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Matematicas III (GIC y GITI, curso 2015–2016)

LECCION 8. LOS TEOREMAS INTEGRALES

1. EL TEOREMA DE GREEN

El denominador comun de los teoremas integrales que trataremos en esta leccion es que establecenla igualdad, bajo ciertas condiciones, entre la integral de una funcion en una region y la integralde otra funcion relacionada con la anterior en el borde de dicha region. En cierto modo, sonextensiones de la regla de Barrow que, al fin y al cabo, nos dice que podemos calcular la integral deuna funcion en un intervalo [a, b] evaluando una primitiva en la frontera del intervalo: los extremosa y b. Veremos tres teoremas integrales, segun que la region sea plana (el teorema de Green), unasuperficie en el espacio (el teorema de Stokes) o un solido en el espacio (el teorema de la divergenciade Gauss-Ostrogradski).

Estos teoremas son muy importantes en las aplicaciones de las matematicas a diversas areas de laingenierıa como iras viendo. En esta leccion, veremos como se usan estos teoremas para determinarcondiciones bajo las que un campo irrotacional es conservativo en un dominio que no sea convexo.

Esta primera seccion la dedicamos al teorema de Green, el cual establece que, bajo ciertas condi-ciones, se da la siguiente igualdad entre una integral doble y una integral de lınea en el plano∮

C

P dx + Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy,

donde D es una region acotada del plano y C es la curva cerrada que forma su frontera.

Definiciones y comentarios. Para la validez de la igualdad se necesitan dos tipos de hipotesis.En primer lugar, hipotesis sobre P y Q que garanticen la existencia de las integrales que aparecen.Habitualmente se considera que P y Q son de clase C1. En segundo lugar hay que imponer condi-ciones de tipo geometrico sobre el recinto D y su curva frontera C, concretamente supondremosque C es una curva de Jordan (o sea, cerrada y simple) regular a trozos. Puede demostrarse (yno es nada elemental aunque sea intuitivamente muy claro) que toda curva de Jordan regular atrozos descompone el plano en dos conjuntos conexos y disjuntos que tienen a la curva C comofrontera comun. Uno de dichos conjuntos no es acotado y se llama region exterior a C. El otrosı es acotado y se llama region interior a C, esta region interior junto con su frontera C sera laregion acotada cuya frontera es C y que representaremos por D.

Curva de Jordan C recorrida positivamente,

su region interior D y su region exterior E.

Finalmente, hay otro detalle que debemos tener en cuenta en el enunciado del teorema de Green, laorientacion de la curva C debe ser la orientacion positiva; es decir, C debe ser recorrida en sentidocontrario a las agujas del reloj, como viste en la asignatura de “Matematicas II”. Esto quiere decirque la parametrizacion considerada debe recorrer la curva dejando a la izquierda la region interior.

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104 Matematicas III (GIC y GITI, 2015–2016)

Teorema de Green para regiones limitadas por curvas de Jordan. Sea C una curva de

Jordan regular a trozos recorrida en sentido positivo. Si F es un campo vectorial de clase C1 enla region acotada D cuya frontera es C, entonces∮

C

F · dr =

∫∫D

rot(F) dA.

En otros terminos, si P y Q (las componentes de F) son campos escalares de clase C1(D), entonces

∮C

P dx + Qdy =

∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx dy.

Si aplicamos el teorema de Green al campo dado por F(x, y) = (−y, x), obtenemos una formulapara hallar el area de la region D.

Calculo del area como una integral de lınea. Sea C una curva de Jordan regular a trozos ysea D la region acotada cuya frontera es C. Entonces se tiene que

area(D) =1

2

∮C

(x dy − y dx

).

Esta forma de calcular el area de una region a partir de los valores que toma el campo (−y, x) ensu frontera es la base teorica de los planımetros que son aparatos que permiten calcular el areade una region irregular dibujada en un mapa deslizando un puntero por su frontera (mira, porejemplo, http://www.youtube.com/watch?v=QA8mOW7fvio.)

