PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE FÍSICA

LABORATORIO FIZ0121

Laboratorio 00:

“Análisis de errores e instrumentación”

Profesor: Heman Bhuyan

Ayudante: Mauricio Sarabio

Alumnos: Roberto Olivares,

Pablo Ravelo Resumen: En el presente informe, se muestran los resultados para tres experimentos distintos donde se miden tres unidades fundamentales de la física: longitud, masa y tiempo. El primer experimento consistió en la medida del diámetro interno de una golilla de metal, donde se pudo ver que la elección del instrumento es de vital importancia: una regla acrílica resultó ser menos fina en mediciones del orden de los milímetros en comparación a un pie de metro, con un resultado del diámetro interno de 9,0 0,5 mm ± para la regla y de 8,94 0,07 mm para el pie de metro.±

Un segundo experimento nos permitió mostrar que la cantidad de mediciones de una medida también resulta relevante. Así, la medida de la masa promedio de una golilla con N=10 mediciones (de golillas distintas) es de 6.06 0,25 g. Mientras que al ± aumentar la cantidad de mediciones para una misma golilla, se observó que la desviación estándar se acerca al valor de la precisión del instrumento y el error estándar disminuye hasta ser inferior a dicha precisión.

El tercer experimento, consistió en la medición del período de oscilación T de un péndulo, utilizando como masa una de las golillas. En este experimento se observó una predominancia de errores sistemáticos, lo cual explica que el resultado experimental Te= 1.38 0,03 s no incluya en su intervalo al valor teórico T = 1.53 s.±

1.­ Objetivo.

Se pretende comprender el concepto de medida de una magnitud física, considerando la incertidumbre de su valor.Para esto, se realizan tres experimentos que involucran las cantidades físicas de masa, longitud y tiempo. Se busca analizar la fuente de errores sistemáticos y aleatorios en dichos experimentos. A su vez se busca comprender las ventajas, desventajas y alcances de diversos instrumentos de medición. 2.­ Introducción y marco teórico. 2.1.­ Tratamiento de Errores [1].

Para medir errores aleatorios, que involucran la precisión del aparato o las fluctuaciones del ambiente que rodea nuestro sistema físico, se definen tres conceptos fundamentales: el valor promedio o estimado, la desviación estándar, y el error estándar. Para estas definiciones usaremos n como la cantidad de medidas correspondiente según lo que nos estemos refiriendo.

Definición. El valor promedio es la mejor estimación del valor verdadero de

alguna magnitud física , es el promedio de una cantidad finita de mediciones, las cuales son sumadas, y divididas por la cantidad de mediciones realizadas. Está expresado con el siguiente símbolo y la siguiente expresión:

(1)

La desviación estándar es una medida de la precisión del instrumento usado en

la medición, y se interpreta como la cercanía de una sola medición hecha con el mismo aparato al valor promedio definido en la ecuación (1), es decir, es el error en cada

medición individual . Está dada por el símbolo σ y se calcula mediante la siguiente expresión:

(2)

Una vez definido el valor de la desviación estándar, podemos definir el error estándar, esta cantidad indica cuán cerca un grupo de n mediciones se encuentra del valor promedio, se podría decir que es "el error del error", está definida por el siguiente símbolo y la siguiente expresión

(3)

Además, se considera el Error Relativo Porcentual (ERP), como el número que nos indica cuál es el porcentaje de exactitud entre el valor teórico y el valor experimental de alguna medida Z. Si Zt es el valor teórico y Zp el valor experimental calculado por (1), entones el ERP es:

RP 00E = Z T|Z −Z |T P * 1 (4)

2.2.­ Período de oscilación de un péndulo [2].

Tenemos un péndulo de masa m y largo L sujeto mediante una cuerda a un punto fijo, tal como muestra la figura 1. Suponemos la cuerda ideal (sin masa e inextensible).

Figura 1.­ Diagrama de cuerpo libre de un péndulo simple de largo L,

conectado mediante cuerda ideal a un punto fijo. Sobre el péndulo actúan dos fuerzas: La tensión T de la cuerda y el peso debido al campo gravitacional de la Tierra. A la derecha se explicita la descomposición de fuerzas.

Tenemos que el arco de circunferencia recorrida en un tiempo t está dado por

(2.2.1) Derivando dos veces con respecto al tiempo la ecuación (2.2.1), obtenemos que:

(2.2.2) Por otro lado, la componente tangencial de la fuerza sobre el péndulo es tal que:

(2.2.3) Igualando (2.2.3) y (2.2.2) y utilizando la aproximación para ángulos pequeños

( ) tenemos la ecuación diferencial:

(2.2.4) En (2.2.4) podemos denotar la frecuencia angular ω como:

(2.2.5) Por definición, encontramos entonces que el período de oscilación T de este péndulo simple está dado por:

(5)

3.­ Montaje Experimental

3.1.­ Midiendo Longitud

El experimento fue realizado usando los siguientes materiales:

­10 golillas metálicas ­Regla acrílica ­Pie de metro Mitutoyo 150x0.05 mm.

