La Ley de los Eventos Raros, Legado deSimeon Denis Poisson

Begona Fernandez∗

Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Abstract

This paper presents an approach to Probability Theory. We beginwith the classical problem of counting and the Poisson approxima-tion to the Binomial Distribution to finish with the Cramer-Lundbergprocess and the computation of the ruin probability. The intentionis to show three problems that the probabilists handle frequently: toapproximate small probabilities, to work with random times, and toobtain deterministic integro-differential equations that arise from arandom problem.

ResumenEn este artıculo se presenta una de las tantas formas como pode-

mos acercarnos a la Teorıa de la Probabilidad. Iniciaremos con elclasico problema de contar y la aproximacion de Poisson a la Dis-tribucion Binomial para terminar con el Proceso de Cramer-Lundbergy el calculo de la probabilidad de ruina. La intencion es mostrar tresde los problemas que enfrentamos cotidianamente los probabilistas queson aproximar probabilidades pequenas, lidiar con tiempos aleatorios yobtener ecuaciones integro-diferenciales deterministas de un problemaque es estrictamente aleatorio.

Keywords: Simeon Denis Poisson, Poisson Distribution, PoissonProcess, Risk Process, Ruin Probability.

Mathematics Subject Classification (2000) Primary 6001,62E20; Secondary 60G55, 62J75

∗Este trabajo fue parcialmente financiado por Proyecto PAPIIT-DGAPA-UNAMIN103606, Mexico.

1

1 Introduccion

Fue difıcil elegir el nombre y el contenido de este trabajo. La intencionera escribir algo sobre Simeon Denis Poisson, la Distribucion y el ProcesoEstocastico que llevan su nombre, sus variaciones, su desarrollo en la historiade la Probabilidad. Al revisar mis notas, apuntes, el libro Recherches sur laProbabilites des Jugements en Matiere Criminelle et Matiere Civile escritopor el en 1834 -que en un viaje a Francia con el Prof. Miguel Angel Garcıafotocopiamos de la Biblioteca de la Universidad de Estrasburgo, ası comoalgunos artıculos antiguos- los ejemplos y las aplicaciones que aparecen enlos libros modernos sobre la Distribucion y el Proceso Poisson, me di cuentaque aun cuando sabıa estas cosas no era realmente conciente de su extension,riqueza y profundidad.

Escribir sobre Poisson me ha agobiado durante los tres meses que medieron de plazo para entregar el artıculo. Mientras mas reviso mis anota-ciones, mas difıcil es. Despues de decir que nacio el 21 de junio de 1781 enPityhiviers, murio el 25 de abril de 1840 en Sceaux (cerca de Paris) , fuealumno de Laplace y Lagrange1, cualquier cosa que pueda decir me parecepoco. Poisson fue un gran matematico, merece todos los honores, ¿comohacerle justicia?

Por otro lado, de la Distribucion y el Proceso Poisson, existen y se puedenescribir grandes tratados, ¿como convencer a los lectores de su importanciaen un artıculo de unas cuantas paginas? ¿Como convencer, en fin, a losestudiantes que se inician en la Probabilidad que no podrıamos vivir sin ellegado de Poisson y su Distribucion?

En los ultimos momentos, en los momentos de desesperacion, en los quesentı que no tenıa salida, recorde dos menciones, una sobre Simeon DenisPoisson y otra sobre la Distribucion Poisson, dos menciones que en reali-dad son parte y seran parte de las leyendas, de la tradicion, que describenclaramente tanto al matematico como a la importancia de su distribucion.

La primera se refiere a la siguiente frase que segun Francois Arago [1]Poisson repetıa frecuentemente:

Life is good for only two things, discovering mathematics and teachingmathematics2

1Lagrange fue su asesor de tesis2Tenıa la impresion de que esta frase deberıa estar en frances, sin embargo, al parecer

la referencia de Arago esta en ingles

2

La vida vale la pena por solo dos cosas, descubrir matematicas y ensenarmatematicas

Esta frase, quizas exagerada, expresa lo que era Poisson, un investigador yun profesor, un creador y educador. Las matematicas, en toda la extensionde la palabra, le daban sentido a su vida y su obra le ha dado sentido amuchas otras vidas.

El trabajo de Poisson en matematicas es extenso, no solo en Probabili-dad, sino en otras areas. Numerosos objetos matematicos llevan su nombrecomo la integral de Poisson, la ecuacion de Poisson en la Teorıa de Potencial.Tiene aportaciones en ecuaciones diferenciales, elasticidad y electricidad, en-tre otras.

