L. D. L A N D A U - E . M. L IF S IC

ELMLETI FIZIKAI

S Z E R K E S Z T E T T E

DR. M A R X G Y R G YK O S S U T H - D J A S E G Y E T E M I T A N R .

A Z M T A L E V E L E Z T A G J A

L. D. L A N D A U -E . M. L IF S IC

MECHANIKA

M S O D IK , J A V T O T T K IA D S

T A N K N Y V K I A D , BUDAP EST , 1984

E G Y E T E M I S E G D K N Y VK I A D S T A M V E L D S G Y I M I N I S Z T E R R E N D E L T E E L

A m C H R K D t T I C M K;

T E O P E T H M E C K A I 0>M3HKA I M E X A H H K A

H 3 A A 'I'H J Ib C T B 0 H A V E< A M O C K B A , I7Ti

h l; ia h m l riu-Tbi-:I IC 11! * A 5 J I [ ' H H O E. H ;V ) I ] ( U I H P . H H E

F O R n i T O T T A :

M A I O L C S 1 T A M SOKI . . F I Z I K U S

K O N T R O L L S Z E R K . L S Z T :

N A G Y T IB O RE t i Y F T F M I A D J U N K T U S

SSZKIADS ISBN 963 17 7951 3

ISBN 963 17 7952 1

(C? L. I>. L A N D A f H S h. M. L I I S I C . M O S Z K V A . 1 9 7 4

t M A T O L C ' S I T A VI 4. S, B L D A H k S l . I O T 4

H U N G A R I A N T R A N S t . A T I O N

Elsz a magyar kiadshoz

Landau els tanulmnyai 1925-ben jelentek meg, a kvantummechanika megszletsnek esztendejben. (Lev Davidovics ekkor tizenht ves volt s harmadves egyetemi hallgat.) 1927-ben (tizenkilenc vesen) megalkotta a srsgmtrixot, amelyet Neumann Jnos csakhamar az atomfizika egyik legalapvetbb s legpraktikusabb fogalmv fejlesztett. Landau neve kezdettl fogva eggy forrott a2 j fizikval. Keze nyomt, gondolkodsmdjt rzi annak minden fejezete.

A Nobel-djat 1962-ben a msodfaj fzistalakulsok termodinamikjnak kidolgozsrt kapta meg. Gondolkodsmdjnak legegynibb vonsa, hogy a klasz- szikus fizika bevlt fogalomalkotsait (hanghullmok, lkshullmok, rvny ttelek, prolgsa jelensgek, az egsz ler termodinamika) a kvantumtrelmlet elvont magasrend matematikjval eggy tvzni kpes. gy ju t el a mai fizika atomfizikai, anyagszerkezeti, nagyenergij laboratriumaiban megszletett vratlan s msok szmra rthetetlen - mrsi eredmnyek olyan rtelmezsig, amely az anyag viselkedsnek alapveten lnyeges vonsait trja elnk. A szuprafolykony hlium, az atommag-anyag, st a kozmikus sugrzs energiin tkz protonok felolvadt anyagnak mozgst, kollektv gerjesztseit egyarnt ismertette meg velnk. Egyszzad Kelvin-fokos hidegtl ez ezerbilli Kelvin-fokos forrsgig terjed munka- terlete. Szemben a termszet oszthatatlan, ezrt Landau agya sem ismeri a specializ l korltait.

1956-ban a K-mezonok sztessnl s polrozott atommagok bta-bomlsnl furcsa aszimmetrikat figyeltek meg. Knlkozik a matematikai formalizmus keresse. A mrsi grbk s a kpletek mgtt Landau veszi szre, hogy a termszet szmra a bal s a pozitv rokonrtelm szavak, ugyangy a jobb s a negatv is, csak mi tkletlen rzkszervekkel tapogatz emberek halljuk ket klnbzknek. Szembenabal s jobb geometriai kettssge eggy olvad a pozitv s negatv tlts fizikai kettssgvel, ezltal a termszet vratlanul szp egysgt trja elnk.

A fizika elrt eredmnyeire tmaszkod erteljes intuci vezeti s a friss felfedezsek intellektulis vonzsa. Nem adott sokat a matematikai elegancira s az axiomatikus szigorra. Gyerekfejjel o tt volt a kvantummechanika megszletsnl s a kvantumtrelmlet kibontakozsnl. Mesternek Niels Bohrt vallotta. Amikor az elmlet a matematikai bonyodalmak zskutcjba kerlt, Bohr 70. szletsnapjra kiadott ktetben Landau vetette fel a kvantumelektrodinamika struktrjnak perturbci- szmtsos kzeltseken tllp ellenrzst. Programja s tzisei risi vihart kavartak, rsa matematikai tmadsok centrumba kerlt s elindtotta a kvantumtrelmlet renesznszt. Mig fradsgos munkval sikerlt megrteni, mennyi mindenben igaza volt Landaunak.

Az Elmleti fizika eddig megjelent nyolc ktete a modern fizika legegyetemesebb tuds alakjnak, Lev Landaunak a gondolkodsm djt tkrzi. A napjainkra egysgess rett egzakt termszettudomny egzakt elmleti alapjainak tfog bemutatsa fekszik elttnk. Lapozzuk t ezt az els ktetet, amely Galilei s Newton mechanikjt trgyalja. M indentt ott rezhetjk a modern fizika elvi felismersei ltal hozott fogalmi tisztulst. Elkerlhetjk a trtnelmi fejlds buktatit, zskutcit, kacskaringit. Nemes egyszersgben bontakozik ki elttnk minden termszettudomny kiindulpontja, a klasszikus mechanika. A feladatok pedig az alkalmazsok olyan aktulis sorozatt, kztk az atomfizikai problmk olyan gazdag vlasztkt trjk elnk, hogy egy pillanatig sem imost a mlt szzadok poros hangulata. A LandauLifsic-kteteket olvasva, szntelenl rezzk, hogy a fiziknak nincs fontos s kevsb fontos fejezete. Mindegyik tudomnyg a termszet egy-egy arct trja elnk, s a mi hivatsunk a teljes termszet megrtse.

AzElmleti fizika kteteit Landau egyik legkivlbb tantvnyval s m unkatrsval, E. M. Lifsiccel egytt rta, Lifsicet ismerik s tisztelik a fiatalabb magyar fizikusok is, elssorban a szilrdtest-fizikusok. Sokban az lelkiismeretes munkjnak ksznhet, hogy a nyolc ktet vilgos stlusban, egyszer matematikval trja elnk az elmleti fizika nyolc fejezett. Lifsic rdeme, hogy Landau tragikus balesete ellenre teljess egszlhetett ki az Elmleti fizika sorozat.

Landau szovjet fizikusok sort nevelte vilghr tudss. Aki vele akart dolgozni, annak belpknt le kellett vizsgznia a Landau-minimumbl . Ebbl szletett meg ez a nyolc ktet. A Landau -Lifsic-knyveket egyrtelmen a vilg legkivlbb fizikatanknyvnek tartjk. Amikor angolra is lefordtottk ezeket, elmult a nemzetkzi tudsvilg, a knyvbl lland tudomnyos bestseller lett. Kemmer mltatta a knyvet: Amita ezt olvastam, csak azta rtem meg a szovjet tudomny sikereit!

Szeretnnk, ha a Landau Lifsic-kteteket gy adhatnnk a magyar olvas kezbe, hogy itthon is rezzk e knyvek utolrhetetlen egyszersgt, mlysgt, elevensgt, tisztasgt. Jobban felfogjk ltaluk a termszetet, amelyben lni s amelyet rteni emberi feladatunk s fizikusi hivatsunk.

Budapest, 1973. janur 1. MARK GYRGY

Elsz az orosz nyelv els kiadshoz

Ezzel a ktettel elkezdjk Elmleti fizika cm sorozatunk kiadst. A vgleges terv most a kvetkez: 1. Mechanika, 2. Klasszikus erterek- 3- Kvantum mechanika (nemrelativisztikus elmlet)* 4. Relativisztikus kvantumelmlet. 5. Statisztikus fizika. 6. Hidrodinamika. 7. Rugalmassgtan. 8 . Elektrodinamika kzegekben. 9. Fizikai kinetika,

Az els ktet els kiadst 1940-ben jelentette meg L. Landau s L. Pjatyigorszkij. Br a trgyals ltalnos menete vltozatlan maradt, a knyvet lnyegesen tdolgoztuk, s teljesen jra rtuk.

Ksznett mondunk 1. E. Dzsjalosinszkijnek s L. P. Pitajevszkijnek azrt a segtsgrt, melyet a knyv korrektrjnak tolvassban nyjtottak.

Moszkva, 1957. jlius l . d . l a n d a u e . m . l i f s i c

Elsz az orosz nyelv msodik kiadshoz

Az j kiadsnl nem merlt fel annak szksgessge, hogy a knyvet tdolgozzuk. A sajthibk kijavtsa mellett csak nhny ptllagos megjegyzst s feladatot fztnk a knyv egyes rszeihez, s megvltoztattuk a 44,-t.

Ennek a knyvnek a tanulmnyozsnl az elmleti minimum keretein bell az elmleti fizikusok szmra ajnlhat a 27., 29.. 30. s 37. elhagysa.

1964. szeptember

Elsz az orosz nyelv harmadik kiadshoz

A knyv msodik kiadsa alig klnbztt az elstl. Nem merlt fel lnyeges tdolgozs szksgessge a harmadik kiads elksztsekor sem. Ezrt a knyv legnagyobb rsze az elz kiads u t n n y o m s a

I. FEJEZET

A M O Z G SE G Y E N L E T E K

1. . ltalnos koordintk

A mechanika egyik alapvet fogalma a tmegpont.1 Olyan anyagi testet hvunk gy, amelynek mretei elhanyagolhatk mozgsnak lersa szempontjbl. Termszetesen az adott feladat konkrt feltteleitl fgg, hogy ez az elhanyagols lehetsges-e. gy a bolygkat tmegpontnak lehet tekinteni a N ap krl vgzett keringsk tanulmnyozsakor, viszont magtl rtetden nem, ha a tengelyk krli forgsukat vizsgljuk.

A tomegpont helyzett a trben az r helyzetvektor adja meg, amelynek komponensei az x , ) \ z Descartes-koordintk, r-nek a t id szerinti derivltja:

di - dt

a sebessg, a msodik derivlt pedig a pont gyorsulsa. Ksbb, amint ez

szoksos, az id szerinti derivlst pontozssal jelljk: v = r.Az N tcnegpontbl ll rendszer helyzetnek meghatrozshoz TV szm helyzet

vektort kell megadnunk* azaz 3N koordintt. ltalban, ha a rendszer helyzetnek egyrtelm megadshoz s szm fggetlen mennyisg szksges, azt mondjuk, hogy a rendszer szabadsgi fokainak szma j ; az adott esetben .v = 3N. A szban forg mennyisgek nem szksgkppen a pontok Descartes-koordinti, s a feladat feltteleitl fggen knyelmesebb lehet valamilyen ms koordintk vlasztsa. Az olyan tetszleges q2, . . qs mennyisgeket ( j a szabadsgi fok), amelyek teljesen lerjk a rendszer elhelyezkedst, ltalnos koordintknak nevezzk, a q ; derivltakat pedig ltalnos sebessgeknek.

Az ltalnos koordintk rtkei azonban mg nem hatrozzk meg az adott idpillanatban a rendszer mechanikai llapott abban az rtelemben, hogy nem rjk el a rendszer helyzett a ksbbi idpontokban. A koordintk ado tt rtkei mellett a rendszernek tetszleges sebessgei lehetnek, s ezektl fggen a rendszer

1 Tmegpont" helyett gyakran rszecskrl"' beszlnk.

12 I. A MOZGSEGYENLETEK

helyzete is ms s ms lehet a kvetkez idpillanatban (azaz vgtelenl kis dt id mlva).

A koordintk s sebessgek egyidej megadsa, mint a tapasztalat mutatja, teljesen jellemzi a rendszer llapott, s elvben lehetv teszi, hogy elre megmondjuk ksbbi mozgst. M atematikai szempontbl ez azt jelenti, hogy az sszes q koordinta s q sebessg egy adott idpillanatban egyrtelmen meghatrozza a q gyorsulsok2 rtkeit is ugyanebben a pillanatban.

Azokat az sszefggseket, amelyek sszekapcsoljk a gyorsulsokat a koordintkkal s sebessgekkel, mozgsegyenleteknek hvjuk. A q(t) Fggvnyekre ezek msodrend differencia legyen letek, amelyek megoldsa elvben lehetv teszi, hogy meghatrozzuk a krdses fggvnyeket, vagyis a mechanikai rendszer mozgsnak plyit.

2. . A legkisebb hats elve

A mechanikai rendszerek mozgstrvnyeinek legltalnosabb megfogalmazst az gynevezett legkisebb huts elve (ms nven Hamiiton-eh) adja. E szerint az elv szerint minden mechanikai rendszert egy adott

L(q u q-j.......... q*

2. . A LEGKISEBB HATS ELVE 13

Trjnk r azoknak a differencilegyenleteknek a levezetsre, amelyek megoldjk a(2,1) integrl minimumfeladatt. A kpletek egyszerbb rsa rdekben tegyk fel elszr is, hogy a rendszer csak egyetlen szabadsgi fokkal rendelkezik, gy mindssze egy q(t) fggvnyt kell meghatrozni.

Legyen q = q(t) ppen az a fggvny, amelyre S a minimumt felveszi. Ez azt jelenti, hogy S nvekszik, ha q(t)-t tetszleges ms

fggvnnyel helyettestjk, ahol &q(t) kis rtkeket felvev fggvny a /j-tl /a-ig terjed idintervallumon {ezt a fggvnyt q{t) varicijnak nevezzk); mivel a t = ti e s t = t i idpontban minden (2 ,2) alak, sszehasonltsra kerl fggvnynek ugyanazt a 4

14 I, A MOZGSEGYENLETEK

Az els tag ebben a kifejezsben a (2,3) felttel miatt eltnik. gy egy olyan integrl marad, amelynek nullnak kell lennie tetszleges bq rtkek mellett. Ez csak abban az esetben lehetsges, ha az integrand us azonosan nulla, gy teht a kvetkez egyenletet kap juk :

d 8L dL _ q dt 6q dq

Tbb szabadsgi fok esetn a legkisebb hats elvben s (= I) klnbz

egyszeren azt a termszetes nknyt tkrzi, hogy ennek a fizikai mennyisgnek a mrtkegysgt tetszs szerint vlaszthatjuk meg; erre a krdsre mg visszatrnk a 4 , -ban.

