7/27/2019 Lecture 0395

1/10

L e c t u r e 3 , 0 1 / 0 9 / 9 5

3 3 7 7 9 : I n t r o d u c t i o n t o N u c l e a r a n d P a r t i c l e P h y s i c s

M a r t i n J . S a v a g e

A b s t r a c t

A c o n t i n u a t i o n o f t h e d i s c u s s i o n o f p h a s e s p a c e . T h r e e - b o d y p h a s e s p a c e i s c o v e r e d

i n d e t a i l w i t h t w o d i e r e n t a p p r o a c h e s .

S e p t e m b e r 1 9 9 5

1 5

7/27/2019 Lecture 0395

2/10

3 3 7 7 9 : I n t r o d u c t i o n t o N u c l e a r a n d P a r t i c l e P h y s i c s .

3 . P h a s e S p a c e a n d T h r e e - B o d y D e c a y s

D a t e : 0 1 / 0 9 / 9 5

R e c o m m e n d e d r e a d i n g : P a g e 1 9 4 ! 2 0 1 i n G r i t h s

T o i l l u s t r a t e t e c h n i q u e s t h a t c a n b e a p p l i e d t o 3 - b o d y d e c a y s a n d g e n e r a l i z e d t o n -

b o d y d e c a y s , w e c o n s i d e r t h e s p e c i c c a s e o f

d e c a y t h r o u g h t h e w e a k c h a r g e d c u r r e n t ,

! e

e

, a s s h o w n i n F i g . 1 .

F i g u r e 1

W e p e r f o r m t h e c o m p u t a t i o n o f t h e

d e c a y r a t e u s i n g t w o d i e r e n t m e t h o d s , r s t l y i n

t h e r e s t f r a m e a n d t h e n b y u s i n g l o r e n t z i n v a r i a n c e t o b o o s t t o s e v e r a l d i e r e n t f r a m e s f o r

" s u b - c o m p u t a t i o n s " .

a ) D e c a y R a t e C o m p u t e d i n t h e

R e s t F r a m e

L e t u s n o t w o r r y a b o u t t h e e x a c t f o r m o f t h e m a t r i x e l e m e n t f o r t h e d e c a y j u s t y e t

a n d s e e h o w f a r w e c a n g e t b y p h a s e s p a c e m a n i p u l a t i o n s a l o n e . T h e d e c a y r a t e f o r

! e

e

i s

(

! e

e

) =

1

2 M

Z

d

3

P

e

( 2 )

3

2 E

e

Z

d

3

P

1

( 2 )

3

2 E

1

Z

d

3

P

2

( 2 )

3

2 E

2

( 2 )

4

4

( P

P

e

P

1

P

2

)

1

2

M (

! e

e

)

2

; ( 3 1 )

w h e r e P

1

; P

2

d e n o t e t h e m o m e n t u m o f t h e

a n d

e

r e s p e c t i v e l y . N o t i c e t h a t t h e r e i s

a f a c t o r o f

1

2

a p p e a r i n g i n f r o n t o f M

2

a r i s i n g f r o m t h e f a c t t h a t t h e

i s a s p i n -

1

2

o b j e c t a n d t h e r e f o r e h a s 2 i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m t o a v e r a g e o v e r . T h e m a s s o f t h e

1 6

7/27/2019 Lecture 0395

3/10

m u o n i s o v e r 2 0 0 t i m e s t h a t o f t h e e l e c t r o n , a n d f u r t h e r n e u t r i n o s a r e m a s s l e s s i n t h e

s t a n d a r d m o d e l a n d s o w e w i l l t r e a t a l l p a r t i c l e s i n t h e n a l s t a t e a s i d e n t i c a l l y m a s s l e s s

M

e

= M

1

= M

2

= 0 f o r t h i s c o m p u t a t i o n .

