Universit�at Koblenz{Landau

Fachbereich Informatik

Wavelets

Michael H�oreth

Matrikelnummer 9720044

Seminar Computergraphikbetreut von Prof. Dr.-Ing. H. Giesen

Wintersemester 2000/2001

Vortrag vom 11.4.2001

Inhaltsverzeichnis

1 Einf�uhrung 2

2 Grundlagen 3

2.1 Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Wavelet Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Vektorr�aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Wavelet De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Haar Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Anwendungen 7

3.1 Bildkompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1 allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Kompression mit Haar Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.3 Vergleich DCT+DWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.1 B-spline Skalierfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 B-spline Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Multiresolution Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.4 Multiresolution Ober �achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Wavelet Konstruktion 13

1

1 Einf�uhrung

Ein zentrales Thema der Computergraphik ist die Erfassung, Analyse und Speiche-rung gro�er Datenmengen. Die Repr�asentationen der Daten k�onnen Bilder, Videos,Kurven, 3D Objekte, usw. sein.

Gespeichert werden die Daten meistens als eine Folge von Punkten. Ein zeitlichabh�angiges Signal wird z.B. am einfachsten in der Form (ti; yi) repr�asentiert. Je-der dieser Punkte beinhaltet die genaue Information des Signals zum Zeitpunkt ti,

�uber das Verhalten des Signals an anderer Stelle l�a�t sich allerdings nichts sagen.Betrachtet man die Daten mit einer gr�oberen Skala, kann man kurze Signalschwan-kungen nicht mehr feststellen.

Die Fourier Analyse ist eine g�angige M�oglichkeit, um Frequenzinformationenanstelle von Punktinformationen abzuspeichern. Leider beschreibt ein Fourier Ko-eÆzient nur das Verhalten des Signals f�ur eine einzige Frequenz, das "Blickfeld"der einzelnen Daten ist also wieder stark eingeschr�ankt. Die Wavelet Analyse wirdrekursiv auf die Daten angewendet und repr�asentiert die Daten (je nach Rekursi-onstiefe) mehr oder weniger abh�angig von den vorgesehenen Parametern.

GeschichteDie Wurzeln der ersten Waveletfunktionen gehen zur�uck auf Karl Weierstrass, der1973 eine Gruppe von Funktionen beschrieb, die durch �uberlagerte und skalierteKopien einer Basisfunktion konstruiert werden k�onnen. 1909 konstruierte AlfredHaar das nach ihm benannte erste orthonormale System kompakter Basisfunktio-nen, die Haar Basis. Sie dient im Folgenden wegen ihrer Einfachheit noch �ofter alsAnschauungsbeispiel.Der Begri� Wavelet geht auf den Bereich der Seismologie zurck. Er wurde von denWissenschaftlern gepr�agt, um starke seismische Ersch�utterungen und ihren Verlaufdurch den Boden zu beschreiben. Sie bestimmten eine geeignete Funktionsbasis,um ihre Messungen in eine andere Form zu �uberf�uhren.In der Bildverarbeitung gewannen die Wavelets erst Ende der 80er Jahre an Bedeu-tung, als Ingrid Daubechies die Verbindung dazu herstellte. Nach ihr ist auch eineGruppe von Wavelets mit besonderen Eigenschaften benannt worden.

2

2 Grundlagen

2.1 Fourier Transformation

Seit der Fourier Transformation wissen wir, dass jede periodische Funktion f(x)durch eine unendliche Summe von gewichteten Sinus- und Cosinusfunktionen dar-gestellt werden kann.

a0 +

1Xk=1

(ak cos kx+ bk sin kx)

