knotes

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K N O T S K N O T E S

J U S T I N R O B E R T S

C o n t e n t s

1 . M o t i v a t i o n , b a s i c d e n i t i o n s a n d q u e s t i o n s 2

1 . 1 . B a s i c d e n i t i o n s 2

1 . 2 . B a s i c q u e s t i o n s 3

1 . 3 . O p e r a t i o n s o n k n o t s 4

1 . 4 . A l t e r n a t i n g k n o t s 5

1 . 5 . U n k n o t t i n g n u m b e r 6

1 . 6 . F u r t h e r e x a m p l e s o f k n o t s a n d l i n k s 6

1 . 7 . M e t h o d s 7

2 . F o r m a l d e n i t i o n s a n d R e i d e m e i s t e r m o v e s 7

2 . 1 . K n o t s a n d e q u i v a l e n c e 7

2 . 2 . P r o j e c t i o n s a n d d i a g r a m s 9

2 . 3 . R e i d e m e i s t e r m o v e s 1 0

3 . S i m p l e i n v a r i a n t s 1 4

3 . 1 . I n v a r i a n t s 1 4

3 . 2 . L i n k i n g n u m b e r 1 4

3 . 3 . 3 - c o l o u r i n g s 1 6

3 . 4 . p

- c o l o u r i n g s 1 9

3 . 5 . U n k n o t t i n g n u m b e r 2 0

4 . T h e J o n e s p o l y n o m i a l 2 1

4 . 1 . T h e K a u m a n b r a c k e t 2 1

4 . 2 . C o r r e c t i n g v i a t h e w r i t h e 2 4

4 . 3 . A s t a t e - s u m m o d e l f o r t h e K a u m a n b r a c k e t 2 4

4 . 4 . T h e J o n e s p o l y n o m i a l a n d i t s p r o p e r t i e s 2 5

4 . 5 . A l t e r n a t i n g k n o t s a n d t h e J o n e s p o l y n o m i a l 2 9

5 . S u r f a c e s 3 2

5 . 1 . M a n i f o l d s 3 2

5 . 2 . E x a m p l e s o f s u r f a c e s 3 4

5 . 3 . C o m b i n a t o r i a l s u r f a c e s 3 6

5 . 4 . C u r v e s i n s u r f a c e s 3 9

5 . 5 . O r i e n t a b i l i t y 4 1

5 . 6 . E u l e r c h a r a c t e r i s t i c 4 2

5 . 7 . C l a s s i c a t i o n o f s u r f a c e s 4 3

6 . S u r f a c e s a n d k n o t s 4 8

6 . 1 . S e i f e r t s u r f a c e s 4 9

6 . 2 . A d d i t i v i t y o f t h e g e n u s 5 1

7 . V a n K a m p e n ' s t h e o r e m a n d k n o t g r o u p s 5 4

7 . 1 . P r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s 5 4

7 . 2 . R e m i n d e r o f t h e f u n d a m e n t a l g r o u p a n d h o m o t o p y 5 8

D a t e : M a r c h 1 5 t h 1 9 9 9 . L e c t u r e n o t e s f r o m E d i n b u r g h c o u r s e M a t h s 4 1 5 .

1

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2 J U S T I N R O B E R T S

7 . 3 . V a n K a m p e n ' s t h e o r e m 5 9

7 . 4 . T h e k n o t g r o u p 6 2

1 . M o t i v a t i o n , b a s i c d e f i n i t i o n s a n d q u e s t i o n s

T h i s s e c t i o n j u s t a t t e m p t s t o g i v e a n o u t l i n e o f w h a t i s a h e a d : t h e o b j e c t s o f s t u d y , t h e n a t u r a l

q u e s t i o n s a n d s o m e o f t h e i r a n s w e r s , s o m e o f t h e b a s i c d e n i t i o n s a n d p r o p e r t i e s , a n d m a n y

e x a m p l e s o f k n o t s .

1 . 1 . B a s i c d e n i t i o n s .

D e n i t i o n 1 . 1 . 1 P r o v i s i o n a l . A k n o t

i s a c l o s e d l o o p o f s t r i n g i n R

3

; t w o k n o t s a r e e q u i v a l e n t

t h e s y m b o l

=

i s u s e d i f o n e c a n b e w i g g l e d a r o u n d , s t r e t c h e d , t a n g l e d a n d u n t a n g l e d u n t i l i t

c o i n c i d e s w i t h t h e o t h e r . C u t t i n g a n d r e j o i n i n g i s n o t a l l o w e d .

E x a m p l e 1 . 1 . 2 .

u n k n o t l e f t t r e f o i l r i g h t t r e f o i l

g u r e - e i g h t 5

1

5

2

R e m a r k 1 . 1 . 3 . S o m e k n o t s h a v e h i s t o r i c a l o r d e s c r i p t i v e n a m e s , b u t m o s t a r e r e f e r r e d t o b y t h e i r

n u m b e r s i n t h e s t a n d a r d t a b l e s . F o r e x a m p l e 5

1

; 5

2

r e f e r t o t h e r s t a n d s e c o n d o f t h e t w o 5 - c r o s s i n g

k n o t s , b u t t h i s o r d e r i n g i s c o m p l e t e l y a r b i t r a r y , b e i n g i n h e r i t e d f r o m t h e e a r l i e s t t a b l e s c o m p i l e d .

R e m a r k 1 . 1 . 4 . A c t u a l l y t h e p i c t u r e s a b o v e a r e k n o t d i a g r a m s , t h a t i s p l a n a r r e p r e s e n t a t i o n s

p r o j e c t i o n s o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l o b j e c t , w i t h a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o v e r u n d e r - c r o s s i n g

i n f o r m a t i o n r e c o r d e d b y m e a n s o f t h e b r e a k s i n t h e a r c s . S u c h t w o - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s

a r e m u c h e a s i e r t o w o r k w i t h , b u t t h e y a r e i n a s e n s e a r t i c i a l ; k n o t t h e o r y i s c o n c e r n e d p r i m a r i l y

w i t h t h r e e - d i m e n s i o n a l t o p o l o g y .

R e m a r k 1 . 1 . 5 . A n y k n o t m a y b e r e p r e s e n t e d b y m a n y d i e r e n t d i a g r a m s , f o r e x a m p l e h e r e a r e

t w o p i c t u r e s o f t h e u n k n o t a n d t w o o f t h e g u r e - e i g h t k n o t . C o n v i n c e y o u r s e l f o f t h e l a t t e r u s i n g

s t r i n g o r c a r e f u l r e d r a w i n g o f p i c t u r e s !

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K N O T S K N O T E S 3

1 . 2 . B a s i c q u e s t i o n s .

Q u e s t i o n 1 . 2 . 1 . M a t h e m a t i c a l l y , h o w d o w e g o a b o u t f o r m a l i s i n g t h e d e n i t i o n s o f k n o t a n d

e q u i v a l e n c e ?

Q u e s t i o n 1 . 2 . 2 . H o w m i g h t w e p r o v e i n e q u i v a l e n c e o f k n o t s ? T o s h o w t w o k n o t s a r e e q u i v a l e n t ,

w e c a n s i m p l y t r y w i g g l i n g o n e o f t h e m u n t i l w e s u c c e e d i n m a k i n g i t l o o k l i k e t h e o t h e r : t h i s i s a

p r o o f . O n t h e o t h e r h a n d , w i g g l i n g a t r e f o i l a r o u n d f o r a n h o u r o r s o a n d f a i l i n g t o m a k e i t l o o k

l i k e t h e u n k n o t i s n o t a p r o o f t h a t t h e y a r e d i s t i n c t , m e r e l y i n c o n c l u s i v e e v i d e n c e . W e n e e d t o w o r k

m u c h h a r d e r t o p r o v e t h i s . O n e o f t h e r s t t a s k s i n t h e c o u r s e w i l l b e t o s h o w t h a t t h e t r e f o i l i s

i n e q u i v a l e n t t o t h e u n k n o t i . e . t h a t i t i s n o n - t r i v i a l o r k n o t t e d .

Q u e s t i o n 1 . 2 . 3 . C a n o n e p r o d u c e a t a b l e o f t h e s i m p l e s t k n o t t y p e s a k n o t t y p e m e a n s a n e q u i v -

a l e n c e c l a s s o f k n o t s , i n o t h e r w o r d s a t o p o l o g i c a l a s o p p o s e d t o g e o m e t r i c a l k n o t : o f t e n w e w i l l

s i m p l y c a l l i t a k n o t " . S i m p l e s t " i s c l e a r l y s o m e t h i n g w e w i l l n e e d t o d e n e : h o w s h o u l d o n e

m e a s u r e t h e c o m p l e x i t y o f k n o t s ?

A l t h o u g h k n o t s h a v e a l o n g h i s t o r y i n C e l t i c a n d I s l a m i c a r t , s a i l i n g e t c . , a n d w e r e r s t s t u d i e d

m a t h e m a t i c a l l y b y G a u s s i n t h e 1 8 0 0 s , i t w a s n o t u n t i l t h e 1 8 7 0 s t h a t t h e r e w a s a s e r i o u s a t t e m p t

t o p r o d u c e a k n o t t a b l e . J a m e s C l e r k M a x w e l l , W i l l i a m T h o m p s o n L o r d K e l v i n a n d P e t e r T a i t

t h e P r o f e s s o r o f m a t h s a t E d i n b u r g h , a n d i n v e n t o r o f t h e d i m p l e s i n a g o l f b a l l b e g a n t o t h i n k

t h a t k n o t t e d v o r t e x t u b e s " m i g h t p r o v i d e a n e x p l a n a t i o n o f t h e p e r i o d i c t a b l e ; T a i t c o m p i l e d s o m e

t a b l e s a n d g a v e n a m e s t o m a n y o f t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f k n o t s , a n d s o d i d K i r k m a n a n d L i t t l e .

I t w a s n o t u n t i l P o i n c a r e h a d f o r m a l i s e d t h e m o d e r n t h e o r y o f t o p o l o g y a r o u n d a b o u t 1 9 0 0 t h a t

R e i d e m e i s t e r a n d A l e x a n d e r a r o u n d a b o u t 1 9 3 0 w e r e a b l e t o m a k e s i g n i c a n t p r o g r e s s i n k n o t

t h e o r y . K n o t t h e o r y w a s a r e s p e c t a b l e i f n o t v e r y d y n a m i c b r a n c h o f t o p o l o g y u n t i l t h e d i s c o v e r y

o f t h e J o n e s p o l y n o m i a l 1 9 8 4 a n d i t s c o n n e c t i o n s w i t h p h y s i c s s p e c i c a l l y , q u a n t u m e l d t h e o r y ,

v i a t h e w o r k o f W i t t e n . S i n c e t h e n i t h a s b e e n t r e n d y " t h i s i s a m i x e d b l e s s i n g ! I t e v e n h a s

s o m e c o n c r e t e a p p l i c a t i o n s i n t h e s t u d y o f e n z y m e s a c t i n g o n D N A s t r a n d s . S e e A d a m s ' K n o t

b o o k " f o r f u r t h e r h i s t o r i c a l i n f o r m a t i o n .

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 . A

l i n k i s s i m p l y a c o l l e c t i o n o f n i t e l y - m a n y d i s j o i n t c l o s e d l o o p s o f s t r i n g i n

R

3

; e a c h l o o p i s c a l l e d a c o m p o n e n t o f t h e l i n k . E q u i v a l e n c e i s d e n e d i n t h e o b v i o u s w a y . A k n o t

i s t h e r e f o r e j u s t a o n e - c o m p o n e n t l i n k .

E x a m p l e 1 . 2 . 5 . S o m e l i n k s . N o t e t h a t t h e i n d i v i d u a l c o m p o n e n t s m a y o r m a y n o t b e u n k n o t s .

T h e B o r r o m e a n r i n g s h a v e t h e i n t e r e s t i n g p r o p e r t y t h a t r e m o v i n g a n y o n e c o m p o n e n t m e a n s t h e

r e m a i n i n g t w o s e p a r a t e : t h e e n t a n g l e m e n t o f t h e r i n g s i s d e p e n d e n t o n a l l t h r e e c o m p o n e n t s a t t h e

s a m e t i m e .

H o p f l i n k a n u n l i n k B o r r o m e a n r i n g s

W h i t e h e a d l i n k d o u b l e d t r e f o i l

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E x e r c i s e 1 . 2 . 6 . T h e B o r r o m e a n r i n g s a r e a 3 - c o m p o n e n t e x a m p l e o f a B r u n n i a n l i n k , w h i c h i s

a l i n k s u c h t h a t d e l e t i o n o f a n y o n e c o m p o n e n t l e a v e s t h e r e s t u n l i n k e d . F i n d a 4 - c o m p o n e n t

B r u n n i a n l i n k .

