kniga numerichki metodi

Voved 1

NUMERI^KI METODI

1. VOVED

Va`nost na numeri~kite metodi vo inènerstvoto Pove}eto problemi vo inènerskata analiza vklu~uvaat, (1) razvivawe matemati~ki model koj }e gi pretstavuva site va`ni karakteristiki na fizi~kiot sistem; (2) izveduvawe na ravenkite koi go opi{uvaat odnesuvaweto na modelot, so primena na fizi~kite zakoni kako {to se ravenkite za ramnoteà, Wutnovite zakoni za dvièweto, zakonite za odrùvawe na masata i energijata; (3) re{avawe na ravenkite na problemot; (4) interpretacija na re{enieto. Vo zavisnost od sistemot {to se analizira i od koristeniot matemati~ki model, ravenkite na problemot moè da bidat pretstaveni vo vid na sistem od linearni ili nelinearni algebarski ravenki, set od transcendentni ravenki, sistem od obi~ni ili parcijalni diferencijalni ravenki, sistem od homogeni ravenki so koi se opi{uva problemot na sopstveni vrednosti, ili ravenki koi vklu~uvaat integrali ili izvodi. Ako re{enieto moè da se pretstavi so matemati~ki izraz vo zatvorena forma, toa se narekuva analiti~ko re{enie. Analiti~ko re{enie e to~no re{enie, koe moè da se koristi za da se analizira odnesuvaweto na sistemot so promenlivi parametri. Nie moème ili ne moème da najdeme analiti~ko re{enie na ravenkite na problemot. Za àl, mnogu malku od prakti~nite sistemi imaat analiti~ko re{enie. Vo tie slu~ai se primenuvaat numeri~ki metodi. Numeri~kite re{enija ne moè da se pretstavat so matemati~ki izraz. Tie moè da se opredelat so soodveten tip iterativna presmetuva~ka postapka. Bidej}i numeri~kite metodi vklu~uvaat golem broj aritmeti~ki presmetuvawa, nivnata upotreba i popularnost se zgolemuva so razvitokot i dostapnosta na mo}nite i ne tolku skapi kompjuteri. Numeri~kite metodi moè da se koristat za nao|awe re{enija, duri, i na kompleksni inènerski problemi. Dodeka analiti~kite re{enija voobi~aeno baraat pove}e uprosteni pretpostavki za fizi~kiot sistem, za numeri~kite re{enija, tie ne se potrebni. Iako ovie metodi ne obezbeduvaat direkten prikaz na odnesuvaweto na simplificiraniot fizi~ki sistem, tie moè da se koristat za analiza na odnesuvaweto na realnite fizi~ki sistemi. Vo su{tina, numeri~kata analiza pretstavuva most pome|u aproksimativnite matemati~ki teorii i neposrednata primena na matematikata. Vo numeri~kite metodi, re{enieto na eden problem

2 Voved

NUMERI^KI METODI

koj e zadaden preku kone~ni brojni vrednosti se dobiva, isto taka, vo kone~ni brojni vrednosti, a ne vo op{ti vrednosti, kako {to e voobi~aeno vo klasi~nite metodi. Razvojot i primenata na ovie metodi se povrzani so potrebata od re{avawe sloèni problemi za koi re{enieto ne moè da se dobie eksplicitno. Toa se glavno dvodimenzionalnite i trodimenzionalnite problemi. Vo ponovo vreme, so pojavata i razvitokot na kompjuterite, numeri~kite metodi se primenuvaat i kaj poednostavnite, ednodimenzionalni problemi. Primena na numeri~kite metodi Primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite e dosta {iroka vo site oblasti od inènerstvoto: grade`ni{tvoто, arhitekturata, еlektrotehnikata, brodogradbata, vo avioindustrijata. Mnogu zna~aen pridones vo razvojot na ovie metodi imaat dadeno tokmu grade`nite inèneri. Vo grade`ni{tvoto, primenata na ovie metodi e pri proektiraweto na inènerskite objekti: brani, mostovi, soobra}ajnici, zgradi i dr. Na primer, za proektirawe na brani se primenuva metodot na kone~ni elementi, pri {to konstrukcijata na branata moè da se tretira ramninski, zaedno so podlogata i so okolnata karpesta masa. Vo dene{no vreme, so koristeweto na mo}ni kompjuteri, analizita se vr{i na prostoren model. Sli~no e i pri proektiraweto na tunelite, kade {to se zema vo predvid i vlijanieto na celata okolna sredina. Vo ponovo vreme sé pove}e se gradat mostovi so golemi rasponi i so sloèn napre~en i nadolèn presek i za nivno proektirawe e neizbe`na primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite. Osobeno e va`na primenata na kompjuterskite metodi pri proektiraweto na soobra}ajnicite so site nivni pridru`ni objekti, koi pretstavuvaat inènerski dela vo koi se vloùvaat golemi finasiski sredstva. Pritoa, izborot na najpovolnata varijanta i ekonomi~noto proektirawe e od golema va`nost. Vo objektite od visokogradbata, primenata na kompjuterite i kaj nas pretstavuva standarden na~in na analiza i proektirawe. Goleminata na objektite, odnosno brojot na ravenkite {to treba da se re{avaat pri nivnata analiza, ne pretstavuva problem nitu ograni~uvawe. Nivnata analiza za kakvi i da bilo vlijanija, kako {to se na primer zemjotresite, so primena na kompjuterite, pretstavuva ednostavna i sekojdnevna rabota. So voveduvaweто na grafikata i на grafi~kite stanici vo kompjuterskata tehnika, se otvoraat {iroki mo`nosti za proektirawe na sekakvi inènerski i arhitektonski objekti. Celoto proektirawe i grafi~koto pretstavuvawe moè da se odvivaat so kompjuterska tehnika, bazirana na numeri~ki metodi i kompjuterski programi.

Voved 3

NUMERI^KI METODI

Zo{to gi izu~uvame numeri~kite metodi?

Numeri~kite metodi se ekstremno mo}ni alatki za re{avawe na razli~ni problemi. Tie se vo sostojba da se spravat so:

golemi sistemi ravenki, nelinearnosti, komplicirani geometrii, problemi koi e nevozmo`no da se re{at analiti~ki a ne se

retki vo inènerskata praktika. Kako takvi, numeri~kite metodi zna~itelno gi zajaknuvaat na{ite sposobnosti za re{avawe na problemite. Vo inènerskata praktika, ~esto se koristat dostapni komercijalni paketi, t.n. “zatvoreni kutii”, kompjuterski programi vo koi se vgradeni postapki bazirani na numeri~kite metodi. Inteligentnoto koristewe na ovie programi e bazirano vrz poznavaweto na bazi~nata teorija {to stoi zad numeri~kite metodi. Mnogu problemi ne moàt da se re{at so koristewe na vakvi gotovi programi, no ako gi poznavate i gi koristite numeri~kite metodi i ako ste ve{ti vo kompjuterskoto programirawe, }e bidete vo sostojba da izrabotite va{i sopstveni programi za re{avawe na nekoi problemi. Numeri~kite metodi se efikasni sredstva da nau~ite kako da gi koristite kompjuterite. Efekten na~in da nau~ite programirawe e da napravite (napi{ete) programa. Poradi toa {to numeri~kite metodi vo najgolem broj slu~ai se razvieni za primena na kompjuter, tie se idealni za taa cel. Osobeno se sposobni da gi ilustriraat mo}nosta i ograni~uvawata na kompjuterite. Koga uspe{no }e ja implementirate numeri~kata metoda na komjuter a potoa }e ja primenite i za re{avawe na drug nere{en problem, vo isto vreme, }e nau~ite da gi prepoznaete i da gi kontrolirate gre{kite pri aproksimaciite, koi se del od golemiot broj numeri~ki operacii. Numeri~kite metodi obezbeduvaat sredstva {to }e vi pomognat da go podobrite va{eto razbirawe na matematikata. Vo niv kompliciranite matemati~ki operacii se reducirani na osnovni matemati~ki operacii. Numeri~ka analiza e granka od primenetata matematka koja gi izu~uva metodite i algoritmite za opredeluvawe na aproksimativni (numeri~ki) re{enija na razli~ni matemati~ki problemi so koristewe na kone~na serija od aritmeti~ki i logi~ki operacii. Najgolem broj re{enija na numeri~kite problemi se bazirani vrz teorijata na linearnata algebra. Dobar numeri~ki metod gi poseduva slednive tri karakteristiki: • to~nost - numeri~kata aproksimacija treba da bide {to e mo`no

poto~na,

4 Voved

NUMERI^KI METODI

• robustnost - algoritamot treba dobro da re{ava mnogu problemi, • konvergentnost - re{enieto da se pribliùva kon to~noto

re{enie, • stabilnost- mala promena vo re{enieto pri mala promena na

podatocite, • brzina - kolku {to presmetuvaweto e pobrzo tolku e podobar

metodot. êsto se slu~uva eden metod da bide pobrz dodeka drug e poto~en. Toa zna~i deka nitu eden metod ne e univerzalen i najdobar za site slu~ai. Uslovenost i stabilnost, doverba vo podatocite i gre{ki Dobro usloven matemati~ki problem e onoj pri koj re{enieto se menuva nezna~itelno pri mala promena na podatocite na problemot. Analogno na toa, za numeri~kiot algoritam postoi konceptot na numeri~ka stabilnost. Algoritamot za re{avawe na dobrousloven problem e numeri~ki stabilen, ako re{enieto se menuva za mala vrednost koga podatocite se menuvaat za mala vrednost. Toa zna~i deka gre{kite napraveni vo po~etokot, ponatamu, nema nekontrolirano da rastat i da se natrupuvaat. Vaèn del od numeri~kata analiza e i analizata na generiraweto i propagiraweto na gre{kite od zaokruùvawe pri presmetuvaweto. Vadeweto na dva pribli`no isti broja e lo{o uslovena operacija koja producira katastrofalni gre{ki. Doverba vo vleznite podatoci Koga nekoj podatok se koristi vo presmetuvaweto, mora da sme

sigurni deka toj moè da se upotrebi so doverba. Pri vizuelen pregled moè da procenime deka nekoja vrednost se

dviì vo odredeni granici (na pr. 58-59 km/h) ili pak }e kaème deka vrednosta iznesuva aproksimativno 59 km/h.

Zna~ajni cifri vo eden broj se onie koi moè da se koristat so doverba.

Brojot na zna~ajni cifri e ednakov na brojot na dadenite cifri plus edna proceneta cifra.

Na primer, sekoj od slednive broevi ima 3 zna~ajni cifri: 2,410; 2.41; 0.00241.

Zabunata moè da se izbegne pri koristewe na nau~na oznaka (scientific notation), na pr: 2.41h103 zna~i deka brojot ima tri zna~ajni cifri.

Sekoja matemati~ka operacija vo koja se koristi neprecizna cifra e neprecizna.

Voved 5

NUMERI^KI METODI

Tipovi gre[ki Kako gre{ka, pri procena ili pri opredeluvawe na nekoja vrednost od interes, moè da se definira otstapuvaweto od nejzinata nepoznata to~na vrednost. Gre{kite moè da se klasificiraat kako:

o nenumeri~ki gre{ki o numeri~ki gre{ki

Nenumeri~ki gre{ki moè da bidat:

gre{ki pri modeliraweto pome{uvaweto, pogre{en ~ekor neizvesnosti vo odnos na informaciite i podatocite.

Numeri~ki gre{ki se:

gre{ki od zaokruùvawe gre{ki od prekinuvawe na iterativniot proces gre{ki pri matemati~ki aproksimacii

Gre{ka ozna~ena so e moè da se definira kako:

e=xc-xt kade {to, xc e presmetana, a xt e to~na vrednost. Relativnata gre{ka se opredeluva kako:

er=(xc-xt)/xt= e/xt Relativnata gre{ka moè da se izrazi vo procenti:

%100x

xxet

tcr ⋅

−=

ili %100x

xxabset

tcr ⋅

−=

Merewa i gre[ki Primer 1. Dolìnata na eden most e merena i iznesuva 9999cm, a dolìnata na eden bolt e izmerena i iznesuva 9cm. Ako to~nite vrednosti se 10000cm i 10cm, soodvetno, da se presmeta apsolutnata gre{ka i apsolutnata vrednost na relativnata gre{ka vo %, za sekoj slu~aj.

a) Apsolutna gre{ka:

Most: cm1100009999xxe tc =−=−=

6 Voved

NUMERI^KI METODI

Bolt: cm1109xxe tc =−=−=

b) Apsolutna vrednost na relativnata gre{ka vo %:

Most: %01,010010000

100009999100x

xxet

tc =⋅−

=⋅−

=

Bolt: %1010010

109100x

xxet

tc =−

=−

=

Vo realni situacii, to~noto re{enie ne e poznato. Vo toj slu~aj, za da se presmeta gre{kata, se koristi najdobrata procena na re{enieto koe, isto taka, e presmetano.

tii xxe −= kade {to ei e gre{ka vo x, pri iteracijata i, a xi e presmetanata vrednost na x vo iteracijata i. Sli~no, gre{kata vo iteracijata i+1 e:

t1i1i xxe −= ++

Promenata vo gre{kata ie∆ mo`e da se presmeta kako:

i1itit1ii1ii xx)xx()xx(eee −=−−−=−=∆ +++

Iteracijata prodol`uva sé dodeka ie∆ ne stane pomalo od dadena tolerancija, vo koj slu~aj xi+1 }e bide dovolno blisku do xi. Analiti~ki vo sporedba so numeri~kite metodi Analiti~kite i numeri~kite pristapi se razlikuvaat spored algoritamot:

analiti~koto presmetuvawe se primenuva pri re{avawe na analiti~ki problemi

aritmetikata so kone~ni razliki e osnova za numeri~kite metodi.

Prednosti i nedostatoci na analiti~kite metodi :

analiti~kite tehniki obezbeduvaat direktno re{enie i rezultiraat vo egzaktno re{enie, ako takvo postoi;

Voved 7

NUMERI^KI METODI

analiti~kite metodi voobi~aeno baraat pomalku vreme za pronao|awe na re{enieto; procedurata na analiti~koto re{enie stanuva zna~itelno pokompleksna koga }e se vovedat ograni~uvawa na vrednostite na nepoznatite vo problemot.

Prednosti i nedostatoci na numeri~kite metodi :

numeri~kite tehniki moè da se primenat za funkcii koi imaat kompleksna struktura; za numeri~kite metodi e potreben golem broj iteracii za da se pribliàt kon to~noto re{enie; re{enieto voobi~aeno ne e to~no i potrebno e da se obezbedi po~etna procena na vrednostite na nepoznatite.

Primer 2. Da se opredeli minimumot na dadenata funkcija, analiti~ki i numeri~ki:

2x3xy 2 +−= Analiti~ko re[enie

03x2dxdy

=−= ⇒ 5.123x ==

spored toa, 25.02)5.1(3)5.1(y 2min −=+−=

Numeri~ko re[enie Eden na~in na numeri~ko re{enie e funkcijata da se tabelira vo intervalot na vrednostite na x, so konstanten inkrement ∆x, i na toj na~in da se opredeli vrednosta na x za koja y ima najmala vrednost. Na primer, ako e definiran intervalot od 1 do 2 i ako se odbere inkrement ∆x=0.2, narednata tabela i grafikot pokaùvaat deka minimalnata vrednost na y se nao|a vo podintervalot 1.4< x < 1.6.

x y=x2-3x+2 1 0

1.2 -0.16

1.4 -0.24 1.6 -0.24 1.8 -0.16 2 0

}

8 Voved

NUMERI^KI METODI

Za da se podobri to~nosta na re{enieto, moè da se prebaruva vo intervalot 1.4 < x < 1.6, a inkrementot da se namali na 0.02 i da se povtori postapkata.

x y=x2-3x+2 1.4 -0.24 1.42 -0.2436 1.44 -0.2464 1.46 -0.2484 1.48 -0.2496 1.5 -0.25 ymin 1.52 -0.2496 1.54 -0.2484 1.56 -0.2464 1.58 -0.2436 1.6 -0.24

Karakteristiki na numeri~kite metodi Numeri~kite metodi gi imaat slednive karakteristiki: 1. procedurata na presmetuvaweto e iterativna, to~nosta na

procenetoto re{enie se podobruva so sekoja iteracija, 2. procedurata na presmetuvaweto obezbeduva samo aproksimacija

na to~noto (egzaktno), no nepoznato re{enie, 3. moè da bide potrebna po~etna procena na re{enieto, 4. presmetuvaweto e ednostavno, a algoritmite na procedurata

moè lesno da se programiraat, 5. vo nekoi slu~ai re{enieto moè da divergira od to~noto

re{enie. Primer 3. Kvadraten koren Ovoj primer ilustrira kako, so koristewe numeri~ki metodi, da se opredeli kvadraten koren od eden proizvolen realen broj.

y)y(f =

Pri koristewe na kalkulator samo se vnesuva brojot y, a potoa se

pritiska kop~eto . Vo Excel, se koristi funkcijata SQRT. Numeri~ka postapka

Voved 9

NUMERI^KI METODI

Da pretpostavime po~etna vrednost xo za kvadratniot koren. Ovaa vrednost }e se razlikuva od to~nata vrednost na korenot za nekoe

x∆ . Ako go znaeme x∆ , toga{ moè da napi{eme:

yxxo =∆+

So kvadrirawe od dvete strani, dobivame:

y)xx( 2o =∆+ ili,

y)x(xx2x 2o

2o =∆+∆+

Ako pretpostavime deka 2)x(∆ e mnogu pomalo od x∆ , toj ~len moème da go zanemarime, pa imame:

yxx2x o2o =∆+

o

2o

x2xyx −

=∆

Ovaa vrednost moè da se dodade na xo za da se dobie novo podobreno re{enie x. Zna~i, novata procena na to~noto re{enie e dadena so:

xxx o1 ∆+=

ili vo op{ta forma:

ii1i xxx ∆+=+ i

2i

i x2xyx −

=∆

Za ilustracija, da pretpostavime: y=150, ?y = Po~etna procena, xo=12 Prva iteracija:

0o1 xxx ∆+=

25,012212150

x2xyx

2

0

20

0 =⋅−

=−

=∆

25,1225,012x1 =+=

Vtora iteracija:

112 xxx ∆+=

00255,025,12225,12150

x2xyx

2

1

21

1 −=⋅−

=−

=∆

24745,1200255,025,12x 2 =−=

10 Voved

NUMERI^KI METODI

Treta iteracija:

223 xxx ∆+=

62

2

22

2 28598,124745,12224745,12150

x2xyx −−=

⋅−

=−

=∆

24744871,1228598,124745,12x 63 =−= −

To~no re{enie: 24744871,12y = , zna~i so 7 cifri, dovolni se 3

iteracii za da se dojde do to~noto re{enie. Primer 4. Koren na polinom Primerot ilustrira kako da se pristapi kon re{avaweto, pri nao|awe na eden koren na polinom so primena na numeri~kiot metod:

08x6x3x 23 =+⋅−⋅− Delej}i gi dvete strani na ravenkata so x, dobivame:

0x86x3x 2 =+−⋅−

Koristej}i go ~lenot x2, re{avame po x:

x86x3x −+⋅=

Prethodnata ravenka mo`e da se re{ava iterativno:

i

i1i x86x3x −+⋅=+

Ako se pretpostavi po~etno re{enie xo=2, toga{:

828427,2286)2(3

x86x3x

o

o1 =−+⋅=−+⋅=

x1=2,828427, a vtorata iteracija dava:

414213,3828427,2

86828427,23x2 =−+⋅=

Po tretata iteracija dobivame:

728202,3414213,3

86414213,33x 3 =−+⋅=

Voved 11

NUMERI^KI METODI

Rezultatite od drugite iteracii (vkupno 20) se prikaàni vo narednata tabela Evidentno e deka re{enieto konvergira kon to~noto re{enie 4.0, po 20 -tata iteracija:

i xi aps. gre{ka i xi aps. gre{ka 0 2 2.000000000000 1 2.828427125 1.171572875254 11 3.999618138 0.00038186232 2 3.414213562 0.585786437627 12 3.999832929 0.00016707053 3 3.728202642 0.271797358430 13 3.999926906 0.00007309446 4 3.877989404 0.122010596101 14 3.999968021 0.00003197904 5 3.946016161 0.053983838780 15 3.999986009 0.00001399087 6 3.976265497 0.023734503479 16 3.999993879 0.00000612101 7 3.989593764 0.010406236009 17 3.999997322 0.00000267794 8 3.995442980 0.004557020499 18 3.999998828 0.00000117160 9 3.998005481 0.001994518577 19 3.999999487 0.00000051258 10 3.999127241 0.000872759280 20 3.999999776 0.00000022425

Primena na Taylor-ovi redovi vo numeri~kite presmetuvawa Karakteristiki na Taylor-ovite redovi • Razvivaweto na Tajlorovite redovi (Taylor series expansions) ima

golemo zna~ewe pri izu~uvaweto na numeri~kite metodi. • Vo osnova, so Tajlorovite redovi se predviduva vrednosta na

funkcijata vo nekoja to~ka vo zavisnost od vrednosta na funkcijata i izvodite na funkcijata vo druga bliska to~ka.

• Tajlorovite redovi voobi~aeno se koristat vo inènerskata analiza, za aproksimacija na funkcii koi nemaat zatvoreno re{enie.

• Za nekoja funkcija f(x) koja zavisi samo od edna nezavisno promenliva x, vrednosta na funkcijata vo to~kata x0+h moè da se aproksimira so Tajlorovi redovi.

• Tajlorovite redovi se izrazeni kako:

1n0)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 R)x(f!n

h.....)x(f!3

h)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f)x(f +++++++=+=

kade {to se: x0 - osnovna ili po~etna vrednost x - to~ka za koja se bara vrednosta na funkcijata h=x-x0 - rastojanija pome|u x0 i x, ili ~ekor n! - faktoriel od n; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……1 f(x0) - vrednost na funkcijata vo po~etnata to~ka f(n)(x0) - vrednost na n-tiot izvod na funkcijata vo po~etnata to~ka

12 Voved

NUMERI^KI METODI

Ekspanzijata na Tajlorovite redovi mo`e da se izrazi vo kompaktna forma kako:

)x(f!k

h)hx(f 0k

n

0k

k

0 ∑=+=

pritoa, 0! =1 po konvencija.

Gornata ravenka e bazirana na pretpostavkata deka postojat kontinuirani izvodi na funkcijata vo intervalot koj gi vklu~uva to~kite od x0 do x. Red na aproksimacijata

Redot na aproksimacijata e definiran so redot na najvisokiot izvod koj e vklu~en vo aproksimacijata na funkcijata.

• Aproksimacija od prv red (dva ~lena)

)x(hf)x(f)hx(f 0)1(

00 +=+

• Aproksimacija od vtor red (tri ~lena)

)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f 0)2(

2

0)1(

00 ++=+

• Aproksimacija od treti red (~etiri ~lena)

)x(f!3

h)x(f!2


3

0)2(

2

0)1(

00 +++=+

Primer 5. Da se poka`e razvivaweto na dadenata funkcija vo Tajlorov red:

f(x)= x5 - 3x3 + 8

x x

f(x)

h

x0

Voved 13

NUMERI^KI METODI

Po~etna vrednost x0=3. Da se razvijat serii za h=0.2; 0.4; 0.6 … do 4.0. Pritoa, da se zemat 2,3,4,5 i 6 ~lena od Tajlorovata formula. Rezultatite da se sporedat so to~nite re{enija za sekoj poseben slu~aj.

f(x0)=f(3)= 35 - 3*33 + 8 = 170 Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=3:

0)3(f0)x(f120)3(f120)x(f360)3(fx120)x(f522)3(f18x60)x(f486)3(fx18x20)x(f324)3(fx9x5)x(f

)6()6(

)5()5(

)4()4(

)3(2)3(

)2(3)2(

)1(24)1(

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=⇒−=

=⇒−=

=⇒−=

)x(f!6

h)x(f!5

h)x(f!4

h)x(f!3

h)x(f!2


6

0)5(

5

0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 ++++++=+

!5h120

!4h360

!3h522

!2h486h324170)hx(f)x(f

5432

0 +++++=+=

Vo narednata tabela se dadeni vrednostite na funkcijata f(x0+h), za razli~ni vrednosti na h, a so zemawe razli~en broj ~lenovi od formulata:

14 Voved

NUMERI^KI METODI

Ekspanzija na Tajlorovi serii za polinom od V red

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

3 4 5 6 7

2 ~lena

3 ~lena

4 ~lena

5 ~lena

6 ~lena

to~navredn

x h f(x0+h)

2 ~lena 3 ~lena 4 ~lena 5 ~lena 6 ~lena to~no

3.2 0.2 234.8 244.52 245.216 245.240 245.24032 245.240323.4 0.4 299.6 338.48 344.048 344.432 344.44224 344.442243.6 0.6 364.4 451.88 470.672 472.616 472.69376 472.693763.8 0.8 429.2 584.72 629.264 635.408 635.73568 635.735684 1 494 737 824.000 839.000 840.00000 840.00000

4.2 1.2 558.8 908.72 1059.056 1090.160 1092.64832 1092.648324.4 1.4 623.6 1099.88 1338.608 1396.232 1401.61024 1401.610244.6 1.6 688.4 1310.48 1666.832 1765.136 1775.62176 1775.621764.8 1.8 753.2 1540.52 2047.904 2205.368 2224.26368 2224.263685 2 818 1790 2486.000 2726.000 2758.00000 2758.00000

5.2 2.2 882.8 2058.92 2985.296 3336.680 3388.21632 3388.216325.4 2.4 947.6 2347.28 3549.968 4047.632 4127.25824 4127.258245.6 2.6 1012.4 2655.08 4184.192 4869.656 4988.46976 4988.469765.8 2.8 1077.2 2982.32 4892.144 5814.128 5986.23168 5986.231686 3 1142 3329 5678.000 6893.000 7136.00000 7136.00000

6.2 3.2 1206.8 3695.12 6545.936 8118.800 8454.34432 8454.344326.4 3.4 1271.6 4080.68 7500.128 9504.632 9958.98624 9958.986246.6 3.6 1336.4 4485.68 8544.752 11064.176 11668.83776 11668.837766.8 3.8 1401.2 4910.12 9683.984 12811.688 13604.03968 13604.039687 4 1466 5354 10922.000 14762.000 15786.00000 15786.00000

Voved 15

NUMERI^KI METODI

Slednive serii, mo`e da se koristat za procena na soodvetnite funkcii vo sekoja to~ka x, koristej}i ja po~etnata vrednost x0=0 i ~ekor h:

∑=++++=−

∑ −=−+−=

∑+

−=−+−=

∑=+++++=

∝

=

∝

=

∝

=

+

∝

=

0k

k32

0k

k2k

42

0k

1k2k

53

0k

kk32x

x....xxx1x1

1

)!k2(x)1(.......

!4x

!2x1)xcos(

)!1k2(x)1(.......

!5x

!3xx)xsin(

!kx

!kx.......

!3x

!2xx1e

Primer 6. Da se poka`e deka razvivaweto na eksponencijalnata funkcija ex, vo Tajlorov red e:

!kx.......

!3x

!2xx1e

k32x +++++=

koga x=x0=0 kako po~etna to~ka i h kako inkrement. Da se razvijat seriite za h=0.1; 0.2; 0.3,.... do 1.0. Da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~nata vrednost za sekoj poseben slu~aj.

100)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 R)x(f!n

h.....)x(f!3

h)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f +++++++=+

f(x)=ex

1ee)x(f

.......1ee)x(f

1ee)x(f

0x0

)n(

0x0

)2(

0x0

)1(

0

0

0

===

===

===

x0 = 0 ⇒ x = x0+h = 0+h = h Po definicija, h=x-x0 = x-0 = x ⇒ h=x f(0)=e0=1

Spored toa, !n

h....!2

hh1)h(f)x(fn2

++++==

ili !n

x....!2

xx1)h(f)x(fn2

++++==

16 Voved

NUMERI^KI METODI

x h f(x0+h)

1 ~len 2 ~lena 3 ~lena to~na vredn.

0.1 0.1 1.00000 1.1000 1.105 1.105171 0.2 0.2 1.00000 1.2000 1.220 1.221403 0.3 0.3 1.00000 1.3000 1.345 1.349859 0.4 0.4 1.00000 1.4000 1.480 1.491825 0.5 0.5 1.00000 1.5000 1.625 1.648721 0.6 0.6 1.00000 1.6000 1.780 1.822119 0.7 0.7 1.00000 1.7000 1.945 2.013753 0.8 0.8 1.00000 1.8000 2.120 2.225541 0.9 0.9 1.00000 1.9000 2.305 2.459603

1 1 1.00000 2.0000 2.500 2.718282 Primer 7 Prosta greda e natovarena so ramnomerno raspredelen tovar q. Uklonot na gredata, ili vertikalnoto pomestuvawe od dejstvoto na tovarot vo sekoja to~ka po dol`inata na gredata, mo`e da se presmeta spored izrazot:

)xLLx2x(EI24

qy 334 +−−=

Da se razvie vo Tajlorov red funkcijata y(x), so zemawe tri ~lena, ako e zadadeno: q=20 kN/m; L=8,0 m; E=3.16*107 kN/m2; I=0.0054 m4; x0=2.0 m; h=1.0; h=2; h=3; h=4; Da se tabeliraat, da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~noto re{enie.

)x(y!2

h)x('hy)x(y)hx(y 0''

2

000 ++=+

Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=2:

y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454

q

L x

Voved 17

NUMERI^KI METODI

y’(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017

y’’(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

2

+−−=+

h=1.0; y(2+h)=y(2+1)=y(3)=-0.004454 - 0.0017*1.0 + 0.0007*(1.0)2/2= -0.0058

h=2.0; y(2+h)=y(2+2)=y(4)=-0.004454 - 0.0017*2.0 + 0.0007*(2.0)2/2= -0.00645

h=3.0; y(2+h)=y(2+3)=y(5)=-0.004454 - 0.0017*3.0 + 0.0007*(3.0)2/2= -0.0064

h=4.0; y(2+h)=y(2+4)=y(6)=-0.004454 - 0.0017*4.0 + 0.0007*(4.0)2/2= -0.00565

x h y yto~no aps.

Gre{ka 2 0 -0.00445 -0.00445 0.00000 3 1 -0.0058 -0.00579 -0.00002 4 2 -0.00645 -0.00625 -0.00020 5 3 -0.0064 -0.00579 -0.00062 6 4 -0.00565 -0.00445 -0.00120

Sporedba na to~no i aproksimativno re{enie

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

00 2 4 6 8

Primer 8. Za prethodniot primer na prosta greda tovarena so tovar q, da se izvr{i aproksimacija od treti i ~etvrti red, na vrednosta na funkcijata na vertikalnoto pomestuvawe y, za x0=2m, so razvivawe na Tajlorovi redovi i so zemawe 4 i 5 ~lena od formulata. Re{enijata da se sporedat so to~noto re{enie dadeno so formulata:

yT

18 Voved

NUMERI^KI METODI

)xLLx2x(EI24

qy 334 +−−=

Tajlorov red so 5 ~lena:

)x(y!4

h)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y 0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 ++++=+

y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454

y’(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017

y’’(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007

y’’’(x0)=y''’(2)= -20*(24x-16*6)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.00023

yIV(x0)= yIV (2)= -20*(24)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.00012

Aproksimacija od treti red (4 ~lena od redot):

!6h00023.0

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y

32

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

++−−=+

+++=+

Aproksimacija od ~etvrti red (5 ~lena od redot):

24h00012.0

!6h00023.0

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

)x(y!4

h)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y

432

0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

−++−−=+

++++=+

x h y4 y5 yto~no aps. e4 aps. e5

2 0 -0.004454 -0.004454 -0.004454 0.000000 0.000000 3 1 -0.005782 -0.005787 -0.005787 -0.000005 0.000000 4 2 -0.006173 -0.006251 -0.006251 -0.000078 0.000000 5 3 -0.005392 -0.005787 -0.005787 -0.000395 0.000000 6 4 -0.003204 -0.004454 -0.004454 -0.001250 0.000000

q

L x

Voved 19

NUMERI^KI METODI

Aproksimacija od treti i ~etvrti red

-0.007000

-0.006000

-0.005000

-0.004000

-0.003000

-0.002000

-0.001000

0.0000000 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

y(m

) y4y5yto~no

Aproksimacija od vtori, treti i ~etvrti red

-0.007000

-0.006000

-0.005000

-0.004000

-0.003000

-0.002000

-0.001000

0.0000000 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

y(m

)

y4y5yto~noy3

Od grafikot se gleda deka aproksimacijata od IV red se poklopuva so to~noto re{enie a to go poka`uvaat i gre{kite vo poslednata kolona od prethodnata tabela.

20 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

2. INTERPOLACIJA Neka e dadena tabela na vrednostite na funcijata f(x) za argumenti x koi moàt da bidat na ednakvi ili na proizvolni rastojanija. Vo inènerskata praktika, pri problemite povrzani so eksperimentalni ispituvawa, vakviot tabelaren na~in na pretstavuvawe na podatocite e redovna pojava. êsto pati se bara da se opredeli vrednosta na funkcijata f(x) za argumentot x koj ne se nao|a vo tabelata ili, pak, da se opredeli vrednosta na argumentot za dadena vrednost na f(x). Vo slu~aite koga funkcijata f(x) e dadena so analiti~ki izraz (duri i koga e taa dosta ednostavna), kako i pri dadeni podatoci od eksperimentite, za re{avawe na gorespomenatata zada~a, naj~esto se koristat tabeliranite vrednosti. Toa zna~i deka niz tabeliranite vrednosti se provlekuva nekoja funkcija koja e ednostavna za presmetuvawe. Ako vrednosta na argumentot za koj se bara vrednosta na funkcijata e vo oblasta na tabeliranite argumenti, metodot se vika interpolacija, a ako e nadvor od taa oblast, toga{ se raboti za ekstrapolacija. Naj~esto se koristat dva tipa interpolacii, grafi~ka i polinomna. Grafi~ka interpolacija Pri upotrebata na ovoj metod, tabeliranite podatoci se crtaat na milimetarska hartija i niz niv se provlekuva kriva koja minuva niz site to~ki. Za opredelena vrednost na argumentot se ot~ituva soodvetnata vrednost na krivata koja ja pretstavuva baranata vrednost na funkcijata. Ovoj metod ima nedostatoci vo smisla na ograni~ena to~nost pri nanesuvaweto i ~itaweto na podatocite (obi~no 0,1 %), kako i pri povlekuvaweto na krivata niz tabeliranite vrednosti. Grafi~kiot metod e pogoden ako podatocite se dobieni od grafici, dodeka vo drugite slu~ai se koristi polinomnata interpolacija koja e mnogu pogodna pri koristeweto na kompjuterite. Polinomna interpolacija Ovde problemot moè da se podeli na dva dela: − nao|awe priblièn izraz na funkcijata f(x) koja e zadadena samo

so tablica od vrednosti

Interpolacija 21

NUMERI^KI METODI

− presmetuvawe na pribli`nata vrednost na funkcijata f(x) za baraniot argument koj ne se nao|a vo tabelata.

Najednostavna formulacija na prviot del od problemot e slednava: vo opredelen interval dadeni se n+1 to~ki, x0,x1,.....xn (koi se vikaat jazli na interpolacijata), kako i vrednostite na nekoja fukcija f(x) vo tie to~ki, taka {to:

f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn Treba da se opredeli funkcijata Φ(x) koja se sovpa|a so funkcijata f(x) vo dadenite to~ki, odnosno minuva niz to~kite (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn). Niz ovie to~ki moè da se provle~at bezbroj krivi. Za da bide zada~ata ednozna~na namesto proizvolna funkcija Φ(x) se bara polinom P(x), so stepen ne pogolem od n taka {to: P(x0)=y0; P(x1)=y1 P(x2)=y2; ....... P(xn)=yn. To~kite so apscisi x0,x1,.....xn se vikaat jazli na interpolacijata, rastojanieto pome|u dva sosedni jazli se vika ~ekor na interpolacijata, a P(x) e interpolacionen polinom. Ako interpolacijata se vr{i so polinom od prv stepen, se raboti za linearna interpolacija, a ako polinomot e od vtor stepen, za kvadratna interpolacija, it.n.

x y f(x) 0 -3 -3 1 0.7 0.7 2 3.8 3.8 3 6.3 6.3 4 8.2 8.2 5 9.5 9.5 -3 xarg= 0.55 -0.89075

xarg= 3.25 6.83125

Linearna interpolacija Pri interpolacijata moè da se postavi zada~a, da se opredeli vrednosta na f (x) za argument x koj ne se nao|a vo tabelata, a leì pome|u argumentite xk i xk+1. Geometriski, linearnata interpolacija zna~i deka funkcijata f(x) treba da se zameni so pravata {to minuva niz to~kite (xk,yk) i (xk+1,yk+1).

Interpolacija

-0.89075

6.83125

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

x

y

f(x)

22 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Sl. 1 Linearna interpolacija Vrednosta na f(x)=y koja odgovara na argumentot x lesno se dobiva od sli~nosta na triagolnicite CC’A i BB’A na slika 1:

k1k

k1k

k

kxxyy

xxyy

−−

=−−

+

+

od kade {to sledi:

)yy(xx

xxyy k1kk1k

kk −

−−

+= ++

Lagran`ova interpolacija Vo mnogu slu~ai linearnata interpolacija ne mo`e da ja dade baranata to~nost, poradi {to e potrebno da se koristi interpolacionen polinom od povisok red. Ako se dadeni n+1 to~ki (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn), postaveni na razli~ni me|usebni rastojanija, toga{, za da go dobieme polinomot P(x)=a0+a1x+ +a1x2......anxn koj minuva niz niv, vo nego treba da gi zamenime posledovatelno site to~ki, pri {to }e dobieme sistem linearni ravenki po nepoznatite koeficienti a0,a1......an.

nnnn10n

n1n1101

n0n0100

xa............xaay..

xa.............xaayxa.............xaay

++=

++=++=

Ovoj sistem ima edinstveno re{enie so koe se opredeluvaat baranite koeficienti na polinomot P(x). So ogled na toa deka ovoj na~in bara obemni matemati~ki operacii, polinomot P(x) }e go opredelime na drug na~in.

