loescher 3487e preview

5/23/2018 Loescher 3487e Preview

1/32

3

Anna Maria Fornara, Elena Angela Porta

ICONE DI MATEMATICAPercorsi di recupero e approfondimento


2/32

Anna Maria Fornara, Elena Angela Porta

ICONE DI MATEMATICAPercorsi di recupero e approfondimento

3

LOESCHER EDITORE

Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione


3/32

Loescher Editore - Torino - 2011 http://www.loescher.it

I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e

ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di

noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi.

Lacquisto della presente copia dellopera non implica il trasferimento dei suddetti diritti n li esaurisce.

Fotocopie per uso personale (cio privato e individuale), nei limiti del 15% di ciascun volume, possono essere effettuate dietro

pagamento alla SIAE del compenso previsto dallart. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere

effettuate negli esercizi commerciali convenzionati SIAE. o con altre modalit indicate da SIAE.

Per riproduzioni ad uso non personale leditore potr concedere a pagamento lautorizzazione a riprodurre un numero di pagine non

superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a:

Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dellingegno (AIDRO)

Corso di Porta Romana n. 108, 20122 Milano

[email protected] e sito webwww.aidro.org

Leditore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La fotocopia dei soli esemplari

esistenti nelle biblioteche di tali opere consentita, non essendo concorrenziale allopera. Non possono considerarsi rare le opere di cui

esiste, nel catalogo delleditore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.

Nel contratto di cessione esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facolt di cui allart. 71 - ter legge diritto

dautore.

Maggiori informazioni sul nostro sito: http://www.loescher.it

Ristampe

6 5 4 3 2 1 N

2016 2015 2014 2013 2012 2011

ISBN 9788820134877

Nonostante la passione e la competenza delle persone coinvolte nella realizzazione di questopera, possibileche in essa siano riscontrabili errori o imprecisioni. Ce ne scusiamo fin dora con i lettori e ringraziamo coloroche, contribuendo al miglioramento dellopera stessa, vorranno segnalarceli al seguente indirizzo:

Loescher Editore s.r.l.Via Vittorio Amedeo II, 1810121 TorinoFax 011 [email protected]

Loescher Editore S.r.l. opera con sistema qualitcertificato CERMET n. 1679-Asecondo la norma UNI EN ISO 9001-2008

Realizzazione editoriale e tecnica:Salviati s.r.l. - Milano - redazione:Edoarda Mola - videoimpaginazione:La Composizione - Milano - disegni tecnici:Giuseppe Maserati

Progetto grafico:Apotema - Cologno Monzese (MI)

Copertina:Visualgrafika - Torino

Redattore responsabile:Paola Cardano

Ricerca iconografica:Emanuela Mazzucchetti

Stampa:La Grafica sncvia Milia, 2612012 Boves (CN)



4/32 3

INDICE

PIANO CARTESIANO 5

Completa 7, 10, 15Esercizi 6, 11, 15Verifica 16Verso lUniversit 17

PARABOLA 18Completa 20, 26, 27Esercizi 19, 21, 23, 25, 27Verifica 28Verso lUniversit 28

CIRCONFERENZA 29

Completa 31, 35, 37, 42Esercizi 30, 32, 36, 42Verifica 44Verso lUniversit 45

ELLISSE E IPERBOLE 46Completa 49, 51, 57, 59Esercizi 48, 50, 52, 56, 57, 59, 61, 62Verifica 62

Verso lUniversit 63

DISEQUAZIONI 64Completa 64, 66, 75Esercizi 66, 67, 68, 70, 72, 76, 78Verifica 78Verso lUniversit 79

GONIOMETRIA 80

Completa 86, 88, 90

Esercizi 80, 83, 84, 87, 89, 90, 91Verifica 92Verso lUniversit 93

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 94Completa 96, 97, 101Esercizi 95, 96, 97, 98, 99, 101,

102, 103Verifica 103Verso lUniversit 104



5/324

TRIANGOLI RETTANGOLI E QUALUNQUE 105Completa 105, 106Esercizi 106, 107, 108Verifica 109Verso lUniversit 110

SISTEMA MISTO E PROBLEMA GEOMETRICO 111

Completa 116Esercizi 114, 116Verifica 117Verso lUniversit 117

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ISOMETRIE 118

Completa 123, 124Esercizi 119, 121, 123, 125, 126, 127Verifica 127Verso lUniversit 128



6/32 5

AANALITICA

PIANO CARTESIANO

Piano cartesiano: piano in cui viene introdotta una coppia

di assi orientati (cio due rette con un verso, unoriginee ununit di misura), che si intersecano perpendicolar-mente in un punto O (origine). I due assi sono detti assedelle xo delle ascissee asse delle yo delle ordinate.Ogni punto P del piano associato a ununica coppia ordina-ta di numeri reali, le coordinate (x

P;y

P); viceversa ogni coppia

di numeri reali (a; b) individua un solo punto del piano.

Punto medio M di un segmento AB

xx x

yy y

M

A B

M

A B

=

+

= +

2

2

Baricentro di un triangolo ABC

xx x x

yy y y

G

A B C

G

A B C

= + +

= + +

3

3

Distanza tra due punti A e B

d x x y y AB A B A B

= ( ) + ( )2 2

Se C e D hanno la stessax: d y yCD C D

=

Se E e F hanno la stessay: d x xEF E F

=

Area del triangolo ABC

AABC

A A

B B

C C

A B C A B C= = + +

1

2

1

1

1

1

2

x yx y

x y

x y x y x y xx y x y x yC B A C B A

RicordaIl determinante calcolato con la regola di Sarrus: riscriviamo la prima e la seconda co-lonna ed eseguiamo i prodotti seguendo le linee, lasciando il segno ottenuto nel caso in neroe cambiando il segno nel caso in colore:

x

x

x

y

y

y

x

x

x

y

y

y

x y x

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A B C

1

1

1

1= + y x y x y x y A B C C B A C

+ 1 1 1 1 x yB A

1

Asse delle ordinate

x

y

yP

xP

Asse delle asciss

P

O



7/32

A

6

ESEMPIO 1

Determiniamo un punto P AB tale che 2AP =PB, con A(1; 4) e B(5; 1).

Indichiamo conxPey

Ple coordinate di P con

P P 1 5 1 4x y , dato che P AB;

per la corrispondenza di Talete, si ha 2AP=PBdove A, Pe Bsono le proiezioni di A, P e B

sullasse dellex, quindi A, Pe Bhanno la stessay; a questo punto, riscriviamo la relazione2AP=PButilizzando la distanza tra due puntiallineati orizzontalmente:

d x x x x

= = ( ) = +A P A P P P1 1 e d x x = P B B P == 5 xPAttenzione!In questo caso abbiamo tolto i moduli poich siamo certi che largomento del modulo posi-tivo avendo fatto la differenza tra la xmaggiore e quella minore.

otteniamo: 2 1 5x xP P

+( ) = 3 3xP = 1xP = e analogamente per ley2 4 1

( )=

y yP P 3 9=

yP 3=

yP ; quindi P(1; 3). Controlliamo ora che PAB:le sue coordinate sono comprese tra i limiti posti, pertanto la soluzione accettabile.

ESERCIZI

1 Dati i punti R(5; 5) e S(3; 7), determina un punto P appartenente al segmento RS in modoche RP =3PS.

2 Determina i punti dellassexche hanno distanza 2 2 dal punto S(3; 2).3 Dati i punti A(2; 3) e B(4; 1), determina il vertice C del triangolo isoscele ABC di altezza 2 10;

calcola poi il perimetro e larea.