D e n i t i o n 1 . 2 . 7 . T h e c r o s s i n g n u m b e r c K

o f a k n o t K

i s t h e m i n i m a l n u m b e r o f c r o s s i n g s i n

a n y d i a g r a m o f t h a t k n o t . T h i s i s a n a t u r a l m e a s u r e o f c o m p l e x i t y . A m i n i m a l d i a g r a m o f K

i s

o n e w i t h c K

c r o s s i n g s .

E x a m p l e 1 . 2 . 8 . T h e u n k n o t h a s c r o s s i n g n u m b e r 0 . T h e r e a r e n o n o n - t r i v i a l k n o t s w i t h c r o s s i n g

n u m b e r s 1 o r 2 : o n e c a n p r o v e t h i s b y e n u m e r a t i n g a l l p o s s i b l e d i a g r a m s w i t h o n e o r t w o c r o s s i n g s ,

a n d s e e i n g t h a t t h e y a r e e i t h e r u n k n o t s o r l i n k s w i t h m o r e t h a n o n e c o m p o n e n t . C l e a r l y t h e t r e f o i l

h a s c r o s s i n g n u m b e r l e s s t h a n o r e q u a l t o 3 , s i n c e w e c a n d r a w i t w i t h t h r e e c r o s s i n g s . T h e q u e s t i o n

i s w h e t h e r i t c o u l d b e s m a l l e r t h a n 3 . I f t h i s w e r e s o i t w o u l d h a v e t o b e e q u i v a l e n t t o a n u n k n o t . S o

p r o v i n g t h a t t h e c r o s s i n g n u m b e r r e a l l y i s 3 i s e q u i v a l e n t t o p r o v i n g t h a t t h e t r e f o i l i s n o n - t r i v i a l .

E x e r c i s e 1 . 2 . 9 . P r o v e t h a t t h e r e a r e n o k n o t s w i t h c r o s s i n g n u m b e r 1 o r 2 j u s t d r a w t h e p o s s i b l e

d i a g r a m s a n d c h e c k .

E x e r c i s e 1 . 2 . 1 0 . P r o v e s i m i l a r l y t h a t t h e o n l y k n o t s w i t h c r o s s i n g n u m b e r 3 a r e t h e t w o t r e f o i l s

o f c o u r s e w e d o n ' t k n o w t h e y a r e d i s t i n c t y e t !

R e m a r k 1 . 2 . 1 1 . N o w a d a y s t h e r e a r e t a b l e s o f k n o t s u p t o a b o u t 1 6 c r o s s i n g s c o m p u t e r p o w e r i s

t h e o n l y l i m i t i n c o m p u t a t i o n . T h e r e a r e t e n s o f t h o u s a n d s o f t h e s e .

1 . 3 . O p e r a t i o n s o n k n o t s . M u c h o f w h a t i s d i s c u s s e d h e r e a p p l i e s t o l i n k s o f m o r e t h a n o n e

c o m p o n e n t , b u t t h e s e g e n e r a l i s a t i o n s s h o u l d b e o b v i o u s , a n d i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o t a l k p r i m a r i l y

a b o u t k n o t s .

D e n i t i o n 1 . 3 . 1 . T h e m i r r o r - i m a g e

Ko f a k n o t

Ki s o b t a i n e d b y r e e c t i n g i t i n a p l a n e i n

R

3

.

C o n v i n c e y o u r s e l f t h a t a l l s u c h r e e c t i o n s a r e e q u i v a l e n t ! I t m a y a l s o b e d e n e d g i v e n a d i a g r a m

Do f

K: o n e s i m p l y e x c h a n g e s a l l t h e c r o s s i n g s o f

D .

$

T h i s i s e v i d e n t i f o n e c o n s i d e r s r e e c t i n g i n t h e p l a n e o f t h e p a g e .

D e n i t i o n 1 . 3 . 2 . A k n o t i s c a l l e d a m p h i c h i r a l i f i t i s e q u i v a l e n t t o i t s o w n m i r r o r - i m a g e . H o w

m i g h t o n e d e t e c t a m p h i c h i r a l i t y ? T h e t r e f o i l i s i n f a c t n o t a m p h i c h i r a l w e w i l l p r o v e t h i s l a t e r ,

w h i l s t t h e g u r e - e i g h t i s t r y t h i s w i t h s t r i n g ! .

D e n i t i o n 1 . 3 . 3 . A n o r i e n t e d k n o t i s o n e w i t h a c h o s e n d i r e c t i o n o r a r r o w " o f c i r c u l a t i o n a l o n g

t h e s t r i n g . U n d e r e q u i v a l e n c e w i g g l i n g t h i s d i r e c t i o n i s c a r r i e d a l o n g a s w e l l , s o o n e m a y t a l k

a b o u t e q u i v a l e n c e m e a n i n g o r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n g e q u i v a l e n c e o f o r i e n t e d k n o t s .

D e n i t i o n 1 . 3 . 4 . T h er e v e r s e

r K o f a n o r i e n t e d k n o t K

i s s i m p l y t h e s a m e k n o t w i t h t h e o p p o s i t e

o r i e n t a t i o n . O n e m a y a l s o d e n e t h e i n v e r s e r

Ka s t h e c o m p o s i t i o n o f r e v e r s a l a n d m i r r o r - i m a g e .

B y a n a l o g y w i t h a m p h i c h i r a l i t y , w e h a v e a n o t i o n o f a k n o t b e i n g r e v e r s i b l e o r i n v e r t i b l e i f i t i s

e q u i v a l e n t t o i t s r e v e r s e o r i n v e r s e . R e v e r s i b i l i t y i s v e r y d i c u l t t o d e t e c t ; t h e k n o t 8

1 7

i s t h e r s t

n o n - r e v e r s i b l e o n e d i s c o v e r e d b y T r o t t e r i n t h e 6 0 s .

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D e n i t i o n 1 . 3 . 5 . I fK

1

, K

2

a r e o r i e n t e d k n o t s , o n e m a y f o r m t h e i r c o n n e c t - s u m K

1

K

2

b y r e -

m o v i n g a l i t t l e a r c f r o m e a c h a n d s p l i c i n g u p t h e e n d s t o g e t a s i n g l e c o m p o n e n t , m a k i n g s u r e t h e

o r i e n t a t i o n s g l u e t o g e t a c o n s i s t e n t o r i e n t a t i o n o n t h e r e s u l t . I f t h e k n o t s a r e n ' t o r i e n t e d , t h e r e

i s a c h o i c e o f t w o w a y s o f s p l i c i n g , w h i c h m a y s o m e t i m e s r e s u l t i n d i e r e n t k n o t s !

7!

T h i s o p e r a t i o n b e h a v e s r a t h e r l i k e m u l t i p l i c a t i o n o n t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . I t i s a c o m m u t a t i v e

o p e r a t i o n w i t h t h e u n k n o t a s i d e n t i t y . A n a t u r a l q u e s t i o n i s w h e t h e r t h e r e i s a n i n v e r s e ; c o u l d o n e

s o m e h o w c a n c e l o u t t h e k n o t t e d n e s s o f a k n o t K

b y c o n n e c t - s u m m i n g i t w i t h s o m e o t h e r k n o t ?

T h i s s e e m s i m p l a u s i b l e , a n d w e w i l l p r o v e i t f a l s e . T h u s k n o t s f o r m a s e m i g r o u p u n d e r c o n n e c t - s u m .

I n t h i s s e m i g r o u p , j u s t a s i n t h e p o s t i v e i n t e g e r s u n d e r m u l t i p l i c a t i o n , t h e r e i s a n o t i o n o f p r i m e

f a c t o r i s a t i o n , w h i c h w e w i l l s t u d y l a t e r .

1 . 4 . A l t e r n a t i n g k n o t s .

D e n i t i o n 1 . 4 . 1 . A n a l t e r n a t i n g d i a g r a m D

o f a k n o t K

i s a d i a g r a m s u c h p a s s e s a l t e r n a t e l y o v e r

a n d u n d e r c r o s s i n g s , w h e n c i r c l i n g c o m p l e t e l y a r o u n d t h e d i a g r a m f r o m s o m e a r b i t r a r y s t a r t i n g

p o i n t . A n a l t e r n a t i n g k n o t K

i s o n e w h i c h p o s s e s s e s s o m e a l t e r n a t i n g d i a g r a m . I t w i l l a l w a y s

p o s s e s s n o n - a l t e r n a t i n g d i a g r a m s t o o , b u t t h i s i s i r r e l e v a n t . T h e t r e f o i l i s t h e r e f o r e a l t e r n a t i n g .

a l t e r n a t i n g d i a g r a m n o n - a l t e r n a t i n g d i a g r a m

Q u e s t i o n 1 . 4 . 2 . H a r d r e s e a r c h p r o b l e m n o b o d y h a s a n y i d e a a t p r e s e n t : g i v e a n i n t r i n s i c a l l y

t h r e e - d i m e n s i o n a l d e n i t i o n o f a n a l t e r n a t i n g k n o t i . e . w i t h o u t m e n t i o n i n g d i a g r a m s !

I f o n e w a n t s t o d r a w a k n o t a t r a n d o m , t h e e a s i e s t m e t h o d i s s i m p l y t o d r a w i n p e n c i l a r a n d o m

p r o j e c t i o n i n t h e p l a n e j u s t a n i m m e r s i o n o f t h e c i r c l e w h i c h i n t e r s e c t s i t s e l f o n l y i n t r a n s v e r s e

d o u b l e p o i n t s a n d t h e n r u b o u t a p a i r o f l i t t l e a r c s n e a r e a c h d o u b l e p o i n t t o s h o w w h i c h a r c g o e s

o v e r a t t h a t p o i n t c l e a r l y t h e r e i s l o t s o f c h o i c e o f h o w t o d o t h i s . A p a r t i c u l a r l y s e n s i b l e " w a y

o f d o i n g i t i s t o s t a r t f r o m s o m e p o i n t o n t h e c u r v e a n d c i r c l e a r o u n d i t , i m p o s i n g a l t e r n a t i o n o f

c r o s s i n g s .

p r o j e c t i o n 7!

a l t e r n a t i n g d i a g r a m

E x e r c i s e 1 . 4 . 3 . W h y d o e s t h i s n e v e r g i v e a c o n t r a d i c t i o n w h e n o n e r e t u r n s t o a c r o s s i n g f o r t h e

s e c o n d t i m e ?

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I f o n e c a r r i e s t h i s o u t i t s e e m s t h a t t h e r e s u l t s r e a l l y a r e k n o t t e d " . I n f a c t o n e m a y a s k , a s T a i t

d i d :

Q u e s t i o n 1 . 4 . 4 . I s e v e r y a l t e r n a t i n g d i a g r a m m i n i m a l ? I n p a r t i c u l a r , d o e s e v e r y n o n - t r i v i a l a l -

t e r n a t i n g d i a g r a m r e p r e s e n t a n o n - t r i v i a l k n o t ?

T h e a n s w e r t u r n s o u t t o b e w i t h a m i n o r q u a l i c a t i o n y e s , a s w e w i l l p r o v e w i t h t h e a i d o f t h e

J o n e s p o l y n o m i a l t h i s w a s o n l y p r o v e d i n 1 9 8 5 .

R e m a r k 1 . 4 . 5 . A l l t h e s i m p l e s t k n o t s a r e a l t e r n a t i n g . T h e r s t n o n - a l t e r n a t i n g o n e i s 8

1 9

i n t h e

t a b l e s .

1 . 5 . U n k n o t t i n g n u m b e r . I f o n e r e p e a t s t h e r a n d o m k n o t " c o n s t r u c t i o n a b o v e b u t p u t s i n t h e

c r o s s i n g s s o t h a t t h e r s t t i m e o n e r e a c h e s a n y g i v e n c r o s s i n g o n e g o e s o v e r

o n e w i l l e v e n t u a l l y

c o m e b a c k t o i t o n t h e u n d e r p a s s , o n e p r o d u c e s m a i n l y u n k n o t s . I n f a c t t h e r e i s a l w a y s a w a y o f

a s s i g n i n g t h e c r o s s i n g s s o t h a t t h e r e s u l t i s a n u n k n o t . T h i s m e a n s t h a t g i v e n a n y k n o t d i a g r a m ,

i t i s p o s s i b l e t o t u r n i t i n t o a d i a g r a m o f t h e u n k n o t s i m p l y b y c h a n g i n g s o m e o f i t s c r o s s i n g s .

D e n i t i o n 1 . 5 . 1 . T h e u n k n o t t i n g n u m b e r u K

o f a k n o t K

i s t h e m i n i m u m , o v e r a l l d i a g r a m s D

o fK

, o f t h e m i n i m a l n u m b e r o f c r o s s i n g c h a n g e s r e q u i r e d t o t u r n D

i n t o a d i a g r a m o f t h e u n k n o t .

