lab 2 fisica:tratamiento de datos experimentales

UNIVERSIDAD NACIONALMAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, Decana De América)

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

CURSO : LABORATORIO DE FISICA I

TEMA : TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

PROFESOR :

ALUMNOS :

TURNO : 8:00 a.m.-10:00 a.m.

Ciudad Universitaria, setiembre del 2015

I. OBJETIVOS

E.A.P Ingeniería Civil

1. Obtener gráficas de los datos experimentales en tablas.2. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.3. Obtener graficas en papel milimetrado, semilogarítmico y logarítmico.4. Hacer el uso del método de mínimos cuadrados para una mejor

representación de un conjunto de “N” puntos.5. Conocer el método de aproximación de pares y hacer uso del mismo.

II. EXPERIMENTO

A. MODELO FISICO

Los dados obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Estas tablas nos informan

acerca de relaciones entre una de ellas llamada variable independiente y otra llamada variable

dependiente. Estos valores pueden seguir o no una ley, si lo hacen, se podrá expresar mediante una

ecuación matemática. Una alternativa para establecer dichas relaciones s hacer representaciones

gráficas lineales (rectas), para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representan

las leyes que gobiernan el fenómeno.

Para hallar estas ecuaciones o fórmulas experimentales se hace lo siguiente:

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la tabla.

b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas conocidas

c) Si se logra identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar un

ajuste de curvas correspondientes mediante la técnica de mínimos cuadrados:

Método de Mínimos Cuadrados:De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogaritmico se

calcula la pendiente m y la ordenada b. El método de ajusta más adecuado para una distribución lineal

es la técnica de métodos cuadrados. Para aplicar este método primero se construye la tabla:

Xi Yi Xi Yi Xi2

X1 Y1 X1Y1 X12

X2 Y2 X2Y2 X22

Xp Yp XpYp Xp2

Xi Yi Xi Yi Xi2

Luego se calculan la pendiente y la ordenada en el origen

m = p X i Yi - X i Y i , b = X i2 Y i - X i X iYi

pXi2 - (Xi )2 p Xi

2 - (Xi)2

Donde p es el número de mediciones.

FIGMMG-UNMSM Página 2


Luego, la fórmula experimental resultante será: Y = mx + b

Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la fórmula

experimental buscada. Hay que mencionar que en los casos de las distribuciones lineales en papeles

logarítmico y semilogarítmico las fórmulas experimentales son

Y = bxm ..................................................... Se grafica en papel logarítmico

Y = n 10mx , Y = be2.303 mx ......................... Se grafica en papel semilogarítmico

Donde 10 = e2.303

Dada que el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados, la Tabla se convierte en

logarítmica y semilogarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo de 4 decimales de

redondeo en cada columna. Hay que observar que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

Log Y = m Log x + Log b , y Log Y = mx + Log b

La ordenada en el origen b obtenida por la fórmula será b’ que corresponde a Log b, por lo que b se

calcula como antilogarítmo de b’. Así:

b = Antilog b’

En caso de no ser necesario el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el

valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con el eje

vertical.

El modelo de ajuste que se utiliza es lineal, esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma

de una recta cuya ecuación es: Y = mx + b. Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son

constantes a determinar. Pero hay que mencionar que este ajuste o determinación ahora se puede

automatizar mediante programas de cómputo que facilitan el trabajo,

Otro método que se utiliza es el método de aproximación de pares.

Método de Aproximación de pares de puntosPara utilizar este método debemos tener presente las siguientes consideraciones:

a) Se aplica a gráficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados.

b) Los puntos se dividen en 2 grupos iguales. Un grupo para valores bajos de Y, y otro para

valores altos de Y.



c) A continuación se aparean los puntos unos de cada grupo

d) Luego se calcula la diferencia de los valores de Y para cada par de puntos

e) A continuación se calcula el valor medio de las diferencias Y.

f) Por la primera consideración se sabe que la distancia X entre cada par de puntos es la

misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será:

m = Y

X

g) Se determina el valor medio de X y el valor medio de Y.

h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (X, Y ) con una pendiente igual a m

entonces la ecuación de la recta será:

Y = mx + (Y - mX)

Gráficas en Papel LogarítmicoEl papel logarítmico es construido a partir de la superposición de 2 escalas logarítmicas en forma

perpendicular. Se utiliza para obtener rápidamente el valor de “n: y el valor de “c”. Sea la función:

Y = Cxn

Si se toman logaritmos a ambos lados en esta relación, resulta:

Log Y = n Log X + Log C

Vemos que al graficar Log Y en función de Log X resulta una línea recta que tiene una pendiente igual

a n y su intersección con el eje vertical igual a Log C. Como a veces resulta laborioso obtener los

logaritmos de los números de la tabulación, se puede eliminar este trabajo utilizando el papel

logarítmico. Es conveniente advertir que el papel logarítmico da la escala en que se dividen los ejes X

e Y, por lo cual no es válido alterarla como cuando se usa una escala lineal.

