kinetic theory and bose-einstein condensation colm connaughton

27

Upload: phamkhue

Post on 13-Feb-2017

232 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

�������������� �������� ����� ��������� �!���"�#������ $%�������&�"��'������

(*),+.- (/),0101243658789:)80�;=<?>,@BADC&),-E@F2G3

H4IKJML:NMIPOQL:RSNMT�UKT�V�WKX�YZR\[^]_T�`FOQIPOaRbY^OaRa[c]dTeUKT&fMg hjikLPflT�mnL:NZo�I:fpT&`q]srdtuNuR\Tu]vNZwxI�YZY^Lyi^RQteI:]z m|{}`_w�~s��{|]_T}H#WvL:o�L:�BU�w|���:~K���eVjI:NuRbY z TkUKTM���P��w8� N�I:�Fi�T

�*�K�s�8���

�.�"�M�d�p�'���M�M�p�^�p�*���*���p�k�^ _�k�¡�M�_�*�k¢:�p�?£d�b�y¤¥�c�§¦�¤�¨v�l�_�^�M�p�?�M�_�c¢:�M¤��l�©�d�c�k�^�M�l¦d�l�dªD�M�_���_¢:��«�c¬� d�l�l�l¦d�M�l d­®��¤��q��­'�p�c��¢�¯����l�l d�k�°�M¤��M�k�^­���¢�¯6�1�y��¨��l¤±�l�K�k�^���:�^�M�l�dª�¦²¢P�k¢:�_�y³B´��¡�l�l�l _�k�M�����k��_¢s�µ�±�M�l­'£d�p��¨��l�_�^�M�p�*�c¬K q���M�p¢:�§¯\¢:�n�M�_���M�l­����^¶¥¢:�l d�M�p¢:�·¢�¯¸�M�_�*�M£F�c�^�M������£q���M�M�p�^�p�/�d�^��«�M�l�.¤��y���/¦²�}�d�^�M�l¶¥�c�*¯a�k¢:­¹�M�_���M£q���M�b���l�l¤��_¢:­�¢:ª¥�^�_�c¢: _�}º��k¢P�k�M«¼»��l���:�^¶v�k¨��l� �c¬� q���M�p¢:�G³v½x�d�p�¨v�l�_�^�M�p�?�c¬� q���M�p¢:�§��ªP�k�c�c�¡�j�l�M���M�_�� _�M q����¾1¢:�l�M¿c­?���d��«¼À�¢:�k���_�^�l­Á�c¬K q���M�p¢:�¢�¯x¬� q���K�M d­¨v�l�_�^�M�p�x�M�_�c¢:�M¤¡�l�°�M�_�x�p¢:�dª��1�y¶¥�^�p�^�dªP�M�?�l�l­'�l���j�_�^�k�x�M�_�j¢v�c�^ d£q���M�p¢:�'�K d­¡¦F�^�k�1���k�j�uÃv£²�c�u«�k�c�'�k¢&¦F�j�b���Mª¥�P³K½x�_�¸�M�����M�p¢:�q���M¤��k¢:�l d�M�p¢:�_��¢�¯F�M�_��º��k¢P�k��«¼»��l���:�^¶��M¨v�l�d¨��l�_�^�M�p�}�c¬K q���M�p¢:�*���k��d�c�k�^�M�l¦²�c� ³�½x�_�c�k�*�l�_�^�l _�d�/¦²¢:�M�·�M�_�^�M­�¢���¤v�q��­'�p���c¬K d�l�l�l¦d�M�l d­Ä�M£F�c�^�M���D���_�ÂÅ_�d�l�k�*Æ_ �ÃÇ}¢:�l­�¢:ª¥¢:�k¢y¶KÈ�ɲ��¨��q���k¢s¶*�M£²�c�^�M����³¥½x�_�c�k�¸�b���M�k�^�6�M£²�c�^�M���&���k�j�l�K�M�M�l�_�k�p�y���l�l¤��_¢:�_�c¬K d�l�l�l¦d�M�l d­�M�����k�c�x���_�����k�}�uÃv£²�c�^�k�c���k¢&¦²�j�k�^�p�^¶:�������l���M�_�|�M�����_�M¯a�^�1¢�¯²£q���M�M�p�^�p�c�1�k¢n�p¢y�Ê­�¢:­��^�K���n�l��M�_�e�l�d�l�M�b����M����ª¥�'¢�¯6�M�_�'�c¢:�_�d�^�_�Z���M�p¢:��£d�k¢��c�c�k�s³F½x�d�p���p���l�l�l _�k�M�����k�c�D¦K¤±��¢:­��e�c¢:­'£d d����«�M�p¢:�_�¸¢�¯��e�k¢:�l d�M�p¢:��¢�¯8�M�_��¨v�l�_�^�M�p���c¬K q���M�p¢:�˦F�^ªP�l�d�d�l�dª'�j�l�M���l�d�l�M�b���4�c¢:�_���l�M�p¢:�_�j¯\���1¯a�k¢:­�c¬� d�l�l�l¦d�M�l d­�³_½x�_�&�k¢:�l d�M�p¢:��ª¥�^�_�^�����k�c���¡Æ_ �Ã*¢�¯#£q���M�M�p�^�p�c�x¯a�k¢:­Ì�b���Mª¥���k¢'�M­?���l� ­�¢:­��^�K����j�d�p���·�k�c�M d�l�k�e�l�©�±�M�l�dªP d�b���M�l�¼¤·���e¿y�^�k¢±­�¢:­��^���M d­Á�j�l�M�d�l�ÂÅ_�d�l�k���M�l­��P³8´��*�l�K�k�^�M£d�k�^��M�d�p�¸�k�l�dªP d�b���M�l�¼¤��:�x�l�_�^�l£d�p�^�K���c¢:�_�d�^�_�����k��¯\¢:�M­?���M�p¢:�G³d´����M�_�^��£d�k�c�k�^���|�k¢:­����K d­��^�M�p�y����k�c�M d�l�k�x¢:�/�M�_��£F¢P�k��«¼�M�l�dªP d�b���M�l�¼¤*��¤��q��­'�p�c�¸���_�*�M�_����£d£d�k¢¥�:�k���k¢e�c¬K d�l�l�l¦d�M�l d­�³qÍ1¢:���M�����M¤�k¢�¢: d�}¢:�M�lªP�l�q���4�uÃv£²�c�^�����M�p¢:�_�¸�1�&�d¢'�_¢:�|¢:¦_���^�M¶¥���M�_�&Ç|¢:�l­�¢:ª¥¢:�k¢s¶K«Îɲ��¨v�q���k¢y¶Ï�M£²�c�^�M�M d­�� d�M�l�dª°�M�_�}£F�^�M�p¢v��¢�¯8�c¢:�_�d�^�_�����k��ªP�k¢y�j�M�G³��¼�*�M�_���^�p¢P�M�l�dª'�k�c�^�M�p¢:�_�1�����:�d���k�c�k�1�M�_�|�p���M _�¢�¯��M�_���c¢:�d�_�c�^�M�p¢:�Ц²�^�¼�1�c�^�Ð�M�_�±º��k¢P�k��«¼»��l���:�^¶��M¨v�l�}���_�Ѿx¢:�l�M¿c­?���d��«¼À}¢:�k���_�^�l­Ò¨v�l�_�^�M�p��c¬� q���M�p¢:�_�y³²´��?���MªP _�°�M�q�����M�_�'�.��¢��c¬� q���M�p¢:�_���q�y¶¥�����ÔÓ²�^�M�l�dªË�k�^ªP�l­��c�&¢�¯j��£d£d�l�p�y��¦d�l�l�l�.¤�l��­�¢:­��^�K�M d­µ�M£q�:�c�PÕ¥­?���k���d�l�dªe�l�*���?�l�K�k�^�M­��c���b���k�������dª¥�P³�´��j­?��¨¥���k¢:­��¸�M dªPª¥�c�M�M�p¢:�_�¢�¯#�_¢y�Ö�M�d�p�|­?���k�k�d�l�dª*�y����¦F��­�¢v�d�^�p�c���l��£d���:�^�M�p�c�P³

×°TuX�Ø6L:N�U:YcÙ"Ç��l�_�^�M�p���M�_�c¢:�M¤FÕq¾1¢P���u«¼Ú��l�_�M�k�^�l�Ë�c¢:�_�d�^�_�����M�p¢:�

Û Í1¢:�M�k�c�M£²¢:�_���l�dª*�� d�M�_¢:�h1o�I:RSf4I¥U¥UPNMTZYZYcTZYyÙxÜPÝKÞ�ß_à�ÞPá_â8ã�ä:åqâ8ã¼æKçÏèQÍ1¢:�l­éÍ1¢:�d�q�� dªP���k¢:�BêuÕqádÝ�ßqäKë:ì�à�ÞPá_â8ã�ä:åqâ8ã¼æKç

èîí¶¥�c�}»,¢:­��y�� Bêu³

ï�ð^ñ.òFðMólôFõ�ös÷_ø�ù'óQõMõÎñcú±õÎûnü�ýpö^ñsþ�óañkð�ÿ��kóañkô��cñ ����ô������

Page 2: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

� ��������� �������������������������� �!����� �"��#%$&��'(�*),+.-/��'102��-3�54�����6�����'2780(-/� �5�94�4�:�;('=<>�����?7A@/7�;(B��C�D:��E)F ��;�GIHKJLGM��#N�O78;P02-34�@3��'!��#Q7R$&� 'P�SBT78'U���T0(��;U0(���S'(7��=�C'(-3��B @/�V�O7�;102-34�@/�XWD:O7��T0(:��'P027802�N'P:�4L�V0(�O780�0(���Y#Z;27�4*02-3� �[HKJ1\�H];(���=7�-3��'&^O��-_02�Y-3�`02���Y0(����;P�=�96�a9�O7��!-/4b@/-3�=-_0cGHed fgGhHi\ jk^O��-_02��l�m,�n02���E4�7�'(�i��#I7`:���-_#Z� ;(�oBT7�'�G�0(���E�O7�;102-/4�@/��'Y4�� ��6�����'P�i-/�02���K'(-3��B @/�%�O78;P02-34�@3�Q'10L780(�p�O7cq9-/��BUr���;(�`�!� �!���T02:��Clts.;(��6�-/4*02��6 F aS$I� '(�p7���6n+.-/�9)'P0(��-/�i-3�VucvTw8xOy{z|G_u�}�~�G 02��-/'���������� �!����� �=��7�'�B ������;2780(��6!-/�T02����'(�>-3�D0(��;P��'P0�-3�E02�����O78'P06���4�7�6��Y#Z� @3@/��<>-/��BQ0(���Y�*�90(����'P-3q �N���|����;(-/�!���T027�@���;P� B ;P��'('I<>��-/4L�[�O78' F �����[�=7�6��b-/�4�� ��6�����'P-/��B�7802� �!-/4�B 7�'(��'&'(-3��4���02����-/��-302-/7�@���������;P-/�!���T02'I-/�Vu�v vT�|y_u8G��8~�l|�|���py_u���~t#Z� ;7E;(��q9-3��<%l�����&0(����� ;P��0(-/4c78@|6���'(4�;(-/�|02-/������#�$�+M�R;(��@/-/��'���-302����;����E�9-3����0(-/4�02����� ;Pa�G80(����'(��),4c78@/@/��6$&� @_02r��=7����9)��b��;(6�����-/���D-/����02-34&��W9:�7802-3� �E� ;�� ��0(���>�N;(� 'P'1),s�-/7802�*q9'(�D-/-|��WD:O780(-/� �hG�7����WD:O780(-/� �[#Z� ;�0(���N02-3�=��),'(��7�4��N6���������6O7��T0�7��!��@/-_02:�6��b��# 02���%4�����6�����'2780(��l�����K$&� @30(r��=7����|),�b� ;P6�����-/����$M),�Y�&�D-/����02-34N��WD:O780(-/� ��G

�O������O���¡ M¢ ��£�¤�£Z¤�¥¦¤�§p¨©��¤c¥(��¤�§ª�«9¬i����£�­�ª1«9¬E��¤�£�­�®¯����£���¤�£�ª�«9¬i��¤c¥P­�ª�«9¬i��¤�§L­,°±|ª�².³�¬µ´�³�®¯´h¶�®¯´h·*­�±�ª¹¸ ¶ ³ ¬»º ¶³ ®¼º ¶¶ ®¼º ¶· ­�½T´�³,½T´h¶�½T´h· ��u�

<�78'�6���;(-3q���6 F aK�b��;(6�����-/�¾y¿u�À8~D#Z� ;Á02���M02-3�=����q�� @/:|02-/���K��#�02���M'(����4*02;278@|6�����'(-_0,a G ��¤ G��#�7%'P027802-3'P0(-/4c78@/@3aK��� �!� B ��������:�'�����'P��� F @3�b�8#h-/�T0(��;2784�02-3��BQW9:�7��T02:��Â�O78;P02-34�@3��'�'(�9� �78#Ã02��;M0(����6���q ��@/� ���=���D0���#�WD:O7��T02:��Ä'10L780(-/'102-/4�7�@t�=��4L�O7���-34�'I-/�i02���b�c7�;P@3aE0,<I���T02-3��02�4����D0(:�;Pa�ltm,�V0(���Q7 F ��q��Q��WD:O7802-3� �¢ ��£�¤£�¤c¥Å¤�§ � «ÆSÇ ·KÈ8ÉËÊ ��£,Ì9¤�£ É ¶ ¬ É©Ê ¤�£¦Ì9��£ É ¶2Í ��w �

<>����;P� Ê -3'!0(����'P4c780P02��;P-/��B¡@/����B�02��G Æ -3'!0(���S��7�;P0(-/4�@3�C�=7�'P'U7���6 Ç -3'`s.@Î7���4L��Ï{'4�� ��'P0L78�D0�lIm,�Ð02��-3'U7�;102-34�@/� F � @/6|#�7�4��X0,a9���C;(����;(��'P���T02'X7Ñq ��4�02��;U-/� ½ ),6�-3�=����'(-3� �O7�@'(�O784���l�ÒA�K'(�O7�@3@ 0,a9��-34c7�@3@3aX:�'P� ´ 02�U;(����;(��'P���T0K7U6�:��!�paXq87�;(-/7 F @3�Q<>��-34L��-/'b-/�T02��)B ;27�02��6=��q ��;�7���6 ² 02�K;(����;(��'P���T0�� ���b<>��-34L�`-/'M����0�l|�����b6�-/'102;P- F :�0(-/� �!6�-3'P02;P- F :|02-/���-/'�����;(�=7�@/-3'(��6['P:�4L�C0(�O780�0(���%�O7�;P0(-/4�@/�Y6�����'(-_0,aX-/'�B -_q ��� F aHi\ j � «ÇDÓ   ½T´�³9��¤£�Ô ��zT�

Õ �V0(���%��02����;��O7���6�G�02���K�N;(� 'P'1)�s.-_0L7��*q|'P�D-/-����Y),sI�&��WD:O7802-3� �hGÖ Ç ��×��� � ® Ç ¶Ø ÆÐÙ ¶ ×»¬ j ªZÚ ­�ÛѬµÜ É × É ¶ ×EÝ �ZxD�

w

Page 3: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

^O;('10Q6���;P-3q ��6¡-3�n02���i'(-¿�902-/��'iy_u�w|G3uc��~�G�-/'%7[�=��7��Ñ��WD:O780(-/� �n#Z� ;Y0(���i'(�O784��*)Å02-3�=�E6���)������6����D0�7��=��@/-30(:�6�����#�02���b4�� ��6�����'(7802�8l������b��� ��@3-/����7�;�-/�T02��;27�4*02-3� �i4��9���!4�-3���T0cG Ü G-/'Ü � ��� Ç ¶ ÊÆ Ô ��� �

�b��;(� ± -/' 02����������4�0(-3q ��'P4c780P02��;(-/��BY@/����B�02�K��#O02���&0,<&��) F �|6�aK����02���D0(-Î7�@D-3�p02���&'1)¦<&7cq �7�����;P�c��-3�U7�02-/���hl.����-/'U7�����;P�c��-3�U7�02-/���hG.-/������;(���T0`-/�¼02���n�Y),s ��WD:O780(-/� �hGM-/'!q87�@/-36��;(��q9-/6���6µ02�O780 Ê -3'E��:�4L�¼'(�=7�@/@3��;Q02�O7��¯0(���V7�q���;(7�B �X6�-/'10L7���4�� F ��0,<I�����»7802���='�G02�O7�0p-3'%0(�S'(7�aÑ0(���UBT78'K-3'Q6�-/@/:|02��l j ªZÚ ­ ;(����;(��'(���T0('p02���!�*�90(��;(��7�@I����0(���T02-/7�@�)b0(���02;(7��`-/�!02����4c7�'P�Y��#�;P�c7�@��*�|����;(-3�=���D0('�l�O� ;�7��U�*�902����'(-_q �N;(�*q9-/��<?�8#�02���b;(� @3����#h0(����Y),sÂ��WD:O780(-/� �"-3�»02���C02����� ;PaÐ��#K$�+M� '(���µy ��~�l&m,�50(���n7 F 'P����4��Ñ��#Q7��"�*�90(��;(��7�@���802���T0(-Î7�@�G&<&�A7�;(� 4�����'(-36���;P-/��BÐ7Ð'P�O7802-/7�@/@_a»��� �=��B ������� :�'VBT7�'C7���6 02���A�%;P� '('�)s.-30L78��q9'(�D-/-���WD:O7802-3� � F ��4�� �!��'�0(���%��� ��@3-/����7�;>�|4L��;P�|6�-/��B ��;���WD:O780(-/� ��l�����Y� :|02@/-3������#�02��-3'�7�;102-34�@/��-/'I7�'&#Z��@/@/��<>'�l9m,�['P��4*02-/���XwQ<I�Y6���;P-3q��N7p�D-/���*02-34b02����� ;1a#Z� ;�02�����Y),sS��WD:O7�02-/���Q<>��-34L�p6���'(4�;(- F ��' 02����02-3�=���*q � @3:�02-3� �K�8#�02���&7cq ��;27�B��&'(����4*02;(7�@�O7�;102-/4�@/�K6�����'P-30,a�l�ÒA�p;(��#Z��;�02�`0(����;P��'(:�@302-3��B`�D-/����02-34���WD:O7�02-/���hG���WD:O7802-3� �¼��x�u�*G�7�'02���Q��|s¼�9-3����0(-/4Y��WD:O7802-3� �`02�i6�-3'P0(-/��B :�-/'(�U-30�#Z;P� �k0(���%$�|� ��W9:�7802-3� �hl�����-/'��D-/����)02-34Y��WD:O780(-/� �X-3�=��@3-/��'M0(�O780� ×�� ��� �!�c7���-3��B�-_0�6���'P4�;P- F ��'�02���N;P��B -3�=��<>����;P�%� ��@3a'(����;P0.<&7�q���'I7�;(�&;(��@3��q87��T0cl8m¦0�-/'�0(����'278�=���D-3����0(-/4���W9:�7802-3� �i7�'�02��780.:�'P��6i#Z� ;.7Y@/����B02-3�=�Q02�[6���'(4�;P- F ��02���p'P0L7�02-/'102-34�'Y��#M� �|02-/4�7�@Á02:�; F :�@/����4��8Gh'(���E#Z� ;Y�*��7��!��@3�`y{v8~ÅGh7���6��02����;����Ta9'(-/4�7�@O'Pa9'102���!'MB ��q ��;P����6 F a�02���>������@/-3���c7�;.�|4L��;(�96�-3��B ��;���W9:�7802-3� �hl��O� @3@/�8)<>-/��BY0(��-/'.6���;(-_q87802-3� �hG<&��7�6�6�;(��'P'.02���>-/'P'(:����8#�'10L780(-/� ��7�;Pap'(� @3:�02-3� ��'�0(�N02�����D-/����02-34��WD:O780(-/� �n-3�n'(��4�02-3� � z�l�Ò¡�E�O7�;102-/4�:�@Î78;(@3aX���=���O7�'(-3'(��0(���E��� �|)¦��WD:�-3@/- F ;(-/:�� 'P0L7�02-/��)�O7�;1a»'10L780(��'U<>��-34L�"4c7�;P;Pa��O:|�|��'[�8#%������;(B�a57���65�O78;P02-34�@3��'=0(��;(��:�B �5�!� �!���T02:��'(�O784���l&�����n'(����4*02;27µ7�'P'(�94�-/7802��65<>-302�50(����'P�n��� �|)¦��WD:�-3@/- F ;(-/:��e'P027802-3� �O7�;1a»'10L780(��'7�;(�K4c7�@3@/��6��b� @3�=��B � ;(��qT)��h78�9��7�;(��q ���Y)����>'P����4�0(;27�l�������a�7�;(�p7��n7��O78@/� B :��K��#.0(����b� @3�=��B � ;(��qT) Õ F :��9���q�'(����4�0(;(:��¾��#h�Da96�;P�|6|a|��7��=-34�0(:�; F :�@/����4���<>��-/4L�=-/'M;(��'P�����|)'(- F @/�>#Z� ;M������;(B�a!02;(7���'(��� ;10�-/�!#�7�;�#Z;(� �Â��W9:�-/@/- F ;(-3:����O:�-/6�'�l Õ #��O78;P02-34�:�@/7�;�-/�T02��;(��'P0-/�n02���U��)�s �9-3����0(-/4�0(����� ;1an-/'N0(���i-/�Tq ��;('(�!4c78'(4c786��=<>��-34L�¡-3'N;(��'(��� ��'(- F @/�E#Z� ;Y0(���02;(7���'P#Z��;=�8#N�O7�;102-/4�@/��'i#Z;P� � ��-3B �¼0(�A@3�< �=� �!���T027 ;P��WD:�-/;P��6¼#Z� ;U$&+I�k0(�¡�94�4�:�;-/�n7='Pa9'P0(��� <>��-34L�n-/'b-/��-_02-Î78@/@3a`7c<�7caS#Z;P� � 02����;(�!�|6|a|��7��=-34K��WD:�-/@3- F ;P-/:��VlOm,�n'(��4*)02-3� �Cx!<&�p@/�9� �[780b'(� �!�%02-/�!�%6���������6����T0N'P� @/:�0(-/� ��'b��#�02���Q�D-/���*02-/4%02����� ;1a l��b'(-3��B'(��@3#Î),'P-/�!-/@/7�;(-_0,a!7�;(B :��=���D0('�7���6V�9:��=��;(-/4�7�@h'P-/��:�@/7802-3� ��'M<&�Q'(����< 0(�O780>02���Q-3�Tq ��;P'(�4c7�'P4c7�6��S4c78�ÐB ������;(7802�C7n^O��-30(���O:|�Ð��#b�O7�;P0(-/4�@/��'E0(� 0(���Cr���;P�¡�!� �!���T02:�� 'P0L7�02�'P027�;P0(-/��BV#Z;(� � 7V4�� �T02-3�D:�� :�'K�O7�;P0(-/4�@/�i6�-/'102;P- F :�0(-/� �Ñ<>-30(��-/�Ñ^O��-_02�!02-/�!��l�����-/'Q4c7��F �p'(�����¡-3��'(���=��'P����'P�!7�'Y4���;(;(��'(��� ��6�-3��B`02�`0(���E� ��'P��0%��#�4�� ��6�����'27�02-/��� ��;(� ����;�lm,�`'(��4�0(-/� �X�%<&�Y��;(��'P���T0>'(���=����;(��@/-3�=-3�O7�;Pap�D:��=��;(-34c7�@�4�� �!��:�027802-3� ��'M��#Á7p'1a9'P02�����#M�D-/���*02-/4K��WD:O780(-/� ��'Y<>��-/4L�n6���'(4�;(- F ��02��������'P0P) �� ��q ��@/:�0(-/� �hl��|:�;P��;(-3'(-3��B @3aX<I�E6������0='(���S02���!��)�� 'P4c7�@3-/��B¡-/�µ02���C����'P0P) � ;(��B -/�!� F :�0U;2780(����;=7A;278��-/6Ð7�����;P�T7�4L�02�V7X'(����4�0(;(:��]q���;1aÑ4�@/��'(�E02�[02����;(�!�96�a9�O7��!-/4���W9:�-/@/- F ;(-3:��Vl�m,�Ñ02���i�����D:�@_02-/�=780(�'(��4�02-3� �=<I�b7�6�6�;P��'('M02����'(: F 02@3�bWD:���'P02-3� �!��#�0(���b4�� ������4�0(-/� � F �*0,<&�����`02���b$�)�� 7���6�Y),sA�D-/���*02-34>0(������;(-/��'�l Ò¡��78;(B :��>02��780�02���b$M)��"�D-/����02-34�02����� ;Pai'P��� :�@36 F �b;P��@3��q87��T0

