lectures on the theorem of gromov

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  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

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    L E C T U R E S O N T H E T H E O R E M O F G R O M O V

    A . H a e f l i g e r

    I n h i s t h e s i s [ 2] , g r o m o v p r o v e s a v e r y g e n e r a l t h e o r e m w h i c h c o n t a i n s a s

    p a r t i c u l a r c a s e s t h e S m a l e - H i r s c h t h e o r e m o n i n ~n e rs io n s [ 7] a n d [ 4 ] , a n d P h i l l i p s '

    t h e o r e m o n s u b m e r s i o n s [ 5] , as w e l l a s m a n y o t h e r r e m a r k a b l e n e w t h e o r e m s i n

    d i f f e r e n t i a l t o p o l o g y . T h e i d e a o f t h e p r o o f i s e s s e n t i a l l y t h e o n e S m a l e u s e d to

    p r o v e h i s i m m e r s i o n t h e o r e m , a n d w h i c h h a s b e e n c l a r i f i e d s u c c e s s i v e l y b y m a n y

    p e o p l e ( s e e T h o m [ 8] , H i r s c h [ 4] , H i r s c h - P a l a i s ( u n p u b l i s h e d s e m i n a r ) , H a e f l i g e r -

    P o e n a r u [ 3] , P h i l l i p s [ 5 ] , e t c . )

    I n p a r t I , w e s t a t e t h e m a i n r e s u l t o f G r o m o v ' s t h e s i s a n d d i s c u s s s o m e o f t h e

    p a r t i c u l a r c a s e s c o n s i d e r e d b y G r o m o v. I n p a r t I I w e g i v e t he pr o o f, w h i c h f o l l o w s

    e x a c t l y t h e s a m e p a t t e r n a s t h e o n e g i v e n i n P h i l l i p s [ 5] ( O u r t r e a t m e n t i s m a y b e

    n o t a s g e n e r a l a s i n G r o m o v ' s t h e s i s . )

    I . T h e m a i n t h e o r e m a n d s o m e ~ a r t i q ~ a r c a s es

    G i v e n a C m - m a n i f o l d M , w e c o n s i d e r a d i f f e r e n t i a b l e b u n d l e E ( M )

    n a t u r a l l y a s s o c i a t e d t o t h e d i f f e r e n t i a b l e s t r u c t u r e o f M .

    N a t u r a l l y m e a n s t h e f o l l o w i n g . T o a n y m - m a n i f o l d M i s a s s o c i a t e d a

    d i f f e r e n t i a b l e b u n d l e E ( M ) , s o t h a t i f U i s o p e n i n M , t h e n E ( U ) i s t h e

    r e s t r i c t i o n o f E ( M ) t o U . M o r e o v e r t o a n y d i f f e o m o r p h i s m f o f a n o p e n s e t U

    o n a n o p e n s e t V o f a m a n i f o l d N i s a s s o c i a t e d a d i f f e o m o r p h i s m ~ : E ( U ) ~ E ( V )

    c o v e r i n g f , s u c h t h a t g O f = g 0 f a n d i d e n t i t y o f U = i d e n t i t y o f E ( U ) .

    A l s o f d e p e n d s c o n t i n u o u s l y o n f .

    I t i s t h e n c l e a r t h a t t h e p s e u d o g r o u p ~ ( M ) o f l o c a l d i f f e o m o r p h i s m of M a c t s

    o n E ( M ) a n d a l s o o n t h e s p a c e r E ( M ) o f s e c t i o n s o f E ( M ) ; n a m e l y i f f : U ~ V

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    W e n o w l i s t a f e w e x a m p l e s .

    E x a m p l e 1 : k - m e r s i o n s

    C

    e t N b e a n - m a n i f o l d . T a k e f o r E ( M ) t h e t r i v i a l b u n d l e M N . T h e

    s e c t i o n s o f E ( M ) c o r r e s p o n d t o t h e m a p s o f M t o N ; E r ( M ) i s t h e b u n d l e j r ( M , N )

    o f r - j e t s . F o r r = l , ~ ( M ) i s s i m p l y t h e b u n d l e o v e r M N w h o s e f i b e r o v e r

    ( x, y ) i s t h e a p a c e o f a l l l i n e a r m a p s o f T h e t a n g e n t s p a c e T M i n t o th e t a n g e n t

    space T N.

