k z b Ç6õ x - wannyan.net · b1 Â b s u c#ú µ t ö Ø ¹/ d3¶ g b Æ4 8 æ ( \ m Ü æ Ý...
TRANSCRIPT
!
"
"
"
!"
" " "
" #
$
%! &'! !!(&'! "!!!(
#
" ! ! $ )*& # "(
" +* #
$ $
%! &' , !!(&' , "!!!(
#
" ! $ +*& # " ( +*
% "
%$ $
% %! &' , !!(&' , "!!!(
$ !
%& &'! &!(&'! "!&!(
#
" & $ %!
" %! $ )*&%$# "( " ! $ +*& # " (
"
)*&%$# "( $ % +*&$# " (# & -'(
" * %*
"
*!&%$# "( $ '! )*!&%$# "( $ *!&$# " ( , )*!&$# " (
*!&$# " ($
'
*!&$# " (#
!
"# $ !" #% & ' # (# $ !" #% & # $!" # % * # (# $!" # %
# $!" # %
&' # (# $!" # %
# $!" # %&
"# $!" # %
# $!" # %"
+
(#$ !" #% & ,#$!" # %" #$ !" #% &'
#$!" # %" "#$ !" #% &
"#$!" # %
#$!" # %" $ -.%
+ + #
+
+
(#$$ * !% &(#$$" #% "#$!" # % * #$$" #% "#$$" #% (#$!" # % #$!" # %
# $!" # % * # (# $$" #% (# $!" # %" $ - /%
#$$ * !% & #$$" #% #$!" # % (#$$" #% "#$$" #% (#$!" # % "#$!" # %
# $!" # % * # (# $$" #% (# $!" # %" $ - 0%
"#$$ * !% &"#$$" #% #$!" # % "#$!" # % # (#$$" #% #$$" #% (#$!" # %
# $!" # % * # (# $$" #% (# $!" # %" $ - %
+ ' "# $$" #% (# $!" # %
+
(1#$$ * !% & (1#$ 2(3 ! * 2( $ (1#3 !"
2($$ * !% & 2( $ 2(3 ! (1#$ (1#3 !"
+ # & 4 + $ - /% $ - % + (1#$$* !% 2($$* !%
+ $ - /% $ - % +
+ +
+ +
+
+
+ + %$$* !% &$$" !%
'$$" !% + %$$* !% ! &$$" !% * '$$" !% +
+�&
�$&
�'
�!"
�&
�!& �'
�$"
!"! #
$ % ! &' % ! '
$
$
$
% ! &' % ! ' $ ) ! % ) !%" '' $ *+%! # " ' ) "$
+%! # " ' ) ,$ -+%! # " ' ) " $
*+%$. %! ' )"
" *+ $# +%$. %! ' ) % -+ $
" *+ $# -+%$. %! ' ) % + $
*+ $# % !/'
$ *+%0! # " ' ) ,$ +%0! # " ' ) -+%0! # " ' ) " $
) 0! $
*+%$. 0%! ' ) *+ $# +%$. 0%! ' ) + $# -+%$. 0%! ' ) -+ $# % !1'
$
% !/' $ %!
*+ , ) , $ %!
$ $
$ % !1' $ *+ $ %! $
% !1' $ +%$. 0!' ) + $ $
+%$. 0! . 0%! ' ) + $# -+%$. /%! ' ) -+ $# % !2'
$ + 0! . 0%! $ -+ /%!
*+ $ 0%! $
/! $ *+ /!
$ 0%! 0
$ +
% !1' $ +%$./%! ' ) + $ +$ /%!
$ +%$.0!' ) + $ $ +%$.0!.0%! ' ) + $
$ /! /%! 0!.0%!
$ /! 0! .0%! /%!
$ + $ /! 0! .0%! $ -+ $ +
$ 0! /%!
$ !" & % ) $. % '
$ $
! "
# #
# #
# # #
# $ !" #
(a) sn z
(b) cn z (c) dn z
✙✚✛ ´
✜✙✚✛ ´
O-4K 4K
✙✚✛ ´
✜✙✚✛ ´
O-4K 4K
O 2K 4K-2K-4K
✜✢✚✛ ´
✢✚✛ ´
!"#
!"
$
$ $
$ %!& "%!& $ ' # #!
$
%!& "%!&$ %!& "%!&$ %!&
"%!&$
# #! $ %!& # #!
$ # #! $
%! ( #%'& ) ! %!& $ %! ( #& ) %!& $ %!&
!"! #$
!%"& ' !%" ( #"& ) !%"&
#" ' !