Dabei werden die KoeÆzienten durch

a0 =1

2�

2�Z0

f(x)dx ak =1

�

2�Z0

f(x) cos(kx)dx bk =1

�

2�Z0

f(x) sin(kx)dx

berechnet.Die Fourier Transformation �uberf�uhrt eine Menge von Ausgangsdaten in eine neueDarstellung. Die Transformation ist umkehrbar, es gehen also keine Daten verloren.Vielmehr �andert sich die Interpretation der Daten. Gehen wir davon aus, dass dasAusgangsmaterial im Orts- oder Zeitraum vorliegt (z.B. Bildkoordinaten oder einTonsignal). Als Endergebnis der Transformation erhalten wir eine Repr�asentationim Frequenzraum.Es ist der Grundgedanke der Fourier Transformation, die genauen Ortsdaten zuverlieren, daf�ur gewinnt man ein Frequenzspektrum des Ausgangssignals. Hierf�urkann man sich die unterschiedlichsten Anwendungen in der Computergraphik vor-stellen: Kantendetektoren, Tiefpass-, Hochpass�lter.F�ur die Bildkompression ist die Fourier Transformation aber nur bedingt geeignet.Rein mathematisch wird davon ausgegangen, dass unser Bild ein periodisches Signaldarstellt. Das ist eigentlich nur f�ur die wenigsten Bilder der Fall. Im Kapitel 3.1.3gehe ich auf die weiteren Vor- und Nachteile ein.

3

2.2 Wavelet Transformation

Mit der Wavelet Transformation kann man Daten durch �Uberlagerung beliebigerBasisfunktionen darstellen. Im Prinzip h�ort sich das erst einmal wie eine Verall-gemeinerung der Fourier Transformation an. Die Wavelet Transformation schreibtalso keine speziellen Basisfunktionen vor, stellt aber einige Bedingungen an sie:

� endlicher De�nitionsbereich

� der durchschnittliche Funktionswert ist Null

� jede Basisfunktion ist orthogonal zu jeder anderen (f�ur ein gew�ahltes Skalar-produkt)

Die erste Bedingung w�urde f�ur die Fourier Transformation nicht zutre�en. DieWavelet Transformation unterscheidet sich au�erdem noch in der Eigenschaft, dasssie rekursiv durchgef�uhrt wird.

2.2.1 Vektorr�aume

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass unsere Ausgangsdaten Funktionen mitendlichem De�nitionsbereich sind, die auf gleichgro�en Abschnitten konstant de�-niert sind (Abb. 1).

Abbildung 1: Ausgangsfunktion

Die Menge aller Funktionen, die auf 2j gleichen Abst�anden konstant de�niertsind, bezeichnen wir als Vektorraum V j . Wenn wir uns jetzt auf die Suche nach einergeeigneten Basis f�ur V j machen, sto�en wir sehr schnell auf eine Funktionsschar,die unter dem Namen Box Funktionen bekannt sind:

�ji (x) = ��2jx� i

�; i = 0; :::; 2j � 1 mit �(x) =

�1; f �ur 0 � x < 1

0; sonst

Abbildung 2: Box Funktionen

In Abbildung 2 sehen wir die Box Funktionen f�ur V 2. Zusammen mit denVorfaktoren kann man die Ausgangsfunktion rekonstruieren. Man bezeichnet dieBasisfunktionen f�ur V j auch als Skalierfunktionen.

4

Abbildung 3: Mutter Wavelet

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man pr�ufen, ob die gew�ahlte Basis eineorthonomale Basis ist. Da es f�ur unseren Vektorraum kein vorgeschriebenes Skalar-produkt gibt, k�onnen wir es selber de�nieren. Ein Skalarprodukt mu� nur gewisseEigenschaften erf�ullen. Es ist zum Beispiel kommutativ, es ergibt immer eine po-sitive reelle Zahl, usw. Die Wahl des Skalarproduktes wird sich naturlich auf dieWaveletfunktionen auswirken. Wir w�ahlen das Standard Skalarprodukt f�ur zweiFunktionen:

hf j gi :=

1Z0

f(x)g(x)dx

Es ist leicht ersichtlich, dass die Box Funktionen (Abb. 2) senkrecht aufeinander ste-hen. Sie bilden eine Basis f�ur V j . Die Vektorr�aume V j sind ineinander geschachteltund bilden gegenseitig echte Teilmengen. Wie wir sp�ater sehen werden, ist das eineweitere wichtige Vorbedingung f�ur die Wavelet Transformation.

V 0 � V 1 � V 2 � V 3:::

2.2.2 Wavelet De�nition

Mit der vorausgegangenen Begri�serkl�arung kann man die Wavelets formal rechtschnell beschreiben.