Mg a kvetkez' ltalnos szrevtelt kell tennnk. Tekintsnk kt Lagrange- fggvnyt, L(q, q, f)-t s L (9 , q, )-t, amelyek egymstl csak egy f{q , t) fggvny teljes idderivltjban klnbznek:

L \q , q, t ) = L(q, q, t ) + ^ - f ( q, t),

E kt fggvny segtsgvel megadott (2,1) integrlok az

A GAL1LE1-FLE RELATIVITSI ELV 15

fidS' = j* L(q, q, t)dt = J L(q, q, t) dt+ * / ( * ) < * =

S+J\ql~\ l i )

sszefggsnek tesznek eleget, azaz olyan tagokban klnbznek egymstl, amelyek eltnnek a hatsintegrl varicijnl. gy a bS' - 0 felttel megegyezik a bS = 0 felttellel, s a mozgsegyenletek alakja vltozatlan marad.

Ezek szerint a Lag range-fggvny csak a koordintk s az id egy tetszleges fggvnynek teljes idderivltja erejig van meghatrozva.

3. . A Gli lei-fle relativitst elv

A mechanikai jelensgek tanulmnyozsa cljbl valamilyen vonatkoztatsi rendszert kell vlasztanunk, A klnbz vonatkoztatsi rendszerekben ltalban klnbzk a mozgstrvnyek, Ha tetszleges vonatkoztatsi rendszert vlasztunk, elfordulhat, hogy egszen egyszer jelensgek trvnyei is igen bonyolult form t ltenek. Termszetes mdon merl fel az a feladat, hogy olyan vonatkoztatsi rendszert keressnk, amelyben a mechanikai trvnyek a legegyszerbb alakak.

A fizikai tr tetszleges vonatkoztatsi rendszerben nem homogn s nem izotrop. Ez azt jelenti, hogy ms testekkel klcsn nem hat test szmra a tr klnbz helyei s klnbz irnyai mechanikailag nem ekvivalensek. Ugyanez vonatkozik az idre is, amely ltalnos esetben nem homogn, azaz a klnbz pillanatok nem ekvivalensek. Nyilvnvalk azok a komplikcik, amelyeket a trnek s az idnek ezek a tulajdonsgai a mechanikai lersban okoznnak. gy pldul egy szabad test (vagyis amely nincs alvetve kls hatsoknak) nem m aradhatna nyugalomban: ha a test sebessge valamely idpillanatban nulla is, a kvetkez pillanatban a test m r mozogni kezdhet valamely irnyban.

16 1. A MOZGSEGYENLETEK

Kiderl azonban, hogy mindig lehet oJyan vonatkoztatsi rendszert tallni, amelyben a tr homogn s izotrop, az id pedig homogn. Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzk. Ha ebben a szabad test valamely idpillanatban nyugalomban van, akkor korltlan ideig nyugalomban is marad.

Nhny kvetkeztetst azonnal le tudunk vonni a szabadon mozg tmegpont inerciarendszerbeli Lagrange-fggvnynek alakjra. A tr s az id homogenitsa azt jelenti, hogy ez a fggvny nem tartalmazhatja expliciten sem az r helyzetvektort, sem a t idt, azaz L csak a v sebessg fggvnye lehet. A tr izotropijnak kvetkezmnyeknt a Lagrange-fggvny nem fgghet a v vektor irnytl, csak az abszolt rlktl, vagyis csak a Y1 = v2 mennyisgtl:

L - L (r2). (3,1)

Mivel a Lagrange-fggvny nem fgg r-tl, ^ 0. ezrt a Lagrange-egyenlet :6

T f = 0 . dt dv

Ebbl ^ = const kvetkezik. Mivel pedig ^ csak a sebessg fggvnye, az

addik, hogyy = const. (3,2)

Ily mdon arra a kvetkeztetsre jutottunk, hogy inerciarendszerben minden szabad mozgs lland nagysg s irny sebessggel megy vgbe. Ez a Tehetetlensg trvnye.

Ha egy adott inerciarendszer mellett bevezetnk egy msikat, mely hozz kpest egyenes vonal egyenletes mozgst vgez, akkor a szabad mozgs trvnyei erre az j rendszerre vonatkoztatva ugyanazok, mint az elsre: a szabad mozgs ismt lland sebessggel valsul meg.

A tapasztalat azonban azt mutatja, hogy nemcsak a szabad mozgs trvnyei azonosak ezekben a rendszerekben, hanem a kt rendszer minden ms mechanikai vonatkozsban is teljesen ekvivalens. gy vgtelen sok inerciarendszer ltezik, s ezek egymshoz kpest egyenes vonal egyenletes mozgsban vannak. Mindezekben a rendszerekben a tr s az id tulajdonsgai azonosak, s megegyezik az sszes mechanikai trvny is. Ez a megllapts a mechanika egyik legfontosabb elve: a Galilei-fle relativitsi elv.

A mondottak vilgosan mulatjk az inerciarendszerek kitntetett tulajdonsgait, amelyek miatt szinte kizrlagosan ezeket a rendszereket hasznljuk a mechanikai

8 Egy skalr mennyisgnek egy vektor szerinti derivltja az a vektor, amelynek komponensei egyenlk az adott mennyisgnek a vektor megfelel komponense szerinu derivltjaival.

4. . A SZABAD TMEOPONT LAGRANGE-FGGVNYE 17

jelensgek tanulmnyozshoz. A tovbbiakban mindentt* ha az ellenkezjt kln nem lltjuk, csak inerciarendszerekettekintnk.

Az sszes, vgtelen sok ilyen rendszer teljes mechanikai ekvivalencija egyttal azt is mutatja, hogy nincs abszolt vonatkoztatsi rendszer, amelyet elnyben rszesthetnnk a tbbivel szemben.

Mozogjon a K ' vonatkoztatsi rendszerV sebessggel a K rendszerhez kpest; ekkor ugyanannak a pontnak az r ' s r helyzetvektora kztt az

r = r+ V t (3,3)

sszefggs ll fenn; itt feltettk, hogy az id azonos mindkt rendszerben;

t = f . (3,4)

Az abszolt id felttelezse a klasszikus mechanika egyik alapvet kiindulpontja .7 A (3,3) s (3,4) kpleteket Galilei-transzformcinak nevezzk. A Galilei-fle

relativitsi elvet gy is megfogalmazhatjuk, hogy a mechanikai mozgsegyenletek invarinsok ezzel a transzformcival szemben.

4. , A szabad tmegpont Lagrange-fggvnye

A Lagrange-fggvny alakjnak meghatrozsra rtrve, tekintsk elszr a legegyszerbb esetet: a szabad tmegpont mozgst inerciarendszerben. M int mr lttuk, ebben az esetben a Lagrange-fggvny csak a sebessg ngyzettl fgghet. Ennek a fggsnek a konkrt formjt a Galilei-fle relativitsi elv alapjn hatrozhatjuk meg. Ha a K inerciarendszer vgtelen kis sebessggel mozog a K' inerciarendszerhez kpest, akkor vr v + e. Mivel a mozgsegyenleteknek mindkt vonatkoztatsi rendszerben azonos alakiknak kell lennik, az L(ia) Lagrange-fggvnynek olyan L' fggvnybe kell lmennie, amely L(v8)-tI csak a koordintk s az id egy fggvnynek teljes idderivltjban klnbzik (lsd a 2 . vgt),

gy teht:L' = = L(v:' + 2 ve+ -).

Ezt a kifejezst hatvnyai szerint kifejtve, s a magasabb rend tagokat elhanyagolva :

dL L {r '- ) = L (r -) + ^ 2 v e .

} A relaiivisziikus mechanikban ez a feltevs nem helytll.2 Elmleti fizika I. - 42 221M.

A jobb oldalon ll msodik tag csak akkor lesz id szerint teljes derivlt, ha linerisan l.*

fgg a v sebessgtl. Ezrt nem fgg a sebessgtl, azaz a Lagrange-fggvny a

vizsgit esetben a sebessg ngyzetvel arnyos:

L = av~.

Abbl, hogy az ilyen alak Lagrange-fggvny vgtelen kis sebessg transzformcik esetben eleget tesz a Galilei-fle relativitsi elvnek, azonnal kvetkezik, hogy a Lagrange-fggvny akkor is invarins, ha a K vonatkoztatsi rendszer vges V sebessggel mozog a. K '-hoz kpest. V alban:

V = avt = a(v+V )2 = av + 2 a v \+ a \ i ,vagy

L' = L + 4 - ( 2 a rV + V2/).ut

18 I. A MOZGSEGYENLETEK

A msodik tag teljes idderivlt, s gy elhagyhat.

Az a llandt szol

fggvnye vgl is az

Az a llandt szoks szerint -vei jellve, a szabadon mozg pont Lagrange-

L = (4,1)

alakot lti, Az m mennyisget az anyagi pont tmegnek hvjuk, A Lagrange-fggvny additivitsa kvetkeztben az egymssal klcsn nem hat tm egpontokra :8

n i 4:^

i = I ^ . (4,2)a

Hangslyozzuk, hogy csak az additivits tulajdonsg miatt nyer a tmeg ilyen rtelmezse valsgos tartalm at. Mint mr a 2.-ban emltettk, a Lagrange-fggvny mindig megszorozhat egy tetszleges llandval; ez nem jelenik meg a mozgsegyenletekben. A (4,2) fggvny ilyen megszorzsa a tmeg mrtkegysgnek megvltoztatst jelenti csupn; a klnbz rszecskk tmegnek arnya s csak ennek van valdi fizikai rtelme vltozatlan marad.

Knny beltni, hogy a tmeg nem lehet negatv. Valban, a legkisebb hats elve szerint a tmegpontnak az 1 pontbl a 2 pontba trtn valsgos mozgsakor az

2mv2

dt

* A rszecskk megklnbztetsre indexknt a latin bcc els betit hasznljuk, a koordintkat pedig az i, k, K . . . betkkel indexeljk.

integrl minimumot vesz fel. Ha a tmeg negatv volna, akkor olyan plyra, amelyen a rszecske kezdetben gyorsan tvolodik 1-tl, aztn gyorsan kzeledik 2 -hz, a hatsintegrl tetszleges nagy abszolt rtk negatv rtket felvehetne, azaz nem ltezne minimuma.9

Hasznos szrevenni, hogy

' U ) = w

Ezrt a Lagrange-fggvny megalkotshoz elg a dl tvolsgelem ngyzett megtallni a megfelel koordinta-rendszerben.

Descartes-koordintkban pldul dl2 = dx2+ dyi -i~dzi , s gy

L = { x ^ + f + z-}. (4,4)

H ergerkoordinikban: d! = dr2+ r2d(f'2-\-dz-, s ebbl:

L = " ( r * + V + i*J. , ( ,5)

Gm bkoordintkban: di2 = dr-4-r^ d-f)2- f r 2sin? Ddy'1, s gy:

L = + sin- %*2). (4,6)

5. . PONTRENDSZER LAGRANGE-FGGVNYE 19

5. . Pontrendszer Lagrange-fggvnye

Tekintsk most olyan tmegpontok rendszert, amelyek csak egymssal llnak klcsnhatsban, kls testtel nem; az ilyen rendszert zrtnak nevezzk. A tmegpontok kztti klcsnhatst gy lehet lerni, hogy a nem klcsnhat testek (4,2) Lagrange-fggvny h ez hozzadjuk a koordintk egy adott fggvnyt (amely a klcsnhats jellegtl fgg).1" Ezt a fggvnyt - /-vel jelljk. gy teht: 1

i = t ( r r s, . . . ) (5,1)

s A * lbjegyzet megjegyzse nem zavarja ezt a kvetkeztetst, mivel /ti esetn az integrlnak a plya semmilyen kis szakaszn sem lehet minimuma.

,u Ez az llts az ebben a knyvben trgyalt klasszikus nemrelativisztikus mechanikra vonatkozik.

2*

20 . A MOZGSEGYENLETEK

(ra az a-adik pont heJyzetvektora). Ez a zrt rendszer Lagrange-fggvnynek ltalnos alakja.

A

K = a -

sszeget a rendszer mozgsi ( kinetikus) energijnak, a V fggvnyt pedig helyzeti (potencilis) energijnak nevezzk.

Az a tny, hogy a potencilis energia csak attl fgg, milyen a tmegpontok elhelyezkedse ugyanabban az adott pillanatban, azt jelenti, hogy az egyik rszecske helynek megvltozsa azonnal tkrzdik az sszes tbbinek a mozgsn; azt lehet mondani, hogy a klcsnhats pillanatszeren" terjed. A klcsnhats szksgszeren ilyen jelleg a klasszikus mechanikban. Ez szoros kapcsolatban ll az elmlet alapvet feltevseivel: az abszolt id ltezsvel s a Galilei-fle relativitsi elvvel. Ha a klcsnhats nem terjedne vgtelen gyorsan, hanem vges sebessggel, akkor ez a sebessg ms s ms volna a klnbz (egymshoz kpest mozg) vonatkoztatsi rendszerekben, hiszen az id abszolt volta miatt a sebessgek szoksos sszeadst minden jelensgre automatikusan lehet alkalmazni. Ekkor azonban a klcsnhat testek mozgstrvnyei klnbzk lennnek a klnbz nerctarend- szerekben. ami ellentmond a Galilei-fle relativitsi elvnek.

A 3. -ban az idnek csak a homogenitsrl beszltnk. A Lagrange-fggvny(5,1) alakja mutatja, hogy az id nemcsak homogn, hanem izotrop is, azaz mindkt irnyban azonos tulajdonsg. Valban, ha t-t ?-vel helyettestjk, akkor a Lagrange-fggvny vltozatlan marad, kvetkezskpp vltozatlanok a mozgsegyenletek is. Ms szval, ha a rendszerben lehetsges valamely mozgs, akkor mindig megvalsulhat a fordtott mozgs is, vagyis az, amelyben a rendszer ellenkez sorrendben halad vgig ugyanazokon az llapotokon. Ebben az rtelemben a klasszikus mechanika trvnyei szerint vgbemen minden mozgs megfordthat.