I n o t h e r w o r d s , i f o n e i s a l l o w e d t o l e t t h e s t r i n g o f t h e k n o t p a s s t h r o u g h i t s e l f , o n e c a n c l e a r l y

r e d u c e i t t o t h e u n k n o t : t h e q u e s t i o n i s h o w m a n y t i m e s o n e n e e d s t o l e t i t c r o s s i t s e l f i n t h i s w a y .

T h e u n k n o t i s c l e a r l y t h e o n l y k n o t w i t h u n k n o t t i n g n u m b e r u

= 0 . I n f a c t t h e t r e f o i l h a s u

= 1

a n d t h e k n o t 5

1

h a su

= 2 . I n e a c h c a s e o n e m a y o b t a i n a n u p p e r

b o u n d s i m p l y b y e x h i b i t i n g a

d i a g r a m a n d a s e t o f u n k n o t t i n g c r o s s i n g s , b u t t h e l o w e r b o u n d i s m u c h h a r d e r . P r o v i n g t h a t t h e

u n k n o t t i n g n u m b e r o f t h e t r e f o i l i s n o t z e r o i s e q u i v a l e n t t o p r o v i n g i t d i s t i n c t f r o m t h e u n k n o t :

p r o v i n g t h a t u

5

1

1 i s e v e n h a r d e r .

1 . 6 . F u r t h e r e x a m p l e s o f k n o t s a n d l i n k s . T h e r e a r e m a n y w a y s o f c r e a t i n g w h o l e f a m i l i e s o f

k n o t s o r l i n k s w i t h s i m i l a r p r o p e r t i e s . T h e s e c a n b e u s e f u l a s e x a m p l e s , c o u n t e r e x a m p l e s , t e s t s o f

c o n j e c t u r e s , a n d i n c o n n e c t i o n w i t h o t h e r t o p i c s .

E x a m p l e 1 . 6 . 1 . T o r u s l i n k s a r e p r o d u c e d b y c h o o s i n g a p a i r o f i n t e g e r s p 0

; q , f o r m i n g a c y l i n d e r

w i t h p s t r i n g s r u n n i n g a l o n g i t , t w i s t i n g i t u p t h r o u g h q = p f u l l t w i s t s " t h e s i g n o f q

d e t e r m i n e s

t h e d i r e c t i o n o f t w i s t a n d g l u i n g i t s e n d s t o g e t h e r t o f o r m a n u n k n o t t e d t o r u s i n R

3

. T h e t o r u s i s

i r r e l e v a n t | o n e i s o n l y i n t e r e s t e d i n t h e r e s u l t i n g l i n k T

p ; q

f o r m e d f r o m t h e s t r a n d s d r a w n o n i t s

s u r f a c e | b u t i t c e r t a i n l y h e l p s i n v i s u a l i s i n g t h e l i n k .

c y l i n d e r 7!

t w i s t e d u p 7! T

3 ; 4

T h e t r e f o i l c a n b e s e e n a s T

2 ; 3

a n d t h e k n o t 5

1

a sT

2 ; 5

. T

3 ; 4

i s i n f a c t t h e k n o t 8

1 9

, w h i c h i s t h e

r s t n o n - a l t e r n a t i n g k n o t i n t h e t a b l e s .

E x e r c i s e 1 . 6 . 2 . H o w m a n y c o m p o n e n t s d o e s t h e t o r u s l i n k T

p ; q

h a v e ? S h o w i n p a r t i c u l a r t h a t i t

i s a k n o t i f a n d o n l y i f p ; q a r e c o p r i m e .

E x e r c i s e 1 . 6 . 3 . G i v e a n u p p e r b o u n d f o r t h e c r o s s i n g n u m b e r o f T

p ; q

. G i v e t h e b e s t b o u n d s y o u

c a n o n t h e c r o s s i n g n u m b e r s a n d u n k n o t t i n g n u m b e r s o f t h e f a m i l y o f 2 ; q t o r u s l i n k s .

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E x a m p l e 1 . 6 . 4 . A n y k n o t m a y b e W h i t e h e a d d o u b l e d : o n e r e p l a c e s t h e k n o t b y t w o p a r a l l e l

c o p i e s t h e r e i s a d e g r e e o f f r e e d o m i n h o w m a n y t i m e s o n e t w i s t s a r o u n d t h e o t h e r a n d t h e n a d d s

a c l a s p " t o j o i n t h e r e s u l t i n g t w o c o m p o n e n t s t o g e t h e r i n a n o n - u n r a v e l l i n g w a y ! .

7!

R e m a r k 1 . 6 . 5 . A m o r e g e n e r a l o p e r a t i o n i s t h e f o r m a t i o n o f a s a t e l l i t e k n o t b y c o m b i n i n g a k n o t

a n d a p a t t e r n , a l i n k i n a s o l i d t o r u s . O n e s i m p l y r e p l a c e s a n e i g h b o u r h o o d o f t h e k n o t b y t h e

p a t t e r n a g a i n t h e r e i s a t w i s t i n g " d e g r e e o f f r e e d o m . W h i t e h e a d d o u b l i n g i s a n e x a m p l e , w h o s e

p a t t e r n i s s h o w n b e l o w .

E x a m p l e 1 . 6 . 6 . T h e b o u n d a r y o f a n y k n o t t e d s u r f a c e " i n R

3

w i l l b e a k n o t o r l i n k . F o r e x a m p l e

o n e m a y f o r m t h e p r e t z e l l i n k s P

p ; q ; r

b y t a k i n g t h e b o u n d a r y o f t h e f o l l o w i n g s u r f a c e p ; q ; r

d e n o t e

t h e n u m b e r s o f a n t i c l o c k w i s e h a l f - t w i s t s i n t h e b a n d s " j o i n i n g t h e t o p a n d b o t t o m .

E x e r c i s e 1 . 6 . 7 . H o w m a n y c o m p o n e n t s d o e s a p r e t z e l l i n k h a v e ? I n p a r t i c u l a r , w h e n i s i t a k n o t ?

1 . 7 . M e t h o d s . T h e r e a r e t h r e e m a i n k i n d s o f m e t h o d w h i c h w a r e u s e d t o s t u d y k n o t s . A l g e b r a i c

m e t h o d s a r e t h o s e c o m i n g f r o m t h e t h e o r y o f t h e f u n d a m e n t a l g r o u p , a l g e b r a i c t o p o l o g y , a n d s o o n

s e e s e c t i o n 7 . G e o m e t r i c m e t h o d s a r e t h o s e c o m i n g f r o m a r g u m e n t s t h a t a r e e s s e n t i a l l y n o t h i n g

m o r e t h a n c a r e f u l a n d r i g o r o u s v i s u a l p r o o f s s e c t i o n 6 . C o m b i n a t o r i a l p r o o f s s e c t i o n s 3 , 4 a r e

m a y b e t h e h a r d e s t t o m o t i v a t e i n a d v a n c e : m a n y o f t h e m s e e m l i k e m i r a c u l o u s t r i c k s w h i c h j u s t

h a p p e n t o w o r k , a n d i n d e e d s o m e a r e v e r y h a r d t o e x p l a i n i n t e r m s o f t o p o l o g y . T h e J o n e s

p o l y n o m i a l i s s t i l l a r a t h e r p o o r l y - u n d e r s t o o d t h i n g f t e e n y e a r s a f t e r i t s d i s c o v e r y !

2 . F o r m a l d e f i n i t i o n s a n d R e i d e m e i s t e r m o v e s

2 . 1 . K n o t s a n d e q u i v a l e n c e . H o w s h o u l d w e f o r m u l a t e t h e n o t i o n o f d e f o r m a t i o n o f a k n o t ?

I f y o u s t u d i e d b a s i c t o p o l o g y y o u w i l l b e f a m i l i a r w i t h t h e n o t i o n o f h o m o t o p y . W e c o u l d c o n s i d e r

c o n t i n u o u s m a p s S

1

! R

3

a s o u r k n o t s . T w o s u c h m a p s f

0

; f

1

: S

1

! R

3

a r e c a l l e d h o m o t o p i c i f

t h e r e e x i s t s a c o n t i n u o u s m a p F : S

1

I ! R

3

w i t h F

r e s t r i c t i n g t o f

0

; f

1

o nS

1

f0 g , S

1

f1 g .

T h i s i s o b v i o u s l y n o g o o d a s a d e n i t i o n , a s a l l s u c h m a p s a r e h o m o t o p i c t h e s t r i n g i s a l l o w e d t o

p a s s t h r o u g h i t s e l f ! A l s o , i t m i g h t i n t e r s e c t i t s e l f t o s t a r t w i t h - w e d i d n ' t s a y t h a t t h e f

' s s h o u l d

b e i n j e c t i v e !

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W e c a n s o l v e t h e s e p r o b l e m s i f w e a l s o c o n s i d e r o n l y i n j e c t i v e m a p s f : S

1

! R

3

, a n d r e q u i r e o f

Ft h a t e a c h

f

t

= F j

S

1

ft g

i s i n j e c t i v e : t h i s r e l a t i o n i s c a l l e d i s o t o p y . U n f o r t u n a t e l y , t h i s i s n o ta

v e r y g o o d d e n i t i o n . F i r s t l y , i t a l l o w s w i l d " k n o t s l i k e t h e o n e b e l o w , w h i c h r e a l l y a r e c o n t i n u o u s

c o m p a r e w i t h x

s i n

1

x

! b u t h a v e i n n i t e l y c o m p l i c a t e d k n o t t i n g t h a t w e c a n ' t h o p e t o u n d e r s t a n d

w e l l .

W o r s e , a l l k n o t s t u r n o u t t o b e i s o t o p i c , a l b e i t f o r a m o r e s u b t l e r e a s o n t h a n t h e y a r e a l l h o m o t o p i c :

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 . C h e c k t h a t g r a d u a l l y p u l l i n g t h e s t r i n g t i g h t " s e e p i c t u r e b e l o w s o t h a t t h e

k n o t s h r i n k s t o a p o i n t i s a v a l i d i s o t o p y b e t w e e n a n y k n o t a n d t h e u n k n o t , s o t h i s i s a l s o n o g o o d !

A n a l t e r n a t i v e m e t h o d i s t o f o r g e t a b o u t f u n c t i o n s S

1

! R

3

a n d j u s t t h i n k o f a k n o t a s a s u b s p a c e

o fR

3

w h i c h i s h o m e o m o r p h i c t o t h e c i r c l e ; t w o s u c h k n o t s a r e a m b i e n t i s o t o p i c i f t h e r e e x i s t s a n

o r i e n t a t i o n - p r e s e r v i n g h o m e o m o r p h i s m R

3

! R

3

c a r r y i n g o n e t o t h e o t h e r . T h i s d e n i t i o n w o r k s

n o t a l l k n o t s a r e e q u i v a l e n t t o o n e a n o t h e r , b u t i t s t i l l d o e s n ' t r u l e o u t w i l d k n o t s : t h e b e s t w a y

o f d o i n g t h i s i s t o d e c l a r e t h a t a l l k n o t s s h o u l d b e p o l y g o n a l s u b s p a c e s o f R

3

, w i t h n i t e l y m a n y

e d g e s , t h e r e b y r u l i n g o u t t h e k i n d o f w i l d n e s s p i c t u r e d a b o v e .

B u t i n p r a c t i c e , o n c e w e h a v e d e c i d e d t h a t a k n o t s h o u l d b e a k n o t t e d p o l y g o n , w e m i g h t a s w e l l

g o t h e w h o l e h o g a n d u s e a s i m i l a r p o l y g o n a l n o t i o n o f e q u i v a l e n c e , a s b e l o w . T h i s a p p r o a c h m a k e s

t h e w h o l e s u b j e c t a l o t s i m p l e r t e c h n i c a l l y . W h i l e w e a l w a y s c o n s i d e r k n o t s t o b e p o l y g o n a l , w e

m a y a s w e l l c a r r y o n t h i n k i n g a b o u t a n d d r a w i n g t h e m s m o o t h l y , b e c a u s e a n y s m o o t h n o n - w i l d

k n o t c a n a l w a y s b e a p p r o x i m a t e d b y a p o l y g o n a l o n e w i t h v e r y m a n y s h o r t e d g e s .

D e n i t i o n 2 . 1 . 2 . A k n o t

i s a s u b s e t o f R

3

, h o m e o m o r p h i c t o t h e c i r c l e S

1

, a n d e x p r e s s i b l e a s a

d i s j o i n t u n i o n o f n i t e l y - m a n y p o i n t s v e r t i c e s a n d o p e n s t r a i g h t a r c - s e g m e n t s e d g e s .

R e m a r k 2 . 1 . 3 . T h e d e n i t i o n r e a l l y g i v e s a k n o t t e d p o l y g o n w h i c h d o e s n ' t i n t e r s e c t i t s e l f . F o r

e x a m p l e , t h e c l o s u r e o f e a c h o p e n e d g e c o n t a i n s e x a c t l y t w o v e r t i c e s .