En Probabilidad es el primero que utilizo el termino de Grandes Numeros-nombre con el que conocemos a uno de los Teoremas mas importantes de laProbabilidad, la Ley de los Grandes Numeros3- el primero que uso a la funcionde distribucion [17] pag. 246 -que en la actualidad es con la que trabajamosa diario los probabilistas-. En todo este mundo de aportaciones matematicasen general y probabilistas en particular, ¿que papel juega la DistribucionPoisson?. No puedo expresarlo mejor que como el Prof. Howard Taylor4, lohace en los cursos de Procesos Estocasticos. Les dice a sus estudiantes5

Si tuviera que irme a una isla desierta, y solo pudiera llevar conmigo a unadistribucion, elegirıa a la Distribucion Poisson.

¡¡¡¡¡Ojo!!!!! no se lleva a la Distribuicion Gaussiana, como muchos pensarıan.La distribucion Gaussiana es la mas conocida por un publico amplio, es usadaen ocasiones para calificar a los estudiantes, ya que siempre preguntan, ¿va acalificar con campana?6. Se le conoce tambien como la Distribucion Normalque segun Sheldon Ross [15] pag. 222 se debe a que en la segunda mitad delsiglo XIX muchos de los datos estadısticos se comportaban como Gaussianosy fue Pearson quien lidereo el uso de la palabra Normal.

3El Capıtulo III de [14] lleva como tıtulo Calcul des probabilites qui dependent de tresgrands nombres y es, segun Oscar Sheynin [17] el primero en utilizar esta terminologıa

4Entre otras publicaciones, autor junto con Karlin de uno de los libros de ProcesosEstocasticos que aparecen en la bibliografıa de casi todos los cursos en el mundo [11]

5Comunicacion verbal de Beatriz Rodrıguez, estudiante del Prof. Taylor6Hasta la fecha yo no he entendido que quieren decir.

3

En una visita reciente del Prof. Victor Perez Abreu, estando en mi oficinacon la Profra. Ana Meda, los tres coincidimos, en que en la Distribucion yel Proceso Poisson esta contenida la intuicion probabilista. Entenderlos es lamejor manera de entender como juega el azar, ensenarlos, es la mejor manerade formar buenos probabilistas.

En este artıculo se presenta una de las tantas formas como podemosacercarnos a la Probabilidad. Iniciaremos con el clasico problema de contar -que para muchos es lo unico que hace la Probabilidad- y veremos que podemosllegar muy lejos. La intencion es mostrar esencialmente tres de los problemasque enfrentamos cotidianamente los probabilistas que son aproximar, lidiarcon tiempos aleatorios y obtener ecuaciones integro-diferenciales determinis-tas de un problema que es estrictamente aleatorio.

De estos tres problemas los tiempos aleatorios es el que considero masimportante, cuando alguien los entiende, puede estar seguro de que es yaun probabilista. Es uno de los conceptos mas difıciles de entender, masricos desde el punto de vista matematico y el Proceso Poisson es uno de losejemplos en que aparecen de manera natural, no como un capricho o unacuriosidad sino como una necesidad.

Las ecuaciones integro-diferenciales las obtendremos por un argumentode renovacion -argumento fundamental en Probabilidad- al calcular la proba-bilidad de ruina en el Modelo Clasico de Ruina o Modelo Cramer-Lundberg.Este modelo -construido a partir del Proceso Poisson- describe la reserva deuna companıa aseguradora en cada tiempo t. Es la base de un sin-numero deartıculos y problemas que en la actualidad son de gran de importancia tantodesde el punto teorico como practico.

No mencionare a la Teorıa de la Medida, cuya relacion con la Probabili-dad es bien reconocida. Esto es ası, porque que considero que no es necesariopara los problemas que trataremos. El artıculo esta dirigido a estudiantesde licenciatura, los conocimientos de la teorıa de Probabilidad que se re-quieren son mınimos y estan incluidos en los temarios de los cursos basicosde Probabilidad de las carreras de matematicas, actuarıa y areas afines.

2 Aproximar, la Ley de los Eventos Raros

La Ley de los Eventos Raros fue demostrada por Poisson en su libro Recherchessur la Probabilites des Jugements en Matiere Criminelle et Matiere Civile,en la pagina 205. Surge -como todos los primeros resultados importantes en

4

Probabilidad- del estudio de la probabilidad de obtener k exitos en n ensayosBernoulli con parametro p. El termino raro se refiere a que la probabilidadde exito p > 0 es pequena. Es difıcil decir que quiere decir pequena, puesde hecho p esta entre cero y uno, por lo que es en si misma una cantidadpequena. Como veremos a continuacion, en el resultado de Poisson pequenasignifica es del orden de 1/n.

