רשימתית צביעה

גרצמן דליה

3.4.2012

תקציר

קדקוד לכל בהם בגרפים עסקנו עתה עד אם בגרפים. הצביעה מושג את ונרחיב נפתח זו בהרצאה

של שונה גודל ואף צבעים, של שונה רשימה קדקוד לכל נאפשר כעת אפשריים, צבעים של זהה רשימה יש

להיות בגרף סמוכים אובייקטים לשני מאפשרת שלא כזו היא חוקית צביעה כאן גם תמיד, כמו רשימה.

הצבע. באותו צבועים

הקדמה

בגרפים צביעה

כפולות). קשתות וללא לולאות (ללא פשוט גרף G = (V,E) יהי

בצבעים צבועים סמוכים קדקודים שני שכל כך f : V → [k] פונקציה היא צבעים, kב G של חוקית צביעה

.f(u) 6= f(v) אז (u, v) ∈ E אם ־ u, v ∈ V עבור במפורש: שונים.

חוקית צביעה קיימת עבורו המינימלי המספר הוא k אם ,χ(G) = k ונסמן צביע, k הוא Gש נאמר

.f : V → [k]

(ובפרט כלשהו צדדי דו וגרף צביע, n הוא קדקודים n על השלם הגרף צביע, 1 הוא הריק הגרף לדוגמא

צביע. 2 הוא השלם) הדו"צ הגרף

מושגים הגדרת

ופשוט. קשיר גרף G = (V,E) יהי

.v של האפשריים הצבעים רשימת להיות L(v) את נגדיר v ∈ V לכל

.∀v ∈ V : f(v) ∈ L(v) אם בחירה פונקציית תקרא f : V → L(V )

חוקית. צביעה קיימת ־ קדקוד לכל צבעים k של השמה לכל אם רשימתית צביע k או בחיר k Gש נאמר

בחיר. k הוא G עבורו המינימלי kה והוא χl(G)ב מסומן G של הבחירה מספר

1

בסיסיות טענות

החמדן באלגוריתם שימוש ע"י χl(G) ≤ 1 +4(G) ש ונקבל ,Gב המרבית הדרגה את 4(G)ב נסמן •הבית). בתרגיל (מופיע

.χ(G) ≤ χl(G) בוודאי זהות, להיות יכולות הקדקודים של הצבעים שרשימות מכיוון •

חזק: שוויון אי יש מתי דוגמא נראה •

אבל .χ(G) = 2 מתקיים G דו"צ גרף לכל ו4). 2 בגודל צדדים עם שלם דו־צדדי (גרף K2,4 ב נתבונן

הבא: הצביעה באופן נתבונן ! 2 < χl(K2,4)

a,b A,B

a,A a,B b,A b,B

חוקי. באופן להיצבע ניתן לא uj עבורו 1 ≤ j ≤ 4 קיים , v1, v2 עבור נבחר צבעים אילו משנה לא

שאינם גרפים על מדברות בנושא רבות תוצאות ולמעשה צביעה, ממספר לחישוב יותר קשה בחירה מספר •כלשהו. k עבור בחירים k

בחיר. k אינו Km,m אז m =(2k−1k

)אם (1979 טיילור רובין־ (ארדוש־ 0.1 למה

צבעים. 2k − 1 של רשימה L ותהא G := Km,m של החלוקה צדדי X, Y יהיו הוכחה:

שונים. קדקודים mל שונות k־יות m =(2k−1k

)סה"כ ־ L מתוך צבעים של אחרת k־יה נבחר v ∈ X לכל

.Y קדקודי כל עבור אופן באותו נפעל

.P([2k − 1]) ־ ל X ∪ Y מ בחירה פונקציית f נניח

שאינם צבעים של L ⊃ S k־יה קיימת אזי ,X קדקודי בצביעת שונים צבעים kמ בפחות משתמשת f אם

יתכן. לא וזה צבע, באף נצבע לא S היא שרשימתו Xב הקדקוד לכן .Xב מופיעים

משומשים צבעים של L ⊃ S k־יה קיימת אזי ,X קדקודי בצביעת יותר או שונים צבעים kב משתמשת f אם

צבע. באף להיצבע יוכל לא S היא שרשימתו Y ב הקדקוד לכן .Xב

בחיר. k לא G לכן

בחירה ומספרי מישוריים גרפיםלמספר צביעה מספר בין הפער עומד היכן ולהבין אינטואיציה לקבל בכדי גרפים של דוגמאות מספר עם נמשיך

בחירה.

