ko or winder

8/20/2019 Ko or Winder

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S y l l a b u s F o u r i e r a n a l y s i s

b y T . H . K o o r n w i n d e r , 1 9 9 6

U n i v e r s i t e i t v a n A m s t e r d a m , F a c u l t e i t W I N S , v a k g r o e p W i s k u n d e

L a s t m o d i e d : N o v e m b e r 1 9 9 8

N o t e T h i s s y l l a b u s i s b a s e d o n p a r t s o f t h e b o o k \ F o u r i e r t h e o r i e " b y A . v a n R o o i j ( E p s i l o n

U i t g a v e n , 1 9 8 8 ) . M a n y o f t h e e x e r c i s e s a n d s o m e p a r t s o f t h e t e x t a r e q u i t e l i t e r a l l y t a k e n

f r o m t h i s b o o k . U s a g e o f t h i s b o o k i n a d d i t i o n t o t h e s y l l a b u s i s r e c o m m e n d e d . T h e

p r e s e n t v e r s i o n o f t h e s y l l a b u s i s s l i g h t l y m o d i e d . M o d i c a t i o n s w e r e m a d e b y J . J . O . O .

W i e g e r i n c k .

C o n t e n t s

P a r t I . F o u r i e r s e r i e s

1 . L

2

t h e o r y .

2 . L

1

t h e o r y

3 . T h e D i r i c h l e t k e r n e l

4 . T h e F e j e r k e r n e l

5 . S o m e a p p l i c a t i o n s o f F o u r i e r s e r i e s

P a r t I I . F o u r i e r i n t e g r a l s

6 . G e n e r a l i t i e s

7 . I n v e r s i o n f o r m u l a

8 . L

2

t h e o r y

9 . P o i s s o n s u m m a t i o n f o r m u l a

1 0 . S o m e a p p l i c a t i o n s o f F o u r i e r i n t e g r a l s

S t a n d a r d r e f e r e n c e s

1 ] A . v a n R o o i j , F o u r i e r t h e o r i e , E p s i l o n U i t g a v e n , 1 9 8 8 .

2 ] A . A . B a l k e m a , S y l l a b u s I n t e g r a t i e t h e o r i e , U v A , F W I , 1 9 9 3 .

3 ] J . W i e g e r i n c k , S y l l a b u s F u n c t i o n a a l a n a l y s e , U v A , F W I , 1 9 9 4 .

4 ] W . R u d i n , R e a l a n d c o m p l e x a n a l y s i s , M c G r a w - H i l l , S e c o n d e d i t i o n , 1 9 7 4 .

5 ] T . W . K o r n e r , F o u r i e r a n a l y s i s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 8 8 .

F u r t h e r r e f e r e n c e s

6 ] H . D y m & H . P . M c K e a n , F o u r i e r s e r i e s a n d i n t e g r a l s , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 2 .

7 ] Y . K a t z n e l s o n , A n i n t r o d u c t i o n t o h a r m o n i c a n a l y s i s , D o v e r , S e c o n d e d i t i o n , 1 9 7 6 .

8 ] J . K o r e v a a r , S y l l a b u s F o u r i e r A n a l y s i s , U v A , F W I , 1 9 9 1 .

9 ] T . W . K o r n e r , E x e r c i s e s f o r F o u r i e r a n a l y s i s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 3 .

1 0 ] W . S c h e m p p & B . D r e s e l e r , E i n f u h r u n g i n d i e h a r m o n i s c h e A n a l y s e , T e u b n e r , 1 9 8 0 .

1 1 ] E . M . S t e i n & G . W e i s s , I n t r o d u c t i o n t o F o u r i e r a n a l y s i s o n E u c l i d e a n s p a c e s , P r i n c e -

t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 7 1 .

1 2 ] G . W e i s s , H a r m o n i c a n a l y s i s , i n S t u d i e s i n r e a l a n d c o m p l e x a n a l y s i s , I . I . H i r s c h m a n

( e d . ) , M A A S t u d i e s i n M a t h . 3 , P r e n t i c e - H a l l , 1 9 6 5 , p p . 1 2 4 { 1 7 8 .

1 3 ] A . Z y g m u n d , T r i g o n o m e t r i c s e r i e s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , S e c o n d e d . , 1 9 5 9 .


2/59

2

1 L

2

t h e o r y

1 . 1 T h e H i l b e r t s p a c e L

2

2

1 . 1 T - p e r i o d i c f u n c t i o n s . L e t T > 0 . A f u n c t i o n f : R ! C i s c a l l e d p e r i o d i c w i t h p e r i o d

T ( o r T - p e r i o d i c ) i f f ( t + T ) = f ( t ) f o r a l l t i n R . A T - p e r i o d i c f u n c t i o n i s c o m p l e t e l y

d e t e r m i n e d b y i t s r e s t r i c t i o n t o s o m e i n t e r v a l a a + T ) , a n d a n y f u n c t i o n o n a a + T ) c a n

b e u n i q u e l y e x t e n d e d t o a T - p e r i o d i c f u n c t i o n o n R . H o w e v e r , a f u n c t i o n f o n a a + T ] i s

t h e r e s t r i c t i o n o f a T - p e r i o d i c f u n c t i o n i f ( a + T ) = f ( a ) . W h e n w o r k i n g w i t h T - p e r i o d i c

f u n c t i o n s w e w i l l u s u a l l y t a k e T : = 2 .

1 . 2 T h e B a n a c h s p a c e s L

p

2

. L e t 1 p


3/59

L

2

T H E O R Y 3

E x . 1 . 3 S h o w t h e f o l l o w i n g . I f f 2 L

1

2

t h e n

Z

;

f ( t ) d t =

Z

+ a

; + a

f ( t ) d t ( a 2 R ) :

1 . 4 T h e B a n a c h s p a c e C

2

. D e n e t h e l i n e a r s p a c e C

2

a s t h e s p a c e o f a l l 2 - p e r i o d i c

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f : R ! C . T h e r e s t r i c t i o n m a p f 7! f j

; ]

i d e n t i e s t h e l i n e a r s p a c e

C

2

w i t h t h e l i n e a r s p a c e o f a l l c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f o n ; ] f o r w h i c h f ( ; ) = f ( ) .

T h e s p a c e C

2

b e c o m e s a B a n a c h s p a c e w i t h r e s p e c t t o t h e s u p n o r m

k f k

1

: = s u p

t 2 R

j f ( t ) j = s u p

t 2 ; ]

j f ( t ) j ( f 2 C

2

) :

W e c a n c o n s i d e r t h e s p a c e C ( ; ] ) o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n ; ] a s a l i n e a r

s u b s p a c e o f L

p

( ; ] ) , b u t a l s o a s a l i n e a r s u b s p a c e o f L

p

( ; ] ) .

I n d e e d , i f t w o c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n ; ] a r e e q u a l a . e . t h e n t h e y a r e e q u a l e v e r y w h e r e .

H e n c e e a c h e q u i v a l e n c e c l a s s i n L

p

( ; ] ) c o n t a i n s a t m o s t o n e c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

H e n c e , i f f g 2 C ( ; ] ) a r e e q u a l a s e l e m e n t s o f L

p

( ; ] ) t h e n t h e y a r e e q u a l a s

e l e m e n t s o f C ( ; ] ) .

I t f o l l o w s t h a t w e c a n c o n s i d e r t h e s p a c e C

2

a s a l i n e a r s u b s p a c e o f t h e s p a c e L

p

2

, b u t

a l s o a s a l i n e a r s u b s p a c e o f L

p

2

.

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n i s w e l l k n o w n ( s e e R u d i n , T h e o r e m 3 . 1 4 ) :

1 . 5 P r o p o s i t i o n C ( ; ] ) i s a d e n s e l i n e a r s u b s p a c e o f t h e B a n a c h s p a c e L

p

( ; ] ) .

E x . 1 . 6 F o r p 1 p r o v e t h e n o r m i n e q u a l i t y

k f k

p

k f k

1

( f 2 C

2

) :

E x . 1 . 7 P r o v e t h a t t h e l i n e a r s p a c e C

2

i s a d e n s e l i n e a r s u b s p a c e o f t h e B a n a c h s p a c e

L

p

2

( p 1 ) .

H i n t S h o w f o r f 2 C ( ; ] ) a n d " > 0 t h a t t h e r e e x i s t s g 2 C ( ; ] ) s u c h t h a t

g ( ; ) = 0 = g ( ) a n d k f ; g k

p

< " .

E x . 1 . 8 P r o v e t h e f o l l o w i n g :

L e t V b e a d e n s e l i n e a r s u b s p a c e o f C

2

w i t h r e s p e c t t o t h e n o r m k : k

1

. T h e n , f o r p 1 ,

V i s a d e n s e l i n e a r s u b s p a c e o f L

p

2


p

.

1 . 9 F o r f a f u n c t i o n o n R a n d f o r a 2 R d e n e t h e f u n c t i o n T

a

f b y

( T

a

f ) ( x ) : = f ( x + a ) ( x

2 R ) : ( 1 : 3 )

I f f i s 2 - p e r i o d i c t h e n s o i s T

a

f a n d , i f V i s a n y o f t h e s p a c e s L

p

2

o r C

2

t h e n T

a

: V ! V

i s a l i n e a r b i j e c t i o n w h i c h p r e s e r v e s t h e a p p r o p r i a t e n o r m .


4/59

4 C H A P T E R 1

P r o p o s i t i o n L e t p 1 , f 2 L

p

2

. T h e n t h e m a p a 7! T

a

f : R ! L

p

2

i s u n i f o r m l y

c o n t i n u o u s .

