Lorenzo Ramero

Dernire mise--jour : 4 Fvrier 2018

LES PRESSES INSOUMISES

To the great Variety of Readers.

From the most able, to him that can but spell : there you are numberd. We hadrather you were weighed ; especially, when the fate of all bookes depends upon yourcapacities and not of your heads alone, but of your purses. Well ! It is now publique,& you wil stand for your priviledges wee know : to read, and censure. Do so, butbuy it first. That doth best commend a Booke, the Stationer saies. Then, how oddesoever your braines be, or your wisedomes, make your licence the same, and sparenot. Judge your six-penorth, your shillings worth, your five shillings worth at atime, or higher, so you rise to the just rates, and welcome. But, whatever you do,Buy. Censure will not drive a Trade, or make the Jacke go. And though you be aMagistrate of wit, and sit on the Stage at Black-Friers, or the Cock-pit, to arraignePlayes dailie, know, these Playes have had their triall alreadie, and stood out allAppeales ; and do now come forth quitted rather by a Decree of Court, then anypurchased letters of commendation.

[from the preface of the First Folio, the first collected edition of Shakespearesplays, published posthumously in London, in 1623]

Voulez-vous maintenant que vos enfants donnent dans les mathmatiques ? je nevous en dtournerai pas si vous y tenez, mais il faut que lenseignement en soit faitavec prcaution et avec prudence, cest--dire dans un appartement intrieur, sansse permettre de tracer sur les planchers, sur les murs, de figures de gomtrie, decaractres ou grimoire dalgbre. Il ne faut scandaliser personne ; et surtout on doitse garder de donner une rputation de sorcellerie la maison dun magistrat.

[extrait de Histoire des Franais des divers tats, de Amans-Alexis Monteil, pu-bli Paris en 1843]

Table des matires

Invocation des tnbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Blier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1. Anneaux, idaux, modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Fonctions continues sur un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Le spectre maximal est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Le spectre premier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. Le langage catgoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Taureau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1. Intersections et runions didaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Le lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Technique de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4. Espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5. Premiers pas dans lalgbre homologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663. Gmeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1. Limites et colimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2. Foncteurs exacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.3. Limites et foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4. Faisceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5. Le lemme du serpent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134. Cancer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.1. Produit tensoriel de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2. Restriction et extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. Produit tensoriel dalgbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4. Le lemme de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.5. Modules plats et algbres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665. Lion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.1. Modules projectifs et modules injectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.2. Groupes de Picard et anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.3. Fibrs vectoriels et thorme de Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.4. Homotopies et rsolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.5. Schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356. Vierge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.1. Extensions entires danneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.2. Homomorphismes quasi-finis et Main Theorem de Zariski . . . . . . . . . . 2726.3. Anneaux noethriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.4. Varits normales et normalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.5. Platitude gnrique et thorme de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2946.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3007. Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.1. Idaux premiers associs un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.2. Dcomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3257.3. Anneaux noethriens de dimension zro et un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3287.4. Un exemple gomtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3357.5. Foncteurs drivs dun foncteur additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3397.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3508. Scorpion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

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4 Table des Matires

8.1. Valuations sur les anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3678.2. Ordres sur les anneaux et corps formellement rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3758.3. Le spectre rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3898.4. Le spectre valuatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4028.5. Complexes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4108.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4189. Sagittaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4389.1. Anneaux et modules topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4399.2. Technique de compltion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4479.3. Compltion et limites inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4549.4. Valuations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4619.5. Anneaux affinodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4679.6. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47410. Capricorne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48810.1. Le lemme dArtin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48810.2. Foncteurs Tor et extensions de scalaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49510.3. Le critre local de platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50310.4. Le complexe de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51010.5. Solutions aux exercices et problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51211. Verseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51911.1. Modules de longueur finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51911.2. La srie de Hilbert-Poincar dun module gradu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52111.3. Modules filtrs et polynme de Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52411.4. Thorie de la dimension des anneaux locaux noethriens . . . . . . . . . . . . 52711.5. Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53112. Poissons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.1. Systmes de paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.2. Anneaux locaux rguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53512.3. Dimension homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.4. Le thorme de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539Rfrences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

La qute de lesprit tournait en cercle. A Ble jadis, eten bien dautres lieux, il avait pass par la mme nuit.Les mmes vrits avaient t rapprises plusieurs fois.Mais lexperience tait cumulative : le pas la longuese faisait plus sr ; lil voyait plus loin dans certaines

tnbres ; lesprit constatait au moins certaines lois.

Marguerite Yourcenar Luvre au Noir

Invocation des tnbres

Si vous cherchez une Bible de lalgbre commutative un survol complet etsystmatique dun territoire des mathmatiques bien dmarqu mon texte nestpas pour vous. Ce que je vous propose, cest plutt un apprentissage exprimental,dans un atelier dalambics et chaudrons bouillonnants, o les outils proprementalgbriques en ctoient des autres, rcuprs des champs de lanalyse relle oucomplexe, de la topologie gnrale, de la thorie des nombres, voire mme de lathorie des reprsentations.

En fait, le caractre hybride de notre sujet se manifestera ds la premire leon,et nous fournira un motif conducteur inpuisable : car dun ct, un effet collat-ral de nombreuses investigations mathmatiques est la production dune quantitimportante danneaux, de modules, dhomomorphismes... et les efforts visant ana-lyser et interprter ces donnes nont jamais cess de stimuler le dveloppement delalgbre commutative. Ainsi, un thorme de Gelfand nous montre que tout espacetopologique compact et spar est dtermin, homomorphisme prs, par lanneaude ses fonctions continues valeurs rels. De mme, si C est une surface de Rie-mann complexe compacte, et P C un point arbitraire, les fonctions holomorphessur C \ {P} et mromorphes en P forment une C-algbre de type fini qui encodefidlement la gomtrie de C ; laide de cet anneau, on peut plonger C dans unespace projectif, et donc la munir dune structure intrinsque de courbe algbrique.Voici un autre exemple avec une longue histoire, sur lequel on se penchera : pourtout corps K et toute reprsentation dun groupe G sur un K-espace vectoriel V ,on peut considrer lanneau K[V ]G des fonctions polynomiales sur V qui sont in-variantes sous laction induite de G, et maints problmes de thorie des invariantsse ramnent des questions sur les proprits de cet anneau ; en particulier, le c-lbre XIVme problme de Hilbert porte sur les conditions que lon doit imposersur G, afin dassurer que K[V ]G soit une K-algbre de type fini, quel que soit V deK-dimension finie.

De lautre ct, un des buts principaux de ce cours est lexplication de certainsprocds pour transmuter tout anneau (commutatif, associatif et unitaire) en un

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6 Invocation des Tnbres

objet gomtrique : cela nous permettra dtudier des questions algbriques par desmthodes gomtriques (mais aussi, rciproquement, des questions gomtriquespar des moyens algbriques). Le prototype et jusqu nos jours, lexemple le plusimportant est lopration qui consiste associer chaque anneau son spectrepremier, i.e. lensemble de ses idaux premiers, muni dune topologie convenable,appele souvent topologie de Zariski, du nom du premier mathmaticien qui a misen vidence lutilit de cette construction. En effet, la notion de spectre premier,et celle de schma affine qui en drive naturellement, constituent les piliers surlesquels se fonde la gomtrie algbrique telle quelle est conue aujourdhui. Mais onsintressera aussi aux spectres valuatifs et aux spectres rels des anneaux, qui depuisune vingtaine dannes jouent un rle analogue respectivement pour la gomtrieanalytique non-archimdienne, et la gomtrie semi-algbrique relle.

Tout au long du parcours, la collaboration du lecteur sera sollicite, car uneproportion importante du matriel prsent ici, y parat sous forme dexercices etproblmes de niveaux assez variables, les deuximes tant en gnral plus difficilesque les premiers ; en fait, certains problmes sont probablement trop durs pour lesdbutants auxquels ce cours sadresse en priorit : si vous naimez pas les bouquinsqui vous interpellent et vous dfient de temps en temps, mon texte nest pas pourvous non plus. Dautre part, pour presque tout problme et exercice je propose dessolutions dtailles ; on peut ainsi moduler souhait son degr dimplication : duneconsultation modre des solutions pour un entranement plus sportif, jusqu labalade touristique pour les vacanciers de lalgbre.

Ce Grimoire est laboutissement imparfait dune longue et, en bonne partie,accidentelle gestation : il sest dabord matrialis sous forme dun recueil de notesmanuscrites, pour des cours au niveau de la deuxime anne de Matrise que jaieu occasion denseigner plusieurs reprises Bordeaux et plus tard Lille. Sonformat trahit la cadence hebdomadaire de ses origines orales, avec ses contraintesde temps et les choix pdagogiques que jai infligs mes diffrents auditeurs ; cestpourquoi il nest pas organis en chapitres (terminologie qui voque un dcoupageen units thmatiques), mais plutt en leons qui suivent un trac approximatif, partir dune dotation lgre de quelques questions initiales, revisites et enrichiesen route, la lumire des techniques et des thormes appris chemin faisant.

Ma rfrence principale tait le classique [2] de Atiyah-Macdonald, et javaisaussi utilis le livre [26] de Matsumura comme source secondaire ; mme aprs denombreux ramnagements, des ajouts et suppressions, je crois que lon peut encoreapercevoir en filigrane linfluence atavique de ces deux textes (surtout du premier).En particulier, le cur du cours reste toujours la thorie des anneaux noethriens,dans son articulation classique, canonise au dbut des annes 60 : dabord lesrsultats fondateurs de Hilbert (thorme de la base et Nullstellensatz), puis ladcomposition primaire de Noether, ltude dtaille en dimension zro (anneauxartiniens) et un (anneaux de Dedekind), les topologies adiques et la technique decompltion, la thorie de la dimension, pour conclure avec les anneaux locaux rgu-liers et leur caractrisation homologique (thorme de Serre). Lalgbre homologiquedont on se sert est dveloppe ab ovo, dun style minimaliste mais tout fait rigou-reux ; pour la rendre plus digeste, elle est administre en pilules : en moyenne, unesection par leon, mle du contenu plus apptissant. Autour de ce noyau, jaiajout un assortiment de sujets dtachs : en premier lieu des lments de thoriedes valuations, un sujet assez ancien son origine remonte au travaux de Krulldes annes 30 dont les cotations dans la bourse des valeurs algbriques ont ts,pendant longtemps, assez volatiles : aux annes 40 elle tait au centre des intrtsde Zariski, qui y voyait la clef pour son programme de dsingularisation des varitsalgbriques ; relgue, ds les annes 60, au deuxime plan la suite de la perce de

Invocation des tnbres 7

Hironaka, tablissant la dsingularisation en caractristique zro par des ides etavec un langage diffrents, entirement bass sur la nouvelle thorie des schmas ;rcupre aux annes 90 pour ltude des varits analytiques dfinies sur les corpsultramtriques. Un autre sujet rcurrent sera lalgbre des fonctions continues va-leurs rels sur un espace topologique : il sagit dune classe danneaux trs loignsde ceux que lon rencontre lors de ltude de la gomtrie algbrique, dans lesquelson retrouve pourtant des chos tonnants de la thorie noethrienne. Par exemple,le thorme de Gelfand cit ci-dessus peut se voir comme une contrepartie du Null-stellensatz ; aussi, lanalyse du spectre premier dune algbre de fonctions continuesrvle dun ct des analogies avec les anneaux des valuations, et de lautre ctconduit naturellement la dcouverte de toute une panoplie de structures dintrtgnral : notamment, les filtres premiers et les ultrafiltres, les anneaux ordonns, etenfin la notion de spectre rel dun anneau.

