la transformada de fourier
TRANSCRIPT
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Bachilleres: Karlos Yrrael Rosas Serra. C.I.: 26.243.591 V semestre Ing. Civil
Porlamar, 2016
𝑛 =∑ (𝑛𝑘)𝑥𝑘𝑎𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0𝐴 = 𝜋𝑟2
Definicion de la Transformada de Fourier
Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R. Se define su transformada de Fourier como:
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la
frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo)
y viceversa. 𝑥+ 𝑎)
Notación: A la función F() se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota Fo es decir
en forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de f(ω) se le llama transformada inversa de fourier y se denota por f -1 es decir:
Las series de Fourier son utiles para el estudio de senales periodicas pero, desafortunadamente,este tipo de senales no son tan frecuentes en la practica como las no-periodicas. Esta situacion requiereel desarrollo de una teor´
nal aperiodica1 definida en todo el intervalo real y denotemos por xT (t) (T > 0)la senal 2T -periodica que se obtiene a partir de x(t) haciendo xT (t) = x(t) para t ∈ (−T, T ] yextendiendo periodicamente con periodo 2T . Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g.,es C1(R)), entonces tendremos la identidad
x(t) = xT (t) =1
2T
∞∑
k=−∞
[∫ T
−T
x(s)e−(πi/T )ksds
]e(πi/T )kt, para t ∈ (−T, T ] (1)
Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces laigualdad lımite sera valida para todo t ∈ R y su valor sera igual al de la senal de partida x(t).
Ahora, estudiemos que le sucede al segundo miembro si hacemos T → ∞. Tomando ∆f =1/(2T ) y fk = k∆f , podemos reescribir (1) como
x(t) =∞∑
k=−∞∆f
[∫ T
−T
x(s)e−2πifksds
]e2πifkt, para t ∈ (−T, T ]
Ahora bien, |fk+1 − fk| = ∆f = 1/2T ( k ∈ Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {fk}como nodos equiespaciados de una particion de Riemann para la integral lımite
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(s)e−2πifsds
)e2πiftdf
nalaperiodica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier):
−∞
(∫ ∞
−∞x(s)e−2πifsds
)e2πiftdf
∫ ∞x(t) =
Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la se˜
De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primerasconsideraciones
Haciendo el cambio de variable ξ = 2πf , podemos reescribir la anterior formula como
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(s)e−iξsds
)eiξtdξ
Definicion 1 La senalF(x)(ξ) := x(ξ) :=
∫ ∞
−∞x(s)e−iξsds
nal (aperiodica) x(t) ∈ L1(R).
Definicion 2 La senalF−1(y)(t) :=
1
2π
∫ ∞
−∞y(ξ)eiξsdξ
toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la senal (aperiodica) y(ξ).
Nota 1 Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(s)e−iξsds
)eiξtdξ
=1
2π
∫ ∞
−∞F(x)(ξ)eiξtdξ = F−1(F(x))(t)
y, de manera analoga,F(F−1(y))(ξ) = y(ξ).
toma el nombre de transformada de Fourier de la se˜
atica m´Sea x(t) una se˜
ıa matem´ as ambiciosa.
La palabra ”transformada” indica que estamos trabajando con una herramienta para transformarun tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier sera util (como vere-mos) para simplificar el estudio de la solucion de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendoel problema de la solucion de una ED en un problema de solucion de ecuaciones algebraicas. La moti-vacion para dicho estudio esta en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedadesalgebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una senal, o al trasladar la senal, etc. En esteapartado estudiamos las propiedades mas sencillas de la transformada de Fourier.
A continuacion exponemos una lista de las propiedades elementales de F(x)(ξ) = x(ξ) (Algunasde las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio).
Nota 2 Mantenemos ambas notaciones, F(x) y x para la transformada de Fourier, porque a vecesuna de ellas es mas comoda o mas clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que elestudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitira leer facilmente diferentestextos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo unanime para la notacion en esta materia).
Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Mas precisamente, si x1, x2 ∈L1(R), y a, b ∈ R, entonces ax1 + bx2(ξ) = ax1(ξ) + bx2(ξ).
Traslacion en el tiempo. Dado a ∈ R, se tiene que
F [x(t− a)](ξ) = e−iaξF [x(t)](ξ) y F [eiaξx(t)](ξ) = F [x(t)](ξ − a)
Demostracion. En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, comose observa a continuacion:
F [x(t− a)](ξ) =
∫ ∞
−∞e−iξtx(t− a)dt
=
∫ ∞
−∞e−iξ(s+a)x(s)ds (donde s = t− a)
= e−iaξF [x(t)](ξ).
La otra formula se demuestra de forma analoga. ¤
Cambios de escala. Si δ > 0 y xδ(t) = δ−1x(t/δ), entonces
F [xδ](ξ) = F [x](δξ) y F [x(δt)](δξ) = F(x)δ(ξ).
Demostracion. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos:
F [xδ](ξ) = δ−1
∫ ∞
−∞e−iξtx(t/δ)dt
= δ−1
∫ ∞
−∞e−iξδsx(s)δds (donde s =
t
δ)
= F [x](δξ)
La demostracion de la segunda formula es analoga.
b´ Teoremas asicos sobre la transformada de Fourier
Derivacion. Si x es continua y derivable a trozos, con x′(t) ∈ L1(R), entonces
F(x′)(ξ) = iξF(x)(ξ).
