lyantse conf

International Conference on FunctionalAnalysis Dedicated to 90th Anniversary

of V. E. Lyantse

L’viv, Ukraine, November 17–21, 2010

Abstracts of Reports

Contents

H. I. Ahmadov, N. Sh. Huseynova and M. M. Vekilov, Analytical solutionof the D-dimensional Schrodinger equation with the generalized Hulthenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ali M. Akhmedov and Saad R. El-Shabrawy, On the spectrum of the generalizedlower triangle double-band matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

H. S. Akhundov, One an extremal Goursat-Darbouxt type problem . . . . . . . 7A. R. Aliev and A. S. Mohamed, On solvability of a class of fourth order operator-

differential equations in a weight space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8A. J. Aliyeva and J. M. Aliyev, On convergence of linear positive operators in

space of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A. A. Amirshadyan, Nevanlina-Pick interpolation on a spectrum . . . . . . . . . 10Yury Arlinskiı and Valentin Zagrebnov, Numerical ranges of one-parameter con-

tractive holomorphic semigroups in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . 11O. B. Atamanyuk, The homotopic cyclicness of compact metric spaces as image

under the acting of topological conjugation on supercyclic linear spaces . . 12T. O. Banakh, B. M. Bokalo and N. M. Kolos, On compact subspaces of spaces

of scatteredly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Taras Banakh and Oles Potyatynyk, The space of real places of a field . . . . . . 13Taras Banakh and Ihor Zarichnyi, The coarse characterization of the Cantor

macro-cube and the Baire macro-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13T. Benzekri, Control method for hamiltonian system . . . . . . . . . . . . . . . 15E. I. Berezhnoi, On nonsmooth subspaces of spaces of smooth functions . . . . . 15T. V. Bosenko, G-narrow operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17R. Bozhok and V. Koshmanenko, On parametrization of super-singular pertur-

bationsby the rigged Hilbert space method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

V. M. Bruk, On holomorphic families of linear relations . . . . . . . . . . . . . . 18I. Chernega and A. Zagorodnyuk, Spectra of some algebras of symmetric analytic

functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ivan Chuchman and Oleg Gutik, On Bohr compactifications of some topological

semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20P. A. Cojuhari, On the problem of the finiteness of perturbed eigenvalues . . . . 21V. D. Didenko, The spectral radius of operators arising in wavelet analysis . . . 22V. Dilnyi, Some operators on weighted Hardy spaces . . . . . . . . . . . . . . . 22M. I. Dmytryshyn, Approximations by Exponential Type Vectors of Regular

Elliptic Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

CONTENTS 3

R. F. Efendiev, Spectral analysis of nonselfadjoint Hill operators with steplikepotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Omer Gok, On the bicommutant theorem in Banach C(K)-modules . . . . . . . 25N. Goloshchapova, On the multi-dimensional Schrodinger operators with point

interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Yu. Golovaty, On Schrodinger operators with point interactions . . . . . . . . . 26Przemys law Gorka, Analysis on metric spaces with metricly continuous measure 27Oleg Gutik, Kateryna Pavlyk and Andriy Reiter, On complete Brandt λ0-exten-

sions of topological semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28O. Ye. Hentosh, The Lie-algebraic sructure of integrable (2|2 + 1)-dimensional

supersymmetric matrix dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29D. Hernane-Boukari, Numerical and theoretical study of a free surface flow

problem over an obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30R. Hryniv, Inverse scattering for impedance Schrodinger operators . . . . . . . . 31O. Hubal’, Monad of idempotent measures on the cathegory of ultrametric

spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Nizameddin Sh. Iskenderov and Mansur I. Ismailov, Inverse scattering problem

for a first order system on the half-axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32N. A. Kachanovsky, Some remarks onWick calculus on parametrized Kondratiev-

type spaces of test functions of Meixner white noise . . . . . . . . . . . . . 33Hanna Kachurivs’ka and Oleh Storozh, Positively definite perturbations chang-

ing the domain of operator and one nonstandard variational problem . . . 34L. I. Karchevska and Taras Radul, On extension of weakly normal functors in

the category Comp onto Tych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Alexander V. Kiselev and Serguei N. Naboko, Functional calculus for a class of

non-self-adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36M. V. Klymenko, On monomorphic topological functors with finite supports . . 37Yu. G. Kovalev, Quasi-self-adjoint maximal accretive extensions of nonnegative

symmetric operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Andriy Lopushansky, Analytic semigroups in Wiener algebras over Banach balls 39O. Lopushansky, Hardy spaces associated with locally compact groups . . . . . . 39O. Lopushansky and M. V. Oleksienko, Hardy classes generated by the Schro-

dinger representation of Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40V. Ya. Lozynska, Functional calculus in algebras of ultradistributions . . . . . . 41N. Lyaskovska, Constracting universally small subsets of a given packing index . 42S. S. Man’ko, On the 4th order differential operator with singular coefficients . . 42Roderick Melnik and Dmytro Sytnyk, Ellipticity conditions in multiband Hamil-

tonian problems for the analysis of low dimensional nanostructures . . . . . 43V. A. Mikhailets and V. M. Molyboga, Spectral properties of the Schrodinger

operator with the Radon measure as potential . . . . . . . . . . . . . . . . 44V. A. Mikhailets and A. A. Murach, Hormander spaces, interpolation, and el-

liptic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45S. S. Mirzoev and F. A. Gulieva, On a minimality of decreasing elementary

decisions of the homogeneous equation of elliptic type of the second order . 46Z. H. Mozhyrovska, Nonlinear hypercyclic operator on the Hilbert space . . . . . 47Ya. Mykytyuk, Eigenvalue asymptotics for Bessel operators . . . . . . . . . . . . 48O. R. Nykyforchyn, Conjugate capacities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 CONTENTS

O. Ostrovska and D. Proskurin, Representations of Wick analogue of CCR . . . 49O. M. Patsiuk, On a class of self-adjoint operators in Krein space with empty

resolvent set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50D. V. Puyda, Inverse spectral problems for Dirac operators . . . . . . . . . . . . 51N. M. Pyrch, Classes of topological groups closed under free products . . . . . . 52Taras Radul, Hyperspaces of B-convex compacta homeomorphic to a Hilbert

cube manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Dusan Repovs, Non-linear mappings preserving at least one eigenvalue . . . . . . 54L. A. Rustamova and A. A. Aliev, On a boundary value problem for operator-

differential equations with discontinuous coefficient . . . . . . . . . . . . . 55S. V. Sharyn, Fourier-Laplace transformations of tempered polynomial distribu-

tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Anna Sidorik, Characteristic of UMD-spaces with vector-valued Hilbert trans-

form on the field of p-adic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A. V. Solomko and O. V. Lopushansky, On generalized Fourier transformation

for convolution algebra of Gevrey ultradistributions . . . . . . . . . . . . . 57D. Teniou, C. Titri-Bouadjenak, R. Ait-Yania and D. Hernane, A theoretical

study of a free supercritical flow with superficial tension . . . . . . . . . . . 58Yu. B. Zelinskii, M. V. Tkachuk, T. M. Osipchuk, Analytical conditions of locally

general convexity in the space Cm0,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A. B. Aнiкушин, Про зв’язок мiж апрiорними нерiвностями та послабленимиапрiорними нерiвностями для лiнiйних операторiв . . . . . . . . . . . . 60

Т. М. Антонова, Д. I. Боднар, В. Р. Гладун, Н. П. Гоєнко, Деякi достатнiумови збiжностi парних частин iнтегральних ланцюгових дробiв . . . . 61

М. В. Ахрамович, М. А. Муратов, Дикие задачи в теории представлений . . 62Севиндж Ф. Бабаева, О Φ-разрешимости некоторых краевых задач для

операторно-дифференциальных уравнений третьего порядка с опера-тором в краевом условии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

А. Ф. Бер, Дифференцирования в алгебрахфонНеймана с образом в идеале . 64Т. В. Василишин, Приклад побудови комплекснозначної функцiї iз задани-

ми наперед властивостями щодо значень iнтеграла вiд її степенiв . . . 64С. Г. Велиев, О полноте части корневых векторов операторных пучков вто-

рого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Г. А. Глушко, В. К. Маслюченко, Берiвська класифiкацiя векторнозначних

нарiзно неперервних вiдображень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66В. I. Горбачук, В. М. Горбачук, Про коректну розв’язнiсть у класi аналi-

тичних вектор-функцiй задачi Кошi для диференцiальних рiвнянь убанаховому просторi над неархiмедовим полем . . . . . . . . . . . . . . 68

М. Л. Горбачук, Граничнi значення нескiнченно диференцiйовних C0-пiвгрупу банаховому просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Г. М. Губреєв, Про оператор згортки на скiнченному iнтервалi . . . . . . . . 69Iгор Гуран, Скiнченнi симетричнi групи та їх вкладення . . . . . . . . . . . . 70М. В. Дубей, Лiнеаризацiя аналiтичних функцiй обмеженого типу в кулi

банахового простору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Ю. Ю. Єршова, Ю. С. Самойленко, Одновимiрнi системи пiдпросторiв гiль-

бертового простору, що пов’язанi з графами-кактусами . . . . . . . . . 71

CONTENTS 5

Г. В. Iвасик, Про поведiнку на нескiнченностi розв’язкiв еволюцiйного рiв-няння для транспортного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

О. О. Карабин, До питання тiнi вектора в стандартному гiльбертовому прос-торi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

В. М. Кирилич, А. М. Фiлiмонов, Гiперболiчна квазiлiнiйна задача Стефаназ горизонтальними характеристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ю. Л. Кишакевич, Елементи теорiї збурень рiзницевих операторiв другогопорядку на пiвосi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Т. С. Кудрик, Методи нестандартного аналiзу у працях В. Лянце . . . . . . 76О. М. Мартинюк, Спектральна задача для стiльтьєсiвських струн на графi,

що має форму вiсiмки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78О. В. Маслюченко, Характеризацiя коливань майже неперервних функцiй . 79С. С. Мирзоев, Р. Ф. Сафаров, О корректной разрешимости одной краевой

задачи в пространстве голоморфных вектор-функций . . . . . . . . . . 80М. А. Митрофанов, Властивостi роздiляючих полiномiв та рiвномiрно ана-

лiтичних i роздiляючих функцiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова, Б. А. Рубштейн, Порядковые эргодичес-

кие теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах . . . . . . 83В. В. Нестеренко, Про симетричну квазiнеперервнiсть та клiковiсть функцiй

двох змiнних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84В. В. Нестеренко, О. Г. Фотiй, Сукупна неперервнiсть горизонтально ква-

зiнеперервних мультифункцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85М. В. Приймак, Система тригонометричних функцiї iз змiнним перiодом та

деякi їх властивостi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Н. Пронська, Про еквiвалентнiсть спектральних задач для оператора дифу-

зiї та оператора Дiрака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88А. В. Ревенко, А. А. Ревенко, О слабой сходимости линейных операторов в

банаховых алгебрах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Ю. М. Сидоренко, О. I. Чвартацький, Оператори перетворень для гiпербо-

лiчної системи двох рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90М. М. Федик, О. П. Гнатюк, Деякi властивостi однiєї крайової задачi для

оператора Штурма-Лiувiлля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Ярослав Холявка, Про алгебраїчну незалежнiсть повних елiптичних iнтег-

ралiв першого роду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Є. В. Черемних, Про формулу слiду для несамоспряженої моделi Фрiдрiхса 93

6 Abstracts of Talks L’viv, November 17–21, 2010

Analytical solution of the D-dimensional Schrodingerequation with the generalized Hulthen potential

H. I. Ahmadov, N. Sh. Huseynova and M. M. Vekilov

Department of Mathematical Physics Faculty of Applied Mathematics and Cybernetics, BakuState University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku, Azerbaijan, Institute of Applied Mathematics,

Baku State University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku, Azerbaijan,[email protected], [email protected]

In this work, the analytical solutions of theD- dimensional radial Schrodinger equationfor the generalized Hulthen potential is presented. In our calculations, we have appliedthe Nikiforov-Uvarov method by using the exponential approximation to the centrifugalpotential for arbitrary l states. We found, that radial wave functions can be written in theform of the Jacobi polynomials. The normalization constants for the Hulthen potentialare also computed.

On the spectrum of the generalized lower triangledouble-band matrices

Ali M. Akhmedov and Saad R. El-Shabrawy

Baku State University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku, Azerbaijan, [email protected],[email protected]

We introduce the generalized difference operator ∆a,b on the sequence space lp, (1 <p <∞) as follows: ∆a,b : lp −→ lp is defined by,

∆a,bx = ∆a,b (xn) = (anxn + bn−1xn−1)∞n=0 with x−1 = b−1 = 0

where (an) and (bn) are two sequences of nonzero real numbers such that:

limn→∞

an = a, supn|an| <∞, lim

n→∞bn = b 6= 0, sup

n|bn| <∞

andan 6= a+ b, an 6= a− b, for all n ∈ N.

The operator can be represented by the matrix

∆a,b =

a0 0 0 ...b0 a1 0 ...0 b1 a2 ......

...... . . .

It is clear that the operator ∆a,b is a straightforward generalization of the differenceoperator and its generalizations (see [1], [2], [3] and [4]).

International Conference on Functional Analysis 7

In this work we establish the boundedness of the operator ∆a,b on lp, (1 < p <∞).Also, we examine the spectrum of the operator ∆a,b on the sequence space lp, (1 < p <∞).

Theorem 1. ∆a,b ∈ B (lp) with a norm satisfies

supk

(|ak|p + |bk|p)1p ≤ ‖∆a,b‖lp ≤ sup

k|ak|+ sup

k|bk| .

Theorem 2. Denote the set λ ∈ C : |a− λ| ≤ |b| by D and the set ak : ak /∈ D by E.Then the set E is finite and σ (∆a,b, lp) = D ∪ E .

1. A. M. Akhmedov and F. Basar, On the spectrum of the difference operator ∆ over the sequencespace lp, (1 ≤ p <∞), Demonstratio Math. 39 (2006), no. 3, 585-595.

2. A. M. Akhmedov, On the spectrum of the generalized difference operator ∆α over the sequencespace lp, (1 ≤ p <∞), News of Baku state univ. 3 (2009), 34-39.

3. H. Bilgic and H. Furkan, On the spectrum of the generalized difference operator B(r, s) over thesequence spaces lp and bvp (1 < p <∞), Nonlinear Anal. 68 (2008), 499-506.

4. P. D. Srivastava and S. Kumar, Fine Spectrum of the Generalized Difference Operator ∆v onSequence Space l1, Thai J. Math. 8 (2010), no. 2, 221–233.

One an extremal Goursat-Darbouxt type problemH. S. Akhundov

Let f : [0, 1]2×R3n×Q→ R, g : [0, 1]2×R3n×Q→ R, ξ : Rn → R, ϕ1 : [0, 1]→ Rn,ϕ2 : [0, 1]→ Rn, where Q ⊂ Rm be a compact set.

The following problem is considered

J (ν) =

∫ 1

0

∫ 1

0

g (t, s, u (t, s) , ut (t, s) , us(t, s))dt ds+ ξ (u (1, 1))→ min (1)

with the conditions

uts(t, s) = f (t, s, u (t, s) , u1 (t, s) , us(t, s) , ν(t, s)) (2)

u(t, 0) = ϕ1(t), u(0, s) = ϕ2(s), ϕ1(0) = ϕ2(0),

where ϕ1(·), ϕ2(·) absolutely continuous functions ν : [0, 1] × [0, 1] → Q measurablefunction.

The problem is: to find the necessary optimality condition for the problem (1)–(2).


On solvability of a class of fourth orderoperator-differential equations in a weight space

A. R. Aliev and A. S. Mohamed

Baku State University, [email protected]

On the whole axis R = (−∞; +∞) consider an operator-differential equation of theform (

d

dt− A

)3(d

dt+ A

)u (t) +

3∑j=1

Ajd4−ju (t)

dt4−j= f (t) , (1)

where A is a self-adjoint positive-definite operator, Aj, j = 1, 2, 3, are linear, generallyspeaking, unbounded operators in a separable Hilbert space H, f (t) ∈ L2,κ (R;H), u (t) ∈W 4

2,κ (R;H). Here κ ∈ R,

L2,κ (R;H) =

f (t) : ‖f‖L2,κ(R;H) =

(+∞∫−∞‖f (t)‖2

H e−κtdt

)1/2

< +∞

,

W 42,κ (R;H) =

u (t) : ‖u‖W 4

2,κ(R;H) =

=

+∞∫−∞

(∥∥∥∥d4u (t)

dt4

∥∥∥∥2

H

+∥∥A4u (t)

∥∥2

H

)e−κtdt

1/2

< +∞

,

the derivatives are understood in the sense of theory of distributions.The following theorem is valid.

Theorem. Let A be a self-adjoint positive-definite operator with a bower bound of thespectrum λ0 (A = A∗ ≥ λ0E (λ0 > 0), E is a unit operator), |κ| < 2λ0, the operatorsAjA

−j, j = 1, 2, 3, are bounded in H and the following inequality is fulfilled:

b (κ)

([1 +

4λ0 |λ0 − κ|(2λ0 − κ)2

] ∥∥A1A−1∥∥H→H +

+2λ0

2λ0 − κ

[1 +

4λ0 |λ0 − κ|(2λ0 − κ)2

]1/2 ∥∥A2A−2∥∥H→H +

4λ20

(2λ0 − κ)2

∥∥A3A−3∥∥H→H

)< 1,

where b (κ) = λ0√2(2λ20−κ2)

, if 0 ≤ κ2

4λ20< 1

3and b (κ) = 2λ0|κ|

4λ20−κ2, if 1

3≤ κ2

4λ20< 1. Then, for any

f (t) ∈ L2,κ (R;H), equation (1) has a unique solution u (t) from the space W 42,κ (R;H) .


On convergence of linear positive operators in space ofcontinuous functionsA. J. Aliyeva and J. M. Aliyev

Institute of Applied Mathematics, Baku State University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku,Azerbaijan, [email protected]

In the paper, we try to study convergence conditions of a sequence of linear positiveoperators in a space of continuous functions of two variables.

Lemma. If a sequence of linear positive functionals satisfies the conditions:

Φn(fk)→ fk(p0), p0 ∈ D

where fk(p)41 is a system ψ4 in the domainD, then for any function continuous in the

domain D, the relationΦn(f)→ f(p0)

in valid.

Theorem. The conditionLn(fk, p) = fk(p) + αn,k(p)

is fulfilled. Here fk(p)41 is a system ψ4 of the domain D, and αn,k(p), k = 1, 2, 3, 4

uniformly in this domain tends to zero and implies uniform convergence of a sequence oflinear positive operators Ln(f, p) to f(p) in the function f(p) is continuous in D.

Proof. Assume that there will be found a continuous function f(p) to which thesequence Ln(f, p) will not converge uniformly. Then, by some ε > 0 there will be foundan increasing sequence of the numbers nk and a sequence of the points pn,k such that thefollowing inequalities will be valid:

|Lnk(f, pnk)− pnk | ≥ ε.

We’ll assume that the sequence of the points pn,k converges to the point p0 ∈ D. We cando it by the bounded ness of the sequence and close ness of the set D. Let’s consider asequence of linear positive functionals Lnk(f, pnk) (the point pn,k is fixed).

It is easy to see that for this sequence the relation

Lnk(fi, pnk) = fi(pnk) + αnk,i → fi(p0), i = 1, 2, 3, 4

is fulfilled.Here we used the fact that αn,i uniformly tends to zero and that

limpnk→p0

fi(pnk) = fi(p0).

Having applied the lemma, we get

Lnk(f, pnk)→ f(p0).


But since f(pnk)→ f(p0), then Lnk(f, pnk)−f(pnk)→ 0 and consequently, for sufficientlylarge values of nk the following inequalities will be valid:

|Lnk(f, pnk)− f(pnk)| < ε.

The theorem is proved.The system of functions 1, x, y, x2 + y2 in any domain of a two-dimensional space may

serve as an example of a ψ4 - system. Really, if p0 = (x0, y0), then

ψ(p, p0) = (x− x0)2 + (y − y0)2.

This remark and theorem yield.

Corollary. The fulfilment of the conditions

1) Ln(1;x, y)⇒ 1;

2) Ln(ξ, x, y)⇒ x;

3) Ln(η, x, y)⇒ y;

4) Ln(ξ2 + η2;x, y)→ x2 + y2 → f(x, y), (x, y) ∈ D gives the relation

Ln(f(ξ, η);x, y)⇒ f(x, y),

where Ln(f ;x, y) is a sequence of linear positive operators in the space of continuousfunctions of two variables given in the domain D, and f(x, y) is any function continuousin this domain.

Thus, in order to draw a conclusion on uniform convergence of a sequence of linear positiveoperators in the space of continuous functions of two variables given in the domain D, itsuffices to verify uniform convergence of this sequence in the domain D only to the fourfunctions 1, x, y, x2 + y2 but not to infinitely many functions that we had to do it if forthat we used the Banach criterium.

In conclusion notice that the methods suggested by P. P. Kovorkin-R. G. Mamedovwere used in proofs.

Nevanlina-Pick interpolation on a spectrumA. A. Amirshadyan

Department of Mathematics, Donetsk National University, Donetsk, Ukraine,[email protected]

Problem ∂IPκ. Given are: real points zj and symmetric matrices Wj, Dj (j =1, ..,m), integer κ ∈ Z+. Find canonical Nκ–pair A(λ), B(λ) such that:

limλ∧−→zj

(B(λ)−WjA(λ)) = 0 (j = 1, ..,m)

limz,λ

∧−→zj

B(z)A(λ)− A(z)B(λ)

z − λ≤ Dj (j = 1, ..,m).


Let V = (In, .., In), W = (W1, ..,Wm), Z = diag(z1In, .., zmIn) are n × nm matrices,P = (Pjk)

mj,k=1, where Pjk = (Wj −Wk)/(zj − zk), if j 6= k and Pjk = Dj, if j = k – is a

Pick matrix. We assume that detP 6= 0, sq−P = κ.To derive the main theorem we apply operator approach. Consider the model space

Π = Cnm⊕Cn with the indefinite metric [f , g] = (Pf1, g1)Cnm+(f2, g2)Cn , (f = f1+f2, g =g1 + g2) and model symmetric operator S : (f,−V f) → (Zf,Wf), f ∈ Cnm. Wheninterpolation points zj ∈ C \ R (j = 1, ..,m) such model was introduced in [?] for thecase κ = 0 and in [2] for the case κ ≥ 0.

The following theorem establishes a one-to-one correspondence between all solutionsof the Problem ∂IPκ and corresponding minimal selfadjoint extensions A of operator S.

Theorem. Let P is nondegenerate, sq−P = κ and det(Wj + zjIn) 6= 0 (j = 1, ...,m).For the Nκ– pair A(λ), B(λ) to be a solution of the Problem ∂IPκ it is necessary andsufficient that it be on the form

A(λ), B(λ) = −G∗(A− λ)−1G, I + λG∗(A− λ)−1G,

where A - is a arbitrary minimal selfadjoint extension of the operator S, acting in thePontryagin space Π ⊇ Π (sq−Π = κ), such that subspaces ker(A − zj) are uniformlypositive (j = 1, ..,m); G – is the embedding operator from Cn to Π.

1. D. Alpay, P. Bruinsma, A. Dijksma, H. de Snoo, Interpolation problems, extensions of symmetricoperators and reproducing kernel spaces, Part I — Operator Theory: Adv. and Appl. 50 (1991),35–82.

2. A. Amirshadyan, V. Derkach, "Interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes",J.Operator Theory, 42 (1999), 145–188.

