaszolás

Csoportosítás

Csoportosítás


• topológia tervezés• elvezetéstervezés• nyalábolás• elhelyezés• szakaszolás• hozzárendelés• berendezéstervezés


• Topológiai tervezés: a fizikai réteg gráfjánakmegtervezése a kliens igényréteg ismeretében.

• Elvezetés tervezés: kliens igény elvezetésinyomvonalának meghatározása több réteggellentebb (gyakran a legalsó fizikai) réteg gráfján.

• Nyalábolás: k szintű azonos nyomvonal szaka-szokon haladó igények koncentrálása a nagyobbsávszélességű k+1-edik szintű összeköttetésekbe.


• Elhelyezés: a k. rétegbeli kliens igényekszámára a k+1. rétegbeli szakaszpontok lehetségeshelyének meghatározása.

• Szakaszolás: egy adott k. rétegben értelmezettkliens igény elvezetési nyomvonalánakmeghatározása a k+1. rétegbeli szerver réteggráfján, az adott rétegre vonatkozó útvonalképzésivagy -választási szabályok figyelembevételével.


• Hozzárendelés egy adott k. rétegben értelmezettkliens igény hozzárendelése a jellegzetesen k+1.szerver réteg kapcsolatának meghatározottpozíciójához.

• Berendezéstervezés: k. rétegbeli kapcsolathozzárendelése egy csomóponti berendezés létezővagy új portjához, ha szükséges akkor egy újberendezés létrehozása.


• Forrás:– Üzemeltetői adatbázis (nyílvántartó rendszer)

(rendszerek, kábelek, szálak, alépítmények )– Network management információk

• Formátum:– SQL adatbázis táblák, ASCII fájl, Excel

formátum, XML• Szabvány: ITU M1400


Hálózatileírás

Gráfok Transzformáltgráf

Algoritmusbelsőadatszerkezete

(adatbázisrelációk)

(matematikaigráf, él és csomópontattributumokkal)

(tiszta gráfélek, csomópontok hozzáadásával, törlésével)

(LP megoldásszámára egyenletek,mátrixok)


• elvezetéstervezés• nyalábolás és hozzárendelés rétegről-

rétegre• berendezéstervezés


• lehetséges szakaszpontok elhelyezéserétegenként,

• szakaszolás és hozzárendelés rétegről-rétegre,

• berendezéstervezés


• Műszaki alapprobléma kérdései:– milyen hálózati infrastruktúrán– milyen elvezetési nyomvonalakat

• Probléma jellege:– távlati tervezés (meglévő hálózat

figyelembevételével)– nem részletes modellezés– közelítő módszerek (hálózat bővíthetőség)


• Egyszerűsítő feltételek:– egyutas elvezetés (mimimál)– lineáris költségfüggvény

• Kiinduló adatok:– igények– megengedett legbővebb gráf– költségjellemzők


• Adott a legbővebb gráf),( AVG �

élek },1{ nA ��kcsomóponto },1{ mV ��

ix folyam átfolyóélen edik �i

il hossza éledik -i

• Elvezetés minimális költségű úton• Feladat: ��

iii xccxmin

c gvényköltségfüg


• Költségmodell 1c2c3c4c

iiiiiiiii xlcxclccxc4321

��

iiii lccf21

��

iiii lccm43

��

iiiiiii xlcclcc4321

��


• kimerítő kereséssel• branch & bound technikával• szimulált lehűtéssel• lineáris programozással


• Kiindulás a teljes gráfból. Az élekelhagyásával kapjuk az alproblémákat.

• Alsó becslés– Fix költségre : minimális kifeszítőfa– Marginális költségre: minimálutas elvezetés– Ígéretesség

iF

MFI ��


• minimálút éleiből hagyunk el egyet, nőaz M

• minimális kifeszítőfából hagyunk el egyélt, nő az F


(30/3) (30/3)

(30/3)

(30/3) (30/3)

(20/2)

(20/2) (20/2)

(20/2) (20/2)

költségek igények

1002053553225

0

0

��

��

FM


• Alproblémák generálása egy él elhagyásával(branch).