A Lagrange-fggvny ismeretben felrhatjuk a mozgsegyenleteket:

d_ dL _ dL dt dru (5,2)

Berva (5>l)-et:d \a dl!

m = -r-" . {5.3Jdt 6ra

A mozgsegyenleteknek ezt a formjt Newton-fle mozgsegyenleteknek hvjuk. Ezek a klcsnhat rszecskkbl ll rendszerek mechanikjnak alapegyenletei. Az (5,3) egyenlet jobb oldaln fellp

' w.

5.. PONTRENDSZER LAGRANGE-FGGVNYE 2 1

vektor neve az a-adik pontra hat er. Az er val egytt csak az sszes rszecske koordintibl fgg, sebessgtl nem. Az (5,3) egyenletek eszerint azt mutatjk, hogy a rszecskk gyorsulsa csak a koordintk fggvnye,

A potencilis energia csak egy tetszleges lland hozzadsa erejig meghatrozott mennyisg; egy ilyen lland nem vltoztatja meg a mozgsegyenleteket. (Ez specilis esete annak, am it a 2.-ban a Lagrange-fggvny nem egyrtelmsgrl mondtunk.) Az additv llandt a legtermszetesebben s a szoksnak megfelelen gy vlaszthatjuk meg, hogy a helyzeti energia nullhoz tartson, ha a rszecskk kztt a tvolsg minden hatron tl nvekszik.

Ha a mozgs lersra nem Descartes-koordintkat hasznlunk, hanem tetszleges qt ltalnos koordintkat, akkor a Lagrange-fggvny ellltshoz vgre kell hajtani a megfelel

a /V* = f e{q I ,q-i.........qs h Xa = 4k Stb,

transzformcit. Ezeket a kifejezseket behelyettestve az

]L = y z + z i ) - V

^ a

fggvnybe, megkapjuk a keresett Lagrange*fggvnyt, amely

L = -2 WKT* -

22 I. A MOZGSEGYENLETEK

K B(qd(t)i 0 b(O) tagot elhagyhatjuk, mert az csak az idnek a fggvnye (s ezrt egy msik idfggvny teljes idderivltja), s gy:

Teht a kls trben mozg rendszert a szoksos tpus Lagrange-fggvny rja le a77a 1 az egy klnbsggel, hogy most a potencilis energia expliciten is fgghet az idtl.

gy egy rszecske kls trben trtn mozgsnak Lagrange-fggvnye ltalban

alak; a mozgsegyenlet pedig

Homogn a tr, ha a rszecskre minden pontban ugyanaz az F er hat. Ilyen trben a potencilis energia nyilvnvalan:

Befejezsl megjegyezzk a kvetkezket a Lagrange-egyen le leknek klnfle konkrt feladatokra val alkalmazshoz. Sokszor van dolgunk olyan mechanikai rendszerekkel, amelyekben a testek (tmegpontok) klcsnhatsa knyszer a lakjban jelenik meg. Ez azt jelenti, hogy korltozs rvnyes a testek klcsns helyzetre. A valsgban az ilyen knyszereket a testeknek rudakkal, fonalakkal, kapcsokkal stb. val egymshoz erstse hozza ltre. Ez a krlmny j tnyezt hoz be: a testek mozgst a testek rintkezsi helyn fellp srlds ksri, ennek kvetkeztben a feladat ltalban kivezet a mechanika keretei kzl (lsd: 25. g). Azonban sok esetben a srlds a rendszerben oly gyenge, hogy a mozgsra gyakorolt hatst teljesen el lehet hanyagolni. Ha ezenfell a rendszer sszeerst elemeinek" tmegt is elhanyagolhatjuk, ezek szerepe egyszeren arra korltozdik, hogy a rendszer szabadsgi fokainak s szmt a 3J\I szmhoz viszonytva cskkentik. A rendszer mozgsnak meghatrozshoz ismt (5,5) alak Lagrange-fggvnyt hasznlhatunk, amelyben a fggetlen koordintk szma megfelel a szabadsgi fokok tnyleges szmnak.

Feladatok

Adjuk meg a kvetkez rendszerek Lagrange-fggvcnyt. A rendszerek homogn nehzsgi ertrben vannak; a nehzsgi gyorsuls g.

1. K eltis sikinga (1. bra).

L a = KA(qA, 4a )-V(< a ^ qAO)-

(5,6)

V = - Fr. (5,8)

5. . PONTRENDSZER LAGRANGE-FGGVNYE 23

I. bra

Megolds. Vlasszuk koordintknak azt a s ips szget, amelyet az llt illetve (2 fonl zr be a fgglegessel. Ekkor az nj, pontra

K, = V \ = - / n lgf,cos s Descartes- koordintit a s (pt szggel (a koordinta-rendszer kezdpontja legyen a felfggesztsi pont, az y tengely irnyuljon fgglegesen lefel);

Ezutn

xs = L s i n ^ + Z*sinp2, y t = ft c o s^ t + /s co sg v

K i = Y l -t-J) = [ l{ < p 'i + I ;< f) : + 21l f s c a s l< F t

addik. Vgl;

_ 4. fj

Megolds. Legyen .v az j, pont koordintja s tp az inga fonalnak a fgglegessel bezrt szge, ekkor:

+ J2 W2,,.... . . . . ,L = j u-pM z w p c o s f l - ^ ^ /c o s f .

3. Olyan skinga. amelynek felfggesztsi pontjaa) fggleges krplyn mozog lland a> szgsebessggel (3- bra};b) vzszintes rezgst v g e z i krfrekvencival;

5 . i PONTRENDSZER LAGRANGE-FGGVNYE 25

Megolds. Legyen & az a szakasznak a fgglegessel bezrt szge,

If. F E J E Z E T

M E G M A R A D SI TT E L E K

6. * Az energia

A mechanikai rendszer mozgsakor a rendszer llapott meghatroz 2s szm qss q( ( = 1,2......... j) mennyisg vltozik az idben. Lteznek azonban ezeknek olyanfggvnyei, amelyek lland rtkek az egsz mozgs folyamn, s csak a kezdeti felttelektl fggnek. Ezeket a fggvnyeket mozgsllandknak nevezzk.

Az s szabadsgi fok zrt mechanikai rendszer fggetlen mozgsllandinak szma 2s 1. Ez nyilvnval a kvetkez meggondolsokbl. A mozgsegyenletek ltalnos megoldsa 2s tetszleges llandt tartalm az (lsd a 14. oldalt), Mivel a zrt rendszer mozgsegyenlete az idt expliciten nem tartalmazza, az idszmts kezdpontja tetszlegesen vlaszthat meg, s a mozgsegyenletek konstansai kzl egy mindig az idhz hozzadott t(, lland alakjban vehet fel. A "szm

qt = C i, f a , . . . , C-_ i),

Kezdjk az id homogenitsbl ered megmaradsi ttellel.Az id homogenitsa miatt a zrt rendszer Lagrange-fggvnye expliciten nem fgg

az idtl. Ezrt a Lagrange-fggvny teljes idderivltjt a kvetkez alakban rhatju k :

dL ^ dL . dL ..

(Ha a Lagrange-fggvny az idt expliciten tartalm azn, a k k o ra jobb oldalon meg

jelenne a tag is.) A ~ derivltat a Lagrange-egyenletbl - 4 -tl helyette-0t ufi

s tve 'dL - . 3L _ 0L .. _ /L . \

dt d q ^ ^ d q ^ ' ~ ~ j d t [dq ,**T

vagyf e v

28 II. MEGMARADSI TTELEK

addik; D escartes-koordintkban:

= X ^ + t / ( r r 2..........rn). [6,3)u *

gy teht a rendszer energijt kt lnyegesen klnbz tag sszegeknt lehet ellltani; az egyik a kinetikus energia, mely a sebessgektl fgg, a msik a potencilis energia, mely csak a koordintk fggvnye.

7. . Az impulzus

Msik megmaradsi ttel szrmazik a tr homogenitsbl.A tr homogn voltnak kvetkeztben egy zrt rendszer mechanikai tulajdonsgai

nem vltoznak meg, ha a rendszert mint egysges egszet nmagval prhuzamosan tetszleges mdon eltoljuk. Ennek megfelelen tekintsk az c vgtelen kis eltolst, s kveteljk meg a Lagrange-fggvnytl, hogy legyen invarins ezzel az eltolssal szemben.

A prhuzamos eltols olyan transzformcit jelent, amelynl a rendszer minden pontja egyformn mozdul el, vagyis ta r^+ e. A koordintk vgtelen kis megvltoztatsakor, mikzben a sebessgek vltozatlanok maradnak, az L Lagrange-fggvny megvltozsa a kvetkez:

t r v dL , ^ dLM- = I g r r = I r -

Q a U l #

ahol az sszegzs a rendszer minden tmegpontjra vonatkozik. Mivel c tetszleges, a L ss 0 kvetelmny ekvivalens a

X ~ = 0 (7,1)a CTrfi

kvetelmnnyel. Az (5,2) Lagrange-egyenlet rtelmben ebbl

y d 8L d y dL _\ dt d \a dt \ Bva

addik. Ily mdon arra a kvetkeztetsre jutottunk, hogy zrt mechanikai rendszerben a

pktormennyisg a mozgs folyamn lland. A P mennyisget a rendszer impulzus- c1 hvjuk.

A z (5,1) Lagrange-fggvny differencilsval az addik, bogy az impulzus a tmegpontok sebessgvel a kvetkezkppen fejezhet k i:

P = (7,3)a

Az impulzus additivitsa nyilvnval, Tovbb az energival ellenttben a rendszer impulzusa az egyes rszecskk

pa = m aya

impulzusnak az sszege, attl fggetlenl, hogy elhanyagolhat-e a rszecskk kztti klcsnhats, vagy sem.

Az impulzus mindhrom komponensre csak kls tr hinyban igaz a megmaradsi ttel. Az impulzus egy-egy komponense azonban kln megmarad mennyisg lehet kls tr jelenltben is, ha a potencilis energia nem fgg valamelyik Descartes- koordinttl. A megfelel koordintatengely mentn vgrehajtott eltolskor, a mechanikai rendszer tulajdonsgai nyilvnvalan nem vltoznak meg; ebbl addik, hogy az impulzusnak erre a tengelyre val vetlete megmarad, gy a z tengely irnyba mutat homogn trben az impulzus x s y irny komponensei mozgsllandk. tf i; 5 (/

A (7,1) kiindulsi egyenletnek egyszer fizikai jelentse van. A = =-~Ofj (7T4

derivlt az -adik rszecskre hat Fu er. gy a (7,1) egyenlet azt jelenti, hogy zrtrendszerben a rszecskkre hat erk sszege nulla:j&W -

F f l= 0 . (7,4)a

Nevezetesen olyan rendszerre, amely mindssze kt tmegpontbl ll: F i+ F a = 0 ; az els testre a msodik ltal gyakorolt er nagysgban megegyezik, irnyban ellenttes azzal az ervel, amellyel az els test a msodikra hat. Ez a hats-ellenhats (akci- reakci) trvnye.

H a a mozgst a ltalnos koordintkkal rjuk le, akkor a Lagrange-fggvnynek fiz ltalnos sebessgek szerint kpzett

_ dL n sPi ~ dq> a )

differencilhnyadosait ltalnos impulzusoknak az

r . - *

7. . AZ IMPULZUS 29

1 Ms elnevezse: mozgsmennyisg.

30 11. MEGMARADSI t t e l e k

derivltakat pedig ltalnos erknek nevezzk- Ezekkel a jellsekkel a Lagrange- egyenletek a lak ja :

P = F . (7,7)

Descartes-koordintkban az ltalnos impulzusok megegyeznek a p vektorok komponenseivel. ltalnos esetben a pi mennyisgek a q. ltalnos sebessgek homogn lineris fggvnyei, s egyltaln nem a sebessgek s a tmegek szorzatai.

Feladat

Az mi tmeg rszecske v, sebessggel mozog a lr egyik felben, ahol V , lland helyzeti energival rendelkezik, majd tlp a msik fltrbe, ahol helyzeti energija szintn lland, Ut rtk. Hatrozzuk meg a rszecske mozgsirnynak megvltozst,

Megolds. A potencilis energia nem fgg a kt flteret elvlaszt skban felvett tengelyek koordintitl. Ezrt a rszecske impulzusnak erre a skra val vetlete megmarad. Jellje , s i>2 az elvlaszt sk normlisnak a * M illetve az tmenet utni v, sebessggel bezrt szgi; ekkor v, sin />, = = v2 s i n A tjj s v.t sebessgek kapcsolatt az energiamegmarads adja, s vgl:

] \ + 9 lU ,- 0 2). f mi'i

8. . A tmegkzppont

Zrt mechanikai rendszer impulzusa klnbz rtk a klnbz (inercilis) vonatkoztatsi rendszerekben. Ha a K ' vonatkoztatsi rendszerV sebessggel mozog a K vonatkoztatsi rendszerhez kpest, akkor a rszecskknek ezekhez a rendszerekhez viszonytott s r a sebessge kztt a va v^+V sszefggs ll fenn. Ezrt a megfelel P ' s P impulzusrtkek sszefggst a

P = X = X " 'X + V X4.1 a a

kplet adja meg, vagy msknt:

P = P '+ V 5Tme . (HJ)a

Nevezetesen, mindig ltezik olyan K r vonatkoztatsi rendszer, amelyben a teljes impulzus nulla. Berva (8,l)-be a P ' = 0 rtket, azt kapjuk, hogy ennek a vonatkoztatsi rendszernek a sebessge:

P T mya

sin j sin 0 .

I 8. . A TMEGKZPPONT 31Ha a mechanikai rendszer teljes impulzusa nulla, akkor azt mondjuk, hogy nyuga*

lomhn van az adott vonatkoztatsi rendszerben. Ez igen termszetes ltalnostsa az egyetlen tmegpont nyugalmrl kialaktott fogalmunknak. Ennek megfelelen a(8,2) kplet ltal meghatrozott sebessget gy rtelmezhetjk, mint a mechanikai rendszer egysges egszknt, nem nulla impulzussal trtn mozgsnak sebessgt. Ltjuk teht, hogy az impulzus megmaradsnak trvnye segtsgvel termszetes mdon definilhat a mechanikai rendszernek mint egsznek nyugalmi llapota s sebessge.