P r o o f F i r s t t a k e g 2 C

2

. T h e n , b y t h e c o m p a c t n e s s o f ; ] a n d b y p e r i o d i c i t y ,

g i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n R . H e n c e , f o r e a c h " > 0 t h e r e e x i s t s > 0 s u c h t h a t

k T

a

g ; T

b

g k

1

< " i f j a ; b j < . N e x t t a k e f 2 L

p

2

a n d l e t " > 0 . S i n c e C

2

i s d e n s e i n

L

p

2

( s e e E x e r c i s e 1 . 7 ) , w e c a n n d g

2 C

2

s u c h t h a t

k f

; g

k

p

1

3

" . H e n c e

k T

a

f ; T

b

f k

p

k T

a

( f ; g ) k

p

+ k T

a

g ; T

b

g k

p

+ k T

b

( f ; g ) k

p

2

3

" + k T

a

g ; T

b

g k

1

w h e r e w e u s e d E x e r c i s e 1 . 6 . N o w w e c a n n d > 0 s u c h t h a t k T

a

g ; T

b

g k

1


5/59

L

2

T H E O R Y 5

T h e o r e m

( a ) T h e s p a c e o f t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s i s d e n s e i n C

2


1

.

( b ) T h e s p a c e o f t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s i s d e n s e i n L

2

2


2

.

( c ) T h e f u n c t i o n s t 7! e

i n t

( n 2 Z ) f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

2

.

P a r t ( b ) o f t h e T h e o r e m f o l l o w s f r o m p a r t ( a ) ( w h y ? ) , a n d p a r t ( c ) f o l l o w s f r o m p a r t

( b ) . W e w i l l p r o v e t h e t h e o r e m i n a l a t e r c h a p t e r ( r s t p a r t ( b ) a n d h e n c e p a r t ( c ) , a n d

a f t e r w a r d s p a r t ( a ) ) . H o w e v e r , i n t h i s C h a p t e r w e w i l l a l r e a d y u s e t h e T h e o r e m . S o w e

h a v e t o b e c a r e f u l l a t e r t h a t c i r c u l a r a r g u m e n t s w i l l b e a v o i d e d .

1 . 2 G e n e r a l i t i e s a b o u t o r t h o n o r m a l b a s e s

1 . 1 2 W e n o w r e c a p i t u l a t e s o m e g e n e r a l i t i e s c o n c e r n i n g o r t h o n o r m a l b a s e s o f H i l b e r t

s p a c e s , a s g i v e n i n s y l l . F u n c t i o n a a l a n a l y s e . L e t H b e a H i l b e r t s p a c e . D e n o t e t h e i n n e r

p r o d u c t b y h : : i a n d t h e n o r m b y k : k . L e t A b e a n i n d e x s e t a n d c o n s i d e r a n

o r t h o n o r m a l s y s t e m E : = f e

g

2 A

i n H , i . e . , h e

e

i =

f o r 2 A . F o r c o n v e n i e n c e

w e a s s u m e t h a t t h e H i l b e r t s p a c e i s s e p a r a b l e . T h u s t h e i n d e x s e t A o f t h e o r t h o n o r m a l

s y s t e m E w i l l b e c o u n t a b l e .

P r o p o s i t i o n ( B e s s e l i n e q u a l i t y )

X

2 A

j h f e

i j

2

k f k

2

( f 2 H ) :

C o r o l l a r y I f f 2 H t h e n l i m

! 1

h f e

i = 0 , i . e . , f o r a l l " > 0 t h e r e i s a n i t e s u b s e t

B A s u c h t h a t , i f 2 A n B t h e n j h f e

i j < " .

( T h e s e t A , e q u i p p e d w i t h t h e d i s c r e t e t o p o l o g y , i s l o c a l l y c o m p a c t . B y a d d i n g t h e p o i n t

1 , w e o b t a i n t h e o n e - p o i n t c o m p a c t i c a t i o n o f A . T h i s g i v e s a f u r t h e r e x p l a n a t i o n o f t h e

n o t i o n l i m

! 1

. )

D e n i t i o n - T h e o r e m ( o r t h o n o r m a l b a s i s P a r s e v a l ' s n o r m e q u a l i t y )

T h e o r t h o n o r m a l s y s t e m E i s c a l l e d a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f H i f t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t

p r o p e r t i e s h o l d :

( a ) S p a n ( E ) i s d e n s e i n H .

( b )

P

2 A

j h f e

i j

2

= k f k

2

f o r a l l f 2 H ( P a r s e v a l e q u a l i t y ) .

( c ) I f f 2 H a n d f i s o r t h o g o n a l t o E t h e n f = 0 ( i . e . , E i s a m a x i m a l o r t h o n o r m a l

s y s t e m ) .

1 . 1 3 D e n i t i o n - P r o p o s i t i o n ( u n c o n d i t i o n a l c o n v e r g e n c e )

L e t H b e a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e . L e t A b e a c o u n t a b l y i n n i t e i n d e x s e t . L e t f v

g

2 A

H . W e s a y t h a t t h e s u m

P

2 A

v

u n c o n d i t i o n a l l y c o n v e r g e s t o s o m e v 2 H i f t h e f o l l o w i n g

t w o e q u i v a l e n t p r o p e r t i e s a r e v a l i d :

( a ) F o r e a c h w a y o f o r d e r i n g A a s a s e q u e n c e

1

2

: : : w e h a v e t h a t v = l i m

N ! 1

P

N

n = 1

v

n

i n t h e t o p o l o g y o f H .

( b ) F o r e a c h " > 0 t h e r e i s a n i t e s u b s e t B A s u c h t h a t f o r e a c h n i t e s e t C s a t i s f y i n g

B C A w e h a v e t h a t k v ;

P

2 C

v

k < " .


6/59

6 C H A P T E R 1

T h e o r e m L e t H b e a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e w i t h o r t h o n o r m a l b a s i s f e

g

2 A

( A a

c o u n t a b l e i n d e x s e t ) . L e t f c

g

2 A

2 ̀

2

( A ) ( i . e .

P

2 A

j c

j

2


7/59

L

2

T H E O R Y 7

1 . 1 6 T h e r e s u l t s o f x 1 . 1 5 d i d n o t d e p e n d o n t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e o r t h o n o r m a l s y s t e m .

H o w e v e r , t h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t s u s e s t h i s c o m p l e t e n e s s , s o w e c a n n o t b e s u r e a b o u t

t h e s e r e s u l t s u n t i l w e h a v e p r o v e d T h e o r e m 1 . 1 1 ( b ) .

T h e o r e m ( P a r s e v a l ) L e t f g

2 L

2

2

. T h e n

1

2

Z

;

j f ( t ) j

2

d t =

1

X

n = ; 1

j

b

f ( n ) j

2

( 1 : 9 )

1

2

Z

;

f ( t ) g ( t ) d t =

1

X

n = ; 1

b

f ( n ) b g ( n ) : ( 1 : 1 0 )

I n ( 1 . 9 ) a n d ( 1 . 1 0 ) , t h e i n t e g r a l o n t h e l e f t h a n d s i d e a n d t h e s u m o n t h e r i g h t h a n d s i d e

a r e a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t .

1 . 1 7 T h e o r e m ( R i e s z - F i s c h e r ) L e t f

n

g

n 2 Z

2 ̀

2

( Z ) , i . e .

P

1

n = ; 1

j

n

j

2


8/59

8 C H A P T E R 1

1 . 4 O r t h o n o r m a l b a s e s w i t h c o s i n e s a n d s i n e s

T h e o r t h o n o r m a l b a s i s o f f u n c t i o n s t

7! e

i n t

( n

2 Z ) f o r L

2

2

( s e e T h e o r e m 1 . 1 1 ( c ) )

i m m e d i a t e l y g i v e s r i s e t o a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r L

2

2

i n t e r m s o f c o s i n e s a n d s i n e s . W e

f o r m u l a t e i t i n t w o s t e p s a n d l e a v e t h e s t r a i g h t f o r w a r d p r o o f s t o t h e r e a d e r .

1 . 2 0 L e m m a F o r n = 1 2 : : : t h e t w o - d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f L

2

2

s p a n n e d b y t h e

t w o o r t h o n o r m a l f u n c t i o n s t 7! e

i n t

a l s o h a s a n o r t h o n o r m a l b a s i s g i v e n b y t h e t w o

f u n c t i o n s t 7!

p

2 c o s ( n t ) a n d t 7!

p

2 s i n ( n t ) .

P r o p o s i t i o n T h e f u n c t i o n s t 7! 1 , t 7!

p

2 c o s ( n t ) ( n = 1 2 : : : ) , a n d t 7!

p

2 s i n ( n t )

( n = 1 2 : : : ) f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r L

2

2

.

N o t e t h a t , i n t h e o r t h o n o r m a l b a s i s o f t h e a b o v e P r o p o s i t i o n , t h e c o s i n e f u n c t i o n s

( i n c l u d i n g 1 ) a r e e v e n a n d t h e s i n e f u n c t i o n s a r e o d d . I n f a c t , w e c a n s p l i t t h e H i l b e r t

s p a c e L

2

2

a s a d i r e c t s u m o f t h e s u b s p a c e o f e v e n f u n c t i o n s a n d t h e s u b s p a c e o f o d d

f u n c t i o n s , s u c h t h a t t h e c o s i n e s f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r t h e r s t s u b s p a c e a n d t h e

s i n e s a n o r t h o n o r m a l s u b s p a c e f o r t h e s e c o n d s u b s p a c e . L e t u s r s t d i s c u s s t h e n o t i o n o f

d i r e c t s u m d e c o m p o s i t i o n .

1 . 2 1 D e n i t i o n L e t H b e a H i l b e r t s p a c e a n d l e t H

1

a n d H

2

b e c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e s

o f

H ( s o

H

1

a n d

H

2

a r e H i l b e r t s p a c e s t h e m s e l v e s ) . W e s a y t h a t

H i s t h e ( o r t h o g o n a l )

d i r e c t s u m o f H

1

a n d H

2

( n o t a t i o n H = H

1

H

2

) i f t h e t w o f o l l o w i n g c o n d i t i o n s a r e

s a t i s e d :

( i ) T h e s u b s p a c e s H

1

a n d H

2

a r e o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r .