Denotaremos por Sn al numero de exitos en n ensayos Bernoulli indepen-dientes con probabilidad de exito p. Es bien sabido que para 0 ≤ k ≤ n:

P [Sn = k] =n!

(n− k)! k!pk(1− p)n−k (1)

A primera vista, tenemos resuelto el problema, tenemos una formula quenos da esta probabilidad. De hecho, es una de las primeras formulas que losestudiantes aprenden, pues son los terminos del desarrollo del binomio (p +(1−p))n. La suma sobre k de todos los terminos es igual a 1. Aparentementees el mejor de los escenarios posibles: una formula sencilla, conocemos cadauno de sus terminos, solo aparecen productos y potencias.

Sin embargo, esta formula es enganosa, depende de dos parametros n yp. El encanto se acaba cuando queremos calcularla para n grande dada, yaque para 1 ≤ k ≤ n:

n!

(n− k)! k!pk(1− p)n−k =

n(n− 1) · · · (n− k + 1)

k!pk(1− p)n−k.

Para p fija, tenemos dos terminos en el producto del lado derecho, unoque tiende a infinito y otro que tiende a cero cuando n tiende a infinito.Si esto se lo damos a una computadora para calcularlo, tenemos que tenercuidado, pues podrıa despreciar el termino que tiende a cero. De hecho, serıainteresante que supieramos que hacen los programas de computo que calculanestas probabilidades, pues claramente las aproximan, la pregunta es que tanfina es la aproximacion. Tener el calculo preciso para n grande sabemosque es difıcil, si no imposible, pero de cualquier manera nos interesa saberde que orden es. Todos los matematicos nos enfrentamos constantemente aexpresiones como esta, difıciles de entender - aun cuando podamos encontrarsus propiedades- difıciles de saber de que orden de magnitud son. No puedoencontrar mejor manera de expresar lo que se requiere que con la siguientecita:

Necessite de recourir aux methodes d’approximation, pour calculer lesvaleurs des produits d’un tres grand nombre de facteurs inegaux.......

5

Necesidad de recurrir a los metodos de aproximacion, para calcular losvalores de productos de un numero grande de factores desiguales..........

Este es el inicio de una frase, evidentemente de Poisson, que aparece en sulibro, en el Capıtulo III, y que sorprendentemente no esta en el texto, es elinicio de la descripcion de la primera seccion del capıtulo. Poisson, es dela epoca en la que las matematicas y la literatura eran una, en la que laspalabras en matematicas eran abundantes, en la que implica, considere, yentonces no eran la base del lenguaje matematico, escribir matematicas enese entonces, era expresar nuestro sentir.

Esta necesidad lleva a Poisson a encontrar una expresion asintotica parapara la ecuacion (1), cuando p ≈ λ

n. Ası si denotamos λ = np, obtenemos:

P [Sn = k] =n!

(n− k)! k!pk(1− p)n−k

=n!

(n− k)! k!

(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k

=n(n− 1) · · · (n− k + 1)

nk

λk

k!

(1− λ

n

)−k (1− λ

n

)n

. (2)

Si n es grande (y por lo tanto, p pequena), tenemos

n(n− 1) · · · (n− k + 1)

nk≈ 1,

(1− λ

n

)−k

≈ 1,

(1− λ

n

)n

≈ e−λ.

De donde, para n grande y p pequena

P [Sn = k] ≈ λk

k!e−λ (3)

Lo que hemos obtenido no es otra cosa que la densidad Poisson conparametro λ > 0. Algunos podrıan decir, aparecen nuevamente los facto-riales, pero ya no dependen del numero n de ensayos, la expresion (3) solodepende de λ. Si la observamos bien, lo que tenemos para cada k son losterminos del desarrollo en serie de Taylor de eλ, multiplicados por el recıprocode esta funcion -que es natural, pues deben ser numeros entre 0 y 1-. Lafuncion exponencial es una de nuestras predilectas, pues la entendemos ypodemos jugar con ella como queramos.

6

Esta no es la unica aproximacion, tambien el Teorema de Lımite Centralnos da algo similar. Una discusion interesante que compara ambas aproxi-maciones puede verse en Feller [6] pag. 198.

Con esta demostracion de Poisson, sabemos como se comporta, pero comosiempre, quisieramos saber ¿donde se usa?. Poisson no menciona nada ensu libro, sin embargo, puede consultarse la historia de las aplicaciones enHaight[9], o en cualquier libro de Probabilidad basica o avanzada. Men-cionamos solo aqui algunas de las mas comunes: El numero de errores ti-pograficos en cada pagina de un libro, el numero de personas que llegan auna edad avanzada, digamos 100 anos en una ciudad, el numero de llamadasequivocadas por dıa, el numero de partıculas radioactivas emitidas por unmaterial en un perıodo de tiempo fijo, el numero de accidentes por dıa enuna carretera, el numero de temblores en una ciudad por ano, entre otros.

