lab_1_(info)
DESCRIPTION
LABORATORIO: DIGITALIZACION DE SEÑALESTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
LABORATORIO DE SISTEMAS DE COMUNICACIÓN DIGITAL
Tema: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
Alumnos:
Rojas Bautista, José Antonio 10190222
2014
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
1
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
Simulación de señales y muestreo.
FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO (DELTA DE DIRAC)
La función impulso unitario juega un papel determinante en la teoría de la comunicación de señales y en concreto en el teorema del muestreo. Se define como:
δ (t 0)
t 0
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
2
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Y cumple que:
{∫−∞
∞
δ (t )dt=1 si t=0
0 resto
Es decir, que aunque se trate de un pulso infinitamente estrecho, tiene un área de 1 porque posee una amplitud infinita. Por el mismo motivo se tiene, por definición, que
∫−∞
∞
δ ( t ) f (t)dt=f (0 )∫−∞
∞
δ (t ) dt=f (0)
y de la misma forma, que
∫−∞
∞
δ (t−t 0 ) f (t)dt=f (t 0)
En virtud de estas definiciones podremos decir que la función impulso unitario es capaz de calcular el valor de una función en el punto en que aquella (la delta) se define.
Obtención de la función impulso unitario
La función impulso unitario es una función físicamente imposible de generar y que se obtiene en el límite de otras funciones:
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
3
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
A partir de una función rectangular:
hτ (t )={1τ
si|t|< τ2
¿0 resto
Tomando
limτ → 0
hτ( t)=δ (t)
A partir de la función seno cardinal normalizado:
δ (t )=lima → 0
1a
SincN( ta)… (α)
Nótese que cuando ’a’ disminuye, la función muestreo se compacta en t=0.
Dónde:
SENO CARDINAL MATEMÁTICO DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
4
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Sinc (t )={Sen (t)t
, t ≠ 0
1 , t=0
SENO CARDINAL NORMALIZADO
SincN ( t )={Sen(πt )πt
, t ≠ 0
1 , t=0
A continuación, trabajaremos con esta señal en el MATLAB
Generamos una base de tiempos.
t=-10:0.01:10;
Generamos el seno cardinal matemático.
x=sin(t)./t;
Generamos el seno cardinal normalizado.
y=sin(pi*t)./pi*t;
Generamos el seno cardinal con el comando de MATLAB.
z=sinc(t);
Graficamos, generando una matris de grado 3 ×1.
subplot(3,1,1)
plot(t,x)
grid on
legend('Seno Cardinal matemático') DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
5
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
subplot(3,1,2)
plot(t,y,'r')
grid on
legend('Seno Cardinal normalizado')
subplot(3,1,3)
plot(t,z,'g')
grid on
legend('Seno Cardinal generado por MATLAB')
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
Seno Cardinal matematico
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
Seno Cardinal normalizado
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
Seno Cardinal generado por MATLAB
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
6
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Se puede concluir de la gráfica, que el seno cardinal generado por el MATLAB representa al seno normalizado.
Para poder obtener una función impulso que se pueda utilizar en la práctica, se recurre a la expresión (α ).
Para a= 1 , 0.5 , 0.25 y 0.1
t=-10:0.001:10;
f1=(1/1)*sinc(t/1);
f2=(1/0.5)*sinc(t/0.5);
f3=(1/0.25)*sinc(t/0.25);
f4=(1/0.1)*sinc(t/0.1);
subplot(4,1,1)
plot(t,f1)
grid on
legend('Para a=1')
subplot(4,1,2)
plot(t,f2,'g')
grid on
legend('Para a=0.5')
subplot(4,1,3)
plot(t,f3,'r')
grid on
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
7
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
legend('Para a=0.25')
subplot(4,1,4)
legend('Para a=0.1')
plot(t,f4,'m')
grid on
legend('Para a=0.1')
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
Para a=1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
0
1
2
Para a=0.5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2
0
2
4
Para a=0.25
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-5
0
5
10
Para a=0.1
Se puede observar en la gráfica, que mediante el valor de ‘a’ tiende a cero, la gráfica de la función se aproxima a la del impulso unitario. Tal como lo representa la expresión (α ).
