journées treillis rochelais – la rochelle – 30/31 mai 2007 1 alain gély autour des...
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Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 1
Alain Gély
Autour
des implications Unitaires
http://www.isima.fr/gely/[email protected]
Université d’Auvergne / LIMOS
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 2
Plan
Implications unitaires et codage
Implications unitaires et base canonique
Motivations
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 3
Motivations - Définitions
Implications
Implications unitaires (ou simple)
J un ensemble d’éléments,
Implication = Couple (X,Y) noté X Y
= {X1 Y1 , X2 Y2 , … , Xi Yi } une famille d’implications
Exemple = { d b, c a, abc d, abd c }
J un ensemble d’éléments,
Implication unitaire = Couple (X,Y) noté X Y , avec |X| = 1
Exemple = { d b , c a, abc d, abd c }
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 4
Motivations
Implications simples à calculer
Implications en nombre réduit
Propriétés d’ensembles ordonnés
Déjà l’objet de plusieurs études
Présentes quelque soit la base utilisée
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 5
Plan
Implications unitaires et codage
Implications unitaires et base canonique
Motivations
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 6
1 23 4
12 13 14 23 24 34
123 234134 124
1234
12
13
1234
24
12
123 124
4
134
3
13
1234
14
3 13 12 1234 4 1234
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 7
abcd
bdab
ac
ba
Base d’implications minimum
db, c a,
abc d, abd c Graphe Biparti /
Contexte
Système de fermeture
O((n.N)k) O((n.N)k)
Implications unitaires et base canonique
a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 8
db, c a,
abc d, abd c
Implications unitaires et base canonique
Donnée : Un contexte réduit sur les objets(éléments -irréductibles )
Résultat : La base canonique du contexte
a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 9
Implications unitaires et base canonique
Idée n°1 : retrait incrémental
Fait : Soit une base canonique et XY Alors \ { XY} est une base canonique
Principe : 1. Trouver une implication { XY } de 2. Modifier l’entrée pour correspondre à \ { XY }
3. Revenir en 1 avec la nouvelle donnée
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 10
?
Modification des données
Retrait incrémental d’implications
??
?
???
?
?
??
?
??
??
?ca
?
?
???
?
?
??
?
??
??
?
-
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 11
Implications unitaires et base canonique
Quels problèmes peuvent se poser ?
Identification d’une implication de la base
Calcul polynomial de la nouvelle entrée
Explosion de la taille de l’entrée
Facile pour les implications unitaires
Calculer les éléments -irréductibles du nouveau système de fermeture
Cf. exemple
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 12
1 2
13 24 25
1234
12345 12 1234245 12345
3 134 245 25
Base de Guigues-Duquenne
4
14
134
Calcul de F’ à partir de F
J
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 13
12 1234245 12345
3 135 25Base canonique
J
1 2
13 24 25
1234
12345
5 éléments -irréductibles
4 24
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 14
1 2
13 24 25
1234
12345
12 1234245 12345
3 135 25Base canonique
4
14
134
J
6 éléments -irréductibles
4 24
1 2
13 24 25
1234
12345
5 éléments -irréductibles
Implications unitaires et base canonique
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Implications unitaires et base canonique
Exemple d’explosion combinatoire
2 31
14 25 36
7
1 2 3 7
4 5 6
(J,<)
6 éléments -irréductibles
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 16
Implications unitaires et base canonique
Exemple d’explosion combinatoire
2 n1
{1,n+1} {2,n+2}
2n+1
1 2 n 2n+1
n+1
(J,<)
2n éléments -irréductibles
{n,2n}
n+2 2n
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 17
2n + n(n+1) -1 éléments -irréductibles
Implications unitaires et base canonique
Après avoir retirer les n implications unitaires
Problème d’efficacité
2n éléments -irréductibles
Donnée initiale
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 18
Implications unitaires et base canonique
Idée n°2 : Ajouter des implications(contraindre le système)
abcd
bdab
ac
ba
db, c a,
abc d, abd c Graphe Biparti /
Contexte
a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 19
Ajout d’implications : Contrôler les modifications
??
?
???
?
?
??
?
??
??
?
ca
Modifications inconnues
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 20
Ajout de l’implication a b :
{a b} n’est pas forcément une base de Guigues-Duquenne
12 123
12
123
1 23
2313
2 3
12
123
1 23
2313
J 2 23
J
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 21
Modification des données d’entrées du problème
ajout d’implications
??
?
???
?
?
??
?
??
??
?
cbcb
??
?
???
?
?
??
?
??
uvxy
?cb
+
C(F) : systèmes de
fermeture - équivalent
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 22
124 1234
3 123
124 1234
3 123123
1 2
1214
1234
123
2 1
1224
1234
4 144 24
F F’
3 1234 1234
123
1 2
12
1234
F’’
les systèmes de fermeture - équivalent ne forment pas un système de fermeture
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 23
Implications unitaires et base canonique
J1
J2
J3 J4
J5
J6 J7
Elément maximal(maximum)
Elément minimaux
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 24
Pour tout P P
Caractérisation : -équivalence en ajoutant a b
(i) Si a P alors b P
(ii) Si a P alors b P
(iii) Si a j , j P, alors (jb) ≠ P
Conclusion inchangéeReste un ensemble
quasi-fermé
Reste un ensemble quasi-fermé minimal
a b peut être ajoutée sans modifications de ssi
Implications unitaires et base canonique
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 25
Caractérisation : relation de couverture dans C(F)
(i’) Pour tout P P , P ≠ a , Si a P alors b P
(ii) Pour tout P P Si a P alors b P
(iii’) Pour tout P P Si a P alors (ab) ≠ P
a b peut être ajouté sans modification de ,
et F’ couvre F dans C(F) ssi
Implications unitaires et base canonique
Ces propriétés peuvent être vérifiés en temps polynomial à partir des éléments irréductibles.
