k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

2242414044

1313033

121242122

141421213121011

uqkqkkq

qkqkq

qkqkkq

uqkqkqkkkq

4

140442

0331

421221

1412312101

V

1000

10

00

00

01

kk0k0

0k0k

00kkk

k0kkkk

C

B

A

qCy

uBqAq

dt

d

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

qAq

dt

d

n

1i

tii

ie)t( xq

4

1i

ti4i4

4

1i

ti3i3

4

1i

ti2i2

4

1i

ti1i1

i

i

i

i

extq

extq

extq

extq

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

4

1i

ti4i2

u4

42

4

1i

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u4

41

i

2

i

1

exV

tqty

exV

tqtyq1(0) = u1

q2(0) = q3(0) = q4(0) = 0

q4(0) = u2

q1(0) = q2(0) = q3(0) = 0

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4xxA

0 xIA

qAq

dt

d

140442

0331

421221

1412312101

kk0k0

0k0k

00kkk

k0kkkk

IA

k21k01

k12

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k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

140442

0331

421221

1412312101

kk0k0

0k0k

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k0kkkk

IA

03kDet IA

140442

421221

1412312101

kkk0

0kkk

kkkkk

Det

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

0kkkkkk

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kDet

421414041221

14044212312101

03

IA

0kkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkk

423114311412423104

422104311204421401141201420401120401

4231422142143114211431121412

42043104210412044201140112010401

4231211412040123

0k03 031 k

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

031 k 0ii xIA

0

x

x

x

x

kkk0k0

000k

00kkkk

k0kkkkk

41

31

21

11

14040342

31

42120321

141231210103

0xkkkxk

0xk

0xkkkxk

0xkxkxkkkk

411404032142

1131

214212031121

411421121131210103

x11=0 x21=0 x41=0

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

031 k

0xkkkxk

0xk

0xkkkxk

0xkxkxkkkk

411404032142

1131

214212031121

411421121131210103

x11=0 x21=0 x41=0

0

1

0

0

1x

4

1i

ti4i2

u4

42

4

1i

ti4i1

u4

41

i

2

i

1

exV

tqty

exV

tqty

k21

k01

k12

1 2

k02

212021212

00212121011

qkkqkdt

dq

ttqqkqkkdt

dq

0201 tttt

1

11 ebea

V

qy

2

kkkkkk4kkkkkkkk2

kkkkkk4kkkkkkkk

kkkkkk4kkkkV2

kkkkkk4kkkkkkkkqb

kkkkkk4kkkkV2

kkkkkk4kkkkkkkkqa

0201120102212

01210212012102122

0201120102212

01210212012102121

0201120102212

012102121

0201120102212

01210212021201210

0201120102212

012102121

0201120102212

01210212012102120

0 2 4 6 8 10

Con

cen

tra

zion

e n

el c

om

p. 1

(u

.a.)

0

2

4

6

8

10

set 1set 2

dati sperimentali

k21

k01

k12

1 2

k02

0201 tttt

1

11 ebea

V

qy

0 2 4 6 8 10

Con

cen

tra

zion

e n

el c

om

p. 1

(u

.a.)

0

2

4

6

8

10

set 1set 2

dati sperimentali

Tempo (minuti)

0 2 4 6 8 10

Con

cen

tra

zion

e n

el c

om

par

t. 2

(u

.a.)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

k21

k01

k12

1 2

k02

0201 tttt

1

11 ebea

V

qy

k34

k43k32

1Stomach

2 Small intestine

k21

k02 k03

4 Organs & tissues

3 Transfer compartment

0232

321 kk

kf

Un parametro pi si dice NON IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero INFINITO di soluzioni. Se un modello ha anche un solo parametro NON IDENTIFICABILE, allora l’intera struttura si dice NON IDENTIFICABILE.

Un parametro pi si dice IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste un numero FINITO di soluzioni (diverse da quella identicamente nulla). Se tutti i parametri sono IDENTIFICABILI, allora l’intera struttura si dice IDENTIFICABILE.

Un parametro pi si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE nell’intervallo [t0,T] se esiste UNA E UNA SOLA soluzione. Se tutti i parametri sono UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILI, allora l’intera struttura si dice UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE. Se anche un solo parametro non è UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE, allora l’intera struttura si dice NON-UNIVOCAMENTE IDENTIFICABILE.