Ademas, si tx(t) es integrable entonces
F(tx(t))(ξ) = iF(x)′(ξ).
Demostracion. En este caso vamos a utilizar la formula de integracion por partes, para el calcu-lo de x′:
x′(ξ) =
∫ ∞
−∞e−iξtx′(t)dt
= e−iξtx(t)]t=∞t=−∞ + iξ
∫ ∞
−∞e−iξtx(t)dt
= iξx(ξ)
Antes de continuar desarrollando la teorıa, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier:
Ejemplo 1 Consideremos la senal escalon
ua(t) =
{1 si |t| < a0 en otro caso
Su transformada de Fourier es
F(ua)(ξ) =
∫ ∞
−∞ua(s)e
−iξsds
=
∫ a
−a
e−2πiξsds =e−iξs
−iξ
]s=a
s=−a
=e−iaξ − eiaξ
−iξ
=cos(−aξ) + i sin(−aξ)− cos(aξ)− i sin(aξ)
−iξ
= 2sin(aξ)
ξ
Ejemplo 2 Sea x(t) = exp(−|t|). Entonces
x(ξ) =
∫ ∞
−∞e−|t|e−iξtdt
=
∫ 0
−∞ete−iξtdt +
∫ ∞
0
e−te−iξtdt
= −∫ 0
−∞e−ueiξudu +
∫ ∞
0
e−te−iξtdt
=
∫ ∞
0
e−t(eiξt + eiξt)dt =
∫ ∞
0
2e−t cos(ξt)dt
= 2
(− cos(ξt)e−t
]∞0
+ ξ
∫ ∞
0
e−t sin(ξt)dt
)
= 2
[1 + ξ
(e−t sin(ξt)
]∞0− ξ
∫ ∞
0
e−t cos(ξt)dt
)]
= 2
(1− 1
2ξ2x(ξ)
); pues ya hemos visto que
∫ ∞
0
e−t cos(ξt)dt =1
2x(ξ).
De modo que
x(ξ) = 2
(1− 1
2ξ2x(ξ)
)= 2− ξ2x(ξ)
y, por tanto,
x(ξ) =2
ξ2 + 1.
Hay otros ejemplos cuyo calculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a suimportancia para las aplicaciones, los traslada a la categorıa de teoremas:
Teorema 1 Si x(t) = exp(−t2), entonces x(ξ) =√
π exp(−ξ2/4).
Demostracion. El primer paso para el calculo de x(ξ) =∫∞−∞ e−t2e−iξtdt consiste en agrupar en un
solo termino el producto e−t2e−iξt, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto.Ası, si tenemos en cuenta que (
t +iξ
2
)2
= t2 + iξt−ξ2
4,
resulta que
− (t2 + iξt
)= −ξ2
4−
(t +
iξ
2
)2
y, por tanto,
x(ξ) =
∫ ∞
−∞e−t2e−iξtdt =
∫ ∞
−∞e−
ξ2
4−(t+ iξ
2 )2
dt
= e−ξ2
4
∫ ∞
−∞e−(t+ iξ
2 )2
dt,
lo que reduce nuestro problema al calculo de la integral∫ ∞
−∞e−(t+ iξ
2 )2
dt.
Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado tecnico:
Lema 1 ∫ ∞
−∞e−t2dt =
√π.
Demostracion. Denotemos por I la integral que queremos calcular: I =∫∞−∞ e−t2dt. Entonces
I2 =
(∫ ∞
−∞e−t2dt
)(∫ ∞
−∞e−s2
ds
)=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞e−(t2+s2)dtds.
Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares,{
t = ρ cos θs = ρ sin θ
,
cuyo Jacobiano es igual a ρ, podemos entonces hacer uso del teorema de integracion por cambio devariables, para obtener que
I2 =
∫ 2π
0
∫ ∞
0
ρe−ρ2
dρdθ =
(∫ 2π
0
dθ
)(∫ ∞
0
ρe−ρ2
dρ
)
= 2π
∫ ∞
0
ρe−ρ2
dρ = 2π−1
2e−ρ2
]∞
0
= 2π1
2= π.
Por tanto, I =√
π. ¤Tomamos ahora en consideracion la formula integral de Cauchy, aplicada a la funcion entera
f(z) = exp(−z2). Como se trata de una funcion sin singularidades, la integral∫
γexp(−z2)dz se
anula sobre cualquier curva cerrada γ. Consideramos, pues, la curva γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4, cuyografo es el borde del rectangulo [−R,R]× [0, ξ/2] y que esta orientada positivamente (de modo queγ1 va desde−R hasta R, γ2 va desde R hasta R+ i ξ
2, γ2 va desde R+ i ξ
2hasta−R+ i ξ
2y γ2 va desde
−R + i ξ2
hasta −R). Entonces
0 =
∫
γ
e−z2
dz =
∫
γ1
e−z2
dz +
∫
γ2
e−z2
dz +
∫
γ3
e−z2
dz +
∫
γ4
e−z2
dz
=
∫ R
−R
e−t2dt−∫ R
−R
e−(t+ iξ2 )
2
dt.