Numerical ranges of one-parameter contractiveholomorphic semigroups in Hilbert spaces

Yury Arlinskiı and Valentin Zagrebnov

EastUkrainian National University, Universite de la Mediterranee and Centre de PhysiqueTheorique, [email protected], [email protected]

We give a localization of the numerical range of one-parameter semigroup

T (t) = exp(−tA)t≥0

generated by a maximal sectorial operator A with vertex at zero and semi-angle α ∈[0, π/2). For this class of semigroups we give a new prove of the Euler operator-normapproximation:

exp(−tA) = limn→∞

(I + tA/n)−n, t ≥ 0,

with the optimal estimate O(1/n) of the convergence rate, which takes into account thevalue of α.


The homotopic cyclicness of compact metric spaces asimage under the acting of topological conjugation on

supercyclic linear spacesO. B. Atamanyuk

Precarpathian university by V. Stefanyk, [email protected]

We defined the notion of homotopic cyclicness of space X when the orbit fn(x), n ∈N is homotopic to set A wich is dense in space X.

By the theorem 2.27 in [1] for each metric compact space X and continue map f : X →X exists the topological conjugation π : X → H on some subsets H of linear spase Y suchas for the supercyclic operator S : H → H we have commutative following diagrammeS π = π f . Let h = π−1. After that we have f h = h S that is h is topologicalconjugation between sets H and X. For supercyclic operator S exists homotopie Hk

wich connects the orbit Sn(y)/n ∈ N with the each orbit kSn(y)/n ∈ N, k ∈ R andexists homotopie Hk+1 between kSn, n ∈ N, k ∈ R and (k + 1)Sn, n ∈ N, k ∈ R.Then homotopie W is defined on each small interval as Hi, i > k. That means thanhomotopic image W ([0, 1] × H) is dense in Y becouse by the definition of suppercyclicoperator the family kSn(y), n ∈ N, k ∈ R is dense in Y . After that we set by definitionG(t, x) = h W (t, π f(x)) ⊂ X. This constructed homotopie G realizes the homotopiccyclicness of space X. It connect the orbit fn(x), n ∈ N and the dense set A in X. Weinvolve that X is homotopic cyclic becouse the dense is invariant under the topologicalconjugation. Thus we proved theorem about that the topological conjugation transformssupercyclicness of the linear space onto homotopic cyclicness of the compact metric spaces.

1. F. Bayart, E. Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge Tracts in Mathematics, 2009.

On compact subspaces of spaces of scatteredlycontinuous maps

T. O. Banakh, B. M. Bokalo and N. M. Kolos

Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, Ukraine, [email protected],[email protected], [email protected]

A map f : X → Y between topological spaces is called scatteredly continuous if foreach non-empty subspace A ⊂ X the restriction f |A has a point of continuity. By SCp(X)we denote a space of all scatteredly continuous real-valued functions on X endowed withthe topology of pointwise convergence.

We shall talk about compact subspaces of spaces of scatteredly continuous maps de-fined on a metrizable space. In particular, the following theorem holds:

Theorem. For any metrizable separable space X each convex compact subspace of SCp(X)is metrizable.


The space of real places of a fieldTaras Banakh and Oles Potyatynyk

Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, Ukraine, [email protected]

Let R = R∪∞ be the one-point compactification of the real line, endowed with theoperations x⊕ y and x⊗ y defined by

x⊕ y =

x+ y if x, y ∈ R∞ if x =∞ and y 6=∞∞ if x 6=∞ and y =∞R otherwise

and

x⊗ y =

xy if x, y ∈ R∞ if x =∞ and y 6= 0

∞ if x 6= 0 and y =∞R otherwise

By a real place of a field F we understand any function f : F → R such that f(0) = 0,f(1) = 1 and f(x+ y) ∈ f(x)⊕ f(y), f(xy) ∈ f(x)⊗ f(y) for all x, y ∈ F .

By MF ⊂ RF we denote the space of real places. It is a compact Hausdorff space.

General Problem. Investigate the interplay between the algebraic properties of a filedF and the topological properties of its space of real places MF .

Fact. For the field F = Q(x) of rational functions of one variable the space of real placesMQ(x) is homeomorphic to the circle R.

For the field Q(x, y) of rational functions of two variables the space of real placesMQ(x,y) is much more complicated.

Theorem. The space of real places MQ(x,y) of the field Q(x, y) is a Peano continuum oftopological dimension dim(MQ(x,y)) = 2 and of cohomological dimension dimQ(MQ(x,y)) =1.

The coarse characterization of the Cantormacro-cube and the Baire macro-space

Taras Banakh and Ihor Zarichnyi


We shall work in the category whose objects are metric spaces and morphisms aremacro-uniform multi-maps. By a multi-map Φ : X⇒Y between metric spaces X, Y weunderstand any subset Φ ⊂ X×Y . For the point x ∈ X by Φ(x) = y ∈ Y : (x, y) ∈ Φ wedenote its image under the multi-map Φ. For a subset A ⊂ X we put Φ(A) =

⋃a∈A Φ(a).


A multi-map Φ : X⇒Y is called coarse if for each δ <∞ there is ε <∞ such that foreach subset A ⊂ X with diam(A) ≤ δ the image Φ(A) has diameter diam Φ(A) ≤ ε.

Two metric spaces X, Y are called coarsely equivalent if there is a multi-map Φ : X⇒Ysuch that both multi-maps Φ and Φ−1 are coarse and Φ(X) = Y , Φ−1(Y ) = X.

Given a cardinal κ ≥ 1 consider the space

κ<N = (xn)n∈N ∈ κN : ∃n ∈ N ∀m ∈ N xm = 0

endowed with the metric

d((xn)n∈N, (yn)n∈N) = maxn∈N

2nd2(xn, yn),

where d2 is the 0, 1-valued metric on κ.The metric spaces 2<N and ω<N are called the Cantor macro-cube and the Baire macro-

space, respectively.Our first result is the coarse classification of isometrically homogeneous separable

metric spaces of asymptotic dimension zero.A metric space X is called isometrically homogeneous if for any points x, y ∈ X there

is an isometry f : X → X such that f(x) = y.A metric space X has asymptotic dimension zero if for each ε <∞ there is a cover (U)

of X such that supU∈(U) diam(U) <∞ and dist(U, V ) ≥ ε for all distinct sets U, V ∈ (U).

Classification Theorem. Each unbounded isometrically homogeneous separable metricspace X of asymptotic dimension zero is coarsely equivalent to 2<N or ω<N.

Next, we present a characterization of metric spaces that are coarsely equivalent tothe space 2<N or ω<N.

Let ε be a positive real number. By the ε-connected component of a point x of a metricspace (X, d) we understand the set Cε(x) of all points y ∈ X that can be linked with xby a chain x = x0, x1, . . . , xn = y such that d(xi, xi−1) ≤ ε for all i ≤ n.

It is easy to see that for two points x, y ∈ X their ε-connected components Cε(x),Cε(y) either coincide or are disjoint. Consequently, for any point x ∈ X and real numbersδ ≤ ε it is legal to consider the (cardinal) number

Θεδ(x) = |Cδ(y) : y ∈ Cε(x)|

of δ-connected components composing the ε-connected component of x.

Characterization of the Cantor macro-cube and Baire macro-space. Let κ be anon-zero cardinal. A metric space X is coarsely equivalent to the space κ<N if and only if

1) X has asymptotic dimension zero;

2) ∃δ ∀ε ∃n ∈ N ∀x ∈ X Θεδ(x) ≤ κn;

3) ∀δ ∃ε ∀x ∈ X Θεδ(x) ≥ κ.

1. T. Banakh, I. Zarichnyi, Characterizing the Cantor bi-cube in asymptotic categories, Groups, Ge-ometry, and Dynamics (to appear).


Control method for hamiltonian systemT. Benzekri

University of Science and Technology Houari Boumedien, Algiers, [email protected]

Amethod of chaos control for Hamiltonian systems is presented. An explicit expressionfor the control term which is able to recreate invariant (KAM) tori is provided. Using adynamical perturbation, the method aims at building invariant torus which prevent thelong range chaotic transport and enhance the chaotic behavior inside the domain of thephase space confined by these tori.

The method is applied to a model of chaotic advection due to time-periodic forcingof an oscillating vortex chain. We show that by a suitable modification of this forcing,the modified model combines two effects: enhancement of mixing within the rolls andsuppression of chaotic transport along the channel.

1. M. Vittot, Perturbation theory and control in classical or quantum mechanics by an inversionformula, J. Phys. A: Math. Gen. 37:1 (2004), 6337—6357.

2. T. Benzekri, C. Chandre, X. Leoncini, R. Lima, M. Vittot, Chaotic advection and targeted mixing,Phys. Rev. Lett. 96 (2006), 124503.

On nonsmooth subspaces of spaces of smoothfunctions

E. I. Berezhnoi

Yaroslavl State University, Russia, [email protected]

In the geometric theory of Banach spaces of smooth functions, the following problemis of considerable interest.

Problem A. Suppose that we are given a Banach space Z of smooth functions. Doesthere exist an infinite-dimensional closed subspace Y ⊂ Z such that each function y ∈ Ynot identically zero is not smoother than the nonsmoothest function from Z?

This question was studied by many mathematicians.In the present report we given final answers of this problem in some situations.Let C[0, 1] is Banach space of continuity function on [0, 1].Suppose we are given a set D ⊂ I = [0, 1] of positive measure. For each f : D → R,

we define the modulus of continuity of f on D as follows. For each h > 0, we setDh = t ∈ D : t+ h ∈ D. Then by the modulus of continuity of the function f on D wemean

Ω(f, h;D) = sup0≤δ≤h

supt∈Dδ|f(t+ h)− f(t)|.


If D = I, then instead of Ω(f, h; I) we write Ω(f, h). Suppose that ω is a modulus ofcontinuity. As is customary, by Hω(D) we denote the function space

‖f |Hω(D)‖ = supt∈D|f(t)|+ sup

h>0

Ω(f, h;D)

ω(h).

Theorem 1. There exists a closed infinite-dimensional subspace E ⊂ C[0, 1] such thateach function f ∈ E not identically zero has neither right- or left-hand finite derivativeat any point (0, 1).

Theorem 2. Choose a Holder space Hω. There exists a closed infinite-dimensional sub-space G ⊂ C[0, 1], isomorphic to l1 and such that, for each function f ∈ G not identicallyzero, its restriction to any set of positive measure does not belong to Hω(D).

We denote H0,ω the subset of space Hω, such that for each function f ∈ H0,ω existtf ∈ (0, 1), into hold one or two equality

limδ→+0

suph≤δ

Ω(f, h;D+δ )

ω(h)= 0, lim

δ→+0suph≤δ

Ω(f, h;D−δ )

ω(h)= 0.

Here D+δ = [tf , tf + δ] and D−δ = [tf − δ, tf ].

Theorem 3. Let ω is a modulus of continuity for with

limh→0

ω(h)

h=∞,

and Hω is Holder space There exists a closed infinite-dimensional subspace G ⊂ Hω,isomorphic to l1 and such that, for each function f ∈ G not identically zero, not belongto H0,ω.

Let X is symmetric space on [0, 1] and ψ(X, t) = ‖χ(0, t)|X‖ is fundamental functionof space X.

Symbol ‖f |X‖ is a norm of element f ∈ X, χ(Dδ) - is indicator function od set Dδ.For each f : D → R we define the modulus of continuity of f on D into symmetric

space as usual by formula

Ω(f, h;D,X) = sup0≤δ≤h

‖(f(.+ δ)− f(.))χ(Dδ)|X‖.

IfD = I, then instead of Ω(f, h; I,X) we write Ω(f, h;X). Suppose that ω is a modulusof continuity. As is customary, by Hω(D)X we denote the function space

‖f |HωX‖ = ‖f |X‖+ sup

h≥0

Ω(f, h;X)

ω(h).

By H0,ωX we denote the subset of space Hω

X , such that for each function f ∈ H0,ωX exist

tf ∈ (0, 1), into hold one or two of equality

limδ→+0

suph≥0

Ω(f, h;D+δ , X)

ψ(X, δ)ω(h)= 0, lim

δ→+0suph≥0

Ω(f, h;D−δ , X)

ψ(X, δ)ω(h)= 0.

The last theorem have in this case direct prototype.


Theorem 4. Let ω is a modulus of continuity for with fulfil condition (1), X is symmetricspace on [0, 1] and ψ(X, t) = ‖χ(0, t)|X‖ is fundamental function of space X. Let Hω

X

is Holder space. There exists a closed infinite-dimensional subspace G ⊂ HωX , for each

function f ∈ G not identically zero, not belong to H0,ωX .

Let α ∈ (0, 1), p ∈ [1,∞). By Besov space Λα,pX we denote the function space with

norm

‖f |ΛαX,p‖ = (

∞∑i=1

(2αi · Ω(f, 2−i; I,X))p)1/p

.

Theorem 5. Let X symmetric space on [0, 1], α ∈ (0, 1), p ∈ [1,∞). Let Λα,pX is Besov

space. There exists a closed infinite-dimensional subspace G(α0, p,X), for each functionf ∈ G(α0, p,X) not identically zero, not belong to Λα,p

X forall α > α0.

Supported by RFFI, N 08-01-00669

1. E. I. Berezhnoi, The Subspace of C[0, 1] Consisting of Functions Having Finite One-Sided Deriva-tives Nowhere, Mathematical Notes. 73: (2003), 348–355.

2. E. I. Berezhnoi, A Subspace of Holder Space Consisting Only of Nonsmoothest Functions, Mathe-matical Notes. 74:3 (2003), 329–340.

3. E. I. Berezhnoi, On Subspaces of Holder Spaces Consisting of Functions of Minimal Smoothness,Doklady Mathematics 70:3 (2004), 911–913.

4. E. I. Berezhnoi, On Subspaces of C[0, 1] Consisting of Nonsmooth Functions, Mathematical Notes81:4 (2007), 490–495.

5. V. P. Fonf, V. I. Gurariy, M. I. Kadets, An infinite dimensional subspace C[0, 1] consisting ofnowhere differentiable functions, Comp. Rend. Acad. Bulg. Sci. 52:11-12 (1999), 13–16.

G-narrow operatorsT. V. Bosenko

V. N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, [email protected]

A linear continuous nonzero operator G acting from a Banach space X into a Banachspace Y is a Daugavet center [1] if every rank-1 operator T : X → Y satisfies

‖G+ T‖ = ‖G‖+ ‖T‖.

For every Daugavet centerG : X → Y we introduce the notion of a G−narrow operatoron X as a generalization of the concept of a narrow operator [2] acting from a space withthe Daugavet property. We present some basic facts about G−narrow operators, forinstance, the following one: if G : X → Y is a Daugavet center then every compactoperator on X is G−narrow.

1. T. V. Bosenko, V. M. Kadets. Daugavet centers, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 6:1, (2010), 3–20.

2. V. M. Kadets, R. V. Shvidkoy, D. Werner. Narrow operators and rich subspaces of Banach spaceswith the Daugavet property, Studia Math. 147, (2001), 269–298.


On parametrization of super-singular perturbationsby the rigged Hilbert space method

R. Bozhok and V. Koshmanenko

Institute of Mathematics, Kyiv, Ukraine, [email protected]

The classification of bounded from below super-singular perturbations A′ of a self-adjoint operator A ≥ 1 is proposed. In the A-scale of Hilbert spaces

H−k A H A Hk = D(Ak/2), k > 0

the parametrization of operators A′ in the terms of bounded mappings S : Hk → H−ksuch that KerS is dense in Hk/2 is obtained.

1. S. Albeverio, R. Bozhok, V. Koshmanenko, The rigged Hilbert spaces approach in singular pertur-bation theory, Reports of Math. Phys. 58:2 (2006), 227–246.

2. S. Albeverio, R. Bozhok, M. Dudkin, V. Koshmanenko, Dense subspace in scales of Hilbert spaces,Methods of Funct. Anal. and Topology, 11:2 (2005), 156–169.

3. Yu. M. Berezanskiy, Expansion in Eigenfunctions of Self-Adjoint Operators, AMS, 1968.

4. V. Koshmanenko, Singular Quadratic Forms in Perturbation Theory, Kluwer Academic Publishers,Dordrecht/Boston/London, 1999.

5. V. Koshmanenko, Singular Operator as a Parameter of Self-adjoint Extensions, Proceeding ofKrein Conference, Odessa, 1997, Operator Theory. Advances and Applications 118 (2000), 205–223.

On holomorphic families of linear relationsV. M. Bruk

Saratov State Technical University, Russia, [email protected]

Let B be a Banach space. A family of closed relations T (λ) ⊂ B × B is calledholomorphic in a point λ0 ∈ C if there exist a Banach space B0 and a family of boundedlinear operators K(λ) : B0 → B × B such that the family K(λ) is holomorphic in aneighbourhood of λ0 and for fixed λ the operator K(λ) bijectively maps B0 onto T (λ).

Theorem 1. Let H be a Hilbert space and a family of relations S(λ) ⊂ H×H satisfies theconditions: (a) S(λ) is holomorphic in µ ∈ C; (b) the range R(S(µ)) is a closed subspace;(c) the relation S−1(µ) is an operator on R(S(µ)). Then there exists a neighbourhood ofµ such that for any points λ belonging to this neighbourhood the relation S(λ) satisfiessame conditions and dimHR(S(λ)) = dimHR(S(µ)).

We consider the differential expression l on [0,∞)

l[y]=n∑k=1

(−1)k(pn−k(t)y(k))(k)− i[(qn−k(t)y(k))k−1+ (qn−k(t)y(k−1))(k)]+pn(t)y.


Coefficients of l are selfadjoint operators in a finite-dimensional Hilbert space H. Let Cλ(t)be a holomorphic operator function for Imλ 6= 0 whose values are operators in H suchthat C∗

λ(t) = Cλ(t) and Im Cλ(t)/Imλ > 0. We assume that the norms

∥∥p−10 (t)

∥∥, ‖pj(t)‖,‖qk(t)‖, ‖Cλ(t)‖ are locally integrable on [0,∞). Note that all results remain valid forexpressions of odd order.

We denote Aλ(t) = Im Cλ(t) (Imλ 6= 0), H = L2(H,Aλ0(t); 0,∞) (λ0 is fixed, Imλ0 >0). Let L′(λ) be a set ordered pairs (y, f) ∈ H×H satisfying the equation l[y]−Cλ(t)y =Aλ0(t)f , where y is function such that the operation l can be applied to it, Imλ 6= 0. ByL(λ) denote the closure of L′(λ) and by L0(λ) denote the closure of restriction of L(λ) tothe set of finite functions.

Theorem 2. The equality L(λ) = (L0(λ))∗ holds. The families L(λ), L0(λ) are holo-morphic (Imλ 6= 0) and the family L0(λ) satisfies the conditions of theorem 1 for any µ,Imµ 6= 0.

Corollary. Let N(λ) be the number of linearly independent solutions y(t) of the equationl[y]−Cλ(t)y = 0 such that (Imλ)−1

∫∞0

(Aλ(t)y(t), y(t))dt <∞. Then N(λ) is independentof λ for Imλ > 0 and for Imλ < 0.

This corollary was obtained in [1, 2] by another methods.

1. S. A. Orlov, Nested matrix discs analytically depending parameter and theorems on the invarianceradii of limiting disks, Izv. AN SSSR, Ser. Mat., 40:3 (1976), 593–644 (in Russian).

2. F. S. Rofe-Beketov, Differential Equations. Proc. International Conference. Uppsala, 1977, 169–178.

Spectra of some algebras of symmetric analyticfunctions

I. Chernega and A. ZagorodnyukInstitute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Lviv, Ukraine,Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, Ukraine,

[email protected], [email protected]

For a complex commutative topological algebra A its spectrum is the set of continuouscomplex-valued homomorphisms and can be naturally identified with the set of closedmaximal ideals of A. In [1] the spectra of algebras of symmetric holomorphic functions on`p are investigated. Maximal ideals of algebras of analytic functions were studied in [2],[3].

We are interested in studying the spectrum of the algebra Hbs(E) of entire symmetricanalytic functions of bounded type on the space E = L1[0,∞) ∩ L∞[0,∞) with a norm

‖x‖E = max‖x‖L1[0,∞), ‖x‖L∞[0,∞).

Let us denote by Hbs(`1) the algebra of entire symmetric analytic functions of boundedtype on `1. ByMbs(E) we will denote the spectrum ofHbs(E) and byMbs(`1) the spectrumof Hbs(`1).

Theorem. Hbs(E) can be continuously embedded into Hbs(`1) as a dens subalgebra.

Corollary. Mbs(E) ⊃Mbs(`1).


1. R. Alencar, R. Aron, P. Galindo, A. Zagorodnyuk, Algebras of symmetric holomorphic functionson `p, Bull. Lond. Math. Soc. 35 (2003), 55–64.

2. R. M. Aron, B. J. Cole, T. W. Gamelin, Spectra of algebras of analytic functions on a Banachspace, J. Reine Angew. Math. 415 (1991), 51–93.

3. A. Zagorodnyuk, Spectra of algebras of analytic functions and polynomials on Banach spaces,Contemporary Math. 435 (2007), 381–394.

On Bohr compactifications of some topologicalsemigroups

Ivan Chuchman and Oleg Gutik

Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, Ukraine, [email protected],[email protected]

In our report all spaces are assumed to be Hausdorff. Furthermore we shall follow theterminology of [1, 3, 5].

Recall [4] that the Bohr compactification of a topological semigroup S is a pair (β,B(S))such that B(S) is a compact topological semigroup, β : S → B(S) is a continuous ho-momorphism, and if g : S → T is a continuous homomorphism of S into a compactsemigroup T , then there exists a unique continuous homomorphism f : B(S) → T suchthat the diagram

Sβ //

g

B(S)

f||zzzz

zzzz

T

commutes.If λ is a cardinal then a partial map α : λ λ is called almost identity if the set

λ \ domα is finite and (x)α 6= x only for finitely many x ∈ λ. We denote

I∞λ = α : λ λ | α is almost identity.

Obviously, I∞λ is an inverse semigroup.

By Z02 we denote the discrete two-element group Z2 with the adjoined zero and by I2

the discrete two-element semilattice.

Theorem 1. Let λ be an infinite cardinal and I∞λ a topological semigroup. If the sub-

group of all even permutations of λ is a closed subgroup of the group of units of the semi-group I∞

λ , then the Bohr compactification B(I∞λ ) of I∞

λ is isomorphic to Z02, otherwise

B(I∞λ ) is isomorphic to I2.

By Z we denote the additive group of integers. For a class of topological semigroupsK by BK (Z) the Bohr compactification of Z in K .

Let N be the set of all positive integers. By I∞ (N) we shall denote the semigroupof monotone, non-decreasing, injective partial transformations of N such that the setsN \ domϕ and N \ rankϕ are finite for all ϕ ∈ I∞ (N). The semigroup I∞ (N) is calledthe semigroup of cofinite monotone partial bijections of N [6].


Theorem 2. The Bohr compactification B(I∞ (N)) of a topological semigroup I∞ (N)in a class of topological semigroups K is isomorphic to BK (Z).

By I ∞ (N) we shall denote the semigroup of monotone, almost non-decreasing, in-

jective partial transformations of N such that the sets N \ domϕ and N \ rankϕ arefinite for all ϕ ∈ I

∞ (N). Obviously, the semigroup I∞ (N) is an inverse subsemigroupof I

∞ (N). The semigroup I ∞ (N) is called the semigroup of cofinite almost monotone

partial bijections of N [2].

Theorem 3. The Bohr compactification B(I ∞ (N)) of a topological semigroup I

∞ (N)in a class of topological semigroups K is isomorphic to BK (Z).

1. J. H. Carruth, J. A. Hildebrant, R. J. Koch, The Theory of Topological Semigroups, Vol. I, MarcelDekker, Inc., New York and Basel, 1983; Vol. II, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1986.

2. I. Ya. Chuchman, O. V. Gutik, Topological monoids of almost monotone injective co-finite partialselfmaps of positive integers, Carpatian Math. Publ. (to appear).