N o w l e t i s u s e t h e t r i c k w e l e a r n e d i n t h e l e c t u r e o n t w o - b o d y d e c a y s ,

Z

d

3

P

e

2 E

e

4

( P

P

e

P

1

P

2

) =

Z

d

4

P

e

( E

e

)

4

( P

P

e

P

1

P

2

) ( P

2

e

)

= ( E

E

1

E

2

) ( ( P

P

1

P

2

)

2

)

( 3 2 )

T h i s i s l o r e n t z i n v a r i a n t r e l a t i o n a n d t h e s e m a n i p u l a t i o n s a p p l y i n a n y f r a m e . W o r k i n g i n

t h e f r a m e w h e r e t h e

i s a t r e s t , l e a d s t o a d e c a y r a t e

(

! e

e

) =

1

2 M

( 2 )

5

Z

d

3

P

1

2 E

1

Z

d

3

P

2

2 E

2

( M

E

1

E

2

) ( ( P

P

1

P

2

)

2

)

1

2

M

2

( 3 3 )

I t i s e a s y t o s h o w t h a t

d

3

P

1

2 E

1

=

1

2

E

1

d E

1

d

1

d

3

P

2

2 E

2

=

1

2

E

2

d E

2

d

2

; ( 3 4 )

f r o m w h i c h w e s e e t h a t w e s t i l l m u s t i n t e g r a t e o v e r t h e s o l i d a n g l e o f t w o o f t h e n a l s t a t e

p a r t i c l e s , i n t h i s c a s e t h e t w o n e u t r i n o s .

A s t h e m u o n i s u n p o l a r i s e d ( a n d u n a l i g n e d ) t h e r e i s n o p r e f e r r e d a x i s i n t h i s f r a m e

w i t h w h i c h t o o r i e n t v e c t o r s . T h e r e f o r e w e w i l l c h o o s e P

1

a s a n a x i s a n d t h e n t h e v e c t o r

P

2

i s d e n e d r e l a t i v e t o P

1

. O n e o f t h e a n g u l a r i n t e g r a l s i s t r i v i a l ,

R

d

1

= 4 . T h e

i n t e g r a l o v e r d

2

i s r e d u c e d t o a n i n t e g r a l o v e r d c o s

1 2

( w i t h t h e i n t e g r a t i o n

R

d

1 2

= 2 )

C o m b i n i n g t h e s e m a n i p u l a t i o n s l e a d s t o

(

! e

e

) =

1

4 M

( 2 )

3

Z

d E

1

E

1

Z

d E

2

E

2

Z

d c o s

1 2

( M

2

2 M

( E

1

+ E

2

) + 2 E

1

E

2

( 1 c o s

1 2

) )

1

2

M

2

( 3 5 )

T h i s e x p r e s s i o n i s n i c e a n d s i m p l e a s w e m i g h t h a v e e x p e c t e d . W e m u s t n o w l o o k

f o r t h e b o u n d a r i e s o f p h a s e s p a c e a s w e d i d w h e n w e l o o k e d a t t h e t w o - b o d y d e c a y i n t h e

m o v i n g f r a m e . A g a i n , w e l o o k a t t h e a r g u m e n t o f t h e d e l t a f u n c t i o n , t h i s c o n t a i n s a l l t h e

k i n e m a t i c c o n s t r a i n t s ( a p a r t f r o m t h e p o s i t i v i t y o f a l l e n e r g i e s o f c o u r s e ) . F i r s t , l e t s l o o k

1 7

7/27/2019 Lecture 0395

4/10

F i g u r e 2

a t t h e c o n s t r a i n t s i m p o s e d w h e n c o s

1 2

= 1 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o n e u t r i n o s m o v i n g

b a c k - t o - b a c k .

D u e t o t h e c o p l a n a r n a t u r e o f t h e d e c a y , i f t h e n e u t r i n o s a r e m o v i n g b a c k t o b a c k , t h e n

t h e e

m u s t a l s o b e m o v i n g a l o n g t h i s d i r e c t i o n ( a s t h e r e i s n o m o m e n t u m p e r p e n d i c u l a r t o

t h i s a x i s t o c o m p e n s a t e f o r e

m o m e n t u m p e r p e n d i c u l a r t o t h i s d i r e c t i o n ) . T h e a r g u m e n t

o f t h e d e l t a f u n c t i o n b e c o m e s

M

2

2 M

( E

1

+ E

2

) + 4 E

1

E

2

= 0 ; ( 3 6 )

w h i c h f a c t o r s i n t o

( 2 E

1

M

) ( 2 E

2

M

) = 0 ; ( 3 7 )

w h i c h m e a n s t h a t i f t h e n e u t r i n o s a r e m o v i n g b a c k - t o - b a c k t h e n e i t h e r E