• Költség és ígéretesség (becslés) kiszámítása.• Legjobb költségnél rosszabb ígéretességű

alproblémák elhagyása.• Leállás, ha nincs több él elhagyásával

származtatható gráf, melyen minden igényelvezethető.


• Lassú• Egyutas elvezetés - megbízhatósági

szempontból rossz.


• n élt tartalmazó gráfból előállítjuk azösszes n-1 élt tartalmazó gráfot. Ha márnincs megoldás, akkor vége azalgoritmusnak.

• A becslés után csak a legígéretesebbettartjuk meg. Visszalépés 1-re.


• n élet tartalmazó gráfból előállítjuk azösszes n-1 élet tartalmazó gráfot. Ha márnincs megoldás, akkor vége azalgoritmusnak.

• A becslés után csak a legjobb költségűttartjuk meg. Visszalépés 1-re.


• Cél: minden pontpár elérhető legyen minimum kétpontfüggetlen úton.

• Megoldás: minden igényt két úton vezetünk el.


• Suurballe algoritmus– Beágyazott algoritmus: irányított gráfot kezelő

Dijkstra algoritmus.– Két út előállítása gráf költség, és gráf

transzformációk segítségével


Adott a G(V,A) gráf, és a c(A) élköltség.1. G irányítatlan gráfra a minimál út előállítása Dijkstra algoritmus segítségével2. Élek költségének a transzformálása

c’(i,j)=c(i,j)+d(i)-d(j) ahol d(j) a kiindulásipontból a j pont legrövidebb távolsága

3. Gráf irányítottá tétele4. Minimálúton a kezdő és végpont kivételével

minden csomópont kettőzése v->va,vb


5. Élek duplikálása (következő ábra)6. Minimálút keresés a módosított gráfon7. Duplikált pontok megszüntetése8. A két úton lévő közös élek törlése9. Két út elkészítése a meglévő élek alapján


1. Minimál út

2. minimál út


• célfüggvény

• korlát

• Ha f konvex gi konkáv hi lineáris, akkor konvexfeladatról beszélünk.

• Lehetséges megoldások halmazát F-el jelöljük.

xf

pjxhmixg

j

i

�

�

10)(10)(��

��


• probléma megadása (F,c)• szomszédossági függvény:• követelmény:• egzakt szomszéd : összes lokális minimum

(maximum) pont szomszédos

FF 2:N �)(akkor)N( qNqqq ��


• pl. utazóügynök probléma kétcserésszomszédos állapotra


1

2

3

4

6

5

Mélységi keresés

1

2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

Szélességi keresés


• Branch F-et egyszerűbb alproblémákrabontjuk (változók megkötésével), és azalproblémákra egyenként végezzük el azoptimum keresését.

• Bound Megpróbálunk az egyes alproblé-mákra hatékony alsó becslést b(Fi) adni. Azeddigi legjobb megoldásnál rosszabb becslésértékkel rendelkező alproblémákat el kellhagyni.


1 Aktív alprobléma Fi kiválasztása2 Az Fi alproblémának nincs megoldása, akkor az

töröljük, különben b(Fi) kiszámítása.3 b(Fi) rosszabb, mint az eddig megtalált legjobb

megoldás -, akkor az alproblémát törölni kell.4 b(Fi) jobb (még)

– Ha a költsége jobb mint az eddig megtalált legjobbmegoldás, akkor ez lesz az eddig talált legjobb megoldás.

– Alproblémák készítése, visszalépés lépés 1-re


Adott: F, c, N (minimalizálás).1 Tetszőleges kezdeti állapot q0 � , i=0.2 Szomszédos állapotok közül egyenlő

valószínűséggel választunk egyet. q' � N(qi)3 Ha c(q')�c(qi), akkor qi+1=q' különben qi+1=qi.4 i=i+1. Leállás, ha egy adott lépésszám alatt nem

találtunk jobb megoldást, vagy a maximálisiteráció számát túlléptük.

– Hátrány: lokális optimumba ragad.