Planımetros: mecanico (izquierda) y digital (derecha)

El teorema de Green y los campos conservativos bidimensionales. En la Leccion 6 vimos

que el campo F(x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

)es irrotacional en su dominio (x, y) = (0, 0), pero no es

conservativo porque su circulacion a lo largo de la circunferencia unidad C1 vale

∮C1

F·dr = 2π = 0.

Vamos a utilizar el teorema de Green para ver que la razon esencial de la existencia de este yotros ejemplos patologicos similares es, precisamente, que su dominio tiene un agujero (el origen).Concretamente, veremos que si trabajamos en dominios sin agujeros, la irrotacionalidad de uncampo garantiza que es conservativo.

8. Los teoremas integrales 105

Conjunto simplemente conexo. Se dice que un conjunto U ⊂ R2 es simplemente conexo sipara toda curva de Jordan C contenida en U , la region acotada D cuya frontera es C verificaD ⊂ U . Graficamente, un conjunto simplemente conexo es un conjunto que no tiene agujeros. Sedice que un conjunto es multiplemente conexo si es conexo pero no es simplemente conexo.

U es simplemente conexo. V es multiplemente conexo.

Los campos irrotacionales son conservativos en conjuntos simplemente conexos. Sea

F = (P,Q) un campo vectorial de clase C1 en un conjunto simplemente conexo U ⊂ R2. Se verifica

que F es conservativo en U si, y solo si, se cumple∂Q

∂x=

∂P

∂yen U .

Como hemos visto, una region multiplemente conexa es una region con agujeros. Si queremosextender el teorema de Green para este tipo de regiones, a la integral de lınea sobre la fronteraexterior que aparece debemos anadir integrales a lo largo de curvas que aıslen los agujeros. Porsimplicidad, enunciaremos el teorema para el caso particular de un recinto con dos agujeros (comola region a la derecha en la figura anterior).

Teorema de Green para regiones multiplemente conexas. Sea U ⊂ R2 un conjunto conexocon dos agujeros cuya frontera exterior es una curva de Jordan regular a trozos C. Sean C1 y C2

dos curvas de Jordan, regulares a trozos, interiores a C y exteriores entre sı que rodean los agujerosinteriores de U . Sean P y Q dos campos escalares de clase C1 en U . Sea D la region contenida enU que es interior a C y exterior a C1 y a C2 (en color violeta en el dibujo).

Entonces se verifica∫∫D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dA =

∮C

(P dx + Qdy)−∮C1

(P dx + Qdy)−∮C2

(P dx + Qdy).

donde las tres curvas C, C1 y C2 se recorren en sentido positivo.


Corolario. Sean P y Q dos campos escalares de clase C1 en un conjunto conexo U ⊂ R2 tales

que∂Q

∂x=

∂P

∂yen U . Sean C1 y C2 dos curvas de Jordan regulares a trozos, contenidas en U ,

que no se cortan, que se recorren en sentido positivo, y tales que C1 rodea completamente a C2.Supongamos que la region anular D (en color violeta en el dibujo) comprendida entre C1 y C2 sequeda contenida en U . Entonces se tiene∮

C1

P dx + Qdy =

∮C2

P dx + Qdy.

La igualdad anterior tiene una consecuencia interesante para campos irrotacionales que no son

conservativos. Veamosla para el caso del ejemplo patologico F(x, y) =

(−y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

Supongamos que C es una curva cerrada en su dominio que no rodea al origen y sea D su region

interior. Entonces, por el teorema de Green, se tiene∮CF · dr =

∫∫Drot(F) dA = 0. Sin embargo,

si C es una curva cerrada en su dominio que sı rodea al origen y llamamos C1 a la circunferencia

unidad, entonces la igualdad del corolario anterior nos dice que∮CF · dr =

∮C1

F · dr = 2π.

En resumen, las integrales de lınea de F sobre curvas cerradas contenidas en su dominio solo puedentomar dos valores: valen 2π si la curva rodea al origen y 0 si no lo rodean.

EJERCICIOS DE LA SECCION 1

Ejercicio 1. Comprueba el teorema de Green para la circunferencia unidad y F(x, y) = (x, 2x)

Ejercicio 2. Calcula la circulacion del campo vectorial F(x, y) = (x + 3y, x − y) alrededor deltriangulo de vertices (0, 0), (2, 0) y (1, 4) usando el teorema de Green.