Les prrequis sont assez modestes : une familiarit avec les notions de base suranneaux et idaux, et plus gnralement, lalgbre lmentaire du niveau de la Li-cence ; quelques uns des problmes proposs demandent toutefois des connaissancesde thorie de Galois.

Suggestions, corrections et remarques sont bienvenues !Je remercie Benjamin Beutin, Luther Blissett, Niels Borne, Jean-Franois Burnol,

Pietro Corvaja, Mladen Dimitrov, Michel Emsalem, Barbara Fantechi, Ofer Gabber,Hana Hancinova, Steven Kleiman, Pietro Majer, Mohamed Rafik Mammeri, DimitriMarkushevich, William D. Montoya, Maxime Oger, Pierre-Antoine Oria, MavaOstermann, Giulia Pilli et Andrei Zinovyev pour des nombreuses observations trsutiles et intressantes. Mes remerciements aussi Marie-Claude Vergne pour sonassistance avec Photoshop.

Limage de couverture est base sur le pentagramme invers contenu dans le livreLa Clef de la Magie Noire de loccultiste francais Stanislas de Guaita (18611897).Les signes astrologiques qui ouvrent chaque leon sont emprunts ( lexception prsdu Blier, Capricorne et Poissons) une collection dimages numriques ralises parune quipe du Hubble Space Telescope Institute, partir de louvrage Firmamen-tum Sobiescianum sive Uranographia de lastronome polonais Johannes Hevelius(16111687). Les autres signes proviennent du Liber Astronomiae de lastrologueitalien Guido Bonatti (XIII sicle). Les deux petits diables qui entourent le logo desPresses Insoumises sont dus au clbre dessinateur pour enfants A.Grothendieck,et sont conservs lUniversit de Bielefeld, en Allemagne. Ces images sont dansle domaine public. La maldiction qui clture le volume reproduit celle dun ancienparchemin de lAbbaye de Sainte Marie et Saint Nicolas Arnstein (Allemagne),actuellement dans la collection de la British Library de Londres (MS. Harley 2798) ;son auteur un obscur moine copiste dont lhistoire na gard que le nom : Lunan-dus y promet fivres pestilentielles, supplice par la roue, meurtre par pendaison,et jen passe et des meilleurs, lintention de toute crapule dplorable qui oseraitsoustraire ou endommager le fruit de ses labeurs.

Pour finir, ce cours a t rdig avec lditeur de textes LYX, une interface gra-phique pour le logiciel LATEX.

1. Blier

1.1. Anneaux, idaux, modules. Le lecteur aura dj rencontr les concepts ba-siques de lalgbre dans les cours et les textes du niveau de la Licence ; notamment,les notions danneau, didal, de module, de homomorphisme danneaux, que lonne reproduira pas ici. Nanmoins, ajoutons que sauf mention contraire dans cecours, tout anneau A sera :

commutatif : x y = y x pour tout x, y A associatif : x(yz) = (xy)z pour tout x, y, z A unitaire : il existe 1 A tel que 1 x = x pour tout x A.

Aussi, tout homomorphisme danneaux f : A B prserve les units : f(1) = 1.On notera A le groupe multiplicatif des lments inversibles de A. On dira quunlment a A est :

nilpotent, sil existe n N tel que an = 0 dans A. diviseur de zro, sil existe b A \ {0} tel que ab = 0. rgulier, si a 6= 0 et il nest pas diviseur de zro.

On dit que A est intgre (resp. est un corps) si A 6= {0} et tout lment non nul deA est rgulier (resp. inversible). On notera Z lanneau des entiers, N lensemble desentiers non-ngatifs, Q, R et C les corps des nombres rationnels, rels et complexes.

Un idal I A est principal sil existe a A tel que I = Aa := {ab | b A} ; ondit que I est de type fini, sil existe a1, . . . , an A (pour quelque n A) tels queI = Aa1+ +Aan. On dit que A est principal si tous ses idaux sont principaux.

Exemple 1.1. (i) Lanneau Z est principal ; rappelons la preuve : on doit montrerque tout idal I Z est principal ; si I = 0, lassertion est triviale, et sinon, soita I le plus petit lment > 0. Pour tout b I il existe q, r Z tels que b = aq+ ret 0 r < a ; il sensuit que r I, donc r = 0, par la minimalit de a, do I = aZ.

(ii) Si K est un corps, le mme argument sapplique lanneau des polynmesK[X ] : pour tout idal non nul I K[X ] on choisit p(X) I non nul de degrminimal ; si b(X) I, la division euclidienne nous donne q(X), r(X) K[X ] telsque b(X) = p(X) q(X) + r(X) avec soit r(X) = 0, soit degX r(X) < degX p(X).Mais r(X) I, donc finalement r(X) = 0 par la minimalit de degX p(X), doI = p(X) K[X ]. (Voir le problme 5.35 pour une gnralisation.)

1.1.1. Algbres. Une A-algbre est une donne (B, f) constitue dun anneau B etun homomorphisme danneaux f : A B, appel le morphisme structurel de B.Si le contexte ne donne pas lieu des ambiguits, on notera souvent une A-algbresimplement par son anneau sous-jacent B. Un homomorphisme de A-algbres

g : (B, f) (B, f )8

1.1: Idaux premiers et maximaux 9

est un homomorphisme danneaux g : B B qui fait commuter le diagramme :A

f

}} f

""

Bg // B

i.e. f = g f.

Evidemment, la composition de deux homomorphismes de A-algbres g : B Bet g : B B est un homomorphisme de A-algbres g g : B B. On notera

HomAAlg(B,B)

lensemble des homomorphismes de A-algbres B B. Par exemple, pour toutn N, lanneau des polynmes de n variables A[X1, . . . , Xn] coefficients dansA est muni dune structure canonique de A-algbre, dont le morphisme structurelest linclusion naturelle A A[X1, . . . , Xn] qui identifie A avec le sous-anneau despolynmes de degr total 0. Aussi, pour tout idal I A, la projection canoniqueA A/I munit lanneau quotient A/I dune structure naturelle de A-algbre.Remarque 1.2. (i) Tout anneau A admet un unique homomorphisme Z A, donctout anneau est canoniquement une Z-algbre.

(ii) Soit A un anneau, B une A-algbre, et n N un entier. Noter que pourtoute suite (b1, . . . , bn) Bn il existe un unique homomorphisme de A-algbresf : A[X1, . . . , Xn] B tel que f(Xi) = bi pour i = 1, . . . , n : en effet, cet homo-morphisme est dfini par

f(P ) := P (b1, . . . , bn) P A[X1, . . . , Xn].Autrement dit, pour toute A-algbreB et tout n N il existe une bijection naturelle

Bn HomAAlg(A[X1, . . . , Xn], B).

On verra dans la section 2.2 comment cette proprit caractrise A[X1, . . . , Xn] isomorphisme canonique prs.

On dit quune A-algbreB est de type fini, sil existe un homomorphisme surjectifde A-algbres : A[X1, . . . , Xn] B, pour quelque n N. Au vu de la remarque1.2(ii), cela revient dire quil existe un systme fini b := (b1, . . . , bn) dlmentsde B tel que tout b B scrit sous la forme b = P (b1, . . . , bn) pour quelquepolynme P A[X1, . . . , Xn] ; on dit que b est un systme fini de gnrateurs dela A-algbre B, et on crit aussi B = A[b1, . . . , bn]. On dit que B est une A-algbrede prsentation finie, si on peut trouver une surjection comme ci-dessus, dont lenoyau 1(0) soit un idal de type fini ; dans ce cas B est isomorphe un quotientA[X1, . . . , Xn]/I, avec I A[X1, . . . , Xn] un idal de type fini.1.1.2. Idaux premiers et maximaux. On rappelle quun idal I A est dit :

premier si 1 / I et x, y / I xy / I pour tout x, y A. maximal si 1 / I et les seuls idaux de A qui contiennent I sont I et A.

Proposition 1.3. Soit A un anneau, I A un idal. On a :(i) I est premier si et seulement si A/I est un anneau intgre.

(ii) I est maximal si et seulement si A/I est un corps.

Dmonstration. (i) : Soient x, y A, et notons x, y A/I les classes de x et y.Si x, y 6= 0, on a x, y / I ; si maintenant I est premier, on dduit xy / I, et doncx y 6= 0, ce qui montre que A/I est intgre. Dautre part, si A/I est intgre, on ax y 6= 0, donc xy / I, do lon voit que I est premier.

(ii) : Soit x A tel que x / I, donc x 6= 0. Si A/I est un corps, il existe y A telque x y = 1 dans A/I, donc xy 1 I, do I +Ax = A ; comme x est arbitraire,on dduit que les seuls idaux qui contiennent I sont I et A, i.e. I est maximal.

10 Blier

Dautre part, si I est maximal, lhypothse x / I implique que lon a I +Ax = A,donc il existe a I, y A tel que xy + a = 1, do x y = 1, ce qui montre queA/I est un corps.

La proposition implique notamment que tout idal maximal est premier. On note : MaxA lensemble des idaux maximaux de A (spectre maximal de A) SpecA lensemble des idaux premiers de A (spectre premier de A)

Un des objectifs de ce cours est dexpliquer pourquoi MaxA et SpecA sont desobjets gomtriques. Par ce qui prcde, on a :

MaxA SpecA.Lemme 1.4. Si I A est un idal, on a une bijection canonique :

{idaux J de A tels que I J} {idaux de A/I}qui associe tout idal J de A qui contient I, lidal J/I de A/I. Cette bijectioninduit par restriction des bijections :

{p SpecA | I p} SpecA/I {m MaxA | I m} MaxA/I.Dmonstration. Si : A A/I est la projection canonique, la bijection rciproqueassocie lidal J de A/I, lidal 1(J) A. Si p est un idal de A et I p,on a A/p = (A/I)/(p/I), donc A/p est intgre (resp. un corps) si et seulementsi (A/I)/(p/I) est intgre (resp. un corps), et avec la proposition 1.3 lon dduitque p est premier (resp. maximal) dans A si et seulement si p/I est premier (resp.maximal) dans A/I.