C

A

B

Φ(x) f(x)

xk xk+1

yk

y

yk+1

x

y

C’ B’ kxx −

x

kyy −k1k yy −+

k1k xx −+

Interpolacija 23

NUMERI^KI METODI

Najprvo }e opredelime polinom Lk(x), takov {to: Lk(xm)=0 za k≠m i Lk(xm)=1 za k=m Ovie uslovi moàt da se napi{at vo oblik:

⎩⎨⎧

δ=01

)x(L kmmk

kade {to δkm e Kronekerov simbol. Bidej}i baraniot polinom ima vrednosti nuli vo to~kite so argumenti x0,x1, x2.... xk-1, xk+1....xn, toj ima oblik:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C)x(L n1k1k10kk −−−−−= +−

kade {to Ck pretstavuva koeficient. Ako vo ovaa formula stavime x=xk , vrednosta na polinomot Lk(x) treba da bide ednakva na edinica.

1)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C nk1kk1kk1k0kk =−−−−− +− od kade {to dobivame:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(1C

nk1kk1kk1k0kk −−−−−=

+−

Ako ovaa ravenka ja zamenime vo izrazot za Lk(x), }e dobieme:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx()xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(

)x(Lnk1kk1kk1k0k

n1k1k10k −−−−−

−−−−−=

+−

+−

kade {to k=1,2,.......n Izrazot za Lk(x) pretstavuva n krivi koi za x=xk imaat vrednost 1, a vo drugite jazolni to~ki imaat vrednost nula. Koga se ve}e opredeleni ovie polinomi Lk(x), koi se vikaat Lagranòvi polinomi, baraniot interpolacionen polinom go dobiva sledniov oblik:

∑=+++==

n

1kkknn221100 )x(Ly)x(Ly).......x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P

Ova e interpolaciona formula na Lagran`. Taa lesno moè da se interpretira so pomo{ na narednata slika, na koja e ilustriran

za k=m za k≠m

24 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

slu~ajot za n=4. Sekoj polinom Lk(x) moè da se razgleduva kako “influentna linija”, so ordinati edinica vo to~kite x=xk i nula vo to~kite x=xm za m≠k. Sumata na influentnite linii, pomnoèni so soodvetnite ordinati yk, go dava Lagranòviot interpolacionen polinom pretstaven so poslednata ravenka.

Sl. 2 Lagranòvi polinomi za n=4 (prikaàni se samo polinomite

L0(x), L1(x) i L2(x)) Ovoj polinom za ilustracijata na slika 2, se dobiva vo oblik:

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P 4433221100 ++++= Za slu~aj n=1, Lagranòviot interpolacionen polinom minuva niz dve to~ki i pretstavuva linearna interpolacija.

)x(Ly)x(Ly)x(P 1100 += Polinomite L0(x) i L1(x) se:

01

01 xx

xx)x(L

−−

= ; 10

10 xx

xx)x(L−−

=

01

01

10

10 xx

xxyxxxxy)x(P

−−

+−−

=

Ako ovaa ravenka se sredi, se dobiva:

y0 y1 y2 y3 yn

x0 x1 x2 x3 xn

1

1

L0(x)

L1(x)

1 L2(x)

Interpolacija 25

NUMERI^KI METODI

)yy(xxxx

y

xxxx

yxxxx

yyxxxx

yxx

xxxxyy

xxxx

y)1xx

xx(yyyy

xxxx

yxx

xxy)x(P

0101

00

01

01

01

000

01

01

10

10100

01

01

10

10000

01

01

10

10

−−−

+=

=−−

+−−

−=−−

+−

+−−+=

=−−

+−−−

+=−+−−

+−−

=

{to e identi~no so prethodno dobienata ravenka za linearna interpolacija. Za n=2 (zemame 3 to~ki od tabelata) imame kvadratna interpolacija i polinomot e:

)xx)(xx()xx)(xx(y

)xx)(xx()xx)(xx(y

)xx)(xx()xx)(xx(y)x(P

1202

102

2101

201

2010

210 −−

−−+

−−−−

+−−−−

=

Primer 1. Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i ja formulata za linearna interpolacija, da se interpolira vrednosta na funkcijata za x=2.2.

Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadenite to~ki:

k 0 1 2 3 xk 0,0 1,0 2,0 4,0 yk 1,0 1,0 2,0 5,0

x 2 2,3 2,5 y 5,848 6,127 6,3 034,6y

)0,22,2(0,23,2848,5127,6848,5y

)yy(xx

xxyy k1kk1k

kk

=

−−−

+=

−−

−+= +

+

k k+1

2,2x =

26 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

5y;)24)(14)(04()2x)(1x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L

2y;)42)(12)(02()4x)(1x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(

)x(L

1y;)41)(21)(01()4x)(2x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L

1y;)40)(20)(10()4x)(2x)(1x(


)x(L

3231303

2103

2321202

3102

1312101

3201

0302010

3210

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

So zamena na ovie izrazi vo Lagran`oviot interpolacionen polinom od III red, se dobiva funkcijata so koja e aproksimirana tabli~no zadadenata funkcija: Primer 3. Dadena e slednava tabela:

k 0 1 2 3 xk 1,0 2,0 5,0 9,0 yk 1,0 3,0 6,0 10,0

Da se interpolira vrednosta na funkcijata so polinom od treti red za x=6,0.

625,656510

456)

75(3

831)0,6(P

10y;565)0,6(L;

)59)(29)(19()56)(26)(16()x(L

6y;45)0,6(L;

)95)(25)(15()96)(26)(16()x(L

3y;75)0,6(L;

)92)(52)(12()96)(56)(16()x(L

1y;83)0,6(L;

)91)(51)(21()96)(56)(26()x(L

333

222

111

000

=⋅+⋅+−⋅+⋅=

==−−−−−−

=

==−−−−−−

=

=−=−−−−−−

=

==−−−−−−

=

)12x8x9x(121)x(P

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P

23

33221100

+−+−=

+++=

Interpolacija 27

NUMERI^KI METODI

Obratna interpolacija Se postavuva obratna zada~a: dadeni se vrednostite za f(x), f(xk)=yk, vo to~kite x0,x1,.....,xn. Za dadeno y* se bara x*, za koja e zadovoleno f(x*)=y* (obi~no y*≠yk kade {to k=0,1,....,n). Zada~ata se sveduva na opredeluvawe interpolacionen polinom P(y) za inverznata funkcija Φ(y) na f(x). t.e. se odreduva P(y) taka {to P(yk)=xk; k=0,1,....,n. (zabele{ka: koga xk se na ekvidistantni rastojanija, soodvetnite vrednosti yk, obi~no, ne se rasporedeni na isti rastojanija, pa zatoa se koristi interpolacionata formula na Lagran`). Primer 4. Zadadena e funkcijata y=f(x) so tabela 1. Da se najde za koja vrednost na x se dobiva y=3,7 . Tabela 1

k 0 1 2 x 1,1 1,4 1,6 y 3,0 4,06 5,0

Se formira nova tabela (tabela 2) vo koja x i y si gi menuvaat mestata. Koristej}i ja ovaa tabela, barame kolku e yn(xn=3,7). Se smeta deka funkcijata f(x) e strogo monotona vo razgleduvaniot interval, pa zada~ata }e ima edinstveno re{enie. Za da ne gi menuvame oznakite vo interpolacionata formula, xn i yn gi razgleduvame kako x i y na nekoja nova funcija. Se primenuva Lagranòvata interpolaciona formula za kvadratna interpolacija (bidej}i se dadeni 3 to~ki vo tabelata), zna~i za n=2, vo koja zamenuvame x=3,7.

Zna~i, za x*=1,3051 f(x*)=3,7. Moè da se postavi zada~a za opredeluvawe koren na nekoja tabli~no zadadena funkcija. Pritoa moè da se primeni obratnata Lagranòva interpolacija i da se opredeli za koja vrednost na argumentot funkcijata ima vrednost ednakva na nula.

y=0, x=?

x

y f(x)

Tabela 2 k 0 1 2 xn 3,0 4,06 5,0 yn 1,1 1,4 1,6

3051,1y

6,1)06,45)(35(

)06,47,3)(37,3(4,1)506,4)(306,4(

)57,3)(37,3(1,1)53)(06,43(

)57,3)(06,47,3(y

)7,3(Ly)7,3(Ly)7,3(Ly)x(Py 221100

=

=−−−−

+−−−−

+−−−−

=

++==

28 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Kone~ni razliki Neka e dadena diskretna funkcija, odnosno kone~no mnoèstvo na argumenti xk i soodvetnite vrednosti na funkcijata f(xk)=yk, pri {to argumentite se na ednakvi me|usebni rastojanija xk+1-xk=h. Razlikite na vrednostite yk se ozna~uvaat so ∆yk=yk+1-yk i se vikaat prvi razliki ili kone~ni razliki od I red. Razlikite pak od prvite kone~ni razliki se obeleùvaat so: ∆2yk= ∆ (∆yk)= ∆yk+1- ∆yk= (yk+2-yk+1)- (yk+1-yk)= yk+2-yk+1- yk+1+yk= yk+2-2yk+1+yk ∆2yk= yk+2-2yk+1+yk i se vikaat kone~ni razliki od II red. Voop{to, kone~nite razliki od n-ti red se definiraat so: ∆nyk= ∆n−1

yk+1- ∆ n−1 yk

Koristej}i razli~ni mnoèstva na to~ki, kone~nite razliki vo to~ka moè da se izrazat na tri na~ina: kone~ni razliki nazad, kone~ni razliki napred i centralni kone~ni razliki. Kone~ni razliki nazad To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se namaluva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Na primer, za 5 to~ki:

prva razlika ∆yn=yn-yn-1

∆yn-1=yn-1-yn-2 ∆yn-2=yn-2-yn-3 ∆yn-3=yn-3-yn-4 ∆yn-4=yn-4-yn-5

vtora razlika ∆2yn= ∆yn- ∆yn-1= (yn-yn-1)– (yn-1-yn-2)= yn-2yn-1+yn-2 ∆2yn-1= ∆yn-1- ∆yn-2= (yn-1-yn-2)– (yn-2-yn-3)= yn-1-2yn-2+yn-3

x0 x1 x2 xn

y0 y1 y2 yn

Interpolacija 29

NUMERI^KI METODI

∆2yn-2= ∆yn-2- ∆yn-3= (yn-2-yn-3)– (yn-3-yn-4)= yn-2-2yn-3+yn-4 ∆2yn-3= ∆yn-3- ∆yn-4= (yn-3-yn-4)– (yn-4-yn-5)= yn-3-2yn-4+yn-5

treta razlika: ∆3yn= ∆2yn- ∆2yn-1= (yn-2yn-1+yn-2)-(yn-1-2yn-2+yn-3)= yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3 ∆3yn-1= ∆2yn-1- ∆2yn-2= (yn-1-2yn-2+yn-3)-(yn-2-2yn-3+yn-4)= yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4

∆3yn-2= ∆2yn-2- ∆2yn-3= (yn-2-2yn-3+yn-4)-(yn-3-2yn-4+yn-5)= yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5

~etvrta razlika:

∆4yn= ∆3yn-∆3yn-1=(yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3)-(yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)= =yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4 ∆4yn-1= ∆3yn-1- ∆3yn-2= (yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)-(yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5)= =yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5

petta razlika: ∆5yn = ∆4yn-∆4yn-1=(yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4)-( yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5) = yn-5yn-1+10yn-2 -10yn-3+5yn-4 -yn-5 Op{tiot izraz za razlikite e daden vo narednata tabela. Na levata strana na tabelata se dadeni kone~nite razliki, a na desnata strana koeficientite so koi se mno`at soodvetnite kone~ni razliki. Razlikite ∆yn,.....,∆5yn se dobivaat so sumirawe na proizvodite na koeficientite po ovie razliki ili na soodvetnite ordinati yn, yn-

1.....,yn-5.

∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆yn ∆2yn ∆3yn ∆4yn ∆5yn yn-5 -1

∆yn-4 yn-4 ∆2yn-3 1 5

∆yn-3 ∆3yn-2 yn-3 ∆2yn-2 ∆4yn-1 -1 -4 -10

∆yn-2 ∆3yn-1 ∆5yn yn-2 ∆2yn-1 ∆4yn 1 3 6 10

∆yn-1 ∆3yn yn-1 ∆2yn -1 -2 -3 -4 -5

∆yn yn 1 1 1 1 1

30 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Kone~ni razliki napred To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se zgolemuva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Tabelarnata forma na ovie razliki e dadena na slednata slika. ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆yn ∆2yn ∆3yn ∆4yn ∆5yn yn -1 1 -1 1 -1

∆yn yn+1 ∆2yn 1 -2 3 -4 5 ∆yn+1 ∆3yn yn+2 ∆2yn+1 ∆4yn 1 -3 6 -10 ∆yn+2 ∆3yn+1 ∆5yn yn+3 ∆2yn+2 ∆4yn+1 1 -4 10 ∆yn+3 ∆3yn+2 yn+4 ∆2yn+3 1 -5 ∆yn+4 yn+5 1 Centralni razliki Koga to~kite se simetri~no postaveni vo odnos na to~kata n, imame centralni razliki. Neka se poznati vrednostite na funkcijata f(x) vo to~kite n-5, n-4, n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, koi se na ednakvi me|usebni rastojanija h, kako i vrednostite na ovaa funkcija vo sredinite na intervalite h:

h h h h h h h h h h

n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n-9/2 n-7/2 n-5/2 n-3/2 n-1/2 n +1/2 n+3/2 n+5/2 n+7/2 n+9/2

Interpolacija 31

NUMERI^KI METODI

Centralnite kone~ni razliki se izveduvaat od razlikite na to~kite n+1 i n-1. Na primer: − prva razlika ∆yn=( yn+1- yn-1)/2=-0.5 yn-1+0.5 yn+1 − vtora razlika ∆yn+1/2= yn+1- yn ∆yn-1/2 = yn- yn-1 ∆2yn = ∆yn+1/2- ∆yn-1/2=(yn+1- yn)- (yn- yn-1)= yn-1-2yn+yn+1 − treta razlika ∆2yn+1= yn-2yn+1+yn+2 ∆2yn-1 = yn-2-2yn-1+yn ∆3yn =(∆2yn+1- ∆2yn-1)/2=((yn-2yn+1+yn+2)- (yn-2-2yn+1+yn))/2=(-yn-2+2yn-1- -2yn+1+ yn+2)/2 = - 0.5 yn-2+ yn-1- yn+1+0.5 yn+2 Kone~nite razliki koi se prethodno izvedeni, mnogu ~esto se koristat za interpolacionite formuli na Wutn, za interpolacija vo intervalot desno od to~kata x0 i levo od to~kata xn. Wutnovi interpolacioni polinomi Wutnov polinom za interpolacija napred

Ili so zamenata u=(x-x0)/h odnosno x=x0+hu ovoj polinom dobiva forma:

Primer 1. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz ~etiri dadeni to~ki.

k 0 1 2 3 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20

)xx)......(xx()xx(h!ny

.......)xx()xx(h!2y

)xx(h!1

yy)x(P

1n10n0

n

1020

2

00

0

−−−⋅−⋅

∆+

++−⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+=

)1nu)....(2u()1u(u!ny

....)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

−−−⋅−⋅

∆+

++−⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+⋅

∆+=

32 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Za da go opredelime polinomot prethodno ja formirame tabelata na kone~ni razliki napred.

y0 ∆y0

y1 ∆2y0 ∆y1 ∆3y0

y2 ∆2y1 ∆y2

y3 Zaokru`enite brojki gi zamenuvame vo Wutnoviot polinom:

Po sreduvawe na izrazot, se dobiva;

Wutnov interpolacionen polinom za interpolacija nazad

Ili vo druga forma:

Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadeni to~ki.

k -3 -2 -1 0 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20

Tabelata na kone~nite razliki nazad e:

k x y ∆y ∆2y ∆3y0 0 4 1

2 1 6 3 3 5 4 2 8 8 7 12 3 10 20

)8x)(6x()4x(2123

4)6x()4x(212

3)4x(21

21)x(P 32 −−⋅−⋅⋅⋅

+−⋅−⋅⋅

+−⋅

+=

458.9x197.5x125.1x0833.0)240x142x27x2(241)x(P 2323 −+−=−+−=

)xx)......(xx()xx(h!ny

.......)xx()xx(h!2y

)xx(hy

y)x(P

1n10n0

n

1020

2

00

0

−−−

−

−−⋅−⋅

∆+

++−⋅−⋅

∆+−

∆+=

)1nu)......(2u)(1u(uh!ny

.......)2u)(1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

n0

n

03

02

00

−+++⋅

∆+

++++⋅

∆++

⋅∆

+∆

+=

Interpolacija 33

NUMERI^KI METODI

So sreduvawe se dobiva istiot polinom od treti red kako i so Wutnovata interpolaciona formula napred.

P(x)=0.0833 x3 - 1.125x2 + 5.917x - 9.458

y-3 ∆y-2

y-2 ∆2y-1 ∆y-1 ∆3y0

y-1 ∆2y0 ∆y0

y0

k x y ∆y ∆2y ∆3y0

-3 4 1 2

-2 6 3 3 5 4

-1 8 8 7 12 0 10 20

)6x)(8x()10x(2123

4)8x()10x(212

7)10x(2

1220)x(P 32 −−⋅−⋅⋅⋅

+−⋅−⋅⋅

+−+=

y = 0.0833x3 - 1.125x2 + 5.9167x - 10

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

34 Pribli`no diferencirawe

NUMERI^KI METODI

3. PRIBLI@NO DIFERENCIRAWE Pri re{avaweto na prakti~ni zada~i od inènerstvoto, ~esto se postavuva zada~a da se opredelat izvodi na funkcijata f(x) koja e zadadena grafi~ki ili so tabela na vrednosti vo nekolku to~ki. Isto taka, vo slu~ai koga funkcijata e zadadena vo matemati~ka forma so sloèn analiti~ki izraz, poradi toa {to neposrednoto diferencirawe e sloèno, se pristapuva kon numeri~ko diferencirawe. Osnovnata definicija za diferenciraweto e:

i od nea podocna }e se dobijat nekolku formuli za numeri~ko diferencirawe. Grafi~ko diferencirawe

Poznato e deka izvodot na nekoja funkcija vo nekoja to~ka x , koja e grafi~ki pretstavena, moè da se interpretira kako naklon na tangentata na funkcijata vo taa to~ka.

y'( x )=[(x2)-y(x1)]/(x2- x1)

y'( x )=tgϕ Postapkata za grafi~ko diferencirawe e sledna: se crta grafik na

funkcijata i vo to~kata so abscisa x se povlekuva tangenta na krivata. Paralelno so tangentata se povlekuva prava koja ja se~e krivata vo to~kite (x1,y1) i (x2,y2), preku koi se opredeluva tangensot na agolot {to tangentata go zaklopuva so oskata x.

To~nosta na grafi~koto diferencirawe e ograni~ena so to~nosta so koja moè da se ~ita grafikot i so to~nosta na povlekuvaweto na tangentata.

12

12

12

12'

xxyy

xx)x(y)x(y)x(y

−−

=−−

=

h)x(y)hx(ylim)x(y

0h

' −+=

→

x

ϕ

x x1 x2

Pribli`no diferencirawe 35

NUMERI^KI METODI

Diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki Pri re{avawe na inènerski problemi, ~esto e potrebno numeri~ki da se procenat vrednostite na izvodite na nekoja funkcija. Pritoa postojat dva pristapa: • funkcijata e poznata no izvodite ne moè da bidat presmetani

analiti~ki • funkcijata e zadadena tabli~no, a izvodite se presmetuvaat

analiti~ki, so diferencirawe na interpoliranata funkcija koja pribli`no ja pretstavuva stvarnata funkcija.

Vo prviot pristap, ako funkcijata e poznata a izvodot ne moè da

se presmeta analiti~ki, istiot moè da se proceni kako:

x)x(f)xx(f

x)x(f

dxdy

∆−∆+

=∆

∆≈

Zna~i, za da ja presmetame vrednosta na prviot izvod vo to~ka x, f’(x), potrebno e da ja presmetame vrednosta na funkcijata vo dve to~ki, x i x+∆x, i nivnata razlika da se podeli so ~ekorot ∆x. Ovoj pristap e poznat kako diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki napred. Izvodot moè da se presmeta i so kone~ni razliki nazad:

x)xx(f)x(f

x)x(f

dxdy

∆∆−−

=∆

∆≈

Isto taka, izvodot moè da se presmeta i so kone~ni razliki na vrednostite vo to~kite koi se na rastojanie 2∆x.

x2)xx(f)xx(f

x2)x(f

dxdy

∆∆−−∆+

=∆

∆≈

Za mnogu funkcii so pove}e promenlivi, metodot so dvoen ~ekor moè da se dobijat poto~ni rezultati otkolku so kone~nite razliki napred ili nazad. Primer 1. Podatocite dadeni vo narednata tabela pretstavuvaat vrednosti na tretiot stepen od brojot x. Da se aproksimira vrednosta na prviot izvod za x=2, koristej}i kone~ni razliki napred, nazad i {ema na kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie.

x 0 1 2 3 4 f(x)=x3 0 1 8 27 64


NUMERI^KI METODI

- Kone~ni razliki napred

191

1923827

x)x(f)xx(f

x)2(f

==−−

=∆

−∆+=

∆∆

- Kone~ni razliki nazad:

717

1218

x)xx(f)x(f

x)2(f

==−−

=∆

∆−−=

∆∆

- Metod so dvoen ~ekor:

132

2613127

x2)xx(f)xx(f

x2)2(f

==−−

=∆

∆−−∆+=

∆∆

- To~na vrednost:

1223dx

)2(df

x3dx

)x(df)x('f

x)x(f

2

2

3

=⋅=

==

=

- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:

x k. r.

napredk. r.

nazaddvoen ~ekor

to~no

f(2) 19 7 13 12

%gre{ka 58.33 41.67 8 /

Primer 2. Da se opredeli polinom od vtor red koj pominuva niz dadenite to~ki, a potoa, koristej}i go toj polinom, da se aproksimira prviot izvod na tabli~no zadadenata funkcija za x=2. Re{enieto da se sporedi so rezultatite od primer 1 i so to~noto re{enie.

x 1 2 3 f(x) 1 8 27

Polinom od II red vo forma:

2210 xaxaa)x(P ++=

Nepoznati se tri koeficienti na polinomot, zna~i potrebno e da sostavime i da re{ime sistem od 3 ravenki so 3 nepoznati. Sistemot


NUMERI^KI METODI

}e go sostavime od uslovot polinomot da pominuva niz dadenite to~ki, odnosno:

2i2i10i xaxaa)x(P ++=

210

2210

2020100

aaa1

1a1aa1

xaxaa)x(P

++=

⋅+⋅+=

++=

210

2210

2121101

a4a2a8

2a2aa8

xaxaa)x(P

++=

⋅+⋅+=

++=

210

2210

2222102

a9a3a27

3a3aa27

xaxaa)x(P

++=

⋅+⋅+=

++=

Sistemot ravenki od koj }e gi opredelime nepoznatite koeficienti na polinomot a1, a2 i a3, e:

27a9a3a8a4a2a

1aaa

210

210

210

=++=++

=++

Vo matri~na forma mo`e da se napi{e:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2781

aaa

931421111

2

1

0

Re{enie so inverzna matrica na sistemot ravenki:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

2781

931421111

aaa 1

2

1

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

6116

2781

5.015.05.145.2

133

aaa

2

1

0

Polinomot od II red koj pominuva niz dadenite tri to~ki e: 2

2 x6x116)x(P +−= Prviot izvod za x=2 }e go opredelime so direktno diferencirawe na polinomot P2(x).

13112421211)2('Px1211)x('P

=−=⋅+−=+−=


NUMERI^KI METODI

- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:

Tabelata na kone~ni razliki, isto taka, moè da se koristi za opredeluvawe vrednosti na izvodi na tabli~no zadadena funkcija. • Na primer, vo narednata tabela na kone~ni razliki, kolonata ∆f

moè da se koristi za procena na vrednosta na prviot izvod vo nekoja to~ka,

• Isto taka, vrednostite vo kolonata ∆2f moè da se koristat za opredeluvawe na vtoriot izvod na tabli~no zadadenata funkcija vo nekoja to~ka, itn.

Tabela na kone~ni razliki

x f(x) ∆f ∆2f … x f(x) ∆f(x)= f(x+∆x)- f(x)

x+∆x f(x+∆x) ∆2f(x)= ∆f(x+∆x)- ∆f(x) ∆f(x+∆x)= f(x+2∆x)-

f(x+∆x)

x+2∆x f(x+2∆x) ∆2f(x+∆x)= ∆f(x+2∆x)- ∆f(x+∆x)

∆f(x+2∆x)= f(x+3∆x)- f(x+2∆x)

x+3∆x f(x+3∆x) ∆2f(x+2∆x)= ∆f(x+3∆x)- ∆f(x+2∆x)

∆f(x+3∆x)= f(x+4∆x)- f(x+3∆x)

x+4∆x f(x+4∆x) ∆2f(x+3∆x)= ∆f(x+4∆x)- ∆f(x+3∆x)

∆f(x+4∆x)= f(x+5∆x)- f(x+4∆x)

x+5∆x f(x+5∆x) …. …. …. ….

• Za da se opredeli prviot izvod vo to~kata x, se koristi kone~nata razlika ∆f(x); toa e kone~na razlika od I red, a se nao|a vo redot pod dadenata vrednost za x. Na toj na~in se opredeluva izvodot so kone~ni razliki napred.

x k. r. napred

k. r. nazad

dvoen ~ekor

polinom od II red

to~no

f(2) 19 7 13 13 12

%gre{ka 58.33 41.67 8.33 8.33 /


NUMERI^KI METODI

• So koristewe na kone~nite razliki koi se nao|aat vo redot nad dadenata vrednost na x, se opredeluva izvodot so kone~ni razliki nazad.

• Prose~nata vrednost od ovie dve kone~ni razliki se koristi za opredeluvawe na prviot izvod po metodot so dvoen ~ekor.

• Na sli~en na~in se opredluvaat vrednostite za vtoriot izvod, pri {to se koristat vrednostite od kolonata ∆2f.

Primer 3. Za dadeniot set na podatoci, da se proceni vrednsta na prviot izvod za x=11, so koristewe tabela na kone~ni razliki po metodite napred, nazad i so dvoen ~ekor. Isto taka, da se opredeli vrednosta na vtoriot izvod za x=11 so kone~ni razliki napred.

x 10 11 12 12 14 f(x) 1000 1331 1728 2197 2744

Tabela na kone~ni razliki: • So kone~ni razliki napred, za x=11 se zema kone~nata razlika

∆f=397 koja se nao|a vo redot pod redot x=11. Spored toa, vrednsta na prviot izvod }e bide:

3971011

397x

fx

)11(f 1i =−

=∆

∆=

∆∆ +

• So kone~ni razliki nazad, za x=11 se zema kone~nata razlika

∆f=331 koja se nao|a vo redot nad redot x=11. Vrednosta na prviot izvod }e bide:

x f(x) ∆f ∆2f ∆3f ∆4f

10 1000 331 11 1331 66 397 6 12 1728 72 0 469 6 13 2197 78 547 14 2744


NUMERI^KI METODI

3311011

331xf

x)11(f i =

−=

∆∆

=∆

∆

• So kone~ni razliki so dvoen ~ekor, za x=11 se zema srednata

vrednost od prethodnite dve kone~ni razliki, pa izvodot }e bide:

3642

397331x2

ffx2

)11(f 1ii =+

=∆

∆+∆=

∆∆ +

• Vrednosta na vtoriot izvod za x=11 po metodot kone~ni razliki

napred }e go procenime so kone~nata razlika od II red ∆2fi+1

66166

)1011(66

)x(f

x)11(f

2221i

2

2

2

==−

=∆

∆=

∆∆ +

• To~no re{enie Ako gi pogledneme vrednostite od tabelata, }e zabele`ime deka toa e funkcijata f(x)=x3. Spored toa, vtoriot izvod }e bide:

66116)11(''fx6)x(''f;x3)x('f

x)x(f2

3

=⋅===

=

So kone~ni razliki e dobieno to~no re{enie. Numeri~ko diferencirawe so koristewe na Tajlorovi redovi Osnovnite ravenki za diferencirawe so kone~ni razliki napred i nazad proizleguvaat od ekspanzijata na Tajlorovi serii:

1n0)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

R)x(f!n

h

.....)x(f!3

h)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f

+++

+++++=+

kade {to: x=x0+h; h=x-x0=∆x Vo toj slu~aj, Tajlorovata serija mo`e da se zapi{e kako:

.......!3)x(

x)x(f

!2)x(

x)x(fx

x)x(f)x(f)xx(f

3

3

32

2

2 ∆∆

∆+

∆∆

∆+∆

∆∆

+=∆+


NUMERI^KI METODI

Ako Tajlorovata serijata ja prekineme po vtoriot ~len, }e ja dobiveme formulata za diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki:

x)x(f)xx(f

x)x(f

)x(f)xx(fxx

)x(f

xx

)x(f)x(f)xx(f

∆−∆+

=∆

∆

−∆+=∆∆

∆

∆∆

∆+=∆+

Poslednata ravenka dobiena preku Tajlorovata serija e navistina aproksimacija od prv red na formulata za opredeluvawe prv izvod so pomo{ na kone~ni razliki napred. Ako ja prekineme Tajlorovata serija po tretiot ~len (~lenot so vtor izvod), }e dobieme:

!2)x(

x)x(fx

x)x(f)x(f)xx(f

2

2

2 ∆∆

∆+∆

∆∆

+=∆+

Ovaa ravenka mo`e da se zapi{e kako:

!2)x(

x)x(f)x(f)xx(fx

x)x(f 2

2

2 ∆∆

∆−−∆+=∆

∆∆

ili:

x!2)x(

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f 2

2

2

∆⋅∆

∆∆

−∆

−∆+=

∆∆

2x

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2

2 ∆∆

∆−

∆−∆+

=∆

∆.........1

Poslednata ravenka e aproksimacija od vtor red na formulata za opredeluvawe na prviot izvod vo to~ka x. Kako {to gledame, za ovaa aproksimacija e potrebno poznavawe na vrednosta na vtoriot izvod na funkcijata vo to~ka x. Potreben ni e izraz za opredeluvawe na vtoriot izvod. Ako f’(x) e prviot izvod na f(x) vo to~kata x, toga{ aproksimacijata za vtoriot izvod so kone~ni razliki napred e dadena so:

x)x('f)xx('f

x)x(f

2

2

∆−∆+

=∆

∆


NUMERI^KI METODI

x)x(f)xx(f)x('f

x)xx(f)x2x(f)xx('f

∆−∆+

=

∆∆+−∆+

=∆+

Aproksimacija od I red na vtoriot izvod }e bide:

xx

)x(f)xx(fx

)xx(f)x2x(f

x)x('f)xx('f

x)x(f

2

2

∆∆

−∆+−

∆∆+−∆+

=∆

−∆+=

∆∆

22

2

22

2

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f

)x()x(f)xx(f)xx(f)x2x(f

x)x(f

∆+∆+−∆+

=∆

∆

∆+∆+−∆+−∆+

=∆

∆

Poslednata ravenka ja zamenuvame vo ravenkata 1 i ja dobivame aproksimacijata od II red na prviot izvod:

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

x2)x(f)xx(f2)x2x(f)x(f2)xx(f2

x)x(f

2x

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2x

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2

2

2

2

∆−∆++∆+−

=∆

∆

∆−∆++∆+−−∆+

=∆

∆

∆⋅

∆+∆+−∆+

−∆

−∆+=

∆∆

=∆

∆∆

−∆

−∆+=

∆∆

Zna~i, vtora aproksimacija na prviot izvod so kone~ni razliki napred, dobiena so Tajlorovata serija e slednava formula:

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

∆−∆++∆+−

=∆

∆


NUMERI^KI METODI

Na sli~en na~in mo`e da se dobie i formula za aproksimacija od vtor red na vtoriot izvod, izvedena od ekspanzijata na Tajlorovata serija. Ponatamu se dadeni i drugi formuli izvedeni od Tajlorovata serija, za prva i za aproksimacija od vtor red na prviot i na vtoriot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor. Aproksimacija na vrednosti za prviot izvod vo to~ka x • Kone~ni razliki napred:

- aproksimacija od prv red

x)x(f)xx(f

x)x(f

∆−∆+

=∆

∆

- aproksimacija od vtor red

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

∆−∆++∆+−

=∆

∆

• Kone~ni razliki nazad:


x)xx(f)x(f

x)x(f

∆∆−−

=∆

∆


x2)x2x(f)xx(f4)x(f3

x)x(f

∆∆−+∆−−

=∆

∆

• So dvoen ~ekor:


x2)xx(f)xx(f

x)x(f

∆∆−−∆+

=∆

∆


x12)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(f

x)x(f

∆∆−+∆−−∆++∆+−

=∆

∆


NUMERI^KI METODI

Aproksimacija na vrednosti za vtoriot izvod vo to~ka x • Kone~ni razliki napred:


22

2

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f

∆+∆+−∆+

=∆

∆


22

2

)x()x(f2)xx(f5)x2x(f4)x3x(f

x)x(f

∆+∆+−∆++∆+−

=∆

∆

• Kone~ni razliki nazad:


22

2

)x()x2x(f)xx(f2)x(f

x)x(f

∆∆−+∆−−

=∆

∆


22

2

)x()x3x(f)x2x(4)xx(f5)x(f2

x)x(f

∆∆−−∆−+∆−−

=∆

∆

• So dvoen ~ekor:


22

2

)x()xx(f)x(f2)xx(f

x)x(f

∆∆−+−∆+

=∆

∆


22

2

)x(12)x2x(f)xx(f16)x(f30)xx(f16)x2x(f

x)x(f

∆∆−−∆−−−∆++∆+−

=∆

∆


NUMERI^KI METODI

Primer 4. Dadeni se podatoci za temperaturata na vozduhot T i pritisokot na zasitenata parea es. Koristej}i aproksimacija od II red na prviot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor, da se proceni vrednosta na gradientot na funkcijata es , pri T=22 C0. • So kone~ni razliki napred:

0S

SSSS

C/Hgmm185.12

)82.19(3)05.21(437.22x

)22(e)1(2

)22(e3)23(e4)24(ex

)22(ex2

)x(f3)xx(f4)x2x(fx

)x(f

=−+−

=∆

∆

−+−=

∆∆

∆−∆++∆+−

=∆

∆

• So kone~ni razliki nazad:

0S

SSSS

C/Hgmm195.12

)53.17()65.18(4)82.19(3x

)22(e)1(2

)20(e)21(e4)22(e3x

)22(ex2

)x2x(f)xx(f4)x(f3x

)x(f

=+−

=∆

∆

+−=

∆∆

∆∆−+∆−−

=∆

∆

• So kone~ni razliki so dvoen ~ekor:

0S

SSSSS

C/Hgmm1966.1)1(12

)53.17()65.18(8)05.21(8)37.22(x

)22(e)1(12

)20(e)21(e8)23(e8)24(ex

)22(ex12

)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(fx

)x(f

=+−+−

=∆

∆

+−+−=

∆∆

∆∆−+∆−−∆++∆+−

=∆

∆

Zna~i, pri T na vozduhot 22C0 , gradientot na krivata na pritisokot na zasitenata parea iznesuva 1.1966 mm Hg/C0.

to~ka T(C0) eS(mm Hg) x-2∆x 20 17.53 x-∆x 21 18.65

x 22 19.82 x+∆x 23 21.05

x+2∆x 24 22.37 x+3∆x 25 23.75


NUMERI^KI METODI

Numeri~ko diferencirawe po metodot na sekanta Prethodno dadenite aproksimacii na prviot izvod dobieni so ekspanzija na Tajlorovi serii, poznati se i kako formuli za diferencirawe po metodot na sekanta:

Prvata formula e aproksimacija od I red na prviot izvod so kone~ni razliki napred, vtorata e dobiena so kone~ni razliki nazad, a tretata so centralni kone~ni razliki ili so kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Interpretacija na ovie formuli e dadena na slednava slika:

Ravenkata 1) koristi to~ka koja se nao|a desno od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AC. Ravenkata 2) koristi to~ka koja se nao|a levo od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AB. Kako {to moè da se vidi od prethodnata slika, i za dvete aproksimacii ne moè da se kaè deka se zadovolitelno to~ni, odnosno postoi golema razlika pome|u naklonot na tangentata (linijata t), i liniite AC i AB. Podobra aproksimacija se dobiva primenuvaj}i ja ravenkata 3), pri koja naklonot e definiran so linijata BC (sekanta) i e najpriblièn so naklonot na tangentata t, {to moè da se zabeleì od slikata. Izrazite za kone~nite razliki moè da se opredelat: 1) geometriski, pri {to naklonot na tangentata se zamenuva so

naklonot na tetivata 2) so pomo{ na interpolacionite polinomi.

h2)hx(y)hx(y)x(y)3

h)hx(y)x(y)x(y)2

h)x(y)hx(y)x(y)1

'

'

'

−−+≈

−−≈

−+≈

h h

xhx − hx +

C

B A

t


NUMERI^KI METODI

Pri ramnomerno raspredeleni jazli na interpolacijata mo`e da se primenuvaat slednive izrazi za numeri~ko diferencirawe.