3. A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. I., Amer. Math. Soc.Surveys 7, Providence, R.I., 1961; Vol. II., Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1967.

4. K. DeLeeuw, I. Glicksberg, Almost-periodic functions on semigroups, Acta Math. 105 (1961),99–140.

5. R. Engelking, General Topology, 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.

6. O. Gutik, D. Repovs, Topological monoids of monotone, injective partial selfmaps of N havingcofinite domain and image, Stud. Sci. Math. Hungar. (to appear).

On the problem of the finiteness of perturbedeigenvaluesP. A. Cojuhari

AGH University of Science and Technology, Faculty of Applied Mathematics, Al. Mickiewicza30, 30-059, Cracow, Poland, [email protected]

We will present an overview on recent results concerning the problem of the finitenessof perturbed eigenvalues. Applications to concrete classes of operators, as for instanceSchrodinger and Dirac operators, perturbed periodic differential operators and their dis-crete analogous, will be considered.


The spectral radius of operators arising in waveletanalysis

V. D. Didenko

University of Brunei Darussalam, [email protected]

LetM ∈ Rs×s, s ≥ 1 be a non-singular real matrix, and let c and a be m×m complex-valued matrix functions with entries from L1(Rs) and with absolutely convergent Fourierseries, respectively. On the space Lm2 (Rs) the matrices c, a, and M define bounded linearoperators RM

a and WMc by

(WMc ϕ)(x) :=

∫Rsc(Mx− y)ϕ(y) dy,

and(RM

a ϕ)(x) :=∑k∈Zs

akϕ(Mx− k),

where ak are the Fourier coefficients of the matrix a. The operatorsWMc and RM

a are calledcontinuous and discrete refinement operators, and their spectral radii play an importantrole in various problems of wavelet analysis.

In this work we evaluate the spectral radii of the operators RMa and WM

c . Undercertain natural conditions on the matrix M a simple analytic formula for the spectralradius of the continuous refinement operatorWM

c is obtained. For the discrete refinementoperator RM

a a number of point-valued and integral estimates is established. Note thatsome results have been presented in [1, 2].

1. V. D. Didenko, Estimates of the spectral radius of refinement and subdivision operators with isotrop-ic dilations, J. Operator Theory 58 (2007), 3–22.

2. V. Didenko and W. P. Yeo, The spectral radius of matrix continuous refinement operators, Adv.Comput. Math. 33 (2010), 113–127.

Some operators on weighted Hardy spacesV. Dilnyi

Drohobych Pedagogical University, Drohobych, Ukraine, [email protected]

Let Hpσ(C+), σ > 0, 1 6 p < +∞, is the space of analytic in half-plane C+ = z :

Rez > 0 functions for which

||f || := sup−π

2<ϕ<π

2

+∞∫0

|f(reiϕ)|pe−prσ| sinϕ|dr

1/p

< +∞.

Consider a shift operator Sτg(w) = g(w−τ). By E2∗ [Dσ] denote the Hardy-Smirnov space

on D∗σ = z : |=z| > σ ∨ <z < 0.Theorem 1. Let G ∈ H2

σ(C+), σ > 0, G 6≡ 0. Then the next conditions are equivalent:


1) spanτ60G(z)eτz = H2σ(C+);

2) spanτ60Sτg = E2∗ [Dσ], where g(w) =

1√2π

∫ +∞

0

G(x)e−xwdx, <w > 0;

3) G 6= 0 for all z ∈ C+, singular boundary function of G is a constant and one of thenext conditions is true:

a) limr→+∞

(KG(r)− σ

πln r)

= −∞, where

KG(r) =1

2π

∫1<|t|6r

(1

t2− 1

r2

)ln |G(it)|dt;

b) G(z) exp(

2σπz ln z − cz

)6∈ Hp(C+) for all c ∈ R;

c) limx→+∞

(ln |G(x)|

x+

2σ

πlnx

)= +∞.

Theorem 2. Suppose K(t) =∞∑k=1

bk sin kσt and∞∑k=1

k|bk| < +∞. Then

Tf(x) =

+∞∫0

uK(x− u)

(u− x)(u+ x)f(u)du

is a bounded operator on H1σ(C+) to L1(0; +∞) and ‖T‖ 6 πα

2, where α =

∞∑k=1

|bk|.

Remark. H1σ(C+) ⊂ L1(0; +∞), but T is unbounded as operator on L1(0; +∞).

Approximations by Exponential Type Vectors ofRegular Elliptic Operators

M. I. Dmytryshyn

Precarpathian National University, Ukraine, m−[email protected]

Approximations by Exponential Type Vectors of Regular Elliptic OperatorsLet Ω be a bounded region in Rn with the boundary ∂Ω of C∞-class and the collection

of operators

(Lu)(ξ) =∑|β|≤2m

aβDβu(ξ) , aβ ∈ C,

(Bju)(ξ) =∑|β|≤mj

bj,β(ξ)Dβu(ξ) , bj,β(ξ) ∈ C∞(∂Ω), j = 1, . . . ,m


is regular elliptic in the sense of definition [1, 5.2.1]. In the space Lp(Ω) (1 < p <∞) weconsider the closed linear operator A, determined by relations

Au = Lu and domain C1(A) = W 2mp,Bj(Ω),

where W 2mp,Bj(Ω) :=

u ∈ W 2m

p (Ω) : Bju |∂Ω= 0, j = 1, . . . ,m

and W 2mp (Ω) is the

Sobolev space.We investigate the problem of best approximations by exponential type vectors of the

operator A in Lp(Ω) (1 < p < ∞). For the operator A the subspaces of exponentialtype vectors consist of entire analytic functions of exponential type, which satisfied thecorrespondingly boundary conditions [2].

We introduce the approximation spaces, associated with the regular elliptic operators.These spaces are subspaces of classic Besov spaces and are interpolating between thesubspace of all exponential type vectors and Lp(Ω).

We establish the estimate of minimal distance from a given function in Lp(Ω) up to asubspace of exponential type vectors with fixed indexes.

1. Triebel H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1995.

2. O. Lopushansky and M. Dmytryshyn. Vectors of exponential type of operators with discrete spec-trum. Matematychni Studii 9 (1998), 70–77.

Spectral analysis of nonselfadjoint Hill operators withsteplike potentials

R. F. EfendievInstitute of Applied Mathematics, Baku State University, Z. Khalilov, 23, AZ1148, Baku,

Azerbaijan,Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan 9 F.

Agaev Str.,AZ1141, Baku, Azerbaijan [email protected]

Let us consider the differential equation

−y′′ (x) + q (x) y (x) = λ2y (x) (1)

in the space L2 (−∞,+∞) where the prime denotes the derivative with respect to thespace coordinate and assume that the potential q (x) is of the form

q (x) =

∞∑n=1

q+n e

inx for x ≥ 0

∞∑n=1

q−n einx for x < 0

(2)

the condition∑∞

n=1 |q±n |2

= q± < ∞ and q+n 6= q−n is satisfied, λ is a complex number.

We will study the spectrum and also to solve the inverse problem for non-self-adjoint Hilloperator by normalizing numbers on the axis.

1. M. G. Gasymov, Spectral analysis of a class non-self-adjoint operator of the second order, Funct.Anal. Appl. (In Russian), 34:1 (1980), 14–19.

2. L. A. Pastur, V. A. Tkachenko, An inverse problem for one class of one dimensional Schrodinger’soperators with complex periodic potentials. Math. USSR Izv. 37:3 (1991), 611–629.


On the bicommutant theorem in BanachC(K)-modules

Omer Gok

Yıldız Technical University, Faculty of Arts and Sciences, Mathematics Department, DavutpasaCampus, Istanbul, Turkey, [email protected]

In this talk, we concerned with the bicommutant theorem in Banach C(K)-modules.The Boolean algebra A is said to satisfy the Lat−Ac property if each A- invariant subspaceis the range of a continuous projection which commutes with A. One of the results is thefollowing.

Theorem. Let X be a Banach C(K)-module and M ⊆ C(K)′′ be idempotents satisfyingthe Lat −M∗c condition. Then, ¯< M > = (M∗)cc, where the closure is taken in weak*operator topology.

1. B. de Pagter and W. J. Ricker, Boolean algebras of projections and resolutions of the identity ofscalar-type spectral operators, Proc. Edinburgh Math. Soc. 40 (1997), 425–435.

2. B. de Pagter and W. J. Ricker, On the bicommutant theorem for σ complete Boolean algebras ofprojections in Banach spaces, Indag. Math., N. S. 10:1 (1999), 87–100.

On the multi-dimensional Schrodinger operators withpoint interactions

N. Goloshchapova

Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk, Ukraine, [email protected]

There are at least two natural ways to associate with the following differential expres-sion in L2(R1)

L1 := − d2

dx2 +m∑j=1

αjδ(· − xj), αj ∈ R, m ∈ N

self-adjoint operator for any fixed set α := αjmj=1 ⊂ R. The first one is based on thequadratic forms method. Another way to introduce local interactions on X := xjmj=1 ⊂R is to consider minimal operator corresponding to the L1 and impose boundary conditionsat xj, j ∈ 1, ..,m.

As distinguished from the one-dimensional case, the differential expression

Ld := −∆ +m∑j=1

αjδ(· − xj), αj ∈ R, m ∈ N (1)

in L2(Rd), d ∈ 2, 3 does not define an operator by means of the quadratic forms sincelinear functional δ(x) : f → f(x) is not continuous in W 1

2 (Rd).


Berezin and Faddeev [2] were the first to propose, in the case m = 1, to associate withLd the family of all self-adjoint extensions of the following symmetric operator

H := −∆, dom(H) :=f ∈ W 2

2 (Rd) : f(xj) = 0, j ∈ 1, ..,m, m ∈ N.

It is well known that H is closed nonnegative symmetric operator in L2(Rd) with de-ficiency indices n±(H) = m (cf. [1]). In [1], the authors proposed to associate withthe Hamiltonian (1) a certain m-parametric family H(d)

X,α of self-adjoint extensions of theoperator H.

In the present investigation, we apply boundary triplets and the corresponding Weylfunctions approach elaborated in [3, 4] to describe proper, self-adjoint, and nonnegativeself-adjoint extensions of the initial minimal symmetric operator H and characterize theirspectra.

1. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics,Texts and Monographs in Physics, Springer, Berlin-New York, 1988.

2. F. A. Berezin, L. D. Faddeev, Remark on the Schrodinger equation with singular potential, Dokl.Acad. Sci. USSR 137 (1961), 1011–1014 (Russian).

3. V. A. Derkach, M. M. Malamud, Generalized resolvents and the boundary value problems forhermitian operators with gaps, J. Funct. Anal. 95 (1991), 1–95.

4. V.A. Derkach, M.M. Malamud, The extension theory of Hermitian operators and the momentproblem, J. Math. Sci. 73 (1995), 141–242.

On Schrodinger operators with point interactionsYu. Golovaty

Department of Mechanics and Mathematics, Ivan Franko National University of Lviv,Universytetska st., 1, 79000 Lviv, Ukraine, [email protected]

This talk is devoted to the mathematical justification of some solvable models inquantum physics. Point interactions represent a special case of singular perturbations,where the original operator is a differential operator and the perturbation has support Xof zero measure. The formal Hamiltonians

H1(α, β) = − d2

dx2+∑xk∈X

αkδ(x− xk) +∑xk∈X

βkδ′(x− xk),

H2(α) = − d2

dx2+∑xk∈X

αk |δ′(x− xk)〉〈δ′(x− xk)|

have been used by theoretical physics from the 1930s to obtain exactly solvable models ofdifferent physical phenomena (see [1], [2] for historical remarks and extensive bibliographylists therein). Here δ is the Dirac delta function, α = αk and β = βk are sets ofcoupling constants taking values in R, and the rank one perturbation |f 〉〈 f | is definedby (|f 〉〈 f |ϕ 〉)(x) = f(x)

∫Rf(y)ϕ(y) dy.


We turn back to the problem of rigorous mathematical interpretation of the Schrodingeroperator with pseudopotentials αδ′ and α |δ′〉〈δ′|, and show that the problem in its con-ventional formulation contains hidden parameters and the choice of the correct selfadjointoperators is ambiguously determined. This choice depends on the way of smooth approx-imations of the pseudopotentials.

Point interactions in one dimension appear naturally as boundary conditions for func-tions from the domain of an ordinary differential operator. In order to obtain theseconditions at points xk ∈ X we study the limit behaviour, as ε→ 0, of the Hamiltonianswith smooth sharply localized potentials

Hε1(α, β, γ,Φ,Ψ) = − d2

dx2+∑xk∈X

αkεγ

Φk

(x− xkεγ

)+∑xk∈X

βkε2

Ψk

(x− xkε

),

Hε2(α, γ,Φ,Ψ) = − d2

dx2+∑xk∈X

αkε2γ+2

Ψk

(x− xkε

)∫R

Φk

(t− xkεγ

)· dt.

Here Φ = Φk, Ψ = Ψk are sets of C∞0 -functions and γ > 0. The norm resolventconvergence of these families, as ε→ 0, was proved. The limit operators H1(α, β, γ,Φ,Ψ)andH2(α, γ,Φ,Ψ) depend on the way, in which Dirac’s function and its first derivative areapproximated in the weak topology, that is to say the boundary conditions at xk dependon the profiles Φk and Ψk of δ- and δ′-like sequences localized at this point.

The results concerning the Hamiltonian − d2

dx2 + αδ′(x) have been published in [3] and[4].

1. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics.Providence, RI: AMS, 2005.

2. S. Albeverio, P. Kurasov, Singular Perturbations of Differential Operators and Solvable SchrodingerType Operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.

3. Yu. D. Golovaty, S. S. Man’ko, Solvable models for the Schrodinger operators with δ′-like poten-tials// Ukrainian Mathematical Bulletin, 6:2 (2009), 169–203.

4. Yu. D. Golovaty, R. O. Hryniv, On norm resolvent convergence of Schrodinger operators withδ′-like potentials// J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 155204 (14pp).

Analysis on metric spaces with metricly continuousmeasure

Przemys law Gorka

Warsaw University of Technology, Warsaw, Poland, [email protected]

Let (X, ρ, µ) be a metric measure space equipped with a metric ρ and Borel regularmeasure µ. We assume that the measure is continuous with respect to the metric ρ. Inthis space we define harmonic and Holder continuous maps. For the Holder condituousfunctions we obtain the Campanato theorem [1]. In the case of the harmonic functions weprove the maximum pronciple, the Harnack inequality, the Montel and the Weierstrasstheorems. [2].


1. P. Gorka, Campanato theorem on metric measure spaces. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 34:2(2009), 523–528.

2. M. Gaczkowski, P. Gorka Harmonic functions on metric measure spaces: convergence and com-pactness. Potential Anal. 31:3 (2009), 203–214.

On complete Brandt λ0-extensions of topologicalsemigroups

Oleg Gutik, Kateryna Pavlyk and Andriy Reiter

Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, Ukraine,Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NationalAcademy of Sciences, Naukova 3b, Lviv, 79060, Ukraine, [email protected],

[email protected], [email protected]

In our report all spaces are assumed to be Hausdorff. Furthermore we shall follow theterminology of [1, 2, 3, 7]. If S is a semigroup then the band (the subset of idempotent)of S we shall denote by E(S).

Let S be a semigroup with zero and λ be cardinal > 1. On the set Bλ(S) = λ× S ×λ ∪ 0 we define the semigroup operation as follows

(α, a, β) · (γ, b, δ) =

(α, ab, δ), if β = γ;

0, if β 6= γ,

and (α, a, β) · 0 = 0 · (α, a, β) = 0 · 0 = 0, for all α, β, γ, δ ∈ λ and a, b ∈ S. Obviously,J = 0∪(α,O, β) | O is the zero of S is an ideal of Bλ(S). We put B0

λ(S) = Bλ(S)/Jand we shall call B0

λ(S) the Brandt λ0-extension of the monoid S with zero [6]. A Brandtλ0-extension of a group is called a Brandt semigroup [2].

Definition [6]. Let S be some class of topological monoids with zero. Let λ be anycardinal > 1, and (S, τ) ∈ S . Let τB be a topology on B0

λ(S) such that (B0λ(S), τB) ∈ S

and τB|Sα,α = τ for some α ∈ λ. Then (B0λ(S), τB) is called a topological Brandt λ0-

extension of (S, τ) in S . If S coincides with the class of all topological semigroups, then(B0

λ(S), τB) is called a topological Brandt λ0-extension of (S, τ).A topological semigroup S is called H-closed, if S is a closed subsemigroup of any

topological semigroup T which contains S as a subsemigroup [4, 8].

Theorem 1. Let B0λ(S) be a topological Brandt λ0-extension of a topological monoid S.

If S is H-closed and the band E(B0λ(S)) is compact then B0

λ(S) is a H-closed topologicalsemigroup.

Theorem 2. Let B0λ(S) be a topological Brandt λ0-extension of a topological monoid

S with a compact band E(S) such that B0λ(S) is a topological inverse semigroup. If the

space E(B0λ(S)) is regular and B0

λ(S) is a H-closed topological semigroup, then the bandE(B0

λ(S)) is compact.

Theorem 3. A topological inverse Brandt semigroup Bλ(G) with a H-closed maximalsubgroup (as a topological semigroup) is H-closed if and only if the band E(Bλ(G)) iscompact.


A topological semigroup S is called absolutely H-closed, if every continuous homomor-phic image of S into a topological semigroup is a H-closed subsemigroup [5, 9].

Theorem 4. Let B0λ(S) be a topological Brandt λ0-extension of a topological monoid S.

If S is absolutely H-closed and the band E(B0λ(S)) is compact then B0

λ(S) is an absolutelyH-closed topological semigroup.

Theorem 5. A topological inverse Brandt semigroup Bλ(G) with an absolutely H-closedmaximal subgroup (as a topological semigroup) is absolutely H-closed if and only if theband E(Bλ(G)) is compact.

1. J. H. Carruth, J. A. Hildebrant, R. J. Koch, The Theory of Topological Semigroups, Vol. I, MarcelDekker, Inc., New York and Basel, 1983; Vol. II, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1986.

2. A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. I., Amer. Math. Soc.Surveys 7, Providence, R.I., 1961; Vol. II., Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1967.

3. R. Engelking, General Topology, 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.

4. O. V. Gutik, K. P. Pavlyk, H-closed topological semigroups and Brandt λ−extensions, Mat. MetodyFis.-Mekh. Polya 44:3 (2001), 20–28 (in Ukrainian).

5. O. V. Gutik, K. P. Pavlyk, Topological Brandt λ-extensions of absolutely H-closed topologicalinverse semigroups, Visnyk Lviv Univ., Ser. Mekh.-Math. 61 (2003), 98–105.

6. O. V. Gutik, K. P. Pavlyk, On Brandt λ0-extensions of semigroups with zero, Mat. Metody Fiz.-Mekh. Polya 49:3 (2006), 26–40.

7. O. Gutik, D. Repovs, On Brandt λ0-extensions of monoids with zero, Semigroup Forum 80:1(2010), 8–32.

8. J. W. Stepp, A note on maximal locally compact semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 20:1(1969), 251–253.

9. J. W. Stepp, Algebraic maximal semilattices, Pacific J. Math. 58:1 (1975), 243–248.

The Lie-algebraic sructure of integrable(2|2 + 1)-dimensional supersymmetric matrix

dynamical systemsO. Ye. Hentosh

Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, NAS of Ukraine, Lviv, Ukraine,[email protected]

On the dual space G∗ to the Lie algebra G of super-integro-differential operators

A := ∂q +∑

j<q−1 aj∂j, j ∈ Z, q ∈ N,

aj := aj(x, θ1, θ2;Dθ1 , Dθ2) := a0,j + a1,jDθ1 + a3,jDθ2 + a2,jDθ1Dθ2 ,

where ar,j ∈ C∞(S × Λ21; gl(m|n)), ar,j = ar,j(x, θ1, θ2) := a0

r,j(x) + θ1a1r,j(x) + θ2a

3r,j(x) +

θ1θ2a2r,j(x), r = 0, 3, x ∈ S ' R/2πZ, ∂ := ∂/∂x, Dθi := ∂/∂θi + θi∂/∂x is a superderiva-

tive with respect to the anticommuting variable θi ∈ Λ1, i = 1, 2, Λ := Λ0 ⊕ Λ1 being aGrassmann algebra over the field C, with respect to the scalar product

(A,B) :=∫ 2π

0dx∫dθ1

∫dθ2 sSp res (AB), A,B ∈ G,


where the symbol res designs a coefficient at the operator Dθ1D−1θ2

and sSp is a superma-trix supertrace, the hierarchy of the Lax type flows

Ltp = [(Lp)+, L], L ∈ G∗, p ∈ N, (1)

is considered.By use of the constructed Lie-Backlund transformation [1, 2] on the extended phase

space G∗ ×W 2N × W 2N a Hamiltonian representation for the coupled hierarchy formedby the flows (1) and the related evolutions of eigenfunctions and adjoint eigenfunctionsof an associated spectral problem taking the forms:

Fk,tp = (Lp)+Fk, F ∗k,tp = −(Lp)∗+F∗k , Φk,tp = (Lp)+Φk, Φ∗k,tp = −I(Lp)∗+IΦ∗k,

where Fk, F ∗k ∈ W := L2(S×Λ1; Λm0 ×Λn

1 ), Φk,Φ∗k ∈ W := L2(S×Λ1; Λm

1 ×Λn0 ), k = 1, N ,

I := diag(1, . . . , 1︸︷︷︸m

,−1, . . . ,−1︸︷︷︸n

), is found as well as for the corresponding hierarchies of

squared eigenfunction symmetries [1, 2].The relation of mentioned above hierarchies to some (2|2 + 1)-dimensional supersym-

metric matrix nonlinear dynamical systems with triple Lax-type linearizations is analysed.

1. O.Ye. Hentosh, Lax integrable supersymmetric hierarchies on extended phase spaces, SIGMA 2(2006), 11pp.; nlin.SI/0601007.

2. O. Ye. Hentosh, Lax integrable supersymmetric hierarchies on extended phase spaces of two an-ticommuting variables, Operator Theory: Advances and Applications, Verlag-Basel: Birkhauser,2009, 191, 365-379.

Numerical and theoretical study of a free surface flowproblem over an obstacle

D. Hernane-Boukari

Universite des Sciences et de la Technologie Houari-Boumediene, faculte des Mathematiques,BP. 32, El-Alia, Bab-Ezzouar 16111, Alger-Algerie, [email protected]

In this work, we consider a free surface problem of an irrotational flow of an idealand incompressible fluid over an obstacle lying on the bottom of a channel. It consists todeterminate the equilibrium free surface via a numerical method based on the minimiza-tion of the total energy of the flow. The derivation with respect to the domain is used tominimize the functional energy.

1. A. Henrot, M. Pierre, Variation et Optimisation de formes: une analyse gйomйtrique, No 48 deMathйmatiques et applications, Springer, 2005.

2. D. Zouaoui, Equilibre des liquides magnetiques avec interface libre, These de Doctorat en mecaniqueet energetique, INPL, Nancy, 1991.

3. H. Lamb, Hydrodynamics, 6th Ed. Cambridge University Press. 1932.


Inverse scattering for impedance SchrodingeroperatorsR. Hryniv

Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, Lviv, Ukraine,[email protected]

We study the direct and inverse scattering problems for the class of Schrodinger op-erators on the line in the impedance form,

S = − 1

p2(x)

d

dxp2(x)

d

dx,

with positive piecewise-constant impedances p. Such problems arise e.g. in the studyof electromagnetic wave propagation in stratified media; then dielectric permittivity andconductivity are piece-wise constant functions and the Maxwell system can be reduced tothe above operator S. If p is smooth enough, the operator S is unitarily equivalent to aSchrodinger operator in potential form with potential q(x) = p′′(x)/p(x); for discontinu-ous p the corresponding q is formally a distribution containing δ′ and the reduction of Sto the potential form is in general impossible. And indeed, the classical reconstructionalgorithms do not work in this case, as will be demonstrated by a simple model example.