Se seleccionaron 10 golillas metálicas de forma aleatorio, posteriormente, sobre nuestra mesa de trabajo, completamente horizontal, fueron medidas una por una las golillas con la regla acrílica, medimos el diámetro interior de cada uno, recolectando cada dato entregado en nuestra bitácora. Una vez terminada la medición de las 10 golillas con la regla acrílica, en el mismo orden que se midieron anteriormente, con el pie de metro, usando las mordazas para medidas internas, se midió una por una el diámetro interior de cada golilla, anotando estas medidas junto a la medida anterior, de forma que se viera claramente la diferencia en las medidas y tener una clara visualización de los datos para una continua tabulación y uso de estos.

Una vez realizadas estas medidas y ordenamiento de datos, se calculó el valor

promedio, utilizando la fórmula (1), la desviación estándar (2) y el error estándar (3) de los valores de cada instrumento por separado.

3.2.­ Midiendo Masa

Los materiales utilizados fueron: ­Balanza electronica Precision PL202­5 ­20 golillas metálicas

Se seleccionaron 10 golillas metálicas de forma aleatoria, se fue poniendo una golilla sobre la balanza electrónica y registrando su masa en gramos, esto con cada golilla por separado, una vez tenido estos datos, usamos (1) para determinar el valor promedio de la masa de una golilla y con (2) su desviación estándar. Luego, tomamos sólo una golilla, hacemos 2, 10 y 20 mediciones (de forma independiente) de su masa en la balanza electrica, con estas mediciones calculamos el error estándar usando (3)

Como último experimento práctico con la balanza electrica, medimos la masa de las 20 golillas simultáneamente, de esta medida, calculamos el valor el valor de masa por golilla usando el promedio usual: masa total dividida por la cantidad de golillas.

3.3.­ Péndulo. Medición del tiempo. Los materiales utilizados fueron: ­ 1 cronometro Kenko KK­2802 ­ Hilo blanco ­ 1 Golilla metálica ­ 1 Soporte universal ­ 2 reglas acrílicas ­ 1 pinza El montaje se muestra en la Figura 2. Figura 2: Montaje experimental 3. (1) Pinza, (2) Hilo, (3) Regla acrílica, (4) Golilla, (5) Soporte universal Con los objetos brindados por el laboratorio, construimos un péndulo, de forma tal que pudiéramos controlar lo más posible los errores sistemáticos, digase generar una oscilación circular no deseada (péndulo cónico), o variación en el ángulo inicial. Para esto, montando una regla de forma horizontal, medimos 15[cm] desde la base vertical de nuestro péndulo, y así, dejando el hilo con una longitud de 58[cm], se cumple un ángulo deseado de 15º respecto a la vertical Una vez controlado lo más posible la condición inicial, utilizando un cronómetro, medimos el tiempo de oscilación de la golilla en nuestro péndulo, soltando la golilla desde 15[cm] de la horizontal con el hilo tenso (amplitud máxima en la figura 2). Repetimos este proceso 10 veces y anotamos los tiempos obtenidos. Con las 10 mediciones calculamos el valor promedio con (1) y la desviación estándar con (2) Para finalizar, estimamos el periodo de oscilación (5) para un posterior análisis entre el valor experimental y el valor teórico o ideal Datos previos: ­ Longitud del hilo : 58 [cm]0, 5± 0 ­15º aproximadamente de ángulo inicial de amplitud de oscilación

4.­ Resultados y Análisis 4.1.­ Medición de longitud.

Se hicieron dos medidas distintas: Primero, se midió el diámetro interno de diez golillas con la regla acrílica y luego se realizó la misma medición con un pie de metro.

Con la regla acrílica se obtuvo en cada una de las N=10 mediciones un diámetro interno de 9 mm. Como el resultado fue siempre el mismo, el cálculo de la desviación estándar y del error estándar dados por las ecuaciones (2) y (3) es igual a cero. Esto nos obliga a considerar el error del resultado esperado igual al error de lectura, dado por la precisión del instrumento de medida (regla acrílica) equivalente a 0,5 mm. Por lo tanto, para la regla acrílica el resultado de la medición es de:

Diámetro (regla) = 9,0 0,5 mm.±

Con el pie de metro se tomaron N=10 medidas. Utilizando la ecuación (1) y (2), se obtuvo un promedio de 8,94 mm y una desviación estándar de 0.23 mm. Esta última es, aproximadamente, la mitad que el error de lectura (precisión) de la regla acrílica (0.5 mm), pero diez veces mayor a la precisión del pie de metro, la cual corresponde a 0.025 mm.