A (8,2) kplet szerint a mechanikai rendszernek mint egsznek P impulzusa s V sebessge kztt ugyanaz az sszefggs ll fenn, ami egyetlen M = Y ,m a tmeg rszecske impulzusa s sebessge kztt. Ezt a tnyt gy lehet megfogalmazni, hogy a tmeg additv

A (8,2) kplet jobb oldalt az

kifejezs teljes idderivltjaknt lehet ellltani. Szavakban ez gy foglalhat ssze, hogy az egysges egsznek tekintett rendszer sebessge a (8,3) egyenlsggel megadott helyzetvektor mozgsnak sebessgvel egyezik meg. A helyzetvektor ltal meghatrozott pontot a rendszer tmegkzppontjnak nevezzk.

Z rt rendszer impulzusnak megmaradst gy is meg lehet fogalmazni, hogy a rendszer tmegkzppontja egyenes vonal egyenletes mozgst vgez. Ebben a formjban a megmaradsi ttel a tehetetlensg trvnynek ltalnostsa, amelyet a 3. -ban egyedl ll szabad tmegpontra vezettnk le. Egy tmegpont tmegkzppontja egybeesik magval a tmegponttal.

Z rt rendszer mechanikai tulajdonsgainak vizsglata esetn termszetes olyan vonatkoztatsi rendszert hasznlni, amelyben a tmegkzppont nyugalomban van. Ezzel kizrjuk vizsgldsainkbl a rendszernek mint egysges egsznek (ltalban rdektelen) egyenes vonal egyenletes mozgst.

Az egysges egszknt nyugalomban lev mechanikai rendszer energijt bels energinak nevezzk, s b-vel jelljk. Ez a rszecskknek a rendszerben val viszonylagos mozgsbl ered kinetikus energit s a klcsnhatsukbl szrmaz potencilis energit foglalja magban. Az egysges egszknt V sebessggel mozg rendszer teljes energija:

(8,4)

Habr ez a kplet meglehetsen nyilvnval, megadjuk a levezetst. A mechanikai rendszer s E ' energija a K s K ' vonatkoztatsi rendszerben a kvetkezkpp

32 11. MEGMARADSI TTELEK

fgg ssze:

vagyis

E = X nW + V = W ma( \ a+ \ f + (J =

9. AZ IMPULZUSMOMENTUM 33

Legyen a vgtelen kis elforgats vektora amelynek; abszolt rtke egyenl az elforgats

34 II. MEGMARADSI TTELEK

Cserljk meg ciklikusan a hrmasszorzatok tnyezinek sorrendjt, s emeljk ki a szummajel el*.

^ d r5

9. . AZ IMPULZUSMOMENTUM 35

A jobb oldalon lev els sszeg a rendszer J r impulzusmomentuma a K ' rendszerben; a msodik sszegben vezessk be (8,3) szerint a tmegkzppont helyzetvektort; ekkor:

Ez a kplet adja meg az egyik vonatkoztatsi rendszerrl a msikra val ttrskor az impulzusmomentum transzformcijt, hasonlan az impulzus s az energia transzformcijt ler (8,1) s (8,5) kpletekhez.

Ha K az a vonatkoztatsi rendszer, amelyben az adit anyagi rendszer mint egysges egsz nyugalomban van, akkor V a tmegkzppont sebessge, s A/V a rendszer teljes impulzusa (A'-hoz viszonytva). Ekkor

Ms szavakkal, a mechanikai rendszer impulzusmomentuma kt rszbl tehet ssze: az egyik a rendszer ,.sajt impulzusmomentuma" abban a vonatkoztatsi rendszerben, amelyben nyugalomban van, a msik a rendszernek mint egsznek a mozgsbl add R X P impulzusmomentum.

Br az impulzusmomentum mindhrom (tetszleges koordintakezdponthoz viszonytott) komponensnek megmaradsa csak zrt rendszerre igaz, korltozott formban e megmaradsi trvny kls trben lev rendszerekre is fennllhat. A fenti levezetsbl nyilvnval, hogy ha a kls tr egy adott tengelyre forgsszimmetrikus, s gy a rendszer mechanikai tulajdonsgai nem vltoznak meg e tengely krl val elforgatsakor, akkor az impulzusmomentumnak erre a tengelyre val vetlete megmarad; ebben az esetben az impulzusmomentumot termszetesen az adott tengelyen lev pontra (mint koordinta-kezdpontra) kell megadnunk.

A legfontosabb specilis eset a centrlis er, vagyis az olyan ertr, amelyben a potencilis energia a trben csak egy adott ponttl (a centrumtl) mrt tvolsgtl fgg. Nyilvnval, hogy ilyen ertrben mozogva, az impulzusmomentumnak a centrumon tmen tetszleges tengelyre vonatkoz vetlete megmarad. Ms szval megmarad a J impulzusmomentum, de nem tetszleges pontra, hanem csak a tr centrumra vonatkoztatva.

Msik plda: a z tengely irnyba mutat homogn ertrben megmarad a J z komponens tetszleges pontra vonatkoztatva.

Megemltjk, hogy az impulzusmomentum vetlete egy adott tengelyre (nevezzk ezt z tengelynek) a Lagrange-fggvny differencilsval is megkaphat:

j = J ' + A/RXV. (9,5)

J - J '+ R X P. (9,6)

(9,7)

ahol q. a z tengely krl vgzett elforgats szge. Ez mr az impulzusmomentum 3*

megmaradsnak levezetsbl is vilgos, de kzvetlen szmtssal is meg lehet rla gyzdni. Az r, z hengerkoordintkban {xa = ra cos

30. . MECHANIKAI HASONLSG 3 7

g) Homogn krgyr ertere.Vills!: Jt ts\ gyr tengelye a 2 tengely).h) Vgtelen homogn hengercsavar ertere.

Megolds. A Lagrange-fggvny nem vltozik a csavar tengelye (z tengely) krli

38 li. MEGMARADSI TTELEK

lineris mreteikben klnbznek az elzktl. gy teht arra a kvetkeztetsre jutunk, hogy ha az anyagi rendszer potencilis energija a (Descartes-fle) koordintk &-adfok homogn fggvnye, akkor a mozgsegyenletek szerint geometriailag hasonl plyk jhetnek ttre, s (a plyk megfelel pontjai kztt) a mozgsidk viszonya:

' ( ) (10.2)

ahol ^ a kt plya lineris mreteinek arnya. Az idvel egytt minden mechanikai

mennyisg rtkeinek viszonyt is ^ meghatrozott hatvnyai fejezik ki a plyk

megfelel pontjaiban s a megfelel idben. gy a sebessgre, az energira s az impulzusmomentumra:

= ( / ) * w;fs (10,3)A mondottakat nhny pldval illusztrljuk.Mint ksbb ltni fogjuk, az gynevezett kis rezgsek esetben a potencilis energia

a koordintk kvadratikus alakja (k 2 ). ( 10 ,2 )-bl az addik, hogy az ilyen rezgsek peridusa nem fgg az amplitdtl.

Homogn ertrben a potencilis energia a koordintk lineris fggvnye [lsd az (5,8) kpletet], azaz k = t. Ezrt (10,2) szerint:

FT= i / ' i 1 i

Ebbl pldul az kvetkezik, hogy a nehzsgi ertrben val esskor az essj idk ngyzetei gy arnylanak egymshoz, mint a kezdeti magassgok.

Kt tmeg Newton-fle vonzsa vagy kt tlts Coulomb-fle klcsnhatsa esetn a potencilis energia fordtva arnyos a rszecskk kztti tvolsggal,, vagyis k =s 1-edfok homogn fggvny. Ekkor

,1Hr-gy kimondhatjuk, hogy a plykon val kerings idejnek a ngyzete a plyk mretnek kbvel arnyos (ez a harmadik Kepier-t rvny).

Ha az anyagi rendszer, melynek potencilis energija a koordintk homogn fggvnye, mozgsa kzben a tr korltos tartom nyban marad, igen egyszer

sszefggs ll fenn a kinetikus s potencilis energia idbeli kzprtke kztt; ez az sszefggs virifttei nven ismeretes.

Mivel a K kinetikus energia a sebessgek kvadratikus alakja, a homogn fggvnyekre vonatkoz Euler-ttel szerint:

tt Ula

d K .vagy bevezetve a p < ,= impulzusokat:

2K - I = 4 - ( l I rP* (10,4)a 1' \a f a

tlagoljuk idben ezt a kifejezst. Valemely f i t ) fggvny idtlagnak (kzprtknek) az

/ = lm - - I f i n d r

10. $. MECHANIKAI HASONLSG 39

Ibn I fr J '

mennyisget nevezzk. Knny beltni, hogy ha / ( / ) = t ahol F(r) korltos

fggvny (azaz sehol sem vesz fel vgtelen rtket), akkor idtlaga nulla. Ugyanis

, r I I d F F (r )-F (0 ) ./ = hm - dt - hm ----- 0 .. r J dl T_ ^ r

II

Tegyk fel, hogy a rendszer a tr vges tartomnyban mozog, ekzben a rszecskk sebessge sem vlik vgtelenn. Ekkor a raf a mennyisg korltos, s gy a (10,4) egyenlsg jobb oldaln ll els tag kzprtke nulla. A msodik tagba helyettest

sk a Newton-egyenletbl a i = - kifejezst. g y :2

Mivel K +U = E = E, a, (10,6) sszefggs ms egyenrtk formkban is megadhat, amelyek (7-t, illetve K -1 a rendszer teljes energijval fejezik k i:

V = ~ 2 E' * - ~ 2 ( l0 -7)

Kis rezgsek esetben specilisan (k = 2):

K = ,

vagyis a kinetikus s potencilis energia tlaga megegyezik. Newton-fle klcsnhatsnl (* = -1):

2 K = - U.

Ekkor E = K , annak megfelelen, hogy ilyen klcsnhats esetn a mozgs csak akkor megy vgbe a tr korltos tartom nyban, ha a teljes energia negatv (lsd: 15.).

40 11 MEGMARADSI TTELEK

Feladatok

1. Hogyan viszonylanak egymshoz a mozgsi dk, ha ugyanazokon a plykon klnbz tmeg, de azonos potencilis energij testek mozognak?

Vlasz:

2. Hogyan vltoznak meg ugyanazokhoz a plykhoz tartoz mozgsdk, ha a potencilis energit egy lland szorzval megvlti lenjk ?

Vlsi:

III. F E J E Z E T

A M O Z G S E G Y E N L E T E K I N T E G R L S A

11. . Az egydimenzis mozgs

Az egy szabadsgi fok rendszer mozgst egydimenzisnak nevezzk. lland kls felttelek mellett az ilyen rendszer Lagrange-fggvnynek legltalnosabb alakja:

L - j a ( q ) ^ - 1/(17), ( 11, 1)

ahol a{q) a q ltalnos koordinta valamely fggvnye. Ha q specilisan Descartes- koordinta (nevezzk x-nek), akkor

L = ~ - U { x l (11,2)

A z ilyen Lagrange-fggvny vknek megfelel mozgsegyenleteket ltalnos form ban integrlhatjuk. St arra sincs szksg, hogy magt a mozgsegyenletet felrjuk, hanem rgtn az egyenlet els integrljbl indulhatunk ki: az energia megmaradst kifejez egyenletbl. gy a (1 1,2) Lagrange-fggvny esetn:

~ '+ U ( x ) = E .

Ez elsrend difierencilegyenlet, amelyet a vltozk sztvlasztsval integrlhatunk. Ekkor

ahonnan

f m +consL

A mozgsegyenlet megoldsban a kt tetszleges lland szerept itt az E teljes energia s a const" integrcis lland jtssza.

42 III A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

Mivel a kinetikus energia mindenkppen pozitv mennyisg, a mozgs teljes energija mindig nagyobb, mint a potencilis energia; vagyis a mozgs a trnek csak abban a tartom nyban mehet vgbe, ahol U (a*) ^ E.

Legyen pldul /(x) fggse olyan, mini amilyet a 6 . bra mutat. Ugyanezen az brn a teljes energinak megfelel vzszintes vonalat meghzva, azonnal ltjuk a mozgs lehetsges tartom nyait. gy a 6 . brn feltntetett esetben a mozgs csak az AB vagy a C-tl jobbra es tartomnyban jhet ltre.

Azok a pontok, amelyekben a potencilis energia megegyezik a teljes energival, vagyis amelyekre

Uix: ) = * (11,4)

a mozgs hatrait adjk meg. Ezek a megllsi pontok, mivel itt a sebessg nulla. Ha a mozgs tartom nyt kt ilyen pont hatrolja, akkor a mozgs a tr korltos tartom nyban megy vgbe; ekkor azt mondjuk, hogy a mozgs vges. Ha ellenben a mozgsi tartom ny nem korltozott, vagy csak egy oldalrl korltozott, akkor a mozgs vgtelen, a rszecske eltvolodik a vgtelenbe.

Az egydimenzis vges mozgs rezgs: a rszecske periodikusan ismtld mozgst vgez a kt hatr kztt (a 6 . brn az .vi s .v-. pontok kztt az AB putencifgdot- bett). Emellett a megfordthatsg ltalnos tulajdonsgnak megfelelen (lsd a 20. oldalt) a ,-tJ az Av-jg tart mozgs ideje egyenl az xo-tl az .vr ig tart mozgs idejvel. Ezrt a rezgs T peridusa, vagyis az az id, amely alatt a pont .Vi-tl elmegy X i r ig s vissza, egyenl az . x t x > szakasz megttelhez szksges id ktszeresvel, azaz(11.3) szerint

-Vjt ii I

T [E ) = \2 m I - - J * . {11,5)

-ri( )

Az Xi s x-, hatrok a ( I 1.4) egyenlet gykei adott E energiartk mellett. Ez a kplet megadja a mozgs peridust a rszecske teljes energijnak fggvnyben.

11 . AZ EGYDIMENZIS MOZGS 43

Feladatok

1. Hatrozzuk meg a matematikai skinga (ni tmeg pont / hosszsg fonl vgn nehzsgi ertrben) rezgseinek peridust az amplitd fggvnyben.

Megolds. Az inga energija:

mPip- .E - ------ mgt cos 55 = mgl cos ,

ahol

/ -fggvnyek segtsgvel fejezhetnk ki;

i f a x m H - ) i i

44 IIL A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

f s in W -)T ~ ------ E

H+i) t

nA * /

T-nek az -tl val fggse megfelel a mechanikai hasonlsg (10,2), (10,3) trvnynek,

b ) U = , - U v ^ E ^ 0 . eh- auc

Vlasz: ^

~ a / i f fU = U0 tg* x.

