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Kobe University Repository : Kernel
タイトルTit le 青本和彦氏の業績について
著者Author(s) 野海, 正俊 / 吉田, 正章
掲載誌・巻号・ページCitat ion 数学,49(3):266-272
刊行日Issue date 1997-07-30
資源タイプResource Type Journal Art icle / 学術雑誌論文
版区分Resource Version publisher
権利Rights
DOI
JaLCDOI
URL http://www.lib.kobe-u.ac.jp/handle_kernel/90003251
PDF issue: 2020-05-31
266
青本和彦氏の業績について
野海正俊
吉田正章
青本和彦氏の超幾何関数に関係した仕事は青本氏自身の書かれた論説「超幾何関数…その過去，
現在，そして…J(数学， 45(1993)， 208-220)及び著書「超幾何関数論J(シュプリンガー東京， 1994，
42
青本和彦氏の業績について 267
故喜多通武氏との共著)に詳しく説明しであるので，ここでは氏が何を問題にしたのかを平易な言
葉で非常に簡単に述べる.概念の正確な定義や定理のきちんとした定式化などは一切行なわない.
また以下の筋から外れた氏の仕事もたくさんある.
誰でも知っている(知らなくてはならぬ)Euler-Gaussの超幾何級数:
(1) ∞(a， n) (b， n)
F(α， b， c ; x) = L: ~o (C， n) (1， η)
ここで(a，n) =α(α+1)…(α+n-l)， から話を始める.この級数で定義される関数を「元祖超幾何
関数」と称する.この関数は変数 (a，b， c)に関して線形 (3項)差分方程式を満たす.例えばGauss
の隣接関係式
α(c-b) (2) F(a，b，c; x)=F(a，b+1，c+1; x)一一一一一一f-xF(α+1，b+1， c+2 ; x)
c(c+l)
がそうである.またこの関数は変数 Z に関して超幾何微分方程式と言われる 2階線形微分方程式
( 3 ) x(1-x)会吋-(a+b+l)x}表。by=O
を満たす. (元祖超幾何関数のいろいろな性質については例えば，犬井鉄郎著「特殊関数J(岩波，
1962)を参照.)これらのことを使って，古来多くの重要な研究がなされてきた.そして近年この元
祖超幾何関数の一般化が色々な場面で登場するよ うになったので，それらについても知りたいこと
が山程ある.
さて上の級数表示を使えばこれらの差分方程式や微分方程式を計算によって確かめることが出来
るが，何故超幾何関数がそのような方程式を満たすのかの根源的理由を知らなければ，種々の一般
化された超幾何関数について対応することをやろうとしても見通しが悪くてどうにもならぬ.青本
氏はその根源的理由を， Euler積分表示
r(c[l..a-l (4) F(a，b，c; x)= nl < ~ ~ ' .¥ I ua-1(1-u)C-a-l(1_ux)-bdu r(α)r(c一α))0
に求めた.そもそも積分(測度論で出て くるやつじゃなくて幾何で出てくるやつ)とはひどく大雑
把に言うと，鎖と形式の pairingであり，ホモロ ジ一群と (deRham) コホモロジ一群の dual-
pairingであった.そう思って上の積分表示をみると，形式が一価でないので，学部で普通に習う
ものとは少しだけ違う. I多価関数の積分Jということを真面目に考えなくてはいけない.そう考え
ると自然に上のような積分は「ねじれホモロジー群とねじれコホモロジ一群の dual-pairingJと解釈
できる.ここで「ねじれJとは「被積分関数(の多価性)が決める局所系 Oocallyconstant sheaf)
を係数にもつ」という形容詞である.例えば，元祖超幾何関数が線形差分方程式や線形微分方程式
を満たすことは 1次元(上記積分が線積分であることに対応)ねじれコホモロジー群の有限次元性
から，またそれらが3項関係式(微分方程式では 2階を意味する)であることはコホモロジー群の
次元が2となることから，そして方程式の具体的な形はそのコホモロジ一群の構造(よい基底が採
れて…)から分かるのである.
青本氏はねじれコホモロジー群を集中的に研究して，基本定理を得，応用した. (論文[6J，[7J，
[8J， [10J， [16J等.)一言で言える基本定理として消滅定理がある;全部消えるんじゃなくて，大
切な次元の所を残して消えるのである.であるから知りたい大切な次元は Euler標数という安定で
計算しやすい量になるのである.応用としては，差分方程式とそれに伴う連分数展開とその収束性
43
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とか，差分方程式系の決定とか，微分方程式系の決定とか，Selberg型積分の値の算出とか沢山あ
る
もちろん彼は元祖超幾何関数でやったのではなくて，以下のようなものを扱った.それを説明す
る前に上の Euler積分表示をもう一度よく見てみる.Uも1-uも1-uxもIUの一次式」であり，
被積分関数はそれらの複素幕の積である.また乱暴な話であるが，上で黙って使ってしまったガン
マ関数 r(α)の積分表示
( 5 )印)= 1~ e-γIぬ
も似たようなものである :ここでは一次式 U の複素纂が 1とexpの肩に U の一次式が乗ってい
るものの積が積分されている.そこで彼はこういうもの両方を共に含む積分
(6) J=長削ん)Hl__-I/{ndu1̂ ---̂仇
を扱った.ここで10，/1， …，んは U 二 (U1， …，Uk) に関する一次式
(7) h=xOj+XUU1十…十XkjUk
である.彼はまた
(は川8幻) ρ介αoザA斤~1_- -f/{ndu1 ^---̂ 仇
Lは同上で qは U に関する二次式，なるものも扱った.読者はなぜ一般にあを任意の次数の U
に関する多項式として積分
( 9 ) 兵xp(ρ0)ρfl___p~ndu1 ^ 八仇
を考えないのかと思われるだろう.考えるだけなら誰でも考えられる.青本氏は上の二つの形のも
のを考えただけでなく結果を出したのである.
