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La solución de ecuaciones, lineales y cuadráticas, desde una perspectiva

geométrica; análisis disciplinar y didáctico

Luis Eduardo Bastidas Cuesta

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2012

La solución de ecuaciones, lineales y cuadráticas, desde una perspectiva

geométrica; análisis disciplinar y didáctico

Luis Eduardo Bastidas Cuesta

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora:

Doctora Clara Helena Sánchez Botero

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2012

A mi esposa Sandra y mis hijos Daniela,

Luisa Gabriela y Martin Eduardo

Agradecimientos

Quiero agradecer a Dios por permitirme avanzar en este camino profesional, a la

licenciada Irma Toro Castaño rectora del Colegio Liceo Nacional Antonia Santos por su

apoyo y comprensión. A la Doctora Clara Helena Sánchez Botero quien como directora

de este trabajo me orientó por la senda del éxito pese a las dificultades presentadas. A

mi esposa Sandra Maritza Roldán Sierra por su apoyo y motivación incondicional y a

mis hijos Daniela, Luisa Gabriela y Martin Eduardo Bastidas Roldán por su comprensión

al minimizar el tiempo de compartir con ellos.

Resumen y Abstract IX

Resumen

La falta de motivación de algunos estudiantes del ciclo IV (Grado octavo y noveno) de Educación Básica Secundaria hacia el álgebra, en el colegio oficial Liceo Nacional Antonia Santos de Bogotá, entre otras razones, se presenta por la falta de sentido y significación de los conceptos y procesos relacionados con ella. Para minimizar esta problemática se propone una serie de talleres cuya base fundamental es el álgebra geométrica de los griegos como herramienta didáctica, con los cuales se pretende que el profesor y el estudiante den mayor sentido y significación a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas reconociendo que la herramienta presenta limitaciones para la generalización del proceso. Palabras clave:

Didáctica del álgebra, álgebra geométrica de los griegos, solución de ecuaciones, ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas.

Abstract

The lack of motivation in some students of cycle IV (eight and nine grade) in high school towards on algebra, on the official school ”Liceo Nacional Antonia Santos” of Bogotá, in others reasons, it is present by the deficiency of sense and signification of concepts and process related with it. To minimize this problematic, we suggest a series of workshops in which is very important the geometrical algebra of the Greeks as a tools of didactic, in which it pretends that the teacher and student have to give more sense and meaning in the solution of equations lineal and quadratics, recognizing that this tool has limitations for the generalization of the process.

Keywords:

Algebra didactic, geometrical algebra of the Greeks, solution of equations, lineal equations, quadratic equations.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ......................................................................................................................... IX

Introducción..................................................................................................................... 1

1. Planteamiento del problema didáctico ................................................................... 3

2. Aspectos históricos y epistemológicos. ................................................................ 5 2.1 Aspectos históricos .......................................................................................... 5 2.1.1 Los babilonios ................................................................................................. 5 2.1.2 Los egipcios .................................................................................................... 8

2.1.3 Los griegos……………………………………………………………………………8 2.1.4 El nacimiento del álgebra simbólica……………………..……………………….13 2.2 Aspectos Epistemológicos ………………………………………………………… 15

3. Aspectos disciplinares y sus dificultades en el proceso enseñanza aprendizaje del álgebra. .................................................................................................................... 17 3.1 De los sistemas numéricos…………...……….………………………………………17 3.2 Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico………………………………………23

3.2.1Algunas dificultades asociadas al lenguaje algebraico………………………… 24 3.2.1.1 Del signo de igualdad ………………………………………………………….. . 24 3 .2.1.2 De la sustitución formal ………………………………………………………….24 3.2.1.3 Del uso y significado de las letras…………………………………………….…25 3.3 Estructura y alternativas de solución para las ecuaciones de grado uno y dos. 25 3.3.1 De la estructura…………………………………..…………………………………27 3.3.2 De las alternativas de solución . ………………………………………………….29 3.3.2.1 De la solución de ecuaciones con una incógnita………………………………30 3.3.2.1.1 Ecuación de primer grado …………………. …………………………….. 30 3.3.2.1.2 Ecuación de segundo grado o cuadrática………………….…………………31

Solución geométrica ……………………………………………………… ......31 Solución por factorización………………………………………………………31 Relación entre raíces y coeficientes de la ecuación cuadrática …………...32

4. Descripición de la propuesta didáctica……………………….…………………………32 4.1 Planteamiento de la propuesta didáctica ............................................................ 33 4.2 Desarrollo de la propuesta ................................................................................ 33 4.3 propósito al aplicar la propuesta…………………..……………………………..35

4.4 Actividades de la propuesta …………………………………………………….….35

4.4.1 Guía del profesor………………………………………………………………………….36

XII Título de la tesis o trabajo de investigación

4.4.2 Taller tipo cero: Uso y significado de las letras ……………………………………….37

4.4.3 Taller tipo I: Revisión de expresiones algebraicas ……………………………………39

4.4.4 Taller tipo II: Revisión de ecuaciones lineales ………………………………………..41

4.4.5 Taller tipo II: Revisión de ecuaciones Cuadráticas …………………………………..43

4.4.6 Taller tipo III: De reconocimiento de material …………………………………………45

4.4.7 Taller tipo IV: Resolución de ecuaciones lineales …………………………………....48

4.4.8 Taller tipo V: Resolución de ecuaciones cuadráticas…………………………………53

5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................57 5.1 Conclusiones ..................................................................................................57 5.2 Recomendaciones ..........................................................................................57

Bibliografía .....................................................................................................................58

Introducción

La solución de ecuaciones lineales y cuadráticas desde una perspectiva geométrica, análisis disciplinar y didáctico, presenta una propuesta didáctica que emplea la

denominada álgebra geométrica de los griegos como escenario para dar contexto y significación a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. La propuesta pretende fortalecer los procesos de desarrollo del pensamiento algebraico en los estudiantes del ciclo IV (grados octavo y noveno), en el Liceo Nacional Antonia Santos, Institución Educativa Distrital de la ciudad de Bogotá.

La transición de la aritmética al álgebra requiere procesos de generalización, modelación y solución de problemas en diferentes contextos. “El conocimiento algebraico es presentado en forma árida, abstracta y descontextualizada lo que además de desmotivar a los estudiantes los lleva a limitarse a memorizar conceptos, y procedimientos sin comprender su significado ni establecer relaciones entre ellos” afirma Pérez (1998). El aprendizaje de los procesos de solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, requiere claridad en los significados de los conceptos de variable, expresión algebraica y polinomio, igualdad e identidad de ecuaciones al menos. Es por ello que se propone una opción que permita darle sentido y significación a los procesos algebraicos asociados a la solución de este tipo de ecuaciones; la claridad en estos conceptos le permitirá aplicarlos en diferentes contextos.

La propuesta se origina por un lado en la reflexión del quehacer en el aula como docente y por otro al profundizar en la historia de la matemática. Los babilonios y los griegos solucionaron ecuaciones lineales y cuadráticas por medio del proceso conocido como “aplicación de áreas” con ejemplos resueltos en forma retórica, que pueden ser interpretados con el lenguaje actual del álgebra. Lo anterior requiere revisar aspectos disciplinares, históricos y epistemológicos del álgebra para que desde una perspectiva geométrica se estructure la propuesta didáctica para la solución de ecuaciones de primero y segundo grado.

La manipulación de cuadrados y rectángulos le permiten al estudiante fortalecer el reconocimiento, uso y aplicación de los conceptos algebraicos que le facilitan la modelación y generalización de la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, dejando claro que para la didáctica empleada se tiene la limitación que las cantidades que se manejan son siempre pertenecientes al conjunto de los números racionales positivos.

Para el desarrollo de este trabajo se realizó una revisión bibliográfica respecto a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas en la historia de la matemática, orientada en particular al álgebra geométrica de los griegos, sentando como gran referente el libro

2 La solución de ecuaciones lineales y cuadráticas desde una perspectiva geométrica, análisis disciplinar y didáctico

Elementos de Euclides. Con el referente anterior se analizaron, en un primer momento,

tres tipos de talleres con los que se desarrollaría la propuesta didáctica. Estos permitieron establecer los tópicos matemáticos mínimos a profundizar, requeridos para sustentar el trabajo. De este análisis se decidió ampliar los talleres a cinco que se presentan al final de este trabajo.

En el capítulo 1 se presenta el planteamiento del problema didáctico donde se resaltan las debilidades y fortalezas identificadas en los estudiantes del ciclo IV de educación básica. En el capítulo 2, se tratan aspectos históricos y epistemológicos pertinentes y se señalan los aportes más relevantes de los últimos 30 años de la investigación realizada en el desarrollo del pensamiento algebraico. En el capítulo 3 se consideran los aspectos disciplinares y las dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas y en el capítulo 4 se presenta la propuesta didáctica, con la cual esperamos hacer un aporte en el maravilloso camino del álgebra escolar utilizando la historia de la matemática.

1. Planteamiento del problema didáctico

El proceso de enseñanza aprendizaje del álgebra escolar presenta serias dificultades en los estudiantes, desde la transición de la aritmética al álgebra, que exige procesos de generalización, modelación y solución de problemas en diferentes contextos, que son requeridos cuando se quiere dar solución a ecuaciones lineales y cuadráticas. Estas requieren claridad en los significados de expresión algebraica, variable, polinomios y operaciones entre ellos, básicas para el proceso de enseñanza aprendizaje del álgebra.

También son indispensables la comprensión y manejo que de los distintos sistemas numéricos ya que sin una adecuada comprensión de ellos es imposible cimentar el conocimiento y manejo del álgebra escolar.

Las dificultades de los estudiantes han sido abordadas por varios autores enfocados en educación matemática, entre quienes resalto las investigaciones realizadas por Kieran y Filloy (1989), Socas y otros (1989), Kieran (1992) y Rojano (1994). Sus trabajos se orientan a la transición del pensamiento numérico al algebraico, particularmente a los procesos específicos de la sustitución formal, la generalización y la modelación de situaciones concretas. En ellos encontramos valiosos aportes para mejorar la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en la educación secundaria.

Como bien sabemos la solución de una ecuación depende del sistema numérico en el cual se esté trabajando, y aunque el teorema fundamental del álgebra garantiza que

toda ecuación algebraica de grado 𝑛 tiene 𝑛 raíces complejas no da un algoritmo para encontrarlas. Por ello el trabajo didáctico en la educación básica escolar tiene tantas dificultades, ya que en el ciclo IV (grados octavo y noveno) los estudiantes deben aumentar su conocimiento referente a procesos cognitivos del álgebra aún cuando muchos de ellos con dificultad manejan los números racionales y ni que decir de los serios problemas que tienen con los irracionales, dejando en evidencia el desconocimiento del marco aritmético de referencia necesario para la solución de ecuaciones.

Como docente de matemáticas en cursos de álgebra he notado que los estudiantes presentan dificultades como las mencionadas, pero tienen una buena disposición para aprender de forma dinámica con la manipulación de materiales que les permitan dar sentido y significado a los procesos matemáticos que han visto pero no comprendido.

Por esto considero que el álgebra geométrica de los griegos es una estrategia que facilita a los estudiantes fortalecer el desarrollo del pensamiento algebraico en la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas con sentido y significado. Reconozco las


limitaciones que tiene el álgebra geométrica que depende del contexto en que se usa. Igualmente reconozco las dificultades del paso de un lenguaje informal, para facilitar la comprensión, al lenguaje simbólico del álgebra. A pesar de ello pienso que es un buen recurso didáctico en el proceso de acercamiento al álgebra.

2. Aspectos históricos y epistemológicos.

Haremos una breve reseña de los momentos que consideramos más relevantes en el desarrollo del álgebra.

2.1 Aspectos históricos 2.1.1 Los babilonios. Probablemente cerca del año 2 600 a.C. los babilonios idearon un sistema de numeración posicional y sexagesimal; dicho sistema emplea dos signos básicos, la unidad representada por una cuña vertical y la decena por una cuña en posición horizontal. Inicialmente no usaban el cero el que mucho más tarde representaban con dos cuñas oblicuas. El legado de los babilonios se encuentra en las tablillas Babilónicas que tratan de multiplicación, de recíprocos, de cuadrados y cubos de números y contienen problemas relacionados con las finanzas de la época. En geometría conocían las llamadas triplas Pitagóricas y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra tratan problemas de segundo, tercero y cuarto grado de manera independiente ya que cada problema se resuelve por medio de una “receta” sin generalizar el proceso. Los problemas que aparecen en las tablillas se expresan retóricamente, sin notación simbólica y su solución “aparece como una secuencia de reglas por aplicar, de operaciones a efectuar, sin justificación alguna” Guzmán (2010).De acuerdo con este autor “la ecuación lineal 𝑎 ∙ 𝑥 = 𝑏 se solucionaba consultando la tablilla

de recíprocos para hallar el recíproco de 𝑎 y multiplicando por 𝑏 el número obtenido por

𝑏”, lo que se expresaría hoy 1

𝑎∙ 𝑏 = 𝑥.

En el caso de las muy inquietantes ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

procuraban ajustar los problemas del contexto a la estructura 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐, donde 𝑏 y 𝑐 son positivos. Se cree que los resultados que obtuvieron al

plantear la ecuación 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑐 y su solución

requieren un esquema de observaciones 𝑏

2

geométricas basados en un gráfico como el de la derecha. Luego, por comparación de

áreas y ordenando exponentes se tiene: 𝑥 𝑥

𝑥2 + 2 𝑏𝑥

2 +

𝑏

2

2

= 𝑏

2+ 𝑥

2

de donde se obtiene 𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑏

2+ 𝑥

2

− 𝑏

2

2

. 𝑥 𝑏

2

Figura N° 1

𝑏

2

2

𝑥2 𝑏 𝑥

2

𝑏 𝑥

2


Y si se conoce el valor de 𝑏 y 𝑐 , se tiene que 𝑐 = 𝑥2 + 𝑏𝑥, lo que permite llegar a

que 𝑐 = 𝑏

2+ 𝑥

2

− 𝑏

2

2

y luego “despejando 𝑥” se tiene que 𝑥 = 𝑏

2

2

+ 𝑐 −𝑏

2 en

donde la raíz positiva es la que tiene sentido. El seguimiento geométrico de este procedimiento tiene un correlato algebraico, posible de ser interpretado con las actuales herramientas del lenguaje simbólico. Por ejemplo

para la ecuación 𝑥2 + 𝑥 =3

4, donde 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 =

3

4 se tiene:

Transformaciones algebraicas

Acciones Interpretación geométrica

𝑥2 + 𝑥 =3

4

haciendo 𝑥 = 2𝑥

2

Reconocer que es una ecuación cuadrática en donde se busca el valor de la

incógnita 𝑥.