שכל כך במישור לציירו שניתן כגרף מישורי גרף לתאר ניתן אינטואיטיבי באופן ־ מישורי גרף במושג ניזכר

חלות). הן עליהם המשותפים בקדקודים הם הקשתות בין היחידים (המפגשים חציה ללא מצוירות הקשתות

ניתן מישורי גרף שכל לנו מספר הגרפים, תורת בפיתוח המניעים מהכוחות אחד שהיה הצבעים, 4 משפט

גרף האם ־ השאלה נשאלת כאן צבעים... רשימת אותה קדקוד שלכל בהינתן זאת אך בלבד. צבעים ב4 לצבוע

לא. ובכן, בחיר? 4 גם הוא מישורי

2

כדוגמת: בנושא, פרטיות מסקנות מספר קיימות

הבחירה במושג נעמיק השיעור (בהמשך צלעית בחיר k גם הוא צלעית צביע k רגולרי, k מישורי גרף •בחירה). מספר של הצלעית במקבילה פשוט מדובר כללי באופן אך הצלעית,

בחיר. 5 הוא בגרף) מעגל של ביותר הקצר (האורך 5 מותן עם מישורי גרף •

בחירים. 4 שאינם 3 צביעה מספר עם מישוריים גרפים אפילו יש •

(1995 גוטנר (שי בחיר 4 שאינו קדקודים 75 על מישורי לגרף דוגמא

:W1 הגרף את נגדירu

v

y2

y1

y3

x1

x2

x3

wa 1 3 4

a b 3 4

b 1 3 4

a b 1 2 a b 5 6

a 2 5 6

b 2 5 6

W1

12 בין גם ונזהה v קדקודי 12 בין נזהה אך , < Gi : i = 1...12 > ונסמנם W1 של שונים עותקים 12 ניקח

בחיר. 4 אינו H כי ונראה Hב שקיבלנו הגרף את נסמן .vו u בין קשת נוסיף כן כמו .u קדקודי

G1 G2 G12

u

v

H

באותו vו u את לצבוע נוכל לא ,(u, v) ∈ E(H) ש מכיוון .L(u) = L(v) = {7, 8, 9, 10} נבחר ראשית

נסמן ולכן |A| = ש12 ברור .A := {(a, b) ∈ L(u)×L(v) : a 6= b} הן u, v של הצביעה אפשרויות לכן, צבע.

שמצוין כפי Gi של הפנימיים הקדקודים של הצבעים רשימת את נבחר i = 1...12 לכל .A = {pi : i = 1...12}אופן את שמתאר 1 ≤ i ≤ 12 קיים H של צביעה בכל כלשהו, באופן להיצבע חייבים vו uש מכיוון .W1 באיור

אך ,2 או 1 בצבע w קדקוד את לצבוע מוכרחים נהיה Gi שבגרף ונקבל pi = (a, b) נסמן .vו u של צביעתם

זהות רשימות עם K3 של עותק נקבל w מצדדי אחד שבכל מפני וזאת לסתירה, נגיע הנ"ל מהצביעות אחת בכל

בחיר. 4 אינו H ולכן .χ(K3) = 3 ־ ש יודעים ואנו ,2 באורך

4 אינו הוא שאף קדקודים, 75 על גרף Hמ לייצר ניתן כי נראה קדקודים. 86=7*12+2 יש Hשב לב נשים

בחיר:

:Gi+1 בגרף x2 קדקוד עם Gi בגרף y2 קדקוד בין נזהה ,1 ≤ i ≤ 11 לכל הזה, בשלה

3

G1 G2 G3 G12

u

v

H’