B. DISEÑO

Papel logarítmico



C. Materiales

Tomamos un papel milimetrado y trabajamos el punto 4.1 (aplicaciones) de acuerdo a las tablas 1, 2 y 3Para ellos requerimos materiales de trabajo en este caso son:

Hojas de papel milimetradasHojas de papel logarítmicasHojas de papel semilogarítmico

D. RANGO DE TRABAJO



TABLA 1En el caso de la tabla intensidad (i) versus Voltaje (V) se puede observar que los

mínimos valores son 0.5 (i) y 2.18 (V). Los valores máximos son 4.0 (i) y 17.44 (V) TABLA 2

En el caso de la tabla diámetro (D) versus altura (h) versus tiempo de vaciado (t) se puede observar que los mínimos valores son 0.8 (t), 1.5 (D) y 1 (h). Los valores máximos son 73.0 (t), 7.0 (D) y 30 (h).

TABLA 3En el caso de la tabla días (t) versus % de desintegración (A%) se puede

observar que los mínimos valores son 0 (t) y 17 (A%). Los valores máximos son 10 (t) y 100 (A%).

E. VARIABLES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

TABLA 1Las variables independientes son aquellas que no están en función a algo. En

el caso de la intensidad versus el voltaje; la variable independiente es la intensidad y la variable dependiente el voltaje.

TABLA 2En la tabla altura vs diámetro vs tiempo; la variable independiente es el

tiempo y las variables dependientes son la altura y el diámetro. TABLA 3

En la tabla días versus desintegración del Radón; la variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es el % de desintegración

F. ANALISIS

El primer evento que trataremos será:

La medida de la intensidad de corriente eléctrica conducida por un hilo conductor de nicrón, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La Tabla 1 muestra datos de este experimento.

TABLA I

I V(I)0.5 2.18

1.0 4.36

2.0 8.72

4.0 17.44(Sears-Semansky, 1996)

Al analizar la grafica del punto 4.1 se nota que es una recta por lo tanto planteo para hacer mis ajustes una recta y=mx+b

x i y i x i y i x2i

0.5 2.18 1.09 0.251.0 4.36 4.36 1.0



2.0 8.72 17.34 4.04.0 17.44 69.76 16.0

∑ x i=7 .5 ∑ yi=32 .70 ∑ x i y i=92. 65 ∑ x2i=21 .25

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi ecuación de la recta.

m=4 (92. 65 )−(7 .65 ) (32 .70 )

4 (21.25 )−(7 . 5 )2=4 . 36

b= (21. 25 ) (32. 70 )−(7 . 5 ) (92. 65 )4 (21 . 25 )−(7 . 5 )2

=0

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a:V(I)=4.36I

El segundo evento que trataremos será:

La medida del tiempo de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro de salida. La Tabla 2 muestra datos de este experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depósito

TABLA II

h (cm.) 30 20 10 4 1

d (cm.) Tiempo de vaciado t(s)

1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5

2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.2

3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7

5.0 6.8 5.3 3.9 2.2 1.5

7.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8

Al analizar la grafica del punto 4.1 se nota que es una función exponencial t (d) por lo tanto planteo para hacer mis ajustes una función igual a:

y=kxn

Ahora analizare para el caso en el que h=1



T=x i D= y i log x i log y i log x i log y i log 2xi1.5 13.5 0.17609 1.13033 0.19903 0.031002.0 7.8 0.30102 0.89209 0.26853 0.090613.0 3.7 0.47712 0.56820 0.27109 0.227645.0 1.5 0.69897 0.17609 0.12308 0.488557.0 0.8 0.84509 -0.09691 -0.08189 0.71417

∑ total 2.49829 2.66982 0.77984 1.55197

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi función exponencial.

m=n=5 (0. 77984 )−(2. 49829 ) (2 . 66982 )5 (1 . 55197 )−(2 . 49829 )2

=−1.82481

log k= (1 .55197 ) (2. 66982 )−(2 . 49829 ) (0. 77984 )5 (1.55197 )−(2. 49829 )2

=1 . 44574→k=27 . 90901

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a:y=27.90901 x−1. 82481

y=kxn

log y= log (kxn )log y= log k+log (xn)log y= log k+n log xy '=k '+n x '

y '=1 . 44574−1. 82481 { x

'