=

+

𝑥2 + 2𝑥

2=

3

4

Interpretación de la “nueva” ecuación como suma de áreas para procurar un nuevo cuadrado.

=

𝑥2 + 2 𝑥

2 +

1

2

2=

3

4+

1

2

2

Se suma 1

2

2 a ambos lados

Se “completa el cuadrado” del extremo izquierdo de la igualdad y se suma otro igual al extremo derecho.

=

𝑥 2

𝑥2

1

2

2

𝑥

2

3

4

𝑥 2

𝑥2

𝑥

2

3

4

1

2

2

1 ∙ 𝑥

𝑥

1

𝑥2

𝑥

x

𝑥

3

4

A 7

Transformaciones algebraicas

Acciones Interpretación geométrica

Se efectúa el producto notable

𝑥 +1

2

2

= 1

Se saca la raíz a ambos lados

𝑥 +1

2

2

= 1

Reescribir el área del nuevo cuadrado en cada extremo de la ecuación con base en la longitud del lado resultante en ambos extremos

1

2

1 =

𝑥

𝑥 1

𝑥 1

2

Como 𝑥 +1

2= 1

Se tiene que

𝑥 =1

2

Comparando la longitud de los lados de los nuevos cuadrados se obtiene el valor de la incógnita

𝑥.

=

𝑥 + 1

2 1

La tabla anterior permite proponer que a través de un proceso de visualización geométrica de la ecuación de segundo grado se pueda apreciar el manejo algebraico que lleva al cálculo de la raíz. Es claro que por el desconocimiento del valor de la incógnita la representación escogida parece bastante desproporcionada. Para los babilonios, según Sessa (2005) “las figuras son esquemas que permiten considerar en forma conjunta tanto los datos del problema como aquello que se quiere hallar”, con un gran parecido a como se escribe una ecuación, en donde la resolución numérica se apoya en estas figuras para guiarse en el cálculo; pero no se realizan transformaciones a partir de los datos, que permitan obtener en el dibujo los objetos buscados, es decir la incógnita representa un valor numérico pero en el dibujo no se construye con esa medida, ya que dejaría el problema resuelto. De lo anterior se puede concluir que los babilonios dieron un tratamiento numérico con apoyo geométrico para resolver ecuaciones de segundo grado y de ahí surge la pregunta: ¿Qué es lo que permite diferenciar un problema aritmético de uno geométrico o uno algebraico? Una posible argumentación, según Sessa (2005), “sería más bien la

𝑥 +1

2

2

1


interacción de un problema con el conjunto de herramientas de quien lo enfrenta- y la disponibilidad que tiene de las mismas- lo que haría factible un tipo de solución más geométrica o más algebraica. Luego los babilonios resolvían problemas que hoy se ubican en el dominio de álgebra y lo hacían con métodos geométricos”, como se ilustró con el ejemplo dado.

2.1.2. Los egipcios Los desarrollos matemáticos de esta civilización quedaron plasmados en papiros entre los que se pueden resaltar los de Rhind, del escriba Ahmes ( 1650 a.C.), que consta de problemas clasificados por los estudiosos en cinco áreas; aritmética, estereometría (astronomía), geometría, cálculo de pirámides y problemas prácticos. El de Moscú, con autor desconocido (1850 a.C.) tiene dos problemas de especial significado; el cálculo de 𝑃𝑖 = 3, 1604 y el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada – la inferior de

lado a y la superior de lado b - por medio de la fórmula 𝑉 =𝑕

3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏 .

Los egipcios utilizaron un sistema de numeración aditivo no posicional y podían calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, el volumen de cilindros y prismas rectos, y estaban familiarizados con la semejanza y la proporcionalidad de figuras planas. En álgebra en general manejaban las progresiones aritméticas, utilizaban la conmutatividad y la distributividad y estaban familiarizados con el inverso de un número, no sabían resolver las ecuaciones cuadráticas, pero resolvían ecuaciones lineales por el método de “regula falsi” o falsa posición, lo que hoy se conoce como ensayo y error. Un ejemplo comentado por Guzmán (2010), es el siguiente:

Para resolver la ecuación 𝑥 +𝑥

7= 24, se asigna un valor a 𝑥 y se comprueba si con este

valor se cumple la ecuación. Sea 𝑥 = 7, como 7 +7

7= 8 ≠ 24, 7 es solución falsa; sin

embargo hay una relación entre este resultado y 24: 24 = 3 por 8. Luego la solución se

puede hallar de modo sencillo, multiplicando 𝑥 𝑝𝑜𝑟 3. Es decir 𝑥 = 21.

El ejemplo es un valioso aporte para motivar a los estudiantes que inician el aprendizaje del álgebra a encontrar una solución numérica, dentro del proceso de variabilidad de la

letra 𝑥, de ecuaciones lineales e invitarlos a procesos más complejos.

2.1.3 Los griegos.

Para una mejor exposición y siguiendo de nuevo a Guzmán (2010) se toman dos momentos para resaltar aportes de autores como Pitágoras y Euclides. Euclides es particularmente relevante en la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas por el método geométrico.

Los principales desarrollos de la escuela pitagórica, liderada por Pitágoras (580-500 a.C.), se encuentran en el origen de la aritmética clásica; para ellos los números naturales son concebidos como colección de unidades; el 1 es la base de la colección.

A 9

La configuración geométrica les permite estudiar propiedades de los números, los cuales de acuerdo con la figura encontrada recibían el nombre de números triangulares, cuadrados, rectangulares, pentagonales, piramidales o cúbicos. Un mismo número puede representarse por medio de varias configuraciones. Se dice que los pitagóricos crearon el álgebra geométrica, y alcanzaron a emplear algunos números racionales positivos, pero se encontraron con la dificultad de expresar la diagonal del cuadrado como múltiplo de sus lados. En este método la suma de números se expresa por adición de la longitud de segmentos, la multiplicación como área de un rectángulo cuyos lados son segmentos y la solución de ecuaciones cuadráticas se interpretó como adición o sustracción de áreas. Las identidades algebraicas se pueden interpretar como un “arreglo geométrico” de cuadrados y rectángulos equivalentes.

Por su lado Euclides aporta su obra Elementos (300 a.C.) distinguida como “compendio del conocimiento matemático de la antigüedad”. Su importancia radica, más que en la matemática que incluye, en el estilo de razonamiento que allí se encuentra y que se conoce como razonamiento al estilo geométrico. La recopilación y sistematización que él

logró es el gran cimento de lo que se conoce como el método axiomático; en donde a partir de unas pocas definiciones, unos postulados y unos axiomas se demuestran las demás proposiciones de la obra.

Esta obra se compone de 13 libros que incluyen 467 teoremas en total sobre: geometría plana (libros I al IV), teoría de la proporción (libros V y VI), teoría de números (libros VII al X) y geometría del espacio (libros XI al XIII).

El primer libro contiene 5 postulados, 5 nociones comunes o axiomas, 23 definiciones y 48 teoremas que conducen a la demostración del conocido teorema de Pitágoras y su recíproco, herramienta muy útil en la solución de problemas que pueden solucionarse por cuadratura de áreas. El libro II contiene 2 definiciones y 14 proposiciones que ilustran gran parte de la denominada álgebra geométrica de los griegos, ya que las diez primeras suelen representarse atendiendo a esta perspectiva en forma de ecuaciones. Los demás libros mantienen una estructura de iniciar con unas definiciones y continuar con proposiciones o teoremas. Cada teorema tiene cinco partes bien definidas; enunciado general, figura, enunciado particular, construcción y demostración. Los teoremas son de dos tipos: los problemas que tratan de la construcción de figuras y los teoremas sobre propiedades de las figuras geométricas contenidas en la proposición demostrada. A continuación referenciamos tres ejemplos tomados de la traducción de Puertas (1991).

Ejemplo 1: “Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la no cortada y cada uno de los segmentos”1.

Su demostración se apoya en la Figura N° 2, con la cual podemos rehacer la proposición:

sean GH y GB dos segmentos tales que GH se corta en un cierto número de lados [tres en el caso de el ejemplo] entonces el rectángulo comprendido por las dos rectas [GHCB] es igual a los rectángulos por la no cortada [GB] y los segmentos [GK, KL y LH]

1 Euclides, Elementos, libro II, proposición 1.


B D E C A

G K L H

F

Figura N° 2

Una ilustración apelando a las longitudes de los segmentos involucrados es la siguiente:

𝑎 = 𝑎

𝑏 𝑐 𝑑 𝑏 𝑐 𝑑 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

Figura N° 2’

la cual algebraicamente se expresa como 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑑, identidad en la que reconocemos la propiedad distributiva de la adición respecto al producto

Ejemplo 2: Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos”2.

Esta proposición relaciona las áreas de rectángulos y cuadrados como se ilustra, en la Figura N° 3, a continuación:

que nos conduce al conocido producto notable: 𝑏

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2.

𝑎

𝑎 𝑏 Figura N°3

Ejemplo 3: “Si se corta una línea recta en (segmentos) iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la (recta) entera junto con el cuadrado de la (recta que está) entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad” 3.

2 Euclides, Elementos, Libro II proposición 4.

3PUERTAS María (1991), en el Libro II proposición 5, introduce en su traducción entre paréntesis

palabras que en su criterio permiten clarificar la idea original del texto, y en particular para este

𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 ∙ 𝑐

𝑎 ∙ 𝑐

𝑎2

𝑎 ∙ 𝑏

𝑎∙𝑏

𝑏2

𝑎 ∙ 𝑑

A 11

El análisis de esta proposición realizado por Puertas4 nos muestra la dificultad en la interpretación de esta proposición, ya que nos puede llevar a más de una alternativa dependiendo de cuales segmentos se tomen como punto de partida entre todos los que determina la figura.

De lo anterior es valioso comprender que en el proceso de modelación algebraica tiene gran relevancia el paso fundamental de la elección de variables, lo que aporta para que la solución del problema sea fluida o engorrosa. Ahora en cuanto al método de aplicación de áreas un nuevo ejemplo es la proposición 44 del Libro I: “Aplicar a una recta dada en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado”5. Claramente pretende construir un rectángulo “igual” a un

triángulo dado. La demostración de Euclides es la siguiente: Sea AB la recta dada, el triángulo dado (r) y Δ el ángulo rectilíneo dado. Así pues, hay que aplicar a la recta dada AB, en un ángulo igual a Δ, un paralelogramo igual al triangulo dado r.

Z E K B Δ ⟹

r H M A B Θ A Δ Constrúyase el paralelogramo BEZH igual al triángulo r en el ángulo EBH, que es igual al Δ [I, 42]; y hágase de manera que BE esté en línea recta con AB y prolónguese hacia el otro lado ZH hasta Θ, y por el (punto) A trácese AΘ paralela una de las dos rectas BH, EZ [I, 31], y trácese ΘB. Y dado que la recta incide sobre las paralelas A Θ, EZ, entonces los ángulos A ΘZ, ΘZE son iguales a dos rectos [I, 29]. Por tanto los ángulos BΘH, HZE son menores que dos rectos, se encuentran [Post. 5]; luego ΘB, ZE prolongadas se encontrarán. Prolónguese encuéntrense en K, y por el punto K trácese K Δ paralela a las dos rectas EA, ZΘ [I, 31] y prolónguese ΘA, HB hasta los puntos K

caso aclara que no hay un traducción literal al español. Pero afirma que “se refiere, sin duda, a la recta que está entre los puntos de sección”. 4Puertas María (1991), propone que la expresión algebraica que representa la proposición en

términos modernos es: 𝑎𝑏 + 𝑎+𝑏

2− 𝑏

2

= 𝑎+𝑏

2

2

lo que se puede interpretar hoy como una

diferencia de cuadrados cuyo sustento teórico es el teorema de Pitágoras que Euclides demuestra en la proposición 47 del Libro I de Elementos. 5 Autores como Puertas (1991) destacan este resultado porque permite la transformación de un

paralelogramo de cualquier tamaño en otro con el mismo ángulo y de área igual, pero con un lado de cualquier longitud dada. Con él también se da relevancia al método de aplicación de áreas, cuyo uso se remonta a los pitagóricos.


Δ, M. Entonces Z ΔKΘ es un paralelogramo (situado) en torno a ΘK, y AB, BZ los llamados complementos; por tanto ΔB es igual a BZ [I, 43]. Pero BZ es igual al triángulo r; luego ΔB es también igual a r [N.C. 1]. Y como el ángulo HBE es igual al (ángulo) ABM [I,15], mientras que el ángulo HBE es igual a Δ, entonces el ángulo ABM es también igual al ángulo Δ. Por consiguiente, se ha aplicado a la recta dada AB el paralelogramo ΔB igual al triángulo dado r, en el ángulo ABM que es igual a Δ. Q.E.F.

Este teorema es clave para utilizarlo más tarde en ejemplos de aplicación de áreas. Es un escenario histórico de la matemática que puede ser aprovechado como recurso en las actividades que se proponen al estudiante, para dar contexto y significado a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas; pero para el interés de este trabajo esta proposición en términos un poco más simples se puede expresar “Dados dos segmentos, construir sobre un tercer segmento dado un rectángulo con área igual al rectángulo formado por los dos primeros”6. Para la cual Sessa (2005) propone la siguiente

elaboración que se ilustra a continuación:

Se parte de tres segmentos con longitudes 𝑎, 𝑏, 𝑐

𝑎 𝑏 𝑐

Con los segmentos se construye el triángulo de la Figura A que se duplica en la Figura B en donde el segmento marcado con x representa la solución del problema, lo cual se

justifica porque las áreas de los rectángulos sombreados son iguales. Esto se puede demostrar con base en la proposición 34 del libro I de Elementos.

𝑏 𝑥 𝑏 𝑥

𝑎 𝑎

𝑐 𝑐

Figura A Figura B

Lo anterior es una solución geométrica para la ecuación lineal 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑥 ∙ 𝑐 , de donde

𝑥 =𝑎∙𝑏

𝑐. Y que también se puede expresar como

𝑎

𝑥=

𝑐

𝑏 lo que permite hallar la cuarta

proporcional, pero requiere de una construcción diferente basada en el teorema de Tales de Mileto7, que en términos de Euclides dice: “Si se traza una línea recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se

6 Con variantes Sessa, presenta a Euclides, Elementos, Libro I proposición 44, en su tarea de

“transcripción” a los modos algebraicos actuales. 7 Euclides enuncia y prueba este teorema en la Proposición 2 del libro VI, apoyándose en la

teoría de las proporciones que desarrolla en el Libro V de los Elementos.