A su vez, utilizando la ecuación (3) se obtuvo un error estándar de 0,07 mm, el cual es aproximadamente tres veces el valor del valor de precisión del instrumento. Así, para la medición realizada con el pie de metro, consideramos el error de medida igual al error estándar obtenido, por lo cual el diámetro con este instrumento corresponde a :

Diámetro (pie de metro) = 8,94 0,07 mm±

Esto nos dice que el valor esperado se encuentra entre 9,01 y 8,87 mm.

El gráfico de los datos obtenidos para ambos experimentos se puede apreciar en la Figura 3.

Figura 3.­ Resultados del experimento de la medición del diámetro interno de una golilla metálica. Los círculos corresponden a los resultados obtenidos con un pie de metro tomando N=10 muestras. Los triángulos corresponden a los resultados con una regla de acrílico también con N=10 muestras. Se indican las barras de error en cada muestra: Para los puntos obtenidos con la regla, se adjudican el error a la precisión del instrumento (0,5 mm). En cambio, para los datos de pie de metro, el error corresponde a la desviación estándar, con un valor de 0,23 mm., el cual es diez veces superior a la precisión de 0,025 mm. Es claro de la figura, que el pie de metro es conveniente para realizar mediciones del orden de los milímetros. La regla en cambio, es insensible a las variaciones que están por debajo de los 0,5 mm.

Al haber utilizado distintos instrumentos con el mismo fin, y comparando

resultados, podemos también destacar algunas ventajas y desventajas de cada uno de ellos. Las ventajas de la regla acrilica son: la facilidad de uso y transporte que tiene, la fácil accesibilidad a este instrumento, la rapidez en la medición que nos da. Como desventajas tenemos: la poca fineza en su medida, dado que solo llega a una escala milimétrica, la subjetividad de la medida, ya que al no ser una herramienta eléctrica, la

medida queda condicionada por la capacidad visual o perspectiva del usuario, el desgaste, ya que al ser acrílica se desgasta más rápido que un instrumento de metal, generando así más error. Algunas ventajas observadas al usar el pie de metro son : gran precisión del instrumento en la medición, al tener una escala de 0,05 [mm], el instrumento tiene mordazas para medidas internas, lo que facilita el trabajo en este caso, es pequeño y liviano, lo que lo hace muy portátil. Algunas desventajas del pie de metro son : no es tan asequible como otros instrumentos de medidas pequeñas, requiere un mínimo conocimiento previo para su buen uso, y al igual que la regla, al ser un instrumento de medición mecánico, depende de la interpretación visual del usuario. 4.2.­ Medición de masa.

Utilizando una balanza electrónica medimos la masa de 10 golillas distintas por separado, una vez tenido estos valores calculamos el valor promedio con (1), obteniendo un resultado de 6,06 g., y calculamos la desviación estándar con (2), resultando el valor de 0,79 g, con un error estandar de 0,25 g. Luego, usando solo una golilla, de forma independiente, la medimos 2,10 y 20 veces, de estas medidas, calculamos el error estándar

Número mediciones

Promedio Masa (g) Desv. Estándar (g) Error Estándar

2 5,635 0,007 0,005

10 5,637 0,005 0,002

20 5,637 0,005 0,001

Tabla 1.­ Variación en los resultados de la masa de una golilla al aumentar la cantidad de medidas. Se tiene que la precisión del instrumento es de 0,005 g. Se observa que al aumentar la cantidad de medidas, la desviación estándar se acerca al valor de la precisión. Por otra parte el error estándar disminuye hasta el punto de ser inferior al valor de la precisión, por lo cual se debe considerar el error de medición como el valor de la precisión del instrumento (aquí utilizamos el argumento del “mayor error”).

Medimos la masa de 20 golillas juntas, resultando una masa neta de 120,23 g.

Al calcular la masa promedio, utilizamos la ecuación (1), lo que nos dice el valor estimado de la masa de cada golilla, arrojando un valor de 6,01 g.

Notemos que la precisión del instrumento utilizado es de 0,005 g (ya que su menor medida es de 0,01 g).

Si comparamos la primera medición para la masa (medición de 10 golillas una a una) con un resultado de:

m = 6.06 0,25 g.± = 0,79 g.σ

Con el resultado obtenido al medir 20 golillas juntas:

m=6,01 g.

Se observa que la diferencia entre las mediciones es de 0,05 g. lo cual es menor a la desviación estándar medida en el primer paso. Sin embargo, esto confirma que la masa promedio de veinte golillas está dentro del intervalo [6.06­0,25 ; 6.06 + 0.25].