Como esta igualdad se satisface paa todo R > 0, se concluye que∫ ∞
−∞e−(t+ iξ
2 )2
dt =
∫ ∞
−∞e−t2dt =
√π
y, por tanto,
x(ξ) =√
πe−ξ2
4 ,
que es lo que querıamos demostrar. ¤Ya hemos mencionado anteriormente que si la senal es absolutamente integrable en R entonces su
transformada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, mas fuerte, se satisface:
Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x ∈ L1(R) entonces
lımξ→±∞
F(x)(ξ) = 0.
Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la con-tinuidad de x(ξ), para ξ ∈ R, incluso para senales x(t) discontinuas. Mas precisamente, se satisfaceel siguiente teorema:
Teorema 3 Supongamos que x : R→ C; t → x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable(i.e.,
∫∞−∞ |x(t)|dt < ∞). Entonces x(ξ) es continua en todo ξ ∈ R.
Demostracion. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado tecnico de analisis realque no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero sı podremos utilizar. Se tratade una version del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en quenos encontramos:
Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funcionesxh : R→ C (h ∈ R), continuas a trozos tales que existe una cierta funcion g verificando que
|xh(t)| ≤ |g(t)| para todo t, h ∈ R
y∫∞−∞ g(x)dx < ∞. Si ademas sabemos que existe el lımite puntual
x(t) = lımh→0
fh(t); t ∈ R,
entonceslımh→0
∫ ∞
−∞xh(t)dt =
∫ ∞
−∞(lımh→0
xh(t))dt =
∫ ∞
−∞x(t)dt.
Nota: Para la demostracion de este resultado, ver [?].
Ahora podemos demostrar la continuidad de x(ξ). Para ello, fijado ξ ∈ R hacemos los siguientescalculos:
x(ξ + h)− x(ξ) =
∫ ∞
−∞x(t)(e−i(ξ+h)t − e−iξt)dt
=
∫ ∞
−∞x(t)e−iξt(e−iht − 1)dt =
∫ ∞
−∞xh(t)dt,
donde xh(t) = x(t)e−iξt(e−iht − 1). Es claro que, para ξ, h, t ∈ R se tiene que
|xh(t)| = |x(t)||e−iξt||(e−iht − 1)| ≤ 2|x(t)|Como g(t) = 2|x(t)| es absolutamente integrable, y existe el lımite puntual
lımh→0
xh(t) = x(t)e−iξt lımh→0
(e−iht − 1) = 0, t ∈ R;
se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que
lımh→0
(x(ξ + h)− x(ξ)) = lımh→0
∫ ∞
−∞xh(t)dt =
∫ ∞
−∞(lımh→0
xh(t))dt = 0,
que es lo que quer´
x(ξ) es absolutamente integrable, entoncesx(t) ∈ C(R).
Es mas, si utilizamos una version mas fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]),se puede demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de x(ξ)) Sean L1(R) y C0(R) dotados de sus nor-mas usuales ‖x(t)‖L1(R) =
∫∞−∞ |x(t)|dt y ‖x(t)‖C0(R) = supt∈R |x(t)|. Entonces F : L1(R) →
C0(R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa,F−1 : L1(R) → C0(R)
Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado:
Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)es1t y x(t)es2t son continuas a trozos y absolutamenteintegrables en toda la recta real, y s1 < s2. Entonces la funcion
F (z) =
∫ ∞
−∞x(t)e−iztdt
existe y es holomorfa en la banda
D = {z ∈ C : Imz ∈ (s1, s2)}.
Demostracion. Sea z = w + is ∈ D. Entonces, para t ≥ 0, se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est ≤ |x(t)|es2t
Ademas, para t ≤ 0, se tiene que
|x(t)e−izt| = |x(t)|est ≤ |x(t)|es1t.
Por tanto, ∫ ∞
−∞|x(t)e−izt|dt ≤
∫ 0
−∞|x(t)|es1tdt +
∫ ∞
0
|x(t)|es2tdt < ∞.
ıamos probar.
Corolario 1 En las condiciones del teorema anterior, si
Esto demuestra la existencia de F (z) para z ∈ D. Por otra parte, fijados z∗ ∈ D, y {zn} → z∗
({zn}n∈N ⊂ D), se tiene que
|F (zn)− F (z∗)| ≤∫ ∞
−∞|e−iznt − e−iz∗t||x(t)|dt.
Ahora bien, sabemos que lımn→∞ |e−iznt − e−iz∗t| = 0 (puntutalmente en t ∈ R) y, por tanto, necesi-tamos (para utilizar el Teorema de Convergencia Dominada) encontrar una funcion y(t) ∈ L1(R) talque |e−iznt− e−iz∗t|x(t) ≤ y(t) para todo t ∈ R y todo n ≥ 0. Es facil comprobar que la funcion y(t)definida por y(t) = 2es2t|x(t)| si t ≥ 0, y(t) = 2es1t|x(t)| si t < 0 satisface dichos requisitos. Portanto, F es continua enD. Tomamos ahora γ una curva cerrada enD. Entonces, utilizando el teoremade Fubini, vemos que
∫
γ
F (z)dz =
∫
γ
(
∫ ∞
−∞x(t)e−iztdt)dz
=
∫ ∞
−∞(
∫
γ
x(t)e−iztdz)dt (por Fubini)
=
∫ ∞
−∞0dt (por el Teor. Integral de Cauchy)
= 0
y, por tanto , podemos usar el Teorema de Morera para afirmar que F ∈ H(D), que es lo quequerıamos demostrar. ¤
Corolario 2 Si x(ξ) tiene soporte compacto entonces x(t) es la restriccion aR de una funcion enterax(z).
on y Transformada de FourierDadas dos senales x(t), y(t) absolutamente integrables en R, recordamos que su convolucion
esta dada por la formula
(x ∗ y)(t) =
∫ ∞
−∞x(s)y(t− s)ds.