A 13

cortan proporcionalmente los lados de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado restante del triángulo.”

En Euclides la noción de igualdad se soporta, en las tres primeras nociones comunes o axiomas de los Elementos:

Noción común 1: Las cosas Iguales a una misma cosa son también iguales entre si.

Noción común 2: Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.

Noción común 3: Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.

Geométricamente las operaciones con segmentos se rigen de la siguiente manera:

1. La suma de dos segmentos de recta 𝑎 y 𝑏 es un segmento de recta 𝑐 lo que en

lenguaje actual se escribe 𝑎 + 𝑏 = 𝑐.

2. El producto de dos segmentos de recta 𝑎 y 𝑏 es un rectángulo R. Este producto

es un objeto geométrico y no se emplea como el resultado de la multiplicación en aritmética.

3. Por medio del teorema de Pitágoras todo polígono se puede “cuadrar”. Primero se divide en triángulos, luego estos se cuadran usando los postulados y teoremas de Euclides y luego se halla un cuadrado equivalente, en área, a la suma de dos cuadrados, y se continúa hasta obtener un solo cuadrado equivalente en área al polígono original.

La geometría de los griegos da un gran paso de abstracción al considerar los objetos construidos con regla y compás como entes ideales que pueden ser manipulados mentalmente, sus propiedades se demuestran para garantizar la veracidad de un conocimiento.

2.1.4 El nacimiento del álgebra simbólica.

Diofanto (250 – 334 aprox.)

Este matemático griego con su obra Arithimetica plantea problemas y encuentra en cada

caso una solución al problema que plantea Sessa (2005). Lo que permite atribuirle el

comienzo de un tratamiento que llamaríamos netamente algebraico de la solución de

ecuaciones. Diofanto evita las dificultades inherentes en los irracionales restringiendo la

soluciones buscadas a los racionales (Acevedo y Falk, 1997).


Para el año 250, como lo comenta Yuste 8 al realizar un análisis comparativo entre los

procedimientos de los babilonios y Diofanto respecto a la solución de ecuaciones de

grado dos, asigna una solución única para las igualdades 𝑎𝑥2 ± 𝑏 = 𝑐 y 𝑎𝑥2 ± 𝑐 = 𝑏𝑥.

Al-Khowarizmi

Este matemático árabe del siglo IX, en su libro Compendio de cálculos por al-jabr y al-

mugabala, libro base del álgebra en lengua árabe Sessa (2005), aporta la solución de

seis tipos de ecuaciones a los cuales se pueden reducir todas las ecuaciones lineales y

cuadráticas. Estos (en nuestra notación contemporánea) son:

𝑎𝑥2 = 𝑏 𝑥

𝑎𝑥2 = 𝑏

𝑎 𝑥 = 𝑏

𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑥 = 𝑐

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 𝑏 𝑥

𝑎𝑥2 = 𝑏 𝑥 + 𝑐

Aquí se evidencia la habilidad para evitar cantidades negativas y la manifestación de un

proceso del pensamiento matemático, a saber, la clasificación de las ecuaciones de

acuerdo con el número de términos que contiene Acevedo y Falk (1997).

Este autor, por el año 850, empleó un método que incluía transposición de términos y

cancelación de términos iguales para solucionar ecuaciones de segundo grado que

tienen respaldo geométrico por el método de completar el cuadrado y comparación de

áreas.

Viète (1540 -1603)

Otro gran momento del álgebra se da cuando Viète introduce las letras para representar

incógnitas y parámetros lo que produjo un gran cambio de perspectiva. Manteniendo la

interpretación geométrica que representaba los números como segmentos y sus

potencias (cuadradas) como cuadrados, respetando rigurosamente el principio de

homogeneidad, que consiste en la observación de que, en cuanto a su interpretación

geométrica términos como 𝑥, 𝑥2 𝑦 𝑥3 representan entes de distinta dimensión.

8Yuste, P. (2008). Ecuaciones cuadráticas y procedimientos algorítmicos. Diofanto y las matemáticas en

Mesopotamia. THEORIA. An International Journal For Theory, History And Foundations Of Science, 23(2).

Retrieved from http://ehu.es/ojs/index.php/THEORIA/article/view/396.

A 15

Descartes (1596-1650)

El lenguaje algebraico aparece como herramienta para la solución de ecuaciones y gana una fuerza enorme con el desarrollo de la geometría analítica propuesta por él en su libro Geometría que emplea símbolos algebraicos como los que se usan hoy día, con una diferencia ya que él consideraba los parámetros y las incógnitas como segmentos, lo que en la actualidad son números.

A manera de conclusión basándonos en Sessa (2005), la historia del álgebra algunos autores suelen dividir en tres grandes períodos:

Álgebra retórica donde enunciados y soluciones se escribían en lenguaje natural.

Álgebra sincopada cuando empiezan a aparecer símbolos que abrevian la escritura de los cálculos.

Álgebra simbólica en la cual el lenguaje básicamente es el del álgebra actual.

En este momento es importante detenernos en la importancia del uso de las letras en el álgebra y como evolucionaron a variables.

El uso de las letras en matemáticas se puede resumir en el siguiente proceso, propuesto por Enfedaque (1999) de la siguiente forma.

Es de destacar que al concepto de variable sólo se llega al final de este proceso y que presenta un alto grado de abstracción, lo que implica grandes esfuerzos tanto de profesores como de estudiantes, para manejarla correctamente.

2.2. Aspectos Epistemológicos

En general las diferentes investigaciones referentes al pensamiento algebraico buscan respuestas a preguntas puntuales en torno a la naturaleza del álgebra y a los procesos de pensamiento que ella implica, en pro de aportar procesos significativos de enseñanza –aprendizaje que permitan a los estudiantes construir significados para las expresiones algebraicas y para su manipulación. Sin embargo estas investigaciones también han evidenciado que el álgebra supone un cambio en el pensamiento del estudiante que debe

No utilizan las

letras. Uso de

palabras: lado,

cosa, monton…

Uso abreviado

de palabras: co,

ce, cu; solo

para la

incógnita.

Uso de letras

simbolizando

incógnitas y

constantes.


ir de lo informal a lo formal; igualmente evidencia la existencia de pocos modelos de enseñanza del álgebra acompañados de poca literatura referente a las creencias y actitudes de los profesores de matemáticas que la enseñan.

Las investigaciones sobre el pensamiento algebraico de finales del siglo XX y comienzos del XXI según Socas en su artículo 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑜 (2011)9, se orientan a la transición del pensamiento numérico al álgebra, en los procesos específicos de la sustitución formal, la generalización y la modelación. El trabajo presenta la búsqueda de propuestas que mejoren la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en la educación secundaria.

La gran dinámica de la investigación en álgebra permite identificar cinco perspectivas que orientan los esfuerzos por fortalecer los procesos de enseñanza-aprendizaje en la educación básica que, de acuerdo con Socas (2011) son: la relación entre la aritmética y el álgebra; dificultades y errores, las fuentes de significados para el álgebra, los mediadores tecnológicos, la organización de la enseñanza y la formación del profesorado.

En cuanto a las fuentes de significados para el álgebra sobresalen tres líneas importantes: las múltiples representaciones, el planteamiento y la resolución de problemas algebraicos contextualizados y el papel referencial del álgebra en matemáticas. Para la primera el uso de representaciones semióticas múltiples aporta al estudiante la posibilidad de modelar situaciones por medio de representaciones verbales, concretas, gráficas y algebraicas. Para la segunda se encuentran dos tendencias: la enculturación, que fomenta el hecho de que a los estudiantes hay que inculcarles hábitos y actitudes propias del quehacer matemático, y la realización de proyectos de resolución abierta donde el estudiante puede dar más de una respuesta correcta. Para la tercera se consideran tres escenarios: a) el lenguaje, que permite evaluar las interpretaciones y usos que los estudiantes realizan de los símbolos matemáticos, b) los procesos de pensamiento algebraico, como la sustitución formal, entendida como un instrumento de cálculo que se puede evidenciar en operaciones como la modelación y la generalización. La modelación emplea una etapa de formulación que examina una situación para establecer alguna o algunas relaciones entre las variables implicadas. Estas relaciones proceden de las observaciones o conjeturas propuestas para la situación que se analiza y se expresa mediante un modelo simbólico que en la etapa de validación requiere comprobar la validez del modelo propuesto al retomar al escenario que se supone representa. y c) los nuevos aspectos del desarrollo matemático que proponen escenarios de aplicación como la combinatoria y los fractales, entre otros.

9 El autor logra en este artículo realizar una clasificación de autores y tópicos de investigación que

han desarrollado como aporte al desarrollo del pensamiento algebraico.

A 17

3. Aspectos disciplinares y sus dificultades en el proceso enseñanza aprendizaje del álgebra.

En este apartado se trataran tópicos que permiten argumentar la base teórica, que se

supone mínima, para clarificar los procesos básicos relacionados con la solución de

ecuaciones lineales y cuadráticas. Se revisan aspectos relativos a los sistemas

numéricos que permiten reconocer el origen de algunas dificultades al interpretar la

solución de ecuaciones como 𝑎 𝑥 = 𝑏. También se resaltan algunas dificultades

inherentes al proceso de interpretación y representación de situaciones problema del

lenguaje ordinario al lenguaje algebraico y se finaliza con una revisión de aspectos

referentes a la estructura y alternativas de solución para las ecuaciones lineales y

cuadráticas.

3.1 De los sistemas numéricos

En el álgebra moderna un sistema numérico, es un conjunto en el cual se definen

operaciones y relaciones que tienen unas propiedades muy bien caracterizadas. Estas

leyes permiten demostrar, a partir de ellas, todas las otras propiedades de los elementos

del sistema.

El sistema de los números naturales está compuesto por dos operaciones la suma y la

multiplicación, operaciones que satisfacen la propiedades asociativa, conmutativa,

elemento neutro y están relacionadas por medio de la propiedad distributiva recolectiva.

Como con los números naturales la solución para ecuaciones de primer grado es muy

restringida es necesario ampliar el conjunto y para ello se requiere por lo menos un

dominio de integridad el cual paso a definir.

Capítulo 18

Me basaré en BIRKHOFF y MACLANE (1960) –traducción al español- y BIRKHOFF y

MACLANE (1977) edición en Inglés.

Definición 1: Un dominio de integridad 𝐷 es un conjunto de elementos entre los cuales

están definidas dos operaciones, llamadas adición (+) y multiplicación ∙ , con las

siguientes propiedades:

a. Cada par de elementos 𝑎 y 𝑏 ∈ 𝐷 determinan unívocamente una suma 𝑎 + 𝑏 y un

producto 𝑎 ∙ 𝑏 en 𝐷, de modo que sean válidas la ley distributiva, las dos leyes asociativas y las dos conmutativas.

b. 𝐷 contiene dos elementos distintos, 0 y 1, que son módulos para la adición y la

multiplicación. Es decir 𝑎 + 0 = 𝑎 y 𝑎 ∙ 1 = 𝑎.

c. Para cada 𝑎 en 𝐷, la ecuación 𝑎 + 𝑥 = 0 tiene en 𝐷 una solución que se nota –𝑎. Esto es 𝑥 = −𝑎.

d. Es válida la ley de simplificación de productos, por la cual,

si 𝑐 ≠ 0 𝑦 𝑐 ∙ 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏.

Como ejemplos de dominios de integridad se tienen los números enteros 𝑍 , los números

racionales 𝑄 y los números reales 𝑅, entre otros.

En los dominios de integridad se tienen las siguientes propiedades que se enuncian sin

demostración.

Propiedad 1. Existe un único elemento cero.

Propiedad 2. (ley de simplificación para la suma). Cualesquiera sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐷 se tiene

que 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑠𝑖 𝑏 = 𝑐 .

Propiedad 3. La sustracción es posible y unívoca, lo que garantiza que la ecuación

𝑎 + 𝑥 = 𝑏 tiene siempre para cada 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝐷 una solución única y se representa

usualmente como 𝑥 = 𝑏 − 𝑎.

Propiedad 4. El elemento – 𝑎 se caracteriza como la solución única de la ecuación

𝑎 + 𝑥 = 0.

Con las propiedades 3 y 4 se define la sustracción de la siguiente manera

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 .

Propiedad 5. El módulo en la adición tiene la propiedad 𝑎 ∙ 0 = 0 para cualquier 𝑎.

Propiedad 6. Dos elementos negativos dan producto positivo es decir −𝑎 ∙ −𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏,

un caso particular es −1 ∙ −1 = 1.

Aquí está un caso especial de la llamada ley de los signos: menos por menos da más.


Propiedad 7. Existe una ley asociativa general, según la cual los sumandos de una suma

y los factores de un producto pueden ser agrupados arbitrariamente. Lo que permite

escribir una suma como 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 y lo mismo se aplica para el producto.

Propiedad 8. La ley conmutativa hace posible modificar el orden de los términos. Luego si

existe una ley asociativa y conmutativa general, entonces la suma o el producto de 𝑛

términos tiene el mismo resultado cualquiera sea la manera de ordenarlos y de

agruparlos.

Propiedad 9. El producto de dos factores, con uno nulo, es igual a cero. Es decir 𝑠𝑖 𝑎 ∙

𝑏 = 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 0 𝑜 𝑏 = 0. Esta regla es de mucha importancia en la solución de

ecuaciones cuadráticas, cuando se tiene por ejemplo 𝑥2 − 𝑥 − 20 = 0 que se puede

escribir como 𝑥 + 4 𝑥 − 5 = 0 y de donde 𝑥 + 4 = 0 o 𝑥 − 5 = 0 permite obtener las

soluciones de la ecuación.

Definición 2. Un dominio de integridad 𝐷 se dice ordenado si existen en él ciertos

elementos, llamados positivos, los cuales satisfacen las leyes de tricotomía, adición y

multiplicación para los enteros.

La definición se complementa diciendo que la suma de dos enteros positivos es positiva,

el producto de dos enteros positivos es positivo y que para cualquier entero 𝑎 resulta

válida una y solo una de las tres posibilidades; 𝑎 es positivo, 𝑎 = 0 o 𝑎 es negativo.

Como una ecuación de la forma 𝑎𝑥 = 𝑏 con coeficientes enteros, no siempre tiene

solución entera, se requiere la noción de divisibilidad que se define como sigue:

Definición 3. Un entero 𝑏 es divisible por un entero 𝑎 cuando hay algún entero 𝑑 tal, que

𝑏 = 𝑎 𝑑. Y escribimos 𝑎 ǀ 𝑏; se dirá también que 𝑏 es un múltiplo de 𝑎 y que 𝑎 es un

factor o divisor de 𝑏.