( i i ) E a c h v 2 H c a n b e w r i t t e n a s v = v

1

+ v

2

w i t h v

1

2 H

1

a n d v

2

2 H

2

.

E x . 1 . 2 2 L e t H

1

a n d H

2

b e H i l b e r t s p a c e s a n d m a k e H : = f ( v

1

v

2

) j v

1

2 H

1

v

2

2 H

2

g

i n t o a n i n n e r p r o d u c t s p a c e b y t h e r u l e s

( v

1

v

2

) + ( w

1

w

2

) : = ( v

1

+ w

1

v

2

+ w

2

) ( v

1

v

2

) : = ( v

1

v

2

)

h ( v

1

v

2

) ( w

1

w

2

) i : = h v

1

w

1

i + h v

2

w

2

i :

S h o w t h a t H i s a H i l b e r t s p a c e a n d t h a t i t i s t h e d i r e c t s u m o f i t s t w o c l o s e d l i n e a r

s u b s p a c e s f ( v 0 ) j v 2 H

1

g a n d f ( 0 v ) j v 2 H

2

g .

A n e x a m p l e o f a d i r e c t s p a c e d e c o m p o s i t i o n i s g i v e n b y t h e f o l l o w i n g P r o p o s i t i o n .

1 . 2 3 P r o p o s i t i o n T h e s p a c e L

2

2

i s t h e o r t h o g o n a l d i r e c t s u m o f t h e t w o c l o s e d l i n e a r

s u b s p a c e s

L

2

2 e v e n

: = f f 2 L

2

2

j f ( t ) = f ( ; t ) a : e : g

L

2

2 o d d

: = f f 2 L

2

2

j f ( t ) = ; f ( ; t ) a : e : g :

T h e m a p s f 7! f j

0 ]

: L

2

2 e v e n

! L

2

( 0 ] ) a n d f 7! f j

0 ]

: L

2

2 o d d

! L

2

( 0 ] ) a r e

i s o m o r p h i s m s o f H i l b e r t s p a c e s , p r o v i d e d t h e i n n e r p r o d u c t o n L

2

( 0 ] ) i s n o r m a l i z e d a s

h f g i : =

1

Z

0

f ( t ) g ( t ) d t : ( 1 : 1 1 )

T h e o r e m T h e f u n c t i o n s t 7! 1 a n d t 7!

p

2 c o s ( n t ) ( n = 1 2 : : : ) f o r m a n o r t h o n o r m a l

b a s i s o f L

2

2 e v e n

, a n d h e n c e a l s o o f L

2

( 0 ] ) ( w i t h i n n e r p r o d u c t ( 1 . 1 1 ) ) . T h e f u n c t i o n s

t 7!

p

2 s i n ( n t ) ( n = 1 2 : : : ) f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

2 o d d

, a n d h e n c e a l s o o f

L

2

( 0 ] ) ( w i t h i n n e r p r o d u c t ( 1 . 1 1 ) ) .


9/59

L

2

T H E O R Y 9

E x . 1 . 2 4 G i v e t h e p r o o f s o f t h e a b o v e P r o p o s i t i o n a n d T h e o r e m .

1 . 5 F u r t h e r e x e r c i s e s

E x . 1 . 2 5 L e t f b e t h e s a w t o o t h f u n c t i o n , i . e . t h e 2 - p e r i o d i c f u n c t i o n w h i c h i s g i v e n o n

( 0 2 ) b y :

f ( x ) : = ; x ( 0 < x


10/59

1 0 C H A P T E R 1

E x . 1 . 2 9 L e t f 2 L

2

2

. F o r k = 1 2 : : : p u t g

k

( t ) : = f ( k t ) . T h e n g

k

2 L

2

2

. E x p r e s s t h e

F o u r i e r c o e c i e n t s o f g

k

i n t e r m s o f t h e F o u r i e r c o e c i e n t s o f f .

E x . 1 . 3 0 L e t 2 f 1 g . D e n e

L

2

2

: = f f 2 L

2

2

j f ( ; x ) = f ( x ) a : e : f ( ; x ) = f ( x ) a : e : g :

a ) S h o w t h a t t h e H i l b e r t s p a c e L

2

2

i s t h e d i r e c t s u m o f t h e f o u r m u t u a l l y o r t h o g o n a l

c l o s e d l i n e a r s u b s p a c e s L

2

2

( 2 f 1 g ) .

b ) F o r e a c h c h o i c e o f n d a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

2

. ( S t a r t w i t h t h e o r t h o n o r -

m a l b a s i s f o r L

2

2 e v e n

o r L

2

2 o d d

g i v e n i n x 1 . 2 3 . )

c ) F o r e a c h g i v e a H i l b e r t s p a c e i s o m o r p h i s m o f L

2

2

w i t h L

2

( 0

1

2

] ) .

E x . 1 . 3 1 F o r F a f u n c t i o n o n R d e n e a f u n c t i o n f o n ( 0 2 ) b y f ( x ) : = F ( c o t

1

2

x ) .

T h i s e s t a b l i s h e s a o n e - t o - o n e l i n e a r c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n f u n c t i o n s f o n ( 0 2 ) a n d

f u n c t i o n s F o n R

( a ) S h o w t h a t t h e m a p f 7! F i s a H i l b e r t s p a c e i s o m o r p h i s m o f L

2

( ( 0 2 ) ( 2 )

; 1

d x )

o n t o L

2

( R

; 1

( t

2

+ 1 )

; 1

d t ) . , i . e . ,

1

2

Z

;

j f ( x ) j

2

d x =

1

Z

1

; 1

j F ( t ) j

2

d t

t

2

+ 1

:

( b ) S h o w t h a t t h e o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

( ( 0 2 ) ( 2 )

; 1

d x ) p r o v i d e d b y t h e f u n c t i o n s

x 7! e

i n x

( n 2 Z ) , i s s e n t b y t h e m a p f 7! F t o t h e o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

( R

; 1

( t

2

+

1 )

; 1

d t ) g i v e n b y t h e f u n c t i o n s t

7! (

t + i

t ; i

)

n

.

E x . 1 . 3 2 L e t V b e t h e l i n e a r s p a c e o f p i e c e w i s e l i n e a r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n t h e c l o s e d

b o u n d e d i n t e r v a l a b ] . S o , f 2 V i f 2 C ( a b ] ) a n d t h e r e i s a p a r t i t i o n a = a

0

< a

1


11/59

1 1

2 L

1

t h e o r y

2 . 1 G r o w t h r a t e s o f F o u r i e r c o e c i e n t s

2 . 1 T h e F o u r i e r c o e c i e n t s

b

f ( n ) ( n 2 Z ) o f a f u n c t i o n f 2 L

1

2

w e r e d e n e d i n f o r m u l a

( 1 . 8 ) . I t f o l l o w s f r o m t h i s f o r m u l a t h a t

j

b

f ( n ) j k f k

1

( f 2 L

1

2

n 2 Z ) : ( 2 : 1 )

H e n c e

k

b

f k

1

k f k

1

w h e r e k

b

f k

1

: = s u p

n 2 Z

j

b

f ( n ) j :

S o

b

f 2 ̀

1

( Z ) i f f 2 L

1

2

. H e r e ̀

1

( Z ) : = f (

n

)

n 2 Z

j s u p

n 2 Z

j

n

j


12/59

1 2 C H A P T E R 2

T h e o r e m ( a ) L e t k 2 f 0 1 2 : : : g . I f f 2 C

k

2

t h e n

b

f ( n ) = o ( j n j

; k

) a s j n j ! 1 .

( b ) I f f 2 C

1

2

t h e n

b

f ( n ) = O ( j n j

; k

) a s j n j ! 1 f o r a l l k 2 f 0 1 2 : : : g .

S o w e s e e t h a t f o r 2 - p e r i o d i c C

1

- f u n c t i o n s t h e F o u r i e r c o e c i e n t s d e c r e a s e f a s t e r

i n a b s o l u t e l e v a l u e t o z e r o t h a n a n y i n v e r s e p o w e r o f j n j . W e t h e n s a y t h a t t h e F o u r i e r

c o e c i e n t s a r e r a p i d l y d e c r e a s i n g .

P r o o f o f T h e o r e m P a r t ( b ) f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m p a r t ( a ) . F o r t h e p r o o f o f p a r t

( a ) w e u s e e q u a t i o n s ( 2 . 3 ) a n d t h e R i e m a n n - L e b e s g u e L e m m a :

j

b

f ( n ) j = j n j

; k

j ( f

( k )

) b ( n ) j = j n j

; k

o ( 1 ) a s n ! 1 ,

s i n c e f

( k )

2 C

2

i f f 2 C

k

2

.

E x . 2 . 6 S h o w t h a t ( 2 . 2 ) s t i l l h o l d s i f f 2 C

2

w i t h p i e c e w i s e c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e .

E x . 2 . 7 L e t f 2 C

2

. S u p p o s e t h a t f c a n b e e x t e n d e d t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n a r e g i o n

i n C w h i c h c o n t a i n s t h e s t r i p f z 2 C j j I m z j K g . S h o w t h a t j

b

f ( n ) j = O ( e

; K j n j

) a s

j n j ! 1 .