Some partial results for a related problem on scattering in media with discontinuouswave speed propagation have been obtained by Aktosun, Klaus, van der Mee, Sabatiera.o.; however, no complete solution of the inverse scattering problem is available yet. Inthe talk we shall discuss the model case where the impedance is piece-wise constant andhas finite or infinite number of jumps at the lattice points xk = k, k ∈ Z. We shallcompletely describe the set of reflection coefficients r of the operator S and develop andjustify the algorithm reconstructing the impedance p from r.

The talk is based on the joint work with S. Albeverio (Bonn, Germany) and Ya. Myky-tyuk (Lviv, Ukraine).

Monad of idempotent measures on the cathegory ofultrametric spaces

O. Hubal’


We deal with the semiring (R,⊕,), where ⊕ stands for max and for +. Let X be acompact Hausdorff space. An idempotent measure µ on X is a functional µ : C(X)→ Rsuch that:

1) µ(cX) = c (here cX denotes the constant function on X equal to c);

2) µ(ϕ⊕ ψ) = µ(ϕ)⊕ µ(ψ);


3) µ(c ϕ) = c µ(ϕ),

for any c ∈ R and ϕ, ψ ∈ C(X). The set I(X) of all idempotent measures on X isendowed with the weak* topology.

Let (X, d) be an ultrametric space (recall that d is an ultrametric if

d(x, y) ≤ max d(x, z), d(z, y)

for all x, y, z ∈ X). The set I(X) of idempotent measures with compact support onX is endowed with an ultrametric d defined as follows. Given ε > 0 let Fε denote theset of all functions on X which are constant on the balls of radius ε. Then d(µ, ν) =inf ε > 0 | µ(ϕ) = ν(ϕ), for every ϕ ∈ Fε.

The construction I determines a functor on the category UMET of ultrametric spacesand Lipschitz maps. We show that this functor determines a monad on the category ofultrametric spaces and Lipschitz maps. We consider the problem of extensions of functorsof finite degree on the Kleisli category of this monad.

Inverse scattering problem for a first order system onthe half-axis

Nizameddin Sh. Iskenderov1) and Mansur I. Ismailov1), 2)

1) Faculty of Mechanics - Mathematics, Baku State University, Baku AZ 1148, Azerbaijan2) Department of Mathematics, Gebze Institute of Technology, Gebze-Kocaeli 41400, Turkey,

[email protected]

We consider two scattering problems in the half-axis x ≥ 0 for the first order systemof ordinary differential equation in the following form

Lψ = λψ, (*)

where

L ≡ i

−1 0 00 1 00 0 1

d

dx+

0 q12 q13

q21 0 0q31 0 0

, ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

with the boundary conditions

ψ1 (0) = h11ψ2 (0) + h12ψ3 (0)

andψ1 (0) = h21ψ2 (0) + h22ψ3 (0) .

It is assumed that qij is a complex-valued measurable function and it decreases quitefast at infinity. In addition

det

[h11 h12

h21 h22

]6= 0.

We study the inverse scattering problem (ISP) of finding the coefficients of the Eq.(*) from the scattering operators of the considered scattering problems.


In the case of q∗21 = q12, q∗31 = q13, the Eq. (*) arises in [1] as auxiliary equation of

some nonlinear evolution system of equations with 1+1 dimensions. The solution of theconsidered ISP in the semi-axis is reduced to the solution of the ISP in whole axis for theEq. (*). The ISP for the Eq. (*) in whole axis is studied in [2, 3].

1. S. V. Manakov, On the theory of two-dimensional stationary self-focusing of electromagnetic waves,Sov. Phys. JETP 38 (1974), 248–253.

2. M. I. Ismailov, The uniqueness of solution of inverse scattering problem for the system of ordinarydifferential equations on the whole axis. Transactions of NAS of Azerbaijan. 22:4 (2002), 139–145.

3. F. Demontis, C. Mee, Scattering operators for matrix Zakharov-Shabat systems. Integral Equationsand Operator Theory. 62 (2008), 517–540.

Some remarks on Wick calculus on parametrizedKondratiev-type spaces of test functions of Meixner

white noiseN. A. Kachanovsky

Institute of Mathematics of NASU, Kyiv, Ukraine, [email protected]

Using a general approach that covers, in particular, the cases of Gaussian, Poissonian,Gamma, Pascal and Meixner measures (in other words, in the framework of the so-calledMeixner white noise analysis), we construct elements of a Wick calculus on parametrizedKondratiev-type spaces of test functions; consider the interconnection between the ex-tended stochastic integration and the Wick calculus; and give an example of a stochasticequation with a Wick-type nonlinearity. The main results that we present in this lectureconsist in studying of properties of a Wick product and Wick versions of holomorphicfunctions on the parametrized Kondratiev-type spaces of test functions. These results arenecessary, in particular, in order to describe properties of solutions of stochastic equationswith Wick type nonlinearities in the Meixner white noise analysis. The interested readercan find a detailed information about the "classical" Wick calculus and its applicationsin, e.g., [1,2]; about the Wick calculus and stochastic integration (on the parametrizedKondratiev-type spaces of generalized functions) in the Meixner white noise analysis – in[3].

1. Yu.G. Kondratiev, P. Leukert, L. Streit, Wick calculus in Gaussian analysis. Acta Appl. Math.44 (1996), 269–294.

2. I. Kubo, H. H. Kuo, A. N. Sengupta, White noise analysis on a new space of Hida distributions.Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2:3 (1999), 315–335.

3. N. A. Kachanovsky , An extended stochastic integral and a Wick calculus on parametrized Kond-ratiev-type spaces of Meixner white noise. Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top.11:4 (2008), 541–564.


Positively definite perturbations changing the domainof operator and one nonstandard variational problem

Hanna Kachurivs’ka and Oleh Storozh

Berezhany agrotechical institute, Arademichna st., 20, 47501 Berezhany, Ukraine,[email protected]

Department of Mechanics and Mathematscs, Lviv National University, Univtrsytetska st.,1.79000 Lviv, Ukraine, [email protected]

We use the following denotation: D(T ), R(T ), kerT are, respectively, the domain,range, and kernel of a linear operator T ; B(X, Y )is the set of linear bounded operatorsT : X → Y such that D(T ) = X; B(X) = B(X,X); T ↓ E is the restriction of a mappingT onto a set E ; T* is the adjoint of T ; (·|·)X is the inner product in a Hilbert space X.

Let H be a Hilbert space, L0 : H → Hbe a closed positively definite linear operator(L0 >> 0)having dense domain, andL def

= L∗0. Assume that (G,Γ1,Γ2) is a positive bound-

ary value space of L0 corresponding to its Friedrichs extension LF , He

(= D(L

1/2F )

)is

the energetic space of L0, equipped with inner product (u|v)e =

(L

1/2F u|L

1/2F v

),Π is the

projection He

·+ kerL∗0 → He which vanishes on kerL.

Further, suppose that Φ ∈ B(H,G), Ψ ∈ B (He, G), Xdef= ΨΠ+Φ. and define the

operators Ψ•, X•as follows: ∀u ∈ He, ∀g ∈ G (Ψu|g)G = (u|Ψ•g)e ; X•def= (X ↓ He)

• .In addition, we assume that R(Ψ•)

⋂D(L) = 0, R(Ψ) = R(Ψ ↓ D(L0)) is closed

in G, kerL.

+R(Ψ•) is closed in H.For each linear operator W : D(L) → Gwe denote by W (Ψ)the linear continuation

of W onto R(Ψ•) which vanishes on . R(Ψ•). Suppose that B ∈ B(G) and define anoperator TB by the relations

D(TB) =y ∈ D(L)

.+R(Ψ•) : y + X•Γ

(Ψ)2 y ∈ D(L), Γ

(Ψ)1 y −BΓ

(Ψ)2 y = Xy

,

∀y ∈ D(TB) TBy = L(y + X•Γ

(Ψ)2 y

)(under the conditions guaranteeing that TB is a closed densely definite operator).

Theorem 1. TB is a self-adjoint positively definite operator iff

B + 2Re(X(Γ1L

−1F )∗

)− XX• >> 0. (1)

Theorem 2. Suppose that (1) holds. Let us denote by HBthe energetsc space of TB andby πB (·|·) its energetic inner product. Then HB = He

.+ kerL and for each u, v ∈ HB

πB(u, v) =(Πu|Πv)e+(BΓ2u|Γ2v)G + 2Re(Γ2u|Xv)G,

where Γ2u =

0, u ∈ He

Γ2u, u ∈ D(L).


Corollary. In the assumptions of latter theorem, for each f ∈ Hthe variational problem

πB(u, u)− 2Re(f |u)→ min, u ∈ He

·+ kerL

has an unique solution u0 = T−1B f .

On extension of weakly normal functors in thecategory Comp onto TychL. I. Karchevska and Taras Radul

Ivan Franko Lviv National University, Lviv, Ukraine, [email protected],[email protected]

In the present talk we shall discuss questions concerning extension of functors fromComp onto Tych, as well as study some properties of the Chigogidze extension of certainfunctors.

Suppose that F is any normal functor. The Chigogidze extension of the functorF is defined as follows (see [1] for details). For any X ∈ Tych put Fβ(X) = a ∈F (βX)|supp a ⊂ X. The topology on Fβ(X) is induced by the topology on F (βX) (hereβX stands for the Stone-Chech compactification of X); also, for any map f : X → Ydefine Fβ(f) = F (βf)|Fβ(X). It is well known that in the case of a normal functor Fβis a normal extension of F onto the category Tych of Tychonov spaces. The proof ofthis statement uses the fact that F preserves preimages. Similarly, many weakly normalfunctors have Fβ as their weakly normal extension, and in what follows we are to discusswhen this is true.

We say that a functor F in the category Comp preserves 1-preimages, if for any spacesX, Y , any closed subset A ⊂ Y and any mapping f : X → Y between them such thatf |f−1(A) is a homeomorphism we have (Ff)−1(FA) = F (f−1(A)) (Let us note that thenotion of peserving 1-preimages was introduced independently by T.Banakh).

Proposition 1. If a weakly normal functor F preserves 1-preimages, then it has a weaklynormal extension onto Tych.

We don’t know if the statement inverse to Theorem 1 holds. However, we can provethe following fact:

Theorem 1. If a weakly normal functor F has a weakly normal extension onto Tych,then F preserves 1-preimages in the class of 0-dimensional spaces and mappings betweenthem.

The functor V was defined in [2] and contains many known functors as subfunctors.

Theorem 2. Suppose that F : Comp→ Conv is a weakly normal subfunctor of V whichpreserves 1-preimages. Then for any separable metric space X

1) X ∼= N implies Fβ(X) ∼= Qf in case F (n) is finite-dimensional for any n ∈ N orFβ(X) ∼= Σ otherwise;

2) if X is locally compact non-discrete and non-compact then Fβ(X) ∼= Σ;


3) if X is topologically complete not locally compact then Fβ(X) ∼= Σω.

1. А. Чигогидзе, О продолжении нормальных функторов, Вестник Моск. Ун-та. Сер. мат.-мех.6 (1984), 23-—26.

2. T. Radul, Functional representations of Lawson monads, Appl. Categ. Struct. 9 (2001), 457–463.

Functional calculus for a class of non-self-adjointoperators

Alexander V. Kiselev and Serguei N. Naboko

St. Petersburg State University, Russia, [email protected]

We consider nonself-adjoint, non-dissipative operators acting in a Hilbert space H.One of the most intriguing phenomena here is the singular spectral subspace N0

i , whichpossible presence separates non-dissipative operators from dissipative ones. In particular,we single out the class of operators with almost Hermitian spectrum in which the spectralsubspace N0

i coincides with the Hilbert space H. The spectrum of such operators isautomatically real and purely singular. What is more inspiring is that in terms of itsanalytic properties the almost Hermitian subspace N0

i behaves essentially as a singularspectral subspace of a general self-adjoint operator (hence the choice of the name).

In particular, for both self-adjoint operators with purely singular spectrum and nonself-adjoint operators with almost Hermitian spectrum a natural generalization of the Cayleyidentity holds. The following result holds [3] in the self-adjoint case: a self-adjoint operatorA possesses purely singular spectrum (i.e., its absolutely continuous subspace is trivial)if and only if there exists a scalar bounded analytic and outer in the upper half-planefunction γ(λ) such that

w − limε↓0

γ(A+ iε) = 0.

This function γ can be calculated explicitly, for example as the perturbation determinantof the pair A,A − iV for any non-negative trace class self-adjoint operator V such thatall the generating vectors of A belong to its closed range.

A directly analogous result [1,3] holds in the situation of nonself-adjoint operators withalmost Hermitian spectrum, the only (quite natural) difference being that in this case onehas to speak of two functions γ and γ∗, defined in the upper and lower half-planes of thecomplex plane, respectively.

Further, it turns out that a natural generalization of the spectral theorem exists forthe operators with almost Hermitian spectrum, although in this situation one has tounderstand the corresponding spectral decomposition in the sense of generalized functions.

This spectral decomposition allows one to develop a rich functional calculus for theoperators of the class considered and based on this to obtain tight estimates on the normsof functions of operators with almost Hermitian spectrum.

In the talk, the corresponding results will be presented in the case of non-self-adjointoperators belonging to the so called Matrix Model class, i.e., the class of rank 2 additive


completely non-self-adjoint perturbations of self-adjoint operators, introduced by us in[2].

Despite the seemingly simple setting of this model, it reveals all the major difficultiesof the general case. On the other hand, its major advantage compared to the latter isthat it can be parameterized by a limited set of analytic functions which allows one todo many calculations explicitly based on results of the complex analysis. One should alsomention that in the general situation the results have the same form as in the MatrixModel situation.

1. A. V. Kiselev, S. N. Naboko, Nonself-adjoint Operators With Almost Hermitian Spectrum: WeakAnnihilators, Functional Analysis & App., 38:3 (2004),

2. A. V. Kiselev, S. N. Naboko, Non-Self-Adjoint Operators with Almost Hermitian Spectrum: MatrixModel. I, J. Comp. App. Math. 194 (2006), 115–130.

3. A. V. Kiselev, S. N. Naboko, Non-Self-Adjoint Operators with Almost Hermitian Spectrum: CayleyIdentity and Some Questions of Spectral Structure, Arkiv for Matematik 47 (2009), 91–125.

On monomorphic topological functors with finitesupports

M. V. Klymenko

Ivan Franko Lviv National University, Lviv, Ukraine, [email protected]

On monomorphic topological functors with finite supportsWe prove that a monomorphic functor F : Comp → Comp with finite supports is

epimorphic, continuous, and its maximal ∅-modification F preserves intersections. Thisimplies that a monomorphic functor F : Comp → Comp of finite degree degF ≤ npreserves (finite-dimensional) compact ANRs if the spaces F∅, F ∅, and Fn are finite-dimensional ANRs. This improves a known result of Basmanov.

1. T. Banakh, O. Hryniv, Free topological universal algebras and absolute neighborhood retracts,preprint (arXiv:1002.3352).

2. V. Basmanov, Covariant functors, retracts, and dimension, Dokl. Akad. Nauk SSSR 271:5 (1983),1033–1036.


Quasi-self-adjoint maximal accretive extensions ofnonnegative symmetric operators

Yu. G. Kovalev

Vladimir Dal EastUkrainian National University, Ukraine

In the present talk we give an intrinsic parametrization of all quasi-self-adjoint maximalaccretive and maximal sectorial extensions for given closed densely defined nonnegativesymmetric operator. We develop an approach proposed in [2]. The talk is based on therecent work with Yury Arlinskii and Eduard Tsekanovskii.

Let S be a closed densely defined and nonnegative symmetric operator acting in theHilbert H. Consider the domain dom (S∗) of the adjoint S∗ to S as the Hilbert H+ spacewith the inner product (u, v)+ = (u, v)+(S∗u, S∗v). Let SF be a Friedrichs extension of Sand let NF be (+)-orthogonal complement of dom (S) in domain of Friedrichs extensiondom (SF ). Then (+)-orthogonal decomposition

H+ = dom (S)⊕NF ⊕ SFNF

holds. Suppose that N0 := ran (S1/2F ) ∩NF 6= 0 and define the sesquilinear form on N0

w0[e, g] = (S−1/2F e, S

−1/2F g)+.

Theorem. The formulas

dom (S) = dom (S)⊕ (I + SF U)dom (U),

S(ϕ+ h+ SF Uh) = SF (ϕ+ h)− Uh, ϕ ∈ dom (S), h ∈ dom (U)

give a one-to-one correspondence between all quasi-self-adjoint (S ⊂ S ⊂ S∗) and maximalaccretive extensions S of S and all (+)-maximal accretive operators U in NF satisfyingthe condition:

1) ran (U) ⊂ N0,

2) Re(Ue, e

)+≥ w0[Ue] for all e ∈ dom (U).

Moreover, the extension S is m− α-sectorial if and only if the form(Ue, h

)+− w0[Ue, Uh], e, h ∈ dom (U)

is α-sectorial.

We give applications of the above results to the description of m-accretive Hamiltonianscorresponding to finite number of δ′-interactions on the line [1].

1. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvable Models in Quantum Mechanics,Texts and Monographs in Physics, Springer, Berlin-New York, 1988.

2. Yu. Arlinskiı, E. Tsekanovskiı, The von Neumann problem for nonnegative symmetric operators,Int. Eq. and Oper. Theory 51 (2005), 319–356.


Analytic semigroups in Wiener algebras over Banachballs

Andriy Lopushansky

Institute of Mathematics, Rzeszow University, Rzeszow, Poland, [email protected]

Quantized analytic operator semigroups acting on approximable Wiener type algebrasof analytic functions with infinitely many variables are considered. For such operatorsemigroups the corresponding initial Cauchy problem is solved. Previous results on thisissue are published in the works [1]-[2].

1. A. Lopushansky, Sectorial operators on Wiener algebras of analytic functions, Topology 48 (2009),105–110.

2. A. Lopushansky, Abstract parabolic Cauchy problem in complex interpolation scales, DifferentialEquations (2010) (in print).

Hardy spaces associated with locally compact groupsO. Lopushansky

Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NationalAcademy of Sciences, Naukova 3b, Lviv, 79060, Ukraine, [email protected]

A certain preliminary material on the topic is already published in [1]—[3].

1. O. Lopushansky, Hardy spaces for irreducible representations of locally compact groups, Topology48 (2009), 169–177.

2. O. Lopushansky, A. Zagorodnyuk, Hardy type spaces associated with compact unitary groups,Nonlinear analysis: Theory, Methods & Applications, (2010), 17pp. doi:10.1016/j.na.2010.09.009

3. O. Lopushansky, M. Oleksienko, A Poisson type formula for Hardy classes on Heisenberg’s group,Carpathian Mathematical Publications 2:1 (2010).


Hardy classes generated by the Schrodingerrepresentation of Heisenberg group

O. Lopushansky and M. V. Oleksienko

Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NationalAcademy of Sciences, Naukova 3b, Lviv, 79060, Ukraine, [email protected],

[email protected]

Hardy type spaces H2 for irreducible representations of locally compact groups wereintroduced in [1]. In this work we concentrate on an important partial case of such spaces,defined by the Schrodinger irreducible unitary representation of reduced Heisenberg group.

The Hardy type space H2 on the reduced Heisenberg group H, which acts irreduciblyand unitarily over the complex Hilbert space L2(R) with the help of Schrodinger’s repre-sentation, is associated, in according to its definition, with a Gauss type density on Rand the Haar measure on H. The Schrodinger representation of H contains the complexcyclic subgroup T =

τ = eiϑ : ϑ ∈ [0, 2π)

, which means that the essential assumption of

the work [1] is satisfied.We consider the Poisson type integral representation of analytic functions, belonging

to H2, on the open ball

ΩL2(R) =ξ ∈ L2(R) : ‖ξ‖L2(R) < 2

√π.

The Hilbert space of Taylor coefficients for the space H2 is unitary equivalent to theHermitian dual Γ∗(R) of the symmetric Fock space Γ(R), generated by the complex Hilbertspace L2(R). The corresponding isometry

Γ∗(R) ' H2

is described in this paper.Also we establish the Poissson type integral formula

P[f ](ξ) =

∫HP [ξ, (x, y, τ)] f(x, y, τ)x. dy dτ, ξ ∈ ΩL2(R),

which for corresponding functions f ∈ L2(H), defined on H, produces their unique analyticextensions P[f ] on ΩL2(R).

1. O. Lopushansky, Hardy spaces for irreducible representations of locally compact groups, Topology48 (2009), 169–177.


Functional calculus in algebras of ultradistributionsV. Ya. Lozynska

Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NationalAcademy of Sciences, Naukova 3b, Lviv, 79060, Ukraine, [email protected]

We study convolution algebras of ultradistributions of Beurling and of Roumieu typewith arbitrary support (see[4]). In the Fourier-image of such algebras we construct afunctional calculus for differential operator. This functional calculus is a generalizationof the well-known Fourier operator transform for convolution algebras of measures [2],[1]and the calculus for generators of nonquasianalytic groups in algebras of entire functionsof exponential type [3].

For a weigt function ω (see[4]) and an open set Ω ∈ Rn we define

Eω(Ω) =f ∈ C∞(Ω)| for all compactK ∈ Ω there is m ∈ N

supα∈NN

0

supx∈K|f (α)(x)|exp

(− 1

mϕ∗(m|α|)

)<∞

and

E(ω)(Ω) =f ∈ C∞(Ω)| for all compactK ∈ Ω and all m ∈ N

pK,m(f) := supα∈NN

0

supx∈K|f (α)(x)|exp

(−mϕ∗

( |α|m

))<∞

,

where ϕ∗ denotes the Young conjugate of the convex function ϕ. We will write E∗ ifstatement holds for both Eω and E(ω).

The elements of Eω(Ω)′ (resp. E(ω)(Ω)′) are called ultradistributions of Roumieu type(resp. of Beurling type).

For a weigt function ω, an ultradistribution µ ∈ E∗(Rn)′, and f ∈ E∗(Rn) we difine theconvolution by µ ? f : Rn → C, µ ? f(t) := 〈µs, f(t+ s)〉 = 〈µs, T−sf(t)〉.

The space E∗(Rn)′ is an algebra with respect to the convolution, that is defined by therelation µ ∗ ν : E∗(Rn)→ C, 〈µ ∗ ν, f〉 := 〈ν, µ ? f〉, µ, ν ∈ E∗(Rn)′, f ∈ E∗(Rn).

The Fourier-Laplace transform µ of µ ∈ E ′∗(Ω) is given by

µ(z) =⟨µx, exp(−i

⟨x, z⟩)⟩.

For arbitrary µ ∈ E∗(Rn)′ the operator µ(D) ∈ L(E∗(Rn)) is defined by the relation

µ(D)f := µ ∗ f, where f ∈ E∗(Rn).

The functional calculus such as that gives an effective method for investigation of differ-ential operators and functions of them.

1. A. V. Balakrishnan, Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them,Pacific J. Math. 10:2 (1960), 419–439.

2. E. Hille, R. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups, AMS, 1957.

3. Yu. I. Lyubich, V. I. Matsaev, Operators with a Separable Spectrum. Amer. Math. Soc. Transl.(2) 47 (1965), 89–129.


4. R. W. Braun, R. Meise, B. A. Taylor, Ultradifferentiable functions and Fourier analysis, Resultsin Math. 17 (1990), 206–237.