Es sei W j der Vektorraum aller Funktionen aus V j+1, die orthogonal zu allenFunktionen in V j sind (mit dem gew�ahlten Skalarprodukt). Die linear unabh�angi-gen Funktionen j

i (x), die Wj aufspannen, nennt man

Wavelets:

Feststellung: Die Basisfunktionen ji von W

j bilden zusammen mit den Basisfunk-

tionen �ji von Vj eine Basis f�ur V j+1.

2.2.3 Haar Wavelet

Den Vektorraum V j haben wir mit den Box Funktionen aufgespannt. Wenn wirjetzt anhand der Wavelet De�nition den Vektorraum W j betrachten, �nden wirsehr leicht die Basisfunktionen f�ur W j . Es sind die Haar Wavelets:

ji (x) :=

�2jx� 1

�; i = 0; :::; 2j � 1 mit (x) :=

8>><>>:

1 f �ur 0 � x < 1

2

�1 f �ur 1

2� x < 1

0 sonst

In Abbildung 3 sieht man das sogenannte Mutter Wavelet. Aus dieser Funkti-on kann man durch Stauchung und Verschiebung auf der X-Achse die einzelnenWavelets bilden. (genau das macht auch die Formel)

In Abbildung 4 sieht man eine Zerlegung von V 2 in V 1 und W 1. Diese Zer-legung kann man rekursiv durchf�uhren, bis man bei V 0 angekommen ist. DenProze� der rekursiven Zerlegung nennt man auch �lter bank (Abb. 5). In diesem

5

Abbildung 4: Beispiel: Transformation mit Haar Wavelet

Beispiel wird mit dem Haar Wavelet gerechnet. Die Zerlegung funktioniert wiefolgt: Man berechnet den Mittelwert zweier benachbarter Werte, und die Di�erenzzwischen dem ersten Wert und dem Mittelwert und erh�alt die KoeÆzienten f�ur V 1

und W 1(DetailkoeÆzient).

Abbildung 5: Filter Bank

Abbildung 6: Beispiel einer Zerlegung

In Abbildung 6 sehen wir die weitere Zerlegung des Beispiels aus 4. Im Prinzipzerlegt man eine Funktion immer weiter in Durchschnitts- und DetailkoeÆzienten.Solange es mindestens zwei DetailkoeÆzienten gibt, kann man auch wieder einenDurchschnitt bilden.

6

3 Anwendungen

3.1 Bildkompression

3.1.1 allgemein

Abbildung 7: Schema

In der Computergraphik versteht man unter der Bildkompression die drei Be-standteile Source Encoder, Quantizer, Entropy Encoder (Abb. 7). Der Source Enco-der bringt die Ausgangsdaten durch verschiedene lineare Transformationen (DCT1,DWT2) in eine neue Darstellungsform. Der Quantizer ist der verlustbehaftete Teilder Bildkompression und schr�ankt die Genauigkeit der KoeÆzienten ein. ZumSchlu� werden �ubriggebliebene Redundanzen durch den Entropy Encoder beseitigt.Hier benutzt man g�angige Komprimierungsverfahren wie z.B. Hu�man, LZW.

3.1.2 Kompression mit Haar Wavelet

Abbildung 8: 2dimensionale Zerlegung mit Haar Wavelet

Der folgende Pseudocode zerlegt ein ein-dimensionales Signal:

proc DecompositionStep(C:array[1..h] of reals)

for i=1 to h/2 do

C'[i] =(C[2i-1]+C[2i])/2

C'[h/2+i]=(C[2i-1]-C[2i])/2

end for

C=C'

end proc

1Diskrete Cosinus Transformation2Diskrete Wavelet Transformation

7

proc Decomposition(C:array[1..h] of reals)

while h>1 do

DecompositionStep(C[1..h])

h=h/2

end while

end proc

Zur Transformation eines Bildes m�ussen wir die Wavelet Trans-formation noch f�ur zwei Dimensionen verallgemeinern. Die so-genannte Nichtstandard Zerlegung transformiert erst alle Zeileneines Bildes und danach alle Spalten (Abb. 8). Um die Transfor-mation abzuschlie�en, wiederholen wir den Proze� rekursiv nur indem Quadranten, der die Durchschnittswerte beider Richtungenbeinhaltet. Wir erhalten Quadranten, die bestimmte Frequenz-

bereiche des Bildes repr�asentieren (siehe Abb. links).

