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Liceo Scientifico “Severi” Salerno

VERIFICA SCRITTA MATEMATICA

Docente: Pappalardo Vincenzo Data: 20/10/2018 Classe: IV D

1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni esponenziali:

3x+1( )x−2⋅93x+2 = 81x+2

Applichiamo la proprietà delle potenze:

3(x+1)(x−2) ⋅32(3x+2) = 34(x+2) ⇒ 3(x+1)(x−2)+2(3x+2) = 34(x+2)

La soluzione dell’equazione è:

(x +1)(x − 2)+ 2(3x + 2) = 4(x + 2) ⇒ x2 + x −6 = 0 ⇒ x1 = −3 x2 = 2

nn nm 54x−1

5x−1−53x

5x−1−51−x

51−2x+5= 0


51+ x +51− x =10

5⋅3x−1 −3⋅ 5

2x−1

5x= 0


ex+1 − ex

e5x −1≤ 0

(2x −8)(22x −3⋅2x+1 +8) ≥ 0


30 ⋅ 23⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x/2

− 27 ⋅ 23⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x

−8 ≤ 0

2. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni logaritmiche:

log(2x +15)− log15− log x = − log(x − 2)

Campo di esistenza dell’equazione:

2x +15> 0x > 0x − 2 > 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇒ soluzione : x > 2 ⇒ C.E.= 2;+∞⎤⎦ ⎡⎣

Utilizziamo le proprietà del logaritmo:

log(2x +15)+ log(x − 2) = log15+ log x ⇒ log(2x +15)(x − 2) = log15x Quindi, la soluzione è:

(2x +15)(x − 2) =15x ⇒ x2 − 2x −15= 0 ⇒ x1 = 5 x2 = −3 Le soluzioni non vanno accettate perché non soddisfano il C.E.


log2 x( )2−6log2 x +8 = 0

Campo di esistenza:

x > 0 Introducendo la variabile ausiliaria:

log x = t l’equazione diventa:

t2 −6t +8 = 0 ⇒ t1 = 4 t2 = 2 Quindi:

log2 x = 4⇒ x1 = 24 =16 log2 x = 2⇒ x2 = 22 = 4 Entrambe le soluzioni vanno accettate perché soddisfano il C.E.

4log9 x

− 2− 3log9 x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟− 2 ⋅ 1−

1log9 x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=14


log2x +3x

>1

1+ 2ln x ≥ ln(2x)


ln x2 − ln2 x ≥ 0

log2(e2x − ex ) >1


3. Risolvere graficamente le seguenti equazioni:

12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x+2

= ln(x +1)

soluzione: x≈0,2


2x = x2 − 2

soluzione x1≈-1,5; x2≈-1,3; x1≈0,7

4. Trovare dominio e codominio delle seguenti funzioni e stabilire se sono invertibili:

y =1− ex2

• Dominio:

D =ℜ = −∞;+∞⎤⎦ ⎡⎣

• Codominio:

ex2

=1− y ⇒ x2 = ln(1− y) ⇒ x = ± ln(1− y)

1− y > 0ln(1− y) ≥ 0

⎧⎨⎩

⇒ y <11− y ≥1

⎧⎨⎩

y <1y ≤ 0

⎧⎨⎩

⇒ y ≤ 0 ⇒ C = −∞;0⎤⎦ ⎡⎣

• La funzione non è iniettiva (guardare l’espressione della x in funzione della y), quindi non è biunivoca e pertanto non è inveretibile nel suo dominio.


y = 1− ex

1+ ex

• Dominio:

1+ ex ≠ 0 ⇒ ex ≠ −1 ⇒ ∀x ∈ℜ ⇒ D = −∞;+∞⎤⎦ ⎡⎣

• Codominio:

y = 1− ex

1+ ex ⇒ ex = 1− y

1+ y ⇒ x = ln 1− y

1+ y⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1− y1+ y

> 0 ⇒ C = −1;1⎤⎦ ⎡⎣

• La funzione è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa è:

y = ln 1− x1+ x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

y =1+ ln(3x)

• Dominio:

x > 0 ⇒ D = 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣

• Codominio:

y =1+ ln(3x) ⇒ 3x = e y−1 ⇒ x = ey−1

3 ⇒C = −∞;+∞⎤⎦ ⎡⎣

• La funzione è biunivoca e quindi invertibile. La funzione inversa è:

y = ex−1

3

5. a) Disegna la funzione y=4x+a+b, sapendo che passa per il punto P(1/2;31) e che la retta di equazione y=2x+5 la interseca nel suo punto di ascissa -1; b) determina l’inversa.

Soluzione


a = 2; b = −1 ⇒ y = 4x+2 −1

La funzione y = 4x+2 −1 è biunivoca e quindi ammette inversa : y = f −1(x) = log4(x +1)− 2

6. Studiare le seguenti funzioni:

y = e1x

2− ln2 x

y = ln 2x2 + x


y = x2

log 1− xx2

"

#$

%

&'

7. Il polonio-218 (218Po) si trasforma in piombo-214 (214Pb) con un periodo di dimezzamento T1/2=3,05 min. Dopo quanto tempo un campione di polonio-218 si è ridotto a 1/100 della sua consistenza iniziale? La legge del decadimento è:

N (t) = N0e−t /τ dove : τ =

T1/2

ln 2

Soluzione

Se indichiamo con N0 il numero di nuclei di 218Po presenti all’istante t=0 s, il problema chiede qual è l’istante t in corripsondenza del quale si ha N(t)=N0/100. La vita media del 218Po è data dalla seguente relazione:

Utilizzando la legge del decadimento radioattivo:

possiamo scrivere che:

Dopo circa 20 minuti, il numero di nuclei di 218Po si è ridotto a 1/100 del valore iniziale.

τ =T1/2ln2

=3,05 ⋅600,693

= 264 s

N(t) = N0e−t/τ

N0

100= N0e

−t/τ da cui⎯ →⎯⎯ t = τ ln100 = 264 ⋅ 4,605=1220 s ≅ 20 min

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