Koga h→0, to~kite se zgusnuvaat i aproksimaciite se stremat kon izvodite na funkcijata vo jazlite, i to~nosta se zgolemuva so namaluvawe na ~ekorot. Primer 5. Dadena e funkcijata y=sinx. Da se aproksimira vrednosta y’ i y’’ za x=π/8, koristej}i gi kone~nite razliki od prv i od vtor red, so ~ekor h=π/16.

i i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x 0 π/16 2π/16 3π/16 4π/16 5π/16 y 0 0.195090 0.382683 0.555570 0.707106 0.831469

To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’(π/8)=cos(π/8)=0.9238795

tangenta

tetiva

h h i-1 i i+1

∆x ∆y

11i1i'

i h2yy

xyu ∆≡

−=

∆∆

≈ −+

hyy'y

hyy'y

h'y'y

u

1ii2/)1i(

i1i2/)1i(

2/)1i(2/)1i(''i

−−

++

−+

−=

−=

−≈

332i1i1i2i

i h2yy2y2y'''y ∆≡

+−+−= ++−−

0.91795450.1950903)5555702.0(

162

1h2

yyy 1i1i1

'i =−

π⋅

=−

≈∆≡ −+

442i1ii1i2i

iIV

hyy4y6y4yy ∆≡

+−+−= ++−−

221ii1i

1iii1i

i hyy2y

hhyy

hyy

''y ∆≡+−

=

−−

−

= −+

−+


NUMERI^KI METODI

To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’’=-sinx ; y’’(π/8)=-sin(π/8)=-0.3826834 Numeri~ko diferencirawe so pomo{ na Wutnoviot interpolacionen polinom Za opredeluvawe na izvodite na edna funkcija, koja e opredelena so vrednostite f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn, vo to~kite xn , (n=1,2,...,n) mo`e da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom P(x). Ovde treba da se naglasi deka, pri opredeluvawe na vrednostite na f’(x), treba da se koristat jazolni to~ki na dovolno mali rastojanija za f(x) pome|u niv da nema golem broj ekstremi. Vo sprotivno, mo`e da se slu~i razlikata pome|u P(x) i f(x) da bide mala, a razlikata pome|u nivnite izvodi da e mnogu golema.

odnosno:

kade {to u=(x-xo)/h. ; du/dx=1/h

P(x)

f(x)

x0 x1 x2 xn

)1nu)....(2u()1u(u!ny

......)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

−−−⋅−⋅

∆+

++−⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+⋅

∆+=

)u6u11u6u(24y

)u2u3u(6y

)uu(2y

uyy)x(y 23404

2303

202

00 −+−∆

++−∆

+−∆

+∆+=

3814552.0-0.1950903)0.3826834*25555702.0()

16(

1h

yy2yy

2

21ii1i

2''i

=+−π

=

=+−

≈∆≡ −+


NUMERI^KI METODI

Imaj}i predvid deka:

Ako funkcijata f(x) e diferencijabilna vo razgleduvaniot interval i se menuva nezna~itelno, a polinomot P(x) dobro ja aproksimira funkcijata f(x), toga{ moè da se smeta deka i P’(x) dobro ja aproksimira f ’(x). Pri nao|awe na vrednosta na izvodot na nekoja funkcija vo to~ka x*, za x0 treba da se odbere to~ka vo tablicata koja e najbliska i se nao|a pred x*. Vo slu~aj koga treba da se presmeta izvodot vo nekoj od jazlite na interpolacijata, toga{ formulite se uprostuvaat. Bidej}i sekoja tabli~na vrednost moè da se izbere za po~etna, moè da stavime deka x=x0, pa imame:

u=(x-x0)/h=(x0-x0)/h=0 a od toa:

Primer 6. tabli~no e zadadena nekoja funkcija so ~ekor h=0.1. Znaej}i deka taa e diferencijabilna vo dadeniot interval, da se presmetaat vrednostite na prviot izvod za x=3.5 i za x=3.57.

i x y(x)=log(x) ∆y ∆2y 0 3.5 0.5441 0.0122 -0.0003 1 3.6 0.5563 0.0119 -0.0003 2 3.7 0.5682 0.0116 -0.0003 3 3.8 0.5798 0.0113

dudy

h1

dxdu

dudy

dxdy

⋅=⋅=

......]y[h1)x(y

.....]2

)3u2(yy[h1)x('''y

.....]12

)11u18u6(y)1u(yy[h1)x(''y

.....]12

)3u11u9u2(y6

)2u6u3(y)21u(yy[

h1)x('y

04

4IV

04

03

3

2

04

03

02

2

23

04

2

03

02

0

+∆=

+−

∆+∆=

++−

∆+−∆+∆=

+−+−

∆++−

∆+−∆+∆=

.....]y61y

21y[

h1)x('y

....]y65y

1211yy[

h1)x(''y

....]y51y

41y

31y

21y[

h1)x('y

03

02

01

05

04

03

02

20

05

04

03

02

00

+∆−∆+∆=

+∆−∆+∆−∆=

+∆+∆−∆+∆−∆=


NUMERI^KI METODI

4 3.9 0.5911 Za f ’(3.57) ja koristime formulata:

Koga se bara izvod na nekoja funkcija za vrednost na argumentot {to se nao|a nazad vo dadenata tabela, toga{ se primenuva interpolacionata formula na Wutn za interpolacija nazad. Primer 7. Tabelarno se dadeni vrednostite na funkcijata

y(x)= x za 7 argumenti so ~ekor h=0.05.

i x y(x)= x ∆y ∆2y ∆3y 0 1.00 1.00000 0.02470 -0.00059 0.00005 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00054 0.00004 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00050 0.00002 3 1.15 1.07238 0.02307 -0.00048 0.00003 4 1.20 1.09544 0.02259 -0.00045 5 1.25 1.11803 0.02214 6 1.30 1.14017

Da se opredelat izvodite vo to~ka k=0, odnosno x0=1.0, so pomo{ na formulite za diferencirawe dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom napred:

4.0]00005.0[05.01)0.1('''y

256.0]00005.000059.0[05.01)0.1(''y

50024.0]000017.0000295.002470.0[05.01)0.1('y

3

2

==

−=−−=

=++=

1235.0)]0003.0(210122.0[

1.01)5.3('y

]y21y[

h1)5.3('f 0

20

=−−=

∆−∆=

1214.0)]0003.0(2

17.020122.0[1.0

1)57.3('y

7.01.0/)5.357.3(u

....]y6

2u6u3y2

1u2y[h1)x('f 0

32

02

0

=−−⋅

−=

=−=

+∆+−

+∆−

+∆=


NUMERI^KI METODI

To~nite rezultati se :

Od primerot se zaklu~uva deka gre{kite se zna~itelni. Metodite za numeri~ko diferencirawe se zasnovani vrz zamena na izvodite na nekoja funkcija so koli~nici na kone~ni razliki. Vsu{nost, se pravi matemati~ka aproksimacija, odnosno zamena na izvodite du/dx, koi pretstavuvaat odnos na beskrajno mali golemini so odnos na dve kone~ni golemini ∆y/∆x (ova se vsu{nost podeleni razliki, bidej}i prirastot na ordinatite na funkcijata se podeleni so prirastot na abscisite).

375.0)0.1('''y25.0)0.1(''y

5.0)0.1('yx)x(y

=−=

==

52 Numeri~ka integracija

NUMERI^KI METODI

4. NUMERI^KA INTEGRACIJA Za razlika od numeri~koto diferencirawe, pri koe ne sekoga{ moè da se dobijat rezultati so prifatliva to~nost, numeri~kata integracija moè da se sprovede do sekakva barana to~nost. Toa e i pri~ina za golemata primena na ovaa postapka vo site oblasti na mehanikata, posebno koga algoritmot se izveduva kompjuterski. Ovde podetalno }e se zadrìme na numeri~kite formuli za integracija, dobieni so koristewe na interpolacionite polinomi, kako i na Gausovata integracija. Pri sproveduvaweto na postapkata treba da se ima predvid fizikalnata smisla na opredeleniot liniski i povr{inski integral, a toa e deka tie pretstavuvaat povr{ina, odnosno volumen pod krivata vo dadeni granici.

Re{avaweto na opredeleniot integral ∫b

adx)x(f so formalnite

metodi ~esto e te{ko i nevozmo`no, duri i koga f(x) e funkcija so relativno ednostavna analiti~ka forma. Za vakvi slu~ai, kako i za nekoi poop{ti slu~ai na integracija pri koi se dostapni samo nekolku slu~ajni vrednosti na f(x) za vrednosti na argumentot xi, i=0,1,....n, potrebni se drugi metodi. O~igledna alternativa e da se najde funkcija g(x) koja e ednostavna i pogodna aproksimacija na f(x) i ednostavna za integrirawe. Vo toj slu~aj moè da se napi{e:

∫b

adx)x(f ≈ ∫

b

adx)x(g

Za sre}a, prethodno dadenite interpolacioni polinomi davaat adekvatni aproksimacii i se lesno integrabilni. Vakvite karakteristiki se glavna pri~ina za golemata primena na interpolacionite polinomi vo numeri~kata matematika.

P4(x) f(x)

x

y

x0 x1 x2 x3 x4

δx

Numeri~ka integracija 53

NUMERI^KI METODI

Gornata slika ja ilustrira aproksimacijata na funkcijata f(x) so polinom P4(x), koj to~no gi pretstavuva vrednostite na f(x) vo jazlite

x0,x1,x2,x3,x4. To~nata vrednost na ∫4

0

x

xdx)x(f e dadena so povr{inata pod

krivata, pretstavena so polna linija f(x), a bidej}i aproksimacijata

∫4

0

x

x4 dx)x(P e dadena so povr{inata pod isprekinatata linija P4(x),

zabeleùvame deka, ako razlikata pome|u ovie dve funkcii: δx= f(x) - P4(x) se razlikuva po znak vo razli~nite segmenti od intervalot x0 do x4 vo koj se integrira ({to e voobi~aen slu~aj), toga{ vkupnata gre{ka pri integracijata moè da bide mala, odnosno:

∫−∫∫ =δ4

0

4

0

4

0

x

x4

x

x

x

xdx)x(Pdx)x(fdx)x( ,

duri i vo slu~aj koga P4(x), vo site to~ki dovolno dobro ne ja aproksimira f(x). Pozitivnite gre{ki vo eden segment se poni{tuvaat so negativnite gre{ki vo drugite segmenti. Metodite za integracija {to voobi~aeno se koristat moè da se podelat na dve grupi: − Wutn-Kotesovi formuli za integracija so ekvidistantni jazolni

to~ki − Gausovi kvadraturni formuli za jazli na neednakvi rastojanija. Integracionite formuli so ednakvi intervali moè da se generiraat so integrirawe na eden od op{tite interpolacioni polinomi. Bidej}i f(x) e poznata samo so vrednostite vo jazolnite to~ki ednakvo raspredeleni so ~ekor h, logi~en izbor za polinomna prezentacija e onoj dobien so forma na kone~ni razliki (napred, nazad ili centralni) Formuli dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom So integrirawe na Wutnoviot interpolacionen polinom za interpolacija napred vo granicite od x0 do xn, se dobivaat pove}e formuli za numeri~ka integracija.

Ovde }e bidat izvedeni samo tri, a za drugite }e bidat dadeni potrebnite koeficienti.

)1nu)....(2u()1u(u!ny

......)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

−−−⋅−⋅

∆+

++−⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+⋅

∆+=


NUMERI^KI METODI

a) ∫1

0

x

x1 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na linearna

funkcija od x0 do x1. P1(x)=y0+∆y0.u x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x1 u=1 Poslednata formula e osnovna formula na trapeznoto pravilo za numeri~ka integracija.

b) ∫2

0

x

x2 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kvadratna

funkcija od x0 do x2. P1(x)=y0+∆y0.u+∆2y0.u(u-1)/2 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x2 u=2 Ovaa formula e poznata kako osnovna formula na Simpsonovoto pravilo za numeri~ka integracija.

)yy(2h

2yyy2h)

2yyy(hdx)x(P

yyy

)2yy(h)

2uyuy(h

du)uyy(hdu)u(Phdx)x(P

0101001

0

x

x

010

00

2

00

1

000

1

0

x

x

1

0

1

0

+=−+

=−

+=⋅

−=∆

∆+=∆+=

=⋅⋅∆+=⋅=⋅

∫

∫∫∫1 0

2 0

)yy4y(3h

)3

yy4y(h

3y

3y2

3y

y2y2y2[hdx)x(P

yy2yy;yyy

)3y

y2y2(h)]2

u3

u(2y

2uyuy[h

du)]1u(u2y

uyy[hdu)u(Phdx)x(P

210

210210010

x

x

21002

010

02

00

230

22

00

2

0

02

00

2

0

x

x

2

0

2

0

++=

=++

=+−+−+=⋅

+−=∆−=∆

∆+∆+=−

∆+∆+=

=⋅−⋅∆

+⋅∆+=⋅=⋅

∫

∫∫∫


NUMERI^KI METODI

v) ∫3

0

x

x3 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kubna funkcija

od x0 do x3. P3(x)=y0+∆y0.u+∆2y0.u(u-1)/2+∆3y0.u(u-1)(u-2)/6 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x3 u=3 Integracijata spored ovie tri formuli e ilustrirana na slednava slika: a) b) v) Rezultatite od integracijata za polinomi od povisok red se vo

forma: Koeficientite vo integracionata formula za n=1 do n=8 se dadeni vo slednava tabela.

3 0

)yy3y3y(8h3dx)x(P

)8y3

4y9

y29y3(h

)]2

u3

u34

u(6y

)2

u3

u(2y

2uyuy[h

du)]2u)(1u(u23

y)1u(u

2y

uyy[h

du)u(Phdx)x(P

3210

x

x

03

02

00

2340

3230

22

00

3

0

03

02

00

3

0

x

x

3

0

3

0

+++=⋅

∆+

∆+∆+=

+−∆

+−∆

+∆+=

=⋅−−⋅⋅

∆+−⋅

∆+⋅∆+=

=⋅=⋅

∫

∫

∫∫

itn

x0 x1 h

x0 x1 x2 h h

x0 x1 x2 x3 h h h

)yc..........ycyc(Chdx)x(P nn110

x

x0

n

0

⋅+⋅+⋅∫ =


NUMERI^KI METODI

Trapezno pravilo Ako osnovnata ravenka dobiena so integrirawe na linearna funkcija ja primenime na site intervali na funkcijata, }e ja dobieme formulata za numeri~ka integracija so pomo{ na trapeznoto pravilo. So pove}ekratno koristewe na osnovnate formula na trapeznoto pravilo ja dobivame formulata za numeri~ka integracija na funkcijata P(x) vo grancite x∈[x0,xn], so pomo{ na trapeznoto pravilo.

Simpsonovo pravilo Ova e naj~esto upotrebuvana formula za numeri~ka integracija. Taa se dobiva primenuvaj}i ja formulata dobiena pod b) so integrirawe na kvadratna funkcija vo intrevalite [x0- x2], [x2- x4] itn.

n C c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1 1/2 1 1 2 1/3 1 4 1 3 3/8 1 3 3 1 4 2/45 7 32 12 32 7 6 1/140 41 216 27 272 27 216 41 8 4/14175 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989

x0 x1 x2 x3 h h h

y0 y1 y2 y3 yn-1 yn

xn-1 xn x

y

h

)yy2.........y2y2y(2hdx)x(P

)yy(2h.........)yy(

2h)yy(

2h)yy(

2hdx)x(P

n1n210

x

x

n1n322101

x

x

n

0

n

0

+++++=⋅

++++++++=⋅

−

−

∫

∫


NUMERI^KI METODI

Treba da se naglasi deka intervalite se ednakvi i nivniot broj e paren, a brojot na to~kite e neparen.

Primer 1. Da se presmeta integralot ∫1

4.0

x

dxxe

so pomo{ na trapeznoto

pravilo, so ~ekor h=0.1.

k xk exk yk=exk/xk 0 0.4 1.4918 3.7295 1 0.5 1.6487 3.2954 2 0.6 1.8221 3.0368 3 0.7 2.0138 2.8734 4 0.8 2.2255 2.7819 5 0.9 2.4596 2.7288 6 1.0 2.7183 2.7183

7163.14y5

1k =∑

x

y

x0 x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn

y0 y1 y2 y3 y4 yn-2 yn-1 yn

)yy4y2.........y4y2y4y(3hdx)x(P

)yy4y(3h.....)yy4y(

3h)yy4y(

3hdx)x(P

nn2n3210

x

x

n1n2n432210

x

x

n

0

n

0

+++++++=⋅

+++++++++=⋅

−

−−

∫

∫


NUMERI^KI METODI

79402.1)7183.27163.1427295.3(1.021)yy2y(1.0

21

]y)yyyyy(2y[h21dx

xe

6

5

1k0

6543210

1

4.0

x

=+⋅+=+∑+=

=++++++=∫

Primer 2. Integralot od primer 1 da se presmeta so Simpsonovata formula.

78919.1]7183.28178.528976.847295.3[31.0

]y)yy(2)yyy(4y[31.0

]yy4y2y4y2y4y[3hdx

xe

6425310

6543210

1

4.0

x

=+⋅+⋅+=

=++++++=

=++++++=∫

Primer 3. Da se presmeta ∫π 2/

0dx)xsin( , koristej}i gi vrednostite na

funkcijata dadeni vo tabelata. Pritoa da se koristi: a) op{tata integraciona formula dobiena od Wutnoviot

interpolacionen polinom b) trapeznoto pravilo v) Simpsonovoto pravilo

x 0 π/12 2π/12 3π/12 4π/12 5π/12 6π/12 Sin(x) 0 0.25882 0.5 0.70711 0.86603 0.96593 1.00 Dobienite rezultati da se sporedat so to~noto re{enie koe iznesuva 1.00. a) So primena na ravenkata dobiena od Wutnoviot interpolacionen

polinom za n=6:

1.0000041.0)410.965932160.8660327

0.707112720.5270.25882

=⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅π

=∫π

2160.041(12140

1dx)xsin(2/

0


NUMERI^KI METODI

b) Primena na trapeznoto pravilo:

994285.059578.71309.0

]0.1)96593.086603.070711.05.025882.0(20[122

1dx)xsin(2/

0

=⋅=

=+++++⋅+π

=∫π

v) So primena na Simpsonovata formula

00003.14595.11087266.0

]0.1)86603.05.0(2)96593.070711.025882.0(40[123

1dx)xsin(2/

0

=⋅=

=+++++⋅+π

=∫π

Od rezultatite se gleda deka najto~na e integracijata sprovedena so ravenkata pod a). Gausova formula za numeri~ka integracija (Gausova kvadratura) Metodite za numeri~ka integracija {to bea prethodno dadeni (trapezno i Simpsonovo pravilo) se bazirani na vrednostite na funkcijata vo to~ki koi se na ednakvo rastojanie. Konsekventno na toa, lokacijata na krajnite to~ki koi se koristat vo ovie ravenki e fiksna. Na primer, trapeznoto pravilo e bazirano na opredeluvawe na povr{inata pod pravata linija koja gi povrzuva vrednostite na funkcijata vo krajnite to~ki na intervalot na integracijata. Trapeznoto pravilo mo`e da se izrazi:

∫+

−≈=b

a 2)a(f)b(f)ab(dx)x(fI

a b x

f(x)

f(b) f(a)

Povr{ina=2

)a(f)b(f)ab( +−


NUMERI^KI METODI

Trapeznoto pravilo bara linijata da pominuva niz krajnite to~ki (takanare~eni pivotni to~ki); ima slu~ai koga formulata rezultira vo golema gre{ka, {to moè da se vidi i od gornata slika. Ako go otstranime ograni~uvaweto za fiksni krajni to~ki, toga{ moème da ja procenime povr{inata pod pravata linija koja povrzuva koi i da bilo dve to~ki od krivata. So pravilen izbor na ovie dve to~ki moè da se postigne poni{tuvawe na pozitivnite i negativnite gre{ki na integracijata, odnosno moè da se dobie poto~na procena na vrednosta na integralot (povr{inata pod funkcijata). Ovoj koncept e osnova na Gausovata kvadratura, ili na Gausovata formula, za numeri~ka integracija. Izveduvaweto na Gausovata formula }e bide pojasno ako prethodno ja izvedeme trapeznata formula, koristej}i go metodot na neopredeleni koeficienti.

∫+

−≈=b

a 2)a(f)b(f)ab(dx)x(fI ......................1)

Ravenkata 1) moè da se izrazi:

∫ ⋅+⋅≈=b

a21 )b(fC)a(fCdx)x(fI ......................2)

kade {to C1 i C2 se konstanti koi treba da bidat opredeleni. Treba da zabeleìme deka trapeznoto pravilo }e dade to~no re{enie ako funkcijata {to se integrira e konstanta ili prava linija. Najednostavni dve ravenki koi gi pretstavuvaat ovie dva slu~aja se:

1)x(f = i x)x(f =

x

f(x)

a b


NUMERI^KI METODI

Granicite na integracijata se menuvaat: namesto [a,b] tie se

[2

)ab( −−,

2)ab( −

]. Ako f(x)=1, f(a)=f(b)=1 i ako gi zamenime vo

ravenkata 2), }e dobieme:

ab2

)ab(2

)ab(CC

)2

)ab((2

)ab(xdx1dx)x(fCC

CC)1(C)1(C)b(fC)a(fCdx)x(fI

21

2)ab(

2)ab(

2)ab(

2)ab(

2)ab(

2)ab(

21

2121

2)ab(

2)ab(

21

−=−

+−

=+

=−

−−−

====+

+=⋅+⋅=⋅+⋅==

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

∫∫

∫

abCC 21 −=+ ......................3)

Ako x)x(f = , toga{: 2

)ab()a(f −−= i

2)ab()b(f −

= vo ravenkata 2).

Po menuvaweto na granicite, dobivame:

08

)ab(8

)ab(2

xxdxdx)x(f2

)ab(C2

)ab(C

)2

)ab((C2

)ab(C)b(fC)a(fCdx)x(f

222)ab(

2)ab(

22)ab(

2)ab(

2)ab(

2)ab(

21

21

2)ab(

2)ab(

21

=−

−−

====−

+−

−

−⋅+

−−⋅=⋅+⋅=

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−

∫∫

∫

x

f(x)

2)ab( −−

f(x)=1

2)ab( −

x

f(x)

2)ab( −−

f(x)=x

2)ab( −


NUMERI^KI METODI

02

)ab(C2

)ab(C 21 =−

+−

− ......................4)

Ravenkite 3) i 4) mo`e da se re{at simultano i da se opredelat konstantite C1 i C2:

02

)ab(C2

)ab(C

abCC

21

21

=−

+−

−

−=+

0)CC)(ab( 21 =+−−

Bidej}i (b-a) ne mo`e da bide nula, od vtorata ravenka imame:

12

21

CC0)CC(

==+−

Ako zamenime vo prvata ravenka, }e dobieme:

abC2abCCabCC

1

11

21

−=−=+−=+

2abC

2abC

2

1

−=

−=

..............5)

Ako gi zamenime ovie dve vrednosti vo ravenkata 2), }e ja dobieme formulata na trapeznoto pravilo:

2)b(f)a(f)ab(I

)b(f2

ab)a(f2

abI

)b(fC)a(fCI 21

+−=

−+

−=

⋅+⋅=


NUMERI^KI METODI

Opredeluvawe na Gausovata kvadraturna formula so dve to~ki Ovaa formula mo`e da se izvede na sli~en na~in kako i prethodno izvedenata trapezna formula, koristej}i ja slednava forma:

∫ ⋅+⋅≈=b

a2211 )x(fC)x(fCdx)x(fI ..............6)

Sprotivno na trapeznoto pravilo koe koristi fiksni krajni to~ki a i b, vo ovoj slu~aj argumentite x1 i x2 ne se poznati i fiksni (ne se krajni to~ki), taka {to vo gorniot izraz imame vkupno 4 nepoznati. Isto taka se menuvaat i granicite na integracijata, od granici [a,b] vo granici [-1,+1]

Granicite se menuvaat za da se uprostat matemati~kite operacii i za da se napravi {to e mo`no pogeneralna formulacija. Za da gi opredelime nepoznatite, C1, C2, x1 i x2, potrebno e da definirame ~etiri uslovi, kako {to sledi. Ravenkata 6) mo`e da se primeni za integracija na: konstantna, linearna, paraboli~na i kubna funkcija:

konstantna linearna kvadratna kubna f(x) 1 x x2 x3

Vo vrska so ravenkata 6) i tabela 1, treba da se re{at slednive 4 ravenki (rav. 7):

∫−

==⋅+⋅1

12211 2dx)1()x(fC)x(fC

∫−

==⋅+⋅1

12211 0xdx)x(fC)x(fC

x

f(x)

-1 +1

f(x1) f(x2)

x1 x2


NUMERI^KI METODI

∫−

==⋅+⋅1

1

22211 3

2dxx)x(fC)x(fC

∫−

==⋅+⋅1

1

32211 0dxx)x(fC)x(fC ...............................7)

0)x(C)x(C32)x(C)x(C

0)x(C)x(C2)1(C)1(C

32

31

22

21

2211

21

21

21

=⋅+⋅

=⋅+⋅

=⋅+⋅=⋅+⋅

....................8)

Od prvata ravenka na sistemot se dobiva C2=2- C1. So zamena na ovaa vrednost vo vtorata ravenka od sistemot 8), se dobiva:

1

21

1

211

2111

Cx)2C(

Cx)C2(

x

0x)C2(xC⋅−

=⋅−−

=

=⋅−+⋅

Re{enijata za C2 i x1 gi zamenuvame vo tretata ravenka od sistemot 8):

32x)C2()

Cx)2C(

(C

32xCxC

212

221

1

22

21

21

2

21

=⋅−+⋅−

⋅

=⋅+⋅

Poslednata ravenka ja re{avame po 2

2x :

)C36

C(x1

212

−=

Zamenuvaj}i go re{enieto za x1 vo poslednata ravenka od sistemot 8), dobivame:

0x)C2(C

x)2C(C

0)x(C)x(C

313

1

331

1

32

31

22

21

=−+−

⋅

=⋅+⋅

{to e ekvivalentno na:

0]C)2C)[(2C(x 2211

312 =−−−


NUMERI^KI METODI

Poradi toa {to x2 ne moè da bide nula i C2 ne moè da bide ednakvo na 2, od poslednata ravenka imame:

4C4

0C4C4C

0]C)2C[(

1

21

2

221

11

1

−=−

=−+−

=−−

Spored toa, C1=1, a drugite nepoznati se: C2=1

5773503.03

1)1(36

1C36

Cx

1

12 ==

−=

−=

5773503.03

1xx 21 −=−=−=

Spored toa, Gausovata kvadraturna formula so 2 Gausovi to~ki e:

∫

∫

+

−

+

−

⋅+−⋅≈=

⋅+⋅≈=

1

1

1

12211

)3

1(f1)3

1(f1dx)x(fI

)x(fC)x(fCdx)x(fI

Gausovi kvadraturni formuli od povisok red - Drugi Gausovi formuli, so pove}e Gausovi to~ki, moè da se

izvedat na sli~en na~in. - Kako {to i se o~ekuva, kolku e pogolem brojot na Gausovite to~ki

tolku e povisoka preciznosta {to moè da bide postignata. - Ravenkite potrebni za opredeluvawe na koeficientite, vo

kompaktna forma, se dadeni kako:

∫−

==⋅+⋅⋅+⋅1

1

0nn

022

01 2dx)1(xC.....xCxC 1

∫−

==⋅+⋅⋅+⋅1

1

1nn

122

11 0dx)x(xC.....xCxC 1

∫−

==⋅+⋅⋅+⋅1

1

22nn

222

21 0dx)x(xC.....xCxC 1 ......................9)

.........


NUMERI^KI METODI

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=+

−−+=⋅+⋅⋅+⋅

++

brojneparenekako

brojparenekako

1k2

01k

)1()1(xC.....xCxC1k1k

2nn

222

21 1

0n2

)1()1(xC.....xCxCn2n2

1n2nn

1n222

1n21 1 =

−−+=⋅+⋅⋅+⋅ −−−

Gausovite formuli od povisok red moè da se razvijat vo op{ta forma kako:

)z(fC......)z(fC)z(fCdx)x(fI nn

b

a2211 ⋅++⋅+⋅== ∫

Teìni i apscisi na Gausovata kvadratura so 6 Gausovi to~ki

to~ka apscisa teìna 1 2 3 4 5 6

z1=-0.932469514 z2=-0.661209386 z3=-0.238619186 z4=0.238619186 z5=0.661209386 z6=0.932469514

C1=0.171324492 C2=0.360761573 C3=0.467913935 C4=0.467913935 C5=0.360761573 C6=0.171324492

Primena na Gausovata kvadratura • Transformacija na promenlivite

Vidovme deka granicite na integracijata se promeneti vo novi granici [-1 , +1]. Promenata na granicite e napravena so pretpostavkata deka novata promenliva z e vo linearna zavisnost so starata promenliva x:

BzAx += Ako dolnata granica e x=a, ova odgovara na: z= -1. Ako zamenime vo gornata ravenka, }e dobieme:

)1(BAaBzAx

−+=+=


NUMERI^KI METODI

Sli~no, ako gornata granica e x=b, toga{ z=+1. Zamenuvame vo ravenkata:

)1(BAbBzAx

+=+=

Konstantite A i B }e se dobijat so re{avawe na sistemot ravenki:

)1(BAb)1(BAa

+=−+=

Re{enijata se:

2abB;

2abA −

=+

=

Ako ovie re{enija se zamenat vo izrazot: BzAx += , }e dobieme:

z2

ab2

abx −+

+=

odnosno:

2)ab()ab(zx ++−

= od kade {to dobivame: dz2

)ab(dx −= .

Ako teìnite gi ozna~ime so W (kako {to se sre}ava vo literaturata), Gausovata formula za numeri~ka integracija moè da se zapi{e vo forma:

)x(fWdx)x(f k

n

1kk

b

a⋅∑≈∫

=

kade {to Wk se teìni, a xk se apscisi na jazlite na integracijata. Smislata na ovie teìni moè da se ilustrira i so prethodno dadenite formuli za numeri~ka integracija. Taka, na primer, kaj trapeznoto pravilo:

teìnite se pretstaveni so izrazite pred vrednostite na funkcijata: h/2,h,h,h, ,h,h/2. Toa se teìni koi odgovaraat na

n1n210

b

ay

2hhy.........hyhyy

2hdx)x(f +++++≈∫ ⋅ −


NUMERI^KI METODI

to~kite, x0,x1,x2,......, xn-1,xn. Sli~no i kaj Simpsonovoto pravilo, napi{ano vo forma,

goleminite h/3, 4h/3, 2h/3, 4h/3, 2h/3,......,2h/3, 4h/3, h/3 gi pretstavuvaat teìnite za jazlite x0,x1,x2, x3, x4,......, xn-2, xn-1,xn. Pri Gausovata integracija, brojot na to~kite n se smeta za fiksiran i za nego se izbiraat Wk i xk koi se zadadeni vo tablica. Pritoa, kako {to be{e prethodno pokaàno, se vr{i transformacija na funkcijata f(x), a ≤ x ≤ b, vo intervalot -1 ≤ z ≤ +1, koja se postignuva so zamenata:

2)ab()ab(zx ++−

=

Ottuka:

)ab()ab(x2z;dz

2)ab(dx

−+−

=−

=

Pri ovaa transformacija, kako {to vidovme prethodno, se menuvaat i granicite na integracijata:

za x= a z = -1 za x= b z = +1

So toa levata strana na ravenkata za Gausovata integracija stanuva:

dz)2

)ab()ab(z(f2

abdx)x(f1

1

b

a

++−⋅∫

−≈∫

+

−

Bidej}i standardnata formula za Gausova integracija e dadena so izrazot:

)z(fWdz)z(f k

n

1kk

1

1⋅∑≈∫

=

+

−,

toga{ integralot ∫b

adx)x(f moè da se aproksimira so:

)2

ab)ab(z(fW2

abdx)x(f kn

1kk

b

a

++−⋅∑

−≈∫

=

Vo narednata tabela se dadeni parametrite na Gausovata integracija so 2, 3, 4 i 5 Gausovi to~ki, a prethodno bea dadeni vrednostite i za 6 to~ki.

n1n2n3210

b

ay

3hy

3h4y

3h2.........y

3h4y

3h2y

3h4y

3hdx)x(f ++++++≈∫ ⋅ −−


NUMERI^KI METODI

n

br. na to~ki

k to~ka

zk (apscisi) Wk (te`ini)

2 1 -0.577 350 27 1.0 2 0.577 350 27 1.0

3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 2 0 0.888 888 89 3 0.774 596 67 0.555 555 56

4 1 -0.861 136 31 0.347 854 85 2 -0.339 981 04 0.652 145 15 3 0.339 981 04 0.652 145 15 4 0.861 136 31 0.347 854 85

5 1 -0.906 179 85 0.236 926 89 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 3 0. 0.568 888 89 4 0.538 469 31 0.478 628 67 5 0.906 179 85 0.236 926 89

Primer 4. So Gausovata integraciona formula za dve Gausovi to~ki, da se opredeli vrednosta na integralot.

∫ ⋅+++=∫+

−

+

−

1

1

231

1dz)1zzz(dz)z(f

Od prethodnata tabela za 2 Gausovi to~ki se ot~ituvaat vrednostite za zk i Wk.

69133103.2)57735027.0(f97532563.0)57735027.0(f

)57735027.0(f0.1)57735027.0(f0.1)z(fWdz)z(f2

1kkk

1

1

=−=

−⋅+⋅=∑ ⋅=∫=

+

−

66666666.2dz)1zzz(1

1

23 =∫ ⋅++++

−

{to se poklopuva so to~noto re{enie. Primer 5. Da se primeni Gausovata integraciona formula so pet to~ki za presmetuvawe na integralot:

∫=2

1 xdxI ; to~no te{enie: ln(x)⏐ =0.693 147 18

2

1


NUMERI^KI METODI

Vr{ime transformacija na promenlivata 1≤ x ≤ 2 vo promenliva -1≤ z ≤ 1.

2dzdx;dx2dz;3x2

1212x2

)ab()ab(x2z ==−=

−−−

=−

+−=

Potoa ja transformirame funkcijata f(x) vo F(z):

Presmetuvaweto po Gausovata formula so 5 Gausovi to~ki e dadeno vo slednava tabela:

k zk Wk F(zk)=1/(zk+3) Wk.f(zk)

1 -0.906 179 85 0.236 926 89 0.477 595 93 0.113 155 29 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 0.406 251 28 0.194 443 51 3 0. 0.568 888 89 0.333 333 33 0.189 629 62 4 0.538 469 31 0.478 628 67 0.282 608 08 0.135 264 33 5 0.906 179 85 0.236 926 89 0.256 004 60 0.060 654 37

∑ ⋅=

2

1kkk )z(fW

0.693 147 12

Dobienoto re{enie so 5 Gausovi to~ki e to~no do 6-tiot decimal. Primer 6. Koristej}i ja Gausovata formula za integracija so 2 i so 3 Gausovi to~ki, da se proceni vrednosta na integralot za koj to~noto re{enie iznesuva:

2)11()0cos(cos)xcos(dx)xsin(F0

0=−−−=−π−=−=∫= ππ

Pritoa, da se koristi formata na Gausovata formula vo koja ne se vr{i transformacija na funkcijata f(x) vo F(z). So dve Gausovi to~ki:

9358.1261619.02

)]2

)0()0(57735.0sin(0.1)2

)0()0(57735.0sin(0.1[2

0F

)2

ab)ab(z(fW

2abdx)x(f k

n

1kk

b

a

=⋅π

=

=+π+−π

⋅++π+−π−

⋅−π

≈

++−⋅∑

−≈∫

=

dz3z

12dz

3z2

xdx

3z2

12)12(z2

2ab)ab(z

1)z(F;x1)x(f

1

1

1

1

2

1∫

+=∫

+=∫

+=

++−=

++−==

+

−

+

−


NUMERI^KI METODI

So tri Gausovi to~ki:

001389.2)]2

774596.0sin(55555.0

)0sin(88888.0)2

774596.0sin(55555.0[2

F

==π+π

⋅+

+⋅+π+π−

⋅π

≈

Primer 7. So pomo{ na trapeznoto pravilo, da se proceni

integralot ∫ +2

0dx1x . Funkcijata da se tabelira vo dadeniot

interval so ~ekor h=0.5.

x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 y 1 1.22 1.414 1.58 1.73

7895.2]73.1)58.1414.122.1(21[25.0dx1x

2

0=++++≈∫ +

Primer 8. Da se interpolira polinom koj minuva niz dadenite to~ki. Pritoa da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom napred.

x -1 1 3 5 y 3 3 27 75

Potoa da se opredeli povr{inata zafatena od interpoliraniot polinom vo granicite od -1,0 do 5,0 i apscisnata oska, a so pomo{ na Simpsonovot pravilo za 6 intervali i so Gausovata formula so 3 Gausovi to~ki. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie dobieno so direktna integracija.

i x y ∆y ∆2y ∆3y 0 -1 3 0 24 0 1 1 3 24 24 2 3 27 48 3 5 75

22

21030

3

1020

2

00

0

x3)1x()1x(22

2403)x(P

....)xx()xx()xx(h!3y

)xx()xx(h!2y

)xx(h!1

yy)x(P

=−⋅+⋅

++=

+−⋅−⋅−⋅

∆+−⋅−

⋅∆

+−⋅

∆+=


NUMERI^KI METODI

- Direktna integracija: 1263x3dxx3 5

1

35

1

2 =≈∫ −−

,to~no re{enie.