4 Individua sul piano cartesiano il triangolo di vertici P 32

2;

, Q

5

22 ;

e R

9

2; 1

; calcola

il baricentro G, la misura della mediana PM verificando che il baricentro G divide la mediana

PM in due parti di cui una doppia dellaltra.

5 Considera i punti A(2; 2) e B(1; 5); determina i loro simmetrici Ae Brispetto al punto C(2; 1);verifica poi che il segmento AB isometrico al segmento AB. Calcola infine il perimetroe larea del triangolo OAB, con O origine degli assi.

6 I punti A(1; 1), B(3; 7) e C(3; 5) sono tre vertici consecutivi di un rombo. Dopo averedeterminato il quarto vertice, verifica che i lati sono isometrici, le diagonali si bisecano;

successivamente calcola perimetro e area.

Rettal

Una rettanel piano cartesiano rappresentata da unequazione di primo grado inxey dellaforma ax by c + + = 0 con a, b, c R, ae bnon contemporaneamente nulli; viceversa,ogni equazione della forma ax by c + + = 0 con a, b, c R, ae bnon contemporaneamen-te nulli, rappresenta una retta nel piano cartesiano.

Equazioni delle rette (forma esplicita)

y=0 asse delle ascissexx=0 asse delle ordinateyy=k con kR retta parallela allassexx=h con hR retta parallela allassey

y=mx retta per loriginey=mx+q retta generica

x

y

P

A

B

PA B

x= 0x = hy = k

y= 0

y=

mx+q

y=mx



8/32 7

m il coefficiente angolareed legato allangolo che la retta forma con il semiassepositivo dellex;m =tg con tgtangente goniometrica dellangolo che la retta forma con il semi-asse positivo dellex; se m>0 langolo acuto; se m


9/32

A

8

Attenzione!Se i punti A e B hanno la stessa y, dalla formula si ottiene m=0; infatti i punti sono allineatiorizzontalmente e abbiamo una retta di equazione y=k.Se i punti A e B hanno la stessa x, la formula non pu essere utilizzata poich si dovrebbedividere per 0 (zero); in questo caso i punti sono allineati verticalmente e abbiamo una rettadi equazione x=h.

Fascio di rette per un punto

Linsieme di tutte le rette passanti per un punto P(x0;y

0), o fascio proprio, ha equazione:

y y m x x0 0

= ( )

Retta passante per due punti

Consideriamo nel piano due punti A(xA

; yA

) e B(xB; y

B); utilizzando le due formule

precedenti, la retta per A e B ha equazione:

y yy y

x x

x x =

( )AA B

A B

A

Condizione di allineamento di tre punti

Consideriamo nel piano tre punti A(xA

;yA

), B(xB;y

B) e C(x

C;y

C); per verificare che i tre

punti sono allineati, determiniamo la retta per A e B: y yy y

x xx x =

( )AA B

A B

A; se C

allineato con A e B, C apparterr alla retta AB; pertanto si avr:

y xyy y

x xx

C CA

A B

A B

A =

( )

Condizione di parallelismo

Date due rette di equazione y m x q= +1 1

e y m x q= +2 2

, esse sono parallele se e solo se:m m=

1 2

Condizione di perpendicolarit

Date due rette di equazione y m x q= +1 1

e y m x q= +2 2

, esse sono perpendicolari se e solo se:

mm1

2

1=

Posizione di due rette

Date due rette r e sdi equazione y m x q= +1 1

e y m x q= +2 2

, esse possono essere:

incidenti rs=P il sistemay m x q

y m x q

= +

= +

1 1

2 2

ha una sola soluzione (xP;y

P)

coincidenti rs il sistemay m x q

y m x q

= +

= +

1 1

2 2

ha infinite soluzioni

parallele rs il sistema non ha soluzioni.



10/32 9

ESEMPIO 2

Determiniamo lequazione della retta rpassante per P(1; 5) e Q(3; 3).Primo metodo

RicordaI punti P e Q non sono allineati secondo gli assi cartesiani, quindi la retta PQ non unaretta particolare di equazione x=hoppure y=k, ma sar di equazione y=mx+q.

Poich P e Q r, le loro coordinate soddisfano lequazioney=mx+q, cio:

y mx q

y mx q

= +

= +

P P

Q Q

m=5 ( ) +

= ( ) +

1

3 3

q

m q; risolvendo il sistema determiniamo

=

=

2

3

m

q

e quindi la retta y=2x+3.

Secondo metodoUtilizziamo la formula y y

y y

x xx x =

( )PP Q

P Q

P , sostituendo le coordinate di P e Qotteniamo:

y x = ( )

( )( )55 3

1 31 e svolgendo i calcoli

arriviamo ay=2x+3.

Determiniamo una retta rparallela alla retta spassanteper P(1; 2) e Q(2; 4) in modo che, dette A e B leintersezioni di rcon i semiassi positivi dellexe delley

rispettivamente, larea del triangolo AOB sia9

4.

Lequazione della retta rparallela alla retta savr la formay=mx+qcon m=m

PQ;

calcoliamo quindi my y

x xPQ

Q P

Q P

=

=

+

= = 4 2

2 1

6

32

pertanto otteniamo:y=2x +q; per trovare i punti A e B dobbiamo intersecare la rettar: y=2x +q con lasse dellex,ponendox>0, e con lasse delley, ponendoy>0:

y x q

y

x

= +=>

2

0

0

xq

y

x

=

=>

2

0

0

x= qq

20>

q

20

;A

y== +

=>

2

0

0

x q

x

y

=

=>

0

0

y q

x

y

y=q >0B(0; q)

dobbiamo utilizzare la formula dellarea per calcolarla in funzione di qe uguagliare taleespressione al valore dellarea fornito dal problema; in questo modo troviamo la relazioneche ci permette di determinare q:

AABO

O O

A A

B B

= = = =1

2

1

1

1

1

2

0 0 1

20 1

0 1

1

2 2

x y

x y

x y

q

q

qq

qq2

4

q2

4

9

4= q2 9= q=3

poich q>0 la soluzione accettabile q=+3 e la retta cercata ha equazioney=2x +3.

A

BQ

O

y

A

B

P

r

s

r

x



11/32

A

10

COMPLETA

8 Determina lasse del segmento AB con A(1; 1) e B(5; 1). Primo metodo

Lasse del segmento AB definito come la retta al segmento e passante per il suo

Calcoliamo il punto medio M di AB: M(; ); calcoliamo il coefficiente angolare mdella retta

passante per A e per B: my y

x xAB

A B

A B

=

= Il coefficiente angolare dellasse sar

m

= =

1; pertanto lasse di AB avr equazione y y m x x = ( )M M

Secondo metodoLasse del segmento AB definito anche come il luogo geometrico dei punti del piano da A e B.Quindi consideriamo il generico punto P(x;y) e imponiamo che PA =PB, cio:

x x y y x x y y( ) + ( ) = ( ) + ( )A A B B2 2 2 2

ed elevando al quadrato abbiamo cio

lequazione dellasse risulta

Per approfondire

Determina sulla retta rdi equazione 3x2y +2 =0 un punto P tale che sia equidistanteda A(1; 2) e B(4; 1).Il punto P appartiene alla retta r, quindi le sue coordinate verificano lequazione di r, che

in forma esplicita y x= +3

21; in particolare, indicando lascissa di P con xP=t, la sua

ordinata sary t= +3

21

P.