1

= M

= 2 o r

E

2

= M

= 2 . T h i s i s n o s u r p r i s e a s i t i s c l e a r f r o m e n e r g y - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n t h a t

t h e m a x i m u m e n e r g y t h a t a n y o f t h e t h r e e p a r t i c l e s i n t h e n a l s t a t e c a n h a v e i s M

= 2

T h e o t h e r b o u n d a r y o f p h a s e s p a c e a r i s e s w h e n c o s

1 2

= + 1 w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e

n e u t r i n o s m o v i n g p a r a l l e l .

F i g u r e 3

C o n s e q u e n t l y , t h e e

m u s t b e m o v i n g b a c k - t o - b a c k w i t h t h e n e u t r i n o p a i r a n d h a v e

i t s m a x i m u m a l l o w e d e n e r g y M

= 2 . T h e a r g u m e n t o f t h e d e l t a f u n c t i o n b e c o m e s

M

2

2 M

( E

1

+ E

2

) = 0 ; ( 3 8 )

1 8

7/27/2019 Lecture 0395

5/10

a n d t h e r e f o r e E

1

+ E

2

=

1

2

M

. H e n c e w e c a n w r i t e t h e d e c a y r a t e a s

(

! e

e

) =

1

M

2

5

3

Z

M

= 2

0

d E

2

E

2

Z

M

= 2

M

= 2 E

2

d E

1

E

1

Z

d c o s

1 2

1

2 E

1

E

2

( c o s

1 2

M

2

2 M

( E

1

+ E

2

) + 2 E

1

E

2

2 E

1

E

2

)

1

2

M

2

( 3 9 )

T h e i n t e g r a l o v e r d c o s

1 2

t o s a t i s f y t h e d e l t a f u n c t i o n i s t r i v i a l t o g i v e

(

! e

e

) =

1

M

2

6

3

Z

M

= 2

0

d E

2

Z

M

= 2

M

= 2 E

2

d E

1

1

2

M

2

; ( 3 1 0 )

w h e r e i t i s u n d e r s t o o d t h a t t h e m a t r i x e l e m e n t i s e v a l u a t e d i t t h e a p p r o p r i a t e v a l u e o f

c o s

1 2

a r i s i n g f r o m t h e d e l t a f u n c t i o n . I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t t h e p h a s e s p a c e i s

a t o v e r t h e a l l o w e d r e g i o n o f E

1

; E

2

. A n y o b s e r v e d " s t r u c t u r e " i n t h e d o u b l y d i e r e n t i a l

r a t e

d

d E

1

d E

2

a r i s e s e n t i r e l y f r o m t h e m a t r i x e l e m e n t . T h i s i s o n e w a y t o l o o k f o r " n e w

p h y s i c s " ( o r a n y p h y s i c s f o r t h a t m a t t e r ! ) .

L e t u s n o w c o m p l e t e t h e c a l c u l a t i o n b y i n s e r t i n g t h e m a t r i x e l e m e n t f o r

! e

e

i n t h e s t a n d a r d m o d e l o f e l e c t r o w e a k i n t e r a c t i o n s . T h e c h a r g e d c u r r e n t i n t e r a c t i o n ( e x -

c h a n g e o f a W

g a u g e b o s o n ) g i v e s r i s e t o a s p i n a v e r a g e d m a t r i x e l e m e n t f o r

! e

e

o f

1

2

M

2

= 6 4 G

2

F

P

e

P

P

P

e

= 3 2 G

2

F

P

P

1

)

2

P

P

1

= 3 2 G

2

F

M

2

2 M

E

1

M

E

1

; ( 3 1 1 )

w h e r e w e h a v e u s e d e n e r g y - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n t o w r i t e P

e

P

=

1

2

P

e

+ P

2

=

1

2

P

P

e

2

, a n d w e h a v e i d e n t i e d P

e

w i t h P

1

. T h e r e i s n o a n g u l a r d e p e n d e n c e i n t h e

m a t r i x e l e m e n t w h e n w r i t t e n t h i s w a y . G

F

i s t h e F e r m i c o u p l i n g c o n s t a n t c h a r a c t e r i z i n g

t h e s t r e n g t h o f w e a k i n t e r a c t i o n s , w h i c h w e w i l l d i s c u s s i n g r e a t d e t a i l d u r i n g t h i s c o u r s e .