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 26
Caractérisation : relation de couverture dans C(F)
Implications unitaires et base canonique
Propriétés vérifiables en temps polynomial à partir du contexte
Nouveau contexte plus petit
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 27
Plan
Implications unitaires et codage
Implications unitaires et base canonique
Motivations
Quelques définitions
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c a d b
e aba b
e dc
Implications unitaires et codages
Ø
a b
abe bdac
abcde
Ordre induit par J
a b
e dca b
abe bdac
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 29
Implications unitaires et codages
Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne)
a b
e dc
a b c d e
a b
e dc
a b c
d
e
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 30
Implications unitaires et codage
Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne)
a b
e dc
a b
c d
e
a b
e dc
a b
e d
c
Nombre de chaînes minimal = largeur de l’ordre
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 31
Implications unitaires et codage
Plongement dans un produit de chaînes
a [1,0,0,0,0]
abe
abcd
a b
e dc
b [0,1,0,0,0]
ac [1,0,1,0,0] ab [1,1,0,0,0] bd [0,1,0,1,0]
abd [1,1,0,1,0]
abde [1,1,0,1,1]
abcde [1,1,1,1,1]
abc [1,1,1,0,0]
abce [1,1,1,0,1]
x0
1x
0
1x
0
1x
0
1
0
1
a b c d eCa Cb Cc Cd Ce
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 32
Implications unitaires et codage
Plongement dans un produit de chaînes
a b
e dc
a b c
d
e
a [1,0,0,0]
abe
b [0,1,0,0]
ac [1,0,1,0] ab [1,1,0,0] bd [0,2,0,0]
abd [1,2,0,0]
abde [1,2,0,1]
abcde [1,2,1,1]
abc [1,1,1,0]
abce [1,1,1,1]
abcd [1,2,1,0]
x0
1x
0
1x
0
1
0
1
2
Ca Cbd Cc Ce
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 33
Implications unitaires et codage
Plongement dans un produit de chaînes
a b
e dc
a b
c d
e
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [2,0,0] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [1,2,1]
abcde [2,2,1]
abc [2,1,0]
abce [2,1,1]
abcd [2,2,0]
x0
1x
0
1
0
1
22
Cac Cbd Ce
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 34
Implications unitaires et codage
Plongement dans un produit de chaînes
a b
e dc
a b
e d
c
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [2,2,0]
abcde [2,2,1]
abc [1,1,1]
abce [2,1,1]
abcd [1,2,1]
x0
1x
0
1
0
1
22
Cae Cbd Cc
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 35
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [2,2,0]
abcde [2,2,1]
abc [1,1,1]
abce [2,1,1]
abcd [1,2,1]
Implications unitaires et codage
a [ 1 , 0 , 0 ]b [ 0 , 1 , 0 ]
ac [ 1 , 0 , 1 ]bd [ 0 , 2 , 0 ]
abcde [ 2 , 2 , 1 ]abe [ 2 , 1 , 0 ]
Ø
a b
abe bdac
abcde
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 36
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [2,2,0]
abcde [2,2,1]
abc [1,1,1]
abce [2,1,1]
abcd [1,2,1]
Implications unitaires et codage
ac [1,0,1]bd [0,2,0]
abe [2,1,0]
Ø
a b
abe bdac
abcde
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 37
Ø
a b
abe bdac
abcde
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [2,2,0]
abcde [2,2,1]
abc [1,1,1]
abce [2,1,1]
abcd [1,2,1]
ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]
a [1,0,0] b [0,1,0]
[0,0,0]
abcde [2,2,1]
Implications unitaires et codage
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 38
Ø
a b
abe bdac
abcde
a [1,0,0]
abe
b [0,1,0]
ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]
abd [1,2,0]
abde [2,2,0]
abcde [2,2,1]
abc [1,1,1]
abce [2,1,1]
abcd [1,2,1]
ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]
a [1,0,0] b [0,1,0]
[0,0,0]
abcde [2,2,1]
[Bouchet71]Il existe un -homomophisme de L vers C1x…xCk
ssi (J(L),<) peut être partitionné en k chaînes
Implications unitaires et codage
L
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 39
Ø
a b
abe bdac
abcde
ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]
ac [1,0,1] b [0,1,0]
ac [1,0,0]
abcde [2,2,1]
Seul l’ordre relatif sur les chaînes compte
Implications unitaires et codage
1 0 1
2 1 0
0 2 0
0.1 0 1.7
5 15 0.3
-2 20 0.3
Connexion de Galois Généralisée
[ E. Diday, R. Emilion, Maximal and stochastic galois lattices,
Discrete Applied Mathematics 127 (2003) 271--284. ]
Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 40
[2,0]
[1,0]
[2,2]
[0,1]
[0,2]
[0,0]
[1,2]
1 1
1 1 1
1 1
1
2 0
1 2
0 2
0 1
Implications unitaires et codage
Intérêt :
Avoir une représentation plus compacte
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Conclusions
Implications unitaires
Faciles à manipuler
Propriétés d’ensembles ordonnés
Coupes dans l’espace de recherche