Dobbiamo ora impostare la relazione PA =PB, utilizzando la formula della distanza tradue punti:

x y x y P P P P

+( ) + ( ) = ( ) + ( )1 2 4 12 2 2 2 t+( ) +1

3

2

2tt t t+

= ( ) + +

1 2 4 3

21 1

22

2

Attenzione!In questo caso non servono le C.R. dei radicali poich i radicandi sono somme diquadrati, quindi certamente positivi o nulli.

Eleviamo al quadrato i due membri e sviluppiamo i calcoli; otteniamo la seguente equazionerisolvente: 7t=14 t=2; pertanto la soluzione P(2; 4).

Distanza di un punto da una retta

Consideriamo nel piano una retta rdiequazione ax+by+c=0 e un puntoP(x0; y0); la distanza del punto P dallaretta r data dallespressione:

d rax by c

a bP,( ) =

+ +

+

0 0

2 2

Ricorda

Se le rette sono parallele agli assi cartesiani, cio di equazione x=h o y=k, la formula delladistanza punto-retta si semplifica e diventa:

d r x h d r y k P P, ,( ) = ( ) = 0 0

H

y

P(x0; y0)

xax+

by+c=

0



12/32 11

ESEMPIO 3

Determiniamo le bisettrici degli angoli che le due rettere s, di equazioni 3x4y4 =0 e 4x+3y22 =0,formano intersecandosi.La bisettrice di un angolo il luogo dei puntidel piano equidistanti dai lati dellangolo;

consideriamo quindi il generico punto P(x;y)e imponiamo che sia equidistante da re s;

otteniamo:3 4 4

9 16

4 3 22

9 16

x y x y

+

=

+

+

.

Analizzando i casi dei moduli, arriviamo alle equazioni delle due bisettrici:b x y b x y

1 27 26 0 7 18 0: : = + =

RicordaLe due bisettrici sono perpendicolari (come gi stato dimostrato nella geometria euclidea);

infatti mm

b

b1

2

1= .

ESERCIZI

9 Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono coincidenti, parallele, incidenti o perpendicolari. a 2 3 0 2 5x y y x+ = = e b 3 7 0 2 5 0y x = =e

c 2 2 2 1 0 2 4 0x y x y = + + =e d 3 2 4 0 2 3x y x y + = e ==5

e y x x y= + + =3 1 3 3 3 0e

10 Determina per quali valori di kil punto Q(k23; 9 k2) appartiene alla retta passanteper P(3; 6) e parallela alla retta 2x+3y=0.

11 Traccia per il punto P(4; 6) le rette ae brispettivamente parallela e perpendicolare alla rettapassante per Q(2; 1) e T(1; 3). Determina una retta cparallela allasse dellex, in modo che

il triangolo individuato dalle rette a, becabbia area 5.

12 Determina il triangolo individuato dalle rette 2xy8 =0,x+2y9 =0, 3x+y+3 =0e verifica che rettangolo isoscele; quindi calcola perimetro e area.

13 Determina lequazione della retta rpassante per A(2; 3) e B(6; 1) e della retta spassanteper A e perpendicolare a r; per il punto C in cui la retta sincontra lasse delley, traccia

la retta tparallela allasse dellexche incontra la retta rnel punto D. Verifica che il triangolo

BDC isoscele e calcola il perimetro e larea.

14 Determina sulla retta di equazione 3x4y25 =0 un punto P che disti 5 dallorigine.15 Determina la distanza del punto A(2; 3) dalla retta passante per P =

5 3

2; e perpendicolare

alla retta di equazione 2x+y+1 =0.

16 Determina sulla retta di equazione 3x2y+2 =0 un punto P che sia equidistante da A(1; 2)e B(4; 1).

17 Determina sulla retta di equazionex+3y+12 =0 un punto P che con A(2; 4) e B(5; 1)formi un triangolo di area 23.

18 Calcola le altezze del triangolo di vertici A(2; 3), B(3; 2) e C(6; 5).19 Dato il triangolo ABC con A(5; 2), B(9; 6) e C(0; 3), determina lortocentro (intersezione

delle altezze).

20 I punti A(3; 4), B(3; 6), C(1; 0) e D(5; 2) sono i quattro vertici di un rombo. Verifica: a che i lati sono isometrici e paralleli a due a due; b che le diagonali sono perpendicolari.

Calcola infine il perimetro, larea e il raggio della circonferenza inscritta nel rombo.21 Determina la distanza tra le due rette 2x3y+4 =0 e 4x6y12 =0.

yb1

x

b2

rs



13/32

A

12

22 Determina sulla retta di equazione 3xy6 =0 i punti equidistanti dagli assi cartesiani.23 Determina lequazione della retta asapendo che il punto P(2; 3) la proiezione di R(2; 1)

su tale retta.

24 Tra le rette parallele alla rettax+2y3 =0 determina quella che dista 2 5 dallorigine.

Per approfondire

Determina il luogo dei punti del piano equidistanti dalle rette di equazione x3y +5 =0e 3xy +1 =0 (sono i punti che appartengono alle bisettrici degli angoli che le due retteformano, pertanto ).

Fascio di rette

Date due rette re sdi equazione ax by c + + = 0e a x b y c + + = 0, lequazioneax by c k a x + + + ++ + ( ) =b y c 0con kR un fascio di rette.

Le rette re ssi chiamano generatrici.Se rs=P si ha un fascio proprio(insieme di tutte le rette passanti per P) e P si chiama

centro del fascio.Se rs si ha un fascio improprio(insieme di tutte le rette parallele a re s).

RicordaLequazione y y m x x = ( )0 0 , vista precedentemente, una forma semplificata di fascioproprio; infatti rappresenta tutte le rette passanti per il punto P(x0; y0), il centro del fascio,e le generatrici sono le rette x= x0e y= y0.Lequazione y= mx+kcon mcostante e k R una forma semplificata di fascio improprio;infatti rappresenta tutte le rette con coefficiente angolare fisso m e ordinata alloriginevariabile; la retta y= mx si chiama retta di basedel fascio.

ESEMPIO 4

Dato il fascio di equazione2 1 1 2 4 0a x a y a +( ) + ( ) = determiniamo:

a le generatrici; b il centro;c la retta non rappresentabile;d la retta passante per P(5; 3);e la retta parallela allassey;f la retta perpendicolare alla retta

3x2y+10 =0;g le rette che intersecano il segmento AB

con A(5; 5) e B(4; 8);h le rette che intersecano il segmento DE con D(3; 6) ed E(2; 4).

a Per determinare le generatrici dobbiamo svolgerei prodotti nellequazione del fascio e raccogliere il parametro a:

2 1 1 2 4 0a x a y a +( ) + ( ) = 2 2 4 0ax x y ay a + + = a x y x y 2 2 4 0 ( ) + + = ; le due generatrici sono: 2xy2 =0 ex+y4 =0.

b Per determinare il centro sufficiente intersecare due rette qualsiasi del fascio, per esempiole due generatrici, oppure due rette ottenute dando al parametro adue valori a scelta.Nel nostro caso intersechiamo le due generatrici, impostando e risolvendo il sistema

tra le due equazioni:

2 2 0

4 0

x y

x y

=

+ =

3 6 0

4 0

x

x y

=

+ =

xx

y

=

=

2

2 il centro C(2; 2).

y

g1

x

a= 1 a=

y1

P

C

a= 0

g2



14/32 13

c In ogni fascio esiste una retta che non possiamo ottenere per nessun valorereale del parametro a (simbolicamente a =); tale retta proprio la generatricemoltiplicata per il parametro. Nel nostro caso quindi 2xy2 =0.

d Per determinare la retta per P(5; 3) sostituiamo le sue coordinate nellequazione del fascio

e otteniamo: 2 1 5 1 3 2 4 0a a a+( ) + ( ) = 10 5 3 3 2 4a a a+ + =00

5 4 0a+ = 4

5

a = ; ora sostituiamo questo valore nellequazione del fascio e risulta:

2 4

51 1

4

52

4

5

+

+ +

x y =4 0 + =3

5

9

5

12

50x y + =3 4 0x y

e La retta parallela allasse delleyha equazionex=k, pertanto il coefficiente diynel fascio deve essere 0 (zero) cio: 1 a=0 a=1; sostituendo questo valoredi anellequazione del fascio otteniamo 3x6 =0 x=2.