proc NonstandardDecomposition(C:array[1..r,1..c] of reals)

while (r>1 AND c>1) do

for row=1 to r do

DecompositionStep(C[row,1..c])

end for

for col=1 to c do

DecompositionStep(C[1..r,col])

end for

r=r/2

c=c/2

end while

end proc

Die Standard Zerlegung h�atte erst alle Zeilen rekursiv bearbeitet,dann alle Spalten. Sie ist aber auch nicht so gebr�auchlich wie dieeben Besprochene.

Was bringt uns die Wavelet Transformation?Sehen wir uns nocheinmal das Beispielbild an (Abb. 8). Es hat 256 Graustufen, dieDetailkoeÆzienten wurden um 128 erh�oht, damit sich auch negativeWerte speichernlassen. Die gleichm�a�igen grauen Bereiche haben also gr�o�tenteils den Wert Null.Dieser E�ekt ist auch gleichzeitig das Mittel zur Komprimierung, denn gleichm�a�igeDatenstrukturen lassen sich viel e�ektiver mit dem Entropy Encoder komprimie-ren. Unter der Annahme, dass sich benachbarte Bildpixel nur wenig unterscheiden,erh�alt man tats�achlich sehr kleine DetailkoeÆzienten.Bis hierhin handelt es sich noch um eine verlustlose, aber dennoch recht e�ektiveKomprimierung. Man kann auch bewu�t eine Datenreduktion machen, die die Bild-qualit�at verschlechtert. Dazu braucht man ein Ma� zur Feststellung der Abweichungzwischen Original und Zielbild. Hierf�ur kann man die L2 Norm verwenden:

" = hf(x)� f 0(x) j f(x)� f 0(x)i

F�ur den Fall der Haar Transformation folgt daraus sehr einfach, dass man die klein-sten DetailkoeÆzienten auf Null setzen muss, um den kleinsten Fehler " zu erzielen.

8

Abbildung 9: Approximation einer Funktion mittels L2 Kompression

3.1.3 Vergleich DCT+DWT

Abbildung 10: 9/7 Daubechies Wavelet

Abbildung 11: waveletkomprimiertes Bild

Wenn wir die diskrete Cosinus Transformation und die diskrete Wavelet Trans-formation einem Vergleich unterziehen wollen, betrachten wir zuerst die zwei Stan-dards, in denen die Transformationen heute zum Einsatz kommen. Die CosinusTransformation liegt dem JPEG Standard zugrunde. JPEG2000 wird mit Waveletsarbeiten, f�ur die folgenden Bilder habe ich die LuraWave c Komprimierung gew�ahlt(Firma LuraTech, www.luratech.com).

Dadurch, dass Wavelet komprimierte Bilder rekursiv transformiert werden, gibtes keine Einteilung des Quellbildes in 8x8 Pixel gro�e Segmente, wie es bei JPEGder Fall ist. Der Nachteil dieser Einteilung zeigt sich erst bei gro�en Kompressions-raten, dann treten die �Uberg�ange zwischen den Quadraten immer mehr in Erschei-nung. Es bilden sich die sogenannten Artefakte. Wir erkennen, dass die JPEG-Komprimierung bis Kompressionsraten von ca. 1:25 der Wavelet-Komprimierung�uberlegen ist. Danach allerdings geht die Qualit�at der JPEGs rapide herunter, dieLuraWave c Bilder bleiben selbst bei Kompressionsraten von 1:100 noch ansehn-lich.

In der JPEG 2000 Spezi�kation [6] wird f�ur die verlustbehaftete Komprimierungein 9/7 Daubechies Wavelet (Abb. 10) und f�ur die verlustlose Komprimierung ein5/3 Daubechies Wavelet angegeben.