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
8
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
El siguiente paso del laboratorio consiste en determinar el área de la función seno cardinal normalizado, para diferentes valores del parámetro ‘a’. Antes de ello, primero obtenemos el área total teóricamente:
AT=∫−∞
∞
SincN( f )df
Pero, se sabe:
F {Π ( t)}=SincN( f )
Seno cardinal normalizado
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
9
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Por tanto:
F−1 {SincN ( f )}=Π (t )
∫−∞
∞
SincN (f ) e i2 πft df =Π (t )
Evaluamos t=0 , para esta última expresión:
∫−∞
∞
SincN (f )e i 2 πft df|t=0=Π ( t )|t=0
AT=∫−∞
∞
SincN ( f ) df =Π (0 )=1
∴ AT=1a∫−∞
∞
SincN( ta )dt=1
Esto nos indica, que no importa qué valor se asigne a el parámetro ‘a’ , siempre el área total nos resulta la unidad.
Π (t ) FunciónRectangular
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
10
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Nos recomiendan obtener el área del lóbulo mayor, para representar el área total.
Ahora, verifiquemos el valor del área de la función, para cada valor de ‘a’.
Figura(1)
Obtenemos el área de la figura, con el siguiente programa:
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
11
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Mientras más reducido sea el valor de ' τ ' , más precisión tendrá el resultado.
Con τ=0.001
Para a=1:
A=0;for t=-1:0.001:1;A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.001;End
INICIO
t=−a : τ : a
A=A+(1/a )∗sinc ( t /a )∗τ
A=0
A FIN
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
12
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
A
∴ Aa=1=1.1790
Para a=0.5:
A=0;for t=-0.5:0.001:0.5;A=A+(1/0.5)*(sinc(t/0.5))*0.001;endA
∴ Aa=0.5=1.1790
Para a=0.25:
A=0;for t=-0.25:0.001:0.25;A=A+(1/0.25)*(sinc(t/0.25))*0.001;endA
∴ Aa=0.25=1.1790
Para a=0.1:
A=0;for t=-0.1:0.001:0.1;A=A+(1/0.1)*(sinc(t/0.1))*0.001;endA
∴ Aa=0.1=1.1790
Con τ=0.0001
Para a=1:
A=0;for t=-1:0.0001:1;A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.0001;endA
∴ Aa=1=1.1790 DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
13
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Para a=0.5:
A=0;for t=-0.5:0.0001:0.5;A=A+(1/0.5)*(sinc(t/0.5))*0.0001;endA
∴ Aa=0.5=1.1790
Para a=0.25:
A=0;for t=-0.25:0.0001:0.25;A=A+(1/0.25)*(sinc(t/0.25))*0.0001;endA
∴ Aa=0.25=1.1790
Para a=0.1:
A=0;for t=-0.1:0.001:0.1;A=A+(1/0.1)*(sinc(t/0.1))*0.001;endA
∴ Aa=0.1=1.1790
También se puede usar el comando int (integral definida):
Para a=0.5:
syms t
f=(1/0.5)*sinc(t/0.5);
A=int(f,-0.5,0.5) DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
14
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
∴ Aa=0.5=1.1790
Para a=0.25:
syms t
f=(1/0.25)*sinc(t/0.25);
A=int(f,-0.25,0.25)
∴ Aa=0.25=1.1790
Para a=0.1:
syms t
f=(1/0.1)*sinc(t/0.1);
A=int(f,-0.1,0.1)
∴ Aa=0.1=1.1790
Podemos notar de los resultados obtenidos en el programa, que el valor del área excede en un 17.9% del valor ideal, lo cual es un error significativo.
Ahora, verifiquemos el valor del área del lóbulo mayor matemáticamente.