Ejercicio 3. Sea C la elipse de ecuacion (x/a)2 +(y/b)2 = 1. Sea F(x, y) = (−y, x). Comprueba,

para la curva C y el campo F, la igualdad dada por el teorema de Green.

Ejercicio 4. Sea C la frontera del cuarto de anillo contenido en el primer cuadrante y comprendidoentre las circunferencias de centro el origen y radios 1 y 2, respectivamente. Comprueba, para la

curva C y el campo F(x, y) = (x2 + y2 − y, 2xy), la igualdad que establece el teorema de Green.

Ejercicio 5. Calcula∫C

(ex cos(y) + xy2

)dx−

(ex sen(y) + x2y

)dy siendo C el arco de la lemnis-

cata dada por la ecuacion polar r2 = a2 cos(2θ), con θ ∈ [0, π/4].

Ejercicio 6. SeaD el semianillo que esta contenido en el semiplano superior entre la circunferenciax2 + y2 = 1 y la circunferencia x2 + y2 = 4. Sea C la frontera del semianillo D. Calcula∮Cy2 dx + 3xy dy donde C se recorre en sentido positivo.


Ejercicio 7. Sea D la region limitada inferiormente por la circunferencia unidad y superiormentepor la elipse 4x2 + y2 = 4 y C su frontera. Consideremos el campo vectorial

F(x, y) =(cos(2xy)− 2xy sen(2xy) + 2xyex

2y,−2x2 sen(2xy) + x2ex2y).

(1) ¿Es F conservativo en R2? En caso afirmativo, calcula una funcion potencial.

(2) Dado G(x, y) = (x2 + y2 + 1, y), calcula directamente la integral∮C(F+ G) · dr.

(3) Comprueba el resultado del apartado anterior usando el teorema de Green.

Ejercicio 8. Comprueba la igualdad dada por el teorema de Green en los siguientes casos.

(1) F(x, y) = (x, 1), en el cuadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1).

(2) F(x, y) = (2xy − x2, x+ y2), en el rectangulo de vertices (0, 0), (0, 2), (1, 2) y (1, 0).

(3) F(x, y) = (x2 + y2)−1(−y, x), en el anillo 0 < a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2.

Ejercicio 9. Sea F el campo dado para (x, y) = (0, 0) por F(x, y) =(x/

√x2 + y2, y/

√x2 + y2

).

(1) Prueba que rot(F) = 0 en su dominio de definicion U . ¿Se puede deducir de este resultado

que F es conservativo en U? Explica por que.

(2) Calcula una funcion potencial de F en U . ¿Se puede deducir de la existencia del potencial

que F es conservativo en U? Explica por que.

(3) Calcula

∫C

F · dr siendo C el segmento rectilıneo que va desde A = (3, 4) hasta B = (0, 2).

Consideremos ahora el campo G definido para (x, y) = (0, 0) por G(x, y) = F(x, y) + (x, 2x) y seaCR la circunferencia con centro el origen y radio R > 0.

(4) Calcula

∮CR

G · dr donde la circunferencia se recorre en sentido positivo.

(5) Sea D el anillo comprendido entre dos circunferencias Cr y CR, definidas como antes, con

0 < r < R. Calcula

∫∫D

rot(G) dxdy directamente y usando el teorema de Green.

Ejercicio 10. (1) Prueba que el campo F(x, y) = (3x2y + 3, x3 + 2y + 2) es conservativo en R2 yhalla una funcion potencial f tal que f(1,−1) = 3.

(2) Calcula la integral de lınea

∫C1

F · dr, siendo C1 el arco de la curva de ecuacion y = x3

recorrido desde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1).

(3) Considera ahora el campo G(x, y) =(y/[(x− 1)2 + y2], (1− x)/[(x− 1)2 + y2]

)y calcula

el rotacional de F+ G. ¿Puedes decir, a partir del valor del rotacional, si F+ G un campoconservativo en su dominio de definicion?

(4) Sea C2 la cardioide definida en coordenadas polares por r = 1 + cos(θ) para 0 ≤ θ ≤ 2π.