H i n t I f z 2 C a n d j I m z j K t h e n f ( z + 2 ) = f ( z ) . N e x t s h o w b y c o n t o u r i n t e g r a t i o n

t h a t

b

f ( n ) =

1

2

Z

a +

a ;

f ( z ) e

; i n z

d z ( n 2 Z j I m a j K ) :

2 . 8 I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n s w e d e r i v e d t h e b e h a v i o u r o f t h e F o u r i e r c o e c i e n t s

b

f ( n ) f r o m

t h e b e h a v i o u r o f t h e f u n c t i o n f . N o w w e c o n s i d e r t h e i n v e r s e p r o b l e m : L e t c o e c i e n t s

n

w i t h c e r t a i n b e h a v i o u r b e g i v e n . F i n d a 2 - p e r i o d i c f u n c t i o n f s u c h t h a t

b

f ( n ) =

n

a n d

g i v e t h e b e h a v i o u r o f f .

W e s a y t h a t t h e d o u b l y i n n i t e s e q u e n c e (

n

)

n 2 Z

i s i n ̀

1

( Z ) i f

k (

n

) k

1

: =

P

1

n = ; 1

j

n

j


13/59

L

1

T H E O R Y 1 3

E x . 2 . 9 L e t f ( x ) b e g i v e n b y ( 2 . 4 ) . P r o v e t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s . U s e f o r ( a ) a n d ( b )

t h e t h e o r e m a b o u t d i e r e n t i a t i o n o f a s e r i e s o f f u n c t i o n s o n a b o u n d e d i n t e r v a l f o r w h i c h

t h e s e r i e s o f d e r i v a t i v e s i s u n i f o r m l y c o n v e r g e n t .

( a ) I f

P

1

n = ; 1

j n j j

n

j 0 . I f

n

= O ( e

; K j n j

) a s j n j ! 1 t h e n f c a n b e e x t e n d e d t o a n a n a l y t i c

f u n c t i o n o n t h e s t r i p f z 2 C j j I m z j K g .

2 . 1 0 R e m a r k O b s e r v e t h a t t h e F o u r i e r i m a g e s o f L

2

2

a n d o f C

1

2

c a n b e c o m p l e t e l y

c h a r a c t e r i z e d . N a m e l y , f o r a g i v e n s e q u e n c e (

n

)

n 2 Z

w e h a v e :

n

=

b

f ( n ) ( n 2 Z ) f o r s o m e f 2 L

2

2

i

P

1

n = ; 1

j

n

j

2


14/59

1 4 C H A P T E R 2

( c ) W e h a v e

Z

X Y

h ( x y ) d ( ) ( x y ) =

Z

X

Z

Y

h ( x y ) d ( y )

d ( x ) =

Z

Y

Z

X

h ( x y ) d ( x )

d ( y ) :

( 2 : 5 )

N o t e t h a t a l l i n t e g r a l s c o n s i d e r e d i n ( 2 . 5 ) a r e i n t e g r a l s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n s w h i c h

t a k e v a l u e s o n 0 1 ] . T h e i n t e g r a l o f s u c h a f u n c t i o n i s w e l l - d e n e d a n d i t w i l l y i e l d a

n u m b e r i n 0 1 ] .

C o n s i d e r n e x t a f u n c t i o n h : X

Y

! C ( s o n o t n e c e s s a r i l y n o n - n e g a t i v e ) w h i c h i s

m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e - a l g e b r a A B . T h e n t h e n o n n e g a t i v e f u n c t i o n j h j i s

m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o A B , s o t h e a b o v e P r o p o s i t i o n w i l l h o l d w i t h h ( x y ) r e p l a c e d

b y j h ( x y ) j . T h i s w e w i l l n e e d i n t h e n e x t t h e o r e m .

2 . 1 4 T h e o r e m ( s e e R u d i n , T h e o r e m 7 . 8 ) L e t t h e f u n c t i o n h : X Y ! C b e m e a s u r -

a b l e w i t h r e s p e c t t o t h e - a l g e b r a A B . S u p p o s e t h a t o n e o f t h e t w o i n e q u a l i t i e s b e l o w

i s v a l i d .

Z

Y

Z

X

j h ( x y )

j d ( x )

d ( y )


15/59

L

1

T H E O R Y 1 5

2 . 1 6 P r o p o s i t i o n I f f g 2 C

2

t h e n f g 2 C

2

a n d

( f g ) b ( n ) =

b

f ( n ) b g ( n ) ( n 2 Z ) : ( 2 : 9 )

P r o o f F o r t h e p r o o f o f t h e c o n t i n u i t y ( i n f a c t u n i f o r m c o n t i n u i t y ) o f f g o b s e r v e t h a t

1

2

Z

;

f ( t ) ( g ( x ; t ) ; g ( y ; t ) ) d t

k f k

1

s u p

t 2 R

j g ( x ; t ) ; g ( y ; t ) j :

L e t " > 0 . S i n c e a n y p e r i o d i c c o n t i n u o u s f u n c t i o n i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n R ( w h y ? ) ,

t h e r e e x i s t s > 0 s u c h t h a t j g ( x ; t ) ; g ( y ; t ) j < " f o r a l l t 2 R i f j x ; y j < . H e n c e

j ( f g ) ( x ) ; ( f g ) ( y ) j < " k f k

1

i f j x ; y j < .

F o r t h e p r o o f o f ( 2 . 9 ) u s e F u b i n i ' s t h e o r e m i n t h e c a s e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n a

b o u n d e d i n t e r v a l . T h u s

( f g ) b ( n ) =

1

4

2

Z

;

Z

;

f ( t ) g ( x ; t ) d t

e

; i n x

d x

=

1

4

2

Z

;

f ( t ) e

; i n t

Z

;

g ( x ; t ) e

; i n ( x ; t )

d x

d t

=

1

4

2

Z

;

f ( t ) e

; i n t

b g ( n ) d t =

b

f ( n ) b g ( n ) :

E x . 2 . 1 7 L e t f ( x ) : = e

i m x

, g ( x ) : = e

i n x

( m n 2 Z ) . C o m p u t e f g . A l s o c h e c k t h a t t h e

r e s u l t a g r e e s w i t h e q u a l i t y ( 2 . 9 ) .

E x . 2 . 1 8 P r o v e b y F u b i n i ' s t h e o r e m i n t h e c a s e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n a b o u n d e d

i n t e r v a l t h e f o l l o w i n g . I f f g h 2 C

2

t h e n

( f g ) h = f ( g h ) ( a s s o c i a t i v i t y ) : ( 2 : 1 0 )

2 . 1 9 D e n i t i o n - T h e o r e m L e t f g 2 L

1

2

. L e t ( f g ) ( x ) b e d e n e d b y ( 2 . 8 ) f o r t h o s e

x 2 R f o r w h i c h t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 2 . 8 ) c o n v e r g e s a b s o l u t e l y .

( a ) F o r a l m o s t a l l x 2 R t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 2 . 8 ) c o n v e r g e s a b s o l u t e l y .

E x t e n d f g t o a ( 2 - p e r i o d i c ) f u n c t i o n o n R b y c h o o s i n g a r b i t r a r y v a l u e s o f ( f g ) ( x )

o n t h e s e t o f m e a s u r e z e r o w h e r e f ( x ) i s n o t y e t d e n e d b y ( 2 . 8 ) . T h e n f g 2 L

1

2

a n d

k f g k

1

k f k

1

k g k

1

: ( 2 : 1 1 )

( b ) T h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f f g o n l y d e p e n d s o n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f f a n d g . I n

o t h e r w o r d s , f o r f g 2 L

1

2

t h e c o n v o l u t i o n p r o d u c t f g i s w e l l - d e n e d a s a n e l e m e n t

o f L

1

2

.

( c ) F o r f g 2 L

1

2

, f o r m u l a ( 2 . 9 ) i s v a l i d .

( d ) F o r f g h 2 L

1

2

, t h e a s s o c i a t i v i t y p r o p e r t y ( 2 . 1 0 ) i s v a l i d .

P r o o f L e t f g 2 L

1

2

. F i r s t o b s e r v e t h a t

1

4

2

Z

;

Z

;

j f ( t ) g ( x ; t ) j d x

d t =

1

4

2

Z

;

j f ( t ) j

Z

;

j g ( x ; t ) j d x

d t

=

1

2

Z

;

j f ( t ) j k g k

1

d t = k f k

1

k g k

1


16/59

1 6 C H A P T E R 2

H e n c e , b y F u b i n i ' s T h e o r e m 2 . 1 4 w e h a v e t h a t

Z

;

j f ( t ) g ( x ; t ) j d t


17/59

L

1

T H E O R Y 1 7


E x . 2 . 2 2 S h o w t h a t

1

X

n = 0

2

; n

c o s ( n x ) =

4 ; 2 c o s x

5 ; 4 c o s x

( x 2 R ) :

E x . 2 . 2 3 L e t A 2 C s u c h t h a t j A j 6= 1 . L e t f ( x ) : = ( A + e

i x

)

; 1

( x 2 R ) . C o m p u t e t h e

F o u r i e r c o e c i e n t s

b

f ( n ) .

E x . 2 . 2 4 L e t f 2 L

1

2

. E x p r e s s b g ( n ) i n t e r m s o f t h e

b

f ( m ) i f :

( a ) g ( x ) = f ( x + a ) ( a 2 R )

( b ) g ( x ) = f ( ; x )

( c ) g ( x ) = f ( x )

( d ) g ( x ) = f ( ; x ) .

E x . 2 . 2 5 L e t f 2 L

1

2

, g 2 C

1

2

. S h o w t h a t f g 2 C

1

2

a n d t h a t ( f g )

0

= f g

0

.