• Módszer működése:– A hegymászó módszerre hasonlít, de a

szomszédos állapotok közül mindig a legjobbköltségűt választja ki.

• Hátránya:– ha a szomszédos állapotok számossága nagy,

akkor a legjobb állapot kiválasztásával lassú– lokális minimumba ragadhat.


• Folytonos optimalizálási feladatoknál, ha ac célfüggvény differenciálható, akkor agradiens irányába lévő szomszédosállapotokon keresztül érhetjük el a lokálisoptimumot. Így nem kell az összesszomszédos állapotot kiértékelni.

• Hátránya: lokális optimumba ragadhat.


• A megengedett megoldások (x�F)halmazából véletlenszerűen generálunk n-et, és ezek közül kiválasztjuk a legjobbat.

• Hátránya, hogy nem használja ki a lokálisoptimumot.

• A véletlen keresésnél nem kell szomszédosállapotokat definiálni.


• Az algoritmus tulajdonságai:– A keresést véletlenszerűen kiválasztott helyről

indítjuk.– A választható szomszédos átmenetek közül

mindig a legjobb költségűt választjuk ki.– A már kiválasztott állapotátlépéseket kizárjuk.

Ezzel próbálunk kijutni a lokális optimumból.


• F megengedett állapotok• c(q) : q� F célfüggvény• N(q)� F szomszédos állapotok• T(q)�N(q) tabu (tiltott állapotok) halmaz• A(q)�T(q) aspiráns halmaz


k=0;kezdeti állapot q0�F; T(s) üres, legjobbállapot q0

While nincs vége do1 N(qk), T(qk), A(qk) kiértékelése2 qk+1�(N(qk)-T(qk)) � A(qk)) kiválasztása, ahol

c(qk+1) a legjobb szomszédos állapot.3 Ha a qk+1 állapot jobb, mint az eddigi legjobb,

akkor ez a legjobb állapot.4 T(q), A(q) halmaz frissítése

End


• Idő alapú szabály (Recency-Memory)– Időbélyeg - Time(x) = 0, ha még az x megoldást nem

néztük meg, különben az utolsó látogatás ideje(iteráció száma)

– x’’ = argmin{Time(x’) : x’’�N(x’)}• Gyakoriság alapú szabály (Frequency-Memory)

– Frequency(x) = 0 minden még nem bejárt xmegoldásra, különben minden egyes használatkornöveljük eggyel.

– x’’ = argmin{Frequency(x’) : x’’�N(x’)}


• Hatékony módszer, de a kitiltott állapotokmentése sok memóriát igényel, és ezekkikeresése időigényes.

• Problémafüggő változók:– szomszédosság– tiltott állapotok– aspiráns halmaz


• Feladat:

• b(Fi) kiszámítása lineáris programozásrelaxációval

nxtAx

cx

��

�


• Alproblémák előállítása

� � 1

min

*��

�

ii xxtAx

cx

� �*

min

ii xxtAx

cx

�

�

nxtAx

cx

��

�

min* megoldás ix


nZx

xxxxxx

xx

��

�

��

��

�

21

21

21

21Feladat:


1 2 3 4 x1

x2

1

2

3

4

x3=(0.0,1.5) b(F3)=-3.0

x2=(0.75, 2) b(F2)=-3.25

x1=(1.5, 2.5) b(F1)=-3.5

x4=(1.0,2.0) b(F3)=-3.0

x1

x2

x3

x4


S A• Kirkpatrick - kristályosodás vizsgálata• atomok elrendeződése a kristályosodás

folyamatában– nagy energiájú atomok az energiaminimumra

való törekvés ellenébe is hathatnak– kis energiájú részecske már csak a lokális

helyen a legkedvezőbb állapot betöltéséretörekszik


SA• lassú lehűtés:

– szabályos kristályszerkezet kialakítása– globális energiaminimum

• gyors lehűtés:– metastabil állapot– lokális energiaminimum

• részecskék energiaállapotát a Maxwell -Boltzmann eloszlás adja meg


SA• jobb állapotokat elfogadjuk• rosszabb állapotokat csak p = p(T,�c)

valószínűséggel fogadjuk elp valószínűség:– az iteráció előrehaladtával csökken (T)– a kedvezőtlenebb megoldásoknak kisebb a

valószínűsége (�c)