Constracting universally small subsets of a givenpacking index

N. Lyaskovska

Department of Mathematics, Ivan Franko Lviv National University, Universytetska 1, Lviv,79000, Ukraine, [email protected]

Given a non-empty subset A of an Abelian group G we study the cardinal number

pack(A) = sup|B| : B ⊂ G and (B −B) ∩ (A− A) = 0

called the packing index of A in G.

Recall that a subset A of a Polish space X is called universally small if it belongs toevery Borel σ−ideal with ccc. We say that family I ⊂ P(X) of subsets of X is an σ−idealif it is closed under taking subsets and countable unions. A σ−ideal Ihas property ccc ifthere is no uncountable family of disjoint Borel sets outside I.

Theorem. (CH) Let G be an uncountable Polish Abelian group. Then for any cardinal3 < κ ≤ ω1 there is a universally small subset A with pack(A) = κ.

On the 4th order differential operator with singularcoefficientsS. S. Man’ko

Department of Mathematics, Ivan Franko Lviv National University, Universytetska 1, Lviv,79000, Ukraine, [email protected]

Let q be a smooth real valued function on the interval [a, b] ⊂ R, containing the origin.Denote by Ψε the function

Ψε(x) = αε−4Ψ(ε−1x) + βε−3Φ(ε−1x) + γ1ε−2Υ1(ε−1x) + γ2ε

−1Υ2(ε−1x).

Here Ψ,Φ,Υ1,Υ2 ∈ C∞0 (R), supp Ψ = [−1, 1], and α, β, γ1, γ2 ∈ R. Let us considerthe operator Sε = d4

dx4+ q(x) + Ψε(x) on the domain

D(Sε) = f ∈ W 42 (a, b) | f(a) = f ′(a) = 0, f(b) = f ′(b) = 0.

Note that for some Ψ,Φ,Υ1,Υ2 the function Ψε converges in the sense of distributionsas ε → 0 to the linear combination of the derivatives of the Dirac delta-function, whichserves as a motivation for the choice of the singular perturbation Ψε. If therefore theoperator Sε converges (in some sense) as ε → 0 to the limit operator, then it is natural


to regard this limit as the interpretation of the fourth order differential operator corre-

sponding to the formal differential expressiond4

dx4+ q+ αδ′′′ + βδ′′ + γ1δ

′ + γ2δ. We wishto assign a limit operator to each collection (α, β, γ1, γ2; Ψ,Φ,Υ1,Υ2). We base the choiceof the limit operator on the proximity of its eigenvalues and eigenfunctions to those ofthe operators Sε for sufficiently small ε.

Ellipticity conditions in multiband Hamiltonianproblems for the analysis of low dimensional

nanostructures

Roderick Melnik and Dmytro Sytnyk

Wilfrid Laurier University, Waterloo, ON, Canada, [email protected],http://www.m2netlab.wlu.ca

In this contribution, we analyze multiband mathematical models for low dimensionalnanostructures such as quantum dots [1, 2]. In this context we have to deal with partialdifferential operators (PDO) associated with certain quadratic forms. We recall that forany m–dimensional matrix PDO H = hijmi,j=1, where

hklij∂2

∂xk∂xl, (1)

the associated quadratic form is defined by

G(ξ1, ..., ξnm) = vMvT , v = (ξ1, . . . , ξnm) , (2)

where M is an mn×mn matrix composed from the elements hklij .Then the PDO H is said to be elliptic with the increasing sequence of eigenvalues if

the eigenvalues of associated M (2) satisfy

λi < 0, ∀ i = 0, 1, . . . , nm. (3)

First, we consider Hamiltonians for nanostructures with zinc-blende (ZB) crystal lat-tice structures. In particular, the Luttinger–Kohn (LK) 6×6 Hamiltonian for ZB has theform:

HLK =

12P L M 0 i 1√

2L −i

√2M

L? 16P + 2

3Q 0 M − i

3√

2(P − 2Q) i

√32L

M? 0 16P + 2

3Q −L −i

√32L? − i

3√

2(P − 2Q)

0 M? −L? 12P −i

√2M? − i√

2L?

− i√2L? i

3√

2(P − 2Q) i

√32L i

√2M 1

3(P +Q) 0

i√

2M? −i√

32L? i

3√

2(P − 2Q) i√

2L 0 1

3(P +Q)

,

with corresponding P , Q, M , L defined via PDOs (see [1, 2] and references therein).


Similarly, we also consider Hamiltonians for wurtzite crystal lattice structures, wherewe focus on the Bir–Pikus (BP) Hamiltonian in the form:

HBP =

F 0 −H? 0 K? 00 G 0 −H? 0 K?

−H 0 λ 0 L? 00 −H 0 λ 0 L?

K 0 L 0 G 00 K 0 L 0 F

,

with corresponding F , H, I, K defined via PDOs (see [1, 2] and references therein).We show that both classical LK and BP Hamiltonians lead to mathematical models

that need to be augmented due to ellipticity requirements. Indeed, for many appliedproblems the actual physical parameters for typical materials result in problems whichare not elliptic, but rather essentially hyperbolic. The solutions to such problems arenot from the domain D(H0) and the eigenvalues Ei are not bounded from the below. Inboth cases of LK and BP Hamiltonians we demonstrate how such Hamiltonians shouldbe augmented to satisfy the ellipticity requirements.

1. S. R. Patil, R. V. N. Melnik, Thermoelectromechanical effects in quantum dots, Nanotechnology20:12 (2009), 125402.

2. S. Prabhakar, R. V. N. Melnik, Influence of electromechanical effects and wetting layers on bandstructures of quantum dots and spin control, J. Appl. Physics, 108 (2010), 064330.

Spectral properties of the Schrodinger operator withthe Radon measure as potential1

V. A. Mikhailets and V. M. Molyboga

Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine, [email protected],[email protected]

In the talk we discuss spectral properties of the 1-d Schrodinger operator defined onthe complex Hilbert space L2(R) with the Radon measure as potential:

S(q)u := −u′′ + q′(x)u, q ∈ BVloc(R), Im q = 0. (1)

Due to Savchuk and Shkalikov (Tr. Mosk. Mat. Obs. 64 (2003), 159–212) we define theoperator (1) as quasi-differential:

S(q)u := lq[u], lq[u] := −(u′ − qu)′ − q(u′ − qu)− q2u,

Dom(S(q)) :=u ∈ L2(R)

∣∣u, u′ − qu ∈ ACloc, lq[u] ∈ L2(R).

We give sufficient conditions for the operator S(q) to be selfadjoint and also we givenecessary and sufficient conditions of discreteness of its spectrum.

1The investigation is partially supported by DFFD of Ukraine under grant 28.1/017.


Theorem A. If the operator S(q) is lower semibounded then it is selfadjoint.

Theorem B. Assume that there exists a such finite number C ∈ R that we have∫J

d q(x) ≥ C (1)

for all intervals J of the real axis R of the length ≤ 1.Then the operator S(q) is lower semibounded and selfadjoint.

Theorem C. Let X = xkk∈Z ⊂ R and A = akk∈Z ⊂ R. On L2(R) let consider theSchrodinger operator with potential describing the point interactions:

SX,A = − d2

dx2+∑xk∈X

akδ(x− xk).

Assume that there exists a such constant C ∈ R that the inequalities are fulfilled:k=n∑k=m

ak ≥ C ∀m,n ∈ Z.

Then the operator SX,A is lower semibounded and selfadjoint.

Theorem D. Under the assumption (2) spectrum of the Schrodinger operator S(q) isdiscrete if and only if

lim inf|a|→∞

∫ a+h

a

d q(x) = +∞

for all h > 0.

Hormander spaces, interpolation, and ellipticoperators

V. A. Mikhailets and A. A. MurachInstitute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kiyv, Ukraine, [email protected],

[email protected]

The talk gives a survey of our results [1, 2] devoted to the elliptic operators andboundary-value problems on a Hilbert scale of the isotropic Hormander spaces

Hs,ϕ := H〈·〉s ϕ(〈·〉)2 = B2,〈·〉sϕ(〈·〉), 〈ξ〉 :=

(1 + |ξ|2

)1/2.

Here s ∈ R, whereas ϕ is a function parameter slowly varying at +∞ in the Karamatasense. In particular, every standard function

ϕ(t) = (log t)r1(log log t)r2 . . . (log . . . log t)rk , r1, r2, . . . , rk ⊂ R, k ∈ N,

is admissible. This refined scale contains the Sobolev scale Hs ≡ Hs,1 and is attachedto it by the number parameter s and being considerably finer. Moreover, every space Hs,ϕ

is a result of the interpolation with an appropriate function parameter of the couple ofSobolev spaces Hs−ε and Hs+δ with ε, δ > 0.

The following main questions are studied:


• the interpolation with a function parameter and Hormander spaces;

• Hormander spaces over the closed smooth manifolds;

• the Fredholm property of the elliptic pseudodifferential operators on the refinedscale over closed smooth manifold;

• a local refined regularity of the solutions to elliptic equations;

• applications of Hormander spaces to an investigation of the convergence of spectralexpansions almost everywhere and in the space Ck with k ∈ Z+;

• different theorems on a solvability of the elliptic boundary-value problems in Sobolevand Hormander spaces;

• a description of all the Hilbert spaces that have the interpolation property withrespect to the Hilbert scale of Sobolev spaces.

1. В. А. Михайлец, А. А. Мурач, Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптическиезадачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. — 372 с.

2. V. A. Mikhailets, A. A. Murach, Elliptic problems and Hormander spaces, Oper. Theory Adv.Appl. 191 (2009), 447–470 (arxiv: 0904.0372).

On a minimality of decreasing elementary decisions ofthe homogeneous equation of elliptic type of the

second orderS. S. Mirzoev and F. A. Gulieva

Baku State University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku, Azerbaijan, [email protected],[email protected]

On a separable Hilbert space L let’s consider the operational - differential equation

d2u

dt2+ (pA+ A1)

du

dt+(qA2 + A2

)u (t) = 0, t ∈ R+ = (0,+∞) (1)

where p ∈ (−∞,∞) , q < 0, operator coefficients satisfy the condition:

1) A-is self-connected positive operator with quite continuous opposite A−1;

2) Operators Bj = AjA−j (j = 1, 2) are bounded in H.

Let’s

L2(R+;H) =

f |(‖f‖L2(R+;H) =

∫ ∞0

‖f (t)‖2 dt

)1/2,

andW 2

2 (R+;H) =u | u′′, A2u ∈ L2 (R+;H) ,


‖u‖W 22 (R+;H) =

(‖u′′‖2

L2(R+;H) +∥∥A2u

∥∥2

L2(R+;H)

)1/2.

Definition 1 [1]. If the vector-function u (t) ∈ W 22 (R+;H) satisfies equation (1) almost

everywhere in R+ , then we’ll call it a regular solution of equation (1).

Definition 2. If ϕ(l)i,0 6= 0 and P (λi)ϕ

(l)i,0 = 0 then λi is called an eigenvalue of pencil P (λ)

,and ϕ(l)i,0 - the corresponding eigenvector of eigenvalue λi. If vectors ϕ(l)

i,0, ϕ(l)i,1, ..., ϕ

(l)i,ml

satisfy the equationss∑q=0

P (q)(λi)q!

ϕi,s−q = 0, s = 0, ...,mi then they are called eigen and

adjoint vectors of an operator pencil P (λ).Let λi eigenvalue P (λ) and Reλi < 0. Then vector functions

uli,h (t) = eλit(ϕ

(l)i,h + ϕ

(l)i,h−1

t

1!+ ...+ ϕ

(l)i,0

th

h!

), h = 0,mil, l = 1, qi

satisfy the equation (1) and are called the elementary solutions of equation (1) Followingtheorem is valid.

Theorem. Let the conditions 1), 2) satisfied, and the inequality

K =1∑j=0

cj ‖B2−j‖ < 1, is fulfilled, where c0 = 1|q| , c1 =

(4 |q|)−

1/2 , p ≥ 0

(p2 + 4 |q|)−1/2 , p ≤ 0

then

elementary solutions are minimal in space of regular solutions of the equation.

1. S. S. Mirzoev, F. A. Qulieva, About completeness of elementary decisions of one class of thedifferential equations of the second order with operational factors, Math. Notes 86 (2009), 787–800.

Nonlinear hypercyclic operator on the Hilbert spaceZ. H. Mozhyrovska

Lviv Commercial Academy, Lviv, Ukraine, [email protected]

Let X be a Frechet linear space. An operator T : X → X is called hypercyclic if thereis a vector x ∈ X whose orbit under T

Orb(T, x) = x,Tx,T2x, . . .

is dense in X. Every such vector x is called a hypercyclic vector for T.Many authors studiedhypercyclic linear operators (see, e. g., the survey of Grosse-Erdmann [2]). Nonlinearhypercyclic operators were studied not so detailed. In [1] was shown that there is non-homogeneous hypercyclic polynomial operator on any Banach space if n > 1.

My purpose is to show a simple method how to construct nonlinear hypercyclic oper-ator on the Hilbert space `2.

Let F be an analytic automorphism of X onto X and T be an hypercyclic operator onX. Then TF := FTF−1 must be hypercyclic [2] and, in the general case, it is nonlinear.The following example showes that TF are nonlinear for some well known hypercyclicoperators T and simple analytic automorphisms F.


Example. We consider the Hilbert space `2. Let (ek)∞k=1 be an orthonormal basis in `2

and x =∑∞

k=1 xkek ∈ `2. We define an analytic automorphism F : `2 → `2 by the formulaF (x2k−1e2k−1) = x2k−1e2k−1

F (x2ke2k) = x2ke−x2k−1e2k, k = 1, 2, . . .

Let Tµ be a weighted shiftTµ(x) = (µx2, µx3, . . .).

Tµ is a hypercyclic operator if |µ| > 1 (see [3]). Then the operator TF = FTµF−1 is

nonlinear hypercyclic operator.

1. N. Bernades. On orbits of polynomial maps in Banach space// Quaestiones Math. 21 (1998),311–318.

2. K.-G. Grosse-Erdmann. Universal families and hypercyclic operators, Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.). 36 (1999), 345–381.

3. S. Rolewicz. On orbits of elements// Studia Math. 33 (1969), 17–22.

Eigenvalue asymptotics for Bessel operatorsYa. Mykytyuk

Lviv Ivan Franko National University, Lviv, Ukraine, [email protected]

We study the eigenvalue asymptotics for a class of self-adjoint Bessel operators Tν,qgiven in L2(0, 1) by the differential expression

−(d

dx− ν

x− q)(

d

dx+ν

x+ q

)with ν ∈ (−1/2, 1/2) and a real-valued function q ∈ L2(0, 1), subject to the boundaryconditions

y(1) = 0, limx→+0

x−ν−1|y(x)| <∞.

The operator Tν,q has discrete simple spectrum λ2k | k ∈ N. We prove that λk have

the asymptotics λk = π(k + ν/2) + µk with an `2-sequence (µk).


Conjugate capacitiesO. R. Nykyforchyn

Department of Mathematics and Computer Science, Vasyl’ Stefanyk Precarpathian NationalUniversity, Ivano-Frankivsk, Shevchenka 57, Ukraine, [email protected]

It will be shown that passing to conjugate (real- or lattice-valued) capacities can beextended to contravariant functors. Relationships with Galois connection, Lawson dualsand L-polarities will also be discussed.

Representations of Wick analogue of CCRO. Ostrovska and D. Proskurin

National University for Food Technology, Kyiv, Ukraine,National Taras Shevchenko University, Kyiv, Ukraine,

[email protected]

We consider Wick ∗-algebra WCCR generated by relations of the form

a∗i ai − aia∗i = 1 (1)

a∗1a2 = λa2a∗1, | λ |= 1, λ ∈ C.

Recall that the largest quadratic Wick ideal J2, see [1], of WCCR is generated by element

A = a2a1 − λa1a2

By the main result of [2] the largest cubic Wick ideal J3 ⊂ J2 and is generated byelements Aa1 − λa1A and Aa2 − λa2A.

Note that the unique irreducible (well-behaved) representation of WCCR annihilatingthe largest quadratic ideal is the Fock one acting on l2(Z+) ⊗ l2(Z+) by the followingformulas

a1 = a⊗ 1, a2 = d(λ)⊗ a,

where a : l2(Z+) → l2(Z+) is the creation operator of Fock representation of CCR withone degree of freedom, i.e. aen =

√n+ 1en+1, and d(λ)en = λnen, n ∈ Z+ for standard

orthonormal basis of l2(Z+).In this note we study the representations of WCCR annihilating the largest cubic

ideal. That is we will suppose the following relations to be satisfied

a∗i ai − aia∗i = 1, a∗1a2 = λa2a∗1

a∗1A = λAa∗1, a∗2A = λAa∗2

Aa1 = λa1A, Aa2 = λa2A


Theorem. Irreducible ∗-representations of WCCR, annihilating the largest qubic idealhave, up to the unitary equivalence, the following form:

a1 = a⊗ 1,

a2 =√

1 + cd(λ)⊗ a+ eiφ√cd(λ)a∗ ⊗ d(λ),

where the space of representation H = l2(Z+)⊗ l2(Z+), c ≥ 0 and φ ∈ [0, 2π). Represen-tations corresponding to different tuples (c, φ) with c > 0 are non-equivalent. Representa-tions corresponding to (0, φ) are equivalent to the Fock one.

1. P. E. T. Jørgensen, L. M. Schmitt, R. F. Werner, Positive representations of generalcommutation relations allowing Wick ordering, J. Funct. Anal. 134 (1995), 33–99.

2. D. Proskurin, Homogeneous idelas in Wick *-algebras, Proc. Amer. Math. Soc.126 (1998), 3371–3376.

On a class of self-adjoint operators in Krein spacewith empty resolvent set

O. M. Patsiuk

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, [email protected]

Let H be a Hilbert space with inner product (·, ·) and with non-trivial fundamentalsymmetry J (i.e., J = J∗, J2 = I, and J 6= ±I). The space H endowed with the indefiniteinner product (indefinite metric) [·, ·]J := (J ·, ·) is called a Krein space (H, [·, ·]J).

An operator A acting in H is called J-self-adjoint if A is self-adjoint with respect tothe indefinite metric [·, ·]J , i.e., if A∗J = JA. In contrast to self-adjoint operators inHilbert spaces, J-self-adjoint operators A, in general, have spectra σ(A) which are onlysymmetric with respect to the real axis. In particular, the situation where σ(A) = C(i.e., A has the empty resolvent set) is also possible and it may indicate an additionalspecial structure of A. To illustrate this point we consider the symmetric operator S withdeficiency indices < 2, 2 > which commutes with J (i.e., SJ = JS). It was recently shown[1] that the existence at least one J-self-adjoint extension A of S with empty resolvent setis equivalent to the existence of an additional fundamental symmetry R in H such that

SR = RS, JR = −RJ. (1)

The operators J and R can be interpreted as basis (generating) elements of the complexClifford algebra Cl2(J,R) := spanI, J, R, iJR. Therefore, the existence of J-self-adjointextensions with empty resolvent set for the symmetric operator S is equivalent to thecommutation of S with an arbitrary element of the Clifford algebra Cl2(J,R). Under thiscondition, we are going to consider various relationships between the sets ΣJ of J-self-adjoint extensions of S, where J is an arbitrary fundamental symmetry from Cl2(J,R).


1. S. Kuzhel, C. Trunk, On a class of J-self-adjoint operators with empty resolvent set, arXiv:1009.0873v1 [math-ph], 4 Sep. 2010.

Inverse spectral problems for Dirac operators

D. V. Puyda

Ivan Franko National University of L’viv, Lviv, Ukraine, [email protected]

The talk is based on a joint project with Ya. V. Mykytyuk.We consider the direct and inverse spectral problems for self-adjoint Dirac operators

Tq acting in L2((0, 1),Cr × Cr) that are generated by the differential expressions

tq :=1

i

(I 00 −I

)d

dx+

(0 q(x)

q(x)∗ 0

)and the boundary conditions y1(0) = y2(0), y1(1) = y2(1). Here q is r × r matrix-valuedfunction with entries belonging to L2((0, 1),C), and I is the identity r × r matrix. Wedevelop the Krein accelerant method which was used in [1] while solving the direct andinverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials.

Let λj(q) (j ∈ Z) be the pairwise distinct eigenvalues of Tq labeled in increasing ordersuch that λ0(q) ≤ 0 < λ1(q), and let

αj(q) := − resλ=λj(q)

mq(λ), j ∈ Z,

where mq is the Weyl-Titchmarsh function of Tq (see [2]). We call αj(q) the normingconstants of Tq, and the collection aq := ((λj(q), αj(q)))j∈Z we call its spectral data. Theaim is to give a complete description of the class A of the spectral data for operatorsunder consideration and to suggest an efficient method of reconstructing the function qfrom the corresponding spectral data aq.

Let ∆n :=(πn− π

2, πn+ π

2

], n ∈ Z, and let a be an arbitrary sequence ((λj, αj))j∈Z

in which (λj)j∈Z is a strictly increasing sequence of real numbers such that λ0 ≤ 0 < λ1

and αj are nonzero nonnegative r × r matrices. A complete description of the class A isgiven by the following theorem.

Theorem 1. a ∈ A if and only if the following conditions are satisfied:

(A1) supn∈Z

∑λj∈∆n

1 <∞,∑n∈Z

∑λj∈∆n

|λj − πn|2 <∞,∑n∈Z‖I −

∑λk∈∆n

αk‖2 <∞;

(A2) ∃N0 ∈ N ∀N ∈ N : (N ≥ N0)⇒N∑

n=−N

∑λj∈∆n

rankαj = (2N + 1)r;

(A3) the system of functions deiλjt | j ∈ Z, d ∈ Ran αj is complete in L2((−1, 1),Cr).


It turns out that the spectral data determine the function q uniquely. As in [1], webase our algorithm of reconstructing the function q from the spectral data on the Kreinaccelerant method. The reconstruction algorithm can proceed as follows. Given a ∈ A weconstruct the matrix-valued measure µ = µa :=

∑j∈Z αjδλj , which generates an accelerant

H := Hµ via the formula

Hµ(x) = limn→∞

π(n+ 12)∫

−π(n− 12)

e2iλxd(µ− µ0)(λ),

where µ0 =∑

n∈Z Iδπn. Solving the Krein equation

R(x, t) +H(x− t) +

x∫0

R(x, s)H(s− t)ds = 0, 0 ≤ t ≤ x ≤ 1

we can find q via the formula q = iR(·, 0).

1. Ya. Mykytyuk, N. Trush, Inverse spectral problems for Sturm—Liouville operators with matrix-valued potentials, Inverse Problems 26:1 (2010).

2. S. Clark, F. Gesztesy, Weyl-Titchmarsh M-function asymptotics, local uniqueness results, traceformulas, and Borg-type theorems for Dirac operators, Trans. Amer. Math. Soc. 354:9 (2002),3475–3534.

Classes of topological groups closed under freeproductsN. M. Pyrch

Ukrainian Academy of Printing, Lviv, Ukraine, [email protected]

Let Gi : i ∈ I be a set of topological groups. Then the topological group G is saidto be a free topological product of Gi : i ∈ I (denoted by

∏i∈I

∗Gi) if it has properties:

1) for each i ∈ I, Gi is a subgroup of G;2) G is generated algebraically by ∪

i∈IGi;

3) if for each i ∈ I, fi is a continuous homomorphism of Gi into topological group H,then there exists a continuous homomorphism f of G into H such that f = fi on Gi foreach i ∈ I.Theorem 1. Let K be a class of topological spaces closed under operations of finiteproducts, direct countable sums and continuous images, Gn : n ∈ N — countable familyof topological groups. Then

∏n∈N

∗Gn ∈ K if and only if Gn ∈ K for all n ∈ N.

Let F (X) be a Markov free topological group over a Tychonoff space X (see [1]).