1.1.3. Modules. Rappelons aussi quelques notations et terminologies standard con-cernant les A-modules. Si M,N sont deux A-modules, un homomorphisme de A-modules f : M N est une application A-linaire de M dans N , et on notera

Ker(f) := f1(0) M (le noyau de f)Im(f) := f(M) N (limage de f)

Coker(f) :=N/f(M) (le conoyau de f).

Rappelons que f est injectif (resp. surjectif) si et seulement si Ker f = 0 (resp.Coker f = 0). On dit que f est un isomorphisme de A-modules sil est bijectif, lecas chant lapplication rciproque f1 : N M est un homomorphisme de A-modules. Si M est un A-module et I A un idal, on note IM M le sous-moduleengendr par {am | a I, m M}. Lannulateur du module M est lidal de A

AnnA(M) := {a A | ax = 0 x M}.On dit que M est fidle, si AnnA(M) = 0. Lannulateur dun lmnt x M , not

AnnA(x)

est lannulateur du sous-module Ax M : i.e. lidal {a A | ax = 0}. On dit queM est sans torsion, si AnnA(x) = 0 pour tout x M \ {0}.Exemple 1.5. Soit un ensemble, (M | ) une famille de A-modules.

(i) Le produit direct

M

est lensemble des suites (m | ) avec m M pour tout . Il estmuni dune structure de A-module naturelle : savoir, si m := (m | ) etm := (m

| ) sont deux suites, et a A un lment, on posem +m

:= (m +m

| ) a m := (a m | ).

Le -support de (m | ) est la partie { |m 6= 0}.

1.2: Fonctions continues sur un espace topologique 11

(ii) La somme directe est le A-sous-module deM not

M

et constitu des suites dont le -support est un ensemble fini.(iii) Si M = M pour tout , on crit aussi M et M () pour le produit

direct et respectivement la somme directe de la famille (M | ). Noter que Mnest rien dautre que lensemble des applications M , et sa loi daddition estdonne par la somme dapplications : pour f, g : M et tout on pose(f + g)() := f() + g() ; de mme, (a f)() := a f() pour tout a A.

(iv) En particulier, A() est le A-module libre sur lensemble ; il admet unsystme de gnrateurs (e | ) appel la base canonique de A() : savoir,pour tout , la suite e est lunique dont le -support est {} et avec e = 1.

Dfinition 1.6. Soit M un A-module. On dit que M est : de type fini, sil est engendr par un systme fini {m1, . . . ,mk} dlments.

Donc, tout m M secrit sous la forme

m = a1m1 + + akmk pour certains a1, . . . , ak A

cyclique, sil est isomorphe A/I, pour un idal I A libre de rang fini, sil existe n N et un isomorphisme An M de A-modules de prsentation finie, sil est isomorphe au conoyau dune application A-

linaire L L avec L et L libres de rang fini.

Remarque 1.7. (i) Evidemment, un A-module est de type fini si et seulement silest isomorphe un quotient dun A-module libre de rang fini.

(ii) Pour tout A-modules M et N , on notera

HomA(M,N)

lensemble des applications A-linaires M N . Il est contenu dans le A-moduleNM de lexemple 1.5(iii), et on voit aisment quil est mme un sous-module de cedernier. On munira HomA(M,N) de la structure de A-module hrit de NM .

Toute application A-linaire u :M M induit des applications A-linairesu : HomA(M,N)HomA(M , N) f 7 f uu : HomA(N,M

)HomA(N,M) f 7 u f.

(iii) Si (M | ) est une famille de A-modules, on a lidentification naturelle

HomA(M, N) HomA

(

M, N)

pour tout A-module N

qui associe toute suite ( : M N | ) lhomomorphisme de A-modulesM N : (m | ) 7

(m) pour toute suite (m | ) dont

le -support est fini. Cette bijection est mme un isomorphisme de A-modules.(iv) Si M et M sont deux sous-modules du A-module M , la partie

M +M := {x + x |x M , x M }

est le plus petit sous-module de M contenant M M . De plus, la projection natu-relleM +M (M +M )/M se restreint en une surjectionM (M +M )/M dont le noyau est M M , do un isomorphisme canonique de A-modules :

M

M M M

+M

M .

12 Blier

1.2. Fonctions continues sur un espace topologique. La dfinition ci-dessouset lexemple suivant ont le but de rappeler les notions de base de la topologielmentaire, et den fixer les notations et la terminologie qui seront dusage constantdans tout le cours.

Dfinition 1.8. (i) Une topologie sur un ensemble T est la donne dune familleT de parties de T soumise aux conditions suivantes :

, T T . Pour toute partie U T , on a UU U T . Pour toute partie finie U T , on a UU U T .(ii) Un espace topologique est la donne (T,T ) dun ensemble T et une topologie

T sur T . Les points de T sont les lments de T , et les lments de T sappellentparties ouvertes de T ; une partie F de T est ferme, si T \F est ouverte. Une partieferme Z est rductible, si elle est la runion des deux parties fermes strictementcontenues dans Z ; on dit que Z 6= est irrductible, si elle nest pas rductible.

(iii) On dit que (T,T ) est disconnexe, sil est la runion disjointe T = UU departies ouvertes U,U 6= . On dit que (T,T ) est connexe sil nest pas disconnexe.

(iv) Soit S T une partie ; on appelle ladhrence de S dans T la plus petitepartie ferme de T qui contient S. Lintrieur de S est la plus grande partie ouvertede T contenue dans S (donc, ladhrence de T \ S est gale au complmentaire delintrieur de S). La partie S est un voisinage dun point t T , si t appartient lintrieur de S. On dit que S est dense dans T , si ladhrence de S est T .

(v) Soient (T,T ) et (T ,T ) deux espaces topologiques, et f : T T uneapplication. On dit que f est :

continue si pour toute partie ouverte U T , la partie f1U T est ouverte ouverte (resp. ferme) si pour toute partie ouverte (resp. ferme) X de T , la

partie f(X) est ouverte (resp. ferme) dans T

un homomorphisme si f est continue, bijective et sa rciproque f1 : T Test continue. Donc, f induit une bijection

T T : U 7 f(U).

(vi) Si T et T sont deux topologies sur un ensemble T , on dit que T est plusfine que T si T T (auquel cas, on dit aussi que T est moins fine que T ).

Exemple 1.9. (i) Soit (T,T ) un espace topologique, E un ensemble, et g : E Tune application. La topologie TE := {g1U |U T } est la moins fine des topologiesT sur E telles que g : (E,T )(T,T ) soit une application continue. On appelleTE la topologie induite par T via g (ou simplement, la topologie induite par T ).

(ii) Soient T , T deux espaces topologiques. On dit que T est un sous-espace deT si T T et la topologie de T est induite par celle de T via linclusion T T .

(iii) De mme, si h : T E est une application, alors TE := {U E |h1U T } est la plus fine des topologies T sur E telle que h : (T,T ) (E,T ) soit uneapplication continue. On appelle TE la topologie de E induite par T via h.

(iv) Soit T un ensemble, et B une famille de parties de T . Alors lintersectionTB de toutes les topologies de T qui contiennent B est videmment la moins finedes topologies contenant B. Pour dcrire TB explicitement, notons dabord B+ lafamille des intersections finies dlments de B : i.e. X B+ si et seulement silexiste une partie finie B B avec X = UB U . Avec cette notation, une partieU de T est dans TB si et seulement sil existe B B+ tel que U =

U B U

(dtails laisss aux soins du lecteur). Dans ce cas, on dit que B engendre TB, etaussi que B est une prbase de TB. Si tout lment de TB scrit dj commerunion dune famille dlments de B, on dit que B est une base de TB : pourcela, il suffit que tout X B+ scrive comme runion dlments de B.

1.2: Fonctions continues sur un espace topologique 13

(v) Pour tout ensemble S, lensemble PS des parties de S est une topologieappele topologie discrte de S. Elle est videmment la topologie la plus fine sur S.

Exercice 1.10. Soient T ,S deux espaces topologiques, f : T S une application.(i) On dit que f est continue au point t T si pour tout voisinage V de f(t)

dans S, la partie f1V est un voisinage de t dans T . Montrer que f est continue siet seulement si elle est continue en tout point de T .

(i) Supposons que f soit localement continue, i.e. pour tout t T il existe desvoisinages Ut T de t et Vt S de f(t) avec f(Ut) Vt, tels que la restrictionft : Ut Vt de f est continue pour les topologies de Ut et Vt induites par T et S.Montrer que f est continue.

Dans ce cours on munira toujours lensemble R de sa topologie standard, en-gendre par la base {]a, b[ | a, b R, a < b}. Pour tout espace topologique (T,T ),lensemble des fonctions continues valeurs rels T R est un anneau not

C (T )

car laddition et le produit de deux fonctions continues sont continues (exercice !).Soit t T ; lidal de C (T )

mt := {f C (T ) | f(t) = 0}est le noyau de lhomomorphisme dvaluation

t : C (T ) R f 7 f(t)

qui est videmment surjectif, et donc induit un isomorphisme C (T )/mt R ; il

sensuit que mt est maximal, par la proposition 1.3(ii). On a ainsi une application

T : T Max(C (T )) t 7 mt.

Exercice 1.11. Montrer que C (T ) = {f C (T ) | f(t) 6= 0 pour tout t T }.

Remarque 1.12. (i) Lapplication T nest pas forcment injective. Par exemple,soit T := {a, b} et T := {, T, {a}}. On voit aisment que toute fonction continueT R est constante, donc C (T ) = R, et videmment Max(R) contient un seullment, savoir lidal trivial {0}.

(ii) Lapplication T nest pas non plus surjective pour un espace topologiqueT arbitraire. Pour obtenir un rsultat positif, rappelons les dfinitions suivantes :

Dfinition 1.13. Soient (T,T ) et (T ,T ) deux espaces topologiques.(i) On dit que (T,T ) est spar si pour tout x, y T distincts il existe un

voisinage Ux de x et un voisinage Uy de y dans T tels que Ux Uy = .(ii) On dit que (T,T ) est compact si pour toute famille (Ui | i I) de parties

ouvertes de T aveciI Ui = T , il existe une partie finie J I avec

iJ Ui = T .

(iii) On dit que (T,T ) est normal sil est spar et pour tout couple de partiesfermes Z,Z T avec Z Z = il existe des parties ouvertes U,U de T avec

Z U Z U U U = .(iv) On dit quune application f : T T est compacte, si pour toute partie

ouverte compacte U T , la partie f1U est ouverte et compacte dans T .

Exercice 1.14. (i) (Proprit de lintersection finie) Soit T un espace topologique.Montrer lquivalence des conditions suivantes :

(a) T est compact.