F u r t h e r w e c a n i n t e r c h a n g e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n s o v e r E

1

a n d E

2

t o m a k e l i f e s i m p l e

f o r o u r s e l v e s a s t h e l i m i t s a r e t h e s a m e f o r b o t h . I t i s e a s y t o s h o w t h a t

(

! e

e

) =

G

2

F

M

2

3

Z

M

= 2

0

d E

1

E

2

1

M

2 E

1

; ( 3 1 2 )

w h i c h c a n b e d o n e s i m p l y t o o b t a i n t h e t o t a l d e c a y r a t e f o r t h e

o f

(

! e

e

) =

G

2

F

M

5

1 9 2

3

( 3 1 3 )

1 9

7/27/2019 Lecture 0395

6/10

T h i s i s t h e d e s i r e d r e s u l t . N o t i c e t h a t t h e c a l c u l a t i o n s a r e r e l a t i v e l y s i m p l e w h e n a l l t h e

p a r t i c l e s i n t h e p r o b l e m a r e m a s s l e s s . U n f o r t u n a t e l y , t h i n g s g e t m o r e c o m p l i c a t e d w h e n

t h e n a l s t a t e p a r t i c l e s h a v e m a s s , p a r t i c u l a r l y w h e n t h e m a s s e s a r e a l l d i e r e n t . I w i s h

n o w t o r e p e a t t h e a b o v e c o m p u t a t i o n w i t h m a s s e s i n t h e n a l s t a t e s t o d e m o n s t r a t e s o m e

t r i c k s t h a t a r e u s e f u l i n c o m p u t i n g p h a s e s p a c e i n t e g r a l s i n g e n e r a l .

b ) D e c a y R a t e C o m p u t e d i n M a n y F r a m e s u s i n g L o r e n t z I n v a r i a n c e

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e d e c a y o f a

t o a n e l e c t r o n w i t h m a s s M

e

a n d a n e u t r i n o

a n d a n t i - n e u t r i n o o f e q u a l m a s s M

. T h e d e c a y r a t e i s a g a i n g i v e n b y

(

! e

e

) =

1

2 M

Z

d

3

P

e

( 2 )

3

2 E

e

Z

d

3

P

1

( 2 )

3

2 E

1

Z

d

3

P

2

( 2 )

3

2 E

2

( 2 )

4

4

( P

P

e

P

1

P

2

)

1

2

M (

! e

e

)

2

( 3 1 4 )

W e n o w u s e o u r t r i c k o n e a c h o f t h e n e u t r i n o i n t e g r a t i o n s t o w r i t e

Z

d

3

P

1

2 E

1

Z

d

3

P

2

2 E

2

=

Z

d

4

P

1

Z

d

4

P

2

( P

0

1

) ( P

0

2

) ( P

2

1

M

2

) ( P

2

2

M

2

) ( 3 1 5 )

A t t h i s p o i n t i t i s c o n v e n i e n t t o c h a n g e v a r i a b l e s f r o m P

1

a n d P

2

t o t h e o r t h o g o n a l c o m -

b i n a t i o n

k = P

1

+ P

2

q =

1

2

( P

1

P

2

)

; ( 3 1 6 )

a n d h e n c e

P

1

=

1

2

k + q

P

2

=

1

2

k q

( 3 1 7 )

I n t h i s s e t o f v a r i a b l e s w e n d t h a t ( t h e j a c o b i a n i s u n i t y )

Z

d

3

P

1

2 E

1

Z

d

3

P

2

2 E

2

=

Z

d

4

k d

4

q (

k

0

2

+ q

0

) (

k

0

2

q

0

) (

k

2

4

+ q

2

M

2

+ k q ) (

k

2

4

+ q

2

M

2

k q )