18/59

1 8

3 T h e D i r i c h l e t k e r n e l

3 . 1 D e n i t i o n o f t h e D i r i c h l e t k e r n e l

3 . 1 L e t f 2 L

1

2

. T h e f o r m a l d o u b l y i n n i t e s e r i e s

X

n 2 Z

b

f ( n ) e

i n x

( 3 : 1 )

i s c a l l e d t h e F o u r i e r s e r i e s o f f . W e w i l l s e e t h a t t h i s s e r i e s c o n v e r g e s i n a c e r t a i n s e n s e t o

f ( x ) , b u t t h e t y p e o f c o n v e r g e n c e w i l l d e p e n d o n t h e n a t u r e o f f . S a y i n g t h a t t h e s e r i e s

( 3 . 1 ) c o n v e r g e s i n s o m e s e n s e t o f ( x ) a m o u n t s t o t h e s a m e a s s a y i n g t h a t t h e s e q u e n c e o f

p a r t i a l F o u r i e r s u m s

S

N

( x ) = ( S

N

f ] ) ( x ) : =

N

X

n = ; N

b

f ( n ) e

i n x

( N = 0 1 2 : : : x 2 R ) ( 3 : 2 )

c o n v e r g e s i n s o m e s e n s e t o f ( x ) a s N

! 1 . T h e r e f o r e i t i s i m p o r t a n t t o e x a m i n e t h e

f u n c t i o n s S

N

f ] i n m o r e d e t a i l .

3 . 2 D e n i t i o n - P r o p o s i t i o n T h e p a r t i a l F o u r i e r s u m ( 3 . 2 ) c a n b e w r i t t e n a s

( S

N

f ] ) ( x ) = ( f D

N

) ( x ) =

1

2

Z

;

f ( t ) D

N

( x ; t ) d t =

1

2

Z

;

f ( x + t ) D

N

( t ) d t ( 3 : 3 )

w h e r e D

N

i s t h e D i r i c h l e t k e r n e l :

D

N

( x ) : =

N

X

n = ; N

e

i n x

=

8

>

:

s i n ( ( N +

1

2

) x )

s i n (

1

2

x )

( x = 2 2 Z ) ,

2 N + 1 ( x

2 2 Z ) .

( 3 : 4 )

T h e D i r i c h l e t K e r n e l s D

2

, D

5

, D

1 0

, c e n t e r e d a t 0 2 4 r e s p e c t i v e l y .

( S e e a l s o t h e g r a p h o f D

N

i n v a n R o o i j , p . 1 3 . )


19/59

D I R I C H L E T K E R N E L 1 9

P r o o f O b s e r v e f r o m ( 3 . 2 ) t h a t

( S

N

f ] ) ( x ) =

1

2

Z

;

f ( t )

N

X

n = ; N

e

i n ( x ; t )

!

d t :

F r o m ( 3 . 4 ) w e s e e t h a t D

N

2 C

2

a n d t h a t i t i s a n e v e n f u n c t i o n . T h e t h i r d e q u a l i t y i n

( 3 . 3 ) u s e s t h e s e l a s t f a c t s .

3 . 2 C r i t e r i u m f o r c o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s i n o n e p o i n t

3 . 3 W e w i l l n e e d t h e f o l l o w i n g t h r e e e a s y c o n s e q u e n c e s o f ( 3 . 4 ) :

1

2

Z

;

D

N

( t ) d t = 1 ( 3 : 5 )

j D

N

( x ) j

1

j s i n (

1

2

x ) j

j x j

( 0 0 s u c h t h a t

j f ( a + t ) ; f ( a ) j M j t j

f o r ; < t < : ( 3 : 8 )

( b ) f i s c o n t i n u o u s i n a a n d a l s o r i g h t a n d l e f t d i e r e n t i a b l e i n a .

T h e n w e h a v e :

l i m

N ! 1

( S

N

f ] ) ( a ) = f ( a ) :

R e m a r k C o n d i t i o n ( a ) o f T h e o r e m 3 . 4 i m p l i e s c o n t i n u i t y o f f i n a . F u n c t i o n s f s a t i s f y i n g

c o n d i t i o n ( a ) a r e s a i d t o b e H o l d e r c o n t i n u o u s o f o r d e r i n a . ( T h e t e r m i n o l o g y L i p s c h i t z

c o n t i n u o u s o f o r d e r i s e q u a l l y c o m m o n . ) I f ( b ) h o l d s t h e n

j f ( a + t ) ; f ( a ) j

j t j

i s b o u n d e d f o r t

i n s o m e n e i g h b o u r h o o d o f 0 s i n c e i t h a s a l i m i t a s t

# 0 a n d a s t

" 0 . T h u s i f ( b ) h o l d s t h e n

( a ) i s s a t i s e d w i t h = 1 . S o , w e o n l y n e e d t o p r o v e t h e T h e o r e m u n d e r c o n d i t i o n ( a ) .

P r o o f o f T h e o r e m 3 . 4 A s s u m e c o n d i t i o n ( a ) . L e t " > 0 . W e w a n t t o s h o w t h a t

j S

N

( a ) ; f ( a ) j < " f o r N s u c i e n t l y l a r g e . I t f o l l o w s f r o m ( 3 . 3 ) , ( 3 . 5 ) a n d ( 3 . 7 ) t h a t

S

N

( a ) ; f ( a ) =

1

2

Z

;

( f ( a + t ) ; f ( a ) ) D

N

( t ) d t

=

Z

;

g

a +

( t ) e

i N t

d t ;

Z

;

g

a ;

( t ) e

; i N t

d t ( 3 : 9 )

w h e r e

g

a

( t ) =

1

2

e

1

2

i t

2 i s i n (

1

2

t )

( f ( a + t ) ; f ( a ) ) ( 0


20/59

2 0 C H A P T E R 3

3 . 5 T h e o r e m L e t f 2 L

1

2

, l e t a 2 R , a n d s u p p o s e t h a t t h e l i m i t s

f ( a

+

) : = l i m

x # a

f ( x ) f ( a

;

) : = l i m

x " a

f ( x )

e x i s t . S u p p o s e t h a t o n e o f t h e t w o f o l l o w i n g c o n d i t i o n s h o l d s :

( a ) T h e r e a r e M > 0 s u c h t h a t

j f ( a + t )

; f ( a

+

)

j M t

a n d

j f ( a

; t )

; f ( a

;

)

j M t

f o r 0 < t < :

( b ) f i s r i g h t a n d l e f t d i e r e n t i a b l e i n a i n t h e s e n s e t h a t t h e f o l l o w i n g t w o l i m i t s e x i s t :

f

0

( a

+

) : = l i m

t # 0

f ( a + t ) ; f ( a

+

)

t

f

0

( a

;

) : = l i m

t # 0

f ( a ; t ) ; f ( a

;

)

; t

:

T h e n w e h a v e :

l i m

N ! 1

( S

N

f ] ) ( a ) =

1

2

( f ( a

+

) + f ( a

;

) ) :

P r o o f S i n c e D

N

i s a n e v e n f u n c t i o n , w e c o n c l u d e f r o m ( 3 . 3 ) t h a t

S

N

( a ) =

1

2

Z

;

1

2

( f ( a + t ) + f ( a ; t ) ) D

N

( t ) d t :

H e n c e

S

N

( a )

;

1

2

( f ( a

+

) + f ( a

;

) ) =

1

2

Z

;

f ( a + t ) + f ( a ; t )

2

;

f ( a

+

) + f ( a

;

)

2

D

N

( t ) d t :

N o w p u t g ( t ) : =

1

2

( f ( a + t ) + f ( a ; t ) ) f o r 0


21/59


E x . 3 . 7 L e t f b e t h e s a w t o o t h f u n c t i o n d e n e d i n E x e r c i s e 1 . 2 5 , f o r m u l a ( 1 . 1 2 ) . P u t

f ( x ) : = 0 f o r x 2 2 Z .

( a ) P r o v e t h a t

f ( x ) = l i m

N ! 1

( S

N

f ] ) ( x ) = 2

1

X

n = 1

s i n ( n x )

n

( 3 : 1 1 )

w i t h p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e f o r a l l x 2 R .

( b ) S h o w b y s u b s t i t u t i o n o f x : = = 2 o r x : = = 4 i n ( 1 . 1 2 ) , ( 3 . 1 1 ) t h a t

4

= 1 ;

1

3

+

1

5

;

1

7

+ ( 3 : 1 2 )

p

8

= 1 +

1

3

;

1

5

;

1

7

+

1

9

+

1

1 1

;

1

1 3

; : : : : ( 3 : 1 3 )

E x . 3 . 8 L e t 0 < < . L e t f b e a 2 - p e r i o d i c f u n c t i o n w h i c h i s g i v e n o n

; ] b y :

f ( x ) : =

1 i f x 2 ; ] ,

0 i f


22/59

2 2 C H A P T E R 3

3 . 1 1 L e m m a L e t

( x ) : = c o t (

1

2

x ) ; 2 x

; 1

( 0


23/59


I n e q u a l i t y ( 1 ) w e u s e d i n t e g r a t i o n b y p a r t s . I n e q u a l i t y ( 2 ) w e m a j o r i z e d j

R

1

0

( x +

n )

; 2

c o s ( x ) d x j b y n

; 2

a n d w e u s e d t h a t

P

N

n = 1

n

; 2

= O ( 1 ) a s N ! 1 . I n e q u a l i t y

( 3 ) w e u s e d t h a t

P

N

n = 1

n

; 1

= l o g N +

O ( 1 ) a s N

! 1 ( b y c o m p a r i n g w i t h t h e c o r r e -

s p o n d i n g R i e m a n n i n t e g r a l , s e e t h e d e n i t i o n o f E u l e r ' s c o n s t a n t i n S y l l . A n a l y s e A 3 ) .