    Y

    D e f i n e ~ o ( M ) t o b e t h e s ub s p a c e o f t h o s e l i n e a r m a p s o f r a n k ~ k . T h e n

    r 0 E ( M ) i s t h e s p a c e ~ ( M, N ) o f k - m e r s i o n s , n a m e l y t h e s p a c e o f c l - m a p s

    M ~ N w h o s e d i f f e r e n t i a l d f i s o f r a n k ~ k ; E ~ 0 ( M ) i s t h e s p a c e

    H O m k ( T M , T N ) o f b u n d l e h o m o m o r p h is m s : T M ~ T N w h o s e r e s t r i c t i o n t o e a c h f i b e r

    i s l i n e a r o f r a n k ~ k.

    T h e t h e o r e m s a y s t h a t , i f

    ~ m ~ ( M , N

    M i s o p e n , t h e d i f f e r e n t i a l

    Ho~ k (TM, TN)

    i n d u c e s a w e a k h o m o t o p y e q u i v a l e n c e .

    I n f a c t t h e t h e o r e m i s a l s o t r u e f o r M c l o s e d i f k ~ d i m N ( c f. F e l t [ 1 ] ) .

    I n t h e c a s e o f i m m e r s i o n s ( k = d i m M ~ d i m N) , i t i s e a s y t o p r o v e t h e t h e o r e m i n

    t h e c l o s e d c a se , r e p l a c i n g M b y t h e t o t a l s pa c e of a s u i t a b l e n o r m a l v e c t o r b u n d l e

    o v e r M ( t h a t b e i n g an o p e n m a n i f o l d ) .

    r

    M o r e g e n e r a l l y ( a s i n t h e n e x t e x a m p l e ) , o n e c a n t a k e f o r E 0 a n y s u b b u n d l e

    o f j r ( M , N) w h o s e t y p i c a l f i b e r i s a n o p e n s e t o f ~ 0 ( ~ m , N ) ( r - j e t s a t 0 E I~ )

    i n v a r i a n t b y th e a c t i o n o f th e ~ o u p o f r - j e t s a t 0 o f d i f f e o m o r p h i s m s o f I~

    l e a v i n g 0 fi x e d .

    I t w o u l d b e v e r y i n t e r e s t i n g t o g e t s o m e i n f o r m a t i o n o n t h e f o l l o w i n g v a g u e

    que stion.

    P r o b l e m : S i n g l e o u t a c l a s s o f i n v a r i a n t o p e n s e t s i n ~ 0( I~ , ~ n ) f o r w h i c h t he

    t h e o r e m h o l d s w h e n M i s a c l o s e d m a n i f o l d .

    E x a m p l e 2 . M a p s t r a n s v e r s e t o a f i e l d o f k - p l a n e s

    L e t u s c o n s i d e r o n N a f i e l d o f k - p l a n e s , i . e . a s u b b u n d l e W o f r a n k k i n

    T N. L e t v b e t h e q u o t i e n t b u n d l e T N / w a n d l e t ~ : T N - * v b e t h e n a t u r a l

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    C o n v e r s e l y i f p : E ~ M i s a b u n d l e w i t h f i b e r A a n d d i s c r e t e s t r u c t u r a l

    g r o u p G , o n e h a s o n E a f o l i a t i o n t r a n s v e r s e t o t h e f i b e r s . I f f : M ~ i s a

    s e c t i o n t r a n s v e r s e to t h a t f o l ~ t i o n , t h e n i t d e f i n e s o n M a G - s t r u c t u r e . I f M

    i s o p e n , s u c h a m a p e x i s t s i f f t h er e i s a n e p i m o r p h i s m o f T M o n t h e n o r m a l b u n d l e

    v t o t h a t f o l i a t i o n , w h i c h i s t h e s a m e a s t h e t a n g e n t b u n d l e a l o n g th e f i b e r s o f E .

    C o n s i d e r t h e p a r t i c u l a r c a s e w h e r e G i s t h e a f f i n e g r o u p a c t i n g o n ~ m .

    L e t v b e t h e v e c t o r b u n d l e a s s o c i a t e d t o E b y t h e n a t u r a l h o m o m o r p h i s m

    G ~ G L ( m, ~ ) . T h e v e c t o r b u n d l e v i s t h e p u l l b a c k o f v b y t h e p r o j e c t i o n

    p : E ~ M . S o w e g e t t h e f o l l o w i n g .

    T h e o r e m : T h e o p g n m a n i f o l d M a d m i t s a n a f f i n e s t r u c t u r e i f f t h e s t r u c t u r a l

    g r o u p o f i t s t a n g e n t v e c t o r b u n d l e c a n b e r e d u c e d t o a d i s c r e t e ~ r o up .

    O f c o u r s e , t h i s a f f i n e s t r u c t u r e i s n o t c o m p l e t e i n g e n e r a l . A l s o t h e t h e o r e m

    i s n o t t r u e i n g e n e r a l i f M i s c l o s e d . F o r i n s t a n c e t he t a n g e n t b u n d l e o f S i s

    t r i v ia l , b u t S d o e s n o t a d m i t a n a f f i n e s t r u c t u r e b e c a u s e S c a n n ot b e i ~ e r s e d

    i n ~ 3 .

