Le khi-2 ou khi-carré

Teste la similitude de 2 ou plusieurs distributions

Exemple d’application

3 études 3 traitements 3 échantillons

Pour que la comparaison des traitements soit valide, il faut que les 3 échantillons soient semblables

Le X² va permettre de comparer la distribution d’un caractère chez les différents échantillons

Les étapes du test

1. Énoncer les hypothèses H0 et H12. Définir des classes et calculer les fréquences observées3. Calculer les fréquences théoriques espérées4. Calculer le X²5. Comparer le X² calculé avec le X² de la table

H0 et H1

H0 : Il n’existe aucune différence entre les fréquences d’occurrence (ou pourcentage) observées chez les groupes étudiés.

Définition de classes

204520> 28°

25453024< � <28°

354050< 24 °

Etude 3Etude 2Etude 1Angle �

Les fréquences espérées

TotalGrandcolonneTotalligneTotalfe .

).().( ×=

Le tableau de contingence

Grand Total31080130100

Totaux Colonnes

852021.94

4535.65

2027.42

� > 28°

1002525.81

4541.94

3032.26

24°<�<28°

1253532.26

4052.42

fo= 50fe= 40.32

� < 24°

Totaux Lignes

Groupe 3Groupe 2Groupe 1�

Le X² calculé

�−= fe

fefoX )²(²

Ici le X² calculé est de 10.539à comparer avec le X² théorique

Les X² théoriques

Distributions du X² pour différents DDLMoyenne = nombre de DDLMode = nombre de DDL -2

Les degrés de liberté

)1()1( −⋅−= colonneslignesDDL

C3C2C1Totaux colonnesL3###(3)L2#dc(2)L1#ba(1)

Totaux lignes(3)(2)(1)

Régions d’acceptation et rejet

1. Accepter H0 si le X² calculé < au X² théorique2. Rejeter H0 si le X² calculé > au X² théorique

Table de X² et résultat

10.539 > 9.488donc H0 est rejetée auseuil 0.005

L’ajustement analytique

Pour déterminer si un échantillon suit une distribution particulière.

Exemple des attaches

300TOTAL

70E

70D

45C

65B

50A

Nombre de décollements

Modèles

Les hypothèses

H0 : Le modèle n’influe pas sur le décollement.Avec pour chacun des 5 modèles une espérance de 60 décollements (300/5), la distribution est dite uniforme.

H1 : Le modèle influe sur le décollement et donc la distribution n’est pas uniforme.

Le calcul du X²

X²=9.1680300300Sommes

1.667100106070E

1.667100106070D

3.750225-156045C

0.4172556065B

1.667100-106050A

(fo-fe)²/fe(fo-fe)²fo-fefedécollements (fo)Modèle

Comparaison des X²

1. DDL = 42. Seuil � = 0.053. X² théorique = 9.488

Comme 9.168 > 9.488 on accepte HO

Tableau de contingence 2 x 2

Destinés à tester l’indépendance de 2 facteurs:

Plusieurs approches statistiques:1. Par le calcul des probabilités2. Par le Chi-deux

Exemple des naissances

20010595Total

1548569>=3kg

462026< 3kg

TotalMultiparesPrimiparesPoids à la naissance

Les degrés de liberté

FixéFixéFixé

FixéDéduitDéduit

FixéDéduitCalculé

Donc un seul degré de liberté

Le calcul simplifié

0.2134.15154-73.15= 80.85852 -2

0.2354.1595-21.85= 73.15692 - 1

0.7134.1546-21.85= 24.15201 - 2

0.7884.1521.85261 - 1

(fo-fe)²/fefo-fefefoCase

949.1)²(² =−=� fefefoX

La significativité

Le X² théorique pour 1 DDL au seuil 0.05 = 3.841

Comme 1.949 < 3.841

Ho est accepté

Introduction à l’interaction

Si Ho est rejetée, il n’y a pas d’indépendance des facteurs.

Alors toutes les analyses statistiques (corrélation, régression ...) doivent se faire par ligne ou par colonnes