KATEDRA INFORMATIKY

PRIRODOVEDECKA FAKULTA

UNIVERZITA PALACKEHO

LINEARNI ALGEBRA 1

OLGA KRUPKOVA

VYVOJ TOHOTO UCEBNIHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVANEVROPSKYM SOCIALNIM FONDEM A STATNIM ROZPOCTEM CESKE REPUBLIKY

Olomouc 2008

Abstrakt

Tento text distancnıho vzdelavanı obsahuje uvodnı partie kurzu z linearnı algebry. Predstavuje zaklady maticovehopoctu, systemy linearnıch rovnic a uvod do teorie vektorovych prostoru.

Cılova skupina

Text je primarne urcen studentum prezencnıho studia informatiky. Jako studijnı pomucka je vhodny rovnez prostudenty vsech forem studia oboru matematickych, informatickych a fyzikalnıch.

Obsah

1 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Cıselna pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Cıselne matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Symetricke a antisymetricke matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Elementarnı upravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Ekvivalentnı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Vety o hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Vypocet hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Determinanty a inverznı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Determinant ctvercove matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Inverznı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Metoda vroubenı pro vypocet hodnosti matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Systemy linearnıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 Frobeniova veta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Cramerovske systemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Homogennı systemy linearnıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Nehomogennı systemy linearnıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Vektorove prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 Komutativnı grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Vektorove prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Prıklady vektorovych prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Transformacnı vztahy pro slozky vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Podprostory vektorovych prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1 Vektorove podprostory, Steinitzova veta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Linearnı obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3 Parametricke a obecne rovnice podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4 Prunik a soucet vektorovych podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1 Matice

Studijnı cıle: V uvodnıch kapitolach kurzu z linearnı algebry se seznamıme s cıselnymi ma-ticemi a naucıme se s nimi pocıtat. Maticovy pocet predstavuje zakladnı matematicky aparat,ktery umoznuje prehledne formulovat problemy, provadet vypocty a resit mnohe praktickeulohy nejen v samotne algebre, ale i v dalsıch oblastech matematiky, v informatice, ve fyzice,i v technickych a dalsıch oborech. Zacneme zavedenım zakladnıch pojmu a operacı.

Klıcova slova: Cıselne pole, matice, submatice, jednotkova matice, nulova matice, ctvercovamatice, diagonalnı matice, scıtanı matic, nasobenı matice cıslem, nasobenı matic, matice opacna,matice komplexne sdruzena, matice transponovana, matice adjungovana, symetricka matice,antisymetricka matice, symetricka cast matice, antisymetricka cast matice, stopa matice.

Potrebny cas: 180 minut.

1.1 Cıselna pole

Uvazujme mnozinu komplexnıch cısel C se znamymi operacemi scıtanı, odcıtanı, nasobenıkomplexnıch cısel a delenı komplexnıho cısla cıslem ruznym od nuly.

Pripomenme si vlastnosti techto operacı: scıtanı i nasobenı jsou definovany pro libovolnoudvojici komplexnıch cısel, jsou komutativnı a asociativnı a splnujı distributivnı zakon; tedy prolibovolna cısla a, b, c ∈ C platı

• a+ b = b+ a, a.b = b.a (komutativita)

• (a+ b) + c = a+ (b+ c), (a · b) · c = a · (b · c) (asociativita)

• a · (b+ c) = a · b+ a · c (distributivita)

Odcıtanı je inverznı operacı ke scıtanı a je rovnez definovano pro libovolna dve komplexnıcısla. Delenı je inverznı operacı k nasobenı na mnozine C− {0}.Rıkame, ze mnozina C s uvedenymi operacemi ma algebraickou strukturu pole; nazyva se polekomplexnıch cısel.

Definice 1.1 (Cıselne pole). Kazdou podmnozinu mnoziny komplexnıch cısel, ktera je uzavrenavzhledem k operacım scıtanı, odcıtanı, nasobenı a delenı s vyjimkou delenı nulou1, budemenazyvat cıselnym polem, nebo take podpolem pole komplexnıch cısel.

Umluva. V tomto textu budeme cıselne pole oznacovat pısmenem P.

Snadno se proverı, ze rovnez mnozina realnych cısel R a mnozina racionalnıch cısel Q jsouvzhledem k uvazovanym operacım cıselna pole. Nazyvajı se pole realnych cısel a pole racio-nalnıch cısel.

Kontrolnı ukoly a cvicenı

• Overte si, ze mnoziny R a Q vzhledem k uvazovanym operacım (scıtanı, odcıtanı,nasobenı a delenı s vyjimkou delenı nulou) skutecne jsou cıselna pole.

• Rozhodnete, ktere z uvedenych podmnozin pole komplexnıch cısel jsou cıselnymi poli:prirozena cısla, cela cısla, kladna cısla, nezaporna cısla, suda cısla, licha cısla, iracionalnıcısla, {x+ iy | x, y ∈ Q}, {x+ iy | x ∈ R, y ∈ Q}.

• Dokazte, ze je-li mnozina M cıselnym polem, pak

(a) nutne obsahuje cısla 0, 1,

(b) je-li x ∈M , pak take −x ∈M(c) je-li x ∈M a x 6= 0, pak take 1x ∈M .

1Uzavrenostı mnoziny M vzhledem ke scıtanı se rozumı, ze soucet libovolnych dvou cısel z mnoziny M lezı vmnozine M ; pro ostatnı operace je tento pojem definovan zcela analogicky.

1.2 Cıselne matice

Definice 1.2 (Matice nad cıselnym polem). Necht’P je cıselne pole, m,n jsou prirozena cısla.Maticı typu m × n nad polem P rozumıme zobrazenı kartezskeho soucinu {1, 2, . . . ,m} ×{1, 2, . . . , n} do P.

Matici A typu m× n nad P, tedy zobrazenı

A : {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n} 3 (i, j)→ aij ∈ P

zapisujeme nejcasteji ve tvaru tabulky

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n

. . .am1 am2 am3 . . . amn

,

nebo strucne, je-li z kontextu znamy pocet radku a sloupcu matice A, ve tvaru

A = (aij).

Matici typu m × n tedy muzeme chapat jako indexovany system aij cısel z pole P ta-kovy, ze i probıha mnozinu {1, 2, . . . ,m} a j probıha mnozinu {1, 2, . . . , n}. Prvky mnoziny{1, 2, . . . ,m}, tj. leve indexy, budeme nazyvat indexy radkove a prvky mnoziny {1, 2, . . . , n},tj. prave indexy, budeme nazyvat indexy sloupcove.

Pro pevne i budeme i-tym radkem matice A nazyvat system cısel {ai1, ai2, . . . , ain}; podobnepro pevne j budeme system {a1j , a2j , . . . , amj} nazyvat j-tym sloupcem matice A. Samotnacısla aij ∈ P, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, nazyvame prvky matice A.

Matice, pro kterou m = 1, se nazyva radkova matice. Podobne matice, pro kterou n = 1, senazyva sloupcova matice.

Matice, ktera ma stejny pocet radku jako sloupcu, tj. platı pro ni m = n, se nazyva ctvercovamatice radu n.

Prvky matice A = (aij), pro ktere i = j (tedy a11, a22, . . . , akk, kde k je mensı z cıselm,n, je-li m 6= n, resp. a11, a22, . . . , ann, je-li m = n) se nazyvajı diagonalnı, mnozina{a11, a22, . . . , akk} se pak nazyva hlavnı diagonala matice A.

Rıkame, ze matice A ma diagonalnı tvar, jestlize aij = 0 pro vsechny indexy i 6= j.

Matice, jejız vsechny prvky jsou rovny nule, se nazyva nulova matice. Oznacuje se symbolem0.

Ctvercova matice, jejız vsechny diagonalnı prvky jsou rovny 1 a vsechny zbyvajıcı jsou rovny0, se nazyva jednotkova matice. Klademe

δij ={1 pro i = j

0 pro i 6= j

a jednotkovou matici oznacujeme

E = (δij).

Symbol oznacujıcı prvky jednotkove matice se nazyva Kroneckeruv symbol.

Bud’Amatice typum×n, p, q cela cısla takova, ze 0 ≤ p ≤ m−1, 0 ≤ q ≤ n−1. Vypustıme-liv matici A p ruznych radku a q ruznych sloupcu, dostaneme matici B typu (m− p)× (n− q),ktera se nazyva submatice matice A.

Rekneme, ze dve matice A = (aij), B = (bij) jsou si rovny, jestlize aij = bij pro vsechnyhodnoty indexu i, j.

Mnozinu vsech matic typu m× n (resp. mnozinu vsech ctvercovych matic radu n) nad polemP budeme oznacovatMm×n(P) (resp.Mn(P)).

1.3 Operace s maticemi

Jak vıme, operace na mnozine je specialnım prıpadem zobrazenı do uvazovane mnoziny.Konkretne, unarnı operacı na mnozine M rozumıme zobrazenı mnoziny M do sebe, tedyzobrazenı, ktere kazdemu prvku mnoziny M prirazuje nejaky prvek mnoziny M . Binarnıoperace na mnozine M je definovana jako zobrazenı kartezskeho soucinu M ×M do M , tedyjako zobrazenı, ktere kazde usporadane dvojici prvku z mnoziny M prirazuje nejaky prvekmnoziny M . Pripomenme si take dulezitou skutecnost, ze operace na mnozine M nemusıindukovat operaci na podmnozine mnoziny M , tedy zuzenı operace na podmnozinu nemusıbyt operace na teto podmnozine (vysledek operace nemusı lezet ve zvolene podmnozine!).Jestlize operace na M indukuje na podmnozine N ⊂M operaci, rıkame, ze podmnozina N jevzhledem k dane operaci uzavrena.

Prıklady.

• Scıtanı je binarnı operace na mnozine realnych cısel. Je to operace na mnozine sudych cısel,ne vsak na mnozine lichych cısel (souctem dvou lichych cısel nenı liche cıslo), ani napr. namnozine cısel mensıch nez 3.

• Vytvorenı komplexne sdruzeneho cısla je unarnı operace na mnozine komplexnıch cısel. 2

Vytvorenı opacneho cısla k danemu cıslu je unarnı operace na mnozine realnych cısel, a takenapr. na podmnozine celych cısel, nenı to operace na mnozine prirozenych cısel.

• Uved’te dalsı prıklady.

Nynı se vratıme k maticım.

Necht’

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n

...am1 am2 am3 . . . amn

.

Definujeme tyto matice:

−A =

−a11 −a12 −a13 . . . −a1n−a21 −a22 −a23 . . . −a2n

...−am1 −am2 −am3 . . . −amn

matice opacna k matici A,

A∗ =

a∗11 a∗12 a∗13 . . . a∗1na∗21 a∗22 a∗23 . . . a∗2n

...a∗m1 a∗m2 a∗m3 . . . a∗mn

matice komplexne sdruzena k matici A,

AT =

a11 a21 a31 . . . am1

a12 a22 a32 . . . am2...

a1n a2n a3n . . . amn

matice transponovana k matici A,

2V tomto textu oznacujeme cıslo komplexne sdruzene k cıslu z symbolem z∗. Pripomente si definici komplexnesdruzeneho cısla: je-li z = a+ bi, pak z∗ = a− bi.

Aadj = A∗T =

a∗11 a∗21 a∗31 . . . a∗m1a∗12 a∗22 a∗32 . . . a∗m2

...a∗1n a∗2n a∗3n . . . a∗mn

matice adjungovana k matici A.

Lze take rıci, ze matice transponovana k A je takova matice, pro jejız prvky platı

bij = aji, pro vsechna i, j.

Vsimnete si, ze zobrazenı A → −A a A → A∗ jsou zobrazenı mnozinyMm×n(P) na sebe,jsou to tedy unarnı operace na mnozineMm×n(P) (pro P = R nebo Q se komplexnı sdruzenıredukuje na identicke zobrazenı).

Naproti tomu, matice transponovana i adjungovana k matici typu m × n je typu n × m. Toznamena, ze pro m = n to jsou unarnı operace na mnozineMn(P), zatımco pro m 6= n tatozobrazenı nevyhovujı definici operace na mnozineMm×n(P).

Na mnozine Mm×n(P) definujeme binarnı operaci scıtanı matic takto: Souctem matic A =(aij), B = (bij) ∈Mm×n(P) nazyvame maticiA+B = C = (cij) ∈Mm×n(P) definovanouvztahem

cij = aij + bij pro vsechny hodnoty indexu i, j;

Podle definice je tedy

A+B =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n

...am1 am2 am3 . . . amn

+

b11 b12 b13 . . . b1nb21 b22 b23 . . . b2n

...bm1 bm2 bm3 . . . bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 . . . a2n + b2n

...am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 . . . amn + bmn

.

K operaci scıtanı existuje inverznı operace odcıtanı matic. Je definovana vztahem

A−B = A+ (−B).

Dalsım dulezitym zobrazenım je nasobenı matice cıslem: Pro matici A = (aij) ∈ Mm×n(P)definujeme nasobek matice A cıslem c z pole P jako matici cA ∈ Mm×n(P), jejız prvky majıtvar

caij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

tedy

cA =

ca11 ca12 ca13 . . . ca1nca21 ca22 ca23 . . . ca2n

. . .cam1 cam2 cam3 . . . camn

Nasobenı matice cıslem je zobrazenı P ×Mm×n(P) → Mm×n(P), nenı to tedy operace namnozineMm×n(P).

Nakonec budeme definovat nasobenı matic. Pro maticeA typum×p aB typu p×n definujemematici C = AB typu m× n vztahem

cij =p∑

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · · aipbpj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. (1.1)

Nazyvame ji soucinem matic A,B.

Pro snadnejsı zapamatovanı tohoto vzorce si uvedomme, ze prvek matice AB na pozici (i, j)(tedy na prusecıku i-teho radku a j-teho sloupce) se vypocte jako soucet soucinu postupne porade kazdeho prvku v i-tem radku matice A s prvkem v j-tem sloupci matice B (tento soucettvorı p scıtancu):

cij =(ai1 ai2 · · · aip

)·

b1jb2j...bpj

= ai1b1j + ai2b2j + · · · aipbpj .

Celkove,

AB =

a11 a12 a13 . . . a1pa21 a22 a23 . . . a2p

...am1 am2 am3 . . . amp

·b11 b12 b13 . . . b1nb21 b22 b23 . . . b2n

...bp1 bp2 bp3 . . . bpn

=

∑pk=1 a1kbk1

∑pk=1 a1kbk2

∑pk=1 a1kbk3 . . .

∑pk=1 a1kbkn∑p

k=1 a2kbk1∑p

k=1 a2kbk2∑p

k=1 a2kbk3 . . .∑p

k=1 a2kbkn

...∑pk=1 amkbk1

∑pk=1 amkbk2

∑pk=1 amkbk3 . . .

∑pk=1 amkbkn

.

Pri nasobenı matic musıme dat pozor na poradı matic. Je-li totiz pro matice A,B definovansoucinAB, nemusı byt definovan soucinBA; oba souciny jsou zrejme definovany, je-liA typum × p a B typu p × m (tj. m = n); pak ovsem AB je ctvercova matice radu m a BA jectvercova matice radu p.

Je zrejme, ze zobrazenı nasobenı matic je binarnı operacı pouze na mnozineMn(P).

Umluva. Seznamili jsme se s nekolika zobrazenımi, ktera nam umoznujı „pocıtat“ s maticemi.Pouze nektera z nich vsak vyhovovujı matematicke definici operace. I kdyz je to nepresne, je zpraktickeho hlediska vhodne oznacovat vsechna uvedena zobrazenı jako „operace s maticemi“.Proto prijmeme umluvu, ze nadale budeme o techto zobrazenıch hovorit jako o operacıch.

Veta 1.3 (Dulezite vlastnosti a vzorce). Pro libovolne matice A,B,C a libovolna cıslac, c1, c2 ∈ P takove, ze uvedene operace majı smysl, platı

• A+B = B +A (scıtanı matic je komutativnı)

• (A+B) + C = A+ (B + C) (scıtanı matic je asociativnı)

• (AB)C = A(BC) (nasobenı matic je asociativnı)

• A(B + C) = AB + AC, (A+ B)C = AC + BC (pro scıtanı a nasobenı matic platıdistributivnı zakony3)

3Vzhledem k tomu, ze nasobenı matic nenı komutativnı, dostavame dva distributivnı zakony - jeden pro nasobenısouctu zleva a druhy pro nasobenı souctu zprava.

• (A+B)T = AT +BT

• (AB)T = BTAT

• (cA)T = cAT

• c(AB) = (cA)B = A(cB)

• c(A+B) = cA+ cB

• (c1 + c2)A = c1A+ c2A

• (c1c2)A = c1(c2A)

• −A = −1A

Zduraznujeme, ze nasobenı matic nenı komutativnı, tj. existujı matice A,B, pro ktere jsoudefinovany matice AB i BA a platı AB 6= BA. Vymyslete prıklady takovych matic (a to itakove, kdy obe matice jsou ctercove stejneho radu).

Pro ctvercove matice A,B radu n je definovan soucin AB i BA, pricemz oba tyto soucinyjsou rovnez ctvercove matice radu n. Rıkame, ze matice A,B komutujı, jestlize AB = BA.Vsimnete si, ze libovolna ctvercova matice komutuje s jednotkovou maticı.

Poslednı „operacı“, kterou budeme definovat je stopa ctvercove matice: Na mnozineMn(P)definujeme zobrazenı Tr :Mn(P)→ P vztahem

TrA = a11 + a22 + · · · ann.

Pro ctvercovou maticiA = (aij) radu n je tedy cıslo TrA dano jako soucet jejıch diagonalnıchprvku. Cıslo TrA se nazyva stopa matice A.4

Poznamka 1.4. Matice lze sestavovat nejen z cısel: jejich prvky mohou byt vybırany i z nejakejine vhodne mnoziny (napr. z nejake mnoziny funkcı). Aby bylo mozno i na takove mnozinematic zavest scıtanı a nasobenı, ktere jsou definovany pomocı prvku prıslusnych matic, je treba,aby na mnozine, ze ktere vybırame prvky matic, byly definovany operace scıtanı a nasobenı. Smaticemi, jejichz prvky jsou funkce, se setkavame casto v matematicke analyze a v geometrii,a tedy i v cetnych aplikacıch v informatice, ve fyzice a v technice.

Kontrolnı otazky a ukoly.

• Pro jake matice platı A = A∗?

• Platı (A+B)∗ = A∗ +B∗?

• Urcete (AT )T .

• Definujte soucin matic.

• Uved’te prıklad dvou nenulovych matic, jejichz soucinem je nulova matice.

• Uved’te prıklad nenulove matice, jejız stopa je rovna nule.

1.4 Symetricke a antisymetricke matice

Nynı prozkoumame blıze strukturu mnoziny vsech ctvercovych matic radu n.

Definice 1.5. Ctvercova matice A se nazyva symetricka, jestlize A = AT a antisymetricka,jestlize A = −AT .

4Anglicky se „stopa“ rekne trace. Ve starsı literature je stopa matice A oznacovana symbolemSpA (z nemeckehoSpur).

Rozepıseme-li tyto definice pomocı prvku matice, dostavame, ze maticeA = (aij) je symetrickatehdy a jen tehdy, kdyz aij = aji pro vsechny hodnoty indexu i, j. Symetricka matice je tedy„symetricka podel hlavnı diagonaly“. Podobne matice A = (aij) je antisymetricka tehdy ajen tehdy, kdyz aij = −aji pro vsechny hodnoty indexu i, j. Tedy antisymetricka matice je„antisymetricka podel hlavnı diagonaly“ a prvky jejı hlavnı diagonaly jsou vsechny rovny 0.

Vsimneme si, ze soucet dvou symetrickych (antisymetrickych) matic je symetricka (antisyme-tricka) matice: skutecne pro A = AT a B = BT mame (A + B)T = AT + BT = A + B,pro A = −AT a B = −BT platı (A+ B)T = AT + BT = −A− B = −(A+ B). Podobnec-nasobek symetricke (antisymetricke) matice je opet symetricka (antisymetricka) matice.

Jak ukazuje nasledujıcı veta, symetricke a antisymetricke matice majı v mnozine Mn(P)vyznamne postavenı.

Veta 1.6. Libovolnou ctvercovou matici lze jednoznacne vyjadrit ve tvaru souctu symetricke aantisymetricke matice.

Dukaz. Bud’A cvercova matice. Polozme

Asym =12

(A+AT ), Aalt =12

(A−AT ).

Jelikoz

(Asym)T =12

(AT +A) = Asym, (Aalt)T =12

(AT −A) = −Aalt,

je Asym symetricka matice a Aalt antisymetricka matice. Dostavame tak rozklad matice A nasoucet symetricke a antisymetricke matice. Zbyva dokazat jejich jednoznacnost.

Predpokladejme tedy, ze A = M1+M2, kde matice M1 je symetricka a M2 je antisymetricka.Pak ovsem A+AT = M1 +M2 +M1

T +M2T = 2M1, tj. M1 = Asym. Podobne A−AT =

M1 +M2 −M1T −M2T = 2M2, tj. M2 = Aalt a tvrzenı je dokazano.

Matice Asym = 12(A + AT ) se nazyva symetricka cast matice A. Podobne matice Aalt =

12(A−A

T ) se nazyva antisymetricka cast matice A.

Kontrolnı otazky.

• Je matice

M =

1 2 −1 −3−2 2 1 −1

1 −1 0 23 1 −2 2

antisymetricka?

• Jaka je symetricka cast symetricke matice A? Jaka je jejı antisymericka cast?

• Jaka je antisymetricka cast antisymetricke matice A? Jaka je jejı symericka cast?

• Jakou stopu majı antisymetricke matice?

• Jaky je vztah mezi stopou matice a stopou symetricke casti teto matice?

Cvicenı1. Opakovanı:• Definujte vsechny pojmy uvedene v Klıcovych slovech.• Doplnte vzorce:

c(A+B) = A(B + C) = (A+B)T = Asym =(a+ b)C = (A+B)C = (AB)T = Aalt =

•Vyslovte a dokazte vetu o rozkladu ctvercove matice na symetrickou a antisymetrickoucast.

2. Vypoctete soucin matic, ktere majı tvar

(3 42 5

),

1 32 −10 1−2 2

.

3. Vypoctete (1 −23 −4

)3.

4. Vypoctete 1 −3 23 −4 12 −5 3

·2 5 6

1 2 51 3 2

a zjistete, zda tyto matice komutujı.

5. Jsou dany matice

A =

2− i 1 + 2i 0 −3 i−2− 3i 1 −1 −1 + i 0−2 0 3 + 2i 0 1

,

B =

2 + i −1 i 0 02 + 2i −1 1 1− i 0

0 1 + 2i 0 1 −1

, C =

1 0 12 −2 20 1 2

.

Urcete ke kazde z nich matici opacnou, transponovanou, komplexne sdruzenou a adjun-govanou. Vypoctete A+B, CA, ABT , C2, TrC.

6. Dokazte vsechna tvrzenı Vety 1.3.

[Navod. Rovnosti dokazujte pro prvky matic: ukazte, ze pro libovolne hodnoty indexui, j se prvek v i-tem radku a j-tem sloupci matice na leve strane rovnosti rovna prvku napozici (i, j) matice na prave strane.]

7. Platı-li pro matice A,B, ze AB = 0, plyne z toho, ze A = 0 nebo B = 0?8. Urcete kolik prvku je treba zadat k urcenı symetricke matice a kolik prvku je treba k zadanı

antisymetricke matice radu n. Urcete vsechny matice, ktere jsou zaroven symetricke aantisymetricke (tj. platı pro ne A = AT ∧ A = −AT ).

9. Ukazte, ze zobrazenı A → TrA, ktere prirazuje ctvercove matici radu n jejı stopu, jesurjektivnı, ale nenı injektivnı.

[Navod: Surjektivnost: pro (libovolne pevne) cıslo a ∈ C napiste matici, pro kterouTrA = a. Injektivnost: uvedt’e prıklad nekolika ruznych matic, ktere majı stejnou stopu.]

10. K matici

A =

(1 20 −1

)najdete vsechny matice, ktere s nı komutujı.

11. Urcete vsechny ctvercove matice radu 2, pro ktere platı AAT = E.

[Navod: Rozepiste si podmınku AAT = E pro prvky matice A a reste rovnice, kteretakto vzniknou.]

12. Rozlozte matici C z prıkladu 1. na soucet symetricke a antisymetricke matice.13. Spocıtejte antisymetrickou cast matice M uvedene v prvnı kontrolnı otazce.14. Dokazte, ze pro matici A typu m× n je matice AAT i matice ATA symetricka.15. Platı Tr(A+B) = TrA+TrB? Platı analogicky vzorec pro soucin matic? Zduvodnete.16. Dokazte, ze stopa soucinu symetricke a antisymetricke matice je rovna nule.

2 Hodnost matice

Studijnı cıle: Hodnost matice patrı mezi zakladnı pojmy v linearnı algebre. Nynı tento pojemzavedeme, uvedeme zakladnı tvrzenı o hodnosti matic a naucıme se hodnost matice pocıtat.Nabyte znalosti a dovednosti budeme dale hojne vyuzıvat v linearnı algebre i jinde v matematice,a ovsem take v informatice, fyzice a dalsıch oblastech, kde se poznatky z linearnı algebrypouzıvajı.

Klıcova slova: Elementarnı radkove upravy matice, elementarnı sloupcove upravy matice,elementarnı matice, inverznı elementarnı uprava, ekvivalentnı radkove (sloupcove) upravymatice, ekvivalentnı matice, linearnı kombinace radku (sloupcu) matice, linearne nezavisleradky (sloupce) matice, linearne zavisle radky (sloupce) matice, hodnost matice, regularnımatice, singularnı matice, Gaussuv kanonicky tvar matice, schodovity tvar matice, vety ohodnosti.

Potrebny cas: 220 minut.

2.1 Elementarnı upravy

Uvazujme matici A typu m× n nad cıselnym polem P.

Definice 2.1. Elementarnımi radkovymi upravami matice A rozumıme

• vynasobenı i-teho radku matice A cıslem c ∈ P ruznym od nuly,

• prictenı c-nasobku j-teho radku matice A k jejımu i-temu radku (i 6= j).

Elementarnımi sloupcovymi upravami matice A rozumıme

• vynasobenı i-teho sloupce matice A prvkem c ∈ P ruznym od nuly,

• prictenı c-nasobku j-teho sloupce matice A k jejımu i-temu sloupci (i 6= j).

Provedeme-li tedy s maticı A prvnı uvedenou radkovou elementarnı upravu, vznikne maticetvaru

a11 a12 . . . a1n...

ai−1,1 ai−1,2 . . . ai−1,ncai1 cai2 . . . cain

ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n...

am1 am2 . . . amn

.

Provedeme-li s A druhou uvedenou radkovou elementarnı upravu, vznikne matice tvaru

a11 a12 . . . a1n...

ai−1,1 ai−1,2 . . . ai−1,nai1 + caj1 ai2 + caj2 . . . ain + cajn

ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n...

aj1 aj2 . . . ajn...

am1 am2 . . . amn

.

Kontrolnı ukol.

•Napiste matice, ktere vzniknou po provedenı prvnı, resp. druhe sloupcove elementarnı upravymatice A.

Ukazeme si, ze provest s maticı A radkovou elementarnı upravu vlastne znamena vynasobitmatici A zleva jistou vhodnou maticı; podobne provest s maticı A sloupcovou elementarnıupravu znamena vynasobit matici A vhodnou maticı zprava. Platı totiz

a11 a12 . . . a1n...

ai−1,1 ai−1,2 . . . ai−1,ncai1 cai2 . . . cain

ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n...

am1 am2 . . . amn

= Q(i, c) ·A

a a11 . . . a1,i−1 ca1i a1,i+1 . . . a1na21 . . . a2,i−1 ca2i a2,i+1 . . . a2n

...am1 . . . am,i−1 cami am,i+1 . . . amn

= A ·Q(i, c),

kde Q(i, c) je ctvercova diagonalnı matice (vhodneho radu), jejız diagonala ma tvar{1, . . . , 1, c, 1, . . . , 1} (cıslo c je na i-tem mıste), a podobne

a11 a12 . . . a1n...

ai−1,1 ai−1,2 . . . ai−1,nai1 + caj1 ai2 + caj2 . . . ain + cajn

ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n...

aj1 aj2 . . . ajn...

am1 am2 . . . amn

= Q(ij, c) ·A

a a11 . . . a1,i−1 a1i + ca1j a1,i+1 . . . a1na21 . . . a2,i−1 a2i + ca2j a2,i+1 . . . a2n

...am1 . . . am,i−1 ami + camj am,i+1 . . . amn

= A ·Q(ij, c),

kdeQ(ij, c) je ctvercova matice (vhodneho radu), jejız diagonala ma tvar {1, . . . , 1}, na pozici(i, j) je cıslo c a zbyvajıcı prvky jsou rovny nule.

Uvedene matice Q(i, c) a Q(ij, c) se nazyvajı elementarnı matice.

Ke kazde elementarnı uprave zrejme existuje uprava inverznı, tj. takova, ktera upravenou maticiprevede na puvodnı tvar, a tato uprava je opet elementarnı.

Kontrolnı ukoly.

• Napiste si explicitnı tvar elementarnıch matic. Pro matice Q(ij, c) rozliste prıpady i < j ai > j.

• Charakterizujte inverznı upravy k jednotlivym elementarnım upravam a napiste tvar odpovı-dajıcıch elementarnıch matic.