(b) Pour toute famille (Z | ) de parties fermes de T , telle que Z 6=

pour toute partie finie , on a Z 6= .

14 Blier

(ii) Soient T, T deux espaces topologiques, f : T T une application continue,Z T une partie. On munit Z et f(Z) des topologies induite par les inclusionsdans T et respectivement T . Montrer les assertions suivantes :

(a) Si T est spar et Z est compact, alors Z est une partie ferme de T .

(b) Si T est compact et Z est une partie ferme de T , alors Z est compact.

(c) Si Z est compact, alors f(Z) est compact.

(iii) Montrer que toute application continue f : X Y dun espace topologiquecompact X vers un espace topologique spar Y est compacte, et si f est bijective,alors elle est un homomorphisme.(iv) Soient f, g : T S deux applications continues dun espace T vers lespacespar (S,TS). Montrer que Z := {tT | f(t) = g(t)} est une partie ferme de T .(v) Montrer que tout espace topologique T compact et spar est normal.

On utilisera le rsultat fondamental suivant :

Lemme 1.15. (Urysohn) Un espace topologique (T,T ) est normal si et seulementsil est spar et pour tout couple de parties fermes A,B T telles que AB = il existe une fonction continue f : T [0, 1] telle que f(A) = {0} et f(B) = {1}.Dmonstration. Soient A,B T deux parties fermes disjointes ; si une telle fest donne, les parties ouvertes f1([0, 1/2[) et f1(]1/2, 1]) sont disjointes etcontiennent A et respectivement B ; cela montre que T est normal.

Rciproquement, soit T normal ; on pose n := {k/2n | k = 0, . . . , 2n} pour toutn N et := nN n. Pour toute partie S T on dnote par S ladhrence deS dans T . On va construire une application U : T telle que :

A U(0) B U(1) = U() U() , avec < .On dfinit la restriction de U n par rcurrence sur n N. Pour n = 0 on poseU(1) := T \B ; la normalit de T implique quil existe V T tel que A V V U(1) et on pose U(0) := V . Ensuite, soit n N, et on suppose que la restriction deU n est dj connue. Donc pour k = 0, . . . , 2n1 on a U(k/2n) U((k+1)/2n),et par normalit de T on trouve V T tel que U(k/2n) V V U((k+1)/2n) ;on pose U((2k+1)/2n+1) := V . Cela achve la construction de U . Ensuite, on poseU () := U() pour \ {1} et U (1) := T ; on dfinit :

f(t) := inf{ | t U ()} t T.Evidemment f(A) = 0 et f(B) = 1. Il reste vrifier la continuit de f . Pourcela, soit t T , r := f(t) et ]0, 1] ; il suffit de montrer que f1(]r , r + [)contient un voisinage de t dans T . Or, si r = 0 on a t U() f1([0, [) pour tout ]0, [ ; si r = 1 on a t T \U() f1(]1, 1]) pour tout [1, 1[.Si 0 < r < 1, choisissons , tels que r < < r < < r + ; il vientt U() \ U() f1(]r , r + [), do lassertion.

On peut alors noncer le thorme suivant :

Thorme 1.16. (Gelfand-Naimark) Si (T,T ) est un espace topologique compactet spar, lapplication T est bijective.

Dmonstration. Soit m Max(C (T )). NotonsV (m) := {t T | f(t) = 0 pour tout f m}.

Vrifions que V (m) est non vide : sinon, pour tout t T il existe ft m tel queft(t) 6= 0. Posons Ut := f1t (R \ {0}) ; la partie Ut est ouverte dans T pour toutt T , et videmment on a

tT Ut = T . Comme T est compact, il existe une

partie finie S T tel que tS Ut = T . Soit g :=tS f

2t . On voit aisment que

1.3: Le spectre maximal est non vide 15

g(t) > 0 pour tout t T , donc g est inversible dans C (T ) (exercice 1.11). Mais parconstruction g m, contradiction.

Or, si t V (m) on a m T (t), donc m = T (t) car ces deux idaux sontmaximaux. Cela montre que T est surjective. Pour linjectivit on applique lelemme de Urysohn : si x, y T sont deux points distincts, il existe f C (T ) telleque f T (x) mais f / T (y), do T (x) 6= T (y).

On peut faire encore mieux : partir de lanneau C (T ) on peut mme rcuprerla topologie T de T ! En fait, soit f C (T ), et notons

D(f) := {m MaxC (T ) | f / m}.

On voit que pour tout t T , on a mt D(f) si et seulement si f(t) 6= 0. Cest dire, 1T D(f) = f

1(R \ {0}) est une partie ouverte de T . Le lemme de Urysohnimplique que la famille (1T D(f) | f C (T )) engendre la topologie T . On muniradonc MaxC (T ) de la topologie de Zariski TT,Zar, i.e. la topologie engendre par

(D(f) | f C (T )).

Avec cette topologie, lapplication T est un homomorphisme

(T,T ) (MaxC (T ),TT,Zar).

Problme 1.17. (i) Donner un exemple dun espace topologique T tel que T nesoit pas surjective. Noter que la preuve du thorme 1.16 montre quun tel espacedoit forcment tre non compact.

(ii) Soit T := [0, 1] muni de sa topologie standard, induite par linclusion danslespace topologique R des nombres rels. Donc T est un espace spar et compact,et le thorme 1.16 nous donne une bijection canonique [0, 1] MaxC ([0, 1]).Question (difficile !) : lanneau C ([0, 1]) a-t-il des idaux premiers non maximaux ?

Exercice 1.18. Soient T et T deux espaces topologiques, f : T T une appli-cation continue ; videmment f induit un homomorphisme de R-algbres

f : C (T ) C (T ) g 7 g f.

Pour T et T spars et compacts, complter la discussion de cette section de lafaon suivante. Soit : C (T ) C (T ) un homomorphisme de R-algbres.

(i) Montrer que induit une application continue

Max : (MaxC (T ),TT,Zar) (MaxC (T ),TT ,Zar) m 7 1(m).

(ii) Montrer que lon a un diagramme commutatif

Tf //

T

T

T

MaxC (T )Max (f) // MaxC (T ).

Autrement dit, tout homomorphisme de R-algbres comme ci-dessus provientdune (unique) application continue despaces topologiques T T . Noter que,dautre part, tout homomorphisme danneaux qui provient de cette faon duneapplication continue T T est forcment unitaire ; donc, notre condition (1) = 1pour les homomorphismes danneaux, qui peut paratre anodine dun point de vuealgbrique, en fait caractrise les homomorphismes dorigine gomtrique.

16 Blier

1.3. Le spectre maximal est non vide. Le thorme 1.16 montre aussi trivia-lement que le spectre maximal de C (T ) est vide si et seulement si T = , et celaquivaut aussi la condition C (T ) = 0 (il y a exactement une application de len-semble vide vers nimporte quel autre ensemble). En fait, il sagit l dune proprittout fait gnrale : le spectre maximal de tout anneau A 6= 0 est non vide. Pourla preuve, il nous faudra quelques notions standards de la thorie des ensembles.Tout dabord, on rappelle la dfinition suivante :

Dfinition 1.19. Un ensemble partiellement ordonn (E,) est la donne dunensemble E et dune relation dordre sur E, i.e. une relation binaire telle que :

(reflexivit) x x pour tout x E. (antisymtrie) x y et y x x = y pour tout x, y E. (transitivit) x y et y z x z pour tout x, y, z E.On dit que (E,) est un ensemble totalement ordonn, si la relation dordre

satisfait aussi la condition suivante : pour tout x, y E on a soit x y, soit y x.Un lment e E est dit maximal, si le seul lment e E avec e e est e.Un morphisme densembles partiellement ordonns : (E,) (E,) est la

donne dune application densembles : E E telle quex y (x) (y) x, y E.

Remarque 1.20. Soit (E,) un ensemble partiellement ordonn.(i) Noter quun lment maximal e de E nest pas forcment le plus grand

lment de E, cest dire on na pas ncessairement e e pour tout e E.(ii) Si on renverse la relation dordre de E, on obtient un nouveau ensemble

partiellement ordonn (Eop,op), tel que Eop = E etx op y y x x, y E.

On appelle (Eop,op) loppos de lensemble partiellement ordonn (E,).Lemme 1.21. (Zorn) Soit (E,) un ensemble partiellement ordonn non vide,vrifiant la condition suivante. Pour toute partie E E totalement ordonne ilexiste e E tel que e e pour tout e E. Alors, E a un lment maximal.

On nessayera pas ici de dmontrer le lemme de Zorn ; toute preuve de ce lemmeutilise une forme ou autre de laxiome du choix, i.e. lassertion suivante :

Pour toute famille (Xi | i I) densembles non vides (indexs par un en-semble arbitraire I), le produit cartsien

iI Xi est non vide.

Ce dernier est un axiome standard dans la plupart des thories axiomatiques desensembles dusage courant ; mais dans ces thories, on peut aussi montrer que lelemme de Zorn a en fait la mme force que laxiome du choix, i.e. dans la liste desaxiomes de la plupart des thories axiomatiques des ensembles, on peut remplacerlaxiome du choix par lnonc du lemme de Zorn, et ainsi faisant on obtiendraune thorie quivalente (laxiome du choix deviendra un thorme dans ce nouveausystme axiomatique). Donc, on peut tout simplement dcider que pour nous lelemme de Zorn est un axiome.

On est maintenant prt pour montrer le rsultat annonc :

Thorme 1.22. Pour tout anneau A 6= 0 on a MaxA 6= .Dmonstration. Soit E lensemble des idaux I A tels que 1 / I. On munit Ede la relation dordre donn par linclusion : I J I J , for every I, J E. Si(I | ) est une famille totalement ordonne dlments de E avec 6= , onpose I :=

I ; on a I E et I I pour tout , donc le lemme de Zorn

nous assure que E admet un lment maximal. Mais videmment, tout lmentmaximal de E est un idal maximal de A.

1.3: Le spectre maximal est non vide 17

Corollaire 1.23. Soit A un anneau, I A un idal tel que 1 / I. Alors, il existeun idal maximal de A qui contient I.

Dmonstration. On applique le thorme 1.22 lanneau A/I qui est non nul, car1 / I. Si m est nimporte quel idal maximal de A/I, limage rciproque de m dansA est un idal maximal de A qui contient I (voir le lemme 1.4).

Corollaire 1.24. Soit A un anneau, f A un lment non inversible. Alors ilexiste un idal maximal de A qui contient f .

Dmonstration. Soit I := Af ; comme f nest pas inversible, 1 / I, donc il suffitdappliquer le corollaire 1.23 lidal I.

1.3.1. Anneaux de type fini sur un corps. Les anneaux que lon trouve dans ltudede la gomtrie algbrique sont parmi les plus intressants pour nous. Ils sont sur-tout des K-algbres de prsentation finie, avec K un corps arbitraire.