Kdfcrrz. ^ :r^ 2m

K+t/

12. . A potencilis energia meghatrozsa a rezgs peridusbl

Vizsgljuk meg azt a krdst, mennyiben lehet rekonstrulni annak a trnek a l/(Ar) potencilis energijt, amelyben a rszecske rezg mozgst vgez, ha ismeretes a mozgs T peridusa az E energia fggvnyben. Matematikai szempontbl arrl van sz* hogy megoldjuk a (11,5) integrlegyenletet, ha U{x) ismeretlen. T(E) pedig ismert fggvny.

Eleve feltesszk, hogy a keresett U (x) fggvnynek a vizsglt tartomnyban csak egy minimuma van, s nyitva hagyjuk azt a krdsi, hogy lteznek-e az integrlegyenletnek olyan megoldsai, amelyek nem teljestik ezt a felttelt. Helyezzk a koordinta-rendszer origjt a potencilis energia minimumnak pontjba, s vlasszuk a minimum rtkt nullnak (7 . bra).

7 . b r a

Transzformljuk a (11,5) integrlt gy, hogy benne az x koordintt tekintjkl / fggvnynek. Az v(L') fggvny ktrtkt: a potencilis energia minden rtke kt' klnbz x nk mellett valsul meg. Ennek megfelelen a (11,5) integrl, amelyben

dx-t t d U -\a l helyettestjk, kt integrl sszegbe megy t : az egyikben x = ,Yr t l dU

jcs=0-ig, a msikban * = O-tI x = x2-ig trtnik az integrls; jc-nek az U-t 1 val fggst ebben a kt tartom nyban .vt(t/)-val, illetve x,(t/)-val jelljk.

A dU szerint elvgzend integrls hatrai nyilvnvalan s 0 lesznek, gy : e o

i(V ) d V

12 e A POTENCILIS ENERGIA MEGHATROZSA A REZGS PERIDUSBL 45

f dx2{U) dV . f dxr(

^ J JU m v + ' 2 m i 7 u f E = 0 E

-i& (:0

Edx d x x\ dUd V d V ) ] j E - V

Osszuk el ennek az egyenlsgnek mindkt oldalt ^ot -vel, ahol a paramter, s integrljunk E szerint nulltl a-ig:

d x^U ) _ dxj(U) ^ dU dE dU d V / U) *

f T (E ) d E _ f f y,J U - E '/2m] J (

vagy az integrlsok sorrendjt felcserlve:

[ n fif* = ^ du fJ U -B 1 J l dV I J /

nem egy, hanem vgtelen sok olyan /= /(*) grbe van, amely a peridusnak ugyanazt az energiafggst adja, ezek a grbk olyan deformcikban klnbznek egymstl, amelyek az azonos U rtkhez tartoz kt x rtk kztti klnbsgei vltozatlanul hagyjk.

A megolds egyrtelm lesz, ha megkveteljk, hogy az / = 1/ (*) grbe szimmetrikus legyen a koordintatengelyre, azaz

x 2(U) ~ - x 1 (U) = x(U )

teljesljn. Ebben az esetben a (12,1) kplet *(/)-ra az egyrtelm

2n\ 2m J tfU-Eo

kifejezst adja.

4,s helyezzk a koordinta-rendszer kezdpontjt a tm egkzppontba; ezzel:

m lr i + m ir 2 = 0 .gy a kt egyenlsgbl

13. 9. A KTTEST-PROBLMA 47

addik. Ezeket a kifejezseket (I3r l)-be rve:

(13,3)

ahol

m (13,4)tn i -h /na

a redukl! tmeg. A (13,3) fggvny formailag megegyezik egy alkalmas nerciarend- szer kezdpontjra szimmetrikus U{r) kls trben mozg egyetlen m tmeg anyagi p o n t Lagrange-fggvnyvel.

Ily mdon a kt klcsnhat tmegpont mozgsnak lerst visszavezetjk az adott (J[r)kls trben mozg egyetlen pont lersnak feladatra. Ennek a feladatnak az r = r(/) megoldsbl az s m> rszecske r s r i(r> s = r 2(/) plyjt (a kzs tmegkzpponthoz viszonytva) a (13,2) kpletek adjk meg.

lljon egy rendszer egyetlen M tmeg s n szm egyenl > tmeg rszecskbl. Kszbljk ki a tmegkzppont mozgsl, s vezessk vissza a feladatot u rszecske mozgsnak lersra.

Megoldi. Legyen R az M tmeg rszecske helyzevcktora, R0cnl.s.gekbl_ tn r -R - - Y r. R R -i r ff V

kvetkezik. ahol p M not. Be helyettes it ve ezeket a kifejezseket az

Lagrange-tiiggvn> be:

ahol v - in.A potencilis energia csak a rszecskk kztti tvolsgtl fgg, s ezri az r vektorok fggvnye

knt llthat el.

48 Ilf. A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

14. . Mozgs centrlis ertrben

Kt test mozgsnak lerst egy test mozgsnak lersra visszavezetve, arra a feladatra jutunk, hogy meghatrozzuk egy rszecske mozgst olyan kls trben, amelyben a potencilis energia csak egy adott nyugv ponttl mrt r tvolsgtl fgg; az ilyen erteret centrlisnak nevezzk. A rszecskre hal

F - - -dr ~~ r r

er abszolt rtke is csak r-tl fgg, irnya pedig minden pontban a helyzetvektor irnyval egyezik meg,

M int mr a 9.-ban megmutattuk, centrlis ertrben val mozgsnl az ertr centrum ra vonatkoztatott impulzusmomentum megmarad. Egy rszecskre:

J = rX p,

Mivel J s r egymsra merleges, J lland volta azt jelenti, hogy a rszecske mozgsa kzben helyzetvektora mindig egy skban m arad; az J vektorra merleges skban. gy teht centrlis ertrben a rszecske mozgsnak plyja teljes egszben egy skban fekszik. Vezessk be ezen a skon az r s q polrkoordintkat, s rjuk fel ezekkel a Lagrange-fggvnyt [lsd a (4,5) kpletet]:

L = ~ ( ^ + r ^ ) - U ( r l (14,1)

Ez a fggvny expliciten nem tartalmazza a q koordintt. Minden olyan ltalnos koordintt, amely nem jelenik meg expliciten a Lagrange-fggvnyben, ciklikusnak hvunk. Az ilyen koordintkra a Lagrange-egyenlet rtelmben:

d L _ dL_ _itt dj; dq;

vagyis a megfelel p- = ^ ltalnos impulzus mozgslland. A mozgsegyen

letek integrlst lnyegesen leegyszersti, ha vannak ciklikus koordintk.Az adott esetben a

Pr = r~(i

ltalnos impulzus megegyezik a J z = J impulzusmomentummal [lsd a (9,6) kpletet], s gy visszajutunk az impulzusmomentum mr ismert megmaradsi ttelre:

J = m r-f const. (14,2)

14. fi. MOZGS CENTRLIS ERTRBEN 49

Megjegyezzk, hogy egyetlen rszecsknek centrlis ertrben val skmozgsra

levezetett trvnynk geometriailag egyszeren szemlltethet. Az r-r p kifejezs

annak a krcikknek a terlete, amelyet kt vgtelen kzeli helyzetvektor s a plya ve alkot (8 . bra). Jelljk ezt d f- ftl; ekkor a rszecske impulzusmomentumt

J 2m f (14,3)

alakba rhatjuk, ahol az / derivltat felleti sebessgnek nevezzk. Ezrt az impulzus- momentum megmaradsa azt jelenti, hogy a felleti sebessg lland: egyenl idkzk alatt a helyzetvektor egyenl terleteket srol (Kepler msodik trvnye1).

Centrlis ertrben lev rszecske mozgsnak teljes lerst a legegyszerbben gy kapjuk meg, hogy az energia s az impulzusmomentum megmaradsnak trvnybl indulunk ki, s magukat a mozgsegyenleteket fel sem ijuk. Fejezzk ki (14,4)

Innen

(14,5)dt

vagy a vltozkat sztvlasztva s integrlva

t = f ----- ------ 1- const. (14,6)Tovbb (14,2)-t

2 J 2[E -U {r)\-

= > dt mrz

1 A centrtis ertrben mozg rszecskre vonatkoztatva az impulzusmomentum megmaradsnak trvnyt szoks- felleti tlinek nevezni.

4 Elmtltii fizika I- +2 221/1.

50 III. A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

alakban rva, s ide dt-t (14,5)-bl berva, azutn integrlva:

(14,7)

A (14,6) s (14,7) kpletek ltalnos alakban megadjk a kitztt feladat megoldst* (14,7) meghatrozza r s

14. . MOZGS CENTRLIS ERTRBEN 51

A plya zrtsgnak felttele az, hogy e szg s 2si hnyadosa racionlis szm legyen,

azaz = rtket vegyen fel, ahol m s n egsz szmok. Ekkor ennek a Zji nperidusnak n ismtldse utn a pont helyzetvektora, m teljes fordulat megttelvel, egybeesik a kiindulsi rtkvel, vagyis a plya zrdik.

Ezek azonban kivteles esetek. /(r) tetszleges alakja mellett A

52 HI. A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

Ha van centrifuglis energia (a / ^ 0 mozgsoknl) amely az r 0 esetben ^

szerint ta rt vgtelenhez az rendszerint azt eredmnyezi, hogy a mozg rszecske nem hatolhat be az ertr centrumba mg akkor sem, ha a tr vonz jelleg. A rszecske csak akkor eshet be a centrumba, ha a potencilis energia elg gyorsan tart co -hez, mikzben r 0, Az

= - 1/W - ^ 0

egyenltlensgbl

r U{r)+ ^ E ri m

kvetkezik, s ebbl, hogy r csak az

r*U{r) (]4, 11)

felttel mellett vehet fel nullhoz tart rtkeket, azaz /(r)-nek vagy --^ -sz e rin tnJ 2 1

kell oo-hez tartania, ahol % > ,vagy -- - -nel kell arnyosnak lennie, ahol

2.

Feladatok

1. Integrljuk a gmbinga mozgiscgyenltit. A gmbinga ni tmeg anyagi pont, amely nehzsgi ertrben / sugar gmbfelleten mozog.

Megolds. Az inga Lagrange-fggvnye olyan gmbkoordinta-rendszcrbin, melynek kezdpontja az adott gmb kzppontjban van, polrtcngelye pedig fgglegesen lefele irnyul:

L = (/)- + sin- t tp':) -- zugi cos t).

14. - MOZGS CENTRLIS ERTRBEN 53

itt bevezettk a

- mg!cos &

effektv potencilis energit , (1) felhasznlsval a (4>l\2m J

addik. A (3) s (4) integrlok els-, illetve harmadrend elliptikus integrlra vezethetk vissza.A mozgs tartomnyt a t> szg szerint az > Vtlt felttel hatrozza meg, a tartomny hatrt

pedig a z = U^ egyenlet. Ez harmadfok egyenlet cos#-ra, melynek a ( 1 , 1) intervallumban kt gyke van; ezek az rtkek a gmbn kt prhuzamos krt hatroznak meg, amelyek a teljes plyt kzrefogjk.

2. Integrljuk annak a tmegpontnak a mozgsegyenleteit, amely nehzsgi ertrbe helyezett, cscsval lefel ll, fggleges tengely, 2a nylsszg kp felletn mozog.

Megolds. A Lagrange-fggvny olyan gmbi koordinta-rendszerben, amelynek kezdpontja a kp cscsa, polrtengelye fgglegesen felfel irnyul:

Az E = ( j Ilt egyenlet {J. ?* 0 esetn) kbs egyenlet /-re, amelynek kt pozitv gyke van; ezek a kp felsznn kt vzszintes krt hatroznak meg, amelyek kzrefogjk az egsz plyt.

3. Integrljuk annak a skingnak a mozgsegyenlett, amelynek {rrtt tmeg) felfggesztsi pontja vzszintesen elmozdulhat (lsd a 2 . brt).

Megolds. Az 5. . 2. feladatban felrt Lagrange-fggvnyben az x ciklikus koordinta. Ezrt megmarad a Ps ltalnos impulzus, amely megegyezik a rendszer teljes impulzusnak vzszintes komponensvel;

L ~ (P + r1 sin* M>

54 III. A MOZGSEGYENLETEK INTEGRLSA

sszefggst adja, amely azt fejezi ki, hogy a rendszer tmegkzppontja nem mozdul el vzszintes irnyban. Felhasznlva (l)-etr az en erg ia :

_ rJ-(p- 1 fit., \E | 1- ' cos- 2 \ m t + rrtt )Ebbl

, T/w, + ^ Lin^ ^ .r 2(/1+-/Hj) J r +ij,^/cosp

Fejeztk ki az wj rszecske A's - j-4-/sinp,v2 = /cos?? koordintit

15. S. A KEPLER-PROBLMA 55

A plyt a (14,7) ltalnos formulbl kaphatjuk meg. Helyettestsk ide U =*

= y nst; elemi integrlok kiszmtsa utn:

/ ma r J

56

y

III. A M O ZG SEG Y EN LETEK IN TEG R L SA

2b

11. bra

(15,4)-b! ltszik, hogyfi < 0 esetn 1, vagyis a plya ellipszis (1 . bra), s a mozgs a szakasz elejn mondottaknak megfelelen vges. Az analitikus geometria ismert kpleteit felhasznlva, az ellipszis nagy- s kistengelye:

A legkisebb megengedett energiartk megegyezik (I5,3)-mal; ekkor e = 0, teht az ellipszis kr. Megjegyezzk, hogy az ellipszis nagytengelye csak a rszecske energijtl fgg (impulzusmomentumtl nem). A tr centrumtl (az ellipszis fkusztl) m rt legnagyobb s legkisebb tvolsg:

Ezeket a kifejezseket, termszetesen, kzvetlenl is meg lehet kapni az Ucf({r) = E egyenlet gykeiknt fa s e rtkt (15,6) s (15,4) szerint megadva].