La relación 𝑎 ǀ 𝑏 cumple las propiedades reflexiva: 𝑎 ǀ 𝑎 para cualquier entero 𝑎 ,y

transitiva, 𝑎 ǀ 𝑏 y 𝑏 ǀ 𝑐 implica 𝑎 ǀ 𝑐, para cualesquiera enteros 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Como consecuencia de lo anterior se sigue que:

Teorema 1. Los únicos divisores enteros de 1 son ±1.

Este teorema afirma que si dos enteros 𝑎 y 𝑏 son tales que 𝑎 𝑏 = 1, entonces 𝑎 = ± 1 y

𝑏 = ± 1.

Definición 4. Un entero 𝑝 es primo si, siendo distinto de cero y de ± 1, es divisible

únicamente por ± 1 y ± 𝑝.

Capítulo 20

Consecuencia de la anterior definición es que todo número que no es primo puede

descomponerse en un producto de factores primos. Lo que nos lleva al Teorema

fundamental de la Aritmética.10

Teorema 2. Todo entero distinto de 0 puede expresarse como el producto de ±1 por

factores primos positivos. Esta expresión es única, salvo el orden en que los factores se

consideren.

Pero en los enteros la división (cociente) de ellos no necesariamente es un entero pues

en el proceso de dividir un entero 𝑎 por otro 𝑏 da como resultado un cociente 𝑞 y un

resto 𝑟.

Cuando el resto 𝑟 es 0, la división es un entero, pero si 𝑟 ≠ 0 no lo es.

Como en el dominio de integridad de los enteros la ecuación 𝑎 𝑥 = 𝑏 con 𝑎 ≠ 0 no

siempre tiene solución se requiere de una nueva propiedad, pero que si la tenga lo que

nos lleva a la definición de cuerpo o campo.

Definición 5. Un campo F es un dominio de integridad que contiene para cada elemento

𝑎 ≠ 0 un “inverso” 𝑎−1 que satisface la ecuación 𝑎−1 𝑎 = 1.

Así la división, excepto por cero, es posible en todo el campo, y se define 𝑎

𝑏= 𝑎 ∙ 𝑏−1. De

esta manera la solución de la ecuación 𝑎 𝑥 = 𝑏 es 𝑥 =𝑏

𝑎 .

Con lo anterior el conjunto 𝑄 de los números racionales está constituido por medio de

clases de equivalencia de pares de enteros en el que cada ecuación 𝑞 ∙ 𝑥 = 1 con

𝑞 ≠ 0 tiene una solución 𝑥 𝑒𝑛 𝑄. Con lo cual se puede demostrar que forman un cuerpo

ordenado.

En este punto es relevante dejar plasmado la interrelación entre significado y

representación de un número racional al momento de requerirla en la solución de una

ecuación. Para ello véase el cuadro N°1, que recuerda la interacción entre significado y

representación de un número racional.

10 Existe variada bibliografía que demuestra este teorema, pero puede resultar interesante la

demostración propuesta por BIRKHOFF y MACLANE (1960, página 21).


Cuadro N° 1

Con el conjunto de los números racionales queda resuelto de una vez por todas, el

problema de hallar soluciones a las ecuaciones de primer grado con una incógnita, esto

es, de la forma 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 con 𝑎, 𝑏 números enteros o racionales.

Significado y representación de un número racional

Representaciones

Significado

Número

Racional

Fracción

Relación parte / todo

División

Razón y proporción

Operador

Porcentaje

Equivalencia

Orden

Densidad

Aproximación

Aproximaciones

Estimaciones

Operaciones

Suma

Multiplicación

Simbólica

Fracción

Fracción decimal

Escritura con coma

Porcentaje

Figurada

Grafica

Geométricas

Recta racional

Capítulo 22

Pero al pasar a las ecuaciones de segundo grado aparece otro problema vislumbrado

por los pitagóricos. El problema de que la longitud de la diagonal de un cuadrado y su

lado no pueden expresarse por medio de una razón entre números naturales.

En otros términos no existe un número racional que de cuenta de esa relación y si lo

decimos en términos algebraicos la ecuación 𝑥2 = 2 no tiene solución en los racionales.

Es necesario entonces hallar un camino para encontrarla. La solución es aceptar como

números a los irracionales y construir el conjunto de los números reales (𝑹) .

Los problemas continúan. La ecuación particular 𝑥2 + 1 = 0 no tiene solución en 𝑹 pues

para cualquier valor de la variable en 𝑹, 𝑥2 ≠ −1.

Por lo anterior se llega a la necesidad de construir los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números

reales e i es un símbolo para raíz cuadrada de menos 1.

Luego si se denota con 𝑪 el conjunto de los números complejos se tiene que

𝑪 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ǀ 𝑎 ∈ 𝑹 𝑦 𝑏 ∈ 𝑹 .

Debido a la complejidad de solucionar una ecuación polinómica por radicales y en

respuesta a garantizar la existencia de por lo menos una raíz se llega al Teorema

Fundamental del Algebra “el cual establece que toda ecuación algebraica con

coeficientes reales tiene al menos una raíz y por tanto 𝑛 raíces” del cual Gauss aporta

una primera demostración rigurosa11, pero así mismo Acevedo y Falk (1997) afirman que

este teorema puede ser expresado de forma equivalente como:

a) “Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes complejos tiene al menos una

raíz compleja”.

b) “Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1 con coeficientes complejos se descompone en un

producto de 𝑛 factores lineales con coeficientes complejos y admite 𝑛 raíces

complejas (distintas o repetidas)”.

c) “Todo polinomio de grado 𝑛 > 1 con coeficientes reales puede ser descompuesto

en un producto de factores con coeficientes reales de primero o segundo grado”

Su relevancia radica en que se garantiza la existencia de por lo menos una raíz, pero el

teorema no indica se encuentra y de allí la dificultad de hallar soluciones a las

ecuaciones algebraicas en distintos sistemas de numeración.

11 Acevedo y Falk (1997), pág.307, permiten profundizar históricamente este teorema.


3.2 Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

La utilización de letras en matemáticas es muy antigua pero lo relevante para este trabajo

es clarificar su uso en álgebra, para ello basado en Socas y otros (1996) se puede

afirmar que el uso de letras como variables procede de la geometría griega pero esta no

propició el nacimiento de un lenguaje simbólico. En tanto que Viète (alrededor del año

1600) indicó por letras las mamuestragnitudes indeterminadas y las variables en

expresiones algebraicas donde las letras se usaron para indicar números arbitrarios y

más tarde para denotar funciones arbitrarias. Lo que permitio el surgimiento de varios

tipos de álgebras de los cuales es de interes el álgebra de números en donde las

variables son variables numéricas con lo cual se generan dificultades, algunas de ellas

se comentan más adelante.

De otro lado como lo afirma Prada (1994) el lenguaje algebraico consta de un sistema de

signos, unas relaciones entre ellos, una sintaxis y una semántica. Los signos están

formados por números, letras, signos de las operaciones y otros como el paréntesis, que

unidos con sentido forman una frase; ejemplo de ello es 𝑥 + 𝑦 = 5 mientras que 𝑥+= 𝑦5

es una expresión sin sentido La sintaxis tiene por objeto precisar lo que se entiende por

una fórmula correctamente formada. La semántica estudia la correspondencia entre

significantes y significado y permite distinguir de entre frases correctamente formadas,

aquellas que tienen significado, en un contexto determinado.

Ahora como el lenguaje algebraico contiene símbolos matemáticos se requiere dejar en

claro que un símbolo es como una etiqueta que sirve para identificar y manipular

conceptos. El concepto o idea es el significado del símbolo. Por lo cual es claro que un

símbolo y el concepto asociado o significado son cosas diferentes. Lo anterior genera

dificultades para los profesores al momento de introducir el simbolismo, que causa las

dificultades de enseñanza-aprendizaje del álgebra, en los escolares generados, según

María Dolores de Prada (1994) por las siguientes razones:

a) El punto de partida del profesor es demasiado formal, los estudiantes no entienden ni necesitan la notación.

b) El paso de los objetos a los símbolos es precipitado, las relaciones matemáticas no están contenidas en los objetos sino que son abstracciones de las propiedades de los objetos y son elaboradas a partir de la actividad sobre ellos.

c) La escritura es posterior a la manipulación de los objetos y a la comprensión de los símbolos.

d) La escritura no puede ser correcta si uno sólo de los símbolos carece de significado en el conjunto de la frase.

e) La repetición de errores en los cuadernos escolares. f) La polivalencia de los símbolos.

Capítulo 24

Lo anterior motiva a revisar algunas dificultades que se generan y que tendré en cuenta

en mi propuesta didáctica.

3.2.1 Algunas dificultades asociadas al lenguaje algebraico

Estas dificultades se motivan, entre otros factores, por la interpretación del signo de

igualdad, la sustitución formal y el uso y significado de las letras en el contexto de las

ecuaciones como lo afirma Socas y otros (1996) en quien me baso para obtener

aspectos importantes a tener en cuenta.

3.2.1.1 Del signo de igualdad

Desde la aritmética el signo “ = ” se interpreta como una acción física, lo que presenta

tres momentos: uno, cuando sirve para conectar un problema con su resultado numérico

7 + 9 = , otro para relacionar dos procesos que dan el mismo resultado

3 ∗ 5 = 5 + 5 + 5 y un tercero para relacionar secuencia de pasos intermedios de un

proceso 3 ∗ 7 − 5 + 6 = 3 ∗ 2 + 6 = 12 lo que se intepreta como una reducción.

En álgebra el signo igual mantiene la interpretación de una acción que de acuerdo a

ciertas reglas se da en un sentido o en otro, aplicando una reducción a expresiones

algebraicas tautológicas y a la solución de ecuaciones, en donde la diferencia radica en

que “el signo igual en una ecuación no conexiona (sic) expresiones equivalentes, aunque

si condiciona a la incógnita” lo que se refleja cuando se solicita factorizar 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦2 o

solucionar la ecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 o 5𝑥 − 4 = 3𝑥 + 8.

3.2.1.2 De la sustitución formal

El paso de una verdad concreta como 3 ∙ 5 = 5 ∙ 3 a una verdad general como 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙

𝑎 se conoce como sustitución formal. Una reflexión sobre ella permite identificar procesos

como: el de generalización cuando términos numéricos son reemplazados por variables

como de 4 ∗ 7 = 7 ∗ 4 a 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎; el de simplificación cuando en una expresión se

reemplazan expresiones por variables como en 𝑦4 − 3𝑦2 − 2 sustituir 𝑦2 por 𝑥 y el de

eliminación cuando variables implicadas en una sustitución son suprimidas como en el

proceso para la resolución de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Lo que

ratifica, en términos de Socas y otros (1996), que “la sustitución formal es un instrumento

de cálculo algebraico importante a causa de su amplio campo de aplicaciones, que se

manifiesta en diferentes procesos matemáticos” .


3.2.1.3 Del uso y significado de las letras

Küchemann12, propone seis categorías diferentes de interpretación y uso de las letras por

parte de los alumnos que los lleva a cometer errores, que paso a relacionar en la tabla 1.

Es de aclarar que la categorización propuesta no profundiza sobre el conjunto referencial

(los Naturales, Enteros, Racionales…) en el cual se están considerando las letras, lo cual

es muy importante tener en cuenta al momento de dar respuesta a una igualdad que

utiliza letras.

Uso y significado de las letras en álgebra según Küchemann

Letras Característica Contexto habitual Comentario Evaluadas

Se asigna valor numérico desde el principio

(1) Dado b +10 = 15 ¿cuál es el valor b? en 𝑵.

La letra se interpreta como valor numérico específico.

(2) ¿Cuál es el valor de 𝟑 ∙ 𝒃 + 𝟖, si 𝑏 = 2, 𝑏 = 3 𝑦 𝑏 = 4?

La letra se reemplaza por varios números naturales en primera instancia

Ignoradas Se reconoce la letra pero sin asignar significado

(3) Dado b+c=27, entonces b+c+3 =?

Por igualación se enfoca la atención en el “+3”

como objeto Letra como objeto concreto (lado de un polígono) y real

(4) Simplificar 5x+4y+6x-y Aquí las letras se emplean para clasificar y asociar.

(5) Dado un rectángulo de lados x e y calcular su perímetro

Letras son el nombre para diferenciar los lados y se pueden asociadas.

como incógnitas específicas

Letra como número desconocido pero específico que se puede operar

(6) ¿Cuál es el resultado de adicionar 7 a 5n?

En este contexto la respuesta parece simple acomodación de los términos.

(7) un lápiz negro cuesta $1000 y uno rojo $1200. Si compro algunos lápices rojos y negros por $18 000. Si n es cantidad de lápices negros y r la cantidad de lápices rojos ¿Qué se puede decir de n y r?

Esta respuesta es un escenario de letras como “incógnitas genuinas”.

12 Citado por Socas y otros (1996) pág. 25

Capítulo 26

generalizando números

Letra representa o permite deducir varios valores numéricos.

(8) ¿Qué valores de 𝑥 en el conjunto 0, 1, 2,… , 9 verifican que 5𝑥 + 1 < 32?

Aquí hay que evaluar 5𝑥 + 1 con 𝑥 = 0, 1, 2,… , 9 y comparar con 32. Lo que genera varios valores para la letra 𝑥.

como variables

La letra representa un conjunto de valores no especificados y se establece una relación entre dos conjuntos de valores.

(9) Probar que si 𝑥 > 4, entonces 5𝑥 + 1 > 4𝑥 + 5

En esta situación se induce a reconocer que la relación se mantiene dependiendo de los valores de 𝑥.

(10) Dado un rectángulo

cuya área es 36 𝑐𝑚2. Hallar una expresión que represente el perímetro (𝑝) en términos de la longitud del lado (𝑙) del rectángulo.

La expresión pedida es

𝑝 = 2 𝑙 +36

𝑙 donde la letra 𝑙

representa una variable, ya que su valor cambia de rectángulo en rectángulo.

(11) ¿Cómo se simboliza el 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 número natural impar?

La letra 𝑛 puede ser cualquier número natural lo cual le asocia el sentido de variabilidad y se constituye en una relación funcional.