Pour simplifier, on supposera ici que K soit algbriquement clos, et on considrela K-algbre A := K[X1, . . . , Xn]. Tout f A peut se voir comme une fonctionalgbrique dfinie sur le K-espace affine n-dimensionnel

f : Kn K (a1, . . . , an) 7 f(a1, . . . , an).Soit a := (a1, . . . , an) Kn ; on peut dfinir comme dans la section prcdente :

ma := {f A | f(a) = 0}et le mme argument montre que ma est un idal maximal de A. Un des thormesimportants que lon dmontrera dans ce cours est le Nullstellensatz de Hilbert, quiest lanalogue algbrique suivant du thorme 1.16 :

Thorme 1.25. Avec les notations et hypothses ci-dessus, lapplication

Kn MaxA a 7 maest une bijection.

En particulier, cela donne une interpretation gomtrique de lensemble MaxA.On peut se dmander sil y a une interpretation gomtrique plus gnralementpour les idaux premiers, ou mme pour les idaux tout court. Ci dessous je vaisexpliquer grandes lignes la situation gnrale : on y reviendra plus tard en dtail.

Soit I A := K[X1, . . . , Xn] un idal ; on associe I lensembleV (I) := {a Kn | f(a) = 0 f I}.

Dautre part, toute partie S Kn on peut associer lidal de A :I(S) := {f A | f(a) = 0 a S}.

Avec cette notation, on a lidentit suivante :

I(V (I)) = rad(I) := {f A | n N tel que fn I}.En particulier, la partie rad(I) est un idal de A, appel le radical de I. Linclusionrad(I) I(V (I)) est triviale, car si fn(a) = 0 pour tout a V (I), on a videmmentdj f(a) = 0 pour tout a V (I). Linclusion inverse est dure, et donne une formeforte du Nullstellensatz.

Un sous-ensemble de Kn du type V (I) pour un idal I A est dit algbrique.Notons que si (f | ) est une famille de gnrateurs de lidal I, on a aussi

V (I) = {a Kn | f(a) = 0 }.En effet, tout lment de I secrit sous la forme g =

P f pour une partie

finie et un systme de polynmes (P | ), et si f(a) = 0 pour tout , on obtient g(a) = P(a) f(a) = 0, i.e. a V (I).

18 Blier

On montrera aussi que tout idal de A est engendr par un nombre fini de po-lynmes (il sagit dun autre thorme de Hilbert, appel thorme de la base).Donc, les sous-ensembles algbriques de Kn sont prcisment les parties qui peuventscrire comme lieux des zros dun nombre fini de polynmes de A. Par ce qui pr-cde, les sous-ensembles algbriques sont en bijections avec les les idaux radicaux,cest dire, les idaux I A tels que I = rad(I). Remarquons aussi que

rad(rad(I)) = rad(I) pour tout idal I Adonc le radical de nimporte quel idal est un idal radical (exercice !). Quel est lerle des idaux premiers dans cette description ? On verra que tout sous-ensemblealgbrique de Kn peut se dcomposer de faon unique comme runion finie de sous-ensembles algbriques irrductibles : ces derniers sont les sous-ensembles algbriquesqui ne se dcomposent davantage de cette faon. Or, lidal I(Z) dun sous-ensemblealgbrique Z Kn est premier si et seulement si Z est irrductible.

Par analogie avec la situation topologique de la section 1.2, il convient dintro-duire une topologie sur Kn : les parties fermes sont les sous-ensembles algbriques.Donc, les ouverts sont runions finies de parties de la forme

D(f) := {a Kn | f(a) 6= 0} f Aet les sous-ensembles algbriques irrductibles seront prcisment les parties fermesirrductibles de Kn.

Exercice 1.26. Montrer que deux parties ouvertes non vides de Kn ont toujoursune intersection non vide. Donc, en contraste avec le cas topologique, la topologiede Zariski sur Kn nest pas spare si n > 0.

Si maintenant A est un anneau arbitraire, on peut sinspirer par ce qui prcdepour munir MaxA dune topologie de Zariski, engendre par les parties

D(f) := {m MaxA | f / m} f A.Comme ci-dessus, tout idal I de A dfinit une partie ferme de MaxA note encore :

V (I) = {m MaxA | I m}On a vu que cette topologie est, en gnral, non spare ; dautre part, on a :

Proposition 1.27. La topologie de Zariski de MaxA est compacte.

Dmonstration. Soit (U | ) une famille de parties ouvertes de MaxA dontla runion est MaxA. Il faut montrer quil existe une partie finie telleque MaxA =

U. Pour cela, on se ramne aisment au cas o, pour tout

il existe f A tel que U = D(f). Donc, pour tout m MaxA il existe tel que f / m. On dduit que lidal I :=

Af nest contenu dans

aucun idal maximal, et donc I = A, par le corollaire 1.23. Do, une identit de laforme 1 =

af pour quelque partie finie

et un systme dlments(a | ) de A. On voit aisment que ce convient. 1.4. Le spectre premier. La discussion prcdente sapplique aussi bien au spec-tre premier SpecA. En particulier, le thorme 1.22 implique trivialement que lespectre premier dun anneau A est vide si et seulement si A = 0. On a aussi unetopologie de Zariski sur SpecA, engendre par les parties ouvertes de la forme

D(f) := {p SpecA | f / p} pour tout f Aet la preuve de la proposition 1.27 montre aussi bien que la topologie de Zariski deSpecA est compacte. Si lon sintressait seulement aux anneaux de type fini surun corps, on pourrait ngliger le spectre premier, et ne considrer que le spectremaximal, dont les points ont une interpretation gomtrique directe, grce au Null-stellensatz. Toutefois, mme pour ltude des varits algbriques dfinies sur un

1.4: Le spectre premier 19

corps algbriquement clos K, on a souvent faire avec des anneaux qui ne sontpas des K-algbres de type fini, et pour manipuler des tels anneaux, le spectrepremier resulte tre un outil plus efficace. Notamment, on peut remarquer que touthomomorphisme danneaux f : A B induit une application

Spec f : SpecB SpecA p 7 f1p.En effet, si p B est nimporte quel idal, f induit un homomorphisme injectifdanneaux A/f1p B/p ; or, si p est premier, B/p est intgre (voir le lemme 1.4),donc A/f1p est intgre aussi (trivialement, un sous-anneau dun anneau intgreest intgre), ce qui montre que f1p est bien un idal premier de A. De plus, onvoit aisment que pour tout a A on a lidentit :

(Spec f)1D(a) = D(f(a))

(exercice !) donc Spec f est une application continue de SpecB dans SpecA. Parcontre, limage rciproque dun idal maximal de B nest pas ncessairement unidal maximal de A (bien quil soit, bien entendu, un idal premier de A) : e.g. soitf : Z Q linclusion naturelle ; lidal {0} est maximal dans Q, mais son imagerciproque f1(0) = {0} nest pas maximale dans Z.Remarque 1.28. (i) Soit A un anneau, I A un idal ; la projection canonique : A A/I induit une application continue

Spec : SpecA/I SpecA.Le lemme 1.4 nous dit que Spec est injective, et son image est la partie fermeV (I) := {p SpecA | I p}. Plus prcisment, la topologie de Zariski sur SpecA/Iconcide avec la topologie induite par SpecA via lapplication Spec . En effet, toutepartie ouverte de SpecA/I est runion de parties de la forme D(a), avec a A/Ila classe dun lment a A ; on voit aisment que D(a) = (Spec)1(D(a)), donctoute partie ouverte U de SpecA/I est image rciproque dune partie ouverte deSpecA. Autrement dit, lespace topologique SpecA/I sidentifie canoniquement ausous-espace ferm V (I) de SpecA.

(ii) Soit g : A B un homomorphisme arbitraire danneaux, I A un idal ;on dnote par IB B lidal engendr par la partie g(I), et par g : A/I B/IBlhomomorphisme danneaux induit par g de la faon vidente. Noter que

V (IB) = {p SpecB | f(I) p} = (Spec g)1V (I)et lhomomorphisme canonique V (IB) SpecB/IB de (i) identifie aussi Spec g :SpecB/IB SpecA/I la restriction V (IB) V (I) de Spec g.

(iii) On a vu que g ninduit pas en gnral une application

Max g : MaxB MaxA.Toutefois, si g est surjective, Max g existe : en effet, dans ce cas limage rci-proque g1m dun idal maximal de B est bien un idal maximal de A, car lap-plication induite A/g1m B/m est bijective, donc A/g1m est un corps si etseulement si B/m est un corps (proposition 1.3(ii)). En raisonnant comme dans(i), on voit aisment que dans ce cas Max g identifie MaxB au sous-espace ferm{m MaxA | g1(0) m} de MaxA : les dtails seront laisss aux soins du lecteur.Exercice 1.29. (i) Dterminer SpecZ (avec sa topologie).

(ii) Soit K un corps algbriquement clos. Donner une description de lespacetopologique SpecK[T ].

(iii) Plus gnralement, dcrire SpecK[T ] si K est un corps parfait.(iv) Soit K un corps, E une extension algbrique purement insparable de K.

Montrer que linclusion i : K[T ] E[T ] induit un homomorphismeSpec i : SpecE[T ]

SpecK[T ].

20 Blier

Exercice 1.30. Soit K un corps algbriquement clos, et

f : K[X1, . . . , Xn] K[Y1, . . . , Ym]un homomorphisme de K-algbres. Donc f(a) = a pour toute constante a K, etf est dtermin par les polynmes

Pi(Y1, . . . , Ym) := f(Xi) i = 1, . . . , n.

(i) Montrer que, malgr la discussion prcdente, lapplication Spec f se restreinten une application

Max f : MaxK[Y1, . . . , Ym] MaxK[X1, . . . , Xn] m 7 f1m.(ii) Les identifications Kn MaxK[X1, . . . , Xn] et Km MaxK[Y1, . . . , Ym] don-nes par le Nullstellensatz permettent dinterprter Max f comme une application : Km Kn. Montrer que

(a) = (P1(a), . . . , Pn(a)) a := (a1, . . . , am) Km.Dfinition 1.31. (i) Soit A un anneau. Les idaux

J (A) :=

mMaxA

m et N (A) :=

pSpecA

p

sont appels respectivement le radical de Jacobson et le radical nilpotent (ou nilra-dical) de A. (Si A = {0}, on pose J (A) = N (A) = {0}.)

(ii) On dit que A est rduit si N (A) = 0.

Exemple 1.32. Si A = C (T ) avec T un espace topologique compact et spar,le thorme 1.16 montre quun lment f A appartient J (A) si et seulementsi f(t) = 0 pour tout t T , i.e. si et seulement si f = 0, donc J (A) = 0 (et afortiori, aussi N (A) = 0).