En la siguiente seccion estudiaremos el problema dinamico, es decir, es-tudiaremos el numero de eventos que ocurren en intervalos de tiempo [0, t],para cada t > 0.

3 Tiempos Aleatorios, el Proceso Poisson y

Algunas de sus Variaciones

Nuestro objetivo sera ahora contar el numero de eventos raros que ocurrenen cada intervalo de tiempo [0, t]. Es decir, queremos construir una familiade variables aleatorias N = {Nt, t ≥ 0} tales que para cada t:

Nt = numero de eventos que ocurren en el intervalo [0, t].

Por convencion, ponemos el contador en ceros, es decir, N0 = 0. Lo primeroque debemos decir de esta familia de variables aleatorias es que si t1 < t2,entonces Nt1 ≤ Nt2 , pues el numero de eventos que ocurren en el intervalo[0, t1] es menor o igual a los que ocurren en [0, t2].

Hay diferentes formas de construir esta familia de variables aleatorias, to-das ellas son equivalentes, pero elegimos la que consideramos mas apropiadaa nuestros intereses.

Definicion. Una familia {Nt, t ≥ 0} con valores en IN ∪ {0} se dice quees un Proceso Poisson con intensidad (o tasa ) λ > 0 si satisface las siguientespropiedades:

(i) N0 = 0.

7

(ii) Si s < t, entonces Ns ≤ Nt.

(iii) Para toda n > 0 y 0 < t1 < t2 · · · < tn, las variables aleatorias

Nt1 , Nt2 −Nt1 , · · ·Ntn −Ntn−1 ,

son independientes.

(iv) Para toda h > 0 y t ∈ IR+, Nh y Nt+h−Nt tienen la misma distribucion.

(v) P [Nh = 1] = λh + o(h)7

(vi) P [Nh ≥ 2] = o(h).

A los procesos estocasticos que satisfacen la Condicion (iii) se les conoceen la literatura como procesos con incrementos independientes y a los quesatisfacen (iv) como estacionarios.

La Condicion (v) nos dice que la probabilidad de que ocurra un evento enel intervalo [0, h] es proporcional a la longitud del intervalo mas una funcionque tiende a cero mas rapido que h. Esta condicion junto con (vi) es lo querepresenta que los eventos que queremos contar son raros, pues tenemos que

P [Nh = 0] = 1− P [Nh = 1] + P [Nh ≥ 2] = 1− λh + o(h).

Ası, para h pequena esto es muy cercano a 1, lo que nos dice que en unintervalo pequeno es mas probable que no ocurran eventos a que si ocurran.Mas precisamente, si denotamos por

P0(t) = P [Nt = 0].

P0(t + h) = P [Nt+h = 0]

= P [Nt = 0, Nt+h −Nt = 0]

= P [Nt = 0]P [Nt+h −Nt = 0], por (iii)

= P0(t)[1− λh + o(h)], por (iv)-(v), (4)

de dondeP0(t + h)− P0(t)

h= −P0(t)λh + o(h).

7o(h) es una funcion tal que limh→0o(h)

h = 0, es decir, es una funcion que tiende a ceromas rapidamente que h.

8

Tomando el lımite cuando h tiende a cero, obtenemos

P ′0(t) = lim

h→0

P0(t + h)− P0(t)

h= −λP0(t).

Esta ecuacion diferencial tiene como solucion

P0(t) = Ke−λt, K = P0(0).

De (i), tenemos P0(0) = P [N0 = 0] = 1, por lo tanto, K = 1, es decir

P0(t) = P [Nt = 0] = e−λt. (5)

Esta expresion es mas clara, pues para t pequena e−λt ≈ 1.Aun mas, de ocurrir eventos en un intervalo pequeno lo mas probable es

que solo sea uno pues la probabilidad de que ocurran dos o mas es del ordende o(h). Ası, podemos esperar que como funcion de t el Proceso Poisson seauna funcion constante por pedazos con saltos de tamano 1. En la Figura 1mostramos dos simulaciones del Proceso Poisson con intensidades λ = 0.5 yλ = 3.