Calcula

∮C2

(F+ G

)· dr cuando C2 se recorre en sentido positivo.

Ejercicio 11. Dado el campo vectorial F =(x/(4− x2 − y2), y/(4− x2 − y2)

).

(1) Prueba que es irrotacional en su dominio de definicion.

(2) Calcula la circulacion de F sobre la circunferencia Ca con centro el origen y radio a = 2.

(3) ¿Cuales son los dominios conexos mas grandes en los que puedes garantizar que F esconservativo?


2. EL TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes es, esencialmente una generalizacion del teorema de Green a superficiesregulares de R3. En el teorema de Green la curva frontera ha de estar orientada positivamente.Para poder establecer el teorema de Stokes necesitamos dar un convenio que determine cual es elsentido adecuado en el que debemos recorrer el borde de una superficie parametrizada.

Orientaciones compatibles. Sea D ⊂ R2 una region plana simplemente conexa limitada poruna curva de Jordan regular C∗. Sea S una superficie simple y regular parametrizada por una

funcion S de clase C2(D). Sea C el borde de S (la imagen por la parametrizacion de C∗).

Orientacion y vector normal.

Si recorremos la curva C∗ en el sentido positivo, es decir, dejando la region D a su izquierda,

entonces puede comprobarse que, en la mayorıa de los casos, la parametrizacion S aplicada a C∗

induce sobre el borde C de la superficie S un sentido de recorrido que deja a su izquierda la carade S hacia la que apunta el vector normal correspondiente a la parametrizacion. Decimos en estecaso que la superficie S y su borde C tienen orientaciones compatibles.

A veces es difıcil determinar cual es la orientacion inducida en el borde C de la superficie por lacomposicion de la parametrizacion de la superficie con una parametrizacion de orientacion positivade la frontera C∗ de la region D. Existe, sin embargo, una regla geometrica sencilla que permitededucir la orientacion inducida en C sin mas que observar hacia donde apunta el vector normalunitario a la superficie. Esta regla se conoce como la regla de la mano derecha o bien la regla delsacacorchos: si se recorre C con la mano derecha con los dedos extendidos hacia adelante en elsentido de recorrido de la curva y el dedo pulgar apunta en el sentido del vector normal entonces lasorientaciones son compatibles; si el dedo pulgar y la normal apuntan en sentidos opuestos entonceslas orientaciones no son compatibles.

No obstante, existen superficies sobre las que no es posible hacer compatible la orientacion desu borde con el vector normal; se dice que estas superficies son no orientables. El ejemplo masconocido de superficie no orientable es la llamada banda de Mobius.

Banda de Mobius.

Una parametrizacion de la banda de Mobius viene dada por

S(u, v) =([a− u sen(v/2)

]cos(v),

[a− u sen(v/2)

]sen(v), u cos(v/2)

)con u ∈ [−b, b] y v ∈ [0, 2π]. Aquı, b > 0 es la semianchura de la banda y a es el radio de lacircunferencia que se obtiene al cortar la banda por el plano XY (en rojo en la figura).


Teorema de Stokes o del rotacional. Sea S una superficie orientable en R3 y F un campovectorial de clase C1 en S. Entonces∫∫

S

rot(F) · dS =

∮C

F · dr,

donde la superficie S y su borde C tienen orientaciones compatibles.

Si escribimos el campo vectorial componente a componente F = (P,Q,R) entonces el teorema deStokes se escribe en forma tradicional como∫∫

S

(Ry −Qz) dy ∧ dz + (Pz −Rx) dz ∧ dx+ (Qx − Py) dx ∧ dy =

∮C

P dx + Qdy + Rdz.

Teorema de Stokes para superficies cerradas. Si S es una superficie cerrada (que no tieneborde), como una esfera o un cubo, entonces∫∫

S cerrada

rot(F) · dS = 0.