• Oznacme Q−1 matici inverznı elementarnı upravy k elementarnı uprave reprezentovanematicı Q. Overte, ze pro kazdou elementarnı upravu jsou obe matice svazany vztahem

QQ−1 = Q−1Q = E. (2.1)

Ekvivalentnı radkovou (resp. sloupcovou) upravou matice A budeme rozumet postupnou apli-kaci konecneho poctu radkovych (resp. sloupcovych) elementarnıch uprav na matici A.

Podle vyse uvedeneho lze ekvivalentnı radkovou ci sloupcovou upravu vyjadrit jako soucinkonecneho poctu elementarnıch matic. Vznikla-li tedy maticeB z maticeA postupnou aplikacıradkovych elementarnıch uprav, kterym odpovıdajı matice Q1, Q2, . . . , Qk, platı

B = QkQk−1 · · ·Q2Q1A.

Podobne, vznikla-li maticeB z maticeA postupnou aplikacı sloupcovych elementarnıch uprav,kterym odpovıdajı matice Q1, Q2, . . . , Ql, platı

B = AQ1Q2 · · ·Ql−1Ql.

Je zrejme, ze matice ekvivalentnı upravy je vzdy ctvercova.

Ke kazde ekvivalentnı radkove ci sloupcove uprave existuje inverznı elementarnı uprava, prinız upravena maticeB prejde zpet na puvodnı maticiA. Pritom kdyz nejake ekvivalentnı upraveodpovıda matice Q1Q2 . . . Qk (soucin matic prıslusnych elementarnıch uprav), pak inverznıuprave odpovıda matice Q−1k . . . Q−12 Q11 tj. soucin inverznıch matic elementarnıch uprav vopacnem poradı.

Poznamka 2.2. Vsimnete si, ze provedeme-li s maticı ekvivalentnı upravu a nasledne upravuinverznı, ma vysledna ekvivalentnı uprava jednotkovou matici. Dostavame totiz

Q1Q2 . . . (QkQ−1k ) . . . Q−12 Q11 = Q1Q2 . . . (Qk−1Q

−1k−1) . . . Q

−12 Q−11 = · · · = Q1Q

−11 = E.

Prıklad 2.3. Nejjednodussım prıkladem ekvivalentnı upravy matice je vzajemna vymena jejıchdvou radku nebo sloupcu. Abychom ukazali, ze skutecne jde o ekvivalentnı upravu, stacı naleztnejakou posloupnost elementarnıch uprav, ktere k teto uprave vedou. Uvahu provedeme proradky - pro sloupce je postup analogicky.

Uvazujme tedy matici A typu m × n. Oznacıme fi a fj jejı i-ty a j-ty radek (tedy fi =(ai1, . . . , ain) a analogicky pro fj) a postupujeme takto:

• pricteme j-ty radek k i-temu radku: obdrzıme matici A1 ∼ A jejız i-ty radek je fi + fj =(ai1 + aj1, . . . , ain + ajn) a j-ty radek je fj ;

• i-ty radek matice A1 vynasobıme cıslem −1: obdrzıme matici A2 s i-tym radkem −fi− fj aj-tym radkem fj ;

• pricteme i-ty radek matice A2 k jejımu j-temu radku: vznikne matice A3, jejız i-ty radek je−fi − fj a j-ty radek je −fi;

• vynasobıme j-ty radek matice A3 cıslem −1: dostaneme matici A4 s i-tym radkem −fi − fj

a j-tym radkem fi;

• pricteme j-ty radek maticeA4 k jejımu i-temu radku: vznikne maticeA5, ktera ma i-ty radek−fj a j-ty radek fi;

• vynasobıme i-ty radek matice A5 cıslem −1 a obdrzıme pozadovanou matici A′ ∼ A.

Cvicenı1. K jednotlivym elementarnım upravam z predchozıho prıkladu napiste elementarnı matice

a najdete matici U , ktera odpovıda popsane radkove ekvivalentnı uprave. Presvedcte se,ze skutecne platı A′ = UA.

2. Naleznete matici ekvivalentnı upravy, ktera odpovıda vymene dvou sloupcu matice A avyjadrete tuto upravu ve tvaru soucinu matic.

2.2 Ekvivalentnı matice

Definice 2.4. MaticeA,B se nazyvajı ekvivalentnı, jestlize lze prevest jednu na druhou pomocıkonecneho poctu elementarnıch uprav.

Podle teto definice maticeA,B jsou ekvivalentnı prave tehdy, kdyz existujı matice U , V takove,ze platı

B = UAV,

pricemz kazda z matic U, V je soucinem konecneho poctu nejakych elementarnıch matic.

Podıvejme se nynı na tuto skutecnost podrobneji:

Uvazujme mnozinuMm×n(P) vsech matic typum×n nad polem P. Na teto mnozine uvazujmerelaci ∼ definovanou takto:

„A ∼ B, jestlize existujı matice U, V , takove, ze U, V jsou soucinem konecneho poctu ele-mentarnıch matic a platı B = UAV “.

Vysetrıme vlastnosti relace ∼.

• Polozıme-li U = V = E, vidıme, ze pro libovolnou maticiA ∈Mm×n(P) platıA ∼ A.To znamena, ze relace ∼ je reflexivnı.

• Necht’A je v relaci s B, t.j. necht’B = UAV pro jiste matice U, V , ktere jsou soucinemelementarnıch matic. Provadıme-li s maticı B inverznı radkove a sloupcove elementarnıupravy postupne v opacnem poradı, dostaneme matici A; je tedy A = U ′BV ′ pro jistematice U ′, V ′ pozadovanych vlastnostı. To znamena, ze relace ∼ je symetricka.

• Predpokladejme, ze pro nejake matice A,B,C ∈ Mm×n(P) platı A ∼ B a zarovenB ∼ C, tj. ze B = U1AV1 a C = U2BV2 pro jiste matice U1, U2, V1, V2 pozadovanychvlastnostı. Pak C = U2U1AV1V2. Polozme U = U2U1, V = V1V2. Matice U, V jsousoucinem konecneho poctu elementarnıch matic a platı C = UAV , tj. A ∼ C. Tedyrelace ∼ je tranzitivnı.

Vidıme, ze relace ∼ je reflexivnı, symetricka a tranzitivnı, je to tedy skutecne relace ekvivalencena mnozineMm×n(P) a vyse definovany pojem „ekvivalentnı matice“ je zaveden korektne.

Pro matici A ∈ Mm×n(P) oznacme [A] trıdu ekvivalence matice A, tj. mnozinu vsech maticzMm×n(P), ekvivalentnıch s maticı A. Pripomenme si, ze pro libovolne dve matice A,B ∈Mm×n(P) jsou jejich trıdy ekvivalence [A], [B] bud’disjunktnı nebo splyvajı, tedy, ze relaceekvivalence ∼ definuje rozklad mnozinyMm×n(P) na trıdy ekvivalence.

Ve zbytku teto kapitoly prozkoumame blıze faktorovou mnozinuMm×n(P)/∼.

2.3 Hodnost matice

Pro strucnost zapisu budeme v dalsım textu oznacovat

fi = (ai1, . . . , ain) i-ty radek matice A,

f ′j = (a1j , . . . , anj) j-ty sloupec matice A.

Nulovy radek ci sloupec oznacıme symbolem o.

Definice 2.5. Linearnı kombinacı radku fi1 , . . . , fip maticeA s koeficienty c1, . . . , cp nazyvamevyraz

p∑s=1

csfis = c1fi1 + c2fi2 + · · ·+ cpfip , c1, . . . , cp ∈ P.

Rekneme, ze radky fi1 , . . . , fip matice A jsou linearne nezavisle, jestlize podmınka

c1fi1 + · · ·+ cpfip = o

je splnena jedine pro c1 = · · · = cp = 0, (t.j. nulovy radek lze zıskat linearnı kombinacı danychradku jedinym zpusobem - s nulovymi koeficienty).

Rekneme, ze radky fi1 , . . . , fip maticeA jsou linearne zavisle, jestlize nejsou linearne nezavisle.

Definice linearne zavislych radku matice se da zrejme ekvivalentne preformulovat takto: Exis-tujı cısla c1 · · · cp ∈ P, z nichz alespon jedno je ruzne od nuly, tak, ze

c1fi1 + · · ·+ ckfik + · · ·+ cpfip = o .

Je -li napr. ck 6= 0, lze ovsem psat

fik = − 1ck

(c1fi1 + · · ·+ ck−1fik−1 + ck+1fik+1 + · · ·+ cpfip),

coz znamena, ze ik-ty radek lze vyjadrit jako linearnı kombinaci zbyvajıcıch radkufi1 , . . . , fik−1 , fik+1 , . . . , fip . Muzeme tedy rıkat, ze radky fi1 , . . . , fip matice A jsou linearnezavisle, jestlize alespon jeden z nich lze vyjadrit jako linearnı kombinaci ostatnıch radku.

Vsimnete si, ze

• system radku matice A obsahujıcı nulovy radek je linearne zavisly,

• pro jeden radek (tj. p = 1) se definice linarnı nezavislosti redukuje na tento tvar: jedenradek matice A je linearne nezavisly prave kdyz je nenulovy; je linearne zavisly pravekdyz je nulovy,

• pro dva radky (tj. p = 2) se definice linarnı zavislosti redukuje na tuto jednoduchouvlastnost: dva radky fi1 , fi2 matice A jsou linearne zavisle, jestlize jeden z nich je(nenulovym) nasobkem druheho (tj. fi2 = cfi2 pro nejake cıslo c 6= 0); podobne

• dva radky maticeA jsou linearne nezavisle, jestlize jsou oba nenulove a jeden z nich nenınasobkem druheho.

Rekneme, ze radky fi1 , . . . , fik matice A tvorı maximalnı linearne nezavisly system radku,jestlize jsou linearne nezavisle a pro libovolny radek fj 6= fi1 , . . . ,fik , matice A jsou radkyfi1 , . . . , fik , fj linearne zavisle. Tedy linearne nezavisly system radku je maximalnı, jestlizejeho doplnenım o libovolny jiny radek dane matice vznikne linearne zavisly system radku.

Analogicky se definujı pojmy linearnı kombinace, linearnı nezavislost, linearnı zavislost amaximalnı linearne nezavisly system pro sloupce matice.

Kontrolnı ukol.

•Rozepiste podmınky linearnı nezavislosti a linearnı zavislosti radku maticeA = (aij) pomocıprvku teto matice. Totez proved’te pro sloupce.

Nynı jiz muzeme definovat hodnost matice, coz je jeden z klıcovych pojmu v teorii matic.

Definice 2.6 (Hodnost matice). Hodnostı maticeA rozumıme pocet prvku maximalnıho linearnenezavisleho systemu radku matice A.

Hodnost matice A oznacujeme rankA.5

Prımo z definice hodnosti matice vyplyva, ze

• hodnost nulove matice je rovna 0, hodnost nenulove matice je ≥ 1,

• hodnost diagonalnı matice je rovna poctu jejıch nenulovych radku.

Definice 2.7. Ctvercova matice A radu n se nazyva regularnı, je-li rankA = n (tedy jetvorena linearne nezavislymi radky). Ctvercova matice A radu n se nazyva singularnı, jestlizenenı regularnı, tj. je-li rankA < n.

Kontrolnı ukol.

• Vsimnete si, ze vsechny elementarnı matice jsou regularnı.

2.4 Vety o hodnosti matice

Dokazeme si vety, ktere nam odhalı strukturu faktorove mnoziny Mm×n(P)/∼ a take namposkytnou techniky k urcovanı hodnosti matic.

Veta 2.8 (Gauss). Elementarnı upravy nemenı hodnost matice.

Dukaz. Necht’A = (aij) je matice typu m × n, rankA = k. Oznacme fi1 , . . . fik maxi-malnı linearne nezavisly system radku matice A. Je treba ukazat, ze po provedenı libovolneelementarnı upravy bude mıt matice A ∼ A prave k linearne nezavislych radku.

Tvrzenı dokazeme postupne pro vsechny ctyri typy elementarnıch uprav.

• Vynasobenı p-teho radku cıslem c 6= 0: Jestlize radek fp matice A je linearne zavisly,pak take fp = cfp je linearne zavisly; ostatnı radky se touto upravou nemenı. Jestlizefp patrı linearne nezavislemu systemu radku matice A, pak kazdy dalsı radek matice A,a tedy i matice A, jiz je linearne zavisly; pritom vynasobenım jednoho z radku linearnenezavisleho systemu cıslem c 6= 0 vznikne opet linearne nezavisly system (kdyby cfp

byl linearnı kombinacı nejakych radku uvazovaneho systemu, pak by tez fp musel bytjejich linearnı kombinacı, coz je spor).

• Vynasobenı p-teho radku cıslem c ∈ P a prictenı ke q-temu radku, p 6= q: Pro radkyupravene matice A nynı platı, ze fq = fq + cfp a ostatnı radky se nezmenı. Jestlizeradek fq matice A je linearnı kombinacı maximalnıho linearne nezavisleho systemu,pak take radek fq je linearne zavisly (at’ uz radek fp je jednım z radku fi1 , . . . fik , cije jejich linearnı kombinacı). Necht’ tedy fq patrı linearne nezavislemu systemu radkumaticeA. Jelikoz ostatnı radky matice A jsou stejne jako radky maticeA, stacı ukazat, zeradky fi1 , . . . fik jsou take linearne nezavisle. Jestlize radek fp patrı linearne nezavislemusystemu, platı

c1fi1 + · · ·+ cpfp + cqfq + · · ·+ ckfik

= c1fi1 + · · ·+ cpfp + cq(fq + cfp) + · · ·+ ckfik

= c1fi1 + · · ·+ (cp + cqc)fp + cqfq + · · ·+ ckfik = o,

odkud dıky linearnı nezavislosti radku fi1 , . . . fik okamzite vyplyva, ze c1 = · · · = cp =cq = · · · = ck = 0. Je-li naopak radek fp linearne zavisly, tj.

fp = b1fi1 + · · ·+ bqfq + · · ·+ bkfik ,

5Anglicky se „hodnost“ rekne rank.

ma vysetrovana podmınka tvar

c1fi1 + · · ·+ cqfq + · · ·+ ckfik = c1fi1 + · · ·+ cq(fq + cfp) + · · ·+ ckfik

= c1fi1 + · · ·+ cqfq + cqc(b1fi1 + · · ·+ bqfq + · · ·+ bkfik) · · ·+ ckfik

= (c1 + cqcb1)fi1 + · · ·+ cq(1 + cbq)fq + · · ·+ (ck + cqcbk)fik = o .

Protoze kazdy z koeficientu u fi1 , . . . , fq, . . . , fik musı byt roven nule, dostavame cq = 0,a tedy take c1 = · · · = cq−1 = cq+1 = ck = 0, coz jsme meli ukazat.

• Vynasobenı p-teho sloupce cıslem c 6= 0: Radky maticeA oznacıme fj = (aj1, . . . , ajn),1 ≤ j ≤ m, pak radky matice A jsou fj = (aj1, . . . , cajp, . . . ajn), 1 ≤ j ≤ m. Jestlize

fj = b1fi1 + · · ·+ bkfik =∑

bsfis = (∑

bsais1, . . . ,∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisn),

pak take

fj = (∑

bsais1, . . . , c∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisn)

= (∑

bsais1, . . . ,∑

bs(caisp), . . . ,∑

bsaisn) =

=∑

bs(ais1, . . . , caisp, . . . , aisn) =∑

bsfis .

Je tedy treba zkoumat linearnı nezavislost radku fi1 , . . . , fik : Necht’∑bsfis = (

∑bsais1, . . . ,

∑bs(caisp), . . . ,

∑bsaisn) = (0, . . . , 0).

Pak ∑bsais1 = 0, . . . , c

∑bsaisp = 0, . . . ,

∑bsaisn = 0.

Jelikoz c 6= 0, platı

o = (0, . . . , 0) = (∑

bsais1, . . . ,∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisn) =∑

bsfis ,

a z linearnı nezavislosti radku fi1 , . . . , fik plyne b1 = · · · = bk = 0. Radky fi1 , . . . , fik

tedy tvorı maximalnı linearne nezavisly system radku matice A.

• Vynasobenı p-teho sloupce cıslem c ∈ P a prictenı ke q-temu sloupci, p 6= q: Nynıradky matice A majı tvar fj = (aj1, . . . , ajp, . . . , ajq + cajp, . . . , ajn), 1 ≤ j ≤ m, kdepredpokladame c 6= 0 (prıpad, kdy c = 0, je trivialnı). Je-li radek fj linearnı kombinacımaximalnıho linearne nezavisleho systemu radku matice A, mame:

fj =∑

bsfis = (∑

bsais1, . . . ,∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisq, . . . ,∑

bsaisn),

a tedy

fj = (∑

bsais1, . . . ,∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisq + c∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisn)

=∑

bs(ais1, . . . , aisp, . . . , aisq + caisp, . . . , aisn) =∑

bsfis .

Zbyva ukazat, ze radky fi1 , . . . , fik jsou linearne nezavisle. Necht’ tedy∑bsfis = o.

Pak ovsem∑bs(ais1, . . . , aisp, . . . , aisq + caisp, . . . , aisn)

= (∑

bsais1, . . . ,∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisq + c∑

bsaisp, . . . ,∑

bsaisn)

= (0, . . . , 0),

odkud dostavame∑bsais1 = 0, . . . ,

∑bsaisp = 0, . . . ,

∑bsaisq = 0, . . . ,

∑bsaisn = 0,

tj. ∑bs(ais1, . . . , aisp, . . . , aisq, . . . , aisn) =

∑bsfis = o .

To ovsem znamena, ze b1 = · · · = bk = 0. Jak bylo ukazano vyse, dalsı radky matice Ajsou linearnı kombinacı radku fi1 , . . . , fik . Celkove tedy rank A = rankA = k.

Veta 2.9 (Dusledky).

(1) Ekvivalentnı matice majı stejnou hodnost.

(2) Hodnost matice se nezmenı vynasobenım konecnym poctem elementarnıch matic zleva nebozprava.

Veta 2.10 (Gauss). Kazdou matici A lze konecnym poctem elementarnıch uprav prevest namatici (

E 00 0

), (2.2)

kde E je jednotkova matice radu k = rankA, a 0 reprezentuje nulove matice, jejichz typ jezrejmy z kontextu.

Definice 2.11. Matice tvaru (2.2) popsana v predchozı vete se nazyva Gaussuv kanonicky tvarmatice A.

Dukaz. Dokazeme druhou Gaussovu vetu: Uvazujme matici A. Je-li nulova, ma pozadovanytvar. Necht’tedy A je nenulova. Pak lze zamenou radku a sloupcu (tedy pomocı elementarnıchuprav) dosahnout toho, ze a11 6= 0. Vynasobıme prvnı radek cıslem 1/a11, cımz na pozici (1, 1)dostaneme cıslo 1. Nynı pro kazde i ≥ 2 pricteme k i-temu radku prvnı radek vynasobenycıslem −ai1, dostaneme tak na pozici (i, 1) cıslo 0. Po techto upravach prejde tedy matice Ana ekvivalentnı matici tvaru

1 a′12 a′13 a′14 · · ·0 a′22 a′23 · · ·0 a′32 a′33 · · ·...

...... · · ·

.

Dale pro kazde j ≥ 2 pricteme k j-temu sloupci prvnı sloupec vynasobeny cıslem −a′1j , taktona pozici v prvnım radku a j-tem sloupci obdrzıme cıslo 0, tedy

A ∼

1 0 0 0 · · ·0 a′22 a′23 · · ·0 a′32 a′33 · · ·...

...... · · ·

.

Nynı zcela analogicky postup aplikujeme na submaticia′22 a′23 · · ·

a′32 a′33 · · ·...

,

ktera ma m − 1 radku a n − 1 sloupcu. Po konecnem poctu kroku takto dospejeme k matici,ktera je ekvivalentnı s A a ma kanonicky tvar. Jelikoz jejı hodnost je rovna rankA = k, majejı jednotkova submatice E rad k.

Veta 2.12 (Dusledky).

(1) Kazda matice A je ekvivalentnı nejake diagonalnı matici, pricemz pocet nenulovych radku(sloupcu) diagonalnı matice je roven hodnosti matice A.

(2) Hodnost matice je rovna poctu nenulovych radku v diagonalnım tvaru = poctu nenulovychsloupcu v diagonalnım tvaru.

(3) Maximalnı pocet linearne nezavislych sloupcu matice je roven maximalnımu poctu jejıchlinearne nezavislych radku, tj. hodnosti matice.

(4) rankA = rankAT .

(5) Pro matici A typu m× n je cıslo rankA prvkem mnoziny {0, 1, 2, . . . ,min{m,n}}.6

Poznamka 2.13. Predchozı veta o kanonickem tvaru nam priblizuje strukturu faktorove mno-zinyMm×n(P)/∼: Faktorova mnozina je tvorena 1+min{m,n} prvky (trıdami ekvivalence).Trıda nulove matice je jednoprvkova, ostatnı trıdy ekvivalence jsou netrivialnı. Kazda trıdaobsahuje „kanonickeho reprezentanta“ (2.2), kde rad jednotkove matice urcuje hodnost prıslus-nych ekvivalentnıch matic.

Veta 2.14 (Dusledky pro ctvercove regularnı matice).

(1) Kazda regularnı matice je ekvivalentnı jednotkove matici.

(2) Kazdou regularnı matici lze vyjadrit ve tvaru soucinu jistych elementarnıch matic (ne-bot’ kazdou regularnı matici A lze zıskat konecnym poctem radkovych a sloupcovych upravjednotkove matice, tedy platı A = UEV = UV , kde U, V jsou souciny konecneho poctuelementarnıch matic).

Krome vyse uvedenych dusledku platı pro regularnı matice i silnejsı tvrzenı.

Veta 2.15.

(1) Kazdou regularnı matici lze prevest na diagonalnı tvar konecnym poctem bud’ pouzeradkovych nebo pouze sloupcovych elementarnıch uprav.

(2) Kazdou regularnı matici lze prevest pouze radkovymi elementarnımi upravami nebo pouzesloupcovymi elementarnımi upravami na jednotkovou matici.

Dukaz. Stacı dokazat jedno z techto tvrzenı, druhe je jeho dusledkem.

Dokazeme (2). Dukaz provedeme pro radkove upravy; pro sloupcove upravy se postupujeanalogicky.

Bud’A regularnı matice radu n. Radkovymi elementarnımi upravami lze dosahnout toho, zea11 6= 0 (prvnı sloupec je jiste nenulovy, a je-li na pozici (1, 1) nula, stacı vhodne vymenitradky). Nynı postupujeme podobne jako v dukazu vety o kanonickem tvaru s tım, ze provadımepouze radkove upravy. Matici A tak upravıme na tvar

1 a′12 a′13 a′14 · · ·0 a′22 a′23 · · ·0 a′32 a′33 · · ·...

...... · · ·

,

6min{m, n} je standardnı oznacenı pro „mensı z cısel m, n“.

a stejne upravujeme submatici a′22 a′23 · · ·

a′32 a′33 · · ·...

.

Po konecnem poctu kroku dostaneme

A ∼

1 b12 b13 · · · b1,n−1 b1n0 1 b23 · · · b2,n−1 b2n0 0 1 · · · b3,n−1 b3n...0 0 0 · · · 1 bn−1,n0 0 0 . . . 0 1

.

Nynı pro kazde i = 1, 2, . . . n− 1 pricteme k i-temu radku poslednı radek vynasobeny cıslem−bin, cımz dostaneme na pozici (i, n) v poslednım sloupci cıslo 0. Analogicky upravujemesubmatici tvorenou prvnımi n − 1 radky a prvnımi n − 1 sloupci. Po konecnem poctu krokuzıskame jednotkovou matici.

Vyse jsme videli, ze regularnı matice vznikajı jako souciny elementarnıch matic. Toto zjistenılze vyuzıt k dukazu duleziteho tvrzenı o hodnosti soucinu matic.

Veta 2.16. Vynasobenım matice regularnı maticı zleva nebo zprava se hodnost nemenı.

Dukaz. Bud’A matice typu m × n. Necht’U je libovolna regularnı matice radu m a V jelibovolna regularnı matice radu n. Jak jsme ukazali vyse, matice U a V jsou soucinem konecnemnoha elementarnıch matic. To ovsem znamena, ze matice UA a AV jsou ekvivalentnı s A,takze rankUA = rankAV = rankA.

Veta 2.17 (Dusledky).

(1) Soucin regularnıch matic je regularnı matice.

(2) Soucin konecneho poctu elementarnıch matic je regularnı matice.

2.5 Vypocet hodnosti matice

Z Gaussovych vet vyplyva, ze hodnost matice lze urcit tak, ze najdeme jejı diagonalnı nebokanonicky tvar. Zamyslıme-li se ale nad dukazy Gaussovych vet, snadno objevıme, ze pripraktickem vypoctu hodnosti matice nenı nutno provadet tolik ekvivalentnıch uprav, a zehodnost matice lze urcit jiz daleko drıve. Dostavame tak efektivnı metodu (algoritmus) provypocet hodnosti matice, ktery nynı podrobne popıseme.

Definice 2.18. Rekneme, ze maticeAma schodovity tvar, jestlize je nulova, nebo pro jejı radkyfi = (ai1, ai2, . . . , ain), kde i = 1, 2, . . . ,m, platı:

• aij = 0 pro j < ki, a aiki6= 0, kde k1 < k2 < · · · < kp ≤ n pro nejake p ≤ m,

• vsechny radky fp+1, . . . , fm jsou nulove.

Volne muzeme rıci, ze (nenulova) matice ve schodovitem tvaru vypada tak, ze prvnı nenulovyprvek kazdeho radku je „dal“, nez prvnı nenulovy prvek radku predchazejıcıho.

Prakticky okamzite je videt, ze nenulove radky matice ve schodovitem tvaru jsou linearnenezavisle, tedy, ze hodnost matice ve schodovitem tvaru je rovna poctu jejıch nenulovychradku.

Kontrolnı ukoly.

•Mezi uvedenymi maticemi vyberte ty, ktere jsou ve schodovitem tvaru:

(1 2 3 4

),

1234

,

1 1 10 2 20 2 00 0 1

,

1 1 10 2 20 0 00 0 1

,

1 2 3 40 4 3 20 0 2 40 0 0 0

,

0 0 10 1 01 0 0

,

0 0 1 00 0 0 00 0 0 0

,

2 0 0 10 1 0 00 0 0 0

,

2 0 1 00 0 1 00 0 0 2

.

• Urcete Gaussuv kanonicky tvar vyse uvedenych matic.

• Urcete, ktere z vyse uvedenych matic jsou navzajem ekvivalentnı.

• Jak vypada schodovity tvar regularnı ctvercove matice?

Slibovana metoda vypoctu hodnosti matice vyplyva z teto vety:

Veta 2.19.

(1) Kazdou matici lze konecnym poctem radkovych elementarnıch uprav prevest na schodovitytvar.

(2) Kazda matice A je ekvivalentnı nejake matici ve schodovitem tvaru, pricemz pocet nenulo-vych radku teto schodovite matice je roven hodnosti matice A.

(3) Hodnost matice je rovna poctu nenulovych radku ve schodovitem tvaru.

Dukaz. Dokazeme prvnı tvrzenı, ostatnı dve jsou dusledkem prvnıho.

Uvazujme nenulovou maticiA om radcıch. Vybereme radek (jeden z radku), kde prvnı nenulovyprvek stojı nejvıce vlevo a tento radek napıseme jako prvnı (presneji, vymenıme jej s prvnımradkem). Nynı mohou nastat dve moznosti:

1) Ve vsech zbyvajıcıch radcıch je prvnı nenulovy prvek vıce vpravo, nez v radku prvnım, takzevsechny prvky v dalsıch radcıch, ktere stojı pod prvnım nenulovym prvkem prvnıho radku, jsourovny nule.

2) Mezi zbyvajıcımi radky je p radku, jejichz prvnı nenulovy prvek zleva je ve stejnem sloupcijako prvnı nenulovy prvek a1k1 v prvnım radku. V tomto prıpade takove radky usporadame podsebe pod prvnı radek a provedeme tyto ekvivalentnı upravy: od prvnıho radku vynasobenehocıslem a2k1 odecteme druhy radek vynasobeny cıslem a1k1 . Na pozici (2, k1) tak dostanemenulu. Pak od prvnıho radku vynasobeneho cıslem a3k1 odecteme tretı radek vynasobeny cıslema1k1 , cımz na pozici (3, k1) dostaneme nulu. Analogicky postupujeme pro radky 3, . . . , p. Potechto upravach dostaneme stav popsany v bode 1).

Stejny postup jako vyse aplikujeme na submatici tvorenou radky 2, . . . ,m. Po konecnem poctukroku dospejeme zrejme k matici ve schodovitem tvaru.

Metoda prevadenı matice na schodovity, diagonalnı nebo kanonicky tvar pomocı elementarnıchuprav se nazyva Gaussova eliminacnı metoda.

Shrneme-li vysledky, muzeme vyslovit obecny navod, jak jednoduse hledat hodnost matice:

Postupnou aplikacı radkovych elementarnıch uprav najdeme k dane matici A nejakou s nıekvivalentnı schodovitou matici A′ (rıkame, ze matici A „prevedeme na schodovity tvar“).Hodnost matice A je pak rovna poctu nenulovych radku schodovite matice A′.

Prıklad 2.20. Popsany algoritmus pouzijeme k urcenı hodnosti matice

A =

1 1 1 1 01 −1 −1 0 01 1 −1 −1 −12 2 0 0 −11 1 5 5 2

.