Ellipszisplyn a kerings ideje, azaz a mozgs T peridusa egyszeren az impulzusmomentum megmaradst (14,3) formban kifejez felleti ttel segtsgvei adhat meg. Integrljuk ezt az egyenlsget az id szerint nulltl T-ig;

a h o l /a plya ltal hatrolt terlet, Ellipszisre/ = nab, gy a (15,6) kpletek felhasznlsval:

Azt, hogy a peridus ngyzete a plya lineris mreteinek kbvel arnyos, mr a 10. j-ban megmutattuk. Megemltjk mg, hogy a peridus csak a tmegpont energijtl fgg.

r ? = tf(l rmKX = = (1+

15. . A KEPLER-PROBLMA 57

X

12. bra

H a s O , a mozgs vgtelen. E >- 0 esetn e > 1, vagyis a plya hiperbola, mely az ertr centrumt (a fkuszt) gy leli kri, ahogyan a 12. bra mutatja. A centrum tl val legkisebb tvolsg:

az eset akkor valsul meg, ha a rszecske nyugalmi llapotbl kiindulva, a vgtelenben kezdi mozgst.

A rszecske koordintinak idfggst az ltalnos (14,6) kplet segtsgvel kaphatjuk meg. Knyelmes paramterezsre juthatunk a kvetkez mdon.

Tekintsnk elszr elliptikus plykat. Vezessk be (15,4) s (15,6) szerint a-t s **t, s rjuk az idt meghatroz (34,6) integrlt a

f min = = ( * - l ) , (15,9)

ahol

a hiperbola fitengelye*'.

Az E = 0 esetben e = 1, teht a rszecske paraboln mozog, amelyre ^ . Ez

alakba, A kzenfekv

r a = ae cos

helyettestssel ez az integrl

t = J ^ ^ 3- c o s ) dk - | / ,- ^ - ( 5 - S n )+const

alakra hozhat. Vlasszuk az idszmts kezdpontjt gy, hogy a fenti const nulla legyen; gy vgl r-nek /-ti val fggst a kvetkez paramteres alakban kapjuk:

r = a(\ ecos |) , f = ( e s in ) (15,10)

(a / = 0 pillanatban a rszecske a perihliumban van). Ugyanezzel a paramterrel lehet kifejezni a rszecske x = r cos

15, . A KEPLER-PROBLMA 59

13. bra

[p-t s e-i a korbbi (15,4) kpletek hatrozzk meg], A plya gy halad el a tr centruma mellett, amint azt a 13. bra mutatja. A perihlium tvolsga:

(15,15)

Az idfggst a kvetkez paramteres egyenletek adjk meg:

r = a{e c h + l ) , t = j / ^ ^ e s h + ),

x = (ch + e), y = a l/e2 1 sh f.(15,16)

Befejezsl megmutatjuk, hogy az U = trben ltrejv mozgsoknl ( tetsz

leges eljele mellett) van egy mozgslland, amely specilisan erre a trre jellemz. Kzvetlen szmolssal knny igazolni, hogy

_ *r v x J + = const. r

(15,17)

Valban, ennek a mennyisgnek teljes idderivltja:

. r 5cv or(vr)VXJ + ---------- - = A

vagy J = m r X Y behelyettestsvel:, , .i ar(vr)w r(v v )-m r(V)4------------ 5r r3

A b ) s c) esetben a rszecske beesik a centrumba olyan plyn, amely p - oo krben kzelt az orighoz. Adott r tvolsgrl a beess vges id alatt megy vgbe; ez az id:

15. A KEPLER-PROBLMA 61

-iV3, Ha a U - potencilis energihoz egy kis 6U(r) tag jrul, akk^r a vges mo2gs plyi

mr nem lesznek zrtak, s a perihlium minden fordulatnl egy kis szggel eltoldik. Hatrozzuk

meg &p~t, ha a a) bU = , b) AU = .

Megolds. Az /in,-tl /-rrmx-ig, majd jra rnAn-tg trtn mozgs sorn ltrejv

IV. F E J E Z E T

R S Z E C S K K T K Z S E

16. . Rszecskk bomlsa

Sok esetben mr maga az energia- s az impulzusmegmarads trvnye elegend* hogy a klnfle mechanikai folyamatok sajtossgaira vonatkozan egy sor fontos kvetkeztetst levonhassunk. Klnsen jelents az a krlmny, hogy ezek a sajtossgok egyltaln nem fggnek a folyamatban rszt vev rszecskk klcsnhatsnak konkrt fajtjtl.

Kezdjk egy rszecske spontn bomlsval, vagyis azzal a folyamattal, amelyben egy rszecske kls hats nlkl kt bomlstermk rszecskre esik szt, amelyek a bomls utn egymstl fggetlenl mozognak.

Ezt a folyamatot abban a vonatkoztatsi rendszerben legegyszerbb lerni, amelyben a rszecske (a bomls eltt) nyugalomban volt. Az impulzus meg marads trvnye rtelmben a bomls eredmnyekppen ltrejtt rszecskk impulzusnak sszege is nulla, azaz a rszecskk egyenl nagysg, de ellenttes irny impulzussal replnek szt. Ennek az impulzusnak az abszolt rtkt (jelljk p 0-val) az energia megmaradsnak trvnybl hatrozhatjuk meg:

Itt mj s m2 a rszecskk tmege, E ib s a bels energijuk, Eb pedig az eredeti (boml) rszecske bels energija. Jellje e. a bomls energijt", vagyis az

klnbsget (nyilvnval, hogy ennek a mennyisgnek pozitvnak kell lennie, hogy a bomls bekvetkezhessk). Ekkor

s ez hatrozza meg p 0-t (m a kt rszecske reduklt tmege); a rszecskk sebessge

Eb = E\b+-J>a- 4-fib 4- -----

fe' E\, Ej b E'it

p e d ig t?io = P Pomi

r16. j . RSZECSKK BOMLSA 63

y Trjnk t most arra a vonatkoztatsi rendszerre, amelyben az eredeti rszecske a bomls eltt V sebessggel mozog. Ezt a vonatkoztatsi rendszert szoks szerint laboratrium i rendszernek (vagy L rendszernek) nevezzk, mg azt, amelyben a teljes impulzus nulla, tmegkzpponti rendszernek (vagy C rendszernek). Tekintsk az egyik j rszecskt, legyen v, illetve v0 a sebessge az L , illetve a C rendszerben. A nyilvnval v = V + v 0 vagy vV = vo egyenlsgbl:

t,2+ V * -2 v V cos G = v*, (16,3)

hol O a rszecske kireplsi szge a V sebessg irnyhoz viszonytva. Ez az egyenlet hatrozza meg a bomlstermkek sebessgnek fggst az L rendszerbeli kireplsi

14. bra

irnyuktl. Ezt a fggst grafikusan is szemlltethetjk a 14. brn. A v sebessget egy olyan vektor adja meg, amelyet a io sugar kr kzppontjtl V tvolsgra ll A pontbl hzunk a kr kerletnek valamely pontjhoz.1 A V < vo s V ^ vo esetnek a 14. bra a ), illetve b) rajza felel meg. Az els esetben a rszecske tetszleges 0 szggel kireplhet. A msodik esetben a rszecske csak elre replhet ki, olyan szggel, mely nem mlja fll a 0 max rtket, ahol

*-'0VSI! 0 m a x

(16,4)

az A pontbl a krhz hzott rint irnyszge).A z s a C rendszerben rtelmezett 0 s Go kireplsi szgek kapcsolatt ugyan

ezen bra szerint atosin

64 IV. RSZECSKK TKZSE

kplet adja meg. Ha ezt az egyenletet megoldjuk cos 6V ra, akkor elemi talaktsok u tn :

va > V esetn &0 s & kztt a kapcsolat egyrtelm, amint ez 14o brbl ltszik. A (16,6) kpletben ekkor a gyk eltt a + eljelet kell venni (hogy 0 0-nl Qo = 0 legyen). Ha azonban i\> < V , akkor 0 rtk felel meg, amelyek (a 14& brn) a kzppontbl a kr By illetve C pontjhoz hzott v0 vektorhoz ta rtoznak ; ezeknek a (16,6)-ban a gyk eltti kt eljel fele! meg.

Fizikai alkalmazsokban rendszerint nem egy, hanem sok azonos rszecske bomlsval kell foglalkoznunk. O tt az a krds merl fel, milyen a keletkezett rszecskk energia-, irny- stb. eloszlsa. Ekkor felttelezzk, hogy az eredeti rszecskk mozgsirnyai teljesen rendezetlenek, azaz a sebessgek tlagban izotrop mdon oszlanak el a trben.

A C rendszerben magtl rtetd a vlasz erre a krdsre: minden (azonos fajta) bomlstermknek ugyanakkora az energija, a kireplsi irnyaik eloszlsa izotrop. Ez utbbi llts az eredeti rszecskk mozgsnak rendezetlensgrl tett feltevsnk kvetkezmnye, s azt jelenti, hogy a d n elemi trszgbe repl rszecskk szmnak

arnya az sszes kirepl rszecskk szmhoz viszonytva , Ebbl megkapjuk

a So szg szerinti eloszlst, ha berjuk a da = 2zi sin 6> d@u kifejezst:

Az L rendszerbeli eloszlst e kplet megfelel transzformcijval kapjuk. Hatrozzuk meg pldul a kinetikus energik eloszlst az L rendszerben. Emeljk ngyzetre a v = v+V egyenlsget:

melyik fajtj j rszecski vizsgljuk), s ezutn a (16,7)-be helyettestve, megkapjuk a keresett eloszlst:

cos 6>i> - sin* (9cos O l'h

, sin- O (16,6)

(16,7)

v'2 = if,+ V'2+2v{) V cos 0 utahonnan

Berva id a K = kinetikus energit (ahol irt akr akr m {, attl fggen,

dKIrrtvoV (16,8)

16. . RSZECSKK BOMLSA 65

A kinetikus energia a K min - (vv - V f legkisebb rtktl a K m%^ = (w0+ V)*

legnagyobb rtkig vltozhat. Ebben az intervallumban a rszecskk eloszlsa (16,8) szerint homogn.

Ha egy rszecske kettnl tbb rszecskre bomlik szt, az energia s impulzus megmaradsa termszetesen jelentsen nagyobb szabadsgot hagy a bomlstermkek sebessgre s irnyra, mint a kt rszecskre trtn elbomls esetn. Specilisan, a kirepl rszecskk energija C rendszerben egyltaln nem ugyanaz a meghatrozott rtk. Ltezik azonban fels hatr arra a kinetikus energira, amelyet az egyes keletkez rszecskk magukkal vihetnek.

Ennek a hatrnak a meghatrozshoz egy kivtelvel (amelynek m i a tmege) az sszes keletkez rszecskt egyetlen rendszernek tekintjk; ennek bels energijt *-vel jelljk. Ekkor az m ] tmeg rszecske mozgsi energija (16,1) s (16,2) szerint:

p~ M - m , .* = 2m, = M

(U az eredeti rszecske tmege). Nyilvnval, hogy Kio akkor veszi fel a legnagyobb rtkt, am ikor E b minimlis. Ehhez az kell, hogy az mi tmeg kivtelvel minden j rszecske ugyanazzal a sebessggel mozogjon. Ekkor E b az egyes rszecskk bels energijnak sszege, az Eb- E lb~E'b klnbsg pedig a bomls fi energija. gy teht

(Km)* = M ~ m i fi. (16,9)M

Feladatok

1. Adjuk meg kt rszecskre val bomls esetn az sszefggst (L rendszerben) a keletkez rszecskk L s f kireplsi szge kztt.

Megolds. C rendszerben a kt rszecske kireplsi szge kztt a = n &ZK kapcsolat i l l fenn. Jelljk 0n ,-et egyszeren &-val, s alkalmazzuk a (16,5) formult mindkt rszecskre:

V 4- fm cos > = , sin 0 ctg ,V - r 0 cos (-)0 = sin ctg .

Ebbl a kt egyenletbl

66 IV. RSZECSKK TKZSE

Megolds. A t> ,> P cselben irjuk be a (16,6) kifejezst, (a gykjel eltt pozitv eljellel) (16,7}-ber igy megkapjuk a keresett eloszlst;

J + , cos 2 02 cos & + ( 0 .7 ) .

Ha v0 -- V, szmtsba kell vennnk a 0 s 0 O kztt fennll mindkt kapcsolatot. Mivel 0 nvekedsvet az egyik megfelel 0 rtk nvekszik, a msik cskken, a (16,6) gykjele eltti kt eljellel a d cos 0 o-ra kapott kifejezsek klnbsgt (s nem sszegi) kell vennnk. Az eredm ny:

V'1I + *- cos 2 6

sin 0 d&

Y - S

( O S 0 S 0 msr).

3. H atrozzuk meg azokat az rtkeket, amelyeket a kt keletkez rszecske kireplsi irnya ltal bezrt 0 szg az L rendszerben felvehet.

Megolds, - A 0 szg a (16,5) kplet ltal m eghatrozott 0 , s &t szg sszege (lsd az 1. feladatot). Legegyszerbben a szg tangenst szmthatjuk ki. A kapott kifejezs szls rtkeinek vizsglata & lehetsges rtkeire a V s r J0, r.,0 mennyisgek viszonytl fggen a kvetkez intervallum okat adja (mindig gy vesszk, hogy r so - r , ):

rtkt pedig a

0 (-> < -T, ha t'jo V - - t - 0 o - 0 -= rrt ha V

0 (-) -c 0 O, ha rs V\

sin 0

kplet adja meg.

17. . Rszecskk rugalmas tkzse

Kt rszecske tkzst rugalmasnak mondjuk, ha az tkzs sorn a rszecskk bels llapota nem vltozik meg. gy ilyen tkzs esetn az energia megmaradsnak alkalmazsakor figyelmen kvl hagyhatjuk a rszecskk bels energijt.