Condiciones para que un campo irrotacional sea conservativo en el espacio. Hemosvisto como consecuencia del teorema de Green que, en el caso plano, un campo irrotacional enun conjunto simplemente conexo —sin agujeros— es conservativo. Sin embargo, tambien hemosvisto que si el dominio es todo el plano excepto un punto, entonces esto ya no tiene por que sercierto. En el caso del espacio la situacion es, paradojicamente, mas simple. Si tenemos un campoirrotacional en un dominio que es todo el espacio tridimensional salvo un numero finito de puntos,o de burbujas, entonces dicho campo es conservativo.

Superficie que envuelve un numero finito de burbujas.

Para ver esto, si tenemos una curva cerrada contenida en el dominio, entonces podemos construiruna superficie que se apoya en la curva y que no pasa por ninguno de esos puntos, o no corta aninguna de esas burbujas. El teorema de Stokes nos dice, entonces, que al ser el campo irrotacional,su integral sobre la curva cerrada vale cero y, como la curva era arbitraria, el campo es conservativo,segun vimos en la Leccion 6.

El ejemplo patologico del plano que vimos en la Leccion 6 puede extenderse a dimension 3 sin mas

que anadir un cero en la coordenada z; o sea, F(x, y, z) =(−y/(x2 + y2), x/(x2 + y2), 0

)para

(x, y) = (0, 0). Ahora el dominio de F es todo el espacio tridimensional menos el eje OZ. Es facil

ver que F es irrotacional y que su circulacion en la circunferencia unidad C1 es 2π = 0, ası que Fes irrotacional pero no es conservativo.


Analogamente a lo que ocurre en el caso del plano, veamos que las integrales de lınea de F encurvas cerradas contenidas en su dominio solo pueden tomar dos valores. Si tenemos una curvacerrada C que no rodea el eje OZ entonces podemos construir una superficie S que se apoya en

dicha curva tal que S no corta a dicho eje. Entonces∮CF · dr =

∫∫Srot(F) · dS = 0 por el teorema

de Stokes.

Superficies que rodean una recta.

Sin embargo, si tenemos una curva cerrada C que sı rodea el eje OZ entonces podemos construiruna superficie S que se apoya en dicha curva y en la circunferencia unidad C1 del plano XY y

que no corta al eje OZ. Como F es irrotacional, tenemos que∫∫

Srot(F) · dS = 0 y puede verse

facilmente usando el teorema de Stokes, que la circulacion de F en C (recorrida en sentido positivovista desde arriba) tambien vale 2π.

En general, el problema de dominios con agujeros en el plano se traslada a dominios en el espacioque rodean una o mas rectas, como el de la derecha de la figura. En estos casos, la irrotacionalidadde un campo no siempre implica que sea conservativo.


Ejercicio 1. Sea C la curva interseccion del elipsoide de ecuacion x2 + 12y

2 + z2 = 1 con el plano

y = −√2z. Aplica el teorema de Stokes para calcular

∮C

(−y + cos(ex)) dx + y dy + z dz dando

previamente una orientacion de C.

Ejercicio 2. Comprueba las siguientes igualdades usando el teorema de Stokes, explicando elsentido de recorrido de C en cada caso.

(1)∮C(y− z) dx + (z− y) dy + (x− y) dz = πa(a+2b), donde C es la interseccion del cilindro

de ecuacion x2 + y2 = a2 con el plano de ecuacion bx+ az = ab (siendo a, b > 0).(2)

∮C(y2 + z2) dx + (z2 + x2) dy + (x2 + y2) dz = 2πab2, donde C es la interseccion del

hemisferio norte de x2 + y2 + z2 = 2ax y el cilindro x2 + y2 = 2bx, siendo 0 < b < a.(3)

∮C(y2 − z2) dx + (z2 − x2) dy + (x2 − y2) dz = 9

2a3, donde C es la interseccion del plano

x+ y + z = 3a/2 con el cubo de lado a en el octante positivo.

Ejercicio 3. Dados el campo vectorial F(x, y, z) = (x2 + y − 4, 3xy, 2xz + z2) y la superficie Sdefinida por x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0 y tomando la orientacion de la superficie dada por la normal

interior a la esfera, calcula∫∫

Srot(F) · dS.