最後に，簡単なことだけど特筆すべきことがある.再度元祖超幾何関数の Euler積分表示に戻
る.被積分形式は U-射影直線上の点 0，1，1/ι∞ で分岐している.一方射影直線上の任意の相違
なる 4点 X1，X2， X3， X4は射影変換(一次分数変換)で上の形に変換できる (Xは4点の複比である).
超幾何関数の対称性を見るためには
(10) !(X1-U)山一1___(X4-U) a'-ldu， a1 + ---+ぬ=2
の形の積分表示を使って，見かけ上超幾何関数を 4変数 X1， X2， X3， X4の関数と思った方が都合がよ
い.射影変換の自由度を残しておくのである.元祖超幾何関数の場合は，わざわざ 4変数の関数と
思わないほうがかえって簡単かも知れないが，上に挙げた一般的な場合はん …，んに関する対称
性を保つために fを{X;J総ての変数の関数と思って計算するべしと青本氏は提唱し，実行したの
である.これは言われれば当たり前であるが，青本氏の言いだす以前はみんな理由のない normal-
izationをして見通しの悪い計算をしていたのである.筆者達も Gelfand氏達も以後これらにな
らっている.
元祖超幾何関数から出てくるもう一つの方向は qというパラメータをもっ「超幾何関数」を考え
ることである.Heineのq超幾何級数というものがある.こういったものが最近ポピュラーに
なってきたことに青本氏の q解析関連の仕事が何役も買っている.Heineの q超幾何級数2</)1は
以下で定義される:
44
(11)
青本和彦氏の業績について
ぷ (α;q)n(b; q)n 2φ1 (a， b， c ; q， x) = ~.
主o(c ; q)n(q ; q)n
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ここで (α ;q)n=(l-a) (l-aq)…(1-aqn-l) ; qはo<lql<lなる複素ノfラメ ータである.ここ
に出てきたパラメータ a，…を qa，…に置き換えて，q→lのとき (1_qa)/(1_q)→aなどと思え
ば，形式上 (11)は(1)に近づくので Heineの2Olは元祖超幾何級数の q類似であるという.こ
の級数で定義される関数も隣接関係式をもっていて，例えば(2 )に対応するものは
(1-a) (c-b) (12) 2Ol (α，b， c ; q， x)二 2φ1(G，bq，cq:q，x)+(1-c)(1 cq)2仇 (aq，bq， Cq2 ; q， x)
となる.微分方程式(3 )は q差分方程式に，Euler積分表示(4 )は fJackson積分Jとしばしば
呼ばれる離散的な和による表示に置き換わる.(3) に対応する q差分方程式は
(13) [(1-Q) (1-cq-lQ) -x(1-aQ) (1-bQ) ]y=O
である.ここで Qは(Qf)(x) =f(qx)で定義される qシフ トの作用素である.a，…を♂， … に置
き換えて (13) の q→1での極限を考えると(3 )と等価な微分方程式
(14) [(x ~ )(c-1+寸)-x(α+x ~)(b+x ~)JY=O が得られる.この形で見ると (13)がどういう意味で q類似であるかも見やすい.積分の対応物と
しては， Jackson積分と呼ばれている級数
(15) f"f(x)主主=(l-q)2f(白川.10 X n=O
l<~f(エ)与=HAf(ザ)
が重要である.この記号のもとでEuler積分表示(4)に対応する公式
(16) 2ol(qa，qb，qC;q，x)
(qa ; q)∞(qc/qa; q)∞ [l_.a-l (qu ; q)∞(qbux ; q)∞ J _.
(qC ; q)∞ )0叫 (qc-au; q)∞(ux ; q)∞ u.q叫
が成り立つ.ここで無限積 (x; q)∞= II;;'=o(1-qnx)の記号を使った.この手の無限積で q二項定
理
(ax; q)∞ーぷ (α ;q) n (17)
(x; q)回目o(q;q)n
が成立するので aを♂に置き換えれば(17) は幕開数 (1-x)-aの対応物とみなせる.また
一/月・ A(18) 九(α) 一一一ーヱー(1-q) l-a (qa ; q)∞
とすれば， (16) と(4 )の類似も明らかであろう.
q類似の側面を強調してしまったが，これが q解析の本質というわけではもちろんない.q=
e2π F日 (1mr>O)，x=e2π戸口と変数を読み替えると，qシフトは rだけの平行移動のことである.