- So pomo{ na Simpsonovata formula so 6 intervali. Funkcijata (polinomot) se tabelira vo granicite od -1.0 do 5.0, so ~ekor h=[5-(-1)]/6, h=6/6=1,0:

i 0 1 2 3 4 5 6 x -1 0 1 2 3 4 5 y 3 0 3 12 27 48 75

126]75)273(2)48120(43[31

]y)yy(2)yyy(4y[3hdxx3 6425310

5

1

2

=++++++=

=++++++≈∫−

- So Gausovata formula za integracija za 3 Gausovi to~ki:

)x(fWdx)x(f k

n

1kk

b

a⋅∑≈∫

=

∫ ⋅++=∫

++=+==

==−

=

+=+

=

−=

+−−

=−

+−=

−−

1

1

21

1

222

dz3)4z12z9(3dz)z(F

)4z12z9(3)2z3(3x3)x(P

dz3dz26dz

2)ab(dx

2z32

4z6x

64x2

)15()15(x2

)ab()ab(x2z

n k zk wk F(zk) F(z).wk 3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 0.9435585 0.5291991 2 0 0.888 888 89 36 31.99999 3 0.774 596 67 0.555 555 56 168.25642 93.475782 Σ 126

Sistemi linearni algebarski ravenki 73

NUMERI^KI METODI

5. SISTEMI LINEARNI ALGEBARSKI RAVENKI Op{to za sistemite linearni algebarski ravenki Simultanite linearni algebarski ravenki (SLAR) se javuvaat vo skoro sekoja granka na primenetata matematika, ponekoga{ u{te vo po~etokot na formuliraweto na problemot, a nekoga{ i kako edna od fazite na re{avaweto. Mnogu problemi od mehanikata, fizikata, ekonomijata itn, kako matemati~ki model, se sveduvaat na sistem od linearni algebarski ravenki. Ova poglavje ima golemo zna~ewe bidej}i golem broj problemi se izrzuvaat vo forma na linearni diferencijalni ravenki. So soodvetni transformacii, re{avaweto na sistem od linearni diferencijalni ravenki so konstantni koeficienti moè da se svede na re{avawe na sistem od linearni algebarski ravenki. Za daden sistem ravenki, bez ispituvawe, ne moè da se kaè dali ima re{enie i, ako ima, dali e toa edinstveno. Postojat tri i samo tri mo`nosti: 1. sistemot ima edinstveno re{enie (najinteresen za nas)

x1-x2 = -1

2x1+x2 = 4

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

x1

x2

2x1+x2 = 4 x1- x2 = -1 __________

x1 =1 x2 =2

74 Sistemi linearni algebarski ravenki

NUMERI^KI METODI

2. sistemot nema re{enie

4x1+ 6x2=10

2x1 + 3x2=6

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

3

-2 -1 0 1 2 3 4

3. sistemot ima beskrajno mnogu re{anija

4x1+ 6x2=12

2x1 + 3x2=6

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

22.5

3

-2 -1 0 1 2 3 4

Sistemite od tipot 2 i 3 se vikaat singularni sistemi. Vo op{t slu~aj postojat dva tipa numeri~ki tehniki za re{avawe na simultanite ravenki: 1. derektni, koi se kone~ni 2. indirektni, koi se beskone~ni ili iterativni Direktnite metodi doa|aat do to~noto re{enie, ako toa postoi (zanemaruvaj}i gi gre{kite od zaokru`uvaweto), po kone~en broj aritmeti~ki operacii. Od druga strana, indirektnite metodi, vo princip, rabotat so beskone~en broj aritmeti~ki operacii. Ova prakti~no ne mo`e da se

4x1+6x2 = 10 2x1+3x2 = 6 __________ paralelni pravi

4x1+6x2 = 12 2x1+3x2 = 6 __________ pravite se poklopuvaat


NUMERI^KI METODI

ostvari, pa iteraciite mora nekade da se prekinat. Poradi toa indirektnite metodi sodràt i t.n. gre{ki od zanemaruvawe. Sepak, za golemi i za lo{o usloveni sistemi, gre{kite na zaokruùvaweto moè da bidat mnogu golemi, a dobienoto re{enie da nema nikakva smisla. Sistem od n linearni ravenki so n nepoznati moè da se napi{e vo forma:

Ili vo matri~na forma: { } { }bx]A[ =⋅ Ovde [A]=[aij] e nxn matrica na koeficientite, {x}T={x1,x2,....,xn} i {b}T={b1,b2,....,bn}. Pred da pristapime kon metodite za re{avawe na sistemi linearni algebarski ravenki, }e go definirame poimot “rang“ na matrica. Rang na matrica e ednakov na redot na najgolemata determinanta razli~na od nula, koja se sodrì vo matricata na sistemot ravenki. Taka, na primer, rangot na slednive matrici e:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

221432201

;300020001

;112

011;

000000000

;1001

2 0 2 3 2 Kako {to se gleda konceptot na rang, ne e povrzan so kvadratni matrici. Neka so [Ab] ja ozna~ime matricata nx(n+1), koja se dobiva od [A] so dodavawe na vektorot {b} kako (n+1)-vi stolb. Rangot na matricata [A] }e go obeleìme so r(A) a na [Ab] so r(Ab). Osnovnata teorema za postoewe re{enie na sistemot { } { }bx]A[ =⋅ moè da se definira vo tri dela i taa glasi: 1. sistemot ima re{enie ako i samo ako r(A)= r(Ab); 2. ako r(A)= r(Ab)=k<n i ako xi1,xi2,....,xik se k promenlivi, ~ii stolbovi

se linearno nezavisni vo [A], drugite n-k promenlivi moàt da se zadavaat proizvolno;

3. ako e r(A)= r(Ab)=n, postoi edinstveno re{enie. Od 3. sleduva deka, vo slu~aj na homogen sistem ravenki ({b}={0}), netrivijalno re{enie postoi samo i edinstveno toga{ koga r(A)<n.

n,.....2,1i;bxan

1iijij =∑ =⋅

=


NUMERI^KI METODI

Efikasnosta na eden algoritam moè da se proceni spored dva kriteriuma:

1) kolku e brz (kolku operacii se vklu~eni vo algoritamot) 2) kolku e to~no presmetanoto re{enie.

Ovie dva kriteriuma treba da se zemat predvid pri izborot na algoritamot za re{avawe na sistemi od visok red, pri koristewe na ESM. So ogled na ogromniot broj operacii pri golemi sistemi, potrebata za odgovor na prvoto pra{awe e sosema jasna, dodeka potrebata za odgovor na vtoroto pra{awe se nametnuva od faktot {to mali gre{ki pri zaokruùvaweto moàt da imaat golemo vlijanie na dobienite rezultati. Vidovi sistemi ravenki a) Polni so sredna golemina. Pod polni podrazbirame deka

matricata na sistemot ima malku nenulti elementi, a pod sredna golemina redot na matricata da e do 30x30. Vakvi matrici se sre}avaat pri problemite od statistikata, matemati~kata fizika, inènerskite nauki.

b) Nepolni sistemi so lentesti matrici i eventualno golemi. Za razlika od polnite, lentestite matrici imaat mal broj nenulti elementi blisku do glavnata dijagonala. Za golemi se smetaat onie ~ii matrici se od red 100 i pove}e.

Pri re{avaweto na sistemite od ovie dve kategorii, obi~no se koristat razli~ni pristapi. Pri re{avaweto na sistemite so polni matrici skoro redovno se koristat direktni metodi, dodeka pri re{avaweto sistemi od vtorata grupa ~esto se koristat iterativnite metodi. Vo ponovo vreme, so pojavata na kompjuteri so golem kapacitet, direktnite metodi se koristat i za re{avawe na sistemite od vtorata kategorija. Lo[a uslovenost ili nestabilnost na sistemite ravenki Ponekoga{, u{te od formulacijata na problemot se znae deka sistemot ne moè da bide singularen, (K*U=P). Ako vakva informacija nedostasuva, mora da se odbere takov metod na re{avawe koj }e go otkrie toa, ili treba da se napravi ekspliciten test za vakva mo`nost (preku rangot na matricata na sistemot). Podocna }e bide pokaàno deka Gausovata eliminaciona postapka dava brza informacija za singularnosta na sistemot.


NUMERI^KI METODI

I 4x+6y = 10 :2 II 2x+3y = 6

__________________________ I 2x+3y = 5 *(-1) II 2x+3y = 6 (-1)*I+ II = II ’ __________________________ I ‘ 2x+3y = 5 II ‘ 0 +0y = 1 ⇒ y=1/0 ⇒ ??!! ________________________________________ Direkten test za singularnosta e da se opredeli vrednosta na determinantata na matricata na sistemot ravenki. Vrednosta nula ukaùva na singularnost na sistemot ravenki. Sepak, opredeluvaweto na determinantata bara re~isi isto tolku rabota kolku i za re{avawe na sistemot ravenki. Od gledna to~ka na aritmetikata so beskone~na preciznost, eden sistem e ili ne e singularen. Od gledna to~ka na prakti~nata numerika, eden sistem moè da bide skoro singularen {to vodi kon re{enie so mala doverlivost. Eden sistem ravenki se vika stabilen ako relativno mali promeni vo koeficientite predizvikuvaat mali promeni vo vektorot na re{enieto. Vo sprotivno, sistemot se vika lo{o usloven ili nestabilen. Toa }e bide ilustrirano so narednite primeri. Da gi sporedime re{enijata na slednive dva sistema ravenki: Od dobienite rezultati se gleda deka tie enormno se razlikuvaat, i pokraj toa {to imaat skoro identi~ni koeficienti. Sekoj od ovie dva sistema ravenki pretstavuva presek na dve skoro paralelni pravi, pa sosema mal otklon predizvikuva promena na mestopolo`bata na prese~nata to~ka. Vakvi problemi ~esto se sre}avaat pri astronomskite problemi, no i vo drugite oblasti na fizikata, i, ako ne se otkrijat, moè da dovedat do sosema pogre{ni reultati. Da go razgledame sledniov sistem ravenki: 35 x + 49 y = 84 :7 -35x – 50y =-85 :(-5) ____________________________________

x – y = 1 x-1.00001 y = 0 ________________ x=100 001 y=100 000

x – y = 1 x-0.999999 y = 0 ________________ x= - 99 999 y= -100 000


NUMERI^KI METODI

5x + 7y = 12 7x +10y = 17 sistemot ima edinstveno re{enie x=1; y=1 Ako vo ovoj sistem ravenki se obideme da gi zamenime vrednostite x=2.415 i y=0, dobivame: 5*(2.415) + 7*0 = 12,075 7*(2.415) +10*0 = 16.905 Ako desnite strani se zaokruàt na dva decimala, toga{ i pogre{noto re{enie izgleda isto tolku dobro kako i korektnoto. Pri~ina za ova e {to dadeniot sistem ravenki pretstavuva ravenki na dve pravi koi se skoro paralelni, odnosno se se~at pod mnogu mal agol. Nekorektnoto re{enie, iako ne leì na niedna od niv, sepak e blisku i do dvete pravi.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5

7x+10y=17

5x+7y=12

(1,1)(2.415 , 0)

Vakvi sistemi ravenki se vikaat lo{o usloveni. Sekoga{ koga dve pravi (ili ramnini, odnosno hiperramnini vo pove}edimenzionalen prostor) se re~isi paralelni, ravenkite }e bidat lo{o usloveni. Vo takov slu~aj, te{ko e da se najde numeri~ko re{enie ili, ako se najde, toa e so somnitelna to~nost. Kaj sistemite so 3 i so pove}e nepoznati, mo`no e sistemot da bide singularen ili skoro singularen, bez pritoa ramninite da se paralelni ili skoro paralelni. Izvori na gre[ki-Postojat tri pri~ini za gre{ki vo re{enieto na sistem algebarski ravenki. 1. Prvata se dolì na gre{kite vo koeficientite na vektorot {b}.

Koga ovie koeficienti se dobieni empiriski, moème da se pomirime i da gi prifatime kako takvi. Pritoa, ako e poznata gornata granica na empiriskata gre{ka vo {b},toa moème da go


NUMERI^KI METODI

iskoristime za ocenka na gornata granica na gre{kata vo re{enieto {x}. Koga koeficientite vo vektorot {b} se to~no poznati, no pri kompjuterskite presmetki treba da se zaokruàt, ovoj izvor na gre{ki moè da se kontrolira so primena na aritmetika so dvojna preciznost (double precision).

2. Vtor izvor na gre{ki e gre{kata od zaokruùvawe pri izveduvaweto na presmetkovni operacii

3. Tret izvor na gre{ki e gre{kata od prekinuvawe na iterativniot proces {to se javuva kaj indirektnite odnosno na iterativnite metodi, vo koi konvergencijata na re{enieto e bavna, odnosno brojot na iterativnite ~ekori raste neograni~eno, pa procesot nekade mora da go prekineme.

Re{avawe na sistemi ravenki so pomo{ na inverzna matrica

Primer 1. So pomo{ na inverznata matrica na matricata na sistemot, da se najdat re{enijata na sledniov sistem od 3 ravenki so 3 nepoznati:

____________________________________

Inverzija na matricata na sistemot ravenki po Gausoviot metod:

[ ]{ } { }

{ } [ ] { }bAx

bxA

1−=

=

7z2y2x6zy2x25zy2x

=++=++=++

[ ] { } { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

765

b;zyx

x;221122121

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100221010122001121 (2) - (1)

-


NUMERI^KI METODI

Kontrola :

Re{enie:

Metod na Gausova eliminacija Ovoj metod se sostoi vo postapna eliminacija na nepoznatite golemini, sé dodeka ne se dobie edna ravenka so edna nepoznata. Metodot dava mo`nost za neprekinata kontrola i site presmetki mo`e da se sprovedat tabelarno. Razgleduvame sistem od 4 ravenki so 4 nepoznati:

)4(bxaxaxaxa)3(bxaxaxaxa)2(bxaxaxaxa

)I(bxaxaxaxa

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

101100012120001121

: (-2)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1011005.05.05.1010

011001

(0.5) -

[ ][ ] [ ]IAA 1 =−

{ } [ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== −

211

bAx 1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

10110005.015.010001121

(2) -


NUMERI^KI METODI

Pretpostavuvame deka ravenkite se taka podredeni {to a11≠0. Prvata ravenka ostanuva kako takva i se vika glavna ravenka, a ozna~ena e so I. Se definiraat (n-1) mnoìteli vo forma mi=ai1/a11, kade i=2,3,.....,n, odnosno:

;aa

m;aa

m;aa

m11

413

11

313

11

212 ===

Ravenkata I se mnoì so soodvetniot koeficient:

311

41414

11

41313

11

41212

11

41111

11

414

211

31414

11

31313

11

31212

11

31111

11

313

111

21414

11

21313

11

21212

11

21111

11

212

baaxa

aaxa

aaxa

aaxa

aam)I(

baa

xaaa

xaaa

xaaa

xaaa

m)I(

baa

xaaa

xaaa

xaaa

xaaa

m)I(

=⋅+⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+⋅⋅

Potoa, od site drugi ravenki se odzema prvata ravenka pomnoèna so soodvetniot koeficient.

)II(m)I()4()II(m)I()3(

)II(m)I()2(

34

23

2

=⋅−=⋅−=⋅−

4434421

4434421

4434421

0

144144244134433124422114411

0

133143244133333123322113311

0

122142244132233122222112211

1414313212111

bmb)ama(x)ama(x)ama(x)ama(x



bxaxaxaxa

=

=

=

−=−+−+⋅−+⋅−

−=−+−+⋅−+⋅−

−=−+−+⋅−+⋅−

=⋅+⋅+⋅+⋅

Koeficientite na novodobieniot sistem ravenki na ovoj na~in vo skratena forma moè da se napi{at:

1iii

j1iijij

11

1ii

bmb'b

n,....,3,2j;ama'a

n,....,3,2i;aam

⋅−=

=⋅−=

==

O~igledno e deka ai1

’=0.


NUMERI^KI METODI

Na takov na~in sistemot se sveduva na ekvivalenten sistem ravenki vo koj e eliminirana nepoznatata x1 od 2-rata do n-tata ravenka.

)4('bx'ax'ax'a0)3('bx'ax'ax'a0)2('bx'ax'ax'a0)I(bxaxaxaxa

4444343242

3434333232

2424323222

1414313212111

=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅

Procesot prodolùva na ist na~in, so eliminacija na nepoznatata x2 od tretata do poslednata ravenka, pa potoa nepoznatata x3 od ~etvrtata ravenka do poslednata ravenka itn. Kone~no se dobiva triagolen sistem ravenki vo koj poslednata ravenka e so edna nepoznata, a toa vo slu~ajot e nepoznatata x4:

)4('''bx'''a)3(''bx''ax''a)2('bx'ax'ax'a)I(bxaxaxaxa

4444

3434333

2424323222

1414313212111

=⋅=⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

Minimizirawe na gre{kite od zaokruùvaweto moè da se izvr{i so soodvetna izmena na mestata na redovite. Ovoj proces na eliminacija na nepoznatite ne ja menuva vrednosta na determinantata na matricata na sistemot ravenki, iako sekoja izmena na redovite ú go menuva znakot. Po zavr{uvaweto na eliminacijata, vrednosta na determinantata e ednakva na proizvodot na koeficientite od glavnata dijagonala na triagolniot sistem ravenki. Pritoa, znakot se menuva ako brojot na promenite vo redovite e neparen. Vo slu~aite koga treba da se opredeli vrednosta na determinantata na sistemot, eliminacijata e mnogu dobar na~in za toa. Potoa, od poslednata ravenka se opredeluva poslednata nepoznata, pa so zamena nanazad se opredeluvaat drugite nepoznati. Primer 2. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so pomo{ na Gausovata eliminaciona postapka. _________________________________

_________________________________________

2zyx9zy3x24zyx

−=−−=++=++ (2/1) - (1/1)

-

6z2y201zy04zyx

−=−−=−+=++

(-2/1) -


NUMERI^KI METODI

_________________________________________

Primer 3. Sistem bez re{enie (singularen sistem)

______________________________________

______________________________________ y = 1/0 ⇒ singularitet ? Primer 4. Sistemot ravenki od zada~a 1, da se re{i so pomo{ na Gausovata eliminacija.

___________________________________________

4z401zy04zyx

−=−=−+=++

Triagolen sistem

134zy4x2z1y

1z

=−=−−==+=

= Zamena nazad

6y3x210y6x4

=+=+ (2/4) -

1y0x010y6x4

=+=+

7z2y2x16z1y2x25z1y2x1

=++=++=++ (2) - (1)

-

I

II

III 2z1004z1y205z1y2x1

−=−+=++=++

III z=2 II 2 .y + 1.2 = 4; y=1 I 1 .x + 2.1 +1.2= 5; x=1

Kontrola: 1.1+2.1+1.2= 5 0 = 0 2.1+2.1+1.2 = 6 0 = 0 1.1+2.1+2.2 = 7 0 = 0


NUMERI^KI METODI

Primer 5. Koristej}i ja Gausovata eliminacija, da se opredelat re{enijata na dadeniot sistem ravenki. Pritoa da se re{ava tabli~no i so kontrola na koeficientite.

red. br

x y z b S zabele{ka

[1] 6 13 35 18 72 rav. 1

[2] 13 35 109 47 204 rav. 2

[3] 35 109 371 143 658 rav. 3

[4] 1 2.1666 5.8333 3 12 [1]/6

[5] 0 6.8342 33.167 8 48 [2] - 13*[4]

[6] 0 33.169 166.83 38 238 [3] - 35*[4]

[7] / 1 4.8531 1.1706 7.0235 [5]/6.8342

[8] / 0 5.862 -0.828 5.0375 [6] - 33.169*[7]

[9] / / 1 -0.1412 0.8593 [8]/5.862

[9] z = -0.1412

[7] y + 4.8531z = 1.1706 y = 1.8559

[4] x + 2.1666y + 5.8333z = 3.0000 x = -0.1985


NUMERI^KI METODI

METOD-LU dekompozicija Osnovna ideja Vo Gausoviot metod na eliminacija site desni strani, odnosno site vektori b koi se od interes za daden problem, mora da se poznati pred da zapo~ne procesot na eliminacija. Metodot na LU- dekompozicija ja ima taa prednost {to ~ekorot na modifikacija na matricata (ili dekompozicijata) mo`e da se vr{i nezavisno od vektorot na desnata strana. Ovaa karakteristika e prili~no korisna vo praktikata poradi {to, vo najgolem broj slu~ai, izborot na metodot za re{avawe na sistemot ravenki pa|a na metodot na dekompozicija. Za da se razvie osnovniot metod, matricata na koeficienti pred nepoznatite vo sistemot ravenki ja razbivame na produkt od dve matrici:

[ ] [ ] [ ]ULA ⋅=

kade {to [L] e dolna triagolna matrica, a [U] e gorna triagolna matrica. Sega, originalniot sistem ravenki

[ ] { } { }bxA =⋅ stanuva:

[ ] [ ]{ } { }bxUL =⋅ Dadeniot sistem ravenki se razbiva na dva oddelni sistema ravenki koi se ednostavni za re{avawe:

[ ] { } { }byL =⋅ i [ ] { } { }yxU =⋅ Spored toa, klu~ot na ovoj metod e da se najdat dvete matrici, [L] i [U], koi ja zadovoluvaat ravenkata [ ] [ ] [ ]ULA ⋅= . Postapkata e poznata kako LU dekompozicija, a postojat pove}e algoritmi za toa. Naj~esto se koristat narednite tri pristapi za dekompozicija. Dekompozicija na Doolittle:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

44434241

34333231

24232221

14131211

44

3233

242322

14131211

434241

3231

21

aaaaaaaaaaaaaaaa

u000uu00uuu0uuuu

1lll01ll001l0001

Poradi specifi~nata struktura na matricite, re{avaweto rezultira vo set od sistematski formuli.


NUMERI^KI METODI

Dekompozicija na Crout:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

44434241

34333231

24232221

14131211

32

2423

141312

44434241

333231

2221

11

aaaaaaaaaaaaaaaa

1000u100uu10uuu1

llll0lll00ll000l

Opredluvaweto na [L] i [U] se vr{i na sli~en na~in kako i vo prethodniot metod. Faktorizacija na Cholesky: Koga matricata [A] e pozitivno definitna i simetri~na, toga{ va`i :

[ ] [ ]TAA = i { } [ ]{ } 0xAx T > za site {x}≠0 Ako matricata [A] e realna, postoi edinstveno opredelena dolna triagolna matrica [L], koja e isto taka realna:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

333231

2221

11

llll0lll00ll000l

L pri {to n.......,2,1i,0lii =>

Matricata [L] e takva {to:

[ ] [ ]TLU = i [ ] [ ] [ ]TLLA ⋅= Od poslednata relacija se dobivaat vrskite pome|u elementite na matricite [A] i [L]. Toa se ednostavni izrazi za opredeluvawe na elementite od matricata [L]:

n,....,2,1i,ij,ll.....lllla

l.......lla

jjij2j2i1j1iij

2ii

22i

21iii

=<⋅++⋅+⋅=

+++=…….1

Spored toa, elementite na matricata [L] se presmetuvaat spored formulite:

nij1),lla(l1l,lal

lal,al

jk

1j

1kikij

jjij

1i

1k

2

ikiiii

11

1i1i1111

≤<<⋅−=−=

==

∑∑−

=

−

=

……2

Poradi pozitivnata definiranost na matricata [A], potkorenovite golemini vo gornite formuli se pozitivni.


NUMERI^KI METODI

Bidej}i od ravenkata 1 sledi deka: ,al iiij ≤

elementite na matricata [L] ne moè da bidat mnogu golemi i metodot e stabilen. Otkako }e se opredelat elementite na matricata [L], re{enieto na dadeniot sistem ravenki se opredeluva so re{avawe na dva triagolni sistema ravenki:

[ ]{ } { } [ ] { } { }yxL,byL T == Determinantata na matricata [A] moè da se opredeli kako:

2nn2211

T

)l.........ll(])Adet([])Ldet([])Ldet([])Adet([

⋅⋅⋅=

⋅=

Za kontrola treba da bide zadovolena ravenkata:

[ ] [ ] [ ]TLLA ⋅= Primer 6. Primenuvaj}i go metodot za dekompozicija na Cholesky (direktna primena na izrazite 2), da se re{i sledniov sistem ravenki:

1.17x2.4x5.0x2.9x5.0x5.2x5.1

83.10xx5.1x1.3

321

321

321

=++=++

=++

Vo matri~na forma, sistemot ravenki moè da se zapi{e kako:

[ ] { } { }bxA =⋅ kade {to:

[ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1.172.983.10

b;2.45.015.05.25.1

15.11.3A ;

So direktna primena na ravenkite 2, dobivame:

33199.185194.05.2

85194.05.2lal,lal

;56796.076068.1

1la

l;85194.076068.1

5.1la

l;la

l

76068.11.3al

2

1

1k

21

1k

2212222

1i

1k

2ikiiii

11

3131

11

2121

11

1i1i

1111

=−=

−=−=−=

=======

===

∑∑∑==

−

=


NUMERI^KI METODI

01211.0)85194.056796.0(5.0(33199.1

1)lla(l1l

3i,2j;nij1),lla(l1l

01211.056796.02.456796.02.4lal

1

1k21

1

1k3132

2232

jk

1j

1kikij

jjij

21

1k

21

1k

2313333

=⋅−=⋅−=

==≤<<⋅−=

=−=−=−=

∑∑

∑

∑∑

==

−

=

==

Spored toa, matricata [L] e:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

96908.101211.056796.0033199.185194.00076068.1

L

Re{enieto na sistemot [ ]{ } { }byL = e:

{ } [ ] { } { }T1 89178.697276.215103.6bLy =⋅= −

Re{enieto na sistemot [ ] { } { }yxL T = e re{enie na dadeniot sistem ravenki i iznesuva:

{ } [ ] { } { }T1T 5.32.23.1y)L(x =⋅= − Determinantata na matricata na sistemot e:

325.21)96908.133199.176068.1()l.........ll(])Adet([ 22nn2211 =⋅⋅=⋅⋅⋅=

Istoto re{enie na dadeniot sistem ravenki, dobieno so pomo{ na inverznata matrica [A], e dadeno podolu:

10.83 {b}= 9.2 17.1 0.480657 -0.271981 -0.082063 1.3 [A]-1 = -0.271981 0.563658 -0.002345 2.2

-0.082063 -0.002345 0.257913 3.5 Kontrola:

1.76068 0 0[L]= 0.85194 1.33199 0

0.56796 0.01211 1.96908


NUMERI^KI METODI

1.76068 0.85194 0.56796

[L]T= 0 1.33199 0.01211 0 0 1.96908 3.100 1.500 1.000 [A]=[L]*[L]T= 1.500 2.500 0.500 1.000 0.500 4.200

Indirektni (iterativni) metodi za re{avawe SLAR Jakobiev metod Re{avaweto na sistemite ravenki kaj ovie metodi zapo~nuva od edno pretpostaveno ili po~etno re{enie i postepeno se pribli`uva kon to~noto re{enie so pomo{ na iterativen proces. Eden sistem od simultani linearni ravenki se vika dijagonalen koga, vo sekoja ravenka, koeficientot od glavnata dijagonala vo matricata na sistemot po apsolutna vrednost e pogolem od sumata na drugite koeficienti vo soodvetnata ravenka. Mnogu sistemi ravenki koi proizleguvaat pri re{avaweto na fizi~ki problemi se od dijagonalen tip. Na naredniot primer }e prika`eme dva tipa iterativni procesi. Primer 7:

Prviot ~ekor e sekoja ravenka da se re{i po nepoznatata vo dijagonalniot ~len. Taka, od prvata ravenka go izrazuvame x, od vtorata y, a od tretata- nepoznatata z.

Procesot zapo~nuva so zamena na nepoznatite so edno po~etno re{enie, na primer x=y=z=0. Ovie re{enija gi zamenuvame vo

13z10y2x2

13zy10x2

12zyx10

=⋅+⋅+⋅

=+⋅+⋅

=++⋅

y2.0x2.04.1z

z1.0x2.03.1y

z1.0y1.02.1x

−−=

−−=

−−=

(1)


NUMERI^KI METODI

prethodno napi{anite ravenki. Pritoa rabotime so pogolem broj decimali. Vo prviot ~ekor od iterativniot proces dobivame:

x=1.2 y=1.3 z=1.4

Ovie vrednosti pretstavuvaat vtoro probno re{enie i so negova zamena vo ravenkite (1), dobivame novo re{enie:

x=0.930 y=0.920 z=0.900

Postapkata prodol`uva sé dodeka re{enijata od dva posledovatelni ~ekora ne se pribli`at. Pritoa odime, so odnapred zadadena to~nost, do odreden broj decimalni mesta. Procesot go prekinuvame koga re{enijata od dva ~ekora }e se sovpadnat do tret decimal. Rezultatite se dadeni vo slednava tabela:

x 1.018 0.9946 1.0015 0.9996 1.0001 y 1.024 0.9934 1.0019 0.9995 1.0002 z 1.030 0.9916 1.0024 0.9993 1.0002

Ako se izvr{i kontrola, lesno se zaklu~uva deka re{enieto e x=y=z=1.0 . Ovaa postapka e poznata kako Jakobiev iterativen metod. Gaus-Zajdelov iterativen metod Alternativna postapka na prethodnata e Gaus-Zajdeloviot iterativen metod koj }e go ilustrirame na dolunavedeniot primer: Primer 8.

Povtorno zapo~nuvame so po~etno nulto re{enie x=y=z=0. Ova re{enie go zamenuvame samo vo prvata ravenka i dobivame novo re{enie za x. Potoa, vo vtorata ravenka go zamenuvame novodobienoto re{enie za x i po~etnoto re{enie za z. Se dobiva novo re{enie za y, i taka ponatamu, sekoe dobieno re{enie se zamenuva vo narednata ravenka. Rezultatite od iterativniot proces se dadeni podolu:

y2.0x2.04.1z

z1.0x2.03.1y

z1.0y1.02.1x

−−=

−−=

−−=


NUMERI^KI METODI

x’=1.2-0.1(0.0)-0.1(0.0)=1.2 y’=1.3-0.2(1.2)-0.1(0.0)=1.060 z’=1.4-0.2(1.2)-0.2(1.060)=0.948 x’’=1.2-0.1(1.060)-0.1(0.948)=0.9992 y’’=1.3-0.2(0.9992)-0.1(0.948)=1.0054 z’’=1.4-0.2(0.9992)-0.2(1.0054)=0.9991 x’’’=1.2-0.1(1.0054)-0.1(0.9991)=0.9996 y’’’=1.3-0.2(0.9996)-0.1(0.9991)=1.0002 z’’=1.4-0.2(0.9996)-0.2(1.0002)=1.0002 xIV=1.2-0.1(1.0002)-0.1(1.0002)=1.000 0

Metod na matri~na dekompozicija Pri re{avawe na golemi sistemi linearni algebarski ravenki moè da se primeni metodot na matri~na dekompozicija. Vo ovoj metod matricata na sistemot ravenki se deli na podmatrici (blokovi), a sistemot se razbiva na re{avawe pomali sistemi so matrici od ponizok red, za koi polesno moè da se najde inverzija. Neka e zadadena matricata A koja e podelena na 4 podmatrici:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A

Inverzijata na ovaa matrica moè da se pretstavi na sledniov na~in:

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==−

2221

12111

bbbb

BA

Proizvodot na ovie dve matrici e ednakov na matricata na identitetot:

[ ] [ ] [ ] ;I00I

;IAB2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅ kade {to I1 i I2 se edini~ni matrici.

Poa|aj}i od ovoj uslov se dobivaat slednive matri~ni ravenki:

111212221

112

111212222

1112112

11111

112

111212212

11112

aabb

]aaaa[b

aabab

]aaaa[aab

−

−−

−−

−−−

⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅−=


NUMERI^KI METODI

Uslov za primena na ovaa postapka e podmatricata a11 da e kvadratna matrica i da postoi nejzina inverzija. Ako ovoj uslov ne e ispolnet, matricata [A] treba da se preuredi taka, ~lenot a11 kako podmatrica da ima inverzija. Metodot na matri~na dekompozicija e mnogu pogoden za primena vo slu~aj koga matricata na sistemot ravenki ne e napolno ispolneta, odnosno ima nulti ~lenovi ili blokovi, kako na primer, ako imame matrica od tipot:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

11

aa0a

A

Vo toj slu~aj ~lenovite na matricata [B]=[A]-1 }e bidat:

111212221

12222

11111

12

aabb

ab

ab

0b

−

−

−

⋅⋅−=

=

=

=

Otkako }e se opredeli inverzijata, lesno mo`e da se najdat re{enijata na dadeniot sistem ravenki. Primer 9. Da se opredelat re{enijata na dadeniot sistem ravenki so primena na matri~na dekompozicija.

111212221

112

111212222

1112112

11111

112

111212212

11112

aabb

]aaaa[b

aabab

]aaaa[aab

−

−−

−−

−−−

⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

765

zyx

221122121 [ ]{ } { }

{ } [ ] { }

[ ] { } ?BA

bAx

bxA

1

1

==

=

=

−

−


NUMERI^KI METODI

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]010221

2011

)2(112

1012

121224

2212

12b

1211

12

2212

1211b

]aaaa[aab

2212

a;12

a;12a;1a

11

12

1

12

112

111212212

11112

22211211

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

⋅⋅−⋅⋅−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡===

−−

−

−−−

[ ]

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−=−=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=

−−−

105.05.0

1012

1224

2212

1211

12

2212

b

12111

12

0111b

111

22

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−=

15.1

11

12

105.05.0

b21

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=−

1015.05.05.1

011A 1

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

211

765

Azyx

1

Metod na kondenzacija na matricata Sistemot ravenki mo`e da se re{i so pomo{ na sli~en proces, koj e nare~en matri~na kondenzacija.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

PP

yx

aaaa

Od prvata ravenka ja izrazuvame podmatricata na nepoznatite x.


NUMERI^KI METODI

]yaP[ax

Pyaxa

1211

11

11211

⋅−⋅=

=⋅+⋅

−

So zamena na ovoj izraz vo vtorata matri~na ravenka se dobiva:

]PKaP[aP)aaaa(aP[ax

P]aaaa[y

PPaaP]aaaa[y

Pya]yaP[aa

*2121

111

*2

112

1112122121

111

*2

112

1112122

*21

11121212

1112122

2221211

1121

⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−−⋅=

⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−=⋅⋅−⋅

=⋅+⋅−⋅⋅

−−−−

−−

−−

−

Matricata [K] se vika kondenzirana matrica na matricata [A]. Metodot na matri~na kondenzacija se primenuva pri analiza na nekoj problem koga opredeluvaweto na x (odnosno eden podvektor od nepoznatite) ne e neophodno. Takov e slu~ajot, na primer, pri dinami~ka analiza na edna pove}ekatna ramka, koga prisustvoto na rotacionite stepeni na sloboda ne e neophodno, taka {to tie se kondenziraat, a ostanuvaat samo stepenite na sloboda po pomestuvawata na sekoj kat. Ako se zameni izrazot za P2* vo izrazite za nepoznatite x i y, }e se dobijat istite izrazi za ~lenovite od inverznata matrica b11 do b22 kako i po metodot na matri~na dekompozicija. Primer 10. Primerot re{en so matri~na dekompozicija da se re{i so matri~na kondenzacija.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⋅⋅−= −

24

510

76

511

12

76

PaaPP 11

11212*2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

21

24

105.05.0

y

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

PP

yx

aaaa [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡===

2212

a;12

a;12a;1a 22211211

*2

112

1112122 P]aaaa[y ⋅⋅⋅−= −−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==76

P;5P 21

[ ] [ ] [ ] 14524

015124

1211

12

2222

1251

P)aaaa(aP[ax1

*2

112

1112122121

111

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

=⋅⋅⋅−−⋅=−

−−−

Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 95

NUMERI^KI METODI

6. METODI ZA RE[AVAWE NELINEARNI RAVENKI (KORENI NA FUNKCII) Op{to Za re{avawe na kvadratna ravenka od tipot:

0cbxax)x(f 2 =++=

poznata e kvadratnata formula:

a2ac4bbx

2

2,1−±−

=

Vrednostite presmetani so ovaa formula se vikaat koreni na kvadratnata ravenka. Tie gi pretstavuvaat vrednostite na x, za koi funkcijata f(x) ima vrednosti ednakvi na nula.

Koren (koreni) na edna funkcija moè da se definira kako vrednost (vrednosti) na x za koja f(x)=0.

Korenite na funkcijata moè da se nare~at i nuli na funkcijata. Analiti~ko re[enie Korenite na kvadratnata ravenka se opredeleni analiti~ki so koristewe na kvadratnata formula. Za polinom od treti red, trite koreni moè,isto taka, da se opredelat analiti~ki. No, ne postoi generalno re{enie za korenite na polinomi od povisok red. Numeri~ko re[enie Re{enieto na mnogu inènerski problemi ~esto bara opredeluvawe koreni na funkcii koi se sloèni i nelinearni po priroda. Na primer, funkcijata f(x)=e-x-x ne moè da se re{i analiti~ki. Vo takov slu~aj, edinstvena alternativa e aproksimacija so numeri~ki metodi. Pritoa se primenuva iterativna postapka, pri {to e potreben golem broj presmetuvawa, posebno ako korenite treba da se opredelat so pogolema preciznost.

