la géométrie autrement triangle rectangle et cercle triangle rectangle, cercle circonscrit,...
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La Géométrie Autrement Triangle rectangle et cercle
Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane
Distance d’un point à une droite
Points d’une bissectrice
Cercle et tangente mode d'emploi
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La Géométrie Autrement
Triangle rectangle
cercle circonscrit
médiane
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La Géométrie Autrement
Rappels
La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
A
M
B
Définition de la médiatrice d’un segment
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La Géométrie Autrement
Construction de la médiatrice d’un segment
A
B
Rappels
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La Géométrie Autrement
Rappels
Vocabulaire du triangle rectangle
A
C
B
Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
à copier
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La Géométrie Autrement
A
C
B
ABC est un triangle rectangle en BOn trace le cercle circonscrit à ce triangle
Le point d’intersection des médiatrices de [BC] de [AC] est le centre du cercle circonscrit au triangle.
On constate que c’est le milieu de [AC], hypoténuse du triangle ABC.
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La Géométrie Autrement
PropriétésSi un triangle est rectangle
alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le
diamètre du cercle circonscrit.
ou encore
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La Géométrie Autrement
triangle rectangle cercle
Comment tracer un triangle rectangle sans réquerre ni rapporteur
mais avec un compas ?
On trace le segment [RS], le cercle de diamètre RS, quelque soit la position du point T sur le cercle, le triangle RST est rectangle en T.
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La Géométrie Autrement
Propriété
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle,
alors ce triangle est rectangle en ce point.
B
CA
à copier
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La Géométrie Autrement
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé à ce sommet.
Rappels
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A
dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
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La Géométrie Autrement
Traçons la médiane issue de B dans le triangle ABC.
A
C
B
M
C’est un rayon du cercle circonscritdonc la moitié du diamètre ACdonc la moitié de l’hypoténuse du triangle ABC.
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La Géométrie Autrement
Propriété
Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la
longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
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La Géométrie Autrement
Propriété
Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé,
alors le triangle est rectangle en ce sommet.
A
C
B
M
à copier
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La Géométrie Autrement
Distance d’un point à une droite
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La Géométrie Autrement
(d)A
H
M
Définition
Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM à copier
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La Géométrie Autrement
Points d’une bissectrice
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La Géométrie Autrement
A
B
C
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure.
Définition de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
CJe dessine le cercle de centre A et de rayon quelconque.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
D et E sont les points d’intersection de [AB) et de [AC) avec le cercle.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
Je dessine le cercle de centre D qui passe par A.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
Je dessine le cercle de centre E qui passe par A.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
G
G est le 2ème point d’intersection de ces 2 cercles.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
G
Je dessine la droite (AG).
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
A
B
C
G
Je code la figure
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
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La Géométrie Autrement
Que peut-on dire de la distance d’un point de la bissectrice d’un angle
aux côtés de cet angle ?
Utilisons Cabri géomètre
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La Géométrie Autrement
Propriété
A
B
C
Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
M
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La Géométrie Autrement
Propriété réciproque
A
B
C
Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A,
alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
M
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La Géométrie Autrement
Une autre propriété
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point.
T
R
I à copier
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La Géométrie Autrement
Cercle et
tangente
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La Géométrie Autrement
Définition
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
O
A
(d)(d) est la tangente au cercleC en A.
CRq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.
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La Géométrie Autrement
Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes.Leur point d’intersection est le centre du
cercle tangent aux 3 côtés du triangle.
T
R
I
Ce cercle est appelé
cercle inscrit dans le triangle.
à copier
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La Géométrie Autrement
fin
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La Géométrie Autrement
Triangle rectangle et cercle1) Triangle rectangle cercle circonscrit médiane a) Médiatrice et triangle rectangle
Définition de la médiatrice d’un segment
La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
A
B
Vocabulaire du triangle rectangle A C
B
Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. retour
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La Géométrie Autrement
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
retour
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La Géométrie Autrement
b) Médiane et triangle rectangle
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
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La Géométrie Autrement
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
retour
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La Géométrie Autrement
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
retour
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La Géométrie Autrement
b) Médiane et triangle rectangle
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
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La Géométrie Autrement
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
retour
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La Géométrie Autrement
2) Distance d’un point à une droite
(d)A
H
M
Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM retour
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La Géométrie Autrement
3) Points d’une bissectrice
A
B
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure.
a) Définition de la bissectrice d’un angle
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La Géométrie Autrement
b) Propriétés
A
B
C
Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
M
Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A, alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
![Page 43: La Géométrie Autrement Triangle rectangle et cercle Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane Distance dun point à une droite Points dune bissectrice](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062318/551d9d7f497959293b8b835c/html5/thumbnails/43.jpg)
La Géométrie Autrement
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point.
T
R
I
retour
![Page 44: La Géométrie Autrement Triangle rectangle et cercle Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane Distance dun point à une droite Points dune bissectrice](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022062318/551d9d7f497959293b8b835c/html5/thumbnails/44.jpg)
La Géométrie Autrement
4) Cercle et tangentea) Définition
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
O
A
(d)(d) est la tangente au cercleC en A.
CRq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.
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La Géométrie Autrement
b) Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes.Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux 3 côtés du triangle.
T
R
I
Ce cercle est appelé
cercle inscrit dans le triangle.
retour
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La Géométrie Autrement
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