Zapıseme radkove elementarnı upravy krok za krokem:1 1 1 1 01 −1 −1 0 01 1 −1 −1 −12 2 0 0 −11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 01 1 −1 −1 −12 2 0 0 −11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 12 2 0 0 −11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 2 2 11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 2 2 10 0 4 4 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 0 0 00 0 4 4 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Odtud vidıme, ze dana matice ma hodnost 3.

Jednotlive kroky nenı treba takto podrobne rozepisovat. Ty upravy, ktere vedou k „vynulovanı“celeho sloupce pod uvazovanym radkem lze vzdy zapsat naraz do jedne matice, takze vyslednyzapis bude podstatne kratsı. V nasem prıpade dopadne takto:

1 1 1 1 01 −1 −1 0 01 1 −1 −1 −12 2 0 0 −11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 2 2 10 0 4 4 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Prıklad 2.21. Najdeme Gaussuv kanonicky tvar matice z predchozıho prıkladu.

Jelikoz zname hodnost matice, muzeme vyuzıt Gausovu vetu a kanonicky tvar napsat okamzite:1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Muzeme ovsem postupovat i prımym vypoctem, pricemz muzeme pouzıt algoritmus zalozenyna kombinaci radkovych a sloupcovych uprav, popsany v dukazu vety o Gaussove kanonickemtvaru matice:

1 1 1 1 01 −1 −1 0 01 1 −1 −1 −12 2 0 0 −11 1 5 5 2

∼

1 1 1 1 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 2 2 10 0 4 4 2

∼

1 0 0 0 00 2 2 1 00 0 2 2 10 0 2 2 10 0 4 4 2

∼

1 0 0 0 00 2 0 0 00 0 2 2 10 0 2 2 10 0 4 4 2

∼

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 2 2 10 0 0 0 00 0 0 0 0

∼

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Cvicenı1. Opakovanı.• Definujte vsechny pojmy uvedene v Klıcovych slovech.• Napiste, jak vypadajı elementarnı matice. Jaky je jejich vyznam?• Vyslovte Gaussovy vety o hodnosti matice.• Jake vlastnosti (tykajıcı se ekvivalence) majı regularnı matice?• Jak vypadaa rozklad mnozinyMm×n(P) na trıdy ekvivalence podle hodnosti?

2. Zjistete, zda jsou nıze uvedene radky matice linearne nezavislea) pomocı definice linearnı nezavislosti radku,b) pomocı ekvivalentnıch uprav matice.

f1 = (1, 2, 0, 0), f2 = (3, 6, 0, 0), f3 = (1, 2, 3, 4), f4 = (0, 1, 2, 3).

3. Zjistete, zda jsou dane radky matice linearne zavisle a v kladnem prıpade tuto zavislostvyjadrete explicitne:

f1 = (5, 2,−3, 1, 0), f2 = (7, 1,−3, 8,−6), f3 = (1, 1,−1,−2, 2).

4. Naleznete vsechny hodnoty parametru α, pro ktere se radek (7,−2, α) vyjadruje jakolinearnı kombinace radku

f1 = (2, 3, 5), f2 = (3, 7, 8), f3 = (1,−6, 1).

Toto vyjadrenı zapiste.5. Urcete hodnost matice

−1 2 −32 3 4−3 −2 3

4 −3 41 1 −1

a napiste jejı Gaussuv kanonicky tvar.

6. Urcete hodnost matice 1 α −1 22 −1 α 51 10 −6 1

v zavislosti na parametru α.

7. Urcete Gaussuv kanonicky tvar matice z prechozıho prıkladu.8. Zjistete, zda matice

3 4 −1 23 5 −3 56 8 −1 53 5 −3 7

je regularnı nebo singularnı.

9. Najdete cıslo α, pro ktere ma matice3 1 1 4α 4 10 11 7 17 32 2 4 3

nejmensı hodnost.

10. Urcete Gaussuv kanonicky tvar matice z predchozıho prıkladua) vypoctem hodnosti matice a aplikacı Gaussovy vety o kanonickem tvaru matice,b) prımym vypoctem pomocı kombinace radkovych a sloupcovych elementarnıch uprav,c) prımym vypoctem s vyuzitım pouze radkovych elementarnıch uprav,d) prımym vypoctem s vyuzitım pouze sloupcovych elementarnıch uprav.V prıpadech b), c), d) napiste elementarnı matice odpovıdajıcı jednotlivym upravam anajdete prıslusne matice ekvivalentnıch uprav. Vyjadrete nalezenou matici v kanonickemtvaru jako soucin zadane matice a matic ekvivalentnıch uprav. Vynasobenım prıslusnychmatic se presvedcte o spravnosti sveho resenı ulohy.

11. Urcete rank(AB), vıte-li, ze B je regularnı matice.12. Dokazte, ze pro hodnost soucinu matic A,B platı

rankAB ≤ min{rankA, rankB}.

3 Determinanty a inverznı matice

Studijnı cıle: V poslednı kapitole o maticıch se budeme venovat podrobneji ctvecovym mati-cım. Zavedeme si pojem determinantu matice, prozkoumame jeho vlastnosti a hlavne, naucımese determinaty pocıtat. Dale se budeme venovat pojmu inverznı matice. V prvnı kapitole jsmese seznamili se zakladnımi operacemi na mnozine ctvercovych matic - scıtanım a nasobenım.Zjistili jsme, ze ke scıtanı lze zavest inverznı operaci - odcıtanı, zatımco inverznı operaci k naso-benı matic jsme nezavadeli (naopak jsme zjistili, ze nasobenı matic nenı komutativnı, takze aninelze zavest „delenı “, jak je zname v cıselnych polıch). V mnozine ctvercovych matic ovsemlze zavest, podobne jako u cısel, pojem „inverznıho prvku“ vzhledem k nasobenı. Pripomenmesi, ze inverznım prvkem k cıslu x 6= 0 je cıslo x−1 = 1/x, tedy takove, jehoz soucin s cıslemx je 1. V teto kapitole uvidıme, ze omezıme-li se na regularnı matice, pak muzeme k danematici A najıt matici tak, aby jejım soucinem s maticı A (v libovolnem poradı) byla jednot-kova matice. Takovou matici pak budeme nazyvat inverznı matice k matici A. Prostudujemevlastnosti inverznıch matic a uvedeme metody jejich vypoctu. V zaveru kapitoly se seznamımejeste s jednou metodou pro vypcet hodnosti matice - tzv. metodou vroubenı, ktera je zalozenana vypoctech determinantu.

Klıcova slova: Permutace, parita permutace, Levi-Civituv symbol, determinant matice, regu-larnı matice, singularnı matice, Sarrusovo pravidlo, minor, algebraicky doplnek prvku matice,Laplaceova veta, inverznı matice.

Potrebny cas: 390 minut.

3.1 Permutace

Bud’ {p1, . . . , pn} usporadana podmnozina mnoziny prirozenych cısel (tj. p1 < p2 < · · · <pn). Permutacı mnoziny {p1, . . . , pn} budeme rozumet bijektivnı zobrazenı teto mnozinyna sebe. Permutaci σ mnoziny {p1, . . . , pn} definovanou vztahem σ(p1) = σ1, σ(p2) =σ2, . . . , σ(pn) = σn budeme oznacovat

σ =

(p1 p2 · · · pn

σ1 σ2 · · · σn

),

nebo strucne σ = (σ1, σ2, · · · , σn).

Permutace, ktera odpovıda identickemu zobrazenı mnoziny {p1, . . . , pn} na sebe, se nazyvaidenticka; budeme ji oznacovat symbolem id.

Z definice permutace vyplyva, ze slozenım dvou permutacı mnoziny {p1, . . . , pn} vznika opetpermutace teto mnoziny, tj. ze skladanı permutacı je binarnı operace na mnozine {p1, . . . , pn};tato operace zrejme nenı komutativnı. Operaci skladanı permutacı budeme oznacovat obvyklymsymbolem ◦. Pripomenme si, ze pro permutace σ, π je slozena permutace σ ◦ π definovanavztahem (σ ◦ π)(x) = σ(π(x)) pro vsechna x ∈ {p1, . . . , pn}.

Analogicky vidıme, ze ke kazde permutaci σ existuje inverznı permutace, oznacovana σ−1.Vıme, ze inverznı permutace je urcena jednoznacne a je definovana vztahem σ ◦ σ−1 =σ−1 ◦ σ = id.

Bud’

σ =

(p1 p2 · · · pn

σ1 σ2 · · · σn

)permutace. Usporadanou dvojici (σi, σj) nazveme inverzı, jestlize i < j a pritom σi > σj .Inverze tedy tvorı takove dvojice prvku v permutaci, v nichz prvek (cıslo) s „nizsım poradovymcıslem“ je vetsı nez prvek s „vyssım poradovym cıslem“. Oznacme s pocet inverzı v permutaciσ. Cıslo (−1)s budeme nazyvat paritou permutace σ. Je-li parita permutace σ rovna 1, tj. je-li

pocet inverzı v permutaci σ sudy, nazyva se permutace σ suda. Je-li parita rovna −1, tj. je-lipocet inverzı lichy, nazyva se tato permutace licha.

Abychom si usnadnili zapis a nektere vypocty, zavedeme si nynı pomocny symbol, nazyvanyLevi–Civituv symbol. Predpokladejme, ze indexy j1, . . . , jn nabyvajı hodnoty v podmnozine{p1, . . . , pn} prirozenych cısel, p1 < p2 · · · < pn. Klademe

εj1...jn =

1 tvorı-li {j1, . . . , jn} sudou permutaci mnoziny {p1, . . . , pn} ,−1 tvorı-li {j1, . . . , jn} lichou permutaci mnoziny {p1, . . . , pn} ,

0 jsou-li alespon dva z indexu {j1, . . . , jn} stejne.

Cvicenı1. Kolik je permutacı mnoziny {1, 2, 3, . . . , n}?2. Urcete paritu nasledujıcıch permutacı:(

1 2 3 4 5 62 3 4 1 6 5

),

(1 2 3 41 3 2 4

),

(1 2 3 4 55 4 3 2 1

).

3. Vypiste vsechny permutace mnoziny {1, 2, 3} a urcete jejich paritu.4. Vypiste vsechny permutace mnoziny {1, 2, 3, 4} a urcete jejich paritu.5. Najdete slozenou permutaci:(

1 2 3 4 5 61 5 4 3 6 2

)◦(

1 2 3 4 5 62 4 6 1 3 5

),

(1 2 3 4 5 62 4 6 1 3 5

)◦(

1 2 3 4 5 61 5 4 3 6 2

).

6. Najdete inverznı permutace k permutacım z prıkladu 2.

3.2 Determinant ctvercove matice

Definice 3.1. Necht’A je ctvercova matice radu n nad cıselnym polem P. Cıslo

detA =n∑

j1,j2,...,jn=1

εj1j2...jna1j1a2j2 . . . anjn

se nazyva determinant matice A.

Determinant matice A se take casto oznacuje symbolem |A|, explicitne pıseme

det

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...an1 an2 . . . ann

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Zrejme detA ∈ P, tj. det je zobrazenı mnozinyMn(P) do pole P.

Vsimnete si, ze determinant je souctem clenu a1j1a2j2 . . . anjn pres vsechny permutace σ ={j1, j2, . . . , jn} mnoziny {1, 2, . . . n}, opatrenych znamenkem + pokud jde o sudou a −pokud jde o lichou permutaci. Determinant matice A je tedy soucet soucinu prvku teto maticevytvorenych tak, ze kazdy scıtanec obsahuje prave jeden prvek z kazdeho radku a sloupce, aopatrenych vhodnym znamenkem.

Rozepıseme definici determinantu pro „male“ matice:

• Pro n = 1: V tomto prıpade ma maticeA jen jeden radek a jeden sloupec. Je tedyA = a ∈ P,takze detA = a.

• Pro n = 2 mame

A =

(a11 a12a21 a22

),

a pouze dve permutace mnoziny {1, 2}: sudou permutaci {1, 2} a lichou permutaci {2, 1}. Jetedy ε12 = 1, ε21 = −1 a ε11 = ε22 = 0, takze

detA = a11a22 − a12a21.

Tento vzorec si snadno zapamatujete: determinant matice 2 × 2 je soucin prvku na diagonaleminus soucin zbyvajıcıch prvku.

• Pro n = 3 mame

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,

a 3! = 6 permutacı mnoziny {1, 2, 3}. Definice determinantu ma tedy pro tento prıpad tvar

detA = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.

Ke snadnemu zapamatovanı tohoto vzorce slouzı nasledujıcı graficke schema, nazyvane Sarru-sovo pravidlo: napıseme si pod sebe do peti radku prvnı, druhy a tretı radek matice A a znovujejı prvnı a druhy radek:

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23

Determinant pak dostaneme jako soucet 6 clenu, tvorenych souciny prvku na trech sousedıcıchdiagonalach jdoucıch zleva doprava se znamenkem + a na trech „protejsıch“ sousedıcıchdiagonalach jdoucıch zprava doleva se znamenkem −.

Je-li n = 4, pak determinant je souctem 4! = 24 clenu a jednoduche pravidlo pro jejichzapamatovanı uz nemame. Pro vypocet determinantu lze ovsem nalezt jine postupy, jejichzpouzitı je snadnejsı, nez prıme dosazenı do definicnıho vztahu.

Uvedeme nektere vlastnosti determinantu, ktere nam usnadnı jejich vypocet.

Veta 3.2. (1) Je-li nektery radek (sloupec) matice A nulovy, je detA = 0.

(2) Determinant matice ve schodovitem tvaru a determinant diagonalnı matice je roven soucinuprvku na hlavnı diagonale, tedy detA = a11a22 . . . ann.

Obe tvrzenı ihned plynou z definice determinantu.

Nynı muzeme okamzite urcit determinanty elementarnıch matic:

detQ(i, c) = c , detQ(ij, c) = 1.

Jelikoz podle definice elementarnıch uprav je v matici Q(i, c) cıslo c ruzne od nuly, jsoudeterminanty vsech elementarnıch matic ruzne od nuly.

Veta 3.3. (1) Pro libovolne dve ctvercove matice A,B platı

detAB = detBA = detA · detB.

(2) Pro libovolnou ctvercovou matici A platı

detA = detAT .

Dukaz. (1) Vzorec dokazeme dosazenım do definice determinantu. Oznacme A = (aij), B =(bij), AB = (cij), a pripomenme si, ze cij =

∑aikbkj pro vsechny hodnoty indexu i, j. Mame

tedy

detAB =n∑

j1,...,jn=1

εj1...jnc1j1 . . . cnjn

=n∑

j1,...,jn=1

n∑k1,...,kn=1

εj1...jna1k1bk1j1a2k2bk2j2 . . . anknbknjn

=n∑

j1,...,jn=1

n∑k1,...,kn=1

εj1...jnbk1j1 . . . bknjna1k1a2k2 . . . ankn .

Vsimneme si pozorne poslednıho vyrazu, v nemz vystupuje suma pres vsechny hodnoty indexuj1, . . . , jn a k1 . . . , kn. Uvazujme nejprve ty cleny v uvedenem souctu, ktere majı vsechnyhodnoty indexu k1, . . . , kn navzajem ruzne, to znamena, ze (k1, . . . , kn) je nejaka permutacemnoziny {1, 2, . . . , n}. V kazdem ze soucinu bk1j1 . . . bknjn lze tedy preskladat cinitele tak,aby leve (radkove) indexy tvorily usporadanou mnozinu {1, 2, . . . , n}. Tımto preskladanımovsem zaroven zmenıme poradı indexu j1, . . . , jn, cımz dostaneme na mıste sloupcovych in-dexu jinou permutaci. Zrejme, byla-li (k1, . . . , kn) suda permutace mnoziny {1, 2, . . . , n}, pakvznikne permutace mnoziny {1, 2, . . . , n}, ktera ma stejnou paritu jako permutace (j1, . . . jn).Podobne, byla-li (k1, . . . , kn) licha permutace mnoziny {1, 2, . . . , n}, vznikne permutace,ktera ma opacne znamenko. Indexy j1, . . . , jn jsou ovsem scıtacı, to znamena, ze v souctu∑

j1,...,jnεj1...jnbk1j1 . . . bknjn vystupujı vsechny permutace (j1, . . . , jn). Z toho vyplyva, ze

uvedenym preskladanım cinitelu v kazdem ze scıtancu bk1j1 . . . bknjn vznikne vyraz, kterybude bud’prımo roven nekteremu z vyrazu vystupujıcıch v souctu clenu εj1...jnbk1j1 . . . bknjn

(to v prıpade, ze permutace (k1, . . . , kn) byla suda), nebo bude roven nekteremu z techto scı-tancu, ale bude mıt opacne znamenko (to nastane tehdy, kdyz permutace (k1, . . . , kn) bylalicha). Platı tedy pro kazdou permutaci (k1 . . . kn) mnoziny {1, 2, . . . , n}

n∑j1,...,jn=1

εj1...jnbk1j1 . . . bknjn =n∑

j1,...,jn=1

εj1...jnεk1...knb1j1 . . . bnjn . (3.1)

Zbyva vysetrit ty scıtance v souctu

n∑j1,...,jn=1

n∑k1,...,kn=1

εj1...jnbk1j1 . . . bknjna1k1a2k2 . . . ankn ,

kde alespon dva z indexu k1, . . . , kn jsou stejne. Uvazujme tedy pro pevne zvolene indexyk1, . . . , kn soucet

∑j1,...,jn

εj1...jnbk1j1 . . . bknjn a predpokladejme, ze p z techto indexu nabyvastejne hodnoty. Pak ovsem v uvazovanem souctu bude vystupovat (p!)-scıtancu, ktere budouv absolutnı hodnote stejne, ale se znamenky takovymi, ze se navzajem vyrusı. Celkove tedy

dostavame, ze vztah (3.1) platı pro libovolne hodnoty indexu k1, . . . , kn. Odtud

detAB =n∑

j1,...,jn=1

n∑k1,...,kn=1

εj1...jnbk1j1 . . . bknjna1k1a2k2 . . . ankn

=n∑

j1,...,jn=1

n∑k1,...,kn=1

εj1...jnεk1...knb1j1 . . . bnjna1k1a2k2 . . . ankn

=( n∑

k1,...,kn=1

εk1...kna1k1a2k2 . . . ankn

)·( n∑

j1,...,jn=1

εj1...jnb1j1 . . . bnjn

)= detA · detB.

(2) K dukazu druheho tvrzenı tez vyuzijeme definici determinantu. Platı

detAT =n∑

j1,...,jn=1

εj1...jnaj11aj22 . . . ajnn. (3.2)

Vsimneme si blıze nenulovych clenu ve vyrazu pro detAT . Pro pevne hodnoty indexu j1, . . . , jnje (j1 . . . jn) permutace mnoziny {1, 2, . . . , n}. Preskladame-li cinitele v soucinu aj11 . . . ajnn

tak, aby leve (radkove) indexy byly usporadany v poradı 1, 2, . . . , n, vytvorı prave (sloupcove)indexy permutaci mnoziny {1, 2, . . . , n}, jejız znamenko bude stejne jako bylo znamenkopermutace (j1 . . . jn). Z toho je zrejme, ze v souctu (3.2) vystupujı stejne scıtance a se stejnymiznamenky jako v souctu

∑j1,...,jn

εj1...jna1j1a2j2 . . . anjn . Pak ovsem detAT = detA.

Veta 3.4. Matice A je regularnı prave tehdy, kdyz detA 6= 0 a singularnı prave tehdy, kdyzdetA = 0.

Dukaz. Bud’A regularnı matice. Pak A je soucinem konecneho poctu elementarnıch matic.Jelikoz vsechny elementarnı matice majı nenulovy determinant, a jelikoz podle vyse uvedenevety je determinant soucinu konecne mnoha matic roven soucinu jejich determinantu, dostavamedetA 6= 0.

Obracene, necht’ detA 6= 0. Prevedeme-li matici A elementarımi upravami na diagonalnıtvar A′, dostavame A′ = UAV pro jiste matice U, V , ktere jsou soucinem konecne mnohaelementarnıch matic, takze detU 6= 0, detV 6= 0. Podle vety o soucinu determinantu jedetA′ = detU · detA · detV 6= 0. Determinant matice A′ je ovsem roven soucinu jejıchdiagonalnıch prvku, proto musı kazdy z techto prvku byt ruzny od 0. Matice A′ tedy nemazadny radek nulovy, tudız jejı hodnost je maximalnı. Matice A ma stejnou hodnost jako maticeA′, je tedy rovnez regularnı.

Druha cast tvrzenı je negacı jeho prave dokazane prvnı casti.

Vysetrıme jeste, co se deje s determinantem pri elementarnıch upravach matice.

Veta 3.5. (1) Necht’matice A′ vznikne z A vynasobenım radku (sloupce) cıslem c 6= 0. Pak

detA′ = cdetA.

(2) Jestlize v matici A k i-temu radku (sloupci) pricteme c-nasobek j-teho radku (sloupce), jejıdeteminant se nezmenı.

(3) Vymena dvou radku (sloupcu) matice menı znamenko determinantu.

Dukaz. K dukazu prvnıch dvou tvrzenı si stacı uvedomit, ze pro determinanty elementarnıchmatic platı detQ(i, c) = c, detQ(ij, c) = 1 a aplikovat vetu o determinantu soucinu matic.

Vymena dvou radku (sloupcu) matice je reprezentovana soucinem U konecne mnoha elemen-tarnıch matic, ktere odpovıdajı upravam uvedenym v prıkladu 2.3. Odtud okamzite vidıme, zedeterminant matice U je roven −1. Zbytek opet plyne vety o determinantu soucinu matic.

Ukol. Ctenare jiste napadlo, ze vsechna tvrzenı predchozı vety by bylo mozno snadno dokazatrovnez prımym uzitım definice determinantu. Doporucujeme, aby tyto dukazy provedl.

Definice 3.6. Necht’A je (ne nutne ctvercova) matice. Minorem radu k matice A rozumımedeterminant jejı ctvercove submatice radu k.

Odvodıme nynı z praktickeho hlediska velmi dulezite vzorce, vyjadrujıcı determinant ctvercovematice radu n pomocı jejıch minoru radu n− 1.

Definice 3.7. Bud’nynı A = (aij) ctvercova matice radu n. Oznacme Aij jejı submatici radun− 1, ktera vznikne z A vypustenım i-teho radku a j-teho sloupce. Cıslo

Aij = (−1)i+j detAij

nazyvame algebraicky doplnek prvku aij .

Spocteme explicitne determinant submatice Aij . Podle definice determinantu je

detAij =∑

k1,...,ki−1,ki+1,...,kn 6=j

εk1...ki−1ki+1...kna1k1 . . . ai−1,ki−1ai+1,ki+1 . . . ankn

(presneji, scıta se pres k1, . . . , ki−1, ki+1, . . . , kn ∈ {1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n}).Veta 3.8 (Laplaceova veta o rozvoji determinantu). Bud’A = (akl) ctvercova matice radu n,Aij algebraicky doplnek prvku aij , i, j = 1, 2, . . . , n. Platı

detA =n∑

k=1

a1kA1k =n∑

k=1

a2kA2k = · · · =n∑

k=1

ankAnk, (3.3)

detA =n∑

k=1

ak1Ak1 =n∑

k=1

ak2Ak2 = · · · =n∑

k=1

aknAkn . (3.4)

Vsimnete si, ze Laplaceova veta predstavuje 2n vzorcu pro vypocet determinantu. Vzorce (3.3)vyjadrujı determinant jako sumu soucinu prvku (libovolneho pevneho) radku matice A s jejichalgebraickymi doplnky. Podobne vzorce (3.4) vyjadrujı determinant jako sumu soucinu prvku(libovolneho pevneho) sloupce matice A s jejich algebraickymi doplnky. Proto vzorec

detA =n∑

k=1

aikAik

nazyvame rozvoj determinantu matice podle jejıho i-teho radku a

detA =n∑

k=1

akjAkj

nazyvame rozvoj determinantu matice podle jejıho j-teho sloupce.

Dukaz. K dukazu Laplaceovy vety uzijeme definice determinantu matice.

• Nejprve dokazeme prvnı sadu vzorcu. Zvolme i-ty radek matice A libovolne, ale pevne.Platı

detA =n∑

j1,...,jn=1

εj1...jna1j1 . . . anjn

=n∑

j1,...,jn=1

aijiεj1...ji...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1anjn

=n∑

ji=1

aiji

n∑j1,...,ji−1,ji+1,...,jn=1

εj1...ji...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1 . . . anjn .

Poslednı sumu rozepıseme pro ji = 1, 2, . . . , n a jednotlive scıtance budeme dale upra-vovat:

Prvnı clen teto sumy ma tvar

ai1

n∑j1,...,ji−1,ji+1,...,jn=1

εj1...ji−11ji+1...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1 . . . anjn . (3.5)

Vynechame-li v souctu nulove cleny, vidıme, ze sloupcove indexy j1, . . . , ji−1, ji+1,. . . , jn probıhajı vsechny permutace mnoziny {2, . . . , n}. Dale zrejme

εj1...ji−11ji+1...jn = (−1)i−1ε1j1...ji−1ji+1...jn ,

a podle definice determinantu je∑j1,...,ji−1,ji+1,...,jn=2,3,...,n

ε1j1...ji−1ji+1...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1 . . . anjn = detAi1

determinant matice radu n − 1, ktera je rovna submatici matice A, vznikle vypustenımi-teho radku a prvnıho sloupce. Tedy vyraz (3.5) je roven

ai1(−1)i−1 detAi1 = ai1(−1)i+1 detAi1 = ai1Ai1.

Podobne pro druhy clen uvazovaneho souctu mame:

ai2

n∑j1,...,ji−1,ji+1,...,jn=1

εj1...ji−12ji+1...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1 . . . anjn . (3.6)

Nynı sloupcove indexy j1, . . . , ji−1, ji+1, . . . , jn probıhajı vsechny permutace mnoziny{1, 3, . . . , n}. Dale

εj1...ji−12ji+1...jn = (−1)i−1+1εj12j3...ji−1ji+1...jn ,

a podle definice determinantu je∑j1,...,ji−1,ji+1,...,jn=1,3,...,n

εj12j3...ji−1ji+1...jna1j1 . . . ai−1,ji−1ai+1,ji+1 . . . anjn = detAi2

determinant matice radu n − 1, ktera je rovna submatici matice A, vznikle vypustenımi-teho radku a druheho sloupce. Tedy vyraz (3.6) je roven

ai2(−1)i detAi2 = ai2(−1)i+2 detAi2 = ai2Ai2.

Analogicke uvahy vedou k zaveru, ze pro k-ty clen sumy (k = 1, 2, . . . , n) je

aik(−1)i−1+k−1 detAik = aik(−1)i+k−2 detAik = aik(−1)i+k detAik = aikAik.

Celkove tedy mame

detA =n∑

k=1

aikAik,

coz je dokazovany vztah. Z libovolnosti indexu i plyne, ze vzorec platı pro kazde i =1, 2, . . . n.

• K dukazu druhe sady vzorcu vyuzijeme toho, ze determinant matice A se rovna determi-nantu matice k nı transponovane, tedy

detA = detAT =∑

i1,...,in

εi1...inai11 . . . ainn.

Zvolıme pevne sloupcovy index j, tuto sumu rozepıseme a postupujeme stejne jako vyse.

Prıklad 3.9. Uvedeme prıklad na aplikaci Laplaceovy vety. Spocıtame determinant matice

A =

1 2 32 −2 10 0 1

.

Nejvyhodnejsı bude vyuzıt rozvoj podle 3. radku:

detA = 0 · (−1)3+1 det

∣∣∣∣ 2 3−2 1

∣∣∣∣+ 0 · (−1)3+2 det

∣∣∣∣ 1 23 1

∣∣∣∣++ 1 · (−1)3+3 det

∣∣∣∣ 1 22 −2

∣∣∣∣ = −6.

Pro ilustraci metody uvedeme jeste vypocet pomocı rozvoje podle 2. sloupce:

detA = 2 · (−1)1+2 det

∣∣∣∣ 2 10 1

∣∣∣∣+ (−2) · (−1)2+2 det

∣∣∣∣ 1 30 1

∣∣∣∣++ 0 · (−1)3+2 det

∣∣∣∣ 1 32 1

∣∣∣∣ = −4− 2 = −6.

Poznamka 3.10 (Metody vypoctu determinantu). Vysledky tohoto odstavce poskytujı teore-ticke zazemı pro vypocet determinantu libovolne ctvercove matice. Pri vypoctu muzeme tedyaplikovat tyto metody:

• Determinant matice urcıme dosazenım do definice determinantu. Tento postup je ovsempro matice radu vyssıho nez 3 zpravidla velmi zdlouhavy a jeho slozitost prudce roste sradem matice (pro matici radu n ma definicnı vzorec pro detA n! clenu). Definici tedyvyuzıvame nejcasteji k vypoctu determinantu matic radu n = 1, 2, 3.

• Pomocı elementarnıch transformacı prevedeme danou matici na matici ve schodovi-tem tvaru, jejız determinant muzeme snadno urcit (je soucinem diagonalnıch prvku).Pri vypoctu determinantu puvodnı matice pak musıme vzıt v uvahu vliv jednotlivychelementarnıch uprav na hodnotu determinantu.

• Vyuzijeme Laplaceovu vetu o rozvoji podle nektereho radku nebo sloupce determinantu.Tato metoda je zvlaste vyhodna, pokud se v nekterem radku ci sloupci vyskytujı nuly.