A=∫−a
a1a
SincN( ta )dt=2
a∫0
asen (πt /a)
πt /adt=2∫
0
asen (πt /a)
πtdt … (φ)
Se sabe, que el seno se puede representar mediante la serie de Taylor, el cual es:
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
15
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
senx=∑n=0
∞ (−1)n x2n+1
(2n+1 ) !
→ sen ( πta )=∑
n=0
∞ (−1 )n π2 n+1 t2n+1
(2 n+1 ) !a2 n+1 …(ω)
Reemplazando (ω) en (φ) :
A=2∑n=0
∞
∫0
a (−1 )n π2 n t2 n
(2n+1 ) !a2 n+1 dt=2∑n=0
∞ (−1 )n π2 nt 2 n+1
(2n+1 ) (2 n+1 )! a2 n+1|0
a
¿2∑n=0
∞ (−1 )n π2 n a2n+1
(2n+1)(2n+1 ) !a2 n+1=2∑n=0
∞ (−1 )n π2 n
(2n+1) (2 n+1 )!
A=2[1− π2
3∗3 !+ π4
5∗5 !− π 6
7∗7 !+ π8
9∗9!− π 10
11∗11!+… ]
A=2 (1−0.5483+0.1623−0.0272+0.0029−0.0002+…)
∴ A ≈ 1.179
Con esto último, afirmamos que el área del lóbulo mayor es fijo, no importa que valor tenga el parámetro ’a’.
Nuestros resultados obtenidos en el MATLAB son correctos. Ahora nos centraremos en justificar el exceso de área.
≈ 0
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
16
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Una hipótesis a considerar seria que el resultado del área de los demás lóbulos tendría que ser negativo.
Esto se puede verificar fácilmente, mediante el siguiente programa.
Con τ=0.0001
Para a=1:
A=0;for t=1:0.0001:1000; %Considerando un infinito practico. A=A+(1/1)*(sinc(t/1))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.
∴ ARa=1=−0.1792
Para a=0.5:
A=0;for t=0.5:0.0001:1000; %Considerando un infinito practicoA=A+(1/0.5)*(sinc(t/0.5))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.
∴ ARa=0.5=−0.1791
Para a=0.25:
A=0;for t=0.25:0.0001:1000; %Considerando un infinito practicoA=A+(1/0.25)*(sinc(t/0.25))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.
∴ ARa=0.25=−0.1790 DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
17
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Para a=0.1:
A=0;for t=0.1:0.0001:1000; %Considerando un infinito practicoA=A+(1/0.1)*(sinc(t/0.1))*0.0001;endAr=2*A %Área restante al lóbulo mayor.
∴ ARa=0.1=−0.1790
Se puede notar que mediante ‘a’ se aproxima a cero el valor del área resultante se aproxima mas a -0.1790, el cual es lo ideal para obtener un área total igual a la unidad, como estamos considerando un infinito practico y considerando el hecho que el área de la función está más concentrado en las proximidades del origen cuando ‘a’ está más próximo a cero, entonces este valor es lo más preciso posible al valor del área restante real para diferentes valores del parámetro.
Finalmente con este resultado, se confirma que el área total es la unidad. Y llegando a la conclusión que no es muy recomendable considerar el lóbulo mayor como el área total, pues existe un error considerable.
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
18
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
CONCLUSIONES
La función impulso unitario es ideal y solo puede ser aproximada en la práctica.
El comando sinc en Matlab representa al seno cardinal normalizado.
La función 1a
SincN( ta) se aproxima al impulso unitario, cuando
‘a’ se acerca a cero, pues el área de la función se va concentrado en las proximidades del origen.
El seno cardinal tiene un área total igual a la unidad, para cualquier valor de ’a’.
El área debajo del lóbulo mayor es 1.179, sin importar que valor tenga el parámetro ’a’.
El resto de lóbulos nos da un área resultante negativo igual a -0.179.
Considerar el área total como el área del lóbulo mayor es poco práctico, pues existe un error del 17.9 % que es considerable.
DIG
ITA
LIZ
AC
ION
DE
SE
ÑA
LE
S
19