Podemos observar que los intervalos en los que el Proceso es constanteson de longitud variable, esto se debe a que es una magnitud aleatoria, porlo que nos interesa estudiar los tiempos en los que salta el Proceso, es decir,definimos W0 = 0 y para n ≥ 1

Wn = inf{t ≥ 0 | Nt = n},

es decir, el tiempo en el que ocurre el n-esimo salto y por

Tn = Wn −Wn−1,

los tiempos entre los saltos. Es importante observar que Wn, Tn, n ≥ 1 sonfunciones de una familia infinita de variables aleatorias. En la Figura 2 semuestra una simulacion del Proceso Poisson y los tiempos Wi y Ti.

Estudiar a Wi, Ti no es otra cosa que encontrar su funcion de dis-tribucion. La distribucion de los tiempos Ti, la podemos obtener directa-mente de P [Nt = 0] ya que

P [T1 > t] = P [Nt = 0] = e−λt.

9

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) λ = 0.5

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(b) λ = 3

Figura 1: Proceso Poisson

10

Figura 2: El Proceso Poisson y los Tiempos de Salto

Es decir, T1 tiene distribucion exponencial con parametro λ. Por otro lado,la distribucion de T2 la podemos obtener condicionando con respecto a T1,es decir,

P [T2 > t] = λ

∫ t

0

P [T2 > t | T1 = s]e−λsds

= λ

∫ t

0

P [Nt+s −Ns = 0]e−λsds por (iii)

= e−λt (6)

De esta expresion tenemos que T1 y T2 son independientes, ya que P [T2 >t | T1 = s] no depende s, y son identicamente distribuidas con distribucion ex-ponencial con parametro λ. Por argumentos similares se puede demostrar que(Tn)n≥1 es una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamentedistribuidas exponenciales con parametro λ.

Por otro lado, para cada n ≥ 1 tenemos

Wn =n∑

i=1

Ti,

11

lo que implica (ver [15] pag. 269) que Wn es una variables aleatoria Gammacon parametros n y λ. Finalmente, con esta informacion podemos calcularla densidad de Nt para cada t > 0 ya que

P [Nt = n] = P [Nt ≥ n]− P [Nt ≥ n + 1]

= P [Wn ≤ t]− P [Wn+1 ≤ t]

=

∫ t

0

λe−λs (λs)n−1

(n− 1)!ds−

∫ t

0

λe−λs (λs)n

n!ds

= e−λt (λt)n

n!. (7)

En resumen, hemos obtenido que si Nt t ≥ 0 es un Proceso Poisson conintensidad λ > 0 entonces

1. Para cada t > 0, Nt es una variable aleatoria Poisson con parametroλt.

2. La sucesion (Tn)n≥1 de los tiempos entre los saltos es una sucesion devariables aleatorias independientes, identicamente distribuidas expo-nenciales con parametro λ.

3. Para cada n ≥ 1 el tiempo del n-esimo salto salto Wn es una variablealeatoria Gamma con paramteros n y λ.

Estas propiedades a primera vista podrıan parecer contradictorias. Porun lado en cada tiempo fijo t la probabilidad de que ocurra un evento en eseinstante es igual a cero, ya que P [Wn = t] = 0, para toda n ≥ 1. Por otrolado, para t fija, la probabilidad de que ocurran n eventos en un intervalo delongitud t es positiva para toda n > 0, pues P [Wn ≤ t] > 0. Sin embargo, nosolo no son contradictorias, sino son la descripcion matematica mas precisade lo que significan los eventos raros. Estos eventos ocurren, sin embargo, laprobabilidad de que ocurran en un tiempo fijo es cero. Esta es la naturalezade los tiempos aleatorios.

Una de las aplicaciones importantes del Proceso Poisson es en el estudiodel numero de accidentes que ocurren en cada perıodo de tiempo y su relacioncon el capital de una companıa aseguradora. Haight [9] pag. 114 refiere auna conversacion privada con W. Kruskal, en la que comentan que el primeroque recomienda el uso de la distribucion Poisson en seguros (de vida) fue

12

Cournot en 1843 [3] y no fue sino hasta 1903 que Filip Lundberg [12] en sutesis doctoral descubre -como dice el Prof. Paul Embrechts [5] pag. 22- queel Proceso Poisson esta en el corazon de de los modelos de seguros (no vida).En palabras de Paul Embrechts:

This “discovery” is similar to the recognition by Bachelier in 1900 thatBrownian Motion is the key building block for financial models.

Este “descubrimiento” es similar al reconocimiento por Bachelier en 1900de que el Movimiento Browniano es la pieza angular para los modelos

financieros.