• Nejcasteji ovsem pri vypoctu determinantu pouzıvame vhodne kombinace vsech techtometod, s cılem co nejvıce si vypocet zjednodusit.

Kontrolnı otazky a ukoly.

• Definujte determinant.

• Popiste, co se deje s determinantem matice pri elementarnıch upravach teto matice.

• Co je to Sarrusovo pravidlo?

• Jaky je determinant matice, ktera ma nulovy jeden nebo vıce radku ci sloupcu?

• Jaky je determinant singularnı matice?

• Napiste, jak vypada determinant diagonalnı matice a determinant matice ve schodovitemtvaru.

• Jak se zmenı determinant matice, kdyz jeden jejı radek nebo sloupec vynasobıme cıslem c?

• Jak se zmenı determinant matice, kdyz prohodıme dva jejı radky nebo sloupce?

• Jak se zmenı determinant matice, kdyz a-nasobek jednoho jejıho radku (sloupce) pricteme kb-nasobku jineho jejıho radku (sloupce)?

• Vyslovte Laplaceovu vetu.

• Rozepiste Laplaceovu vetu explicitne pro prıpad matice radu 4 a rozvoje podle jejıho tretıhosloupce.

• Platı-li pro ctvercove matice A,B vztah AB = E, muze byt detA = 0?

• Doplnte vzorce:

det(AB) = detAT = det(AB)T =

• Uved’te prıklad matic, pro ktere det(A+B) 6= detA+ detB.

• Co muzete rıci o matici A vıte-li, ze detA 6= 0?

•Muze byt soucinem dvou singularnıch matic regularnı matice?

Cvicenı1. Urcete det(cA), znate-li detA.2. Vıte-li, ze pro ctvercove matice A,X platı AX = E, urcete detX .3. Urcete detA, vıte-li, ze AAT = E.4. Dokazte, ze determinant antisymetricke matice licheho radu je roven nule.

[Navod: Vyuzijte toho, ze platı A = −AT a tedy detA = det(−AT ).]

5. Zjistete, ktere z nıze uvedenych matic jsou regularnı a ktere singularnıa) vypoctem hodnosti matice,b) vypoctem determinantu.

3 4 −58 7 −22 −1 8

,

1 3 5 −12 −1 −3 45 1 −1 77 7 9 1

,

4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 74 3 1 2 −58 6 −1 4 −6

.

6. Vypoctete determinanty:

det

5 2 1 3 24 0 7 0 02 3 7 5 32 3 6 4 53 0 4 0 0

, det

0 −2 3 −4 5 3 −52 0 −5 −7 6 0 −7−3 5 0 1 −4 11 8

4 7 −1 0 9 2 −6−5 −6 4 −9 0 1 −1−3 0 −11 −2 −1 0 −4

5 7 −8 6 1 4 0

,

det

2 1 0 · · · 01 2 1 · · · 00 1 2 . . . 0...0 0 0 · · · 2

, det

1 n n · · · nn 2 n · · · nn n 3 · · · n...n · · · n n · · · n

.

7. Je zobrazenı det : Mn(P) → P, ktere prirazuje ctvercove matici jejı determinant,surjektivnı? Je toto zobrazenı injektivnı?

8. Uvazujme mnozinuMn(R) spolu s operacı scıtanı matic a mnozinu R s operacı scıtanırealnych cısel. Vysetrete, zda zobrazenı det je kompatibilnı s temito operacemi, tj. zdasoucet matic zobrazuje na soucet jim odpovıdajıcıch realnych cısel. Stejnou ulohu restepro prıpad, ze mnozinyMn(R) a R uvazujeme s operacı nasobenı.

9. Napiste si program pro vypocet determinantu matice• radu ≤ 4, zalozeny na definici determinantu,• zalozeny na Laplaceove vetea otestujte ho na prıkladech.

3.3 Inverznı matice

Na mnozine ctvercovych matic radu n jsme zatım zavedli tyto operace:

• unarnı operace - komplexnı sdruzenı, transponovanı, symetrizaci, antisymetrizaci, prira-zenı opacne matice

• binarnı operace scıtanı a nasobenı.

Pritom existence opacne matice k libovolne matici nam umoznila zavest operaci odcıtanı, jakoinverznı operaci ke scıtanı. Nynı se budeme zabyvat otazkou, zda take k operaci nasobenıctvercovych matic ma smysl hledat nejakou inverznı operaci.

Definice 3.11. Bud’A ctvercova matice radu n. Matice B se nazyva inverznı matice k maticiA, jestlize

AB = BA = E. (3.7)

Definice nam nerıka nic o tom, ke kterym maticım inverznı matice existuje, ani kolik inverznıchmatic lze k dane matici nalezt. Uvedeme vetu, ktera resı otazky existence a jednoznacnostiinverznı matice.

Veta 3.12. Necht’A je ctvercova matice radu n nad cıselnym polem P. K matici A existujeinverznı matice prave tehdy, kdyzA je regularnı. Inverznı matice k regularnı maticiA je urcenajednoznacne.

Dukaz. Predpokladejme nejprve, ze k matici A existuje inverznı matice B, tedy, ze AB =BA = E. Pak det(AB) = det(BA) = detA · detB = 1, odkud vyplyva, ze detA 6= 0, tedy,ze A je regularnı.

Obracene, necht’A je regularnı ctvercova matice. Existujı tedy elementarnı maticeQ1, . . . , Qk,takove, ze A = Q1 . . . Qk. Oznacme Q−1i matici inverznı elementarnı upravy k uprave Qi.Klademe

A−1 = Q−1k . . . Q−11 .

Platı AA−1 = Q1 . . . QkQ−1k . . . Q−11 = E a podobne A−1A = E. Podle definice je A−1

inverznı matice k matici A.

Zbyva dokazat jednoznacnost inverznı matice.

Necht’A je regularnı matice, B ctvercova matice, pro niz platı AB = BA = E. K matici Aexistuje inverznı matice A−1 zkonstruovana vyse a platı

B = BE = BAA−1 = ABA−1 = EA−1 = A−1 .

Tım je dukaz ukoncen.

Inverznı matici k regularnı matici A budeme oznacovat symbolem A−1.

Uvedeme nynı zakladnı vlastnosti inverznı matice.

Veta 3.13. (1) Platı-li pro matice A,B vztah AB = E, pak take BA = E, obe matice jsouregularnı, a A = B−1, B = A−1.

(2) Pro determinant inverznı matice k regularnı matici A platı

detA−1 =1

detA.

(3) Bud’A regularnı matice. Pak A−1 je regularnı a platı

(A−1)−1 = A.

(4) Pro libovolne regularnı matice A,B platı

(AB)−1 = B−1A−1.

(5) Je-li A regularnı matice a B matice takova, ze AB = 0, pak B = 0.

(6) Je-li A regularnı matice a B matice takova, ze AB = A nebo BA = A, pak B = E.

Dukaz. Dokazeme prvnı tvrzenı. Je-li AB = E, pak zrejme det(AB) = detA · detB = 1,takze detA 6= 0, detB 6= 0, coz znamena, ze A,B jsou regularnı. Dale mame BA = BEA =BABA. Jelikoz matice BA je regularnı, existuje k nı matice inverznı. Vynasobıme-li tedy tutorovnici maticı (BA)−1 zleva, dostanemeE = BA. Z jednoznacnosti inverznı matice pak ihnedvyplyva, ze B = A−1 a A = B−1.

Tvrzenı (2) a (3) vyplyvajı prımo z definice inverznı matice: Platı AA−1 = E, tedy takedetA·detA−1 = 1, odkud mame detA−1 = 1/ detA. Jelikoz detA 6= 0, je take detA−1 6= 0.Urcıme inverznı matici k matici A−1: podle definice ma byt A−1(A−1)−1 = E, pricemz(A−1)−1 je jedina matice, splnujıcı tuto podmınku. Platı ovsem A−1A = E, takze (A−1)−1 =A. 7

Dokazeme tvrzenı (4). Podle definice inverznı matice k matici AB platı (AB)(AB)−1 =E. Vynasobıme-li tuto rovnici postupne maticemi A−1, B−1 zleva, dostaneme B(AB)−1 =A−1E = A−1, (AB)−1 = B−1A−1.

Poslednı dve tvrzenı jsou evidentnı: stacı uvedene rovnice nasobit maticı A−1 zleva (resp.zprava dle kontextu).

Oznacme Aalg matici, jejımiz prvky jsou algebraicke doplnky prvku matice A, tedy podle jizzavedeneho oznacenı, Aalg = (Aij).

Veta 3.14. Bud’A regularnı matice. Platı

A−1 =1

detA(Aalg)T

Dukaz. Stacı ukazat, ze (Aalg)T · A = detA · E (coz je diagonalnı matice, ktera ma nadiagonale cısla detA).

Oznacme (Aalg)T = (bij), (Aalg)T · A = (cij). Podle definice transponovane matice a maticeAalg je

bij = Aji = (−1)i+j detAji

pro vsechny hodnoty indexu i, j. Podle definince soucinu matic nynı dostavame

cij =n∑

l=1

bilalj =n∑

l=1

Alialj .

7Jiny dukaz: Vynasobıme-li rovnici A−1(A−1)−1 = E maticı A zleva, dostaneme (A−1)−1 = AE = A.

Pocıtejme prvky matice (Aalg)T · A stojıcı na diagonale: Pro (kazde) pevne i = j mamecii =

∑nl=1Aliali, coz je rozvoj podle i-teho radku matice A; aplikujeme-li Laplaceovu vetu,

dostaneme

cii = detA , 1 ≤ i ≤ n.

Ukazeme, ze vsechny ostatnı prvky matice (Aalg)T · A jsou rovny nule. Spocıtame tedy cij =∑nl=1Alialj pro i 6= j. Vyuzijeme definici algebraickeho doplnku: pro libovolne pevne hodnoty

indexu i, l platı

Ali = (−1)l+i detAli = (−1)l+iεk1...kl−1kl+1...kna1k1 . . . al−1kl−1

al+1kl+1

. . . ankn,

kde {k1, . . . , kl−1, kl+1, . . . , kn} je permutace mnoziny {1, . . . , i− 1, i+ 1, . . . , n} (tedy ne-obsahujıcı i). Pak

Alia

lj = al

j(−1)l+iεk1...kl−1kl+1...kna1k1 . . . al−1kl−1

al+1kl+1

. . . ankn

= (−1)l+iεk1...kl−1kl+1...kna1k1 . . . al−1kl−1

alja

l+1kl+1

. . . ankn

= (−1)l+i+jεjk1...kl−1kl+1...kna1k1 . . . al−1kl−1

alja

l+1kl+1

. . . ankn

= 0,

nebot’soucet probıha pres vsechny prmutace mnoziny {1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n} obsahujıcıj. Dosadıme-li tedy do vyrazu pro cij , dostaneme pro i 6= j

cij =n∑

l=1

Alia

lj = 0 .

Celkove dostavame

(Aalg)T ·A =

detA 0. . .

0 detA

= detA · E,

tj.1

detA(Aalg)T ·A = E .

Inverznı matice k matici A ma tedy pozadovany tvar.

Poznamka 3.15 (Metody vypoctu inverznı matice). Na zaklade uvedenych vet lze zformulovatprakticke metody vypoctu inverznı matice k dane regularnı matici.

• Vıme, ze matice A−1 je soucinem elementarnıch matic, ktere obdrzıme, kdyz danou maticiA prevedeme radkovymi elementarnımi upravami na matici jednotkovou. Pritom vyslednamatice A−1 nezavisı na poctu techto uprav, ani na jejich konkretnı volbe, tedy docılıme-lidvema ruznymi posloupnostmi radkovych elementarnıch uprav, aby A ∼ E, pak obe tytocesty poskytujı stejnou matici A−1. Pri vypoctu inverznı matice pomocı Gaussovy eliminacnımetody tedy postupujeme takto: vedle dane maticeA napıseme jednotkovou matici E stejnehoradu a radkovymi elementarnımi upravami upravujeme soucasne obe matice s cılem prevestmatici A na matici jednotkovou. V okamziku, kdy A prejde v E, prejde E v A−1; tento postupzapisujeme ve tvaru

(A|E) ∼ (Q1A|Q1E) ∼ (Q2Q1A|Q2Q1E) ∼ · · · ∼ (E|A−1) .

Pokud tımto postupem dospejeme k matici Q1 . . . QkA ekvivalentnı s A, ktera je diagonalnıa na diagonale ma krome jednicek alespon jednu nulu, pak puvodnı matice A byla singularnı,tedy matice k nı inverznı neexistuje.

Inverznı matici lze obdrzet analogickym postupem s vyuzitım pouze sloupcovych elementarnchuprav dane matice A.

• Dalsı metodu vypoctu inverznı matice poskytuje veta 3.14: inverznı matici k A vypoctemedosazenım do vzorceA−1 = (1/detA) ·(Aalg)T . Tato metoda se z hlediska pocetnı narocnostivyuzıva pri „pocıtanı na papıre“ zpravidla pouze pro matice radu ≤ 4; vsimneme si, ze promatice radu 2 poskytuje vysledek okamzite. Vhodna je take pri pocıtanı s maticemi, ktereobsahujı parametry, nebo jejichz prvky jsou funkce, nebo pri vypoctech pomocı pocıtace.

Prıklad 3.16. Vypocteme inverznı matici k matici1 2 22 1 −22 −2 1

.

Ulohu vyresıme metodou elementarnıch uprav i s pouzitım vzorce pro inverznı matici ve vete3.14.

• Resenı metodou elementarnıch uprav:1 2 22 1 −22 −2 1

∣∣∣ 1 0 00 1 00 0 1

∼1 2 2

0 3 60 6 3

∣∣∣ 1 0 02 −1 02 0 −1

∼1 2 2

0 3 60 0 9

∣∣∣ 1 0 02 −1 02 −2 1

∼

1 2 20 9 00 0 9

∣∣∣ 1 0 02 1 −22 −2 1

∼9 18 0

0 9 00 0 9

∣∣∣ 5 4 −22 1 −22 −2 1

∼

9 0 00 9 00 0 9

∣∣∣ 1 2 22 1 −22 −2 1

∼1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣ 19 29

29

29

19 −29

29 −

29

19

Hledana inverznı matice je

19

1 2 22 1 −22 −2 1

.

Provedeme zkousku:1 2 22 1 −22 −2 1

·19 2

929

29

19 −29

29 −

29

19

=

1 0 00 1 00 0 1

.

• Resenı podle vzorce z vety 3.14:

Spocıtame determinant zadane matice:

det

1 2 22 1 −22 −2 1

= 1− 4− 8− 4− 8− 4 = −27.

Spocıtame matici algebraickych doplnku:

A11 =

∣∣∣∣ 1 −2−2 1

∣∣∣∣ = −3, A12 = −∣∣∣∣2 −22 1

∣∣∣∣ = −6, A13 =

∣∣∣∣2 12 −2

∣∣∣∣ = −6,

A21 = −∣∣∣∣ 2 2−2 1

∣∣∣∣ = −6, A22 =

∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣ = −3, A23 = −∣∣∣∣1 22 −2

∣∣∣∣ = 6,

A31 =

∣∣∣∣2 21 −2

∣∣∣∣ = −6, A32 = −∣∣∣∣ 1 2

2 −2

∣∣∣∣ = 6, A33 =

∣∣∣∣1 22 1

∣∣∣∣ = −3.

Matice Aalg je symetricka, takze AalgT = Aalg. Inverznı matice k zadane matici ma tvar1 2 22 1 −22 −2 1

−1 = − 127

−3 −6 −6−6 −3 6−6 6 −3

=19

1 2 22 1 −22 −2 1

.

Kontrolnı otazky a ukoly

• Definujte inverznı matici a dokazte jejı jednoznacnost.

• Ke kterym maticım existuje inverznı matice?

• Jestlize pro matici A platı AAT = E, jak vypada inverznı matice k matici A?

• Doplnte vzorce:

AA−1 = (AB)−1 = A−1 = Aalg =

A−1B−1 = (AT )−1 = (A−1)−1 = detA−1 =

• Je pravda, ze inverznı matice k symetricke matici je symetricka matice a inverznı matice kantisymetricke matici je antisymetricka matice?

Cvicenı1. Vypoctete inverznı matici k matici2 7 3

3 9 41 5 3

,

(a2 abab b2

),

(sinα cosα− cosα sinα

),

(a bc d

),

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

,

12

√2 0 −12

√2

16

√2 2

3

√2 1

6

√2

23 −13

23

.

Vypocet proved’te metodou elementarnıch uprav i pomocı matice algebraickych doplnku.(U matic obsahujıcıch parametry nezapomente na diskusi existence inverznı matice.)

2. Overte, ze pro matici

A =12

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

platı A−1 = A. 8

3. Reste maticove rovnice1 2 −33 2 −42 −1 0

·X =

1 −3 010 2 710 7 8

,

2 −3 14 −5 25 −7 3

·X ·9 7 6

1 1 21 1 1

=

2 0 −218 12 923 15 11

.

8Matice po ktere platı A = A−1, tj. A2 = E se nazyvajı involutivnı.

4. Dokazte, ze platı-li pro matici A vztah AAT = E, pak je take ATA = E.5. Urcete determinant matice algebraickych doplnku Aalg.

[Navod: (Aalg)T = (detA) ·A−1, takze detAalg = det(Aalg)T = (detA)n detA−1 =(detA)n−1 detE = (detA)n−1.]

6. Napiste si program na vypocet inverznı matice zalozeny na pouzitı vzorce A−1 =(1/detA) · (Aalg)T a otestujte ho na prıkladech.

3.4 Metoda vroubenı pro vypocet hodnosti matice

Zaverem teto kapitoly uvedeme vetu, ktera nam poskytne dalsı metodu pro vypocet hodnostimatice.

Veta 3.17. Hodnost nenulove matice typum×n je rovna radu maximalnıho nenuloveho minorumatice.

Dukaz. Nenulova matice A typu m × n ma aspon jeden nenulovy minor. Necht’ tedy M jesubmatice matice A radu k takova, ze detM 6= 0, a ze vsechny minory radu k + 1 jsourovny nule. Jelikoz hodnost matice A se nezmenı pri vzajemne vymene radku a sloupcu, lzepredpokladat, ze submatice M je tvorena prvnımi k radky a prvnımi k sloupci matice A.Jelikoz detM 6= 0, je rankM = k, odkud vyplyva, ze prvnıch k radku matice A je linearnenezavislych, tj. rankA ≥ k. Nynı stacı dokazat, ze libovolny i-ty radek matice A, kde i > k,je linearnı kombinacı jejıch prvnıch k radku.

Zvolme i > k pevne. Oznacme Dij submatici matice A, ktera vznikne „ovroubenım“ maticeM i-tym radkem a libovolnym j-tym sloupcem maticeA, j > k, tedy submatici, ktera vzniknez A vypustenım vsech poslednıch n − k radku a sloupcu s vyjimkou i-teho radku a j-tehosloupce. Jelikoz Dij je radu k + 1, je podle predpokladu detDij = 0, tj. matice Dij jesingularnı. Z konstrukce teto submatice ovsem vyplyva, ze jejı poslednı radek (coz je radektvaru (ai1, . . . , aik, aij)) musı byt linearnı kombinacı jejıch prvnıch k radku. Oznacıme-likoeficienty teto linearnı kombinace po rade b(j)1 , b

(j)2 . . . , b

(j)k , mame

ai1 = b(j)1 a11 + b

(j)2 a21 + · · ·+ b

(j)k ak1 ,

...

aik = b(j)1 a1k + b

(j)2 a2k + · · ·+ b

(j)k akk ,

aij = b(j)1 a1j + b

(j)2 a2j + · · ·+ b

(j)k akj .

Vzhledem k tomu, ze tyto vztahy platı pro kazde j > k, mame take

ai1 = b(p)1 a11 + b

(p)2 a21 + · · ·+ b

(p)k ak1 ,

...

aik = b(p)1 a1k + b

(p)2 a2k + · · ·+ b

(p)k akk ,

aip = b(p)1 a1p + b

(p)2 a2p + · · ·+ b

(p)k akp

pro vsechna p > k, p 6= j. Odtud

(b(j)1 − b(p)1 )a11 + (b(j)2 − b

(p)2 )a21 + · · ·+ (b(j)k − b

(p)k )ak1 = 0,

...

(b(j)1 − b(p)1 )a1k + (b(j)2 − b

(p)2 )a2k + · · ·+ (b(j)k − b

(p)k )akk = 0.

Z podmınky, ze radky (a11, . . . , a1k), (a21, . . . , a2k), . . . , (ak1, . . . , akk) jsou linearne nezavisleovsem vyplyva, ze pro vsechna p > k, p 6= j,

b(p)1 = b

(j)1 , . . . , b

(p)k = b

(j)k .

Oznacıme-li b(p)l = bl, p > k, l = 1, . . . , k, mame celkove

ail = b1a1l + b2a2l + · · ·+ bkakl

pro vsechna l = 1, . . . , k, . . . n, coz znamena, ze i-ty radek matice A je linearnı kombinacıjejıch prvnıch k radku.

Z libovolnosti indexu i > k vyplyva, ze rankA = k, coz jsme chteli dokazat.

Veta 3.18 (Dusledek). Necht’v matici A existuje nenulovy minor M radu k a vsechny minoryradu k+1 vznikle ovroubenım minoruM postupne vsemi zbyvajıcımi radky a vsemi zbyvajıcımisloupci matice A jsou rovny 0. Pak rankA = k.

Poznamka 3.19. Uvedena veta a jejı dusledek nam poskytujı dalsı metodu vypoctu hodnostimatice, ktera se nazyva metoda vroubenı. Pri vypoctu hodnosti nenulove matice touto metodoulze tedy postupovat takto: Nalezneme-li nenulovy minor M radu k, pocıtame postupne minoryradu k + 1, ktere vzniknou ovroubenım minoru M . Zjistıme-li, ze nektery z nich je nenulovy,pokracujeme analogicky dale. Jestlize vsechny minory radu k+ 1, ktere vzniknou ovroubenımminoru M jsou nulove, je rankA = k.

Je zrejme, ze vypocet hodnosti matice metodou vroubenı je vhodne „rucne“ provadet zpravidlapouze pro matice s malym poctem radku a sloupcu. Na druhe strane, tato metoda ma charakteralgoritmu, takze je vhodna pro naprogramovanı.

Prıklad 3.20. Metodou vroubenı vypocteme hodnost matice2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2

.

Na prvnı pohled je zrejme, ze hodnost teto matice je vetsı nez 1. Pocıtejme postupne minoryradu 2, ktere „ovrubujı“ minor radu 1 v levem hornım rohu matice: Mame∣∣∣∣2 −1

4 −2

∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣2 34 5

∣∣∣∣ = −2 6= 0,

takze nemusıme dale pokracovat a muzeme prejıt k minorum tretıho radu, ktere „ovrubujı“minor radu 2 v levem hornım rohu:∣∣∣∣∣∣

2 −1 34 −2 52 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣∣2 −1 −24 −2 12 −1 8

∣∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣∣2 −1 44 −2 72 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Jelikoz jsou vsechny tyto minory nulove, platı rankA = 2.

Cvicenı1. Vypoctete hodnost uvedenych matic metodou vroubenı i metodou elementarnıch uprav:

3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 −5 0 −77 −5 1 4 1

,

4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 74 3 1 2 −58 6 −1 4 −6

.

2. Naprogramujte si vypocet hodnosti matice metodou vroubenı a svuj program otestujtena prıkladech.

4 Systemy linearnıch rovnic

Studijnı cıle: Na zakladnı a strednı skole jsme se naucili resit linearnı rovnice o jedne neznamex tvaru ax = b, ale take systemy linearnıch rovnic o dvou, prıpadne trech neznamych, tj.rovnice

a11x+ a12y = b1

a21x+ a22y = b2,

prıpadne

a11x+ a12y + a13z = b1

a21x+ a22y + a23z = b2

a31x+ a32y + a33z = b3.

kde a11, . . . , a33, b1, . . . , b3 jsou zadana realna cısla. Jiste jste si take vsimli, ze rovnice ax =b, a 6= 0 ma jedine resenı x = −b/a, zatımco pro a = 0, b 6= 0 nema resenı a pro a = b = 0 jsouresenım vsechna realna cısla. Podobne system rovnic muze mıt jedine resenı nebo nekonecnemnoho resenı, nebo resenı nemusı vubec existovat. Prıkladem muze byt system linearnıchrovnic

x+ 2y = 1

x− y = 4,

ktery ma jedine resenı (x, y) = (3,−1), system

x+ y + z = 2

x+ y − z = 0,

ktery ma nekonecne mnoho resenı tvaru (x, y, z) = (2t, 1− 2t, 1), t ∈ R, nebo system

x+ 2y = 1

x+ 2y = 2,

ktery nema zadne resenı. Pritom, cım je rovnic a neznamych vıce, tım je zpravidla slozitejsıpoznat, zda a kolik resenı existuje. Je tedy treba zabyvat se otazkou, cım se v obecnosti lisıuvedene typy systemu, neboli jaka obecna kriteria urcujı existenci, prıpadne pocet resenı.Zaroven je take mozno si vsimnout, ze naprıklad systemy rovnic

x+ 2y = 1x− y = 4,

4x− y = 13x− 5y = 8

majı stejne resenı. Vznika tedy problem, jak je charakterizovana mnozina systemu linearnıchrovnic, ktere majı predepsane resenı; jinak receno, jak poznat, zda dane dva ruzne systemylinearnıch rovnic majı stejna resenı, aniz bychom museli tato resenı nejprve nalezt.System linearnıch rovnic muze byt tvoren libovolnym (konecnym) poctem rovnic a rovnezpocet neznamych v nem vystupujıcıch muze byt libovolny. V teto kapitole se budeme zabyvatobecnymi systemy linearnıch rovnic, tedy systemy o k rovnicıch pro n neznamych. Budemestudovat, za jakych podmınek existuje resenı, i kolik resenı takovy system rovnic muze mıt.Vysetrıme rovnez strukturu mnoziny vsech resenı systemu linearnıch rovnic, coz nam umoznıvytvaret dalsı resenı danych rovnic pomocı jiz znamych resenı. Uvedeme rovnez obecny postuphledanı resenı libovolneho systemu linearnıch rovnic, ktery je zalozen na Gaussove eliminacnımetode. Tento postup je prehledny a vede snadno k cıli pro libovolny system rovnic o libovolnempoctu neznamych.

Klıcova slova: system linearnıch rovnic, matice systemu, rozsırena matice systemu, resenı,homogennı rovnice, nehomogennı rovnice, obecne resenı, partikularnı resenı, Frobeniova veta,Cramerovo pravidlo, fundamentalnı system resenı, homogenizovany system.

Potrebny cas: 280 minut.

4.1 Frobeniova veta

Definice 4.1. System rovnic tvaru

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 (4.1)...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm,

kde a11, . . . , amn, b1, . . . , bm jsou cısla z pole P, se nazyva system m linearnıch rovnic o nneznamych x1, . . . , xn s koeficienty a11, . . . , amn, nad polem P.

Uvedeny system linearnıch rovnic zapisujeme strucne takto:

n∑j=1

aijxj = bi , 1 ≤ i ≤ m.

Zavedeme-li matice

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

...am1 am2 · · · amn

, b =

b1b2...bm

, x =

x1x2...xn

,

muzeme system rovnic (4.1) psat v maticovem tvaru

Ax = b.

Matice A se nazyva matice systemu (2.1). Pripıseme-li k n sloupcum matice A jeste sloupecb, dostaneme matici typu m × (n + 1), kterou nazyvame rozsırenou maticı systemu (4.1) azapisujeme ve tvaru

B = (A|b) =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2

...am1 am2 · · · amn bm

.

Vsimneme si, ze

rankB =

{rankA, je-li sloupec b linearnı kombinacı sloupcu matice A,rankA+ 1 nenı-li sloupec b linearnı kombinacı sloupcu matice A.

Radky rozsırene matice jsou v bijektivnı korespondenci s jednotlivymi rovnicemi systemu, jetedy zrejme, jak bude definovana linearnı nezavislost (zavislost) rovnic. Je take okamzite videt,ze v systemu m linearnıch rovnic je k rovnic linearne nezavislych, prave tehdy, kdyz

rank(A|b) = k.

Dale je zrejmy vyznam radkovych ekvivalentnıch uprav rozsırene matice (A|b): dany systemrovnic se nahradı systemem, jehoz rovnice jsou linearnımi kombinacemi rovnic puvodnıch.

V maticovem zapisu je system linearnıch rovnic maticovou rovnicı. Proto, budeme-li mıt namysli maticovy zapis systemu linearnıch rovnic, budeme nekdy o systemuAx = b hovorit jakoo rovnici, o sloupcove matici x budeme hovorit jako o nezname a o sloupcove matici b jako oprave strane uvedene rovnice.

Definice 4.2. System linearnıch rovnic se nazyva nehomogennı, jestlize b 6= 0, homogennı,je-li b = 0.

Resenım systemu (4.1) rozumıme usporadanou mnozinu cısel x0 = {x01, . . . , x0n}, takovych,ze po jejich dosazenı do rovnic na mısto neznamych jsou splneny vsechny rovnice systemu. Pripouzitı maticoveho zapisu je resenım systemu rovnic Ax = b sloupcova matice x0, pro kterouAx0 = b.

Na prıkladech jme videli, ze rozdılne systemy linearnıch rovnic mohou mıt stejnou mnozinuresenı. Tutu skutecnost dale s vyhodou vyuzijeme pri studiu vlastnostı rovnic a jejich resenı.