RicordaLe rette del fascio parallele agli assi cartesiani si possono determinare direttamentea partire dal centro: infatti hanno equazione x=xCe y=yC.

f Per determinare la retta perpendicolare alla retta 3x2y+10 =0, dobbiamo

esplicitare questa retta ottenendo y x= +32

5e quindi mr

= 32

, determinare

il coefficiente angolare del fascio, cio ma

a

a

aa

= +

=+

2 1

1

2 1

1; dovremo poi porre,

per la condizione di perpendicolarit, mm

a

r

= 1

a

a

+

= = 2 1

1

1

3

2

2

3con a1

a+ = 6 3 22 2a+ 1

8a= ; sostituendo questo valore di anellequazione del fascio

otteniamo: 2 1

81 1

1

82

+

+

x y

=1

84 0 + =

3

4

9

8

15

40x y

+ 2 3 1x y 00 0= .Attenzione!In questo caso per determinare lequazione della retta richiesta, possiamo anche utilizzarela formula y y m x x = ( )0 0 , dove x0e y0sono le coordinate del centro C(2; 2) del fascio

e mm

r

= = 1 2

3; otteniamo quindi y x = 2

2

32(( ) = +y x

2

3

10

3 + =x y2 3 10 0 .

g Per determinare le rette che intersecano il segmento ABcon A(5; 5) e B(4; 8), dobbiamo calcolare i coefficientiangolari m

CAe m

CBdelle rette CA e CB, dove C il centro

del fascio:

my y

x xm

y y

x xCA

C A

C A

CB

C B

C B

e=

=

= =

=

2 5

2 51

2 88

2 4

6

23

=

=

poich le rette che intersecano il segmento AB sonoquelle comprese tra le rette CB e CA, dobbiamo porreil coefficiente angolare del fascio compreso tra m

CAe m

CB

cio: mCA

mam

CB 1

2 1

13

+

a

acon a1

2 1

11

2 1

1 3

+

+

a

a

a

a

e risolvendo il sistema si ottiene a 2 a 4.

y

x

C

B

A



15/32

A

14

h Per determinare le rette che intersecano il segmento DE con D(3; 6) ed E(2; 4),analogamente al puntog), calcoliamo i coefficienti angolari m

CDe m

CEdelle rette

CD e CE:

my y

x xm

y y

xCD

C D

C D

CE

C E

C

e=

=

=

= =

2 6

2 3

4

14

xxE

=

( ) =

=

2 4

2 2

2

4

1

2

.

Anche in questo caso, le rette che intersecano il segmento DE sono quelle comprese

tra le rette CD e CE; poich per passare dalla retta CD alla retta CE si passa per laretta verticale, che non ha coefficiente angolare finito, dobbiamo porre il coefficienteangolare del fascio minore o uguale a m

CEe maggiore o uguale a m

CDcio:

ma m

CEm

a m

CD

2 1

1

1

2

2 1

14

a

a

a

a

+

+

e risolvendo le disequazioni

si ottiene: 1

5

5

2a .

Attenzione!Il valore del parametro a =1 dovrebbe essere escluso per le condizioni sul denominatore;tuttavia sostituendo tale valore nellequazione del fascio otteniamo la retta x = 2, cheinterseca il segmento DE, pertanto a =1 accettabile.

Ricorda possibile risolvere il quesito h) an-che determinando il verso (orario oantiorario) secondo il quale il para-metro acresce al variare della rettadel fascio. Per fare questo traccia-mo le due generatrici x +y 4 = 0e 2x y 2 =0, che corrispondonoal valore del parametro a =0 e allaretta non rappresentabile, determi-niamo i valori del parametro a cor-rispondenti alle rette CE e CD sosti-

tuendo le coordinate dei punti E e Dnellequazione del fascio ottenendo:

a a= = ;1

5

5

2e a questo punto, osser-

vando il grafico, possiamo stabilireche il parametro acresce secondo ilverso antiorarioa partire dalla rettanon rappresentabile.Poich dobbiamo considerare le rette che intersecano il segmento DE, i valori di acorrispondenti dovranno essere quelli dalla retta non rappresentabile alla retta CEoppure dalla retta CD di nuovo alla retta non rappresentabile; simbolicamente si assumea=come valore del parametro associato alla retta non rappresentabile.

Dato il fascio di equazione 2 1 3 1 3 0k x k y +( ) +( ) + = , dopo aver stabilito la sua natura,determiniamo la retta del fascio:

a passante per A(2; 1);b che individua con gli assi cartesiani un triangolo di area 12.

Per stabilire la natura del fascio dobbiamo verificare se mk un valore costante (fascio

improprio) oppure varia al variare del parametro k; calcoliamo allora il coefficiente angolare

mk

kk

=

+( ) +( )

=

2 1

3 1

2

3

con k1, poich m costante abbiamo un fascio improprio.

a Per determinare la retta passante per A(2; 1), sostituiamo le sue coordinate nellequazione

del fascio, ottenendo 2 1 2 3 1 1 3 0k k+

( ) +

( )

( )+ = 5 10 0k+ = k =

110

5

;

inserendo il valore trovato nellequazione del fascio arriviamo alla retta 2 3 7 0x y = .

y

x

C

a=

E

a= 0

D



16/32 15

COMPLETA

25

Scrivi il fascio generato dalle rette di equazione 2xy=0 ex+3y+7 =0 e calcola il centro;determina poi il valore del parametro per cui le rette del fascio risultano:

a parallele agli assi; b con coefficiente angolare positivo;

c distanti 2

2dallorigine.

Scriviamo il fascio generato dalle due rette: k x y x y 2 3 7 0( ) + + + = k x2 1 0+( ) + = ;per determinare il centro sufficiente intersecare ; pertanto C(; ).

a Le rette parallele agli assi hanno equazione , dovendo passare per C, otteniamo

b Le rette con coefficiente angolare positivo dovranno avere mk 0 m

k

k =

+

2 1 0

con k

c La distanza dellorigine dalla generica retta del fascio si calcola in base alla formula

d rax by c

a bO,( ) =

+ +

+

0 0

2 2d r

kO,( ) =

+( ) + 2 1 0

22 1

2

22 2k+( ) + ( )= 2 2 1

2 2

k = +( ) + ( )

e svolgendo i calcolo otteniamo k1= k

2=

ESERCI

ZI

26 Dato il fascio di equazione 1 2 1 6 0( ) + +( ) =k x k y , determina il centro e le generatrici;calcola per quali valori di kuna retta del fascio risulta:

a parallela allasse dellex; b parallela allasse delley;

c passante per O; d passante per P(4; 2); e inclinata di 135 rispetto al semiasse positivo dellex; f con coefficiente angolare m>0.