96 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)

NUMERI^KI METODI

Tipovi ravenki Postojat dva tipa ravenki pri opredeluvaweto koreni na funkcii:

• algebarski ravenki • transcendentni ravenki

Polinomite se ednostavna klasa na algebarski funkcii koi vo op{ta forma moè da se pretstavat so:

nn

2210n xa........xaxaa)x(f ++++=

Nekoi specifi~ni primeri na algebarski ravenki (polinomi) se:

22 x5.8x47,32)x(f +−= i 632

6 x6xx4)x(f +−=

Transcendentni funkcii se nealgebarski funkcii koi vklu~uvaat vo sebe trigonometriski, eksponencijalni, logaritamski ili drugi tipovi funkcii. Na primer:

0)xsin(2x)x(f

2

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= i 1)xln()x(f 2 −=

Vo zavisnost od tipot, ravenkata moè da ima eden, dva ili pove}e koreni. Isto taka, korenite na funkciite moè da bidat realni ili kompleksni. Primer za kompleksni koreni se i21x1 += i i21x 2 −= vo slednava kvadratna ravenka:

05x2x 2 =+−

i212

162)1(2

)5)(1(442a2

ac4bbx2

2,1 ±=−±

=−±

=−±−

=

Pri opredeluvawe koreni na funkcii moè da se javat slednive slu~ai: • funkcijata nema koren

f(x)

x


NUMERI^KI METODI

• funkcijata ima eden koren • funkcijata ima dva korena • funkcijata ima tri korena, itn. Iako postojat situacii koga e potrebno da se opredelat kompleksni koreni na nepolinomni funkcii, sepak tie slu~ai se poretki otkolku opredeluvawe koreni na polinomni funkcii. Standardnite metodi za locirawe koreni mo`e da se podelat na dve me|usebno na nekoj na~in povrzani no, sepak, razli~ni klasi problemi:

1. opredeluvawe eden realen koren na algebarska ili transcendentna ravenka vrz osnova na postoewe na aproksimativno re{enie za lokacijata na korenot

f(x)

x

koren

f(x)

x

koreni

f(x)

x

koreni


NUMERI^KI METODI

2. opredeluvawe na site realni i kompleksni koreni na polinomi. Ovie metodi se specijalno razvieni za polinomnite funkcii.

Golem broj inènerski problemi baraat opredeluvawe na set od vrednosti, takanare~eni sopstveni vrednosti ili karakteristi~ni vrednosti. Na primer, konstruktivniot inèner ja koristi analizata na sopstvenite vrednosti pri proektirawe konstrukcii otporni na zemjotres. Sopstvenite vrednosti, naj~esto obeleàni so λ, se vrednosti za koi sledniov sistem ravenki ima netrivijalno (nenulto) re{enie X:

[ ] 0XIA =λ− kade {to se: A - matrica od red n x n. I - dijagonalna edine~na matrica, λ - parametar nare~en sopstvena vrednost na matricata A X - sopstven vektor koj odgovara na sopstvenata vrednost. Edna matrica od n-ti red ima n sopstveni vrednosti, λ1, λ2, ...... λn. Sopstvenite vrednosti na edna matrica se koreni na takanare~eniot karakteristi~en polinom koj se dobiva so razvivawe na determinantata na matricata na sistemot ravenki vo polinom i negovo izedna~uvawe na nula:

0IA =λ−

Primer 1. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na dadenata matrica [A].

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3421

A [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

I

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ−

λ−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

λ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=λ−

3421

00

3421

1001

3421

IA

[ ] [ ] 54)4(2)3)(1(34

21)IAdet( 2 −λ−λ=−λ−λ−=

λ−λ−

=λ−

Karakteristi~nata ravenka na matricata [A] e ravenkata:

0542 =−λ−λ


NUMERI^KI METODI

Re{avaj}i po λ, gi dobivame λ1=-1, i λ2=5, a toa se sopstvenite vrednosti na matricata [A]. Metodi za opredeluvawe koreni na funkcii Ovde }e bidat razgledani slednive metodi za opredeluvawe koreni na funkcii:

1. grafi~ki metod 2. metod na direktno barawe 3. metod na prepolovuvawe 4. Wutn-Rafsonov metod 5. metod na sekanta

Grafi~ki metod Eden metod za opredeluvawe aproksimativno re{enie e da se nacrta grafikot na funkcijata i da se opredeli kade toj ja se~e x oskata. To~kata koja ja pretstavuva vrednosta x za koja f(x)=0, e koren na funkcijata. Iako grafi~kite metodi se korisni za gruba procena na korenite, nivnata primena e ograni~ena poradi malata preciznost. Primer 2. Dadena e ravenka na brzinata na pa|awe na padobran:

]e1[c

gm)t(V t)m/c(−−=

Ravenkata mo`e da se zapi{e kako:

0)t(V]e1[c

gm)c(f t)m/c( =−−= −

Pri slobodno pa|awe na padobranot so masa m i brzina V, po t=10 sekundi, koristej}i go grafi~kiot metod, da se opredeli vrednosta na koeficientot c, za koja f(c)=0. Zadadeni se:

m=68.1 kg (masa na padobranecot) V(t)=40 m/sek (brzina) t=10 sek (vreme) g=9.8 m/sec2 (Zemjino zabrzuvawe)

c -koeficient na triewe (koj treba da go opredelime), ili koren na ravenkata f(c)=0.

040]e1[c

)1.68(81.9)c(f 10)1.68/c( =−−= −


NUMERI^KI METODI

040]e1[c

38.667)c(f c146843.0 =−−= −

Ja tabelirame gornata funkcija za razli~ni vrednosti na c i crtame grafik.

c f( c ) c f( c ) 4 34.19047157 12 6.11394308 5 29.49406869 13 3.77162120 6 25.20892131 14 1.61111635 7 21.29388952 15 -0.38445806 8 17.71225754 16 -2.23026071 9 14.43123592 17 -3.93990998

10 11.42152149 18 -5.52565050 11 8.65690824 19 -6.99850079

Od tabelata zabele`uvame deka vrednosta na funkcijata go menuva znakot pome|u vrednostite za c=14 i c=15. Od grafikot procenuvame deka c≅14.75, i toa go zemame za koren na funkcijata opredelen so grafi~kiot metod. Primer 3. So grafi~ki metod da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] dadena vo primer 1.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3421

A

Vo primer 1 vidovme deka sopstvenite vrednosti na dadenata matrica se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom, koj be{e daden so:

c=14.75


NUMERI^KI METODI

54)(f 2 −λ−λ=λ Ja tabelirame ovaa funkcija i crtame grafik.

λ f(λ)

-3 16 -2 7 -1 0 0 -5 1 -8 2 -9 3 -8 4 -5 5 0 6 7 7 16 8 27

Od tabelata i od grafikot gi ot~ituvame vrednostite na dvata korena na kvadratnata ravenka: λ1=-1, i λ2=5. Nedostatok na ovoj metod e {to odnapred ne znaeme vo koi granici da ja tabelirame funkcijata. Vo ovoj primer odnapred ni bea poznati re{enijata, no vo sprotiven slu~aj bi ni trebalo pove}e vreme za da otkrieme vo koi granici se nao|aat korenite na dadenata funkcija. Metod na direktno barawe - metod na probawe (Direct-Search or Trial and Error Approach) So ovoj metod mo`e da se opredelat korenite na op{ta nelinearna funkcija so direktno presmetuvawe na vrednosta na funkcijata f(x) vo daden interval na x, se dodeka ne se postigne f(x)≈0. So ovoj metod te{ko se doa|a do egzaktnoto re{enie, duri i pri prebaruvawe so mal ~ekor i vo mal interval na x. Namesto to~no re{enie, so ovoj metod se procenuva vo koi granici se nao|a korenot na funkcijata, {to naj~esto ni e dovolno pri re{avawe na in`enerski problemi. Metodot na direktno barawe se sproveduva vo slednite nekolku ~ekori: 1. Se specificira intervalot [A,B] za x vo koj se nao|a korenot na

funkcijata.


NUMERI^KI METODI

Te{ko e da se pogodi vo koj interval postoi koren, a za toa se potrebni prethodni poznavawa na tekot na funkcijata ili pak treba da se nacrta nejziniot grafik za pogolem interval i da se proceni vo koi intervali mo`e da ima koren. 2. Specificiraniot interval go delime na pove}e podintervali

~ija golemina zavisi od preciznosta {to sakame da ja postigneme. Na primer ako korenot treba da go opredelime so to~nost do ±0,002, toga{ vrednosta vo podintervalite treba da iznesuva 0,002.

3. Se presmetuva vrednosta vo site podintervali sé dodeka ne se

najde korenot na funkcijata, odnosno poidntervalot kade {to pa|a to~kata f(x)=0.

Ednostaven test da se opredeli dali korenot se nao|a vo daden interval e da se presmeta vrednosta na funkcijata vo krajnite to~ki na intervalot i da se sporedat znacite na tie dve vrednosti. Za da ima koren vo daden interval, funkcijata treba da go promeni znakot, odnosno da bide zadovolen uslovot f(A)*f(B)<0. f(A)*f(B)<0

f(x)

x A B

A B

0,002

x

f(x)

A

B

f(x)

A

B f(A)*f(B)>0 f(A)*f(B)>0

f(x)

A

B f(x)

x

A

B


NUMERI^KI METODI

Primer 4. So pomo{ na metodot na direktno barawe da se procenat korenite na slednava karakteriisti~na ravenka:

0504188.03146.23)(f 23 =−λ+λ−λ=λ Ravenkata e od treti red, pa spored toa treba da se opredelat tri koreni. Za taa cel ja tabelirame funkcijata so ~ekor 0.05 i gi locirame intervalite vo koi pa|aat trite koreni. λ f( λ ) λ f( λ ) λ f( λ ) λ f( λ ) 0 -0.50419 0.55 0.027717 1.1 -0.25713 1.65 -0.36047

0.05 -0.39583 0.6 0.020572 1.15 -0.28902 1.7 -0.32637 0.1 -0.30173 0.65 0.007427 1.2 -0.31867 1.75 -0.28176

0.15 -0.22112 0.7 -0.01097 1.25 -0.34531 1.8 -0.22591 0.2 -0.15327 0.75 -0.03386 1.3 -0.36821 1.85 -0.15805

0.25 -0.09741 0.8 -0.06051 1.35 -0.3866 1.9 -0.07745 0.3 -0.05281 0.85 -0.09015 1.4 -0.39975 1.95 0.016657

0.35 -0.0187 0.9 -0.12205 1.45 -0.40689 2 0.1250120.4 0.005652 0.95 -0.15544 1.5 -0.40729 2.05 0.248367

0.45 0.021007 1 -0.18959 1.55 -0.40018 2.1 0.3874720.5 0.028112 1.05 -0.22373 1.6 -0.38483 2.15 0.543077 Od tabelata gi locirame trite intervali vo koi pa|aat trite koreni, a toa se:[0,35;0,40] ;[0,65;0,70] ; [1,90;1,95] Ako go nacrtame grafikot na funkcijata, }e mo`eme da gi procenime vrednostite na korenite:

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

λ

f()

Od grafikot gi procenuvame korenite: λ1≈0.4, λ2≈0.7, λ3≈1.9,


NUMERI^KI METODI

Ako se bara to~nost do 0.005, toga{ sekoj od intervalite go delime na podintervali so golemina 0.005 i gi procenuvame korenite. Na primer, za prviot koren dobivame:

Korenot se nao|a vo intervalot [0.385; 0.390]. Korenot go opredeluvame kako sredna vrednost:

388.02

39.0385.01 ≈

+≈λ

Na sli~en na~in gi dobivame drugite dva korena:

673.02

675.067.02 ≈

+≈λ 9425.1

2945.194.1

2 ≈+

≈λ

Op[ti karakteristiki na metodot na direktno barawe • So ovoj metod moè da se opredelat koreni na koja bilo funkcija

ako tie se realni i ako se nao|aat vo daden interval. • Za postignuvawe visok stepen na preciznost ovoj metod moè da

bide pridruèn so mnogu golem broj presmetuvawa poradi mnogu maliot ~ekor, odnosno so goleminata na podintervalite.

• Pri selektirawe na goleminata na podintervalite treba da

bideme pretpazlivi. Ako ~ekorot e premnogu golem, nekoi od korenite moè napolno da se proma{at so primenata na ovoj metod.

• Goleminata na intervalite treba da bide takva {to vo niv da

postoi pove}e od eden koren na funkcijata. • Metodot pretpostavuva deka ima eden i samo eden koren vo

ramkite na eden podinterval. • Ako postoi neparen broj koreni vo intervalot koj se prebaruva,

toga{ f(A) i f(B) }e imaat ist znak, vo koj slu~aj }e bidat proma{eni korenite vo ovoj interval.

Na primer, da ja razgledame slednava nelinearna ravenka:

0056.1x52.0x5.1x)x(f 23 =+−−=

λ f( λ ) 0.3500 -0.0187 0.3550 -0.0158 0.3600 -0.0131 0.3650 -0.0104 0.3700 -0.0078 0.3750 -0.0054 0.3800 -0.0030 0.3850 -0.0007 0.3900 0.0015 0.3950 0.0036 0.4000 0.0057


NUMERI^KI METODI

Ravenkata mo`e da se zapi{e vo slednava forma:

0)8.0x)(2.1x)(1.1x()x(f)x(f1 =+−−== Koreni na ovaa funkcija se x=1.1, x=1.2 u x= -0.8. Ako odbereme goleminata na ~ekorot da bide 0.25, vo ramkite na intervalot A=0.1 i B=1.25, toga{ f(A)=0.036 a f(B)=0.0154 . Bidej}i uslov za da ima koren vo daden interval e f(A) * f(B)<0, postapkata }e prodol`i so prebaruvawe vo nov interval i na toj na~in }e bidat proma{eni korenite x=1.1 i x=1.2.

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

f(X)

f1(x)

Dva glavni problema so metodot na direktno barawe 1. Dvojni (pove}ekratni) koreni

0)1x(1x2x)x(f 22 =−=+−=

x f(X) f1(x) x f(X) f1(x) -1 -0.924 -0.924 0.2 0.9 0.9

-0.9 -0.420 -0.420 0.3 0.792 0.792 -0.8 0.000 0.000 0.4 0.672 0.672 -0.7 0.342 0.342 0.5 0.546 0.546 -0.6 0.612 0.612 0.6 0.42 0.42 -0.5 0.816 0.816 0.7 0.3 0.3 -0.4 0.960 0.960 0.8 0.192 0.192 -0.3 1.050 1.050 0.9 0.102 0.102 -0.2 1.092 1.092 1 0.036 0.036 -0.1 1.092 1.092 1.1 0 0

0 1.056 1.056 1.2 0 0 0.1 0.990 0.990 1.3 0.042 0.042


NUMERI^KI METODI

Dadenata funkcija ima dva ednakvi korena x1=1 i x2=1. Ovoj metod ne mo`e da gi locira i dvata korena. x1=x2=1.

x y x y 0 1 1.1 0.01

0.1 0.81 1.2 0.04 0.2 0.64 1.3 0.09 0.3 0.49 1.4 0.16 0.4 0.36 1.5 0.25 0.5 0.25 1.6 0.36 0.6 0.16 1.7 0.49 0.7 0.09 1.8 0.64 0.8 0.04 1.9 0.81 0.9 0.01 2 1 1 0 2.1 1.21

2. To~ka na diskontinuitet

Na primer, funkcijata: 233e)xcos(x)x(f2x2 −+−=

−

ima prekin koj ne mo`e da bide otkrien so ovoj metod.

-300

-100

100

300

500

700

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-0.20

0.20.40.60.8

11.21.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5


NUMERI^KI METODI

Metod na prepolovuvawe na intervalot (Bisection)

Metodot na prepolovuvawe na intervalite se nadovrzuva na metodot na direktno barawe. Toj se koristi vo slu~ai koga e poznato deka vo daden interval na x, postoi samo eden koren. Za isto nivo na preciznost, ovoj metod bara pomalku presmetuvawa otkolku metodot na direktno barawe. Metodot na prepolovuvawe na intervalite e edna od najednostavnite tehniki za opredeluvawe koreni na funkcii. Postapkata e sledna: - ja razgleduvame funkcijata y=f(x) i treba da ja opredelime

vrednosta na x za koja y=0; - se opredeluva vrednost na funkcijata vo dve to~ki, na primer, za

x=x1 i za x=x2, taka {to f(x1)*f(x2)<0; - implikacijata e deka ednata vrednost e negativna a drugata e

pozitivna; - isto taka, funkcijata mora da bide kontinualna vo intervalot

x1≤x≤ x2; - ako ja nacrtame funkcijata vo toj interval, moè da zabeleìme

kade e lociran korenot.

Od slikata se gleda deka funkcijata e negativna vo to~kata x1 a pozitivna vo to~kata x2, i deka e kontinuirana vo intervalot pome|u dvete to~ki. Spored toa, korenot se nao|a pome|u ovie dve to~ki, a novoto pribliùvawe kon korenot moè da se presmeta kako:

2xx

x 213

+=

Sega, korenot se nao|a pome|u novoto pribliùvawe x3 i vrednosta x1. So ovie vrednosti se presmetuva novo pribliùvawe. Ovoj process prodolùva se dodeka f(x)≈0, ili dodeka ne se dostigne baranata preciznost. Treba da se zabeleì deka vo sekoja iteracija se koristat novata vrednost za x i edna od prethodnite dve, taka {to kontinuitetot i produktot na vrednostite na funkcijata se zadovoleni.

y

x

y=f(x) x1

x2x3


NUMERI^KI METODI

Primer 5. Koristej}i grafi~ki metod, najdeno e deka slednava funkcija ima realen koren pome|u x1=1 i x2=3:

10x2x5x)x(f 23 +−−= Da se aproksimira korenot so metodot na prepolovuvawe. Go crtame grafikot na funkcijata vo intervalot pome|u x∈[1,3]

x y 0 10

0.5 7.875 1 4

1.5 -0.875 2 -6

2.5 -10.625 3 -14

3.5 -15.375

x1=1 i x2=3: f(x1)=4; f(x2)=-14

O~igledno e deka f(x1)*f(x2)=(4)(-14)<0, i korenot ima vrednost pome|u 1 i 3. Spored toa, novata vrendost moè da se aproksimira so:

22

312

xxx 21

3 =+

=+

= 6)2(f)x(f 3 −==

Od grafikot se gleda deka korenot e pome|u 1 i novata vrednost 2, poradi razli~niot znak na funkcijata vo ovie dve to~ki. Novoto pribliùvawe e:

5.12

212

xxx 31

4 =+

=+

= 875.0)5.1(f)x(f 4 −==

f(x1)*f(x4)= f(1)*f(1.5)=(4)*(-0.875)<0 Ova zna~i deka korenot e pome|u 1 i 1.5:

25.12

5.112

xxx 41

5 =+

=+

= 64063.1)25.1(f)x(f 5 ==

Bidej}i znakot na funkcijata za to~kite x1 i x5 e ednakov, korenot se nao|a pome|u x5 i x4, pa novoto pribliùvawe e:

-20-15-10-505

1015

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4


NUMERI^KI METODI

375.12

25.15.12

xxx 54

6 =+

=+

= 39648.0)375.1(f)x(f 6 ==

f(x5)*f(x6)=f(1.25)*f(1.375)=1.64063*0.39648>0

f(x6)*f(x4)=f(1.375)*f(1.5)=0.39648*(-0.875)<0

4375.12

5.1375.12

xxx 64

7 =+

=+

=

23657.0)4375.1(f)x(f 7 −==

f(x6)*f(x7)=f(1.375)*f(1.4375)=0.39648*(-0.23657)<0

40625.12

4375.1375.12

xxx 76

8 =+

=+

=

08072.0)40625.1(f)x(f 8 ==

Evidentno e deka vrednostite na funkcijata se pribli`uvaat kon nula kako raste brojot na iteraciite. Po 6 iteracii vrednosta na korenot se aproksimira so vrednosta

1.40625, {to dobro se sovpa|a so to~noto re{enie 2 . Za da se obezbedi zavr{uvawe i prekinuvawe na iteracijata, potrebno e da se definira kriterium za konvergencija, odnosno tolerancija ili razlika pome|u dve posledovatelni pribli`uvawa.

Primer 6. Sledniov polinom ima koren vo intervalot 3.75 ≤ x ≤ 5:

8x10xx)x(f 23 −−−=

x y 3 -20

3.25 -16.7344 3.5 -12.375 3.75 -6.82813

4 0 4.25 8.203125 4.5 17.875 4.75 29.10938

5 42 5.25 56.64063 5.5 73.125

Ako se bara tolerancija od 0.01 (1%), koristej}i go metodot na prepolovuvawe, da se opredli korenot na funkcijata.


NUMERI^KI METODI

i xs xm xe f(xs) f(xm) f(xe) 5*6 6*7 gre{. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3.7500 4.3750 5.0000 -6.8281 12.8496 42.000 - + 2 3.7500 4.0625 4.3750 -6.8281 1.9182 12.8496 - + 0.3125 3 3.7500 3.9063 4.0625 -6.8281 -2.7166 1.9182 + - 0.1563 4 3.9063 3.9844 4.0625 -2.7166 -0.4661 1.9182 + - 0.0781 5 3.9844 4.0234 4.0625 -0.4661 0.7092 1.9182 - + 0.0391 6 3.9844 4.0039 4.0234 -0.4661 0.1174 0.7092 - + 0.0195 7 3.9844 3.9941 4.0039 -0.4661 -0.1754 0.1174 + - 0.0098 8 3.9941 3.9990 4.0039 -0.1754 -0.0293 0.1174 + - 0.0049 9 3.9990 4.0014 4.0039 -0.0293 0.0440 0.1174 - + 0.0024

10 3.9990 4.0002 4.0014 -0.0293 0.0073 0.0440 - + 0.0012 So pomo{ na programata Excel, izvr{eno e iterativno presmetuvawe, spored Bisection metodot, do 10 iteracii. Rezultatite se prikaàni vo gornata tabela. Od tabelata moè da se vidi deka tolerancijata od ≈1%, e postignata vo 7. ~ekor na iteracija, i vo ovoj ~ekor aproksimacijata na korenot iznesuva xm=3.9941. Od poslednite dva reda se gleda deka rezultatot se pribliùva kon vrednosta xm=4.0, {to e to~na vrednost na korenot na dadenata funkcija vo dadeniot interval. Iako metodot na prepolovuvawe na intervalite sekoga{ }e konvergira kon korenot, konvergencijata e mnogu bavna. Pobrz metod na pribliùvawe kon korenot na funkcijata vo daden interval e Wutn-Rafsonoviot iterativen metod. Wutn-Rafsonov metod (Newton-Raphson Method) Ova e naj~esto koristen metod za opredeluvawe koreni na funkcii od site poznati formuli. Grafi~ko izveduvawe na formulata:

i1i

i

xx)x(f

tanslope−

=θ=+

x

f(x)

θ

f(xi)

xi xi+1

koren

tangenta


NUMERI^KI METODI

ixxi dx)x(df)x('fslope

==−=

ili:

)x('f)x(fxxi

ii1i −

=−+

)x('f)x(fxx

i

ii1i −=+

Primer 7. Koristej}i go iterativniot metod na Wutn-Rafson, da se proceni korenot na slednata funkcija, ako za po~etna procena e zemena vrednosta x0=0:

xe)x(f x −= −

Prviot izvod na funkcijata e:

1edx

)x(df)x('f x −−== −

Prva iteracija: i=0, x0=0

2111e)0('f10e)0(f

)0(

)0(

−=−−=−−=

=−=−

−

5.02

10)x('f)x(fx

)x('f)x(fxx

0

00

i

ii1i

=−

−=−

−=+

Vtora iteracija: i=1, x1=0.5

6065.11e)5.0('f1065.0)5.0(e)5.0(f

)5.0(

)5.0(

−=−−=

=−=−

−


NUMERI^KI METODI

5663.06065.1

1065.05.0)x('f)x(fxx

)x('f)x(fxx

1

112

i

ii1i

=−

−=−=

−=+

Treta iteracija: i=2, x1=0.5663

567622.11e)5663.0('f001322.0)5663.0(e)5663.0(f

5663.0(

)5663.0(

−=−−=

=−=−

−

5671.0567622.1

001322.05663.0)x('f)x(fxx

)x('f)x(fxx

2

223

i

ii1i

=−

−=−=

−=+

êtvrta iteracija: i=3, x1=0.5671

56716784.11e)5671.0('f00006784.0)5671.0(e)5671.0(f

)5671.0(

)5671.0(

−=−−=

=−=−

−

5671.056716784.1

00006784.05671.0)x('f)x(fxx

)x('f)x(fxx

3

334

i

ii1i

=−

−=−=

−=+

Po 4 ~ekori od iteracijata, vrednosta na korenot se pribliì kon re{enieto x=0.5671.

Primer 8. Sledniov polinom ima koren vo intervalot 3.75 ≤ x ≤ 5:

8x10xx)x(f 23 −−−= Istiot primer prethodno be{e re{en po metodot na prepolovuvawe, pri {to vo devet ~ekori re{enieto se pribliì kon to~noto re{enie koe iznesuva 4.0 (so tolerancija od 0.001, odnosno 0.1%). Koristej}i go metodot na Wutn-Rafson, da se opredeli korenot na dadenata funkcija so to~nost do 0.1% i da se sporedi so re{enieto i so brzinata na konvergencija od metodot na prepolovuvawe. Po~etnata vrednost na korenot e x0=3.75.


NUMERI^KI METODI

Prva iteracija i=0

10x2x3)x('f8x10xx)x(f

2

23

−−=

−−−=

6875.241075.3275.33)75.3('f8281.6875.31075.375.3)75.3(f

2

23

=−⋅−⋅=

−=−⋅−−=

)x('f)x(fxx

i

ii1i −=+

0266.46875.248281.675.3x

)x('f)x(fxx

1

0

001

=−

−=

−=

Vtora iteracija i=1 x=4.0266

10x2x3)x('f8x10xx)x(f

2

23

−−=

−−−=

5869.30100266.420266.43)0266.4('f8052.080266.4100266.40266.4)0266.4(f

2

23

=−⋅−⋅=

=−⋅−−=

)x('f)x(fxx

i

ii1i −=+

0003.45869.308052.00266.4x

)x('f)x(fxx

2

1

112

=−=

−=

Zna~i, vo dva ~ekora se stasuva do re{enieto 4.0003. Gre{kata iznesuva:

%075.010040003.44e =

−=

Brzinata na konvergencija na ovoj metod e mnogu pogolema vo odnos na bisection- metodot.


NUMERI^KI METODI

Problemi so Wutn-Rafsonoviot metod - Nekonvergencija - moè da se pojavi vo slu~aj ako po~etnata

vrednost na x e takva {to vrednosta na prviot izvod e ednakva na nula:

∝⇒−=−=+ 0)x(fx

)x('f)x(fxx i

ii

ii1i

- Nekonvergencija se javuva koga f ’(x)=0, {to zna~i deka tangentata e

paralelna na x oskata: - Nekonvergencija - isto taka moè da se javi ako f(xi)/f’(xi)= -

f(xi+1)/f’(xi+1). Vo ovoj slu~aj re{enijata se povtoruvaat od ~ekor vo ~ekor.

- Golem broj ~ekori na iteracijata }e se javat ako f’(x) e mnogu

pogolemo od f(x). Vo toj slu~aj, odnosot f(xi)/f’(xi) e mnogu mal, poradi {to vo sekoj ~ekor se dobiva sosema malo pridviùvawe kon re{enieto. Ovaa situacija moè da se javi vo slu~aj koga korenot na funkcijata e blizok do nula, odnosno koga xi e mal broj ili koga korenot e vo blizina na prevojnata to~ka.

x

f(x)

x0 x1

y

x

y=f(x)

x0= x2= x1

x0= x2= x1


NUMERI^KI METODI

Metod na sekanta (Secant Method) Potencijalen problem pri koristeweto na Wutn-Rafsonoviot metod e opredeluvaweto na vrednostite na izvodot na funkcijata. Za polinomnite funkcii ne e te{ko da se opredelat izvodite, no postojat funkcii za koi e te{ko da se opredelat izvodite. Metodot na sekanta e sli~en na Wutn-Rafsonoviot metod, so taa razlika {to ovde vrednostite na izvodite se opredeluvaat numeri~ki so kone~ni razliki:

)xx()x(f)x(f)x('f

1ii

1iii

−

−

−−

=

)xx()x(f)x(f

)x(fxx

)x('f)x(fxx

1ii

1ii

ii1i

i

ii1i

−

−+

+

−−

−=

−=

)x(f)x(f)xx()x(fxx

)x(f)x(f)xx()x(fxx

i1i

i1iii1i

1ii

1iiii1i

−−⋅

−=

−−⋅

−=

−

−+

−

−+

Spored metodot na sekanta, nova procena na korenot mo`e da se opredeli koristej}i gi vrednostite na funkcijata vo dve drugi proceni na re{enieto, xi i xi-1, primenuvaj}i ja slednava formula vo iterativna procedura:

)x(f)x(f)xx()x(fxx

i1i

i1iii1i −

−⋅−=

−

−+

Primer 9. Koristej}i go metadot na sekanta, da se proceni vrednosta na korenot na dadenata funkcija:

xe)x(f x −= − Da se zemat po~etnite vrednosti xi-1=0 i xi=1. Prva iteracija, i=1:

63212.01e)1(f1x

10e)0(f0x1

1

00

−=−=⇒=

=−=⇒=−

−

61270.0)63212.0(1]10[63212.01

)x(f)x(f)xx()x(fxx

)x(f)x(f)xx()x(fxx

10

10112

i1i

i1iii1i

=−−

−−−=

−−⋅

−=

−−⋅

−=−

−+


NUMERI^KI METODI

Vtora iteracija, i=2:

07081.0)61270.0(f61270.0x63212.01e)1(f1x

2

11

−=⇒=−=−=⇒= −

56384.0)07081.0(63212.0]61270.01[07081.061270.0

)x(f)x(f)xx()x(fxx

)x(f)x(f)xx()x(fxx

21

21223

i1i

i1iii1i

=−−−

−−−=

−−⋅

−=

−−⋅

−=−

−+

Treta iteracija, i=3:

00518.0)56384.0(f56384.0x07081.0)61270.0(f61270.0x

3

2

=⇒=−=⇒=

56717.0)00518.0(07081.0

]56384.061270.0[00518.056384.0)x(f)x(f

)xx()x(fxx32

32334 =

−−−

−=−

−⋅−=

Bidej}i f(0.56717)= -0.00004, toa zna~i deka vrednosta x=0.56717 e koren na funkcijata, za koj f(x)≈0. Pove}ekratni koreni Narednata slika pokaùva slu~aj na pove}ekratni koreni, koga oskata x e tangenta na funkcijata f(x). Vo ovoj slu~aj, funkcijata ima dva korena so ednakva vrednost i znak:

0)1x(1x2x)x(f 22 =−=+−= ; x1=x2=1

-0.20

0.20.40.60.8

11.21.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Generalno, moè da postojat dvojni, trojni, ~etvorni i pove}ekratni koreni za funkcijata f(x). Moè da bide pokaàno deka paren broj

f(x)

x

A B

Dvoen koren


NUMERI^KI METODI

ednakvi koreni rezultira pri funkcija f(x) tangentna na oskata x, dodeka neparen broj ednakvi koreni rezultiraat pri funkcija f(x) koja ja se~e x oskata so to~ka na infleksija vo samiot koren. Toe e to~kata kade {to funkcijata ja menuva krivinata. Na primer, slednava funkcija ima ~etiri koreni, od koi edniot e troen koren:

0)5x()1x()1x()1x(5x16x18x8x)x(f 234 =−⋅−⋅−⋅−=+−+−= ; x1=x2= x3=1; x4=5 Na narednata slika e prika`an grafikot na dadenata funkcija, na koj se gleda deka to~kata na infleksija e vo to~kata x=1, a toa e trojniot koren na funkcijata.

y = x4 - 8x3 + 18x2 - 16x + 5

-60

-10

40

90

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Problemi so pove]ekratnite koreni - Pove}ekratnite koreni predizvikuvaat te{kotii pri

koristeweto na prethodno spomenatite metodi za opredeluvawe koreni na funkcii.

- Bisection - metodot ima problemi so pove}ekratnite koreni poradi toa {to funkcijata ne go menuva znakot vo to~kata kade {to ima neparen broj multiplicirani koreni.

- Vo Wutn-Rafsonoviot metod ima te{kotii poradi toa {to izvodot vo multipliciraniot koren e ednakov na nula.

Sistemi nelinearni ravenki Prethodno spomenatite metodi za opredeluvawe koreni na funkcija se odnesuvaa na ravenki so edna promenliva od tipot f(x)=0. Nekoi in`enerski problemi se pretstaveni so 2 ili so pove}e funkcii, za koi e potrebno da se opredelat korenite.

Troen koren koren


NUMERI^KI METODI

Problem so dve promenlivi Za problemot so dve promenlivi, funkcijata ima forma:

fi(x,y)=0 kade {to indeksot i se odnesuva na brojot na ravenkata, a x i y se nezavisno-promenlivi. Primer 10. Sledniov sistem e primer za sistem od nelinearni ravenki so dve promenlivi:

0y3xy4x40xyx3x222

23

=+−

=+−

Metodite {to se koristat za ravenki so edna promenliva ne moàt direktno da se primenat i vo ovoj slu~aj. Ravenkite moè da se re{at iterativno, na sledniov na~in (od ravenkata I se izrazuva x, a od II y):

x4y3x4y

)xyx3(x

22

3/12

+=

−=

Pretpostavuvame po~etni re{enija: x=3; y=3. Ako go zamenime x=3 vo prethodnata ravenka za x, }e dobieme novo re{enie za x, a po~etnoto y=3 go zadrùvame, pa dobivame:

280.2621.24

33621.24y

621.2)3333(x

22

3/12

=⋅

⋅+⋅=

=⋅−⋅=

Za vtorata iteracija koristime, x=2.621; y=2.280:

446.2)28.2621.2261.23(x 3/12 =⋅−⋅= Za opredeluvawe na y koristime, x=2.446; y=2.280

010.2446.24

28.23446.24y22

=⋅

⋅+⋅=

Po 20 ~ekori na iteracijata, se dobivaat re{enijata: x=2.159; y=1.819.

I II


NUMERI^KI METODI

x y x y 3 3 2.176 1.823

2.621 2.280 2.171 1.822 2.446 2.010 2.168 1.821 2.353 1.908 2.165 1.820 2.297 1.867 2.163 1.820 2.260 1.848 2.162 1.820 2.234 1.839 2.161 1.819 2.215 1.833 2.160 1.819 2.200 1.829 2.159 1.819 2.190 1.826 2.159 1.819 2.182 1.824

120 Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati

NUMERI^KI METODI

7. VMETNUVAWE FUNKCII PO METODOT NA NAJMALI KVADRATI

Ako nekoja funkcija f(x) e poznata vo kone~en broj to~ki, x0, x1, , xn, vo intervalot [a,b], edna od mo`nite aproksimacii na funkcijata f(x) e interpolacioniot polinom opredelen so zadadenite podatoci. Me|utoa, ako brojot na to~kite m+1 e golem, ili pak podatocite se dadeni so odredena gre{ka, vakov izbor na aproksimacija ne e najpogoden. Pri eksperimentalnite istraùvawa mnogu ~esto se javuva potrebata da se generira funkcija so koja moè da se modeliraat dadeni podatoci za mnoèstvo od to~ki. Taa funkcija moè da bide linearna, kvadratna ili od povisok red. Metodot na najmali kvadrati e postapka za opredeluvawe "mazna", kontinuirana i diferencijabilna kriva, so minimizirawe na gre{kata na otstapuvaweto pome|u zadadenite vrednosti na funkcijata i vrednostite dobieni so krivata. Neka e dadeno mnoèstvo od n to~ki koi sakame da gi modelirame so linearna funkcija (prava linija). Taa funkcija ne pominuva niz site to~ki (toa bi bila interpolacionata funkcija), tuku minuva blisku do niv. "Blizinata" obi~no se definira so pomo{ na kriteriumot na najmali kvadrati. Pravata linija moè da se izrazi vo forma:

y=a0+a1• x Izrazite od koi se opredeluvaat nepoznatite koeficienti a0 i a1 pretstavuvaat sistem od linearni algebarski ravenki. Vo op{t slu~aj, krivata ne pominuva niz site to~ki. Ordinatata na linearnata funkcija vo to~ka xk }e bide: yk =a0+a1• xk.

y=a0+a1• x

y0 y1 yk yn

εkb

x

y

Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati 121

NUMERI^KI METODI

Razlikata pome|u dadenata vrednost na yk i vrednosta presmetana so linearnata funkcija e gre{kata {to se pravi pri provlekuvawe na ovaa funcija pome|u to~kite:

εk =yk – (a0+a1• xk) Ako gi sumirame kvadratite na gre{kite vo site to~ki }e ja dobieme vkupnata gre{ka:

2n

1kk10k

n

1k

2k )]xa(a -y[E ∑ ⋅+=∑ε=

==

Kvadrirawe na gre{kata se primenuva za da se izbegnat mo`nite poni{tuvawa na gre{kite so pozitiven i so negativen znak. Vkupnata gre{ka zavisi od toa kolku dobro pravata linija se vklopuva pome|u dadenite to~ki. O~igledno e deka najdobro provlekuvawe }e ima koga vkupnata gre{ka e najmala, odnosno minimizirana. Pritoa vkupnata gre{ka ja pretstavuvame kako funkcija od nepoznatite koeficienti a0 i a1, a minimumot na fukcijata go dobivame ako nejzinite izvodi po ovie nepoznati gi izedna~ime so nula:

0x)]xa(a - y[2aE

0)]xa(a - y[2aE

k

n

1kk10k

1

n

1kk10k

0

=⋅⋅+−=∂∂

=⋅+−=∂∂

∑

∑

=

=

Delej}i gi dvete ravenki so (-2), dobivame:

0x ax a-xy

0x aa -y

n

1k

2k

n

1k1k

n

1k0kk

n

1kk

n

1k10

n

1kk

=−⋅

=−

∑ ∑∑

∑ ∑∑

= ==

= ==

k

n

1kk

2k

n

1k1k

n

1k0

n

1kkk

n

1k10

xyx ax a

yx aan

⋅=+

=+

∑∑∑

∑∑

===

==

Poslednite dve ravenki se dve simultani algebarski ravenki po nepoznatite koeficienti a0 i a1. Ovie ravenki mo`eme da gi napi{eme vo matri~na forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ ⋅

∑=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑

=

=

==

=n

1kkk

n

1kk

1

0

2k

n

1kk

n

1k

k

n

1k

yx

y

aa

x x

x n

[ ] { } { }baA =⋅

(5) (6)


NUMERI^KI METODI

od kade:

{ } [ ] { }bAa 1 ⋅= −

Od poslednata ravenka se opredeluvaat nepoznatite koeficienti na linearnata funkcija. Vo op{t slu~aj, ako sakame da provle~eme kriva od m-ti red pri n zadadeni to~ki (xk,yk), k=1,...n, imame:

y=a0+a1• x + a1• x2 + a2• x3 +....+ am-1• xm Sledej}i ja pogore pokaànata postapka, se dobiva op{tiot izraz za opredeluvawe na koeficientite na polinomot od m-ti red:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⋅

⋅

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑

∑

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

=

=

=

=

=

+

=

+

==

+

====

+

====

===

n

1kk

mk

n

1kk

2k

n

1kkk

n

1kk

m

2

1

0

2mk

n

1k

2mk

n

1k

1mk

n

1k

mk

n

1k

2mk

n

1k

4k

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1k

1mk

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1kk

n

1k

mk

n

1k

2k

n

1kk

n

1k

yx...

yx

yx

y

a...aaa

x ...x x x ...............

x ...x x x

x ...x x x

x ...x x n

[ ] { } { }baA =⋅ Spored toa, za da se provle~e kriva niz dadeno mnoèstvo to~ki, potrebno e da se presmetaat ~lenovite na matricata [A] i vektorot {b}. Primer 1. Dadenite podatoci da se modeliraat so polinom od I, II i III red.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

Moè da se zabeleì deka to~kite leàt pribli`no na edna prava linija. Ako so metodot na najmali kvadrati se provle~e polinom od I red, }e se dobijat koeficientite na polinomot:

X 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 Y 0.99 0.03 -1.02 -1.94 -3.04


NUMERI^KI METODI

a0 = 1.00999 a1 = -1.00299

Za polinom od vtor red se dobiva: a0 = 0.98856 a1 = -0.96013 a2 = -0.01071

Za polinom od tret red se dobiva: a0 = 0.999756 a1 = -1.02463 a2 = 0.03428

a3 = - 0.00749 Od rezultatite se gleda deka koeficientite od kvadratniot i od kubniot ~len se mali vo sporedba so konstantniot i linearniot ~len. Ova zna~i deka e dominanten linearniot trend na podatocite, pa moè da se izvle~e zaklu~ok deka, duri i pri primena na polinomi od povisok stepen, metodot na najmali kvadrati gi prisposobuva koeficientite na dominantnite ~lenovi da go odràt dominantniot trend na dadenite podatoci. Vidovme deka mnoèstvoto od n to~ki moè da se pretstavi so polinomi od I red do (n-1) red. Pritoa treba da se vnimava na slednovo: 1. ako brojot na to~kite e golem, ravenkite od koi se opredeluvaat

koeficientite na polinomite moè da bidat lo{o usloveni. Vo takov slu~aj se koristat ortogonalni polinomi (Leàndrovi, êbi{evi);

2. ako se primeni polinom koj e za edinica pomal od brojot na to~kite, vkupnata gre{ka e ednakva na nula, me|utoa dobienata kriva moè da bide daleku od o~ekuvanite rezultati. Ova e prikaàno na narednata skica, kade {to e pretstaveno modelirawe na podatocite za 4 to~ki so polinom od III red.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

To~kite imaat linearen trend koj ne odgovara na polinomot od treti red. Vo slu~aj da se ovie podatoci dobieni so merewe primenata na metodot na najmali kvadrati bi dal podobri rezultati.