    I f w e c o m e b a c k t o t h e g e n e r a l c a s e , w e h a v e t o c o n s i d e r t h e u n i v e r s a l b u n d l e

    A G w i t h f i b e r A o v e r t h e c l a s s i f y i n g s p a c e B G f o r t h e d i s c r e t e g r o u p G . L e t

    v G b e t h e v e c t o r b u n d l e o v e r A G t a n g e n t t o t h e f i b e r s . T h e n t h e o p e n m a n i f o l d

    M a d m i t s a G - s t r u c t u r e i f f t h e r e i s a n e p i m o r p h i s m o f t h e t a n g e n t b u n d l e T M o n

    E x ~ p l e ~ . S ,y mp l ec t c s t r u c t u r e s

    L e t M b e a m a n i f o l d o f d i m e n s i o n 2 n. A s y m p l e c t i c s t r u c t u r e o n M i s g i v e n

    b y a d i f f e r e n t i a l 2 - f o r m ~ s u c h t h a t d ~ = 0 a n d n / O . S u c h a f o r m i s

    l o c a l l y t h e e x t e r i o r d e r i v a t i v e o f a 1 - f o r m ~ .

    C o n s i d e r t h e b u n d l e E ( M ) = T * M d u a l t o T M

    1 - j e t s o f 1 - f o r m s ~ s u c h t h a t ( d~ ) n / O . T h e n

    a n d l e t ~ O ( M ) be t h e b u n d l e o f

    r o E M )

    i s th e s p a c e o f 1 - f o r m s

    s u c h t h a t ( d~ ) n / O. T h e s p a c e F ~ 0 ( M ) h a s t he s a m e h o m o t o p y t y p e as t h e s p a c e

    o f 2 - f o r m s # o n M s u c h t h a t # n / 0 . I n d e e d t h e e x t e r i o r d e r i v a t i v e d e f i n e s a

    v e c t o r b u n d l e e p i m o r p h i s m o f ~ ( M ) o n t o t h e b u n d l e o f a n t i s y m m e t r i c b i l i n e a r f o r m s

    o n T M . I t i s a l s o w e l l k n o w n t h a t t h e s p a c e o f 2 - f o r m s # s u c h t h a t # n / 0 h a s

    t h e s a me h o m o t o p y t y p e a s t h e s p a ce o f a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e s o n M .

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    H e n c e t h e m a i n t h e o r e m i m p l i e s t h a t i f M i s o p e n , t h e r e i s a s y m p l e c t i c

    s t r u c t u r e s o n M ( i n f a c t ~ = d ~ ) i f f M h a s a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e .

    I n f a c t t h e d e R h a m c o h o m o l o g y c l a s s o f s c a n b e c h o s e n a r b i t r a r i l y i n

    H 2 ( M , I ~ ) . I n d e e d g i v e n s u c h a c l a s s h , i t i s r e p r e s e n t e d b y a 2 - f o r m s ' w i t h

    d s ' = O . L e t ~ b e a l - f o r m s u c h t h a t ( d a ) n ~ O a n d d a d e f i n e s a n a l m o s t

    c o m p l e x st r u c t u r e h o m o t o p i c to t h e g i v e n o n e. I t ~ i s a s m a l l e n o u g h p o s i t i v e

    n u m b e r , t h e n c w' + d o i a a g a i n a s y m p l e c t i c f o r m ( a t l e a s t o n a r e l a t i v e l y c o m p a c t

    o p e n s e t o f M ) ~ h i c h d e f i n es a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e h o m o t o p i c t o t h e g i v e n

    o n e a n d w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o h o m o l o g y c l a s s ~ h. T h e n ~ = s , + - 1 d ~ i s a

    ~ u n p l e c t i c f o r m w h o s e c o h o m o l o g y c l a s s i s h . S o i n t h e c a s e M o p e n , t h e c o h o m o l o g y c l as s

    o f s a n d t h e h o m o t o p y c l a s s o f t h e a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e d e f i n e d b y s c a n b e

    c h o s e n i n d e p e n d e n t l y .

    T h i s i s n o l o n g e r t r u e i f M i s c l o s e d b e c a u s e i f s i s a s y m p l e c t i c f o r m o n

    M , i t s c o h o m o l o g y c l a s s h m u s t s a t i s f y h 0 , s o i s n e v e r 0 . F o r i n s t a n c e S

    a d m i t s a n a l m o s t c o m p l e x s t r u c t u r e , b u t n o s y m p l e c t i c s t r u c t u r e .

