Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11

Johannes-Kepler-Gymnasium

Plenum

Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11

Wir beginnen mit etwas

wirklich Spannendem

Monotonie

Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11

Was bedeutet noch mal monoton steigend/fallend, was war doch gleich strenge Monotonie ?

streng monoton steigend

monoton steigend

streng monoton fallend

Was bedeutet das für die Ableitung der Funktion?

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Wir fassen die Ergebnisse zusammen:

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Hoch- und Tiefpunkte

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x

y'

x

y

Hochpunkte und Tiefpunkte finden

f‘(2)=0

und

f‘(4)=0

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VZW von – nach +

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

x

y'

f´(4)=0

und Vorzeichenwechsel

(VZW ) von f´(x) von -

nach +

Tiefpunkt (TP) bei x=4

-1 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

x

y

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VZW von + nach -

f´(2)=0

und Vorzeichenwechsel

(VZW ) von f´(x) von +

nach –

Hochpunkt (HP) bei x=2

-1 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

x

y'

Plenum – Monotonie und ExtremaMathematik Jahrgangsstufe 11

VZW von + nach -

-1 1 2 3 4 5 6 7

10

20

30

x

y

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

x

y'

f(x)=x³-9x²+24x

f´(x)=3x²-18x+24

f‘(2)=0

f‘(1)=9

f‘( )=

+

-2,5 -2,25

f´(2)=0

und Vorzeichenwechsel (VZW ) von f´(x) von + nach

–

Hochpunkt (HP) bei x=2

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Beispiel

f(x)=0,05(x4+x3-18x2-16x+32) f‘(x)=0,05(4x3+3x2-36x-16)

f‘(-0,438)=0 f‘(-1)=19/20 f‘(0)=-4/5+ -

VZW von + nach – also hat f‘ an der Stelle x0=-0,438 einen Hochpunkt.

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-1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

x

y

Liegt in allen Fällen ein Minimum oder Maximum vor, falls f´(x0)=0 ?

Es gilt zwar f´(1)=0 , aber f´(x) hat an der Stelle x0= 1 keinen VZW

An der Stelle x0 liegt ein Sattelpunkt vor!

Nein !

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So sucht man Extrema:

1. Suche alle Stellen mit f´(x)=0.

2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW.

f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von + nach -

HP bei x0

f´(x0)=0 und VZW von f´(x) von - nach +

TP bei x0

f´(x0)=0 und kein VZW

SP bei x0

Zusammenfassung

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1. Suche alle Stellen mit f´(x)=0:

f´(x)= 12x3 - 24x2 + 12x

f´(x)=0

Beispielaufgabe

0= 12x3 - 24x2 + 12x │ :12 0= x3 - 2x2 + x 0= x(x2 -2x + 1) 0=x(x-1)2

Damit ist x=0 eine einfache und x=1 eine doppelte Nullstelle von f´(x).

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x4 - 8x3 + 6x2, x R

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2. Untersuche f´(x) an diesen Stellen auf VZW:

f‘(-1)= - 48

f‘(0,5)= 1,5

f‘(0,5)= 1,5

f‘(2) = 24

+

++

- VZW von – zu +

TP

kein VZW SP

Beispielaufgabe

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Die drei Fragen:

1. Wie findet man Punkte, die als Hoch- bzw. Tiefpunkte in Frage kommen?

2. Warum ist die Bedingung f `(x) = 0 zwar notwendig, aber nicht aus reichend, um die Frage nach den Extrema zu klären?

3. Was sollte man auch untersuchen, damit man in der Beurteilung der Extrema sicher ist?

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Hausaufgabe

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Stunde 1

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Literatur: LS11 Seite 136-140