בחיר. 4 אינו שהוא ונראה H ב′ שקיבלנו הגרף את נסמן

נסמן 1 ≤ i ≤ 11 לכל ־ הבא הסימון את Aל נוסיף אך ,L(u), L(v) עבור סימונים באותם נשתמש

לכל אבל קודם, כמו צבעים רשימת ניתן Gi של הפנימיים לקדקודים כעת .pi+1 = (c, d) ,pi = (a, b)

אם נוספים צבעים תכיל (שאולי (a, b, c, d) הרשימה את (Gi+1 של x2 גם (שהוא Gi של y2ל ניתן 1 ≤ i ≤ 11

החדשה). להשמה בהתאמה יוחלפו 1,2,5,6 (המספרים .(pi⋂pi+1 6= φ

.pi = (a, b) ב־ נצבעו u, v עבורו 1 ≤ i ≤ 12 ולקבל u, v את שוב לצבוע מוכנים אנו כעת

זהות רשימות עם K3 של עותקים w צידי משני נקבל עדיין כי ־ Gi את לצבוע נוכל לא עכשיו שגם רק

.2 באורך

קדקודים. 11־12+2*7=75 על בחיר, 4 שאינו H ′ מישורי גרף קיבלנו

מספר בעלי בחירים 4 שאינם מישוריים גרפים וקיימים בחיר, 4 שאינו מישורי לגרף פשוטה דוגמא הוא זה גרף

קדקודים. של יותר קטן

בחיר. 5 הוא מישורי גרף כל כי נראה בהמשך

(1979) Dinitz והשערת צלעית בחירהבחירה? מספר על להגיד אפשר כן מה זה, כל אחרי אז

גרף. G = (V,E) יהי צלעית: בחירה מלהגדיר נתחיל

.e של האפשרית הצבעים רשימת להיות L(e) את נגדיר e ∈ E לכל

.∀e ∈ E : f(e) ∈ L(E) אם צלעית בחירה פונקציית תקרא f : E → L(E)

חוקית. צביעה קיימת ־ קשת לכל צבעים k של השמה לכל אם צלעית בחיר k Gש נאמר

צלעית. בחיר k הוא G עבורו המינימלי kה והוא χ′l(G)ב מסומן G של הצלעית הבחירה מספר

.f : V → N תהא נוסף: מושג נגדיר ולכן הרשימות לכל אחיד גודל בבחירת מוגבלים אנו שאין כמובן

∀v ∈ V : המקיימת צבעים רשימת של השמה לכל חוקית צביעה הגרף את לצבוע ניתן אם בחיר f יקרא G

.|L(v)| = f(v)

G = (V,E) יהי הצלעות: לגרף המעבר ידי על רשימתית צלעית לצביעה רשימתית צביעה בין נקשר בהמשך

קבוצת היא L(G) של הקדקודים קבוצת הבא: באופן שמוגדר ,G של הצלעות גרף את L(G)ב נסמן גרף.

4

משותף. קדקוד יש Gב u, v לקשתות אם בקשת מחוברים L(G)ב קדקודים u, v בנוסף, ;G של הקשתות

.e1∩e2 6= φ מקיימות e1, e2 ∈ E(G) אם (e1, e2) ∈ E(L(G)) מתקיים: e1, e2 ∈ V (L(G)) עבור במפורש:

e2e1e3

e4

e5

G=

e1e2

e3

e4e5L(G)=

.χ′l(G) = χl(L(G)) הצעות: גרף הגדרת מאופן ישירה מסקנה

בחירה? מספר על להגיד אפשר כן מה שאלנו ובכן,

m = 3 אםם בחיר 3 הוא ,3 ≤ m ≤ n עבור ,Km,n שלם דו"צ שגרף ב1979 מצאו ארדוש־רובין־טיילור •נוספים. m־ים עבור דומות תוצאות הוכחו התשעים בשנות .n ≤ 26 וגם