En realidad, la convolucion esta bien definida desde el momento en que una de las senales sea acotada(en R) y la otra sea absolutamente integrable.
Proposicion 1 La convolucion de senales es una operacion conmutativa.
Demostracion. Basta hacer el cambio de variables t− s = u, de modo que:
x ∗ y(t) =
∫ ∞
−∞x(s)y(t− s)ds = −
∫ −∞
∞x(t− u)y(u)du
=
∫ ∞
−∞x(t− u)y(u)du = y ∗ x(t). ¤
Convoluci´
Proposicion 2 Si x(t) e y(t) son senales continuas a trozos y absolutamente integrables en R, en-tonces su convolucion, x ∗ y(t) es tambien una senal absolutamente integrable. Es mas, se verifica ladesigualdad
‖x ∗ y‖L1(R ≤ ‖x‖L1(R)‖y‖L1(R)
Demostracion. Como las senales son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorema deFubini, para cambiar el orden de integracion en los siguientes calculos:
‖x ∗ y‖L1(R) =
∫ ∞
−∞
∣∣x ∗ y(t)∣∣ dt
=
∫ ∞
−∞
∣∣∣∣∫ ∞
−∞x(s)y(t− s)ds
∣∣∣∣ dt
≤∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞|x(s)||y(t− s)|dsdt
=
∫ ∞
−∞
{∫ ∞
−∞|x(s)|ds
}|y(t− s)|dt (por Fubini)
= ‖x‖L1(R)
∫ ∞
−∞|y(t− s)|dt = ‖x‖L1(R)‖‖y‖L1(R),
como querıamos demostrar. ¤
Teorema 7 Supongamos que x, y ∈ L1(R). Entonces
x ∗ y(ξ) = x(ξ)y(ξ)
Demostracion. Ya sabemos que x ∗ y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizarel teorema de Fubini otra vez en nuestros calculos:
x ∗ y(ξ) =
∫ ∞
−∞x ∗ y(t)e−iξtdt
=
∫ ∞
−∞
{∫ ∞
−∞x(s)y(t− s)ds
}e−iξtdt
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞x(s)e−iξsy(t− s)e−iξ(t−s)dsdt
=
∫ ∞
−∞
{∫ ∞
−∞x(s)e−iξsds
}y(t− s)e−iξ(t−s)dt
= x(ξ)
∫ ∞
−∞y(t− s)e−iξ(t−s)dt
= x(ξ)y(ξ),
que es lo que quer´on anterior es util en teorıa de senales, puesto que los
filtros son normalmente operadores de convolucion y, usando el resultado anterior, podemos convertir
ıamos demostrar.Evidentemente el teorema de convoluci´
una operacion relativamente complicada (la convolucion de senales en el dominio del tiempo) enotra muy sencilla (el producto de senales en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar quequizas cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedantrasladar (vıa la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) seranmas faciles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la solucion en el dominio de la frecuencia,sera necesario llevarsela al domino del tiempo vıa una transformacion que debera funcionar como eloperador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguienteseccion.
En las secciones anteriores llegamos mediante una serie de argumentos heurısticos a la expresion
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞F(x)(ξ)eiξtdξ.
Ahora vamos a estudiar en detalle bajo que condiciones sobre la senal x(t) se satisface dicha formula.De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, larespuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudierasuceder que F(x) = x /∈ L1(R) y, por tanto, la expresion
∫∞−∞F(x)(ξ)eiξtdξ no sea convergente. Un
ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identidad (que ya demostramos en su momento)
F(ua)(ξ) = 2sin(aξ)
ξ.
por otra parte, aun en el caso de que x ∈ L1(R) es posible que para comprobar la formula
x(t) =1
2π
∫ ∞
−∞
(∫ ∞
−∞x(s)e−iξsds
)eiξtdξ
no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el calculo de la integral doble, pues podrıa suced-er que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integracion(debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble).
Pero podemos intentar lo siguiente:
Primero multiplicamos el integrando x(ξ) por una funcion Φε(ξ) que decrezca muy rapido paraξ → ±∞ pero que, si hacemos ε → 0, se aproxime uniformemente a la funcion 1. De estaforma, para ε > 0 fijo, podemos hacer las cuentas (intercambiar el orden de integracion, etc)pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente.
A continuacion intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε → 0.