¿

Ahora analizare para el caso en el que h=4

x i y i log x i log y i log x i log y i log 2xi1.5 26.7 0.17609 1.42651 0.25119 0.031002.0 15 0.30102 1.17609 0.35402 0.090613.0 6.8 0.47712 0.83250 0.39720 0.227645.0 2.6 0.69897 0.41497 0.29005 0.488557.0 1.3 0.84509 0.11394 0.09628 0.71417

∑ total 2.49829 3.96401 1.38874 1.55197

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi función exponencial.

n=5 (1 .38874 )−(2 . 49829 ) (3. 96401 )5 (1 .55197 )−(2 . 49829 )2

=−1 . 94912



log k= (1 .55197 ) (3. 96401 )− (2 .49829 ) (1. 38874 )5 (1. 55197 )−(2. 49829 )2

=1 . 76670→k=58 .43844

De acuerdo a estos resultados la ecuación que obtengo es igual a:y=58 .43844 x−1 .94912

y=kxn


y '=1 .76670−1.94912 { x

'

¿

Asimismo se efectuara:Para h=10 cm. de donde se obtendrá esta función:

x i y i log x i log y i log x i log y i log 2xi1.5 43 0.17609 1.63346 0.28763 0.031002.0 23.7 0.30102 1.37474 0.41382 0.090613.0 10.5 0.47712 1.02118 0.48722 0.227645.0 3.9 0.69897 0.59106 0.41313 0.488557.0 2 0.84509 0.30102 0.25438 0.71417

∑ total 2.49829 4.92146 1.85618 1.55197

n=5 (1 .85618 )−(2 . 49829 ) (3 . 96401 )5 (1 .55197 )−(2. 49829 )2

=−0 .40987

log k= (1 .55197 ) (4 .92146 )−(2. 49829 ) (1 .85618 )5 (1 .55197 )−(2 . 49829 )2

=1 .97621→k=94 .66948

y=94 . 66948 x−0 . 40987

y=kxn

log y=log (kxn )log y=log k+log (xn)log y=log k+n log xy '=k '+n x '

y '=1 . 97621−0 . 40987 { x

'

¿

Para h=20 cm. de donde se obtendrá esta función:



x i y i log x i log y i log x i log y i log 2xi1.5 59.9 0.17609 1.77742 0.31298 0.031002.0 33.7 0.30102 1.52762 0.45984 0.090613.0 14.9 0.47712 1.17318 0.55964 0.227645.0 5.3 0.69897 0.72417 0.50624 0.488557.0 2.7 0.84509 0.43136 0.36493 0.71417

∑ total 2.49829 5.63385 2.20333 1.55197

n=5 (2 .20333 )−(2 .49829 ) (5 .63385 )5 (1 .55197 )−(2. 49829 )2

=−2 .01419

log k= (1 .55197 ) (5 . 63385 )− (2. 49829 ) (2.20333 )5 (1. 55197 )−(2.49829 )2

=2 .13318→k=135 . 88654

y=135 . 88654 x−2. 01419

y=kxn


y '=2 .13318−2.01419 { x

'

¿

Para h=30 cm. de donde se obtendrá esta función:x i y i log x i log y i log x i log y i log 2xi1.5 73 0.17609 1.86332 0.32811 0.031002.0 41.2 0.30102 1.61489 0.48611 0.090613.0 18.4 0.47712 1.26481 0.60346 0.227645.0 6.8 0.69897 0.83250 0.58189 0.488557.0 3.2 0.84509 0.50514 0.42688 0.71417

∑ total 2.49829 6.08066 2.42645 1.55197

n=5 (2 .42645 )−(2 . 49829 ) (6 . 08066 )5 (1 .55197 )−(2 . 49829 )2

=−2 .01463

log k= (1 .55197 ) (6.08066 )−(2 . 49829 ) (2 . 42645 )5 (1 .55197 )−(2 . 49829 )2

=2 .22276→k=167 .01518



y=167 . 01518 x−2. 01463

y=kxn


y '=2 .22276−2 .01463 { x

'

¿

El tercer evento que trataremos será:

Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día cero se detectó una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la Tabla 3.