וישנם נסתרה, לא גם אך הוכחה, לא עצמה ההשערה .χ′l(G) = χ′(G) הצלעית: הבחירה השערת •מתקיים פשוט גרף שבכל שמצא ־ (2000) Kahn של החסם כדוגמת בהשערה, המוצע לשוויון קירובים

.χ′l(G) ≤ (1 + o(1)) · χ′(G)

איבר לכל צבעים n של השמה ובכל ,n× n מסדר מטריצה בכל בהמשך): נוכיח (אותה Dinitz השערת •אחת ופעם שורה בכל אחת פעם היותר לכל יופיע צבע שכל כך המטריצה את לצבוע ניתן ־ במטריצה

קדקודים n2 מסמלת Kn ×Kn הקרטזית המכפלה (כאשר χl(Kn ×Kn) = n במפורש: עמודה. בכל

עמודה). אותה או שורה באותה הם אםם שכנים מהם שניים שכל כך בריבוע, מסודרים

Dinitz השערת על הקדמה

כמו הצבעים, סדר על תמורות ע"י המטריצה את לצבוע בקלות נוכל ־ זהות הרשימות כל בו ־ הקל במקרה

בדוגמא:1 2 3

3 1 2

2 3 1

בהמשך. בו ונשתמש לטיני מרובע נקרא כזה מרובע{1,2} {2,3}{1,3} {2,3}

הרשימות: בין שוני יש כאשר בעייתיות נזהה 2× 2 במקרה כבר זאת, לעומת

Dinitz שהשערת נקבל מכך וכמסקנה Kn ×Kn הקרטזית המכפלה הוא L(Kn,n) כי נוכיח הבית בשיעורי

.χl(L(Kn,n)) = n ־ ל שקולה

Galvin) χ′l(Kn,n) = n ־ ל שקולה Dinitz שהשערת ונקבל χ′l(G) = χl(L(G)) ש העובדה את לכך נוסיף

.(1995

5

להוכחה בדרך

למעשה, לכן. טרם רב זמן ידועות היו שכבר טענות שתי להכיר עלינו ,Galvin של ההוכחה את להבין בכדי

בספר כבוד של מקום לו שהקנתה זו והיא אלו, טענות שתי בשילוב היא Galvin של בהוכחה האלגנטיות

ושמו במתמטיקה, שונים מתחומים במיוחד אלגנטיות הוכחות אוגד זה ספר .Proofs From THE BOOK

במתמטיקה. משפט לכל ביותר היפה ההוכחה את שומר אלוהים בו נשגב ספר שישנו שטען ,Erdösל מתייחס

בספר". רק אלא באלוהים להאמין צריכים לא "אתם לתלמידיו פעם אמר Erdösש מספרת האגדה

:(Stable Matching Problem) היציב הזיווג בעיית

(תמורה השני המין בני עבור העדפות סולם יש מהם/ן אחד/אחת ולכל רווקות, nו רווקים n ישנם כי נניח

שלא כך הרווקות, לקבוצת הרווקים קבוצת בין ועל חח"ע התאמה הוא יציב זיווג .(1...n המספרים על כלשהי

להם. שנבחרו הזוג בני מאשר יותר השני, עם אחד להיות מעדיף שהיה זוג קיים

.(Gale-Shapley 1962) יציב זיווג יש תמיד ־ כנ"ל במקרה 0.2 למה

,(|X| = |Y | = n מתקיים עוסקים אנו בו (במקרה הגברים קבוצת את Y וב הנשים קבוצת את Xב נסמן הוכחה:

הבא: באלגוריתם ונתבונן

קיבלה רווקה אם שלו. העדיפויות בסדר הראשונה לרווקה נישואין מציע Y 3 u רווק כל הראשון, בשלב

מאורסת ונשארת שלה, העדיפויות בסדר ביותר הגבוה במיקום שנמצא הרווק את בוחרת היא אחת, מהצעה יותר

.R המאגר את ויוצרים נדחים הרווקים שאר לו.