Existen varias elecciones de Φε(ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teore-ma Integral de Fourier2). Una posibilidad es tomar Φε(ξ) = e−ε2ξ2/2 y, de hecho, el correspondienteteorema es muy usado para el estudio de procesos estocasticos. Nosotros vamos a elegir Φε(ξ) de
El teorema integral de Fourier
forma un poco mas drastica. Tomamos: Φε(ξ) = χ[− 1ε, 1ε](ξ), lo que es equivalente a interpretar la
integral∫∞−∞ eiξtx(ξ)dξ como su valor principal. Es decir, para nuestro teorema, no suponemos la
convergencia de la integral impropia en el sentido estricto sino que interpretamos que denota su valorprincipal,
v.p
(∫ ∞
−∞x(ξ)eiξtdξ
)= lım
r→∞
∫ M
−M
x(ξ)eiξtdξ.
De esta forma, llegamos a demostrar el siguiente (importante) resultado:
Teorema 8 (Teorema Integral de Fourier) Supongamos que x(t) es continua a trozos, absoluta-mente integrable en R, en cada punto admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos dediscontinuidad esta definida como
x(t) = (x(t+) + x(t−))/2.
Entonces
x(t) = lımM→∞
1
2π
∫ M
−M
eiξtx(ξ)dξ =1
2πv.p
(∫ ∞
−∞eiξtx(ξ)dξ
)(t ∈ R)
Demostracion. Utilizamos el teorema de Fubini para ver que
12π
∫ M
−Mx(ξ)eiξtdξ = 1
2π
∫ M
−M
(∫∞−∞ x(s)e−iξsds
)eiξtdξ
= 12π
∫∞−∞ x(s)
(∫ M
−Me−iξseiξtdξ
)ds
= 12π
∫∞−∞ x(s)
(eiξ(t−s)
i(t−s)
]ξ=M
ξ=−M
)ds
= 12π
∫∞−∞ x(s)2 sin(M(t−s))
t−sds
= 1π
∫ t
−∞ x(s) sin(M(t−s))t−s
ds + 1π
∫∞t
x(s) sin(M(t−s))t−s
ds
Si hacemos el cambio de variable u = s− t, entonces
1
2π
∫ M
−M
x(ξ)eiξtdξ =1
π
∫ 0
−∞x(u + t)
sin(Mu)
udu +
1
π
∫ ∞
0
x(u + t)sin(Mu)
udu.
Vamos a demostrar que1
π
∫ ∞
0
x(t + u)sin(Mu)
udu =
x(t+)
2
y1
π
∫ 0
−∞x(u + t)
sin(Mu)
udu =
x(t−)
2.
En realidad, basta que hagamos una de estas pruebas (la otra es analoga). Lo primero que hacemos esdescomponer la integral 1
π
∫∞0
x(t + u) sin(Mu)u
du en dos trozos, como sigue
1
π
∫ ∞
0
x(t + u)sin(Mu)
udu =
1
π
∫ π
0
x(t + u)sin(Mu)
udu +
1
π
∫ ∞
π
x(t + u)sin(Mu)
udu
(la eleccion de la constante π no es, de todas formas, significativa). La funcion
y(t) =
{1π
x(t+u)u
si u ≥ π0 si u < π
es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema deRiemann Lebesgue para garantizar que
lımM→∞
∫ ∞
−∞y(t) sin(Mt)dt = 0
Por tanto, lımM→∞ 1M
∫∞π
x(t+u)u
sin(Mu)du = 0 y solo tenemos que estudiar el lımite
lımM→∞
1
π
∫ π
0
x(t + u)sin(Mu)
udu.
Ahora bien, sabemos que h(u) = x(t+u)−x(t+)u
es continua a trozos y, por tanto, tambien como conse-cuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene que
lımM→∞
1
π
∫ π
0
x(t + u)sin(Mu)
udu
= lımM→∞
1
π
{∫ π
0
x(t + u)− x(t+)
usin(Mu)du + x(t+)
∫ π
0
sin(Mu)
udu
}
= lımM→∞
x(t+)
π
∫ π
0
sin(Mu)
udu
Si hacemos el cambio de variable s = Mu, obtenemos que duu
= dss
y, por tanto,
lımM→∞
∫ π
0
sin(Mu)
udu = lım
M→∞
∫ πM
0
sin(s)
sds =
∫ ∞
0
sin(s)
sds
La demostracion del teorema se concluye si tenemos en cuenta que∫∞0
sin(s)s
ds = π2, hecho que
separamos en forma de nota. ¤
Nota 3 Veamos que∫∞0
sin(s)s
ds = π2. Como sin(s)
ses continua en [0,∞), la integral impropia sera con-
vergente si y solo si lo es la integral∫∞
asin(s)
sds para alguna eleccion de a > 0. Para demostrar esto
ultimo, hacemos integracion por partes.∫ ∞
a
sin(s)
sds =
− cos s
s
]s=∞
s=a
+
∫ ∞
a
sin(s)
s2ds
Ahora bien,∣∣ sin s
s2
∣∣ ≤ 1s2 y
∫∞a
1s2 ds < ∞. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe.