z

Page 4: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

#Z� ;&@/7�;(B��b�!� �!���T0L7�78��6U02���%�Y),s¯��WD:O780(-/� �`;P��@3��q87��T0&#Z� ;M02����@/��<?�=���=���D027Q<>����;(�4�� ��6�����'(7802-3� �»�94�4�:�;('�lI�����C0,<I�R'(����:�@/6Ð�U780(4L�»-3�Ð'P� �=�V-/�T0(��;(�!��6�-Î780(�V;(7���B �V��#'(4�7�@/��'�lDÒA��7�;(B :��b02��780&0(��-/'M�U7�024L��-3��Bp'P��� :�@36 F ��;(��7�@/-3'(��6 F a=0(��-/���9-3��BQ��#�02��� ��)��'(����4*02;(:��k��#�02����$M)��?��WD:O780(-/� �!<>-30(�U-30(' ��:|�=��#��O7�;102-34�@/��'M7�'�7Q'(� :�;P4��Y�8#��O7�;102-/4�@/��'#Z� ;�02���Y�Y),sR��WD:O780(-/� �hlDÒ¡��� :�0(@/-3���>'(� �!�Y7�;PB :��!���T02'M��#Á����<"0(��-/'M�=-3B �T0 F ��7�4L��-/��)q87 F @/�%-3�C��;(7�4�0(-/4�� F aC7�6�6�-3��B=7='(��:�;(4��K02��;(� 0(�!0(���E��)�s»��WD:O7802-3� �C<>��-/4L�S�!�96���@3'02���=������4*0���#�0(���U��7�;P0(-/4�@3�=4�7�'(4�7�6��!#Z;(� � @Î78;(B ��;Q�!� �!���T0L7|lhÒA�=4�@/��'(�=<>-_02�¡'(� �!�4�� �!�!���T02'N7 F � :|0�02���E:��O7���'1<&��;(��6¡WD:���'P02-3� ��'Y<>��-34L��<&��#Z����@�7�;(��-3�=��� ;10L7��T0�02�X7#Z:�@/@3��;�:���6���;P'P027���6�-3��B=�8#�0(���%;(��@/7802-3� ��'P��-/� F ��0,<I�������D-/���*02-34Y02����� ;(-3��'�7���6V$�+M��l� �C�����T���������D�t�� �Å���!�������[����������K�Z��������������� �"!h������Z���#%$'& (")+*-,'.0/21435,6)+387%9;:�<�=>,@?�/6,A143B12CEDGFAHI���0N:�'N4�� ��'P-/6���;Y����< 0(����'P�O7802-/7�@/@_aX:���-_#Z� ;(�o4c7�'P��<>����;P��02���p�*�902��;(�O7�@�����0(���T02-/7�@ÅGj ªZÚÁ­ G�-3'>7 F '(���T0clt�����p�Y),s¼��W9:�7802-3� �hG

Ö Ç ��×��� � ® Ç ¶Ø ÆÐÙ ¶ ×»¬¯Ü É × É ¶ ×�Ý ��ÀT�#Z� @/@3��<>'&#Z;(� �k02���Yq87�;P-Î780(-/� �O78@���;P-/��4�-/��@3�

Ö Ç ��×���¼� ±KJ±�× Ý ��� �<>����;P�Q0(������7��!-/@_02� ��-Î7��hG

J �   ½ ÚML Ç ¶Ø Æ É Ù × É ¶ ¬ Ü Ø É × É N�O Ý ���T��=��7�'(:�;(��'E0(���`02��027�@&������;PB�a¯��#�02���[4�� ��6�����'(7802�8lMm,�¼7�6�6�-30(-/� �A0(�Ñ4�� ��'P��;1q|-3��B�G J G��WD:O780(-/� �¡��ÀT��7�@/'P�i4�� ��'P��;1q ��'�02���N0(��0L7�@��O7�;P0(-/4�@/�Y�D:�� F ��;�G

H �   ½ Ú É × É ¶ Ô ��vT�#%$P# Q-)+R+9�)+3�7S<;143�7%9�3�:�)+/T9U:�14.0V%/W,A143�:�����%02;(-_q9-Î7�@�'(� @3:�02-3� �[��#���ÀT��4�� ;(;P��'(��� ��6�'>0(�U7E'P�O7802-/7�@/@_a!:���-3#Z��;(� 4�� ��6�����'27�02��G

×iªZÚ.Ý(�P­ � É ×YX É2Z Ì[]\^`_ acb;_ ¥Adfecg Ý �1uc}T�x

Page 5: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

<>����;P� É ×YX É -/'>78�C78; F -_02;278;Pa=4�� ��6�����'(7802�K7��!��@/-_02:�6���7���6��R-/'�78�S7�; F -30(;27�;1aU���O7�'(�8l��������02����;.� F q9-/� :�'.0,a9���b��#�'(��@/:�0(-/� ��'.�8#.��ÀT��7�;(��0(����<�7cq ��),�O784L����0&'(� @3:�02-3� ��'�0(�%0(���@/-3���c7�;P-/'P��6V��WD:O780(-/� �hl�������'(�E'(��� :�@/6 F �p;(��@3��q87��T0�<>����� Ü���� « 4�� ;(;P��'P��� ��6�-/��B=02�02���%6�-3@/:�0(��G�<I�c78�9@_a[-/�T0(��;2784�02-3��Bi;(��B -/�!��l�������'(�K7�;P� F ��'10��*�|��;(��'('P��6�02��;(� :�B��X0(����-3;�O� :�;(-3��;&0(;27���'P#Z� ;P�

×iªZÚ.Ý(�P­ � «ª Ø � ­�� ¥  �� ¤�ª � ­ Z Ì�¹¤� � e �� �� d ½T´�Ô �1u�u�<>����;P� ½ -/'�0(���%�9:�� F ��;>��#�'P�O780(-Î7�@h6�-/�!����'P-/� ��'�7���6

� ¤ � ÇØ Æ º ¶ Ô �1u�w �ÒA������0(��#Z;P� � ��uw ��02�O7�0&@3-/����7�;�<�7cq���'�� �=7p$I� '(��)�+.-/��'102��-/�!4�� ��6�����'(7802��7�;(����-/B���@3a6�-/'P����;('P-3q �8l�m,�p0(���I<I�c78�9@_ap-3�T02��;(7�4�0(-/��B�;(��B -/�!��G�0(����'P�&<�7cq���'�7���6K02����-/; -/�T02��;27�4*02-/����'��@Î7ca�7��i-/�!��� ;10L7��T0��O7�;P0�-/�E02����6|a|��7��=-34�'�<>��-34L�E<>-/@/@ F ������7��=-3����6i-3�E�=� ;P��6��*0L7�-3@-/�[02��-/'>7�;102-/4�@/�8l#%$�� �14V =>,A9�=U:T?�)%<;9�7%9;:�<�=>,@?�/6,A143�|-/��4��b<I�Y78;(��6��c7�@3-/��B%<>-30(�=<&7cq ��'�G�-30M-3'I4�� �Tq ����-/���T0�0(�K<I� ;(�i-3� �O� :�;P-/��;�'P�O7�4��8l9Ò¡�7�6�� �|0�02���N#Z� @3@/��<>-/��Bp����0L7�02-/���`#Z� ;�02�����O� :�;P-/��;&02;(7���'P#Z��;(� �O78-/;

��¤�ªZ�P­ � «ª Ø � ­�� ¥   ×iªZÚ.Ý(�P­ Z Ì�¹¤� � ½ Ú×iªZÚ.Ý(�P­ � «ª Ø � ­�� ¥   ��¤�ªZ�P­ Z �¹¤� � ½T´�Ô �1uczT�

m,�!�O� :�;(-/��;&02;(7���'1#Z� ;(�!��6[q87�;(-/7 F @3��'�G|02�����b7��=-3@30(� ��-Î78�U-/'J �A  � ¤���¤�� ¤ ½T´ �1u�xD�

¬ «Ø ܪ Ø � ­ Ó ­   ��¤���¤ £ � ¤ ¥ � ¤ § ±|ª�´=¬¼´�³�®¯´h¶�®¯´h·*­�½T´�½T´�³,½D´�¶�½D´�·7���6 ��7��!-/@_02� ��Ï 'I��WD:O780(-/� ��'�G �Å� ��G�B -_q �

�������� ¬ Ö � ���b� � ® Ö Üª Ø � ­ Ó   � ¤£ ��¤�¥���¤�§L±|ª�²�¬E´�³®K´h¶T®p´�·*­�½D´ ³1½T´h¶L½T´h·cÝ �1u�� ��

Page 6: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

<>-30(�g7µ4�� ;P;(��'(��� ��6�-3��BÐ4�� �!��@/���?4�� ���P:�BT780(��6g��WD:O7802-3� �?#Z� ; � � l �O� ;[����027802-3� �O7�@;(��7�'(� ��'�-_0>-/'���������6�-/���T0>02�i<I� ;(�`-3�[02���%-/�T0(��;2784�02-3� �[;(����;(��'(���D027802-3� �C7�6�� ��0(-/��B�0(���q87�;(-/7 F @/��'�G� ��ªZ�P­ � �b��ªZ�P­ Z �� �� d Ô �1ucÀT�

�����Q��WD:O780(-/� �X��#��=�802-/���U#Z� ; � ��ªZ�P­ -3'� � ���� � ® Ö Ü�� ¶ª Ø � ­ Ó   Z ����� £�� ¥ § d � ¤�£ � ¤c¥ � ¤�§�±� ���£�� �(¥��1§t½T´�³�¶,·�Ô �1u�� ��b��;(��<&�>�O7cq��b-3�D0(;(�96�:�4���6E02����#Z��@/@/��<>-3��BY����027802-3� ��<>��-34L�i<I�>'(�O78@/@�4�� �T02-/�D:���0(�Q:�'(�02��;P� :�B ��� :�0�02���K78;P02-34�@3��02�!4�� �!�O7�4*02-_#Ãa=0(���N#Z� ;(��:�@Î7����

� �� £ � � ¥ � § � � �b¬ � ¤ £ ® � ¤ ¥ ® � ¤ § ݱ� ���£�� �P¥��1§ � ±|ª�²�¬i´�³�®p´h¶T®K´h·*­*ݽT´�³�¶,· � ½T´�³1½T´h¶�½T´h·�Ôm,�%� ;(6���;h02��7cq � -36%6�� -/��B>7>����;102:�; F 780(-/� �N������7���'(-3� �%-/�Y0(����6�-/�!����'P-/� ��7�@8��7�;27��!��0(��;�GÜ G|<I�N�O7cq �%-/�T02;P�|6�:�4���6`02���Y#Z� ;P�U78@�6�-3�=����'(-3� ��@3��'('I�O7�;(7��=�*02��;�G � ¶ G F a`�=7��D-/��Bp0(���;(����@Î7�4����!���T0 �b� d ����� l������E'P027802���=���D0�02�O780 � -/'Y'P�U7�@3@Á-/'b0(����'10L780(���!���T0Y02��78002���[��� ��@/-3���c78;K4�� �T02;(- F :�0(-/� �A0(��02���U������;(B�a¯-3'p'P�U7�@3@M<>-_02�¯;P��'(����4*0E02��0(���`@/-3���c78;� ���8l#%$�� � :;:�9�35/W,6)+.@: 12C�)E:�/ )+/6,P:�/6,A<�)+.7%9;:�<�=�,@?�/6,A143�|-/��4��.02����#Z:�@3@ '(� @3:�02-3� �N��#��1u� ��4�� �T0L7�-3��' 7�@3��0���#�;(��6�:���6O78�D0�-/�|#Z� ;(�=7802-3� �N7 F � :�0�0(������O7�'P��'b7���6X#�7�'P0�� 'P4�-3@/@Î7�02-/����'&��#�7�@3�=� '10�@/-3���c78;�<�7cq ��'�G�-30>-3'��=� ;P�N'(����'(- F @/�N02�!@/�9� �#Z� ;�7�'10L780(-/'P0(-/4�7�@�6���'(4�;(-3��02-3� �[��#Á02���N'1a9'P02���Cl��N-3q����X7�;(7���6�� �k����'P��� F @/�N��#Á-3��-30(-Î7�@4�� ��6�-30(-/� ��'�#Z��;�02��� ��¤ Ï{'�G.4c78�¼<I�C4�� �!��:�02�[0(���X��;(� F 7 F -/@3-30,a¡6�-/'102;P- F :�0(-/� �A��# �b¤780�@Î780(��;�02-3�=��'�� �O� ;>'(-3�=��@/-/4�-30,a�G|<I�K'P�O7�@/@Á78'('(:��=�%02�O7�0b0(���K-3��-30(-Î7�@�6�-/'102;P- F :�0(-/� �[-3'�Q78:�'('P-Î7��S7�@30(��� :�B �X-_#�<I�K<I��;(�K<>-/@/@3-/��B�0(�=6��`7 F -30��=��;(�%<&� ;P�tG�0(��-/'�7�'P'(:��!��02-3� �4�� :�@/6 F �X<&��7���������6"4�� ��'P-/6���;27 F @_a l�Ò¡�S78;(�X-/�T02��;(��'P02��6»-3�¼0(��� F ����7�q9-3� :�;i��#�0(����=���=���D0('���# ��¤ <>��-34L�V<I�%6���^O���p7�'�#Z� @3@/��<>'

� ¶�ª�².³��2² ¶*­ �"!�����£ � �¥$#� N ª�².³�Ý2² ¶%�2² ·cÝ2² N ­ �"!���� £ �b� ¥ � � § � �%& #

�(' ª�².³*Ý2² ¶cÝ2² ·)�2² N Ý2²+*cÝ2² ' ­ � ! ����£ �b�¥�����§�� � & � ��, � �%-.#7���6Ñ'(�X� ��l�ÒA�i;P���=7�;(�X02�O7�0N02���i�96�6n�=���=���D0('%7�;(�Er���;P� F ��4�7�:�'P��GÁ-/�n������4�0cGh<I�7cq ��;(7�B �C�q���;`���O7�'(��'�lMÒA�S7�;(�V�O7�;102-/4�:�@Î78;(@3aA-/�T02��;(��'P02��65-/�¼02���C'(��4�� ��6"�!� �!���T0cG

À

Page 7: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

� ¶�ª�².³�Ý2² ¶*­ G�'(-3��4��K-30b-/'b'(-/�!��@_a[;(��@Î780(��6S0(�=02��� �O� :�;(-3��;�02;(7���'1#Z� ;(� ��#.0(���p�O78;P02-34�@3�6�-/'102;P- F :�0(-/� �[�8#�0(���%4�� ��6�����'(7802�8lm¦0>-/'>7E'(-3�=��@/�Y�=780(0(��;&0(�i6���;P-3q �N0(���%��WD:O780(-/� ��'>��# �!��02-3� �`#Z� ;&0(���%�=���=���D0('�#Z;(� ��1u���*l�Ò¡�>'(�O7�@3@�������6i02����^O;P'P0�0,<&��lD$IaE-/�T0(��B ;(7802-3��B�02����'(����WD:O7�02-/����'.<&�>� F 027�-/��0(���#Z� @/@3��<>-/��Bp#Z��;(�=7�@�������;(��'P'(-3� ��'>#Z� ;�02���%�!� �!���T02'�l

� ¶�ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ � Ö Ü�� ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ��� ¥ §�� � ¥ £�� � N�� � £ � ¤ £ � ¤ ¥ � ¤ §�� ªO­�½� ��±� ¥ � £ � � ¥ � ¥ ½T´�³�¶,·cÔ

® Ö Ü�� ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ��� � £ £�� ¥ §�� � N�� ¤c¥�� ¤�§�� �¥�� ¤�£ � ªO­�½� ��±� c£ �L£�� �(¥ �P§t½T´�³�¶,·cÔ �1uc�T�

� N�� ��£�� �¥�� ��§ � � & � ªÃ�P­ �Ö Ü � ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ��� ¥ §�� � § £�� � ' � � £ � � ¥ � ¤ £ � �%& � ¤ ¥ � ¤ §�� ªO­�½� ��±� *§��L£�� �P¥��1§t½D´ ³�¶,·�Ô

¬ Ö Ü � ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ��� ¥ §�� � & £ � � ' � ��£� �¥�� ¤£�� ��§ � ¤c¥� ¤�§ � ªO­�½� ��±� & �L£�� �P¥��1§t½D´ ³�¶,·�Ô

® Ö Ü � ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ����� £ £�� ¥ § � � ' � �¥ � ¤�¥�� ¤�§�� ¤£�� ��§�� � & � ªO­�½� ��±� �£ �L£�� �P¥��1§t½D´ ³�¶,·�Ô

® Ö Ü � ¶ª Ø � ­ Ó  �� d  X Z ��� � ¥ £�� ¥ §�� � ' � � £ � ¤ ¥ � ¤ § � ¤ £ � � § � �%& � ªO­�½����±� ¥ � £ � � ¥ � § ½D´ ³�¶,·�Ô �1ucvT�

�b��0(�Y02�O7�0�02����'(�%�*�|��;P��'P'(-/����'�#Z� ;(� 7��[:���4�@/� 'P��6V��-/��;27�;P4L�DaU��# ��WD:O780(-/� ��'�<>-302�`0(����*�|��;P��'('P-/� �V#Z� ;��c784L�C�!� �!���T0>-/�Tq ��@3q9-/��B�0(���%�=���=���D0>�8#������90b��;(6���;�:��hl�

Page 8: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

#%$�� � 9�=>,'R4)+/6,A143B12C"/��59��4,'3 9�/W,A< 9���V�)+/6,A143 C>=;14* 7�K3�)+*-,A<�)+. 9���V�)+/6,A143ÒA�Q'(��7�@/@�@3�|� �!#Z� ;�7��C7�'Pa9�!��02��0(-/4%�*�|�O78��'(-3� �S� ;>��7�4L�S�!� �!���T0b7�'�7i���<I��;�'(��;(-3��'-/� � ¶ G

�� � ¤ £ � � � � ¤�� � � ����� X � ¶ � � � ¶ � � � ¤ £ � � � ¤�� � Ý �Åw8}T�#Z� ;��c784L� � l�ÒA�Q7�;P�Q��7�;P0(-/4�:�@Î7�;P@3a!-/�T02��;(��'P02��6S-3� � ¶�ª�².³ �2² ¶�­ �

� ¶�ª�².³ �2² ¶�­ � � � X �¶ ªZ²�³*Ý(²�¶�­�¬ � ¶ � � ¶ �¶ ª�².³�Ý2² ¶*­�¬ � N � � N �¶ ªZ²�³*Ý(²�¶�­�¬?ÔcÔcÔ �Åw9u�ÒA�%;P��WD:�-/;P�N02�O780�0(��-/'�'P��;P-/��' F �Q7�'Pa9�!��02��0(-/48G��=��7���-3��B�02�O7�0������ ¥�� X «