Theorem 2. Let K be a class of topological spaces closed under operations of direct(finite, countable) sums, open images and such that X ∈ K ⇒ F (X) ∈ K. Then for any


(finite, countable) family of topological groups Gi : i ∈ I we have that∏i∈I

∗Gi ∈ K if and

only if Gi ∈ K for all i ∈ I.Let FG(X) be a Graev free topological group over a Tychonoff space X (see [1]).

Theorem 3. Let K be a class of topological spaces closed under operations of direct(finite, countable) bouquets, open images and such that X ∈ K ⇒ FG(X) ∈ K. Then forany (finite, countable) family of topological groups Gi : i ∈ I we have that

∏i∈I

∗Gi ∈ K if

and only if Gi ∈ K for all i ∈ I.

1. Arhangel’skii A.V., Tkachenko M.G., Topological Groups and Related Structures // Atlantis Press,Amsterdam-Paris, 2008, 781 p.

Hyperspaces of B-convex compacta homeomorphic toa Hilbert cube manifold

Taras Radul

Lviv University, Lviv, Ukraine, [email protected]

The notion of B-convexity for a metric space was introduced by M. Lassak in [1]. A setof a n-dimensional Banach space Rn is called B-convex if with every finite number of itspoints it contains the intersection of all balls containing these points. There is an examplein [3] which shows that the operator of the closed B-convex hull is not always continuous.M. van de Vel asked about a characterization of continuity of the closed B-convex hull inRn [4]. One of the aims of this paper is to give such a characterization.

Denote by BssRn the set of all B-convex linear subspaces of Rn. We consider BssRn

as a subspace of hyperspace expRn identifying each subspace with its intersection withunit ball.

Theorem 1. The map of the closed B-convex hull is continuous iff the space BssRn iscompact.

The continuity of the hull operator turns out to be a crucial point in the study oftopological properties of the space of B-convex compacta BccRn which is a Q-manifoldprovided the hull operator is continuous. The same property have the space expRn andthe space ccRn of all convex compacta [2], [5]. The discontinuity of the hull operatorimplies that the space BccRn can not be a topological manifold.

By KB we denote the family of hypersubspaces parallel to supporting hyperplanes inregular points (points with unique supporting plane), by HB we denote the closure of KB.It is known that HB is the family of all B-convex hypersubspaces [6].

Theorem 2. Let Rn be a Banach space with n > 1. Then the space BccRn is a Q-manifoldiff the family HB is infinite and the space BssRn is compact.

Theorem 3. Let Rn be a Banach space with n > 1 such that the family HB is infiniteand the space BssRn is compact. Then the space BccRn is homeomorphic to Q \ ∗.


1. M. Lassak On metric B-convexity for which diameters of any set and its hull are equal, Bull. Pol.Ac. Math.25 (1977), 969–975.

2. D. W. Curtis Hyperspaces homeomorphic to Hilbert space, Proc.Amer.Math.Soc.75(1979), 126–130.

3. V. G. Boltyanski, P. S. Soltan Combinatorial geometry and convexities classes, Russian Math.Surveys 33 (1978), 1–45.

4. M. van de Vel Theory of convex strutures, North-Holland (1993).

5. T. Banakh, T. Radul and M. Zarichnyi Absorbing Sets in Infinite-Dimensional Manifolds, VNTL,Lviw (1996)

6. M. Lassak Some properties of B-convexity in Minkowski-Banach space, Bull. Pol. Ac. Math. 27(1979), 97–106.

Non-linear mappings preserving at least oneeigenvalueDusan Repovs

University of Ljubljana, Ljubljana, Slovenia, [email protected]

In this talk we shall prove that if F is a Lipschitz map from the set of all n × ncomplex matrices into itself with F (0) = 0 such that given any x and y we have thatF (x)− F (y) and x− y have at least one common eigenvalue, then either F (x) = uxu−1

or F (x) = uxtu−1 for all x, for some invertible n × n matrix u. We can arrive at thesame conclusion by supposing F to be of class C1 on a domain inMn containing the nullmatrix, instead of Lipschitz.

We shall also prove that if F is of class C1 on a domain containing the null matrixsatisfying F (0) = 0 and ρ(F (x)−F (y)) = ρ(x−y) for all x and y, where ρ (·) denotes thespectral radius, then there exists γ ∈ C of modulus one such that either γ−1F or γ−1F isof the above form, where F is the (complex) conjugate of F .

This is joint work with Constantin Costara, to appear in Studia Mathematica.

1. A. Akbari and M. Aryapoor, On linear transformations preserving at least one eigenvalue, Proc.Amer. Math. Soc. 132 (2003), 1621–1625.

2. B. Aupetit, A Primer on Spectral Theory, Springer-Verlag, New York, 1991.

3. L. Baribeau and T. J. Ransford, Non-linear spectrum preserving map, Bull. London Math. Soc.32 (2000), 8–14.

4. R. Bhatia, P. Semrl and A. R. Sourour, Maps on matrices that preserve the spectral radius distance,Studia Math. 134 (1999), 99–110.

5. C. Costara and T. J. Ransford, On local irreducibility of the spectrum, Proc. Amer. Math. Soc.135 (2007), 2779–2784.

6. S. Kowalski and Z. Slodkowski, A characterization of multiplicative linear functionals in Banachalgebras, Studia Math. 67 (1980), 215–223.

7. M. Marcus and B. N. Moyls, Linear transformations on algebra of matrices, Canadian J. Math.11 (1959), 61–66.

8. M. Mathieu and A. R. Sourour, Hereditary properties of spectral isometries, Arch. Math. 82(2004), 222–229.


9. J. Mrcun, Lipschitz spectrum preserving mappings on algebras of matrices, Linear Algebra Appl.215 (1999), 113–120.

10. R. M. Range, Holomorphic Functions and Integral Representation in Several Complex Variables,Springer-Verlag, New York, 1998.

11. W. P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions, Springer-Verlag, New York, 1989.

On a boundary value problem for operator-differentialequations with discontinuous coefficient

L. A. Rustamova and A. A. AlievInstitute of Applied Mathematics, Baku State University, Z. Khalilov 23, AZ1148 Baku,

Azerbaijan, [email protected], [email protected]

On a separable Hilbert space H let’s consider the initial boundary value problem

P0u ≡ −d2u

dt2+ ρ(t)A2u, t ∈ R+, (1)

u(0) = Tu′ (0), (2)

where f(t) ∈ L2(R+;H), u(t) ∈ W 22 (R+;H), ρ(t)- is in the form of

ρ(t) =

α2 t ∈ (0; 1),β2 t ∈ (1;∞),

moreover α > 0, β > 0, but operator coefficient A satisfies the condition: A is normalinvertible operator, whose spectrum is contained in the angular sector

Sε = λ : |arg λ| ≤ ε , 0 ≤ ε < π/2.

Here (see [1])

L2(R+;H) =

f(t) : ‖f‖L2(R+;H) =

(∫ ∞0

‖f‖2H

)1/2<∞

,

W 22 (R+;H) = u(t) : u′′, A2u ∈ L2(R+;H),

‖u‖W 22 (R+;H) =

(‖u′′‖2

L2(R+;H) +∥∥A2u

∥∥2

L2(R+;H)

)1/2 ,o

W 22 (R+;H; T) =

u∣∣u ∈ W 2

2 (R+;H) , u(0) = Tu′(0).

The theorem is proved.

Theorem. Let K = A3/2TA

−1/2 and operator

Sα,β(K) = E + αK +α− βα + β

(αK − E) e−2αA

has limited inverse in H, where E- unitoperator. Then the operator P0 isomorphically

maps the spaceo

W 22 (R+;H; T)on the space L2(R+;H).


1. ZH.-L. Lions, E. Madzhenes,Non Homogeneous Boundary – Value Problems and their Application,M., Mir , 1971.

Fourier-Laplace transformations of temperedpolynomial distributions

S. V. Sharyn

Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, Ukraine, [email protected]

Let X be a locally convex nuclear (F) or (DF) space and X ′ be it’s dual. Consider thespace P(X ′) of polynomials over X ′. Elements of dual space P′(X ′) are called by polyno-mial distributions. We denote the classical space of tempered distributions by S ′. Let S ′+be the subspace of S ′ with supports in [0,+∞). If we put S ′+ instead of X ′ into aboveconstruction we obtain the space of so called tempered polynomial distributions. We shalltalk about polynomial extension of Fourier-Laplace transformation of such distributions.

The talk is based on the joint work with prof. Lopushansky O.V.

1. O. V. Lopushansky, S. V. Sharyn, Polynomial ultradistributions on Rd+, Topology, 48:2-4 (2009),80–90.

Characteristic of UMD-spaces with vector-valuedHilbert transform on the field of p-adic numbers

Anna Sidorik

Belarusian State University, Minsk, Belarus, [email protected]

Let X be a Banach space. We consider Hilbert transform H : L2(Qp, X)→ L2(Qp, X),here L2(Qp, X) is a space of square-integrable in Bochner sense functions with norm

||x||2L2(Qp,X) =

∫Qp

||x(t)||2Xdµ(t)

where µ is Haar measure. The Hilbert transform has the form

Hf(y) = limk→∞

∫m(x)6p−k

ω(x)f(y − x)

m(x)dµ(x)

where m is the modular function for the field Qp and∫m(x)=1 ω(x)dµ(x) = 0 [3].

Let (Ω,A, P ) be a probability space and (A0, A1, ...) a nondecreasing sequence of sub-σ-fields of A. Let f = (f1, f2, ...) be a X-valued martingale with difference sequenced = (d1, d2...) : fn =

∑nk=1 dk where dk : Ω → X is strongly measurable relative to Ak

with ||dk||1 = E|dk| finite and E(dk+1|Ak) = 0, k > 1.


We will say that X is a UMD-space [1, 2] if for any p ∈ (1,+∞) there exists constantCX > 0 such that for all n ∈ N, εk = ±1 and for all X-valued martingale differencesdkk>1 we have

||n∑k=1

εkdk||Lp(Ω,X) 6 CX ||n∑k=1

dk||Lp(Ω,X)

The main theorem is

Theorem. If the Hilbert transform H : L2(Qp, X)→ L2(Qp, X) is a bounded then X is aUMD-space.

1. D. L. Burkholder, A geometrical characterization of Banach spaces in which martingale differencesequences are unconditional, Annals Probab. 9:6 (1981), 997–1011.

2. J. Bourgain, Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are uncon-dotional, Ark. Mat. 21:2 (1983), 163–168.

3. K. Phillips, Hilbert transform for the p-adic and p-series fields, Pacific J. Maths. 23:2 (1967),329–347.

On generalized Fourier transformation for convolutionalgebra of Gevrey ultradistributions

A. V. Solomko and O. V. Lopushansky

Precarpathian National University, Ukraine, [email protected],[email protected]

Let be a duality 〈G′(Rn+), G(Rn

+)〉, where G(Rn+) is the space of ultradifferentiable

Gevrey functions and G′(Rn+) its dual space of Gevrey ultradistributions. It is known,

that G′(Rn+) is a convolution algebra (see [2] for more details).

We consider the algebra L[G(Rn+)] of linear and continuous operators over the space

G(Rn+) endowed with topology of uniform convergence on bounded sets. Let’s define linear

mappingT : G′(Rn

+) 3 f −→ Tf ∈ L[G(Rn+)],

(Tfϕ)(τ) := 〈f(σ), Uσϕ(τ)〉, ϕ ∈ G(Rn+), σ, τ ∈ Rn

+,

where Uσ : σ ∈ Rn+ is n-parametric (C0)-semigroup of operators of shift on Rn

+. Further,we construct the Fourier transformation of ultradifferentiable Gevrey function ϕ ∈ G(Rn

+)and its inverse Fourier transformation by the formulae

F [ϕ] := ϕ(ξ) =

∫Rn+

e−i(τ,ξ)ϕ(τ)dτ, F−1[ϕ] :=

∫Rn+

ei(τ,ξ)ϕ(ξ)dξ, ξ ∈ Rn, τ ∈ Rn+.

Let G(Rn+) be a Fourier image of the space G(Rn

+), which we endow by inductivetopology, generated by F. Denote by G′(Rn

+) the strong dual space of G(Rn+).We call map

F ∗ := (2π)n(F−1)′ : G′(Rn+) 3 f −→ f ∈ G′(Rn

+) the generalized Fourier transformationof Gevrey ultradistributions on Rn

+. For (C0)-semigroup of operators Uσ : σ ∈ Rn+


we construct the n-parametric (C0)-semigroup of operators Uσ := F Uσ F−1 in thealgebra L[G(Rn

+)] of linear and continuous operators endowed with topology of uniformconvergence on bounded sets.

Theorem. The mapping Ψ : G′(Rn+) 3 f −→ Tf ∈ L[G(Rn

+)], where linear operator Tfis defined by the formula

(Tf ϕ)(ξ) =

∫Rn+

(Tfϕ)(t)e−i(t,ξ)dt, ξ ∈ Rn, t ∈ Rn+,

is a topological isomorphism of convolution algebra G′(Rn+) onto the commutant [Uσ]c ⊂

L[G(Rn+)] of (C0)-semigroup of operators Uσ : σ ∈ Rn

+. And for any f, g ∈ G′(Rn+) we

have Ψ(f ∗ g) = Tf Tg, where the operation of "" is continuous in [Uσ]c.

Remark that the strong dual space G′(Rn+) is algebra with respect to multiplication

f · g = f ∗ g, f, g ∈ G′(Rn+). Besides the next topological isomorphisms are valid

G′(Rn+) ' G′(Rn

+) ' [Uσ]c.

1. H. Komatsu, Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization, J. Fac. Sci. Univ.Tokyo. Sect. IA Math, 20 (1973), 25–105.

2. A. Solomko, Operator representation of Gevrey algebra of ultradistributions with supports on pos-itive n-dimensional cone / Carpathian Mathematical Publications, 1:2 (2009), 197–207.

A theoretical study of a free supercritical flow withsuperficial tension

D. Teniou1, C. Titri-Bouadjenak2, R. Ait-Yania3 and D. Hernane4

Faculte de Mathematiques, BP N0 32 El Alia Bab-Ezzouar Alger, Algerie,[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

In this paper, we consider a problem of a free surface flow over an obstacle lying onthe bottom of a channel. The flow is irrotational, stationary and the fluid is ideal andincompressible. We take into account both of the gravity and the effects of the superficialtension. The problem is formulated as a non linear equation defined on the free surfaceof the fluid domain. A result of existence and uniqueness of the solution is given in aBanach algebra by using the implicit function theorem.

1. F. Helein, Ecoulement stationnaire dans un canal a fond presque plat, prepub. CMLA(1991),groupe d’hydrodynamique navale, URA CNRS 853. Univ Paris Diderot, Paris 7. UFR deMathematiques.

2. M. Bouhadef, Contribution a l’etude des ondes de surface dans un canal. Application a l’ecoulementau dessus d’un obstacle immerge. [These de Doctorat Es Sciences Physiques,(1988)], Poitiers :Universite de Poitiers (U.E.R. Centre d’Etudes Aerodynamiques et thermiques).


3. A. C. King, M. I. G. Bloor, Free streamline flow over curved topography, Quarterly of AppliedMathematics, XLVIII(2) (1990), 281–293.

4. L. K. Forbes, L. M. Schwartz, Non-linear drag-free flow over a submerged semi-elliptical body, J.Eng. Math. 16 (1982), 171–180.

5. C. Titri Bouadjenak, D. Hernane-Boukari D,R. Ait Yahia-Djouadi, D. Teniou, Existence andUniqueness of the Solution of a Supercritical Free Surface Flow Problem Over an Obstacle, acceptedin Revista Matematica complutense, (2009).

6. V. Maz’ya, S. Nazarov , B. Plamenevskij, Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problemsin Singularly Perturbed Domain, vol 1, Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin.

7. F. Abergel, J. L. Bona, A Mathematical Theory For Viscous, Free Surface Flows Over a PerturbedPlane,Arch. Rational Mech. Anal. 118(1) (1992),71–93.

8. I. C. Gohberg, M. G. Krein, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, AMS,RI, (Providence, 1969).

9. E. I. Sigal, I. C. Gohberg, Operator Generalization of the Logarithmic Residue Theorem and theTheorem of Rouche. Matem. Sbornik 84:3 (1971), 607–629.

Analytical conditions of locally general convexity inthe space Cm

0,q

Yu. B. Zelinskii, M. V. Tkachuk, T. M. Osipchuk

Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine, [email protected]

In terms of nonnegativity and positivity of some special quadratic differential formsthere are given, respectively, necessary and sufficient conditions for locally general con-vexity of domains with smooth boundary in m-dimensional Clifford space Cm

0,q (m ≥ 2).

1. T. M. Osipchuk, Analitic conditions of local linear convexity in Hn, Zb. prats of the Inst. of Math.of NASU 3:3 (2006),(in Ukrainian).

2. T. M. Osipchuk, Yu. B. Zelinskii, M. V. Tkachuk, Analytical conditions of locally general convexityin Cm0,q, Zb. prats of the Inst. of Math. of NASU 7:2 (2010), (in Ukrainian).


Про зв’язок мiж апрiорними нерiвностями тапослабленими апрiорними нерiвностями для

лiнiйних операторiвA. B. Анiкушин

Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Україна,[email protected]

Нехай E,F — лiнiйнi нормованi простори, L : E → F — лiнiйний, iн’єктивнийоператор. Для доведення теорем iснування та єдиностi розв’язкiв та узагальне-них розв’язкiв, при дослiдженнi керованостi та iснування оптимального керуваннялiнiйного рiвняння

Lu = f, f ∈ F,

використовують апрiорнi оцiнки

c−1‖u‖H 6 ‖Lu‖F 6 c‖u‖E ∀u ∈ E, (1)

де c — деяка додатна стала, ‖u‖H — норма у просторi H, який є поповненням E забiльш слабкою нормою. Такий пiдхiд, наприклад, використовується в монографiях[1, 2] та роботi [3]. Зокрема в роботi [3] доведено, що коли образ R(L) оператора Lщiльний в F , то узагальнений розв’язок iснує i єдиний для кожної правої частиниf ∈ F . В той же час, в деяких роботах для конкретних операторiв L доведенопослабленi апрiорнi оцiнки типу:

c−1‖u‖H 6 ‖Lu‖F1 ∀u ∈ E : Lu ∈ F1, (2)

‖u‖F 6 c‖u‖E ∀u ∈ E, (3)

де F1 — щiльно та неперервно вкладається у простiр F , тобто має мiсце нерiвнiсть‖f‖F 6 c‖f‖F1 . Так, наприклад, у роботi [4] для параболiчного оператора, якийдiє у незв’язнiй областi та мiстить у коефiцiєнтах узагальненi функцiї скiнченногопорядку, доведено нерiвностi (2), (3). На основi цих нерiвностей доведено теоремиiснування та єдиностi узагальненого розв’язку.

В деяких випадках з нерiвностей (2), (3) автоматично випливають нерiвностi(1) i вiдповiдно бiльш сильнi теореми iснування i єдиностi розв’язку. Мета даноїроботи знайти достатнi умови для такої iмплiкацiї. Тобто, коли з нерiвностi (2) будевипливати нерiвнiсть

c−1‖u‖H 6 ‖Lu‖F ∀u ∈ E : Lu ∈ F1.

Одним з можливих шляхiв розв’язання цiєї проблеми є встановлення достатнiхумов, за яких з нерiвностi ‖f‖F 6 c‖f‖F1 буде випливати еквiвалентнiсть цих норм.

Нагадаємо [5], що дiжкою в лiнiйному топологiчному просторi називається до-вiльна абсолютно опукла, замкнена та поглинаюча множина, а лiнiйний топологiчнийпростiр називається дiжковим, якщо довiльна дiжка у ньому є околом.

В роботi доведене наступне твердження


Теорема 1. Нехай (F1, ‖ · ‖) – дiжковий простiр, (F1, ‖ · ‖1) щiльно вкладений в(F, ‖ · ‖) i

∀x ∈ F1 : ‖x‖ ≤ ‖x‖1.

Тодi норми еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли спряженi простори (F, ‖ · ‖)∗ i(F1, ‖ · ‖1)∗ вкладенi щiльно.

З цiєї теореми маємо таку ознаку

Теорема 2. Нехай ‖ · ‖ ≤ ‖ · ‖1, (F1, ‖ · ‖1) ⊆ (F, ‖ · ‖) i (F, ‖ · ‖)∗ ⊂ (F1, ‖ · ‖1)∗, деобидва вкладення щiльнi. Тодi простiр (F1, ‖ · ‖) не є дiжковим.

1. С. И. Ляшко Обобщенное управление линейными системами. – К.: Наукова думка, 1998. –465 c.

2. S. I. Lyashko Generalized optimal control of linear systems with distributed parameters. – Boston/ Dordrecht / London: Kluwer Academic Publishers, 2002. – 466 p.

3. Д. А. Клюшин, А. А. Кущан, С.И. Ляшко, и др., Обобщенное решение некоторых оператор-ных уравнений в банаховых пространствах, Журнал обчислювальної та прикладної матема-тики. 1 (2001), 29–50.

4. С. И. Ляшко, Д.А. Номировский, Обобщенная разрешимость и оптимизация параболическихсистем в областях с тонкими слабопроницаемыми включениями, Кибернетика и системныйанализ. 5 (2003), 131–142.

5. А. П. Робертсон, В. Дж. Робертсон, Топологические векторные пространства – М.: Мир,1967. – 260 с.

Деякi достатнi умови збiжностi парних частинiнтегральних ланцюгових дробiв

Т. М. Антонова, Д. I. Боднар, В. Р. Гладун, Н. П. Гоєнко

Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, Львiв,Тернопiльський нацiональний економiчний унiверситет, Тернопiль,

IППММ iм. Я.С. Пiдстригача НАНУ, Львiв, Україна,[email protected],[email protected], [email protected],

[email protected]

Об’єктом дослiдження є iнтегральний ланцюговий дрiб (IЛД) вигляду

∞Dk=1

β∫α

ak(τk)dτk

bk(τ k), (1)

де α, β – сталi, τ k = (τ1, τ2, . . . , τk), am(τm), bm(τm) - неперервнi комплекснозначнiфункцiї у гiперкубi Gm = [α, β]m , причому bm(τm) 6= 0, τm ∈ Gm, m = 1, 2, . . . .Пiдхiдними дробами n–го порядку IЛД (1) називаються вирази

fn =n

Dk=1

β∫α

ak(τk)dτk

bk(τ k), n = 1, 2, . . . , f0 = 0.


Парною частиною IЛД (1) вважатимемо послiдовнiсть f2k, k = 1, 2, . . . .Парна частина IЛД (1) збiгається, якщо iснує скiнченна границя lim

n→∞f2n = F2, i

збiгається абсолютно, якщо збiгається ряд∞∑k=1

|f2k − f2k−2|.

Теорема 1. Нехай gk(τ k), εk(τ k) - деякi неперервнi функцiї, що набувають додатнихзначень у Gk, k = 1, 2, . . . . Якщо∣∣∣∣∣∣b2p−1(τ 2p−1) +

β∫α

a2p(τ2p)dτ2p

b2p(τ 2p)

∣∣∣∣∣∣+

β∫α

∣∣∣∣a2p(τ2p)

b2p(τ 2p)

∣∣∣∣ dτ2p ≥

g2p−1(τ 2p−1) + ε2p−1(τ 2p−1) +

β∫α

|a2p(τ2p)|

g2p(τ 2p)dτ2p,

β∫α

|a2p+1(τ 2p+1)|g2p+1(τ 2p+1)

dτ2p+1 ≤ b2p(τ2p)− g2p(τ

2p)− ε2p(τ2p),

то парна частина IЛД (1) збiгається абсолютно.