On a les caractrisations gnrales suivantes :

Thorme 1.33. Soit A 6= 0 un anneau, f A un lment. Alors :(i) f J (A) si et seulement si 1 af A pour tout a A.(ii) N (A) est lensemble des lments nilpotents de A.

Dmonstration. (i) : Si f J (A) et a A, llment 1 af nest contenu dansaucun idal maximal (car si m MaxA et 1af m, on aurait 1 = (1af)+af m, ce qui est absurde). Par le corollaire 1.24 on dduit que 1 af est inversible.

Dautre part, supposons que m soit un idal maximal et f A un lment quinappartient pas m ; donc la classe f A/m est 6= 0, et comme A/m est un corps(proposition 1.3(ii)), il existe a A dont la classe a A/m satisfait f a = 1. Celaveut dire que 1 af m, en particulier, 1 af nest pas inversible dans A.

(ii) : Si f A est un lment nilpotent, il existe n N tel que fn = 0, doncfn p pour tout idal premier p de A, do f p aussi.

Dautre part, supposons que f A ne soit pas nilpotent, et notonsSf := {fn |n N}.

Soit E lensemble des idaux I A tels que I Sf = . On munit E de la relationdordre donne par inclusion didaux. Comme 0 / Sf , on a {0} E, donc E 6= .Si (I | ) est une famille totalement ordonne dlments de E avec 6= ,lidal

I est aussi un lment de E. Par le lemme de Zorn, on dduit que

E possde un lment maximal I. Montrons que I est un idal premier de A. Eneffet, soient x, y A \ I ; par maximalit de I on a I + Ax, I + Ay / E, i.e. ilexiste n,m N, a, a A et b, b I tels que fn = ax + b, fm = ay + b. Donc,fm+n = aaxy + axb + bay + bb / I . Il sensuit que aaxy / I, et alors xy / I,do lassertion. Par construction, f / I, et on conclut que f / N (A).

1.5: Le langage catgoriel 21

Corollaire 1.34. Soit A un anneau, I A un idal, et : A A/I la projectioncanonique. Alors on a :

(i) Lapplication induite Spec : SpecA/I SpecA est un homomorphisme siet seulement si I N (A).

(ii) Lapplication induite Max : MaxA/I MaxA est un homomorphisme siet seulement si I J (A).

Dmonstration. Cela dcoule aussitt de la remarque 1.28(i,iii).

Exercice 1.35. Soit A un anneau, n N un entier.(i) Soit aussi P (T ) := a0 + a1T + + akT k A[T ] un polynme. Montrer que Pest inversible dans A[T ] si et seulement si a0 A et a1, . . . , ak N (A).(ii) Pour tout idal I A, soit I[T1, . . . , Tn] := I A[T1, . . . , Tn]. Dduire de (i) que

J (A[T1, . . . , Tn]) = N (A[T1, . . . , Tn]) = N (A)[T1, . . . , Tn].

Donc, J (A[T1, . . . , Tn]) = 0 si N (A) = 0 (voir aussi les exercices 6.23 et 6.87).

1.5. Le langage catgoriel. Bien que la thorie des catgories soit un domaineautonome des mathmatiques, avec des thormes profonds et sa provision de pro-blmes ouverts qui alimentent une recherche vive, le but primaire de cette sectionnest pas de dmontrer des rsultats nouveaux, mais plutt de nous doter dunlangage trs souple et pratique, qui gagnera des conomies importantes pour notreexposition, et nous permettra parfois de dceler des correspondances remarquablesentre objets algbriques divers, qui resteraient autrement caches, faute dun voca-bulaire adquat pour les exprimer.

1.5.1. Catgories. Tout dabord, une catgorie C est la donne de : un ensemble Ob(C ) dont les lments sont appels les objets de C pour toutX,Y Ob(C ), un ensemble C (X,Y ) dont les lments sont appels

les morphismes de X vers Y ; un morphisme f C (X,Y ) est not par uneflche f : X Y , et on dit que X est la source et Y le but de f

pour tout X,Y, Z Ob(C ), une applicationC (X,Y ) C (Y, Z) C (X,Z) (f, g) 7 g f

appel loi de composition de C .Cette donne doit remplir les conditions suivantes :

pour tout X Ob(C ) il existe un morphisme identique 1X : X X qui estneutre par la composition, i.e. tel que

1X f = f et g 1X = g Y Ob(C ), f C (Y,X), g C (X,Y )(videmment, ces identits dterminent 1X parmi les lments de C (X,X))

la composition est associative, i.e. pour tout X,Y, Z,W Ob(C ) on ah (g f) = (h g) f f : X Y, g : Y Z, h : Z W.

Exemple 1.36. Voici quelques exemples de catgories :(i) La catgorie Ens des ensembles a pour objets tous les ensembles, et les mor-

phismes sont les applications ensemblistes. Evidemment, le morphisme identiquedun ensemble X est lidentit usuelle de X .

(ii) Les espaces topologiques sont les objets dune catgorie

Top

dont les morphismes sont les applications continues.(iii) Les anneaux (resp. les groupes abliens) sont les objets dune catgorie,

dont les morphismes sont les homomorphismes danneaux (resp. de groupes).

22 Blier

(iv) Soit A un anneau. Les A-algbres (resp. les A-modules) sont les objets dunecatgorie

A Alg (resp. AMod)dont les morphismes sont les homomorphismes de A-algbres (resp. de A-modules).Pour A = Z on retrouve essentiellement les catgories de (iii) : en effet, la donnedune Z-algbre est quivalente celle dun anneau (voir la remarque 1.2(i)), etun Z-module nest rien dautre quun groupe ablien. Donc dans la suite on noteraZAlg et ZMod les catgories des anneaux et respectivement des groupes abliens.

(v) Les ensembles partiellement ordonns sont les objets dune catgorie

PoEns

avec les morphismes donns par la dfinition 1.19.(vi) On peut associer tout ensemble S une catgorie CS dont les objets sont les

lments de S, avec les morphismes dfinis de la faon suivante. Pour tout x S, ilexiste un unique morphisme x x (il doit donc tre le morphisme identique 1x) etsi x, y S sont deux lments distincts, on a CS(x, y) = . On voit trivialement quepour tout x, y, z S il existe une application unique CS(x, y)CS(y, z) CS(x, z),et le systme de ces applications fournit une loi de composition qui fait de CS unecatgorie. Une catgorie de cette forme est appele discrte. Donc, une catgorieest discrte si et seulement si tous ses morphismes sont identiques.

(vii) On peut associer tout ensemble partiellement ordonn (E,) une ca-tgorie CE , dont les objets sont les lments de E, et dont les morphismes sontdfinis de la faon suivante. Pour tout x, y E lensemble CE(x, y) est vide, sauf six y, auquel cas il contient un unique morphisme x,y : x y (et donc x,x = 1xpour tout x E) ; autrement dit, les morphismes de CE sont les couples (x, y)dlments de E avec x y. Comme dans (vi) ci-dessus, on voit aisment que pourtout x, y, z E il existe une unique application CE(x, y)CE(y, z) CE(x, z), etle systme de ces applications forme une loi de composition pour la catgorie CE .

Remarque 1.37. (i) Il est bien connu que lorsquon essaie de manipuler naivementdes collections trs grosses, comme par exemple lensemble de tous les ensem-bles, on frle invitablement des paradoxes logiques ; pour sen sortir, les thoriesaxiomatiques des ensembles imposent des bornes la taille des ensembles que lonpeut former lgitimement : par exemple, certains cadres axiomatiques introduisentune distinction entre classes et ensembles, et la collection de tous les ensembles estalors une classe (et non pas un ensemble) ; dautres encore postulent une hirarchiecroissante densembles trs gros appels univers : si on adopte cette croyance, onimagine toujours de travailler linterieur dun univers fix, tenant lieu densemblede tous les ensembles, mais qui nest, son tour, quun lment dun univers en-core plus grand. Il sensuit que, afin de justifier pleinement notre exemple 1.36(i),il faudrait, soit modifier la dfinition de catgorie : dans ce cas, on dira plutt queOb(C ) est une classe ; soit prciser que lon considre lensemble de tous les en-sembles contenus dans un univers fix. Des remarques analogues sappliquent auxcas (ii), (iii), (iv) et (v) de lexemple 1.36.

(ii) Un moment de reflexion suffit pour constater que la structure de catgorie estparmi les plus rpandues : on pourrait videmment prolonger la liste de lexemple1.36 ad infinitum, parcourant pratiquement tous les champs des mathmatiques.En raison de cette ubiquit, la thorie des catgories a mme t propose commebase dune nouvelle rorganisation conceptuelle des fondements des mathmatiques,alternative la thorie des ensembles : notablement, les paradoxes auxquels onfait allusion dans (i) ci-dessus disparaissent dans un contexte purement catgoriel,essentiellement car la relation X est un objet de la catgorie C na pas le mmestatut logique que la relation X est un lment de lensemble C : voir [16, Chap.8].

1.5: Le langage catgoriel 23

Rappelons que tout ensemble partiellement ordonn (E,) on a associ son op-pos (Eop,op) (voir la remarque 1.20(ii)) ; on en dduit une catgorie CEop quelon peut dcrire directement partir de CE : il sagit de la catgorie qui a lesmmes objets que CE , mais dont tous les morphismes changent de direction. Ilsagit dun cas particulier dune construction tout fait gnrale : si C est unecatgorie arbitraire, on obtient une catgorie oppose

C op

dont les objets sont les objets de C , et avec C op(X,Y ) := C (Y,X) pour toutX,Y Ob(C ). SiX est un objet de C , on peut utiliser la notationXop pour signalerque lon regarde X comme un lment de Ob(C op) ; de mme, tout morphismef : X Y de C correspond un morphisme fop : Y op Xop de C op, et la loi decomposition de C op est dtermine par lidentit :

fop gop := (g f)op f : X Y, g : Y Z dans C .En particulier, noter que 1Xop = (1X)op pour tout X Ob(C ). Avec cette termi-nologie, on voit que C opE = CEop pour tout ensemble partiellement ordonn (E,).Dfinition 1.38. (i) Souvent on slectionne des objets et/ou des morphismes dunecatgorie donne C pour dfinir une nouvelle catgorie : on dit quun catgorie Dest une sous-catgorie de C si

Ob(D) Ob(C ) et D(X,Y ) C (X,Y ) X,Y Ob(D)et la loi de composition de D est la restriction de celle de C .

(ii) Si de plus on a D(X,Y ) = C (X,Y ) pour tout X,Y Ob(D), on dit que Dest une sous-catgorie pleine de C .

Exemple 1.39. (i) Evidemment, pour spcifier une sous-catgorie pleine de C ilsuffira dindiquer lensemble de ses objets, et toute partie de Ob(C ) correspondune et une seule sous-catgorie pleine de C .

