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Lattice-Boltzmann-MethodeGrundlagen der numerischen Strömungssimulation
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Lattice-Boltzmann-Methode • Seminar Themen aus dem Gebiet Technische Informatik • Niklas Schultheiß • 8. Fachsemester • Bachelor A. Info 06.07.2016
Seminar Themen aus dem Gebiet Technische InformatikNiklas Schultheiß
Betreuung: Sarah Neuwirth
Gliederung
• 1. Numerische Strömungssimulation
• 2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)
• 3. Die Lattice-Boltzmann-Methode
• 4. Die Umsetzung der Boltzmann-Gleichung
• 5. Simulation
• 6. Fazit
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Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016
Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
1. Numerische Strömungssimulation
• Verfahren mit dem Gase und Flüssigkeiten simuliert werden sollen
• Hintergrund: Probleme, die analytisch schwer oder gar nicht lösbar sind
• Problem: • je aussagekräftiger das Ergebnis, desto höher der Rechenaufwand
• Lösung:• Parallelisierungsmechanismen
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Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016
Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)
• LGCA = Lattice-Gas-Cellular-Automata
• Grundlage der Strömungssimulation nach Boltzmann
• Kinetische Gastheorie als physikalische Grundlage
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2.1. Die kinetische Gastheorie
• Viele einzelne Molekülen
• Moleküle nur durch häufige kinetische Stöße miteinander in Verbindung
• Andere Kräfte werden vernachlässigt
• Makroskopische Eigenschaften auf kinetische Interaktion der Teilchen zurückgeführt
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Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016
Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2.2. Funktionsweise der LGCA
• Simulation von Flüssigkeit oder Gas
• Bewegung und Kollisionen von Teilchen werden berechnet
• Moleküle:• voneinander nicht unterscheidbar
• massenäquivalent
• nur eine mögliche Geschwindigkeit
• Simulierter Raum wird als Gitter dargestellt• Zwischen Knoten: Bewegung der Teilchen
• An den Knoten: Kollision der Teilchen
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2.2. Funktionsweise der LGCA
• Beispiel einfaches Gitter:
• zweidimensional
• 4 Nachbarknoten
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Abb. 1.: „Einfaches Gitter“ (verändert nach VOLK, T., 2016)
Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016
Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2.2. Funktionsweise der LGCA
• Berechnung der Kollision
• Neue Bewegungsrichtungen
• Kollisionsregeln• Massenerhaltung
• Energieerhaltung
• Impulserhaltung
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
2.3. FHP-Modell
• Problem bei Beispielgitter:
• Unzureichende Symmetrie => Anisotropie
• Lösung: FHP-Modell
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Abb. 2.: „FHP-Modell“ (verändert nach VIGGEN, E., 2009)
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2. Gittergas-Zellulär-Automaten (LGCA)
• Gute Methode um Strömungen in Fluiden darzustellen
• Nachteil: feste Bahnen und nur ein Molekül pro Bahn
Statistisches Rauschen
Kann erst in sehr großen Systemen beigelegt werden
Für diese System mit LGCA-Ansatz Rechenaufwand zu groß
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3. Die Lattice-Boltzmann-Methode
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
3.1. Die Boltzmann-Gleichung
• Auch auf Basis der kinetischen Gastheorie
• Nur „ideale“ Gase
• Mikroskopisch gleiche Rahmenbedingungen wie Gittergase
• Unterschied:• Nicht jedes Teilchen muss einzeln berechnet werden
• Fortsetzung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