Дикие задачи в теории представленийМ. В. Ахрамович, М. А. Муратов

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, [email protected],[email protected]

Рассматриваются задачи описания неприводимых наборов линейных операторов(A1, A2, . . . , An), действующих в конечномерном линейном пространстве V , связан-ных квадратичными соотношениями, с точностью до преобразования подобия. Про-водится классификация этих задач на "дикие" и "ручные". Доказывается, чтопримером "дикой" задачи является задача описания пары линейных операторов(A,B), удовлетворяющих соотношению:

AB = qBA.


О Φ-разрешимости некоторых краевых задач дляоператорно-дифференциальных уравнений

третьего порядка с оператором в краевом условииСевиндж Ф. Бабаева

Институт Кибернетики НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан, [email protected]

Рассмотрим в сепарабельном гильбертовом пространстве H краевую задачу

u′′′(t)− A3u (t) +2∑j=0

A3−ju(j)(t) = f (t) , t ∈ R+ = (0; +∞) , (1)

u (0) = K0u, u′ (0) = 0, (2)

где производные понимаются в смысле теории обобщенных функций, f (t) ∈L2 (R+;H), u (t) ∈ W 3

2 (R+;H), пространства L2 (R+;H), W 32 (R+; H) опреде-ляются

следующим образом:

L2(R+; H) =

f : ‖f‖L2(R+;H) =

(∫ +∞

0

‖f(t)‖2H dt

)1/2,

W 32 (R+; H) =

=

u : u′′′, A3u ∈ L2 (R+; H) , ‖u‖W 3

2 (R+;H) =(‖u′′′‖2

L2(R+;H) +∥∥A3u

∥∥2

L2(R+;H)

)1/2,

а операторные коэффициенты удовлетворяют условия:

1) A – положительно-определенный самосопряженный оператор, с вполне непре-рывным обратным A−1;

2) Bj = AjA−j (j = 1, 3

)− вполне непрерывные операторы в H;

3) K0 : W 32 (R+;H) → H5/2− ограниченный оператор с нормой, равной κ0, т. е.

K0 ∈ L(W 3

2 (R+;H), H5/2

)и

‖K0‖W 32 (R+;H)→H5/2

= κ0

(H5/2 = D(A5/2), ‖x‖5/2 =

∥∥A5/2x∥∥) .

Имеет место

Теорема. Пусть выполняются условия 1)-3), причем κ0 < 1√2, на мнимой оси

существует резольвента P−1(λ) = λ3E −A3 +∑2

j=0 λjA3−j и имеет место оценка∥∥A3P−1(λ)

∥∥+∥∥λ3P−1(λ)

∥∥ ≤ const, λ = iξ, ξ ∈ R = (−∞; +∞) .

Тогда задача (1)-(2) Ф-разрешима.


Дифференцирования в алгебрах фон Неймана собразом в идеале

А. Ф. Бер

Ташкентский национальный университет, Ташкент, Узбекистан, [email protected]

Пусть M - алгебра фон Неймана, LS(M) - ∗-алгебра локально измеримых опе-раторов относительно M. Тогда для любого a = a∗ ∈ LS(M) существует такойцентральный элемент c0 = c∗0 ∈ LS(M), для которого при любом ε > 0 найдетсятакой унитарный элемент uε ∈ U(M), что |[a, uε]| ≥ (1− ε)|a− c0|. Следствием этогорезультата является утверждение о том, что любое дифференцирование δ на алгебрефон НейманаM с образом в произвольном идеале I ⊂ M имеет вид δ(x) = [d, x] =dx− xd, где d ∈ I.

1. A. F. Ber, B. de Pagter, F.A. Sukochev, Derivations in algebras of operator-valued functions (arxiv:0811.0902; submitted 10/6/2008).

2. S. Sakai, C∗–algebras and W ∗–algebras, Springer-Verlag, New York, 1971.

3. М. А. Муратов, В. И. Чилин Алгебры измеримых и локально измеримых операторов, ПрацiIн-ту математики НАН України, т. 69, 2007.

Приклад побудови комплекснозначної функцiї iззаданими наперед властивостями щодо значень

iнтеграла вiд її степенiвТ. В. Василишин

Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефаника, Україна,[email protected]

У роботi побудовано загальну конструкцiю i застосовано до розв’язання наступноїзадачi.

Завдання. Побудувати функцiю P0 : [0, 1)→ C таку, що iнтеграл Лебега вiд неї помножинi [0, 1) не дорiвнює нулю, а iнтеграл вiд довiльного натурального її степеня,бiльшого вiд 1, дорiвнює нулю.

Кожне число x ∈ [0, 1) можна представити у двiйковiй системi числення, тобто увиглядi

x =a1

2+a2

22+ . . .+

an2n

+ . . . ,

де a1, . . . , an, . . . ∈ 0, 1. Для чисел, якi мають два рiзнi представлення, будемобрати представлення у виглядi скiнченної суми. Наприклад(∗) 1

2= 1

2

(∗∗) 12

= 122

+ 123

+ 124

+ . . .+ 12n

+ . . .беремо для 1

2представлення (∗). Таким чином, кожному x однозначно ставиться у

вiдповiднiсть послiдовнiсть an∞n=1.


Визначимо функцiї an(x):

an(x) = an

(∞∑k=1

ak2k

)= an.

Нехайbn(x) =

−1, a2n(x) = 01, a2n(x) = 1

Вiзьмемо

P0(x) = exp

(i∞∑k=1

(πa2k−1(x)

2k+bk(x)π/2

pk+1

)),

де pk — k-те просте число.У роботi доводиться, що P0(x) є вимiрною функцiєю i задовольняє згаданi вище

умови.

О полноте части корневых векторов операторныхпучков второго порядка

С. Г. Велиев

Нахчиванский Институт Учителей, Азербайджан, [email protected]

В сепaрабельном гильбертовом пространстве H рассмотрим операторный пучок

L(λ) = E − T0 − λT1C − λ2C2,

где 1) E– единичный оператор; 2) C– самосопряжённый положительный вполненепрерывный оператор; 3) T0 и T1 - ограниченные операторы в H.

Имеет место

Теорема. Пусть выполняются условия 1)-3),

1√2‖T1‖+ ‖T0‖ < 1

и одно из следующих условий:а) C ∈ σp (0 < p < 4) ;в) C ∈ σp (0 < p <∞), T0 и T1-вполне непрерывные операторы в H.

Тогда корневые векторы операторного пучка L(λ), отвечающие собственнымзначениям из сектора

S = λ : |arg λ− π| < π/4 ,

полны в H.


Берiвська класифiкацiя векторнозначних нарiзнонеперервних вiдображеньГ. А. Глушко, В. К. Маслюченко

Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича, Чернiвцi, Україна,[email protected]

Задача про берiвську класифiкацiю нарiзно неперервних вiдображень f : X1 ×· · ·×Xn+1 → Z ще далека вiд свого повного розв’язання. Ще А. Лебеґ встановив, щонарiзно неперервнi функцiї f : Rn+1 → R належать до n-го класу Бера. ДослiдженняА.Лебеґа були продовженi багатьма математиками (Г. Ган, К. Куратовський, Д. Монт-ґомерi, В. Моран, Б. Джонсон, Ж. Сан-Ремо, В. Рудiн, Ґ. Вера, Р. Ганселл таiн.). Питання берiвської та лебеґiвської класифiкацiй нарiзно неперервних функцiйрозглядалися в дисертацiях [1-4].

Зокрема, В. Рудiн [5], використавши розбиття одиницi, встановив, що для ме-тризовного простору X, топологiчного простору Y i локально опуклого просторуZ кожне нарiзно неперервне вiдображення f : X × Y → Z належить до першогокласу Бера. В [6] було поставлено питання: чи справедливе твердження теоремиРудiна для довiльного топологiчного векторного простору Z? Там же було показаноз допомогою первiсного методу Лебеґа, що вiдповiдь ствердна для X = R. Цейрезультат пiдсилювався у роботах А. Каланчi та В. Маслюченка, О. Карлової таВ. Маслюченка, Т. Банаха та в iнших працях, але поставлена проблема залишаєтьсядосi не розв’язаною.

Г. Ган [7, c.328] довiв, що для сепарабельних метризовних просторiв Xk, де k =1, ..., n, i довiльного топологiчного простору Xn+1 кожна нарiзно неперервна функцiяf : X1 × · · · × Xn+1 → R належить до n-го класу Бера. Цей результат можнаузагальнити.

Позначимо вiдстань мiж точками x′ i x′′ метричного простору X через x′x′′. Дляпослiдовностi рiзних точок a1, ..., an з X введемо функцiї

g(x) = minxa1, ..., xan, gk(x) = max2g(x)− xak, 0

таϕn,k(x) =

gk(x)n∑i=1

gi(x)при x 6= ak i ϕn,k(ak) = 1.

Теорема 1. Функцiї ϕn,k : X → [0, 1] неперервнi in∑k=1

ϕn,k(x) = 1 для кожного x ∈ X.

Введенi функцiї ϕn,k ми назвемо функцiями Гана, хоча Ган розглядав тiлькифункцiї g i gk.

Для скiнченного або злiченного порядкового числа α символомBα(X, Y ) позначимосукупнiсть усiх вiдображень f : X → Y α-го класу Бера, а через CBα(X × Y, Z) –сукупнiсть усiх вiдображень f : X × Y → Z, якi неперервнi вiдносно першої змiнноїi належать до α-го класу Бера вiдносно другої змiнної.

Теорема 2. Нехай X – сепарабельний метричний простiр, A = ak : k ∈ N – всюдищiльна в X множина, що складається з рiзних точок ak, ϕn,k : X → [0, 1] – функцiї


Гана, що породженi множинами точок a1, ..., an, Y – топологiчний простiр, Z –локально опуклий простiр i f ∈ CBα(X × Y, Z). Тодi функцiї

fn(x, y) =n∑k=1

ϕn,k(x)f(ak, y)

належать до класу Bα(X × Y, Z), причому fn(x, y)→ f(x, y) на X × Y , а значить,f ∈ Bα+1(X × Y, Z).

Звiдси iндукцiєю вiдносно n отримуємо таке узагальнення теореми Гана.

Теорема 3. Нехай X1, ..., Xn – сепарабельнi метризовнi простори, Xn+1 – тополо-гiчний простiр, Z – локально опуклий простiр i f : X1 × · · · ×Xn+1 → Z – нарiзнонеперервне вiдображення. Тодi f належить до n-го класу Бера.

З допомогою методу Рудiна у цiй теоремi можна зняти умову сепарабельностiпросторiв X1, ..., Xn, але метод Гана дає явну конструкцiю апроксимуючих вiдобра-жень fn з допомогою вказаних розбиттiв одиницi ϕn,1, ..., ϕn,n, у чому є його певнаперевага. На жаль, i в цьому випадку метод спрацьовує лише для локально опуклихпросторiв Z.

1. В. К. Маслюченко, Нарiзно неперервнi вiдображення i простори Кете. Дис. ... докт. фiз.-мат. наук. Чернiвцi, 1999, 345с.

2. В. В. Михайлюк, Координатний метод i теорiя нарiзно неперервних вiдображень. Дис. ...докт. фiз.-мат. наук. Чернiвцi, 2008, 333с.

3. О. В. Собчук, Берiвська класифiкацiя нарiзно неперервних вiдображень та дискретнi обер-ненi задачi. Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. Чернiвцi, 1996, 82с.

4. О. О. Карлова, Берiвська та лебеґiвська класифiкацiї векторнозначних та многозначнихвiдображень. Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. Чернiвцi, 2006, 137с.

5. W. Rudin, Lebesque first theorem, Math. Analysis and Applications, Part B. Edited by Nachbin.Adv. in Math. Supplem. Studies 78. Academic Press, 1981. 741–747.

6. В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, О. В. Собчук, Дослiдження про нарiзно неперервнiвiдображення, Матерiали мiжнар. мат. конф., присв. пам. Ганса Гана. Чернiвцi, Рута, 1995.192–246.

7. H. Hahn, Reele Funktionen. 1. Teil. Punktfunktionen. Leipzig, Academische VerlagsgesellschaftM. B. H., 1932. 416S.


Про коректну розв’язнiсть у класi аналiтичнихвектор-функцiй задачi Кошi для диференцiальнихрiвнянь у банаховому просторi над неархiмедовим

полемВ. I. Горбачук, В. М. Горбачук

Iнститут математики НАН України, Київ, Україна,Нацiональний технiчний унiверситет "КПI", Київ, Україна, [email protected]

Розглядається задача Кошi

y(m)(λ)− Ay(λ) = f(λ), (1)

y(k)(0) = yk, k = 0, 1, . . .m− 1, (2)

де A – замкнений лiнiйний оператор у неархiмедовому банаховому просторi B надполем Ω комплексних p-адичних чисел, f(λ) – локально аналiтична в околi нулявектор-функцiя, yk ∈ B, k = 0, 1, . . .m− 1.За умови, що оператор A має обернений,визначений на всьому B, а f(λ) є аналiтичною у вiдкритому крузi

D(0, r−) = λ ∈ Ω : |λ|p < r, r > s(A−1) = limn→∞

n√‖A−n‖,

(| · |p – норма в Ω) дається опис усiх розв’язкiв рiвняння (1) з класу A0 локальноаналiтичних в околi нуля вектор-функцiй, на основi якого доводиться, що задача(1)-(2) має єдиний розв’язок в A0 тодi i тiльки тодi, коли yk − ak – цiлi вектори

експоненцiального типу оператора A, де ak =∞∑n=0

A−(n+1)f (nm+k)(0), k = 0, 1, . . .m−1.

У частинному випадку, коли оператор A неперервний, задача (1)-(2) однозначнорозв’язна в A0 при довiльних yk ∈ B. Якщо ж s(A−1) = 0, то її однозначнарозв’язнiсть в A0 має мiсце лише тодi, коли yk = ak, k = 0, 1, . . .m−1. У припущеннi,що f(λ) – цiла вектор-функцiя, остання умова є необхiдною i достатньою для iсну-вання єдиного цiлого розв’язку цiєї задачi.

Граничнi значення нескiнченно диференцiйовнихC0-пiвгруп у банаховому просторi

М. Л. Горбачук

Iнститут математики НАН України, Київ, Україна, [email protected]

Нехай A – генератор C0-пiвгрупи etAt≥0 лiнiйних операторiв у банаховому прос-торi B.Як вiдомо, множина усiх слабких розв’язкiв рiвняння

y′(t) = Ay(t), t ∈ (0,∞), (1)


неперервних у точцi 0, описується формулою

y(t) = etAx,

де x – довiльний елемент простору B. Природно постає питання про вигляд розв’яз-кiв рiвняння (1) без жодних умов на їх поведiнку в околi нуля.

Доводиться, що iснують локально опуклий простiр B− : B ⊆ B− (вкладення єщiльним i неперервним) та еквiнеперервна C0-пiвгрупа U(t)t≥0 в B− iз властивос-тями

1) U(t)B− ⊂ B при t > 0,

2) U(t)x = etAx, якщо x ∈ B,

3) ∀x ∈ B−, ∀t, s > 0 : U(t+ s) = etAU(s)x = esAU(t)x,

такi, що будь-який слабкий розв’язок y(t) рiвняння (1) має граничне значення y0 внулi у просторi B−, тобто y(t)→ y0, t→ 0, в B−-топологiї, i

y(t) = U(t)y0. (2)

Навпаки, для довiльного y0 ∈ B− вектор-функцiя (2) є слабким розв’язком рiвняння(1).

За умови, що пiвгрупа etAt≥0 нескiнченно диференцiйовна, вкладення B в B− єстрогим, а неперервний оператор A – генератор пiвгрупи U(t)t≥0 – є неперервнимрозширенням A на простiр B−. При цьому кожний слабкий розв’язок є нескiнченнодиференцiйовним на (0,∞), а якщо пiвгрупа etAt≥0 аналiтична, то розв’язок такожє аналiтичним на цьому iнтервалi.

У випадку рефлексивного B має мiсце аналог вiдомої теореми Фату, а саме:

y(t)→ y0 ∈ B, t→ 0,⇔ ‖y(t)‖ ≤ c, t ∈ (0, 1).

Для невiд’ємного самоспряженого A будується теорiя граничних значень слабкихрозв’язкiв рiвняння (1) в локально опуклих просторах B′ : B ⊂ B′ ⊂ B−. Встанов-люється зв’язок мiж степенем сингулярностi елементiв простору B′ i порядком роступри наближеннi до нуля слабких розв’язкiв iз граничними значеннями в B′.

Про оператор згортки на скiнченному iнтервалiГ. М. Губреєв

Полтавський нацiональний технiчний унiверситет iменi Юрiя Кондратюка, Полтава,Україна, [email protected]

У просторi L2(0, a) розглядається оператор

(Kh)(x) =

a∫0

k(x− t)h(t)dt,


де k задається формулою

k(x) =

+∞∫−∞

eitxψ(t)/ϕ(t)dt, −a ≤ t ≤ a,

ψ, ϕ — цiлi функцiї експоненцiального типу, що задовольняють певним умовам. Фор-мулюються теореми про повноту та базиснiсть кореневих пiдпросторiв оператора K.

Скiнченнi симетричнi групи та їх вкладенняIгор Гуран

Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана ФранкаУнiверситетська 1, Львiв, 79000, Україна, [email protected]

Нагадаємо, що топологiчна група G називається τ -обмеженою, якщо для будь-якого околу одиницi U групи G iснує пiдмножина A в G потужностi, що не перевищуєτ (τ– нескiнченний кардинал) така, що UA = G. Для множини X, потужностi τбiльшої за континуум c група S(X) у довiльнiй вiдокремлюванiй топологiї груповiйтопологiї не вкладається в τ -обмежену топологiчну групу. Цей факт випливає знаступної теореми.

Теорема. Якщо G – топологiчно проста (тобто G не мiстить замкнених нетри-вiальних нормальних пiдгруп), то G не вкладається в добуток топологiчних групваги w(G) 6 τ , якщо потужнiсть групи G бiльша за τ .

Доведення. Оскiльки τ -обмежена топологiчна група є групою з квазiiнварiантнимбазисом [1], то в кожному околi одиницi U групи G iснує нормальна пiдгрупа (замк-нена), яка є множиною типу Gδ. Тому якщо група G вкладається в τ -обмеженутопологiчну групу i є топологiчно простою, то псевдохарактер групи G є злiченним.Однак, тодi її потужнiсть |G| не перевищує τ = exp iw(G)ψ(G) (див. [1, теорема 4.6]).

1. M. Tkacenko, Introduction to topological groups, Topology Appl. 86 (1998), 179–231.


Лiнеаризацiя аналiтичних функцiй обмеженоготипу в кулi банахового простору

М. В. Дубей

Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефаника, Україна,[email protected]

Розглянемо деякий клас F(X, Y ) нелiнiйних вiдображень з X в Y . Кажуть, щоцей клас допускає лiнеаризацiю, якщо iснує лiнiйний простiр W (X) та iн’єктивневiдображення UF(X,Y ) : X → W (X) таке, що для довiльного F ∈ F(X, Y ) iснуєлiнiйний неперервний оператор LF ∈ L(W (X), Y ) для якого F = LF UF(X,Y ).

У доповiдi буде описано процес лiнеаризацiї аналiтичних функцiй обмеженоготипу в кулi банахового просторуX [1], використовуючи в якостiW (X) суму тензорнихстепенiв X, поповнених у деякiй нормi.

1. S. Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces. North-Holland, Amsterdam, New York,Oxford. Mathematics Studies, Vol. 57, 1981.

Одновимiрнi системи пiдпросторiв гiльбертовогопростору, що пов’язанi з графами-кактусами

Ю. Ю. Єршова, Ю. С. Самойленко

Iнститут математики НАН України, [email protected]

Вивчення систем операторiв i пiдпросторiв в лiнiйних та гiльбертових просторахвiдноситься до глибоких та корисних галузей математики.

Ми вивчаємо (Γ, τ)-системи n пiдпросторiв S = (H;H1, ..., Hn) в гiльбертово-му просторi H (де Γ - простий зв‘язний неорiєнтований граф), якi занумерованiвершинами графу Γ (|VΓ| = n), та кут мiж двома пiдпросторами Hi та Hj дорiвнюєθ = arccos τ , якщо ребро i, j ∈ EΓ, i 90, якщо i, j∈EΓ.

Для систем, якi вiдповiдають графам iз циклами, нами розроблений ряд методiв звикористанням узагальнень класичних графiв. Так вивчаються Z2 и S-градуюваннята Z2 и S-iндекси графiв. З їх допомогою надається критерiй iснування незвiдних(Γ, τ)-систем в залежностi вiд значення параметру τ . Для деяких класiв графiв -кактусiв - пошук S-iндексу зводиться до пiдрахунку Z2-iндексу, який досягається увипадку певним чином розставлених ±1 на ребрах графа. Нами наводиться повний зточнiстю до унiтарної еквiвалентностi опис незвiдних (Γ, τ)-систем пiдпросторiв, щовiдповiдають унiциклiчним графам. Також описуються одновимiрнi (Γ, τ)-системи,якi пов‘язанi iз графами-кактусами та iншими класами графiв, що мають бiльше нiжодин цикл.

1. Ю. С. Самойленко, А. В. Стрелец, О простых n-ках подпространств гильбертова простран-ства, Укр. мат. журн. 61:12 (2009), 1668–1703.


2. R. V. Grushevoy, Yu. S. Samoilenko, System of one-dimensional subspaces of a Hilbert space,Methods Funct. Anal. Topology, no. 2 (2010), 131–139.

3. Yu. Yu. Ershova, Yu. S. Samoilenko, On Z2-index, S-index of graphs and equiangular configurationof lines on a Hilbert space, preprint.

Про поведiнку на нескiнченностi розв’язкiвеволюцiйного рiвняння для транспортного

оператораГ. В. Iвасик

Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, Львiв, Україна [email protected]

Об’єктом дослiдження є транспортний оператор

Lf = −iµ∂f∂x

+ c(x)

1∫−1

b(µ′)f(x, µ′)dµ′, (1)

який дiє в просторi L2(D), де позначеноD = R×[−1, 1]. Функцiя c(x) є експоненцiйноспадною при |x| → ∞. Стосовно функцiї b(•) припускається iснування аналiтичногопродовження в деякий окiл iнтервала [−1, 1].

Нехай H – деякий простiр функцiй, заданих на всiй осi R. Нехай S : H → H -оператор множення на незалежну змiнну з максимальною областю визначення. Мивикористовуємо модель Фрiдрiхса, тобто оператор вигляду T = S+V , де V : H → Hдеякий iнтегральний оператор. Вибираємо факторизацiю збурення V = A∗B, A,B :H → G, де G - деякий допомiжний простiр, G = L2(R). Нашою метою є побудоваоператора вигляду T = S + A∗B, унiтарно еквiвалентного оператору L (див.(1)).

Розглядаємо еволюцiйне рiвняння такого вигляду:u = iTu, t > 0u|t=0 = u(0), u(0) ∈ D(T ).

Отже, вивчаємо оператор-функцiю U(t), задану рiвнiстю

u(t) = U(t)ϕ = − 1

2πi

∞∫−∞

e(γ+iθ)tTθ−iγϕ dθ. (2)

Теорема. Розвя’зок (2) еволюцiйного рiвняння має асимптотику

u(t) =∑

eiζkt∑

tp(ϕ, ek,p)hk,p, +O(1), t→∞,

де ek,p, hk,p, ∈ H- деякi елементи.

1. F. Diaba, E. V. Cheremnikh, On the point spectrum of transport operator, Math. Func. Anal. andTopology 11:1 (2005), 21–36.


2. I. Lehner, The spectrum of neutron transport operator for the infinit slab, J. Math. Mech. 11:2(1962), 173–181.

3. Г. В. Iвасик, Є. В. Черемних, Модель Фрiдрiхса для транспортного оператора, Вiсник Нац.ун-ту "Львiвська полiтехнiка", фiз.-мат. науки 643 (2009), 30–36.