D e n i t i o n 2 . 1 . 4 . S u p p o s e a c l o s e d t r i a n g l e i n R

3

m e e t s a k n o t K

i n e x a c t l y o n e o f i t s s i d e s . T h e n

w e m a y r e p l a c e K

b y s l i d i n g p a r t o f i t a c r o s s t h e t r i a n g l e " t o o b t a i n a n e w k n o t K

0

. S u c h a m o v e ,

o r i t s r e v e r s e , i s c a l l e d a D e l t a - - m o v e . I t i s c l e a r l y t h e s i m p l e s t k i n d o f p o l y g o n a l w i g g l e " t h a t

w e s h o u l d a l l o w .

D e n i t i o n 2 . 1 . 5 . T w o k n o t s K ; J a r e e q u i v a l e n t o r i s o t o p i c i f t h e r e i s a s e q u e n c e o f i n t e r m e d i a t e

k n o t s K = K

0

; K

1

; K

2

; : : : ; K

n

= Jo f k n o t s s u c h t h a t e a c h p a i r

K

i

; K

i+ 1

i s r e l a t e d b y a - m o v e .

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7!

R e m a r k 2 . 1 . 6 . T h i s i s c l e a r l y a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n k n o t s . W e w i l l o f t e n c o n f u s e k n o t s i n

R

3

w i t h t h e i r e q u i v a l e n c e c l a s s e s o r k n o t t y p e s , w h i c h a r e t h e t h i n g s w e a r e r e a l l y i n t e r e s t e d i n

t o p o l o g i c a l l y . F o r e x a m p l e , t h e u n k n o t

i s r e a l l y t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f t h e b o u n d a r y o f a t r i a n g l e

a k n o t w i t h t h r e e e d g e s , b u t w e w i l l o f t e n s p e a k o f a n u n k n o t " , s u g g e s t i n g a p a r t i c u l a r k n o t i n

R

3

w h i c h l i e s i n t h i s e q u i v a l e n c e c l a s s .

E x a m p l e 2 . 1 . 7 . A n y k n o t l y i n g c o m p l e t e l y i n a p l a n e i n s i d e R

3

i s a n u n k n o t . T h i s i s a c o n s e -

q u e n c e o f t h e p o l y g o n a l J o r d a n c u r v e t h e o r e m " , t h a t a n y p o l y g o n a l s i m p l e c l o s e d c u r v e p o l y g o n a l

s u b s e t o f t h e p l a n e h o m e o m o r p h i c t o t h e c i r c l e s e p a r a t e s i t i n t o t w o p i e c e s , o n e o f w h i c h i s h o m e -

o m o r p h i c t o a d i s c . T h e f u l l J o r d a n c u r v e t h e o r e m , w h i c h s t a t e s t h a t a n y e m b e d d e d s u b s e t

h o m e o m o r p h i c t o t h e c i r c l e s e p a r a t e s t h e p l a n e , i s m u c h h a r d e r t o p r o v e . S e e A r m s t r o n g f o r s o m e

i n f o r m a t i o n a b o u t b o t h t h e s e t h e o r e m s . D i v i d i n g t h e c o m p o n e n t t h a t ' s h o m e o m o r p h i c t o a d i s c

g i v e s a s e q u e n c e o f - m o v e s t h a t s h r i n k s t h e p o l y g o n d o w n t o a t r i a n g l e .

E x e r c i s e 2 . 1 . 8 . P r o v e t h e r s t p a r t o f t h e p o l y g o n a l J o r d a n c u r v e t h e o r e m a s f o l l o w s . P i c k a

p o i n t p

f a r a w a y f r o m t h e c u r v e a n d n o t c o l l i n e a r w i t h a n y t w o v e r t i c e s o f t h e c u r v e . D e n e " a

c o l o u r i n g " f u n c t i o n f : R

2

, C! f

0 ; 1 gb y

f x =

j p ; x

C jm o d 2 i . e . t h e n u m b e r o f p o i n t s o f

i n t e r s e c t i o n o f t h e a r c s e g m e n t p ; x w i t h C

, t a k e n m o d 2 . E x p l a i n w h y f

i s n o t q u i t e w e l l - d e n e d

y e t , a n d w h a t s h o u l d b e a d d e d t o t h e d e n i t i o n t o m a k e i t s o . T h e n s h o w t h a t f

i s c o n t i n u o u s

a n d s u r j e c t i v e , p r o v i n g t h e s e p a r a t i o n " p a r t . F i n a l l y , s h o w t h a t t h e r e c o u l d n ' t b e a c o n t i n u o u s

s u r j e c t i v e g : R

2

, C! f

0 ; 1 ; 2 g, p r o v i n g t h e t w o c o m p o n e n t s " p a r t .

2 . 2 . P r o j e c t i o n s a n d d i a g r a m s .

D e n i t i o n 2 . 2 . 1 . I fK

i s a k n o t i n R

3

, i t s p r o j e c t i o n i s K R

2

, w h e r e

i s t h e p r o j e c t i o n

a l o n g t h e z

- a x i s o n t o t h e x y - p l a n e . T h e p r o j e c t i o n i s s a i d t o b e r e g u l a r i f t h e p r e i m a g e o f a p o i n t

o f K

c o n s i s t s o f e i t h e r o n e o r t w o p o i n t s o f K

, i n t h e l a t t e r c a s e n e i t h e r b e i n g a v e r t e x o f K .

T h u s a k n o t h a s a n i r r e g u l a r p r o j e c t i o n i f i t h a s a n y e d g e s p a r a l l e l t o t h e z

- a x i s , i f i t h a s t h r e e o r

m o r e p o i n t s l y i n g a b o v e e a c h o t h e r , o r a n y v e r t e x l y i n g a b o v e o r b e l o w a n o t h e r p o i n t o f K

. T h u s , a

r e g u l a r p r o j e c t i o n o f a k n o t c o n s i s t s o f a p o l y g o n a l c i r c l e d r a w n i n t h e p l a n e w i t h o n l y t r a n s v e r s e

d o u b l e p o i n t s " a s s e l f - i n t e r s e c t i o n s .

r e g u l a r : i r r e g u l a r :

D e n i t i o n 2 . 2 . 2 . I fK

h a s a r e g u l a r p r o j e c t i o n t h e n w e c a n d e n e t h e c o r r e s p o n d i n g k n o t d i a g r a m

Db y r e d r a w i n g i t w i t h a b r o k e n a r c " n e a r e a c h c r o s s i n g p l a c e w i t h t w o p r e i m a g e s i n

K t o

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1 0 J U S T I N R O B E R T S

i n c o r p o r a t e t h e o v e r u n d e r i n f o r m a t i o n . I f K

h a d a n i r r e g u l a r p r o j e c t i o n t h e n w e w o u l d n o t b e

a b l e t o e a s i l y r e c o n s t r u c t i t f r o m t h i s s o r t o f p i c t u r e c o n s i d e r t h e v a r i o u s c a s e s m e n t i o n e d a b o v e !

s o i t i s i m p o r t a n t t h a t w e c a n n d r e g u l a r p r o j e c t i o n s o f k n o t s e a s i l y .

D e n i t i o n 2 . 2 . 3 . D e n e a n

- p e r t u r b a t i o n o f a k n o t K

i nR

3

t o b e a n y k n o t K

0

o b t a i n e d b y

m o v i n g e a c h o f t h e v e r t i c e s o f K

a d i s t a n c e l e s s t h a n

, a n d r e c o n n e c t i n g t h e m w i t h s t r a i g h t e d g e s

i n t h e s a m e f a s h i o n a s K .

F a c t 2 . 2 . 4 . I f

i s c h o s e n s u c i e n t l y s m a l l t h e n a l l s u c h

- p e r t u r b a t i o n s o f K

w i l l b e e q u i v a l e n t

t o i t t h o u g h c l e a r l y v e r y l a r g e p e r t u r b a t i o n s c o u l d b e u t t e r l y d i e r e n t !

F a c t 2 . 2 . 5 . R e g u l a r p r o j e c t i o n s a r e g e n e r i c " . T h i s m e a n s k n o t s w h i c h h a v e r e g u l a r p r o j e c t i o n s

f o r m a n o p e n , d e n s e s e t i n t h e s p a c e o f k n o t s " . O r , m o r e p r e c i s e l y t h e f o l l o w i n g t w o p r o p e r t i e s :

1 . I f K

h a s a n i r r e g u l a r p r o j e c t i o n t h e n t h e r e e x i s t a r b i t r a r i l y s m a l l

- p e r t u r b a t i o n s K

0

i n

p a r t i c u l a r , o n e s e q u i v a l e n t t o K

! w i t h r e g u l a r p r o j e c t i o n s .

2 . I f K

h a s a r e g u l a r p r o j e c t i o n t h e n a n y s u c i e n t l y s m a l l

- p e r t u r b a t i o n a l s o h a s a r e g u l a r

p r o j e c t i o n .

T h u s , k n o t s w i t h i r r e g u l a r p r o j e c t i o n s a r e v e r y r a r e : t h e r s t p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t i f o n e

c o n s t r u c t e d k n o t s b y r a n d o m l y p i c k i n g t h e i r v e r t i c e s , t h e y w o u l d b e r e g u l a r w i t h p r o b a b i l i t y 1 . I n

p a r t i c u l a r , a n y k n o t w i t h a n i r r e g u l a r p r o j e c t i o n n e e d o n l y b e w i g g l e d a t i n y a m o u n t i n s p a c e t o

m a k e i t s p r o j e c t i o n r e g u l a r .

C o r o l l a r y 2 . 2 . 6 . A n y k n o t h a s a d i a g r a m . F r o m a d i a g r a m o n e c a n r e c o n s t r u c t t h e k n o t u p t o

e q u i v a l e n c e . A n y k n o t h a v i n g a d i a g r a m w i t h n o c r o s s i n g s i s a n u n k n o t .

P r o o f . T h e r s t p a r t j u s t r e s t a t e s t h e f a c t a b o v e , t h a t a n y k n o t i s e q u i v a l e n t t o o n e w i t h a r e g u l a r

p r o j e c t i o n a n d h e n c e a d i a g r a m . T h e s e c o n d p a r t p o i n t s o u t t h a t a d i a g r a m d o e s n o t r e c o n s t r u c t

a k n o t i n R

3

u n i q u e l y o n e d o e s n ' t k n o w w h a t t h e z

- c o o r d i n a t e s o f i t s v e r t i c e s s h o u l d b e , f o r

e x a m p l e b u t o n e d o e s k n o w t h e r e l a t i v e h e i g h t s a t c r o s s i n g s . I t i s a b o r i n g e x e r c i s e t o w r i t e a

f o r m a l p r o o f t h a t a n y t w o k n o t s i n R

3

h a v i n g e x a c t l y t h e s a m e d i a g r a m a r e e q u i v a l e n t b y - m o v e s .

T h e n a l p a r t c o m e s f r o m t h e s e c o n d a n d t h e e x a m p l e a b o u t t h e J o r d a n c u r v e t h e o r e m .

2 . 3 . R e i d e m e i s t e r m o v e s . W e n o w k n o w h o w t o r e p r e s e n t a n y k n o t b y a d i a g r a m . U n f o r t u n a t e l y

a n y k n o t c a n b e r e p r e s e n t e d b y i n n i t e l y - m a n y d i e r e n t d i a g r a m s , w h i c h m a k e s i t u n c l e a r j u s t h o w

m u c h o f t h e i n f o r m a t i o n o n e c a n r e a d o f r o m a d i a g r a m f o r e x a m p l e , i t s a d j a c e n c y m a t r i x w h e n

t h o u g h t o f a s a p l a n a r g r a p h , i t s n u m b e r o f r e g i o n s , e t c . r e a l l y h a s a n y t h i n g t o d o w i t h t h e o r i g i n a l

k n o t , r a t h e r t h a n j u s t b e i n g a n a r t e f a c t " o f t h e d i a g r a m m a t i c r e p r e s e n t a t i o n . F o r t u n a t e l y , w e c a n

u n d e r s t a n d w h e n t w o d i e r e n t d i a g r a m s c a n r e p r e s e n t t h e s a m e k n o t .

T h e o r e m 2 . 3 . 1 R e i d e m e i s t e r ' s t h e o r e m .

T w o k n o t s K ; K

0

w i t h d i a g r a m s D ; D

0

a r e e q u i v a l e n t i f

a n d o n l y i f t h e i r d i a g r a m s a r e r e l a t e d b y a n i t e s e q u e n c e D = D

0

; D

1

; : : : ; D

n

= D

0

o f i n t e r m e d i a t e

d i a g r a m s s u c h t h a t e a c h d i e r s f r o m i t s p r e d e c e s s o r b y o n e o f t h e f o l l o w i n g t h r e e

r e a l l y f o u r , b u t w e

t e n d t o t a k e t h e z e r o t h f o r g r a n t e d R e i d e m e i s t e r m o v e s .