NUMERI^KI METODI

Primer 2: Dadeni se koordinatite na 5 to~ki.

x 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 y 1,0 1,0 2,0 2,0 4,0

Koristej}i go metodot na najmali kvadrati, pome|u dadenite podatoci da se provle~e polinom od I, II i III red. 1. Vmetnuvawe na polinom od III red (kubna parabola) vo vid

P3(x)=a0+a1.x+a2.x2+a3.x3

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∑ ⋅

∑ ⋅

∑ ⋅

∑

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

=

−

====

====

====

===

n

1kk

3k

n

1kk

2k

n

1kkk

n

1kk

1

n

1k

6k

n

1k

5k

n

1k

4k

n

1k

3k

n

1k

5k

n

1k

4k

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1k

4k

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1kk

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1kk

3

2

1

0

yx

yx

yx

y

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

aaaa

x y x2 x3 x4 x5 x6 x.y x2y x3y 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 16 32 64 4 8 16 3 2 9 27 81 243 729 6 18 54 4 4 16 64 256 1024 4096 16 64 256

10 10 30 100 354 1300 4890 27 91 327

5 10 30 100 -1 10 30 100 354 30 100 354 1300 100 354 1300 4890 {a}=[A]-1{b}= 0.985714 -1.4881 0.642857 -0.08333 10 0.92857

= -1.4881 6.378968 -3.86905 0.597222 27 0.55952 0.642857 -3.86905 2.571429 -0.41667 91 -0.28571 -0.08333 0.597222 -0.41667 0.069444 327 0.08333

= •


NUMERI^KI METODI

P3(x)= 0.9286 + 0.5595.x - 0.2857.x2 + 0.0833.x3

y = 0.0833x3 - 0.2857x2 + 0.5595x + 0.9286

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

2. Polinom od vtor red (kvadratna parabola)

P2(x)=a0+a1.x+a2.x2

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∑ ⋅

∑ ⋅

∑

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

−

===

===

==

n

1kk

2k

n

1kkk

n

1kk

1

n

1k

4k

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1k

3k

n

1k

2k

n

1kk

n

1k

2k

n

1kk

2

1

0

yx

yx

y

xxx

xxx

xxn

aaa

P2(x)= 1.028571- 0.15714.x + 0.214286.x2

P2(x) = 0.2143x2 - 0.1571x + 1.0286

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 2.5 5

5 10 30 -1 10 30 100 30 100 354 {a}=[A]-1{b}=

0.885714 -0.77143 0.142857 10 1.028571 = -0.77143 1.242857 -0.28571 27 -0.15714

0.142857 -0.28571 0.071429 91 0.214286

= •


NUMERI^KI METODI

3. Polinom od prv red (prava linija)

P(x)=a0+a1.x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ ⋅

∑⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

=

−

==

=n

1kkk

n

1kk

1

n

1k

2k

n

1kk

n

1kk

1

0

yx

y

xx

xn

aa

P1(x)= 0.6+ 0.7.x

y = 0.7x + 0.6

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 2.5 5

5 10 -1 10 30

{a}=[A]-1{b}= 0.6 -0.2 10 0.6

= -0.2 0.1 27 0.7

= •

Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 127

NUMERI^KI METODI

8. SOPSTVENI VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI NA MATRICI

Edna od osnovnite zada~i na linearnata algebra e iznao|awe na sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na edna matrica. Numeri~kite metodi za re{avawe na ovoj problem se razlikuvaat od другite zada~i (re{avawe sistemi ravenki, opredeluvawe na inverzna matrica i determinanta na matrica), pa zaтоа se ovde izdvoeni. Sopstvenite vrednosti na edna matrica [A] se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom koj e pretstaven so izrazot:

0)IAdet()(D =λ−≡λ Sopstvenite vrednosti na realna ili kompleksna kvadratna matrica [A] od n-ti red se onie vrednosti na skalarot λ, za koi sistemot:

{ } { }xx]A[ ⋅λ=⋅ ima netrivijalni re{enija. Ovie netrivijalni re{enija se vikaat sopstveni vektori. Sistemot ravenki mo`e da se napi{e vo forma na homogen sistemЧ

{ } 0x])I[]A([ =⋅λ− kade {то I e edini~na matrica. Ovoj sistem ima netrivijalno re{enie dokolku determinantata na matricata na sistemot e ednakva na nula:

0)IAdet()(D =λ−≡λ

)(D λ e polinom od n-ti stepen po λ, i se vika karakteristi~en polinom na matricata [A]. Zna~i, sopstvenite vrednosti na matricata se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom. Pomo{ni stavovi koi se odnesuvaat na sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na matrici: • sopstvenite vektori koi odgovaraat na razli~ni sopstveni

vrednosti se linearno nezavisni; • matricite [A], α[A], [A]k, k=1,2,....,n, imaat ednakvi sopstveni

vektori, a za sopstvenite vrednosti va`i: λ( α[A])= α λ([A]); λ( [A]k)= (λ([A])) k;

• matricite [A] i [A]T imaat ednakvi sopstveni vrednosti.

128 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici

NUMERI^KI METODI

Teoriski, determinantata sekoga{ moè da se razvie so standarden metod od linearnata algebra. Me|utoa, ako dimenzijata na matricata n, e golema, golem e i obemot na presmetuvawata i, po pravilo, doa|a do natrupuvawe na presmetuva~ki gre{ki. Poradi toa, za re{avawe na problemot na sopstveni vrednosti i vektori se koristat numeri~ki metodi koi moè da se podelat na dve grupi: 1. metodi za re{avawe problemi na sopstveni vrednosti i vektori

vo celost, so koi se opredeluvaat site sopstveni vrednosti i vektori;

2. metodi za re{avawe na delumniot problem, so koi se opredeluva edna sopstvena vrednost ( naj~esto najgolemata ili najmalata) i soodvetniot sopstven vektor.

Ovde }e razgledame dva metoda, po eden od dvete grupi, i toa: Jakobieviot metod, za opredeluvawe na site sopstveni vrednosti i vektori na edna matrica, i metodot na Vijanelo Stodola, za opredeluvawe na najgolemata i najmalata sopstvena vrednost na edna matrica i soodvetnite sopstveni vektori. Jakobiev metod Ova e metod so koj se opredeluvaat site sopstveni vrednosti na matricata [A], na toj na~in {to taa se dijagonalizira so pomo{ na beskone~na niza od transformacii. Na toj na~in se anuliraat vondijagonalnite ~lenovi vo matricata, a novodobienata dijagonalna matrica gi sodrì, po glavnata dijagonala, sopstvenite vrednosti λ1, do λn. Pritoa se koristi matricata na rotacija R. Matricata Rij , so koja se anulira ~lenot bij , ima forma:

[ ]ji

10.

cossinsincos

..

01

R ij

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθ−θ=

So ovaa matrica na rotacija nao|ame nova matrica [B] koja e sli~na na matricata [A], taka {to:

[ ] [ ] [ ] [ ]ijTij RARB ⋅⋅=


NUMERI^KI METODI

θ⋅θ=θ

θ+=θ

++−−=θ

−

−

tgcossin

)tg1(cos

a2

]a4)aa[()aa(tg

2/12

ij

2/12ij

2jjiijjii

^lenovite na matricata [B] se:

θ+θ−=

θ+θ=

θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=

⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=

⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=

cosasinab

sinacosab

)sin(cosa)aa(sincosb

asincos2acosasinb

acossin2asinacosb

jkiklj

jkikik

22ijjjiiij

ijjj2

ii2

jj

ijjj2

ii2

ii

ijij ab = i,j≠k,l Vo novata matrica, koja e dijagonalna, elementite od glavnata dijagonala se sopstvenite vrednosti:

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλ

λ

=⋅⋅=

...000000000000

RARB3

2

1

ijTij

Sopstvenite vektori se ednakvi na kolonite od matricata na rotacija [ ]ijR .

Primer 1. Dadena e matricata [A] od red 2x2. Koristej}i go Jakobieviot metod, da se opredelat sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na dadenata matrica.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2112

A

Matricata }e se dijagonalizira ako so elementarni transformacii se dobie nova matrica vo koja ~lenovite b12=b21 se ednakvi na nula. Pritoa ja koristime matricata na rotacija [R]12:

[ ] [ ] [ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=

⋅⋅

cossinsincos

R

RAR

12

12T12


NUMERI^KI METODI

Za da se anulira ovoj ~len, vo izrazot za tgθ zemame i=1 a j=2. Pritoa dobivame:

211

21sin

21)11(cos

124tg

12]14)22[()22(tg

a2]a4)aa[()aa(tg

2/1

2/122

12

2/1212

222112211

=⋅=θ

=+=θ

==θ

⋅⋅+−+−−

=θ

++−−=θ

−

−

Sopstveni vektori se kolonite od matricata [R]:

[ ]

{ } { }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=

21

21

x;

212

1

x

21

21

21

21

cossinsincos

R

21

Za da gi opredelime sopstvenite vrednosti ja dijagonalizirame matricata [A], odnosno gi opredeluvame ~lenovite na novata dijagonalna matrica [B]:

312

12

122212

21b

acossin2asinacosb

11

ij222

112

11

=⋅⋅+⋅+⋅=

⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=

0b0b


112

12

122212

21b

asincos2acosasinb

21

12

2212221112

22

12222

112

22

==

θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=

=⋅⋅−⋅+⋅=

⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=


NUMERI^KI METODI

Taka gi dobivme sopstvenite vrednosti λ1 i λ2:

[ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

λ=⋅⋅

1003

00

RAR2

1ij

Tij

Primer 2. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] so pomo{ na metodot na Jakobi:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3.15.005.03.10

001A

Matricata e simetri~na i elementite a12, a13, se ve}e ednakvi na nula. Za da go anulirame ~lenot a23, zemame indeksi i=2 i j=3.

211

21sin

21)11(cos

15.02

]5.014)3.13.1[()3.13.1(tg

a2]a4)aa[()aa(

tg

2/1

2/12223

2/1223

233223322

=⋅=θ

=+=θ

=⋅

=⋅+−+−−=θ

++−−=θ

−

−

Sopstvenite vektori na matricata se: { } { } { }321 xxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθ−θ=

2/12/102/12/10

001

cossin0sincos0001

R

i=2, j=3 Ja dijagonalizirame matricata [A]: red 2:

0)21

21(5.0)3.13.1(

21

21b


8.15.02

12

123.1213.1

21b

acossin2asinacosb

23

2223332223

22

23332

222

22

=−+−⋅−=

θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=

=⋅⋅+⋅+⋅=

⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=


NUMERI^KI METODI

kolona 1

02

102

10sinacosabb1k

312121ik =⋅+⋅=θ⋅+θ⋅==

=

red 1 kolona 2

02

102

10sinacosabb

1k

131212ik =⋅+⋅=θ⋅+θ⋅==

=

kolona 3

02

102

10cosasinab

3j;1l;1k

131213 =⋅+⋅−=θ⋅+θ⋅−=

===

red 3 kolona 3

8.05.02123.1

213.1

21b

asincos2acosasinb

asincos2acosasinb3k,3j

33

23332

222

33

ijjj2

ii2

jj

=−+=

⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=

⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ===

kolona 1

02

102

10cosassinab1k

312131 =⋅+⋅−=θ⋅+θ⋅−=

=

Sopstvenite vrednosti }e bidat:

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλ

λ=⋅⋅

8.00008.10003.1

b000b000b

000000

RAR

33

22

11

3

2

1T

Sopstvenite vektori nemaat fiksni, odnosno strogo definirani komponenti. Toa {to e definirano e odnosot pome|u komponentite. Pri~ina za toa e {to od ravenkata ([A]-λ[I]){x}=0 se zemaat (n-1) ravenki so n nepoznati. Za da se re{at ovie ravenki, ednata promenliva mora da se fiksira-izbere proizvolno.


NUMERI^KI METODI

Primer 3. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] so pomo{ na metodata na Jakobi (dijagonalizirawe na matricata so matri~no mno`ewe):

10 1[A]= 1 5

i=1 j=2

tgθ=-(aii-ajj)+[(aii-ajj)2+4aij2](1/2) / 2aij

tgθ=-(-1+2)+[(-1+2)2+4*12](1/2) / (2*1) =0.2

cosθ=(1+tg2θ)(−1/2) =1.0 sinθ=cosθ∗tgθ =0.2

Dijagonaliziraweto na dadenata matrica od red 2x2 se vr{i so mno`ewe so matricata na rotacija, vo eden ~ekor, bidej}i treba da se anulira samo eden ~len (a12=a21).

cosθ 1-sinθ 1.0 -0.2

[R]= sinθ cosq [R]= 0.2 1.0

[D] = [R]T*[A]*[R]

10.0087 1.9275 10.2 0.0 [R]T*[A]= -0.9091 4.7207 [D] = 0.0 4.8

Taka se dobieni sopstvenite vrednosti λ1=10.2 i λ2=4.8:

[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

λ=⋅⋅=

8.4002.10

00

RARD2

1ij

Tij

Sopstvenite vektori koi odgovaraat na ovie sopstveni vrednosti se koloni na matricata [R]:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθθ−θ

=0.12.02.00.1

cossinsincos

R

{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0.11.0

x;2.00.1

x 21


NUMERI^KI METODI

Primer 4. So pomo{ na metodot na Jakobi, da se opredelat sopstvenite vrednosti i vektori na dadenata matrica.

j ⇒ 1 2 3 i ⇓ 1 0 0 1 [A]= 0 1.3 0.5 2

0 0.5 1.3 3

Anulirawe na ~lenot a23 i=2 j=3 sin 0.707107 cos 0.707107 1 0 0 [R]23 0 0.707107 -0.70711 A 0 0.707107 0.707107 1 0 0 0 1.3 0.5 0 0.5 1.3 1 0 0 1 0 0 [R]23

t 0 0.707107 0.707107 0 1.272792 1.272792 0 -0.70711 0.707107 0 -0.56569 0.565685 [R]23

t.[A] R23 1 0 0 0 0.707107 -0.70711 0 0.707107 0.707107 1 0 0 1 0 0 0 1.272792 1.272792 0 1.8 0 0 -0.56569 0.565685 0 0 0.8 [R]23

t.[A] [D] Iterativen metod na Vijanelo-Stodola Ovoj metod e iterativen i se koristi za opredeluvawe na najniskite sopstveni vektori, so najmala sopstvena vrednost λmin, i najvisokite so najgolemo λ max. Se re{ava sistemot ravenki:

[ ]{ } { }xxA ⋅λ=


NUMERI^KI METODI

kade {to: [A] e realna simetri~na matrica od n-ti red, {x} e sopstven vektor na matricata [A], λ e skalar koj ja pretstavuva sopstvenata vrednost {to odgovara na sopstveniot vektor. Za da ja opredelime najgolemata sopstvena vrednost λmax i soodvetniot sopstven vektor, trgnuvame od po~etnoto re{enie {x}(1), i go zamenuvame vo ravenkata:

[ ] { } { } )1()1( xxA ⋅λ=⋅ Iteracijata prodol`uva sé dodeka re{enijata od dva posledovatelni ~ekora ne se pribli`at.

Primer 4. Dadena e matricata: [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2112

A . Da se opredelat

najgolemata i najmalata sopstvena vrednost i soodvetnite sopstveni vektori.

Trgnuvame od po~etniot vektor: { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=01

x )1(

Go zamenuvame vo ravenkata i dobivame nov vektor {x}(2). ^lenovite vo ovoj vektor gi izrazuvame kako proizvod na nekoj skalar po nekoj vektor, vo koj prviot ~len e ednakov so prviot ~len vo po~etniot vektor:

[ ] { } { } )2()1( x3333.01

313

01

2112

xA λ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

Sega, novodobieniot vektor go zamenuvame vo istata ravenka i dobivame vektor {x}(3):

[ ] { } { } )3()2( x7143.01

3333.26666.13333.2

3333.01

2112

xA λ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

[ ] { } { } )4()3( x8947.01

7143.24286.27143.2

7143.01

2112

xA λ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

[ ] { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

96365.01

8947.27895.28947.2

8947.01

2112

xA )4(


NUMERI^KI METODI

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9877.01

96365.292731.296365.2

96365.01

2112

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9959.01

9877.297547.29877.2

9877.01

2112

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9986.01

9959.299182.29959.2

9959.01

2112

Vrednostite se poklopuvaat do vtoriot decimal, taka {to mo`eme da prestaneme so presmetuvaweto. Rezultatite od iteracijata se:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅≈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=⋅λ11

0.39986.01

9959.2x maxmax

Primer 5. Za istata matrica od prethodnata zada~a, da se opredeli najmalata sopstvena vrednost λmin i soodvetniot sopstven vektor.

Zapo~nuvame so po~etno re{enie: { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=10

x )1(

Ova re{enie se zamenuva vo ravenkata:

[ ] { } { } )1()1(1 x1xA ⋅λ

=⋅−

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

666.0333.0333.0666.0

A 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1

5.0666.0

666.0333.0

10

666.0333.0333.0666.0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1

8.08325.0

8325.0666.0

15.0

666.0333.0333.0666.0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−19277.0

93324.093324.0

8658.01

8.0666.0333.0333.0666.0


NUMERI^KI METODI

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−19759.0

9749.09749.09514.0

19277.0

666.0333.0333.0666.0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1992.0

99097.099097.0

9829.019759.0

666.0333.0333.0666.0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1997.0

9963.09963.09936.0

1992.0

666.0333.0333.0666.0

Re{enijata za najmalata sopstvena vrednost i soodvetniot sopstveni vektor se:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

≈≈==λ11

x;0.1004.19963.0/1 minmin

138 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki

NUMERI^KI METODI

9. PRIBLI@NO RE[AVAWE NA DIFERENCIJALNI RAVENKI Op{to za re{avaweto na diferencijalni ravenki Diferencijalnite ravenki se ~esto koristeni vo in`enerstvoto i vo naukata za pretstavuvawe na fizi~kiot fenomen na problemite. Diferencijalna ravenka e sekoja ravenka koja sodr`i eden ili pove}e ~lenovi vo koi figuriraat izvodi na funkcija. Obi~na diferencijalna ravenka e onaa koja vklu~uva samo edna nezavisno promenliva. Diferencijalnite ravenki koi vklu~uvaat dve ili pove}e nezavisno promenlivi, se vikaat parcijalni diferencijalni ravenki. Analiti~koto re{enie na obi~nite i na parcijalnite diferencijalni ravenki se vika “re{enie vo zatvorena forma”. Klasifikacija na diferencijalnite ravenki • Obi~ni diferencijalni ravenki:

- diferencijalna ravenka od prv red - dif. rav. od povisok red - linearna dif. rav. - nelinearna dif. rav.

• Parcijalni diferencijalni ravenki

- Ovie ravenki obi~no se klasificiraat spored nivnata matemati~ka forma.

Op{tite formi na obi~nite diferencijalni ravenki se dadeni so slednive izrazi:

)2()0m(0)dxd)(x(C)x(C

)1(0dxd)x(C)x(C

mi

in

1ii0

i

in

1ii0

≠=+

=+

∑

∑

=

=

Pritoa ravenkata (1) e linearna obi~na diferencijalna ravenka, dodeka ravenkata (2) e nelinearna obi~na diferencijalna ravenka.

Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 139

NUMERI^KI METODI

Ako koeficientot C0(x) e ednakov na nula, ravenkata se vika homogena, a vo sprotivno, nehomogena diferencijalna ravenka. Razli~ni tipovi na obi~nite diferencijalni ravenki (ODR) imaat golema primena vo inènerstvoto i vo naukata.

Primeri na ODR: 0yxdx

yd;021

dxdy;x5

dxdy

2

2

=+−=−=

Parcijalni diferencijalni ravenki: toa se diferencijalni ravenki koi sodràt dve ili pove}e nezavisno promenlivi. Ovie ravenki moè da imaat samo grani~ni uslovi, pri {to opi{uvaat t.n. problem na grani~ni vrednosti. Primeri na parcijalni diferencijalni ravenki:

wDk

DF

yW

yxW2

xW

0CyWC

yxWC

xWC

0yT

xT

Z4

4

22

4

4

4

42

2

3

2

22

2

1

2

2

2

2

−=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

Primena vo inènerstvoto, primeri:

- Mehani~ki sistem: )t(Fkxdtdxc

dtxdm 2

2

=++

- Vibrirawe na greda: )t(Fkydtdyc

dtydm 2

2

=++

C

m F(t)

x

k

m

F(t)

y


NUMERI^KI METODI

- Protok na fluidi pod teloto na branata:

0yhk

xhk 2

2

y2

2

x =∂∂

+∂∂

- Plo~a na elasti~na podloga:

wDk

DF

yw

yxw2

xw Z

4

4

22

4

4

4

−=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

- Distribucija na temperatura vo presek: tTC

yT

xT

2

2

2

2

∂∂

=∂∂

+∂∂

x

y h

FZ

w

x

y

y

x


NUMERI^KI METODI

Mal broj diferencijalni ravenki imaat analiti~ko re{enie vo zatvorena forma. Spored toa, vo naj~est slu~aj se potrebni numeri~ki tehniki za re{avawe na problemite. Op[ti izrazi na diferencijalni ravenki:

4dxdy;C

dxdy

2edxdy);y(f

dxdy

x13

dxdy);x(f

dxdy

yx2dxdy);y,x(f

dxdy

y

2

−==

−==

−==

−+==

y2x2

dxyd);y,x(f

dxyd

y1

dxdy2

dxyd);

dxdy,y(f

dxyd

dxdyx3

dxyd);

dxdy,x(f

dxyd

dxdyy2x1

dxyd);

dxdy,y,x(f

dxyd

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+===

+=⇒=

+==

−+−==

1y3x3dxdy);y,x(f

dxdy

xx1

dxdy);x,x(f

dxdy

y2xxdxdy);y,x,x(f

dxdy

211

22

121

212

2121

−+==

−=⇒=

−−== −

Od kade proizleguvaat diferencijalnite ravenki?

- Diferencijalnite ravenki mo`e da proizlezat pri re{avaweto na geometriski ili fizi~ki problemi.

- Za geometriski slu~aj, da go razgledame naklonot na funkcijata f(x), koj naj~esto e vrska pome|u x i y:


NUMERI^KI METODI

)xy(cdxdy

−=

Re{enie na gornata ravenka }e bide relacijata vo forma: y=g(x). Pritoa, vo ova re{enie moè da bidat vovedeni edno ili pove}e ograni~uvawa, odnosno grani~ni uslovi. Fizi~kite problemi, isto taka, moè da bidat definirani so diferencijalni ravenki. Kako {to vidovme prethodno, problemot na transfer na toplina, dvièwe na mehani~ki sistem, vibrirawe na greda, deformacija na plo~a na elasti~na podloga, struewe na fluid itn, vklu~uvaat diferencijalni ravenki. Ednostavnite problemi na dvièwe, isto taka, moè da se izrazat so diferencijalni ravenki, na primer ravenkata na II Wutnov zakon:

dtdVmmaF ==

Re{avawe na diferencijalni ravenki so pomo{ na Tajlorovi serii Da pretpostavime deka problemot e opi{an so diferencijalna ravenka od I red vo forma:

)x(fdxdy

= , pri zadadeni po~etni uslovi: y=y0 pri x=x0.

Ako promenlivite se odvojat i se izvr{i integracija na dvete strani, imame:

∫∫ =x

x

y

y 00

dx)x(fdy

ili:

∫

∫

=−

=

x

x0

x

x

y

y

0

0

0

dx)x(fyy

dx)x(fy

∫+=x

x0

0

dx)x(fyy ………………..………(1)


NUMERI^KI METODI

Da se potsetime na ekspanzijata na Tajlorovite serii:

1n0)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

R)x(f!n

h

.....)x(f!3

h)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f

+++

+++++=+

kade {to se: x0 - osnovna ili po~etna vrednost na nezavisno promenlivata x - vrednost na nezavisno promenlivata, odnosno to~ka za koja se bara vrednosta na funkcijata h=x-x0 - rastojanie pome|u x0 i x, ili ~ekor n! - faktorijal od n; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……1 f(x0) - vrednost na funkcijata vo po~etnata to~ka f(n)(x0) - vrednost na n-tiot izvod na funkcijata vo po~etnata to~ka Ovaa ravenka mo`e da se izrazi kako:

.....dx

yd!3

)xx(

dxyd

!2)xx(

dxdy)xx(y)x(y

0

00

xx3

330

xx2

220

xx00

+−

+

+−

+−+=

=

==....... (2)

Ako gi sporedime ravenkite (2) i (1):

∫+=

+−

+−

+−+====

x

x0

xx3

330

xx2

220

xx00

0

000

dx)x(fy)x(y

.....dx

yd!3

)xx(dx

yd!2

)xx(dxdy)xx(y)x(y

}e dobieme:

.....dx

yd!3

)xx(dx

yd!2

)xx(dxdy)xx(dx)x(f

0000 xx3

330

xx2

220

xx0

x

x

+−

+−

+−====

∫


NUMERI^KI METODI

Spored toa, ravenkite (1) i (2) mo`e da se koristat za re{avawe na diferencijalnite ravenki od I red. Primer 1. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka koristej}i ja ekspanzijata na Tajlorovi serii:

2x3dxdy

= , taka {to y=1 za x=1

1y;1x 00 == ; 313x3dxdy 22

0xx 0

=⋅===

Izvodite od povisok red za x=x0 se:

616x6dx

yd0

xx2

2

0

=⋅===

; 6dx

yd

0xx3

3

==

; ;0dx

yd

0xx4

4

==

za 4n ≥

320

3

0

220

xx3

330

xx2

220

xx00

)1x()1x(33)1x(1)x(y

1x

)6(6

)1x()x6(2

)1x()x3()1x(1)x(y

dxyd

!3)xx(

dxyd

!2)xx(

dxdy)xx(y)x(y

000

−+−+⋅−+=

=

−+⋅

−+⋅−+=

−+

−+−+=

===

To~noto re{enie mo`e da se opredeli kako:

∫∫ =x

1

2y

1

dxx3dy

3

3

x

1

3x

1

3

xy1x1y

x3x31y

=

−=−

==−


NUMERI^KI METODI

x 1 ~len 2 ~lena 3 ~lena 4 ~lena to~no

1 1 1 1 1 1 1.1 1 1.3 1.33 1.331 1.331 1.2 1 1.6 1.72 1.728 1.728 1.3 1 1.9 2.17 2.197 2.197 1.4 1 2.2 2.68 2.744 2.744 1.5 1 2.5 3.25 3.375 3.375 1.6 1 2.8 3.88 4.096 4.096 1.7 1 3.1 4.57 4.913 4.913 1.8 1 3.4 5.32 5.832 5.832 1.9 1 3.7 6.13 6.859 6.859 2 1 4 7 8 8

Analiziraj}i ja tabelata zabeleùvame deka Tajlorovata serija dava to~no re{enie za ovoj primer koga se zemaat 4 ~lena od serijata, poradi toa {to izvodite povisoki od III red se ednakvi na nula. Vo ovoj slu~aj se dobiva to~no re{enie bidej}i se zemeni site postojni ~lenovi. Da pretpostavime deka problemot e opi{an so diferencijalna ravenka od I red vo forma:

)y,x(fdxdy

= , pri zadadeni po~etni uslovi: y=y0 pri x=x0.

Vo ovoj slu~aj ekspanzijata na Tajlorovite serii e:

.......dx

yd!3

)xx(dx

yd!2

)xx(dxdy)xx(y)y,x(y

00

00

00

yyxx

3

330

yyxx

2

220

yyxx00 +

−+

−+−+=

==

==

==

Vo inènerskite problemi, mnogu ~esto tie se opi{uvaat so diferencijalni ravenki. Ponekoga{ se slu~uva ovie ravenki da se mnogu kompleksni ili nelinearni, pa ne moàt ednostavno da se re{at so pomo{ na analiti~kite metodi. Vo toj slu~aj, edinstveno mo`no re{enie e numeri~koto integrirawe. Za razlika od analiti~kite metodi, pri koi pribli`noto re{enie e dadeno vo vid na analiti~ki izraz, vo numeri~kite metodi se bara samo numeri~ka vrednost, t. e., za kone~en broj vrednosti na


NUMERI^KI METODI

argumentot x, se baraat soodvetnite vrednosti na pribli`noto re{enie. Postojat pove}e metodi za numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki. Ovde }e ilustrirame nekolku klasi~ni metodi. Ojlerovi metodi -obi~ni diferencijalni ravenki od I red Kako {to zabeleàvme vo prethodnite primeri, vo nekoi slu~ai ne e taka lesno da se opredelat povisokite izvodi na funkcijata. Ako pri ekspanzijata na Tajlorovata serija go zememe samo ~lenot vo koj se sodrì prviot izvod na funkcijata vo to~ka x0, [y’(x0)], }e imame:

edxdy)xx(y)x(y

00

yyxx00 +−+=

==

Za pogolema to~nost, treba da se odbere mal ~ekor, h= (x-x0). Gornata raveka moè da se zapi{e vo pokompaktna forma za primena na kompjuter:

)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ kade {to:

h=(x-x0); y’(xi,yi)=f(xi,yi) Ova e osnovnata ravenka za iterativnata procedura na Ojler ili t.n. osnovna Ojlerova formula za re{avawe obi~ni diferencijalni ravenki od I red. Ojleroviot metod e eden od najednostavnite numeri~ki metodi. Re{enijata dobieni so ovoj metod obi~no se grubi i poradi toa se primenuva samo za orientacioni presmetuvawa. Ideite na koi e zasnovan ovoj metod, vo su{tina, se pojdovni za mnogu drugi metodi. Neka f(x,y) e neprekinata funkcija vo dadena oblast. Ja razgleduvame diferencijalnata ravenka od prv red: y’=f(x,y), so po~eten uslov y0=y(x0). Da pretpostavime deka soodvetnoto re{enie e y=F(x). Toga{ F’(x)=f(x,y). Pritoa moè da odbereme dovolno mal ~ekor h, taka {to za site vrednosti na x vo intervalot [x0, x0+h), vrednosta na y=F(x0) malku }e se razlikuva od y0. Vo toj slu~aj, za razgleduvaniot interval moè da se napi{e:

y=y0+(x-x0)y0’=y0+(x-x0)*f(x0,y0) odnosno, krivata y=F(x) vo toj interval se zamenuva so otse~ka koja pretstavuva del od tangentata na taa kriva vo to~kata [x0,F(x0,y0)].


NUMERI^KI METODI

Za desniot kraj na prvata otse~ka dobivame: y(x1)=y0+hy0’=y1; y0’=f(x0, y0)

za x=x2=x0+2h y(x2) =y2=y1+hy1’; y1’=f(x1, y1)

Zna~i, zada~ata se sveduva na posledovatelno presmetuvawe na razlikite na vrednostite na baranata funkcija F(x). Geometriski, metodot na Ojler poka`uva deka integralnata kriva y=F(x) e zameneta so iskr{enata linija koja po~nuva od zaedni~kata to~ka (x0,y0) so krivata, a sekoja otse~ka e paralelna so tangentata na to~nata kriva vo levata krajna to~ka od soodvetniot interval. Primer 2. Koristej}i go metodot na Ojler da se re{i diferencijalnata ravenka y’=2x, ako e zadadena po~etnata vrednost y0=0, h=0.1, a argumentot pripa|a na intervalot x∈[0,1]. To~no re{enie e funkcijata y=1+x2

k xk yk'=2xk yk+1=yk+h.yk' to~no re{enie yk=1+xk

2

0 0 0 1 1 1 0.1 0.2 1 1.01 2 0.2 0.4 1.02 1.04 3 0.3 0.6 1.06 1.09 4 0.4 0.8 1.12 1.16 5 0.5 1 1.2 1.25 6 0.6 1.2 1.3 1.36 7 0.7 1.4 1.42 1.49 8 0.8 1.6 1.56 1.64 9 0.9 1.8 1.72 1.81

10 1 2 1.9 2

y

x

y=y(x)

F(x)≈y

x0 x1 x2

y0 y1 y2 0


NUMERI^KI METODI

Modificiran Ojlerov metod Vo formulata na osnovniot Ojlerov metod se zema vrednosta na prviot izvod vo prethodnata to~ka:

)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Podobreniot (modificiran) metod na Ojler e sli~en na osnovniot metod na Ojler. Toj ja podobruva to~nosta na procenetoto re{enie so toa {to, namesto vrednosta na prviot izvod vo prethodnata to~ka (ili naklonot na tangentata vo po~etnata to~ka na sekoj interval), se zema vrednosta na prose~niot naklon. Postapkata, spored modificiraniot Ojlerov metod, se sproveduva vo slednive nekolku ~ekori: 1. se opredeluva naklonot S1 (dy/dx) vo po~etnata to~ka na

intervalot;

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

yk+1=yk+h.yk' to~no re{enie y=1+x2

naklon 1

naklon 2

prose~en naklon

xi xi+1

f(x)

x


NUMERI^KI METODI

2. koristej}i go osnovniot metod na Ojler, se opredeluva vrednosta na y na krajot od intervalot vo to~ka xi+1;

3. se opredeluva naklonot na krajot od intervalot S1 (dy/dx) za to~ka xi+1;

4. se opredeluva prose~en naklon, spored formulata:

2dxdy

dxdy

dxdy 1ii xxxx

prosek

+==

+

=

5. se presmetuva nova vrednost na y na krajot od intervalot, so prethodno presmetaniot prose~en naklon, koristej}i ja formulata:

proseki1i dx

dyhyy ⋅+=+

Modificiraniot Ojlerov metod e daden so slednava ekvivalentna formula:

2))]y,x(hfy,hx(f)y,x(f[hyy iiiiii

i1i+++

⋅+=+

ili:

]))y,x(hfy,hx(f)y,x(f[h5.0yy iiiiiii1i ++++=+

ixxdx

dy

=

1ixxdxdy

+=

]SS[h5.0yy 21i1i +⋅⋅+=+

Primer 3. So pomo{ na modoficiraniot Ojlerov metod, da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 0 ≤ x ≥ 1, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1.