9

Abbildung 12:

Abbildung 13:

3.2 Kurven

Bis jetzt hatte das Haar Wavelet eine Reihe von Vorteilen:

� Einfachheit

� Orthogonalit�at

� starke Lokalit�at

� nicht�uberlappende Skalier-/Waveletfunktionen

F�ur Anwendungen wie zum Beispiel Kurvenbeschreibungen oder Animationen ist esaufgrund seiner fehlenden Stetigkeit eine schlechte Wahl. Die von Chui und seinenKollegen entwickelten Spline Wavelets k�onnen uns hier weiterhelfen. Tats�achlich istdas Haar Wavelet das einfachste Spline Wavelet, n�amlich ein Spline Wavelet nulltenGrades (Abb. 14).

3.2.1 B-spline Skalierfunktionen

Wenn wir mit den B-spline Wavelets rechnen wollen, brauchen wir erst einmaldie Skalierfunktionen. Ganz allgemein sind die B-Splines wie folgt de�niert: Zueinem vorgegebenen Grad d existiert ein k mit k � d. Die aufsteigenden Wertex0; :::; xk+d+1 heissen Knoten der B-Spline Funktion, die rekursiv de�niert ist:

N0i (x) :=

�1 wennxi � x < xi+1

0 sonst

Nri (x) :=

nx�xi

xi+r�xiNr�1

i (x) + xi+r+1�x

xi+r+1�xi+1Nr�1

i+1 (x)

f�ur i = 0; :::; k und r = 1; :::; d

10

Abbildung 14: B-spline Skalierfunktionen

Damit die B-Splines alle gleichm�a�ig verteilt sind, w�ahlen wir f�ur k = 2j+d�1. Mitdieser Konstruktion erh�alt man 2j + d Basisfunktionen f�ur einen bestimmten Gradd und einen bestimmten Level j. Gleichbedeutend mit Level sind die Vektorr�aumeV j , die mit den Funktionen beschrieben werden sollen.

V 0 � V 1 � V 2 � V 3:::

Da jede Skalierfunktion in Level j-1 durch eine Linearkombination von Skalierfunk-tionen des feineren Levels j ausgedr�uckt werden kann, ist folgende Matrixschreib-weise m�oglich: �j�1(x) = �j(x)P j . Die Matrix P j sieht im Beispiel der kubischenB-Splines f�ur j � 3 zwar kompliziert aus, die inneren Spalten sind jedoch nur ver-schobene Versionen ihrer Nachbarn. Unabh�angig vom Level stehen in jeder Spalteau�erdem nur maximal 5 Werte.

Tabelle 1: Matrix P j f�ur kubische Splines, j � 3

P j =1

8

266666666666666666666666666664

84 4

6 23=2 11=2 1

4 41 6 1

4 41 6 :

4 :1 : 1

46 14 41 11=2 3=2

2 64 4

8

377777777777777777777777777775

11

3.2.2 B-spline Wavelets

Zu den Skalierfunktionen m�ussen wir nur noch geeignete Basisfunktionen �nden,die orthogonal zu den Skalierfunktionen stehen und damit W j aufspannen. DieWavelets, die wir durch die Matrix Qj darstellen k�onnen, m�ussen die Gleichung��j�1j�j

��Qj = 0 erf�ullen.

Da es sich um ein homogenes System von Gleichungen handelt, gibt es keineeindeutige L�osung. M�ochten wir Wavelets mit kleinem De�nitionsbereich, versuchenwir �ahnlich wie in der Matrix P j m�oglichst wenig Zahlen pro Spalte zu erhalten.Das Ergebnis sind semi-orthogonale Wavelets, d.h. sie stehen senkrecht auf denSkalierfunktionen sind aber untereinander linear abh�angig.