METODO DELLA MATRICE DI MARKOVMETODO DELLA MATRICE DI MARKOV

pBpApC

pBpApC

pBpC

pJ

1n2

p

n2

1

n2

p

1

1

1

pp

pp

JJ

JJ

2n sottomatrici di ordine mxr

n = numero compartimeniir = numero inputm = numero outputp = numero parametri

p derivate per ogni termine di ogni sottomatrice

2nxmxrxp derivate!!!!!

METODO DELLA MATRICE DI MARKOVMETODO DELLA MATRICE DI MARKOV

pBpApC

pBpApC

pBpC

pJ

1n2

p

n2

1

n2

p

1

1

1

pp

pp

JJ

JJ

n = numero compartimeniir = numero inputm = numero outputp = numero parametri

Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE DELLE DERIVATE è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p.

Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE DELLE DERIVATE è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p.

METODO DELLA MATRICE DELLA METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTOFUNZIONE DI TRASFERIMENTO

mxr termini

n = numero compartimeniir = numero inputm = numero outputp = numero parametri

)(B)(As)(

)t(uL

),t(yL),s( 1

r,1jm,1ij

i ppIpCp

pH

n

1k

1kijk

k

n

1k

1kijkn

1k k

ijk

ii

ss

s

s

A,sY),ty(L

p

p

p

ppp

1

,sY

tuL

,tyL,sH i

j

iij

ppp

n = numero compartimeniir = numero inputm = numero outputp = numero parametri

Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE G(p) è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p.

Il modello è identificabile se e solo se IL RANGO DELLA MATRICE G(p) è uguale a p per ogni possibile valore del vettore p.

p

mrn

1

mrn

p

mr1

1

mr1

p

11n

1

11n

p

111

1

111

pp

pp

pp

pp

pG

METODO DELLA MATRICE DELLA METODO DELLA MATRICE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTOFUNZIONE DI TRASFERIMENTO

2nxmxrxp derivate!!!!!

il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT)

il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT)

CONDIZIONI NECESSARIE PER CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’L’IDENTIFICABILITA’

k21k01

k12

k14

k31

k03

k42 k04

1

3

2

4

il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT)

il sistema dev’essere “input-“ e “output-connectable” (OGNI COMPARTIMENTO E’ RAGGIUNGIBILE DA ALMENO UN INPUT ED E’ COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT)

CONDIZIONI NECESSARIE PER CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’L’IDENTIFICABILITA’

k34

k43k32

1Stomach

2 Small intestine

k21

k02 k03

4 Organs & tissues

3 Transfer compartment

nu ne

dove nu è il numero di parametri incogniti, e ne è dato dall’espressione:

n=numero di compartimenti

n’=numero di sottosistemi chiusi

whk = numero di compartimenti del sistema hk meno la lunghezza del percorso più breve (se l=0, si prende comunque =1)

zhk = si riferisce alle comuni parti in cascata; è uguale al numero dei compartimenti comuni meno la lunghezza del percorso più breve meno 1

nu ne

dove nu è il numero di parametri incogniti, e ne è dato dall’espressione:

n=numero di compartimenti

n’=numero di sottosistemi chiusi

whk = numero di compartimenti del sistema hk meno la lunghezza del percorso più breve (se l=0, si prende comunque =1)

zhk = si riferisce alle comuni parti in cascata; è uguale al numero dei compartimenti comuni meno la lunghezza del percorso più breve meno 1

CONDIZIONI NECESSARIE PER CONDIZIONI NECESSARIE PER L’IDENTIFICABILITA’L’IDENTIFICABILITA’

mhrk

1k1h

hk

mhrk

1k1h

hke zw'nnn

mhrk

1k1h

hk

mhrk

1k1h

hke zw'nnn

1

7

2

3

6

8

5

4

Percorso 1->6: lunghezza 2

2 percorsi 1->4: lunghezza 2 e 3

Compartimenti input connectable: 1,2,3,4,5,6,8

Compartimenti output connectable: 1,2,3,4,5,6,7

Sottosistema h=1, k=1: [1,2,3,6]

Sottosistema h=2, k=1: [1,2,3,4,5]

Sottosistemi chiusi: [6], [4,5]

Parti comuni in cascata: [1,2,3]