Hay que considerar que en el transcurso de este experimento hay errores aleatorios y errores sistemáticos. Algunos errores sistemáticos que pudieron influir en nuestras medidas son la inestabilidad del ambiente, ya que no estábamos en un espacio completamente cerrado ni controlado, y como la balanza tiene una gran sensibilidad, una leve inclinación del mesón de trabajo o un movimiento en este puede alterar una medición. Otro error sistemático, que se traduce en un error aleatorio, puede ser adjudicado, en principio, a un uso poco efectivo del instrumento: esto es, al no colocar la golilla centrada en la plataforma del instrumento, o no esperar el tiempo suficiente entre medidas para que el aparato llegue a un total cero.

4.3.­ Medición de tiempo. Se midió el período de oscilación de un péndulo simple una cantidad N=10

veces.

Figura 4.­ Péndulo de largo L=58 cm. La amplitud máxima de oscilación está fijada en 15° tal como se explicó en el montaje. El valor teórico para el período de oscilación T, bajo estas características, es de 1,53 s. El valor experimental fue de 1.38 0,03 s. La ± desviación estándar es de 0,11 s. y la precisión de medida del cronómetro es de 0,005 s.

Utilizando las ecuaciones (1), (2) y (3), se obtienen el valor del período experimental Te, la desviación estándar y el error estándar, respectivamente; resultando:

Te = = 1.38 0,03 s. ± = 0,11 s.σ

Comparando el valor teórico para el período T obtenido con la ecuación (5), el

cual es de 1.53 s, con el resultado experimental Te, se puede concluir lo siguiente:

­ El error relativo porcentual (ERP) ­dado por la ecuación (4)­ entre el T teórico y el T experimental (Te), es de un 9,5 %.

­ El error experimental asignado corresponde al valor del error estándar (0,03 s), el cual es mayor al error de precisión del instrumento (0,005 s).

­ Esta diferencia porcentual, tendría mayor sentido si consideráramos el error de

medición igual al tiempo de respuesta visual humano, el cual ­en promedio­ es de 0,25 s. De esta manera el valor teórico estaría dentro del intervalo de error experimental. Esto no sucede con el error estándar.

­ Este último argumento, se explica porque la medición del período se realiza

desde el inicio del movimiento del péndulo (en un ), hasta el regreso a su 5°θ ≃1 punto inicial. Esta última observación está llena de errores sistemáticos, ya que no hay ningún método implementado que permita definir, con mayor exactitud, el momento en que el péndulo llega a su amplitud máxima, salvo la visión del observador.

­ Junto con esto, la medida de la oscilación del péndulo se podria mejorar al

implementar instrumentos de medición más exactos, en particular en la medición del instante en que el péndulo llega a su punto máximo; utilizando, por ejemplo, algún sensor de movimiento.

­ Otro error sistemático es debido al movimiento caótico de la masa utilizada como

péndulo: la golilla. Ésta gira a lo largo de su trayectoria, lo que provoca que el hilo cambie constantemente su tensión. Por otra parte, en el montaje descrito no existe ningún método que nos asegure que el movimiento oscilatorio ocurre en un plano, es más, las observaciones nos permiten afirmar que el movimiento del péndulo se acerca al de un péndulo cónico.

5.­ Conclusiones.

Nuestras principales conclusiones a lo largo de los tres experimentos son: (1) En el primer experimento se observó la relevancia de la selección en los instrumentos de medición. En este caso en particular, resulta una diferencia sustancial en la medida, sobretodo en el cálculo de errores, de cada instrumento. A su vez, notamos la relevancia del orden de magnitud de la medida buscada (en este caso, el diámetro interno de una golilla), el cual va a definir, de mejor manera, el instrumento seleccionado para realizar la medición. En este caso, el pie de metro mostró una medida más fina que la regla acrílica. (2) En el segundo experimento se utilizó sólo un instrumento de medida, por lo cual nos avocamos al estudio de errores aleatorios, y la variación de los errores estándar en función de la cantidad de mediciones. Se concluye que a mayor cantidad de mediciones, existe una mayor precisión, es decir, la desviación estándar tiende al valor de precisión del instrumento, disminuyendo así el error estándar.

(3) En el tercer experimento predominan los errores sistemáticos dependientes del tipo de montaje del experimento, tanto como del método de medición. En este caso, existe una mayor dependencia de la perspectiva y capacidad de medición del observador. 6.­ Referencias.­

[1] Guía de laboratorio, “Análisis de Resultados y Errores”. [2] Serway, R. Physics, for scientists and engineers, McGraw­Hill, 5ta edición

Cap. 15, p. 468­469.