A z tkzst legegyszerbben abban a vonatkoztatsi rendszerben rhatjuk le, amelyben a kt rszecske kzs tmegkzppontja nyugalomban van (C rendszer). A fizikai mennyisgeknek ebben a rendszerben felvett rtkeit itt is a 0 indexszel klnbztetjk meg, akrcsak az elz -ban. A rszecskk sebessge tkzs eltt a C

17. . RSZECSKK RUGALMAS TKZSE 67

rendszerben a kvetkez mdon fgg ssze az L rendszerben mrt vi s v 2 sebessgkkel:

m-i m iV io = --------V, Vo0 = ----------------------V,

Wi + m 2 ii-f m2

ahol v = V[ v2 [lsd a (13,2) kpletet].Az impulzus megmaradsnak trvnye rtelmben a kt rszecske impulzusa

tkzs utn egyenl nagysg s ellenttes irny lesz, az energia megmaradsa kvetkeztben pedig abszolt rtkk is vltozatlan marad, gy teht az tkzs C rendszerben a sebessgek elfordulst eredmnyezi, azok egymssal ellenttes irnyak maradnak, s nagysguk nem vltozik, Jellje n az mi tmeg rszecske tkzs utni sebessgnek irnyba mutat egysgvektort. Ekkor a kt rszecske sebessge az tkzs utn (vesszvel klnbztetjk meg ket):

/ m 2 , niiv>= ; s + s , t'- v (17 "

Ahhoz, hogy visszatrjnk a laboratriumi rendszerre, ezekhez a kifejezsekhez hozz kell adnunk a tmegkzppont V sebessgt. gy a rszecskk sebessge L rendszerben az tkzs u t n :

, m i + m 2v2v, = ----------?;nn -f-------------- ,ttti+m-i m i + m-jt

(17,2)m i , miVj+mgVg

2 m i+ ni'i fflj+ffla

Ezzel ki is merlt azoknak az informciknak a sora, amelyeket az tkzsre vonatkozan kaphatunk, ha csak az energia s az impulzus megmaradsnak a trvnybl indulunk ki. Ami az no vektor irnyt illeti, az a rszecskk klcsnhatstl s a rszecskk tkzs kzben elfoglalt klcsns helyzettl fgg.

A kapott eredmnyeket geometriailag is lehet szemlltetni. Ehhez azonban alkalmasabb a sebessgek helyett az impulzusokra ttrni. A (17,2) egyenlsgeket mi-gyei, illetve m 2-vel megszorozva:

p; = mvn0-j- (pj + p2), p2 = (P i+ *) ( ,7>3)rrti-tnti m t + m i

(Itt m = m[l?i~ a peduklt tmeg.) Szerkessznk egy m v sugar krt, s nii + M2

vgezzk el a 15. bra szerint a szerkesztst. Ha az n0 egysgvektor OC irny, akkor az AC s CB vektor adja a p[, illetve p impulzust. Adott pr s p2 impulzus mellett a kr sugara, valamint az A s B pont helyzete vltozatlan, a C pont pedig tetszleges helyzetet foglalhat el a krn.5*

, s

Felrjuk azokat a kpleteket, amelyek a rszecskk tkzs utni sebessgnek abszolt rtkt adjk meg ugyanazzal a x szggel kifejezve:

= t W i + m j + ^ c o s i ; _ 2m ,v ^ _+ wii + ma 2

A (?] + 0 2 sszeg a rszecskk replsi irnyai ltal bezrt szg tkzs utn, Nyil-71 71

vnval, hogy Oi + O i >- ^ , ha m\ -i+ m s.

Ha az tkzs utn mindkt rszecske ugyanazon az egyenesen mozog (centrlistkzs), akkor % = zi, azaz a C pont az tm rn helyezkedik el vagyaz ,4 ponttl balra (16a bra; ekkor p s p,^ egymssal ellenttes irny), vagy az A s O pont kztt (1> bra; ekkor p| s p.j azonos irny).

A rszecskk sebessge az tkzs utn ebben az esetben:

, m i - m , , 2/w, v. = v, Vo = - v. (17,6)/W| + m a

Ekkor \',t rtke a lehet legnagyobb; ennek kvetkeztben a maximlis energia, amelyet az tkzs eredmnyekppen az eredetileg nyugv rszecske szerezhet:

trr m -A * * Amxm2Eim " 2 " = Tw i+w j* (

7 i?. 1/'^ahol E\ = ^ 1 a bees rszecske eredeti energija.

Ha mi < ma, az els rszecske sebessge az tkzs utn tetszleges irny lehet. Ha viszont > m2, a repl rszecske eltrtsnek szge nem haladhat meg egy maximlis rtket, amelynek a C pont (166 bra) olyan helyzete felel meg, hogy az AC

OCegyenes rintse a krt. Nyilvnval, hogv sin 0 lma = _ . , vagy

OA

17 5- RSZECSKK RUGALMAS TKZSE 6 9

sin

70 IV. RSZECSKK TK ZSE

17. bra

Megemltjk, hogy ilyenkor a rszecskk az tkzs utn egymsra merlegesen replnek szt. Egy centrlis lks esetn t t ) v \ = 0, v't = v, = 0, azaz az els (a mozg) rszecske'nyugalombaa marad, mialatt a msodik (az eredetileg nyugv) rszecske az elsnek a sebessgvel s annak irnyban mozog.

Feladat

Fejezzk ki az eredetileg mozg (mj) cs nyugv Uh*) rszecske sebessget az lkzs utn a rszecskk L rendszerbeli el tr lsnek szgvel.

Megoldi. A 16. brbl p\ - 20 B cos (")i vagy v'} - 2r cos*. A p\ = AC impulzusra

pedig azOC: = A02~j}[s~ 2AO (\ cos (Vt

egyenletnk van, vagy mskpp;

Innen

/ r 2 t n r \1 c m H , - - - 0-

\ V i m., r m, J -1)1;

ni, esetn viszont csak a pozitv.

18. . Rszecskk szrsa

Mint mr az elz paragrafusban rm utattunk, kt rszecske tkzsnek eredmnyt (a x szget) csak gy hatrozhatjuk meg teljesen, ha megoldjuk a mozgsegyenleteket a rszecskk konkrt klcsnhatsnak szmbavtelvel.

18. . RSZECSKK SZRSA 71

Az ltalnos ev szerint elszr azt az ekvivalens feladatot tekintjk, hogy egy m tmeg rszecske szrdik a (rszecskk tmegkzppontjban) nyugv ercentrum U(r) terben.

Mint a 14. -ban megmutattuk, centrlis ertrben mozg rszecske plyja szimmetrikus arra az egyenesre, amelyet a centrum s a plynak a centrumhoz legkzelebb es pontja hatroz meg (OA a 18. brn). Ezrt a plya mindkt aszimptotja ugyan-

____

9 /l& _

18. bra

akkora szg alatt metszi ezt az egyenest. Jelljk ipo-val az utbbi szget; ekkor a rszecske elhajlsnak % szge a centrum mellett val elhalads utn, amint a rajzbl ltszik,

X = 7i2q0 . (18,1)

A ff u szget pedig (14,7) szerint a rszecsknek a centrumhoz legkzelebbi s vgtelen tvoli helyzete kzt vett

(fa =~ dr r2

2 m[-V(r) ) J'L1* (18,2)integrl hatrozza meg. Emlkeztetnk arra, hogy r mln a gykjel alatt ll kifejezs algebrai gyke.

Vgtelen mozgsoknl, amelyekkel most is dolgunk van, clszer az E s J lland helyett kt-msikat bevezetni: a rszecske vgtelenben mrt sebessgt s a g gynevezett tkzsi paramtert. Ez utbbi a centrumnak a irnytl m rt tvolsga, vagyis az a tvolsg, amelyre a rszecske elhaladna a centrum mellett, ha nem volna

72 IV. RSZECSKK TKZSE

ertr (18. bra). Az energit s az impulzusmomentumot ezekkel a mennyisgekkel az

aJak lesz. (18,1) s (18,4) egytt hatrozza meg / fggst f>~tl.Fizikai alkalmazsokban rendszerint nem egyedi rszecske eltrlst kell meg

vizsglnunk, hanem a centrumra egyez sebessggel bees azonos rszecskk nyalbjnak szrdst. A nyalb klnbz rszecski klnbz tkzsi paramterrel esnek a centrumra, s ezrt klnbz x szg alatt szrdnak. Jellje dn azoknak a rszecskknek a szmt, amelyek egysgnyi id alatt a % s x +d% szg kz szrdnak. Maga ez a mennyisg nem alkalmas a szrdsi folyamai jellemzsre, mivel fgg a bees nyalb srsgtl (arnyos vele). Ezrt vezessk be a

mennyisget, ahol nn azoknak a rszecskknek a szma, amelyek egysgnyi id a la tta nyalb merleges keresztmetszetnek egysgnyi terletn thaladnak (termszetesen feltesszk, hogy a nyalb homogn az egsz keresztmetszetben). Ezt a terlet dimen- zij mennyisget szrsi halskereszt metszetnek nevezzk. A szrsi hatskereszt' metszet rtkt a szr ertr egyrtelmen meghatrozza, gy az a szrsi folyamat legfontosabb jellemzje.

Feltesszk, hogy % s r> kztt klcsnsen egyrtelm a kapcsolat; ez akkor igaz, ha a szrds szge az tkzsi paramter monoton cskken fggvnye. Ebben az esetben az adott y_ s %-\-dx kz csuk azok a rszecskk szrdnak, amelyek meghatrozott g(x) s q{y) + do(y) kz es tkzsi paramterrel replnek. E rszecskk szma /in-nak, valamint a o s n^-dn sugarak ltal hatrolt krgyr terletnek a szorzata, azaz dn = d q n n. gy a hatskeresztmetszet:

Ahhoz, hogy a hatskeresztmetszetnek a szrds szgtl val fggst megtalljuk, elg ezt a kifejezst trni:

J (18,3)

mdon fejezhetjk ki, a (18,2) kplet pedig

V o = (18,4)

(18,5)

eh . 2tto dt>. (18,6)

da = 2x tf:/) dy.d l (18*7)

r 18. fi. RSZECSKK SZRSA 73

lehet (amint ez ltalban lenni is szokott).3 G yakran nem a dy elemi skszgre, hanem a dQ elemi trszgre vonatkoztatjuk do-1, A % s %+d% nylsszg kpok kztti lrszg dQ - 2t sin % dy. Ezrt (18,7)-bl:

keresztm etszetnek a szrdsi szgtl val fggst tmegkzpponti rendszerben adja meg. A hatskeresztmetszetnek a laboratriumi rendszerben mrt (9 szrdsi szgtl val fggst gy kapjuk meg, hogy a (18,7) kpletben ;-t a (17,4) sszefggs alapjn >-val fejezzk ki. gy a szrskeresztmetszet megkaphat mind a bees rszecskk nyalbjra (jr-t

74 IV. RSZECSKK TKZSE

Ide (l,7)-et vagy (18,8)-at berva:, 7ta- . ,da = - - srt x dl = dQ (I)

vagyis a szrs C rendszerben izotrop. A da-1 trszg szerint integrlva, teljes szrst keresztmetszetknt a = -ur addik. Ez sszhangban van azzal a tnnyel, hogy az tkzs szempontjbl hatsos fellet megegyezik a gmb keresztmetszetvel.

Az L rendszerre val ttrs esetn jf-t (17,4) szerint ^gyel kell kifejezni. A szmtsok teljesen hasonlak, mint a 16. 2. feladatban [lvn (17,4) s (16,5) alakilag hasonl]. Ha -e mt (itt m i a rszecske tmege, m2 a gmb tmege):

da. = --

. fit 11 H cos 26>,

2 cos , +Ml*V i - 4f wl sin2

(j = 2a sin 0 L ,). Ha viszont ms -= ? akkor

? l + cos 2!dal =

l / 1 - -" ! Sin f l , r mm* = esetn pedig:

d e , - - | COS ! [ d f l , ,

amit (I)-bl a x = 2 t helyettestssel kzvetlenl is megkaphatunk (17,9) szerint.A kezdetben nyugv gmbre mindig x ~ 71 ~2& s. {l)-be helyettestve:

do% a? | cos 0 21 d j .

2- Ugyanerre az esetre fejezzk ki a hatskeresz [metszetet a szrd rszecskk a energiavesztesgvel.

Megolds. Az m t rszecske ltal elvesztett energia megegyezik az ms rszecske ltal felvett energival. (17,5) s (17,7) szerint:

a h o n n a n

2m]nu 2 . i x

de - j sin x dx-

2 '

Ezt berva az 1 . feladat (I) sszefggsbe:

dv = na-

18, . RSZECSKK SZRSA 75

Megolds. (10,3) szerint, ha a potencilis energia k = n rend homogn fggvny, akkor a t

hasonl plykra a , vagy

IP 9 =r f{x )

elhajls x szge a hasonl plykra azonos), Berva ezt (I8,6)-ba, azt kapjuk, hogy

da ^ pM " rf.

4. Hatrozzuk meg a hatskeresztmetszetet, ha a rszecskk az = - - - ertr centrumbat*

esnek be.Megolds. A centrumba azok a rszecskk esnek be, amelyekre teljesl a 2 a > felttel

(lsd a

76 IV. RSZEC SK K TK ZSE

6, Hatrozzuk meg az tmeg rszecske m2 tmeg s R sugar gmb alak test felletre val beessnek a hatskereszlroetszett. ha a klcsnhats a Newton-fle tmegvonzs.

Megolds. A beess felttele az, hogy rmln R teljesljn, ahol rn a rszecske plyjnak a gmb kzppontjhoz legkzelebb es pontja. A legnagyobb megengedett o rtket az r,ril, = iR felttel hatrozza meg, ami az Urf,{R) = vagy az

a _R - R 2

egyenlettel egyenrtk, ahoi a = ym tau iy a gravitcis lland), s m s= vettnk, felttelezve hogy mx m t. Ebbl meghatrozva oi 171lT-ot:

\ Ri\ I

A 00 esetben a hatskeresztmetszei termszetes mdon a gmb geometriai keresztmetszetheztart.

7. Hatrozzuk meg a szr tr f/(r) alakjt, ha adott E energia mellett ismeretes a hatskereszt metszetnek a szrdsi szgtl val fggse. Tegyk fel, hogy U{r) az r-nek monoton cskken fggvnye (taszt tr), tovbb C/(0) =* E, U{) 0 (O. B. Firszov, 1953).

Megolds. Az tkzsi paramter ngyzett meghatrozza cfa-nak a szrdsi szg szerint kpezett integrlja:

f da--!> (I)

X

gy a g (%) tkzsi paramter s vele egytt a fggvny is ismertnek tekinthet.Vezessk be a kvetkez jellseket:

- b - ?