משוות הרווקות כעת שלהם. העדיפויות בסדר השנייה לרווקה נישואין מציעים Rב הרווקים כל השני, בשלב

להיות רוצה היא אליו הרווק את מחדש ובוחרת לה) יש שכבר קודמת הצעה עם אולי (יחד החדשות ההצעות את

העדיפויות בסדר הבאות לרווקות נישואין מציעים ,R המאגר את שוב יוצרים שנדחו הרווקים שאר מאורסת.

חלילה. וחוזר שלהם,

ייעצר. האלגוריתם ואז ריק, נותר R המאגר איטרציות n היותר לכל אחרי

יציב: זיווג מקבלים אנו ־ נעצר האלגוריתם כאשר כי נראה

סדר (מבחינת עולה בסדר הוחלפו ,X 3 v מסוימת לרווקה מאורסים שהיו הרווקים כי נבחין ראשית

ואז יש) (אם הקיים הזיווג לבין החדשות ההצעות בין משווה הרווקה שלב שבכל מפני הרווקה), של העדיפויות

מעולם uש או אז ,v הרווקה של המיועד בעלה אינו הוא Y 3 u רווק אם לכן ביותר. עליה המועדף את בוחרת

(במצב נדחה אבל vל נישואין הציע uש או לעצמו), יותר טוב זיווג מצא הוא זה (במקרה vל נישואין הציע לא

יותר). טוב זיווג לעצמה שמצאה זו היא v זה

יציב. לזיווג התנאי בדיוק וזהMen

1: 3 2 1

2: 1 3 2

3: 3 1 2

Women

1: 3 2 1

2: 3 1 2

3: 1 3 2

1st round

1

2

3

1

2

3

2nd round

1

2

3

1

2

3 :n = 3 עבור דוגמא

6

מכוון: גרף של גרעין מהו ונגדיר מכוון גרף מהו ניזכר הבאה, לטענה שנמשיך לפני

המכפלה של קבוצה תת היא Eו קדקודים, של קבוצה היא V ש כך זוג, הוא D = (V,E) מכוון גרף •גרף ליצור G = (V,E) מכוון לא מגרף גם נוכל בגרף. המכוונת הקשתות את המייצגת V × V הקרטזית

בגרף. מהקשתות אחת כל של אוריינטציה קביעת ע"י D מכוון

.e של (עוקב) הראש להיות v ואת ,e של (קודם) הזנב להיות u את נגדיר ־ מכוון בגרף e = (−→u, v) לקשת •

.d+D(u)ב ומסומנת שלהן) הזנב (שהוא ממנו שיוצאות הקשתות מספר היא u קודקוד של היציאה דרגת •

.d−D(u)ב ומסומנת שלהן) הראש (שהוא אליו הנכנסות הקשתות מספר היא u קודקוד של הכניסה דרגת •

(d(u) = d−D(u) + d+D(u) לב: (נשים

לא מהם צמד שאף קדקודים קבוצת = ב"ת (קבוצה S תלויה בלתי קבוצה היא D מכוון גרף של גרעין •יש v /∈ S לכל שקול: בניסוח .Sב שראשה לקשת זנב הוא ,Sב שאינו קדקוד שכל כך בקשת), מחובר

.Sב עוקב

גרעין. יש D של מושרה גרף תת לכל אם גרעין מושלם יקרא D מכוון גרף •

הבא: המכוון בגרף נתבונן לדוגמאc

b

a

d

e

גרעין. מושלם אינו זה גרף ולכן גרעין, אין {a, c, e} ע"י המושרה גרף לתת אבל גרעין, היא {a, b, d}

מקיימת f : V → Nו G של גרעין מושלמת אוריינטציה הוא D אם מכוון. לא גרף G = (V,E) יהי 0.3 למה

בחיר. f הוא G אזי ,∀v ∈ V : 1 + d+D(v) ≤ f(v)

.n = |V | על באינדוקציה הוכחה:

את לצבוע שנוכל כמובן אזי 1 ≤ f(v) אם .Gב היחיד הקדקוד v עבור d+D(v) = 0 האינדוקציה: בסיס

הגרף.