27 Scrivi lequazione del fascio generato dalle rette di equazione r: 2x+y2 =0 e s:x3y+20 =0; determina poi la retta adel fascio perpendicolare alla rettax+2y+2 =0 e la retta b

del fascio che ha ordinata allorigine 5; verifica che ae bsono perpendicolari. Calcola infine

larea del triangolo individuato da a, be dallasse delle ascisse.

28 Dopo avere studiato la natura del fascio (proprio o improprio) di equazionetx t y t + ( ) + + =1 2 3 0e avere calcolato le generatrici, determina i valori di tper cui la retta:

a sia parallela alla retta passante per P(2; 2) e Q(4; 2);b sia perpendicolare alla bisettrice del secondo e quarto quadrante;

c intersechi il segmento AB con A(3; 1) e B(1; 0).

b Per determinare la retta che individua con gli assi cartesiani un triangolodi area 12, calcoliamo le coordinate dei punti A e B di intersezione del fasciocon gli assi cartesiani:

2 1 3 1 3 0

0

k x k y

y

+( ) +( ) + =

=

3

2 10

k

+( )

;A

+( ) +( ) + ==

e

2 1 3 1 3 0

0

k x k y

x

+

;B 0 1

k 11

; ora calcoliamo larea del triangolo OAB, ricordando che un triangolorettangolo in O: A

OAB OA OB= = +( ) +

= 1

2

1

2

3

2 1

1

112

k k; sviluppando

i calcoli e analizzando il modulo, otteniamo:1

k == 5

4 =

3

42

k .

Ricorda

a b ab =



17/32

A

16

29 Scrivi lequazione del fascio generato dalle rette di equazione r: 2xy=0 e s:x+y3 =0;determina poi il valore del parametro per cui una retta del fascio:

a passa per A(5; 2);

b perpendicolare alla retta 2xy7 =0;

c forma con gli assi cartesiani un triangolo di area9

4.

30 Determina sulla bisettrice con coefficiente angolare positivo degli angoli formati dalle rette2x3y16 =0 e 3x+2y+11 =0 i punti che distano 4 2dalla rettay=x+1.

31 Determina la distanza del punto P, intersezione delle rettexy+5 =0 e 2x+y+7 =0,dalla retta sdel fasciox+ky4k7 =0, che risulta perpendicolare alla retta rdi equazione

y=3x+7. Dette H la proiezione di P sulla retta s, K e J le intersezioni della retta r

con la rettase lasse delleyrispettivamente, verifica che il quadrilatero JKHP un trapezio

rettangolo e calcola perimetro e area.

32 Dopo avere stabilito la natura del fascio di equazione 3 1 1 2 0k x k y k ( ) + ( ) + = , calcolale generatrici; determina poi per quali valori del parametro kuna retta del fascio:

a risulta passante per lorigine;

b risulta distante10

2

dallorigine;

c forma con gli assi cartesiani un triangolo di area 6.

Per approfondire

Traccia il grafico delle seguenti funzioni.

a y x= 2 4 1 b y x= 3 2 c y x x= 4 5

d y

x=

2 3 ++

x

x

2

2 e y x

x

x=

2

1

1 f y x x= +9 6 12

g y

x x

=


18/32 17

9 Scrivi il fascio generato dalle rette di equazionex2y+1 =0 ex+y+7 =0; determina il centro.Successivamente trova una retta del fascio che:

a passa per A(3; 2); b parallela allasse dellex;

c perpendicolare alla retta 2xy=0; d forma un angolo di 135 con il semiasse positivo dellex.

10 Dato il fascio di equazione kx k y k + ( ) + =1 3 1 0individua il centro, le generatrici e la retta nonrappresentabile. Determina poi la retta rdel fascio che passa per P(2; 3) e la retta sdel fascio che

dista 5dallorigine. Infine trova larea del triangolo individuato dalle rette r, se dallasse delle y.

11 Determina per quali valori di kle rette del fascio di equazione 3 1 4 3 0kx k y + ( ) = : a formano un angolo acuto con il semiasse positivo dellex;

b intersecano la poligonale di vertici A(0; 6), B(5; 0) e C(1; 6).

Stabilisci infine il verso di rotazione del fascio.

12 Dopo avere studiato la natura del fascio di equazione kx ky k + + =2 1 2 0, determina la rettadel fascio su cui gli assi cartesiani individuano un segmento lungo

7

25.

VERSO LUNIVERSIT

1 Determina lequazione cartesiana delle seguenti rette date in forma parametrica.

a x k

y k

=

=

2 1

1 4 b

x k

y k

+ = +

=

1

23 2

2

2 Rappresenta le seguenti regioni di piano.

a x y+ 1 b x y

x y

+

5

2 5 c

x xy y + 9 62 2 11

4 4 22 2

x xy y+ +



19/3218

AANALITICA

PARABOLA

Parabola: luogo dei punti del piano che

hanno la stessa distanza da un puntofisso detto fuocoe da una retta fissa dettadirettrice.

Asse della parabola: asse di simmetriadella parabola.

Vertice della parabola:punto di interse-zione tra la parabola e il suo asse.

Equazione della parabola

Parabola con asse parallelo allasse y, Parabola con asse parallelo allasse x,forma canonica:y=ax2+bx+c con a0. forma canonica:x=ay2+by+ccon a0.

Asse x b

a=

2 Asse y

b

a=

2

Vertice V

x b

a

yb ac

a a

V

V

=

= ( )

=

2

4

4 4

2 Vertice V

xVV

V

= ( )

=

=

b ac

a a

y b

a

24

4 4

2

Fuoco F

x b

a

yb ac

a a

F

F

=

= ( )

=

2

1 4

4

1

4

2 Fuoco F

xFF

F

= ( )

=

=

1 4

4

1

4

2

2b ac

a a

y b

a

Direttrice ya

= +1

4 Direttrice x

a=

+1

4

Concavit della parabola:il coefficiente a legato alla concavit della parabola.

a Se la parabola ha lasse parallelo

allasseyea>0, essa ha la concavitrivolta verso lalto.

b Se la parabola ha lasse parallelo

allasseye a 0

O

y

x

a< 0

O



20/32 19

Equazione delle parabole di verticeV(xV;y

V)

y y a x x = ( )V V2

c Se la parabola ha lasse paralleloallassexe a>0, essa ha la concavitrivolta verso destra.

d Se la parabola ha lasse paralleloallassexe a 0

O

y

x

a< 0

O

y

x

v

A B

C D



21/32

A

20

ESEMPIO 2

Determiniamo lequazione della parabolay=ax2+bx+cdi vertice V 1

2

3

4;

e passante

per A(1; 3). Dobbiamo trasformare le informazioni fornite dal problemain relazioni algebriche per poter trovare i valori dia, be c.

V 1

2

3

4;

il vertice x

b

aV

= =

1

2 2 b a= ;

V e A sono punti della parabola, quindi le loro coordinatesoddisfano lequazione della parabola; sostituendo i valorinellequazione generale delle parabola otteniamo:

3

4

1

2

1

2 4 2

2

=

+

+ = + +a b c

a bc 2+a bb c+ =4 3

3 1 12

= ( ) + ( ) + = +a b c a b c 3 + =a b c poniamo a sistema le tre equazioni trovate ottenendo:

b a

a b c

a b c

=

+ + =

+ =

2 4 3

3

risolviamolo con il metodo pi efficace ricavando a=1, b=1 e c=1; quindi

lequazione della parabola :y=x2x+1.Attenzione!

In questo caso per determinare lequazione della parabola, possiamo anche utilizzare

la formula y y a x x = ( )V V2

, dove xVe y

Vsono le coordinate del vertice

V 1

2

3

4; ,

ottenendo y a x =3

4

1

2

2

; successivamente, sostituendo le coordinate di A(1; 3),

arriviamo a determinare il coefficiente a: 3 3

41 1

2

2

=

a 9

4

9

4= a 1=a ; quindi

lequazione cercata y x =

3

4

1

2

2

y x x= +12 .

Determiniamo lequazione della parabola con asse parallelo allassexpassante per A 2 1

3;

,

B 0 2

3;

e C(1; 0).

La generica parabola con asse parallelo allassexha equazionex=ay2+by+c;

A 2 1

3;

, B 0 2

3;

e C(1; 0) sono punti della parabola, quindi le loro coordinate

soddisfano lequazione della parabola; sostituendo i valori otteniamo il seguente sistema

risolvente:

a b c

a b c

c

+ + =

+ =

=

3 9 18

4 6 9 0

1

e risolvendolo con il metodo pi efficace arriviamo

allequazione: x y y= +3

2

5

2

2 ++ 1.

COMPLETA

2 Determina la parabola con asse parallelo allasse delle xdi vertice V(4; 2) e fuoco F(3; 2).Le coordinate del vertice sonox

V= ey

V=; le coordinate del fuocox

F= ey

F=

Osservando cheyVey

Fsono , possiamo impostare il sistema in a, be c:

=

b

a2

2 e risolvendolo con il metodo pi opportuno, arriviamo a: x y= 1

4

2

y

x

v

A



22/32 21

ESEMPIO 3

Determiniamo i punti di intersezione della parabola di equazione y x x= 1

2

3

2

1

2

2

con le rette di equazione x y x y x y = + = + 2 1 0 5 2 0 2, e 33 0= .

Calcoliamo i punti di intersezione impostando e risolvendo il sistema tra lequazione

della parabola e la prima retta:y x x

x y

=

=

1

2

3

2

1

2

2 1 0

2

y x x=

1

2

3

2

12

22

1

2y

x=

e risolvendolo con il metodo pi efficace, per esempio il confronto, otteniamo

lequazione risolvente: =1

2

3

2

1

2

1

2

2x xx

=4 02x x = =0x x 4;

quindi otteniamo due punti di intersezioneA e B0

1

24

5

2; ;

e pertanto

la retta secante.

ESERCIZI

3 Determina lequazione della parabola che ha fuoco F(4; 0) e vertice V(4; 1).4 Determina lequazione della parabola che ha vertice V(1; 2) e direttricey=7

4.

5 Determina lequazione della parabola che ha fuoco F(1; 0) e direttricey=1.6 Determina lequazione della parabola passante per A(2; 5) e B(4; 1) e avente come asse

la rettax=2.

7 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allasse dellexpassante per ;0 15

A

,

B(11; 2) e C(1; 0).

8 Determina lequazione della parabola di vertice V(1; 2) e passante per lorigine degli assi.9 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allasse delley di vertice V(3; 4)

e passante per il punto Q di intersezione delle rettey=2x+5 ey=x+2.

10 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allasse delley passante per P(2; 1), ; 1

5

4Q

e R punto di intersezione delle rette di equazionexy+1 =0 e 2x+y+1 =0.

Traccia il grafico. Determina poi P, Qe Rsimmetrici di P, Q e R rispetto alla rettax=1; infine

determina lequazione della parabola passante per P, Qe R. Che cosa si pu notare?

Posizioni reciproche di una parabola e di una retta

Date una parabola Pdi equazioney=a2+bx+ce una retta rdi equazioney=mx+q, lequazione

risolvente il sistemay ax bx c

y mx q

= + +

= +

2

tra parabola

e retta unequazione di secondo grado, quindi

possibile calcolare il ; la retta rispetto allaparabola pu essere:

secante rP= A B;{ } se >0 tangente rP= T{ } se =0 esterna rP= se


23/32

A

22

Procediamo con la seconda retta:y x x

x y

=

+ =

1

2

3

2

1

2

5 2 0

2

; otteniamo lequazione risolvente

x x 1

2

3

2

12

22

5

2= x 2 1 02 + =x x 1

1 2=x

,; quindi otteniamo un punto

di intersezione (in realt sono due coincidenti) T 1 5

2;

e pertanto la retta tangente.

Infine per la terza retta abbiamo:y x x

x y

=

+ =

1

2

3

2

1

2

2 3 0

2

; otteniamo lequazione risolvente

= +1

2

3

2

1

22 3

2x x x + =7 02x x =1 28 =27


24/32 23

riprendiamo il sistema iniziale:

8 9 3

2

1 4 3 02

= + +

= + +

( ) +( ) =

a b c

a b c

b a c

e risolviamolo con il metodo

pi efficace: per esempio, possiamo sottrarre le prime due equazioni membro a membroe ricavare bin funzione di a, ricavare anche cin funzione di ae sostituire tali

espressioni nella terza equazione:

10 8 2

2

1 4 3 02

= +

= + +

( ) +( ) =

a b

a b c

b a c

b a

c a a

b a c

a

= +

= ( ) + =

( ) +( )

+

4 5

2 3 7

1 4 3

4 5

2

==

0

= +

=

( ) +

4 5

3 7

1 44 5 32

b a

c a

aa aa +( ) =

7 3 0

b a

c a

a a

= +

=

+

4 5

3 7

4 42 ==

0

=

=

=

3

1

2

b

c

a

pertanto lequazione della parabola cercata y=2x23x1.

Calcoliamo lequazione della retta tangente alla parabola di equazione y=x2+4x+1nel suo punto T(3; 4).

Primo metodo: =0 Scriviamo il fascio di rette di centro T(3; 4): y m x = ( )4 3 y mx m= +3 4

poniamo a sistema lequazione della retta e della parabola:y x x

y mx m

= + +

= +

24 1

3 4

determiniamo lequazione risolvente: x m x m2 4 3 3 0+ ( ) + =imponiamo il di tale equazione uguale a 0: = ( ) ( ) =m m4 4 3 3 0

2

+ + =m m m

8 16 12 12 02

m m

24 4 0+ + =

m

2

2 0+

( ) =

m 2=

quindi otteniamo la retta y=2x+10.

Secondo metodo: m ax bt

= +2T

mt

= ( ) + = 2 1 3 4 2 e quindi y x y x = ( ) = +4 2 3 2 10Terzo metodo: formula di sdoppiamento

y

xx

y x+

= ( ) ++

+ = +4

21 3 4

3

21 2 10

ES

ERCIZI

11 Data la parabola di equazione x x y2 4 3 0 + = , determina lasse, il vertice, le intersezionicon le rette di equazione x y2 4 0+ + = , x y x3 3 0 2+ = e yy =6 0.

12 Determina le rette uscenti dal puntoA 5

21;

e tangenti alla parabola di equazione 4 5

2.= +y x x

13 Determina la retta tangente alla parabola di equazione y x x= +2 4

3

1

3nel suo punto di ascissa 2.

14 Data la parabola di equazione y x x= +2 6 42 , determina le rette tangenti nei suoi puntidi intersezione con gli assi cartesiani.

15 Discuti al variare del parametro la posizione delle rette del fascio di centro C(2; 1) rispettoalla parabola di equazione y x x= +

23 2.

16 Determina la parabola con asse parallelo allasse delle xdi vertice V 13

4

3

2;

e fuoco F 3

3

2;

;

determina poi una retta perpendicolare allasse dellex

che, intersecando la parabola, individuauna corda lunga 4.



25/32

A

24

Fasci di parabole

Date due parabole P1 e P

2 di equazione

y ax bx c= + +2 e y a x b x c= + + 2 , lequazio-

ne ax bx c y k a x b x c y 2 2 0+ + + + + ( ) = con kR un fascio di parabole.

Le parabole P1e P2 si chiamano generatrici.

Se P1P

2={A; B} si ha un fascio di parabole

passanti per A e B detti punti base; la rettaAB detta asse radicale.

Se P1P

2={T} si ha un fasciodi parabole

passanti per T, punto base, e tangenti a unaretta per T detta asse radicale.

Se P1P

2=si ha un fasciodi parabole

senza punti base.

RicordaLequazione y y a x x = ( )0 0

2, vista

precedentemente, una forma sem-plificata di fascio di parabole; infattile generatrici sono le parabole de-generi x x y y ( ) = =0

2

00 e , il punto

P(x0; y0) il punto base.

y

x

Asse radicale

A

B

y

x

A

Asse radicale

ESEMPIO 5

Dato il fascio di parabole di equazione y k x kx k= ( ) + +1 3 2 12 determiniamo:a le generatrici; g la parabola passante per A(3; 4);b gli eventuali punti base; h la parabola avente come asse di simmetriac la parabola non rappresentabile; lassey;d le parabole degeneri; i le parabole con concavit rivolta verso il basso;e lasse radicale; j le parabole che non intersecano lasse dellex;f la parabola con vertice V di ascissa 1; k la parabola tangente alla rettay=x+1;

a Per determinare le generatrici svolgiamo il prodotto, portiamo tutto a primo membroe raccogliamo il parametro k, ottenendo y x k x x + +( ) =2 21 3 2 0 ; quindi ledue generatrici sono g y x g x = +

1

2

2

21: :e 33 2 0x + = .

b Per determinare i punti base intersechiamo le due generatrici:y x

x x

= +

+ =

2

2

1

3 2 0

y x

x x

= +

= =

21

2 1

x

y

x

y

=

=

=

=

1

2

2

5

c La parabola non rappresentabile la generatrice moltiplicata per il parametro k,cio g x

2

2: 33 2 0x + = .

d Le parabole degeneri di questo fascio sono: la generatricex 2 33 2 0x+ = , infatti una coppia di rette parallele di equazionex=1 x=2, e lasse radicale, che si ottieneper il valore di k che annulla il coefficiente dix2, cio k=1, e quindiy=3x1.

e Per ottenere lasse radicale possiamo annullare il coefficiente dix2come fatto nel puntoprecedente, oppure possiamo determinare la retta passante per i due punti base:y x = ( )2 3 1 y=3x1.



26/32 25

f Imponiamo chexVvalga 1: =

( ) =

b

a

k

k2

3

2 11k=2; quindi la parabola :

= +y x x3 6 52 .

g Imponiamo il passaggio per A(3; 4): 4 1 9 3 3 2 1= ( ) + ( ) +k k k k=3; quindila parabola : 2 9 72= +y x x .

h Imponiamo che lasse sia la rettax=0: = ( )

=b

a

k

k2

3

2 10 k=0; quindi la

parabola : = +

y x 1

2

.i Imponiamo chea


27/32

A

26

18 Dato il fascio di parabole di equazione y x a x a= ( ) 2 2 1 4 , dopo avere calcolato le generatrici,i punti base e le parabole degeneri, determina per quali valori del parametro kla parabola

del fascio:

a ha assex=3; b tangente allasse delle x; c passa per lorigine; d incontra lasse delleyin punti di ordinata positiva; e ha la concavit rivolta verso il basso.

19 Dato il fascio di parabole di equazione y a x x a=

( ) + +1 2 32

, determina per quali valoridel parametro a, la parabola del fascio:

a ha direttrice y=11

8; b ha fuoco F(2; 2);

c ha vertice V di ordinata1

4 ; d ha la concavit rivolta verso lalto.

20 Dato il fascio di parabole di equazioney h x hx h= ( ) + 1 2 32 , dopo avere calcolatole generatrici, i punti base e le parabole degeneri, la retta tangente a tutte le parabole

del fascio, determina per quali valori del parametro h, la parabola del fascio:

a ha vertice di ascissa 1; b passa per il punto T(1; 4);

c tangente allasse dellex; d ha come asse di simmetria la rettax=2;

e tangente alla rettay+8x7 =0.

21 Dato il fascio di parabole di equazione y k x k x k = ( ) + ( ) 1 22 , dopo avere calcolato legeneratrici, i punti base e le parabole degeneri, determina per quali valori del parametro k,

la parabola del fascio:

a ha vertice di ascissa negativa; b nel punto P di ascissa 1 ha tangente di equazioney=2x+5.

c intercetta sulla rettay=3 una corda lunga2

3

.

Per approfondire

Determina il luogo dei vertici dei seguenti fasci di parabole.

a y k x k x k =

( ) +

( ) + 1 2 2 1

2 b y x ax a= + + 1

2

2 12 c y t x tx t =

( ) + +1 22

COMPLETA

22 Determina lequazione della parabola di vertice V(2; 4) e passanteper lorigine O. Detti A e B (con x

A


28/32 27

Per approfondireArea del segmento parabolicoDate la parabola y=ax2+bx+ce la rettay=mx+q, larea del segmento parabolico

Aseg parab A B= ( )1

6

3a x x

dove a il coefficiente della x2della parabola,

mentre xAe xBsono le ascisse dei punti di in-tersezione della parabola con la retta.

COMPLETA

32 Calcola larea del segmento parabolico individuato dalla parabolay=x2+8x7 e dalla rettay=2x2.

Determiniamo i della parabola con la retta:y=

A(1; ) e B(; ).

Pertanto utilizzando la formula, otteniamo: Aseg parab= = = 16 16

ESERCIZI

23 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allasseypassante per P(2; 5)e tangente in Q(1; 0) alla retta di equazioney=6x6. Detti A e B i punti di intersezione

della parabola con lasse dellex, calcola il perimetro e larea del triangolo ABV.

24 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allassey di vertice V(2; 4) e passanteper R(1; 5). Individua un punto P appartenente allarco di parabola nel primo quadrante

in modo tale che il triangolo OPV sia rettangolo in P.

25 Data la parabola di equazione y x x= + +1

432 , calcola il vertice, lasse e traccia il grafico;

determina poi una retta di equazioney=k, in modo tale che, dette H e K le sue intersezioni

con la parabola, il segmento HK sia lungo 6.

26 Determina la parabola con asse parallelo allasse delleypassante per A(6; 1) e tangentein B(0; 2) alla rettay=2x +2. Individua poi i punti della parabola che formano con A e B

un triangolo di area 12.

27 Determina la parabola con asse parallelo allasse delleypassante per A(3; 2), B(2; 3)e C(1; 10). Inscrivi nellarco di parabola contenuto nel primo quadrante un rettangolo,

con lati paralleli agli assi cartesiani, avente perimetro 14.

28 Date le parabole di equazioney=x23x+2 ey=x2+x+2, determina una retta parallelaallasse dellexche individua sulle due parabole corde congruenti. Calcola infine la lunghezzadelle corde.

29 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allassey passante per A(0; 4)e tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante nel suo punto T di ascissa 2. Detto B

il punto di intersezione tra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la tangente in A

alla parabola, calcola il perimetro e larea del triangolo ATB.

30 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allassey di vertice V(2; 10)e passante per A(0; 6); per il suo punto B di ascissa 1 traccia la tangente e la normale.

Detto C il punto di intersezione della normale con lasse dellex, calcola larea del triangolo ABC.

31 Tra le parabole del fascio di equazioney kx k x = + ( ) +2 2 3 1determina quella passanteper A(2; 7) e quella con assex=1. Determina poi nella regione di piano tra le due paraboleuna retta parallela allasse dellexche individua sulle due parabole corde isometriche.

y= ax2+ bx+ c

y=mx

+ q

y

x

A

B



29/32

A

28

VERIFICA

VERSO LUNIVERSIT

1 Rappresenta sul piano cartesiano le seguenti curve. a y x x=

22 1 b x y= 2 c y x= + 1 d x y= 1 3

e y x= 1 f y x+ =2

4 4 0 g y x x =2 0 h y x= 2

+6 94

x

2 Determina lequazione cartesiana delle seguenti parabole date in forma parametrica. a

x t

y t t

=

= +

2

3 2 4 2

b x t t

y t

=

=

2 4 1

3 2

2

3 La legge oraria del moto parabolico di un oggetto data da x ty t t

=

= +

0 5

2 4 2

,con tin secondi,

xeyin metri. Determina la traiettoria, traccia il suo grafico, calcola listante in cui loggetto

arriva a terra e lascissa del punto di impatto. Calcola infine la posizione e la velocit iniziali.

1 Data la parabola Pdi equazione y x x= + +14

3

2

7

4

2 , determina le rette tangenti a Puscenti

dal punto R(3; 8). Detti A e B i punti di contatto, verifica che il triangolo ABR isoscele

e calcola perimetro e area.

2 Data la parabola di equazione y x x= + +12

2 22 , determina per quali valori del parametro

la retta del fascio di centro C 32

7; esterna, tangente o secante la parabola. Dette t1e t2

le rette tangenti e T1e T

2i rispettivi punti di contatto, determina larea del triangolo T

1CT

2.

3 Date le parabole P1e P

2di equazione y x x= +

28 15e y x x= + +

24 5rispettivamente, calcola

i vertici, i fuochi, le direttrici e rappresentale graficamente. Individua poi una retta parallela

allasse dellextale che il segmento che la regione di piano compresa tra le due parabole indivi-

dua sulla retta sia lungo 6 .

4 Tra le parabole passanti per A 1 54

;

e B(6; 5), determina quella con assex=2. Determina

poi sulla parabola un punto P tale chexP+2y

P=8.

5 Dato il fascio di parabole di equazioney ax a x a= + +( ) +

2

1 1 2 , determina le generatrici, glieventuali punti base e le parabole degeneri; calcola inoltre per quali valori di kla parabola:

a passa per A(3; 2); b ha come asse la rettax=2;c tangente alla rettay=2x+4; d stacca sulla rettay=2 un segmento lungo 5

2

.

6 Dato il fascio di parabole di equazione y k x kx k= ( ) + 1 1 22 , determina la parabola del fascio che: a passa per lorigine; b ha la concavit rivolta verso lalto; c tangente allasse dellex;

d individua sugli assi cartesiani tre punti che formano un triangolo di area 1.

7 Data la parabola di equazione y x x= +2 4 1, traccia il grafico, determina le coordinate delvertice V e lequazione dellasse. Dette A e B le intersezioni della parabola con la rettay=1,determina i punti P della parabola in modo che il triangolo ABP abbia area 10.

8 Tra le parabole con asse parallelo allasseye passanti per A(2; 5) e B(0; 3), determina quellatangente alla rettay=x +2. Determina poi tra le rettey=x +hquella che individua con

la parabola un segmento parabolico di area64

3.

9 Determina lequazione della parabola con asse parallelo allasse delle xdi vertice V(3; 0)e passante per A(0; 3). Traccia per A la retta tangente alla parabola che incontra in B lasse

dellex. Determina un punto Q della parabola che forma con A e B un triangolo di area 2.



30/32 29

AANALITICA

CIRCONFERENZA

Circonferenza: luogo dei punti del piano che hanno la

stessa distanza, detta raggio, da un punto fisso dettocentro.

Equazione della circonferenza

Circonferenza di centro C(xC; y

C) e raggio r:

x x y y r( ) + ( ) =C C2 2 2 .

Forma canonica: x y ax by c + + + + =2 2 0 .

Centro C

x a

y b

C

C

=

=

2

2

Raggio r

a b

=

+

2 2

2

2

c

RicordaUnequazione di secondo grado in xe yrappresenta una circonferenza se:

i termini di secondo grado x2e y2hanno coefficienti identici; non presente il termine xy; il radicando che esprime il raggio positivo o nullo, cio

+

a b

c2 2

0

2 2

.

y

x

O

1 2 3 4 5 62 1

5

4

3

2

1

1

2

3

C

r

P

ESEMPIO 1

Determiniamo la circonferenza di centro C(1; 2) e raggio r=3.

Utilizziamo lequazione nella forma x x y y r( ) + ( ) =C C2 2 2e otteniamo

x y+( ) + ( ) =2 2 2

1 2 3 ;

sviluppiamo i calcoli e arriviamo allequazione x y x y2 2 2 4 4 0+ + = .

Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano una circonferenza e, in caso affermativo,calcoliamo centro e raggio.

a x y x y2 2 3 2 1 0+ + + = d x y xy2 2 2 4 0+ + =b x y x y2 22 2 4 12 0+ + + = e x y x y2 2 5 6 20 0+ + + =c x y x

2 22 0 + = f x y x

2 23 3 6 0+ =

a x2

ey2

hanno lo stesso coefficiente; non c il terminexy; radicando =6 +4 1 >0 una circonferenza: C

3

21 3; ,

=r .

b Attenzione!Lequazione non in forma canonica; per stabilire se rappresenta una circonferenzadobbiamo dividere per il coefficiente di x2e y2, in questo caso per 2.

2 2 4 12 0 2 6 02 2 2 2

x y x y x y x y+ + + = + + + = ;x2ey2hanno lo stesso coefficiente;

non c il terminexy; radicando =1 +9 0 >0 una circonferenza: C(1; 3),

10r = .c x2ey2nonhanno lo stesso coefficiente non una circonferenza.

d x2ey2hanno lo stesso coefficiente; c il terminexynon una circonferenza.



31/32

A

30

e x2ey2hanno lo stesso coefficiente; non c il terminexy;

radicando =25

49 20 0+ < non una circonferenza.

f Attenzione!Lequazione non in forma canonica; per stabilire se rappresenta una circonferenzadobbiamo dividere per il coefficiente di x2e y2, in questo caso per 3.

3 3 6 0 2 0

2 2 2 2

x y x x y x+ = + = ;x2

ey2

hanno lo stesso coefficiente; non cil terminexy; radicando =1 +0 0 >0 una circonferenza: C(1; 0), r=1.

Stabiliamo se i seguenti punti sono interni, esterni o appartengono alla circonferenzaCdi equazione x y x y2 2 10 4 11 0+ = : A(2; 3), B(3; 4), C(5;1), D(0; 6),E(11; 0), O(0; 0).

A(2; 3) C? Sostituiamo le coordinate: 4 +9 20 12 11 =30 0 C esterno.D(0; 6) C? Sostituiamo le coordinate: 0 +36 +0 24 11 >0 D esterno.E(11; 0) C? Sostituiamo le coordinate: 121 +0 110 +0 11 =0 E C.

O(0; 0)

C? Sostituiamo le coordinate: 0+

0+

0+

0

11

loescher 3487e preview

Documents

diffusione5232018 loescher

opere consentita

opere antologiche

opere presenti

diritti di riproduzione

opere dellingegno aidrocorso

tipo di riproduzione

itloescher editore