T h e p i c t u r e s i n d i c a t e d i s c r e g i o n s o f t h e

p l a n e , a n d t h e p o r t i o n o f k n o t d i a g r a m c o n t a i n e d : t h e m o v e " i s a l o c a l r e p l a c e m e n t b y a d i e r e n t

p o r t i o n o f d i a g r a m , l e a v i n g e v e r y t h i n g e l s e u n c h a n g e d .

R 0 : $

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K N O T S K N O T E S 1 1

R I :$

R I I : $

R I I I : $

B e f o r e s k e t c h i n g t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i t i s b e s t t o e x p l a i n i t s c o n s e q u e n c e s .

1 . T h e i f " d i r e c t i o n i s t r i v i a l . I t ' s c l e a r t h a t s e q u e n c e s o f R e i d e m e i s t e r m o v e s d o n ' t c h a n g e

t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f k n o t r e p r e s e n t e d b y t h e d i a g r a m . E x h i b i t i n g a s e q u e n c e o f m o v e s r e l a t i n g

t w o d i a g r a m s t h e r e f o r e c o n s t i t u t e s a p r o o f t h a t t h e y r e p r e s e n t t h e s a m e k n o t . B u t i t i s t e d i o u s t o

d o , a n d t r i c k y u n l e s s o n e u s e s c h a l k !

2 . T h e z e r o t h " m o v e i s j u s t p l a n a r i s o t o p y o f d i a g r a m s , i n o t h e r w o r d s a l l o w s w i g g l i n g a n d

s t r e t c h i n g o f d i a g r a m s w i t h o u t c h a n g i n g t h e i r c o m b i n a t o r i a l s t r u c t u r e .

3 . O n c e w e h a v e t h i s t h e o r e m , w e c a n f o r g e t a b o u t a l l t h e p r e v i o u s t e c h n i c a l s t u a n d s i m p l y

t h i n k o f a k n o t a s b e i n g a n e q u i v a l e n c e c l a s s o f d i a g r a m s u n d e r R e i d e m e i s t e r m o v e s . T h i s i s i n f a c t

w h a t G i l b e r t a n d P o r t e r d o i n t h e i r b o o k , b u t i t s e e m s a b i t a r t i c i a l t o s t a r t w i t h t h a t d e n i t i o n .

4 . T h e m a i n w a y w e w i l l u s e t h e t h e o r e m i s t o p r o d u c e i n v a r i a n t s o f k n o t s . W e w i l l c o n s t r u c t

f u n c t i o n s , c o m p u t a b l e f r o m k n o t d i a g r a m s , w h i c h t a k e t h e s a m e v a l u e o n a l l d i a g r a m s o f a g i v e n

k n o t . T h e w a y t o p r o v e t h a t a f u n c t i o n o f d i a g r a m s i s a k n o t i n v a r i a n t i s s i m p l y t o c h e c k t h a t i t

t a k e s t h e s a m e v a l u e o n a n y d i a g r a m s d i e r i n g b y a s i n g l e R e i d e m e i s t e r m o v e : t h i s i s u s u a l l y e a s y

t o d o , i f t h e f u n c t i o n i s i n a n y w a y a l o c a l l y - c o m p u t a b l e t h i n g .

5 . O n e m i g h t w o n d e r w h e t h e r t h e t h e o r e m m a k e s c l a s s i c a t i o n o f k n o t s b y c o m p u t e r p o s s i b l e .

A c o m p u t e r c a n c e r t a i n l y e n u m e r a t e t h e n i t e l y m a n y d i a g r a m s w i t h N

c r o s s i n g s o r f e w e r : a l l w e

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h a v e t o d o t o p r o d u c e a t a b l e o f t h e k n o t s w i t h N

c r o s s i n g s o r f e w e r i s t o g r o u p t h e s e d i a g r a m s

i n t o R e i d e m e i s t e r - m o v e - e q u i v a l e n t c l a s s e s . T h e t r o u b l e i s t h a t s e q u e n c e s o f R e i d e m e i s t e r m o v e s

m a y n e c e s s a r i l y i n c r e a s e a t l e a s t t e m p o r a r i l y t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s : f o r e x a m p l e , A d a m s '

b o o k s h o w s a 7 - c r o s s i n g d i a g r a m o f t h e u n k n o t , w h i c h c a n n o t b e r e d u c e d t o t h e s t a n d a r d c i r c u l a r

d i a g r a m w i t h o u t p a s s i n g t h r o u g h s o m e t h i n g w i t h m o r e t h a n 7 c r o s s i n g s . T h e r e f o r e l o o k i n g f o r

p a i r s o f d i a g r a m s o n t h e N

- c r o s s i n g t a b l e r e l a t e d b y a s i n g l e m o v e i s n o t e n o u g h : o n e i s f o r c e d t o

w o r k w i t h d i a g r a m s w i t h m o r e t h a n N

c r o s s i n g s i n o r d e r j u s t t o c l a s s i f y t h o s e w i t h N

. I t i s v e r y

d i c u l t t o b o u n d t h e n u m b e r o f c r o s s i n g s t h a t m i g h t b e n e e d e d , a n d t h i s i s w h e r e t h e n i t e n e s s o f

t h e t a s k t h e c o m p u t e r i s u n d e r t a k i n g b e c o m e s u n c l e a r .

P r o o f o f R e i d e m e i s t e r ' s t h e o r e m s k e t c h . A s n o t e d a b o v e , t h e i f " p a r t i s t r i v i a l , s o w e c o n s i d e r

t h e o n l y i f " p a r t . S u p p o s e t h a t K ; K

0

w i t h d i a g r a m s D ; D

0

a r e e q u i v a l e n t . T h e n t h e r e i s a

s e q u e n c e o f - m o v e s g e t t i n g f r o m K

t oK

0

. I f o n e w a t c h e s t h e s e h a p p e n i n g i n a p r o j e c t i o n w e

c a n a s s u m e a l l t h e i n t e r m e d i a t e k n o t s h a v e r e g u l a r p r o j e c t i o n s , w i t h o u t m u c h e o r t o n e s e e s a

s e q u e n c e o f d i a g r a m s , e a c h o b t a i n e d f r o m i t s p r e d e c e s s o r b y r e p l a c e d a s t r a i g h t e d g e b y t w o o t h e r

s i d e s o f a t r i a n g l e o r v i c e v e r s a . T h e p r o j e c t i o n o f t h e t r i a n g l e m a y c o n t a i n l o t s m o r e o f t h e k n o t

d i a g r a m . I f s o , s u b d i v i d e i t i n t o s m a l l e r t r i a n g l e s s o t h a t e a c h c o n t a i n s e i t h e r a s i n g l e c r o s s i n g o f

t h e d i a g r a m o r a s i n g l e a r c - s e g m e n t . T h i s c o r r e s p o n d s t o v i e w i n g t h e - m o v e a s t h e c o m p o s i t i o n

o f a l o t o f - m o v e s o n s m a l l e r t r i a n g l e s . T h e n a n a l y s e t h e d i e r e n t p o s s i b i l i t i e s i n e a c h c a s e : o n e

s e e s o n l y R e i d e m e i s t e r m o v e s s e e r e m a r k b e l o w .

E x e r c i s e 2 . 3 . 2 . D r a w a s e q u e n c e o f R e i d e m e i s t e r m o v e s w h i c h s e n d s t h e d i a g r a m o f t h e g u r e -

e i g h t k n o t b e l o w t o i t s m i r r o r i m a g e .

$

E x e r c i s e 2 . 3 . 3 . D r a w a s e q u e n c e o f R e i d e m e i s t e r m o v e s w h i c h s e n d s t h e W h i t e h e a d l i n k t o i t s e l f ,

b u t e x c h a n g e s t h e t w o c o m p o n e n t s . D r a w t h e m i n d i e r e n t c o l o u r s t o m a k e i t c l e a r .

R e m a r k 2 . 3 . 4 . T h e t h e o r e m i s t r u e w i t h o u t m o d i c a t i o n i f o n e c o n s i d e r s l i n k s o f m o r e t h a n o n e

c o m p o n e n t i n s t e a d o f k n o t s .

R e m a r k 2 . 3 . 5 . T h e s t a t e m e n t o f R e i d e m e i s t e r ' s t h e o r e m g i v e n a b o v e i s e c o n o m i c a l i n i t s l i s t o f

m o v e s t h i s w i l l b e u s e f u l i n t h e n e x t c h a p t e r . S u p p o s e f o r e x a m p l e t h a t o n e h a s a k n o t d i a g r a m

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c o n t a i n i n g a k i n k l i k e t h e o n e s h o w n a b o v e o n t h e l e f t o f m o v e R I b u t w i t h t h e c r o s s i n g s w i t c h e d .

M o v e R I d o e s n o t a l l o w o n e t o r e p l a c e t h i s b y a n u n k i n k e d s t r a n d i n o n e g o : i t i s q u i t e s i m p l y a

d i e r e n t l o c a l c o n g u r a t i o n , a b o u t w h i c h w e h a v e s a i d n o t h i n g . H o w e v e r , i t i s p o s s i b l e a s i t m u s t

b e , g i v e n t h e t h e o r e m ! t o r e m o v e t h i s k i n d o f k i n k u s i n g a c o m b i n a t i o n o f t h e e x i s t i n g m o v e s R I ,

R I I a n d R I I I .

I n f a c t R I I I a l s o h a s v a r i a n t s : t h e c r o s s i n g m i g h t b e s w i t c h e d , o r t h e s t r a n d m o v e d b e h i n d t h e

c r o s s i n g i n s t e a d o f i n f r o n t . I f o n e c a r r i e s o u t a r i g o r o u s p r o o f o f t h e t h e o r e m , o n e w i l l n e e d a l l

t h e s e c o n g u r a t i o n s t w o s o r t s o f R I , o n e R I I a n d f o u r R I I I ' s . B u t b y s i m i l a r c o m o s i t i o n s o f t h e

t h r e e o c i a l m o v e s , t h e s e e x t r a c a s e s c a n b e d i s c a r d e d .

R e m a r k 2 . 3 . 6 . I f o n e w a n t s t o c o n s i d e r o r i e n t e d k n o t s o r l i n k s , t h e R e i d e m e i s t e r m o v e s h a v e t o

b e s o u p e d u p a b i t . W e n o w n e e d m o v e s o n o r i e n t e d d i a g r a m s e v e r y a r c i n v o l v e d h a s a n a r r o w

o f d i r e c t i o n , a n d t h e s e a r r o w s a r e p r e s e r v e d b y t h e m o v e s i n t h e o b v i o u s w a y , a n d i n p r o v i n g

t h e t h e o r e m w e s e e m t o n e e d e v e n m o r e v e r s i o n s o f e a c h m o v e : t h e r e a r e t w o , f o u r a n d e i g h t

p o s s i b l e o r i e n t a t i o n s o n e a c h u n o r i e n t e d c a s e o f R I , R I I , R I I I r e s p e c t i v e l y . T h e c o m p o s i t i o n s j u s t

u s e d t o e c o n o m i s e d o n ' t w o r k q u i t e s o w e l l , b u t t h e y d o r e d u c e t o t h e t h r e e s t a n d a r d u n o r i e n t e d

c o n g u r a t i o n s , e a c h w i t h a l l p o s s i b l e o r i e n t a t i o n s . T h u s t h e r e a r e t w o R I ' s , f o u r R I I ' s a n d e i g h t

R I I I ' s .

E x e r c i s e 2 . 3 . 7 . S u p p o s e a l i g h t b u l b c o r d i s a l l t a n g l e d u p . C a n i t b e u n t a n g l e d w i t h o u t m o v i n g

t h e b u l b o r c e i l i n g d u r i n g t h e p r o c e s s ? S u p p o s e t h e r e a r e t w o p a r a l l e l c a b l e s s a y a b l u e a n d a

b r o w n g o i n g t o t h e b u l b , a n d b l u e i s o n t h e l e f t - h a n d s i d e a t t h e t t i n g a n d t h e b u l b - c a n y o u

s t i l l d o i t w i t h o u t m o v i n g t h e b u l b ?

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3 . S i m p l e i n v a r i a n t s

3 . 1 . I n v a r i a n t s . N o w t h a t w e h a v e R e i d e m e i s t e r ' s t h e o r e m , w e c a n a t l a s t c o n s t r u c t s o m e i n v a r i -

a n t s a n d u s e t h e m t o p r o v e t h a t c e r t a i n k n o t s a n d l i n k s a r e i n e q u i v a l e n t .

D e n i t i o n 3 . 1 . 1 . A

k n o t i n v a r i a n t i s a n y f u n c t i o n i

o f k n o t s w h i c h d e p e n d s o n l y o n t h e i r e q u i v -

a l e n c e c l a s s e s .