Teniendo en cuenta que sin uu
es una funcion continua concluimos que la integral impropia∫∞0
sin(s)s
dsse podra representar como
∫ ∞
0
sin(s)
sds = lım
Rn→∞
∫ Rn
0
sin(s)
sds
para alguna eleccion de la sucesion {Rn}∞n=0. Para hacer efectivos los calculos, tomamos Rn =(n + 1
2)π, de modo que
∫ ∞
0
sin u
udu = lım
n→∞
∫ π
0
sin((n + 1/2)t)
tdt
= lımn→∞
∫ π
0
2 sin(12t)
t
sin((n + 1/2)t)
2 sin(12t)
dt
= lımn→∞
∫ π
0
2 sin(12t)
tDn(t)dt
=π
2lım
t→0+
2 sin(12t)
t=
π
2,
Esto finaliza la prueba.
nales GeneralizadasUno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular F(x)
es necesario asumir que x ∈ L1(R) o, mediante el argumento explicado en la seccioon anterior, tam-bien podemos ampliar dicho calculo al caso en que x(t) es una senal de energ´
nales en espacios menos restrictivos?. Por ejem-plo, ¿es posible definir F(x) cuando x ∈ Lp(R), p ∈ (1,∞)? (Una idea podrıa ser considerar loselementos de Lp(R) como funciones generalizadas).
Si tenemos en cuenta que para toda funci´
ıa finita, x ∈ L2(R).¿Podemos definir la transformada de Fourier de se˜
Transformada de Fourier de Se ˜
on φ ∈ S se tiene que F (φ) ∈ S, entoncespodemos definir transformada de Fourier de una señal generalizada x 2 G del siguiente modo
Definici´
F(x){φ} = x{F(φ)}Tambien usamos la notacion
on anterior se esta utilizando la caracterizacion de las funciones generalizadascomo distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S→ C). Ver Teorema ??.
El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas deFourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particu-lar, esto se hara notar en el estudio del teorema del muestreo clasico. Ahora, para que la transformadade Fourier que acabamos de introducir sea util es imprescindible comprobar que las propiedadesbasicas de la transformada de Fourier cl´
on generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier(generalizada) F(x) mediante la f´
asica se conservan.
on 4 Sea x ∈ G una funci´ormula siguiente:
x = F(x).
Nota 5 En la definici´
on de Fourier para senales generalizadas) Sea x(t) ∈ G una fun-cion generalizada. Entonces para toda senal φ ∈ S se tiene que
1
2πx{φ(t)} = x{φ(−t)},
y, por tanto, podemos afirmar que x(t) = 12π
x(−t).
Demostracion. Sean x ∈ G y φ ∈ S. Entonces
1
2πx{φ(t)} =
1
2π
∫ ∞
−∞x(t)φ(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞x(t)
φ(t)dt
=
∫ ∞
−∞x(t)φ(−t)dt
= x{φ(−t)}
ervese con que facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversion para senalesgeneralizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las senales ordinarias. Ahora bien: dichasimplicidad es enganosa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce elteorema de inversion de Fourier para las funciones φ que estan en la clase de Schwartz, que sonsenales ordinarias.
Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la funcion delta de Dirac δ. Por defini-cion, F(δ){φ} = δ{F(φ)} = F(φ)(0) y, por tanto,
F(δ){φ} = φ(0) =
∫ ∞
−∞φ(s) · 1ds = 1{φ}.
asica se conservan.
Teorema 10 (Teorema de inversi´
¤
Nota 6 Obs´
para toda senal φ ∈ S. Por tanto, hemos demostrado que F(δ) = 1. Ademas, utilizando el teorema de
inversion de Fourier, y el hecho de que δ es par, podemos afirmar que F(1)(t) =ˆδ(t) = 2πδ(−t) =
2πδ(t). Ademas, si consideramos las traslaciones de la senal delta de Dirac, δw(t) = δ(t − w),entonces obtenemos que
δw{φ} =
∫ ∞
−∞δ(t− w)φ(t)dt
=
∫ ∞
−∞δ(s)φ(s + w)dt
= φ(w)
=
∫ ∞
−∞e−iwtφ(t)dt
= (e−iwt){φ},
es decir, δ(· − w)(t) = exp(−wit).
Ejemplo 4 El ejemplo anterior sirve (entre otras cosas) para calcular la transformada de Fourier deuna exponencial compleja, x(t) = exp(iwt). Para ello basta aplicar el Teorema 10, pues
x(t) =
δ(· − w)(t) = 2πδ(−t− w) = 2πδ(t + w).
Ejemplo 5 Otro ejemplo importante es el calculo de la transformada de Fourier del tren de impulsosIII{φ}T =
∑∞n=−∞ φ(nT ). Claramente, IIIT{φ} =
(∑∞n=−∞ δ(· − nT )
) {φ}. Por tanto,
IIIT{φ} =∞∑
n=−∞
δ(· − nT ){φ}
=∞∑
n=−∞exp(−inTt){φ}
=∞∑
n=−∞φ(nT )
=2π
T
∞∑n=−∞
φ(2π
Tn) (gracias a la Formula de Poisson (3)).
=2π
TIII 2π
T{φ}.
Es decir, IIIT = 2πT
III 2πT
.