E x . 3 . 1 4 L e t : ; ] ! R b e c o n t i n u o u s w i t h o n l y n i t e l y m a n y z e r o s . D e n e t h e

l i n e a r f u n c t i o n a l L : C

2

! C b y

L ( f ) : =

1

2

Z

;

f ( x ) ( x ) d x ( f 2 C

2

) : ( 3 : 1 6 )

P r o v e t h a t L i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l w i t h o p e r a t o r n o r m

k L k = k k

1

=

1

2

Z

;

j ( x ) j d x : ( 3 : 1 7 )

3 . 1 5 T h e o r e m F o r a l l x 2 R t h e r e e x i s t s f 2 C

2

s u c h t h a t t h e s e q u e n c e

;

( S

N

f ] ) ( x )

1

N = 0

d o e s n o t c o n v e r g e t o a n i t e l i m i t .

P r o o f W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y t a k e x : = 0 . D e n e t h e l i n e a r f u n c t i o n a l

L

N

: C

2

! C b y

L

N

( f ) : = ( S

N

f ] ) ( 0 ) =

1

2

Z

;

f ( t ) D

N

( t ) d t :

I t f o l l o w s f r o m E x e r c i s e 3 . 1 4 t h a t k L

N

k = k D

N

k

1

, a n d i t f o l l o w s n e x t f r o m E x e r c i s e 3 . 1 3

t h a t t h e s e q u e n c e ( k L

N

k )

1

N = 0

i s u n b o u n d e d . N o w s u p p o s e t h a t l i m

N ! 1

L

N

( f ) e x i s t s f o r

a l l f 2 C

2

. T h e n , f o r a l l f 2 C

2

, t h e s e q u e n c e ( L

N

( f ) )

1

N = 0

i s b o u n d e d . H e n c e , b y t h e

B a n a c h - S t e i n h a u s t h e o r e m ( s e e s y l l . F u n c t i o n a a l a n a l y s e , x 5 . 5 ) , t h e s e q u e n c e ( k L

N

k )

1

N = 0

i s b o u n d e d . T h i s i s a c o n t r a d i c t i o n .

E x . 3 . 1 6 L e t f 2 L

1

2

a n d l e t a 2 R . P r o v e t h a t f o r t h e t w o s e q u e n c e s

;

( S

N

f ] ) ( a )

1

N = 0

a n d

1

Z

;

f ( a + t )

s i n ( N t )

t

d t N = 0 1 2 : : :

p r e c i s e l y o n e o f t h e f o l l o w i n g t w o a l t e r n a t i v e s h o l d s :

( a ) B o t h s e q u e n c e s c o n v e r g e w i t h t h e s a m e l i m i t .

( b ) B o t h s e q u e n c e s d i v e r g e .

C o n c l u d e t h a t , f o r f s a t i s f y i n g o n e o f t h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 3 . 5 , w e h a v e

1

2

( f ( a

+

) + f ( a

;

) ) =

; 1

l i m

N ! 1

Z

;

f ( a + t )

s i n ( N t )

t

d t : ( 3 : 1 8 )

E x . 3 . 1 7 P r o v e , b y u s i n g ( 3 . 1 8 ) , t h a t

Z

1

0

s i n x

x

d x = l i m

N ! 1

Z

0

s i n ( N t )

t

d t =

1

2

: ( 3 : 1 9 )


24/59

2 4 C H A P T E R 3

3 . 4 I n j e c t i v i t y o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m

3 . 1 8 I n t h i s s u b s e c t i o n w e w i l l p r o v e t h a t a f u n c t i o n f 2 L

1

2

w h i c h h a s a l l i t s F o u r i e r

c o e c i e n t s

b

f ( n ) = 0 , i s a l m o s t e v e r y w h e r e e q u a l t o z e r o . F o r t h e c a s e t h a t f 2 L

2

2

, t h i s

w a s a l r e a d y i m p l i e d b y P a r s e v a l ' s i d e n t i t y ( 1 . 9 ) . H o w e v e r , P a r s e v a l ' s i d e n t i t y d e p e n d e d

o n T h e o r e m 1 . 1 1 , f o r w h i c h w e p o s t p o n e d t h e p r o o f . L e t u s r s t c o n s i d e r t h e c a s e t h a t

f 2 C

2

.

P r o p o s i t i o n L e t f 2 C

2

s u c h t h a t

b

f ( n ) = 0 f o r a l l n 2 Z . T h e n f = 0 .

P r o o f L e t F ( x ) : =

R

x

0

f ( t ) d t . T h e n F i s a C

1

- f u n c t i o n o n R a n d , b e c a u s e

b

f ( 0 ) = 0 ,

t h e f u n c t i o n F i s 2 - p e r i o d i c . T h u s F 2 C

1

2

. S i n c e F

0

= f , w e h a v e

b

f ( n ) = i n

b

F ( n ) ( s e e

( 2 . 2 ) ) . H e n c e

b

F ( n ) = 0 i f n 6= 0 . I t f o l l o w s t h a t ( S

N

F ] ) ( x ) =

b

F ( 0 ) . B y T h e o r e m 3 . 4 w e

c o n c l u d e t h a t F ( x ) = l i m

N ! 1

( S

N

F ] ) ( x ) =

b

F ( 0 ) . H e n c e f ( x ) = F

0

( x ) = 0 .

F o r t h e s i m i l a r r e s u l t i n t h e c a s e t h a t f 2 L

1

2

w e p r o c e e d a s f o l l o w s .

3 . 1 9 L e m m a L e t f

2 L

1

2

s u c h t h a t

b

f ( 0 ) = 0 . P u t F ( x ) : =

R

x

0

f ( t ) d t . T h e n F

2 C

2

a n d

b

f ( n ) = i n

b

F ( n ) .

P r o o f C o n t i n u i t y o f F i s a c o n s e q u e n c e o f t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m , a p p l i e d

t o t h e f u n c t i o n s f

x t

, w h e r e

x t

i s t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e i n t e r v a l x x + t )

a n d l e t t i n g t

! 0 . N o w w e c o m p u t e f o r n

6= 0 :

b

F ( n ) =

Z

2

0

Z

x

0

f ( t ) e

; i n x

d t d x =

Z

2

0

Z

2

t

e

; i n x

d x f ( t ) d t

=

Z

2

0

e

; i n t

; 1

i n

f ( t ) d t =

1

i n

(

b

f ( n ) ;

b

f ( 0 ) ) =

1

i n

b

f ( n ) :

W e u s e d F u b i n i ' s t h e o r e m f o r t h e s e c o n d e q u a l i t y .

R e m a r k I t i s a n o n t r i v i a l r e s u l t o f L e b e s g u e t h a t f o r a l m o s t a l l x F

0

( x ) e x i s t s a n d

e q u a l s f ( x ) . ( s e e R u d i n , T h e o r e m 8 . 1 7 )

3 . 2 0 T h e o r e m ( a ) L e t f 2 L

1

2

s u c h t h a t

b

f ( n ) = 0 f o r a l l n 2 Z . T h e n f = 0 a . e . .

( b ) L e t f g 2 L

1

2

s u c h t h a t

b

f ( n ) = b g ( n ) f o r a l l n 2 Z . T h e n f = g a . e . .

P r o o f I t i s s u c i e n t t o p r o v e p a r t ( a ) . L e t F b e a s i n L e m m a 3 . 1 9 . T h e n i t f o l l o w s

t h a t F 2 C

2

a n d t h a t

b

F ( n ) = 0 f o r n 6= 0 . T h u s F ;

b

F ( 0 ) = 0 b y P r o p o s i t i o n 3 . 1 8 .

S i n c e F ( 0 ) = 0 , w e c o n c l u d e t h a t F = 0 . I t f o l l o w s t h a t

R

b

a

f ( t ) d t = 0 f o r e v e r y c h o i c e o f

a b 2 R . B u t t h e n

R

E

f ( t ) d t = 0 f o r ( b o u n d e d ) o p e n a n d a l s o f o r ( b o u n d e d ) c l o s e d s e t s .

B y r e g u l a r i t y o f L e b e s g u e m e a s u r e , w e c o n c l u d e t h a t

R

E

f d t = 0 f o r e v e r y B o r e l s e t . I t

f o l l o w s t h a t f = 0 a . e . .

3 . 2 1 C o r o l l a r y ( a ) T h e l i n e a r s p a n o f t h e f u n c t i o n s t

7! e

i n t

( n

2 Z ) i s d e n s e i n L

2

2


2

.

( b ) T h e f u n c t i o n s t 7! e

i n t

( n 2 Z ) f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

2

.

P r o o f A p p l y D e n i t i o n - T h e o r e m 1 . 1 2 t o t h e c a s e f 2 L

2

2

o f T h e o r e m 3 . 2 0 .


25/59


S o w e h a v e n o w p r o v e d p a r t s ( b ) a n d ( c ) o f T h e o r e m 1 . 1 1 , t h e r e f o r e w e h a v e a l s o

d e n i t e l y e s t a b l i s h e d a l l r e s u l t s i n s u b c h a p t e r 1 . 2 w h i c h d e p e n d e d o n T h e o r e m 1 . 1 1 , s e e

t h e s u m m a r i z i n g x 1 . 1 8 . I n t h e n e x t c h a p t e r w e w i l l a l s o p r o v e p a r t ( a ) o f T h e o r e m 1 . 1 1 .

A s a c o r o l l a r y o f t h e i n j e c t i v i t y r e s u l t o f T h e o r e m 3 . 2 0 w e c a n a l s o g i v e t h e f o l l o w i n g

a d d i t i o n t o T h e o r e m 2 . 8 .

3 . 2 2 C o r o l l a r y L e t f 2 L

1

2

. I f

b

f 2 ̀

1

( Z ) t h e n f 2 C

2

a n d , f o r a l m o s t a l l x 2 R :

f ( x ) =

1

X

n = ; 1

b

f ( n ) e

i n x

: ( 3 : 2 0 )

T h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 3 . 2 0 ) c o n v e r g e s a b s o l u t e l y a n d u n i f o r m l y f o r x 2 R .