(ii) Un exemple de sous-catgorie non pleine de Ens est la catgorie

injEns

dont les objets sont les ensembles, et les morphismes sont les applications injectives.(iii) Si S est un ensemble, et S S une partie, videmment CS est une sous-

catgorie pleine de CS (notation de lexemple 1.36(vi)).(iv) De mme, si (E,) est un ensemble partiellement ordonn, et E E une

partie, on peut munir E de lordre partiel induit par celui de E, et videmmentCE est une sous-catgorie pleine de CE (notation de lexemple 1.36(vii)).

1.5.2. Isomorphismes, monomorphismes, pimorphismes. Soit C une catgorie, etf : X Y un morphisme de C ; il est naturel dappeler f un isomorphisme de C ,sil existe des morphismes g, h : Y X tels que

() g f = 1X et f h = 1Y .Par exemple, videmment, les isomorphismes de la catgorie Ens sont les appli-cations bijectives, et ceux de la catgorie Top sont les homomorphismes. Toutmorphisme identique de C est trivialement un isomorphisme, et en particulier toutmorphisme de la catgorie CS de lexemple 1.36(vi) est trivialement un isomor-phisme. De mme, en raison de la proprit antisymtrique des relations dordre,les seuls isomorphismes de la catgorie CE de lexemple 1.36(vii) sont les mor-phismes identiques. La notion disomorphisme est ainsi le premier exemple dunconcept purement catgoriel, car il peut sexprimer avec le langage des morphismeset des lois de composition, et les proprits des isomorphismes qui peuvent se d-duire partir des axiomes noncs ci-dessus pour les lois de composition sont alors

24 Blier

vraies dans toute catgorie. Par exemple, montrons que si f est un isomorphisme,on a g = h dans () ; en effet, on peut calculer :

g = g 1Y = g (f h) = (g f) h = 1X h = h.Remarquons aussi que dans la catgorie Ens, lexistence dune inverse gauche g(resp. droite h) pour f est quivalente linjectivit (resp. la surjectivit) de f ;dautre part, dans la catgorie Top il existe des applications injectives qui nad-mettent aucune inverse (continue) gauche. On peut alors se demander si linjecti-vit est une proprit catgorielle des morphismes de la catgorie Top. Autrementdit, est-il possible caractriser les applications continues injectives despaces topolo-giques avec le langage des morphismes et composition de morphismes ? La rponseest fournie par la premire partie de la dfinition suivante.

Dfinition 1.40. Soit C une catgorie, f : X Y un morphisme de C . On dit que f est un monomorphisme, si pour tout objet Z de C , lapplication

C (Z,X) C (Z, Y ) (h : Z X) 7 (f h : Z Y )est injective.

On dit que f est un pimorphisme, si pour tout objet Z de C , lapplication

C (Y, Z) C (X,Z) (g : Y Z) 7 (g f : X Z)est injective.

Exercice 1.41. (i) Avec la notation de la dfinition 1.40, montrer que si f admetune inverse gauche (resp. droite), alors f est un monomorphisme (resp. unpimorphisme).

(ii) Montrer que les monomorphismes de la catgorie Ens (resp. Top) sont lesapplications injectives (resp. les applications continues injectives).

(iii) Montrer que les pimorphismes de la catgorie Ens (resp. Top) sont lesapplications surjectives (resp. les applications continues surjectives).

(iv) On dit quun espace topologique est compltement rgulier, sil est spar,et pour toute partie ferme Z et tout t T \ Z il existe une fonction continuef : T [0, 1] telle que f(Z) = 0 et f(t) = 1. Par exemple, daprs le lemme deUrysohn et lexercice 1.14(v), tout espace compact et spar, et plus gnralement,tout espace normal est compltement rgulier. Notons par

crTop

la sous-catgorie pleine de Top dont les objets sont les espaces topologiques com-pltement rguliers. Montrer que les pimorphismes de crTop sont les applicationscontinues f : X Y telles que f(X) est une partie dense de Y .

(v) Soit A un anneau. Montrer que les monomorphismes de la catgorie A Alg (resp. A Mod) sont les homomorphismes injectifs de A-algbres (resp. leshomomorphismes injectifs de A-modules). Montrer aussi que les pimorphismes deAMod sont les homomorphismes surjectifs de A-modules.Remarque 1.42. (i) Dautre part, on trouvera dans la leon suivante des homomor-phismes non surjectifs de A-algbres qui sont des pimorphismes de A Alg.

(ii) Noter que tout morphisme de la catgorie CE de lexemple 1.36(vii) est lafois un monomorphisme et un pimorphisme.

(iii) Noter aussi quun morphisme f dune catgorie C est un monomorphisme siet seulement si fop est un pimorphisme de la catgorie C op : cest une illustrationdun principe gnral de la thorie des catgories : tout concept (et tout thorme)catgoriel admet un dual, obtenu simplement renversant les directions des flches.

(iv) Comme dj vu pour les isomorphismes, on peut dduire certaines propritsdes monomorphismes et pimorphismes partir des axiomes catgoriels, et ces

1.5: Le langage catgoriel 25

proprits sont alors valables dans toute catgorie. Une telle proprit est donnepar lexercice 1.41(i) ; un autre exemple est lobservation que la composition dedeux monomorphismes f : X Y et g : Y Z est toujours un monomorphismeg f . De mme pour la composition dpimorphismes ; dailleurs, lassertion pourles pimorphismes dcoule de celle pour les monomorphismes, grce au principe dedualit signal en (iii) ci-dessus.

1.5.3. Foncteurs. Lensemble (ou la classe : voir la remarque 1.37(i)) des tous lescatgories est elle aussi une catgorie ! Si C et C sont deux catgories, un mor-phisme F : C C est appel traditionellement un foncteur de C dans C . Cedernier est la donne de :

une application F : Ob(C ) Ob(C ) pour tout X,Y Ob(C ) une application FXY : C (X,Y ) C (FX,FY )

soumise aux conditions suivantes : pour tout X Ob(C ) on a FXX(1X) = 1FX pour tout X,Y, Z Ob(C ) et tout f C (X,Y ), g C (Y, Z) on a

FY Z(g) FXY (f) = FXZ(g f).On dit que F est fidle (resp. plein) si FXY est une injection (resp. une surjection)pour tout X,Y Ob(C ). Dans la suite, on omettra gnralement le souscrit dansla notation FXY , et on crira plus simplement Ff pour tout morphisme f de C .

Exemple 1.43. Voici quelques exemples de foncteurs :(i) Toute catgorie C admet un foncteur identique 1C : C C , tel que 1CX :=

X et 1C f := f pour tout objet X et tout morphisme f de C . Notons aussi que siF : C C et G : C C sont deux foncteurs, on obtient une compositionGF : C C X 7 G(FX) (f : X Y ) 7 (G(Ff) : G(FX) G(FY ))et cette loi de composition est videmment associative. Cela justifie notre asser-tion ci-dessus sur lexistence de la catgorie des catgories (on glissera ici sur lesdifficults logiques quune telle construction entrane : brivement, la catgorie descatgories contenues dans un univers fix U ne sera pas un lment de U , mais ilfaudra la placer dans un univers plus gros...).

(ii) Soit A un anneau. A tout ensemble on a associ le A-module libre A()

(voir lexemple 1.5(iv)) ; on peut prolonger cette association en un foncteur fidle

A() : Ens AMod 7 A().Pour cela, on doit associer toute application : une application A-linaireA() : A() A(), de telle faon que A(1) = 1A() pour tout ensemble , etA(

) A() = A() pour toutes applications : et : . Soient(e | ) et (e | ) les bases canoniques de A() et respectivement A(

) ;pour dfinir A() il suffit dexpliciter les images des e, et on pose

A()(e) := e() .

Avec cette dfinition, les conditions requises sont trivialement vrifies.(iii) Dautre part, on a aussi associ chaque ensemble le produit direct A,

mais on ne peut pas prolonger fonctoriellement cette association sur la catgoriedes ensembles (du moins, il ny a aucune faon naturelle ou simple pour obtenir untel prolongement). Toutefois, on peut dfinir un foncteur fidle

A : injEns AMod 7 A

(notation de lexemple 1.39(ii)). En effet, toute application injective : on associe lapplication A-linaire

A : A A (a | ) 7 (a | )

26 Blier

o a() := a pour tout , et a := 0, si / ().(iv) A toute application densembles : S S on peut associer un foncteur

C : CS CS (notation de lexemple 1.36(vi)). Pour cela, on pose C(x) := (x)et videmment C (1x) := 1(x) pour tout x S = Ob(CS).

(v) De mme, tout morphisme : (E,) (E,) densembles partiellementordonns on peut associer un foncteur C : CE CE tel que C(x) := (x) pourtout x E, et C(x y) := ((x) (y)) pour tout x, y E avec x y (notationde lexemple 1.36(vii)).

(vi) A tout espace topologique T on a associ lanneau C (T ) des fonctionscontinues sur T valeurs rels, et toute application continue f : T T on aassoci aussi un homomorphisme danneaux, mais dont la direction est renverse,car f est plutt une application C (T ) C (T ) : voir lexercice 1.18. De plus,on vrifie aisment que (g f) = f g si f : T T et g : T T sontdeux applications continues arbitraires. On voit alors que lon peut interprter lesassociations T 7 C (T ) et f 7 f comme la donne dun foncteur

Topop R Alg.En gnral, si C et D sont deux catgories, un foncteur C op D est aussi appelun foncteur contravariant de C dans D . (Noter que dcider si un foncteur soitcontravariant est surtout une question de perspective : car (C op)op = C , donc toutfoncteur C D peut se voir comme un foncteur contravariant de C op dans D .)

(vii) Notons csTop la sous-catgorie pleine de Top dont les objets sont les espacestopologiques compacts et spars. On obtient un foncteur

csTopop R Algpar restriction du foncteur de (vi), et lexercice 1.18(ii) nous dit que ce foncteur estplein et fidle.

(viii) A tout anneau A on a associ lespace topologique SpecA, et touthomomorphisme danneau f : A B on a associ lapplication continue Specf :SpecB SpecA (voir la section 1.4) ; on a donc un foncteur

Spec : Z Algop Top.(ix) Dautre part, on a remarqu que lassociation A 7 MaxA nest pas foncto-

rielle sur toute la catgorie des anneaux. Nanmoins, le spectre maximal donne unfoncteur contravariant sur :

la sous-catgorie pleine de KAlg dont les objets sont les K-algbres de typefini, pour tout corps K algbriquement clos (voir lexercice 1.30(i))

la sous-catgorie de ZAlg dont les objets sont tous les anneaux, et les mor-phismes sont les homomorphismes surjectifs danneaux (remarque 1.28(iii)).