Posteriormente, Cramer [4] y su Escuela de Estocolmo desarrollan las ideas deLundberg, en la teorıa de Proceos Estocasticos y dan lugar a lo que se conocecomo el Proceso de Ruina o Modelo de Cramer-Lundberg. La intencion esconstruir un modelo que describa en cada tiempo t ≥ 0 la reserva de unacompanıa de seguros.

En general un modelo que describe en cada tiempo t ≥ 0 la reserva Rxt

de una companıa aseguradora esta constituido por tres elementos, el capitalinicial x, los ingresos (acumulados) por concepto de primas Pt y los egresos(acumulados) St por las reclamaciones (acumuladas) de los asegurados, esdecir, es de la forma:

Rxt = x + Pt − St

En el Modelo de Cramer-Lundberg se considera que el proceso Pt es linealy determinista, es decir, de la forma

Rxt = x + ct− St.

El monto de las reclamaciones esta descrito por variables aleatorias inde-pendientes e identicamente distribuidas y ocurren de acuerdo a un ProcesoPoisson con intensidad λ.

Nuevamente en el tiempo 0 iniciamos el contador y para cada t > 0el monto que la aseguradora ha pagado hasta el tiempo t sera la suma detodas las reclamaciones hasta el tiempo t, en otras palabras es la suma devariables aleatorias independientes e identicamente distribuidas y el numerode terminos de esta suma estara dado por el Proceso Poisson al tiempo t

13

es decir, por Nt. En otras palabras sera una suma aleatoria de variablesaleatorias.

Mas precisamente sea (Nt)t≥0 un Proceso Poisson con intensidad λ > 0y (Yn)≥1 variables aleatorias positivas, independientes, identicamente dis-tribuidas e independientes del Proceso Poisson, entonces

St =Nt∑i=1

Yi (8)

representa las erogaciones de la empresa hasta el tiempo t. Este proceso esllamado Proceso Poisson Compuesto y tiene propiedades similares al Pro-ceso Poisson, lo unico que los hace diferentes es el tamano de los saltos queestan descritos por las variables aleatorias Yi En las Figura 3 se muestransimulaciones del Proceso Poisson Compuesto con saltos exponenciales conparametro 3 y lognormales con parametros (3, 25).

Ası, el Modelo de Cramer-Lundberg es de la forma

Rxt = x + ct− St = x + ct−

Nt∑i=1

Yi, (9)

donde c es constante. En la Figura 4 presentamos una simulacion del Procesode Cramer Lundberg. Los tiempos y el tamano de los saltos son iguales queen el Proceso Poisson Compuesto. Entre los saltos, el proceso es creciente.En la siguiente seccion estudiaremos a este proceso con mas detalle.

4 La Probabilidad de Ruina en el Modelo de

Cramer-Lundeberg y Ecuaciones Integro-

Diferenciales

Uno de los problemas que se estudian es el siguiente: dadas c, λ y la dis-tribucion de las variables Yi ¿cual es la probabilidad de ruina para cadax ≥ 0?, en otras palabras ¿Cual es la probabilidad de que eventualmente lacompanıa tenga un capital negativo?. Sea τx el tiempo de ruina, es decir:

τx = inf{t > 0 | Rxt < 0},

donde si inf{t > 0 | Rxt < 0} = ∅, τx = ∞. Queremos calcular:

P [τx < ∞]

14

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a) Saltos Exponenciales(3)

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(b) Saltos Log-Normal(3,25)

Figura 3: Proceso Poisson Compuesto

15

10

12

14

16

18

20

22

24

26

0 2 4 6 8 10

R t10

t

Proceso de ruina: c-!µ>0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10t

Proceso de ruina: c-!µ<0

Figura 4: Proceso de Cramer-Lundberg

Nuevamente, el tiempo τx es una funcion de una familia infinita de variablesaleatorias, pero ahora con la posibilidad de tomar el valor ∞. En la Figura5 presentamos dos simulaciones del Proceso de Cramer-Lundberg, en (b) laruina ocurre en el tiempo t = 5.8.

Para tener una idea intuitiva de este proceso, iniciaremos su analisis conel estudio de su esperanza, ası:

E[Rxt ] = x + ct− µλt = x + (c− µλ)t.

Observemos que si c− µλ < 0, para t suficientemente grande tendremosque E[Rx

t ] < 0, aun mas dada M < 0 para t suficientemente grande E[Rxt ] <

M . Esto nos hace sospechar que en este caso es muy probable que se even-tualmente la empresa se aruine. De hecho, se puede demostrar ver [2] pag.59que

P [τx < ∞] = 1, si c− λµ ≤ 0.