    E x a m p l e 4 . C o n t a c t s t r u c t u r e

    L e t M b e a m a n i f o l d o f d i m e n s i o n 2 n + 1 . A c o n t a c t f o r m ~ o n M i s a

    1 - f o r m s u c h t h a t w ^ ( d ~ ) n O . T h e t h e o r e m o f G r o m o v i m p l i e s t h a t , i f M i s

    o p e n , t h e r e i s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t he h o m o t o p y c l a s s e s o f c o n t ac t

    f o r m s o n M a n d t h e h o m o t o p y c l a s s e s o f r e d u c t i o n s o f T M t o t h e g r o u p

    U ( n ) C G L ( 2 n + i ) . L u t z a n d M a r t i n e t h a v e p r o v e d t h a t t h is is a l s o t r u e f o r

    c l o s e d 3 - m a n l f o l d s .

    I I . P r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m

    F i r s t r e m a r k t h a t t h e m - m a n i f o l d M i s o p e n i f f t h e r e is o n

    f u n c t i o n f : M ~ [ 0, ~ ) w i t h a l l c r i t i c a l p o i n t s of i n d e x < m

    W e c a n o r d e r t h e c r i t i c a l p o i n t s a l , a 2 , . .. o f f

    c = f ( a i ) a r e i n c r e a s i n g .

    A r o u n d e a c h a i, t h er e a r e l o c a l c o o r d i n a t e s

    t h e f o r m

    M a p r o p e r M o r s e

    (of. Phi lli ps [5]).

    s u c h t h a t t h e c r i t i ca l v a l u e s

    ( X l , . . . , X m ) s u c h t h a t f i s o f

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    m

    t h e i n d e x k b e i n g l e s s t h a n m .

    F o r e a c h i , l e t M i = f - i [ 0, c + ~ i ] w h e r e C i + l - c i > ~' > 0 a n d i

    i s s m a l l . L e t M 3 b e M i m i n u s t h e s e t o f p o i n t s x = . ~( x . . . ' re'x) i n t h e

    i - 1

    n e i g h b o u r h o o d o f a i s u c h t h a t X l + . . . + x 2 < ~ i / 2 , w h e r e ~ i i s a v e r y s m a l l

    p o s i t i v e n u m b e r .

    M Z _ I i s a m a n i f o l d h a v i n g a b o u n d a r y w i t h a n e d g e d i f f e o m o r p h i c t o

    ~ - l s n - k - 1

    x . I t c a n b e o b t a i n e d b y a d d i n g t o M i _ l , a l o n g i t s b o u n d a r y a M i _ l ,

    a c o l l a r l i k e n e i g h b o u r h o o d , n a m e l y a s u b s p a c e o f a M i _ 1 x [ 0 , l ] o f t h e f o r m

    I ( x , t ) , t .< g i ( x ) l , w h e r e g i " a M i - 1 - + ] 0 , 1 ] .

    l

    M i i s t h e u n i o n o f M i _ 1 a n d A w h i c h i s d i f f e o m o r p h i c t o ~ x D e 'k ,

    M l D m - k

    i - 1 f h A b e i n g d i f f e o m o r p h i c t o a c o l l a r n e i g h b o u r h o o d B o f a D x

    W e s h a l l s a y t h a t M i i s M i _ 1 w i t h a k - h a n d l e a t t a c h e d .

    M i s r e p r e s e n t e d a s t h e u n i o n o f a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e

    M C

    .

    C

    M i _ I

    C

    M " I M ~ i

    c

    i- I c M i c ...

    o f c o m p a c t m a n i f o l d s w i t h b o u n d a r y .

    T h e t h e o r e m f o l l o w s f r o m t h e t h r e e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n s .

    W r i t e F o ( M ) f o r F o E ( M ) a n d F ( M ) f o r F E o ( M ) .

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    p r o p o s i t i o n I .

    is a w.h.e.

    T h e t h e o r e m i s t r u e i f M i s t h e m - d i s c D , n a m e l y

    r

    J : P o ( D ) . r ( D )

    P r o p o s i t i o n 2 . S u p p o s e t h a t M i s o b t a i n e d f r o m M b y g l u e i n g a l o n g i t s

    b o u n d a r y a c o l l a r l i k e n e i ~ h b o u r h o o d .

    T h e n t h e r e s t r i c t i o n m a p s

    r o M ~ ) ~ t o M )

    r M 1 ) ~ r M )

    a r e w . h . e , a n d S e r r e f i b r a t i o n s .

    P r o p o s i t i o ~ . L e t A = D k D - k = n k D - k

    and B ~I

    D ~ = Ix E Dk; ~ Ixl ~ ii- The n the res tri cti on map,,s

    PO : PO (A) -* PO (B)

    p : P(A) ~ P(B)

    a r e S e r r e f i b r a t l o n s .

    , w h e r e

    b ) C o n v e r s e l y , i f g x : E x ~ E i s a w . h . e , f o r e a c h f i b r e , t h e n s o i s g .

    g x

    T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e h o m o t o p y e x a c t s e q u e n c e o f t h e f i b r a t i o n s

    a n d t h e f i v e l e m m a .

    A s s u m e b y i n d u c t i o n t h a t t h e t h e o r e m i s t r ue f o r c o m p a c t m a n i f o l d s w h i c h a r e

    u n i o n s o f h a n d l e s o f i n d e x < k . P r o p o s i t i o n 1 i s t h e s t a r t o f t h e i n d u c t i o n . W e

    w a n t t o p r o v e t h a t i f t h e t h e o r e m i s t r u e f o r t h e m - m a n i f o l d ~ , i t i s a ls o t r u e f o r

    t h e m a n i f o l d M o b t a i n e d f r o m M b y a t t a c h i n g a h a n d l e o f i n d e x k < m . A s b e f o r e

    I

    M i s t h e m a n i f o l d M w i t h a c o l l a r l i k e n e i g h b o u r h o o d a d d e d a l o n g i t s b o u n d a r y a n d

    M = M 7 U A , M I A A = B .

    b e a f i b r e m a p w i t h p r o j e c t i o n g : B ~ B . A s s u m e g i s a w . h . e . T h e n

    a ) I f g i s a w . h . e , t h e n s o i s i t s r e s t r i c t i o n g x : E x ~ E t o e a c h f i b r e

    g x

    o f E .

    A ss u ~n i ng t h e s e t h r e e p r o p o s i t i o n s , t h e t h e o r e m i s p r o v e d b y i n d u c t i o n ( a s i n

    t h e i m m e r s i o n c a s e ) u s i n g t h e f o l l o w i n g l e m m a .

    L e m m a : L e t p : E ~ B a n d p : E ~ B b e S e r r e f i b r a t i o n s . L e t g : E ~ E

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

    9/14

    36

    C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c o m m u t a t i v e d i a g r a m

    .r

    r 0 A ) ~ r A )

    1 )

    r

    t o B) ~ r B)

    B y p r o p o s i t i o n 3 , t h e m a p s P 0 a n d

    ( a n d p r o p o s i t i o n 2 ) , j r : F 0 ( A ) ~ F ( A ) i s a w . h . e . , a n d a l s o j : F o ( B ) ~ F ( B )

    b e c a u s e B i s t h e u n i o n of a 0 - h a n d l e a n d a ( k - 1 ) - h a n d l e . T h e l e m m a i m p l i e s t h a t

    r

    j i s a w . h . e , o n e a c h f i b r e .

    C o n s i d e r n o w t h e c o r r e s p o n d i n g d i a g r a m

    .r

    ro ( M )

    p a r e S e r r e f i b r a t i o n s B y p r o p o s i t i o n

    r

    r ~ , )

    ( 2 ) P o S P

    r o ( ~ ) . r(M -7 )

    B y r e s t r i c t i o n t o A a n d B , t h e d i a g r a m ( 2) i s m a p p e d i n t o t h e d i a g r a m ( 1 )

    a n d th e v e r t i c a l m a p s o f (2 ) a r e t h e p u l l b a c k f i b r a t i o n s o f th e fi b r a t i o n s P 0 a n d

    p i n ( 1) . S o t h e y a l s o a r e S e r r e f i b r a t i o n s a n d ~q e r e s t r i c t i o n o f j r t o e a c h

    f i b e r a ~ s o i s a w . h . e . B y a s s u m p t i o n a n d p r o p o s i t i o n 2 , j r : F o ( M W ) ~ r ( M N ) i s a

    w . h . e . , h e n c e t h e l e m m a i m p l i e s t h a t j r : r 0 ( M , ) ~ F ( M ' ) i s a l s o a w . h . e .

    T o g e t t he t h e o r e m f o r m a n i f o l d s w h i c h a r e u n i o n s o f a n i n f i n i t e n u m b e r o f

    h a n d l e s , o n e r e m a r k s t h a t t o m a n d P M a r e t h e i n v e r s e l i m i t s o f t h e T o M i a n d

    r M i , a n d o n e a p p l i e s t h e f o l l o w i n g l e m m a ( cf . P h i l l i p s [ 5] ).

    L e m m a

    C o n s i d e r t h e c o m m u t a t i v e d i a g r a m

    Ai+ 1 ~ A i ~ Ai_ 1 ~ ... ~

    S J i l S A S A - 1 S J l

    -+ B i+ -* B i -+ Bi _ I -~ ... -~ B I

    w h e r e a l l t h e h o r i z o n t a l m a p s a r e S e r r e fi b r a t i o n s a n d t h e m a p s

    T h e n j = l i m J i : l i m A i ~ l i m B i i s a l s o a w . h . e .

    J i a r e w . h . e .

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

    10/14

    137

    P r o o f o f p r o p o s i t i o n I .

    T h e f i b r e b u n d l e E ( D )

    a r e i d e n t i f i e d w i t h m a p s o f

    r m

    w i t h J O ( D , F ) .

    I t i s c l e a r t h a t t h e r e s t r i c t i o n m a p

    p

    :

    P Dm) . .. . ~ r o )

    i s a p r o d u c t b u n d l e D x F . S e c t i o n s o f t h i s b u n d l e

    D i n F , a n d t h e f i b r e o f E r ( D ) a b o v e 0 E D

    w h e r e r ( O ) i s t h e f i b e r o f ~ o ( D ) a b o v e 0 c D , is a h o m o t o p y e q u i v a l e n c e .

    c e i t i s s u f f i c i e n t t o p r o v e t h a t

    p 0 j r : P o ( D ) ~ P ( O )

    H e n -

    T h e n g ( s ) = - - I 0 F 0 h d e f i n e s a m a p

    s

    is f.

    I n j e c t i v i t y i s p r o v e d i n a s i m i l a r w a y .

    P r o o f o f p r o p o s i t i o n 2 . L e f t t o t h e r e a d e r . O n e u s e s t h e f a c t t h a t s e c t i o n s c a n

    b e e x t e n d e d t o a n e i g h b o u r h o o d U o f M i n M ~ , a n d t h a t t h e r e i s a n i s o t o p y,

    f i x e d o n a n e i g h b o u r h o o d o f M , d e f o r m i n g t h e i d e n t i t y o f M l i n t o a n e m b e d d i n g o f

    M 7 in U.

    P r o o f o f p r o p o s i t i o n ) .

    DenO te by ~[a ,b] the annu lus Ix e I~ , a . Ixl ~ bl, by Dka the disc

    i d e n t i t y o n a n e i g h b o u r h o o d of O .

    g : S r O ( D m )

    w h o s e r - j e t a t 0

    T h i s p r o v e s s u r j e c t i v i ty .

    i s a w . h . e .

    L e t u s p r o v e t h a t . i r o D m ) ) ~ . i r o ) ) i s s u r j c o t i v e W e c a ~ c o n s i d e r F

    a s a c l o s e d s u b m a n i f o l d i n s o m e e u c l i d e a n s p ac e ~ N a n d l e t . : W - ~ F b e a

    d i f f e r e n t i a b l e r e t r a c t i o n , w h e r e W i s a n o p e n t u b u l a r n e i g h b o u r h o o d o f F i n I~ .

    L e t f : S -~ r ( O ) c ~ 0 ( D m F ) c ~ o ( D , I ~ N ) . R e p l a c i n g e a c h J e t o f

    ~ o ( D , ~ N ) b y i t s p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a t i v e o f de g r e e r , w e g et a m a p

    F : S x D ~ I~ suc h that, for each s e S D I~

    t h e m a p F : -* d e f i n e d b y

    s

    Fs( X ) = F(s, x) is of class C .r

    j F s i s c o n t i n u o u s i n s a n d j r F s ( O ) = f ( s ) .

    T h e r e i s a n e i g h b o u r h o o d o f V o f 0 I n ~ s u c h t h a t F ( S i V ) c W . L e t

    F = ~ 0 F IV .

    A s E O ( D m ) i s a n o p e n s u b b u n d l e , t h e r e i s a n e i g h b o u r h o o d U o f 0 i n V

    s u c h t h a t F s l U e F o ( U ) . L e t h b e a n e m b e d d i n g o f D i n U w h i c h i s t h e

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

    11/14

    138

    Ix E I~ , Ixl ~ a I and by S the spher e Ix E I~ , Ixl = a I. We sha ll den ote by

    k D m - k D m - k

    A t h e p r o d u c t D 2 x a n d B w i l l b e D k

    [ i 2 ]

    T h e b u n d l e E (I ~ ) i s a p r o d u c t b u n d l e m m x F ( b u t t h e a c t i o n o f t h e d i f f e o -

    m o r p h i s m g r o u p o f I~ m a y n ot b e t r i v i a l ) . S e c t i o n s o f th i s b u n d l e w i l l b e i d en t i -

    f i e d w i t h m a p s o f ~ m t o F .

    L e t P b e a p o l y h e d r o n ( c o n s i d e r e d a s a p a r a m e t e r s p a ce ) . I f U i s a s u b s p a c e

    o f I ~ x P , a l l t h e m a p s f : U - + F w e s h a l l c o n s i d e r w i l l b e a s s u m e d t o b e of

    c l a s s C o n t h e s l i c e s U n ( m m x [ P l ) a n d t h e i r r - j e t s j r f ( o n s u c h s l i c e s ) t o

    r

    b e c o n t i n u o u s o n I ~ P . I f t h i s r - j e t b e l o n g s t o t he g i v e n s u b b u n d l e E 0 , w e

    s h a l l s a y t h a t f i s a d m i s s i b l e .

    T h e f a c t t h a t r ( A ) - , r B ) i s a S e r r e f i b r a t i o n f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e

    u s u a l c o v e r i n g h o m o t o p y p r o p e r t y f o r l o c a l l y t r i v i a l bu n d l e s .

    S a y i n g t h a t P o ( A ) -* F o ( B ) i s a S e r r e f i b r a t i o n m e a n s t h e f o l l o w i n g : g i v e n a

    p o l y h e d r o n P , a c o n t i n u o u s m a p f : P x I -* F o ( D ~ I , 2 ] x D - k ) a n d a c o n t i n u o u s m a p

    g o : P x 0 - + F o ( D D m - k ) , t h e r e i s a c o n t i n u o u s m a p g : P x I -* F o ( D D - k )

    e x t e n d i n g g o a n d s u c h t h a t p g = f .

    o

    D D m - k )

    P

    > r o

    C g / 1

    /

    P I f ~ D -k)

    r o ( D 1 , 2 ] x

    E q u i v a l e n t l y , w e a r e g i v e n a d m i s s i b l e m a p s f : D ~ l , 2 ] x D - k x P x [ O , 1 ] -+ F

    k D m - k

    a n d g o : D 2 x P x 0 -~ F w h i c h c o i n c i d e o n t h e c o m m o n p a r t . W e h a v e t o f i n d

    k D m - k

    a n a d m i s s i b l e e x t e n s i o n g t o t h e w h o l e o f D 2 x P x [ 0 , i ] .

    T h e c o n s t r u c t i o n w i l l b e d o n e i n t h r e e s t ep s .

    a ) E x t e n d f t o a n a d m i s s i b l e m a p f o f a n e i g h b o u r h o o d , D D - k

    ~ 2 ] P [ 0 i ]

    w h e r e ~ < i , f b e i n g e q u a l t o g o w h e r e b o t h a r e d e f i n e d .

    b ) W e c l a i m t h e r e i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e 0 = t O < t < . .. < t = 1 a n d f o r

    e a c h n , 0 ~< n < s, t h e r e i s a n a d m i s s i b l e m a p ~ n d e f i n e d o n a n e i g h b o u r h o o d o f

    x x P [ t n , t n + l ] s u c h t h a t :

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

    12/14

    39

    ~ n ( X , y , p , t ) = f ( x , y , p , t ) f o r t = t o r

    f o r x i n a n e i g h b o u r h o o d o f D ~ I , 2 ]

    N n ( X , y , p , t ) = ~ n ( X , y , p , t n ) f o r x i n s o m e n e i g h b o u r h o o d o f

    S i

    T h i s i s b e c a u s e s u c h a m a p ~ ( n o t n e c e s s a r i l y a d m i s s i b l e ) c a n b e c o n s t r u c t e d

    u n i f o r m l y f o r e a c h v a l u e o f t ; a s a d m i s s i b i l i t y i s a n o p e n c o n d i t i o n , ~ w i l l b e

    a d m i s s i b l e f o r s m a l l v a r i a t i o n s o f t . W e c a n c o n s t r u c t t h e t . u s i n g t h e

    c o m p a c t n e s s of t h e i n t e r v a l [ 0 , 1 ]

    U s i n g ~ 0 w e c a n c o n s t r u c t t h e e x t e n s i o n g o n t h e s t r i p

    b y t h e f o r m u l a k

    ~ ( x , y , p , t ) f o r x E m [ ~ , 2 ]

    g x , y , p , t ) :

    g O ( x , y , p , O ) f o r x ~ O ~ e , 2 ]

    D m - k

    D 2 x x P x [ O , t l ]

    c S u p p o s e i n d u c t i v e l y t h a t we h a v e a l r e a d y c o n s t r u c t e d a n a d m i s s i b l e m a p

    k

    g n : D 2 x D - k x P x [ 0 , t n S ~ F e x t e n d i n g g o a n d e q u a l t o f o n a

    k D m - k S , w h e r e ~ < ~ < 1 .

    n e i g h b o u r h o e d o f D [ ~ , 2 ] x x P x [ 0 , t

    k D m - k

    L e t U c D 2 x b e s o m e n e i g h b o u r h o o d o f D k

    ~ , ~ ] x 0 o n ~ h i c h

    a r e b o t h d e f i n e d , a n d s u c h t h a t U (3 ( D ~ l , 2 ] x D - k ) = ~ .

    k D - k

    A s k < m , t h e r e i s a n i s o t o p y A t o f D 2 x 0 ~< t ~ t n ,

    i ) A t i s t h e i d e n t i t y o u t s i d e o f U a n d o n a n e i g h b o u r h o o d o f S ~

    x O . A l s o A i s t h e i d e n t i t y f o r t ~ t n / 2 .

    ~ n a n d f

    s u c h t h a t

    x 0 a n d

    2 ) A t m a ~ s S x 0 o n S x O , w h e r e ~ i s s u c h t h a t ~ < ~ < l

    n

    O n e f i r s t d e f i n e s g n + l o n a s m a l l e n o u g h n e i g h b o u r h o o d o f t h e c o r e

    C = K ( D x O ) ~) ( D K 1 , 2 s X D m - k ) s x P x K 0, t n + l S b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a s :

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

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    14

    t n + l

    t

    n

    I V

    T r i v i a l d e f o r m a t i o n

    g n

    I I I

    |

    I I

    i

    t

    I

    A t

    , f l

    I

    ~ n " A t

    O n p a r t I ( d e f i n e d b y ]Ixl ] ~ , 0 .< t .< t n )

    g n + l = g n

    O n p a r t I I ( d e f i n e d b y .< N x ll .< 2 , 0 ~ t

  • 8/9/2019 Lectures on the Theorem of Gromov

    14/14

    4

    f o r t h c o m i n g p a p e r o f J . C I . H a u s m a n n ) .

    O n e u s e s s e m i - s i m p l i c i a l c o m p l e x e s i n s t e a d o f to p o l o g i e s , t h e r e a s o n b e i n g t h a t

    t h e r e i s f o r i n s t a n c e n o t o p o l o g y w h i c h m a k e s t h e s e t o f t o p o l o g i c a l i m m e r s i o n s o p e n

    i n t h e sp a c e o f m a p s . T h e s c h e m e o f t h e p r o o f r e m a i n s e s s e n t i a l l y t h e s a m e. T h e

    m a i n d i f f i c u l t y i s t o l i f t s m a ll h o m o t o p i e s ( t o c o n s t r u c t t h e m a p s ~ i i n th e p r o o f

    o f p ro p o s i t i o n 3 , p a r t 6 ) . T h i s i s a c h i e v e d u s i n g t h e C e r n o w s k i - K i r b y - E d w a r d s

    t h e o r e m o n l o c a l c o n t r a c t i b i l i t y o f s p a c e s o f h o m e o m o r p hi s m s o

    R e f e r e n c e s

    i ] F e l t , S . D . k - m e r s i o n s o f m a n i f o l d s , A c t a M a t h e m a t i c a ( 1 96 9 ) .

    [ 2] G r o m o v , M . I . I z v . A k a d . N a u k S S S R 3 3 ( 1 9 6 9 ) , 7 0 7 - 7 3 4 .

    3 ] H a e f l i g e r , A . a n d P o e n a r u , V . L a c l a s s i f i c a t i o n d e s i m m e r s i o n s c o m b i n a t o i r e s ,

    P u b l i c a t i o n s I . H . E . S .

    [4~ Hirsch, M.W.

    S J P h i l l i p s , A .

    6 ] P h i l l i p s , A .

    7] Smale, S.

    8] Thom, R.

    I m m e r s i o n s o f m a n i f o l d s , T r a n s . A M S 9 3 ( 1 9 59 ) , 2 4 2 - 2 7 6 .

    S u b m e r s i o n s o f o p e n m a n i f o l d s , T o p o l o g y 6 ( 19 6 7 ), 1 7 1 - 2 0 6 .

    S m o o t h m a p s t r a n s v e r s e t o a f o l i a t i o n , B u l l . A M S ( t o a p p e a r ) .

    T h e c l a s s i f i c a t i o n o f i m m e r s i o n s o f s p h er e s i n E u c l i d e a n s p a ce s ,

    Ann. o f Math. 69 (1959), 327-3~J+.

    /

    L a c l a s s i f i c a t i o n d e s i m m e r s i o r s d a p r e s S ~ a l e , Se m i n a m re

    B o u r b a k i , D e c. 1 9 5 7 .