Minimalizálás1 Kezdeti inicializálás

– T0 kezdeti hőmérséklet megválasztása– q0 kiinduló megoldás választás– i=0 lépésszám inicializálása

2 q' � N(qi) megoldás előállítása


3 Ha c(q') > c(qi) akkor

ii

ii

i

qqp

qqT

qcqcp

��

��

�

�

�

1

1

séggel valószinű 1

séggel valószinű)()(exp

egyébként qi+1 =q'

4 Vége, ha a megoldás konvergált vagyelértük a maximális iterációszámot5 Ti+1 = f(Ti); i=i+1; goto 2


SA

• minden állapotból véges számú lépésben ellehet jutni egy másik tetszőleges állapotba

• szomszédos megoldások közül egyenlővalószínűséggel választunk

• szomszédossági függvény szimmetrikus


SA

• kritikus paraméter a T0 , és a lehűtéssebessége

• T változása f lehet:– geometriai– logaritmikus– lineáris a

)log(1)( 0log i

Tif�

�

Ni

geo TTTif

1

00 )()( �

NiNTiflin

�

� 0)(


UTAS

KOCSI

VONAT

PÁLYA

Sopron Eger

Bp/Keleti

nyomvonal

Győr

Szombathely

ről

HatvanSalgót

arjánba

Csorn

a

Komá

romAlm

ásfüz

ítőTa

tabán

ya

Aszó

d

Vámo

sgyö

rk

Kál -

Kápo

lna

Füze

sabo

ny

Nyalábolás


A rendszer szakasza, más rendszer szakaszaivalazonos nyomvonalon helyezkedjen el.A szakaszok azonos struktúrákon (azonosgyűrűn vagy szövevényen) haladjanak keresztül.A struktúraváltás azonos csomópontokbantörténjen.A rendszereket a nyalábolási szabály alapján egyrendszerbe lehessen összetenni.


Magasabb fokszámú pont (vágási pont)

Nem vágási pont


rendszer

szakasz

vágási pont betétele

rendszer

szakaszok

vágási pont kivétele


• Kiinduló állapotban minden egy szakaszonkerül elvezetésre. Csak azokat azösszeköttetéseket kell optimalizálni, amelytúlcsordul a modulméreten.


• Kezdeti inicializálás– kezdeti hőmérséklet megválasztása– minden rendszert egy szakaszon valósítunk meg, és nyalábolunk össze– i = 0 lépésszám inicializálása

• Nyalábolható rendszerek és vágási pontok bejelölése.• Egyenletes valószinűséggel egy rendszer kiválasztása.• Új vágási pont betétele vagy kivétele.• Új állapot költségének a kiszámítás• Döntés az új állapot elfogadásáról.• Ha a megoldás konvergált vagy elértük a maximális iterációszámot vége• , goto 21),(1 �� iiTfT ii


• fix költség• rendszerek számával arányos költség• rendszerek hosszával arányos költség• társrendszerek hasonló vágásának a

költsége (jutalmazása)• Kitöltöttségi költség


darabszám/ hossz

3/9

7/7

i. réteg i+1. réteg


• Szomszédosállapotátmenetek– Egy él elhagyása– Egy él betétele

élbeszúrás

éltörlés

00

N-1 élek száma

valószínűség

1


Élcsere:

Szomszédos állapotokatelőállító műveletekvalószínűsége


• Műszaki probléma:– Igény elvezetése a szabad helyek

felhasználásával– Kétutas elvezetés biztosítása

• Pl.– VC12-es igények elveztése VC4S szabad

pozíciókban– Függetlenség biztosítása a topológiai gráfon


VC4S

gráf


Ring 1

Ring 2

Mesh

Struktúránkéntegy-egy önállógráfot készítünk

A különálló gráfokat aHUB pontokban kötjükössze


• Suurballe algoritmus kierjesztése– Hatékony megoldás– További szempontok figyelembe vétele nem

lehetséges .• Lineáris programozási feladatként

– Nem hatékony– Könnyen megadhatunk további megkötéseket is.