Teniendo en cuenta la conocida formula de derivacion de Leibnitz,
(fg)(n) =n∑
k=0
(n
k
)f (k)g(n−k),
se puede demostrar que si la se˜
entonces, para toda senal φ ∈ S se tiene que αφ ∈ S. Veamoslo. Para ello, calculamos las derivadas
(αφ)(n) =n∑
k=0
(n
k
)α(k)φ(n−k).
nal α satisface
α(k) ∈ CSG para todo k ∈ N,
Como α(k) ∈ CSG y φ(n−k) ∈ S para todo k ≤ n, se tiene que las funciones α(k)φ(n−k) pertenecen aS para todo k ≤ n y, por tanto, tambien se tiene que (αφ)(n) ∈ S.
Obviamente, si la senal α satisface la condicion (4), podemos definir para toda senal generalizadax ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.Obviamente, si la senal α satisface la condicion (4), podemos definir para toda senal generalizadax ∈ G, el producto generalizado
(α · x){φ} = x{φ · α}.
on de senales generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supong-amos que las senales β, β′, β′′, · · · pertenecen a S. Entonces, para toda senal x ∈ G se define elproducto de convolucion
(β ∗ x){φ} :=
∫ ∞
−∞x(t)(φ ∗ β)(t)dt,
donde β(t) := β(−t).Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad:
Teorema 11 (Producto y Convolucion) Sean α(t) verificando (4) y x ∈ G. Entonces
α · x =1
2πα ∗ x.
Demostracion. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β = α satisface lascondiciones necesarias para definir el producto de convolucion β ∗ x, puesto que β = α = 2πα.
Sea ϕ ∈ S. Entonces, para toda senal φ ∈ S se tiene que
(ϕα){φ} =
∫ ∞
−∞(ϕα)(t)φ(t)dt
=
∫ ∞
−∞α(t)(φ(t)ϕ(t))dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ ϕ)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ ϕ)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ ˜ϕ)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞(α ∗ ϕ)(t)φ(t)dt =
1
2π(α ∗ ϕ){φ}
Por otra parte, la convoluci´
lo que demuestra que (ϕα) = 12π
(α ∗ ϕ) siempre que ϕ ∈ S. En particular, hemos dado una pruebaexplıcita de que para toda senal ϕ ∈ S se tiene que ϕ ∗ α ∈ S y, por tanto, el producto de convolucionα ∗ x{φ} esta bien definido.
Terminamos la demostracion calculando α · x{φ} explıcitamente:
(α · x){φ} =
∫ ∞
−∞x(t)α(t)φ(t)dt
=
∫ ∞
−∞α(t)(φ(t)x(t))dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ x)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ x)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞α(t)(φ ∗ ˜x)(t)dt
=1
2π
∫ ∞
−∞(α ∗ x)(t)φ(t)dt =
1
2π(α ∗ x){φ}
¤
Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a traves de la convolucioncontra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx = x ∗ h, donde h = Lδ). Si tomamosla transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puederepresentar en el dominio de la frecuencia como
y = F(Lx) = F(x)F(h) = x · h
Generalmente, se emplea la notacion siguiente: X(w) = x(w) representa la entrada del sistema eY (w) = y(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, lasenal H(w) = h(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La senalH(w) recibe el nombre de funcion de transferencia del sistema. Evidentemente, la formula
Y (w) = X(w)H(w),
que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es mas sencilla (en principio)que la correspondiente formula en el dominio del tiempo. Esto, ademas, posee importantes aplica-ciones para el diseno de filtros: veamos por que.
3. Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos defiltros
Consideremos la senal exponencial truncada:
xT (t) = eiwtχ[−T,T ](t) =
{eiwt |t| ≤ T0 otro caso
y sea L un filtro con respuesta al impulso unidad dada por (Lδ)(t) = h(t). Entonces se tiene que
(LxT )(t) = (xT ∗ h)(t) =
∫ ∞
−∞xT (t− s)h(s)ds
=
∫ T+t
T−t
eiw(t−s)h(s)ds
= eiwt
∫ T+t
T−t
e−iwsh(s)ds
Si ahora tomamos lımite T →∞ en ambos miembros de la igualdad, entonces obtenemos que
L(eiwt)(t) = h(w)eiwt.
Es decir: eiwt es un autovector del operador L y su autovalor asociado es precisamente H(w) = h(w).Esto nos lleva a considerar el siguiente concepto:
Definicion 5 Sea H(w) = A(w)e−iΦ(w) la funcion de transferencia del filtro L, donde se suponeque A(w) ≥ 0 y Φ(w) ∈ R para todo w. Entonces llamamos espectro de amplitud del sistema a lafuncion A(w) y espectro de fase a la funcion Φ(w). Decimos que el sistema no produce distorsionen las amplitudes si la funcion A(w) = A0 > 0 es constante. Decimos que el filtro produce undesplazamiento en la fase si la funcion Φ(w) es lineal, Φ(w) = wt0. En tal caso, decimos que elfiltro es ideal, ya que no produce distorsion en la fase.
Teorema 12 Supongamos que h(t) = (Lδ)(t), la respuesta al impulso unidad es una senal real.Entonces el espectro de amplitudes del sistema es una funci´
on impar.
Demostracion. Como H(w) = A(w)e−iΦ(w) = h(w), tenemos que
H(w) =
∫ ∞
−∞e−iwsh(s)ds =
∫ ∞
−∞eiwsh(s)ds = H(−w).