=

1

2

Z

d

4

k d

4

q (

k

0

2

+ q

0

) (

k

0

2

q

0

) (

k

2

4

+ q

2

M

2

) ( k q )

Z

d s ( s k

2

)

;

( 3 1 8 )

w h e r e w e h a v e i n s e r t e d u n i t y

R

d s ( s k

2

) = 1 a n d u s e d ( a + b ) ( a b ) = ( 2 b ) ( a b ) =

1

2

( b ) ( a ) . T h e r e a s o n w e h a v e i n s e r t e d s = k

2

i n t o t h e c o m p u t a t i o n w i l l b e c o m e c l e a r

2 0

7/27/2019 Lecture 0395

7/10

s o o n , b u t n o t i c e t h a t i t i s t h e i n v a r i a n t m a s s o f t h e n e u t r i n o p a i r . P u t t i n g a l l t h e s e

m a n i p u l a t i o n s t o g e t h e r w e n d t h a t

(

! e

e

) =

1

4 M

( 2 )

5

Z

d s

Z

d

3

P

e

2 E

e

Z

d

4

k

Z

d

4

q

1

2

M

2

( s k

2

) (

k

0

2

+ q

0

) (

k

0

2

q

0

) (

k

2

4

+ q

2

M

2

)

( k q )

4

( P

P

e

k )

( 3 1 9 )

T h i s h a s m a n y t h i n g s g o i n g o n a t o n c e i n s i d e t h e i n t e g r a l a n d l o o k s a b i t o v e r p o w e r i n g

a t r s t b u t t h i s i s w h e r e w e w i l l u s e l o r e n t z i n v a r i a n c e t o m a k e l i f e m u c h s i m p l e r .

L e t u s s t u d y t h e l o r e n t z i n v a r i a n t o b j e c t I d e n e d b y

I =

Z

d

4

q

1

2

M

2

(

k

0

2

+ q

0

) (

k

0

2

q

0

) (

k

2

4

+ q

2

M

2

) ( k q )

( 3 2 0 )

A s t h i s i s a l o r e n t z i n v a r i a n t o b j e c t w e c a n c h o o s e t o e v a l u a t e i t a n y f r a m e a n d w e w i l l

c h o o s e t h e f r a m e t h a t m a k e s l i f e s i m p l e , w h i c h h a p p e n s t o b e t h e r e s t f r a m e o f t h e n e u t r i n o

p a i r ( o f m a s s s ) . I n t h i s f r a m e q k = q

0

p

s a n d t h e r e f o r e

R

d q

0

( q k ) =

1

p

s

a s k =

(

p

s ; 0 ; 0 ; 0 ) i n t h i s f r a m e . W e n d t h a t

I = ( k

0

)

1

p

s

Z

d

3

q (

s

4

M

2

q

2

)

1

2

M

2

= ( k

0

)

1

p

s

Z

d

q

d q q

2

(

s

4

M

2

q

2

)

1

2

M

2

= ( k

0

)

1

p

s

Z

d

q

d q q

2

1

2 q

( q

r

s

4

M

2

)

1

2

M

2

=

1

4

( k

0

)

r

1

4 M

2

s

Z

d

q

1

2

M

2

( 3 2 1 )

T h e r e a r e s e v e r a l t h i n g s t o n o t e a b o u t t h i s f o r m u l a . I t i s e x p l i c i t l y f o r m e d f r o m l o r e n t z

i n v a r i a n t q u a n t i t i e s w i t h t h e u n d e r s t a n d i n g t h a t t h e a n g u l a r i n t e g r a l i s p e r f o r m e d i n t h e

f r a m e w h e r e t h e n e u t r i n o p a i r a r e a t r e s t . W e c a n n o w p r o c e e d t o i n s e r t t h a t e x p r e s s i o n

f o r I b a c k i n t o o u r r a t e e x p r e s s i o n a n d t h e n b o o s t t o a n y o t h e r f r a m e t h a t w e d e s i r e . T h e

r a t e i s t h e r e f o r e

(

! e

e

) =

1

4 M

( 2 )