TABLA III

T (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

Requerimiento: Una hoja de papel milimetrado y una hoja de papel semilogarítmico.

t (dias ) A (% ) t i log Ai t i log A i t i2

0 100 0 2 0 01 84 1 1.9243 1.9243 12 70 2 1.8451 3.6902 43 59 3 1.7706 5.3126 94 49 4 1.6902 6.7608 165 41 5 1.6128 8.0632 256 34 6 1.5315 9.1889 367 27 7 1.4314 10.0195 498 24 8 1.3102 11.0417 649 20 9 1.3010 11.7093 81

10 17 10 1.2304 12.3045 100

∑ t i=55 ∑ A i=245 ∑ t i=55 ∑ logA i=17 . 7175 ∑ t i log Ai=80 .150 ∑ t i2=385

n=11 (80 .015 )−55 (17 .7175 )11 (385 )−(55 )2

=−0 . 0779

log k= (385 ) (17 .7175 )−(55 ) (80 . 0150 )11 (385 )− (55 )2

=2 .0003

A(% )=100 .069∗10−0 . 0779 x

El tiempo de desintegración del 50% de los núcleos de radon es igual a:50=100. 069∗10−0 .0779 x

t=3 . 8681dias



Para hacer la parte D) necesitare hacer una nueva tabla.

Cuando h=1

t (z) z=1/d2 d13.5 0.4444 1.57.8 0.25 2.03.7 0.11111 3.01.5 0.04 5.00.8 0.02041 7.0

x i y i x i y i x i2

0.4444 13.5 5.9994 0.197490.25 7.8 1.95 0.0625

0.1111 3.7 0.4111 0.01230.04 1.5 0.06 0.0016

0.02041 0.8 0.01633 0.00042

∑ x i=0 . 86591 ∑ yi=27 .3 ∑ x i y i=8 . 43683 ∑ x i2=0 . 2743

m=5 (8 . 43683 )−(0 . 86591 ) (27.3 )

5 (0 . 2743 )−(0 . 86591 )2=29 .82920

b=0. 2743 (27 .3 )−(0 . 86591 ) (8 . 43683 )5 (0 .2743 )− (0. 86591 )2

=0. 29412

t=29 . 82920 1d2

Cuando h=4 la ecuación resulta ser

t=59 . 84 1d2


t=96 . 81 1d2


t=163 .81 1d2

G. CUESTIONARIO

3.2 Halle los tiempos de vaciado del agua si:

CasosAltura (h)

(cm)

Diámetro (d)

(cm)

Tiempo (t)(s)



01 20 4.0 8.54 s02 40 1.0 190.94 s03 25 3.5 12.46 s04 49 1.0 211.48 s

* Caso 01 : w = 20 = 0.28 y reemplazando en la ecuación: (4)2

t = 30.2 w + 0.08 = 30.2 (0.28) + 0.08

t = 8.54 s

* Caso 02: w = 40 = 6.32 y reemplazando en la ecuación: (1)2

t = 30.2 (6.32) + 0.08

t = 190.94 s

* Caso 03: w = 25 = 0.41 y reemplazando en la ecuación: (3.5)2

t = 30.2 (0.41) + 0.08

t = 12.46 s

* Caso 04: w = 49 = 7 y reemplazando en la ecuación: (1)2

t = 30.2 (7) + 0.08

t = 211.48 s

Haga w = h1/2/d2 para las alturas y diámetros con los tiempos

d(cm) h(cm) t(s) w= h/d2 t(s)

1,5 30 73,0 2,44 73,01,5 10 43,0 1,40 43,0

1,5 4 26,7 0,89 26,72,0 4 15,0 0,50 15,0



3,0 10 10,5 0,35 10,5

5,0 10 3,9 0,13 3,9

5,0 1 1,5 0,04 1,5

De donde:

Xi = 5,75 Yi = 173,6 Xi Yi = 273,83 Xi2 = 9,09

m = 30,05b = 0,11 => y = m x + b

t = 30,05 w + 0,11 pero: w = h/d2

La ecuación experimental será:

t = t(h ,d) t = 30,05 (w = h/d2) + 0,11

Compare los valores ya obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida y1 experimentales aplicados al caso t =t(h)

