lerch & grossman
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Universidad de Santiago de ChileFacultad de IngenieríaDepartamento de Ingeniería en Minas
“Diseño pit final mediante algoritmo:
Lerchs & Grossman”
Diseño y Planeamiento Minero Santiago, 5 de Marzo de 2011
Integrantes: Daniel Núñez Z.Miguel Vásquez Z.
Profesor: Eduardo Contreras
Diseño y Planeamiento Minero
Índice- Algoritmo Lerchs & Grossman
(2D).
- Algoritmo 2 ½D (Johnson & Sharp).
- Ventajas y Desventajas.
- Ejemplos prácticos.
Diseño y Planeamiento Minero
Algoritmo Lerchs & GrossmanAlgoritmo de programación dinámica que
permite determinar la configuración óptima de bloques, previamente valorizados en una sección transversal.
El algoritmo trabaja con un modelo de bloques de un cuerpo mineralizado y de sus alrededores, y determina qué bloques deberían ser extraídos para obtener el máximo valor económico del rajo. De esta forma, este conjunto de bloques extraídos define el diseño óptimo del rajo final.
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico
i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
2 -1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1
3 -1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1
4 -1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2
5 -2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1
Paso1:
A partir de un modelo de bloques entregado, se representan secciones transversales con los beneficios económicos (Bij) que reportará cada bloque al explotarlo.
Diseño y Planeamiento Minero
Paso 2:
Se construye la matriz de beneficios acumulados sumando los valores por columna y de arriba hacia abajo. Cada valor acumulado es designado por Mij.
1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1
-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2
-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1
0
-1
-2
-4
Diseño y Planeamiento Minero
1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1
-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2
-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1
1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
0 -3 -2 0 -3 11 -2 -2 7 -2
-1 -4 4 -4 4 9 -5 -3 6 -3
-2 -5 3 -16 2 17 -6 -4 5 -5
-4 -6 1 -19 15 16 -9 -5 3 -6
Diseño y Planeamiento Minero
Paso 3:
A continuación: Pij = Max ( pr, j-1) + Mij
Donde:
Pij = Corresponde al valor del coeficiente (i,j) de la nueva matriz.
Max (Pr , j-1 ) = con r = -1, 0, 1 representa el máximo valor entre los coeficientes a la izquierda arriba, a la izquierda y a la izquierda abajo del coeficiente (i,j) de Lerchs & Grossman que se evalúa.
Mij = Corresponde al coeficiente (i,j) de Lerch & Grossman que se está evaluando.
Diseño y Planeamiento Minero
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
0 0 -3 -2 0 -3 11 -2 -2 7 -2
0 -1 -4 4 -4 4 9 -5 -3 6 -3
0 -2 -5 3 -16 2 17 -6 -4 5 -5
0 -4 -6 1 -19 15 16 -9 -5 3 -6
-1
-6
Se agrega una columna y una fila con valores 0, para poder aplicar el algoritmo.
Diseño y Planeamiento Minero
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
0 0 -2 -3 0 -3 11 -2 -2 7 -2
0 -1 -4 2 -4 4 9 -5 -3 6 -3
0 -2 -6 -1 -16 2 17 -6 -4 5 -5
0 -4 -8 -5 -19 15 16 -9 -5 3 -6
Los números en azul, son los bloques antes del paso n°4.
-2
Diseño y Planeamiento Minero
Paso 4: Se construye la nueva matriz con las flechas
correspondientes.
0 0 1 1 1 3 3 3 16 16 20
0 1 -1 0 3 1 2 16 15 20 22
0 0 -2 -3 2 0 17 15 16 23 21
0 -1 -4 2 -2 6 15 18 15 22 20
0 -2 -6 -1 -14 0 23 17 14 20 17
0 -4 -8 -5 -20 1 17 14 12 17 14
Diseño y Planeamiento Minero
Paso 5:
Busque el valor máximo de la última columna . Este es el beneficio máximo del pit óptimo.
0 0 1 1 1 3 3 3 16 16 20
0 1 -1 0 3 1 2 16 15 20 22
0 0 -2 -3 2 0 17 15 16 23 21
0 -1 -4 2 -2 6 15 18 15 22 20
0 -2 -6 -1 -14 0 23 17 14 20 17
0 -4 -8 -5 -20 1 17 14 12 17 14
Diseño y Planeamiento Minero
Aplicando al modelo inicial.
1 -2 -1 2 -2 -1 -1 -1 4 -1
-1 -1 -1 -2 -1 12 -1 -1 3 -1
-1 -1 6 -4 7 -2 -3 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -12 -2 8 -1 -1 -1 -2
-2 -1 -2 -3 13 -1 -3 -1 -2 -1
Beneficio: 1 – 2 – 1 – 1 + 6 + 2 – 2 – 2 – 1 + 7 – 1 + 12 – 2 + 8 – 1 – 1 – 3 – 1 – 1 + 4 + 3 – 1 = 22
Diseño y Planeamiento Minero
VentajasEl método elimina el proceso de prueba
y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones.
La metodología es fácil de programar y es confiable en lo que hace.
Es matemáticamente exacto.El método entrega un óptimo
garantizado, es decir, no existe otra combinación de bloques que entregue mayor beneficio.
Diseño y Planeamiento Minero
DesventajasSu mayor problema es la complejidad para
suavizar el fondo de la explotación.Trabaja solo en 2 dimensiones (sección
transversal).Como el método trabaja en 2 dimensiones de
forma independiente, no hay ninguna seguridad de que una sección presente un diseño compatible, geométricamente, con la siguiente.
Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque.
El ángulo de talud utilizado es de 45°, supone bloques iguales en altura y ancho.
Diseño y Planeamiento Minero
Evolución del método
-Helmut Lerchs e Año 1965
Ingo F. Grossman Optimización de rajos.Trabaja en una sección simple a la vez.
-Johnson, Sharp. Año 1971 Trabaja a lo largo de las secciones como a través de éstas en un intento por unirlas.
-Koenigsberg Año 1982
Trabaja en ambas direcciones al mismo tiempo.
Diseño y Planeamiento Minero
Lerchs and Grossman 2 ½ D
Es una mejora del método en 2D y fue propuesto por Johnson y Sharp en 1971.
Añade “parcialmente” una tridimensionalidad.
El algoritmo utiliza el concepto de bloque, para modelar el yacimiento.
Diseño y Planeamiento Minero
Lerchs and Grossman 2 ½ D
Se debe dividir en distintas secciones o tajadas el bloque a analizar.
Cada una de estos colores representa una sección de análisis.
Secciones
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico
Secciones
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5
-9 -9 3 4 3 -9 -9
-8 -8 5 5 5 -9 -9
-9 -9 -9 4 4 -9 -9
-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5
-7
-7
-9
-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9
-4
-1
-1
-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9
-8
-7
-2
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico PIT2 -3 1 -7
-1
0
3
-10
-2
-5
5
7
-1
0
-7
-13
-1
-5
-19
-44
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5
-9 -9 3 4 3 -9 -9
-8 -8 5 5 5 -9 -9
-9 -9 -9 4 4 -9 -9
-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5
-8 -2 4 5 4 -3 -7
-9 -9 3 12 7 -7 -7
-9 -9 -9 7 7 5 -9
-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9
-6 -5 1 5 1 -5 -4
-9 -9 4 5 9 -2 -1
-4 -1 -2 9 3 -2 -1
-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9
-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8
-9 -5 1 3 1 -7 -7
-2 2 1 1 2 1 -2
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5
-9 -9 3 4 3 -9 -9
-8 -8 5 5 5 -9 -9
-9 -9 -9 4 4 -9 -9
-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5
-8 -2 4 5 4 -3 -7
-9 -9 3 12 7 -7 -7
-9 -9 -9 7 7 5 -9
-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9
-6 -5 1 5 1 -5 -4
-9 -9 4 5 9 -2 -1
-4 -1 -2 9 3 -2 -1
-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9
-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8
-9 -5 1 3 1 -7 -7
-2 2 1 1 2 1 -2
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5
-9 -9 3 4 3 -9 -9
-8 -8 5 5 5 -9 -9
-9 -9 -9 4 4 -9 -9
-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5
-8 -2 4 5 4 -3 -7
-9 -9 3 12 7 -7 -7
-9 -9 -9 7 7 5 -9
-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9
-6 -5 1 5 1 -5 -4
-9 -9 4 5 9 -2 -1
-4 -1 -2 9 3 -2 -1
-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9
-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8
-9 -5 1 3 1 -7 -7
-2 2 1 1 2 1 -2
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-4 -4 -2 -1 -1 -4 -5
-9 -9 3 4 3 -9 -9
-8 -8 5 5 5 -9 -9
-9 -9 -9 4 4 -9 -9
-5 -5 -4 -2 -4 -5 -5
-8 -2 4 5 4 -3 -7
-9 -9 3 12 7 -7 -7
-9 -9 -9 7 7 5 -9
-9 -7 -2 -1 -2 -7 -9
-6 -5 1 5 1 -5 -4
-9 -9 4 5 9 -2 -1
-4 -1 -2 9 3 -2 -1
-7 -7 -1 -1 -1 -8 -9
-9 -9 -1 -2 -1 -3 -8
-9 -5 1 3 1 -7 -7
-2 2 1 1 2 1 -2
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico
2
-3
1
-7
-1
0
3
-10
-2
-5
5
7
-1
0
-7
-13
-1
-5
-19
-44
Sección 1
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
-3 -4 -2 1 1 -6 -9
-6 -8 -1 -3 3 -5 -9
-8 -8 6 12 6 -9 -9
-8 -8 -8 5 3 -9 -9
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico
2 -1 -2 -1 -1-3 0 -5 0 -51 3 5 -7 -19-7 -10 7 -13 -44
El valor neto se obtiene sumando los valores de bloque presentes a lo largo
del contorno final.Valor de la corta = 2 + 0 + 5 + 0 + (-
1) = 6
Diseño y Planeamiento Minero
Ejemplo Práctico
-1 -1-2-2
-5
12
5 44
-5 -4 -2 -4 -5
4
-2 -1 -11 1
1 1-2
-8
12
44
-5 -5
Diseño y Planeamiento Minero
VentajasEs matemáticamente exacto.Algoritmo “relativamente” fácil
de programar.Fácil de aplicar y rápido
procesamiento, dependiendo de la cantidad de bloques y capacidad computacional.
Diseño y Planeamiento Minero
DesventajasDificultad para incorporar
cambios en las pendientes de la explotación, pues éstas tienen que venir definidas por la morfología del bloque, incluso cuando los bloques son cúbicos no siempre se obtienen ángulos de 45°
Notable esfuerzo para suavizar el fondo de la explotación
No entrega el resultado más “óptimo”.
Diseño y Planeamiento Minero
GRACIAS…