3.2.3 Multiresolution Kurven

Die vorangegangenen Anstrengungen resultieren in einer wavelet-basierten Darstel-lungsform f�ur Kurven. Da die Wavelet KoeÆzienten hierarchich gespeichert werden,ergeben sich interessante Anwendungsbereiche:

� �Anderung des des groben Kurvenverlaufs, ohne die Details zu beein ussen

� �Anderung der Kurvendetails, ohne den groben Verlauf zu �andern (Abb. 15)

� Je nach Level of Detail �andert man die Kurve auf verschieden gro�en Ab-schnitten

� Gezieltes Gl�atten der Kurve auf einem bestimmten Level

� Ann�aherung oder Anpassung einer Kurve innerhalb einer bestimmten Tole-ranzgrenze

Abbildung 15: �Anderung der Kurvendetails, ohne den groben Verlauf zu �andern

3.2.4 Multiresolution Ober �achen

Die Multiresolution Analyse kann auch von Kurven auf Ober �achen ausgeweitetwerden, wenn man die Tensoren-Produkte der B-Spline Skalierfunktionen berechnet.Wir k�onnen dann Ober �achen auf die selbe Art und Weise editieren wie es bei denKurven schon der Fall war. Mit der sogenannten Subdivision Technik lassen sichbeliebig geformte Ober �achen darstellen. Den so entstandenen Polyeder kann man

�ahnlich wie bei der Bildkomprimierung durch das Weglassen der kleinsten WaveletKoeÆzienten ann�ahern.

Auerdem er�o�nen Wavelet-Verfahren durch ihre F�ahigkeit des Hineinzoomensschnelle Methoden zur Berechnung von Beleuchtung und Animation virtueller Sze-nen sowie fr Strahlungs- und Re exionsprobleme.

12

4 Wavelet Konstruktion

Prinzipiell gibt es unendlich viele Wavelet-Funktionen. Die verschiedenen Funkti-onsfamilien machen verschiedene Trade-o�s zwischen der Kompaktheit der Funktionund zum Beispiel der Glattheit.

MancheWavelets sind fraktaler Natur, wie z.B. das Daubechies Wavelet (Abb. 10).In jeder Waveletfamilie werden die Funktionen weiter anhand der Anzahl der Ko-eÆzienten und der Iterationen unterschieden.

Auf der Homepage vonWim Swelden (http://cm.bell-labs.com/who/wim/cascade/)kann man mit Hilfe eines Applets sich die verschiedensten Wavelet- und Skalier-funktionen konstruieren lassen. Durch Festlegung gewisser Constraints kann manbestimmen, ob die Skalierfunktion

� symmetrisch

� orthogonal zur Waveletfunktion

� interpolierend

� oder 2. Ordnung ist

An einem Schnittpunkt der Constraints ist das Daubechies Wavelet zu �nden. Esist das einzige, das orthogonal und gleichzeitig von 2. Ordnung ist.

Bis jetzt hat man schonWavelets zur Komprimierung der FBI-Fingerabdrucksdatenbank,zur Speicherung von EKG-Signalen, zur Auswertung seismischer Aktivit�aten, usw.gefunden. Es ist nur eine Frage der Zeit, wann die Wavelet-Technologie in andereBereiche, wie zum Beispiel die Videokomprimierung Einzug h�alt.

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Literatur

[1] Eric J.Stollnitz, Tony D.Derose, David H.Salesin.Wavelets for Computer Gra-

phics, Morgan Kaufmann Publishers, 1996

[2] Howard L. Resniko�, Raymond O. Wells Jr., Wavelet Analysis, The ScalableStructure of Information, Springer, 1998

[3] L. Prasad, S.S. Iyengar, Wavelet Analysis with Applications to Image Proces-

sing, CRC Press, 1997

[4] Eric J.Stollnitz, Tony D.Derose, David H.Salesin, Wavelets for Computer Gra-phics:A Primer. In IEEE Computer Graphics and Applications, 15(3):76-84,Mai 1995 (part 1) and 15(4):75-85, Juli 1995 (part 2).

[5] Burkhard Lenze, Einf�uhrung in die Fourier-Analysis, Logos Verlag Berlin, 1997

[6] JPEG 2000 Image Coding System, JPEG 2000 Final Committee Draft Version

1.0, http://www.jpeg.org/public/fcd15444-1.pdf

[7] A. Bultheel, Learning to swim in a sea of wavelets, in Bulletin ofthe Belgian Mathematical Society- Simon Stevin Volume 2:1-45, 1995,http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/nalag/papers/ade/swim/

[8] Amara Graps, An Introduction to Wavelets,http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html

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