P r o o f D e n o t e t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 3 . 2 0 ) b y g ( x ) . T h e n , b y 2 . 8 , g 2 C

2

a n d b g ( n ) =

b

f ( n ) f o r a l l n 2 Z . N o w a p p l y T h e o r e m 3 . 2 0 ( b ) .

3 . 5 U n i f o r m c o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s

W e w i l l n o w c o n s i d e r a n a n a l o g u e o f T h e o r e m 3 . 4 s u c h t h a t f s a t i s e s n o t j u s t a H o l d e r

c o n d i t i o n a t o n e p o i n t , b u t a u n i f o r m H o l d e r c o n d i t i o n o n s o m e i n t e r v a l ( a b ) . T h e n i t

w i l l t u r n o u t t h a t S

N

f ] c o n v e r g e s u n i f o r m l y t o f o n e a c h c o m p a c t s u b s e t o f ( a b ) . F o r

f 2 C

2

2

t h i s r e s u l t i s a l m o s t i m m e d i a t e :

3 . 2 3 P r o p o s i t i o n L e t f 2 C

2

2

. T h e n l i m

N ! 1

S

N

f ] = f , u n i f o r m l y o n R .

P r o o f I t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 2 . 5 ( a ) t h a t

b

f ( n ) = o ( j n j

; 2

) a s j n j ! 1 . N o w a p p l y

C o r o l l a r y 3 . 2 2 .

3 . 2 4 T h e f o l l o w i n g l e m m a q u i c k l y f o l l o w s f r o m t h e w e l l - k n o w n A r z e l a - A s c o l i t h e o r e m

( s e e f o r i n s t a n c e A . B r o w d e r , M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s , S p r i n g e r , 1 9 9 6 , T h e o r e m 6 . 7 1 a n d

C o r o l l a r y 6 . 7 3 ) .

L e m m a L e t ( X d ) b e a c o m p a c t m e t r i c s e t . L e t (

n

)

1

n = 1

b e a s e q u e n c e o f c o m p l e x -

v a l u e d f u n c t i o n s o n X w h i c h i s e q u i c o n t i n u o u s o n X , i . e . , s u c h t h a t , f o r e a c h " > 0 , t h e r e

i s a > 0 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t j

n

( x ) ;

n

( y ) j < " f o r a l n 2 N i f x y 2 X a n d

d ( x y ) < . S u p p o s e t h a t l i m

n ! 1

n

( x ) = 0 f o r x 2 X . T h e n l i m

n ! 1

n

= 0 u n i f o r m l y

o n X .

P r o o f S u p p o s e t h a t t h e c o n v e r g e n c e

n

! 0 i s n o t u n i f o r m o n X . T h e n t h e r e e x i s t " > 0 ,

a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f p o s i t i v e i n t e g e r s n

1

n

2

: : : , a n d a s e q u e n c e x

1

x

2

: : : i n X s u c h

t h a t j

n

k

( x

k

) j " . B y c o m p a c t n e s s o f X t h e s e q u e n c e x

1

x

2

: : : h a s a s u b s e q u e n c e

c o n v e r g i n g t o s o m e x

0

2 X . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t t h e s e q u e n c e

x

1

x

2

: : : a l r e a d y c o n v e r g e s t o x

0

. T h e n

j

n

k

( x

k

) j j

n

k

( x

k

) ;

n

k

( x

0

) j + j

n

k

( x

0

) j :

B y t h e a s s u m p t i o n s , t h e r e e x i s t s K 2 N s u c h t h a t j

n

k

( x

0

) j


26/59


27/59


3 . 6 T h e G i b b s p h e n o m e n o n

T h e a p p r o x i m a t i o n o f a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s 2 - p e r i o d i c f u n c t i o n ( f o r i n s t a n c e t h e s a w -

t o o t h f u n c t i o n ) b y i t s p a r t i a l F o u r i e r s u m s h o w s a r e m a r k a b l e \ o v e r s h o o t i n g " b e h a v i o u r

n e a r t h e j u m p s o f t h e f u n c t i o n . T h i s b e h a v i o u r i s c a l l e d t h e G i b b s p h e n o m e n o n .

3 . 2 8 L e t t h e 2 - p e r i o d i c f u n c t i o n f b e g i v e n b y f ( x ) : = ; x f o r 0 < x


28/59

2 8 C H A P T E R 3

A l s o , f o r 0 < < , w e h a v e

l i m

N ! 1

s u p

0 < x

( S

N

( x ) ; f ( x ) )

= 2 S i ( ) ; ( 3 : 2 6 )

l i m

N ! 1

i n f

; x


29/59



E x . 3 . 3 2 P r o v e t h a t

s i n x +

1

3

s i n 3 x +

1

5

s i n 5 x + = = 4 i f 0 < x < .

H i n t U s e E x e r c i s e 3 . 8 o r u s e ( 1 . 1 2 ) , ( 3 . 1 1 ) .

E x . 3 . 3 3 L e t

2 L

1

2

. D e n e t h e l i n e a r f u n c t i o n a l L :

C

2

! C b y ( 3 . 1 6 ) . P r o v e t h a t L

i s a b o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l w i t h n o r m g i v e n b y ( 3 . 1 7 ) .

H i n t U s e E x e r c i s e s 3 . 1 4 a n d 1 . 3 2 .

E x . 3 . 3 4 P r o v e t h a t D

N

( x ) c a n b e w r i t t e n a s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e 2 N i n c o s (

1

2

x ) .

E x . 3 . 3 5 P r o v e t h a t b e t w e e n e a c h t w o s u c c e s s i v e z e r o s o f D

N

( x ) t h e r e i s p r e c i s e l y o n e

z e r o o f D

0

N

( x ) .

E x . 3 . 3 6 1 ) L e t f a

n

g

1

1

, f a

n

g

1

1

b e s e q u e n c e s o f c o m p l e x n u m b e r s . P r o v e ( f o r N =

1 2 : : : ) t h e S u m m a t i o n b y p a r t s f o r m u l a

N

X

n = 1

a

n

( b

n + 1

; b

n

) = a

N + 1

b

N + 1

; a

1

b

1

;

N

X

n = 1

b

n + 1

( a

n + 1

; a

n

) :

2 ) W r i t e d o w n a v e r s i o n o f t h i s f o r m u l a f o r t h e c a s e w h e r e b

n

=

P

n

j = 1

c

j

.

3 ) G i v e a d i r e c t p r o o f o f t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i n e x e r c i s e 3 . 3 2 ( w i t h o u t u s i n g

t h a t t h i s i s a F o u r i e r s e r i e s o f a s m o o t h f u n c t i o n )

4 ) S h o w t h a t t h e s e r i e s

1

X

n = 2

s i n n x

l o g n

c o n v e r g e s p o i n t w i s e f o r e v e r y x .

5 ) W h a t c a n y o u s a y a b o u t u n i f o r m c o n v e r g e n c e ?


30/59

3 0

4 T h e F e j e r k e r n e l

4 . 1 C e s a r o c o n v e r g e n c e

4 . 1 D e n i t i o n L e t ( a

n

)

1

n = 1

b e a s e q u e n c e o f c o m p l e x n u m b e r s . I f t h e s e q u e n c e d o e s

n o t h a v e a l i m i t t h e n w e m a y t r y t o n d a l i m i t i n a g e n e r a l i z e d s e n s e b y c o n s i d e r i n g a

n e w s e q u e n c e ( b

n

)

1

n = 1

w i t h b

n

b e i n g t h e m e a n o f t h e r s t n e l e m e n t s o f t h e s e q u e n c e ( a

k

) ,

i . e . ,

b

n

: = n

; 1

( a

1

+ a

2

+ + a

n

) :

I f a : = l i m

n ! 1

b

n

e x i s t s a s a n i t e l i m i t t h e n w e s a y t h a t t h e s e q u e n c e ( a

n

) i s C e s a r o

c o n v e r g e n t w i t h C e s a r o l i m i t a . I n t h a t c a s e w e u s e t h e n o t a t i o n

( C ) l i m

n ! 1

a

n

= a : ( 4 : 1 )

S i m i l a r l y , w e s a y t h a t t h e s e r i e s

P

1

n = 1

a

n

i s C e s a r o c o n v e r g e n t w i t h C e s a r o s u m s i f

t h e s e q u e n c e ( s

n

) o f p a r t i a l s u m s s

n

: =

P

n

k = 1

a

k

i s C e s a r o c o n v e r g e n t w i t h C e s a r o l i m i t s .

I n t h a t c a s e w e u s e t h e n o t a t i o n

( C )

1

X

n = 1

a

n

= s : ( 4 : 2 )

M o r e g e n e r a l l y , C e s a r o c o n v e r g e n c e o f t h e s u m

P

1

n = n

0

a

n

w i t h C e s a r o s u m s m e a n s C e s a r o

c o n v e r g e n c e o f t h e s e q u e n c e ( s

n

)

1

n = n

0

o f p a r t i a l s u m s s

n

: =

P

n

k = n

0

a

k

t o C e s a r o l i m i t s ,

i . e . , t h a t l i m

n ! 1

( n

; n

0

+ 1 )

; 1

( s

n

0

+

+ s

n

) = s .

4 . 2 E x a m p l e

T h e s e q u e n c e 1 0 1 0 1 0 : : : d o e s n o t c o n v e r g e b u t h a s C e s a r o l i m i t

1

2

.

T h e s u m 1 ; 1 + 1 ; 1 + 1 ; 1 + d o e s n o t c o n v e r g e b u t h a s C e s a r o s u m

1

2

.

E x . 4 . 3 S h o w t h e f o l l o w i n g . T h e s e q u e n c e a

0

a

1

a

2

: : : h a s C e s a r o l i m i t a i t h e

s e q u e n c e a

1

a

2

: : : h a s C e s a r o l i m i t a .