Por lo tanto supondremos que c− µλ > 0.Habitualmente se estudia la probabilidad de supervivencia que denotare-

mos por δ(x), es decir,

δ(x) = 1− P [τx < ∞]

16

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

(a) c− λµ > 0

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10

(b) c− λµ < 0

Figura 5: Proceso Cramer-Lundberg

17

Observemos que la ruina puede ocurrir solo en los tiempos de salto delProceso Poisson, pues entre ellos el proceso es creciente, por lo tanto calcularla probabilidad de supervivencia se reduce a calcular:

δ(x) = P [St − ct ≤ x, para toda t > 0]

= P

[n∑

i=1

(Yk − cTk) ≤ x para toda n ≥ 1

],

donde las Tk son los tiempos entre los saltos del Proceso Poisson. Condicio-nando con respecto a Y1, T1, obtenemos

P

[n∑

i=1

(Yk − cTk) ≤ x para toda n ≥ 1 | T1 = s, Y1 = y

]

= P

[n∑

i=2

(Yk − cTk) ≤ x + cs− y para toda n ≥ 2, y − cs ≤ x

]Si las variables aleatorias Yi tienen densidad f , entonces

δ(x)

=

∫ ∞

0

∫ x+cs

0

P

[n∑

i=2

(Yk − cTk) ≤ x + cs− y para toda n ≥ 2

]f(y)dyλe−λsds.

La probabilidad que aparece dentro de la integral es la probabilidad de su-pervivencia de un Proceso de Cramer-Lundberg con capital inicial igual ax + cs− y, por lo que

=

∫ ∞

0

λe−λs

∫ x+cs

0

δ(x + cs− y)f(y)dyds

=λeλx/c

c

∫ ∞

x

e−λz/c

[∫ z

0

δ(z − y)f(y)dy

]dz (10)

donde la ultima igualdad se obtiene haciendo el cambio de variable x + cs =z. El argumento que acabamos de utilizar se conoce como argumento derenovacion.

Si suponemos que la densidad f de las variables Yi es continua, obtenemosque δ(x) es diferenciable y su densidad satisface:

δ′(x) =λ

cδ(x)− λ

c

∫ x

0

δ(x− y)f(y)dy. (11)

18

El problema aparentemente esta resuelto, tenemos una ecuacion integro-diferencial para la probabilidad de supervivencia, solo hay que resolverla. Lasolucion depende claramente de la funcion de densidad de las las variablesYi. Uno de los casos para los que existe una solucion explıcita es cuando lasvariables aleatorias Yi son exponenciales y la solucion esta dada por:

δ(x) = 1− 1

1 + ρexp

{− ρ

µ(1 + ρ)x

}, x ≥ 0,

donde ρ = c/(λµ) − 1. Para otros casos, puede consultarse Asmussen [2].Una discusion sobre esta ecuacion puede encontrarse en [5]. En estas dosreferencias aparecen tambien otros metodos para calcular la probabilidad deruina ver tambien Grandel [8].

Si Poisson aun viviera y tuviera ante el esta ecuacion, quizas tendrıauna seccion en alguno de sus libros que iniciarıa asi: Necesidad de recurrir ametodos de aproximacion para la solucion de una ecuacion integro-diferencial.Afortunadamente, tanto Lundberg como Cramer tuvieron esta misma inquie-tud y la resolvieron, al menos cuando las distribuciones de las variables Yi

aceptan transformada de Laplace. En este caso, tenemos la llamada desigual-dad de Lundberg [13]

P [τx < ∞] ≤ e−γx, (12)

donde γ es conocido como el coeficiente de ajuste o coeficiente de Lundbergy es la maxima raiz positiva de la ecuacion

h(γ) = −cγ + λ(Lf (γ)− 1) = 0,

y Lf (γ) es la transformada de Laplace de la densidad f .Por otro lado, se tiene tambien la llamada Aproximacion de Cramer Lund-

berg,

limx→∞

eγxP [τx < ∞] = C < ∞, C =

[γ

ρµ

∫ ∞

0

ueγu(1− F (u))du

]−1

,

donde, F es la funcion de distribucion de las variables Yi.Existen resultados similares (las cotas no son de tipo exponencial) cuando

las variables aleatorias Yi no aceptan transformada de Laplace pero son detipo sub-exponencial. Para la demostracion de estos resultados, ampliar yprofundizar los conocimientos sobre este tema puede consultarse [2, 5, 8].

Hay una gran variedad de extensiones de este modelo, desde encontrar laestrategia optima de reaseguro (ver por ejemplo [16]) hasta considerar que

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la companıa puede invertir en un activo con riesgo y encontrar la estrategiaoptima de inversion (ver por ejemplo [7, 10, 16] y la bibliografıa contenidaen estas referencias) entre otros.