3.1. Die Boltzmann-Gleichung
• 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡
Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen zur Zeit 𝑡 mit der Geschwindigkeit 𝑐 an Ort 𝑥 befindet
• Verteilungsfunktion unabhängig von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten anderer Teilchen
• 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐
Wahrscheinliche Anzahl an Molekülen die sich zu einem Zeitpunkt 𝑡zwischen den Orten 𝑥 und x + 𝑑𝑥 befinden und eine Geschwindigkeit zwischen 𝑐 und 𝑐 + 𝑑𝑐 besitzen
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3.1. Die Boltzmann-Gleichung
• Ortsveränderung:
• 𝑥 + 𝑐 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 +𝑑𝑥
𝑑𝑡∗ 𝑑𝑡 = 𝑥 + 𝑑𝑥
• Geschwindigkeitsveränderung:
• 𝑐 + 𝑎 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 +𝑑𝑐
𝑑𝑡∗ 𝑑𝑡 = 𝑐 + 𝑑𝑐
• Fortsetzung der Teilchenanzahl ohne Kollisionen• 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑐 + 𝑑𝑐, 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐 = 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐
• Kollisionsoperator• 𝐶 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑐𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑐 + 𝑑𝑐, 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐 − 𝑓 𝑥, 𝑐, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑐
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3.2. Der BGK-Operator
• Vereinfachung des von Boltzmann entwickelten Kollisionsoperators
• 𝐶𝐵𝐺𝐾 𝑓 = −𝑓−𝑓𝑀
𝜏
• 𝑓 ist Verteilungsfunktion am Ausganspunkt
• 𝑓𝑀 ist die entsprechende Maxwellverteilung
• 𝜏 ist Relaxationszeit
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4. Umsetzung der Boltzmann-Gleichung
• Diskretisierung von Ort, Zeit und Geschwindigkeit
• Orte 𝑥 und 𝑥 + 𝑑𝑥 durch Koordinaten der Knoten ersetzt
• Iterationsschritte als diskrete Zeitschritte
• Teilchen können sich in einem Zeitschritt nur von einem Knoten zum nächsten bewegen
=> Nur eine mögliche Geschwindigkeit
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4.1. D2Q9-Gitter
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Abb. 3.: „D2Q9-Gitter“ (verändert nach CROUSE,B., 2003)
• D2Q9-Gitter zur Erläuterung der Umsetzung der Boltzmann-Gleichung
• 8 Nachbarknoten
• Möglichkeit, dass ein Teilchen keine Geschwindigkeit besitzt• 9 mögliche Bewegungsrichtungen
• Bewegungsrichtungen durchnummeriert
• Kartesische Koordinaten• Diagonale Strecken länger
• => Gewichtungsfaktoren 𝑤𝑖
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Numerische Strömungssimulation – LGCA – Lattice-Boltzmann-Methode – Umsetzung der Boltzmann-Gleichung – Simulation – Fazit – Literatur
4. Die Umsetzung der Boltzmann-Gleichung
• Dichte:
• 𝑝 𝑥 = σ𝑖=08 𝑓𝑖(𝑥)
• Makroskopische Geschwindigkeit
• 𝑢 𝑥 =1
𝑝∗ σ𝑖=0
8 𝑓𝑖 ∗ 𝑐𝑖
• Vereinfachte diskrete Maxwellverteilung
• 𝑓𝑖𝑒𝑞 𝑥 = 𝑤𝑖 ∗ 𝑝 𝑥 ∗ 1 + 3 ∗
𝑐𝑖∗𝑢 𝑥
𝑐2+
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2∗
𝑐𝑖∗𝑢 𝑥2
𝑐4−
3
2∗𝑢(𝑥)2
𝑐2
• Diskrete Boltzmann-Gleichung (auch Lattice-Boltzmann-Gleichung)
• 𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 ∗ Δ𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡 −1
𝜏∗ 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡 − 𝑓𝑖
𝑒𝑞(𝑥, 𝑡)
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5. Simulation
• Algorithmus der diskreten Boltzmann-Gleichung umsetzt• Fortbewegung:
• 𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 ∗ Δ𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑓𝑖 𝑥, 𝑡
• Kollision:
• Diskrete Boltzmann-Gleichung
• Abwechselndes Durchführen von Fortbewegungs- und Kollisionsschritt
• => Simulation eines Fluids/Gases
• Gilt bis jetzt nur für Stoff mit unendlichem Volumen und mit dynamischem Anfangszustand
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5.1. Randbedingungen