R e m a r k 3 . 1 . 2 . W e h a v e n o t y e t s p e c i e d w h a t k i n d o f v a l u e s a n i n v a r i a n t s h o u l d t a k e . T h e m o s t

c o m m o n i n v a r i a n t s a r e i n t e g e r - v a l u e d , b u t t h e y m i g h t h a v e v a l u e s i n t h e r a t i o n a l s Q

, a p o l y n o m i a l

r i n g Z x

, a L a u r e n t p o l y n o m i a l r i n g n e g a t i v e p o w e r s o f x

a l l o w e d Z x

1

, o r e v e n b e f u n c t i o n s

w h i c h a s s i g n t o a n y k n o t a g r o u p t h o u g h t o f u p t o i s o m o r p h i s m .

R e m a r k 3 . 1 . 3 . T h e f u n c t i o n o f a n i n v a r i a n t i s t o d i s t i n g u i s h i . e . p r o v e i n e q u i v a l e n t k n o t s . T h e

d e n i t i o n s a y s t h a t i f K

=

K

0

t h e n i K

=i K

0

. T h e r e f o r e i f i K 6= i K

0

t h e n K ; K

0

c a n n o t b e

e q u i v a l e n t ; t h e y h a v e b e e n d i s t i n g u i s h e d b y i .

R e m a r k 3 . 1 . 4 . W a r n i n g : t h e d e n i t i o n d o e s n o t w o r k i n r e v e r s e : i f t w o k n o t s h a v e e q u a l i n v a r i -

a n t s t h e n t h e y a r e n o t n e c e s s a r i l y e q u i v a l e n t . A s a t r i v i a l e x a m p l e , t h e f u n c t i o n i

w h i c h t a k e s t h e

v a l u e 0 o n a l l k n o t s i s a v a l i d i n v a r i a n t b u t w h i c h i s t o t a l l y u s e l e s s ! B e t t e r e x a m p l e s w i l l b e g i v e n

b e l o w .

R e m a r k 3 . 1 . 5 . L i n k i n v a r i a n t s , o r i e n t e d l i n k i n v a r i a n t s , a n d s o o n f o r a l l t h e d i e r e n t t y p e s o f

k n o t t y t h i n g s w e m i g h t c o n s i d e r a r e d e n e d a n d u s e d s i m i l a r l y .

E x a m p l e 3 . 1 . 6 . T h e c r o s s i n g n u m b e r c K

i s t h e m i n i m a l n u m b e r o f c r o s s i n g s o c c u r r i n g i n a n y

d i a g r a m o f t h e k n o t K

. T h i s i s a n i n v a r i a n t b y d e n i t i o n , b u t a t t h i s s t a g e t h e o n l y c r o s s i n g n u m b e r

w e c a n a c t u a l l y c o m p u t e i s t h a t o f t h e u n k n o t , n a m e l y z e r o !

E x a m p l e 3 . 1 . 7 . T h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s L

o f a l i n k L

i s a n i n v a r i a n t s i n c e w i g g l i n g v i a

- m o v e s d o e s n o t c h a n g e i t , i t d o e s d e p e n d o n l y o n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f l i n k .

E x e r c i s e 3 . 1 . 8 . D e n e t h e s t i c k n u m b e r o f a k n o t t o b e t h e m i n i m a l n u m b e r o f a r c s e g m e n t s w i t h

w h i c h i t c a n b e b u i l t . S h o w t h a t t h e o n l y k n o t s w i t h 4 o r 5 a r c s a r e u n k n o t s , a n d s h o w t h u s

t h a t t h e t r e f o i l h a s s t i c k n u m b e r 6 . D e n e t h e h u m a n n u m b e r ! o f a k n o t t o b e t h e m i n i m a l

n u m b e r o f p e o p l e i t t a k e s h o l d i n g h a n d s i n a c h a i n t o m a k e t h e k n o t - w h a t i s i t f o r t h e t r e f o i l

a n d g u r e - e i g h t ?

3 . 2 . L i n k i n g n u m b e r . O n e o f t h e s i m p l e s t i n v a r i a n t s t h a t c a n a c t u a l l y b e c o m p u t e d e a s i l y i s

t h e l i n k i n g n u m b e r o f a n o r i e n t e d l i n k . I t i s c o m p u t e d b y u s i n g a d i a g r a m o f t h e l i n k , s o w e t h e n

h a v e t o u s e R e i d e m e i s t e r ' s t h e o r e m t o p r o v e t h a t i t i s i n d e p e n d e n t o f t h i s c h o i c e o f d i a g r a m , a n d

c o n s e q u e n t l y r e a l l y d o e s d e p e n d o n l y o n t h e o r i g i n a l l i n k .

D e n i t i o n 3 . 2 . 1 . L e tD

b e a d i a g r a m o f a n o r i e n t e d l i n k . T h e n t h e t o t a l l i n k i n g n u m b e r L k D

i s o b t a i n e d b y t a k i n g h a l f t h e s u m , o v e r a l l c r o s s i n g s , o f c o n t r i b u t i o n s f r o m e a c h g i v e n b y

+ 1, 1

i f t h e t w o a r c s i n v o l v e d i n t h e c r o s s i n g b e l o n g t o d i e r e n t c o m p o n e n t s o f t h e l i n k , a n d 0 i f t h e y

b e l o n g t o t h e s a m e o n e .

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R e m a r k 3 . 2 . 2 . T h e s i g n o f a c r o s s i n g p o s i t i v e o r n e g a t i v e a c c o r d i n g t o t h e a b o v e c o n v e n t i o n s i s

o n l y d e t e r m i n e d w h e n t h e s t r i n g s i n v o l v e d a r e o r i e n t e d . T h i s e n a b l e s o n e t o l o o k a t t h e c r o s s i n g

a t a n a n g l e w h e r e b o t h s t r i n g s p o i n t u p w a r d s " , a n d t h e n d e c i d e w h e t h e r t h e S W - N E o r S E - N W

s t r i n g i s o n t o p . I f t h e r e a r e n o a r r o w s , o n e c a n n o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n c r o s s i n g s i n s u c h a w a y ,

a n d t h i s i s w h y t h e l i n k i n g n u m b e r i s o n l y d e n e d f o r o r i e n t e d l i n k s .

T h e o r e m 3 . 2 . 3 . I f D ; D

0

a r e t w o d i a g r a m s o f a n o r i e n t e d l i n k L

t h e n L k D

= L k D

0

, a n d h e n c e

t h i s n u m b e r i s a n i n v a r i a n t L k L

, t h e e m t o t a l l i n k i n g n u m b e r o f L .

P r o o f . T h e t w o d i a g r a m s d i e r b y a s e q u e n c e o f o r i e n t e d - s e e r e m a r k 2 . 3 . 6 R e i d e m e i s t e r m o v e s ,

s o a l l w e n e e d t o d o i s c h e c k t h a t e a c h o f t h e s e p r e s e r v e s t h e l i n k i n g n u m b e r . C e r t a i n l y p l a n a r

i s o t o p y p r e s e r v e s i t . I n a l l t h e o t h e r m o v e s , w e n e e d o n l y c o m p a r e t h e l o c a l c o n t r i b u t i o n s f r o m t h e

p i c t u r e s o n e a c h s i d e , a s a l l o t h e r c r o s s i n g s a r e c o m m o n t o b o t h d i a g r a m s . I n R I , o n e s i d e h a s a n

e x t r a c r o s s i n g b u t i t i s a s e l f - c r o s s i n g , s o c o n t r i b u t e s n o t h i n g e x t r a . I n R I I , o n e s i d e h a s t w o e x t r a

c r o s s i n g s : e i t h e r t h e t w o s t r i n g s i n v o l v e d b e l o n g t o t h e s a m e c o m p o n e n t i n w h i c h c a s e b o t h e x t r a

c r o s s i n g s a r e w o r t h 0 o r t h e y b e l o n g t o d i e r e n t c o m p o n e n t s , i n w h i c h c a s e t h e i r c o n t r i b u t i o n s a r e

e q u a l a n d o p p o s i t e , w h a t e v e r t h e o r i e n t a t i o n o n t h e s t r i n g s t h e r e a r e f o u r c a s e s . F o r R I I I , e a c h

o f t h e t h r e e c r o s s i n g s o n t h e l e f t h a s a c o u n t e r p a r t o n t h e r i g h t w h i c h g i v e s t h e s a m e c o n t r i b u t i o n ,

w h a t e v e r t h e s t a t u s o f t h e s t r i n g s i n v o l v e d o r t h e i r o r i e n t a t i o n . H e n c e t h e s u m o f t h e t h r e e i s t h e

s a m e o n e a c h s i d e .

E x a m p l e 3 . 2 . 4 . T h e H o p f l i n k h a s t w o p o s s i b l e o r i e n t a t i o n s , o n e w i t h L k = + 1 a n d o n e w i t h

L k= ,

1 : t h e s e a r e t h e r e f o r e d i s t i n c t a s o r i e n t e d l i n k s . T h e 2 - c o m p o n e n t u n l i n k h a s L k = 0 .

H e n c e t h i s i s d i s t i n c t f r o m t h e H o p f l i n k e v e n a s u n o r i e n t e d l i n k s .

S i n c e f o r k n o t s , t h e t o t a l l i n k i n g n u m b e r i s a l w a y s 0 a l l c r o s s i n g s a r e s e l f - c r o s s i n g s t h i s i n v a r i a n t

i s t o t a l l y u s e l e s s a s a k n o t i n v a r i a n t .

E x e r c i s e 3 . 2 . 5 . C o m p u t e t h e l i n k i n g n u m b e r o f t h e B o r r o m e a n r i n g s b y r s t c h o o s i n g a n o r i e n -

t a t i o n f o r e a c h c o m p o n e n t . D o e s t h e c h o i c e m a t t e r ?

E x e r c i s e 3 . 2 . 6 . P r o v e t h a t i f t h e o r i e n t a t i o n o n o n e c o m p o n e n t o f a t w o - c o m p o n e n t o r i e n t e d l i n k

Li s r e v e r s e d t h e n i t s l i n k i n g n u m b e r i s n e g a t e d . W h a t i s t h e l i n k i n g n u m b e r o f t h e m i r r o r - i m a g e

l i n k L

? W o u l d e i t h e r o f t h e s e r e s u l t s s t i l l h o l d i f L

h a d t h r e e o r m o r e c o m p o n e n t s ?

E x e r c i s e 3 . 2 . 7 . S h o w t h a t a n y d i a g r a m o f a l i n k c a n b e c h a n g e d i n t o a d i a g r a m o f t h e u n l i n k b y

s u i t a b l e c r o s s i n g c h a n g e s . A s s u m e t h a t t h e l i n k i s o r i e n t e d : w h a t i s t h e e e c t o f a c r o s s i n g c h a n g e

o n t h e l i n k i n g n u m b e r h i n t : t h e r e a r e t h r e e p o s s i b i l i t i e s ? U s e t h i s t o p r o v e t h a t d e s p i t e i t s i n i t i a l

f a c t o r o f

1

2

, t h e l i n k i n g n u m b e r o f a n y o r i e n t e d l i n k i s a l w a y s a n i n t e g e r .

E x e r c i s e 3 . 2 . 8 . S h o w t h a t b y a c o m b i n a t i o n o f s e l f - c r o s s i n g c h a n g e s a n d i s o t o p y , a n y 2 - c o m p o n e n t

o r i e n t e d l i n k c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o , a n d h a s t h e s a m e l i n k i n g n u m b e r a s , o n e o f t h e l i n k s L

n

; n2 Z

s h o w n b e l o w , w h e r e o n e u n k n o t w i n d s n

t i m e s t h e s i g n o f n

d e n o t i n g t h e d i r e c t i o n o f w i n d i n g

a b o u t a n o t h e r . T h u s t h e l i n k i n g n u m b e r h a s a n i c e v i s u a l i n t e r p r e t a t i o n a s a w i n d i n g n u m b e r c . f .

c o m p l e x a n a l y s i s .

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3 . 3 . 3 - c o l o u r i n g s . T h e s i m p l e s t u s e f u l , c o m p u t a b l e k n o t i n v a r i a n t i s t h e n u m b e r o f 3

- c o l o u r i n g s

K , w h i c h w e w i l l n o w s t u d y . I t i s d e n e d i n a p u r e l y c o m b i n a t o r i a l w a y , w h i c h c a n n o t b e g i v e n

a r e a s o n a b l e m o t i v a t i o n a t t h i s s t a g e i n t h e c o u r s e . I t s e e m s t o s p r i n g f r o m n o t h i n g a n d h a v e n o

i n t r i n s i c g e o m e t r i c d e n i t i o n o r m e a n i n g . H o w e v e r , i n t h e n a l c h a p t e r w e w i l l b e a b l e t o g i v e a

p r o p e r e x p l a n a t i o n o f i t .