Tabla N° 1

Las consideraciones anteriores se encuentran inmersas en las dificultades que los

estudiantes tienen al abordar situaciones como cuando les presentan la ecuación

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 en donde hay que reconocer convenciones en las letras, determinar si

se tiene incógnita o variable y en cuanto a la respuesta diferenciar entre “existe”, “hay” y

“encontrar” entre otros aspectos que se pueden observar. Y que pueden resumirse así:

a) El contexto en el cual hay ideas implícitas previas, por ejemplo cuando se

muestra la propiedad conmutativa 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 y no está implícito que las letras

representan diferentes números.

b) El conjunto de variabilidad no es claro para el alumno. Ejemplo de esto es la

generalización 𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 en donde la variable "𝑎" permite identificar la

base sobre la que se está operando pero los valores de dicha variable pueden

pertenecer a conjuntos de números diferentes como los naturales o los

racionales. Análisis similar se puede realizar con los exponentes "𝑚 𝑦 𝑛".

c) La noción de variabilidad no es evidente cuando se soluciona una ecuación. Por

ejemplo en 𝑥 + 3 = 10. El valor de la variable es desconocido pero se encuentra

y no hay variabilidad evidente ya que parece que la variable tiene un valor

específico.

d) Cambio del significado de la variable dentro del mismo contexto. Aquí se recuerda

que un símbolo para una variable dentro del mismo contexto debe siempre

tomar el mismo valor.


3.3 Estructura y alternativas de solución para las ecuaciones de

grado uno y dos.

3.3.1 De la estructura

Este escenario requiere, entre otras, de las siguientes reglas de Prada (1994)

expresadas como definiciones en un lenguaje informal adecuado para los estudiantes del

ciclo IV. Es necesario resaltar que raramente estas reglas se especifican en el aula. Para

que los estudiantes aprendan esas reglas se deben mostrar ejemplos que evidencien

cuando la expresión es correcta y cuando no, como se refuerza y emplea en los talleres

propuestos.

Definición 9: Se llama expresión algebraica, a un conjunto finito de números, letras y

signos del cálculo ligados de acuerdo a unas reglas.

A continuación se analizan algunos ejemplos de expresiones algebraicas y se muestran

sus dificultades para los estudiantes

1 5𝑥 + 7𝑦 + 9 2 3𝑥2

5+

𝑥

7− 9 3 𝑎3 +

5

𝑎𝑥 −

𝑦

𝑏−1

4 5

𝑥+ 4𝑥−1 + 𝑥𝑦 5 7 𝑥 + 1 − 5𝑦 +

3

𝑚

Es necesario que los estudiantes identifiquen los coeficientes y letras según sean

parámetros (usualmente primeras letras del alfabeto 𝑎, 𝑏,𝑚 ) que son valores constantes

que pueden cambiar de acuerdo a las condiciones de contexto del problema, o variables

(usualmente las últimas letras del alfabeto como 𝑥 𝑜 𝑦) que representan números

indeterminados de un contexto determinado.

Cuando estas expresiones se interrelacionan pueden originar que las variables estén

relacionadas por medio de combinaciones de las cuatro operaciones racionales: suma,

resta, multiplicación y división que, aunque conocidas para el lector, resaltamos que

deben ser claramente aprehendidas por los estudiantes.

Las expresiones algebraica de los ejemplos 1 a 4 se denominan racionales, por estar

las variables sometidas a las cuatro operaciones básicas, teniendo como caso particular

que pueden figurar potencias de exponente entero. Se llama irracional, una expresión no

racional, como se ilustra en el ejemplo 5 .

Definición 10: El valor numérico de una expresión algebraica, es el número que se

obtiene sustituyendo las letras por números dados y realizando las operaciones

Capítulo 28

indicadas. Por ejemplo en la expresión 5𝑥 + 7𝑦 + 9 el valor numérico de la expresión

para 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2 es 42 y para 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 1 es 39.

Para algunos estudiantes este proceso de concretar 5𝑥 + 7𝑦 + 9 en 5 ∙ 1 + 7 ∙ 2 + 9 y

obtener el resultado genera dificultad por no tener claridad en la aplicación de las

operaciones a realizar y en algunos casos incluso hasta de la jerarquía para realizarlas.

Es decir primero hacer las multiplicaciones y luego la suma [ 5 ∙ 1 + (7 ∙ 2) + 9 .

Definición 11: Dos expresiones algebraicas se dicen idénticas cuando ambas tienen el

mismo valor numérico para cualquier valor que se dé a sus letras

Por ejemplo: dada la expresión 𝑥 + 𝑦 2 y por otro lado la expresión 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 al

sustituir las variables por un valor numérico en ambas se obtiene el mismo resultado que

con la geometría alcanza un significado por medio de la comparación de áreas.

Definición 12: “Se llama identidad a una igualdad cuyos dos miembros son expresiones

equivalentes”. Por ejemplo si tomamos las dos expresiones anteriores y las igualamos se

obtiene 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2. Lo que queda poco reforzado cuando el estudiante no

hace uso del sentido de la variabilidad en los valores de las incógnitas.

Definición 13: Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que solo se

verifica para determinados valores de las letras, llamadas incógnitas.

Por ejemplo 5𝑥 + 7 = 4𝑥 + 19 6 se verifica solo para un valor de 𝑥 = 12 pero

𝑦2 + 8 = 𝑦 + 20 7 se verifica para valores 𝑦 = 4 𝑒 𝑦 = −3.

Definición 14: Resolver una ecuación es hallar –todos- los valores particulares en un

determinado contexto de verificación que sustituidos en las incógnitas convierten la

ecuación en identidad. A estos valores se les llama soluciones o raíces de la ecuación.

Aquí el problema es la deficiencia que tienen los estudiantes de grados octavo y noveno

en el manejo de los sistemas numéricos, particularmente el manejo de los reales y el de

los complejos que raras veces se trata en la escuela secundaria.

Definición 15: la ecuación polinómica general es de la forma 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + …+

𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0. Lo que comúnmente se llama ecuación general de grado 𝑛.

Definición 16: Una ecuación se dice de grado uno o lineal si en la ecuación general

𝑛 = 1, después de realizar simplificaciones posibles de términos semejantes y tiene

exactamente una y solo una raíz. Es el caso de 𝑥 + 3 = 0.

Pero algunas veces los estudiantes juzgan a priori cuando ven una ecuación como

5𝑥 + 7 + 𝑥2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 19 con exponente dos y olvidan revisar si al realizar

operaciones y simplificaciones se obtiene una expresión donde la variable es de grado

uno.

Definición 17: Una ecuación se dice de grado dos o cuadrática si en la ecuación general

𝑛 = 2 después de realizar simplificaciones posibles de términos semejantes y tiene dos


raíces las cuales pueden ser diferentes o iguales. Como en 𝑦2 + 8 = 𝑦 + 20 se tiene una

ecuación de grado dos y presenta dos raíces diferentes.

Definición 18: Dos ecuaciones 𝐸1 𝑦 𝐸2 se dice que son equivalentes si y solo si tienen

el mismo conjunto de soluciones 𝑆.

3.3.2 De las alternativas de solución

Es claro hasta el momento que se requiere un adecuado manejo del sistema numérico,

proceso formal riguroso que evidentemente no es fácilmente asimilable por un estudiante

y que tampoco es necesario. Este proceso tradicionalmente se simplifica pero le exige al

estudiante conocer y manejar las siguientes propiedades para cada conjunto de

números:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 Propiedad conmutativa de la suma

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 Propiedad asociativa de la suma

𝑎 + 0 = 𝑎 Existencia del elemento neutro para la suma

𝑎 + (−𝑎) = 0 Existencia del elemento opuesto para la suma

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 Propiedad conmutativa de la multiplicación 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) Propiedad asociativa de la multiplicación

𝑎 ∗ 1 = 𝑎 Existencia del elemento neutro para la multiplicación

𝑎 ∗1

𝑎= 1

Existencia del elemento inverso para la multiplicación

𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma

Pero el estudiante aplica las propiedades en algunas ocasiones con ligereza, lo que lo

lleva a que se convierta en otra fuente de errores y dificultades para solucionar las

ecuaciones. Por ejemplo: en 3𝑥 + 1 ∙1

3= 𝑥 + 1 aplica la propiedad distributiva

únicamente al lado izquierdo 3𝑥 + 1 ∙1

3 multiplica 3𝑥 ∙

1

3 pero 1 solamente por 1y

obtiene que 3𝑥 + 1 ∙1

3= 𝑥 + 1.

De esta manera resulta que la ecuación se convierte en 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 que tiene infinitas

soluciones por ser una identidad.

Capítulo 30

3.3.2.1 De la solución de ecuaciones con una incógnita.

Se revisa a continuación algunas generalidades referentes a regularidades y estrategias

que permiten llegar a encontrar e interpretar las raíces de ecuaciones de primero y

segundo grado con una incógnita.

3.3.2.1.1 Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado tiene la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 donde 𝑎 y 𝑏

pertenecen a un conjunto de números bien definido. Su resolución por el método

algebraico aplicando las reglas del numeral anterior es 𝑥 =−𝑏

𝑎 .

Dado que

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟹

𝑎𝑥 + 𝑏 + −𝑏 = 0 + −𝑏 ⟹

𝑎𝑥 + 𝑏 + −𝑏 = −𝑏 ⟹

𝑎𝑥 + 0 = −𝑏 ⟹

𝑎𝑥 = −𝑏 ⟹

𝑎−1 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑎−1 ∙ −𝑏 ⟹

(𝑎−1 ∙ 𝑎) 𝑥 =−𝑏

𝑎 ⟹

1 ∙ 𝑥 =−𝑏

𝑎 ⟹

𝑥 =−𝑏

𝑎

Pero este método es mecánico y poco significativo para los estudiantes por ello el

álgebra geométrica de los griegos aporta una alternativa de solución al realizar

comparaciones de longitudes de segmentos de recta o comparaciones de áreas al

determinar el valor de la longitud del lado de un cuadrado y el largo y ancho de un

rectángulo.

Pero como se busca que el estudiante logre un mayor grado de abstracción se le debe

invitar a emplear alternativas algebraicas en donde el cálculo de la solución requiere que

se realicen, por ejemplo, los siguientes pasos simplificados de la forma general de

resolución.

Estos pasos requieren manejar cuidadosamente, en un lenguaje informal, lo siguiente:

Si un término en un lado de la ecuación está sumando pasa al otro lado restando. Y si

está restando pasa al otro lado sumando; si está multiplicando pasa al otro lado

dividiendo y si está dividiendo pasa al otro lado multiplicando

3.3.2.1.2 Ecuación de segundo grado o cuadrática

Una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 en un conjunto de números

específico con 𝑎 ≠ 0 se llama ecuación de segundo grado o cuadrática. Para hallar su

solución tenemos dos alternativas: solución geométrica y solución algebraica.

Solución geométrica Desde los griegos se proponen métodos de solución para encontrar las raíces reales positivas de ecuaciones cuadráticas y en particular los que aparecen en la proposición 11 del Libro II en los Elementos de Euclides. Para dar solución a ecuaciones de la forma

𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑏2 = 0 y 𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑏2 = 0, en donde 𝑎 𝑦 𝑏 representan la longitud de segmentos de recta dados, se describió en los aspectos históricos la manera práctica por medio de comparación de áreas, y donde se recurre a completar el cuadrado de manera geométrica. Proceso que permite realizar la conexión con el lenguaje algebraico.

Solución por factorización La aplicación del método geométrico de comparación de áreas permite encontrar la solución de algunas ecuaciones cuadráticas en particular con raíces positivas. Cardano, afronta el problema de las raíces negativas llamándolas soluciones falsas; no las rechaza pero si las toma como inútiles. Él incluso operaba con raíces complejas y superaba la dificultad diciendo: “el problema mismo es falso y lo que se ha propuesto no puede ser…” Acevedo y Falk (1997). Descartes las llamaba imaginarias.

Resolver una ecuación cuadrática por factorización, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 = 0, es muy complicado en el caso general, por ello se trabaja en secundaria con soluciones en los enteros y a lo más en los racionales, lo cual supone encontrar dos números 𝑥1 y

𝑥2 que cumplan las condiciones 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 y 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐 lo que es evidentemente más sencillo si los números son enteros.

Anexo 32

Para complementar le reflexión, una manera de hallar las raíces de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es

completando el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación para obtener

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +𝑏2

4=

𝑏2

4− 𝑐 de donde 𝑥 +

𝑏

2

2

= 𝑏2

4− 𝑐 y al despejar la variable 𝑥 las

raíces o soluciones están dadas por 𝑥1 = −𝑏

2+

𝑏2

4− 𝑐 𝑥2 = −

𝑏

2−

𝑏2

4− 𝑐 .

Relación entre raíces y coeficientes de la ecuación cuadrática

Al realizar la suma se tiene que 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

2+

𝑏2

4− 𝑐 + −

𝑏

2−

𝑏2

4− 𝑐 de donde

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 que justamente es el coeficiente de 𝑥.

De otra parte si se realiza 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −𝑏

2+

𝑏2

4− 𝑐 ∙ −

𝑏

2−

𝑏2

4− 𝑐 el resultado es

𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐, luego se obtiene el término independiente de la ecuación.

Ahora reemplazando las equivalencias para 𝑏 𝑦 𝑐 en la ecuación general de segundo

grado se tendría 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0 y como 𝑥1 𝑦 𝑥2 son sus raíces entonces la suma de

ellas da 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎 y el producto 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑐

𝑎.

El análisis de las raíces encontradas para la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 genera tres

casos, según sea el término al cual hay que “sacarle” la raíz cuadrada (Acevedo y Falk

1998)

Primer Caso : 𝑏2

4− 𝑐 > 0 entonces 𝑏2 − 4𝑐 > 0 y la ecuación tiene dos raíces reales

diferentes.

Segundo Caso : Si 𝑏2

4− 𝑐 = 0 entonces 𝑏2 − 4𝑐 = 0 y la ecuación presenta lo que se

conoce como una raíz doble, es decir 𝑥1 = −𝑏

2 y 𝑥2 = −

𝑏

2.

Tercer caso: Si 𝑏2

4− 𝑐 < 0 entonces 𝑏2 − 4𝑐 < 0 y la 𝑏2 − 4𝑐 es un número

complejo por lo tanto la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.

Sin embargo si 𝑏2

4− 𝑐 es un cuadrado perfecto diferente de cero 𝑥1 y 𝑥2 son

racionales y distintas.

.


4. Descripción de la propuesta didáctica

En este apartado se responden tres interrogantes orientadores: ¿Qué se plantea?,

¿Cómo se desarrolla la propuesta? y ¿Qué se pretende al aplicar la propuesta?