5

Z

d s

Z

d

3

P

e

2 E

e

Z

d

4

k ( s k

2

)

4

( P

P

e

k ) I

=

1

4 M

( 2 )

5

Z

d s

Z

d

4

k ( s k

2

) ( ( P

k )

2

M

2

e

) I

=

1

4 M

( 2 )

5

Z

d s

Z

d

3

k

2 k

0

( M

2

M

2

e

+ s 2 P

k ) I

( 3 2 2 )

2 1

7/27/2019 Lecture 0395

8/10

P e r f o r m i n g t h e k i n t e g r a t i o n e x p l i c i t l y i n t h e r e s t f r a m e o f t h e

( r e m e m b e r i n g t h a t I i s

l o r e n t z i n v a r i a n t ) w e o b t a i n

Z

d

3

k

2 k

0

( M

2

M

2

e

+ s 2 P

k ) = 2

Z

d k

0

k ( M

2

M

2

e

+ s 2 M

k

0

)

=

M

k

( 3 2 3 )

F r o m t h e d e l t a f u n c t i o n w e n d t h a t

k

0

=

M

2

M

2

e

+ s

2 M

; ( 3 2 4 )

a n d h e n c e

k =

s

M

2

M

2

e

+ s

2 M

2

s ( 3 2 5 )

W h a t a r e t h e b o u n d a r i e s o f p h a s e s p a c e f o r t h i s s e t o f i n t e g r a t i o n v a r i a b l e s ? A s y o u

s e e w e a r e l e f t w i t h o n l y o n e i n t e g r a t i o n t o p e r f o r m , a f t e r a l l t h e s e u g l y m a n i p u l a t i o n s ,

o v e r t h e i n v a r i a n t m a s s o f t h e n e u t r i n o p a i r , s . T h e m i n i m u m v a l u e o f s c o r r e s p o n d s t o

p r o d u c i n g t h e n e u t r i n o p a i r a t t h r e s h o l d ( n o r e l a t i v e m o t i o n ) a n d h e n c e a m i n i m u m v a l u e

o f s

m n

= 4 M

2

. W h i l e t h e m a x i m u m v a l u e o f s i s o b t a i n e d w h e n t h e e

i s p r o d u c e d a t

r e s t i n t h e r e s t f r a m e o f t h e

, s

m a x

= ( M

M

e

)

2

. T h e n a l i n t e g r a l f o r t h e r a t e i s

g i v e n b y

(

! e

e

) =

1

2

9

4

M

2

Z

( M

M

e

)

2

4 M

2

d s

r

1

4 M

2

s

s

M

2

M

2

e

+ s

2 M

2

s

Z

d

q

1

2

M

2

( 3 2 6 )

I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h i s i s a g e n e r a l f o r m u l a f o r p h a s e s p a c e i n t e g r a t i o n s s i n c e

w e h a v e s a i d n o t h i n g a b o u t t h e m a t r i x e l e m e n t f o r t h e d e c a y . Y o u w i l l n d t h i s v e r y u s e f u l

i n y o u r w o r k .

L e t s u s s e e e x a c t l y h o w t h i s b e a s t o f a f o r m u l a w o r k s , l e t u s e v a l u a t e ( 3 . 2 6 ) f o r

!

e

e

i n t h e s t a n d a r d m o d e l , w h e n t h e e l e c t r o n a n d n e u t r i n o s a r e m a s s l e s s ( M

e

= M

= 0

i n ( 3 . 2 6 ) ) . W e w i s h t o c o m p u t e

Z

d

q

1

2

M

2

=

Z

d

q

6 4 G

2

F

( P

e

P

1

)

P

P

2

; ( 3 2 7 )

2 2

7/27/2019 Lecture 0395

9/10

i n t h e f r a m e w h e r e t h e n e u t r i n o p a i r a r e a t r e s t , P

1

+ P

2

= 0 . I n t h i s f r a m e

P

= ( E

; 0 ; 0 ; P

)

P

e

= ( E

e

; 0 ; 0 ; E

e

)

P

1

+ P

2

= k = (

p

s ; 0 ; 0 ; 0 )

P

1

=

p

s

2

( 1 ; 0 ; s i n ; c o s )

P

2

=

p

s

2

( 1 ; 0 ; s i n ; c o s )

; ( 3 2 8 )

a s c a n b e d e d u c e d f r o m F i g . 4 .