Definice 4.3. Uvazujme dva systemy linearnıch rovnic Ax = b, A′x = b′. Rekneme, ze tytosystemy jsou ekvivalentnı a pısemeAx = b ∼ A′x = b′, jestlize mnozina vsech resenı systemuAx = b splyva s mnozinou vsech resenı systemu A′x = b′.

Uvedena definice je korektnı, nebot’relace ∼ je evidentne reflexivnı, symetricka a tranzitivnı.

Vsimnete si, ze ekvivalentnı systemy linearnıch rovnic musı mıt stejny pocet neznamychx1, . . . , xn, mohou se vsak lisit poctem rovnic.

Veta 4.4. Ekvivalentnımi radkovymi upravami rozsırene matice (A|b) se nemenı mnozina resenısystemu linearnıch rovnic Ax = b.

Dukaz. Ukazeme, ze jestlize matice (A′|b′) vznikla konecnym poctem radkovych elementar-nıch uprav z matice (A|b), pak systemy Ax = b a A′x = b′ jsou ekvivalentnı.

Necht’tedyAx = b,A′x = b′ jsou dva systemy rovnic takove, ze matice (A′|b′) vznikne z matice(A|b) konecnym poctem radkovych elementarnıch uprav. Znamena to, ze existuje regularnımatice U takova, ze (A′|b′) = U(A|b). Jelikoz U(A|b) = (UA|Ub), je system rovnicA′x = b′

totozny se systemem UAx = Ub. Matice U je ovsem regularnı, proto take system rovnicAx = b je totozny se systemem U−1A′x = U−1b′. Odtud vyplyva, ze x je resenım soustavyA′x = b′ prave tehdy, kdyz je resenım soustavy Ax = b. Tedy Ax = b ∼ A′x = b′.

Uvedeme vetu, ktera poskytuje nutne a postacujıcı podmınky pro existenci resenı systemulinearnıch rovnic. Svym vyznamem se radı k nejdulezitejsım matematickym tvrzenım.

Veta 4.5. (Frobeniova veta o existenci resenı systemu linearnıch algebraickych rovnic). Systemm linearnıch rovnic on neznamychAx = bma resenı prave tehdy, kdyz hodnost matice systemuA je rovna hodnosti matice rozsırene (A|b).

Dukaz. Necht’x0 je resenı rovnice Ax = b, tedy necht’

a11x01 + a12x02 + · · ·+ a1nx0n = b1

a21x01 + a22x02 + · · ·+ a2nx0n = b2...

am1x01 + am2x02 + · · ·+ amnx0n = bm.

Platı tedy

x01

a11a21

...am1

+ x02

a12a22

...am2

+ · · ·+ x0n

a1na2n

...amn

=

b1b2...bm

,

coz znamena, ze sloupec b v matici (A|b) je linearnı kombinacı sloupcu matice A. Odtudrank(A|b) = rankA.

Obracene, necht’ rank(A|b) = rankA = k. Prevedeme-li matici (A|b) na schodovity tvarradkovymi elementarnımi upravami, obdrzıme soustavu rovnic A′x = b′, ekvivalentnı sesoustavou Ax = b, ktera (vypustıme-li poslednıch m− k rovnic tvaru 0 = 0) ma tvar

a′11x1 + · · · + a′1,k−1xk−1 + a′1kxk + · · · + a′1nxn = b′1...

a′k−1,k−1xk−1 + a′k−1,kxk + · · · + a′k−1,nxn = b′k−1a′kkxk + · · · + a′knxn = b′k.

V poslednı rovnici je alespon jeden z koeficientu a′kk, . . . , a′kn nenulovy; necht’a′kp1

6= 0 (tj.p1 ≥ k). Pak lze z teto rovnice vyjadrit xp1 pomocı xk, . . . , xp1−1, xp1+1, . . . , xn:

xp1 =1a′kp1

(b′k − a′kkxk − · · · − a′kp1−1xp1−1 − a′kp1+1xp1+1 − a′knxn).

V predposlednı rovnici je alespon jeden z koeficientu a′k−1,k−1, . . . , a′k−1,n nenulovy. Jelikoz

maticeA′ je ve schodovitem tvaru, mame a′k−1,p2 6= 0, kde p2 < p1. Muzeme tedy vyjadrit xp2

pomocı xk−1, . . . , xp2−1, xp2+1, . . . , xn, a dosadıme-li za xp1 , zıskame xp2 vyjadrene pomocıxk−1, . . . , xp2−1, xp2+1, . . . , xp1−1, xp1+1, . . . , xn. Takto lze postupovat az k prvnı rovnici,z nız vyjadrıme xpk

, kde pk < pk−1 < · · · < p1, pomocı x1, . . . , xpk−1, xpk+1, . . . , xn.Dosadıme-li za xpk−1 , xpk−2 , . . . , xp1 , dostaneme xpk

vyjadrene pomocı vsech xi s vyjimkouxp1 , . . . , xpk−1 .

Celkove tak obdrzıme hodnoty k neznamych xpk, . . . , xp2 , xp1 , vyjadrene pomocı neznamych

xi pro zbyvajıcı hodnoty indexu i z mnoziny {1, 2, . . . , n}. Tato xi, ktera lze volit zcelalibovolne, tedy hrajı roli parametru - oznacme je po rade t1, . . . , tn−k. Je zrejme, ze zvolıme-liza t1, . . . , tn−k nejaka cısla z pole P, a dosadıme-li tyto hodnoty do zıskanych vyrazu proxpk

, . . . , xp2 , xp1 , dostaneme resenı systemuAx = b, tj. kazda konkretnı volba parametru davajedno resenı uvazovanych rovnic.

Vsimnete si, ze pro existenci a pocet resenı systemu linearnıch rovnic o n neznamych nenıpodstatny pocet rovnic, ale hodnost prıslusnych matic (pocet linearne nezavislych rovnic ajejich kompatibilita).

Definice 4.6. Resenı systemu linearnıch rovnic Ax = b zapsane pomocı n − k parametrut1, . . . , tn−k, kde n je pocet neznamych, k je pocet linearne nezavislych rovnic systemu (tedyk = rank(A|b) = rankA), a (t1, . . . , tn−k) probıha mnozinu Pn−k, nazyvame obecne resenı.

Obecne resenı x zavisle na parametrech t1, . . . , tn−k budeme oznacovat symbolemx(t1, . . . , tn−k). Obecne resenı predstavuje mnozinu resenı: zvolıme-li pevne hodnoty para-metru, dostaneme jedno z resenı daneho systemu rovnic; toto resenı se nazyva partikularnıresenı. Budeme je zapisovat ve tvaru xP = x(c1, . . . , cn−k), kde c1, . . . , cn−k jsou pevnezvolena cısla z P.

Mnozina resenı reprezentovana obecnym resenım je zrejme jednoprvkova prave tehdy, kdyzn − k = 0, tj. kdyz pocet neznamych se rovna poctu linearne nezavislych rovnic systemu. Vostatnıch prıpadech obecne resenı predstavuje nekonecne mnoho resenı.

Dukaz Frobeniovy vety poskytuje navod, jak najıt (nejake) obecne resenı systemu linearnıchrovnic. Zaroven vsak navozuje nekolik otazek:

• Tvar obecneho resenı zavisı na postupu, jakym bylo obecne resenı zıskano. V jakemvztahu jsou mnozinyM ′, M ′′ resenı daneho systemu linearnıch rovnic, ktere odpovıdajıdvema obecnym resenım?

• Existujı jeste nejaka dalsı resenı systemu linearnıch rovnic, ktera nejsou „zachycena“obecnym resenım?

• Jak najıt vsechna resenı systemu linearnıch rovnic?

Uvedeme nynı tvrzenı, ktere nam poskytne odpoved’na vsechny tyto otazky.

Veta 4.7. Bud’Ax = b system linearnıch rovnic o n neznamych, necht’rank(A|b) = rankA =k. Necht’x(t1, . . . , tn−k) je obecne resenı tohoto systemu linearnıch rovnic. Pak pro kazde x0takove, ze Ax0 = b, existujı cısla c1, . . . , cn−k ∈ P takova, ze pro t1 = c1, . . . , tn−k = cn−k

platı x0 = x(c1, . . . , cn−k).

Dukaz. Bud’ x0 = {x01, . . . , x0n} libovolne resenı systemu linearnıch rovnic Ax = b. Pakx0 je take resenım systemu A′x = b′, kde (A′|b′) je schodovity tvar matice (A|b). Najdemeobecne resenı x(t1, . . . , tn−k) daneho systemu linearnıch rovnic: je to usporadana mnozinacısel {x1, . . . , xn}, kde pro jista j1, . . . jn−k = 1, 2, . . . , n je xj1 = t1, . . . , xjn−k

= tn−k, atakova, ze pro vsechna t1, . . . , tn−k ∈ P je

a′11x1 + · · · + a′1nxn = b′1...

a′k−1,k−1xk−1 + · · · + a′k−1,nxn = b′k−1a′kkxk + · · · + a′knxn = b′k;

pritom z kazde rovnice se vyjadruje prave jedno xi, i 6= j1, . . . jn−k, pomocı uvazovanychparametru. Polozme t1 = x0j1 , . . . , tn−k = x0jn−k

, a uvazujme partikularnı resenı xP =x(x0j1 , . . . , x0jn−k

). Pak pro kazde i 6= j1, . . . jn−k splnuje xPi partikularnıho resenı xP stejnerovnice jako x0i, i 6= j1, . . . , jn−k , coz znamena, ze x0 = xP (x0j1 , . . . , x0jn−k

). Tım je dukazukoncen.

Veta 4.8 (Dusledek). Bud’Ax = b system linearnıch rovnic, x(t1, . . . , tn−k) jeho obecneresenı. Oznacme M ′ mnozinu resenı urcenou tımto obecnym resenım a M mnozinu vsechresenı daneho systemu linearnıch rovnic. Pak platı M ′ = M .

Poznamka 4.9. Dukaz Frobeniovy vety je konstruktivnı, to znamena, ze je-li zajistena exis-tence resenı systemu linearnıch rovnic, poskytuje take metodu, jak nalezt jeho obecne resenı.Zakladem tohoto postupu je Gaussova eliminacnı metoda, jız prevedeme rozsırenou maticisystemu na matici ve schodovitem tvaru; z tohoto ekvivalentnıho systemu lze uz snadno vhod-nou volbou parametru zıskat obecne resenı. Podle vyse uvedene Vety reprezentuje toto obecneresenı vsechna resenı uvazovaneho systemu linearnıch rovnic.

Prıklad 4.10. Najdeme obecne resenı systemu nehomogennıch linearnıch rovnic

2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1.

Napıseme rozsırenou matici systemu a prevedeme ji radkovymi ekvivalentnımi upravami naschodovity tvar:2 −3 5 7 1

4 −6 2 3 22 −3 −11 −15 1

∼2 −3 5 7 1

0 0 8 11 00 0 16 22 0

∼2 −3 5 7 1

0 0 8 11 00 0 0 0 0

.

Hodnost matice systemu je stejna jako hodnost rozsırene matice, system je tedy resitelny;obecne resenı zavisı na 4− 2 = 2 parametrech.

Obecne resenı najdeme ze schodoviteho tvaru rozsırene matice: zadany system linearnıch rovnicje ekvivalentnı systemu

2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

8x3 + 11x4 = 0.

Zvolıme x4 = t, pak x3 = −118 t; dosadıme do prvnı rovnice a zvolıme x2 = s, dostaneme

x1 =12

(1 + 3s+558t− 7t) =

12

(3s− 18t+ 1).

Nalezli jsme obecne resenı x(s, t) ve tvaru

x1 =12

(3s− 18t+ 1), x2 = s, x3 = −11

8t, x4 = t, s, t ∈ R,

tedy mnozina vsech resenı daneho systemu linearnıch rovnic je

M ={x = (

32s− 1

16t+

12, s, −11

8t, t) | s, t ∈ R

}⊂ R4.

Zvolıme-li konkretnı cısla za paramety s, t, dostaneme jedno partikuarnı resenı danych rovnic,tj. jeden prvek mnoziny M . Naprıklad pro t = 0, s = 0 je partikularnım resenım usporadanactverice x = (1/2, 0, 0, 0), pro t = 0, s = 1 mame x = (2, 1, 0, 0), pro t = 8, s = 2 dostavamex = (3, 2,−11, 8), atp.

Prıklad 4.11. Budeme resit system linearnıch rovnic

3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2

7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5

5x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3.

Rozsırena matice je3 −5 2 4 27 −4 1 3 55 7 −4 −6 3

∼3 −5 2 4 2

0 −23 11 19 −10 −46 22 38 1

∼3 −5 2 4 2

0 −23 11 19 −10 0 0 0 1

.

Vidıme, ze rovnice nejsou kompatibilnı: Hodnost matice systemu je 2, rozsırena matice mahodnost 3, takze system nema zadne resenı (mnozina resenı je prazdna).

4.2 Cramerovske systemy

System linearnıch rovnic Ax = b se nazyva cramerovsky, jestlize A je ctvercova regularnımatice. Tedy cramerovsky system ma stejny pocet rovnic jako neznamych, pricemz tyto rovnicejsou kompatibilnı a linearne nezavisle. To ovsem znamena, ze rank(A|b) = rankA, a tedypodle Frobeniovy vety ma kazdy cramerovsky system linearnıch rovnic resenı. Navıc je zrejme,ze obecne resenı cramerovskeho systemu rovnic je tvoreno jedinym resenım: kazdy cramerovskysystem linearnıch rovnic ma jedine resenı.

Vsimneme si, cramerovsky system homogennıch rovnic ma jedine a to nulove resenı.

Necht’Ax = b je cramerovsky system linearnıch rovnic. Pro kazde i = 1, 2, . . . , n oznacmeAi

matici, ktera ma sloupce 1, . . . , i− 1, i+ 1, . . . , n stejne jako matice A a i-ty sloupec je tvorensloupcem b; tedy

Ai =

a11 · · · a1,i−1 b1 a1i+1 · · · a1n...an1 · · · ani−1 bn ani+1 · · · ann

.

Veta 4.12 (Cramerovo pravidlo). Bud’Ax = b cramerovsky system linearnıch rovnic. Pak jehoresenı ma tvar x = {x1, . . . , xn}, kde

xi =detAi

detA, 1 ≤ i ≤ n . (4.2)

Dukaz. Je-li system Ax = b cramerovsky, pak existuje k matici A (jednoznacne urcena)inverznı matice A−1. Tedy maticova rovnice Ax = b ma prave jedno resenı

x = A−1b.

Vyjadrıme-li tuto rovnost pomocı prvku prıslusnych matic, dostaneme vzorec (4.2), ktery jsmemeli dokazat. Overıme to:

Podle vzorce pro inverznı matici mame

x =1

detA(Aalg)T · b,

kde Aalg je matice tvorena algebraickymi doplnky k prvkum matice A. Oznacme x = (xi),A = (aij), Aalg = (Aij), A−1 = (cij). Jelikoz

cij =1

detAAji,

dostavame

xi =n∑

j=1

cijbj =1

detA

n∑j=1

Ajibj =1

detAdetAi,

nebot’∑n

j=1Ajibj je Laplaceuv rozvoj matice Ai podle jejıho i-teho sloupce, tedy detAi.

Poznamka 4.13. Cramerovsky system rovnic muzeme resit bud’ Gaussovou eliminacnı me-todou, nebo pomocı Cramerova pravidla. Cramerovo pravidlo pritom s vyhodou aplikujemezvlaste v tech prıpadech, kdyz chceme vypocet algoritmizovat, nebo kdyz je treba resit sys-tem linearnıch rovnic, jehoz koeficienty ci prave strany zavisı na parametrech, takze vypocetdeterminantu je snadnejsı, nez aplikace Gaussovy eliminacnı metody.

Prıklad 4.14. Cramerovym pravidlem vyresıme system linearnıch rovnic

2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 4

4x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6

8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 12

3x1 + 3x2 − 2x3 + 2x4 = 6.

Nejprve overıme, ze rovnice jsou linarne nezavisle, a tedy ze Cramerovo pravidlo lze pouzıt:

det

2 2 −1 14 3 −1 28 5 −3 43 3 −2 2

= −14

det

2 0 0 04 1 2 08 3 2 03 0 −1 1

=14

det

2 0 0 04 2 0 08 3 2 03 0 −1 1

= 2 6= 0.

Nynı spocıtame determinanty matic A1, A2, A3, A4:

detA1 = det

4 2 −1 16 3 −1 212 5 −3 46 3 −2 2

= −12

det

2 0 0 03 0 1 16 1 0 23 0 −1 1

= det

1 1 02 0 11 −1 0

= 2,

detA2 = det

2 4 −1 14 6 −1 28 12 −3 43 6 −2 2

= −12

det

2 0 0 04 1 2 08 2 2 03 0 −1 1

= det

2 0 0 04 1 0 04 1 1 03 0 −1 1

= 2,

detA3 = det

2 2 4 14 3 6 28 5 12 43 3 6 2

= det

2 0 0 04 1 1 08 3 2 03 0 0 1

= −det

2 0 0 04 1 0 08 3 1 03 0 0 1

= −2,

detA4 = det

2 2 −1 44 3 −1 68 5 −3 123 3 −2 6

= det

2 0 0 04 1 −1 08 3 1 13 0 1 0

= 2 det

1 −1 03 1 10 1 0

= −2.

Odtud dostaneme, ze dane rovnice majı jedine resenı

x1 =detA1detA

= 1, x2 =detA2detA

= 1, x3 =detA3detA

= −1, x4 =detA4detA

= −1.

Ukol. Naprogramujte si Cramerovo pravidlo.

Kontrolnı otazky a ukoly

• Definujte system m linearnıch rovnic o n neznamych, matici systemu, rozsırenou matici sys-temu, resenı, homogennı system, nehomogennı system. Co je maticovy zapis systemu linearnıchrovnic?

• Definujte pojem „ekvivalentnı systemy linearnıch rovnic“.

• Jsou-li dany dva systemy linearnıch rovnic, jak poznate, zda jsou ekvivalentnı?

•Muze byt homogennı system linearnıch rovnic ekvivalentnı s nehomogennım?

•Muze mıt nehomogennı system linearnıch rovnic nulove resenı?

• Kdy ma homogennı system rovnic prave jedno resenı?

• Kdy ma homogennı system linearnıch rovnic i nenulove resenı?

•Muze se stat, ze homogennı system linarnıch rovnic nema zadne resenı?

• Kdy ma nehomogennı system linearnıch rovnic prave jedno resenı? Kdy ma vıce nez jednoresenı? Kdy nema resenı?

• Zjistete, zda pro homogennı systemy linearnıch rovnic platı:

– mnozina resenı obsahuje s kazdym resenım x i resenı −x;

– jsou-li x0, x′0 dve resenı, pak x0 + x′0 je take resenı;

– jsou-li x0, x′0 dve resenı, pak x0 − x′0 je take resenı;

– je-li x resenı, pak take cx pro libovolne c ∈ P je resenı.

• Zjistete, zda nektera z vyse uvedenych tvrzenı platı pro nehomogennı systemy linearnıchrovnic.

• Je-li Ax = b system nehomogennıch linearnıch rovnic a jsou-li x0, x′0 dve jeho resenı, coplatı pro x0 − x′0?

• Co je to obecne resenı systemu linearnıch rovnic, jak se najde a jaky je jeho vyznam? Cım jeurcen pocet parametru v obecnem resenı? Co je to partikularnı resenı a jak se najde?

• Vyslovte Frobeniovu vetu.

• Vıte, ze system linearnıch rovnic ma obecne resenı

x1 = s, x2 = t, x3 = −1− 8s+ 4t, x4 = 0, x5 = 1 + 2s− t.

– Zjistete, zda x = {1, 2,−1, 0, 1} je partikularnı resenı techto rovnic.

– Kolik nezavislych rovnic a o kolika neznamych ma uvazovany system rovnic?

– Je uvazovany system linearnıch rovnic homogennı nebo nehomogennı?

– Napiste, alespon jeden z ekvivalentnıch systemu linarnıch rovnic, ktere majı uvedene obecneresenı.

4.3 Homogennı systemy linearnıch rovnic

Nynı se budeme podrobne zabyvat homogennımi systemy linearnıch rovnic, tj. rovnicemi tvaru

Ax = 0.

Shrneme si nejprve vlastnosti techto rovnic, ktere uz zname, nebot’ plynou bezprostredne zFrobeniovy vety.

Veta 4.15. (Dusledky Frobeniovy vety.)

(1) Kazdy homogennı system linearnıch rovnic je resitelny.

(2) Mnozina resenı kazdeho homogennıho systemu linearnıch rovnic obsahuje nulove resenı.

(3) Homogennı system n linearnıch rovnic o n neznamych ma jedine resenı prave tehdy, kdyzmatice systemu je regularnı.

(4) Homogennı system n linearnıch rovnic o n neznamychAx = 0 ma nenulove resenı pravetehdy, kdyz detA = 0.

(5) Ma-li homogennı system linearnıch rovnic mene rovnic nez neznamych, nutne existujenenulove resenı.

Nynı budeme studovat, jake vlastnosti ma mnozina vsech resenı homogennıho systemu linear-nıch rovnic.

Snadno zjistıme, ze platı nasledujıcı tvrzenı:

Veta 4.16. (Vlastnosti mnoziny resenı homogennıch linearnıch rovnic.)

(1) Soucet libovolnych dvou resenı systemu Ax = 0 je resenım tohoto systemu rovnic.

(2) Pro kazde c ∈ P je c-nasobek resenı systemu Ax = 0 resenım tohoto systemu rovnic.

(3) Libovolna linearnı kombinace resenı systemu Ax = 0 je resenım tohoto systemu rovnic.

Dukaz. (1) Necht’x0, x′0 jsou resenı systemu linearnıch rovnic Ax = b, tj. necht’

Ax0 = 0, Ax′0 = 0.

Pak A(x0 + x′0) = Ax0 +Ax′0 = 0 + 0 = 0, tedy x0 + x′0 je resenım systemu Ax = 0.

(2) Je-li x0 resenım systemuAx = 0, pak pro kazde c ∈ P je takeA(cx0) = c(Ax0) = c·0 = 0.

(3) Jde o jednoduchy dusledek predchozıch dvou tvrzenı.

Kontrolnı ukol.

• Projdete si znovu dukaz Frobeniovy vety a konstrukci obecneho resenı pro prıpad homo-gennıho systemu linearnıch rovnic. Vsimnete si, ze pro obecne resenı x = x(t1, . . . , tn−k) ={x1, . . . , xn} je kazde xi linearnı kombinacı parametru t1, . . . , tn−k (pritom n− k z techto xi

jsou prımo rovna parametrum: pro jiste indexy je xi1 = t1, . . . , xin−k= tn−k) .

Resenı systemu linearnıch rovnic o n-neznamych reprezentujeme jako sloupcove matice o nprvcıch, pro ktere jiz mame zavedeny pojmy linearnı zavislosti a linearnı nezavislosti. Podleteto definice jsou resenı systemu linearnıch rovnic linearne zavisla, jestlize alespon jedno znich lze vyjadrit ve tvaru linearnı kombinace ostatnıch. Znamena to, ze matice, sestavena ztechto r sloupcu, ma hodnost mensı nez r. Odtud take vyplyva, ze libovolnych r resenı systemulinearnıch rovnic o n neznamych, kde r > n, je linearne zavislych. Podobne system r resenılinearnıch rovnic je linearne nezavisly, jestlize matice, sestavena z techto r sloupcu, ma hodnostr. Opet je zrejme, ze nutnou podmınkou linearnı nezavislosti je podmınka r ≤ n.

Necht’nynı Ax = 0 je homogennı system linearnıch rovnic o n neznamych, rankA = k < n.Necht’ x(t1, . . . , tn−k) je obecne resenı tohoto systemu rovnic. Polozıme-li t1 = 1, t2 =0, . . . , tn−k = 0, dostaneme partikularnı resenı e1 = x(1, 0, . . . , 0); podobne polozıme-lit1 = 0, t2 = 1, t3 = 0, . . . , tn−k = 0, obdrzıme dalsı partikularnı resenı e2 = x(0, 1, 0, . . . , 0).Postupne tımto zpusobem muzeme zıskat n − k partikularnıch resenı e1, . . . , en−k danehosystemu linearnıch rovnic, tvaru el = x(0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0), kde 1 stojı na l-te pozici, 1 ≤ l ≤n− k. Prımo z konstrukce techto partikularnıch resenı je zrejme, ze e1, . . . , en−k jsou linearnenezavisla, a ze obecne resenı x(t1, . . . , tn−k) lze vyjadrit ve tvaru

x(t1, . . . , tn−k) = t1e1 + t2e2 + · · ·+ tn−ken−k.

To ovsem znamena, ze pro homogennı system linearnıch rovnic Ax = 0 jsme zkonstruovalijisty system partikularnıch resenı, ktera jsou linearne nezavisla a platı, ze libovolne resenıdaneho systemu rovnic lze vyjadrit ve tvaru jejich linearnı kombinace.

Vsimneme si dale, ze vyse zkonstuovany system partikularnıch resenı e1, . . . , en−k nenı jediny stemito vlastnostmi. Rovnez napr. system e′l = x(1, 2, . . . , l, 0 . . . , 0), 1 ≤ l ≤ n−k, je linearnenezavisly a kazde resenı rovnic Ax = 0 lze vyjadrit jako jeho linearnı kombinaci. Dokoncekazdy system n− k partikularnıch resenı vytvoreny z obecneho resenı x(t1, . . . , tn−k) tak, zeza (t1, . . . , tn−k) vezmeme libovolny pevny system linearne nezavislych (n − k)-tic cısel zpole P, bude mıt pozadovane vlastnosti.

Vidıme, ze homogennı systemy linearnıch rovnic majı dulezitou vlastnost: mnozina resenı jeplne urcena zadanım jisteho konecneho systemu partikularnıch resenı, pricemz pocet prvkutohoto urcujıcıho systemu je roven poctu parametru, pomocı nichz se vyjadruje obecne resenı,tj. (n− k).

Definice 4.17. Bud’Ax = 0 homogennı system linearnıch rovnic o n neznamych, rankA = k.System {e1, . . . , en−k} jeho partikularnıch resenı nazveme fundamentalnı system resenı, jestlize

• e1, . . . , en−k jsou linearne nezavisla,

• libovolne resenı systemu linearnıch rovnic Ax = 0 lze vyjadrit ve tvaru linearnı kombinacepartikularnıch resenı e1, . . . , en−k.

Shrneme-li poznatky tohoto odstavce, muzeme charakterizovat strukturu mnoziny resenı ho-mogennıho systemu linearnıch rovnic takto:

Veta 4.18 (O strukture mnoziny resenı homogennıho systemu linearnıch rovnic). Mnozinavsech resenı homogennıho systemu linearnıch rovnic je tvorena vsemi linearnımi kombinaceminejakeho jeho fundamentalnıho systemu resenı; ten ma n− k prvku, kde n je pocet neznamycha k je pocet linearne nezavislych rovnic.

Prıklad 4.19. Je-li dan system prvku {e1, . . . , er} mnoziny Rn, ktere jsou linearne nezavisle(jako radkove ci sloupcove matice), muzeme najıt system homogennıch linearnıch rovnic, pronejz je {e1, . . . , er} fundamentalnı system resenı.

Vıme, ze takovy system rovnic nenı urcen jednoznacne, resenım ulohy je nalezenı jednoho zmoznych ekvivalentnıch systemu.

Ze zadanı je zrejme, ze budeme hledat system homogennıch linearnıch rovnic o n-neznamychs realnymi koeficienty, ktery bude tvoren n − r linearne nezavislymi rovnicemi, tedy systemrovnic tvaru

a11x1 + . . . a1nxn = 0...

an−r,1x1 + . . . an−r,nxn = 0

takovy, ze matice systemuA = (aij) ma maximalnı hodnost. Je tedy treba urcit prvky maticeA zpodmınky, ze kazda ze zadanych n-tic e1, . . . , er je resenım techto rovnic, tedy zeAe1 = 0, . . . ,Aer = 0. Dosadıme-li e1, . . . , er, dostaneme zrejme system r(n− r) homogennıch linearnıchrovnic pro nezname aij , 1 ≤ i ≤ n − r, 1 ≤ j ≤ n, ktery vyresıme zpravidla Gaussovoueliminacnı metodou. Jak uz bylo receno, stacı nam najıt jedno vhodne nenulove resenı techtorovnic, tedy jednu matici A, takovou, ze rankA = n− r.

Ze zadanı muzeme prımo urcit obecne resenı (aniz bychom museli hledat nejaky odpovıda-jıcı system linearnıch rovnic Ax = 0). Vıme totiz, ze obecne resenı je linearnı kombinacıfundamentalnıho systemu resenı, takze

x(t1, . . . , tr) = t1e1 + · · ·+ trer.

Jinymi slovy, mnozina resenı systemu rovnic Ax = 0 je podmnozina v Rn, tvorena usporada-nymi n-ticemi tvaru t1e1 + · · ·+ trer, kde t1, . . . , tr probıhajı vsechna realna cısla.

Uvedeny postup budeme ilustrovat na jednoduchem prıklade: Najdeme system homogennıchlinearnıch rovnic v R3, jehoz fundamentalnı system resenı je

e1 = (1, 2, 1), e2 = (1, 1,−1).