∀v ∈ V : |L(v)| = המקיימת צבעים של כלשהי השמה ותהא בטענה, כמו Dו G יהיו האינדוקציה: צעד

.U = {v : c ∈ L(v)} ונסמן כלשהי, ברשימה המופיע כלשהו צבע c יהי .f(v)

דבר ־ c הצבע את נבחר Sב הקדקודים עבור .U של הגרעין שהיא U ⊃ S קיימת ולכן גרעין מושלם D

ב"ת. קבוצה S היות עקב האפשרי

שנותר־ הגרף את D′ב ונסמן ,U \Sב הקדקודים של הצבעים מרשימת c את נמחק ,Dמ S את נמחק כעת

.D′ := D[V \ S]מדרגת 1 לפחות והורדנו הצבעים, מרשימת אחד צבע הורדנו u ∈ U \ S לכל מתקיים: D′ב כי נבחין

את שינינו לא u ∈ V \ U עבור בנוסף, .∀v ∈ U \ S : 1 + d+D′(v) ≤ f(v) לכן ־ (U של גרעין S (כי היציאה

.∀v ∈ V \ U : 1 + d+D′(v) ≤ f(v) ולכן היציאה דרגת את שהורדנו יתכן אך הצבעים, רשימת

בחיר. f הוא D′ האינדוקציה הנחת לפי לכן

כדרוש. בחיר, f הוא Dש ונקבל S קדקודי של c הצביעה את נוסיף

7

להמשיך: מוכנים אנו כעת

(χ′l(Kn,n) = n) Dinitz להשערת Galvin הוכחת

אוריינטציה יש G = L(Kn,n) שלגרף שנוכיח מספיק 0.3 טענה לפי ,χ′l(G) = χl(L(G)) ש מכיוון הוכחה:

f הוא Gש להוכיח רוצים בעצם שאנו מפני (וזאת n − 1 יציאה דרגת יש קדקוד לכל עבורה גרעין, מושלמת

שדרגת גם נקבל ולכן ∀v ∈ L(Kn,n) : d(v) = 2n − 2 כי גם לב נשים .(n הקבועה הפונקציה עבור צביע

.n− 1 היא הכניסה

כך ,n × n מסדר במטריצה אותו נצייר ולכן Kn × Kn הקרטזית המכפלה הוא G קודם, שציינו כפי

ב נסמן במטריצה הקדקודים את עמודה. אותה או שורה באותה הם אםם סמוכים הם קדקודים שני שכל

.j = l או i = k אםם שכנים (k, l)ן (i, j) ש ונקבל ,(1, 1) ≤ (i, j) ≤ (n, n)

פעם מופיע מספר שכל כך n× n מסדר במטריצה [n] של (השמה {1...n} האותיות עם לטיני ריבוע L יהי

שלכל כך D המכוון הגרף את נגדיר .L לפי (i, j)ב ההשמה את L(i, j)ב נסמן עמודה); ובכל שורה בכל אחת

הבא: באופן הקשתות את נכוון (i, j)

הקשתות בשורות (כלומר: L(i′, j) < L(i, j) אם (−−−−−−−→(i, j), (i′, j)) ו L(i, j) < L(i, j′) אם (

−−−−−−−→(i, j), (i, j′))

יורד) בסדר ובעמודות ,L של להשמה ביחס עולה בסדר מכוונות

1 2 3

1 23

12 3

1 2 3

1 23

12 3

n=3

jה ובעמודה ,(i, j)מ שיוצאות קשתות n− k יש iה בשורה אזי כלשהם. i, j עבור L(i, j) = k לרגע נסמן

.∀v ∈ D : d+D(v) = n− 1 בסה"כ .(i, j)מ שיוצאות קשתות k − 1 יש

גרעין. יש D של גרף תת שלכל הוא להראות שנותר כל

היציב: הזיווג בעיית פתרון ע"י Uל גרעין נמצא .V ⊇ U כן אם תהא

אז ,(L(i, j′) < L(i, j) (כלומר (−−−−−−−→(i, j′), (i, j)) וגם (i, j) ∈ U אם ־ הבא באופן העדפות נגדיר iה לשורה