Remarque 1.44. Soit F : C C un foncteur.(i) Si on inverse la direction des flches de C et C , on obtient le foncteur oppos

F op : C op C op Xop 7 (FX)op

tel que F op(fop) := (Ff)op pour tout morphisme f de C .(ii) Evidemment, F est un isomorphisme de catgories si et seulement si lappli-

cation correspondante Ob(C ) Ob(C ) est bijective, et FXY est une bijection pourtout X,Y Ob(C ). Toutefois, dans des nombreuses situations surtout quand ilsagit de grosses catgories comme Ens ou Top cette condition est trop restrictivepour tre utile ; la notion vraiment intressante est son assouplissement suivant :

Dfinition 1.45. Soient C et C deux catgories.(i) On dit quun foncteur F : C C est une quivalence sil est plein et fidle,

et pour tout X Ob(C ) il existe X Ob(C ) et un isomorphisme FX X .(ii) On dit que C est quivalente C sil existe une quivalence C C .

1.5: Le langage catgoriel 27

Noter que lapplication Ob(C ) Ob(C ) correspondante une quivalenceC C nest pas forcment injective, ni surjective ; nanmoins, pour plusieursquestions lexistence dune quivalence de C vers C rend ces catgories virtuelle-ment interchangeables ; par exemple, on a :

Exercice 1.46. (i) Soit F : C C un foncteur, f : X Y un morphisme de C .Montrer les assertion suivantes :

(a) Si F est plein et fidle, alors f est un isomorphisme de C si et seulement siFf est un isomorphisme de C .

(b) Si F est une quivalence, alors f est un monomorphisme (resp. un epimor-phisme) si et seulement si Ff jouit de la mme proprit.

(ii) Soient F : C C et G : C C deux quivalences de catgories. Montrerque G F : C C est une quivalence.

Exemple 1.47. Soit A un anneau ; pour tout A-module M , le dual de M est leA-module des formes A-linaires M A, not

M := HomA(M,A).

Toute application A-linaire f :M N induit un homomorphisme transpos

f :M N (N A) 7 (M f A).

Evidemment (IdM ) = IdM pour tout A-module M , et (g f) = f g pourtoute couple dapplications A-linaires f : M N et g : N P . On a donc unfoncteur contravariant bien dfini

() : (AMod)op AMod.

Notons aussi AModltf la sous-catgorie pleine de AMod dont les objets sont lesA-modules libres de type fini. Si L est un A-module libre de rang r N, le dual Lest aussi libre de rang r : en effet, toute base e1, . . . , er de L induit une base dualee1, . . . , e

r de L

telle que ei (ei) = 1 et ei (ej) = 0 pour tout i 6= j (les vrifications

sont laisses aux soins du lecteur) ; i.e. () induit par restriction un foncteur

() : (AModltf)op AModltf.

Montrons que ce dernier est une quivalence. En effet, videmment tout A-modulelibre L de rang fini est isomorphe L ; lassertion revient donc voir que pourtout A-module libre L et L de rang fini on a un isomorphisme :

HomA(L,L) HomA(L, L) f 7 f

Pour cela, fixons des bases e1, . . . , er et e1, . . . , es de L et respectivement L

; ladonne dune application A-linaire f : L L est quivalente celle de la matrice

(aji | i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , s) telle que f(ei) =r

j=1

ajiej i r.

et f correspond la matrice transpose (aij | j = 1, . . . , s; i = 1, . . . , r), i.e.f(ej) =

ri=1 aije

i pour tout j = 1, . . . , s. Lassertion sensuit aussitt. Dans cet

exemple, le foncteur () est donn par une application injective et non surjectiveOb((AModltf)op) Ob(AModltf).

28 Blier

1.5.4. Transformations naturelles. Si C , C sont deux catgories, lensemble desfoncteurs de C dans C est son tour une catgorie. En effet, si F,G : C C sont deux foncteurs, une transformation naturelle de F dans G, note

C

F''

G

88 C

ou simplement : F G

est la donne dun systme de morphismes de la catgorie C

X : FX GX X Ob(C )tels que pour tout morphisme f : X Y de C , on a un diagramme commutatif

FXX //

Ff

GX

Gf

FY

Y // GY.

Remarque 1.48. (i) Tout foncteur F : C C admet une transformation identique1F : F F X 7 1FX X Ob(C ).

(ii) Les transformations naturelles peuvent tre composes : si H : C C est unautre foncteur, et : G H une autre transformation naturelle, on dfinit

: F H X 7 (X X : FX HX).(iii) Un isomorphisme de foncteurs est bien sur une transformation naturelle inversible gauche et droite ; cela revient dire que X est un isomorphisme pourtout X Ob(C ) : en effet, dans ce cas on obtient une transformation rciproque

1 : G F X 7 (X)1 : GX FXet videmment 1 = 1F , 1 = 1G. On notera

Cat Fun(C ,C ) et Nat(F,G)

respectivement la catgorie des catgories, la catgorie des foncteurs C C etlensemble des transformations naturelles F G. Donc, C ,C Ob(Cat), et ona Cat(C ,C ) := Ob(Fun(C ,C )), et pour tout F,G Ob(Fun(C ,C )), lensembleNat(F,G) est aussi lensemble des morphismes F G dans la catgorie Fun(C ,C ).

(iv) Noter aussi que si : F G est une transformation naturelle, en renversantla direction des flches lon obtient une transformation oppose

op : Gop F op Xop 7 (opX : (GX)op (FX)op).Exemple 1.49. (i) Soit C une catgorie, et on dnote

E(C ) := Nat(1C ,1C )

i.e. lensemble des endomorphismes du foncteur identique de C . Munissons E(C )de lopration E(C ) E(C ) E(C ) donne par composition dendomorphismes.Cette opration est associative, et admet un lment neutre : lendomorphismeidentique de 1C ; de plus, cette opration est commutative, car si , E(C ), ona par dfinition f X = Y f pour tout morphisme f : X Y de C , et si onchoisit f := X : X X on trouve = . Donc (E(C ), ) est un monodecommutatif. La partie E(C ) des automorphismes de 1C est un groupe ablien.

(ii) Si on prend C = A Mod pour un anneau donn A, on peut aussi dfinirune loi daddition sur E(AMod) : en effet, si , E(AMod), on obtient unetransformation naturelle + : 1AMod 1AMod en posant

( + )M := M + M :M M M Ob(AMod)

1.5: Le langage catgoriel 29

(dtails laisss aux soins du lecteur). On vrifie aisment que (E(A Mod), ,+)est un anneau (commutatif et associatif).

(iii) De plus, il existe un isomorphisme canonique danneaux

: A E(AMod).

Donc, lanneau A peut tre reconstitu partir de la catgorie des A-modules. Eneffet, tout a A on peut associer la tranformation naturelle a E(A Mod)telle que a,M := a IdM pour tout A-module M . Soit maintenant E(AMod) ;alors il existe un lment a A unique tel que A = a IdA, et il suffit de montrerque = a. Pour cela, soit M un A-module, et x M un lment ; soit aussif : AM lunique application A-linaire telle que f(1) = x. On a :

M (x) = M f(1) = f A(1) = f(a) = ax.

Comme x est arbitraire, cela montre que M = a IdM , CQFD.

Exercice 1.50. Il existe une deuxime loi de composition pour transformationsnaturelles, appele produit de Godement, qui sapplique aux diagrammes du type :

C

F''

G

88 C

F ))

G77

C

.

A savoir, on pose

( )X := GX F (X) X Ob(C ).

Montrer que :(i) ( )X = G(X) FX pour tout X Ob(C ).(ii) Le systme (( )X |X Ob(C )) dfinit une transformation naturelle

: F F G G.

Si F = G et = 1F , on crit aussi F au lieu de 1F , et de mme, si F = Get = 1F , on crit F plutt que 1F . Donc :

( F )X = FX et (F )X = F (X) X Ob(C ).

(iii) Les deux lois de composition sont lies de la faon suivante. Considrons undiagramme de six foncteurs et quatre transformations naturelles :

C

F

##

30 Blier

Problme 1.51. Soient C ,C deux catgories, F : C C un foncteur.(i) Montrer que F est une quivalence si et seulement sil admet un quasi-inverse,

i.e. un foncteur G : C C avec des isomorphismes de foncteurs : G F 1C et : F G 1C

vrifiant les identits triangulaires (notation de lexercice 1.50(ii))

F = F et G = G .(ii) Dduire de (i) que la relation C est quivalente C est une relation

dquivalence sur lensemble des catgories.

Exemple 1.52. Revenons au foncteur () : (AMod)op AMod de lexemple1.47 ; pour tout A-module M on a une application canonique de bidualit

M :M (M) m 7 ( 7 (m))telle que f M = N f pour tout f HomA(M,N), do une transformationnaturelle

: 1AMod ().On voit aisment que si L est un A-module libre de rang r N et e1, . . . , er estune base de L, lapplication L est lisomorphisme tel que ei 7 ei pour touti = 1, . . . , r. En particulier, L : L

L est lisomorphisme tel que ei 7 eipour i = 1, . . . , r ; dautre part, L(e

i )(ej) = e

i (L(ej)) = e

i (e

j ) = e

i (ej)

pour tout i, j = 1, . . . , r ; do :L =

1L .

Donc les isomorphismes de bidualit dfinissent des isomorphismes de foncteurs

1AModltf ()op () 1(AModltf)op () ()op

vrifiant les identits triangulaires. Compte tenu du problme 1.51(i), on retrouveainsi que () est une quivalence, et ()op est un quasi-inverse pour ().1.6. Solutions aux exercices et problmes. Cette dernire section contient dessolutions pour les problmes et exercices proposs dans la leon.

Exercice 1.10, partie (i) : La condition est videmment ncssaire. Rciproque-ment, si f est continue en tout point de T , soit U S une partie ouverte ; pourtout t f1U , la partie U est un voisinage de f(t), donc par hypothse f1U estun voisinage de t dans T , i.e. t est dans lintrieur W de f1U . Ainsi f1U = West une partie ouverte de T , do lassertion.

Partie (ii) : Daprs (i), il suffit de montrer que pour tout t T et tout voisi-nage W de f(t) dans S, la partie f1W est un voisinage de t dans T ; mais quitte remplacer W par W Vt, lon peut supposer que W Vt, et donc que W estaussi un voisinage de f(t) dans Vt. Par hypothse, f1t W est alors un voisinage det dans Ut ; lon dduit aisment que f1t W est aussi un voisinage de t dans T (lesdtails sont laisss aux soins du lecteur), donc de mme pour f1W .

Exercice 1.11 : Evidemment, si f C (T ) est inversible, on a f(t) 6= 0 pour toutt T . Pour la rciproque, notons que lapplication i : R \ {0} R \ {0} telle quex 7 1/x est continue (pour la topologie de R \ {0} induite par linclusion dans R) ;si f(T ) R\{0}, la composition if = 1/f est alors continue, et donc f C (T ).

Exercice 1.14, partie (i) : Pour toute famille (Z | ) de parties fermes ettout posons U := T \Z. La condition (b) re