4.1 Planteamiento de la propuesta didáctica.

Emplear el álgebra geométrica de los griegos como herramienta didáctica, para la

solución de ecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita. La manipulación de

material geométrico permite dar sentido y significación a procesos algebraicos que

clarifican el uso de propiedades de los sistemas numéricos y fortalecen la interpretación

de las letras en diferentes categorías. Está dirigido a estudiantes del ciclo IV (grado 8° y

9°) de educación básica secundaria.

4.2 Desarrollo de la propuesta.

La propuesta didáctica se desarrolla presentando, en un primer momento una guía del

profesor donde se da a conocer al docente la secuencia sugerida de realización de

actividades tanto para él como para los estudiantes.

Luego se construye el material de trabajo con los estudiantes, figuras geométricas y

formatos de apoyo, resaltando durante el proceso el aspecto de variabilidad de una

variable. Al tener listo el material se realiza los acuerdos de trabajo.

Posteriormente se aplican los diferentes talleres a los estudiantes con los que se

pretende que a partir de una ecuación dada se busquen las figuras geométricas que la

representen, para luego proponer un “arreglo” que permita modelar la ecuación para

visualizar y dar contexto geométrico a procesos aritméticos y algebraicos, en los dos

extremos de la igualdad, para determinar la construcción que permita encontrar la

solución a la ecuación propuesta.

Anexo 34

Luego se registra bajo el titulo de interpretación en lenguaje común lo que se visualiza

en la construcción y luego se finaliza “traduciendo” al lenguaje algebraico lo registrado en

el lenguaje común en el espacio que se titula Interpretación algebraica.

Después de ejercitado este esquema de trabajo se proponen al estudiante una seria de

ejercicios de refuerzo.

Es de aclarar que el orden de aplicación de los talleres dependerá de las competencias

que evidencian los estudiantes y de la habilidad del profesor para valorar la relevancia de

ellos.

Paso a realizar una descripción corta de los diferentes tipos de talleres.

Taller tipo cero: Uso y significado de las letras. Es un taller donde se busca clarificar,

por medio de una categorización, algunas interpretaciones de las letras en el álgebra

escolar.

Taller tipo I: Revisión de expresiones algebraicas. Tiene por objetivo revisar

conceptos referentes a la estructura de la expresión algebraica que el estudiante debe

tener muy clara y que el profesor debe evidenciar su manejo. En él, el estudiante debe

reconocer en una tabla dada una expresión algebraica a qué conjunto de números

pertenece su coeficiente, el grado y cantidad de variables entre otras.

Taller tipo II: Revisión de ecuaciones. Este taller se plantea en dos partes; la parte a) dedicada a revisar conceptos y estructuras de las ecuaciones lineales ejemplificando la solución de las principales formas de este tipo de ecuaciones. La parte b) contiene una síntesis de las características y tipos de las ecuaciones cuadráticas ejemplif icando los procesos algebraicos y analizando las soluciones obtenidas.

Taller tipo III: De reconocimiento de material. Este hace referencia a la construcción,

reconocimiento y manipulación por parte del estudiante, con orientación del profesor, del

material de trabajo que se utilizará y que consiste en cuadrados y rectángulos

construidos en foami y cuyas dimensiones se asocian a una variable denominada 𝑥

(cuya variabilidad se evidencia en las diferentes longitudes que proponen los estudiantes)

y unas constantes que representan números racionales positivos. Es importante que una

vez construido el material el estudiante clarifique las magnitudes de cada figura que

permiten determinar su perímetro y su área. Así como desarrollar la habilidad de

encontrar “arreglos” equivalentes para una misma expresión. Por ejemplo, la expresión

𝑥2 + 8𝑥 se puede obtener con un cuadrado de lado 𝑥 y 8 rectángulos de largo 𝑥 y ancho

1 unidad como también puede mostrarse como un cuadrado de lado 𝑥 y dos rectángulos

de largo 𝑥 y ancho 4 unidades.

Taller tipo IV: Resolución de ecuaciones lineales. Con este tipo de taller se muestra

un planteamiento geométrico para resolver ecuaciones lineales por medio de tres formas:

dos basadas en el análisis del perímetro de las figuras y una en la comparación áreas.


Taller tipo V: Resolución de ecuaciones cuadráticas. Este taller es de afianzamiento

de la estructura de algunas ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son positivas y que

busca que a partir de la manipulación geométrica preparar al estudiante para los

procesos de generalización relacionados a la solución de ecuaciones cuadráticas con la

limitación de sólo poder dar contexto a raíces racionales positivas. Ya que por tratarse de

un escenario basado en longitudes no tienen sentido para el estudiante los valores

negativos.

4.3 Propósito al aplicar la propuesta.

Con el desarrollo de la propuesta se pretende que el estudiante, en primera instancia, a

través de un ambiente geométrico logre dar sentido y significación no solo al proceso de

solución de ecuaciones lineales y cuadráticas sino a la solución obtenida. Y en un

segundo momento contribuir al desarrollo del pensamiento lógico matemático al

proponerle que dada una ecuación genere un modelo geométrico, que lo pueda leer por

medio del lenguaje común y sea capaz de dar una correcta interpretación en el marco del

álgebra escolar.

4.4 Actividades de la propuesta.

A continuación se presentan las actividades a desarrollar

Anexo 36

4.4.1 GUÍA DEL PROFESOR

Con el ánimo de obtener el mayor aprovechamiento de las actividades de la propuesta se

plantea que el profesor motive su realización con recomendaciones como las siguientes:

1. Realizar una síntesis de los insumos necesarios para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas en donde destaque entre otros: a. Las diferentes interpretaciones de una fracción mostradas en el cuadro N° 1

pág.20. b. Diferentes interpretaciones de las letras en una ecuación e invitando a

recordar el concepto de variabilidad de la variable, empleando el taller tipo cero.

c. Propiedades fundamentales de los conjuntos de números en cuanto a la suma y la multiplicación. Las operaciones suma y multiplicación con las propiedades inicialmente en los Enteros y Racionales, luego en los Reales y posteriormente en los Complejos acompañadas de la división y su aplicación en la factorización.

d. Realizar una revisión de la estructura de las expresiones algebraicas por medio del taller tipo I.

e. Revisar conceptos básicos de ecuaciones apoyado en el taller tipo II.

2. Al construir el material, por medio de las orientaciones del taller tipo III, con los estudiantes es importante invitarlos a que la longitud del segmento “x” sea arbitraria y diferente lo que permite una comparación de longitudes que evidencian la variabilidad de la variable en cuanto a su longitud.

3. Permita que los estudiantes comparen su material y que identifiquen cual es su unidad de comparación para la variable y para la longitud tomada como unidad.

4. Proponga al estudiante realizar construcciones de cuadrados y rectángulos con el material y que con base en ellos determine sus “medidas” algebraicas.

5. Clarifique los acuerdos base para la construcción de figuras. En donde colocar una ficha enseguida de otra se debe interpretar como una suma y superponer una ficha de área pequeña sobre una de área más grande permite interpretar la resta.

6. Con el material listo y clarificado el proceso de trabajo se aplican los talleres tipo IV y tipo V.

7. Evalué con los estudiantes las bondades de emplear este material. 8. Verifique que los estudiantes realicen los tres momentos claves del proceso

didáctico, el cual inicia con la modelación geométrica de la ecuación dada, luego escribir la interpretación en lenguaje común y luego realice la interpretación en álgebra.

9. Se recomienda no permitir que el estudiante se encasille con el proceso de la propuesta pero si que el mismo reconozca el sentido y significado de resolver una ecuación lineal o cuadrática.

10. Finalmente realice registros de posibles mejoras de la propuesta.


4.4.2 TALLER TIPO CERO: USO Y SIGNIFICADO DE LAS LETRAS

Objetivo: Clarificar el uso y significado de las letras en el álgebra inicial.

Este taller está diseñado para que el estudiante clarifique los diferentes contextos en los

que aparecen las letras en el álgebra. Use la Tabla N°1 de apoyo

Tabla N°1

Letras Característica Contexto habitual Comentario

evaluadas

Se asigna valor específico

(1) Dado b +10 = 15 ¿cuál es el

valor b?

La letra se interpreta como valor

numérico específico.

(2) ¿Cuál es el valor de 3*b+8, si b=2, b=3 y b=4?

La letra se reemplaza por varios números naturales en primera

instancia

Ignoradas Se reconoce la letra pero sin asignar

significado

(3) Dado b+c=27, entonces b+c+3

=? Por igualación se enfoca la atención en el “+3”

como objeto Letra como objeto concreto (lado de un

polígono) y real

(4) Simplificar 5x+4y+6x-y Aquí las letras se emplean para clasificar y asociar.

(5) Dado un rectángulo de lados x e y calcular su perímetro

Letras son el nombre para diferenciar los lados y se pueden asociadas.


Letra como número

desconocido pero específico que se puede operar


En este contexto la respuesta parece simple acomodación de los términos.

(7) un lápiz negro cuesta $1000 y

uno rojo $1200. Si compro algunos lápices rojos y negros por $18 000. Si n es cantidad de lápices negros

y r la cantidad de lápices rojos ¿Qué se puede decir de n y r?

Esta respuesta es un escenario de

letras como “incógnitas genuinas”.

generalizando

números Letra representa o

permite deducir varios valores numéricos.

(8) ¿Qué valores de 𝑥 en el

conjunto 0, 1, 2,… , 9 verifican que

5𝑥 + 1 < 32?

Aquí hay que evaluar 5𝑥 + 1 con

𝑥 = 0, 1, 2,… , 9 y comparar con 32. Lo

que genera varios valores para la letra 𝑥.

como variables

La letra representa

un conjunto de valores no especificados y se

establece una relación entre dos conjuntos de

valores.

(9) Probar que si 𝑥 > 4, entonces

5𝑥 + 1 > 4𝑥 + 5

En esta situación se induce a reconocer que la relación se

mantiene dependiendo de los valores de 𝑥.

(10) Dado un rectángulo cuya área

es 36 𝑐𝑚2. Hallar una expresión

que represente el perímetro (𝑝) en

términos de la longitud del lado (𝑙)

del rectángulo.

La expresión pedida es 𝑝 = 2 𝑙 +36

𝑙

donde la letra 𝑙 representa una

variable, ya que su valor cambia de rectángulo en rectángulo.

(11) ¿Cómo se simboliza el

𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 número natural impar?

La letra 𝑛 puede ser cualquier

número natural lo cual le asocia el

sentido de variabilidad y se constituye en una relación funcional.

Recuerda …

Las letras de acuerdo a su uso e interpretación pueden ser: Letras evaluadas, ignoradas, como objetos, como incógnitas específicas, generalizando números o como variables.

Anexo 38

ACTIVIDAD

En la siguiente tabla completar las respectivas casillas en blanco con base en la tabla

anterior.

Letras Característica Contexto habitual Comentario Evaluadas

(1) Dado b +20 = 15 ¿cuál es el valor b?

(2) ¿Cuál es el valor de 3*b+8, si b=8, b=9 y b=10?

Ignoradas (3) Dado b+c=51, entonces b+c+3 =?

como objeto (4) Simplificar 15x+4y+6x-y (5) Dado un rectángulo de lados x e y calcular su perímetro



(7) un lápiz negro cuesta $1000 y uno rojo $1200. Si compro algunos lápices rojos y negros por $180 000. Si n es cantidad de lápices negros y r la cantidad de lápices rojos ¿Qué se puede decir de n y r?

generalizando números

(8) ¿Qué valores de 𝑥 en el conjunto 0, 1, 2,… , 9 verifican que 7𝑥 + 1 < 32?

como variables

(9) Probar que si 𝑥 > 4, entonces 5𝑥 + 1 > 4𝑥 + 5

(10) Dado un rectángulo

cuya área es 360 𝑐𝑚2. Hallar una expresión que represente el perímetro (𝑝) en términos de la longitud del lado (𝑙) del rectángulo.

(11) ¿Cómo se simboliza el 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 número natural par?


4.4.3 TALLER TIPO I: REVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Objetivo: Revisar conceptos asociados a expresiones algebraicas. Este taller está diseñado para que el estudiante clarifique la estructura de una expresión algebraica, para lo cual se parte de su definición y se analizan ejemplos para finalizar con la actividad propuesta.

Los siguientes son algunos ejemplos de expresiones algebraicas: 5𝑥 + 8𝑦 + 21 (1)

3𝑥2

2+

𝑥

3− 7 (2)

𝑎2 +3

𝑎𝑥 −

𝑦

𝑏−1 (3)

3

𝑥+ 2𝑥−1 + 𝑥𝑦 (4)

3 𝑥 + 1 − 5𝑦 +7

𝑚 (5)

Y su estructura se clarifica en la siguiente tabla.

N° Coeficientes Parámetro Variable (s) Términos independientes

Comentario

1 5 y 8 No tiene 𝑥 𝑒 𝑦 21 Es un Trinomio de grado uno de coeficientes enteros

2 3

2 𝑦

1

3

No tiene 𝑥 -7 Es un trinomio de grado dos con coeficientes racionales

3 2 y 1 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑒 𝑦 -1 Es un trinomio de grado

dos en 𝑥, coeficientes racionales y con parámetros

4 3, 2 y 1 No tiene 𝑥 𝑒 𝑦 No tiene Es un trinomio de grado uno con coeficientes enteros, pero la variable 𝑥 tiene exponente -1

5 3 y -5 M 𝑥 𝑒 𝑦 1 y 7 Es un trinomio con

variable 𝑥 dentro de un radical, y parámetro m.

Recuerda …

Se llama expresión algebraica, a un conjunto finito de números, letras y signos del

cálculo ligados de acuerdo a unas reglas. Es necesario resaltar que raramente estas

reglas se especifican.

Anexo 40

ACTIVIDAD

1. Dadas las siguientes expresiones algebraicas complete la tabla:

1) −9𝑥 + 4𝑦 + 3 2) 𝑥 −𝑥

3− 1 3) 5𝑦2 +

1

4

4) 𝑥

7+ 𝑥2 − 4 5)

𝑥2

3+

4𝑥

5−

1

2.


Comentario

1

2

3

4

5

2. Con la información de la tabla y adicionando los datos que faltan, proponga mínimo 2

expresiones algebraicas, por cada fila, que cumplan con lo dado.


Comentario

1

4,6, -3 No tiene 𝑥 1

2

2

𝑎 𝑦 Trinomio de grado dos con coeficientes racionales y parámetro 𝑎.

3

1

5, 7 𝑦 1

No tiene 𝑥 5

4

11, -4, 2

7 𝑏 𝑥 𝑒 𝑦 Trinomio de grado uno

con coeficientes

racionales y parámetro 𝑏.