� ¶�� � �� � ¤£�� � � � ¤�� � ® ����� X � ¶ �"! � � � � ¤�£�� � � � ¤�� �$# ��� Ý �Åw�w �#Z� ;I7��Ta!^���-30(� � l9ÒA�b����<?'(: F 'P02-_02:�0(�b0(����������7���'(-3� �hG��Åw�} �*GD-/�T02�Q02���b�*�|��;P��'('P-/� ��'�G�1u�� �*GÁ��u�vT� ÔcÔcÔ Gt7���6C'P� @3q��Q-_02��;2780(-3q ��@3a�G�� ;P6���; F aX� ;P6���;>-/� � ¶ l���Xr���;(�802�Ñ� ;(6���;�G��c7�4L�Ñ�!� �=���T0N-/'Y4�� ��'10L7��T0Q7���6ÑB -_q ��� F aS-30cÏ{'Y-3��-30(-Î7�@�q87�@/:���lh$Ma7�'('P:��!-/��BS�Q78:�'('P-Î7��¡-/��-_02-Î78@�4�����6�-30(-/� ��'�Gh<I�U4c78�R4�@3� '(�i02���!��-3��;278;(4L�Ta ��#��!� �=���T0��WD:O780(-/� ��' F a��*�|��;P��'P'(-/��B[��-/B ����;Y� ;P6���;b�=���=���D0('N7�'�7`'(:��o��#M��;(�96�:�4*02'Y�8#��O7�-/;P'��#�'P��4�����6[� ;(6���;M� ����'&:�'(-3��B�7%Ò?-/4L�i6���4�� �!��� 'P-30(-/� �hl�����-/'&7�@/@3�<>'�:�'M02��B���0&780I0(���;(��'(:�@_02'%<>-302��� :�0Q;(��4�� :�;P'(�i02�X02���!�!� ;(�i4����=��@3�*� 78'Pa9�=�|02��0(-/4E4�@3� '(:�;(�=7�;(B :��=���D0('y�w9G3u�~�;(��W9:�-/;(��6C-3�[02���%4c78'(�%��#���� �|)��Q7�:�'('(-/7��X-/��-_02-/7�@�4�� ��6�-_02-3� ��'�l% 0���-/B ����;�� ;P6���;P'�G�02���Q����;102:�; F 780(-/� �X'(��;(-3��'>-/��4�@/:�6���'"&�'P��4�:�@Î7�;�'Y02��;(�!'�<>��-/4L�CB ;(��<7�'�����<&��;('���# � l �t��;I����78�=��@3��GD#Z� ;�7�B�-3q ���`�!� �=���T0cGD<&�N�!-/B �T0I�O7cq ��0(����#Z� @3@/��<>-/��B'(4L�����U7�02-/4 F ���O7cq9-/��:�;>780>� ;P6���; � ¶ �

� � ¶ � ªZ�P­ �)(� � ¶ � ªZ�P­�¬µ�+*� � ¶ � ªÃ�P­ �Åw8zT�<>����;P� F �802� (� � ¶ � ªÃ�P­ 7���6 *� � ¶ � ªZ�P­ 7�;(�-, ª1«�­ 7�' � d fglI��������;(��'(����4��n��#N0(���'(��4�:�@/7�;E02��;P� *� � ¶ � ªÃ�P­ �!�c78��'E02�O780E0(���X�*�|�O7���'(-/��� ��w�}T�K#Z� ; �� ªZ�P­ -/'E���¡@3� ��B ��;q87�@/-36µ#Z��;!0(-/�!��'iB ;(��7802��;!0(�O7�� « \ � ¶ lM����-/'!-/' F ��4c7�:�'(��7�0=0(��-/'i02-3�=�8G�02���V'(��4�� ��602��;(� F ��4����=��'&��#�� ;(6���;I������l|�|-3��4��><&��7�;(��-/�T0(��;(��'P0(��6U-3�=0(���b@3� ��BN02-3�=� F ���O7cq9-/��:�;��# 02���%'Pa9'102���VGO02��-3'�-/'>7E��;P� F @/���Clm¦0�-3'p����<I��q ��;�G.7C��;(� F @/����<>-_02�R7V<&��@/@M�9���<>�µ'P� @/:�0(-/� ��G��9���<>�¼7�'Q02���=�=�*02���96��#M��:�@_02-/��@/�Q'(4c78@/��'�lh�����E'P��4�:�@Î7�;�0(��;P�='N4�7�� F �E;P���!��q ��6Ñ-3�Ñ7`4�� ��'P-/'102���T0N<&7ca F a7�@/@3��<>-/��B�02����r���;P��02�E� ;P6���;.'P� @/:|02-/���K02�N6���������6E<I�c7��D@3ap� ��02-3�=�8l�ÒA����� 'P0(:�@Î7�02�I0(���

Page 9: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

�*�|-/'102����4��"&��p:�@30(-/��@3��0(-/�!�*)¦'(4c78@/��'�'LG�� ¶ � � � ¶ � � G8<>��-/4L�E<&��027�����0(� F ��-/��6���������6����T0cG7���6V;(����@Î7�4��� � X � d � � X � ªÃ�P­ � � � X � ª � ¶�Ý � N ÝcÔcÔ�Ô�­ �Åw�xD�

Õ :�;�-30(��;(7802-3� �U��;P�|4���6�:�;(�Y<>-/@3@�0(�����[B�������;2780(�%7�6�6�-_02-/���O7�@O02��;(�!'&<>��-/4L�[4�� �!��#Z;(� �6�- ����;P���T02-/7802-3��BN02����'(��<&��7���02-3�=�>6���������6�����4���'�l�m,�=� :�;M�*��7��!��@/��<I�b����<"^O��6=02��780780>� ;P6���; � ¶ <&�%<&��:�@/6V�O7cq �� � ¶ � ªZ�P­ � (� � ¶ � ªZ�P­�¬µ� *� � ¶ � ªÃ�P­�®R� � � � X �� � ¶ Ô �Åw�� �

ÒA�U4c7��µ����<Ä;(����6���;�0(���[����;P0(:�; F 7802-3� �R'(��;(-3��'pq87�@3-/6A#Z� ;Q02-3�=��'p@Î78;(B ��;K02��7�� « \ � ¶F an4L���9� '(-3��B[02���E<I�c7��S0(-/�!��6���������6�����4��U�8# � � � ­ 0(�[4c7���4���@.02���E'(��4�:�@Î78;%0(��;P�='�l���D:�'M<I��7�;(;P-3q��>780�02����#Z� @3@/��<>-/��BY4�� ��'(-/'102����4�ai4�� ��6�-_02-/���EB ��q ��;P��-/��B%0(���>@Î7�;PB �&0(-/�!�F ���O7cq9-/� :�;� � � X �� � ¶ � *� � ¶ � ªZ�P­*Ô �Åw8ÀT�Õ #N4�� :�;('(�C-/�Ð� :�;!�*��7��!��@/�[<I���O7cq �C� ��@3aµ;P���!��q ��6»'(��4�:�@Î78;!0(��;(�!'i<>��-/4L�"78;(-/'P�780N� ;P6���; � ¶ l �O:�;P0(����;�'(:�4L�n02��;(�!'�<>-/@3@�78;(-/'P�E780�� ;(6���; � N <>��-/4L��<I� :�@36n-/�Tq87�@/-36O7802�02���b�*�|�O7���'(-/���=#Z� ;�02-3�=��'M@/7�;(B���;.02�O78� « \ � N l�b����4���02�����`��:�@_02-3��@/��'P4c7�@3�b��;P�|4���6�:�;(���:�'10 F �%7�����@/-/��6X� ;(6���; F aX� ;(6���;�lm,� 0(���!��;(��'(���T0�7�;P0(-/4�@3�p<I�U'(��7�@/@�#Z�94�:�'K� �Ñ02���!'P��4�� ��6R� ;P6���;%�!� �!���T0N<>����;P�!0(�����:�@_02-/��@/��'P4c7�@3�N4�� ��'(-/'102����4�aX4�� ��6�-_02-/���Ua9-/��@36�'�02���Q�D-3����0(-/4Y��W9:�7802-3� �XB ��q ��;P��-/��Bi0(���@/� ��B!0(-/�!�N6�a9�O7��!-/4�'���#�02���Q'(����4*02;278@��O78;P02-34�@3�Q6�����'P-30,a ltm,�S0(��-/'>4�7�'(�Q<&�K'(�O7�@3@h^O��602�O7�0I0(����;P�Y7�;P�b���K'(��4�:�@/7�;I0(��;(�!'I780&��;(6���; � ¶ 78��6U02����^O;P'P0&��� �T02;P-3q9-Î7�@O4�� ��'P-/'P0(����4*a4�� ��6�-30(-/� �Ñ7�;P-/'P��'Q780%� ;P6���; � N lhÒ¡�!'P�O7�@3@�����0%B �V7��Tan#Z:�;102����;Y02�O78� 0(��-/'N'P-/��4��i0(���7�@/B�� F ;(7�-/�Tq � @_q ��6CWD:�-34L�9@_a F ��4����=��'�6�- �!4�:�@_0�02�i�=7��O7�B �8l�b��0(�N02�O780�0(���Q7�'('P:��!��02-3� �X��#�'10L780(-/'102-/4�7�@���� �=��B ������-30,aU-/�!��@/-3��'

� ¶�ª�².³ �2² ¶�­ � Æ ¶�ªZ²�³(­�±|ª�².³�®R²�¶*­�Ô �Åw�� ��b��;(�K<I�p��7�q��p-3�D0(;(�96�:�4���6 ��ª�².³(­ 0(�U;P����;P��'(���T0Y02���Q'(����4*02;(7�@���7�;P0(-/4�@3�N6�����'(-30,a�l�Ò¡�����< ���|�O7���6 � ¶ªZ²�³ �(²�¶�­ -/�R����<&��;('i��# � ¶ :��¯02����;(6���; � N l�+.WD:O780(-/� ��'[�1u��T�K7���6�1u�v �I02�����CB -_q �

� � X �¶ ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ � � � X �¶ ª�².³�Ý2² ¶*­�ª � ­ �g�.ªZ²�³(­�±� c£�� *¥ �Åw8�T�� � ¶ �¶ ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ � Ö Üª Ø � ­ Ó  �� ¨ � �P¥��P§�� *¥��L£,°TªZ�P­ � � X �N � ��£�� ¤�£�� ¤�¥�� ¤�§ �

v

Page 10: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

±� ¥ � £ � � ¥ � § ½T´�³�¶,·�Ô® Ö Üª Ø � ­ Ó  �� ¨ � c£ ��£�� �(¥��1§(°TªZ�P­ � � X �N � ¤c¥�� ¤�§�� �¥�� ¤�£ �±� c£ ��£�� �(¥��1§t½T´�³�¶,·�Ô �Åw8vT�

� � N �¶ ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ �Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó  �� ¨ � c£ �P¥��P§�� & � *¥ �L£ ��,���- � � �P¥��1§ � �¥ ��£¦°DªZ�P­� � X �' � ¤�£�� ¤),� ¤.- � ¤ & � ¤c¥�� ¤�§ � ±� *¥��L£�� �P¥��P§t±� c£ � & � � ,���-t½T´�³�¶,· N * '¬ Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � c£ �L£ �P§�� & � *¥ �P¥���,���- � � c£ �L£�� �P¥��P§P°DªZ�P­� � X �' � ¤c¥�� ¤�§�� ¤ & � ¤�£�� ¤),�� ¤$- � ±� c£ �L£�� �P¥��P§t±� *¥�� & � � ,���-t½T´�³�¶,· N * '¬ Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � c£ ��,���-�� �(¥��1§�� & � � �£ �L£�� �P¥��1§P°9ªÃ�P­� � X �' � ¤c¥�� ¤�§�� ¤ & � ��£�� ¤.,�� ¤.- � ±� c£ ��£�� �(¥��1§t±$�L£ � & � � , ��-t½T´�³�¶,· N * '® Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � £ � £ ��&�� � ¥ � , � - � � £ � £ � � ¥ � § °9ªÃ�P­� � X �' � ¤c¥�� ¤),� ¤.- � � & � �¥�� ¤£ � ±� �£ �L£�� �P¥��1§t±$�1§�� & � ��,���-t½T´�³�¶,· N * '® Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � £ � £ ��&�� � § � , � - � � £ � £ � � ¥ � § °9ªÃ�P­� � X �' � ¤�§ � ¤),� ¤.- � ¤ & � �¥�� ¤�£ � ±� c£ ��£�� �(¥��1§t±$�P¥�� & � � , ��-t½T´�³�¶,· N * '® Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó  �� ¨ � � ¥ � , � - � ¥ � £ ��& � � � ¥ � § � ¥ � £ °9ªÃ�P­� � X �' � ��£�� ¤£�� ¤ & � ¤c¥�� ¤.,�� ¤.- � ±� *¥���£�� �(¥��1§t±$�1§�� & � � , ��-t½T´�³�¶,· N * '® Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � �1§�� , ��- � *¥ �L£ � & � � �(¥��1§�� *¥��L£¦°9ªÃ�P­� � X �' � ��£�� ¤£�� ¤ & � ¤�§�� ¤.,�� ¤.- � ±� *¥���£�� �(¥��1§t±$�P¥�� & � � , ��-t½T´�³�¶,· N * '¬ Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   � ¨ � �P¥��P§�� & � *¥ ��,���- � � �(¥��1§�� *¥��L£¦°9ªÃ�P­� � X �' � ��£�� ¤.,�� ¤.-�� ¤ & � ¤�¥�� ¤�§ � ±� *¥���£�� �(¥��1§t±$�L£ � & � � , ��-t½T´�³�¶,· N * ' ��z�}T�

u�}

Page 11: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

�b��0(�b0(�O780&0(����0(-/�!�b6���������6�����4��N��#�0(���N7 F ��q ��0(��;P�='I�O7�' F �����[@/�94c7�@3-/'(��6=-3�T02�K0(���#Z� @/@3��<>-/��Bp0,<I�!-/�T02��B ;27�@3'� ¨ �O°9ªZ�P­ �

d  X Z ��� � ½� ��z|u�

�¨���¬�� ���9° ªZ�P­ �

d  X � ¨ �O°9ª t­ Z ��� � ½� ��z w �

������-3; F ����7�q9-3� :�;.#Z� ;�@Î7�;PB ��02-3�=��'�<>-3@/@�6���02��;(�!-/����0(���b'P��4�:�@Î7�;�02��;(�!'M7�;(-3'(-/��BQ-3�!0(����*�|�O7���'(-/���hl�����Q;(�c78@/@3a=02��6�-/� :�'�'102���S-/�X02���p7���7�@3a9'(-3'�-/'�02�!'(��@/-30�0(��� � � X � 7�������7�;(-3��Bi-/�[02����'(��*�|��;P��'('P-/� ��'N-/�T02�=��;(�96�:�4*02'Y��#�'P��4�� ��6n� ;P6���;Y�!� �!���T02'�-/�Tq�� �D-/��BU0(���E�%7�:�'P'(-/7���-30,a��#M02���i-/��-302-/7�@ 6�-/'102;(- F :�0(-/� �hltÒ¡�!'P�O7�@3@.� ��@3aS�������A��7�-/;P'N��#I0(���E#Z� ;(� ! ����£ � �¥$# �����£1±|ª�².³�®A² ¶�­ '(-3��4��N��7�-/;P'���#Á02���Y#Z� ;P� �b��£ ���¥ � � ; ! � ��£ � �¥$# 78;(�Nr���;(� F ��4c78:�'(���#�7�q���;(7�B -/��B!��q���;>#�7�'P0>� 'P4�-3@/@Î7�02-/����'�l|$&�c78;(-/��Bi0(��-/'�-3�X�=-3��6`<&�N<>;P-302�

� � X �N ª�².³�Ý2² ¶%�2² ·cÝ2² N ­ � ����£����¥�ª�±� c£�� �§2±� *¥�� & ¬Ð±� c£�� & ±� *¥�� �§L­ ��z�zT��(' ª�².³*Ý2² ¶cÝ2² ·)�2² N Ý2²+*cÝ2² ' ­ � ��� £ ��� ¥ ��� § ª�±� £ � �&(±� ¥ � , ±� § � -¬¡±� �£�� & ±� *¥�� �-2±� �§�� ,Á¬Ð±� c£�� ,(±� *¥�� & ±� �§�� �-¬¡±� £ � , ±� ¥ � - ±� § � �& ¬Ð±� £ � - ± � *¥�� & ±� § � ,¬ ±� £ � - ±� ¥ � , ±� § � �&L­ ��z8xD�

�b��� �p'P: F '102-30(:�02-3� �Q-/�T02�K��z�}T��7���6p-3�T02��B�;2780(-/��B>� :�0Á0(���I��7�-/;Á6���@30L7�#Z:���4*02-3� ��' 7�;(-3'(-3��B#Z;(� �Ä02����'(�Q6���4�� �!��� 'P-30(-/� ��'I<&�%^O��6� � ¶ �¶ ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ � � ��z � �� � N �¶ ª�².³ �2² ¶�­�ªÃ�P­ � Ø Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   ¨Ë��¤£���¤�¥(��¤�§�¬µ����£���¤c¥(��¤�§�®¯����£,��¤�£,��¤�§

®�����£1��¤�£���¤c¥P°Dª�

¨ � Ý � c£ �L£�� �(¥ �P§1°9ªZ�P­�¬ � ¨ � Ý�® � c£ �L£�� �(¥ �P§1°9ªZ�P­P­± � � £ e ¤ £ Ì9¤ ¥ Ì9¤ §�� ½T´�³�¶,·b± � £ � ¥ Ô ��z�ÀT��|-/��4��p0(���E� ;(6���; � ¶ 02��;(� -3�S02���E�*�|�O7���'P-/� �Ð��w�}T��#Z� ; � ¶�ª�².³*Ý2² ¶�­�ªÃ�P­ -/'�r���;P�[02����;(�-/'M���Q'(��4�:�@Î78; F ���O7cq9-/��:�;&78��6=0(������:�@302-3��@/�&'(4c78@/��4�� ��'P-/'102����4�a!4�� ��6�-30(-/� �=7�;(-3'(-3��BQ78002��-3'�� ;(6���;>-/'�0(���N02;(-_q9-Î7�@�� ��� �

� � � ¶ �¶ ª�².³ �2²�¶L­� � ¶ � � Ô ��z � �u u

Page 12: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

�b��<I��q ��;Y02���p� ;(6���; � N 0(��;(�o6��9��'b�*�|��- F -30Y'P��4�:�@Î7�; F ���O7cq9-/� :�;�l�m¦0Y7�;(-3'(��'b<>�����Ñ<I�0L7��8�N02���%@/����BE02-/�!�Y@3-/�!-30 ��

¨ � Ý �O°9ªZ�P­ � ª � ±|ª ��­Á¬ Ö�� j�� «��� ­ L8��® Ö �� � O 7�' � d f Ý ��z��T�

<>����;P� � j ª1Ô�­ 6�������0(��02���N��7�:�4L�Ta`s�;P-/��4�-/�O78@�M78@/:��8l9���D:�'>7�0I0(��-/'I� ;(6���;�GD02���b��:�@¿)02-3��@/�Y'P4c7�@3�%��;(�94���6�:�;(�Na9-/��@/6�'>7i��� �9)¦02;P-3q9-Î78@�4�� ��'(-3'P0(����4*aX4�� ��6�-302-3� � �� � � X �¶ ª�².³ �2²�¶L­� � N � � � Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   ¨Ë��¤�£,��¤c¥P��¤�§�¬µ����£���¤c¥(��¤�§�®R����£1��¤�£¦��¤�§

®���� £ ��¤ £ ��¤ ¥ ° ±|ª � £ � £ � � ¥ � § ­P±� £ � £ � � ¥ � § ½T´�³�¶,·�±� £ � ¥� �O����£� � N ±� c£�� *¥�Ô ��z�vT�

�b��0(�K0(�O780Y0(���p6���@3027=#Z:���4*02-/�����*�|��;P��'('P-/��B['P�O780(-Î7�@ ��� �!� B ������-_0,aV#�784�02��;('���:�0cl����)4c7�@3@/-3��BV0(�O780 � N � � N � <&�`����02�U0(�O780�0(��-/'K��WD:O780(-/� �¯-3'�7�4*02:O78@/@3an0(���`<I��@/@¿),�D����<>��D-/���*02-/4>��W9:�7802-3� �=B��q���;P��-/��B%02���b;P��@Î7��7�02-/���!�8#�02���b'P����4�02;(7�@t�O7�;102-/4�@/��6�����'(-_0,ai-/�=7������'P��� F @/�%��# <&��7��D@3aX-/�T0(��;2784�02-3��B�<&7�q���' ��O����£��� � � N � � Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó   ª���¤�£���¤c¥(��¤�§�¬¼����£���¤�¥(��¤�§�®R����£1��¤�£,��¤�§M®R����£,��¤�£,��¤c¥2­

±|ª � ��£h¬ � ¤�£�® � ¤ ��® � ¤�§�­1± � ��£ e ¤�£¦Ì9¤�¥PÌ9¤�§ � ½D´ ³�¶,·�Ô ��x }T��b��0(�N02�O780>0(���K'102;P:�4�0(:�;(�Q��#�0(��-/'>��W9:�7802-3� �C-3'�q ��;1aX;(���=-3��-/'P4����T0���#�02���K$M)�� ��WD:O7�)02-3� � �1u��l�ÒA�%'P�O7�@/@ F �N��;P-/�=7�;(-3@3a!-/�T0(��;(��'P0(��6V-/�[02���%-36��c7�@3-/'P��6['(-_02:O7�02-/���`<>����;P�%0(����=���=���D0(:�� 6�-/'102;(- F :�0(-/� �hG ����£ G�-/'�'10L780(-/'P0(-/4�7�@/@_aÑ-/'(�802;(����-/48l�m,�¯02��-3'E4c7�'P��G ����£ -3'E7#Z:���4*02-/���Ð��# ¸�³ � É ².³ É l.Ò¡�C4�7��»'P-/�!��@/-_#ÃaR� :�;!6�-/'(4�:�'('P-/� � F a¼<>;P-30(-/��BÑ02���V�D-/����)02-34N��WD:O780(-/� �V-/�V������;(B�aX'P�O7�4��K;(7802����;�02�O7��V�!� �=���T02:�� 'P�O7�4���lOÒA�%-3�D0(;(�96�:�4��%0(���q87�;(-/7 F @/��'�� � 7�'�#Z� @3@/��<>' �

� ³ � «Ø ¸ ¶ ³ Ý � ¶ � «Ø º ¶³ Ý � · � «Ø º ¶¶ Ý � N � «Ø º ¶· Ô�|� �!�%7�@/B�� F ;(7p02������7�@3@/��<>'&02���Q�D-3����0(-/4N��WD:O7�02-/���X0(� F �%;(��)¦<>;P-30(0(���V7�'�O����£��� � «� � ³�� N ¨©��� £ ° ��x�u�<>����;P�

� N ¨Ë����£¦° �  �� ��£��Ã¥��Χ�� & ªZ���Ã¥1���Χ(��� & ¬µ����£����Χ(��� & ®R����£����Ã¥1��� & ®¯����£,���Ã¥(���/§L­±|ª � ³�¬ � ³�® � ¶M® � ¶*­�½ � ¶2½ � ·�½ � N Ý ��xTw �uw

Page 13: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

7���6� ��£��Ã¥ �Χ � & � � N � � Ü ¶ª Ø � ­ ¶ Ó � � ³ � ¶ � · � N   ±|ª�².³�¬¼´�³�®¯´ � ®¯´h·�­�½ � ¶L½ � ·�½ � N Ô ��x zT�

m,�»02��-/'i#Z� ;(��:�@Î7�G ½ � ¶L½ � ·�½ � N ;(����;(��'(���D0('U02���S-/�T0(��B ;(7802-3� �Ð��q���;`��� @Î78;i7���B @3��'!-/�´�³1´h¶2´�· '(�O784���l&�b��0(�V0(�O780 � ��£��Ã¥ �Χ � & -/'=7¡��� �!� B ��������:�'!#Z:���4�0(-/� �Ð��#N6���B ;(��� « \ Ø l�����X7���B�:�@Î7�;K-/�T02��B ;27�02-/���A��#�0(���[6���@_0L7C#Z:���4�0(-/� �¯4�7�� F �U6�� ���[������@/-/4�-30(@3aÑ-/�¡0,<&�7���6S0(��;(���p6�-3�=����'(-3� ��'�ltÒ¡��78;(�Q-/�T02��;(��'102��6n-/�C0(���K0(��;(���*)¦6�-/�!����'P-/� ��7�@�4c7�'P�K<>����;(�½ � � G�-30>-3'�#Z� :���6¡y{x�~� � £ � ¥ � § � & � � N � � Ü ¶ª Ø � ­ ' � ����� � � ³�Ý � � ¶�Ý � � ·�Ý � � N�� Ô ��x�xD�

������0,<I�Q6�-/�!����'P-/� �O78@94�7�'(�8GT7�@3� ��Bb<>-_02�E�=7��Tap�802����;.7�'(����4*02'.��#O0(�����D-/���*02-34I02����� ;1a#Z� ;�02���Q��� ��@/-3���c78;>�|4L��;P�|6�-3��B ��;���WD:O780(-/� �hGO-3'��*�|��@/7�-/����6X-/�X6���027�-/@�-/�Ñy{v8~Ål+.W9:�7802-3� �µ��x�u�>-3'�0(���K<&7cq �E�D-/����02-34K��WD:O7802-3� �S<I��@3@��D����<>�n-/�V02���Q02����� ;PaV��#.<&7cq �02:�; F :�@3����4���l�m,�C02��-3'�7�;102-34�@/�N<I��'(��7�@/@Á;(�*#Z��;�02�Ñ�Zx�u�>7�'b0(���E�N;(� 'P'1),s�-_0L7��*q9'(�D-/-Á�D-/����)02-34���WD:O7�02-/���U02��6�-/'P0(-/��B�:�-/'P�U-30M#Z;(���¾0(���N$&��@302r��U78���|)���� ;(6�����-3� �D-/���*02-/4b��WD:O780(-/� ��G�1u��l ��7cq9-/��B='(����<>�n����<�02���E��|s5�D-/���*02-/4Q��WD:O7�02-/���S4c78� F �K6���;P-3q���6S#Z;P� � 7cq ��;(7�)B -/��Bp'(��@/:�0(-/� ��'���#�0(������� ��@/-3���c78;&�94L��;(�96�-/��B ��;I��WD:O780(-/� �!#Z� ;I0(����4�� ��6�����'2780(��<&7�q��*)#Z:���4*02-/���hG8<I������<Ð0(:�;(�E��:�;.780P02���T0(-/� ��0(�N-302'�'(� @3:�02-3� ��'�l8Ò¡��'(�O78@/@|^�;('P0�����7��=-3���I0(���02-3�=��),-/��6���������6����T0`'P� @/:�0(-/� ��'!<>��-34L�56���'(4�;P- F ��'P027802-3� �O7�;1a¼��WD:�-/@3- F ;P-/:��e7���65�����|)��WD:�-3@/- F ;(-/:�� �!� �!���T02:�� 6�-/'102;P- F :�0(-/� ��'�l&�������?<&� '(�O78@/@Y'102:�6�a"0(-/�!�*)¦6���������6����T0'(� @3:�02-3� ��'�l �"!������� � �8����� �O� ��C���`� �%!h� ���� ��������� �����|�����������������|���%�m¦0Á-/'Á7�02;P-3q9-Î78@��=780(0(��;�0(�>q���;P-3#ÃaY0(�O780�02���M�D-3����0(-/4.��WD:O7�02-/���hGD��x }T�*G�#Z��;(�=7�@/@_a>4�� ��'P��;1q ��'02���N0(��0L7�@�������;(B�aV7���6X0(��0L78@h�O7�;102-/4�@/�Y�D:�� F ��;�B�-3q ��� F a

� �g  � ¤���¤.½T´ ��xT� �7���6

H �   ��¤�½D´ ��x ÀT�;(��'(����4�0(-3q���@3a�l�������'P0L7�02-/���O7�;Pa!'P� @/:�0(-/� ��'&7�;P��-3�D0(-/�=7802��@3aE@3-/���8��6U<>-_02�U0(����'P�Y4�����'(��;1)q87802-3� �C@/7c<>'�lt������;P�E7�;P�K��W9:�-/@/- F ;(-3:�� '10L780(-/� ��7�;PaX'10L780(��'�Gt<>��-34L�S6���'(4�;P- F �p��W9:�-/�O7�;�)02-_02-/���R��#b4�� ��'P��;1q ��6ÐWD:O7��T02-_02-/��'�G.78��6Ð��� �|),��WD:�-/@3- F ;P-/:�� 'P027802-3� �O7�;1aA'10L780(��'�G�<>��-/4L�

u�z

Page 14: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

6���'P4�;P- F ��4�����'P027��T0 �O:|�|��'&��#�4�����'(��;Pq ��6XW9:�7��T02-30(-/��'&-/�!�!� �=���T02:��¾'(��7�4��8l|�����b0,<&�02����;(�!�|6|a|��7��=-34���WD:�-3@/- F ;(-/:�� 'P� @/:�0(-/� ��'.4c7�� F ��'(�����=#Z;P� � �Zx�u�.7�@/�!� '10 F ai-3��'(����4�)02-3� �hl������*aV7�;(���� ��� ³ ��xT� ���� ��� ¶ � ÌO³ Ý ��x �T�

<>����;P� � ³ 7���6 � ¶ 7�;P�N4�� ��'10L7��T0('�l������N^O;P'P0��8# 0(����'P�%4�� ;P;(��'P������6�'�02�i78�[��WD:�-/6�-/'P0(;(-¿)F :�0(-/� �X��#��O7�;102-/4�@/�Y�D:�� F ��;�G�02���Q'P��4�� ��6C0(�!7��C��WD:�-/6�-3'P0(;(- F :�02-3� �`��#�������;(B�a�l���E'102:�6|a`02������� �|)¦��WD:�-/@3- F ;P-/:��Â'P� @/:|02-/����'&-_0�-/'&4�� �Tq ����-/���T0�0(��<>;(-_02��0(���Y4�����'(��;Pq87�)02-3� �X@Î7c<>'>7�'>4�� �T0(-/�D:�-30,aU��WD:O780(-/� ��'�-3�X������;(B�a['P�O7�4�� �

� H ���� � ���� � ��x vT�� ª �2H ��­�O� � ® � �� � �Å�8}T�<>����;P�pH � -/'�0(���%-/�T02��B ;2780(��6X�O7�;102-34�@/�N�D:�� F ��;�� F 0L78-/����6X#Z;P� �

  ���M½T² �   H �T½ � Ô �Å�9u��������O:|�|��'�G � 7���6 � Gt78;(�%�c7�'P-/@_aU� F 0L7�-3����6[#Z;(��� ��x�u�� �

� � � ® �  � � N ¨©�����¿°�½ ��� �Å��w �� � �

�  X � � � N ¨©�����¿° ½ � � �Å�8zT�

�b��0(��02��780�02����'(� ��:|�|��'>7�;P�Y6���^�����6X'(:�4L�V0(�O780 � -/'���� 'P-302-_q ��#Z� ;&�O78;P02-34�@3��' ���<>-3��B02�V02���=@/��#Ã0Q4�� ;(;P��'(��� ��6�-/��BV02��78�A-/�Tq���;('P�`4c78'(4c786��`7���6 � -/'%����'(-30(-3q��!#Z� ;Q������;(B8a�O��<>-/��B[0(�`02���i;(-3B �T0N4���;(;(��'(��� ��6�-3��B`02�V7[6�-3;(��4*0N4c78'(4c786��i-/��02���!������;PB�an'P4c7�@3��lhm¦#<&�>4�� ��'(-36���;�����<&��;M@/7c<»'P����4�02;(7Q�8#�0(����#Z� ;(� � ��� � Ì � 02�����=6�-/�!����'P-/� �O78@�7���7�@3a9'(-3''(:�B�B ��'102'X02�O780X0(�����O:|�|��'�G � 78��6 � 7�;(�n-3��6���������6����T0C��# �[#Z� ; � � \�µ7���6� � � \ � ;P��'(����4*02-_q ��@_a l|������'P�Y����<I��;�@/7c<>'�7�;P��0(��� �b��@/�!� B � ;P�qT)��h7��D�O7�;(��qp'(����4�0(;274�� ;P;(��'(��� ��6�-3��BY02�%4�����'P027��T0 �O:|�|��'���#��O7�;102-34�@/��'.7���6i������;PB�aE;(��'(����4*02-3q���@_a l��O� ;.$&+I�-30M-/'.0(���b-3�Tq ��;P'(�b4c7�'P4c7�6���<>��-/4L�=-/'���#��O7�;P0(-/4�:�@Î7�;.-3�T02��;P��'10&'P-/��4��b-_0I-3'�;(����� ��'P- F @3��#Z� ;02����02;(7���'P#Z��;&��#h�O7�;P0(-/4�@/��'�02�K@/��<?�!� �=���T02:��Â'10L780(��'I<>��-/4L�[4L�O7�;(7�4�0(��;P-/'(��'I0(���b^O��7�@'P027802�%��# 02���%4�� ��6�����'2780(��l����� �b��@/�!� B � ;P�qT)��h7��D�O7�;(��qV'(����4*02;(7X6�-/'(4�:�'('P��6¡7 F �q��i7�;(�E�!� ;P�K02��7��Ñ6�-/�!����'P-/�8)�O7�@3@3a 4�� ��'(-/'102���D0i���<I��q���;�l.������aµ78;(�`����784�0i'P027802-3� �O7�;1a '(� @3:�02-3� ��'p�8#�0(���`�D-/����02-34

ucx

Page 15: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

���������P³�|�^ªP�p¢:�Ë¢�¯#�l�K�k�^ªP�����M�p¢:�˯a¢:�j�M�_����� *¢�¯#�c¬� q���M�p¢:�§è����¥êu³��WD:O780(-/� �Ðy w w9G v8~�l�����-/'N#�7�4*0%4c7�� F �i6����=����'P0(;2780(��6¡7���6Ñ02���iq87�@/:��E�8#I0(��� �b� @3�=�8)B � ;P�qU4�� ��'P0L78�D0�4�� �=��:�02��6V:�'(-/��Bi7��X-/��B ����-/��:�'&02;(7���'1#Z� ;(�=7802-3� �U6�:��N02� �h7��D�O7�;P��qy�w8}�G w9u�~�l������N6��*0L7�-3@/'&�8# �h78�9��7�;(��q�Ï '��!��0(���96X7�;(��<I��@3@�������@Î7�-3����6[-3�`02���N;P��#Z��;P����4���''(�!����;P�N<&�Q'(�O78@/@h� ��@3a`B�-3q �%7 F ;P-/��# � :|02@/-3����l$&�c78;(-/��Bn-/�µ�=-3��6R02��780 � ¶ � � ·�¬ � N ® � ³�� � G�0(���X-/�T02��B ;2780(-/� �A;(��B�-/� �R#Z� ;�0(���4�� @3@/-3'(-/���5-/�T02��B ;278@ÅGN�ZxDw ��G�-/�"02��� ª � ·�Ý � N ­ ��@/7����n-/'[0(���Ñ'(�O7�6���6g;P��B -3� �?'(����<>� -/�^OB :�;P�Xu lh�����!-/6���7`��#&0(��� �h7��D�O7�;P��q�02;(7���'P#Z��;(�=7802-3� ��-/'Y0(�S78'('(:��=�i7X����<I��;%@Î7c<6�-/'102;P- F :�0(-/� ��G ��� � � � Ì � G97���6=02�����U02�K�U7��!02����02���>02��;(����;(��B�-/� ��' bw|G bzK7���6 >x-/�T02�%02���b;P��B -3� � %u�-/�=7Q'P4c7�@3�*),-3�Tq�78;(-Î78�D0.<&7ca lDm¦0M<>-/@/@|02����� F �>��� '('P- F @3��02�p'P���80M0(���4�;P-302��;(-3� ��<>����;P� F aÑ02���i-3�D0(��B ;(7���6nq87���-3'(����'�lhÒ¡�!6���^O���i���*< q87�;(-/7 F @3��' ª � � ¶ Ý � � · Ý � �N ­-/�X�c784L�C��# 02���Q;P��B -3� ��' bw|G �z�G>x=78'�#Z� @/@3�<>'

� Ø����bØ��d � « � ª � ¶cÝ � ·�Ý � N ­ d L � ¶ ³� � ¶ Ý � ³ � � ·� � ¶ Ý � ³ � �N� � ¶ O �Å��xD�� ����� ���d � « � ª � ¶cÝ � ·�Ý � N ­ d L � ³ � � ·� �N Ý � ³ � � ¶� �N Ý � ¶ ³� �N O �Å��� �� � ��� � �d � « � ª � ¶cÝ � ·�Ý � N ­ d L � ³ � N� � · Ý � ¶ ³� � · Ý � ³ � � ¶� � · O Ô �Å�8ÀT�

% 6�6�-3��BE02���%;(��'(:�@_02-3��BE#Z� :�;�4����D0(;(- F :�02-3� ��'�0(� B ��0(����;�<I�%� F 0L78-/��·  � ³ � � £ � ¥ � § � &cª � ³ � ¶ � · � N ­ Ì � ª � � ³ ¬ � � ¶ ® � � · ® � �N ­ � � ³ ª � Ì �³ ¬ � Ì �¶ ® � Ì �· ® � Ì �N ­

±|ª � ³�¬ � ¶ ® � ·D® � N ­�½ � ¶,· N Ô<>����;P� � � � �`® \ Ø l�m¦0�-/'�-3�=�!��6�-Î780(��@3a!4�@/�c78;�02�O780�0(���Q4�� @3@/-/'P-/� �=-/�T02��B ;278@ÅG � ¨Ë��° Gq87���-/'P����'�#Z� ;u�

Page 16: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

� � �� � «

� ����������;(�!�96�a9�O7��!-/4»��WD:�-/@3- F ;P-/:�� '(��)@3:�02-3� ��'�G���xT� ��7���6Á�ZxT�T� �Å��� �

� � «�� � � � \ Ø� ��� � � � \

� �����Y)���'(� @3:�02-3� ��' ��8�T�

Õ #h4���:�;('P��GD02������)��['(� @3:�02-3� ��'�4c7�������0I�*�|-/'10I-3�=-3'(� @/7802-3� �hl8����� ��:|�|��' � � ; � ��:�'10F �&'(:�'10L7�-3����6 F a�4�� :���@3-/��B�0(����'1a|'102��� 02�N���|0(��;P�O7�@�'P� :�;(4���'�lTm¦0.-/' 02� F ��:���6���;('102�9�|602�O7�0I0(����'P��'(��:�;(4���'�78;(��@/�94c7�@3-/'(��6!780&'P: �!4�-3���T02@_a=@/7�;(B���� ;I'P�U78@/@O'(4�7�@/��'M0(��7�@3@/��<¼#Z� ;02���X����-3'P0(����4��C��# &�-3����;102-/7�@I;(7���B ��' '[<>����;(�X02���V6|a|��7��=-34�'E-3'E���T02-3;(��@_aR6����=-3�O7802��6F aS02����<�7cq ��)¦<&7cq �U-3�T02��;(7�4�0(-/� ��'�l�m,�Ñ'P:�4L�¡'P-30(:O7802-3� ��'�02��� ��)��A'P� @/:|02-/����-/'�0(���E;(��)@/�*q�78�D0p� ���!<>-302��-/�Ñ02���`-3����;102-/7�@.;27���B �U��#�������;(B -3��'�l �b��<I��q ��;�02��-3'K'P� @/:|02-/���A��:�'1002�����Ð�=780(4L�¼0(� 0(���X�O7�;P0(-/4�:�@Î7�;K#Z� ;(4�-/��BÑ7���6Ð6�-3'('P-/�O780(-/� �¯��;(��^O@3��'E<>��-34L�Ð��;P��q|-36��02��� �O:|�|��'�l�������WD:���'102-3� �Ñ��#.<>�����n0(��� ��)��A'P����4�02;P:�� -3'Y7`:���-3q ��;('(7�@�� F �P��4�0�Gh-/�9)6���������6����T0!��#�02���[6��*0L7�-3@/'K��#�'(� :�;P4���'=78��6µ'(-/���9'i7�0E@Î7�;PB �[7���6¼'P�U78@/@M'(4c78@/��'E-3'E7��� �T02;P-3q9-Î78@�� ���K#Z;P� � 02���K��� -/�T0b��#�q9-3��< ��#�78�O7�@3a9'P-/'�l Õ �V02���K��02����;��O78��6hGt�*�|����;(-¿)�=���T0L7�@�� F '(��;Pq8780(-/� ��'I��#�q87�;(-3� :�'M<�7cq �N0(:�; F :�@/����4��Y'1a|'102���='�'P:�B B ��'P0�0(�O780�-3�`�U78�Da4c7�'P��'�02��� ��)��S'(����4*02;P:�� -/'&�=� ;P��;P� F :�'10�02�O7��`0(���N�=7802�����U7�02-/4�7�@t'(-3�=��@3-3^O4�7802-3� ��':���6���;(@_a|-3��Bi-30('�6���;P-3q87802-3� �[�!-/B �T0�'P:�B B ��'P0cl�������b��@/�!� B � ;P�q�4�� ��'10L7��T0�G � G94c78� F �Y4�� �!��:�02��6[-/�U0(��;P�='I��#�02�����O:|�[4�7�;(;P-/��6 F a02������)���'P����4�02;P:��Vl �t��;�6���027�-/@3'�'(���Uy¿u�|G�w w~�l

� �V��������|�������������h� ��Á��Z��� � ������K������9� � �������t� �B����Z����|:������ 'P�&02���I-/��-_02-/7�@ �O7�;102-34�@/��6�-3'P0(;(- F :�02-3� �hG �.ª � Ý(� � � ­ G�-/'Á#�7�;Á#Z;(� ��0(���&��W9:�-/@/- F ;(-3:��4�� �|^OB :�;(7802-3� �¡#Z� ;%02���U'Pa9'102��� <>��-/4L�¡<&� :�@/6R@3-/���i02�C'(���`�O7�;102-/4�@/��'K6�;P� �A-3�T02�C0(���r���;(�n�!� �=���T02:�� 'P027802�`-3�R� ;P6���;p0(�nB ������;27�02�U0(���[:���-_#Z� ;(� 4�����6�����'2780(�['(� @3:�02-3� ��1u�} �*lM�����S02-3�=�X6���������6����D0X'P� @/:|02-/���»��#=�Zx�u�E6���'P4�;(- F ��'U02����;(��@Î7���780(-/� �Ð��;(�94���'('<>��-/4L�K02�����E�|4�4�:�;P'�l��b��<&�*q ��;�G 'P-/��4��I<I���D����<¼#Z;P� ��� :�;�6�-/'P4�:�'P'(-3� ����#�0(���&��;(��q9-3� :�''(��4�02-3� �hG�0(���N-/�Tq���;('P�%4c7�'P4c7�6��%� ��@3a=�O7�'�^O��-_02�N4�7��O7�4�-30,a!02�!7 F 'P� ; F �O7�;102-34�@/��'&'P�i0(���'(� @3:�02-3� �V��#���WD:O780(-/� �¯��x�u��<>-/@3@Á��q ���T02:O7�@3@3a F ;P�c7��V�O7�;102-/4�@/�%�D:�� F ��;Y4�� ��'P��;Pq8780(-/� ��lÒA�Ñ6�������0(�Ñ0(���n02-3�=�n7�0[<>��-/4L�?02��-3'`#�7�-/@3:�;(�C�|4�4�:�;P' F a � l������n#�7�-/@3:�;(�C��#K0(���4�� ��'(��;1q87802-3� �µ@Î7c<Ä4c7�� F �[-3�T02��;P��;(�*02��6»7�'�0(���XB ������;27�02-/���¯��#b7Ñ��� �|),r���;P� ��:|�µ��#�O7�;102-/4�@/��'`02� � � � l>$&��a�� ��6?02��-3'[02-/�!����W9:�7802-3� � ��x�u�U���¼@3� ��B ��;[��;(��q9-/6���'V7��7�����;P� ��;P-Î780(�b6���'(4�;(-/�|02-/���`��#�02���Y���Ta9'(-/4�'�'(-3��4��Y-_0I#�78-/@/'.0(�E7�4�4�� :��T0�#Z� ;�02����'(-/��B :�@Î78;�O780(:�;(�Q��# 02���Qr���;(�!�=�96���l IÁ7�4�7�r��Q��0b7�@�l�y¿ucx�~Á�O7cq �K��;(����� 'P��6C7!'1a9'P02�����8#��D-/����02-34��WD:O780(-/� ��'�#Z� ;�0(������� 'P01) � ��q�� @/:|02-/��� F 7�'P��6i� �i7��i7���'2780(r&<>��-/4L�i'P��@/-_02'�0(�����O78;P02-34�@3�6�-/'102;P- F :�0(-/� �Ñ-3�D0(�C'P�=�9��0(�A7���6A'(-3��B :�@/7�;N�O7�;102'�lÁÒ¡�!4�� ��'P-/6���;Q0(����'P�U��W9:�7802-3� ��'Q-/�02���%�����90b'P��4*02-/���hl

u�
Page 17: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

ÒA��4�� ��'P-/6���;�#Z� ;�����<µ02����6�a9�O7��!-/4�'���;(��) �� l I��*0.:�'.@/�9� �N#Z� ;�7Y'(��@_#Î),'P-/�!-/@Î78;�'(� @3:�02-3� ���# 02���N#Z� ;P���� � «�� � ª���­�Ý �Å�8vT�

<>����;P�Q0(���%'(-3�=-3@Î7�;P-30,aEq87�;(-/7 F @3��'�G � 7���6 Gt78;(�%6���^�����6C7�'� � ��� Ý � � ®R��Ô ��À�}T�

�����`������� �����T02' � 7���6��!7�;P�=02� F �=6���0(��;(�!-/����6hl��b��0(�=0(�O780�-_#�02����;(�U-/'K7SWD:O7�'(-¿)'P027802-3� �O7�;1ap����<&��;.@Î7c<¼6�-/'102;(- F :�0(-/� �p780.@Î78;(B ���!� �!���T0L7|G ��� � � Ì � G80(�����E02���>7���'27�02r�Å��v �I-/�!��@/-3��'�02�O7�0 � � ® � \���lO���D:�'�02���N������� �����T02'���#Á02���N'P-/�!-/@Î78;(-30,ap02;278��'P#Z� ;P�U7)02-3� �¼7�;(�[;P��@Î7�02��6¯0(� 0(���X'(4c78@/-/��Bn��#b0(���X��-/B��¼�!� �!���T02:�� �O7�;10i��#�02���X'(��@/:�0(-/� �hl�b��� �5'P: F 'P0(-30(:�02-3� �»��#=����vT�!7���6 ��À }T�E-/�T02� 02������WD:O7802-3� �»<I�S^O��6Ð02�O780=<&�S4c7��;(���=��q �N0(���N02-/�!�Y6���������6�����4��Q#Z;(� �Ä02���%��;P� F @/��� F a[4L���9� '(-3��B

� � ¬?« � Ø � Ô ��À|u�ÒA�Q7�;P�%@/��#Ã0&<>-302�V7��V-/�T0(��B ;P�8),6�- ����;(���D0(-Î7�@���WD:O7�02-/���X#Z��;�02���N#Z:���4*02-3� � � ª��­ �

� �� £�® � �D³ ½ �� £½�� � � Ì £¥³   � £ ¥ § & ª � ¥ �� § �� & ¬ � £ �� § �� & ® �� £ �� ¥ �� & ��À w �® �� £ �� ¥ � §�­�±�ª��9³h¬��D³�®��8¶M®��8¶*­�½��9³1½��8¶�½��8·cÝ<>-30(� � £ ¥ § & B�-3q ��� F a!��WD:O780(-/� ����xTz �*l Ò¡����:�'10&'P:�����@3���!���T0&0(��-/'���W9:�7802-3� �=<>-_02�7Y'(��4�� ��6i;P��@Î7�02-/��� F ��0,<I����� � 78��6��I-3��� ;(6���;�0(�N'(� @_q �&0(������;(� F @/���Cl�m,�E'(� �!��4�7�'(��'�G-30%�=7�����'K'P����'P�!0(�S78'('(:��=�i02�O7�0N02���i02��027�@.7��!� :��T0%��#&'(� �!�i4�� ��'(��;1q ��6RWD:O7��T02-_0,aB ;(��<>'.@3-/����7�;(@_a%-/��02-3�=�I6�:��&0(�%7Y4�� ��'P0L78�D0�-3����:�0 �O:|��l ����-3'.4c7��E'P� �=�*02-3�=��'�a9-/��@36E7'(��4�� ��6=;(��@Î780(-/� � F ��0,<I����� � 7���6���G <>��-/4L�U7�'�'(����<>� F a �t7�@3����q9-/4L�!7���6U�|�O7�#�7�;(�������y_u�u�~ÅG�-/�!��@/-3��'>02�O7�0�02���E'(��@_#Î),'P-/�!-/@Î78;�'(� @3:�02-3� ���*�|��- F -30('b0(��� �b� @3�=��B � ;(��qT)��h78�9��7�;(��q'(4�7�@/-3��Bi780>@Î78;(B �N�!� �!���T0L7�lm,�¡��:�;%4c7�'P��G�02���E0(��0L7�@.�D:�� F ��;Q�8#��O7�;102-34�@/��'N4�� �T027�-/����6¡-3�n02���i'(����4*02;P:�� 4c7�������0-/��4�;(��7�'(�I@/-/���c7�;P@3aY-3�K0(-/�!�M'P-/��4��M<I���D����<¯02��780�0(���M^��O7�@9'(����4�0(;(:�� 4����D027�-/��'�7>^O��-30(�7��!� :��T0N��#I�O7�;102-/4�@/��'�l�Ò¡�i6��X����0%�D����< �8#�7��TaS��02����;%;2780(-/� �O78@�4�� ��'P0(;27�-3�T0N<>��-/4L�02���C'Pa9'P0(��� ��:�4L�5'(7802-3'P#Ãaµ-/�Ð� ;(6���;=0(�¡#Z:�;P��-/'P�57A'P��4�� ��6";(��@Î780(-/� �¼7�@_02����:�B �Ð<I��O7cq �%�=7�6��Y'P� �=�N4�� � �P��4�02:�;(��'�#Z� ;I02���Q7��O78@/� B ��:�'&��;P� F @3���k#Z��;&02���N6�-/;(��4�0>4�7�'(4�7�6��-/�[<&7�q��Q0(:�; F :�@/����4��!y{À8~Ål�|-/��4��i<&�!4c7�������0p7��O7�@_a90(-/4�7�@/@_aC6���02��;(�!-/���E0(���!q87�@3:���'%��# � 7���6��E7���6 ������4��=0(���'(4�7�@/-3��BN780�@/7�;(B �I�=���=���D027�G 7Y��;(-/��;(-ÅG<I��'P� @3q���6E02����� ;(-3B -/�O78@9��WD:O7802-3� �i�D:��=��;(-34c7�@3@3a

u�

Page 18: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0

log(

w)

log(e)

t=41.999t=41.998t=41.972t=40.984t=9.365

t=0Best fit

����� ����³xÍ1¢:­'£d d�����M�p¢:�E¢�¯&�M�_���l�K¶¥�^�k���±�y�:�k�y�:�d�Ë�l�Ð�M�_�± d��¯a¢:�k�c�c� ¨v�l�_�^�M�p�Ë�c¬� q���M�p¢:�Я\¢:�£q������­��^�k�^�#¶P���l _�c�,�d�c�k�^�M�l¦d�l�dª�¾x¢P�k�u«¼Ú��l�_�M�k�^�l�'�c¢:�_�d�^�_�����M�p¢:�°�l���¸���l­��^�_�M�p¢:�_�jèaÀ��� dêu³�½x�d�p��p�8�xÅ_�d�l�k�1�y��£q�:�^�l�¼¤n�M¤��M�k�^­�³y½x�_�6�M���:�c�c�#�M�_¢y�j�°���k�6�M�q��£_�M�_¢:�k�8¢�¯_�M�_�6�k£F�c�^�M�M d­ ���8�¸���^�M�p�c�¢�¯|�c¢:�_�k�c�^ d�M�l¶¥�*�M�l­��c�y³,½x�_��Å_�q���1�M���:�c���p�¡�^�p¢P�k���k¢��M�_�?Å_�d�l�k���M�l­����M�l�dªP d�b���M�l�.¤§���e¿y�^�k¢­�¢:­��^���M d­�³B½x�_��Å_�M�k�c�Ë£F¢s���^�¸�b�y� ���¸�b���Mª¥��­�¢:­��^�����'�q�:�¸�uÃ�£F¢:�_�^��� �P³ ��� ����³02�i�!�c7�'P:�;(�N<>�O780�'P4c7�@3-/��BE-3'�'(��@3��4*02��6�l % �D:��!��;P-/4�7�@h4����=��:|0L780(-/� �`�8#�0(���%'(� @3:�02-3� ���#���WD:O780(-/� �¡��x�u�&-/'�'P����<>�S-/�[^OB�:�;(�Kwp<>-30(�C78�C-3��-30(-Î7�@t4�����6�-30(-/� �[B�-3q ��� F a

�.ª � Ý(� ��� ­ � « � Z Ì9· � Ô ��À�zT�m,�=@3-/����<>-_02�!;(��4����T0I-/�Tq ��'P0(-/BT780(-/� ��'.��#�^O��-302��4�7��O7�4�-30,aE'1a9'P02���='I-/�E<&7�q��b0(:�; F :�@/����4��y À�~�7���6»��@/'P��<>����;(� y �8~�<I�V^O��6Ð02��780i02���V��;(��) � '(4c78@/-/��B -3'E����0!02��� ��� @/�!� B � ;P��qD)�h7��D�O7�;P�qC'(4�7�@/-3��B�ltÒA�p�=��7�'(:�;P�i7`WD:O7�'(-¿),'10L780(-/� �O78;PaX���<I��;N@/7c< 6�-/'P0(;(- F : F 0(-/� �S780��-/B��C�!� �!���T0L7E<>-30(�C������� �����T0 « Ô Ø � � ��;(��q9-/6�-3��B!-/��6���������6����D0bq ��;(-3^�4c780(-/� �V��#�0(����*�|��� �����T0b�=��7�'(:�;(��6 F a IÁ7�4c78r��%��0b7�@�l�y_u�x8~Á-/�[0(����-3;�'(-/�p:�@Î780(-/� ��'�l� �Y����� �;�c������� �����Z�>� Á��� �R��� �IÁ7�4c7�r��K�*0N7�@�l�y¿ucx�~ �O7cq �K��;(� ��� 'P��6n7i'Pa9'P0(���o��#��D-3����0(-/4Q��WD:O780(-/� ��'>#Z� ;�02���K��� 'P01) � ��q�� @/:�0(-/� � F 7�'(��6E� �E7��i78��'2780(r&<>��-34L�E'(��@3-302'Á02�����O7�;102-/4�@/�M6�-/'102;P- F :�0(-/� �K-/�T02��'(�!�|��0(�7���6V'(-3��B :�@/7�;��O7�;102'>7�'�#Z� @3@/��<>' �

�.ªZ²IÝ(�P­ � � XªZ�P­�±|ª�²�­�¬¼Û�ª�²MÝ(�P­�Ý ��À8xD�<>����;P� Û -/'`7 ;(��B :�@Î78;!#Z:���4�02-3� �"780 ² � � 7���6 � X�ªZ�P­ -/'i02����7��=��@/-30(:�6��X��#Y0(���'(-3��B :�@/7�;`�O7�;10X��#Q02���Ñ�O7�;102-34�@/�S6�-/'102;(- F :�0(-/� �»<>��-/4L�?<&�Ñ@/�9� 'P��@3aÐ02��-3���»�8#�7�'`0(���4�� ��6�����'(7802�¼�Z'(���n'(��4*02-3� �?À F ��@/��<b��lI������'(�Ñ��WD:O7�02-/����'`4���:���@/�V02���S'(�!�|��0(�5�O7�;10

u��

Page 19: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

��#�02���`�O7�;102-/4�@/�!6�-/'102;P- F :�0(-/� � 02�S0(���`'P-/��B :�@Î7�;Q�O7�;10E7�@3@/��<>-/��BX#Z� ;p7��R�*�|4L�O78��B �[��#�U78'(' F ��0,<I�����µ^O��-_02�`�!� �!���T02:�� �O7�;102-34�@/��'�7���6µ0(���[4�����6�����'2780(��l.m¦#�<&�X7�'P'(:��!�7��`-3'(��0(;(� ��-34b��7�;P0(-/4�@3�b6�-/'P0(;(- F :�02-3� �=<I�Y4�7��X7cq ��;(7�B ��0(���Y��W9:�7802-3� ��'&�8#I 784c7�r��Y��0>78@��q ��;�7���B @3��'�78��6U<>;(-_02��02�����k-3�=02��;(�!'&��#Á������;PB�a!q�78;(-Î7 F @/��'�G � � ¸ ¶ l9�����Y;(��'(:�@_02-3��B'Pa9'P0(��� ��#���WD:O780(-/� ��'�02�����C;P�c7�6�'�OÛM³��� � � N ¨©Û�°9¬¼� X � ·�¨ËÛM° ��À � �½T� X½ � � � X�¬µ� X���·�¨©Û�° ��À�ÀT�

<>����;P� � X -/'N02��� ��� @/�!� B � ;P��qD)��h7��D�O7�;P�q �O:9�¡780%r���;(�S�!� �!���T02:�� 4����=-3��B`#Z;(� �02���%-3�Dq���;P'(�Q4c7�'P4c7�6�� ³ -/�`02���Q4�� �T02-3�9:�� :�'��O7�;P0>�8#�0(���%'(����4�0(;(:�� 78��6� N ¨©Û�° � «� � ³�  � ��� ª � � ³LÝ � � ¶�Ý � � ·�Ý � � N ­�¨ËÛ�¶LÛ�·2Û N ¬¼Û�³1Û�·LÛ N ®¯ÛM³1Û�¶LÛ N®bÛ�³1Û�¶LÛ�·2° ±|ª � ³Á¬ � ¶I® � ¶I® � N ­�½ � ¶�½ � ·�½ � N ��À � �� ·�¨©Û�° � «� � ³   ¨ËÛ�¶LÛ�·M®¯ÛM³1Û�¶I®AÛM³1Û�·2° ±|ª � ³�® � ¶M® � ·*­�½ � ¶�½ � ·

¬ «� � ³   ¨ËÛ�¶LÛ�·M®¯ÛM³1Û�¶�¬µÛM³�Û�·2°�±�ª � ¶�® � ·I® � ³P­�½ � ¶�½ � · ��À��T�¬ «� � ³   ¨ËÛ�¶LÛ�·�¬¼Û�³1Û�¶M®¯ÛM³�Û�·2°�±�ª � ·�® � ³�® � ¶�­�½ � ¶�½ � ·

��·�¨©Û�° � Ø �   ¨©Û�·LÛ N ®¯Û�¶2Û�·I®¯Û�¶LÛ N ° ±|ª � ¶M® � ·M® � N ­�½ � ¶�½ � ·�½ � N ��À�vT������`^O;P'P0�0(��;(� <>;(-_0(02���R'Pa9� F � @3-/4c78@/@3an7�' � N ¨©Û�° -3'p02���U;(��B�:�@Î7�;K4�� @3@/-3'(-/��� 0(��;(� ��#02���Q��|sµ�D-/���*02-/4b02����� ;Pa�G�02���N'P��4�� ��6[02��;(�k<>;P-30P02���X78' � ·�¨ËÛM° -/'&0(���N4���@/@/-3'(-3� �!0(��;P�7�;(-3'(-3��BC#Z;P� � z�)¦<&7cq �[-/�T0(��;2784�02-3� ��'Uy�w w�~�7���6¯6���'P4�;(- F ��'p02���[��� ��@3�|4�7�@�4�� :���@/-/��BS��#02���E'P�=�9��0(���O7�;10N��#.02���E'(����4�0(;(:���02�U0(���E4�� ��6�����'(7802�8l�������02��;(� ��·�¨©Û�° 4�� :���@3��'02���b4�� ��6�����'(7802� F 7�4L�i02�%02���b'(�!�|�802�!�O7�;P0I��#h0(����'P����4�0(;(:��VlTÒA��7�;(��6���q���@3� ��-/��B�7�D:��=��;(-34c7�@�4��96���02�p-/�T02��B ;2780(��02����'(�N��WD:O7802-3� ��'�-3�`02-3�=�><>-30(�`02���N78-/�¾��# �*�|��@3� ;(-3��B02��� F ���O7cq9-/��:�;E��#�02���X'Pa9'102��� 78#Ã0(��;�0(���X'(-/��B :�@Î78;(-30,a 02-3�=�8G �� G�6���'(4�;(- F ��6Ð-3�µ0(�����;(�*q9-/� :�'X'P��4�0(-/� ��l�m,�?0(��-/'['P��4*02-/��� <I�Ñ;(����� ;10V0(���Ñ��;(��@/-3�=-3�O7�;Pa¯^���6�-/��B 'X��#p��:�;-/�Tq ��'P0(-/BT780(-/� ��'�lÒA�p����;P#Z� ;P�=��6S02���K#Z� @/@3�<>-3��B!�9:��=��;(-/4�7�@ �*�|����;(-3�=���D0�l�Ò¡�p02�9� �V7��n-3��-30(-Î7�@�6�-3'P0(;(-_)F :�0(-/� �R#Z� ; ÛYª � ­ <>��-34L� F ����7�q���'i@/-3��� � ÌO³ � ¶,· N 7�0E@/��<Ä������;(B -3��'i7���6¼6���4c7ca9'i�*�|���8)�����T0(-Î7�@3@3aÑ#Z� ;E��-3B �¯������;(B -3��'�l.����-/'E��;P��^O@3�`�=-3�=-34�'Q02���[��'('(���T02-Î78@�#Z�c780(:�;(��'!�8#�0(���³ ´��°���k�n�_¢:���uÃd�^�l _���l�dª*�M�_�¡£²¢P�k�M�l¦d�l�l�l�¼¤��M�q����� X���� ���_�Ï���l�8�M�_�n�M�����_�M¯a�^��¢�¯­?�:�k�}�k¢�M�_���c¢:�_�d�^�_�����k���p�x�y���M�M�p�c��¦�¤��M�_�}�_¢:�d�p¢��y���²�l�K�k�^���:�^�M�p¢:�_�j�d�c���^�M�l¦F�c�*¦K¤�� · � � ���_��� ·� ��� ³�.�_�d�c�c��¢: d���l�d�l�M�b���B�� d­��^�M�p�y���²�k�c�M d�l�k���k dªPª¥�c�M�6�M�q����� X �p�6£d�k¢:¦q��¦d�l¤�¿y�^�k¢e¢:�1���6�p�y�:�k�6¶¥�^�M¤�M­?���l�Q³q½x�d�p�j�p�j�l�±��ªP�k�c�^­��^���|�j�l�M���M�_�n���MªP d­��^���k�¸�l�Ë���c�^�M�p¢:����³

u�v

Page 20: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

0.0001

0.01

1

100

10000

1e+06

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

mas

s

energy

t=0.00t=0.02t=0.18

e^-1

����� � ��³�»8¢P�M��«�� �k�^�b��Ã_���M�p¢:��¢�¯F���e�l�d�l�M�b���d£d�k¢�Å_�p�x�uÃv�d�l¦d�l�M�l�dª��M�_�1�M�����_�M�p�^�K����y���l�l�dª_Õ�� ÌO³ � ¶,· N Õ���q�����:�^�k�^�M�p�M�M�p�}¢�¯ �M�_�|£d�k�u«¼�M�l�dªP d�b���M�l�¼¤��k�^ªP�l­��P³v½x�_�j�p¢s�Э�¢:­��^�K�M d­µ¦²�^�q�c¶v�p¢: d�6¶¥�^�M¤�¬� d�Ô«��¨��l¤��k�q���dª¥�c�}¢y¶¥�^�}�k¢?�°�M£²�c�^�M�M d­��^�p¢P�k���k¢�� ÌO³ �k�q�����:�^�k�^�M�p�M�M�p�e¢�¯8�M�_�^�M­�¢v��¤v�q��­'�p�n�c¬� d�Ô«�l�l¦d�M�l d­�³