D e n i t i o n 3 . 3 . 1 . P i c k t h r e e c o l o u r s . I f D

i s a n u n o r i e n t e d l i n k d i a g r a m , o n e c a n c o n s i d e r c o l o u r -

i n g e a c h o f t h e c o n n e c t e d a r c s o f D

w i t h o n e o f t h e t h r e e c o l o u r s . S u p p o s e t h e r e a r e k

a r c s . T h e n

t h e r e a r e 3

k

s u c h a s s i g n m e n t s , b u t w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n t h e s u b s e t T D

, c a l l e d t h e s e t o f

3- c o l o u r i n g s , c o n s i s t i n g o f t h o s e s a t i s f y i n g t h e r u l e :

* a t e v e r y c r o s s i n g o f D

, t h e t h r e e i n c i d e n t a r c s a r e e i t h e r a l l t h e s a m e s a m e c o l o u r o r a r e a l l

d i e r e n t .

L e t D

b e t h e n u m b e r o f e l e m e n t s o f T D

: t h i s i s t h e n u m b e r o f 3

- c o l o u r i n g s o f t h e d i a g r a m .

E x a m p l e 3 . 3 . 2 . T h e s t a n d a r d d i a g r a m s o f t h e u n k n o t a n d o f t h e t r e f o i l h a v e 3 a n d 9 3 - c o l o u r i n g s

r e s p e c t i v e l y . T h e s t a n d a r d d i a g r a m s o f t h e t w o - c o m p o n e n t u n l i n k a n d o f t h e H o p f l i n k h a v e 9 a n d

3 r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t t h e n u m b e r o f 3 - c o l o u r i n g s w o r k s f o r l i n k s a s w e l l a s k n o t s .

R e m a r k 3 . 3 . 3 . O b v i o u s l y a n y d i a g r a m h a s a t l e a s t t h r e e 3 - c o l o u r i n g s , b e c a u s e t h e m o n o c h r o m a t i c

c o l o u r i n g s s a t i s f y * .

T h e o r e m 3 . 3 . 4 . T h e n u m b e r o f 3

- c o l o u r i n g s i s a l i n k i n v a r i a n t L .

P r o o f . T h i s t h e o r e m i s t h e a n a l o g u e o f t h e o r e m 3 . 2 . 3 o n i n v a r i a n c e o f l i n k i n g n u m b e r . T h e s l i g h t l y

m o r e c o m p r e s s e d s t a t e m e n t i s i n t e n d e d t o m e a n e x a c t l y t h e s a m e t h i n g : a n y t w o d i a g r a m s r e l a t e d

b y R e i d e m e i s t e r m o v e s h a v e t h e s a m e n u m b e r s o f 3 - c o l o u r i n g s , a n d h e n c e o n e c a n c o n s i d e r t h i s

n u m b e r a s a f u n c t i o n o f t h e l i n k , i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f d i a g r a m . T o p r o v e i t w e a c t u a l l y

p r o d u c e e x p l i c i t b i j e c t i o n s b e t w e e n t h e s e t s T D

; T D

0

w h e n e v e r D ; D

0

d i e r b y a R e i d e m e i s t e r

m o v e o b v i o u s l y t h i s m a k e s D

= D

0

. O n c e a g a i n , p l a n a r i s o t o p y c l e a r l y d o e s n ' t c h a n g e

a n y t h i n g . F o r R I , a n y 3 - c o l o u r i n g o f t h e l e f t p i c t u r e m u s t h a v e t h e s a m e c o l o u r c

o n t h e t w o e n d s ,

b e c a u s e o f t h e c o n s t r a i n t a t t h e c r o s s i n g . S u c h a c o l o u r i n g i m m e d i a t e l y d e n e s a c o l o u r i n g o f t h e

r i g h t p i c t u r e : u s e t h e s a m e c o l o u r s e v e r y w h e r e o u t s i d e t h i s s m a l l p i c t u r e d r e g i o n , a n d e x t e n d t h e

c o l o u r c

a c r o s s t h e s i n g l e a r c . O n e c a n m a p r i g h t t o l e f t b y e x a c t l y t h e s a m e p r o c e s s a n d o b t a i n

m u t u a l l y i n v e r s e m a p s T D $ T D

0

, t h u s a b i j e c t i o n . F o r R I I , a s i m i l a r t e c h n i q u e i s u s e d .

A p p l y i n g t h e c o n s t r a i n t s o n t h e l e f t - h a n d p i c t u r e , o n e s e e s t h a t t h e t o p t w o e n d s a r e t h e s a m e

c o l o u r a

, a n d t h e b o t t o m t w o a r e t h e s a m e c o l o u r b

i fa = b

t h e n t h e m i d d l e a r c i s a l s o t h i s c o l o u r ;

i fa 6= b

t h e n i t i s t h e t h i r d c o l o u r c

. T h e r e f o r e t h i s d e n e s a c o l o u r i n g o f t h e r i g h t - h a n d p i c t u r e ,

a n d v i c e v e r s a . F o r R I I I o n e h a s v e c a s e s t o c o n s i d e r , b a s e d o n c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o l o u r s o f t h e

t h r e e l e f t - h a n d e n d s . T h e y c o u l d b e a l l t h e s a m e ; t h e y c o u l d a l l b e d i e r e n t ; o r t w o c o u l d b e t h e

s a m e , t h e t h i r d d i e r e n t t h r e e c a s e s a c c o r d i n g t o w h i c h e n d i s t h e o d d o n e o u t . O n e h a s i n e a c h

c a s e t o e x t e n d t h e s e i n p u t " c o l o u r s a c r o s s t h e p i c t u r e , a n d t h e n s e e t h a t t h e r e i s a c o l o u r i n g o f

t h e r i g h t - h a n d p i c t u r e w i t h t h e s a m e c o l o u r s o n t h e e n d s t o w h i c h i t c o r r e s p o n d s .

E x e r c i s e 3 . 3 . 5 . C o m p u t e

5

1

f r o m i t s u s u a l d i a g r a m . O b s e r v e t h a t t h i s i n v a r i a n t d o e s n o t

d i s t i n g u i s h i t f r o m t h e u n k n o t .

E x e r c i s e 3 . 3 . 6 . T r y c o m p u t i n g f o r o t h e r k n o t s i n t h e t a b l e s . C a n y o u e x p l a i n w h y t h e a n s w e r i s

a l w a y s d i v i s i b l e b y t h r e e ? C a n y o u e x p l a i n w h y i t i s a l w a y s a p o w e r o f t h r e e ?

E x e r c i s e 3 . 3 . 7 . C o m p u t e t h e n u m b e r o f 3 - c o l o u r i n g s

f o r t h e g u r e - e i g h t k n o t a n d t h e t w o v e -

c r o s s i n g k n o t s .

E x e r c i s e 3 . 3 . 8 . S h o w t h a t l i n k i n g n u m b e r f a i l s t o d i s t i n g u i s h t h e W h i t e h e a d l i n k f r o m t h e u n l i n k ,

b u t t h a t s u c c e e d s .

8/7/2019 knotes

17/67


E x e r c i s e 3 . 3 . 9 . T h e c o n n e c t - s u m K

1

K

2

o f t w o o r i e n t e d k n o t s K

1

; K

2

m a y b e d e n e d b y a

d i a g r a m m a t i c e x a m p l e l i k e t h e o n e b e l o w .

7!

P r o v e t h a t K

1

K

2

=

1

3

K

1

K

2

. T r i c k h i n t : c o n s i d e r t w o d i e r e n t w a y s o f c o m p u t i n g

o f t h e d i a g r a m D

s h o w n b e l o w . D e d u c e b y u s i n g r e p e a t e d c o n n e c t - s u m s o f t r e f o i l s t h a t t h e r e a r e

i n n i t e l y m a n y d i s t i n c t k n o t s .

E x e r c i s e 3 . 3 . 1 0 . S h o w t h a t i f a l i n k

L

i s c h a n g e d i n t o a n e w l i n k

L

0

b y t h e l o c a l i n s e r t i o n o f t h r e e

h a l f - t w i s t s a s s h o w n , t h e n L

= L

0

. C a l c u l a t e t h e n u m b e r o f 3 - c o l o u r i n g s o f t h e n

- t w i s t e d

d o u b l e o f t h e u n k n o t , s h o w n b e l o w .

S o f a r w e o n l y h a v e n a i v e m e t h o d s f o r c o m p u t i n g D

, e s s e n t i a l l y b a s e d o n c a r e f u l e n u m e r a t i o n

o f a l l c a s e s . W i t h a b i t o f t h o u g h t , o n e c a n r e d u c e t h e w h o l e p r o b l e m o f c o m p u t a t i o n t o o n e o f

l i n e a r a l g e b r a w h i c h m e a n s i t i s e a s y , a n d d o a b l e o n c o m p u t e r s e v e n f o r v e r y l a r g e n u m b e r s o f

c r o s s i n g s .

S t a r t b y c a l l i n g t h e c o l o u r s 0 ; 1 ;

2 . L e t u s c o n s i d e r a d i a g r a m D

w i t h k a r c s A

1

; A

2

; : : : ; A

k

, a n d

lc r o s s i n g s

C

1

; C

2

; : : : ; C

l

.

E x e r c i s e 3 . 3 . 1 1 . L o o k i n g a t t h e k n o t t a b l e o n e s e e s t h a t k = l

f o r m o s t d i a g r a m s : w h e n a r e t h e y

n o t e q u a l ?

C o n s i d e r t h e s e t o f a l l a s s i g n m e n t s o f c o l o u r s x

i

2 f0 ; 1 ; 2 g

t o t h e a r c s A

i

. W h e n d o e s s u c h a n

a s s i g n m e n t c o n s t i t u t e a n h o n e s t 3 - c o l o u r i n g ? A t a c r o s s i n g w h e r e o n e s e e s t h r e e a r c s A

i

; A

j

; A

k

t w o e n d i n g t h e r e a n d o n e g o i n g o v e r ; n o t e t h a t t h e a r c s n e e d n o t b e d i s t i n c t , f o r e x a m p l e i n

a 1 - o r 2 - c r o s s i n g u n k n o t d i a g r a m , t h e t h r e e c o l o u r s x

i

; x

j

; x

k

m u s t f o r m o n e o f t h e t r i p l e s

0; 0 ;

0 ;

1; 1 ;

1 ;

2; 2 ;

2 o r a n y p e r m u t a t i o n o f 0 ; 1 ;

2 , i f t h e y a r e t o s a t i s f y t h e c o n d i t i o n * .

T h e s e n i n e t r i p l e s a r e p r e c i s e l y t h o s e x

i

; x

j

; x

k

2 f

0 ; 1 ; 2 g

3

s a t i s f y i n g x

i

+ x

j

+ x

k

= 0 m o d 3

c h e c k : t h i s e q u a t i o n h a s n i n e s o l u t i o n s , a n d w e h a v e w r i t t e n t h e m a l l d o w n . S o i t m a k e s s e n s e

t o t h i n k o f t h e c o l o u r s a s e l e m e n t s o f t h e e l d o f t h r e e e l e m e n t s F

3

. T h e n w e c a n w r i t e

T D =

f x

1

; x

2

; : : : ; x

k

2 F

k

3

: x

i

+ x

j

+ x

k

= 0 a t e a c h c r o s s i n g i n v o l v i n g a r c s A

i

; A

j

; A

k

g :

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T h u s , T D

i s t h e s e t o f s o l u t i o n s o f l

h o m o g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s i n k

u n k n o w n s o v e r t h e e l d

F

3

.

T h e o r e m 3 . 3 . 1 2 . T D

i s a n F

3

- v e c t o r s p a c e . T h e r e f o r e D

= 3

d i m T D

i s a p o w e r o f t h r e e .

P r o o f . S o l u t i o n s o f h o m o g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s f o r m a v e c t o r s p a c e , a n d t h e n u m b e r o f e l e m e n t s

i n a v e c t o r s p a c e o v e r F

3

e q u a l s 3 t o t h e p o w e r o f i t s d i m e n s i o n .

T o c a l c u l a t e D

, w e t h e r e f o r e a s s o c i a t e t o a d i a g r a m a n l k

m a t r i x A o v e r F

3

e n c o d i n g

t h el

e q u a t i o n s f r o m c r o s s i n g s , a n d w a n t t o n d t h e d i m e n s i o n o f t h e s p a c e o f s o l u t i o n s o f A x = 0

x 2 F

k

3

. T h i s s p a c e i s j u s t t h e k e r n e l , i t s d i m e n s i o n i s j u s t t h e n u l l i t y o f t h e m a t r i x , a n d w e c a n

c a l c u l a t e i t b y G a u s s i a n e l i m i n a t i o n .

E x a m p l e 3 . 3 . 1 3 . F o r t h e k n o t 5

2

a n d a s u i t a b l e n u m b e r i n g o f t h e c r o s s i n g s a n d a r c s , t h e m a t r i x

i s

!

0

B

B

B

B

@

1 1 1 0 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0

1 0 0 1 1

0 1 0 1 1

1

C

C

C

C

A

:

J u s t a p p l y i n g r o w o p e r a t i o n s o n e c a n r e d u c e t h i s t o

0

B

B

B

B

@

1 1 1 0 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0

1

C

C

C

C

A

:

H e n c e t h e n u l l i t y i s 1 , a n d

5

2

= 3 .