Jelikoz n = 3, r = 2, hledame jednu homogennı linearnı rovnici

ax1 + bx2 + cx3 = 0,

jejımz resenım jsou obe zadane usporadane trojice e1, e2, takze platı

a+ 2b+ c = 0.

a+ b− c = 0.

Stacı nam najıt jedno nenulove resenı techto rovnic - vezmeme treba a = 3, b = −2, c = 1 .Hledana rovnice ma pak tvar

3x1 − 2x2 + x3 = 0.

Mnozina vsech resenı (obecne resenı), odpovıdajıcı zadanemu fundamentalnımu systemu resenıje tvorena vsemi prvky mnoziny R3 tvaru

(x1, x2, x3) = t1e1 + t2e2 = t1(1, 2, 1) + t2(1, 1,−1) = (t1 + t2, 2t1 + t2, t1 − t2), t1, t2 ∈ R.

Jiny zapis teze mnoziny je napr.

x1 = s, x2 = t, x3 = −3s+ 2t, s, t,∈ R.

4.4 Nehomogennı systemy linearnıch rovnic

Definice 4.20. Necht’ Ax = b je nehomogennı system linearnıch rovnic (tj. b 6= 0). Pakhomogennı system rovnic Ax = 0 budeme nazyvat homogenizovanym systemem prıslusnymnehomogennımu systemu Ax = b.

Nejprve si pripomeneme vlastnosti, ktere majı nehomogennı systemy linearnıch rovnic dıkyplatnosti Frobeniovy vety:

Veta 4.21. (Dusledky Frobeniovy vety)

(1) Nehomogennı system linearnıch rovnic je resitelny ⇔ kdyz hodnost rosırene maticetohoto systemu je rovna hodnosti matice systemu homogenizovaneho.

(2) Nehomogennı system linearnıch rovnic ma prave jedno resenı⇔ homogenizovany systemma jedine (nulove) resenı.

(3) Nehomogennı system linearne nezavislych linearnıch rovnic ma prave jedno resenı ⇔matice homogenizovaneho systemu je ctvercova a regularnı.

(4) Obecne resenı resitelneho nehomogennıho systemu linearnıch rovnic o n neznamychzavisı na n− k parametrech, kde k je pocet linearne nezavislych rovnic systemu (tj. k jehodnost rozsırene matice systemu = hodnost matice homogenizovaneho systemu).

(5) Nehomogennı system rovnic Ax = b, b 6= 0, nema nulove resenı.

Resenı nehomogennıch rovnic uz nelze generovat ze znamych resenı tak jednoduse, jako tomubylo u rovnic homogennıch. Mame-li totiz dve resenı x0, x′0 nehomogennıho systemu Ax = b,b 6= 0, pak A(x0 + x′0) = Ax0 + Ax′0 = b+ b = 2b 6= b, takze soucet resenı nehomogennıhosystemu rovnic nenı jeho resenım. Podobne, je-lix0 resenı, pak pro kazde c ∈ P mameA(cx0) =cAx0 = cb, takze s vyjimkou trivialnıho prıpadu c = 1 nasobky resenı nehomogennıhosystemu nejsou jeho resenım. Pak ovsem ani linearnı kombinace resenı nehomogennıch rovnicnedavajı resenı, takze naprıklad nema smysl zavadet pojem „fundamentalnı system resenı“ pronehomogennı rovnice. Vidıme, ze mnozina resenı nehomogennıho systemu linearnıch rovnicAx = b, b 6= 0, ma zcela jinou strukturu, nez mnozina resenı homogennıho systemu rovnic.

Veta 4.22 (O strukture mnoziny resenı nehomogennıho systemu linearnıch rovnic). Necht’Ax =b, b 6= 0, je resitelny system linearnıch rovnic, xP jeho libovolne pevne zvolene partikularnıresenı. Pak ke kazdemu resenı x systemu Ax = b existuje jedine resenı xH homogenizovanehosystemu Ax = 0 takove, ze

x = xP + xH .

Obracene, je-li xH libovolne resenı homogenizovaneho systemu, pak x = xP + xH je resenısystemu Ax = b.

Dukaz. Nejprve ukazeme, ze libovolne resenı x systemu Ax = b lze vyjadrit ve tvaru x =xP + xH , kde xH je nejake resenı homogenizovaneho systemu. Polozme x′ = x − xP . PakAx′ = A(x− xP ) = Ax− AxP = b− b = 0, tedy x′ je resenı homogenizovaneho systemu.Stacı tedy vzıt xH = x′. Jednoznacnost xH je evidentnı.

Obracene, je-li AxH = 0, pak zrejme Ax = A(xP + xH) = AxP + AxH = b + 0 = b, cozjsme chteli ukazat.

Veta 4.23. (Dusledek)

• Obecne resenı resitelneho systemu nehomogennıch linearnıch rovnic Ax = b o hodnosti k jetvaru

x(t1, . . . , tn−k) = xH(t1, . . . , tn−k) + xP ,

kde xH(t1, . . . , tn−k) je obecne resenı homogenizovaneho systemu Ax = 0 a xP je libovolne,ale pevne partikularnı resenı nehomogennıho systemu.

• Kazde resenı resitelneho systemu nehomogennıch linearnıch rovnic Ax = b o hodnosti k jetvaru

x = t1e1 + . . . tn−ken−k + xP , t1, . . . , tn−k ∈ P

kde {e1, . . . , en−k} je fundamentalnı system resenı homogenizovaneho systemu Ax = 0 a xP

je libovolne, ale pevne partikularnı resenı nehomogennıho systemu.

• Mnozina vsech resenı systemu Ax = b je

M = {xH + xP },

kde xH probıha mnozinu vsech resenı systemu homogenizovaneho a xP je jedno resenı rovnicAx = b.

Neprehledneme, ze rozdıl libovolnych dvou resenı nehomogennıho systemu linearnıch rovnicje resenım jeho homogenizovaneho systemu.

Na zaklade uvedene vety lze vsechna resenı nehomogennıho systemu Ax = b urcit tak, zenalezneme jedno jeho resenı xP a vyresıme homogenizovany system Ax = 0.

Prıklad 4.24. Vyse popsanym zpusobem vyresıme prıklad, ktery jsme jiz drıve vyresili Gaus-sovou eliminacnı metodou:

2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1

4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1.

Nejprve musıme najıt („uhodnout“) nejake resenı techto rovnic, napr. xP = (2, 1, 0, 0).

Nynı budeme resit homogenizovany system

2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 0

4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 0

2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 0

Gaussovou eliminacnı metodou. Mame2 −3 5 74 −6 2 32 −3 −11 −15

∼2 −3 5 7

0 0 8 110 0 0 0

,

takze obecne resenı zavisı na 4 − 2 = 2 parametrech; Zvolıme x4 = t, pak x3 = −118 t;dosadıme do prvnı rovnice a zvolıme x2 = s, dostaneme

x1 =12

(3s+558t− 7t) =

12

(3s− 18t).

Obecne resenı homogenizovaneho systemu je tedy

xH(s, t) =(3

2s− 1

16t, s, −11

8t, t), s, t ∈ R.

Dostavame tak obecne resenı zadanych nehomogennıch rovnic ve tvaru

x = xH(s, t) + xP =(3

2s− 1

16t+ 2, s+ 1, −11

8t, t), s, t ∈ R.

Toto resenı muzeme vyjadrit i ve tvaru x = t1e1 + t2e2 + xP , kde {e1, e2} je nejaky fun-damentalnı system resenı homogenizovaneho systemu. Vezmeme-li postupne s = 2, t = 0 as = 0, t = −16, dostaneme

e1 = (3, 2, 0, 0), e2 = (1, 0, 22,−16)

a tedy

x = t1(3, 2, 0, 0) + t2(1, 0, 22,−16) + xP = (3t1 + t2 + 2, 2t1 + 1, 22t2, −16t2),

kde t1, t2 probıhajı mnozinu R.

Prıklad 4.25. Muzeme resit i „inverznı ulohu“: najıt system linearnıch rovnic, jehoz mnozinaresenı M ⊂ Rn je znama a je zadana jako mnozina bodu (usporadanych n-tic realnych cısel)

x = t1e1 + · · ·+ trer + xP , (4.3)

kde e1, . . . , er ∈ Rn jsou linearne nezavisle (jako radkove matice) a xP ∈M .

Je-li xP 6= 0, pak prıslusny system linearnıch rovnic (ktery, jak, vıme, nenı urcen jednoznacne)je nehomogennı a je tvoren n−r linearne nezavislymi rovnicemi o n-neznamych. Ma tedy tvarAx = b, kde A je matice o n− r radcıch a n sloupcıch, pricemz rankA = n− r.

Je treba najıt maticiA a matici b. MaticiA najdeme z podmınky, ze e1, . . . , er je fundamentalnısystem resenı rovnic Ax = 0. Sloupcovou matici b pak dopocıtame s vyuzitım podmınky, zexP ma splnovat rovnice Ax = b, tj. ze pro ni platı b = AxP .

Uvedeny postup budeme opet ilustrovat na prıklade: Najdeme system nehomogennıch linear-nıch rovnic v R3, jehoz mnozina resenı je

M = {x ∈ R3 | x = se1 + te2 + xP , s, t,∈ R},

kde

e1 = (1, 2, 1), e2 = (1, 1,−1), xP = (3, 2, 1).

Jelikoz n = 3, r = 2, hledame jednu nehomogennı linearnı rovnici

a1x1 + a2x2 + a3x3 = b.

Nejprve najdeme prıslusnou homogenizovanou rovnici. Jejı fundamentalnı system resenı je{e1, e2}, takze platı

a1 + 2a2 + a3 = 0.

a1 + a2 − a3 = 0.

Stacı nam najıt jedno nenulove resenı techto rovnic - treba a1 = 3, a2 = −2, a3 = 1 . Hledanahomogenizovana rovnice ma pak je

3x1 − 2x2 + x3 = 0.

„Pravou stranu“ dopocteme z podmınky, ze xP = (3, 2, 1) je resenım rovnice 3x1−2x2+x3 =b, tedy b = 9− 4 + 1 = 6.

Zadana mnozina M ⊂ R3 je mnozina resenı nehomogennı linearnı rovnice

3x1 − 2x2 + x3 = 6.

Vsimnete si jeste, ze toto je rovnice roviny v R3, ktera prochazı bodem (3, 2, 1).

Cvicenı1. Reste system linearnıch rovnic

3x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2

6x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3

9x1 − 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4.

2. Najdete obecne resenı a alespon dve ruzna partikularnı resenı systemu linearnıch rovnic

3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2

2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3

9x1 + x2 + 4x3 − 5x4 = 1

2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5

7x1 + x2 + 6x3 − x4 = 7.

3. Reste system linearnıch rovnic v zavislosti na parametru α:

5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3

4x1 − 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1

8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9

7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = α.

4. Reste system linearnıch rovnic v zavislosti na parametru β:

2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 5

4x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7

6x1 − 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9

βx1 − 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11.

5. Zjistete, zda dany system rovnic lze resit Cramerovym pravidlem a v kladnem prıpadejej pomocı Cramerova pravidla vyreste:

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = −3

3x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 = −6

6x1 + 8x2 + x3 + 5x4 = −8

3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 = −8.

Jake resenı ma prıslusny homogenizovany system rovnic?6. Naleznete resenı systemu linearnıch rovnic

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 2

2x1 + 3x2 + 7x3 + 10x4 + 13x5 = 12

3x1 + 5x2 + 11x3 + 16x4 + 21x5 = 17

2x1 − 7x2 + 7x3 + 7x4 + 2x5 = 57

x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 10x5 = 7.

(a) Gaussovou eliminacnı metodou,(b) pomocı Cramerova pravidla.9

7. Urcete obecne resenı a fundamentalnı system resenı systemu linearnıch rovnic

2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0

3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0

4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0.

9Mate-li napsany programek, pouzijte ho.

8. Reste system linearnıch rovnic s neznamymi x, y, z:

4bcx+ acy − 2abz = 0

5bcx+ 3acy − 4abz = −abc3bcx+ 2acy − abz = 4abc.

9. Inverznı matici k dane ctvercove matici lze hledat prımo z definice, rozepıseme-li defi-nicnı vztah AA−1 = E pro prvky uvazovanych matic. Dostaneme tak zrejme nehomo-gennı system linearnıch rovnic pro prvky nezname matice A−1. Kolik rovnic o kolikaneznamych vznikne? Napiste si jej explicitne. S vyuzitım Frobeniovy vety diskutujtejeho resitelnost a pocet resenı a porovnejte vysledek se znamymi fakty o existenci ajednoznacnosti inverznı matice.

10. Metodou resenı systemu linearnıch rovnic popsanou v predchozım prıklade najdete in-verznı matici k matici z Prıkladu 3.16.

11. Napiste system linearnıch rovnic, jehoz mnozina resenı ma tvar

(a) M = {x ∈ R5 | x = t1e1 + t2e2, t1, t2 ∈ R},

kde e1 = (1, 1,−1,−1, 2), e2 = (3, 1, 0,−2, 3, 0),

(b) M = {x ∈ R4 | x = t1e1 + t2e2 + t3e3 + x0, t1, t2, t3 ∈ R},

kde e1 = (0, 1, 2, 3), e2 = (1, 0,−2, 3), e3 = (1,−1, 0, 1), x0 = (0, 1, 0, 1),(c) M ⊂ R3 je mnozina prazdna,(d) M ⊂ R4 je jednoprvkova mnozina obsahujıcı bod (1, 1, 1, 1),(e) M ⊂ R5 je jednoprvkova mnozina obsahujıcı pocatek (0, 0, 0, 0, 0).V prıkladech (d), (e) vyberte system rovnic, jehoz matice A nenı diagonalnı.

12. Je dan system linearnıch rovnic tvaru

Ax = λx,

kde A je ctvercova komplexnı matice a λ je komplexnı cıslo. Urcete podmınky, kdy matento system rovnic nenulove resenı.

[Navod: Dany system rovnic si zapiste ve tvaru (A − λE)x = 0. Co musı platit promatici A− λE?]

13. S vyuzitım predchozıho prıkladu urcete vsechna cısla λ ∈ C, pro ktera existujı nenulovaresenı systemu rovnic 7 −12 6

10 −19 1012 −24 13

·x1x2x3

= λ

x1x2x3

.

Pro kazde z nalezenych cısel λ rovnice vyreste a naleznete nejaky fundamentalnı systemresenı.

5 Vektorove prostory

Studijnı cıle: Dostavame se ke klıcove matematicke strukture - vektorovym prostorum. Svektory a s prıklady vektorovych prostoru jsme se uz setkavali drıve v matematice i ve fyzice- vzpomenme treba na zname fyzikalnı veliciny, jako je rychlost, zrychlenı, sıla, a dalsı.Vektory jsou napr. realna cısla, uvazujeme-li je s operacemi scıtanı a nasobenı, usporadanedvojice realnych cısel s operacemi scıtanı a nasobenı realnymi cısly, realne funkce jednerealne promenne s operacemi scıtanı a nasobenı funkcı cısly, nebo ze strednı skoly znameorientovane usecky v rovine, umıstene v pocatku R2, ktere jste se naucili scıtat (doplnenımna rovnobeznık) a nasobit realnymi cısly. Vektorovym prostorem je take napr. mnozina resenısystemu homogennıch linearnıch rovnic, ci mnozina matic typum×n s operacemi scıtanı matica nasobenı matic cısly. V teto kapitole se seznamıme se zakladnımi pojmy a prıklady, ktere jsoupro pochopenı vektorove struktury zasadnı a musıme je perfektne zvladnout. Uvidıme take, zevyznamnym pomocnıkem pri vypoctech ve vektorovych prostorech je maticovy pocet, kteryjsme se naucili ovladat v predchozıch kapitolach.

Klıcova slova: Komutativnı grupa, vektorovy prostor, komplexnı vektorovy prostor, realnyvektorovy prostor, vektor, linearnı kombinace vektoru, linearne nezavisle vektory, linearnezavisle vektory, konecnerozmerny vektorovy prostor, nekonecnerozmerny vektorovy prostor,baze, mnozina generatoru, slozky vektoru vzhledem k bazi, matice prechodu mezi bazemi,transformacnı vztahy pro slozky vektoru.

Potrebny cas: 180 minut.

5.1 Komutativnı grupy

Uvazujme mnozinu G s jednou binarnı operacı G × G → G, kterou budeme oznacovatsymbolem +. Rekneme, ze G je komutativnı grupa, jestlize operace + je

• komutativnı, tj. u+ v = v + u, ∀u, v,∈ G,

• asociativnı, tj. (u+ v) + w = u+ (v + w), ∀u, v, w ∈ G,

• v mnozineG existuje jediny prvek, oznacovany o, takovy, zeu+o = o +u = u, ∀u ∈ G,

• ke kazdemu prvku u ∈ G existuje jediny prvek v G, oznacovany −u takovy, ze u +(−u) = −u+ u = o.

Prvek o ∈ G se nazyva nulovy prvek, neutralnı prvek, nebo strucne nula grupy G.

Prvek −u se nazyva opacny prvek k u.

Operace + v komutativnı grupe G se zpravidla nazyva scıtanı.

V komutativnı grupe mame vedle operace scıtanı definovanu i inverznı operaci odcıtanı takto:klademe pro vsechna u, v ∈ V

u− v = u+ (−v).

Poznamka 5.1. Mnozina s jednou binarnı operacı, ktera splnuje vsechny podmınky z uvedenedefinice krome komutativnıho zakona, se nazyva grupa. Komutativnı grupy jsou tedy grupy,kde navıc platı komutativnı zakon.

Prıklady.

•Mnozina realnych cısel R s operacı scıtanı je komutativnı grupa.

• Mnozina realnych cısel s operacı nasobenı nenı komutativnı grupa. Nasobenı realnych cıselje komutativnı a asociativnı, podmınku neutralnıho prvku splnuje cıslo 1 (skutecne pro vsechna

u ∈ R platı u · 1 = 1 · u = u), ale poslednı podmınka z definice splnena nenı: k cıslu 0neexistuje x ∈ R, pro ktere 0 · x = x · 0 = 1.

•Mnozina R− 0 s operacı nasobenı je komutativnı grupa.

•Mnozina celych cısel s operacı scıtanı je komutativnı grupa.

•Mnozina prirozenych cısel s operacı scıtanı nenı komutativnı grupa.

•Mnozina Rn s operacı scıtanı je komutativnı grupa.

•Mnozina funkcı R→ R s operacı scıtanı je komutativnı grupa.

•Mnozina matic m× n s operacı scıtanı je komutativnı grupa.

• Mnozina regularnıch matic radu n s operacı nasobenı splnuje vsechny podmınky z definicekrome komutativnıho zakona. Nenı to tedy komutativnı grupa, ale je to grupa - nazyva seobecna linearnı grupa radu n a oznacuje se GLn(R) jde-li o realne matice a GLn(C), jde -li okomplexnı matice.

5.2 Vektorove prostory

Definice 5.2. Bud’V mnozina, P cıselne pole. Rekneme, ze V je vektorovy prostor nad polemP, jestlize

• na mnozine V je dana binarnı operace +, vzhledem k nız je V komutativnı grupa,

• je dano zobrazenı P× V → V , ktere ma tyto vlastnosti:

a(u+ v) = au+ av, ∀ a ∈ P, u, v ∈ V ,

(a+ b)u = au+ bu, ∀ a, b ∈ P, u ∈ V ,

(ab)u = a(bu), ∀ a, b ∈ P, u ∈ V ,

1u = u, ∀u ∈ V .

Je-li V vektorovy prostor nad polem P, pak prvky mnoziny V se nazyvajı vektory a prvky poleP se nazyvajı skalary. Nulovy prvek o ∈ V se nazyva nulovy vektor. O zobrazenı P × V 3(a, u)→ au ∈ V hovorıme jako o nasobenı vektoru skalarem.

Vektorovy prostor nad polem C se nazyva komplexnı vektorovy prostor, vektorovy prostor nadR se nazyva realny vektorovy prostor.

Vsimnete si, ze vektorovy prostor nikdy nemuze byt prazdna mnozina - kazdy vektorovy prostorobsahuje nulovy vektor. Vektorovy prostor, ktery je tvoren jedinym vektorem (tedy nulovymvektorem), se nazyva trivialnı.

Definice 5.3. 10

Necht’ V je vektorovy prostor nad polem P. Linearnı kombinacı vektoru u1, . . . , up ∈ V skoeficienty c1, . . . , cp nazyvame vyraz

p∑i=1

ciui = c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup, c1, . . . , cp ∈ P.

Rekneme, ze vektory u1, . . . , up jsou linearne nezavisle, jestlize podmınka

c1u1 + · · ·+ cpup = o

je splnena jedine pro c1 = · · · = cp = 0, (t.j. nulovy vektor lze zıskat linearnı kombinacıdanych vektoru jedinym zpusobem - s nulovymi koeficienty).

Rekneme, ze vektory u1, . . . , up ∈ V jsou linearne zavisle, jestlize nejsou linearne nezavisle.10Uvedene definice porovnejte s drıve zavedenymi pojmy linearne nezavislych a zavislych radku ci sloupcu

matice.

Definice linearne zavislych vektoru se da zrejme ekvivalentne preformulovat takto: Existujıcısla c1 · · · cp ∈ P, z nichz alespon jedno je ruzne od nuly, tak, ze

c1u1 + · · ·+ ckuk + · · ·+ cpup = o .

Je -li napr. ck 6= 0, lze ovsem psat

uk = − 1ck

(c1u1 + · · ·+ ck−1uk−1 + ck+1uk+1 + · · ·+ cpup),

coz znamena, ze k-ty vektor lze vyjadrit jako linearnı kombinaci zbyvajıcıch vektoruu1, . . . , uk−1, uk+1, . . . , up. Muzeme tedy rıkat, ze vektory jsou linearne zavisle, jestlize ale-spon jeden z nich lze vyjadrit jako linearnı kombinaci ostatnıch.

Vsimnete si, ze

• system vektoru obsahujıcı nulovy vektor je linearne zavisly,

• pro jeden vektor (tj. p = 1) se definice linarnı (ne)zavislosti redukuje na tento tvar: jedenvektor je linearne nezavisly prave kdyz je nenulovy; je linearne zavisly prave kdyz jenulovy,

• dva vektory u, v ∈ V jsou linearne zavisle, jestlize jeden z nich je nenulovym nasobkemdruheho (tj. u = cv pro nejake cıslo c 6= 0); podobne

• dva vektory jsou linearne nezavisle, jestlize jsou oba nenulove a jeden z nich nenınasobkem druheho.

Definice 5.4. Rekneme, ze vektorovy prostor V ma (konecnou) dimenzi n, jestlize v nemexistuje n linearne nezavislych vektoru, pricemz libovonych n + 1 vektoru je linearne zavis-lych. Pıseme dimV = n, a kazdy system n vektoru s uvedenou vlastnostı nazyvame bazevektoroveho prostoru V .

Vektorovy prostor, ktery nema konecnou dimenzi, se nazyva nekonecnerozmerny 11.

Ekvivalentne, baze vektoroveho prostoru V (konecne dimenze) je system linearne nezavislychvektoru z V takovych, ze kazdy vektor z V je jejich linearnı kombinacı (baze je tedy maximalnılinearne nezavisly system vektoru z V ). To znamena, ze je-li {e1, . . . , en} baze V , pak libovolnyvektor u ∈ V se vyjadruje ve tvaru

u =n∑

i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen,

pricemz cısla x1, . . . , xn ∈ P jsou urcena jednoznacne. Nazyvajı se slozky vektoru u vzhledemk bazi {e1, . . . , en}.

Jednoznacnost slozek vektoru plyne prımo z definice baze; ukazeme to: Necht’pro vektor u ∈ Vmame

u = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen = x′1e1 + x′2e2 + · · ·+ x′nen.

Pak ovsem

(x1 − x′1)e1 + (x2 − x′2)e2 + · · ·+ (xn − x′n)en = o .

Vektory {e1, . . . , en} jsou podle predpokladu linearne nezavisle, coz znamena, ze vsechnykoeficienty v uvedene linearnı kombinaci jsou nulove. Odtud x′1 = x1, . . . , x

′n = xn.

11V linearnı algebre budeme pracovat vyhradne s vektorovymi prostory konecne dimenze. S nekonecnerozmer-nymi vektorvymi prostory se ctenar setka napr. ve funkcionalnı analyze.

Poznamka 5.5 (Vyznam baze v konecnerozmernem vektorovem prostoru). Ackoli mnozina V(pokud V 6= {o}) obsahuje nekonecne mnoho prvku, baze je mala konecna mnozina (obsahujen = dimV prvku), pritom ale se z nı cely vektorovy prostor vytvarı (pomocı linearnıchkombinacı). Navıc, je-li veV zvolena baze, je kazdy vektor jiz jednoznacne reprezentovan svymislozkami. Slozky vektoru v n-rozmernem vektorovem prostoru ovsem predstavujı usporadanoun-tici cısel z pole P, tedy prvek cıselne mnoziny Pn. Vektory z V tak muzeme „nahradit“usporadanymi n-ticemi, s nimiz je prace zpravidla jednodussı i nazornejsı.

Nekdy je vyhodne ve vektorovem prostoru pracovat s jinou („vetsı“) mnozinou, nez je baze:PodmnozinaM ⊂ V se nazyva generujıcı mnozina nebo take mnozina generatoru vektorovehoprostoru V , jestlize kazdy vektor V se vyjadruje ve tvaru nejake linearnı kombinace prvku zmnoziny M .

Z teto definice vyplyva, ze baze je mnozina generatoru tvorena linearne nezavislymi vektory(tedy je to minimalnı generujıcı mnozina).

5.3 Prıklady vektorovych prostoru

Uvedeme nekolik prıkladu realnych a komplexnıch vektorovych prostoru modelovanych nacıselnych i necıselnych mnozinach. Ctenari doporucujeme, aby v kazdem z techto prıkladudusledne overil, ze uvedena mnozina s uvazovanymi operacemi skutecne splnuje vsechnypozadavky z definice vektoroveho prostoru.

Vektorovy prostor R

Jedna se o nejjednodussı prıklad vektoroveho prostoru. Za V vezmeme mnozinu realnych cıselR s operacı scıtanı (presvedcte se, ze je to komutativnı grupa), za P vezmeme pole realnychcısel (tj. mnozinu realnych cısel s operacemi scıtanı a nasobenı) a za zobrazenı P × V → Vnasobenı realnych cısel. Vznika tak vektorovy prostor nad polem R. Tento vektorovy prostorma dimenzi 1, nebot’celou mnozinu R lze dostat jako nasobky jedineho realneho cısla c 6= 0.Baze vektoroveho prostoru R je tedy tvorena jedinym realnym cıslem ruznym od 0. Nejcastejiza bazovy vektor bereme cıslo 1.

Slozka (libovolneho) vektoru vzhledem k bazi je v tomto prıpade jedine realne cıslo. Zvolıme-li za bazi cıslo c 6= 0, pak vektor x ∈ R je reprezentovan cıslem x/c ∈ R (nebot’ zrejmex = (x/c) · a).

Vsimnete si, ze baze tvorena cıslem 1 je „privilegovana“ tım, ze slozka vektoru x ∈ R v tetobazi je prımo cıslo x.

Vektorovy prostor Rn

Jde o nejcastejsı a modelovy prıklad konecnerozmerneho vektoroveho prostoru. Za V vezmememnozinu usporadanych n-tic realnych cısel Rn s operacı scıtanı. Pripomenme si definici tetooperace: Je-li x = (x1, . . . , xn) a y = (y1, . . . yn) definujeme x+ y ∈ Rn takto:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Vzhledem k tomu, ze jde „po slozkach“ o scıtanı realnych cısel, je tato operace evidentnekomutativnı a asociativnı; nulovym prvkem je n-tice (0, . . . , 0) a ke kazdemu prvku x ∈ Rn

existuje cıslo opacne, je jım−x = (−x1, . . . ,−xn). Rn s operacı + je tedy komutativnı grupa.

Dale, za P vezmeme pole realnych cısel R a za zobrazenı P× V → V nasobenı usporadanychn-tic realnymi cısly, tj. zobrazenı R× Rn 3 (c, x)→ cx ∈ Rn, definovane vztahem

c(x1 . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn).

Vznika tak vektorovy prostor nad polem R. Urcıme jeho dimenzi. K tomu je treba najıt nejakouminimalnı generujıcı mnozinu (bazi). Vsimneme si, ze kazdy prvek x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn

lze psat ve tvaru linearnı kombinace

(x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0) + · · ·+ xn(0, . . . , 0, 1).

To znamena, ze

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), · · · , en = (0, . . . , 0, 1) (5.1)

je mnozina generatoru vektoroveho prostoru Rn (takze jiste dim Rn ≤ n). Ovsem vektory{e1, . . . , en} jsou linearne nezavisle, nebot’z podmınky

c1(1, 0, . . . , 0) + c2(0, 1, 0, . . . , 0) + · · ·+ cn(0, . . . , 0, 1) = (0, . . . , 0)

plyne (c1, c2, . . . , cn) = (0, 0, . . . , 0), tj. c1 = c2 = · · · = cn = 0. Celkove tedy vidıme,ze (5.1) je baze vektoroveho prostoru Rn - nazyva se kanonicka baze. Odtud take plyne, zedim Rn = n.

Za bazi Rn lze vzıt i libovolnou jinou mnozinu n linearne nezavislych prvku. Kanonicka bazeje ovsem opet „privilegovana“ tım, ze slozky vektoru x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn v teto bazijsou prımo cısla x1, . . . , xn (v uvedenem poradı).