1y;0x;0y21

dxdy

00 ===−

^ekor 1:

21

2y

dxdy

1y0x

====

naklon 1 S1

naklon 2 S2


NUMERI^KI METODI

êkor 2: so osnovnata ravenka na Ojler:

05.1211.01

dxdyhyy

1y0x

01 =⋅+=⋅+===

1.01.00hxx 01 =+=+=

êkor 3:

525.0205.1

2y

dxdy

05.1y1.0x

=====

êkor 4:

5125.02

525.05.0dxdy

prosek

=+

=

êkor 5:

05125.15125.01.01dxdyhyy

prosek01 =⋅+=⋅+=

Vtora iteracija, i=1, 05125.1y;1.0x 01 == êkor 1:

52563.02

05125.12y

dxdy

05125.1y1.0x

=====

êkor 2:so osnovnata ravenka na Ojler:

10381.152563.01.005125.1dxdyhyy

05125.1y1.0x

01 =⋅+=⋅+===

2.01.01.0hxx 12 =+=+=

êkor 3:

55191.02

10381.12y

dxdy

10381.1y2.0x

=====

êkor 4:

53877.02

55191.052563.0dxdy

prosek

=+

=

êkor 5:

10513.153877.01.005125.1dxdyhyy

prosek12 =⋅+=⋅+=


NUMERI^KI METODI

Rezultatite se dadeni vo slednava tabela:

Primer 4. Koristej}i go prviot podobren metod Ojler, da se re{i diferencijalnata ravenka y’=y-2x/y, so po~eten uslov y0=1, vo segmentot [0,1] so ~ekor h=0.2.

Primer 5. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 0≤ x≥1, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:

1)0(y;0y21

dxdy

==−

Ja preureduvame diferencijalnata ravenka:

2y)y(f'y ==

Iterativnata postapka se sproveduva so ravenkata na Ojler:

)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+

i xi fi yi(O.) fi+1 fпр yi(m.) yto~no % gr.

0 0 0.50 1 1.00000

1 0.1 0.5256 1.0500 0.525 0.5125 1.05125 1.05127 0.00 2 0.2 0.5525 1.1012 0.55063 0.5381 1.10506 1.10517 0.01 3 0.3 0.5808 1.1576 0.57881 0.5657 1.16163 1.16183 0.02 4 0.4 0.6105 1.2168 0.60844 0.5946 1.22109 1.22140 0.03 5 0.5 0.6418 1.2791 0.63959 0.6251 1.28360 1.28403 0.03 6 0.6 0.6746 1.3446 0.67233 0.6571 1.34931 1.34986 0.04 7 0.7 0.7091 1.4134 0.70674 0.6907 1.41838 1.41907 0.05 8 0.8 0.7454 1.4858 0.74292 0.7261 1.49098 1.49182 0.06 9 0.9 0.7836 1.5619 0.78095 0.7632 1.56730 1.56831 0.06 10 1 0.8237 1.6418 0.82093 0.8023 1.64753 1.64872 0.07

k xk yk fk=yk' h/2. fk xk+1/2= xk+h/2

yk+1/2= yk+h/2fk

fk+1/2 h*fk+1/2

0 0 1 1 0.1 0.1 1.1 0.9181 0.18363 1 0.2 1.1836 0.8456 0.0845 0.3 1.2682 0.7950 0.15901 2 0.4 1.3426 0.7468 0.0746 0.5 1.4173 0.7117 0.14235 3 0.6 1.4850 0.6769 0.0676 0.7 1.5527 0.6510 0.13021 4 0.8 1.6152 0.6246 0.0624 0.9 1.6776 0.6047 0.12095 5 1 1.7361 0.5842


NUMERI^KI METODI

Prva iteracija i=0: )y,x(fhyy 0001 ⋅+=

x0=0; y0=1, h=0.1

5.021

2y

dxdy)y('y)y,x('y)y,x(f 0

yyxx00000

00

========

05.105.015.01.01y1 =+=⋅+=

Vtora iteracija i=1:

)y,x(fhyy 1112 ⋅+=

x1=x0+h=0+0.1=0.1; y1=1.05, h=0.1

525.0205.1

2y

dxdy)y('y)y,x('y)y,x(f 1

yyxx11111

11

========

1025.10525.005.1525.01.005.1y2 =+=⋅+=

Treta iteracija i=2: )y,x(fhyy 2223 ⋅+=

x2=x1+h=0.1+0.1=0.2; y1=1.1025, h=0.1

55125.02

1025.12y

dxdy)y('y)y,x(f 2

yyxx222

22

=======

157625.1055125.01025.155125.01.01025.1y3 =+=⋅+=

To~no re{enie so direktna integracija:

dx21

ydyy

21

dxdy x

x

y

y 00

∫∫ =⇒= ; 01ln0x 0

==

x21yln)xx(

211lnyln 0 =⇒−=−

2x

ey =


NUMERI^KI METODI

Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.

i x xi f(xi,yi) yi yto~no=2x

e % gre{ka

0 0 0 0.500000 1.000000 1.000000 1 0.1 0.1 0.525000 1.050000 1.051271 0.12 2 0.2 0.2 0.551250 1.102500 1.105171 0.24 3 0.3 0.3 0.578813 1.157625 1.161834 0.36 4 0.4 0.4 0.607753 1.215506 1.221403 0.49 5 0.5 0.5 0.638141 1.276282 1.284025 0.61 6 0.6 0.6 0.670048 1.340096 1.349859 0.73 7 0.7 0.7 0.703550 1.407100 1.419068 0.85 8 0.8 0.8 0.738728 1.477455 1.491825 0.97 9 0.9 0.9 0.775664 1.551328 1.568312 1.09 10 1 1 0.814447 1.628895 1.648721 1.22

Primer 6. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 1≤x≥2, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:

1)1(y;x3dxdy 2 ==


)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Prva iteracija i=0:

)y,x(fhyy 0001 ⋅+=

x0=1; y0=1, h=0.1

313x3dxdy)x('y)y,x(f 22

0xx

0000

=⋅=====

3.13.0131.01y1 =+=⋅+=


)y,x(fhyy 1112 ⋅+=

x1=x0+h=1+0.1=1.1; y1=1.3, h=0.1


NUMERI^KI METODI

63.31.13)x('y)y,x(f 2111 =⋅==

663.1363.03.163.31.03.1y2 =+=⋅+= Treta iteracija i=2:

)y,x(fhyy 2223 ⋅+=

x2=x1+h=1.1+0.1=1.2; y2=1.663, h=0.1

32.4)2.1(3)x('y)y,x(f 2222 =⋅==

095.232.41.0663.1y3 =⋅+=


dxx3dyx

x

2y

y 00

∫∫ = ; 1y1x

0

0

==

3

3

x

1

3x

1

3

xy1x1y

x3x31y

=

−=−

==−

Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.

i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no=x3 % gre{ka

0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.1 1.1 3.63 1.300000 1.331 2.38 2 1.2 1.2 4.32 1.663000 1.728 3.91 3 1.3 1.3 5.07 2.095000 2.197 4.87 4 1.4 1.4 5.88 2.602000 2.744 5.46 5 1.5 1.5 6.75 3.190000 3.375 5.80 6 1.6 1.6 7.68 3.865000 4.096 5.98 7 1.7 1.7 8.67 4.633000 4.913 6.04 8 1.8 1.8 9.72 5.500000 5.832 6.04 9 1.9 1.9 10.83 6.472000 6.859 5.98 10 2 2 12.00 7.555000 8.000 5.89


NUMERI^KI METODI

Primer 7. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 1≤x≥2, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:

1)1(y;yx3dxdy 2 ==


)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Prva iteracija i=0:

)y,x(fhyy 0001 ⋅+=

x0=1; y0=1, h=0.1

3113yx3dxdy)y,x('y)y,x(f 2

020

yyxx0000

00

=⋅⋅======

3.13.0131.01y1 =+=⋅+=


)y,x(fhyy 1112 ⋅+=

x1=x0+h=1+0.1=1.1; y1=1.3, h=0.1 719.43.11.13)y,x('y)y,x(f 2

1111 =⋅⋅==

7719.1719.41.03.1y2 =⋅+= Treta iteracija i=2:

)y,x(fhyy 2223 ⋅+=

x2=x1+h=1.1+0.1=1.2; y2=1.7719, h=0.1

65461.77719.1)2.1(3)y,x(f 222 =⋅⋅=

53736.265461.71.07719.1y3 =⋅+=


dxx3y

dy x

x

2y

y 00

∫∫ = ; 1y1x

0

0

==


NUMERI^KI METODI

1xyln

1xx3x31lnyln

3

3x

1

3x

1

3

−=

−===−

1x3

ey −= Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.

i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no gre{ka

0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.1 1.1 4.72 1.300000 1.392 6.63 2 1.2 1.2 7.65 1.771900 2.071 14.44 3 1.3 1.3 12.86 2.537361 3.310 23.35 4 1.4 1.4 22.48 3.823803 5.720 33.15 5 1.5 1.5 40.99 6.072199 10.751 43.52 6 1.6 1.6 78.11 10.170933 22.109 54.00 7 1.7 1.7 155.91 17.982209 50.049 64.07 8 1.8 1.8 326.33 33.572785 125.462 73.24 9 1.9 1.9 717.01 66.205532 350.374 81.10

10 2 2 1654.87 137.906122 1096.633 87.42

Primer 8. Da se povtori primerot 7 so ~ekor h=0.05:

1)1(y;yx3dxdy 2 == ; )y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ ;

)y,x(fhyy 0001 ⋅+=

x0=1; y0=1, h=0.05 3113yx3)y,x(f 2

02000 =⋅⋅== ;

15.115.01305.01y1 =+=⋅+=

)y,x(fhyy 1112 ⋅+=

x1=x0+h=1+0.05=1.05; y1=1.15, h=0.05 80363.315.105.13)y,x(f 2

11 =⋅⋅=


NUMERI^KI METODI

34018.180363.305.015.1y2 =⋅+=

)y,x(fhyy 2223 ⋅+=

x2=x1+h=1.05+0.05=1.1; y2=1.34018, h=0.05

86485.434018.1)1.1(3)y,x(f 222 =⋅⋅=

58342.186485.405.034018.1y3 =⋅+=

To~no re{enie:1x3

ey −=

i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no %

gre{ka

0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.05 1.05 3.80 1.150000 1.171 1.77 2 1.1 1.1 4.86 1.340181 1.392 3.75 3 1.15 1.15 6.28 1.583424 1.684 5.94 4 1.2 1.2 8.20 1.897536 2.071 8.37 5 1.25 1.25 10.82 2.307404 2.594 11.04 6 1.3 1.3 14.44 2.848201 3.310 13.96 7 1.35 1.35 19.52 3.570220 4.308 17.12 8 1.4 1.4 26.73 4.546229 5.720 20.52 9 1.45 1.45 37.11 5.882821 7.757 24.16

10 1.5 1.5 52.23 7.738116 10.751 28.02 11 1.55 1.55 74.60 10.349730 15.239 32.09 12 1.6 1.6 108.13 14.079513 22.109 36.32 13 1.65 1.65 159.15 19.486047 32.856 40.69 14 1.7 1.7 237.94 27.443661 50.049 45.17 15 1.75 1.75 361.44 39.340488 78.208 49.70 16 1.8 1.8 558.05 57.412524 125.462 54.24 17 1.85 1.85 875.97 85.315011 206.774 58.74 18 1.9 1.9 1398.30 129.113605 350.374 63.15 19 1.95 1.95 2270.42 199.028622 610.864 67.42 20 2 2 3750.59 312.549573 1096.633 71.50


NUMERI^KI METODI

Metodi na Runge-Kuta (RK metodi) Ojleroviot i modificiraniot Ojlerov metod se smetaat kako specijalen slu~aj na Runge-Kuta metodite od II red. Tie, isto taka, se smetaat za metodi so eden ~ekor, bidej}i gi koristat informaciite od eden interval za procena na vrednosta na y na krajot od intervalot. Takanare~enite Runge-Kuta metodi se klasa metodi koi se mnogu koristeni, a koi vo sebe gi vklu~uvaat dvata prethodni metoda. Vo RK -metodite, vrednosta na y na krajot na daden interval se opredeluva vrz baza na vrednosta na po~etokot na intervalot, goleminata na ~ekorot, i nekoj reprezentativen naklon vo toj interval. Runge-Kuta metodi od II red Postojat tri pretstavuvawa na RK-metodite od II red. Tie se sli~ni poradi toa {to gi koristat informaciite na po~etokot i na krajot od dadeniot interval. No, ovie tri metodi se razlikuvaat vo pretstavuvaweto na naklonot so koj se presmetuva novata vrednost na y na krajot od intervalot. Prvata prezentacija na Rk-metodite od II red e modificiraniot Ojlerov metod:

]))y,x(hfy,hx(f)y,x(f[h5.0yy iiiiiii1i ++++=+

]SS[h5.0yy 21i1i +⋅⋅+=+

naklon 1

naklon 2

prose~en naklon

xi xi+1

f(x)

x


NUMERI^KI METODI

Vtora prezentacija na Rk-metodite od II red:

hSyy 2i1i +=+

)hS5.0y,h5.0x(fS)y,x(fS

1ii2

ii1

++==

Treta prezentacija na Rk-metodite od II red:

h}S32S

31{yy 21i1i ++=+

S1

S2

prose~no S

xi xi+1

f(x)

x

h/2

S1

S2

xi xi+1

f(x)

x

h/2 h/2

xi+1/2


NUMERI^KI METODI

)hS75.0y,h75.0x(fS)y,x(fS

1ii2

ii1

++==

Runge-Kuta metodi od III red Re{enieto na diferencijalnata ravenka so Runge- Kuta metodite od III red se sproveduva spored ravenkata:

]SS4S[6hyy 321i1i ++⋅+=+

kade {to:

)hS2hSy,hx(fS)hS5.0y,h5.0x(fS

)y,x(fS

21ii3

1ii2

ii1

+−+=++=

=

Primer 9. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka so koristewe na RK-metodot od III red za 1 ≤ x ≤ 2 i so ~ekor so golemina h=0.1.

2y;1x;0)1x(ydxdy

002 ===+−

]e bidat poka`ani 2 ~ekora:

S1

S2

xi xi+1

f(x)

x

0.75h 0.25h

xi+3/4


NUMERI^KI METODI

i=0

4)11(2)1x(y)y,x(fdxdyS 22

0000

1y0x

1 =+=+=====

05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+

2.241.05.02hS5.0y 10 =⋅⋅+=+

6255.4)105.1(2.2)2.2,05.1(fdxdyS 2

2.2y05.1x

2 =+=====

1.11.01hx 0 =+=+

5251.26255.41.0241.02hS2Shy 210 =⋅⋅+⋅−=+⋅−

580471.5)11.1(5251.2)5251.2,1.1(fS 2

3 =+==

Spored toa:

]SS4S[6hyy 321i1i ++⋅+=+

468041.2]580471.56255.444[61.0yy 01 =+⋅+⋅+=

i=1

]SS4S[6hyy 32112 +⋅+⋅+=

1.11.01hxx 01 =+=+=

468041.2y1 =

79476.7S;365414.6S;454371.5S 321 === Spored toa:

113266.3]SS4S[61.0468041.2y 3212 =+⋅+⋅+=


NUMERI^KI METODI

Runge-Kuta metodi od IV red Vo Runge-Kuta metodot od IV red se zemaat predvid 4 nakloni vo dadeniot interval. Re{enieto na diferencijalnata ravenka se sproveduva spored izrazot:

]SS2S2S[6hyy 4321i1i +++⋅+=+

)hSy,hx(fS)hS5.0y,h5.0x(fS)hS5.0y,h5.0x(fS

)y,x(fS

3ii4

2ii3

1ii2

ii1

++=++=++=

=

Primer 10. Da se re{i diferencijalna ravenka od primer 10, so koristewe na RK-metodot od IV red za 1 ≤ x ≤ 2 i so ~ekor so golemina h=0.1.

2y;1x;0)1x(ydxdy

002 ===+−

]e bide poka`an 1 ~ekor: i=0 4)11(2)2,1(fS 2

1 =+==

05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+

2.241.05.02hS5.0y 10 =⋅⋅+=+

6255.4)105.1(2.2)2.2,05.1(fS 2

2 =+==

05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+

231275.26255.41.05.02hS2Sh5.0y 210 =⋅⋅+=+⋅+

691256.4)105.1(231275.2)231275.2,05.1(fS 2

3 =+==

1.11.01hx 0 =+=+

469126.2691256.41.02Shy 30 =⋅+=⋅+


NUMERI^KI METODI

456768.5)11.1(469126.2)469126.2,1.1(fS 24 =+==

Spored toa:

468171.2]456768.5691256.426255.424[61.02y1 =+⋅+⋅+⋅+=

468041.2]580471.56255.444[61.0yy 01 =+⋅+⋅+=

Presmetuvaweto vo sekoj ~ekor mo`e da se vr{i tabli~no na sledniov na~in:

Primer 11. So pomo{ na metodot na Runge Kuta, da se najde pribli`no re{enie na diferencijalnata ravenka y’=x+y, ako y0=1, x∈[0,1], so ~ekor h=0.2. Re{avaweto e sprovedeno tabli~no spored prethodno dadenata {ema.

1 2 3 h(2+3) n x y S ∆y 0 0 1 0.2 0.2 0.1 1.1 0.24 0.48 0.1 1.12 0.244 0.488 0.2 1.244 0.2888 0.2888 0.2428

1 0.2 1.2428 0.28856 0.28856 0.3 1.38708 0.337416 0.674832 0.3 1.411508 0.3423016 0.684603 0.4 1.585102 0.39702032 0.39702 0.340836

2 0.4 1.583636 0.396727184 0.396727 0.5 1.782 0.456399902 0.9128 0.5 1.811836 0.462367174 0.924734 0.6 2.046003 0.529200619 0.529201

n x y S=h.f(x,y) ∆y x0 y0 S1

0 S10

x0+h/2 y0+ S10/2 S2

0 2S20

x0+h/2 y0+ S20/2 S3

0 2S30

x0+h y0+ S30 S4

0 S40

1/6*suma


NUMERI^KI METODI

0.460577 3 0.6 2.044213 0.528842583 0.528843 0.7 2.308634 0.601726841 1.203454 0.7 2.345076 0.609015267 1.218031 0.8 2.653228 0.690645636 0.690646 0.606829 0.8 2.651042 0.69020833 0.690208 0.9 2.996146 0.779229163 1.558458 0.9 3.040656 0.788131247 1.576262 1 3.439173 0.88783458 0.887835 0.785461 3.436502

Diferencijalni ravenki od povisok red Vo mnogu inènerski problemi, potrebno e re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red. Na proimer, diferencijalna ravenka od II red moè da bide dadena so:

)dxdy,y,x(f

dxyd2

2

=

Funkcijata f ne mora da gi vklu~uva site parametri, x,y i dy/dx. Primeri za diferencijalni ravenki od povisok red:

04yxx2dy

yd

0xza0dxdyi0ydataka;x2

dxyd

3

3

2

2

=+−−

====

Metodite {to bea prethodno dadeni moè da se koristat za re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red, otkako }e se transformiraat vo sistem od diferencijalni ravenki od prv red. Procedurata za transformirawe na diferencijalnite ravenki e sledna:


NUMERI^KI METODI

)dxdy,y,x(f

dxyd2

2

=

stanuva,

dxdy

dxdyy

yykade;ydxdy

)y,y,x(fdxdy

12

2121

22

==

==

=

Diferencijalni ravenki od povisok red:

)y,....,y,y,x(fdxdy.......

)y,....,y,y,x(fdxdy

)y,....,y,y,x(fdxdy

n21nn

n2122

n2111

=

=

=

Primer 12. Dadena e prosta greda natovarena so ramnomerno raspredelen tovar. Da se opredelat vrednostite na uklonot i naklonot vo 2 to~ki po dol`inata na gredata za x=0.1 i x=0.2. Da se koristi Ojleroviot metod.

EI)x(M

dxyd2

2

=

2

2

x10x50M0x10x50M

0)2x(x20x50MM

−=

=−+−

=−+−=∑

w=20 kN/m

x

5,0 m

w=20 kN/m

x

V

M

50 kN


NUMERI^KI METODI

Neka:

EI)x(M

dxd

dxyd

rotacijadxdy

2

2

=θ

=

==θ

; bidej}i:

θ=

−=

θ

dxdy

EIx10x50

dxd 2

Ako pretpostavime EI=227520 kNm2 i grani~ni uslovi vo x=0, y=0 i θ=-0.02314, h=0.1. Koristej}i ja osnovnata formula na Ojler se dobivaat slednive ravenki:

)y,,x(fhyy)y,,x(fh

iiiyi1i

iiii1i

θ⋅+=θ⋅+θ=θ

+

θ+

Prva iteracija (i=0)

02314.0;0y;0x 000 −=θ==

EIx10x50

dxd)y,,x(f)y,,x(f

2

yy

xx000iii

o

oo

−=

θ=θ=θ

=θ=θ=θθ

0EI

)0(10)0(50)0,02314.0,0(f2

=−

=−θ

0231481.001.00231481.0)0,0231481.0,0(fh

1

01

−=⋅+−=θ−⋅+θ=θ θ

o

yy

xx000yiiiy

ooodx

dy)y,,x(f)y,,x(f θ==θ=θ

=θ=θ=

0231481.0)0,0231481.0,0(f oy −=θ=−

00231481.0)1.0(0231481.00y

)0,0231481.0,0(fyy

)y,,x(fhyy

1

y01

000y01

−=⋅−=

−+=

θ⋅+=


NUMERI^KI METODI

Vtora iteracija (i=1) 02314.0;00231481.0y;1.0x 111 −=θ−==

EIx10x50

dxd)y,,x(f)y,,x(f

2

yy

xx111iii

1

11

−=

θ=θ=θ

=θ=θ=θθ

000021536.0227520

)1.0(10)1.0(50)00231481.0,02314.0,1.0(f2

=−

=−−θ

Uklonot i naklonot vo to~kata x=0.2 se dobivaat od vrednostite vo to~ka x=0.1:

0231459.0000021536.01.00231481.0)00231481.0,0231481.0,1.0(fh

2

12

−=⋅+−=θ−−⋅+θ=θ θ

1

yy

xx111yiiiy

111dx

dy)y,,x(f)y,,x(f θ==θ=θ

=θ=θ=

02314.0)00231481.0,0231481.0,1.0(f 1y −=θ=−−

0046296.0)1.0(02314.000231481.0y)00231481.0,02314.0,0(fyy

)y,,x(fhyy

2

y12

111y12

−=⋅−−=

−−+=

θ⋅+=

Prethodno spomenatite metodi za re{avawe na obi~ni diferencijalni ravenki moè da se koristat i za re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red. Ovie metodi baraat po~etnite uslovi da bidat zadadeni i da vaàt za ista vrednost na x. Na primer, vo prethodnata zada~a, po~etnite uslovi se:

0231481.0;0y;0x 000 −=θ==

Ova e takanare~en problem na po~etni vrednosti. Rotacijata θ voobi~aeno ne e poznata, no poznato e deka

;0y;0x == i ;0y;10x == . Vo ovoj slu~aj dvata uslova se odnesuvaat na razli~ni vrednosti na x. Spored toa, ovie uslovi ne moè da se koristat za re{avawe na ravenkata so prethodnite metodi. Vo ovoj slu~aj imame re{avawe na problem na grani~ni vrednosti. Ovoj problem moè da se re{i numeri~ki koristej}i gi:

• shooting - metodot i • metodot na kone~ni razliki.


NUMERI^KI METODI

Shooting- metodot e metod na probawe, koj koristi koja bilo od prethodno spomenatite metodi za re{avawe na diferencijalni ravenki. Ovoj metod e baziran na transformirawe na problemot na grani~ni vrednosti vo ekvivalenten problem na po~etni vrednosti. Re{avawe na problem na grani~ni vrednosti so pomo{ na metodot na kone~ni razliki Ve}e spomenavme deka pri re{avaweto na diferencijalni ravenki, ako grani~nite uslovi se odnesuvaat na razli~ni vrednosti na x, imame re{avawe na problem na grani~ni vrednosti. Ovoj problem mo`e da se re{i numeri~ki koristej}i go metodot na kone~ni razliki. Da se potsetime na izrazite za kone~ni razliki so dvoen ~ekor za aproksimacija na prviot i vtoriot izvod na funkcija:

h2)x(f)x(f)x('f 1i1i

i−+ −

≈

2i h)xx(f)x(f2)xx(f)x(''f ∆−+−∆+

≈

Vo ovoj metod, izvodite vo diferecijalnata ravenka se zamenuvaat so prethodnite formuli so kone~ni razliki. Toga{, dobienata diferencijalna ravenka vo forma na kone~ni razliki se primenuva vo nekoi vnatre{ni to~ki so odbran ~ekor h i pri zadadeni grani~ni uslovi. Sekoe koristewe na ravenkata so kone~ni razliki rezultira vo linearna ravenka po nepoznatite re{enija vo selektirani vnatre{ni to~ki. Vo ovoj slu~aj dobivame sistem od linearni ravenki koi treba da se re{at simultano, za da se dobie re{enieto vo vnatre{nite to~ki. Primer. Prosta greda, tovarena so ramnomerno raspredelen tovar w. Numeri~ki, da se opredeli momentot na vitkawe M vo sekoja to~ka po dol`inata na gredata.

w=20 kN/m’

x 6,0 m


NUMERI^KI METODI

Grani~ni uslovi: vo x=0, M=0 vo x=6, M=0 Diferencijalnata ravenka na gredata, so koja e opi{an ovoj problem, e:

wdx

Md2

2

= = raspredelen tovar, ili:

20dx

Md2

2

−=

Originalnata diferencijalna ravenka mo`e da se transformira vo forma so kone~ni razliki ako se zeme predvid ravenkata:

21ii1i

i h)x(f)x(f2)x(f)x(''f +− +−

≈

Sega diferencijalnata ravenka e:

20h

MM2Mh

MM2Mdx

Md

21ii1i

21ii1i

2

2

−=+−

+−=

+−

+−

20)5.1(

MM2M2

1ii1i −=+− +−

45)25.2(20MM2M 1ii1i −=−=+− +−

Primenata na poslednata ravenka vo vnatre{nite to~ki 2,3 i 4 dava sistem od tri ravenki so 3 nepoznati.

x

6,0 m 1.5 1.5 1.5 1.5

M1 M2 M3 M4 M5


NUMERI^KI METODI

Vo jazolot 2: 45MM2M 1ii1i −=+− +−

45MM2M 321 −=+− M1=0

45MM2 32 −=+−

Vo jazolot 3: 45MM2M 1ii1i −=+− +−

45MM2M 432 −=+−

Vo jazolot 4: 45MM2M 1ii1i −=+− +− ; M5=0

45MM2M 543 −=+− ; M5=0

45M2M 43 −=−

Kone~no se dobiva sistemot ravenki od koj se opredeluvaat nepoznatite momenti vo jazlite 2,3 i 4.

45M2M45MM2M45MM2

43

432

32

−=−−=+−−=+−

Vo matri~na forma sistemot e:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

454545

MMM

210121012

4

3

2

Re{enieto na sistemot ravenki e:

kNm5.670.905.67

MMM

4

3

2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Stati~ka kontrola:

kNm908

7208

6208

wLМ

kNm5.675.22902

5.1w5.12

wLM

22

3

2

2

==⋅

==

=−=⋅

−⋅=

Metod na kone~ni elementi 171

NUMERI^KI METODI

10. METOD NA KONE^NI ELEMENTI Elektronskite digitalni kompjuteri so golema brzina im ovozmoìja na inènerite da vovedat razli~ni tehniki za numeri~ka diskretizacija pri aproksimativnite re{enija na kompleksnite problemi. Metodot na kone~ni elementi (MKE) e edna od vakvite tehniki. Originalno, MKE e razvien kako alatka za konstruktivna analiza vo teorijata na konstrukciite, no teorijata i formulacijata progresivno se generalizirani i rafinirani taka {to metodot uspe{no se primenuva vo drugi oblasti, kako {to se: protok na toplina, hidrodinamika, mehanika na karpi. Za mnogu inènerski problemi ne e mo`no da se dobijat analiti~ki matemati~ki re{enija. Analiti~koto re{enie e matemati~ki izraz koj gi dava vrednostite na baranata nepoznata golemina vo koja bilo to~ka. Za problemite vo koi se vovedeni kompleksnite materijalni karakteristiki i grani~ni uslovi, inènerite koristat numeri~ki metodi koi obezbeduvaat aproksimativni no prifatlivi re{enija. Vo najgolem broj numeri~ki metodi, re{enijata davaat aproksimativni vrednosti za nepoznatite golemini samo vo diskreten broj to~ki. Procesot na selektirawe samo na odreden broj diskretni to~ki, za koi se bara nekoja golemina, moè da se nare~e diskretizacija. Eden od na~inite da se diskretizira nekoe telo ili konstrukcija e da se podeli na pomali delovi i da se dobie ekvivalenten sistem od kone~ni elementi. Namesto da se re{ava problemot za celata konstrukcija vo edna operacija, re{enijata se formuliraat za sekoj element, a potoa se kombiniraat so cel da se dobie re{enieto za originalnata konstrukcija. Iako pristapot e zna~itelno uprosten, brojot na podatocite {to treba da se presmetaat zavisi od brojot na elementite na koi konstrukcijata e podelena. Za konstrukcii diskretizirani na golem broj elementi sosema e razbirliva potrebata od primena na kompjuter za sproveduvawe na presmetuvaweto. Metodot na kone~ni elementi e primenliv za re{avawe na problemite na grani~ni vrednosti vo inènerstvoto. Pritoa, re{enieto se bara vo regionot na teloto na konstrukcijata, dodeka na granicite na regionot se propi{uvaat (zadavaat) vrednostite na zavisnite promenlivi ili nivnite izvodi. Pove}eto od aplikaciite na MKE se vo oblasta na mehanikata na cvrsto telo, vklu~uvaj}i ja konstruktivnata mehanika, mehanikata na po~vi i mehanika na karpi. Problemite vo ovie oblasti se re{avaat so primena na eden od trite pristapi: metod na pomestuvawa, metod

172 Metod na kone~ni elementi

NUMERI^KI METODI

na ramnoteà i me{ovit metod. Pomestuvawata se primarnite nepoznati vo metodot na pomestuvawa (metod na deformacii), naponite se nepoznati vo metodot na ramnoteà (metod na sili) i nekoi pomestuvawa i nekoi naponi se nepoznati vo me{ovitiot metod. Vo osnovata na metodot e diskretizacija na konstrukcijata (kontinuumot) na serija od kone~ni elementi. Na sl. 1 se prikaàni razli~ni tipovi kone~ni elementi. Elementite se povrzani pome|u sebe vo to~ki koi se vikaat jazolni to~ki. Se odbiraat ednostavni funkcii za aproksimacija na distribucijata ili varijacijata na stvarnite pomestuvawa vo kone~niot element. Ovie pretpostaveni funkcii se vikaat funkcii na pomestuvawata. Nepoznati se pomestuvawata ili izvodite na pomestuvawata vo jazolnite to~ki.

Slika 1 Tipovi kone~ni elementi

Triagolen element Pravoagolen element

Kvadrilateralni kone~ni elementi

Trodimenzionalni kone~ni elementi


NUMERI^KI METODI

Modelot na pomestuvawata naj~esto e vo ednostavna forma na polinomi koi ja ovozmoùvaat lesnata matemati~ka manipulacija. Varijacioniot princip od mehanikata, kako {to e principot za minimum na potencijalna energija, naj~esto se koristi za da se definira sistem od ravenki za ramnoteà na sekoj element:

[ ] { } { }puk =⋅ Ravenkite za ramnoteà na celiot sistem se opredeluvaat so kombinirawe na ravenkite na elementite, i toa taka {to da se obezbedi kontinuitet na pomestuvawata vo jazlite na povrzuvawe. Potoa, ovie ravenki se modificiraat za dadeni grani~ni uslovi na potpiraweto, pa se re{avaat za da se opredelat nepoznatite pomestuvawa. Teorijata na MKE e podelena vo dve fazi: analiza na individualnite elementi i analiza na sistemot od elementi. Ako se primeni metodot na pomestuvawa ili deformacii, postapkata moè da se podeli na nekolku ~ekori: 1. Diskretizacija na kontinuumot na kone~ni elementi (liniski,

triagolni, pravoagolni, kvadrilateralni, prizmati~ni-trodimenzionalni), sl.3. Ovoj proces moè da bide celosno ili delumno avtomatiziran, no sepak mnogu zavisi od iskustvoto i od inènerskata procena na brojot, goleminata, tipot i rasporedot na kone~nite elementi, aspect ratio.

2. Izbor na model na pomestuvawata(tipot i stepenot na polinomot, interpolacioni funkcii)

3. Opredeluvawe na matricite na krutost na elementite. ^lenovite vo ovie matrici se koeficienti vo ravenkite na ramnoteà, a presmetani od materijalnite i od geometriskite karakteristiki na elementite (sili od edini~ni pomestuvawa). Na primer:

- liniski element, stap so dve nepoznati

- liniski element, greda so 4 nepoznati

4. Sostavuvawe na globalnata matrica na krutost na sistemot od

matricite na elementite, i na globalniot vektor na sili (tovari)

1 3 2 4

E,A,l

1 2 E,A,l [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1111

lAEk

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

2

22

3

l4.Simml612

l2l6l4l612l612

lEIk


NUMERI^KI METODI

od jazolnite sili vo elementite (metod na kodni broevi). Pritoa se vospostavuva relacija na nivo na sistemot:

[ ] { } { }PUK =⋅

Ovie ravenki ne moè da se re{at ako prethodno ne se zemat predvid grani~nite uslovi (dali ima nekoi propi{ani ograni~uvawa na pomestuvawata). Vo taa smisla treba da se modificiraat ravenkite. 5. Re{avawe na sistemot ravenki i opredeluvawe na nepoznatite

pomestuvawa. 6. Opredeluvawe na silite (napregawata i deformaciite) vo

elementite od presmetanite pomestuvawa. Diskretizacija na prostorot Prv ~ekor vo MKE e regionot na re{enieto da se podeli na podregioni, odnosno na kone~ni elementi. Formata, goleminata, brojot i orientacijata na elementite treba da se odberat soodvetno, taka {to regionot da e pretstaven {to porealno, bez nepotrebno zgolemuvawe na kompjuterskoto presmetuvawe pri opredeluvaweto na re{enieto. Formata na elementite zavisi od tipot na problemot i od formata na regionot na re{enieto. Ako regionot na re{enieto moè da se opi{e so edna prostorna koordinata (kako {to se pravoliniskite ili zakrivenite stapovi), toga{ moè da se koristat liniski ili ednodimenzionalni kone~ni elementi. Ako regionot na re{enieto e dvodimenzionalen (na pr. pravoagolna, triagolna ili kru`na plo~a), moè da se koristat dvodimenzionalni ili ramninski elementi. Koga se koristat kone~ni elementi so pravoliniski strani (na pr. triagolni elementi), za modelirawe na zakriveni povr{ini ili regioni so nepravilna geometrija, originalniot region ne e pretstaven kompletno. Za da se pretstavi geometrijata to~no, ponekoga{ se koristat elementi so zakriveni strani. Za da se izbegnat numeri~ki problemi, dvodimenzionalnite i trodimenzionalnite kone~ni elementi treba da imaat strani so pribli`no ednakva dolìna. Toa zna~i deka dolgnavestite elementi treba da se odbegnuvaat. Isto taka, numeriraweto na jazlite vo koi se povrzani sosednite kone~ni elementi treba da e takvo {to da se dobiva kolku {to e mo`no pomala {irina na bendot na matricata na sistemot ravenki {to go opi{uva problemot. Op{to pravilo e jazlite da se numeriraat prvo po pokratkata strana na regionot.