• Feladat formalizálása:– A m�n-es mátrix– c költségvektor 1�n-es sorvektor– b korlát, m�1-es oszlopvektor

1nxz�

��

2nxz�

��


0,3232

max

21

21

21

21

�

��

��

��

xxxxxx

xx

1 2 3 4 x1

x2

1

2

3

4

c

421 �� xx

221 �� xx

021 �� xx


költsége él )(, az egyébként 0

folyam a használjagráfélt

)(, az ha 1,

változóf

halmazaélek halmazak csomóponto

gráf),(

ij

AijNjic

AijNjiAN

ANG

ij ��

��

��

� ��

�Adatok:


költség landóminimalizá min

0

orlátkapacitásk),(0

aradásfolyammegm

),(

)()(

ijAjiij

Nii

ijij

iiIj

jiiOjij

fc

b

Ajiuf

Nibff

�

�

��

�

�

��

�

��

��


c24=1

1 3

2 45

b1=1

b5=1c12=1 c34=1

c13=5 c35=1

c45=1

10001

4535

453424

3513

2412

1312

��

��

��

��

��

fffff

ffff

ff


��

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

��

�

��

�

��

�

egyébként 0potban van az ontjaigény végp f az ha 1

potban van az forrásaigény f az ha 1b

mátix siilleszkedécsomópont él az a ahol

10001

110000101100011010000101000011

i

45

35

34

24

13

12

ViVi

ffffff

AbfA

sorok lineárisan nemfüggetlenek


� �1,01

érinthet folyamegy csak pontot Egy 11

},{100

},{100bevezetéseáltozók Indikátorv

,

)()(

)()(

21

ii

ii

ii

iOiIyii

iOiIxii

yxVihg

Vihg

tsVihy

tsVigx

i

i

��

��

��

��

��

��

�

�

��

��

byAbxA


• lp_solve– ftp://ftp.ics.ele.tue.nl/pub/lp_solve/– fő adatszerkezet : lprec *lp;– adatszerkezet létrehozása:

lp = make_lp(0, row_size );

– r1 == r2 ha abs(r1-r2) < eps lp->epsilon = eps;

– egy sor megszorítás megadása: add_constraint(lp, row, EQ, rh );


– költség megadása set_obj_fn(lp, row1);

– probléma típusaset_minim(lp);

– megoldássolve(lp)

x=(a,b)�A x=(b,a)�A y = (a,b) �A y = (b,a) �A g h

élek száma

élek száma

élek száma

élek száma

csp.száma-2

csp.száma-2


double* row1, *row2;double rh = 0.0;bool ret=false;int i, k;const double eps = 0.05;const int max_in_out_num = 10;*nroute1 = *nroute2 = 0;*route1 = NULL;*route2 = NULL;int row_size = 4*nedges+2*nnodes-4;if( row_size == 0 ) return false;row1 = (double*) malloc( (row_size+1)* sizeof(double) );row2 = (double*) malloc( (row_size+1)* sizeof(double) );lprec *lp;lp = make_lp(0, row_size );lp->epsilon = eps;


for( i = 0; i


int idx;for( idx=i=0; i


for(idx=i=0; i


for(i=1; irows+i+nedges+1]-1.0) < 2*eps ) AddRoute( i, route1, nroute1 ); if(fabs(lp->best_solution[lp->rows+i+2*nedges+1]-1.0) < 2*eps || fabs(lp->best_solution[lp->rows+i+3*nedges+1]-1.0) < 2*eps ) AddRoute( i, route2, nroute2 ); } ret = 1;} else ret = 0;delete_lp(lp);


topológiai pont

gráfél

VC4S link

Csomópont függetlenséget a topológiai gráfon kell vizsgálni. A programota -tel jelölt helyeken kell módosítani.

izsó tamás híradástechnikai tanszék 2003izso/combopt.pdfdijkstra algoritmus segítségével 2....

Documents