PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 110/06/2009

Lecture 5:Electrostatic Interactions & Screening

Lecturer:Prof. Brigita Urbanc (brigita@drexel.edu)

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 210/06/2009

A charged particle (q=+1) in water, at the interface between water (=80) and protein (=3)

 Find the electric field produced by the charge q at an arbitrary point 2:                                          1   q=+1                                        2 ⨯                                                                              water                      //////////////////////////// protein //

How do we solve for the electric field and why does the presence of water—protein interface matter?

➔ in the absence of the interface, electric field E = q/40r

12

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 310/06/2009

Method of Image ChargesGriffiths, David J. (1998).  Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice 

Hall. ISBN 013805326X.

problem solution

Coulomb's law:

 … normal distance from the y=0 plane:   = (x2+z2)1/2 

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 410/06/2009

A similar problem of an interface between vaccum (=0)and a metal (=ꝏ):

➔ electric field locally   perpendicular to the   interface

➔ NO field in a  metal   (or else current)

➔ SOLUTION (above the interface):   E = q/4

0r

12 + (q)/4

0r

02

➔ reflection effect: +q induces the shift of electrons on the high   

metal side

1

0

2⨯ r12

r02

+q

q metal (=ꝏ)  vaccum (=1)

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 510/06/2009

Water—protein interface: mirror charge approach

➔ inverse problem—the  original charge in water (high                      permittivity 

1=80 side of the interface)

➔ force lines are repelled from the low =3 (protein) side

➔ a charged atom on the water side gets surrounded by  electronegative parts of polar water molecules

➔ positive mirror charge q' = q (1 – 

2)/(

1 + 

2)

                                               ~ q (if  1 » 

2 )

   E = q/40r12 + q'/40r02

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 610/06/2009

We can use the generalized form of the field around thecharge q:

E = q/4eff

0r

12  = q/4

1

0r

12 (1 + r

12/r

02)

With effective permittivity eff

 depending on the position r:➔ 

eff = 80 for the point 2 close to the charge 1

➔eff

 = 40 everywhere else in water➔ 

eff = (

1 +

 

)/2 ~ 40 for any point 2 

   below the surface ➔ 

eff = (

1 +

 

)/2 ~ 40 for point 1

   inside the protein    except if r

12 « a, then  

eff = 

+1

water

protein

+    +        +    +       +/////////////////////////////

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 710/06/2009

Effective permittivity across the protein:

1

2

water

water

protein

eff

 = 200due to water electric dipole and induced polarization

+        +       +             +   +

                                     

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 810/06/2009

Values of effective permittivity eff

 around and inside a protein:

+1

+1water

protein protein

8040 40

80

200

80

40

80 3

60

8080

80

Except inside the protein very close to the charge, the electric fieldis strongly reduced due to screening by polar water molecules 

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 910/06/2009

The medium of high permittivity (water) attracts the charge:

➔ a charge on the protein surface is repelled from the protein➔ a charge inside the protein is attracted to water

Why does water have a high permittivity?

➔ permittivity   determined by atomic structure of water➔ permittivity   proportional to the polarization induced in the      medium by an external electric field → polarity of H

2O 

➔ Induced polarization produces effective internal field of the   opposite sign, thereby diminishing the total field (relative to   vaccum) 

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1010/06/2009

Electrostatic Interaction Between Two Oppositely Charged Atoms

➔ consider distances 3—4 Å  → no water molecules in                 between possible!  

What is the value of eff

at such small distances?

➔ example: Na+Cl in water dissolves (Van de Waals distance   between Na and Cl ~ 3 Å)

  EI potential energy:                                      1.5 kcal/mol (

eff=80)

                                      3.0 kcal/mol (eff

=40)

                                      6.0 kcal/mol (eff

=20) > EHB

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1110/06/2009

Free energy change associated with dissociation:

➔ oxalic acid (diprotic acid – 2 Hatoms per molecule):                        Step 1: H

2C

2O

4    ⇄ HC

2O

4− + H+

 

                                        Step 2: HC

2O

4−

    ⇄ C

2O

42− + H+

 

➔ Step 1 occurs at pH ~ 2 & Step 2 at pH ~ 4.5 → pH ~ 2.5

➔ pH value associated with H+ concentration, [H+]:[H+] = 10pH = exp(2.3 ⨯ pH)

➔ pH →  [H+] → change in the Gibbs free energy  GG = RT {ln([H+]

b)  ln([H+]

a)} = RT (2.3 ⨯ pH)