F i g u r e 4

I n a n y f r a m e

P

2

e

= ( P

k )

2

= M

2

+ s 2 P

k ; ( 3 2 9 )

a n d h e n c e i n t h e n e u t r i n o p a i r r e s t f r a m e

M

2

e

= M

2

+ s 2

p

s E

; ( 3 3 0 )

g i v i n g

E

=

M

2

+ s M

2

e

2

p

s

( 3 3 1 )

S e t t i n g M

e

= M

1

= M

2

= 0 w e h a v e t h a t

P

= P

e

=

M

2

s

2

p

s

; ( 3 3 2 )

2 3

7/27/2019 Lecture 0395

10/10

w h i c h l e a d s t o

P

P

2

=

1

4

s + M

2

( M

2

s ) c o s

2

P

e

P

1

=

1

4

( M

2

s ) ( 1 + c o s

2

)

; ( 3 3 3 )

w h e r e

2

i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e m u o n m o m e n t u m a n d t h e m o m e n t u m o f n e u t r i n o 2 .

R e m e m b e r t h a t i n t h i s f r a m e P

= P

e

f o r a n y v a l u e o f t h e e l e c t r o n m a s s . W e s h a l l u s e

t h e m o m e n t s o f c o s , w h i c h y o u r e c a l l a r e

Z

d

q

1 = 4

Z

d

q

c o s

q

= 0

Z

d

q

c o s

2

q

=

4

3

( 3 3 4 )

I t f o l l o w s t h a t

Z

d

q

1

2

M

2

=

3 2

3

G

2

F

( M

2

s ) ( 2 s + M

2

) ; ( 3 3 5 )

a n d p u t t i n g a l l t h i s s t u t o g e t h e r w e n d t h a t

(

! e

e

) =

G

2

F

9 6

3

M

3

Z

M

2

0

d s ( M

2

s )

2

( 2 s + M

2

)

=

G

2

F

M

5

1 9 2

3

; ( 3 3 6 )

a s r e q u i r e d .

T h i s w a s a b i g s o n g a n d d a n c e t o g e t t h e r e s u l t t h a t w e o b t a i n e d i n t h e r e s t f r a m e

o f t h e , b u t a s I s a i d , w e w e r e a b l e t o i n c o r p o r a t e p a r t i c l e m a s s e s i n t o t h e c o m p u t a t i o n

s i m p l y . T h i s i s a c o m m o n l y u s e d t o o l i n r e s e a r c h . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t i n s o m e

s i t u a t i o n s t h e i n v a r i a n t m a s s o f a p a r t i c l e p a i r i s t h e b e s t o b s e r v a b l e t o u n d e r s t a n d a

p a r t i c u l a r a s p e c t o f t h e p h y s i c s . A n e x a m p l e o f t h i s i s t h e d e c a y b ! s e

+

e

. T h i s

p r o c e s s i s f o r b i d d e n a t t r e e - l e v e l i n t h e s t a n d a r d m o d e l b u t p r o c e e d s v i a q u a n t u m l o o p s

d o m i n a t e d b y t h e t o p q u a r k . T h e q u a n t i t i e s o f i n t e r e s t t o t h e e x p e r i m e n t a l i s t s a r e t h e

i n v a r i a n t m a s s d i s t r i b u t i o n o f t h e l e p t o n p a i r a n d t h e i r a n g u l a r d i s t r i b u t i o n . I n p a r t i c u l a r

t h e i n v a r i a n t m a s s d i s t r i b u t i o n n e e d s t o b e u n d e r s t o o d i n o r d e r f o r t h e e x p e r i m e n t a l i s t s

t o k n o w h o w v a r i o u s c u t s o n t h e l e p t o n i n v a r i a n t m a s s ( t o r e m o v e b a c k g r o u n d ) w i l l w i l l

a e c t t h e n u m b e r o f e v e n t s r e c o r d e d .

2 4