До питання тiнi вектора в стандартномугiльбертовому просторi

О. О. Карабин

Львiвський державний унiверситет безпеки життєдiяльностi, Україна,Oksana [email protected]

Нехай H – гiльбертовий простiр, а (ϕi)i∈N – послiдовнiсть векторiв у цьому прос-торi, якi задовольняють умову:

∀i ∈stN ||ϕi|| ∞. (1)

Нехай (ϕi)i∈N i (ϕi)i∈N – еквiвалентнi бази в H. Назвемо їх nst еквiвалентними,якщо їх еквiваленцiя U та U−1 є рiвномiрно колостандартними операторами.

Для послiдовностi векторiв (ϕi)i∈N в H, якi задовольняють умову (1) можнавизначити послiдовнiсть (

ϕi)i∈N, яка є стандартним продовженням зовнiшньої послi-

довностi (ϕi)i∈stN. Така послiдовнiсть (ϕi)i∈N є тiнню послiдовностi (ϕi)i∈N.

Означення. База (ϕi) гiльбертового простору H, для якої виконується умова (1)називається колостандартною, якщо її тiнь (

ϕi)i∈N також є базою i якщо (ϕi) та (

ϕi)

є nst - еквiвалентними з еквiваленцiєю U , такою, що ||U − I|| ≈ 0.

Твердження 1. Нехай (ϕi) – колостандартна база в H, а (ψi) – база, бiортого-нальна до неї. Тодi база (ψi) також є колостандартною.

Твердження 2. Нехай (ϕi) та (ϕi) є nst - еквiвалентними базами в H. (ϕi)є колостандартною тодi i тiльки тодi, коли (ϕi) є колостандартною. Тiнь Uеквiваленцiї U баз (ϕi) i (ϕi) є еквiваленцiєю їх тiней:

∀i ∈ N ( U)ϕi =

ϕi.

Теорема. Нехай (ϕi) – колостандартна база в H, а x – довiльний вектор в H.

Позначимо через (ci) послiдовнiсть його координат в базi (ϕi): x =n∑i=1

ciϕi. При-

пустимо, що ||x|| ∞. Тодi x =n∑i=1

ciϕi, де (

ci)i∈N – стандартне продовження

зовнiшньої послiдовностi (ci)i∈stN, а (ϕi) – тiнь бази (ϕi).

1. Н. К. Бари, О базисах в гильбертовом пространстве, ДАН СССР. 54 (1946), 383–386.

2. V. E. Lyantse, O. O. Karabyn, On operator of multiplication by the independent variable, ВiсникЛьвiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 51 (1998), 128–133.


Гiперболiчна квазiлiнiйна задача Стефана згоризонтальними характеристиками

В. М. Кирилич, А. М. Фiлiмонов

Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка,Унiверситетська 1, Львiв, 79000, Україна,

Московський державний унiверситет зв’язкiв сполучення, Москва, Росiя,[email protected], [email protected]

В областi G(T0) = (x, t)|a1(t) ≤ x ≤ a2(t), 0 ≤ t ≤ T0, ai(0) = a0i (i ∈ 1, 2),

яку невiдомi лiнiї x = sj(t), j ∈ 1, ...,m) розбивають на пiдобластi, розглядаємосистему

m∑k=1

lik(x, t, u, v)(∂uk∂t

+ λi(x, t, u, v)∂uk∂x

)= fi(x, t, u, v), i ∈ 1, . . . ,m, (1)

∂vj∂x

= qj(x, t, u, v), j ∈ 1, . . . , nv, (2)

d

dtsk(t) = rk(s(t), t, u(sk(t), t), v(sk(t), t)), k ∈ 1, . . . , ns, (3)

де u = (u1, . . . , um), v = (v1, . . . , vnv), s = (s1, . . . , sns), з початковими та крайовимиумовами

u(x, 0) = α(x), x ∈ [a01, a

02], (4)

sj(0) = cj, a01 ≤ cj ≤ a0

2, j ∈ 1, . . . , n, (5)

ui(aj(t), t) = βij

s(t), t, u(s(t), t),

a2(t)∫a1(t)

γij(y, t, u(y, t))dy

, (6)

i ∈ Ij = i ∈ 1, ...,m : sgn[λj(a0j , 0, α(a0

1))− gj(a0, 0, α(a0))] = (−1)j+1, j ∈ 1, 2,

а додатковi умови на невiдомi лiнiї такi:

vj(sj(t), t) = βj(t), j ∈ 1, . . . , n, (7)

де функцiї α = (α1, . . . , αm), β = (β1, . . . , βn) i сталi cj (j ∈ 1, . . . , n) є заданими.Використовуючи зведення вихiдної задачi до нелiнiйної системи iнтегро-функ-

цiональних рiвнянь, методом стискуючих вiдображень доведено локальну коректнурозв’язнiсть задачi (1)–(7) [1, 2].

1. В. М. Кирилич, А. М. Филимонов, Обобщенная непрерывная разрешимость задачи с неиз-вестными границами для сингулярных гиперболических систем квазилинейных уравнений,Мат. студiї. 30:1 (2008), 42–60.

2. Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич, Квазiлiнiйна гiперболiчна задача Стефаназ нелокальними крайовими умовами, Укр. мат. журн. 62:9 (2010), 1173–1199.


Елементи теорiї збурень рiзницевих операторiвдругого порядку на пiвосi

Ю. Л. Кишакевич

Використовуючи числення адитивних i однорiдних функцiоналiв над лiнiйнимпростором полiномiв з комплексними коефiцiєнтами, побудовано елементи теорiї збу-рень рiзницевих операторiв другого порядку на пiвосi.

Тут розглядаємо задачi двох типiв: 1) збурюємо узагальнену спектральну функ-цiю (усф) i визначаємо вплив цього збурення на несамоспряжений рiзницевий опера-тор i його полiноми першого роду; 2) збурюємо рiзницевий оператор, точнiше першийабо другий рядок вiдповiдної якобiєвої матрицi, i будуємо зв’язок мiж полiномамипершого роду i узагальненими спектраль-ними функцiями заданого i збуреного опе-ратора.

У роботi розглядаються п’ять видiв збурень усф

S(1) = R+m∑i=1

ni∑k=0

dik (x− ai)−k δ (x− ai); S(2) = R +r(x)

g(x)R;

r(x)

g(x)

– правильний алгебраїчний дрiб.

S(3) = (x− b)((x− a)−1R

); S(4) = ((x− b)(x− a)−1)2R;

S(5) = (x− b)2 (x− a)−2R.

Пiдкреслимо, що такi види збурень не розглядалися у самоспряженому випадку.Через R(1) позначимо узагальнену спектральну функцiю задачi Кошi зрiзаних

якобiєвих матриць, тобто матрицьL1L, утворених iз матриць L, L шляхом вiдкидан-ня першого рядка i першого стовпця. Має мiсце залежнiсть

R(1) = −x2R−1

де R – усф задач Кошi (L,1, L1,1), а R(1) - усф задач Кошi (L1,a−10 , L1,c−1

0 )Нехай збурення матрицi L - матриця М має вигляд

M =

b0 + µ βa0 0 0 0γc0 b1 a1 0 00 c1 b2 a2 0

0 0. . . . . . . . .

Тодi має мiсце залежнiсть

T =(βγR−1 + (1− βγ) δ − ((1− βγ) b0 + µ)

(x−1δ

))−1,

де Т - усф задач Кошi (М ,1,M ,1), R - усф задач Кошi (L,1,L,1).Виводяться формули, якi виражають полiноми першого роду збуреної матрицi

через полiноми першого i другого роду незбуреної матрицi.


Нехай збурена матриця Q має вигляд Q =

b0 a0 0 0 0c0 b1 + µ βa1 0 00 γc1 b2 a2 0

0 0. . . . . . . . .

Тодi має мiсце залежнiсть

T =1

a0c0

(−βγa0c0 (x−2R−1)

−1+ (1− βγ) δ − ((1− βγ) b1 + µ) (x−1δ)

)−1

x2+ δ + b0x−1δ

де Т - усф задач Кошi (Q ,1,Q,1), R – усф задач Кошi (L,1,L,1).Виводяться формули, якi виражають полiноми першого роду збуреної матрицi

через полi-номи першого i другого роду незбуреної матрицi.

Методи нестандартного аналiзу у працях В. ЛянцеТ. С. Кудрик

Львiвський нацiональний унiверситет, Україна, [email protected]

До 1980 р. у доступних львiвським математикам публiкацiях мiстилися лишеепiзодичнi згадки про нестандартний аналiз А. Робiнсона. У той рiк з’явився пере-клад росiйською мовою книги “Прикладний нестандартний аналiз“ М. Девiса, де буловикладено основи цiєї нової галузi математики i показано її рiзноманiтнi застосуван-ня, включно iз теоремою Бернстейна-Робiнсона про iснування iнварiантних пiдпрос-торiв для полiномiально компактних операторiв. В. Лянце – один iз небагатьохматематикiв, якi виявилися готовими сприймати iдеї теорiї моделей математичноїлогiки i теорiї множин, що лежать в основi всiєї математики, i зрозумiти їх значеннядля iнших галузей математики. Уже з 1980 р. вiн викладав нестандартний аналiзстудентам механiко-математичного факультету. Основнi науковi iнтереси В. Лянцезнаходились в галузi функцiонального аналiзу, тому природно, що вiн застосувавметоди нестандартного аналiзу до дослiдження проблем цiєї областi математики.В [1] вiн показав, що у рамках нестандартного аналiзу можна зрозумiти, у чомуполягає проблема зведення загального лiнiйного оператора до жорданової форми, iвказав на повний (у деякому сенсi) розв’язок цiєї проблеми. Виявляється, що будь-який лiнiйний оператор володiє нестандартним розширенням, що має повну системукореневих векторiв. Проте як самi цi вектори, так i вiдповiднi їм власнi значення єнестандартними. Зокрема, вони можуть бути нескiнченно малими або нескiнченновеликими.

Ознайомившись iз аксiоматичним пiдходом Е. Нельсона до нестандартного аналi-зу, В. Лянце швидко оцiнив його переваги над викладенням в дусi Робiнсона-Люксем-бурга. Нагадаємо, що для побудови нестандартного аналога заданої математичноїструктури (з використанням аксiоми вибору, зокрема, нетривiального ультрафiльтрана множинi натуральних чисел) Робiнсон приєднує до неї новi елементи, якi на-зивають нестандартними. Точка зору Нельсона бiльш радикальна. Вiн постулює,


що нескiнченнi структури звичайної математики, крiм звичайних, мiстять ще деякiiншi елементи – нестандартнi. Для наочностi можна вважати, що до ознайомленняiз нестандартним аналiзом нам бракувало гостроти зору, щоб роздивитися цi не-стандартнi елементи. Наприклад, ми не помiчали серед дiйсних чисел нескiнченномалих i нескiнченно великих подiбно до того, як свого часу не пiдозрювали проiснування вiд’ємних або iррацiональних чисел. У [2] та [5] В. Лянце виклав основнiiдеї аксiоматичного пiдходу Нельсона та його застосування до математичного аналiзу.У статтi [3] вiн довiв деякi твердження про збурення операторiв, нескiнченно малi усильнiй операторнiй топологiї, у [4] - аналог формули Стокса для функцiй дискрет-ного аргумента, що змiнюється нескiнченно малими кроками. Книга Е. Нельсона“Радикально елементарна теорiя ймовiрностей“ спонукала професора Лянце до ство-рення основ “радикально елементарної теорiї операторiв“. Для цього ним запропо-нована конструкцiя стандартного наповнення (гiпер)скiнченної множини [6]. Такамножина може мiстити, наприклад, всi стандартнi дiйснi числа. Щоб розвинутианалiз на такiй множинi, потрiбне поняття колостандартностi для функцiй, визна-чених на нiй. Оскiльки множина iз нестандартною потужнiстю є нестандартною,то вона не має природної структури колостандартностi. Таку структуру В. Лянцезапровадив штучно за допомогою певних вiдображень. Це дало змогу визначитирiзнi поняття тiнi (чорної, бiлої, узагальненої та iн.) для дискретних функцiй. Щедетальнiше цi iдеї викладено у спiльнiй з Т. Кудриком монографiї [8]. Суттєво, що узапропонованих пiдходах для перенесення понять стандартностi i колостандартностiдля функцiй, мiр, зарядiв i операторiв не використовуються зовнiшнi вiдображення,на вiдмiну вiд пiдходу Лоеба до нестандартної теорiї мiри. Доведено результатитакого типу: спектр тiнi оператора збiгається з тiнню спектра оператора, тiнь влас-ного значення є власним значенням тiнi оператора i т. iн. Зокрема, подiбнi досформульованих результатiв виконуються для нестандартного рiзницевого оператораШтурма-Лiувiлля [7]. Також знайдено умови колостандартностi оператора множенняна незалежну змiнну i визначено його тiнь [9]. У рамках теорiї внутрiшнiх множинВ. Лянце показав, що теорема Рiсса про зображення лiнiйного функцiонала тягнеконверсiю (гiпер)скiнченного простору з мiрою у простiр з σ-адитивною мiрою [8].Крiм того, показано нестандартнi аспекти теорiї баз гiльбертових просторiв, запро-ваджено поняття колостандартних баз Рiсса, визначено поняття тiнi для необмеже-них дiагональних операторiв [9].

Зразками педагогiчної майстерностi В. Лянце та його неслабнучого iнтересу допопуляризацiї останнiх досягнень математичної науки є брошура [10] (спiльно iзГ. Чуйко), де викладено основи нестандартного аналiзу i застосування до теорiїймовiрностей (за Нельсоном), а також навчальнi посiбники [11] i [12] (спiльно iзТ. Кудриком та Г. Чуйко), де викладено вступ до основ математики та математичногоаналiзу для студентiв молодших курсiв.

Пiд керiвництвом В. Лянце його учнi захистили три кандидатськi дисертацiї:

• Спектральний аналiз нестандартних рiзницевих операторiв та його застосуван-ня (Т. Кудрик, 1989 р.);

• Рiзницевий нестандартний операторШтурма-Лiувiлля (Ю. Яворський, 2000 р.);

• Нестандартнi бази в гiльбертовому просторi (О. Карабин, 2000 р.).

Вкажемо основнi публiкацiї В. Лянце у галузi нестандартного аналiзу:


1. Можно ли игнорировать нестандартный анализ? (Жорданова форма оператора в бесконеч-номерном пространстве)//В кн.: Общая теория граничных задач. - К.: Наук. думка.- 1983.-С. 108-112.

2. О нестандартном анализе//В сб.: Математика сегодня.- К., Наук. думка, 1986.- С. 26-43.

3. О возмущении, бесконечно малом в сильной операторной топологии //Укр. мат. журн.-1989.-41,7.-С.989-992.

4. Формула Стокса для функций дискретного аргумента//Доп. АН України.-1991.-6.-С.16-18.

5. Елементи нестандартного аналiзу. Навч.посiбник.-К., IЗМН.-1996.-104с. (спiвавт. Т. Кудрик)

6. Nearstandardness on finite sets//Dissertationes Mathematicae. Rozprawy Matematyczne, War-szawa).-1997.-CCCLXIX.-63p.

7. Nonstandard Sturm-Liouville difference operator//Мат. студiї.-1998.-Т.10,1.-С.54-68. -1999.-Т.11,1.-С.71-82 (спiвавт. Ю. Яворський)

8. Introduction to nonstandard analysis//Mathematical studies, monograph series.-Lviv: VNTL Pub-lishers, 1998.-Vol.3.-255p. (спiвавт. Т. Кудрик)

9. On operator of multiplication by independent variable//Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат.-1998.-Вип.51.- С.128-133 (спiвавт. О. Карабин)

10. Вступ до нестандартної теорiї ймовiрностей. Тексти лекцiй.-Львiв: Вид. центр ЛНУ iм.I.Франка, 2002.-45с. (спiвавт. Г. Чуйко)

11. Вступ до основ математики. Тексти лекцiй.-Львiв: Вид.центр ЛНУ iм. I. Франка, 2003.-127с.(спiвавт. Т. Кудрик, Г. Чуйко)

12. Вступ до математичного аналiзу i основ математики. Тексти лекцiй.-Львiв: Вид.центр ЛНУiм. I. Франка, 2010.-127с. (спiвавт. Т. Кудрик, Г. Чуйко)

Спектральна задача для стiльтьєсiвських струн награфi, що має форму вiсiмки

О. М. Мартинюк

Пiвденноукраїнський нацiональний педагогiчний унiверситетiм. К.Д. Ушинського, Україна, [email protected]

В рамках прямої задачi розглядаємо граф, утворений двома стiльтьєсiвськимиструнами, що має форму вiсiмки. В єдинiй вершинi цього графу накладенi умовинеперервностi та умова Кiрхгофа, яка в механiчнiй iнтерпретацiї цiєї скiнченовимiр-ної задачi має змiст балансу сил. Вивчається вiдповiдна спектральна задача, описаноїї спектр. Доведено, що власнi значення такої задачi чергуються з елементамиоб‘єднання множин власних значень задач Дiрiхле, породжених стунами, що станов-лять петлi графа i також з елементами обєднання множин власних значень перiодич-них задач на петлях вiсiмки. Показано, що у випадку графу, який має форму вiсiмки,справедлива формула, доведена у статтi [1] для задач, породжених рiвнянням Штур-ма-Лiувiлля на деревах:

ϕN = ϕINϕIID + ϕIIN ϕ

ID.

Верхнi iндекси вiдповiдають пiдграфам, на якi розбиває вершина вiсiмку. В нашомувипадку, пiдграфи,– це 2 петлi, на якi розбита вiсiмка, кожна з яких має 1 вершину.


Нижнi iндекси вiдповiдають узагальненим умовам Неймана та Дiрiхле вiдповiдно,накладеним у вершинi.

Розглянуто також обернену задачу для вiдповiдного метричного графу у виглядiвiсiмки. Вона полягає в тому, що вiдомi величини мас, якi розташованi на першiйпетлi, разом iз iнтервалами мiж ними, а також спектр задачi на вiсiмцi та загальнадовжина другої петлi разом з довжиною першого часткового вiдрiзка i деякою конс-тантою. Треба знайти величини мас на другiй петлi та довжини iнтервалiв мiж ними.В неявному виглядi знайденi умови iснування розв‘язку задачi. Запропонований ме-тод знаходження мас та довжин iнтервалiв на iншiй петлi графа.

1. C. K. Law, V. N. Pivovarchik, Characteristic functions of quantum graphs, J. Phys. A 42:3 (2009),12 pp.

Характеризацiя коливань майже неперервнихфункцiй

О. В. Маслюченко


Нагадаємо, що вiдображення f : X → Y мiж топологiчними просторами X та Yназивається квазiнеперервним (майже неперервним), якщо для довiльної вiдкритоїмножини G ⊆ Y виконується включення f−1(G) ⊆ int f−1(G) (вiдповiдно, f−1(G) ⊆int f−1(G)). В роботах [1, 2] було описано множини точок розриву i коливанняквазiнеперервних функцiй. Зокрема, там доведено такий результат.

Теорема А. Нехай X – метризовний простiр i E ⊆ X (вiдповiдно, g : X → [0,+∞]).Для того щоб множина E (функцiя g) була би множиною точок розриву (коливан-ням) деякої квазiнеперервної функцiї f : X → R необхiдно i досить, щоб множинаE (множина g−1((0,+∞])) була першої категорiї.

Опис множин точок розриву майже неперервних функцiй було отримано в роботi[3]. А саме, там було доведено таке.

Теорема B. Нехай X – розкладний топологiчний простiр i E ⊆ X. Тодi для того,щоб E була множиною точок розриву деякої майже неперервної функцiї f : X → Rнеобхiдно i досить, щоб iснувала така послiдовнiсть вiдкритих множин Gn, що

E =∞⋃n=1

Gn.

Зараз ми наведемо результати дослiдження задачi про опис коливань майженеперервних функцiй. Нагадаємо, що коливанням функцiї f : X → R називаєтьсяфункцiя

ωf (x) = infU - окiл x

supx′,x′′∈U

|f(x′)− f(x′′)|, x ∈ X,

а верхньою та нижньою функцiєю Бера функцiї f називається функцiї

f ∗(x) = infU - окiл x

sup f(U) i f ∗(x) = supU - окiл x

inf f(U), x ∈ X.


Теорема 1. Нехай X – нормальний злiченно розкладний простiр i g : X → R. Длятого, щоб g було коливанням деякої майже неперервної функцiї f : X → R необхiдноi досить, щоб iснували квазiнеперервнi напiвнеперервнi зверху функцiї g1, g2 : X →[0,+∞] такi, що g(x) = g1(x) + g2(x) при x ∈ X.

У метризовному випадку ситуацiя значно спрощується.

Теорема 2. Нехай X – метризовний простiр без iзольованих точок i g : X → R.Для того, щоб функцiя g була коливанням деякої майже неперервної функцiї f : X →R необхiдно i досить, щоб g була напiвнеперервною зверху i 0 ≤ g(x) ≤ 2(g∗)

∗(x) приx ∈ X.

1. O.V. Malyuchenko, The discontinuity point sets of quasi-continuous functions, Bul. Austral. Math.Soc. 75:3 (2007), 373–379.

2. O. V. Malyuchenko, The oscillation of quasi-continuous functions on pairwise attainable spaces,Houston J. Math. 35:1 (2009), 113–130.

3. Т. О. Банах, В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, М. I.Пшеничко, Точки розриву майженеперервних функцiй, Мат. Cтудiї 14:1 (2000), 89–96.

О корректной разрешимости одной краевой задачив пространстве голоморфных вектор-функций

С. С. Мирзоев, Р. Ф. Сафаров

Бакинский Государственный Университет, Баку, Азербайджан, [email protected]

В сепарабельном гильбертовом пространстве H рассматривается краевая задача

u′′(τ)− A2u(τ) + A1u′(τ) = f(τ), τ ∈ Sα, (1)

u′(0) = Ku(0), (2)

где A- положительно-определённый самосопряжённый оператор, A1 - линейный опе-ратор, Sα = τ : |arg τ | < α < π/2 , f(τ), u(τ) -голоморфные в секторе Sα вектор-функции со значениями в H, K-линейный ограниченный оператор, действующийиз пространства H3/2

в H1/2, где Hγ = D(Aγ) с нормой ‖x‖γ = ‖Aγx‖ , γ ≥ 0,

производные понимаются в смысле комплекс-ного анализа.Пусть H2,α− гильбертово пространство голоморфных в секторе Sα вектор-функ-

ций f(τ), для которых f(teiϕ) ∈ L2(R+;H) при ϕ ∈ [−α; α] с нормой

‖f‖2,α =1√2

(∥∥f(teiα)∥∥2

L2(R+;H)+∥∥f(te−iα)

∥∥2

L2(R+;H)

)1/2,

аW 2

2,α =u(τ) : A2u(τ), u′′(τ) ∈ H2,α; ‖u‖2

W 22,α

= ‖u′′‖22,α +

∥∥A2u∥∥2

2,α

.

Теорема. Пусть оператор B = A1A−1 ограничен в H, оператор E + A−1K обра-

тим в H3/2и ‖B‖ ≤ N−1

K,α, где


NK,α =

1

2 cosα, если Re(A−1Kx, x)3/2

≥ 0,

12 cosα

1− 4

∣∣∣∣∣ inf‖x‖3/2

=1

Re(A−1Kx,x)3/21+‖A−1Kx‖23/2

∣∣∣∣∣2−1/2

, в обратном случае.

Тогда при любом f(τ) ∈ H2,α существует единственная вектор-функция u(τ) ∈W 2

2,α, которая удовлетворяет уравнению (1) в Sα тождественно.

Властивостi роздiляючих полiномiв та рiвномiрноаналiтичних i роздiляючих функцiї

М. А. Митрофанов

IППММ iм. