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7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF

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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

ELEMENTOS FINITOS

TRABAJO FINAL:

ESFUERZO PLANO

Realizado por:

Luis Fernando Loachamn


2/17

Hallar los desplazamientos y esfuerzos que se producen en el siguiente elemento.

1. Tabla Topologica de los Elementos

Elemento i j k l

E1 1 2 5 4

E2 2 3 6 5

2. Tabla de coordenadas nodales (x , y)

N X Y

1 0 0

2 1 0

3 2 0

4 0 0.75

5 1 0.625

6 2 05

3. Ecuaciones de Interpolacion

N1

=

1

4(1)

N2

=

1

4(1)

N3

=

1

4(1 +)

N4

=

1

4(1 +) (1)

N1

=

1

4(1)

N2

=

1

4(1 +)

N3

=

1

4(1 +)

N4

=

1

4(1) (2)

x

= N1

x1+ N2

x2+ N3

x3+ N4

x4 (3)

1


3/17

y

=

N1

y1+

N2

y2+

N3

y3+

N4

y4 (4)

x

=

N1

x1

+

N2

x2

+

N3

x3

+

N4

x4

(5)

y

=

N1

y1+

N2

y2+

N3

y3+

N4

y4 (6)

3.1. Analisis del Elemento 1

3.1.1. Calculo del Jacobiano del elemento 1

|J|=

x

x

x

x

(7)

3.1.2. Tabla de coordenadas nodales para E1

x1= 0 y1= 0

x2= 1 y2= 0

x3= 1 y3= 0,625

x4= 0 y4= 0,75

3.1.3. Calculo de los terminos del Jacobiano

x

=

1

4(1)(0) +

1

4(1)(1) +

1

4(1 +)(1)

1

4(1 +)(0) = 0,5 (8)

y

=

1

4(1)(0) +

1

4(1)(0) +

1

4(1 +)(0,625)

1

4(1 +)(0,75) =

1

32

32 (9)

x

=

1

4(1)(1) +

1

4(1 +)(1) = 0 (10)

y

=

1

4(1 +)(0,625) +

1

4(1)(0,75) =

11

32

32 (11)

|J|=

0,5 0

132

32

11

32

32

=

11

64

64

(12)

2


4/17

3.1.4. Calculo de D

D= E

12

1 0 1 00 0 1

2

(1)

(13)

D= 100

10,32

1 0,3 0

0,3 1 00 0 12(10,3)

(14)

3.1.5. Calculo de la matriz B y BT

B=

N1x 0

N2x 0

N3x 0

N4x 0

0 N1y

0 N2y

0 N3y

0 N4y

N1y

N1x

N2y

N2x

N3y

N3x

N4y

N4x

(15)

N1=

1

4 (1)(1)

N1

=

1

4

N1

=

1

4 (16)

N2=1

4(1 +)(1)

N2

=

1

4

N2

=

1 +

4 (17)

N3=1

4(1 +)(1 +)

N3

=

1 +

4

N3

=

1 +

4 (18)

N4=

1

4 (1)(1 +)

N4

=

1 +

4

N4

=

1

4 (19)

Nix

Niy

=|J|1

Ni

Ni

(20)

N1

x =|J|1[ 1

4(1)] N

1

y =|J|1[ 1

4(1)] (21)

3


5/17

N2

x =|J|1[

1

4(1)]

N2

y =|J|1[

1

4(1 +)] (22)

N3

x =|J|

1

[

1

4 (1 +)]

N3

y =|J|

1

[

1

4 (1 +)] (23)

N4

x =|J|1[

1

4(1 +)]

N4

y =|J|1[

1

4(1)] (24)

B=|J|1

14 0 1

4 0 1+

4 0 1+

4 0

0 14 0 1+

4 0 1+

4 0 1

4

14 1

4 1

41

41+

41+

41

4 1+

4

(25)

BT =|J|1

14 0 1

4

0 14 1

4

14 0

14

0 1+41

4

1+

4 0

1+

4

0 1+41+

4

1+4 0 1

4

0 14 1+

4

(26)

4


6/17

3.1.6. Proceso para hallar Matriz de rigidez K del Elemento1

K1= t

1

1

1

1

BTDB|J| d d= tABTDB (27)

El productoBTDB|J| es funcion de y por lo cual se puede integrar con la cuadratura de Gauss:

H1 =H2 = 1 ,1= 1= 0,577,2= 2= 0,577, la funcion integrada queda:

t[f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577)]

Mediante la utilizacion del programa Matlab podemos hallar las siguientes matrices:

3.1.7. Matriz B

Figura 1: Matriz B

3.1.8. Matriz BT

Figura 2: Matriz B Transpuesta

5


7/17

3.1.9. Matriz D

Figura 3: Matriz D

3.1.10. Calculo del Area

A=

1

1

1

1

|J| d d (28)

Figura 4: area del Elemento 1

3.1.11. Matriz K1

Como ya tenemos todos los valores, podemos multiplicarlos y as encontramos la matriz de rigidezdel elemento 1 (K1):

Figura 5: Matrz de Rigidez del Elemento 1

6


8/17

Esta matriz es expresada en base a las matrices 2x2 de cada nodo,como se aprecia en la tabla deabajo.

NODOS 1 2 5 4

1 K111 K121 K151 K141

2 K211 K221 K251 K241

5 K511 K521 K551 K541

4 K411 K421 K451 K441

3.2. Analisis del Elemento 2

3.2.1. Calculo del Jacobiano del elemento 2

|J|=

x

x

x

x

(29)

3.2.2. Tabla de coordenadas nodales para E2

x1= 2 y1= 0

x2= 2 y2= 0

x3= 2 y3= 0,5

x4= 1 y4= 0,625

3.2.3. Calculo de los terminos del Jacobiano

x

=

1

4(1)(1) +

1

4(1)(2) +

1

4(1 +)(2)

1

4(1 +)(1) = 0,5 (30)

y

=

1

4(1 +)(0,5)

1

4(1 +)(0,625) =

1

32

32 (31)

x

=1

4

(1)(1)1

4

(1 +)(2) +1

4

(1 +)(2) +1

4

(1)(1) = 0 (32)

y

=

1

4(1 +)(0,5) +

1

4(1)(0,625) =

9

32

32 (33)

|J|=

0,5 0 132

32

932

32

= 964

64 (34)

7


9/17

3.2.4. Calculo de D

D= E

12

1 0 1 00 0 1

2

(1)

(35)

D= 100

10,32

1 0,3 0

0,3 1 00 0 12(10,3)

(36)

3.2.5. Calculo de la matriz B y BT

B=

N1x 0

N2x 0

N3x 0

N4x 0

0 N1y

0 N2y

0 N3y

0 N4y

N1y

N1x

N2y

N2x

N3y

N3x

N4y

N4x

(37)

N1=

1

4 (1)(1)

N1

=

1

4

N1

=

1

4 (38)

N2=1

4(1 +)(1)

N2

=

1

4

N2

=

1 +

4 (39)

N3=1

4(1 +)(1 +)

N3

=

1 +

4

N3

=

1 +

4 (40)

N4=

1

4 (1)(1 +)

N4

=

1 +

4

N4

=

1

4 (41)

Nix

Niy

=|J|1

Ni

Ni

(42)

N1

x =|J|1[ 1

4(1)] N

1

y =|J|1[ 1

4(1)] (43)

8


10/17

N2

x =|J|1[

1

4(1)]

N2

y =|J|1[

1

4(1 +)] (44)

N3

x =|J|

1

[

1

4 (1 +)]

N3

y =|J|

1

[

1

4 (1 +)] (45)

N4

x =|J|1[

1

4(1 +)]

N4

y =|J|1[

1

4(1)] (46)

B=|J|1

14 0 1

4 0 1+

4 0 1+

4 0

0 14 0 1+

4 0 1+

4 0 1

4

14 1

4 1

41

41+

41+

41

4 1+

4

(47)

BT =|J|1

14 0 1

4

0 14 1

4

14 0

14

0 1+41

4

1+

4 0

1+

4

0 1+41+

4

1+4 0 1

4

0 14 1+

4

(48)

9


11/17

3.2.6. Matriz de rigidez K del Elemento2

K=t

1

1

1

1

BTDB|J| d d= tABTDB (49)

Para encontrar la matriz de rigidez K2 se sigue el mismo proceso que para el elemento 1.

3.2.7. Matriz B

Figura 6: Matriz B

3.2.8. Matriz BT

Figura 7: Matriz B Transpuesta

3.2.9. Matriz D

Figura 8: Matriz D

10


12/17

3.2.10. Calculo del Area

A=

1

1

1

1

|J| d d (50)

Figura 9: area del Elemento 2

3.2.11. Matriz K2

Como ya tenemos todos los valores, podemos multiplicarlos y as encontramos la matriz de rigidezdel elemento 2 (K2):

Figura 10: Matrz de Rigidez del Elemento 2

Esta matriz es expresada en base a las matrices 2x2 de cada nodo,como se aprecia en la tabla de

abajo.

NODOS 2 3 6 5

2 K222 K232 K262 K252

3 K322 K332 K362 K352

6 K622 K632 K662 K652

5 K522 K532 K562 K552

11


13/17

3.3. Ensamble de la Matriz Global K

NODOS 1 2 3 4 5 6

1 k111 k121 k141 k151

2 k211 k221+k222 k232 k241 k251+k252 k262

3 k322 k332 k352 k362

4 k411 k421 k441 k451 5 k511 k521+k522 k532 k541 k551+k552 k562

6 k622 k632 k652 k662

3.3.1. Matriz global K

Figura 11: Matrz Global

12


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3.4. Calculo de los desplazamientos

F =K U U=inv(K)F (51)

3.4.1. Matriz F

En esta matriz tomo el valor de - 50 [KN] para el nodo 6 ya que solo se esta analizando la mitaddel elemento, por lo tanto la matriz F nos queda de la siguiente manera:

Figura 12: Matrz F

3.4.2. Matriz inversa K

En los nodos 1 y 4 el elemento esta empotrado por lo tanto no existe desplazamiento u1 = v1 =u4 =v4 = 0, esto hace que el sistema de ecuaciones se reduzca a una matriz 8x8.

Figura 13: Matrz inversa de k

13


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3.4.3. Desplazamientos

Los resultados que se obtienen son(u2,v2,u3,v3,u5,v5,u6,v6)respectivamente:

Figura 14: Desplazamientos

3.5. Calculo de los esfuerzos

= D pero = BU (52)

3.5.1. Calculo de la deformacion

= B U (53)

3.5.2. Matriz B

Figura 15: Matriz B

14


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3.5.3. Matriz U

Figura 16: Matriz U

3.5.4. Matriz deformacion

Figura 17: Matriz

3.5.5. Matriz D

Figura 18: Matriz D

3.5.6. Esfuerzos

= D (54)

15


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Figura 19: Esfuerzos

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