0

2

4

6

8

10

12

0 0.05 0.1 0.15 0.2

mas

s

time

Mass in continuous partMass in singular part

Total massTotal energy

����� ���_³��Ï¢:�d�l�k¢:�M�l�dª¡�c¢:�_�k�^�M¶P���M�p¢:�?�b�y�¸��¯\¢:��M�_�j£²¢P�M��«�� �^¶¥¢:�l d�M�p¢:�G³�´��¸�k�c�x�_¢s�Ð�M�_�j­?�:���¢�¯�M�_�¡�M�l�dªP d�b���}£q���M��¢�¯�M�_�¡�k£F�c�^�M�M d­%ªP�k¢y�¸�����|�M�_�¡�uÃv£²�^�_�k�n¢�¯�M�_�¡�M­�¢v¢:�M�Ë£q���M�y³F½x�_��k¢:�����²­?�:�k�x���_�*�k¢:�����F�^�_�^�MªP¤��k�^­?���l�/�c¢:�_�k�����K�x�M�d�k¢: dªP�_¢: d�j�M�d�p�x�uÃ����q���dª¥�P³v»�k�c�M d­?��¦d�l¤�M�_�&�k¤v�M�k�^­ �c¢:­��c�¸�k¢��c¬K d�l�l�l¦d�M�l d­��Ô¯#¢:�_���x���l�k�}�°�M ��?�^�p�^���M�l¤��p¢:�dª��M�l­��P³��;(��),'P-/��B :�@Î7�;P-30,a[6�-3'P0(;(- F :�02-3� �X'(����<>�n-/�V^OB :�;P�EwE<>��-/4L��<I�p�O7cq���6�-/'P4�:�'P'(��6n-/�C0(�����;(�*q9-/� :�'I'(��4�02-3� �hl �O� ; � X <I�b0(�|� �i78�U-/��-302-/7�@ &,'(����6 '>q87�@/:���<>��-34L�U<&7�'&��#�02���b� ;(6���;��# «�« � Ì * ��#h02��� /214/A)+. �=7�'('I��#�02���b'Pa9'P0(���Vl�����-3'�7�; F -3027�;Pa!78'('(-3B ���!���T0�-3'&����4���'1)'27�;1a F ��4�7�:�'(� F aU��WD:O780(-/� � ��À ÀT�&7��[-3��-30(-Î7�@3@3aKr���;(�!7��!��@/-_02:�6���4�����6�����'2780(�Q;P���=7�-/��'��#br���;P�A78�=��@3-30(:�6��U#Z� ;i78@/@I0(-/�!�`-3#�02��� ��:|��G � X -/'i7�@3'(�nr���;(�Ñ#Z� ; ��� � 78'!��:�;'(-3��:�@Î7�02-/����'�'P:�B B ��'P0cl % 0%��;P��'P���T0p<I�!7�;(�E02;1a9-/��B`0(�C6��*02��;(�!-/���i7[4�����'(-3'P02���T0Q<&7ca��#�6��*02��;(�!-/��-3��BN02����q�78@/:��>#Z� ;.02��-3' &,'(����6 '2l ���<I��q���;�-_0&-3'�� :�;&����-/��-3� �E02�O7�0I0(����6���)

w�}

Page 21: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

0L7�-3@/��6U�!��4L�O7���-/'(�¾<>����;(� F a`0(���Y���Ta9'(-34c7�@�'Pa9'P0(��� ��7�'('P��'�02��;P� :�B �=02���Y'P-/��B�:�@Î7�;P-30,a780 � � �� -/�n� ;P6���;b02�XB ������;27�02��02��-/'Y'P����6 -/'�� :�02'P-/6��E�8#M0(���E'(4�� ���E��#�02���E�D-/����02-3402����� ;PaU#Z� ;�;(��7�'(� ��'�<>��-34L�V<I�%'(�O78@/@h6�-3'(4�:�'('�-/�[02���Q���*�90�'(��4*02-3� �hl�|� �!���c7�;P@3aK;(��'(:�@_02'.#Z;(� � � :�;.4�� �=��:�0L780(-/� ��'.7�;(��'P����<>�=-3�E^OB :�;P��'Mz%7���6ix�l���-3B :�;P�zU-/@3@/:�'102;(7802��'���:�;b^O;P'P0��U7�-3�C� F '(��;Pq87802-3� � �t02����'(����4*02;(:��oq���;PaCWD:�-/4L�D@_a F ��B�-/��'�02�;(��@Î7�� F 784L�%0(��7�'(����4*02;(:�� <>��-/4L��-3'Áq���;1aK4�@/� 'P�M0(�b0(���M0(����;P�=�96�a9�O7��!-/4���W9:�-/@/- F ;(-3:��'(����4*02;(:��CG � ÌO³ l8Ò?-_02�i7�� � ÌO³ 'P����4�02;P:�� <I���D����< � X ��� l8������;(�>-3'�'(���=���*q9-/6�����4��02�!'(:�B�B ��'10b0(�O780�02���%'(����4*02;P:�� -/'>'(@3-/B �T02@_a`'102��������;�0(�O7�� � ÌO³ 7�@_02����:�B �[02��-3'>�=-3B �T0F �S7��5������4�0`4�� �!-/��BÑ#Z;(� � 0(���S;P��@Î7�02-3q���@_aµ'(�=7�@/@�'P4c7�@3-/��B¡;27���B��V<>��-34L�5<&�C�O7cq �F �����U7 F @/��0(�p;(��'(� @_q ��'(�Q#�7�;�l Õ :�;�'(��4�� ��6`�U7%�P� ;�� F '(��;Pq8780(-/� �hGT-3@/@3:�'P0(;2780(��6E-/�i^OB :�;(�x�G�-/'�0(�����*�|4L�O78��B �E��#��=7�'(' F �*0,<&�����Ñ02���p4�� �T02-3�D:�� :�'Y��7�;P0N�8#.02����'P����4�0(;(:�� 7���602���i'P-/��B :�@Î7�;b�O7�;P0�lh����-3'N�*�|4L�O7���B��=4�� ��'(��;Pq���'K0(���E02��027�@��=7�'P'%7���6Ñ������;(B�aÑ�8#M0(���'Pa9'P0(��� 78'[4c7�� F ���c78'(-/@_a»4L����4L����6 #Z;P� � ��WD:O7802-3� ��'Ñ��ÀT� �U78��6 ��À À �*l % 0`��;(��'(���T002���C�U78-/�T02���O7���4��S��#Y0(���C0(����'P��4�����'(��;Pq87802-3� �5@/7�<>'=-/'!��;(� F @/���U780(-/4X-/�Ð� :�;!4��96��7���6i;(��WD:�-/;P��'�'(� �!��0,<&��7��D-/��BQ7���6!0(:���-/��B!��7�'.<&7�'�6�� ����02�%��;P�|6�:�4���^OB�:�;(�>xD��<>-_02��U78'('�0(����6�-3��B�0(�N@/�c78�Q#Z;P� ��02����'1a|'102���Cl�Ò¡��7�;P��4�:�;(;(���T02@3aQ02;1a9-/��BY0(�Y��-/�E6��<>��0(���;(��7�'(� �Ñ#Z� ;�0(��-/'N'P����'P-30(-3q9-30,aS-/�Ñ� ;(6���;Y02�X����;1#Z� ;(��'(� �!�E�=��;(��;P� F :�'10K'P-/��:�@Î780(-/� ��'��q ��;.@/7�;(B���;�;(7���B ��'.��#�'(4�7�@/��'.7���6!7���6E@3� ��B ��;�0(-/�!��'�l�����'(��-_02��02����6�- �!4�:�@302-3��' <>��-/4L�'P0(-/@/@t;P��WD:�-/;P�Y;(��'(� @3:�02-3� �=<>-_02��-3�`� :�;I�D:��=��;(-34c7�@�'(4L�����=�8G�<I� F ��@/-/�*q ��02�O780I02�����U7�-3�#Z�c780(:�;(��'>��#���:�;>4�� �!��:�027802-3� ��'�7�'>6���'(4�;(- F ��6C7 F ��q �Q7�;(�%WD:�-_02�%;(� F :�'P0�l� �K�������9����Z��� � �D��� �%�9����� Ã��� � �O� � �V�t�8���|��� �O� �[��������K�Z���c� ��������� �C�����T������ ���9�t��� � �Õ ���U���802-/4���'p7C'P0(;(-3�9-3��BV'(-/�!-/@/7�;(-_0,a F ��0,<I�����¯02���U$�|�¾��WD:O780(-/� �¯78��6¡0(���U�D-/����02-34��WD:O780(-/� ��'M#Z� ;�02����7��!��@3-302:�6�����#�<&7cq ��'�-/�T02��;27�4*02-/��BQq9-Î7N02���b������@/-3���c7�;.0(��;(�Â-3�!0(����%;P� '('�)�s.-Î78��q9'(�D-/-���W9:�7802-3� � #Z��;p7X'P027802-3'P02-34c7�@3@3aS��� �!� B ������� :�'Q4�����6�����'2780(��l ������;P�*)#Z� ;(�V� ���V�=7�aR@/��B�-302-3�U7�02��@_a¡7�'(�µ-3#�02����;(�C-/'i'(���=�V4�� ������4*02-/��� F ��0,<I�����50(���X0,<&�6���'P4�;P-/��0(-/� � �t$�|�gq9'�� 9s�G�0(���%��� -3�T0�<&�Q'(��7�@/@h4�� ��'P-/6���; F ��@3��<%l�����&4�� ������4�0(-/� �Q4�� �!��'Á#Z;(���g02����#�7�4*0�0(�O780Á02���M�94�4�:��O7802-3� �Q�9:�� F ��;('�7�'('P�|4�-Î780(��6%02�02���%@3� ��B8)Å<�7cq �Q�*�|4�-30L7�02-/���C78;(�%@Î7�;PB ��l % 0���WD:�-/@3- F ;P-/:��VG90(���Q$&� 'P�K6�-3'P0(;(- F :�02-3� �[��;(��)6�-/4*02'�02�O780b02��-3'��D:�� F ��;�6�-3q���;(B���'Y@3-/��� � � ¶ � ���� ¥ 7�0Y'(�=7�@3@ �!� �!���T02:�� ¸ G�<>-_02�Æ �=7�'P'.��#�0(����-/6����T02-34c7�@|�O7�;P0(-/4�@/��'�G º�� $I� @30(r��=7�����4�� ��'P027��T0I7���6 � 7 F '(� @3:�02��0(���E)����;2780(:�;(�S��@3��'P'Q0(�O7��Ñ02���i02���=����;(7802:�;P�i��#&0(;27���'P-30(-/� �t��l �O� ;%������;(B -3��'Q����027 F @3aS@/��'('02�O78��02���p0(����;P�U78@�������;PB�a º�� � G � -/'��p:�4L� F -/B B���;>02�O7�� « l�������;(��#Z��;(��WD:O7��T0(:���O:�4*02:O780(-/� ��'E-/�¯02����'(�X'P027802��'=78;(�[;(��@Î780(-3q���@3a¡'(�=7�@3@ÅG F aR0(���`#�7��!-/@3-Î7�;K$&� B ��@/-/: F ��q7�;(B�:��=���T0I���902����6���6`0(�K�����|),r���;(�K�=���=���D027 �D0(����W9:�7��T02:��Ä7��!��@/-_02:�6��>7�'('P�|4�-Î780(��602� � � � ��Û�� �Û � -3'Y��#�� ;P6���;N�8#��U7�B���-30(:�6����Û � � ¶ � � � ¥ Gh7���6n-/'Y@/7�;(B �8l������*);(�*#Z� ;(�Q02���KW9:�7��T02:��o4�� �!��:�027802-3� �V4�� ��6�-302-3� � ¨ �Û � Ý �Û c° � « -3�D0(;(�96�:�4���'�����B @3-/B - F @/�4�� ;P;(��4�02-3� �hGD02�p0(����@/7�;(B��b� ;P6���;&��#��=7�B ��-_02:�6�����'102-3�U780(� �Û � �Û � ��� ¶ � � � ¥ l�����-3'

w|u

Page 22: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

�=��7���'p0(�O780E-3�A02���`;27���B � ¸ '(�=7�@3@ÅG�� ���U4c7��¯����B @/��4�0�0(���[WD:O7��T02:�� �O:�4*02:O7�02-/����'7���6[4�� ��'(-36���;�0(�O780 �Û � 7���6 �Û 7�;P��02�����t��:�;(-3��;I0(;27���'P#Z� ;P�k��# 7�4�@Î7�'P'(-34c7�@�4�� �!��@/���D)q87�@/:���6¼^���@/6 ×iª ��­ l.����-/'E#Z:���4*02-3� �Ð��7�'E02� F �[02���V'P� @/:|02-/���¼�8#N7n��� ��@3-/����7�;�^O��@/6��WD:O780(-/� ��G�02�O7�0b-3'�02���K�N;(� 'P'1),s�-_0L7��*q9'(�D-/-h��WD:O7802-3� �hl����-/'���|sµ��WD:O780(-/� ��G|<>�����V0(���N��� ��@3-/����7�;I0(��;P� -/'&4�� ��'P-/6���;(��6C78'>7i����;102:�; F 780(-/� �hGa9-/��@36�'�7><�7cq����9-3����0(-/4I��WD:O780(-/� �p0(�O780��O7�'�����7�4�0(@3a%02���&'27��!�I#Z� ;P� 7�'�0(����$�9�Ð�D-/����)02-34���WD:O7�02-/���hG9<>�����[;(��'P0(;(-/4*02��6`02�p-_02'I4�: F -34b0(��;(�!'�78'�6�-/'P4�:�'P'(��6V-3�U'P��4�0(-/� �Vw9l|����-3'-/'�����0�'(:�;P��;(-3'(-/��BU'(-3��4��8G�-3�C0(���p@3-/�!-30���#�@Î7�;PB �K�94�4�:��O780(-/� �V�D:�� F ��;P'�G������p��������4*02'02�O7�0>7�4�@/7�'('P-/4c78@�^O��@/6[��WD:O7�02-/���hG�@3-/���N� |s G�7�����;(�c�|-/�=7802��'&<I��@/@�02���Y#Z:�@/@�6|a|��7��=-34c7�@��;(� F @/���Cl ���<I��q���;�0(��-/'Á-3' ����0�0(���M4�� �!��@/�*02��'(��@/:�0(-/� �%��#|02���M��;(� F @/������#����|0(����6�-/��B02���b$�|�"�D-/����02-34>��WD:O780(-/� �i02�%02����#Z:�@3@O;27���B �>��#h��� '('P- F @3��<�7cq ���D:�� F ��;('�l�����-3'�� ��@3a'(����<>'p0(�O780Q02���i<&7�q��`�D-/���*02-34=��W9:�7802-3� �A78��6A02���U$�9�Ä�D-/����02-34=��WD:O7802-3� �A��q���;(@/7��-/�C'(� �!�p;(7���B �Q��#.<&7�q����D:�� F ��;P'�G�0(���p;(7���B �Q<>����;P�p02���p�94�4�:��O7802-3� �S�D:�� F ��;('N7�;P�q ��;Pa @Î7�;PB �i4�� �!�O7�;P��6 02�S������GÁ� ;�)b#Z��;K7X02����;(�=7�@�BT7�'�)b0(���!;27���B��=��#�������;(B -3��'%#�7�;'(�=7�@/@3��;&0(�O7��[02���%0(����;P�U78@h������;(B�a�l����-/'p@/�c7cq���'E����<I��q ��;!7�����0(����;�6�� �U78-/�A�8#�q���;1aR'(�=7�@3@M<&7cq ���D:�� F ��;('�G�<>����;(�`0(����|4�4�:���7802-3� �`�D:�� F ��;P'�7�;(��'P02-3@/@Oq ��;PaU@Î7�;PB ��G F :�0�<>����;(�Y0(���Y-3�D0(��;(7�4�0(-/� �=������;(B�a`7���602���Q�D-/���*02-34Q������;PB�aC7�;(�Q��#�02���Q'27��!�Q� ;(6���;b�8#��=7�B ��-_02:�6��8l �O� ;�7=�D:�� F ��;�6�����'(-_0,a� 78��6n7='P4c780P02��;(-/��B=@3����B�0(� Ê GO0(���p4�;(� 'P'1),��q���;��94�4�:�;('�<>��������q ��;Y02���%<&7�q����D:�� F ��;-/'Q��#���;(6���;K��#�� ;K'P�U78@/@/��;Y02�O78� ¸ J ������� � Ç ª Ê �h­ ³��¦¶ lÁm,�¡0(��-/'Q;27���B �=�8#�q ��;Pa '(�=7�@/@<�7cq����D:�� F ��;P'�G>� ���n4�7�������0`����B @3��4*0V7��Ta|�!� ;P�S02���n-3�T02��;(7�4�0(-/� �»������;(B�a�l�$&:�0�G�� �02���=��02����;��O78��6hGÁ02���=W9:�7��T02:�� �O:�4*02:O780(-/� ��'�7�;P�=02�80L7�@3@3an����B @/-3B - F @/�E-/� 02���U'27��!�6�� �=7�-/��l8������;(�*#Z� ;(��0(����;(��@/��q87��T0.��WD:O7802-3� �E-/'.� |s l ���<I��q���;�02��-3'���WD:O7�02-/���E'(��� :�@/6F ��4����=��@3��0(��6E02�Q-/��4�@/:�6���'P� �!��-3��#Z� ;P�U780(-/� �p4�� �!-/��BN#Z;P� � 02����'P��� ;10I<&7cq ����7�;P0M��#02���%'P����4�02;P:��VG�02���%� ���%6���'(4�;(- F ��6 F a`02���Q$�9� �D-3����0(-/4Y02����� ;1a lO����-3'�-3��#Z� ;P�U780(-/� �4�� �!��'>-3�V-3�`0,<&�=6�- ����;P���T0�<&7�a9' �, ��������;P�i-/'N7[4���:���@/-3��B F ��0,<I����� 02���E'P��� ;10N<�7cq �!�O7�;10%��#�02���i'P����4�02;P:���7���6Ñ0(���@/� ��BÑ<&7cq �C�O7�;P0i0(�O780=7��!� :��T02'E02� 4L�O7���B �C0(���X4�: F -34C-3�T02��;(7�4�0(-/� �¯0(��;(� -3�Ð� |s#Z;(� � 0(����:�'(:O7�@ Ø ��� ¥�� É ×YX É ¶ ×"X 02� Ø ��� ¥� ª É ×YX É ¶ ¬ Ø � ­ G9<>����;(� � K-/'�02���b6�����'P-30,a!��#02���b��� ;P�U7�@tBT78'�G9�=� '102@_a!7�4�4�� :��T02��6X#Z��; F a!02���b'(��� ;10�<&7�q��N�O7�;10&��#�0(����'P����4�0(;(:��Vl,', �1������;(�[-3'E7S�=7�'('����|4L�O7���B � F ��0,<I�����¼0(���[4�� ��6�����'(7802�[6���'(4�;(- F ��6 F a¡02���U0(��;P���;(����� ;102-3� �O7�@�0(� � X 6���;(-_q ��6=#Z;(���Â$�|� F a!7�'('P:��=-3��BQ7Q4�� �!��� �����T0M��#h�!� �!���T02:��6�-/'102;P- F :�0(-/� �K<>-302�!7 ��-/;(7�4�6���@30L7Y��7�;P0M780Mr���;(�%�!� �!���T02:�� 7�'�6���'P4�;P- F ��6!-/�i'(��4�02-3� ��|l�O;(� � ��WD:O7802-3� �C��ÀT����q87�;P-/� :�'.-/�!��� ;10L7��T0�4�� ��'(��WD:�����4���'�4�7�� F ��6�;27c<>�hl ��-3;('10.02����;(�6��9��'p����0�'P����� 02� F �U7C��� '('P- F -3@/-_0,an��# ��� @/�!� B � ;P� �t)��h7��D�O7�;P��qS'P� @/:�0(-/� � ��� 'P0 �� G�*�|4�����0Q�U7ca F �E-3�Ñ7[q���;1a�02;(7���'(-3���T0%'P027802�8lhm,�Ñ��;(-3��4�-3��@/�p'(:�4L� �� �R'(� @3:�02-3� ��'N7�;P�-/�T02��;(��'P02-3��B F ��4�7�:�'P�S02���*a»B�-3q �S7¡4�� ��'P027��T0 �O:|�¼0(�<&7�;P65r���;(�R�!� �!���T02:��Vl������-/�Tq ��;('P�[4c7�'P4c7�6��[��7�'i7S���<I��;E@/7c< F ����7�q9-3� :�;�@3-/��� Û ��� � Ì� ��¦· 7�'�6���'(4�;(- F ��6¯-/�'(��4�02-3� �[z�G902��-3'&4�7���4���@/'M02����^�;('P0�4�� @3@/-/'P-/� �E0(��;(�VG � N ¨ËÛM° -/�U��WD:O780(-/� �Ñ��ÀT� ��l����<&�*q ��;

w w

Page 23: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

'(:�4L�A7V4�� ��'10L7��T0��O:|� 'P� @/:�0(-/� �n4�7������80 F �!7V'102��7�6�aÑ'(��@/:�0(-/� �n����7�;%r���;(�V������;(B -3��'<>-30(�?7A'(�!�|�802�»0(-/�!�S6���������6����T0V4��9���!4�-/���T0 � l&����-/'`-3' F ��4c7�:�'(��G F a»��@/:�B B -/��B02��-3'�0,a9���[��# F ���O7cq9-/� :�;E-/�R02���[4�� @3@/-/'P-/� � 02��;(� ���|��@/-34�-30(��@_a <>;P-30P02����G�� ���[� F 0L7�-3��'7`4�� �T0(;(- F :�02-3� ��02�`0(����02-3�=�K6���;P-3q87802-_q ����� � � £ ��d 02�O780Y-/'Y��#M� ;P6���; � ÌO³� �� ' G�#�7�; F -3B B ��;���c78; �>'(�=7�@3@�02��7��[02���%�*�|����4*02��6 � Ì� �� ' ����<&��;�@/7c<%l

����-/'.@3�c7�6�'.� ����02�%@3�|� �%#Z� ;��802����;�0,a|���>��# F ���O7cq9-/� :�;.�8# Û�ª � ­ #Z��;��M'P�U78@/@Ål % 4*02:O7�@3@3a�G<&�b�*�|����4�0I02�O7�0M0(����'P� @/:|02-/���i<>-3@/@��*q � @_q �b-/�!� ���><�7ca!� ;.02������0(����;�02�K��WD:�-/@3- F ;P-/:��Vl����-/'N��WD:�-/@3- F ;P-/:�� '(��@/:�0(-/� � F ���O7cq���'Q@/-/�8� Û�ª � ­ ��� b� ���c7�; �%'(�=7�@3@Ål�������;P��#Z� ;P�i<I�02;1aX7��X�*�|�O7���'(-/���C��# 02���Q'P� @/:|02-/���[��#�0(���%�D-/���*02-/4N��WD:O7802-3� �A��ÀT� �I7�'ÛYª � ­ � � X� ¬Ð±ÛYª � ­ �Å�8}T�

<>����;P� ±�Û�ª � ­ -/'�7p#Z:���4�02-3� �[��#��&02��780>-/'I��:�4L�X'(�=7�@/@3��;M02�O7��`0(���N6�� �!-/��7��T0�4����D0(;(-¿)F :�0(-/� � � b� 02� Û -3�i0(����@/-3�=-_0 �.'P�U7�@3@Ål�����-/'�����;102:�; F 7802-3� �E'(��;(-3��'�-/'�����4���'('(7�;Pai02�%B �*07�����W9:�7802-3� ����#��!��02-3� �C#Z��; � X G F ��4c7�:�'(� F aS��:�0(0(-/��B!02������������q ��; ��02��;(�o-/�C0(���4�� @3@/-3'(-/���S02��;(�!'�Gh� ���!B���02'%r���;(��G F ��4c7�:�'P�=-_0%-/'Y0(��� F ���O7cq|-3� :�;%��#M02���i��W9:�-/@/- F ;(-3:��'(� @3:�02-3� �R7�0p'P�U7�@3@�������;(B -3��'�l��|-/�!��@3�!'P4c7�@3-/��BS7�;(B�:��=���T02'p'P����<k0(�O780 F a¡-/��'(��;102-3��B-/�T02�%02���b4�� @/@3-/'(-3� �p0(��;(�Â���|��@/-34�-30(��@_ap<>;(-_0(0(���!-/�!��WD:O780(-/� �S��ÀT���*GT� ����B �*02'I7%#Z:���4�02-3� ���# �&02��780�'(4�7�@/��'�@/-3��� � b�� �� � G902��-3' F ��-3��B�;(��'P0(;(-/4*02��6`02��02��;(�!'&@3-/����7�;I-3�U02���Y;(��@Î780(-3q ��@3a'(�=7�@/@ ±Û lT$&7�@Î7���4�-/��B�02��-3'�<>-30(�E02����6����=-3�O7��T0�0(��;(� � �E02����@3��#Ã0.'P-/6��8G �O7��!��@_a ³� Ó � bÓ d� ���YB���02'M02�O7�0 ±ÛYª � ­ ��:�'10 F ���O7cq��N@/-/�8� � £� � ���c78;��&'(�=7�@3@Ål �O;(� �Â0(��-/'M<&�Y6���;(-_q ��0(�����WD:O780(-/� �V��#��=��0(-/� �`#Z��; � X GO@/-/�8� Ó � bÓ d � � � X � ³h¬ � � ¶X � ³ lO�����K4�� ��'P0L78�D0 -3'4�� �!��:�0(��6 F a!;(7802����;&4�� �=��@/-/4�7802��6i��:�@30(-/6�-3�=����'(-3� �O7�@|-/�T02��B ;278@/'�lT������'278�=��-/'.02;P:��#Z� ;�0(����4�� ��'P027��T0 � 02��780�;P����;P��'(���T02'M7�����0(����;�4�� �T02;P- F :|02-/���p02��0(���&0(-/�!�I6���;(-_q�7�02-3q����# � X 4�� �=-3��B�#Z;(���k02���%0(��;P� � N ¨ËÛ�° -/�[02���Q�D-3����0(-/4N��WD:O7�02-/���hlÕ ���N4�� :�@/6X4�� �T0(-/�D:��%780>��-3B ����;�� ;(6���;�-/� ��02�EB���0>4���:���@/��6X��WD:O780(-/� ��'�#Z��;�02���Y0(-/�!�6���;P-3q8780(-3q �C��#Y0(����4��9���!4�-/���T0('`��#Y0(��� IÁ7�:�;P���T0`������7���'(-3� �"��# Û�ª � ­ ����7�; � � � lÒA�i78;(����;P��'P���T02@_a�<&��;(�D-/��BX� �Ñ78�n�*�|��@/-34�-_0�<&7�a���#M:�'(-3��BX7�@/@ 02��-3'Y-/�|#Z� ;(�=7802-3� �X02�B ��0b��;(7�4�0(-/4c78@/@3a`7!�D:��!��;P-/4�7�@/@_a`'(��@3q87 F @3�N4�� :���@/��6C'(�*0Y��#��9-3����0(-/4%��WD:O7�02-/����'�#Z��;>0(���4�� ��6�����'(7802�Q6�����'(-_0,aV7���6[02���%'P�=�9��02�X�!� �!���T02:����8������;PB�a`6�-3'P0(;(- F :�02-3� �hl�b��<I��q ��;N02��-3'�6��9��'b����0N����6�02���K'P0(� ;Pa�l�Ò¡��'P0(-/@/@Á�O7cq���02�`6���7�@�<>-_02�V02����WD:���'P0(-/� ���#h0(����4�� ��6�����'2780(� F aU-_02'P��@3#�l Ò¡����7�q��Y-/�=�=-3��6=7p;2780(����;M� F q9-/� :�'&WD:���'102-3� � �9B -3q����-/��-_02-/7�@�4�� ��6�-_02-3� ��'N#Z� ;Y02���=6�����'(-_0,a 7���6 ������;(B�aÑ'P:�4L�A0(�O780%02���i��W9:�-/@/- F ;(-3:��o'P0L7�02��O7�'E7C4�� ��6�����'(7802�X780pr���;(���!� �!���T02:��VGÁ����<Ä6��|��'p02��-/'p-3��-30(-Î7�@.4�� ��6�-_02-3� �A�*q � @_q �02��<&7�;(6S0(���K^��O7�@Á��WD:�-3@/- F ;(-/:�� 'P027802� �pÒ¡�p'P�O7�@/@Á@3-/�!-30���:�;('P��q ��'Y02�=;2780(����;b'(���*024L�Ta;(���U7�;P�D'&� �U0(��-/'IWD:���'102-/���hG|0(�O780&<I� :�@36`;(��WD:�-/;P�Y7p;(7802����;&@3� ��Bp6�-/'(4�:�'('P-/� �X78�DaD<&7ca l% 0�02���[�=� �!���T0Q#Z;(� � �D:��!��;(-34c7�@I7���6µ78�O7�@3aD0(-/4c78@I'102:�6�-3��'[y¿ucx�~&� ���`:���6���;P'P027���6�'<&��@/@�02�O780�G�-_#�02���N-3��-30(-Î7�@O6�����'(-_0,a`-3'&02�9��@Î78;(B ��#Z� ;�7�B -_q ���[������;(B�a�Gt7p'(�!�|�802�`-3��-30(-Î7�@4�� ��6�-30(-/� �V��#�0(����$�9� �D-/����02-34K��WD:O7802-3� � F ��4�� �=��'b'P-/��B�:�@Î7�;>-3��7!^���-30(�K02-3�=�8lO�����'(� @3:�02-3� � F @/��<>'Y:�� F ��4�7�:�'(�E-_02'�q�78@/:��p780Yr���;(�[������;PB�a F ��4�� �!��'Y-3��^O��-_02�p780N7=<I��@3@

w�z

Page 24: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

6���^�����6i^O��-_02�&0(-/�!��G �� G 6���������6�-/��BN���i0(����-/��-302-/7�@D4�� ��6�-30(-/� ��'�l8����-/'.6��9��'.���80.�=��7������<&�*q ��;Y02�O780�'(� �!��0(��-/��BU@/-3���p7U4�� ��6�����'(7802� ?59�= :�9 -/'�#Z� ;(�!��6S780�0(���p'P-/��B�:�@Î7�;P-30,a02-3�=�8lc����-/'Á-3'h#Z� ;h0,<&�b;(��7�'(� ��'�l ��-/;P'P0Á7�0 0(���.02-3�=�.��#902���M'P-/��B�:�@Î7�;P-30,a�02���M�=7�'('�-3��'(-36��02����'(-3��B :�@/7�;(-_0,a�-3'Mr���;P��G F ��4c7�:�'P��0(�����=� �!���T0(:�� 6�-3'P02;P- F :|02-/���hGT7�@_02��� :�B �i'(-/��B :�@Î78;780Er���;(�Ñ������;PB�a G.;P���=7�-/��'p-/�T02��B ;27 F @/��l �O:�;P0(����;P�=��;(��G 02���[4�� ��6�����'27�02��GM7�'p:�'(:O78@/@3a:���6���;('102�9�|6hGD-3�=��@3-/��'�-/��^���-30(��;(7���B ��4���;(;(��@Î780(-/� ��'.-/�!'(�O7�4�� �97�@3@��O7�;102-/4�@/��'�0(����;P�Y7�;P�-/�E02����'27��!����� �!� B ������� :�'MB�;(� :���6!'10L780(��lT����-3'.-/��^���-30(��;27���B �K�����O78'(����4�� ;(;P��@Î7�02-/���4c7�������0 F :�-/@/69),:��!-/��'10L7��T027�������:�'(@_a`780I02����4�� @3@Î7���'P��0(-/�!��lDm¦0�4�7�������0&��q���� F :�-3@/6|)¦:��780�-3��^O��-_02�M6�-/'10L7���4���'�-/�E7��TaQ^O��-_02�I0(-/�!�I-3�T02��;1q87�@�y¿u�v~Ål8������;P��#Z� ;P��G��������*�|����4*02'�02��78078#Ã02��;E02���V-/��-_02-/7�@ F @3��<�),:��hG�0(����;P�C<>-3@/@ F �C'P� �!��02��-/��BÑ@/-3���V7Ñ4�� �T02-3�D:�� :�'=��;(�94���'('��#KB ;(��<�02� ��#Q02���Ñ;(7���B �n��#Q02��� 4�� ;(;P��@/7802-3� ��'[7�'P'(�94�-/7802��6 0(�Ð7¯�!�|6�:�@/:�'U��#K0(���<�7cq���#Z:���4*02-3� ��B ;P�<>-3��B�-302'P��@_#�-/�%02���I4�� :�;('P�&��#�02-/�!�.:��T02-3@D-30 ;(��7�4L����'�-30('���W9:�-/@/- F ;(-3:��q87�@/:��8l����-/' ��;P�|4���'(' 4c78������0 F ��6���'(4�;(- F ��6 F aQ0(���I$�|�¯�D-/���*02-/4.0(����� ;1a F ��4c7�:�'(�M-30�7�'('P:��!��'02�O7�0V0(���n<�7cq���@/����B�0(� -/'X@/��'('[02��7�� 0(��� � ���n#Z� ;[<>��-/4L�?02���¡-3�D0(��;(7�4�0(-/� �?������;(B8aF ��4�� �!��'E'P-/B ��-3^O4�7��T0E4�� �!�O7�;P��6R0(��02���[�D-/����02-34U������;PB�a¯��#>02���[�*�|4�-_0L780(-/� ��'�l�����-3'@/��7�6�'������pWD:�-_02�Q�O7802:�;27�@3@3a[02�U7�'('P:��!�K02��780�0(���p@3� ��B=<&7cq ����7�;P0���#�02���p'(����4*02;P:��-/'�6���'(4�;(- F ��6 F a`02���p��|sÐ��W9:�7802-3� �hG�02��780>�O7�'�02� F �Q�=780(4L����6V'(� �!�����< <>-30(�X0(���$�|�Â��WD:O7�02-/���¡7�0%'(��� ;10Q'(4c78@/��'�lÁ����-/'N-3'Q6�� ���i-/�n0,<I�C6�- ����;(���D0%<&7ca|'�G�6���������6�-3��B� �[02���Y0(-/�!�Y780�<>��-/4L�X-30�-3'�6�� ����lO�����N<&7�q��%�9-3����0(-/4Y��WD:O7802-3� �X-/'&0(���%'27��!�N7�'�0(���$�|�¾��WD:O780(-/� � ;(��'P0(;(-/4*02��6A02�V-30('K4�: F -/4i02��;(�!'�G�02���=� ���=;P��@/�*q87��T0K0(�S6���'(4�;P- F �!0(���4�� @3@Î7���'(��l�������;P��#Z� ;P�K-_0�-/'>7iB �9�|6X7�����;(�c�|-/�=7802-3� �`02�E0(���%4�� @3@Î7���'P�N��;(�94���'('>02�E0L78���7�'�-/��-302-/7�@O4�����6�-30(-/� �U��#Á02���Q��|sµ��WD:O780(-/� �X7p#Z:���4�02-3� �`02��780�;(����;(��'(���D0('�784�4�:�;2780(��@3a02����'(��@_#Î),'P-/�!-/@Î78;�'(� @3:�02-3� �U�8#�02���Y�D-3����0(-/4���WD:O780(-/� �hl|����-/'I�=��7���'M02�O780�-30I��:�'P0&�O7cq �02����'(����4�0(;27�@�6�-/'102;P- F :�0(-/� �!�D����<>�X�9:��=��;(-/4�7�@/@_aXy¿ucx�~�<>-302�U;27���6�� �¾���O7�'P��'�#Z� ;I�c7�4L�'(����4*02;278@M�!�96���l������!02-3�=�E�*q � @3:�02-3� � 78#Ã02��;P<&7�;(6�'Q'(��� :�@/6 F �E<>-_02��� :|0K'P-/��B�:�@Î7�;P-30,a�Z#Z� ;�02���b��|s ��WD:O7802-3� �t��7���6!'P��� :�@36E6���'P4�;P- F �b7N'P�=�9��02��0(;27���'(-30(-/� �K#Z;(� � 7N;(��B�-/�!�<>-30(�K^O��-_02�M;27���B �I'P�O780(-Î7�@D4���;(��@/7802-3� ��'�02��7b;P��B -3�=����#O���O7�'(�I4�� ;P;(��@Î780(-/� ��'Á���|0(����6�-/��B780E@/7�;(B ��;�7���6¼@/7�;(B���;p6�-/'P027���4���'i7�'�0(-/�!�UB �9��'����hl Õ ��4��`0(���[���O78'(�[4���;(;(��@Î780(-/� ��'�*�902����6n780�6�-3'P027���4���'�#�78;�@3� ��B ��;�02�O7��X02���Q0,a9��-34c7�@�@3����B�0(�C'P4c7�@3�Q<>����;(�%02���K�D-/����02-34������;(B�aS7���6C02���K-/�T02��;27�4*02-/����7�;P�p��#�0(����'(7��=�Q� ;P6���;b��#��U78B ��-30(:�6��8G������p4�7��S0L78���02���U6�����'P-30,aR7�'('P�|4�-Î780(��6A0(��02����'(�[@/����BC<&7cq ���O:�4*02:O780(-/� ��'�7�'p0(���`6�����'(-_0,aR��#�0(���'(-3��B :�@/7�;��O7�;10���#�02���Q�!� �=���T02:�� 6�-/'P0(;(- F :�02-3� �hG � X -/�X02���K�D-/����02-34%��WD:O780(-/� �hlt����-3'B -3q���'�7Y<&7�ap02�NB �*0.02���>-/��-302-/7�@D4�� ��6�-30(-/� �p#Z��;�02��-3' � X -/��0(����$�|�»�D-3����0(-/4���WD:O7�02-/����'4�� :���@/-3��B`02���i4�� ��6�����'2780(�`7��!��@3-302:�6���7���6 0(���i'(�!�|��0(�Ñ�O7�;P0%�8#&02���!6�-/'P0(;(- F :�02-3� �hl% 0�02���['27��!�U02-3�=�8G�02���[-3��-30(-Î7�@�q87�@3:��U#Z� ;Q02���['P�=�9��02�A�O7�;P0p��#>02��-3'�6�-3'P02;P- F :|02-/���4c7�� F ��0L78�����V7�'�0(���Y'P����4�02;P:�� #Z� :���6[-/�`0(���Y'(��@/:�0(-/� �`�8# 0(���%��|sµ��WD:O780(-/� �`<>-_02�02���V'(��@3#Î)¦'(-/�!-/@/7�;p-3��-30(-Î7�@M4�����6�-30(-/� ��l�����-/'!B -_q ��'=7 <I��@3@�6���^�����6 ��7�@30(��� :�B��Ð;(7802����;4�� �!��@3-/4c7�02��6O�&��;(�94���6�:�;(�K#Z� ;>6���'P4�;(- F -/��B=02���K02;(7���'P-302-3� �V7�4�;P� '('�02���K'(-3��B :�@/7�;(-_0,a`��#02���Q$�9� �9-3����0(-/4N��W9:�7802-3� �hl�����Ñ$�|���9-3����0(-/4���WD:O7802-3� �"-/'='(��@3#Î),4�� �T0L7�-3����6�G�7���6"-_0`6���'(4�;(- F ��'`0(����^O�O78@���q��8)@/:�0(-/� �¯0(�<&7�;P6Ð��W9:�-/@/- F ;(-3:��VG F :�0i#Z� ;i� ���V��-/��4��C�8#Y-/�|#Z� ;(�=7802-3� �hGÁ02���V��q���;!B � -3��B��;(�94���'('I��#����O78'(��'1a9��4L��;(����-/r�7802-3� �U��#�02���b4�� ��6�����'(7802��02��;P� :�B ��� :�0&7�@/@O'P�O7�4��8l�����-3'