Ezekkel a (18,1) s (18,2) kpletek a

T-/C.V) _ [ ds2

alakba rhatk, ahol i(Jt) az

:) f d s_~~ J Yxwi-s*

i)

-rx'-Hi,)- sf, - 0

(3)

egyenlet gyke.A (3) integrlegyen le; a h>(s) fggvnyre; a 12. -ban hasznlt mdszerhez hasonl mdszerrel

oldhatjuk meg. Osszuk e (3) mindkt oldall V a ,t -szel, s integrljuk dx szerint nulltl a-ig;

* , 1 ru

Pifferenciljuk a kapn sszefggst * szerint, ezutn rjunk *() helyen egyszeren j-et, majd enneks':

megfelelen helyettestsk a-i -nel, vgl z egyenlsget differencilokra felrva:W1sUtv*

f 5 =

19. . A RUTHERFORD-SZRS 77

vagy

K -

Ezt az egyenletet kzvetlenl integrlhatjuk, ha megcserljk a jobb oldalon a dx s d | - j szerinti

integrls sorrendjei. Figyelembe vve, hogy az -- 0 rtknl (azaz ha r *o), w = I kell, hogy legyen (azaz U 0). s visszatrve az eredeti r s o vltozra, megkapjuk a vgs eredmnyt (kt ekvivalens tormban):

/ 1 f ~ r- j \ I 1 f XKJ) dt \ .m' - exp I I arcn dn 1 = exp f - I ~r~ ' I (4)l t .1 j'w do I l f J \ o'- - r'-w1 f

Ez a formula hatrozza meg implicit alakban (/ ) fggst [s ezzel Cy

vagy figyelembe vve* hogy (18,1) szerint

19. . A RUTHERFORD-SZRS 79

l a rszecskknek nemcsak a tmege egyenl, hanem mindenben azonosak, akkor az tkzs utn nincs rtelme annak a megklnbztetsnek, hogy melyik volt a kezdetben nyugv, s melyik a kezdetben mozg rszecske. A rszecskkre egytt gy kapjuk meg a hatskeresztmetszetet, hogy sszeadjuk doi-zt s da2-1, &i s &% helyett pedig a kzs 6 rtket rjuk :

* " ( ! ' , ) ' ( s , n ' + C O S 0 d l

Trjnk vissza az ltalnos (19,2) kplethez, s hatrozzuk meg segtsgvel a szrt rszecskk eloszlst az tkzsben elvesztett energijuk szerint. A szrd s a szr rszecskk m u illetve m-> tmegnek tetszleges arnya esetn a szr rszecske a C rendszerben a szrsi szggel kifejezve, a kvetkez sebessgre tesz szert:

, 2m i . tv = r slnmi+W 'i 2

[lsd a (17,5) kpletet]. Ennek megfelelen az az energia, amelyet az m2 rszecske szerez, az rrtt rszecske pedig ugyanakkor lead:

2m 1 . , y' = - 2 - = m i Sln 2

yInnen sin -t ?-nal kifejezve s ( 19,2)-be helyettestve;

cIf,d 0} trben trtn szrs hats keresztmetszett,

Megolds. Az el trl s szge:

8 0 IV. RSZECSKK TKZSE

A hatsk ereszt metszet:

da 2 rr'-a d i

2. Adjuk meg a szrsi keresztmetszetet a sugar s l/ mlysg gmbszimmetrikus ,,potencil- vlgyn trtn szrdsra (ez olyan tr, amelyre U = 0, ha t =* a; (J = - / 0, ha r = a).

Megolds. A rszecske egyenes vonal plyja megtrik" a gdrbe val be- s kilpsnl. A 7. feladata szerint a beess * s a trs f szge {21. bra) kztt a

sin sin p

- , H = j / 1 + 2tV,>2

sszefggs ll fenn. Az el trls szge x - 2(a-^} . Ezrt:

sn(at-y/2) % . / 1------ : - = cos *- - ctg a. sin * = -sin ct 2 2 jj

Kszbljk ki -i ebbl az egyenlsgbl az. bra szerint nyilvnval

a sin tx =

sszefggs felhasznlsval; o s x kztt a

n! f I - 2u cos

kapcsolatot nyerjk. Vgl ezt az egyenlsget differencilva, megkapjuk a hatskeresztmetszetet:

dn =4 cos f (I + rr 2n cus ) '

A X szs nulltl (p = 0 esete) a xx {o - a esete) rtkig vltozik; a legnagyobb rtket a

20. . KISSZG SZRS 81

egyenlsg hatrozza meg.A teljes batskereszlmetszet, amelyet az impulzus y tengely irny teljes nvekmnye:

= [ f y

g2 IV. RSZECSKK TKZSE

{v^ sebessggel) mozogna. Ennek megfelelen helyettestsk a (20,2)-be azd V q d x

Fy = - - - , ? = -----dr r rx

kifejezseket:

dx, q C d V dxJ "t/7 TVgl a /a: szerinti integrlsrl trjnk t a r szerint vgzett integrlsra. Mivel

egyenes plyra r2 xs -f-p2, mikzben x a -tc>l + * -ig vltozik, r a -tl g-ig fut, s aztn jbl > -jg. Ezrt a dx szerinti integrl a dr szerint p-tl -ig vett integrl ktszeresbe megy t, s a

r drdx = .

f a - q *helyettestst kell elvgezni,

Vgl a (20,1) szrdsi szgre a kvetkez kifejezst* kapjuk:

1 = - A - [ dt * . (20.3)J dr Y r 'Q1Q

Ez hatrozza meg kis eltrlsekre 0 r nek a g-tl val keresett fggst. A hats- keresztmetszetet ugyanolyan kplet adja meg, mint (18,8), csak % helyett i-gyel helyettesthet:

do j p ( @ i )- d& - i - (20>4>

Feladatok

1- Vezessk le a (20,3) kpletet (18,4)-b1.Megolds. Hogy elkerljk a ksbbiekben ltszlagosan divergl integrlok megjelenst, rjuk

a (18,4) integrlt

dod c ,r o* 2 UJ V 1- - - r *

* Ha ugyanezt a levezetst a C rendszerben hajijuk vgre, akkor -re ugyanilyen kifejezst kapunk* csak /Jj helyett m szerepel, annak megfelelen, hogy kis j s x szgekre (17,4) szerint a kvetkez sszefggs ll fenn:

20. . K1SSZG SZRS 83

alakba, ahol a fels hatr egy nagy, de vges /frtk, amellyel aztn az R - hatrtmenetet hajtjuk vgre- Mivel U kicsi, fejtsk sorba az integrandust U hatvnyai szerint, s r,,n-ot kzeltsk o-val:

ri> clr ^ S p V (r) df

1 / 1 2 lA. F

Az els integrl az

V. F E J E Z E T

K IS R E Z G S E K

21. . Egydimenzis szabad rezgsek

A mechanikai rendszerek mozgsnak igen gyakori tpust kpviselik az gynevezett kis rezgsek, amelyeket a rendszerek stabil egyenslyi llapotuk kzelben vgeznek. E mozgsok vizsglatt azzal a legegyszerbb esettel kezdjk, am ikor a rendszernek egyetlen szabadsgi foka van.

Az anyagi rendszer stabil egyenslyi llapota olyan, amelyben az U{q) potencilis. d V

energinak minimuma van, Az ilven helyzetbl val kitrs - er fellpsredq

vezet, s ez az er az anyagi rendszert visszatrsre kszteti. Jellje az egyenslyi helyzetnek megfelel ltalnos koordintt qn. Az egyenslyi helyzet kis krnyezetben a z U{q)~U(qQ) klnbsget q qo szerint hatvnysorba fejtve, elg az els el nem tn tagot megtartani. Ez ltalban msodrend:

V { q ) -U (q a) ^ * (q -q o )2,

ahol k pozitv egytthat [az U"(q) msodik derivlt rtke a q ~ helyen]. A tovbbiakban a potencilis energit a minimlis rtkhez viszonytjuk [azaz U(qo) = (M vesznk]* s bevezetjk az

x = q -q a (21J)

jellst a koordintk egyenslyi helyzettl val eltrsre. gy teht

Az egy szabadsgi fok rendszer kinetikus energija ltalnos esetben:

'2 q)q- = afti-

alak. A fenti kzeltsben az a(q) fggvnyt egyszeren a q = qa helyen felvett rtk-vei helyettesthetjk. Vezessk be a rvidsg kedvrt az

a(qo) = m

jellst; gy az egydimenzis kis rezgst vgz rendszer2 Lagrange-fggvnyre v g l a kvetkez kifejezst kapjuk:

. _ m x! kx- ~ ~2 2 '

21. . EGYDIMENZIS SZABAD REZGSEK 85

(21,3)

Ennek megfelelen a mozgsegyenlet:

m x-rk .v = 0, (21,4)

vagy

x + qjPx = 0 , (2 1 ,5 )

ahol bevezettk az

= l / l (21,6) \ m

jellst. A {21,5) lineris differencilegyenlet kt fggetlen megoldsa cos a>t s s in ait, igy az ltalnos megolds:

,v c [ cos (of+c-jsin v)t. (21,7)

Ezt a kifejezst

A = G C S ( ( n t + a . ) ( 2 1 ,8 )

alakba is trhatjuk. Mivel cos (ntt + x) cosf-u cos a sin o>t sin a, a (21,7) kplettel val sszehasonlts azt mutatja, hogy az a s x tetszleges llandk a kvetkez sszefggsben llnak a c\ z llandkkal:

a - l 'f-t-r , tg % = 12 . (21,9)c J

gy teht a rendszer a stabil egyenslyi llapota kzelben harmonikus rezgmozgst vgez, A (21,H)-ban szerepl a tnyezt a rezgs amplitdjnak, a szgfggvny argumentumt pedig a rezgs fzisnak nevezzk; % a fzis kezdeti rtke, amely nyilvnvalan attl fgg, hogyan vlasztjuk az idszmts kezdpontjt. o> a rezgs krfrekvencija; az elmleti fizikban azonban gyakran csak egyszeren frekvencinak hvjk; a tovbbiakban mi is ezt az elnevezst hasznljuk,

1 Hangslyozzuk azonban. hog> >n csak akkor egyedik meg a rszecske tmegvel, ha x a rszecske Descartcs-koortJinaija.

' Az ilven rendszer* gyakran egydimenzis mzciUtornak nevezzk.

86 V. KIS REZG SEK

A frekvencia a rezgs alapvet jellemzje; nem fgg a mozgs kezdeti feltteleitl. A (21,6) kplet szerint a frekvencit a mechanikai rendszer sajtsgai nmagukban teljes egszben meghatrozzk. Hangslyozzuk azonban, hogy a frekvencinak ez a tulajdonsga sszefgg a rezgs kicsisgrl tett feltevsnkkel, magasabb kzeltsre ttrve mr nem lesz igaz. M atematikai szempontbl a kapott eredmny azzal kapcsolatos, hogy a potencilis energia a koordintk ngyzetes fggvnye.1*

A kis rezgst vgz rendszer energija:

nix- k\'~ rn

vagy a (21,X) kpletet felhasznlva .

E - mra- , (2J, 10)

Az energia a rezgs amplitdjnak ngyzetvel arnyos.A rezg rendszer koordintinak az idfggst gyakran clszer egy komplex

kifejezs vals rszeknt ellltani:

v = Re {Aei l (21.11)

ahol A komplex lland, amelyet

A = ae" (21,12)

alakba rva, visszakapjuk a (21,S) kifejezst. A z A llandt komplex amplitdnak nevezzk; ennek abszolt rtke megegyezik a szoksos amplitdval, fzisszge pedig a kezdeti fzissal.

Az exponencilis fggvny matematikailag knnyebben kezelhet, mint a trigonometrikus fggvnyek, mivel differencilsnl nem vltoztatja meg az alakjt. Emellett, ha lineris mveleteket vgznk (sszeads, llandval val szorzs, differencils, integrls), akkor a vals rszt a szmtsok vgs eredmnyn kpezhetjk.

Feladatok

1. Fejezzk ki a rezgs amplitdjt cs kezdeti fzisl a koordinld s a sebessg r kezdeti rtkvel.

Vlasz;

(i I A ' 1 o tnc'K az x -- 0 helyen magasabb rend minimuma

van. azaz y ^ y . 2 t lsd a 11. $ 2a feladatot).

:21. EGYDIMENZIS SZABAD REZGSEK 87

1. Adjuk meg kt ktatomos molekula w s m' rezgsi frekvencijnak viszonyn, ha a molekulk klnbz izotpok atomjaibl llnak; legyen az atomok tmege m, s m3, illetve mi s m't .

Megolds, Mivel az izotpok atomjainak, klcsnhatsa azonos jelleg, k k , A molekulk kinetikus energijban szerepl m tnyez az atomok reduklt tmege. Ezrt (21,6) szerint:

oS _ t + ni.)oj i nrt)

3. Adjuk meg annak az m tmeg testnek a rezgsi frekvencijt, amely egy egyenes mentn mozoghat, s egy rug kti ssze (22. bra) az egyenestl / tvolsgra lev A ponttal. Az / hosszsg rugt f r feszti.

Megolds. A rug potencilis energija (magasabb rend kis mennyisgektl eltekintve) egyenl az F ernek s a rug l megnylsnak szorzatval. Ha je l, akkor

hl = V F + x1- 1 k ,

Fx w x2teht U = . Mivel a kinetikus en erg ia-----t21 2

22. bra 23. bra

4. Ugyanazt a feladatot oldjuk meg, mint a 3. feladat, ha az rrt pont az r sugar krn mozoghat (23. bra).

Megolds. Ebben az esetben a rug megnylsa (ha p 1):

l - | 'rv+ - 2r(l^-r) cos(f -1 ^

A kinetikus energia: K ^ . Ebbl a frekvencia:

= 1 f'F{r+t) r rm

5. Adjuk meg a 2, brn lthat inga lengseinek frekvencijt; az inga mx tmeg felfggesztsi pontja vzszintes irnyban elmozdulhat.

88 V. KIS REZGSEK.

Megolds. Ha = V -------;----1

6. Egy inga a nehzsgi ertrben valamilyen grbe mentn lengseket vgez. Ismeretes, hogy a lengsid fggetlen a kitrstl. Hatrozzuk meg a grbe alakjt.

Megolds. A megadott feketinek az a grbe tesz eleget, amelynek mentn a rszecske potencilis

enerfia U = , ahol s az egyenslyi helyzettl szmtott vhossz; ekkor a kinetikus energia

Ezt az egyenlsget gy clszer integrlni, hogy elvgez