5

−7

4,

2

5

No tiene 𝑥 -6

1) ____________________________ __________________________________ 2) ____________________________ __________________________________ 3) ____________________________ __________________________________ 4) ____________________________ __________________________________ 5) ____________________________ __________________________________´


4.4.4 TALLER TIPO II: REVISIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Objetivo: Clarificar conceptos asociados a las ecuaciones lineales de una variable.

Observe con atención los siguientes ejemplos que clarifican la estructura de una

ecuación lineal.

Expresión dada ¿Es ecuación? ¿Por qué?

𝑥+ = 3 No Le falta el término después del signo más y no se puede asumir que es cero, de acuerdo a (1)

𝑥 +1

2= 10

Si Cumple la forma (1), con 𝑎 =1

2, 𝑏 = 10

𝑥

3− 4 = 6 Si Cumple forma (2), con 𝑎 =

1

3, 𝑏 =

−4 𝑦 𝑐 = 6 5𝑥

3− 3 = 2𝑥 − 1

Si Cumple forma (3), con 𝑎 =5

3, 𝑏 = −3, 𝑐 =

2 𝑦 𝑑 = −1

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 = 𝑥2 + 𝑥 − 1 Si Aunque aparece 𝑥2 al realiar la transposición de términos está se simplifica y se obtiene una ecuación de la forma (3).

10 = 𝑥 +1

2

Si Aunque la variable esta en el extremo derecho tiene la forma (1)

Ahora lea con atención los siguientes ejemplos de solución de una ecuación lineal

1. Resolver la ecuación por el método de la „regla falsa‟, 5𝑥 +3

4=

63

4

Recuerda …

Las ecuaciones lineales en general pueden ser de la forma 𝑥 ± 𝑎 = 𝑏 (1),

𝑎𝑥 = 𝑏 (2) o 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 (3).

Solucionar una ecuación es hallar el valor o valores que hacen que la igualdad. se verifique.

Un método inicial de solución de ecuaciones es conocido como la „regla falsa‟ que consiste en sustituir la variable por un valor determinado, realizar las operaciones indicadas y probar si esté verifica la igualdad. De ser cierto este valor es una solución de la ecuación.

Para la solución de una ecuación lineal se emplea el método se transposición de términos.

Anexo 42

Para solucionar proponemos por ejemplo que 𝑥 = 1, lo sustituimos y se tiene 5(1) +3

4=

23

4 por lo que 𝑥 = 1 no es solución a esta ecuación. Ahora podemos hacer 𝑥 = 3 y

obtenemos 5(3) +3

4=

63

4 por lo cual 𝑥 = 3 es la solución buscada.

2. Resolver la ecuación 2𝑥 −6−2 1−𝑥

3=

14𝑥−3

12−

3

4 Para ello una alternativa de proceder

es:

2𝑥 −6−2+2𝑥

3=

14𝑥−3

12−

3

4 realizando el producto para simplificar paréntesis

2𝑥 −4+2𝑥

3=

14𝑥−3

12−

3

4 simplificando y hallando el 𝑚. 𝑐.𝑚. 3, 4, 12 = 12

24𝑥 − 16 − 8𝑥 = 14𝑥 − 3 − 9 multiplicando los dos miembros por 12 y simplificando

24𝑥 − 16 − 8𝑥 − 14𝑥 + 3 + 9 = 0 transponiendo términos al extremo derecho

2𝑥 − 4 = 0 sumando términos semejantes 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2 calculando la solución.

ACTIVIDAD

1. Dadas las expresiones, complete la tabla.

Expresión dada ¿Es ecuación? ¿Por qué?

𝑥 +1

25= 7

𝑥+ = 8 𝑥

6+ 9 = 6

3𝑥

4− 3 = 3𝑥 + 5

0 = 𝑥 +7

2

𝑥2 + 2 𝑥 − 10 = 𝑥2 + 𝑥 + 5

1. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el método de la „regla falsa‟y de ser necesario comente con el profesor las dificultades que presenta al resolverlas.

1) 3𝑥

4= 7

2) −5 + 3𝑥 = 20

3) 𝑥+5

3= −11

4) 𝑥

7− 3 = −10

5) 7𝑥 +1

3= 3𝑥

6) 3𝑦 − −7𝑦 + 8 + 1 = − 4𝑦 − 𝑦 − 7 + 3 7) 𝑥2 − 4𝑥 − 19 = 𝑥2 − 5𝑥 + 20 8) 9𝑥 + 8 − 7𝑥 − 5 = 5𝑥 + 9 9) 𝑥 + 24 = 2(𝑥 − 7)

10) 𝑤 + 7 𝑤 −1

7 = 3𝑤 − 1

2. Resuelva las ecuaciones del numeral anterior por el método de transposición de términos


4.4.5 TALLER TIPO II: REVISIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Objetivo: Clarificar conceptos asociados a las ecuaciones cuadráticas de una variable.

Lea cuidadosamente el siguiente proceso de solución de ecuaciones cuadráticas.

* 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑎 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐 →

−𝑐

𝑎< 0; sin 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑠𝑖 𝑎 𝑦 𝑐 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 →−𝑐

𝑎> 0; presenta dos 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 (aplicar factor común x)

Se tiene Caso 1 Caso 2 Caso general

Ejemplo 9𝑥 − 𝑥2 = 0 3𝑥2 + 36𝑥 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0

Factorizando 9 − 𝑥 𝑥 = 0 3𝑥(𝑥 + 12) = 0 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

Despejar variable

𝑥1 = 0𝑥2 = 9

𝑥1 = 0

𝑥2 = −12

𝑥1 = 0

𝑥2 =−𝑏

𝑎

Soluciones Tiene dos y una de ellas es cero

Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

Se tiene Caso 1 Caso 2 Caso general

Ejemplo 𝑥2 −

9

25= 0

𝑥2 + 36 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0

Transponer términos

𝑥2 =9

25

𝑥2 = −36 𝑥2 =−𝑐

𝑎

Despejar variable

𝑥 = ±3

5

Imposible en los Reales 𝑥 = ±

−𝑐

𝑎

Soluciones Tiene dos No tiene Según los signos*

Recuerda …

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que toma la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0 (1).

Usualmente las ecuaciones cuadráticas se pueden agrupar para facilitar su

solución, en tipos que son: 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Hay ecuaciones que requieren realizar operaciones indicadas para luego llegar

a uno de los tipos mencionados, por ejemplo 3𝑥 + 1 2 = 𝑥 + 2 𝑥 − 3 + 4𝑥se

transforma en 8𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0. Pero tenga en cuenta que no siempre se llega

a una ecuación cuadrática, por ejemplo de 𝑥2 − 5𝑥 + 1 = (3𝑥 − 5)2 + 4 se

obtiene 25𝑥 − 29 = 0 que es de grado uno.

Anexo 44

Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Ejemplo Transformaciones Caso general

−𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

4𝑥2 − 4𝑥 − 24 = 0 Multiplicando por -4a 4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 4𝑎𝑐 = 0

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 1 − 24 = 0 Completando el cuadrado

multiplicando por 𝑏2

4𝑎2𝑥2 + 4𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 − 𝑏2

+ 4𝑎𝑐 = 0

(2𝑥 − 1)2 − 25 = 0 Agrupando y llamando

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

(2𝑎𝑥 + 𝑏)2 − ∆= 0

(2𝑥 − 1 + 5) (2𝑥 − 1 − 5) = 0 Factorizando diferencia de cuadrados

(2𝑎𝑥 + 𝑏 + ∆) (2𝑎𝑥 + 𝑏

− ∆) = 0

2𝑥 − 1 + 5 = 0 → 𝑥1 = −2 2𝑥 − 1 − 5 = 0 → 𝑥2 = 3

Propiedad, el producto de factores es nulo si a lo menos uno de ellos es nulo

𝑥1 = −𝑏 − ∆

2𝑎

𝑥1 = −𝑏 + ∆

2𝑎

La formula general de expresar la solución de una ecuación de segundo grado

es𝑥 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

ACTIVIDAD

1. Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de la „regla falsa‟ , y comente los

procesos y valores de solución que obtenga con el profesor.

1) 𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0

2) 𝑥2 − 1 = 0

3) 5𝑥2 + 15𝑥 = 0

4) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

5) 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

6) 𝑥2 + 13𝑥 + 36 = 0

7) 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0

8) 2𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0

9) 12𝑥2 − 17𝑥 + 6 = 0

10) 5𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0

2. Resuelva las anteriores ecuaciones por alguno de los tipos propuestos en los

ejemplos, y comente los procesos y valores de solución que obtenga con el profesor.


4.4.6 TALLER TIPO III: DE RECONOCIMIENTO DE MATERIAL

Objetivo: Construir y reconocer el material que permita utilizar conceptos de la geometría de los griegos para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Para la construcción de los objetos se requiere los siguientes materiales mínimos: 3 octavos de foami de diferente color, regla para trazar, lápiz, bisturí y dos octavos de cartulina de color diferente al del foami papel blanco tamaño carta. Es muy importante para toda la construcción que libremente cada estudiante pueda elegir un segmento de recta con una longitud cualquiera a la que en adelante llamaremos 𝑥 , otro segmento cuya longitud se denominara una unidad representado por 1, y que debe ser de menor longitud que el llamado x. Ejemplo 𝑥 1

ACTIVIDAD

1. Construcción de material

1.1 Paso 1: construir con el foami las siguientes figuras de acuerdo al ejemplo, utilice

para los cuadrados de lado x un color, para los de lado la unidad, múltiplos o

submúltiplos de ella otro color y para los rectángulos otro color y al final coloque el valor

de cada área en el centro de la figura.

Nota: los cuadrados y rectángulos de lado ¼, ½, ¾, 2, 3 y demás se construyen con

base en el segmento de longitud 1

𝑥 𝑥 1 2

1 1 1

𝑥 2

Cuadrados de las siguientes medidas

𝑥2

1

4

1

Recuerda …

El álgebra geométrica de los griegos permite darle sentido y significado a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas por medio de la comparación de áreas.

Anexo 46

La solución de ecuaciones lineales y cuadráticas desde una perspectiva geométrica.

=

Rectángulos

Largo 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 3 5 3 7 4 5 4

Ancho 1 ¼ ½ ¾ ¾ 1 1 1 2 1 2 2 3

Cantidad 20 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Sugerencia: almacenar las construcciones en una pequeña caja para facilitar su

conservación.

1.1.2 Paso 2: con un octavo de cartulina o la hoja blanco lograr el siguiente escenario,

en el cual colocara las figuras cuando esté trabajando

1.1.3 Paso 3: En hojas de papel blanco tamaño carta plasme la siguiente estructura, en

ella se dibujará lo que observa con las figuras sobre la cartulina, luego en el espacio de

Interpretación en lenguaje común se escribe como se lee la ecuación y como obtuvo la

solución y finalmente en el espacio interpretación en álgebra se escribe como se

interpreta la ecuación y el proceso algebraico para encontrar la solución.

Lado 𝑥 ¼ ½ ¾ 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantidad 8 4 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1

Extremo izquierdo Extremo derecho

La solución de ecuaciones lineales y cuadráticas desde una perspectiva geométrica

=

Interpretación en lenguaje común

Interpretación en álgebra

Extremo izquierdo Extremo derecho


2. Manipulación de material

Para el propósito de este material es pertinente que el estudiante tenga presente acuerdos básicos como:

Las áreas de las figuras se toman sin tener en cuenta las unidades cuadradas, solo 𝑥2,

𝑥, 1 o 5. La adición de áreas se representa colocando una figura enseguida de la otra en tanto que la resta de áreas se muestra superponiendo la figura de área menor sobre la de mayor área. Las figuras se construyen buscando “completar el cuadrado” o “completando el rectángulo” La comparación de áreas de las figuras permiten hallar la longitud del segmento que

representa la variable 𝑥, y no se debe interpretar como el valor físico a escala 1:1 que se observa. Las construcciones se realizan tomando las figuras con lados que coincidan en longitud. Correcto Incorrecto

Las figuras no coinciden en

longitud y además no se

completa el cuadrad

Se completo el cuadrado correctamente

Para obtener uno de lado 𝑥 + 2 y área

𝑥 + 2 2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

3. Construcciones

Sobre el octavo de cartulina que esta sin rayar construya las siguientes figuras, registre

los dibujos obtenidos en hojas tamaño carta blancas y determine el perímetro y el área

de cada una de ellos:

Cuadrados de lado:

𝑥 + 1 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 5 𝑥 + 6 𝑥 + 7 𝑥 +

1

2

𝑥 − 1 𝑥 − 2

Rectángulos de:

Largo 𝑥 + 1 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 5 𝑥 + 6 𝑥 + 5 𝑥 + 6 𝑥 + 7

Ancho 𝑥 𝑥 +1 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 𝑥 − 2

𝑥2

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

1

1

1

1

𝑥2

𝑥

1

1

1

Anexo 48

4.4.7 TALLER TIPO IV: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Objetivo: Resolver por medio de construcciones geométricas algunas ecuaciones

lineales.

Lea y observe el proceso de solución con perímetro equivalente a la suma de los

perímetros de las figuras (separadas).

Ejemplo 1. Solucionar la ecuación 2𝑥 + 2 + 4 = 8

Para iniciar el proceso de solución desde una la perspectiva geométrica se debe buscar figuras que permitan visualizar la ecuación propuesta. Para el presente caso un rectángulo de largo 𝑥 y ancho 1, con un cuadrado de lado 1 y un cuadrado de lado 2. Representan la ecuación dada. Luego se procede a colocar las figuras en cada extremo de la igualdad.

De acuerdo a lo que se observa y registrando las medidas conocidas, tome la hoja

tamaño carta con la estructura ya realizada y escriba allí los perímetros correspondientes

asociándolos con la medida de los segmentos que forman los lados y luego por

transposición de segmentos determine una solución. Luego escriba la interpretación en

lenguaje común y después en álgebra.


Solucionar la ecuación 2𝑥 + 2 + 4 = 8

=

4

Recuerda …

El perímetro de una figura geométrica es la suma de las longitudes de los segmentos externos que forman sus lados.

Se debe tener muy claro las medidas de longitud de los lados y el valor del área de cada figura construida.

Se recomienda ejercitarse en proponer figuras equivalentes a una dada que

tengan la misma área.


Ejemplo 2. Resolución con perímetro equivalente a la suma de los perímetros de las

figuras (unidas). Observe el ejemplo para la ecuación 𝑥 + 4 = 8.