של להשמה ביחס יורד j}בסדר : (i, j) ∈ U}ב מתחיל i שורה של ההעדפות סדר כך .j′ פני על j את יעדיף i

כלשהו. בסדר {j : (i, j) /∈ U} מכן ולאחר עולה), בסדר מכוונות בשורות שהקשתות (מפני L

אז ,(L(i, j) < L(i′, j) (כלומר (−−−−−−−→(i′, j), (i, j)) וגם (i, j) ∈ U אם ־ הבא באופן העדפות נגדיר j לעמודה

להשמה ביחס עולה i}בסדר : (i, j) ∈ U}ב מתחיל j עמודה של ההעדפות סדר כך .i′ פני על i את יעדיף j

כלשהו. בסדר {i : (i, j) /∈ U} מכן ולאחר יורד), בסדר מכוונות בעמודות שהקשתות (מפני L של

i1 2 3 4

j

1

2

3

4

i : 3 , 2 , (1,4) j : 2 , 3 , (1,4)

.M יציב זיווג n× nל קיים 0.2 מטענה

.U של גרעין הוא S =M ∩ U ש נראה

8

קדקוד בדיוק יש Mב) Dב תלויה בלתי קבוצה שהיא מפני Uב תלויה בלתי קבוצה בבירור M ∩U ראשית,

עמודה). מכל ואחד שורה מכל אחד

v /∈ M כי ונבחין ,a = L(i, j) נסמן .Sב עוקב יש vל כי נראה .v = (i, j) ∈ U \ S יהי שנית,

.w = (l, j) ,u = (i, k) קדקודים Mב יש לכן .((U \ S = U \ (M ∩ U) = U \M)⇐ (S =M ∩ U)).c = L(l, j) ,b = L(i, k) נסמן

.l פני על i את מעדיף j וגם ,k פני על j את מעדיף iש יתכן לא יציב, זיווג Mש מכך

:w או u ־ Sב עוקב יש vשל נקבל מכך

i

l

k j

u:b v:a

w:c

[ ( l פני על i את מעדיף j ) וגם ( k פני על j את מעדיף i ) ] לא

[ ( a < c או w /∈ U ) וגם (b < a או u /∈ U ) ] לא ⇐[ ( c < a וגם w ∈ U ) או (a < b וגם u ∈ U ) ⇐

v → w ∈ S או v → u ∈ S ⇐

(1994) Thomassen משפטמישוריים: לגרפים ונחזור החיובי הכיוון עם נמשיך

בחירים. 5 הם מישוריים גרפים 0.4 משפט

נוסיף הבחירה, מספר את להוריד יכולה לא צלעות שהוספת מכיוון מישורי. גרף G = (V,E) יהי הוכחה:

משולש. היא חסומה פאה וכל מעגל, ע"י תחומה תהיה החיצונית שהפאה עד צלעות

שלו החיצוני המעגל (i)על אם גם צביע 5 הוא G כי נוכיח ־ חזקה יותר טענה נוכיח n = |V | על באינדוקציה

רשימות בעלי הם המעגל על הקדקודים (ii)שאר ואילו ,1 באורך שונות רשימות עם סמוכים קדקודים שני ישנם

.3 לפחות באורך

הקדקוד עבור ואילו ,1 באורך שונות רשימות יש קדקודים לשני בו משולש, הוא G :n = 3 הבסיס במקרה

חוקית. צביעה להשלים בכדי פנוי צבע נותר השלישי

במקרה כי נוכיח .n > k לכל מתקיימת האינדוקציה (iii)טענת כי ונניח כלשהו, 4 ≤ n יהי הכללי: במקרה

.k = n עבור גם נכונה הטענה זה

על הקדקודים את v1, ..., vpוב המעגל, על הקדקודים מספר את pב ,Gב החיצוני המעגל את Cב נסמן