Ejercicio 4. Dados el campo F (x, y, z) =(x− y, ey, 1 + x2

)y la porcion de superficie esferica

S ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0

}con vectores normales alejandose del origen, calcula

la integral de superficie∫∫

Srot(F) · dS directamente y usando el teorema de Stokes.


Ejercicio 5. Sea C la curva interseccion del cilindro de ecuacion x2+(y−1)2 = 1 con el hemisferio

dado por x2 + y2 + z2 = 4 y z ≥ 0. Sea F el campo vectorial F(x, y, z) = (xz2, x− 2y, x2z).

(1) Halla una parametrizacion de C usando coordenadas cilındricas con respecto al centro dela base del cilindro en el plano XOY .

(2) Calcula, aplicando directamente la definicion, la integral de lınea de F en C, indicando elsentido de recorrido de la curva que tomes.

(3) Comprueba el resultado del apartado anterior usando el teorema de Stokes.

Ejercicio 6. Sea U el cono solido definido por 2√x2 + y2 ≤ z ≤ 4 y sea S la superficie exterior

de U (incluida la tapa). Sea C la curva cerrada que se obtiene al cortar S con el plano y = 1.

(1) Dado el campo F(x, y, z) = (x, y, z2), calcula la integral de lınea de F en C indicando elsentido de recorrido de la curva C que tomes.

(2) Comprueba el resultado aplicando el teorema de Stokes a una superficie adecuada.

Ejercicio 7. Sea V el solido limitado inferiormente por el cono x2 + y2 = z2 y superiormente porel cilindro x2 + z2 = 4, con z ≥ 0 en ambos casos.

(1) Utiliza alguno de los programas que se recomiendan para dibujar V .(2) Halla el area de la porcion del cono que es frontera de V (indicacion: usa coordenadas

cartesianas).

(3) Calcula

∫∫∫V

z dxdydz.

(4) Sea C la curva interseccion del cono y el cilindro con z ≥ 0. Calcula

∮C

F · dr, siendo

F = (y, yx, z), cuando recorremos C en sentido positivo vista desde arriba.

Ejercicio 8. Dado el campo vectorial F(x, y, z) =(y sen(z), x sen(z), xy cos(z)

)se pide:

(1) Determina si el campo F es conservativo en R3 y, en ese caso, calcula una funcion potencial.

(2) Calcula

∫C1

F · dr donde C1 es el tramo de la helice conica parametrizada mediante

r1(t) =(t cos(t), t sen(t), t

)con t ∈ [0, π/6].

(3) Calcula, usando el teorema de Stokes,

∫C2

(F+G

)· dr siendo G el campo vectorial definido

por G(x, y, z) =(y, x2 sen(ex)+ ey, −x2 sen(ex)+ cos(y)

)y C2 la curva interseccion de la

esfera x2 + y2 + z2 = 1 con el plano y = z recorrida en el sentido contrario a las agujas deun reloj cuando se la mira desde arriba.

Ejercicio 9. Sea C la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie esferica x2+y2+ z2 = 4

con el plano z = y + 2. Sea F el campo vectorial definido por F(x, y, z) = (x2, yz, x). Calcula la

integral

∮C

F · dr directamente y usando el teorema de Stokes, indicando la orientacion en que se

recorre la curva.

Ejercicio 10. Utiliza alguno de los programas de ordenador que se recomiendan en la leccionanterior para dibujar la banda de Mobius.


3. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS-OSTROGRADSKI

El teorema que damos a continuacion relaciona la integral triple de la divergencia de un campoextendida a un solido con la integral de superficie de dicho campo tomada sobre la superficiefrontera de ese solido que es, precisamente, una superficie cerrada.

Teorema de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia. Sea U ⊂ R3 un solido limitado por

una superficie cerrada S. Si F es un campo vectorial de clase C1 en U entonces∫∫∫U

div(F) dV =

∫∫S

F · dS,

donde la superficie cerrada S tiene orientacion exterior.

Si usamos que div(rot(F)) = 0, entonces volvemos a obtener el teorema de Stokes para superficiescerradas: ∫∫

S cerrada

rot(F) · dS = 0.