diámetro = 15 diámetro = 20x y yi x y yi

1 13,5 13,8 1 7,2 7,4

4 26,7 27,2 4 15,0 15,02

10 43,0 42,6 10 23,7 23,9

30 73,0 73,0 30 41,2 41,9

Ecuación : y = 13,8 x 0,49 Ecuación : y = 13,8 x 0,49

diámetro = 30 diámetro = 50x y yi x y yi

1 3,7 3,63 1 1,5 1,414 6,8 6,86 4 2,2 2,55

10 10,5 10,46 10 3,9 3,79

30 18,4 17,35 30 6,8 6,0Ecuación : y = 3,63 x 0,46 Ecuación : y = 3,63 x 0,46



a) Gráfica V vs. I

b) Gráfica t vs D para cada altura

c) Gráfica t vs h


y = 4.36x + 4E-15R2 = 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5

Intensidad de corriente

Volta

je

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8

h=30

h=20h=10

h=4

h=1


f(x) = 2.01 x − 5.23R² = 0.999866311475868

f(x) = 2.413647714208 x + 0.622666970356773R² = 0.996558755635873

f(x) = 2.11978519897837 x − 2.72706268695316R² = 0.998821589690406

f(x) = 2.27326548436567 x − 0.850145460181521R² = 0.996358170602178f(x) = 2.03826717925669 x − 4.16432573445551

R² = 0.999736061416918

TIEMPO VS ALTURAH=20Linear (H=20)H=4Linear (H=4)H=10Linear (H=10)H=1Linear (H=1)H=30Linear (H=30)

TIEMPO

ALTU

RA

d) Gráfica t vs. D

f(x) = 6.2 x -̂0.55R² = 0.999865987310158f(x) = 8.06128538360193 x -̂0.513041496885164R² = 0.999838524216408f(x) = 8.06128538360193 x -̂0.513041496885164R² = 0.999838524216408f(x) = 9.89682738086227 x -̂0.503742572188842R² = 0.999886925852391f(x) = 11.4593649408695 x -̂0.496547831090542R² = 0.999996749671103f(x) = 12.6799997820296 x -̂0.496207224389037R² = 0.999527920108596f(x) = 12.6799997820296 x -̂0.496207224389037R² = 0.999527920108596

H=30



e) Gráfica t vs h.para cada diâmetro

f) Gráfica t=t(z)

g) y h) Gráfica A vs. t.


f(x) = 1.86 x^2.41R² = 0.996558755635873

f(x) = 0.427352764616686 x^2.27326548436567R² = 0.996358170602178f(x) = 0.0654111407640012 x^2.11978519897837

R² = 0.998821589690406f(x) = 0.0155401895827405 x^2.03826717925669R² = 0.999736061416918f(x) = 0.00537240457632873 x^2.00858649106884

R² = 0.999866311475868f(x) = 0.00537240457632873 x^2.00858649106884R² = 0.999866311475868

D=1.5Power (D=1.5)Power (D=1.5)D=2.0Power (D=2.0)D=3.0Power (D=3.0)D=5.0

f(x) = 0.03 x − 0.01R² = 0.999825176419661f(x) = 0.016605176037598 x − 0.00202224487402697R² = 0.99989558554172f(x) = 0.0102696397326035 x + 0.00131858764412929R² = 0.999652173775215f(x) = 0.00734479229167402 x + 0.000866339603995292R² = 0.999968122929253f(x) = 0.00603745146858217 x − 0.000188115883963447R² = 0.99996153993213

ZLinear (Z)ZLinear (Z)ZLinear (Z)ZLinear (Z)ZLinear (Z)


III. CONCLUSIONES

A través de las diversas ecuaciones obtenidas con sólo datos experimentales,

hemos llegado a la conclusión que con solo un cuadro que explique el comportamiento de

un experimento; se pueden obtener, mediante métodos, la ecuación que describe el

comportamiento de dicho experimento, no solo en los casos que aparecen en la Tabla sino

en casos supuestos que son hallados sin la necesidad de experimentar otra vez sino

haciendo uso de la ecuación experimental la cual nos da un valor aproximado que contiene

un mínimo error, el cual es aceptable considerando el tiempo que se ahorra.



IV. BIBLIOGRAFIA

ASMAT AZAHUANCHE, Humberto.

1992 Manual de Laboratorio de Física General UNI, Lima, UNI.

Manual de Laboratorio Física I, UNMSM, Lima

MARCELO, ALONSO; EDWARD J., FINN

1970 Física Volumen I (Mecánica), México, Fondo Educativo Interamericano S.A.

A. NAVARRO, F. TAYPE1998 Física Volumen 2 , Lima, Editorial Gomez S.A.

SABRERA ALVARADO, Régulo; PEREZ TERREL, Walter

1992 Física 1, Lima, W.H.Editores S.R.Ltda.


lab 2 fisica:tratamiento de datos experimentales

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