=

x x 1 1 1 1 1 1

x x

x

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1


La suma de la longitud de los segmentos del rectángulo y el cuadrado que están en el extremo izquierdo es

equivalente a la suma de los segmentos del cuadrado que está en el extremo derecho de la ecuación, entonces

para determinar la longitud x se restan a ambos lados seis segmentos de longitud uno y al comparar segmentos

se tiene que x tiene longitud uno.

𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 + 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 3

𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2

2𝑥 + 2 + 4 = 8

2𝑥 + 6 = 8

2𝑥 = 8 − 6

2𝑥 = 2

𝑥 = 2

2

𝑥 = 1


De donde se obtiene que el valor que representa la variable x sea uno, para que la suma del perímetro de las

figuras del extremo izquierdo sea igual al perímetro de la figura del extremo derecho


=

1

4

Anexo 50

ACTIVIDAD 1

Ahora de acuerdo a las estructuras anteriores proponga solución para: a) Un cuadrado de lado x igualándolo a un rectángulo de largo x y ancho 1

(ecuación 4𝑥 = 2𝑥 + 2).

b) Dos cuadrados de lado x y un cuadrado de lado 2 igualándolos a un cuadrado de lado 4 (ecuación 8𝑥 + 8 = 16)

c) Un cuadrado de lado 4, un cuadrado de lado x y un rectángulo de largo x y ancho 1 igualándolos a un cuadrado de lado x y un cuadrado de lado 2. (ecuación 16 + 4𝑥 + 2𝑥 + 2 = 4𝑥 + 8). ¿esta ecuación presenta solución geométrica?. ¿Qué

puede argumentar?


=

x 1 1 1 x 1

x x

x

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1


La suma de la longitud de los segmentos del nuevo rectángulo (por unión de figuras 1 y 2) que está en el

extremo izquierdo es equivalente a la suma de los segmentos del cuadrado que está en el extremo derecho de

la ecuación, entonces para determinar la longitud x se restan a ambos lados cuatro segmentos de longitud uno

y al comparar segmentos se tiene que x tiene longitud dos.

𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎

𝑥 + 1 + 1 + 1 + 𝑥 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 2𝑥 + 4 = 8

2𝑥 = 8 − 4 2𝑥 = 4

𝑥 = 4

2

𝑥 = 2


De donde se obtiene que el valor que representa la variable x es dos, para que el perímetro del nuevo

rectángulo (por unión de figuras) en el extremo izquierdo sea igual al perímetro de la figura del extremo derecho


Ejemplo 3. Resolución por comparación de áreas. Aquí la ecuación permite comparar las áreas y se busca determinar el valor de la

variable x para que tengan el mismo valor de área con diferente representación

geométrica.

Dada la ecuación 2𝑥 + 4 = 10 hallar su solución:

Actividad de afianzamiento:


=

x

x

4

4

4

2


=

Extremo izquierdo

+

Extremo derecho

4

10

2 x

2 x


El área 2x, del rectángulo de largo x y ancho 2 unidades, aumentada en el área 4 del cuadrado de lado 2

unidades en el extremo izquierdo es equivalente al área 10, de dos cuadrados de lado 2 unidades adicionada

con el área del rectángulo que tiene 2 unidades de largo por 1 unidad de ancho en el extremo derecho. De

donde al superponer el cuadrado de área 4 en el extremo derecho se puede ver que al extremo izquierdo

queda un rectángulo de área 2x que es equivalente a un rectángulo de área 6, de donde al comparar áreas se

ve que x es igual a 3

2𝑥 + 4 = 10

2𝑥 = 10 − 4

2𝑥 = 6

𝑥 = 6

2

𝑥 = 3


De donde se obtiene que el valor que representa la variable x es tres, para que la suma de áreas en el

extremo izquierdo sea igual al área del rectángulo en el extremo derecho

4

2

Anexo 52

Para la realización de estas ecuaciones tenga presente adicional a lo tratado que:

1. En geometría de los griegos las longitudes siempre tienen sentido si son

representadas por números enteros o racionales positivos.

2. Un “arreglo” de figuras es la unión de figuras que se coloca en un extremo de la

ecuación

3. Un “arreglo” de figuras repetido una cantidad de veces se expresa en algebra por el

producto del número de veces por el “arreglo”. Ejemplo el “arreglo” 3x +1 repetido 3

veces se representa por 3 (3x+1) que es equivalente a 9x + 3.

4. una representación de una ecuación puede tener más de una posibilidad de ser

presentada por medio del material, pero la solución o soluciones la forman los mismos

valores

ACTIVIDAD 2

Dados las siguientes ecuaciones hallar, por medio de por aplicación de las estructuras

vistas, su solución.

1) 4𝑥 = 8

2) 4𝑥 + 2𝑥 + 2 = 2𝑥 + 2 + 6

3) 3𝑥 + 5𝑥 = 12

4) 𝑥2 + 3𝑥 = 𝑥2 + 9

5) 6𝑥 + 4 = 7𝑥 − 2

6) 4𝑥 − 2 = 5

7) 3 𝑥 + 2 = 𝑥 + 3

8) 7𝑥 +1

2= 𝑥 + 1

9) 3 𝑥2 + 𝑥 + 5 = 3𝑥2 + 12

10) 𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 𝑥2 + 𝑥 − 1


4.4.8 TALLER TIPO V: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Objetivo: Resolver por medio de construcciones geométricas algunas ecuaciones

cuadráticas.

Lea atentamente los siguientes ejemplos que solucionan ecuaciones de segundo grado

basados en la comparación de áreas por los siguientes métodos.

1. Solución por el método de completar el cuadrado con soluciones enteras.

Solucionar la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 + 4𝑥 = 20

Para encontrar la solución se comienza por obtener con el material, una representación

apropiada para aplicar el método.


= 𝑥2 4𝑥 4𝑥

20

Recuerde que…

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que toma la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0 (1). Usualmente las ecuaciones cuadráticas se pueden agrupar para facilitar su

solución, en tipos que son:

𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática están en los números reales, aunque en algunos casos también en los complejos, sin embargo; en el álgebra geométrica de los griegos, ellas están limitadas a números positivos.

Para la interpretación geométrica el cero se interpreta sin colocar ninguna

figura.

Anexo 54

Ahora se procede a realizar el proceso geométrico.


=

Extremo derecho

Se adiciona un cuadrado de 16

Sumando las áreas se obtiene un nuevo cuadrad

6

6

𝑥

Extremo izquierdo

4

𝑥

Completando el cuadrado

4

Comparando área y la longitud del lado de los cuadrados

4

𝑥

𝑥 4

𝑥2 4𝑥

4𝑥

16

16

20

𝑥2

4𝑥

4𝑥

20

𝑥2

4𝑥

4𝑥

16

36



El área de un cuadrado de lado x adicionada con el área de dos rectángulos de ancho x y largo 4 unidades, en

el extremo izquierdo es equivalente al área 20 de un rectángulo en el extremo derecho. De donde para

completar el cuadrado del extremo izquierdo debemos adicionar un cuadrado de 16 en ambos extremos , que

al comparar áreas permite determinar la congruencia de las dos figuras y por tanto comparando la longitud del

lado de los cuadrados se obtiene que x= 2

𝑥2 + 2(4𝑥) = 20

𝑥2 + 8𝑥 = 20

𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 20 + 16

𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 36

𝑥 + 4 2 = (6)2

𝑥 + 4 = 6

𝑥 = 2


De donde se obtiene que el valor que representa la variable x es dos, para que la suma de áreas en el



3. Solución por el método de completar el cuadrado con soluciones racionales.


= 𝑥/2

𝑥2 𝑥

2/2

3

4


=

Extremo derecho

Se adiciona un cuadrado de 1/4

Sumando las áreas se obtiene un nuevo cuadrad

1

1

1

2

1

2

𝑥

𝑥

𝑥 12

Extremo izquierdo

𝑥

𝑥 1

2

Completando el cuadrado

Comparando área y la longitud del lado de los cuadrados

1

2

𝑥2 𝑥

2/2

𝑥/2

3

4

𝑥2

𝑥/2

𝑥

2/2

¼

3

4 ¼

𝑥/2

𝑥2 𝑥

2/2

¼ 1

Anexo 56

ACTIVIDAD

Determinar la raíces de las siguientes ecuaciones empleando el material geométrico y la

estructura propuesta para la su solución.

1. 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 16

2. 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 25

3. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 9

4. 𝑥2 + 𝑥 =15

4

5. 𝑥2 + 8𝑥 = 9

6. 𝑥2 + 6𝑥 = 16

7. 𝑥2 + 8𝑥 = 9

8. 𝑥2 + 4𝑥 = 12

9. 𝑥2 + 4𝑥 = 21

10. 𝑥2 + 8𝑥 = 20



El área de un cuadrado de lado x adicionada con el área de dos rectángulos de ancho x y largo 1/2 unidades,

en el extremo izquierdo es equivalente al área 3/4 de un rectángulo en el extremo derecho. De donde para

completar el cuadrado del extremo izquierdo debemos adicionar un cuadrado de ¼ de área en ambos

extremos , que al comparar áreas permite determinar la congruencia de las dos figuras y por tanto comparando

la longitud del lado de los cuadrados se obtiene que x= 1/2

𝑥2 + 2(𝑥

2) =

3

4


𝑥2 + 𝑥 = 3

4 simplificando

𝑥2 + 𝑥 +1

4=

3

4+

1

4 completando el cuadrado

𝑥2 + 𝑥 +1

4= 1 sumando

𝑥 +1

2

2

= (1)2 comparando áreas

𝑥 +1

2= 1 comparando longitud lados

𝑥 = 1/2 despejando la variable x De donde se obtiene que el valor que representa la variable x es un medio, para que la suma de áreas en el


5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

El algebra geométrica de los griegos es una herramienta didáctica, que la historia de la

matemática permite estudiar y adaptar al lenguaje moderno del álgebra para darle

sentido y significación, en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la solución de

ecuaciones lineales y cuadráticas en el contexto del álgebra escolar.

Orientar el álgebra del ciclo IV de educación básica se realiza mejor si el profesor

domina aspectos teóricos propios de la aritmética, y el álgebra superior que le permitan

reconocer las debilidades y fortalezas que los estudiantes presentan a la hora de dar

sentido y significación al álgebra escolar.

La propuesta presenta una oportunidad, aunque limitada, para el profesor y el estudiante

de dar todo un sentido y significación a la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas

en un contexto geométrico que aporta al desarrollo del pensamiento algebraico, y

naturalmente al pensamiento geométrico.

5.2 Recomendaciones

La realización de los talleres tipo I y II no necesariamente se hace en el mismo curso, esto depende del desarrollo curricular educativo del área de matemáticas que realiza la institución. Al aplicar la propuesta el profesor debe reconocer que esta no debe ser aplicada de forma tal que el estudiante se encasille en ella y no avance en el desarrollo del pensamiento algebraico. Es posible continuar proponiendo ejemplos y actividades desde una perspectiva geométrica para fortalecer el proceso enseñanza-aprendizaje del álgebra escolar.


Bibliografía

ACEVEDO, Myriam y FALK, Mary (1997). Recorriendo el álgebra: De la solución de ecuaciones al álgebra abstracta. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia – Colciencias, 1997.

COURDER ALONSO (1998), Luciano. Teoría de ecuaciones algebraicas. México:

Editorial Limusa,.

BIRKHOFF Garrett y MACLANE Saunders (1960), Algebra moderna, traducción al

español de Rodriguez Rafael, Barcelona, editorial Teide.

BIRKHOFF Garrett y MACLANE Saunders (1977). A survey of modern algebra, New

York, Macmillan Publishing Co.

COVAS María y BRESSAN Ana (2011). La enseñanza del algebra y los modelos de

área, en Publicaciones del Grupo Patagónico de didáctica de la matemática, Argentina,

consultado el 13 de mayo de 2011, en

http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/algebrageometricacovas3.pdf.

DE PRADA María y MARTINEZ Ignacio (1994). Cómo enseñar el lenguaje algebraico,

las ecuaciones y los sistemas. Málaga: Editorial Ágora,

EUCLIDES. (1956) .The thirteen books of THE ELEMENTS. New York: Dover

Publications, Inc.

ENFADAQUE, Jesús (1999). De los números a las letras. En revista Suma 5, consultado

el 1 de didiembre de 2012, en http://revistasuma.es/sites/revistasuma.es/IMG/pdf/5/023-

034.pdf.

FILLOY, Eugenio y ROJANO, Teresa (2001). Álgebra. México: Grupo Editorial

Iberoamericano,.

FORERO, Andrés (2011). Matemática Estructural, Bogotá, Universidad de Los Andes,

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas, Ediciones Uniandes.

Bibliografía 59

GODINO, Juan y FONT, Vinceç (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para

maestros, Universidad de Granada, consultado el 19 de mayo de 2011. En

http://ebookbrowse.com/libro-razonamiento-algebraico-y-su-didactica-para-maestros-

godino-pdf-d33955187.

GONZÁLEZ, Félix y DIEZ, María.Dificultades en la adquisición del significado en el uso

de las letras en álgebra. Propuesta para la interacción didáctica, En: Revista complutense

de Educación, Vol. 13 Número 1, pág. 281-302, consultado el 19 de mayo de 2011, en

http://revistas.ucm.es/edu/11302496/articulos/RCED0202120281A.PDF.

GUZMÁN, Julián y Otros (2010). Mesopotamia y Egipto Cultura, Matemática y Didáctica.

Pereira: Universidad tecnológica de Pereira

PÉREZ DE DÍAZ, María Cristina (1998).. Álgebra desde una perspectiva geométrica.

Bogotá, Programa RED Universidad Nacional de Colombia,

PUERTAS, María (1991). Traducción al español de Elementos de Euclides. Madrid:

Editorial Gredos..

SESSA, Carmen (2005). Iniciación al estudio didáctico del álgebra. Orígenes y perspectivas. Buenos Aires: Libros del Zorzal,

SOCAS, Martín (2002). La organización de los sistemas numéricos desde su escritura

decimal. Algunas expresiones ambiguas. En revista Números, volumen 50, junio de 2002,

paginas 19 – 34. Consultado el 1 de septiembre de 2012 en

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/50/Articulo02.pdf.

SOCAS, Martín (2011). Perspectivas de investigación en pensamiento algebraico, Actas del III SEIEM, consultado el 10 de 2012 en http://funes.uniandes.edu.co/1460/1/Socas1999Perspectivas_SEIEM_261.pdf.

SOCAS, Martin. Y otros (1996), Iniciación al álgebra. Madrid, Editorial Síntesis.

la solución de ecuaciones, lineales y cuadráticas, desde ... · towards on algebra, on the...

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