Ejercicio 1. Halla el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (x2, y2, z2) a traves de la cara exteriordel cono solido x2 + y2 ≤ z2 con 0 ≤ z ≤ 1. Comprueba el resultado usando el teorema de ladivergencia.

Ejercicio 2. Se corta la esfera x2 + y2 + z2 = 25 por el plano z = 3. La parte mas pequena esun solido V limitado por una superficie S constituida por dos partes, una esferica y otra plana.

Calcula∫∫

S(xz, yz, 1) · dS (tomando la normal exterior a S) y comprueba el resultado usando el

teorema de la divergencia.

Ejercicio 3. Sean S la superficie formada por las cinco caras superiores del cubo definido por

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 y F el campo vectorial dado por F(x, y, z) = (xy, 0,−z2). Halla∫∫SF · dS carrando el cubo y aplicando el teorema de la divergencia.

Ejercicio 4. Dados el campo vectorial F(x, y, z) = (x3, y3, z) y la superficie S dada por x2+y2 = 1

con 0 ≤ z ≤ x+ 2, calcula∫∫

SF · dS directamente y comprueba el resultado aplicando el teorema

de la divergencia.

Ejercicio 5. Sea F(x, y, z) = (1 − 2y, 2y2, 1 + x2) y sea S la superficie esferica de radio 2 en el

semiespacio z ≥ 0. Calcula∫∫

Srot(F) · dS directamente, usando el teorema de Stokes y usando el

teorema de la divergencia.

Ejercicio 6. Sea S la superficie exterior de la piramide formada por los planos coordenados y elplano x+y+ z = 1. Sea C la curva cerrada obtenida al cortar el plano x+y+z = 1 con los planos

coordenados. Sea F(x, y, z) = (xz, xy, yz).

(1) Calcula, directamente y por el teorema de la divergencia, la integral∫∫

SF·dS, considerando

en S la orientacion exterior.(2) Calcula, directamente y por el teorema de Stokes,

∮CF · dr, estando C orientada posit-

ivamente si se observa desde el exterior de la piramide.


Ejercicio 7. Sea S el trozo de la superficie del paraboloide x2 + y2 + z = 1 situado por encima

del plano XOY . Sea F el campo vectorial F(x, y, z) = (1 − y, 2y2, 1 + x2). Calcula la integral∫∫Srot(F) · dS directamente, usando el teorema de Stokes y usando el teorema de la divergencia.

Ejercicio 8. Sea U el cuarto de cono definido por√

x2 + y2 ≤ z ≤ 1 con x, y ≥ 0 y sea S la

superficie que lo envuelve. Sea G el campo vectorial dado por G(x, y, z) = (x2, y2, z2). Calcula la

integral de superficie de G en S en la direccion exterior a U directamente y aplicando el teoremade la divergencia.

Ejercicio 9. Sea S la superficie parametrizada por S(u, v) =(u cos(v), (1−u) cos(v), sen(v)

), con

u ∈ [0, 1] y v ∈ [0, π/2].

(1) Calcula el area de S.

(2) Determina el plano tangente a S en el punto P = (1/4, 1/4,√3/2).

(3) Calcula el flujo del campo vectorial F(x, y, z) =(x + y2, y + z2, z + x2

)a traves de la

superficie S (en la direccion de alejamiento del origen de coordenadas).

(4) Sea V el solido limitado por S y por los planos coordenados. Calcula∫∫∫

Vdiv(F) dxdydz.

Ejercicio 10. Sea F (x, y, z) =(x+ z + y3 − ayz, y + 3xy2 + a2xz + a3, x− 2z + xy

)un campo

vectorial que depende de un parametro a.

(1) Razona para que valores de a el campo F es conservativo en R3. Para esos valores, calcula

un potencial de F en R3 y usalo para calcular la integral∫CF · dC donde C es un camino

cualquiera que comienza en el punto (1, 0, 1) y termina en el punto (3, 0, 0).

(2) Sea S la superficie que encierra el solido V dado por

V ={(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y, x2 − y2 ≤ 1, x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 4, y, z ≥ 0

}tomada con orientacion exterior. Haciendo uso del teorema de la divergencia, calcula para

cualquier valor de a la integral∫∫

SF · dS.