' $ ' !%"& ) !%" ( !& ) !%" ( &'
$%"& ) $%" ( !& ) $%" ( &
' '
' +
#% "% ( "% ' " ) % ( &% ' % ( &% $
' + "
' %,-./0-112& #
' '
(
' 3
$ !%"&
' ( '
) ' ( !!%"&! " ) !%"&
'
* *+ ! *
" , '
'
!%"&# !%3& )$
"-&
"
!!%.&
.# "# !%.&
.
"4.
)$
"-&
"
" !%.&
. %.# "&4. )
$
"-
#
"
" !%*+ !&
*+ ! # "4/'
' !!%*+ !&! ") ' !*+ ! # "! $ *# !"!'
!!%"&# !%3&! " $
"-
#
"
##### " !%*+ !&
*+ ! # "
#####4/" $
"-
#
"
) !"!*# !"! 4/ )
) !"!*# !"! '
' *%&' !%"& ) !%3& ' !%"&
! "
#
#
# #
�!!$"% &" ' !#$
!" !
()*# "!$"%%
&!# &" # " ' '
#
�!!$"% &" '
" $#%
$+
$#% #%!
$#% +
$#%!
$#% #%!+
$
$#%!
#!$"% &"%
# !$"% &! &" #
$#%!
$#% #%!!$"% &" '
$#%
$!$"% &"%
$#% #%!
$#% !$"% &" '
$
$#%!!$"% &"%
#
#
!" !
()*# "!$"% ' ,%
#
# ! !
! # - # -
# - -
# !
! !$"% !$"%
# ! ! # " " #
# !$"% ! !$"%
# ( $"% " ! !$"%)!$"%
!"! #
$!% &
"$!% & "$!% # $ % $!% & & & % $
& ' % '!% & & & % ' & ( % (!% & & & % (!&
) % )!% & & & % )! & * $" & "$!% &
"$!% '+"$!%
$! $"%# % +"$!% !' (%"%
& $!% &
$!% ' '"! $"
)+ "$!%
+"$!%%
& ! ' $" * & '"
& , ($ & "$!% &
"$!% ' $! ($%%!-$$!%% -$$!% !' (%"%
& $!% &
$!% ')$
! ($)- $$!%
-$!%%
& $!% ! ' ($ * &
)$ & $!% # &
*
"./
�' $!% +! '
!""
,-.(")
"$!% )!!$"
,-.("*
"$!% ' !""
'" )!!$"
)$ ' (%
" &
# "$!% 0 &
0 '!!$"
)$ ' !""
'"%
"$!% & & "$!%
& #
! # "$!% $" &
($ & "$!% & &
!
" ! #!$ !
! #!$ "
�!! #!$ %! &
! " #
"'
" #!
" # #!
"! #!$ %!
'! " # #!
" # '
" #!
"
"! #!$ %!
& "! " #
" #!$ %! ' ""
" #!
" #!$ %!#
" (
#! ' "!$ & #!$ " #! ' ""$ & #!$
"
! " #
"'
" #!
" # #!
"! #!$ %! &
" #
"! #!$ %! '
"
" # #! ' "!$ #! ' "!$%!
& " #
"! #!$ %! '
"
" # #! ' "!$ #!$%! & "!
" #
" #!$ %!#
" #!$ ! $ #!$%$#!$
" #!$ "
" #
" #!$ %! &
" #
"
$ #!$
$#!$%! &
#%&
&#
" & ! $#!$
$#!$ ! ' '' ""
" "
$#!$ (
" " #
" #!$ %! & ))* (#
"
�!! #!$ %! & ))* #("" +"!$#
" ( +
" ! " $#!$ ! & ,$ -$ #. & (# )# / / / # 0$
" ! & 1% 2% #3 & (# )# / / / # 4$ "
! #!$ "
! ! & ,$-$! ,$
( '5 $#!$
5$#!$&
1%2%! 1%
' ( '6 %#!$
6%#!$#
!"! #$
% &!' "!&!'
%
# %
�#!$ &!' (! ) "%&
!� $#
!
' ( %#
! !
)!*!
$% +
%
$# !
' ( %#
! !
)!*! ) ,-! * .-"+
% , .
% ! % /&!'
% /&!' %
/&!' % # !
% %
% % % %
% % !
-! -" /&!' 0&!' % %
% /&!' 0&!'
/&!' !# % %
/&!' ) #
! !
!!
&! !#'!* /!&!'+ 0&!' )
#! !
!!
&! !#'!* 0!&!'+
!# %
% /!&!' 0"&!'
%
/&!' 0&!' ) /!&!' 0!&!'+
% % " /&!' 0&!' %
+ %
% /&!' 0&!' !
! "
! !#"$ ##"$ %
% % % !#"$ & ##"$
!#"$%##"$ % !#"$ % % ##"$
% " & "" !#"$ & % ""
##"$ & % ! #"$ # #"$
%
!#"$ &! #"$
#" ! "! "
"!!