Por ultimo quisiera terminar este artıculo con un comentario de Poisson[14] pag. 36 acerca de de la Probabilidad, descripcion que los apasionadosde lo aleatorio traemos siempre con nosotros:

une des principales branches des mathematiques, soit par le nombre etl’utilite de ses applications, soit par le genre d’analyse auquel il a donne

naissance.Aucune autre partie des mathematiques n’est susceptible d’applications plus

nombreuses et plus immediatement utiles.

una de las principales ramas de las matematicas, sea por el numero y lautilidad de sus aplicaciones, sea por el tipo de analisis al que ha dado

nacimiento.Ninguna otra rama de las matematicas es tan susceptible de aplicaciones

tan numerosas y tan inmediatamente aplicables.

Agradecimientos. Quisiera agradecer a los organizadores del Taller Re-gional de Probabilidad por la invitacion a escribir un artıculo de divulgacion.A mi entranable amiga Beatriz Rodrıguez por su entusiasmo cuando leyo laprimera version de este trabajo, que no es sino el producto de nuestras muylargas conversaciones a lo largo de los anos, pues el Proceso Poisson es unode nuestros temas predilectos. A Ana Meda con quien tambien he tenidouna gran afinidad e hizo algunas correcciones de imprecisiones en la primeraversion. A los encuentros con Victor Perez Abreu que estan descritos enlos ultimos anos por un Proceso Poisson, especialmente el ultimo, en el queocurrieron dos eventos de probabilidad cero, su visita a mi oficina y el hechode que exactamente en esa ocasion conversaramos sobre el Proceso Poisson.Esto no es sorprendente pues como decimos Beatriz y yo y como hemos vistoen este trabajo, los eventos que ocurren son los de probabilidad cero. A JuanMartin Barrios quien no solo leyo cuidadosamente una parte del artıculo sinoque me apoyo con las simulaciones y las graficas que aparecen en el texto.Finalmente al revisor anonimo del artıculo por sus comentarios que ayudarona mejorarlo.

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Bibliografıa

[1] Arago, F.. Simeon Denis Poisson. Oeuvres completes de Francois AragoII. Paris, 1984, 591-698.

[2] Asmussen, S. Ruin Probabilities. Advances Series on Statistical Scienceand Applied Probability. Vol. 2, 2000. World Scientific.

[3] Cournot, A-A Expositions de la theorie ded chances et de probabilites.Paris, 1843.

[4] Cramer, H. On the Mathematical Theory of Risk. 1930. Skandia JubileeVolume. Stocholm.

[5] Embrechts, P., Kluppelberg, C. Mikosch, T. Modelling Extremal Eventsfor Insurance and Finance. Applications of Mathematics StochasticModelling and Applied Probability, Vol 33, 1977. Springer.

[6] Feller, W. Introduccion a la Teorıa de Probabilidades y sus Aplicaciones.Volumen 1, Segunda reimpresion, 1980. Limusa.

[7] Gaier, G. Grandits, P. Schachermayer, W. Assymptotic Ruin Probabil-ities and Optimal Investment. Annals of Appl. Prob. Vol. 13 No. 3pag.1054-1076. 2003.

[8] Grandell, J. Aspects of Risk Theory. 1991. Springer, Berlin.

[9] Haight, F. A. Handbook of Poisson Distribution. 1967. New York.

[10] Hipp, C. Plum, M. Optimal Investment for Insurers. Insurance, Math.and Econom. 27, Vol. 27 pag. 215-228. 2003.

[11] Karlin, S. Taylor, H.M. A Second Course in Stochastic Processes. 1986.Academic Press, Inc. New York.

[12] Lundberg, F. Approximerad framstallning av sannolikhetsfunktionen.Aterforsakring av kollektivrisker. Akad. Afhandling. Almqvist och Wik-sell, Upsala. 1903.

[13] Lundberg, F. Forsakringsteknisk Riskutjamming. 1926, F. EnglundsBoktryckeri AB Stocholm.

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[14] Poisson, S. D. Recherches sur la Probabilie des Jugements en MatiereCriminelle et en Matiere Civile.

[15] Ross. S. A First Course in Probability. Fourth Edition, 1994. PrenticeHall.

[16] Schmidli, H. Optimisation in non life insurance. Stochastic Models. Spe-cial issue: Proceedings of the 8 th. Sym. on Prob. and Stoch. Processes.Vol. 22 Num. 4 2006.

[17] Sheynin, O.B. S. D. Poisson’s work in probability. Arch. History ExactSci. 18 1977/78. Num. 3, 245-300.

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