Ejercicio 11. Para cada punto (x, y, z) ∈ R3, sean r su vector de posicion y r su distancia al

origen, o sea, r = xi+ yj+ zk y r = ∥r∥ =√x2 + y2 + z2. Calcula, segun los valores del numero

entero n, el flujo del campo vectorial rn r a traves de la cara exterior de la superficie esfericaunidad.

Ejercicio 12. Sea V el solido limitado por encima por el paraboloide z = 1 − 3(x2 + y2) y pordebajo por el paraboloide z = x2 + y2.

(1) Calcula el volumen de V .

(2) Calcula, directamente y usando el teorema de Stokes,∫CF·dr donde F es el campo vectorial

F(x, y, z) =(xy, xz, z

)y C es la curva interseccion de los paraboloides que definen V

recorrida en el sentido contrario a las agujas de un reloj cuando se la mira desde arriba.

(3) Sea G el campo vectorial definido por G(x, y, z) = rot(F)+(x+1, y, 2z

). Utiliza el teorema

de la divergencia para calcular∫∫

SG · dS, siendo S la superficie exterior de V .

Ejercicio 13. Sean V el tronco de cono solido dado por z ≥ 2√x2 + y2 con 2 ≤ z ≤ 4 y S

la superficie que lo envuelve. Sea G el campo vectorial dado por G(x, y, z) = (x + y, y, z2 + x).

Calcula∫∫

SG · dS directamente y usando el teorema de la divergencia, indicando la orientacion

de S que tomes.


Algunas notas historicas. El teorema de Green se suele atribuir a George Green ya que puede deducirse deotro resultado de su estudio de la teorıa del potencial (1828), aunque, de hecho, habıa aparecido ya en trabajos de

Carl F. Gauss y Joseph Louis Lagrange. La primera formulacion tal y como se usa hoy en dıa se debe a AugustinL. Cauchy (1846) y la primera demostracion rigurosa se debe a Bernhard Riemann (1851).

Uno de los ingrediente esenciales del teorema de Green es que toda curva de Jordan regular a trozos descompone elplano en dos conjuntos conexos y disjuntos que tienen a la curva C como frontera comun. Esto es intuitivamenteobvio para las curvas habituales, ası que no es extrano que nadie pusiera esto en duda hasta comienzos del sigloxix, cuando se planteo a fondo el rigor de los resultados del calculo infinitesimal. Fue Bernard Bolzano el primero

en conjeturar el resultado de manera precisa y en afirmar que no es evidente, sino que requiere una demostracion.La primera se debe a Camille Jordan en 1887, pero dicha demostracion ha estado sujeta a controversias sobre sucompletitud, aunque la idea central se considera correcta. Hoy en dıa se acepta que la primera prueba completa fue

dada por Oswald Veblen en 1905.

La formulacion del teorema de Stokes aparecio por primera vez impresa como ejercicio de un examen para el Premio

Smith de Cambridge planteado por George G. Stokes en 1854, de ahı el nombre con el que se le conoce habitualmente;sin embargo, el teorema se mencionaba ya en una carta de William Thompson (Lord Kelvin) a Stokes de 1851. Laprimera demostracion completa se debe a Hermann Hankel (1861).

Las primeras versiones del teorema de la divergencia, para casos especiales, se deben a Lagrange, en 1762, a Gauss,en 1813, y a Green en 1825. Mijaıl Ostrogradski dio la primera formulacion del resultado en 1826, aunque no lopublico hasta 1831. James C. Maxwell hizo un uso extensivo de los teoremas de Stokes y de la divergencia en sus

estudios sobre el campo electromagnetico. Finalmente, Vito Volterra generalizo el resultado a integrales de funcionescon un numero arbitario de variables en 1889.

BIBLIOGRAFIA

G.L. Bradley y K.J. Smith, Calculo, vol. 2, Capıtulo 14.

R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Calculo, vol. 2, Capıtulo 14.

G.B. Thomas, Jr., Calculo, varias variables, Secciones 16..4, 16.7 y 16.8.

leccion 8. los teoremas integrales - universidad de … · 104 matem aticas iii (gic y giti,...

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