! !
# #
#!
"! "
#!!
"!! !
# # "!
##!
"! "
$$"!
$$#! !
# "! $$"! #
# #! $"! # $
# #! " "!
!
!
# #
! !"
# #
$ # #
# !!"
# !!" " "# % % #
! ! "#
$ !! " % !
$ !! " % !
$ !! " &
$
!' ! ! "#!"
$ ! ! " #!" "
$ ( " $ % '& ! $ !'
& $ !
! % "#! #" "#$ $
!! " % " #! #" "#$ " %
" #!" "##! % # !'
! $
$ ! $ &
& ! % "#! #" %#$ $
!! " % " #! #" "#$ " %
" #!" "#"#! %
!'
$ $ !! " $ !
O
O
S+
S−
z1/2
=√
z
z1/2
= −√
z
z
z
!')
' !
$
$ $
$
*! # (+! " $ ! % (
$
! "
#
# #
# !" ! # #
"$% # %$% ! # & %&$' ()% # $
' # $ ' !""
! !"
#
#
( * #
#
+ "(# "
* #
#
+ "&(# )&( ' )
) &"$,)
( * -. 012
# * 012( # # 3
#
# #
&"$,) $( # "$"
# *! *" #
O 1−1
C1
C2
C+C−
z
"$"4
* * ( ( # %
* * #( % # "
*! *" # * ( (
# # *
# #
! ! "#
$ % !&' $ !"
$
$ !
! $ ( $
$ ! $ " !)#!) *" !) !
" $ ( $
$ ! $ " !)# ! )*" ! )
$ #! # ! $ $ ($ ($ " ! " ! $ $ + ( $ + (
$ *" !*" !
O 1−1
z
L
P01
P̄01
C1
P0,−1
P̄0,−1
C−1
!",
$ #! # ! $ $
($!%! %' &%!' $ &%!' %
$ $ $ %
$ ' $ (! (" #
$ ! % - ')!" $
$
*%(!+ ("' -
#
.!!%! %' &%!' -
"
"!
,!' )!"$" .!!&%!'
+
$ '" + $
!!!!/01%! *%(!+ ("'
!!!! # /01%!
"'
&%%'%(" (!' - ++
$
$
! "
# $ " #
%& '%& ( '
# & ) ! " ! # & ( ) !!"
!! # %& '%& ( ' ) ! !!" "! #!!$
# %& '%& ( ' & & (
# $# # " %& '%& ( ' %*' #
$ " "+ #
Argumentθ
0
Argumentθ
2π
01 2 1 2 3 4Length Length
S+
S−
S+
O
O O
O
O
(a) For either Path 2 or Path 3. (b) For Path 2 and Path 3 taken subsequently.
S−
2π
4π
C1
C−1
S+P̄01 (P̄0,−1)
P01 (P0,−1)
C1 (C−1)
P01
P̄01 P0,−1
P̄0,−1
"+ , %& '%& ( '
# $ "
# "+ %-' # . ##
# "
$ # & $$ #
# " # & $$ #
# # $ "
"+ %-' # $ $$
# ## # # " $$
# ##
# #
# % % # $
#
%
%"""##$
/&!& &!
)
%
/ !& !
( %
! / !
& !
")
$
$
# $
$
$) $'
# ## ! $ %(&&'
# ! #
# # $
# #
## # &
! ! "#
! $ %
$ % % !
! " !!#
&" #! "$
' !#$
% % %$ (
% " !! !!#
&" #! "$
' !
! " !!#
&" #! "$
) !
! " !!#
&" #! "$
' $$
% *%%%%+ %
%%%% %%% % % !
! " !!!#
&" #! "$
' !#$ !
! " !!!#
&" #! "$
' #$
%& ( %$ %
$ ! % ! % " !! !!!#
&" #! "$
' !
! " !!#
&" #! &$
) !
! " !!!#
&" #! &$
' (#$
% $ %%%%% %%%
% " !!! !!#
&" #! "$
' !
! " !!!#
&" #! "$
) !
! " !!#
&" #! "$
' !(#$
% $
$ % !
!
&" #! "$
' (#'$ *' ' $$"#$"($ ( ( (+
' !, %
$ ) %
) % !
!""#
&" #! "$
# *$
! "
# #
$ %!
!! ""#$
# #
# $% '()
#
'()*!! ""#+ '() !$
# ""
! !
*') + #
!
!
, *-! +*-! % +
$
# ') !
# "- "-&% #
# # ./0 '# ( # )
' # ( "- # # ) "-"-&% ) # "-&%
#
O
1−1
C+C−
z
L
1/k
D+D−
−1/k
./01
#
*-! +*-! % + #
./2 # (" (!