だから，楕円関数や O関数が至る所に現れるのは自然の成り行きである.q差分方程式は z変数
の関数の r方向の変換性を記述するものであり，この種の関数方程式の解で Z変数で見ると超幾
何関数の姿を借りて出現するものがあるーというのが正しい見方と言うべきだろう.Jacobiの 0
関数
(19) e!(x;q)=(x;q)∞(q/x; q)∞(q ; q)∞
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270 青本和彦氏の業績について
は3抗 q)= ヤ(x; q) を満たすから，
(20) xa-sr3 (qな;q)Ir3(qsx; q)
のような関数は，qシフトで変化しない関数，つまり q差分方程式だけでは定数と区別の付かな
い関数となる.q差分方程式の原点と無限遠点での解の基本系をつなぐ接続公式を作ると，定数
だ、った接続係数がこういう「擬定数」の積に置き換わるという現象が起きる.
多価関数の積分をねじれホモロジ一群とねじれコホモロジー群との dual-pairingとして捉えた
のと同様の意味で，青本氏は q超幾何積分を記述するための deRhamコホモロジーの理論を提唱
した.少しだけ具体的に述べると，青本氏が対象としている q超幾何積分とは次のようなもので
ある.まず U= (ut， …， Un)を (C*)nの座標系として Uの多価有理型関数 φ(U)で次のような 1
階の q差分方程式を満たすものを考える:
(21) φ(qνU) =bν(U)(T(U) (νεzn)，
ただし各 bν(U) は U の有理関数とする.この様な φ(U) は「乗法関数jと呼ばれるが，本質的に
は次の形のものに限る.
(22) rn (a1Uμ1 ; q)∞… (amUl'm ; q)∞
φ(U) = n (b1Uμ1 ; q)∞… (bmul'm ; q)∞'
ただし μ1，…， μmεznで yt，…， at，…， b1，…は複素ノfラメータである.そこで Jackson積分
(23) 1~1∞ 1~1∞ dq;:::f;u φ(Ut， …，Un)UqU' uqun=(l_q)n ~ (t(6qk1，…，ιqkn) kl.....knEZ
を考えるのである.青本氏はこの様な q超幾何積分に対して， de Rhamコホモロジー群を定義し，
それを基礎にして，サイクルとコサイクルの構成，パラメータについての (q)差分方程式の記述，
Jackson積分の明示公式や，解の接続といった問題を組織的に調べている.(論文 [40J，[41J，
[43J， [48J等.)
このように q解析に deRhamコホモロジーの観点を持ち込んだことは青本氏の独創であり，他
の人には真似のできないところである.青本氏は実際 Yang-Baxter方程式の楕円関数解の構成や
q-Selberg積分の決定などについて多くの結果を出している.q解析における deRham理論は q-
Knizhnik-Zamolodchikov方程式や q差分的量子可積分系の解の解析等においても有効性を発揮
しており，青本氏の仕事の重要性がますます増大している現在である.
膏本和彦氏の論文リスト
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[ 5 J Une remarque sur 1ヰsolutiondes equations d巴
46
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Univ. Tokyo， 17 (1970)，341-354.
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[ 7 J Vanishing of cohomology attached to certain many valued meromorphic functions. J. Math.
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[ 8 J Les equations aux di狂言renceslineaires et les
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[ 9 J On the acyclicity of free cobar constructions
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[10J On the βtructure of int巴gralsof power product
青本和彦氏の業績について 271
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[13J A generalization of Poincar邑 normalfunc.
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[46J On connection coefficients for q di任erence
272 日本数学会 50周年記念企画
system of A-type Jackson integra1. (dedicated to Prof. R. Askey on occasion of his 60th birthday)
SIAM J. Math. Anal.， 25 (1994)， 256-273
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A-type connerction function. Osaka J. Math.， 32
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problem for q-di任erenceequations. in Structure of
Solutions of Di妊erential Equations， World
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product formula. J. Math. Soc. Japan， 48 (1996) ，
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[53J (-M. Kita，P. Orlik， H. Terao) On thestruc-ture of twisted de Rham cohomology groups
attach巴dto the hypergeometric integrals. to
appear in Ad. in Math.
[54J (-Y. Kato) Derivation of q-di妊erenceequa-
tion from connection matrix for Selberg type Jack-
son integrals. to appear in J our. of Di任erenceEqs. and Its Appli .
その他
[ 1 J Hypergeometric functions， The past， today，
and.... (from the complex analytic point of view)
Sugaku Expositions， 9 (1996)， 99-116.
著書
[ 1 J (喜多通武)超幾何関数論.シュプリンガー・
フェアラーク，東京， 1994年，1-355.
(1997年4月19日提出)
(のうみ まさとし ・神戸大学理学部)
(よしだ まさあき・九州大学大学院数理学研究科)