Komplexnı vektorovy prostor C

Nynı za V vezmeme mnozinu komplexnıch cısel C s operacı scıtanı, coz je komutativnı grupa.Za P vezmeme pole komplexnıch cısel (tj. mnozinu komplexnıch cısel s operacemi scıtanı anasobenı) a za zobrazenı P × V → V nasobenı komplexnıch cısel. Vznika vektorovy prostornad polem C. Jeho dimenze je rovna 1, nebot’celou mnozinu C lze dostat jako nasobky jedinehokomplexnıho cısla z 6= 0 komplexnımi cısly. Za bazi vektoroveho prostoru C nad C lze tedyvzıt jakekoliv komplexnı cıslo ruzne od 0. Nejcasteji za bazi volıme cıslo 1.

Slozka (libovolneho) vektoru je v tomto prıpade jedine komplexnı cıslo. Zvolıme-li za bazicıslo z 6= 0, pak vektor u ∈ C je reprezentovan komplexnım cıslem u/z. V „kanonicke“ bazitvorene cıslem 1 je slozka vektoru u ∈ C prımo cıslo u.

Realny vektorovy prostor C

Za V zvolıme opet mnozinu komplexnıch cısel C s operacı scıtanı, ovsem za P tentokratvezmeme pole realnych cısel a za zobrazenı P × V → V nasobenı komplexnıho cısla cıslemrealnym. Na mnozine C tak vznika vektorovy prostor nad polem R. Urcıme jeho dimenzi. Ihnedvidıme, ze dimenze je vetsı nez jedna, nebot’ jedno komplexnı cıslo z nam pro vygenerovanıvsech vektoru nestacı (mnozina {cz | c ∈ R} jiste neobsahuje vsechna komplexnı cısla). Nadruhe strane ale libovolne komplexnı cıslo ma tvar z = a + bi, kde a, b jsou realna cısla,takze z = a · 1 + b · i, tj. z je linearnı kombinacı (s realnymi koeficienty) komplexnıch cısel1, i. Odtud prımo plyne, ze vektorovy prostor C nad R ma dimenzi 2 a {1, i} je jeho baze. Vtomto vektorovem prostoru je tedy kazde komplexnı cıslo (v libovolne bazi) reprezentovanousporadanou dvojicı realnych cısel; v bazi e1 = 1, e2 = i jsou slozkami vektoru z prımo realnaa imaginarnı cast cısla z.

Realny vektorovy prostor Cn

Podobne jako vyse lze i na mnozine Cn usporadanych n-tic komplexnıch cısel modelovatrealny vektorovy prostor. Zvolıme V = Cn, P = R a nasobenı vektoru skalarem definujemejako nasobenı usporadanen-tice komplexnıch cısel realnym cıslem. Vznika vektorotovy prostor

dimenze 2n nad polem R. Za jeho bazi lze vzıt napr. linearne nezavislou mnozinu tvorenouvektory

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), · · · , en = (0, . . . , 0, 1), (5.2)

en+1 = (i, 0, . . . , 0), en+2 = (0, i, 0, . . . , 0), · · · , e2n = (0, . . . , 0, i). (5.3)

Vektor z = (a1 + b1i, . . . , an + bni) ∈ Cn ma v teto bazi 2n slozek (a1, . . . an, b1, . . . , bn).

Vektorovy prostor maticMm×n(P) nad polem P

Mnozina vsech matic typu m× n s koeficienty z pole P s operacı scıtanı matic je komutativnıgrupa (overte). Uvazujeme-li navıc „operaci“ nasobenı matic cısly z pole P, vznika vektorovyprostor nad polem P. Dimenze tohoto vektoroveho prostoru je rovna mn, za bazi lze vzıtlibovolnou mnozinumn linearne nezavislych matic z mnozinyMm×n(P). Nejjednodussı bazema tvar

e1 =

1 0 . . . 00 0 . . . 0...0 0 . . . 0

, e2 =

0 1 . . . 00 0 . . . 0...0 0 . . . 0

, . . . , en =

0 . . . 0 10 . . . 0 0...0 . . . 0 0

,

en+1 =

0 0 . . . 01 0 . . . 0...0 0 . . . 0

, en+2 =

0 0 . . . 00 1 . . . 0...0 0 . . . 0

, . . . , e2n =

0 . . . 0 00 . . . 0 1...0 . . . 0 0

,

. . .

e(m−1)n+1 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...1 0 . . . 0

, . . . , emn =

0 . . . 0 00 . . . 0 0...0 . . . 0 1

,

v nı je kazda matice A = (aij) reprezentovana prımo svymi prvky, presneji usporadanoumn-ticı (a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , am1, . . . amn).

Vektorovy prostor polynomu

Vedle vyse uvedeneho vektoroveho prostoru matic je dalsım prıkladem necıselneho vektorovehoprostoru vektorovy protor polynomu, ktery nynı zavedeme.

Funkce f : R→ R tvaru

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 (5.4)

se nazyva (realny) polynom n-teho stupne. Cısla an, . . . a0 ∈ R se nazyvajı koeficienty poly-nomu f . Polynom stupne 3 se take nazyva kubicky, stupne 2 kvadraticky, stupne 1 linearnı astupne 0 konstantnı.

Oznacme Pn(R) mnozinu realnych polynomu stupne ≤ n. Na teto mnozine je definovanaoperace scıtanı (jde o zuzenı standardnı operace scıtanı funkcı). Pripomenme si pro jistotudefinici: pro polynomy f, g ∈ Pn(R),

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0,

g(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b2x2 + b1x+ b0,

je f + g polynom definovany vztahem

(f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ R,

tedy f + g ma tvar

(f + g)(x)

= (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)xn−1 + · · ·+ (a2 + b2)x

2 + (a1 + b1)x+ a0 + b0.

Mnozina Pn(R) s operacı scıtanı je komutativnı grupa: komutativita a asociativita scıtanı jezrejma, nulovy prvek grupy je nulovy polynom (konstantnı funkce rovna nule) a opacny prvekk polynomu f s koeficienty an, . . . , a0 je polynom −f s koeficienty −an, . . . ,−a0.

Dale uvazujme nasobenı polynomu realnymi cısly, tj. zobrazenı R× Pn(R) 3 (c, f) → cf ∈Pn(R) definovane vztahem

(cf)(x) = c · f(x), ∀x ∈ R.

Polynom cf ma tedy koeficienty can, . . . , ca0.

Takto vznika vektorovy prostor Pn(R) nad polem R. Tento vektorovy prostor je konecne-rozmerny, za jeho bazi muzeme vzıt napr. system polynomu {1, x, x2, x3, . . . , xn}. Skutecne,libovolny polynom z Pn(R) se vyjadruje ve tvaru linearnı kombinace tohoto systemu poly-nomu s koeficienty, kterymi jsou prımo koeficienty daneho polynomu. Tedy v uvazovane bazima polynom (5.4) slozky (a0, a1, . . . , an). odtud take inned plyne, ze

dimPn(R) = n+ 1.

Vektorovy prostor realnych funkcı

Nakonec uvazujme mnozinu F(R) vsech realnych funkcı jedne realne promenne s operacıscıtanı funkcı (pripomente si, ze funkce f + g ∈ F(R) je definovana vztahem (f + g)(x) =f(x) + g(x), ∀x ∈ R, tedy jako „scıtanı bod po bodu“). F(R) s operacı scıtanı je komu-tativnı grupa (dokazte). (Realny) vektorovy prostor vznikne, uvazujeme-li navıc zobrazenıR×F(R)→ F(R), (c, f)→ cf , kde (cf)(x) = c · f(x) pro vsechna x ∈ R (nasobenı funkcerealnym cıslem).

Tento vektorovy prostor je nekonecnerozmerny. Ukazeme to: Kdyby pro nejake cıslo n bylsystem funkcı {f1, . . . fn} bazı tohoto vektoroveho prostoru, musela by pro kazdou funkcif ∈ F(R) existovat n-tice realnych cısel c1, . . . cn takovych, ze f = c1f1 + c2f2 + . . . cnfn.Mame tedy pro kazde x ∈ R

f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + . . . cnfn(x).

Uvazujme funkci g ∈ F(R), pro kterou platı g(x) = f(x) pro vsechna x 6= 0, a g(0) 6= f(0).Pak zrejme g(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + . . . cnfn(x) v kazdem bode x 6= 0 a g(0) 6= c1f1(0) +c2f2(0) + . . . cnfn(0). To ale znamena, ze g 6= c1f1+ c2f2+ . . . cnfn. Nasli jsme tedy funkci,ktera nenı linearnı kombinacı vektoru f1, . . . , fn, tj. mnozina {f1, . . . fn} negeneruje vektorovyprostor F(R). Jelikoz prirozene cıslo n muze byt libovolne velke, nema uvazovany vektorovyprostor konecnou dimenzi.

5.4 Transformacnı vztahy pro slozky vektoru

Vıme jiz, ze zvolıme-li v n-rozmernem vektorovem prostoru bazi, je kazdy vektor jednoznacneurcen pomocı usporadane n-tice cısel (slozek vektoru vzhledem ke zvolene bazi). Zaroven jezrejme, ze volba jine baze znamena, ze tentyz vektor bude reprezentovam jinou usporadanoun-ticı(!).

V tomto odstavci vyjasnıme, jaky je vztah mezi reprezentacemi tehoz vektoru v ruznych bazıchvektoroveho prostoru a najdeme transformacnı vztahy pro slozky vektoru vzhledem k ruznymbazım.

Necht’tedy V je n-rozmerny vektorovy prostor nad polem P a {e1, . . . , en}, {e1, . . . , en} jsoudve jeho ruzne baze. Pak ovsem kazdy z vektoru e1, . . . , en ma jednoznacne vyjadrenı v bazi{e1, . . . , en} ve tvaru

e1 = a11e1 + a21e2 + · · ·+ an1en,e2 = a12e1 + a22e2 + · · ·+ an2en,

. . .en = a1ne1 + a2ne2 + · · ·+ annen,

(5.5)

jinak receno, zname slozky vsech vektoru „pruhovane baze“ vzhledem k „nepruhovane bazi“.Ucinıme dohodu, ze tato cısla usporadame do matice (slozky vektoru ei budou zapsany v i-temsloupci teto matice).

Definice 5.6. MaticeA = (aij), jejız sloupce tvorı slozky vektoru baze {e1, . . . , en} vzhledemk bazi {e1, . . . , en}, se nazyva matice prechodu od baze {e1, . . . , en} k bazi {e1, . . . , en}.

Necht’ nynı u ∈ V je libovolny vektor. Vektor u ma vzhledem k bazi {e1, . . . , en} slozkyx1, . . . , xn a vzhledem k bazi {e1, . . . , en} ma slozky x1, . . . , xn. Platı tedy

u =n∑

i=1

xiei =n∑

k=1

xkek.

Dosadıme-li za vektory e1, . . . , en jejich vyjadrenı (5.5), dostaneme:

n∑i=1

xiei =n∑

i,k=1

xkaikei,

tedy,

n∑i=1

( n∑k=1

xkaik − xi

)ei = o .

Jelikoz vektory e1, . . . en jsou podle predpokladu linearne nezavisle, jsou vsechny koeficientyv teto linearnı kombinaci rovny nule; tedy platı

xi =n∑

k=1

aikxk, 1 ≤ i ≤ n. (5.6)

Vzorec (5.6) umoznuje vypocıtat slozky x1, . . . , xn vektoru u vzhledem k bazi {e1, . . . , en},jsou-li znamy jeho slozky x1, . . . , xn vzhledem k bazi {e1, . . . en}. Je to tedy hledany transfor-macnı vztah.

Vsimnete si, ze vzorec (5.6) se da prehledneji napsat v maticovem tvaru: zavedeme-li sloupcovematice, tvorene slozkami vektoru u vzhledem k zadanym bazım, jedna se o maticovou rovnost,na jejız prave strane vystupuje soucin matic, a to matice prechoduA = (aij) a sloupce predsta-vujıcıho slozky vektoru u v „pruhovane“ bazi. Konkretne, v maticovem tvaru ma transformacnıvzorec (5.6) tvar

x1x2...xn

= A ·

x1x2...xn

. (5.7)

Z definice matice prechodu je zrejme, ze je to matice regularnı. Skutecne, jelikoz vektorye1, . . . en jsou linearne nezavisle, jsou sloupce matice A (tvorene slozkami vektoru e1, . . . , en)linearne nezavisle. A je tedy ctvercova matice maximalnı hodnosti, tj. je regularnı (jiny dukazregularity matice prechodu uvadıme nıze).

Je zrejme, ze zadanı dvou bazı vektoroveho prostoru V umoznuje zkonstruovat matici prechoduod baze od baze {e1, . . . , en} k bazi {e1, . . . , en} (kterou jsme vyse oznacili A = (aij)) a takematici prechodu od baze {e1, . . . , en} k bazi {e1, . . . , en}, oznacıme jiB = (bij). Jiste tusıme,jaky je vztah mezi temito maticemi:

Veta 5.7. Matice prechodu od baze od baze {e1, . . . , en} k bazi {e1, . . . , en} a matice prechoduod baze {e1, . . . , en} k bazi {e1, . . . , en} jsou navzajem inverznı.

Dukaz. Napisme si, jak jsou obe matice definovany: MameA = (aij), kde cısla aij , 1 ≤ i, j ≤n, jsou urcena vztahem (5.5) a B = (bij), kde bij , 1 ≤ i, j ≤ n, splnujı podmınky

e1 = b11e1 + b21e2 + · · ·+ bn1en,e2 = b12e1 + b22e2 + · · ·+ bn2en,

. . .en = b1ne1 + b2ne2 + · · ·+ bnnen.

Platı tedy pro vsechna j

ej =n∑

k=1

bkj ek =n∑

i,k=1

bkjaikei ⇒( n∑

i,k=1

aikbkj − δij)ei ⇒

n∑k=1

aikbkj = δij .

V maticovem tvaru tato rovnost ovsem znıAB = E, coz znamena, ze obe matice jsou regularnıa B = A−1.

Na zaklade prave dokazane vety muzeme ihned napsat tez inverznı transformacnı vztah, tedyvzorec, z nehoz vypocteme slozky vektoru vzhledem k „pruhovane“ bazi, zname-li jejich slozkyv bazi „nepruhovane“: podle (5.7) mame

x1x2...xn

= A−1 ·

x1x2...xn

.

Poznamka 5.8 (Konvence). Videli jsme, ze pro pocıtanı se slozkami vektoru lze s vyhodouvyuzıt maticovy pocet. Pri oznacenı, ktere v tomto textu pouzıvame, se slozky vektoru vzhledemk dane bazi zapisujı do sloupcu. Budeme proto i nadale vzdy, kdyz to bude vhodne, pouzıvatpro slozky vektoru reprezentaci pomocı sloupce matice.

Tato reprezentace ma mj. vyhodu, ze nam umoznı snadno rozlisit vektor a jeho slozky i vprıpade, kdy uvazovanym vektorovym prostorem je Pn. Zde vektor x je usporadana n-tice cısel(x1, . . . , xn), pricemz slozky c1, . . . , cn vektoru (x1, . . . , xn) vzhledem k nejake bazi budemezapisovat v maticovem tvaru c1...

cn

,

nebo take (abychom setrili mıstem) (c1, . . . , cn)T .

Kontrolnı otazky.

•V trırozmernem vektorovem prostoru jsou dany vektory x, u, v, w. Lze rıci, jestli jsou linearnezavisle nebo nezavisle? Proc?

• Uved’te prıklad polynomu, ktery je (netrivialnı) linearnı kombinacı polynomu

f(x) = 2x3 + 3x2 − 1, g(x) = x2 − 5x+ 3, h(x) = x3 + x2 − x− 1.

• Zjistete, zda jsou linearne nezavisle vektory

u = e1 + e2 + e3, v = e1 + e2 + e4, w = e2 + e3 + e4,

vıte-li, ze vektory e1, e2, e3, e4 jsou linearne nezavisle.

• Jak se zmenı slozky vektoru x, kdyz prohodıme i-ty a j-ty bazovy vektor (tj. mısto baze{e1, . . . , ei, . . . , ej . . . , en} vezmeme bazi {e1, . . . , ej , . . . , ei . . . , en}?

• Jake slozky ma vektor ei, 1 ≤ i ≤ n, vzhledem k bazi {e1, . . . , en}?

• V n-rozmernem vektorovem prostoru jsou dany linearne nezavisle vektory x, y. Lze vybratbazi tak, aby vektor x mel slozky (1, 0, . . . , 0)T a vektor y mel slozky (0, . . . , 0, 1)T ?

Prıklad 5.9. Ve ctyrrozmernem vektorovem prostoru V je dana baze {e1, e2, e3, e4} a vektoryf1, f2, f3, f4, ktere majı vzhledem k bazi {e1, e2, e3, e4} tyto slozky:

1100

,

1−1

00

,

0023

,

012−1

.

Ekvivalentne muzeme zadat vektory f1, f2, f3, f4 jako linearnı kombinace baze {e1, e2, e3, e4},tj. ve tvaru

f1 = e1 + e2, f2 = e1 − e2, f3 = 2e3 + 3e4, f4 = e2 + 2e3 − e4.

• Dokazeme, ze vektory f1, f2, f3, f4 jsou linearne nezavisle.

Muzeme postupovat ruznymi zpusoby:

(a) Definici linearnı nezavislosti vektoru aplikujeme prımo na vektory f1, f2, f3, f4: Necht’

c1f1 + c2f2 + c3f3 + c4f4 = o . (5.8)

To znamena, ze

c1(e1 + e2) + c2(e1 − e2) + c3(2e3 + 3e4) + c4(e2 + 2e3 − e4) = o,

(c1 + c2)e1 + (c1 − c2 + c4)e2 + (2c3 + 2c4)e3 + (3c3 − c4)e4 = o .

Jelikoz vektory e1, e2, e3, e4 jsou linearne nezavisle, jsou vsechny koeficienty v teto linearnıkombinaci rovny nule, tedy

c1 + c2 = 0, c1 − c2 + c4 = 0, 2c3 + 2c4 = 0, 3c3 − c4 = 0.

Toto je system 4 homogennıch linearnıch rovnic o 4 neznamych, jehoz matice je

A =

1 1 0 01 −1 0 10 0 2 20 0 3 −1

.

Vıme, ze uvedeny system linearnıch rovnic ma jedine, a to nulove resenı, prave kdyz matice Aje regularnı. Je ovsem

1 1 0 01 −1 0 10 0 2 20 0 3 −1

∼

1 0 0 01 1 0 00 0 2 20 0 3 −1

∼

1 0 0 01 1 0 00 0 2 00 0 3 1

,

coz je evidentne regularnı matice. Odtud plyne, ze podmınka (5.8) je splnena jedine proc1 = c2 = c3 = c4 = 0, tj. vektory f1, f2, f3, f4 jsou linearne nezavisle.

Vsimnete si, ze maticeA je vytvorena tak, ze v jejım i-tem sloupci jsou prımo slozky vektoru fi,i = 1, 2, 3, 4 vzhledem ke zvolene bazi {e1, e2, e3, e4}. Provadıme-li tedy s maticıA sloupcoveelementarnı upravy, znamena to, ze pri kazdem kroku dostavame system vektoru, ktere jsoulinearnı kombinacı vektoru f1, f2, f3, f4; jejich slozky vzhledem k bazi {e1, e2, e3, e4} jsousloupce prıslusne ekvivalentnı matice.

(b) Vyuzijeme skutecnosti, ze vektory v n-rozmernem vektorovem prostoru nad P jsou linearnenezavisle prave tehdy, kdyz jejich slozky (vzhledem k libovolne bazi) jsou linearne nezavislejako sloupcove matice, nebo ekvivalentne, jako vektory z Pn. Napıseme si tedy slozky zadanychvektoru do matice a zkoumame jejı hodnost.

V nasem prıpade dostaneme bud’vyse uvedenou matici A nebo matici AT , ktera je regularnı,takze zadane vektory jsou linearne nezavisle.

Jelikoz vektory f1, f2, f3, f4 jsou linearne nezavisle a jejich pocet je roven dimenzi danehovektoroveho prostoru V , tvorı tyto vektory bazi V .

• S vyuzitım jiz provedenych vypoctu muzeme ihned napsat i jine baze vektoroveho prostoruV . Pri upravach matice A jsme nasli napr. bazi tvorenou vektory {b1, b2, b3, b4}, kde b1 = f1,b2 = e2, b3 = f3 a b4 = e4.

Ukol: Napiste si slozky vektoru b1, b2, b3, b4 vzhledem k bazi {e1, e2, e3, e4} a take jejichslozky vzhledem k bazi {f1, f2, f3, f4}.

[Navod: Ve druhem prıpade stacı vyuzıt sloupcove elementarnı upravy s maticı A, odkudokamzite plyne, ze b2 = (f1 − f2)/2. Podobne vyjadrete b4.]

• Ve V nynı uvazujme baze {e1, e2, e3, e4} a {f1, f2, f3, f4}. Najdeme prıslusne matice pre-chodu.

Ze zadanı je mozne okamzite napsat matici prechodu od baze {e1, e2, e3, e4} k bazi{f1, f2, f3, f4}. Dostaneme vyse uvedenou matici A. Vıme, ze matice prechodu od baze{f1, f2, f3, f4} k bazi {e1, e2, e3, e4} je matice A−1. Lze ji nalezt prımo vypoctem inverznımatice k maticiA. Muzeme vsak postupovat i tak, ze najdeme vyjadrenı vektoru {e1, e2, e3, e4}jako linearnı kombinace vektoru {f1, f2, f3, f4}. Vztahy

e1 + e2 = f1, e1 − e2 = f2, 2e3 + 3e4 = f3, e2 + 2e3 − e4 = f4

je tedy teba resit jako system nehomogennıch linearnıch rovnic pro nezname e1, e2, e3, e4.Vıme, ze existuje jedine resenı (matice systemu je ctvercova a regularnı). Snadnym vypoctemnajdeme

e1 =12f1 +

12f2,

e2 =12f1 −

12f2,

e3 = − 316f1 +

316f2 +

18f3 +

38f4,

e4 =18f1 −

18f2 +

14f3 −

14f4,

takze matice prechodu od baze {f1, f2, f3, f4} k bazi {e1, e2, e3, e4} je

116

8 8 −3 28 −8 3 −20 0 2 40 0 6 −4

= A−1.

• Nakonec jeste procvicıme transformaci slozek vektoru. Uvazujme ve V baze {e1, e2, e3, e4}a {f1, f2, f3, f4}. Necht’vektor x ma vzhledem k bazi {f1, f2, f3, f4} slozky

302−1

.

Najdeme jeho slozky vzhledem k bazi {e1, e2, e3, e4}.(a) Muzeme pouzıt vzorec pro transformaci slozek vektoru. Mame

x1x2x3x4

= A ·

302−1

=

1 1 0 01 −1 0 10 0 2 20 0 3 −1

·

302−1

=

3227

.

(b) Muzeme ale zvolit i prımy vypocet: potrebujeme vyjadrit vektor x ve tvaru linearnı kombi-nace vektoru {e1, e2, e3, e4}. Podle zadanı je

x = 3f1 + 2f3 − f4 = 3(e1 + e2) + 2(2e3 + 3e4)− (e2 + 2e3 − e4)= 3e1 + 2e2 + 2e3 + 7e4,

takze slozky vektoru x vzhledem k bazi {e1, e2, e3, e4} jsou3227

.

Cvicenı1. Opakovanı: Definujte vsechny pojmy uvedene v Klıcovych slovech.2. Uved’te prıklady vektorovych prostoru.3. Zjistete, zda vektory

(2, 1, 3− 1), (7, 4, 3,−3), (1, 1,−6, 0), (5, 7, 7, 8)

tvorı bazi vektoroveho prostoru R4.4. Ve vektorovem prostoru R2 najdete vsechny baze, v nichz ma vektor (1, 0) slozky(

2−2

).

5. Ve vektorovem prostoru realnych matic 2× 2 jsou dany vektory

A1 =

(2 0−1 1

), A2 =

(1 11 −1

), A3 =

(−1 0

1 1

).

• Zjistete, zda jsou vektory A1, A2, A3 linearne nezavisle.• Napiste slozky kazdeho z vektoru A1, A2, A3(a) v bazi, tvorene vektory(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

) (0 00 1

),

(b) v bazi, tvorene vektory(0 00 1

),

(0 −10 0

),

(0 0−1 0

) (1 00 0

),

(c) v bazi, tvorene vektory(1 00 1

),

(1 11 1

),

(0 11 1

) (1 01 0

).

6. Dokazte, ze vektory

e1 = x3 + 2x2 − x− 2, e2 = 2x3 + 3x2 − 1,

e3 = x3 + 2x2 + x+ 4, e4 = x3 + 3x2 − x

tvorı bazi vektoroveho prostoru polynomu stupne ≤ 3 s realnymi koeficienty.Urcete slozky vektoru

f = 7x3 + 14x2 − x+ 2, g = e1 + e2 + e3 + e4

(a) v bazi {1, x, x2, x3},(b) v bazi {e1, e2, e3, e4}.Najdete matici prechodu od baze {e1, e2, e3, e4} k bazi {1, x, x2, x3}.

7. Zjistete, pro ktera cısla α se vektor b = (7,−2, α) ∈ R3 vyjadruje jako linearnı kombi-nace vektoru (2, 3, 5), (3, 7, 8), (1,−6, 1).

8. Urcete dimenzi vektoroveho prostoru C2 nad polem R a naleznete alespon dve jeho ruznebaze. Urcete slozky vektoru (2 + i, 1 − i) vzhledem ke kazde z techto bazı. Urcete obematice prechodu mezi temito bazemi.Reste stejnou ulohu pro prıpad vektoroveho prostoru C2 nad polem komplexnıch cısel.

6 Podprostory vektorovych prostoru

Studijnı cıle: Druhou kapitolu o vektorovych prostorech venujeme vektorovym podprostorum.Vıme jiz, ze vektory ve vektorovem prostoru muzeme scıtat a nasobit cısly. Zvolıme-li si vevektorovem prostoru V nad polem P podmnozinu, pak take samozrejme jejı prvky umımescıtat a nasobit cısly z pole P. Nektere podmnoziny ovsem „nededı “ vektorovou strukturu zV - nejsou vzhledem k uvazovanemu scıtanı a nasobenı cısly z pole P vektorovymi prostory.Podıvame-li se podrobneji, co je vlastne prıcinou teto „komplikace“, zjistıme, ze pro nektereprvky z dane mnoziny vysledek jejich scıtanı nebo nasobenı nejakym skalarem nelezı v uvazo-vane mnozine (tedy nejake vektory v mnozine „chybı“). Jinak receno, operace scıtanı vektorua nasobenı vektoru cısly se na takovou podmnozinu z V neindukujı a vektorova struktura nanı nevznika. Prıkladem takove mnoziny je treba prımka y = 1 v R2: pro bod (x, 1) na tetoprımce je 2(x, 1) = (2x, 2) coz je bod, ktery na teto prımce nelezı. Naopak prımka y = 2xobsahuje se vsemi svymi body i jejich soucty a nasobky libovolnym realnym cıslem a snadnose presvedcıme, ze ma vsechny vlastnosti vektoroveho prostoru - je vektorovym podprostoremv R2. Zaroven dochazıme k pojmu linearnıho obalu mnoziny, jako nejmensıho vektorovehopodprostoru, ve kterem je uvazovana mnozina obsazena. Budeme take studovat prunik a sjed-nocenı vektorovych podprostoru a uvidıme, ze sjednocenım podprostoru nemusı byt vektorovypodprostor. Proto budeme definovat soucet vektorovych podprostoru jako linearnı obal je-jich sjednocenı. Odvodıme take dulezity vztah mezi dimenzemi pruniku a souctu vektorovychpodprostoru.

Klıcova slova: Podprostor vektoroveho prostoru, Steinitzova veta, linearnı obal mnoziny, pa-ramericke rovnice vektoroveho podprostoru, obcne rovnice vektoroveho podprostoru, prunikvektorovych podprostoru, soucet vektorovych podprostoru, prımy soucet vektorovych podpro-storu, Veta o dimenzıch souctu a pruniku vektorovych podprostoru, rozklad vektoru.

Potrebny cas: 180 minut.

6.1 Vektorove podprostory, Steinitzova veta

Uvazujme vektorovy prostor V nad polem P, dimV = n. Je-li W podmnozina ve vektorovemprostoru V , lze jejı prvky scıtat a nasobit cısly z pole P. Pritom soucet dvou prvku z mnozinyWmuze, ale nemusı lezet v mnozine W , a podobne nasobek vektoru z mnoziny W nemusı lezetve W . Ve vektorovych prostorech budou mıt velky vyznam podmnoziny, ktere jsou vzhledemke scıtanı svych prvku a k nasobenı svych prvku (vsemi) cısly z pole P uzavrene, tedy scıtanıa nasobenı skalarem z P, definovane ve V , indukujı scıtanı a nasobenı skalarem z pole P vmnozine W . Uvidıme totiz, ze takove podmnoziny prirozene „dedı“ vektorovou strukturu z V ,tj. samy jsou tez vektorovymi prostory nad polem P.

Nejprve pojem vektoroveho podprostoru presne zavedeme:

Definice 6.1. Podmnozina W ⊂ V se nazyva podprostor vektoroveho prostoru V , jestlize jesama vektorovym prostorem vzhledem ke scıtanı vektoru a nasobenı vektoru cısly z pole P,definovanym ve V .