* ./2 *$++ *" 3
! ! "
# $ !
# $ ! # %
&"
1 1/k 2/k−1 2/k1 2 3 4
S+
S−
S+
S+
S−
S+
00
π
3π
4π
2π
4π
LengthLength
Augumentθ
Augumentθ
C+
C− D+
O
O
O
O
O
(a) For C+ and C−
linked subsequently. (b) For either D+ or D−.
!'(
# ) !'* !
+ # $
# $$% !
# $ # ! # %
&" #
# #
! ,-& $* )$& $$%* ')-& $*# ')$& $$%*
# ')-& $* #
')-& $* . !
"
/(!)$ (#*)$ %#(#* . )&
# ')$& $$%* #
')$& $$%* . ! !
!
/(!)$ (#*)$ %#(#* . *
! !
!
/(!)(# $*)$ %#(#* &
# *
# %! #+# . $ %#(# + #
')$& $$%* . ! !
!
/(!)$ (#*)$ %#(#*
. * !
"
/+!)$ +#*)$ %#+#* . *) !&
! "
#
# $! % # ! $&!'" ! %
"! # ' #
# # "! #
"
" # $
(#!$'" # %$'" ! # %
& %
"
(#!$'" # %$'" ! # % )
"
%
!" (#!
$'" # %$'" ! # %
"& * $
# * %!
"! # %! #
%! & & #
"! "! #
#
"
"# ! $
(#!$'" # %$'" ! # % & +$
"
"# ! $
(#!$'" # %$'" ! # % & ! $
# ' # "!
%! # #
# "! "! # *
# '!
#
"
" #! $
(#!$'" # %$'" ! # %
& %
"
(#!$'" # %$'" ! # % ) (
%"#
%
(#!$'" # %$'" ! # %
) ( %
%"#
!" (#!
$'" # %$'" ! # %
")
"
%
(#!$'" # %$'" ! # %
& )$+$ '% ) )$'$ '*!% ) )$'$ '*!%" )$+$ '% & *( $
" %! #
%! , #
%! # &
! ! ""
! # #
!
$! %&! !"'%&! ""!"'
(
!#!$
$! %&! !"'%&! ""!"'
! )#$ ! *%&$ '
# # & #
# # & ( #
& +, ./ ! # #
./%(0 *#$ 0 *%&$ ' ( ./ ('
# ./ # ./
)$ *%$
&)"
* !1 %+' #
%&! !"'%&! ""!"' !1 %2' #
# #
&)" ! #
O 1
z
L
1/k
E+
0
π
3π
2π
1 1/k 2/k−1 2/k
S+
S−
Length
Augumentθ
(a) Path of integral encircling 1/k alone. (b) Argument of (1− z2)(1− k2z2) along the path.
!13 &)"
# * # !
! #" $
$! %&! !"'%&! ""!"'
( %
!
$! %&! !"'%&! ""!"'
0 % %#$
%
$! %&! !"'%&! ""!"'
0 % %
%#$
!! $!
%&! !"'%&! ""!"'
"0
!
%
!! $!
%&! !"'%&! ""!"'
"
( +%4' &' 0 +%&' &)"' 0 +%&' &)"' 0 +%4' &' ( *$ 0 *%$ '
! "
# # ! "
# # "
! !"
% #
% &# '$#
% (
!
)&!*' " + '"&",*- &", (
./ % & # & ( % %
"- "' )' # "01
#
- & *
! - # # -# # -
" - #
# $' )' # # -
# - 2 # 2 $' )'
# + #
# , # !- &" , #
-! ( !
#
),!*- ,",*- '",", ( #(
# #
# , # !- &" , #
-" ( !!"
!
),!*- ,",*- '",", ( $# (
#
# #
! ! "#
z
L
C+C−
D+
D−
1−1
ik′/k
−ik′/k
!$%
& ' &
& & ( )
! *(' ! * &
+ & '
& ' & ' & '
& ' ' +"
' ( ) ! *(' ! * +#
$! $! & ' '
& & + ," &
' $!
& ' &
% & & % & & &
& ' &
% & +" ) +%" &
% & & $! $!
& &
& +" ) +%" &
' & $!
+ & $! & '
! "
# #
$ %! ! & !! !'%(! !'
) "& *#$ & +%%$ & &$ ''
# # % #
# - .
-%"& *#$ & +%%$ & &$ '' ) - "'
# - *$ +$ & +&$
( # ("
" !&! )! (
# + # # # #
# " # #
&! )! !&! )! #
( # ( (
+$ ! +&$ # + *$ & *&$ # " *&$
# *$ +$ &+&$ (