C o n c l u d e t h a t i t i s n o t n e c e s s a r y i n t h e n o t a t i o n ( 4 . 1 ) t o m e n t i o n w h e r e t h e s e q u e n c e ( a

n

)

s t a r t s .

4 . 4 P r o p o s i t i o n I f t h e s e q u e n c e ( a

n

)

1

n = 1

h a s l i m i t a t h e n i t h a s a l s o C e s a r o l i m i t a .

P r o o f L e t M N 2 N w i t h M < N . F o r n N w e h a v e

j n

; 1

( a

1

+ + a

n

) ; a j n

; 1

( j a

1

; a j + + j a

M

; a j ) + n

; 1

( j a

M + 1

; a j + + j a

n

; a j )

M N

; 1

s u p

k = 1 2 : : :

j a

k

; a j + s u p

k M + 1

j a

k

; a j :

L e t " > 0 . B e c a u s e t h e s e q u e n c e ( a

n

) c o n v e r g e s , w e h a v e A : = s u p

k = 1 2 : : :

j a

k

; a j M :

C h o o s e N > M s u c h t h a t N

; 1

M A


31/59

F E J E R K E R N E L 3 1

E x . 4 . 5 G i v e a n e x a m p l e o f a n u n b o u n d e d s e q u e n c e w h i c h i s C e s a r o c o n v e r g e n t .

E x . 4 . 6 W h i c h o f t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e t r u e ?

( i ) I f ( C ) l i m

n ! 1

a

n

= a t h e n ( C ) l i m

n ! 1

( a

n

)

3

= a

3

.

( i i ) I f ( C )

P

1

n = 1

a

n

= s t h e n ( C ) l i m

n ! 1

a

n

= 0 .

4 . 2 D e n i t i o n o f F e j e r k e r n e l

4 . 7 I n ( 3 . 2 ) w e i n t r o d u c e d t h e p a r t i a l F o u r i e r s u m s S

n

f ] o f a f u n c t i o n f

2 L

1

2

. I n

C h a p t e r 3 w e e x a m i n e d c o n v e r g e n c e o f t h e s e q u e n c e

;

( S

N

f ] ) ( x )

1

N = 0

f o r x e d x . M o r e

g e n e r a l l y w e m a y e x a m i n e C e s a r o c o n v e r g e n c e o f t h i s s e q u e n c e , i . e . , c o n v e r g e n c e o f t h e

s e q u e n c e

;

(

N

f ] ) ( x )

1

N = 0

, w h e r e

N

f ] : =

S

0

f ] + S

1

f ] +

+ S

N

f ]

N + 1

( f 2 L

1

2

N = 0 1 2 : : : ) : ( 4 : 3 )

T h e f u n c t i o n

N

f ] i s c a l l e d t h e N

t h

C e s a r o m e a n o f f .

4 . 8 D e n i t i o n - P r o p o s i t i o n T h e f u n c t i o n i n ( 4 . 3 ) c a n b e w r i t t e n a s

(

N

f ] ) ( x ) = ( f K

N

) ( x ) =

1

2

Z

;

f ( t ) K

N

( x ; t ) d t =

1

2

Z

;

f ( x + t ) K

N

( t ) d t ( 4 : 4 )

w h e r e K

N

( x ) i s t h e F e j e r k e r n e l :

K

N

( x ) : =

1

N + 1

N

X

n = 0

D

n

( x ) =

N

X

n = ; N

N + 1

; j n

j

N + 1

e

i n x

=

8

>

:

1

N + 1

s i n (

1

2

( N + 1 ) x )

s i n (

1

2

x )

2

( x = 2 2 Z ) ,

N + 1 ( x

2 2 Z ) .

( 4 : 5 )

P r o o f T h e s e c o n d e q u a l i t y i n ( 4 . 5 ) f o l l o w s f r o m t h e d e n i t i o n o f D

n

( x ) i n ( 3 . 4 ) . F r o m

( 3 . 4 ) w e g e t a l s o t h a t

K

N

( x ) =

s i n (

1

2

x ) + s i n (

3

2

x ) + s i n ( ( N +

1

2

) x )

( N + 1 ) s i n (

1

2

x )

:

N o w m u l t i p l y n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o f t h i s l a s t e x p r e s s i o n b y s i n (

1

2

x ) a n d u s e t h a t

s i n (

1

2

x ) s i n ( ( k +

1

2

) x ) =

1

2

( c o s ( k x ) ; c o s ( ( k + 1 ) x ) ) a n d 1 ; c o s ( ( N + 1 ) x ) = 2 s i n

2

(

1

2

( N + 1 ) x ) :

T h i s p r o v e s t h e l a s t e q u a l i t y i n ( 4 . 5 ) . F r o m ( 4 . 5 ) w e s e e t h a t K

N

2 C

2

a n d t h a t i t i s a n

e v e n f u n c t i o n . T h e t h i r d e q u a l i t y i n ( 4 . 4 ) u s e s t h e s e l a s t f a c t s .


32/59

3 2 C H A P T E R 4

T h e F e j e r K e r n e l s K

8

, K

1 6

, c e n t e r e d a t 0 4 r e s p e c t i v e l y .

4 . 3 C e s a r o c o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s

4 . 9 W e n e e d t h e f o l l o w i n g t h r e e e a s y c o n s e q u e n c e s o f ( 4 . 5 ) :

K

N

( x ) 0 ( x 2 R ) ( 4 : 6 )

1

2

Z

;

K

N

( t ) d t = 1 ( 4 : 7 )

K

N

( x )

1

( N + 1 ) s i n

2

(

1

2

x )

2

( N + 1 ) x

2

( 0


33/59

F E J E R K E R N E L 3 3

P r o o f L e t " > 0 . W e w a n t t o s h o w t h a t j

N

( a ) ; f ( a ) j < " f o r N s u c i e n t l y l a r g e . I t

f o l l o w s f r o m ( 4 . 4 ) a n d ( 4 . 7 ) t h a t

N

( a )

; f ( a ) =

1

2

Z

;

( f ( a + t )

; f ( a ) ) K

N

( t ) d t :

F o r a n y 2 0 ) w e s p l i t u p t h e a b o v e i n t e g r a l a s

R

;

=

R

j t j <

+

R


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3 4 C H A P T E R 4

C o r o l l a r y ( W e i e r s t r a s s ) T h e s p a c e o f t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s i s d e n s e i n C

2

w i t h

r e s p e c t t o t h e n o r m k : k

1

.

P r o o f L e t f 2 C

2

. L e t " > 0 . T h e n , b y t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e s t a t e d i n T h e o r e m

4 . 1 0 , w e c a n t a k e N s u c h t h a t k

N

f ] ; f k

1

< " . N o w o b s e r v e t h a t

N

f ] i s a t r i g o n o m e t r i c

p o l y n o m i a l .

4 . 1 4 C o r o l l a r y L e t f 2 L

1

2

a n d a 2 R . S u p p o s e t h a t f i s c o n t i n u o u s i n a . I f

l i m

N ! 1

( S

N

f ] ) ( a ) e x i s t s t h e n t h i s l i m i t i s e q u a l t o f ( a ) .

P r o o f B y P r o p o s i t i o n 4 . 4 t h e l i m i t i s e q u a l t o l i m

N ! 1

(

N

f ] ) ( a ) a n d h e n c e , b y T h e o r e m

4 . 1 0 t o f ( a ) .

4 . 1 5 R e m a r k O b s e r v e t h a t

N

f ] : = f K

N

( f 2 L

1

2

) , w h e r e K

N

( N = 0 1 2 : : : )

i s a n e v e n n o n n e g a t i v e f u n c t i o n b e l o n g i n g t o L

1

2

w i t h p r o p e r t i e s ( 2 )

; 1

R

;

K

N

( t ) d t = 1

a n d :

F o r e a c h 2 ( 0 ) : l i m

N ! 1

K

N

( x ) = 0 u n i f o r m l y f o r j x j .

O b s e r v e t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 0 o n l y u s e s t h e s e p r o p e r t i e s o f K

N

a n d

N

f ] .

H e n c e T h e o r e m 4 . 1 0 r e m a i n s v a l i d f o r a n y c h o i c e o f t h e f u n c t i o n s K

N

s a t i s f y i n g t h e a b o v e

p r o p e r t i e s .

E x . 4 . 1 6 L e t f 2 L

1

2

. S h o w t h a t l i m

N ! 1

N

f ] = f i n L

1

2

.

H i n t S h o w t h a t l i m

N ! 1

k

N

f ] ; f k

1

= 0 f o r f 2 C

2

a n d u s e t h a t C

2

i s d e n s e i n L

1

2

.

4 . 4 A n o t h e r a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m o f W e i e r s t r a s s

C o r o l l a r y 4 . 1 3 i s a n a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m i n v o l v i n g t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s . F r o m

t h i s w e c a n d e r i v e a n e v e n m o r e f a m o u s a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m o f W e i e r s t r a s s i n v o l v i n g

o r d i n a r y p o l y n o m i a l s . ( T h e r e e x i s t m a n y o t h e r p r o o f s o f t h i s t h e o r e m . ) A s a t o o l f o r t h e

p r o o f w e i n t r o d u c e C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s .

4 . 1 7 D e n i t i o n - P r o p o s i t i o n F o r e a c h n o n n e g a t i v e i n t e g e r n t h e r e i s a u n i q u e p o l y -

n o m i a l T

n

i n o n e v a r i a b l e s u c h t h a t

T

n

( c o s t ) = c o s ( n t ) ( t 2 R ) : ( 4 : 1 0 )

T h e p o l y n o m i a l T

n

h a s d e g r e e n . I t i s c a l l e d a C h e b y s h e v p o l y n o m i a l ( o f t h e r s t k i n d ) .

ko or winder

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