NUMERI^KI METODI

Interpolacioni funkcii To~nosta na re{enieto so MKE zavisi od izborot na aproksimativnite (interpolacionite) funkcii. Funkcijata {to se koristi za da go aproksimira re{enieto vo sekoj kone~en element se vika interpolaciona ili funkcija na formata. Najmnogu se koristat interpolacionite funkcii vo forma na polinomi. Polinomite so ponizok red se poednostavni za primena, dodeka polinomite so povisok red podobro ja aproksimiraat to~nata funkcija na re{enieto. Pri izborot na redot na polinomot treba da se napravi kompromis pome|u to~nosta i potro{enoto kompjutersko vreme. Pritoa, kone~nite elementi se klasificiraat vo tri grupi, spored redot na interpolacioniot polinom: - simpleks- elementi - kompleks- elementi - multipleks- elementi Kaj simpleks- elementite se koristi linearna interpolaciona funkcija. Interpolacionata funkcija kaj kompleksniot element e polinom od povisok red. Multipleks- elementot e takov {to granicite na elementot se paralelni so koordinatnite oski (kako {to e pravoagolniot element), a interpolacionata funkcija e polinom od povisok red. Primer 1. Koristej}i go metodot na kone~ni elementi (liniski kone~ni elementi), da se opredeli dijagramot na momentite na dadenata konstrukcija od nadvore{niot tovar. Konstrukcija i koordinati na sistemot: E=3,16x107 kN/m2

60 kN

3,0 I

2I

4,0

1 2


NUMERI^KI METODI

Kone~ni elementi i koordinati na elementite: Matrici na krutost na elementite vo lokalni koordinati:

Matrica na krutost na sistemot opredelena so kodni broevi:

Opredeluvawe na vektorot na tovarite: OKOS

kodni broevi 2 1 0

3 3L -3 3 9 -3 2

[k]1= EI/L3 3L 3L2 -3L =EI/27 9 27 -9 1

-3 -3L 3 -3 -9 3 0 0 1 0 3 3L -3 3 12 -3 0

[k]2= E2I/L3 3L 3L2 -3L =EI/32 12 48 -12 1 -3 -3L 3 -3 -12 3 0

3 0.333 0.6667 -2.00

[K]= EI 0.3333 0.111 [K]-1=1/EI -2.0 15.0

-45 {P}= 0

60 kN 3PL/16=45

37.5

5P/16=18.75 kN 11P/16=41.25 kN

1 2

3

1

2

1

2


NUMERI^KI METODI

Opredeluvawe na pomestuvawata po koordinatite na sistemot: Opredeluvawe na pomestuvawata po koordinatite na elementite:

90 0

{u}1= -30 {u}2= -30 0 0

Opredeluvawete na sili po koordinatite na elementite:

0 90

{p}01= 0 -30

0 0 {p}1= {p}0

1+[k]1x{u}1= 3 9 -3 0

=EI/27 9 27 -9 0 -3 -9 3 0

41 0

{p}02=

45 -30

19 0

{p}2= {p}02+[k]2x{u}2 = 3 12 -3 -11.3 41 30

=EI/32 12 48 -12 -45 + 45 = 0 -3 -12 3 11.3 19 30 Definitiven dijagram na momenti:

-45 0 0.67 -2.00 -30.00

{U}=[K]-1x{P}= -2.00 15.00 90.00

60 kN

60

30

30

178 Optimizacija

NUMERI^KI METODI

11. OPTIMIZACIJA Optimizacija e proces vo koj, od mo`nite nekolku re{enija na daden problem, se selektira najdobroto re{enie. Pove}eto inènerski problemi, kako {to se onie povrzani so analiza, proektirawe, gradewe i drugo, vklu~uvaat vo sebe donesuvawe odluki (procena, izbor). Voobi~aeno, postoi kriterium koj }e treba da se minimizira ili maksimizira dodeka se zadovoluvaat nekolku socijalni, ekonomski, fizi~ki ili tehnolo{ki ograni~uvawa (uslovi). Vo procesot na donesuvawe odluki, odnosno procena, postojat pove}e parametri ~ija vrednost moè da varira. So zgolemuvawe na brojot na ovie parametri, se javuva potreba od primena na sistematska (organizirana, efikasna) procedura za re{avawe na problemite na optimizacija. Vo ovaa glava e daden kratok voved vo re{avaweto na problemite na optimizacijata. Definirawe na problemot na optimizacija Formuliraweto na problemot na optimizacija vklu~uva razvivawe matemati~ki model za fizi~kiot ili za inènerski problem. Vo praktikata, naj~esto e potrbno da se napravat nekolku pretpostavki, za da se razvie racionalen i ednostaven matemati~ki model, koj prili~no to~no moè da go pretstavi odnesuvaweto na sistemot. Rezultatite od optimizacijata }e bidat razli~ni za razli~ni matemati~ki modeli na eden fizi~ki sistem. Spored toa, potreben e dobar matemati~ki model, taka {to rezultatite od optimizacijata moè da se koristat za podobruvawe na odnesuvaweto na sistemot. Op{tiot problem na optimizacija, matemati~ki, moè da se postavi vo slednava forma:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

n

2

1

x..

xx

XFind

koe ja minimizira funkcijata )X(f , so dadeni funkcii na ograni~uvawata:

0)X(h

0)X(g

k

j

=

≤ j=1,2,…,m; k=1,2,….,p

Optimizacija 179

NUMERI^KI METODI

kade {to se: )n,...,2,1i(x i = - proektni promenlivi,

X - vektor na proektnite promenlivi,

)X(f - funkcija na celta,

)X(g j - j-tata funkcija na ograni~uvawata vo vid na neravenka, za

koja se bara da bide ≤ 0,

)X(h k - k-tata funkcija na ograni~uvawata vo vid na ravenka, za koja se bara da bide = 0,

n - broj na proektnite promenlivi,

m - broj na ograni~uvawata vo vid na neravenki,

p - broj na ravenkite na ograni~uvawata.

Terminologija Proektni promenlivi Set od parametri koi mo`e da se variraat za da se promeni odnesuvaweto na sistemot; set od numeri~ki vrednosti, po edna za sekoja proektna promenliva, go so~inuvaat re{enieto (prifatlivo ili neprifatlivo) na problemot na optimizacija. Funkcija na celta

Koga so menuvaweto na proektnite promenlivi, }e se opredelat razli~ni re{enija, potreben e kriterium za da se proceni dali edno re{enie e podobro od drugo. Ovoj kriterium, izrazen vo funkcija od proektnite promenlivi, se vika funkcija na celta. Interesot na proektantot e da odbere soodvetni proektni promenlivi so koi }e ja minimizira ili maksimizira funkcijata na celta.

Ograni~uvawa vo forma na neravenstva

Vo sekoj problem, pri donesuvaweto odluka, }e postojat uslovi ili ograni~uvawa na proektnite promenlivi, koi mo`e da bidat ekonomski, fizi~ki ili funkcionalni. Vo mnogu slu~ai, validnosta na matemati~kiot model koristen za dadeniot fizi~ki sistem vnesuva ograni~uvawa na proektnite promenlivi. Ovie ograni~uvawa, izrazeni vo funkcija od proektnite promenlivi, se poznati kako funkcii na ograni~uvawata. Koga funkciite na

180 Optimizacija

NUMERI^KI METODI

ograni~uvawata mo`e da imaat samo negativna vrednost ili vrednost pogolema od nula, takvoto ograni~uvawe se vika ograni~uvawe vo forma na neravenstvo. Od druga strana, ako funkcijata na ograni~uvawata se bara da bide ednakva na nula, toa e ograni~uvawe vo forma na ravenstvo. Mo`no re[enie

Sekoj set od proektni promenlivi koj gi zadovoluva ograni~uvawata na problemot, se vika mo`no re{enie. Mo`noto re{enie e prifatlivo za proektantot vo smisla na ograni~uvawata, no toa mo`e i da ne ja minimizira funkcijata na celta.

Optimalno re[enie

Mo`noto re{enie koe ja minimizira funkcijata na celta se vika optimalno re{enie.

Problem na linerno programirawe

Vo slu~aj koga site funkcii (funkcija na celta, funkcii na ograni~uvawata) izrazeni preku proektnite promenlivi se linearni, imame problem na linearno programirawe (LP-problem). Ovoj problem e naj~est optimizicionen problem vo praktikata. LP-problemot vo standardna forma se izrazuva na dolunavedeniot na~in:

Da se minimizira funkcijata na celta:

nn2211 xc......xcxcf ⋅++⋅+⋅=

ako se dadeni funkciite na ograni~uvawata:

1nn1212111 bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅

2nn2222121 bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅

.

.

mnmn22m11m bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅

od proektnite promenlivi x1 i x2.

Konstantite c1, c2,....,cn, a11, a12, .....,amn, b1, b2,.....bm, se pretpostavuva deka se poznati.

Optimizacija 181

NUMERI^KI METODI

Vo standardnata forma na LP-problemot, proektnite promenlivi mora da bidat nenegativni, no postoi na~in, so voveduvawe novi promenlivi, tie da moè da imaat i pozitivni ili nulti vrednosti.

Grafi~ko re[enie

Problemot na optimizacija so dve promenlivi moè da se re{i so grafi~ka procedura. Vo ovoj metod, funkciite na ograni~uvawata se crtaat(grafi~ki se pretstavuvaat) vo prostorot na proektnite promenlivi i se identificira regionot na vozmo`ni re{enija, vo koj site ograni~uvawa se zadovoleni. Potoa, so grafi~ko pretstavuvawe na konturite na funkcijata na celta, go identifikuvame optimalnoto re{enie. Iako grafi~kiot metod ne e primenliv za najgolem broj prakti~ni problemi koi vklu~uvaat pove}e proektni promenlivi, toj obezbeduva grafi~ka pretstava (slika) na generalnite karakteristiki na problemite na linearnoto programirawe. Naredniot primer ja ilustrira procedurata na grafi~kata optimizacija.

Primer:

Eden proizvoditel proizveduva dva tipa produkti, A i B, koristej}i 3 razli~ni ma{ini. Minimalnoto potrebno ma{insko vreme za sekoj produkt i profitot od sekoj produkt se dadeni vo slednava tabela:

Produkt Ma{ina 1 Ma{ina 2 Ma{ina 3 Profit ($)

Potrebno ma{insko vreme (~asovi) A 16 8 10 90 B 8 14 9 110

Maksimalnoto mo`no dnevno ma{insko vreme na razli~nite ma{ini e 128, 112 i 90 ~asa. Da se opredeli brojot na produktite A i B {to treba da se proizvedat dnevno za da se obezbedni maksimalen profit.

Re{enie. Neka x1 i x2 se broevi na pruduktite A i B proizvedeni za eden den.

Funkciite na ograni~uvawata na maksimalniot dozvolen broj ~asovi rabota na sekoja ma{ina se:

90x9x10:3M112x14x8:2M128x8x16:1М

21

21

21

≤+≤+≤+

(1)

Bidej}i x1 i x2 ne moè da imaat negativni vrednosti, imame: x1≥0 i x2≥0 (2)

182 Optimizacija

NUMERI^KI METODI

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20

A

B

C

D O

f=0

f=980,5882

Treba da se maksimizira funkcijata na profitot koja e dadena so:

21 x110x90f +=

Optimizacija 183

NUMERI^KI METODI

Za grafi~ko re{enie razgleduvame dvodimenzionalna grafi~ka pretstava so proektnite promenlivi x1 i x2, zemeni kako koordinati. Ograni~uvawata dadeni so neravenkite (2) pokaùvaat deka re{enieto se nao|a vo I kvadrant. Od graficite na funkciite na ograni~uvawata moè da se vidi deka site tie ograni~uvawa se zadovoleni vo to~kite vo granicite na {rafiranata povr{ina. Ovaa povr{ina se narekuva oblast na mo`ni re{enija (feasible space), a prikaàna e na prethodnata slika. Vo site to~ki koi leàt vo povr{inata na mo`ni re{enija (O,A,B,C i D) zadovoleni se site funkcii na ograni~uvawata. Optimalno re{enie e to~kata za koja se dobiva maksimum na funkcijata na celta. Ako koordinatite na site ovie to~ki se zamenat vo funkcijata na celta, najgolema vrednost }e se dobie za to~kata V, i toa iznesuva 980.5882 $, Тoa e optimalnoto re{enie ili maksimum na funkcijata na celta, ili moè da se kaè deka toa e najgolem dneven profit. Opredeluvaweto optimalno re{enie na ovoj na~in e te{ko i neefikasno, bidej}i e potrebno da se opredeli vrednosta na funkcijata na celta vo sekoja ekstremna to~ka od granicata na mo`nite re{enija. Za najgolem broj prakti~ni problemi, brojot na mo`nite re{enija e mnogu golem. Vo toj slu~aj se primenuva efikasna i sistemati~na procedura za da se identificira optimalnoto re{enie pome|u mnoèstvoto mo`ni re{enija, kako {to e Simplex- metodot, koj ovde nema da bide razgleduvan.

184 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD

NUMERI^KI METODI

12. RE[AVAWE NA ZADA^ITE SO PROGRAMITE EXCEL I MATHCAD

Primer 1: Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i polinom od II red da se interpolira vrednost na funkcijata za x=3.45. Koristej}i go programot EXCEL, se vnesuvaat dadenite vrednosti za x i y vo tabela a potoa se crta grafik. Bidej}i interpolacioniot polinom treba da bide od vtor red, se biraat 3 to~ki okolu vrednosta na argumentot 3.45, a potoa za ovie 3 to~ki se crta trend linija vo forma na polinom od vtor red i se bara da se ispi{e funkcijata na ovaa trend linija na grafikot.

Interpolirawe vrednost na funkcijata za x=3.45 P2(3.45) = 2*(3.45)2 - 5*3.45 + 7 = 13.555

So dobienata funkcija se presmetuva vrednosta za dadenata vrednost na argumentot. Za polinom od III red bi se odbrale 4 to~ki okolu dadenata vrednost na argumentot i bi se vmetnata trend linija od treti red. Trend liniite vsu{nost pretstavuvaat vmetnuvawe na nekoja funkcija pome|u dadeni to~ki i }e ja koristime podocna pri

x y 1 4 2 5 3 10 4 19 5 32 6 49 7 70

Polinomna trend linija od II red

P2(x)=y = 2x2 - 5x + 7

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6x

y

Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD 185

NUMERI^KI METODI

re{avawe na takvi zada~i (zada~a 5 od programite). Ovde trend linijata e iskoristena kako interpolaciona funkcija koja se provlekuva taka da pominuva niz dadenite to~ki. Za interpolacionen polinom od II red se odbiraat 3 to~ki okolu zadadeniot argument, za polinom od III red se biraat 4 to~ki. Vo toj slu~aj trend linijata pominuva niz to~kite i pretstavuva interpolaciona funkcija. Za nekoja druga vrednost na argumentot se selektiraat drugi to~ki okolu taaa vrednost. Primer 2: Dadeni se vektorite x i y. So pomo{ na programot Mathcad, so polinom od II red da se interpolira vrednost na funkcijata y(x), za x=1.5.

Vektorot vs se opredeluva so funkcijata regress vo koja tretiot parametar e redot na polinomot so koj se interpolira vrednosta na funkcijata. Poslednite n+1 ~lena (3 ~lena) na vektorot vs se koeficientite na polinomot od II red. Vrednosta na k e interpoliranata vrednost na funkcijata koja se opredeluva so pomo{ na fumkcijata interp vo Mathcad, vo koja posledniot parametar e argumentot za koj se bara vrednost na funkcijata, x=1.5. Primer 3. Za tabli~no zadadena funkcija da se presmetaat vrednostite na prviot i vtoriot izvod na funkcijata vo to~kata i=2, x=4.4. So pomo{ na programot EXCEL se opredeluva tabelata na kone~nite razliki a potoa so formulite za numeri~ko diferencirawe, se presmetuvaat vrednostite na izvodite.

x

1

2

3

y

5

5

7

vs regress x y, 2,( )

k interp vs x, y, 1.5,( )

k 4.75=vs

3

3

2

7

3

1

=


NUMERI^KI METODI

i x y ∆y ∆2y 0 4.2 0.6232493 0.010219 -0.000231 4.3 0.6334685 0.009984 -0.000222 4.4 0.6434527 0.00976 -0.000213 4.5 0.6532125 0.009545 4 4.6 0.6627578

x=x0=4.4; h=0.1; u=(x-x0)/h; u=( x0-x0)/h= 0 y'(4.4)= =(0.00976-(-0.00021)/2)/0.1= 0.09865 y''(4.4)= =(-0.00021)/(0.1)^2= -0.021

Primer 4. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so programot EXCEL preku inverznata matrica na matricata na sistemot.

8 3 1 X 7 3 8 -1 * Y = 4 1 -1 8 Z 6 [A]*{x}={b} MINVERSE(B36:D38)*1.0 0.1507 -0.0598 -0.026

[A]-1 = -0.06 0.1507 0.0263

-0.026 0.0263 0.1316 0.6579 MMULT(C43:E45,H36:H38)*1.0

{x} = 0.3421 0.7105

....]y65y

1211yy[

h1)x(''y

....]y51y

41y

31y

21y[

h1)x('y

05

04

03

02

20

05

04

03

02

00

+∆−∆+∆−∆=

+∆+∆−∆+∆−∆=


NUMERI^KI METODI

Inverznata matrica na sistemot se opredeluva vo EXCEL so funkcijata MINVERSE. Re{enieto {x} se dobiva so mnoèwe na inverznata matrica so vektorot na slobodni ~lenovi {b}. Pri toa se koristi funkcijata MMULT. Primer 5. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so programot Mathcad.

Vektorot soln gi sodrì re{enijata na sistemot ravenki koi se dobieni so pomo{ na funkcijata lsolve. Istiot sistem ravenki moè da se re{i preku inverznata matrica na sistemot na sledniot na~in:

Primer 6. Dadenite podatoci da se modeliraat so polinom od I, II i III red. Da se koristi programot EXCEL.

x -4 -3 -2 -1 0.5 1 2 3 4 y 1.321 -7.086 -1.1 -1.188 2.085 1.188 1.099 7.086 -1.321

M

3

1

1

1

3

1

1

1

3

⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠:= v

5

6

7

⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠:=

soln lsolve M v,( ):=

soln

0.7

1.2

1.7

⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠=

t M( ) 1 v.

t

0.7

1.2

1.7

=


NUMERI^KI METODI

Vo Excel se formira tabela, se crta grafik so to~kite a potoa se vmetnuvaat trend linii pome|u to~kite vo forma na polinomi.

Vmetnuvawe na funkcija od I red po metodot na najmali kvadrati

y = 0.6584x + 0.1952

-8-6-4-202468

-6 -4 -2 0 2 4 6yLinear (y)

Vmetnuvawe na funkcija od II red po metodot na najmali kvadrati

y = -0.0372x2 + 0.6564x + 0.4441

-8-6-4-202468

-6 -4 -2 0 2 4 6

yPoly. (y)

Vmetnuvawe na funkcija od III red po metodot na najmali kvadrati

y = -0.1593x3 - 0.0178x2 + 2.5302x + 0.2124

-8-6-4-202468

-6 -4 -2 0 2 4 6

yPoly. (y)


NUMERI^KI METODI

Primer 7. So programot Mathcad, da se re{i diferencijalnata ravenka y’=2x2, so po~etni uslovi, x0=0, y0=2, za x∈[0,1], so ~ekor h=0.1. Vo mathcad ja koristime funkcijata rkfixed, koja go pretstavuva metodot na Runge-Kuta za numeri~ko re{avawe diferencijalni ravenki. Vektorot Z gi sodr`i re{enijata za funkcijata y za vrednosti na x vo granicite od 0 do 1.

Primer 8. Dadenite podatoci da se modeliraat so prava linija. Rezultatite da se pretstavat grafi~ki. So koristewe na programot EXCEL se formira tabela od dadenite vrednosti i se crta grafik. Potoa, vo grafikot pome|u dadenite vrednosti, se vmetnuva trend linija vo forma na prava linija (polinom od I red) so opcijata da se ispi{e funkcijata na grafikot.

x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 1 1.5 2.5 3 4 6

x0 0 y0 2

D x y,( ) 2 x2.

Z rkfixed y 0, 1, 10, D,( )

Z

012345678910

0 10 2

0.1 2.0010.2 2.0050.3 2.0180.4 2.0430.5 2.0830.6 2.1440.7 2.2290.8 2.3410.9 2.486

1 2.667

=


NUMERI^KI METODI

y = 0.8036x + 0.3036

01234567

0 2 4 6 8

y

Linear (y)

1

Primer 8. Dadenite podatoci da se modeliraat so prava linija vo forma:y= a0 + a1* x Rezultatite da se pretstavat grafi~ki. Zada~ata mo`e da se re{i so koristewe na funkcijata LINEST vo programot EXCEL. Se formira tabela od dadenite vrednosti i se crta grafik so to~ki. Potoa, se selektiraat dve prazni }elii vo eden red i se koristi funkcijata LINEST, koja pretstavuva vmetnuvawe na linearna funkcija pome|u dadenite to~ki. Parametrite vo ovaa funkcija se vektorot y, vektorot x, tretiot parametar e logi~ka promenliva TRUE , a ~etvrtiot parametar FALSE. Pri toa se dobiva vo prvata }elija koeficientot a1, a vo vtorata koeficientot a0.

x 1 1.5 2 3.5 4 5.5 6 y 0 2 3 3.5 5 4 4

y = 0.6594x + 0.8578

0123456

0 2 4 6 8

yLinear (y)

1.

0.659375 0.857812 LINEST(C5:I5,C4:I4,TRUE,FALSE)

a1 a0


NUMERI^KI METODI

Primer 9. Koristej}i go programot Mathcad, da se opredelat sopstvenite vrenosti i sopstvenite vektori na simetri~na kvadratna matrica [M].

2 M3.75

1.25

1.25

5.68

f eigenvals M( ) F eigenvecs M( )f3.136

6.294= F

0.898

0.441

0.441

0.898=

Se vnesuva matricata a potoa se koristat funkciite eigenvals za da se opredelat sopstvenite vrenosti i funkcijata eigenvecs za da se opredelat sopstvenite vektori na dadenata matrica. Primer 10. Koristej}i go programot Mathcad, da se opredelat sopstvenite vrenosti i sopstvenite vektori na simetri~na kvadratna matrica [A].

2

A

4.3

0.5

0.5

0.5

5.8

0.8

0.5

0.8

6

v eigenvals A( ) V eigenvecs A( )v

5.506

6.707

3.887

= V

0.504

0.659

0.557

0.021

0.655

0.756

0.863

0.369

0.344

=

Se vnesuva matricata a potoa se koristat funkciite eigenvals za da se opredelat sopstvenite vrenosti i funkcijata eigenvecs za da se opredelat sopstvenite vektori na dadenata matrica.


NUMERI^KI METODI

Primer 11. Koristej}i go metodot na Runge-Kuta, vo programot Mathcad, da se opredelat re{enijata na diferencijalnata ravenka y'=3x2-y, za dadeni po~etni uslovi, x0=0, y0=1, za x vo intervalot [0,0.5], so ~ekor h=0.1.

3 y0 1

D x y,( ) 3 x2. y

GG rkfixed y 0, 0.5, 5, D,( ) GG

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1

0.906

0.826

0.766

0.728

0.717

=

Primer 12. Koristej}i go metodot na Runge-Kuta, vo programot Mathcad, da se opredelat re{enijata na diferencijalnata ravenka y'=y2-2x2, za dadeni po~etni uslovi, x0=0, y0=1, za x vo intervalot [0,1], so ~ekor h=0.2.

y0 13

D x y,( ) y2 2 x2.

Z rkfixedy 0, 1, 5, D,( )

Z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

1.244

1.608

2.221

3.622

10.793

=

Zada~i 193

NUMERI^KI METODI

13. Zada~i Interpolacija Primer 1. Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i ja formulata za linearna interpolacija, da se interpolira vrednost na funkcijata za x=2.2.

x 2 2,3 2,5 y 5,848 6,127 6,3

Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadenite to~ki:

k 0 1 2 3 xk 0,0 1,0 2,0 4,0 yk 1,0 1,0 2,0 5,0

So zamena na ovie izrazi vo Lagran`oviot interpolacionen polinom od 3 red se dobiva funkcijata so koja e aproksimirana tabli~no zadadenata funkcija:

034,6y

)0,22,2(0,23,2848,5127,6848,5y

)yy(xx

xxyy k1kk1k

kk

=

−−−

+=

−−

−+= +

+

k k+1

2,2x =

5y;)24)(14)(04()2x)(1x)(0x(


)x(L

2y;)42)(12)(02()4x)(1x)(0x(


)x(L

1y;)41)(21)(01()4x)(2x)(0x(


)x(L

1y;)40)(20)(10()4x)(2x)(1x(


)x(L

3231303

2103

2321202

3102

1312101

3201

0302010

3210

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

=−−−−−−

=−−−

−−−=

)12x8x9x(121)x(P

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P

23

33221100

+−+−=

+++=

194 Zada~i

NUMERI^KI METODI

Primer 3. Dadena e slednava tabela:

k 0 1 2 3 xk 1,0 2,0 5,0 9,0 yk 1,0 3,0 6,0 10,0

Da se interpolira vrednost na funkcijata so polinom od treti red za x=6,0.

Primer 4. Da se najde empiriska formula za funkcijata f(x) zadadena so slednava tabela.

i x Y ∆y ∆2y ∆3y 0 0 -3.0 3.7 -0.6 0 1 1 0.7 3.1 -0.6 0 2 2 3.8 2.5 -0.6 0 3 3 6.3 1.9 -0.6 4 4 8.2 1.3 5 5 9.5

h=1.0

)xx()xx(h!2y

)xx(h!1

yy)x(P 102

02

00

0 −⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+=

)1x()0x(1126.0)0x(

17.33)x(P 2 −⋅−

⋅⋅−

+−+−=

22 x3.0x43x3.0x3.0x7.33)x(P −⋅+−=+−+−=

625,656510

456)

75(3

831)0,6(P

10y;565)0,6(L;

)59)(29)(19()56)(26)(16()x(L

6y;45)0,6(L;

)95)(25)(15()96)(26)(16()x(L

3y;75)0,6(L;

)92)(52)(12()96)(56)(16()x(L

1y;83)0,6(L;

)91)(51)(21()96)(56)(26()x(L

333

222

111

000

=⋅+⋅+−⋅+⋅=

==−−−−−−

=

==−−−−−−

=

=−=−−−−−−

=

==−−−−−−

=

x=0.55 x=1.25

Zada~i 195

NUMERI^KI METODI

Ako se bara vrednost na funkcijata za x=0.55, za x0 se zema najbliskata vrednost za x vo tabelata, a toa e x0=0, y0=-3,0, x1=1, ∆y0=3.7, ∆2y0=-0.6. Ako zamenime vo Wutnovata interpolaciona formula, }e dobieme: P(0.55)=?

Za x=1.25 najbliska to~ka od tabelata e to~kata i=1 i za nea gi zemame, x0=1, y0=0.7, ∆y0=3.1, ∆2y0=-0.6, a slednata to~ka e x1=2

Primer 5. Koristej}i ja tabelata od zada~a 1 da se opredeli vrednost na funkcijata f(x) za x=1.25, koristej}i go Lagran`oviot interpolacionen polinom od 2 red.

Po~etna to~ka e vtorata to~ka od tabelata kako najbliska prethodna to~ka na to~kata so apscisa x=1.25. Zna~i, x0=1, x1=2, x2=3.

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P 221100 ++=

891.0)155.0()055.0(2

6.0)055.0(17.33)55.0(P −=−⋅−

−+−+−=

531.1)225.1()125.1(2

6.0)125.1(11.37.0)55.0(P =−⋅−

−+−+=

5312.13.609375.08.34375.07.065625.0)x(P

3.6y;09375.0)23)(13(

)2x)(125.1()x(L

8.3y;4375.0)32)(12(

)3x)(125.1()x(L

7.0y;65625.0)31)(21(

)3x)(225.1()x(L

02

01

00

=⋅−⋅+⋅=

=−=−−

−−=

==−−

−−=

==−−

−−=

196 Zada~i

NUMERI^KI METODI

Numeri~ko diferencirawe Primer 6. tabli~no e zadadena nekoja funkcija so ~ekor h=0.1. Znaej}i deka taa e diferencijabilna vo dadeniot interval, da se presmeta prviot izvod za x=3.5 i za x=3.57.

i x y(x)=log(x) ∆y ∆2y 0 3.5 0.5441 0.0122 -0.0003 1 3.6 0.5563 0.0119 -0.0003 2 3.7 0.5682 0.0116 -0.0003 3 3.8 0.5798 0.0113 4 3.9 0.5911

Za f ’(3.57) ja koristime formulata:

Koga se bara izvod na nekoja funkcija za vrednost na argumentot {to se nao|a nazad vo dadenata tabela, toga{ se primenuva interpolacionata formula na Wutn za interpolacija nazad. Primer 7. Tabelarno se dadeni vrednostite na funkcijata

y(x)= x za 7 argumenti so ~ekor h=0.05.

i x y(x)= x ∆y ∆2y ∆3y 0 1.00 1.00000 0.02470 -0.00059 0.00005 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00054 0.00004 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00050 0.00002 3 1.15 1.07238 0.02307 -0.00048 0.00003

1235.0)]0003.0(210122.0[

1.01)5.3('y

]y21y[

h1)5.3('f 0

20

=−−=

∆−∆=

1214.0)]0003.0(2

17.020122.0[1.0

1)57.3('y

7.01.0/)5.357.3(u

....]y6

2u6u3y2

1u2y[h1)x('f 0

32

02

0

=−−⋅

−=

=−=

+∆+−

+∆−

+∆=

Zada~i 197

NUMERI^KI METODI

4 1.20 1.09544 0.02259 -0.00045 5 1.25 1.11803 0.02214 6 1.30 1.14017

Da se opredelat izvodite vo to~ka k=0, odnosno x0=1.0, so pomo{ na formulite za diferencirawe dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom napred.

To~nite rezultati se :

Od primerot se zaklu~uva deka gre{kite se zna~itelni. Primer 8: Dadena e funkcijata y=sinx. Da se aproksimira vrednosta y’ i y’’ za x=π/8, koristej}i gi kone~nite razliki od prv i vtor red, so ~ekor h=π/16.

To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’(π/8)=cos(π/8)=0.9238795

i i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x 0 π/16 2π/16 3π/16 4π/16 5π/16 y 0 0.19509 0.38268 0.55557 0.70710 0.831469

4.0]00005.0[05.01)0.1('''y

256.0]00005.000059.0[05.01)0.1(''y

50024.0]000017.0000295.002470.0[05.01)0.1('y

3

2

==

−=−−=

=++=

375.0)0.1('''y25.0)0.1(''y

5.0)0.1('yx)x(y

=−=

==

0.91795450.1950903)5555702.0(

162

1h2

yyy 1i1i

1'i =−

π⋅

=−

≈∆≡ −+

3814552.0-

0.1950903)0.3826834*25555702.0()

16(

1h

yy2yy2

21ii1i

2''i

=

=+−π

=+−

≈∆≡ −+

198 Zada~i

NUMERI^KI METODI

To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’’=-sinx ; y’’(π/8)=-sin(π/8)=-0.3826834 Integracija

Primer 9. Da se presmeta integralot ∫1

4.0

x

dxxe

so pomo{ na trapeznoto

pravilo, so ~ekor h=0.1.

k xk exk yk=exk/xk 0 0.4 1.4918 3.7295 1 0.5 1.6487 3.2954 2 0.6 1.8221 3.0368 3 0.7 2.0138 2.8734 4 0.8 2.2255 2.7819 5 0.9 2.4596 2.7288 6 1.0 2.7183 2.7183

7163.14y5

1k =∑

79402.1)7183.27163.1427295.3(1.021)yy2y(1.0

21

]y)yyyyy(2y[h21dx

xe

6

5

1k0

6543210

1

4.0

x

=+⋅+=+∑+=

=++++++=∫

Primer 10. Integralot od primer 1 da se presmeta so Simpsonovata formula.

78919.1]7183.28178.528976.847295.3[31.0

]y)yy(2)yyy(4y[31.0

]yy4y2y4y2y4y[3hdx

xe

6425310

6543210

1

4.0

x

=+⋅+⋅+=

=++++++=

=++++++=∫

Zada~i 199

NUMERI^KI METODI

Primer 11. Da se presmeta ∫π 2/

0dx)xsin( koristej}i gi vrednostite na

funkcijata dadeni vo tabelata. Pritoa da se koristat: a) op{tata integraciona formula dobiena od Wutnoviot

interpolacionen polinom, b) trapeznoto pravilo, v) Simpsonovoto pravilo

Dobienite rezultati da se sporedat so to~noto re{enie koe iznesuva 1.00. a) So primena na ravenkata dobiena od Wutnoviot interpolacionen

polinom za n=6:

1.0000041.0)410.965932160.8660327

0.707112720.5270.258822160.041(12140

1dx)xsin(2/

0

=⋅+⋅++⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅π

=∫π

b) Primena na trapeznoto pravilo:

994285.059578.71309.0

]0.1)96593.086603.070711.05.025882.0(20[122

1dx)xsin(2/

0

=⋅=

=+++++⋅+π

=∫π

v) So primena na Simpsonovata formula:

00003.14595.11087266.0

]0.1)86603.05.0(2)96593.070711.025882.0(40[123

1dx)xsin(2/

0

=⋅=

=+++++⋅+π

=∫π

Od rezultatite se gleda deka najto~na e integracijata sprovedena so ravenkata pod a). Primer 12. So Gausovata integraciona formula za dve Gausovi to~ki, da se opredeli vrednosta na integralot:

∫ ⋅+++=∫+

−

+

−

1

1

231

1dz)1zzz(dz)z(f

x 0 π/12 2π/12 3π/12 4π/12 5π/12 6π/12 sin(x) 0 0.2588 0.5 0.70711 0.86603 0.96593 1.00

200 Zada~i

NUMERI^KI METODI

Od prethodnata tabela za 2 Gausovi to~ki se ot~ituvaat vrednostite za zk i Wk:

69133103.2)57735027.0(f97532563.0)57735027.0(f

)57735027.0(f0.1)57735027.0(f0.1)z(fWdz)z(f2

1kkk

1

1

=−=

−⋅+⋅=∑ ⋅=∫=

+

−

66666666.2dz)1zzz(1

1

23 =∫ ⋅++++

−

{to se poklopuva so to~noto re{enie. Primer 13. Da se primeni Gausovata integraciona formula so pet to~ki za presmetuvawe na integralot:

∫=2

1 xdxI ; to~no te{enie: ln(x)⏐ =0.693 147 18

Vr{ime transformacija na promenlivata 1≤ x ≤ 2 vo promenliva -1≤ z ≤ 1.

2dzdx;dx2dz;3x2

1212x2

)ab()ab(x2z ==−=

−−−

=−

+−=

Potoa ja transformirame funkcijata f(x) vo F(z):

Presmetuvaweto po Gausovata formula so 5 Gausovi to~ki e dadeno vo slednava tabela:

k

zk

Wk

F(zk)=1/(zk+3)

Wk.f(zk)

1 -0.906 179 85 0.236 926 89 0.477 595 93 0.113 155 29 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 0.406 251 28 0.194 443 51 3 0. 0.568 888 89 0.333 333 33 0.189 629 62 4 0.538 469 31 0.478 628 67 0.282 608 08 0.135 264 33 5 0.906 179 85 0.236 926 89 0.256 004 60 0.060 654 37

∑ ⋅=

2

1kkk )z(fW

0.693 147 12

Dobienoto re{enie so 5 Gausovi to~ki e to~no do 6-tiot decimal.

2

1

dz3z

12dz

3z2

xdx

3z2

12)12(z2

2ab)ab(z

1)z(F;x1)x(f

1

1

1

1

2

1∫

+=∫

+=∫

+=

++−=

++−==

+

−

+

−

Zada~i 201

NUMERI^KI METODI

Primer 14. Koristej}i ja Gausovata formula za integracija so 2 i so 3 Gausovi to~ki, da se proceni vrednosta na integralot za koj to~noto re{enie iznesuva:

2)11()0cos(cos)xcos(dx)xsin(F0

0=−−−=−π−=−=∫= ππ

Pritoa da se koristi formata na Gausovata formula vo koja ne se vr{i transformacija na funkcijata f(x) vo F(z). So dve Gausovi to~ki:

9358.1261619.02

)]2

)0()0(57735.0sin(0.1)2

)0()0(57735.0sin(0.1[2

0F

)2

ab)ab(z(fW

2abdx)x(f k

n

1kk

b

a

=⋅π

=

=+π+−π

⋅++π+−π−

⋅−π

≈

++−⋅

−≈ ∑∫

=

So tri Gausovi to~ki:

001389.2)]2

774596.0sin(55555.0

)0sin(88888.0)2

774596.0sin(55555.0[2

F

=π+π

⋅

+⋅+π+π−

⋅π

≈

Primer 15. So pomo{ na trapeznoto pravilo da se proceni

integralot ∫ +2

0dx1x . Funkcijata da se tabelira vo dadeniot

interval so ~ekor h=0.5.

x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 y 1 1.22 1.414 1.58 1.73

7895.2]73.1)58.1414.122.1(21[25.0dx1x

2

0=++++≈∫ +

Primer 16. Da se interpolira polinom koj minuva niz dadenite to~ki. Pritoa da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom napred.

x -1 1 3 5 y 3 3 27 75

202 Zada~i

NUMERI^KI METODI

Potoa da se opredeli povr{inata zafatena od interpoliraniot polinom vo granicite od -1,0 do 5,0 i apscisnata oska, i toa so pomo{ na Simpsonovoto pravilo za 6 intervali i so Gausovata formula so 3 Gausovi to~ki. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie dobieno so direktna integracija.

i x y ∆y ∆2y ∆3y 0 -1 3 0 24 0 1 1 3 24 24 2 3 27 48 3 5 75

22

21030

3

1020

2

00

0

x3)1x()1x(22

2403)x(P

....)xx()xx()xx(h!3y

)xx()xx(h!2y

)xx(h!1

yy)x(P

=−⋅+⋅

++=

+−⋅−⋅−⋅

∆+

+−⋅−⋅

∆+−

⋅∆

+=

Direktna integracija: 1263x3dxx3 5

1

35

1

2 =≈∫ −−

to~no re{enie.

- So pomo{ na Simpsonovata formula so 6 intervali.

Funkcijata (polinomot) se tabelira vo granicite od -1.0 do 5.0 so ~ekor

h=[5-(-1)]/6, h=6/6=1,0:

126]75)273(2)48120(43[

31

]y)yy(2)yyy(4y[3hdxx3 6425310

5

1

2

=++++++=

=++++++≈∫−

- So Gausova formula za integracija za 3 Gausovi to~ki:

i 0 1 2 3 4 5 6 x -1 0 1 2 3 4 5 y 3 0 3 12 27 48 75

Zada~i 203

NUMERI^KI METODI

)x(fWdx)x(f k

n

1kk

b

a⋅∑≈∫

=

∫ ⋅++=∫

++=+==

==−

=

+=+

=

−=

+−−

=−

+−=

−−

1

1

21

1

222

dz3)4z12z9(3dz)z(F

)4z12z9(3)2z3(3x3)x(P

dz3dz26dz

2)ab(dx

2z32

4z6x

64x2

)15()15(x2

)ab()ab(x2z

n k zk wk F(zk) F(z).wk 3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 0.9435585 0.5291991 2 0 0.888 888 89 36 31.99999 3 0.774 596 67 0.555 555 56 168.25642 93.475782 Σ 126

kniga numerichki metodi

Documents