➔ For oxalic acid pH = 2.5 → G~ 3.5 kcal/mol (eff

~40)➔ similar result for dissociation of the carbonic acid

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1210/06/2009

Physical Interpretation:Neighboring water molecules “pulling charges” from sides

+1 1+

-

+

-

+ -

+

-+

-

+ -

+-

+

-

+

-+

-

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1310/06/2009

Experimental Determination of  the Effective Permittivity(A. Fersht – protein engineering)

➔ enzymes exhibit optimal activity at a pHoptimum

➔ mutation of the active site amino acid to a charged amino    acid shifts the pHoptimum (mutation at the protein surface)

➔ pHoptimum happens because the active site needs a fixed   concentration of protons, [H+] = 10pH (by definition)                                               [OH] = 1014+pH (by definition)

➔ active site (AS) accepts a proton  H+, AS + H+ = ASH+:([ASH+] = [AS][H+] ⨯ probability for H+ binding)

 [ASH+]/[AS] = exp(FASH+/RT) ⨯ [H+]

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1410/06/2009

FASH+ = Free Energy of H+ binding 

[ASH+]/[AS] = exp(FASH+/RT)  ⨯ 10pH                                       =  exp(FASH+/RT)  ⨯ exp (2.3 ⨯ pH)                                       = exp{(FASH+/RT + 2.3 ⨯ pH)}

Mutation—induced charge induces the potential eU (e=+1, the charge of H+): eU = FASH+

 (M) – FASH+(0)                                                                                M  with mutation                                               0   without mutation

↓(a) FASH+(M)/RT + 2.3 ⨯ pHM = FASH+(0)/RT + 2.3 ⨯ pH0(b) eU = FASH+(M) – FASH+(0) =  2.3 ⨯ RT (pHM  pH0)(c) eU = eq/4

eff

0r, q  mutation introduced charge 

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1510/06/2009

Equation for  eff

 :        eq/4eff

0r =  2.3 RT pH

Results of Fersht's experiments: eff

 ~40 to ~120

Protein Engineering (Fersht, the “father”):  changing a codon on the protein gene induces the mutation at       an exact site of the protein globule

 structural changes monitored by Xray & NMR

 protein as microscopic electrometer

NEGLECTED: INTs between dipoles & quadrupoles

 (smaller than INTs between charges, decrease faster with r)

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1610/06/2009

Electrostatic Interaction Between Two Free Charges in Water 

U(r) = q1 q

2 / 4

eff

0r ⨯ exp(r/D)

(exponential decay)

eff  and D depend on the properties of the medium (water)

D  DebyeHückel radius: D = 3/I1/2Å also on ionic strength II = ½   c

iz

i2

ci  concentration of the ion type i

zi  charge of the ion type I

I = 0.1—0.15 [mol/l] (physiological conditions)↓

For water at physiological conditions D ~ 8 Å

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1710/06/2009

The origin of the screened electrostatic interaction

➔ temperature dependence of electrostatic effects:

eff 

(T=273) = 88 & eff 

(T=373) = 55 88/55 ~ 1.6    &    373/273 ~ 1.4

The electrostatic interactions in water decreases with absolute temperature almost linearly → entropic effect!

Electrostatic INTs in water are caused by the ordering of water molecules around the charges & variation of this 

ordering with distance (similar to the hydrophobic effect).

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1810/06/2009

Disulfide (S—S) bonds➔ formed between the side chains of two cysteines (Cys)

➔ two Cys side chains ( –CH

2–SH ) release two Hatoms:

 –CH

2–SH  + –C

H

2–SH  →  –C

H

2–S–S–C

H

2– + H

2

   during formation of a disulfide bond

➔ formation and breakdown of S—S bond in cells is                 catalyzed by an enzyme called disulfide isomerase (only to accelerate the processes) & reversible

➔ absence of disulfide isomerase “freezes” the formed S—S     bonds, S—S bonds typical of secreted proteins

PHYS 461 & 561, Fall 2009-2010 1910/06/2009

Coordinate bonds➔ formed by N, O, Satoms of the protein & Oatom of water   to di and trivalent ions of Fe, Zn, Co, Ca, Mg (metals)

➔ metal ions characterized by vacant orbits of low energy,                  capable of bonding an electron pair

➔ N, O, Satoms are electron donors (radius ~1.5 Å) : their                  electrons occupy  the vacant orbits of the metal ion (radius              ~0.7 Å), forming a coordinate bond (only 1 bonded atom),   several kcal/mol (similar to hydrogen bonding)

➔ if the donor atoms in the protein conformation are in a proper        position for coordinate bonding, the ion gets released from              water, bonds to protein  (S of water increases!) → chelate                 complex

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