.1 באורך הרשימה בעלי הקדקודים הם v1, vp ש כך השעון) (בכיוון המעגל

9

.Cב מיתר שאין או Cב מיתר יש ־ אפשרויות שתי יש כי נבחין

chord no chord

v1 vi

vj

vp

v1v2

v3

vpu1 um

.(vivj 6= v1vp (וכמובן 1 ≤ i ≤ j − 2 ≤ p− 2 כאשר vivj נסמנו :Cב מיתר יש אם

צבעים קובעת זו צביעה חוקית. צביעה קיימת שבתוכו ולצלעות v1...vivj...vpv1 למעגל האינדוקציה, מהנחת

ולקבל שבתוכו) הצלעות (ועל vivi+1...vjvi המעגל על גם האינדוקציה הנחת את להפעיל נוכל ולכן ,vi, vj עבור

הגרף. כל של חוקית צביעה

כי נבחין שבתוכו. והקדקודים v1...vivj...vpv1 המעגל ע"י הנפרש הגרף את G1ב נסמן פורמלי: באופן

(ii)לשאר ,1 בגודל שונות צבעים רשימות יש v1, vp האינדוקציה:(i)לקדקודים בהנחת התנאים את מקיים G1

הנחת לפי לכן .|V (G1)| < |(V (G)|(iii) וכן ,3 לפחות באורך רשימות יש החיצוני המעגל על הקדקודים

.G1 של f1 חוקית צביעה קיימת האינדוקציה,

את מקיים בוודאי G2 כי נבחין שבתוכו. והקדקודים vivi+1...vjvi המעגל ע"י הנפרש הגרף את G2ב נסמן

של הצבעים השמת לפי vi, vj של הצבעים את נקבע ־ (i) עבור ואילו , האינדוקציה בהנחת (ii), (iii) התנאים

חוקית צביעה G2ל קיימת האינדוקציה הנחת לפי לכן .(LG2(vj) = f1(vj) , LG2(vi) = f1(vi) (במפורש: f1.f2

צביע. 5 הוא G ולכן Gב בחירה פונקציית היא (f1 ∪ f2)(v) =

f1(v) v ∈ V (G1)

f2(v) v ∈ V (G2)כעת

(f1(v) = f2(v)⇐ v ∈ V (G1) ∩ V (G2) היטב: מוגדרת היא כי (נבחין

הן Gב חסומות פאות השעון. כיוון נגל v2 של השכנים (3 ≤ p) v1, u1, ..., um, v3 יהיו :Cב מיתר אין אם

.P = v1u1...umv3 הילוך Gב קיים ולכן משולשים,

.(C על לא (הם Gב פנימיים קדקודים הם u1, ..., um ולכן מיתר, אין Cב כי הנחנו

.v1v2v3 את מחליף P בו C ′ מעגל ע"י תחומה G′ של החיצונית שהפאה ונקבל G′ := G \ {v2} לרגע נסמן

.x, y ∈ L(v2) \ {c} שונים צבעים שני קיימים ולכן 3 ≤ |L(v2)| .v1 של ברשימה היחיד הצבע את cב נסמן

.u1, ..., um של מהרשימות אותם שנמחק כך ע"י v2ל x, y את נשמור

3 ≤(ii) ,L(v1) 6= L(vp) ,|L(v1)| = |L(vp)| = 1(i) האינדוקציה: בהנחת התנאים את מקיים G′ כעת

ונקבל G′ על האינדוקציה הנחת את כן, אם נפעיל, .|V (G′)| < |V (G)|(iii) וכן החיצוני, במעגל v לכל |L(v)|.G− v2 על חוקית צביעה

עדיין ־ x/y הצבעים באחד נצבע v3 אם ;v2 של השכנים של לרשימות שייכים אינם yו x הצבעים ,v3ל פרט

.G של חוקית צביעה להשלמת ובכך v2 לצביעת פנוי צבע נותר

מקורות רשימת

Proofs from THE BOOK - Martin Aigner, Günter M. Ziegler [1]

Introduction to Graph Theory - Douglas B. West [2]

The complexity of planar graph choosability - Shai Gunter [3]

10