Por tanto,A(w)e−iΦ(w) = A(w)eiΦ(w) = H(w) = H(−w) = A(−w)e−iΦ(−w),
lo que nos lleva a las igualdades{
A(w) = A(−w) (i.e., A es par)Φ(−w) = −Φ(w) (i.e., Φ es impar),
que es lo que querıamos probar. ¤
A continuacion, vamos a describir la construccion de algunos tipos (importantes) de filtros ideales:
Una propiedad sencilla de los espectros de fase y de amplitud de un filtro, es la siguiente:
on par y el espectro de frecuencias delsistema es una funci´
En el caso de un filtro ideal paso-bajo queremos eliminar la influencia de todas las frecuencias wque sobrepasen en amplitud una frecuencia dada (i.e., con |w| ≥ w0 para cierto valor fijo w0 > 0),y no distorsionar la influencia de las frecuencias w que satisfacen |w| < w0. Como el filtro es ideal,tendremos que Φ(w) = wt0 para cierto t0 fijo. Ambas exigencias nos llevan derechos a la expresion
Hw0(w) =
{e−iwt0 |w| ≤ w0
0 otro caso .
Como H(w) = h(w), podemos usar el teorema de inversion de la transformada de Fourier paraobtener que la respuesta al impulso unidad del correspondiente sistema LTI viene dada por
hw0(t) =1
2π
∫ ∞
−∞Hw0(w)eiwtdw =
1
2π
∫ w0
−w0
eiw(t−t0)dw
=sin(w0(t− t0))
π(t− t0)
y, por tanto, nuestro filtro esta dado por
Lw0(x)(t) =
∫ ∞
−∞x(s)
sin(w0(t− s− t0))
π(t− s− t0)ds
un tipo de distorsion sobre el espectro deamplitudes o el espectro de fases. Esto significa que podrıamos tomar como filtro paso todo el sistemaL obtenido como lımite del sistema Lw0 calculado en el apartado anterior, para w0 →∞,
(Lx)(t) = lımw0→∞
∫ ∞
−∞x(s)
sin(w0(t− s− t0))
π(t− s− t0)ds
=
∫ ∞
−∞x(s)δ(t− t0 − s)ds = x(t− t0)
3.0.1. Filtros ideales paso bajo
3.0.2. Filtros ideales paso todo
En el caso de un filtro ideal paso-todo, no deseamos ning´
Esto demuestra que los unicos filtros ideales paso-todo que existen son las traslaciones en el tiempo.
0 un filtro ideal que elimine todas las componentes de frecuencia de la senalpara frecuencias que satisfacen |w| < w0 para cierto w0 fijo, pero deje intactas las componentes defrecuencia |w| ≥ w0 (diremos entonces que Sw0 es un filtro ideal paso alto) y sea Lw0 el filtro pasobajo descrito anteriormente. Entonces Sw0 + Lw0 es forzosamente un filtro paso todo y, por tanto,(Sw0x)(t) = x(t− t0)− (Lw0x)(t) para cierta eleccion de t0.
3.0.3. Filtros ideales paso alto
Denotemos por Sw
nalexcepto aquellas que estan muy cerca de una componente de frecuencia prefijada, wc 6= 0. Para ello,fijamos un valor pequeno w0 << wc y entendemos como frecuencias cercanas a wc aquellas para lasque |w − wc| < w0. Como el espectro de amplitudes es par (estamos tratando con senales reales),el comportamiento cerca de −wc esta sujeto a la relacion A(−w) = A(w). Como de todas formasqueremos que el filtro sea ideal, la correspondiente funcion de transferencia debe ser forzosamente dela forma
Hwc,w0(w) =
{e−iwt0 si max{|w − wc|, |w + wc|} ≤ w0
0 otro caso
La respuesta al impulso unidad es, por tanto:
hwc,w0(w) =1
2π
∫ ∞
−∞Hwc,w0(w)eiwtdw
=1
2π
∫ −wc+w0
−wc−w0
eiw(t−t0)dw +1
2π
∫ wc+w0
wc−w0
eiw(t−t0)dw
=1
π(t− t0){sin((wc + w0)(t− t0))− sin((wc − w0)(t− t0))}
=1
3.0.4. Filtros ideales de banda estrecha
En muchas aplicaciones queremos eliminar todas las componences de frecuencia de una se˜
sin(wc(t− t0)) cos(wc(t− t0)).π(t− t0)
donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo .
Teorema
Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales
Además vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes
polinomiales, es decir de la forma
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
y
la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones
diferenciales tanto para la teoría como para su resolución práctica.
La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en ℝ e
infinitamente diferenciables tales que para todo y enteros no negativos
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de , siendo
Función Transformada
(Función unitaria de Heaviside)
Tabla de transformadas básicas
frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la
transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier
con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese
factor.
APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN LA
INGENIERÍA
El poder extraordinario y la flexibilidad de las series y transformadas de
Fourier se ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de las aplicaciones
que ellas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática,
desde teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica.
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en la ingeniería,
especialmente para la caracterización frecuencial de señales y sistemas
lineales. Es decir, la transformada de Fourier se utiliza para conocer las
características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los
sistemas lineales ante estas señales.
La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio
de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio
temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se
concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad
y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de
sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y
la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy
útil para el diseño de filtros de radiotransistores.