R e m a r k 3 . 3 . 1 4 . T h e m o s t c o m m o n m i s t a k e i n c o m p u t i n g u s i n g t h i s m e t h o d i s t o f o r g e t t h a t

e v e r y t h i n g i s p e r f o r m e d m o d 3 ! Y o u h a v e b e e n w a r n e d !

R e m a r k 3 . 3 . 1 5 . W e k n o w t h a t t h e m o n o c h r o m a t i c c o l o u r i n g s a r e a l w a y s s o l u t i o n s , a n d h e n c e

t h a t t h e v e c t o r x

= 1; 1

; : : : ; 1 i s i n t h e k e r n e l o f t h e m a t r i x . T h i s m e a n s t h a t t h e s u m o f t h e

e n t r i e s i n e a c h r o w i s 0 2 F

3

. I n f a c t , w e c a n s a y m o r e t h a n t h a t : e a c h r o w o f t h e m a t r i x c o n s i s t s

e n t i r e l y o f z e r o e s a p a r t f r o m t h r e e ` 1 ' s i f t h e r o w c o r r e s p o n d s t o a c r o s s i n g w i t h t h r e e d i s t i n c t

a r c s i n c i d e n t , o r o n e ` 1 ' a n d o n e ` 2 ' i f i t ' s a k i n k " c r o s s i n g w i t h t w o d i s t i n c t a r c s ; o r , i n t h e

e x c e p t i o n a l c a s e o f t h e r e b e i n g a d i s j o i n t 1 - c r o s s i n g u n k n o t d i a g r a m s o m e w h e r e i n D

, a c o m p l e t e

r o w o f z e r o e s o c c u r s .

R e m a r k 3 . 3 . 1 6 . L i v i n g s t o n t a l k s n o t a b o u t t h e n u m b e r o f 3 - c o l o u r i n g s b u t a b o u t 3 - c o l o u r a b i l i t y

o f a k n o t " . H i s d e n i t i o n o f a 3 - c o l o u r a b l e k n o t i s , i n o u r l a n g u a g e , o n e w i t h m o r e t h a n t h r e e 3 -

c o l o u r i n g s . A c t u a l l y c o u n t i n g t h e n u m b e r g i v e s m o r e i n f o r m a t i o n t h o u g h , s o w e w i l l n o t u s e h i s

d e n i t i o n .

E x e r c i s e 3 . 3 . 1 7 . H a r d e r S u p p o s e K

+

a n dK

,

a r e t w o k n o t s h a v i n g d i a g r a m s D

+

a n dD

,

w h i c h

a r e i d e n t i c a l e x c e p t a t o n e c r o s s i n g , a s s h o w n b e l o w .

D

+

: D

,

:

8/7/2019 knotes

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L e tT

+

; T

,

b e t h e v e c t o r s p a c e s o f 3 - c o l o u r i n g s o f t h e s e k n o t s : s h o w t h a t t h e y c a n b e w r i t t e n i n

t h e f o r m T

+

= W V

+

, T

,

= W V

,

, w h e r e e a c h o f V

+

; V

,

i s t h e s p a c e o f s o l u t i o n s o f a s i n g l e

e q u a t i o n , a n d W

i s s o m e o t h e r s u b s p a c e .

d i m P + Q

= d i m P

+ d i m Q ,

d i m P Q

f o r s u b s p a c e s P ; Q o f a v e c t o r s p a c e t o s h o w t h a t e i t h e r K

+

;

K

,

a r e e q u a l , o r o n e i s t h r e e

t i m e s t h e o t h e r . D e d u c e t h a t t h e u n k n o t t i n g n u m b e r o f a k n o t s a t i s e s u K

l o g

3

K

,1 ,

a n d u s e t h i s t o s h o w t h a t b o t h t h e r e e f

a n d g r a n n y k n o t s b e l o w h a v e u n k n o t t i n g n u m b e r 2 .

S q u a r e r e e f k n o t : G r a n n y k n o t :

3 . 4 . p

- c o l o u r i n g s . T h e r e i s n o n e e d t o s t i c k w i t h j u s t t h r e e c o l o u r s . I f w e u s e p

c o l o u r s p

a p o s i t i v e

i n t e g e r t h e n i t i s s t i l l p o s s i b l e t o s e t u p c o n d i t i o n s o n t h e t h r e e c o l o u r s i n c i d e n t a t a c r o s s i n g s u c h

t h a t t h e r e s u l t i n g n u m b e r o f s o l u t i o n s i s a n i n v a r i a n t . A t t h i s s t a g e , l i k e t h e d e n i t i o n o f a 3 -

c o l o u r i n g , t h e r e i s n o g o o d m o t i v a t i o n f o r t h e c o n d i t i o n s w e c h o o s e : t h e f a c t t h a t t h e y h a p p e n t o

w o r k h a s t o s u c e ! E v e n t u a l l y t h o u g h w e w i l l b e a b l e t o e x p l a i n w h a t t h e s e n e w i n v a r i a n t s m e a s u r e .

I n w h a t f o l l o w s w e w i l l a c t u a l l y a s s u m e t h a t p

i s p r i m e , s o t h a t t h e c o l o u r s f 0 ; 1

; : : : ; p , 1 g

f o r m

a e l d

F

p

. T h i s m e a n s t h a t w e c a n w o r k w i t h v e c t o r s p a c e s , j u s t a s b e f o r e . O t h e r w i s e o u r s e t o f

c o l o u r s w o u l d b e o n l y a r i n g , n o t a e l d , a n d t h e s e t o f s o l u t i o n s w o u l d m e r e l y b e a m o d u l e o v e r

t h i s r i n g , i n s t e a d o f a v e c t o r s p a c e , w h i c h c o m p l i c a t e s m a t t e r s .

D e n i t i o n 3 . 4 . 1 . L e tp

b e a p r i m e . L e t T

p

D b e t h e s e t o f c o l o u r i n g s o f t h e a r c s o f a d i a g r a m

D

w i t h e l e m e n t s o f F

p

, s u c h t h a t a t e a c h c r o s s i n g , w h e r e a r c A

i

i s t h e o n e g o i n g o v e r a n d a r c s A

j

; A

k

a r e t h e o n e s e n d i n g , t h e e q u a t i o n

2 x

i

, x

j

, x

k

= 0 m o d p

i s s a t i s e d .

T h e o r e m 3 . 4 . 2 . T

p

D i s a v e c t o r s p a c e o v e r

F

p

, a n d i f t w o d i a g r a m s D ; D

0

d i e r b y a R e i d e m e i s -

t e r m o v e t h e n t h e r e i s a b i j e c t i o n b e t w e e n T

p

D ; T

p

D

0

. T h e r e f o r e t h e n u m b e r

p

D o f e l e m e n t s

o fT

p

D i s a p o w e r o f

p, a n d i s a n i n v a r i a n t o f l i n k s

p

L , t h e n u m b e r o f

p- c o l o u r i n g s o f

L .

P r o o f . T

p

D i s a s e t o f s o l u t i o n s o f h o m o g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s o v e r

F

p

, s o i t i s a v e c t o r s p a c e

a n d h a s p

d i mT

p

D

e l e m e n t s . T h e b i j e c t i o n s a r e e s t a b l i s h e d j u s t a s b e f o r e : o n e c h e c k s t h a t a n y

c o l o u r i n g o f t h e l e f t - h a n d d i a g r a m c a n b e t u r n e d i n t o o n e o f t h e r i g h t - h a n d o n e , n o t c h a n g i n g a n y

o f t h e c o l o u r s o u t s i d e t h e r e g i o n b e i n g a l t e r e d .

R e m a r k 3 . 4 . 3 .

2

i s n o t i n t e r e s t i n g , a s i t e q u a l s 2 t o t h e p o w e r o f t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s o f

a l i n k .

R e m a r k 3 . 4 . 4 . T h e i n v a r i a n t

3

i s t h e s a m e a s o u r e a r l i e r n u m b e r o f 3 - c o l o u r i n g s .

R e m a r k 3 . 4 . 5 . T h e c o m p l e t e s e t o f i n v a r i a n t s f

p

gi s q u i t e s t r o n g . I t i s c e r t a i n l y p o s s i b l e t h a t

o n e i n v a r i a n t

p

f a i l s t o d i s t i n g u i s h a p a i r o f k n o t s , w h i l e s o m e o t h e r o n e

q

d o e s d i s t i n g u i s h t h e m .

T h e m o r e i n v a r i a n t s o n e u s e s , t h e b e t t e r s e p a r a t i o n " o f k n o t s o c c u r s . H o w e v e r , t h e r e a r e s t i l l

p a i r s o f i n e q u i v a l e n t k n o t s K ; K

0

w h i c h h a v e e q u a l p

- c o l o u r i n g i n v a r i a n t s f o r a l l p

. S o w e h a v e n ' t

s u c c e e d e d i n c l a s s i f y i n g k n o t s " .

8/7/2019 knotes

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3 . 5 . U n k n o t t i n g n u m b e r . W e h a v e s o f a r s e e n v e e x a m p l e s o f i n v a r i a n t s . O n e t h e n u m b e r

o f l i n k c o m p o n e n t s , w a s o b v i o u s a n d n o t i n t e r e s t i n g . T h r e e t h e l i n k i n g n u m b e r ,

a n d

p

w e r e

c o m p u t a b l e f r o m d i a g r a m s a n d p r o v e d t o b e i n v a r i a n t u n d e r R e i d e m e i s t e r m o v e s . B u t w e d i d n ' t

k n o w w h a t t h e y m e a n t i n a n y i n t r i n s i c s e n s e . T h e o t h e r t h e c r o s s i n g n u m b e r w a s a n i n v a r i a n t

b y d e n i t i o n b u t w e h a v e n o s i m p l e m e a n s o f c o m p u t i n g i t a t a l l . T h e b e s t w e s e e m t o b e a b l e t o

d o i s p r o d u c e u p p e r b o u n d s b y j u s t d r a w i n g d i a g r a m s , a n d w i t h a l o t m o r e w o r k , m a y b e l o w e r

b o u n d s .

T h i s i s a b a s i c d i c h o t o m y e x h i b i t e d b y t h e k n o t i n v a r i a n t s o n e c o m m o n l y e n c o u n t e r s . O n e t y p e

i s e a s i l y c o m p u t a b l e b u t m u s t b e p r o v e d t o b e i n v a r i a n t . S u c h i n v a r i a n t s t e n d n o t t o h a v e a c l e a r

t o p o l o g i c a l i n t e r p r e t a t i o n w e d o n ' t r e a l l y k n o w w h a t t o p o l o g i c a l i n f o r m a t i o n

i s m e a s u r i n g , f o r

e x a m p l e . T h e o t h e r t y p e i s o b v i o u s l y i n v a r i a n t a n y t h i n g d e n e d i n t e r m s o f t h e m i n i m a l n u m b e r

o f : : : " t e n d s t o b e o f t h i s f o r m b u t v e r y h a r d t o c o m p u t e . I t i s o f t e n c l e a r w h a t t h e s e i n v a r i a n t s

m e a n " , b u t w h e n w e w a n t t o e v a l u a t e t h e m w e h a v e t o w o r k v e r y h a r d . T h e i n t e r p l a y b e t w e e n

t h e s e t w o k i n d s o f i n v a r i a n t s , a t t e m p t i n g t o u s e c o m p u t a b l e " i n v a r i a n t s t o d e d u c e f a c t s a b o u t

n o n - c o m p u t a b l e " o n e s , f o r m s a l a r g e p a r t o f k n o t t h e o r y .

T h e u n k n o t t i n g n u m b e r i s a n o t h e r e x a m p l e i n t h i s s e c o n d c l a s s . H e r e i s t h e d e n i t i o n a g a i n .

D e n i t i o n 3 . 5 . 1 . T h e u n k n o t t i n g n u m b e r u K

o f a k n o t K

i s t h e m i n i m u m , o v e r a l l d i a g r a m s D

o fK

, o f t h e m i n i m a l n u m b e r o f c r o s s i n g c h a n g e s r e q u i r e d t o t u r n D

i n t o a d i a g r a m o f t h e u n k n o t .

I t s e e m s i n t u i t i v e l y c l e a r t h a t a n y d i a g r a m c a n b e c h a n g e d i n t o a d i a g r a m o f t h e u n k n o t s i m p l y

b y s w i t c h i n g s o m e o f t h e c r o s s i n g s . T h e u n k n o t t i n g n u m b e r i s t h e n t h e m i n i m a l n u m b e r o f s u c h

c h a n g e s n e c e s s a r y o v e r a l l d i a g r a m s o f t h e k n o t . B u t w e r e a l l y s h o u l d g i v e a p r o o f o f t h i s f a c t ,

b e c a u s e o t h e r w i s e w e d o

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