• Feste Randbedingungen
• Kein Durchlass von Teilchen
• Erhaltungssätze müssen gewahrt bleiben
• Tangentiale Geschwindigkeit = Wandgeschwindigkeit
• Offene Randbedingungen
• Durchlass von Teilchen
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5.2. Bounceback-Verfahren
• Möglichkeit feste Randbedingungen zu realisieren
• Bei Zusammenstoß wird Geschwindigkeitsvektor invertiert
• Nachteil: Nur bei Rändern ohne Eigengeschwindigkeit möglich=> Neumann-Bedingung
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Abb. 4.: „Bounceback-Verfahren“ (verändert nach TÖLKE, J., 2001)
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5.3. Periodische Randbedingung
• Möglichkeit offene Randbedingungen zu realisieren
• Offene Enden des Gitters werden zusammengelegt
• Nachteil: Strömungsbild kommt nicht in beständigen Zustand
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Abb. 5.: „Periodische Randbedingung“ (verändert nach KUZKIN, V., 2014)
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6. Fazit
• Lattice-Boltzmann-Methode
• Gute Methode um Strömungsprozesse zu simulieren
• Diskretisierung von Kollisionsoperator und Maxwellverteilung
• 2D noch relativ simpel
• 3D erheblich komplexer und aufwändiger
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Lattice-Boltzmann-Methode • Niklas Schultheiß • 06.07.2016
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7. Literaturverzeichnis
• BOLTZMANN, L. (1995): Lectures on Gas Theory. New York: Dover Publications
• CROUSE, B. (2003): Lattice-Boltzmann Strömungssimulationen auf Baumdatenstrukturen. Dissertation
• KIM, S. & PITSCH, H. (2009): On the lattice Boltzmann method for multiphase flows. Center for Turbulence Research
• KRAFCZYK, M. (2001): Gitter-Boltzmann-Methoden: Von der Theorie zur Anwendung. Habilitationsschrift
• SUKOP, M. & THORNE, D. (2005): Lattice Boltzmann Modeling – An Intorduction for Geoscientists and Engineers. Springer
• TÖLKE, J. (2001): Gitter-Boltzmann-Verfahren zur Simulation von Zweiphasenströmungen. Aachen: Shaker Verlag
• WOLF-GLADROW, D. (2000): Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models - An Introduction. Springer
• YANG, Z. (2007): Analysis of Lattice Boltzmann Boundary Conditions. Dissertation
• ZHENG, H., SHU, C. & CHEW, Y. (2006) : A lattice Boltzmann model for multiphase flows with large density ratio. Journal ofComputanional Physics
• KUZKIN, V. (2014): On angular momentum balance for particle systems with periodic boundary conditions. Online unter http://arxiv.org/pdf/1312.7008.pdf (abgerufen am 17.06.2016)
• VIGGEN, E. (2009): The Lattice Boltzman Method with Applications in Acoustics. Online unter http://wiki.palabos.org/ media/hosted doc:viggen masters 09.pdf (abgerufen am 15.06.2016)
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8. Abbildungsverzeichnis
• Abb. 1.: „Einfaches Gitter“verändert nach VOLK, T., 2016 online unter http://www.my-volk.de/mc/html/node5.html (abgerufen am 15.06.2016)
• Abb. 2.: „FHP-Modell“Verändert nach VIGGEN, E. (2009): The Lattice Boltzman Method with Applications in Acoustics. Online unter http://wiki.palabos.org/ media/hosted doc:viggen masters09.pdf (abgerufen am 15.06.2016)
• Abb. 3.: „D2Q9-Gitter“verändert nach CROUSE, B. (2003): Lattice-Boltzmann Strömungssimulationen auf Baumdatenstrukturen. Dissertation
• Abb. 4.: „Bounceback-Verfahren“verändert nach TÖLKE, J. (2001): Gitter-Boltzmann-Verfahren zur Simulation von Zweiphasenstr¨omungen. Aachen: Shaker Verlag
• Abb. 5.: „Periodische Randbedingung“verändert nach KUZKIN, V. (2014): On angular momentum balance for particle systems with periodic boundary conditions. Online unter http://arxiv.org/pdf/1312.7008.pdf (abgerufen am 17.06.2016)
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