w8x

Page 25: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

-/'N6���'(4�;(- F ��6 F a�02���U��|s?��WD:O780(-/� ��GÁ7�'%7�@/;P�c7�6|a��*�|��@/7�-/����6hl ����<&�*q ��;%02��-/'N-/'N����0'(: �!4�-/���T0�G F ��4�7�:�'(�[� |s Gh<>�����A@/��#Ã0Q02�V-30('(��@3#�Gha9-/��@/6�'K7C���*q ��;p����6�-/��BC4c7�'P4c7�6��U��#������;(B�ai0(�<&7�;P6U02����'(�=7�@3@O'(4c78@/��'by¿u�z8~�l9����-/'M-/'M4�@/��7�;(@_aE-/��4�� �!�O780(- F @3�&<>-30(�=02����^O��7�@;(��@Î7���780(-/� �E02��<&7�;(6=��WD:�-3@/- F ;(-/:��CG8'(-/��4��>02����:�@30(-/�=7802�&;(��'P:�@30I��#�02��-3'M4�7�'(4�7�6��b'(��� :�@/6F �=7�@3@�02���!�U78'('Q4�� ��4����T02;(7802��6R-/�Ñ02���Ur���;(�V<�7cq ���D:�� F ��;��O78;P0K��#&0(���='P����4�0(;(:��VG��@/:�'%7X��� -/'P�i780%-/��^���-30(��@3aC'(�=7�@3@ <&7cq ��@3����B802�hl�Ò¡�E�*�|����4�0K-/��'102��7�6n^O��-30(�E�|4�4�:���7�)02-3� �n�D:�� F ��;('N6�-3q ��;(B -3��B`@3-/��� « \ �Y#Z� ;Y'P�U7�@3@�������;PB -/��'�Gh����0N'(���=�*02��-3��B`02����6�-/��B`02�r���;(��l�� �A;(����;(��'(���D0=02��-3'i� ���V�O7�'i02�¡7�6�6Ð0(� 0(���S� |s ��WD:O780(-/� �»7 ����-/'(�V7���6576O7��!��-/��B`02��;P�]����'(:�;P-/��BX02�O7�0p7�0Q7��TanB -3q����Ñ02-3�=��0(���i'(����4�0(;(:����8#I0(���i'(� @3:�02-3� ���#�02��-/'���W9:�7802-3� �`�=78024L����'&02���Y� ���YB�-3q ��� F a=0(���N'(� @3:�02-3� �U�8#�02���Y�D-3����0(-/4���WD:O7802-3� ����c78;!r���;P� ������;PB -/��' ��02��-3'E-/'�0(���X:�'(:O78@�'P02;(7802��B�a¯��#b-/������;�),� :�0(��;����|�O7���'P-/� �hG�0(���� @/7�;(B���Ï�������;PB -/��'E� ;��!� �!���T0L7S�8#�7n'P� @/:�0(-/� �A��#>02���V��)�s���WD:O7�02-/���¼-3'E7�4*02:O7�@3@3a¡7'(�=7�@/@.������;PB�a»��� ;Q�!� �=���T02:��U��<>�����¯'P�����¡#Z;(� �]0(���U��� -/�T0K��#&q9-3��<¾��#�0(���`$ |��D-/���*02-/4Q��WD:O7�02-/���hlt������;P��#Z� ;P��-30��=7�����'�'(����'(�K02�U:�'(�p0(���K'P�U78@/@�������;(B8a F ���O7cq9-/��:�;��#Á7%'(� @3:�02-3� �!��#�$�9�?0(�p6��*02��;P�=-3����02������;P� ����;P0(-/��'M��#Á7%��� -3'(�>02��;(�¾780I'(�=7�@/@O'P4c7�@3�#Z� ;�02���p��|s¼��WD:O780(-/� �hl����-/'U-/'U6�� ��� F a"7�6�6�-/��B 02�R0(���Ñ��|sÄ��WD:O7802-3� �"7µ�%7�:�'P'(-Î78�5��� -3'(� ��ªZ��Ý ��­ 7���67S6O7��!��-3��BC0(��;(�Vl ������a¡-/�T02����6R02�S;(����;(��'P���T0i6�- ����;(���T0p���Ta|'P-/4�7�@&��;P�|4���'P'(��'�l.�����6O7��!��-/��B�02��;P� ��786�6���6¼02�n02���V;P-/B �T0i�O78��6Ð'P-/6��X��#Y��|sM�p��:�'P0 F �X��#b0(���[#Z� ;(�® Ö Ç � ¶ ×iª �ÁÝ(�P­ G9<>-_02���K;(�c78@���� '(-_02-_q ��lDm¦0I;(����;(��'(���T0('�02���b@/� 'P'I��#h�O7�;P0(-/4�@/��'�-3�=02����@/����B<�7cq��Q6�� �U78-/� F a`4�� @/@3-/'P-/� ��'�<>-30(�[�O7�;102-/4�@/��'&-/�`0(���Y02����;(�=7�@ F 780(�hl�m¦#Á02��-3'�6O7��!��-3��B02��;(� <I��;P�`7�@3� ����G�02���i6�����'(-_0,aÑ��#&0(���i4�� ��6����T0L780(�=<I� :�@36 6���4c7ca¡780N0(���=4�� ��'10L7��T0;2780(���Ol&m,�?02���n�D-/����02-34n��-/4*02:�;P��02��-3'U0L78����'V-/�T0(�µ7�4�4�� :��T0C7�@/@b@/� 'P'`02��;P�='[�8#Q0(�����WD:O780(-/� ��#Z��; � X l�������;P��#Z� ;P���[�O78'%7[<I��@3@�6��*^O����6¡������;(��'P'(-3� �¡B�-3q ��� F a�02���i$ |���WD:O780(-/� ��l Õ ��4��i02��-3'Q-3'%6�� ���8GÁ0(���!��02����;%��-/��4��!��#&0(���=��:�r�r�@/��GÁ�O78�=��@3aS0(���!��� -/'P�02��;(�VG�-3'b��7�'PaV02�U^���6hl�m¦0Y-/'�7[�%7�:�'('P-Î7��C��� -3'(�p-3�C0(-/�!� F ��4�7�:�'(�p-30b;(����;(��'P���T02'Y0(���7�6�6�-_02-3� �p��#t;(7���6���� <&7cq ��'.0(��02���&4�� ��6�����'(7802�8l �t:�;P02����;(�!� ;P�I<I���*�|����4�0.0(��-/'���� -/'P�02��;(� 02�`��7�q������=4�� ;P;(��@/7802-3� �V-/�C0(-/�!��Gt'(-3��4��K-30b4�� ��4���;P��'�<&7cq ��'Y<>-_02�V#Z;(��WD:�����4�-3��'��:�4L�R@/7�;(B���;N02�O78�A<>�O780p-/'Q6���'P4�;(- F ��6 F a¯��|s l��V� ;(���q���;�-_0Q'(��� :�@/6R�O7cq��`'(�O784��4�� ;P;(��@Î780(-/� ��'�^�0(02��6V0(�!a9-3��@/6 F 784L�X0(��� � b� � Ø Æ � b ¥ '(����4*02;(:��o-3�[02���N<&7�q����D:�� F ��;'(�O784���l�����-/'Y4�� ��4���;(��'N0(����'(��� ;P0N<&7cq �i�O7�;10N��#�02���!��|s?��WD:O780(-/� ��#Z��;b<>��-34L�Ñ0(������ ��@3-/����7�;K0(��;P�e-/'�����B @3-/B - F @/�8l ������;(�*#Z� ;(�X-_0E-/'�����@3aR7��U780P02��;E��# .0,'3 9�)+= 7�@3B � F ;(702�!^O��6S0(���p������@/-/4�-30>#Z� ;P� ��#�02���p4���;(;(��@Î780(-/� ��'��8#.02���Q��� -3'(�K0(��;P� 0(�O780�a9-/��@36 F 784L�02���Q��;P��'(4�;(- F ��6 � b� � Ø Æ � b ¥ -3�V0(���K<&7cq �K�9:�� F ��;b'P�O7�4��K#Z� ;>'(��@/:�0(-/� �V��#�0(���p� |s��WD:O780(-/� ��l ÒA�>;(�*#Z��;�02���>-3�D0(��;P��'P0(��6=;(�c786���;�02�K7N4�� �!-/��B%��: F @/-34c780(-/� �E� �i02��-/'�02����-/48l� �K����� �� ���� � � � �������ÒA�Q4�����4�@3:�6��%<>-302�C7 F ;(-/�*#�6�-3'(4�:�'('P-/� �C��#�'P� �=�%��#�02���Q�U78�Da`W9:���'P0(-/� ��'b<>��-34L�S;(��)�U78-/�Ñ02� F �`78��'P<I��;P��6 F ��#Z� ;P�`7V#Z:�@/@.:���6���;('10L7���6�-/��BS��#�02���U4���������4*02-3� � F ��0,<I������D-/���*02-/4�0(������;PaÑ7���6¡$&+I� -/'N� F 0L7�-3����6hl ��-/;P'P02@_a G F ��0(�n02���!$M),� ��WD:O780(-/� �Ð�1u��Y7���602���E�Y),s?�D-3����0(-/4p��WD:O7802-3� �µ�Zx�u�b78;(�p-3��'(���=��'P����'P�E�=��7��S^O��@/6�;P��'P:�@30('�lh$I��02�Ñ7�;P�

w �

Page 26: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

� F 027�-/����6 F aE0(;(:���4�7802-3��BQ7��U���|�O7���'P-/� �=780M@/��<I��'P0I��� �T0(;(-3q9-/7�@�� ;P6���;M7���6=����B�@/��4*02-3��B02���E��-/B ����;N� ;(6���;�0(��;(�!'Y<>��-34L�¡6���'(4�;(- F � �O:�4*02:O7�02-/����'%7�;(-3'(-3��BU#Z;(������-3B ����;N� ;(6���;��� ��@3-/����7�;N-/�T0(��;2784�02-3� ��'�lhm¦0Q-/'%����0Q4�@3�c7�;Q7[��;P-/� ;P-�02�O780N0(����'P� �O:�4�02:�7802-3� ��'%4c7��¡7�@¿)<�7ca9' F �i����B @/��4�02��6hlÁm,��6�����6A-_0N-/'%��-3B ��@_aS@3-/����@3aR��'P���i#Z� ;N�*��7��!��@/��0(���=7�;(B :��=���D0('-/�Ñy¿u��~Î�I02�O7�0�02���N��-3B ����;�� ;(6���;�02��;(�!'�6�� F ��4�� �!�N;(��@/�*q�78�D0�7�0�q ��;1a[@/��< �=���=���D0277���6¯78;(�`��������4*02��6µ0(���!�|6�-_#Ãa�02������)��Ð'P����4�02;P:�� -3�A'P� �=�!<�7ca�l����C#Z:�;P0(����;�:��|)6���;P'P027���6`02����'(��-/'('P:���'I-/'I7Kq ��;Pa=4L�O7�@3@/����B -/��BQ��;P� F @/��� <>��-/4L�U-/'M����0�:���-/WD:���02�K0(����O7�;102-/4�:�@Î78;M���Da9'P-/4c78@�'(-_02:O7�02-/���U:���6���;�4�� ��'(-36���;(7802-3� �U����;(�8l�m¦0>78;(-/'P��'I-/�U�=7��Ta=7�;(��7�'��#���WD:�-/@3- F ;P-/:���7���6 ��� �|)¦��WD:�-3@/- F ;(-/:���'10L780(-/'P0(-/4�7�@��!��4L�O7���-/4�'%<>����;(�!�=��7�� ^���@/6¡7��-/4*02:�;P�%;(��WD:�-3;(��'��!�96�-3^O4�7802-3� �U0(�=784�4���:��T0�#Z��; �O:�4�0(:O780(-/� ��'�l% 'P��4�����6¯-/'P'(:��=;(��@/7802��'K0(�C02���`'(4�7�@/-3��B F ����7�q9-3� :�;p�8#�02���=��;(��) � 'P� @/:�0(-/� � ��#�0(����D-/���*02-/4`0(������;Pa l.�|-/��4��[02���['P4c7�@3-/��Bn� F '(��;1q ��6»-/'E��� �|)¦0(;(-_q|-/7�@M-/�R02���V'P����'P�V0(�O780i-_04�� ;P;(��'(��� ��6�'K����-_02����;%0(�C0(��� ��)��µ'P4c7�@3-/��BX��� ;%02�X02���=��W9:�-/@/- F ;(-3:�� ������GÁ-30%�=7��8��''(����'(��02�%<&� ��6���;�<>����0(����;M02����;(��-/'�'(���=�>���Ta9'(-34c7�@ F 7�'P-/'.#Z� ;.02����'P4c7�@3-/��B%������� �����T0cG« Ô Ø � � ��m¦0Y-3'���� '('P- F @3�K02��780�0(��-/'b�*�|���������T0N-3'�����0(��-/��B`�=��;(�%02�O7���0(���p'P� @/:|02-/���S��#02���=��� ��@3-/����7�;%��-3B ���Tq87�@/:��!��;(� F @3��� ��ÀTw �%7���6A4�� �T0L7�-3��'p����02��-3��BV6���������;�l �t;P� � 7���Ta9'(-/4�7�@�����;('P����4�0(-3q �Q����<I��q ��;�G�-30�<I� :�@36 F �%��-34��Y02�i�O7cq��p7E�!� ;(�N;(7802-3� �O7�@��*�|��@/7�)�O780(-/� �`#Z� ;�0(���Nq87�@/:��N�8#�0(���%�*�|���������T0clÒA��<I� :�@36 7�@/'P�`@/-3���p0(�V:���6���;P'P027���6 �=� ;P��4�@3�c7�;P@3aX<>�O780%��7���������'N02�`0(��-/'N'1a9'P02���78#Ã02��;�02����'(-/��B :�@Î78;(-30,a%0(-/�!��G �� l Õ �E02����� �����O7���6hG�02����6���;(-_q87802-3� ����#�7Y�!�|6�-_^O��6E�D-¿)����0(-/4�02����� ;Pa!<>��-/4L�=0L7��8��'�-3�D0(�E7�4�4�� :��T0I02���Y��� 'P'(- F -/@/-_0,aE��#Á7K:���-3#Z��;(�Â4�����6�����'2780(��G �������� � GÁ�!-/B �T0%'(����6¯'(���=�!@/-3B �T0%� �¡0(��-/'�l �����U-/��4�@/:�'(-/��� �8#>7C�����|),r���;(�C�=��7��'(����:�@/6 F �V��� 'P'(- F @/�`-3�µ0(���V7�����;P�T7�4L�µ��#b'(��4�02-3� �»wÑ78@302��� :�B �¯-_0�<>-/@3@&;(��'(:�@_0i-/�¼7'(-3B ��-3^�4c7��T0 �P:��!�C-3�V7�@/B � F ;278-/4N4����=��@3�*�|-30,aU��#.7i��;P� F @/���k<>��-34L��7�@3;(��7�6�a[4�� �T0L7�-3��'7p@/�80&��#�0(��;P�='�l������Y;P��'P:�@30(-/��BK��WD:O780(-/� ��'&��;(��'(:��=7 F @_a!<I� :�@36`;(��'(��� F @/�b02��� 'P�Y'(:�B8)B ��'102��6�-/�Uy_ucx�~�78��6p'102:�6�-3��6K�9:��=��;(-/4�7�@/@_aN-/�%02���&��;P��'(���T0�7�;P0(-/4�@/��l Õ �Q02���I��02����; �O7���6'(:�4L�S7p02����� ;PaU<&� :�@/6 F �NB���0(0(-/��BE;(7802����;�#�7�;>7c<&7�aU#Z;(� �Ä02���%;(��7�@h���Ta9'(-34c7�@�'1a9'P02���<&� F ��B :�� <>-302�¡7���6¡��q����A#Z:�;102����;Q#Z;P� � 0(���U��������;P-/�!���T0L78@.'(-30(:O780(-/� �hl�m¦0p-3'Q4�@/��7�;02�O7�0�-/�U7p;(��7�@����Ta|'P-/4�7�@�'1a|'102���k<I�Y4c7�������0�B�;(��<?-/��^���-30(�b4�� ;(;P��@Î7�02-/����'.<>-302��-/�`7Q^�)��-30(��0(-/�!�>7�'I0(����'(-/��B :�@Î78;M'P� @/:|02-/���!�8#�'(��4�02-3� �UxK'(:�B�B ��'102'�l�O:�;P0(����;P�=��;(��;(�c78@�$&+I��*�|����;(-3�=���T02'b7�;(�%q ��;PaV'(�O7�02-Î78@/@3a=-/����� �!� B ������� :�'�lts.;(� F 7 F @3aX�!� ;(�%-3�D0(��;P��'P0(-/��B!-/�9)'(-3B �T02'N4���:�@/6 F ��#Z� :���6 F aS0(;Pa9-/��B`02�[:���6���;('10L7���6¡����< '(�O7�02-Î78@�4���;(;(��@Î780(-/� ��'YB ;(��<7���6 ����< 02���=-3����� �!� B ������-_0,aS��#I02���i02;(7��Ñ-/� ��:�����4���'Q02���i���Ta9'(-34�'p�8#&02���!-3�Tq ��;P'(�4c7�'P4c7�6��p��������� �!�������S6���'(4�;P- F ��6C����;P��l�$&��02�X02����'(�K-/'P'(:���'�7�;P�K'P� �!��<>�O780b� :�0('(-36����# 02���%;(���=-_0���#�'P027���6O7�;P6C�D-3����0(-/4Y02����� ;P-/��'�l������D���|� � �%�� ��� �³ �e³�}�_�d�^�k�k¢:�GÕ�_³ �n³vÚ��_�M�_�^�yÕ��³ �n³ �D���M�M�_�^�¸�yÕ_Í�³ Ú¸³v´Ê�p�^­?���GÕ����_�*Ú¸³��e³�Í1¢:�M�_�^�l�Q³

`²i^R\T^�Bi�T^Õ ��� �� �� ���Õ �� � ���³� �����°³�_³4¾1�^�d�_�^¤"���_���¡³ Í�³4À}�^�1�^�l�Q³ �����_�d¢:­ �x�c¶¥�*�^�p¢P�M d�k�c�y³Ë`BOa]�U��1Rî����rKrBf����ÏIPOSW��bÕ

w�
Page 27: Kinetic Theory and Bose-Einstein Condensation Colm Connaughton

��dè �sê � �� sÈ ����Õ �� ����³� ��� F³ Àe³d¾x¢P�k�P³�� � V�WKX�Y��pÕ �� � ��� ��Õ �� � �_³� � � ½�³qÍx���M�p�^­?���G³ �¸icOQI �ÏI¥OSW��pÕ ����� �PÕ �� �����³� ��� Í�³qÍ1¢:�d�q�� dªP���k¢:�D���_� F³ �e³dÀ���¿s���k�^�d¨¥¢d³£d�k�^£d�M�l����������l¶ � £d��¤v�M�p�c�������� � � � �_Õ ��������³� ��� Í�³_Í1¢:�d�q�� dªP���k¢:�GÕ �¡³ Í�³�À��^���^�l�QÕ_���_��í'³v»8¢:­��y�� G³#À}¢:��«¼�k�����M�p¢:�q���M¤*�M£²�c�^�M���e¢�¯4�p¢v�y���

�x�c¶¥�n�M d�M¦d d�p�^�_�c�P³1V�WKX�YuRaikI��nÕ ��� �qè �u« ��ê � � ��È ����Õ ��������³� � ���x³ �����Ô¯\¢y¶¥¢dÕ F³sº��p¢:�MªP�l�d�QÕ �³ »8³s»��l���:�c�k¶�¨v�l�QÕs���_� F³ ��M�M�l�dªK���M�Q³K½x�_�c¢:�M¤�¢�¯d¾x¢P�k�u«¼Ú��l�_�M�k�^�l�

�c¢:�_�d�^�_�Z���M�p¢:���l���M����£d£²�c��ªK�:�k�c�y³6{¸T�� � �ÏLyU�TuNZ�ËV�W�X�Y��pÕ�� � � � ����Õ �� � � �³� ��� Ç'³ ¾�³ ���c¶v�p�yÕ �³ «�� �±�^�1�c�yÕ �§³ �¡³ �}�_���k�^�¸�yÕ²À¡³�_³B¶P��� ���M d�k�^�GÕ �°³ F³ �� d��¯\�c�PÕ �°³ �³

Ç� d�M�GÕB���_�/´ ³_Ç��^�M�k�^�M�p�P³1V�WKX�Y � {¸T�� �GH4TcO\O �pÕ�� � � �� �� �Õ �� � ���³� �� F³ ��¤K�:�k�_�^�d¨¥¢dÕ �e³ Í�³�À��^���^�l�QÕ �e³?» _�M�d¨:���k�^¶²Õ����_���e³ Ú¸³�ɲ��¨v�q���k¢y¶²³ �}£d�M�p�y���

�M d�M¦d d�p�^�_�c� �&´��y��¨ �M d�M¦d d�p�^�_�c�PÕ°�c¢:�_�d�^�_�����k�c�©���_�¹�c¢:�l�b��£_�k�l�dªÖÅ_�b��­��^�K�k�Â�l�¹�M�_�À�¢:�d�l�l�_�y���� v���d�k¢����l�dª¥�^���c¬K q���M�p¢:�G³�V1WKX�YZR\ikI��&Õ ��� � �sÈ � ����Õ��� � ��³

� ����� � Ú��l�_�M�k�^�l�G³¸`qRSO���JkTuN�� ×��:f��4V1NMT^]KYZY � � ��IKU�"!/RîY�Y �bÕv£q��ª¥��� �PÕ �� � �_³� � ���²º'³ Ú¸³#�B���l¨¥¢y¶v�p�k�¹���_� �e³ �e³� ��q��¯\���k�^�d¨¥¢d³ÁÀ�¢:��«¼�M�����M�p¢:�q���M¤ �1�y¶¥�©�M d�M¦d d�p�^�_�c�P³%$ �

mnL:�_f Rî�²TMI:N�`Fi^R �bÕ � � ��� �sÈ������Õ �� � �P³� � ���BÚ|³ »,³Bº��k¢P�k�y³6m�]dL���L z RSo?Tu�qOQLPÕ��� � ��� �_Õ �� � �P³� � ���²Í�³ K¢P�k�k�^�����_� ³�Í1¢:­'­¡ d�d�p�y���M�p¢:�Ï�l���M�d�p�¸¶¥¢:�l d­��¡���_�/�M�_���k�u¯\�^�k�^�_�c�c�¸�M�_�^�k�^�l�G³� � � � �¡³ �4�:�y��¿y�PÕn»8³ �,���l�p�^­?���_� Õ&í'³�»,¢:­��y�� GÕ°���_� F³ �|�p�y��³ ��¤v�q��­'�p�y����¯\¢:�M­?���M�p¢:�

¢�¯Ë�E¾x¢P�k�u«¼Ú�l�_�M�k�^�l� �c¢:�_�d�^�_�Z���k�P³ V�WKX�YZR\ikI&�&Õ � � ��« � ��� �'��� sÈ(� ���Õ ����� �P³ ½x�d�p��k�u¯\�^�k�^�_�c�x�M�_¢y�¸�#�l�°£q���M�M�p�^ d�b�����_¢s�·���c¢:�_�d�^�_�����k�x�y���°¦²�1�^�k�y���k�c�¡¯a�k¢:­!�|�c¢:���M�l�K _¢: _�­�¢:­��^���M d­Á���p�M�M�M�l¦d d�M�p¢:�GÕ4¶v�b�Ë��Å_�d�l�k���M�l­��*�M�l�dªP d�b���°�k¢:�l d�M�p¢:�§¢�¯¸�M�_��¾1¢:�l�M¿c­?���d��«À�¢:�k���_�^�l­ ¨v�l�_�^�M�p�&�c¬� q���M�p¢:�G³

� � ��� �e³ Í�³qÀ��^���^�l�QÕ F³FÀ���¿s���k�^�d¨¥¢dÕ²���_� �6³B¾1�l¶¥�^�G³¸´"�y¶¥�n�M d�M¦d d�p�^�_�c�'���_�±�l�K�k�^�M­'�l�M�k�^�_�^¤¥³V1WKX�YZR\ikI)�nÕ � � ��« � ��� � � ���sÈ ������Õ ����� �P³

� � ��� �6³ ´ ³dÀ�¢:�k���_�^�l­�³1V1NMLyi �4{ �4`FLyi �4HGL:�BUKL:� �&Õ � �� � ���� �Õ �� ����³� ��� �²Í�³�q³y»,�^�M�d�p��¨n���_� �e³ �­'�l�M�G³ *|L�YyT�+ahxRî�dY^O¼TuRS� z L:�BUKTu�_Y^IPOaR\L:�eRî�,��RSf ]vO¼T�-¸I�YyTZYu³¥Í�³/.e³ »,³lÕ

Íx��­¡¦d�M�p��ª¥�PÕ ����� ��³� ����� �6³ »,³_»�l���:�^¶v�M¨v�l�Q³x`FL�� � V�WKX�Y �0$:h,1 VxÕ � � � ��� �PÕ �� � �P³� �� ��_í'³6»8¢:­��y�� G³ �G¢:�dª©�k�^�M­ È©�p¢:�dª©�����dª¥�D��¤v�q��­'�p�c�*¢�¯°�"�^�b�:�k�k�p�y���|Åq�^�p� ³!V�WKX�YuRaikI

`²i^NZR rFOQIPÕd½1« ��� � � � �PÕ �� � ��³� �������°³ Ú¸³qɲ��¨v�q���k¢y¶²³j`FL�� � V�WKX�Y �0$:h,1 VxÕ � � � ������Õ �� ���v³� � �����°³ Ú¸³qɲ��¨v�q���k¢y¶²³j`FL�� � V�WKX�Y �0$:h,1 VxÕ ��� � �����Õ �� �� ��³� � �����°³ Ú¸³±É²��¨v�q���k¢y¶²Õ2�e³ F³ � ¶¥¢y¶²Õ±���_� º°³ Ú¸³3�B���l¨¥¢y¶v�p�k�G³ ×eL:f o�L4�¥L:NML�� `PrdTMiyOaN�I�L65

1_]vNcJu]vfpTu�Bi�T^³� �£d�M�l�dª¥�^��«7��^�M�b��ª_ÕB¾x�^�M�l�l�GÕ �� � ��³

w �