Neprehlednete, ze tato definice predevsım pozaduje, aby zuzenı operace scıtanı vektoru napodmnozinu W bylo operacı na W , a aby zuzenı zobrazenı P × V → V bylo zobrazenımP×W →W .12 Je snadne ukazat, ze tyto podmınky jsou i postacujıcı:

Veta 6.2. Neprazdna podmnozina W ⊂ V je podprostor vektoroveho prostoru V prave tehdy,kdyz splnuje tyto dve podmınky:

• pro libovolne vektory u, v ∈W platı u+ v ∈W ,12obecne jsou to pouze zobrazenı W ×W → V a P×W → V

• pro libovolny vektor u ∈W a libovolne cıslo c ∈ P platı cu ∈W .

Dukaz. Nutnost uvedenych podmınek je zrejma. Ukazeme, ze jejich splnenı stacı k tomu,aby W byl vektorovy prostor nad P. Prvnı podmınka rıka, ze scıtanı ve V indukuje operaciscıtanı v podmnozine W . Tato operace je komutativnı a asociativnı, nebot’vznika jako zuzenıkomutativnı a asociativnı operace na V . Dale dıky druhe podmınce nulovy vektor o ∈ Vlezı v podmnozine W : pro libovolny vektor u ∈ W totiz take 0u = o ∈ W . Ze stejnehoduvodu mnozina W obsahuje take opacne vektory ke vsem svym prvkum (pro u ∈ W je take−1u = −u ∈W ). Tım je ukazano, ze W s indukovanou operacı scıtanı je komutativnı grupa.Podle druhe podmınky se take nasobenı vektoru skalarem ve V indukuje na podmnozinu W .Zbyvajıcı podmınky z definice vektoroveho prostoru jsou jiz splneny automaticky.

Vsimnete si, ze k tomu, aby W ⊂ V byl vektorovy podprostor ve V je nutne, aby mnozina Wobsahovala nulovy vektor a opacne vektory ke vsem svym prvkum. (Tyto podmınky ale nestacı,jak ukazuje prıklad podmnoziny v R2 tvaru S1 ∪ (0, 0) (sjednocenı jednotkove kruznice sestredem v pocatku a pocatku)).

Dale si vsimnete, ze kazdy vektorovy prostor V dimenze n ma tyto podprostory:

• jediny podprostor dimenze nula: je jım trivialnı podprostor W = {o};

• podprostory dimenze 1: kazdy z nich je generovany jedinym nenulovym vektorem, tj.jsou to podmnoziny ve V tvaruW = {cu | c ∈ P}, kde u ∈ V je libovolny pevne zvolenyvektor;

• podprostory dimenze 2: jsou generovany (libovolnou pevne zvolenou) dvojicı linearnenezavislych vektoru z V ;

. . .

• podprostory dimenze n − 1: jsou generovany systemem n − 1 linearne nezavislychvektoru z V ;

• jediny podprostor dimenze n: W = V (tj. je to cely vektorovy prostor V ).

Prıklad 6.3. Mnozina resenı systemu homogennıch linearnıch rovnic je vektorovy podprostor.Presneji, system k linearne nezavislych homogennıch rovnic o n neznamych definuje (n− k)-rozmerny vektorovy podprostor W v n-rozmernem vektorovem prostoru - tımto podprostoremje mnozina resenı tohoto systemu rovnic. Vıme totiz, ze soucet libovolnych dvou resenı a kazdynasobek libovolneho resenı je opet resenım takoveho systemu rovnic. Fundamentalnı systemresenı je evidentne baze prodprostoru W .

Nakonec uvedeme dulezitou praktickou vetu:

Veta 6.4 (Steinitzova veta o vymene). Necht’W je vektorovy podprostor n-rozmerneho vek-toroveho prostoru V . Pak libovolnou bazi podprostoru W lze doplnit na bazi vektorovehoprostoru V .

Dukaz. Oznacme k = dimW a zvolme bazi {f1, . . . fk} podprostoru W . Bud’{e1, . . . , en}nejaka baze vektoroveho prostoru V . Ukazeme, ze vektory f1, . . . fk lze doplnit na bazi Vvhodnymi vektory z mnoziny {e1, . . . , en} (tedy, ze nektere z vektoru baze {e1, . . . , en} lze„vymenit“ za vektory f1, . . . fk). Zrejme system vektoru f1, e1, . . . , en je linearne zavisly aplatı f1 =

∑aiei, kde alespon jedno z cısel a1, . . . , an je ruzne od nuly; necht’ je to cıslo

ai1 . Pak ale vektor ei1 je linearnı kombinacı vektoru f1, e1, . . . ei1−1, ei1+1, . . . en, a ty jsoulinearne nezavisle, tvorı tedy bazi V . Uvazujme dale system f1, f2, e1, . . . ei1−1, ei1+1, . . . en.Jelikoz f1, f2 jsou nezavisle, platı f2 = β1f1 +

∑j 6=i1

bjej , kde alespon jedno z cısel bj jeruzne od nuly. Necht’bi2 6= 0. Pak ovsem ei2 je linearnı kombinacı vektoru f1, f2 a vsech ej ,kde j 6= i1, i2; tyto vektory jsou linearne nezavisle a tvorı tedy bazi V .Takto pokracujeme dale,az dostaneme bazi V tvorenou vektory f1, . . . , fk a n− k z vektoru e1, . . . , en.

6.2 Linearnı obal

Definice 6.5. Necht’M ⊂ V je podmnozina ve vektorovem prostoru V nad polem P. Linearnımobalem mnoziny M rozumıme mnozinu vsech linearnıch kombinacı prvku mnoziny M .

Linearnı obal mnoziny M oznacujeme [[M ]].

Veta 6.6. Linearnı obal mnoziny M ⊂ V je vektorovy podprostor ve V .

Dukaz. Stacı ukazat, ze soucet libovolnych dvou vektoru z [[M ]] a nasobek libovolneho vektoruz [[M ]] libovolnym cıslem z P lezı v [[M ]].

Pro libovolne dva vektory u, v ∈ [[M ]] mame podle definice linearnıho obalu u = a1x1 +· · ·+ akxk a v = b1y1 + · · ·+ blyl, kde x1, . . . , xk, y1, . . . yl jsou nejake prvky mnoziny M aa1, . . . ak, b1, . . . , bl jsou nejaka cısla z pole P. Vektoru+v je tedy take linearnı kombinacı prvkumnozinyM , coz znamena, ze lezı v [[M ]]. Podobne, je-li u ∈ [[M ]], pak u = a1x1+· · ·+akxk,kde x1, . . . , xk ∈M a a1, . . . ak ∈ P, takze cu = (ca1)x1 + · · ·+ (cak)xk ∈ [[M ]].

Vsimnete si, ze

• Konecnerozmerny vektorovy prostor je linearnım obalem sve (libovolne) baze.

• [[M ]] = V prave kdyz M je mnozina generatoru vektoroveho prostoru V .

6.3 Parametricke a obecne rovnice podprostoru

Shrneme-li sve dosavadnı poznatky o vektorovych podprostorech, muzeme zodpovedet dule-zitou praktickou otazku - jak zadat podprostor ve vektorovem prostoru:

• Podprostor jako linearnı obal mnoziny:

Prımocary zpusob jak zadat vektorovy podprostor plyne z definice linearnıho obalu:stacı zvolit ve vektorovem prostoru V nejakou podmnozinu M a vzıt jejı linearnı obal(vytvorıme tak vektorovy podprostorW „natazeny na mnozinuM“);M je tedy generujıcımnozina vektoroveho prostoru W . Ke zjistenı dimenze podprostoru W je ovsem trebanajıt nejakou jeho bazi (zrejme ji stacı vybrat z generujıcı mnoziny M ).

• Zadanı podprostoru pomocı baze, parametricke rovnice podprostoru:

k-rozmerny podporostor W ve vektorovem prostoru V je urcen zadanım k-tice linearnenezavislych vektoru u1, . . . , uk ve V . Pak W = [[u1, . . . , uk]] a {u1, . . . , uk} je jehobaze, tedy W je mnozina vektoru tvaru

x = t1u1 + · · ·+ tkuk, t1, . . . , tk ∈ P. (6.1)

Vztah (6.1) se casto nazyva parameticka rovice podprostoru W . Koeficienty t1, . . . tk(slozky vektoru x vzhledem k bazi {u1 . . . uk}) pak hrajı roli parametru, ktere probıhajımnozinu P.

Je-li prostor V konecnerozmerny (dimV = n) a {e1, . . . en} je jeho baze, pak vektoryx, u1, . . . , uk lze vyjadrit pomocı jejich slozek vzhledem k teto bazi; rovnice (6.1) pakma tvar

n∑i=1

xiei = t1(n∑

i=1

ui1ei) + · · ·+ tk(n∑

i=1

uikei), (6.2)

odkud vyplyva, ze pro koeficienty linearnı kombinace vektoru e1, . . . en platı

x1 = u11t1 + · · ·+ u1ktkx2 = u21t1 + · · ·+ u2ktk

...xn = un1t1 + · · ·+ unktk

(6.3)

tedy pro i = 1, 2, . . . , n je i-ta slozka vektoru x vzhledem k bazi {e1, . . . en} line-arnı kombinacı (s koeficienty t1, . . . , tn) i-tych slozek vektoru u1, . . . , uk. Tyto vztahy(ktere predstavujı reprezentaci parametricke rovnice (6.1) vzhledem k bazi vektorovehoprostoru V ) rovnez nazyvame parametricke rovnice podprostoru W .

Neprehlednete, ze (je-li dimV = n), vektorx ∈W se vyjadruje vzhledem k bazi prostoruV jako usporadana n-tice, zatımco vzhledem k bazi W se tentyz vektor vyjadruje jakousporadana k-tice (t1, . . . , tk).

• Zadanı podprostoru pomocı systemu linearnıch rovnic, obecne rovnice podprostoru:

Vıme jiz, ze mnozina resenı systemu homogennıch linearnıch rovnic ma strukturu vekto-roveho prostoru. Tato vlastnost nam umoznuje zadavat podprostory vektorovych prostorujako resenı vhodnych systemu homogennıch linearnıch rovnic.

Uvazujme n-rozmerny vektorovy prostor V , necht’{e1, . . . , en} je jeho baze; oznacmex1, . . . , xn slozky vektoru u ∈ V v teto bazi a pripomenme si, ze je budeme zapisovatjako sloupcovou matici.

Uvazujme system (n− k)-linearne nezavislych homogennıch linearnıch rovnic tvaru

A ·

x1x2...xn

= 0,

kde A je matice typu (n − k) × n o hodnosti n − k. Mnozina W vsech vektoru z V ,jejichz slozky x1, . . . , xn splnujı tento system rovnic, je k-rozmerny vektorovy podprostorve V . Skutecne, mnozina resenı daneho systemu rovnic je tvorena vsemi linearnımikombinacemi fundamentalnıho systemu resenı, ktery ma k prvku. Z konstrukce je zrejme,ze vektory f1, . . . fk ∈ V , jejichz slozky vzhledem k bazi {e1, . . . , en} jsou sloupcovematice tvorıcı fundamentalnı sytem resenı, lezı v podprostoru W a jsou jeho bazovymivektory.

Obracene, je-li W k-rozmerny vektorovy podprostor ve V , lze snadno najıt systemhomogennıch linearnıch rovnic, jejichz resenım je podprostor W , presneji, resenımijsou prave slozky vektoru zW vzhledem k bazi {e1, . . . , en}. Hledany system rovnic mafundamentalnı system resenı o k prvcıch, musı byt tedy tvoren n−k linearne nezavislymirovnicemi pro n neznamych. Hledame tedy rovnice tvaru Ax = 0, kde A je matice typu(n − k) × n o hodnosti n − k a x je sloupcova matice o n radcıch. Matici A urcıme zpodmınky, ze tomuto systemu rovnic vyhovujı slozky vsech vektoru baze vektorovehoprostoru W . Nalezene rovnice se nazyvajı obecne rovnice podprostoru W .

Vsimnete si, ze obecne rovnice podprostoru nejsou urceny jednoznacne: skutecne, jsou-liAx = 0 rovnice W , pak take libovolne rovnice s nimi ekvivalentnı (tj. A′x = 0, kde A′

je matice radkove ekvivalentnı s A) jsou obecne rovnice podprostoru W (vzpomente si,ze ekvivalentnı systemy rovnic majı stejnou mnozinu resenı).

Prıklad 6.7. (Specialnı prıpady podprostoru.)

Necht’V je n-rozmerny vektorovy prostor nad polem R.

• Podprostor, ktery ma parametrickou rovnici

x = tu, t ∈ R,

je jednorozmerny; je to prımka, generovana vektoremu. Obecne rovnice teto prımky predstavujısystem n− 1 homogennıch linearnıch rovnic, jejichz obecne resenı je x(t) = tu.

• Podprostor, ktery ma parametrickou rovnici

x = su+ tv, s, t ∈ R,

kde u, v jsou linearne nezavisle vektory z V , je dvourozmerny; je to rovina, generovana vektoryu, v. Obecne rovnice teto roviny predstavujı systemn−2 homogennıch linearnıch rovnic, jejichzobecne resenı je x(s, t) = su+ tv, vektory u, v tvorı fundamentalnı system resenı.

• (n− 1)-rozmerny vektorovy podprostor, ma parametrickou rovnici

x = t1u1 + t2u2 + · · ·+ tn−1un−1, t1, . . . , tn−1 ∈ R,

kde u1, . . . , un−1 jsou linearne nezavisle vektory. Nazyva se nadrovina generovana vektoryu1, . . . , un−1. Obecne rovnice nadroviny jsou tvoreny jedinou homogennı linearnı rovnicı tvaru

a1x1 + a2x2 + . . . anxn = 0,

kde koeficienty a1, . . . , an se urcı z podmınky, ze u1, . . . , un−1 je fundamentalnı system resenı.

6.4 Prunik a soucet vektorovych podprostoru

Uvazujme dva vektorove podprostory W1, W2 ve vektorovem prostoru V . Mnoziny W1,W2jsou podmnoziny mnoziny V , lze tedy uvazovat jejich prunik a sjednocenı. Vznika otazka, zdapodmnoziny W1 ∩W2 a W1 ∪W2 jsou vektorove podprostory ve V .

Uvazujme nejprve mnozinu W1 ∩W2 ⊂ V . Vsimnete si, ze tato mnozina je vzdy neprazdna- jiste obsahuje vzdy alespon nulovy vektor. Snadno take ukazeme, ze tato mnozina „dedı“vektorovou strukturu z V :

Veta 6.8. Prunik vektorovych podprostoru W1,W2 ⊂ V je vektorovy podprostor ve V .

Dukaz. Stacı dokazat uzavrenost mnoziny W1 ∩W2 vzhledem ke scıtanı vektoru a nasobenıvektoru skalarem. Uvazujme dva libovolne vektory u, v ∈ W1 ∩W2. Platı u, v ∈ W1 a W1je vektorovy podprostor ve V , proto take u + v ∈ W1. Jelikoz ovsem tez u, v ∈ W2 a W2 jevektorovy podprostor ve V , platı zaroven u + v ∈ W2. Odtud u + v ∈ W1 ∩W2. Podobne,je-li u ∈W1 ∩W2, pak pro kazde c ∈ P je cu ∈W1 ∧ cu ∈W2, tj, cu ∈W1 ∩W2.

Naproti tomu, nenı tezke na prıkladech ukazat, ze sjednocenı vektorovych podprostoru nemusıbyt vektorovy podprostor. Jeden takovy prıklad uvedeme: Uvazujme v R2 dva jednorozmernepodprostory,W1 generovany vektorem (1, 0) („osa x“) aW2 generovany vektorem (0, 1) („osay“). Pak mnozina W1 ∪W2 je mnozina vsech vektoru (x, 0), x ∈ R a (0, y), y ∈ R. Tatomnozina evidentne nenı uzavrena vzhledem ke scıtanı vektoru, nebot’napr. (1, 0) + (0, 1) =(1, 1) /∈W1 ∪W2.

Sjednocenı vektorovych prostoru tedy z hlediska teorie vektorovych prostoru nenı zajımave.Na druhe strane ale vıme, ze pomocı mnoziny lze vektorovy podprostor snadno generovat: stacıvzıt jejı linearnı obal. Jinak receno vıme, ze, jsou-li W1,W2 vektorove podprostory ve V , pak[[W1 ∪W2]] je vektorovy pdprostor ve V . Muzeme tedy zavest nasledujıcı pojem:

Definice 6.9. Klademe

W1 +W2 = [[W1 ∪W2]]

a tento vektorovy podprostor nazyvame soucet vektorovych podprostoru W1,W2.

Jinak lze rıci, ze soucet vektorovych podprostoru je nejmensı vektorovy prostor obsahujıcımnozinu W2 ∪W2.

Nynı prostudujeme strukturu vektoroveho prostoru W1 +W2 podrobneji.

Veta 6.10. Platı

W1 +W2 = {u ∈ V |u = w1 + w2, w1 ∈W1, w2 ∈W2}.

Dukaz. Je zrejme, ze vektory, ktere majı tvarw1+w2, kdew1 ∈W1 aw2 ∈W2 lezı v linearnımobalu mnoziny W1 ∪ W2, tedy ve W1 + W2. Obracene, necht’ u ∈ W1 + W2 je libovolnyvektor. Pak existujı vektory x1, . . . , xp ∈ W1 a y1, . . . , yq ∈ W2 a cısla a1, . . . , ap, b1, . . . , bqtak, ze u = a1x1 + · · · + apxp + b1y1 + · · · + bqyq. Polozme w1 = a1x1 + · · · + apxp,w2 = b1y1 + · · ·+ bqyq. Zrejme w1 ∈W1 a w2 ∈W2 a platı u = w1 + w2.

Nynı blıze vysetrıme dimenze pruniku a souctu vektorovych prostoru.

Z definice souctu vektorovych prostoru okamzite vyplyva, ze je-li {e1, . . . ek} baze vektorovehoprostoruW1 a {f1, . . . , fl} je bazeW2, pak sjednocenı techto mnozin, tj. {e1, . . . ek, f1, . . . , fl}je mnozina generatoru vektoroveho prostoru W1 + W2. Tyto generatory mohou, ale nemusıbyt linearne nezavisle, je tedy jiste dim(W1 + W2) ≤ dimW1 + dimW2. Presny vztah mezidimenzemi uvadı nasledujıcı veta:

Veta 6.11 (Veta o dimenzıch). Necht’W1,W2 jsou vektorove podprostory n-rozmerneho vek-toroveho prostoru V . Platı

dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2).

Dukaz. Oznacme dimW1 = k, dimW2 = l, dim(W1 ∩ W2) = r. Necht’ {e1, . . . , er} jebaze W1 ∩W2. Jelikoz W1 ∩W2 ⊂ W1, lze ji podle Steinitzovy vety doplnit na bazi vekto-roveho prostoru W1, oznacme ji {e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r}. Ze stejnych duvodu lze mnozinu{e1, . . . , er} doplnit na bazi {e1, . . . , er, g1, . . . , gl−r} vektoroveho prostoru W2. Pak ovsem{e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r, g1, . . . , gl−r} je mnozina generatoru souctu W1 +W2. Ukazeme, zevektory e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r, g1, . . . , gl−r jsou linearne nezavisle.

Predpokladejme tedy, ze

a1e1 + · · ·+ arer + b1f1 + · · ·+ bk−rfk−r + c1g1 + · · ·+ cl−rgl−r = o,

a napisme si tento vztah ve tvaru

a1e1 + · · ·+ arer = −(b1f1 + · · ·+ bk−rfk−r + c1g1 + · · ·+ cl−rgl−r).

Podle konstrukce baze {e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r} prostoru W1 zadny z vektoru f1, . . . , fk−r

nelezı v pruniku W1 ∩W2 (jinak by totiz tento vektor musel byt linearnı kombinacı vektorue1, . . . , er v rozporu se skutecnostı, ze e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r jsou linearne nezavisle). Po-dobne ani zadny z vektoru g1, . . . , gl−r nelezı ve W1 ∩W2. To ovsem znamena, ze vektor naprave strane muze byt linearnı kombinacı vektoru e1, . . . , er jedine tehdy, je-li nulovy. Mametak

a1e1 + · · ·+ arer = o

b1f1 + · · ·+ bk−rfk−r + c1g1 + · · ·+ cl−rgl−r = o .

Z prvnı rovnosti okamzite plyne a1 = a2 = · · · = ar = 0. Kdyby vektory ve druhe rovnostibyly linearne zavisle, musel by nektery z nich byt linearnı kombinacı ostatnıch. Pak by ovsempro nejaky index i byl vektor fi (ktery lezı ve W1) linearnı kombinacı vektoru g1, . . . gl−r

(ktere lezı ve W2), coz by znamenalo, ze fi ∈ W1 ∩ W2. To je ale spor s predpokladem,ze zadny z vektoru f1, . . . , fk−r v pruniku nelezı. Vektory f1, . . . , fk−r, g1, . . . , gl−r jsoutedy linearne nezavisle, tj. b1 = · · · = bk−r = c1 = . . . cl−r = 0. Shrneme-li vysledek,vidıme, ze {e1, . . . , er, f1, . . . , fk−r, g1, . . . , gl−r} je baze souctu W1 + W2. Pak ovsem platıdim(W1+W2) = r+ k− r+ l− r = k+ l− r = dimW1+ dimW2− dim(W1 ∩W2), cozjsme chteli dokazat.

Zajımava situace nastava, kdyz W1,W2 jsou vektorove podprostory V , pro ktere platı

W1 +W2 = V.

Pak podle Vety o dimenzıch mame

dimV = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2).

Ihned vidıme, ze vyznamny bude specialnı prıpad, kdy prunikem danych podprostoru je trivialnıpodprostor. Podıvejme se na tento prıpad podrobneji:

Definice 6.12. Rekneme, ze vektorovy prostor V je prımym souctem svych podprostoruW1,W2, jestlize

• je jejich souctem (tj. platı W1 +W2 = V ) a

• W1 ∩W2 = {o}.

Prımy soucet podprostoru W1,W2 oznacujeme W1 ⊕W2.

Je zrejme, ze v prıpade prımeho souctu je dimV = dimW1 + dimW2. Prımy soucet ma alejeste dalsı fundamentalnı vlastnost:

Veta 6.13 (Veta o rozkladu vektoru). Necht’V = W1 ⊕ W2. Pak kazdy vektor u ∈ V sejednoznacne vyjadruje ve tvaru u = v1 + v2, kde v1 ∈W1 a v2 ∈W2.

Vıme, ze vzdy, kdyz V = W1 + W2, pak kazdy vektor z V lze rozlozit na soucet dvouvektoru, z nichz jeden lezı ve W1 a druhy ve W2. V teto vete je ovsem dulezita jednoznacnosttohoto rozkladu. Jinak receno, je-li V prımym souctem svych podprostoru W1,W2 pak kekazdemu vektoru u ∈ V existuje jediny vektor v1 ∈ W1 a jediny vektor v2 ∈ W2 takovy, zeu = v1 + v2. Vektor v1 se nazyva projekce vektoru u na podprostor W1 a podobne vektor v2se nazyva projekce vektoru u na podprostor W2. Vsimnete si, ze tuto situaci lze interpretovattake tak, ze mame zobrazenı PW1 : V → W1, prirazujıcı kazdemu vektoru z V jeho projekcina podprostor W1; toto zobrazenı se nazyva projektor na podprostor W1. Zaroven vznikazobrazenı PW2 : V → W2, prirazujıcı kazdemu vektoru z V jeho projekci na podprostor W2;nazyvame je projektor na podprostor W2.

Dukaz. Zrejme stacı dokazat jednoznacnost rozkladu. Necht’tedy v1, v1 ∈ W1 a v2, v2 ∈ W2jsou vektory takove, ze u = v1 + v2 = v1 + v2. Pak ovsem v1 − v1 = v2 − v2, kde na levestrane je vektor z W1 a na prave strane stojı vektor z W2. To znamena, ze oba vektory v1− v1 iv2 − v2 lezı v pruniku W1 ∩W2. Jelikoz ale prunik obsahuje jediny, a to nulovy vektor, mamev1 − v1 = v2 − v2 = o, tj. v1 = v1, v2 = v2.

Prıklad 6.14. Z definice pruniku vektorovych prostoru ihned vidıme, ze je-li W1 resenımsystemun−l nezavislych linearnıch rovnicA1x = 0 aW2 je resenım systemun−p nezavislychlinearnıch rovnic A2x = 0, pak W1 ∩W2 je resenım obou techto systemu rovnic soucasne,tj. je urcen systemem (ne nutne linearne nezavislych) homogennıch linearnıch rovnic s maticıA typu (n − l + n − p) × n, ktera je tvorena submaticemi A1 a A2. Tato matice ma hodnost≤ 2n− l − p, coz znamena, ze dim(W1 ∩W2) ≥ l + p− n = dimW1 + dimW2 − dimV .

Cvicenı1. Opakovanı: Definujte pojmy uvedene v Klıcovych slovech. Vyslovte Steinitzovu vetu a

Vetu o dimenzıch.2. Urcete dimenzi a bazi vektorovych podprostoru

W1 = [[(1, 2, 1), (1, 1,−1), (1, 3, 3)]], W2 = [[(2, 3,−1), (1, 2, 2, ), (1, 1,−3)]],

napiste jejich parameticke a obecne rovnice.

3. Najdete parameticke a obecne rovnice vektoroveho podprostoru

L = [[(1, 1,−1,−2), (5, 8,−2,−3), (3, 9, 3, 8)]].

4. Urcete parametricke rovnice vektoroveho podprostoru, ktery ma obecne rovnice

x1 + x2 − x3 − 2x4 = 0

5x1 + 8x2 − 2x3 − 3x4 = 0

3x1 + 9x2 + 3x3 + 8x4 = 0.

5. Urcete dimenzi a bazi vektoroveho podprostoru, ktery je dan systemem linearnıch rovnic

5x1 + 6x2 − 2x3 + 7x4 + 4x5 = 0

2x1 + 3x2 − x3 + 4x4 + 2x5 = 0

7x1 + 9x2 − 3x3 + 5x4 + 6x5 = 0

5x1 + 9x2 − 3x3 + x4 + 6x5 = 0.

6. Ve vektorovem prostoru R4 uvazujte vektory

v1 = (2, 0,−1, 1), v2 = (1, 1, 1,−1), v3 = (−1, 0, 2, 1)

a vektorovy podprostor W = [[v1, v2, v3]].• Urcete dimenzi podprostoru W .• Napiste parametricke rovnice podprostoru W .• Napiste obecne rovnice podprostoru W .• Zjistete, zda vektor u = (1,−1,−2, 1) lezı ve W a v kladnem prıpade urcete jehoslozky vzhledem k bazi {v1, v2, v3}.

7. Najdete bazi souctu a pruniku vektorovych podprostoru

W1 = [[(1, 2, 1), (1, 1,−1), (1, 3, 3)]], W2 = [[(2, 3,−1), (1, 2, 2, ), (1, 1,−3)]].

8. Ve vektorovem prostoru polynomu s realnymi koeficienty stupne ≤ 3 uvazujme podpro-story

L1 = [[f1, f2, f3]], L2 = [[g1, g2, g3]],

kde

f1 = x3 + 2x2 + x+ 1, f2 = x3 + x2 − x− 1, f3 = x3 + 3x2 + 3x,

g1 = 2x3 + 3x2 − x− 2, g2 = x3 + 2x2 + 2x+ 1, g3 = x3 + x2 − 3x+ 1.

• Najdete bazi podprostoru L1 + L2 a urcete jeho parametricke rovnice.• Urcete obecne rovnice podprostoru L1 i L2.• Urcete dim(L1 ∩ L2).• Napiste obecne rovnice podprostoru L1 ∩ L2 a najdete nejakou jeho bazi.

9. Ve vektorovem prostoru realnych matic radu 2 uvazujte podprostor W generovany ma-ticemi

A1 =

(2 0−1 1

), A2 =

(1 11 −1

).

Zjistete, zda vektor

B =

(1 −1−2 2

)lezı ve W a v kladnem prıpade urcete jeho slozky vzhledem k bazi {A1, A2}.

10. V nekonecnerozmernem vektorovem prostoruF(R) vsech funkcı R→ R uved’te prıkladvektoroveho podprostoru dimenze n. 13

Dale ve vektorovem prostoru F(R) uvazujte podprostor L = [[sin2 x, cos2 x]]. Urcetedimenzi a napiste parametricke rovnice podprostoru L. Zjistete, zda konstantnı funkcef(x) = 1 lezı v podprostoru L; pokud ano, najdete jejı slozky vzhledem k zadane bazi.

13[Navod: Vzpomente na vektorovy prostor polynomu.]

Reference

[1] Bican, L., Linearnı algebra. SNTL, Praha, 1979.

[2] Bican, L., Linearnı algebra a geometrie. Academia, Praha, 2004.

[3] Halmos, P.R., Linear Algebra Problem Book. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

[4] Hort, D., Rachunek, J., Algebra 1. VUP, Olomouc, 2003.

[5] Jukl, M., Linearnı algebra. Univerzita Palackeho, Olomouc, 2006.

[6] Krupka, D., Musilova, J., Linearnı a multilinearnı algebra. SPN, Praha, 1989.

[7] Kuros, A.G., Kurz vyssı algebry. Nauka, Moskva, 1968 (Rusky).

[8] Proskurjakov, I.V., Sbırka uloh z linearnı algebry. Nauka, Moskva, 1978 (Rusky).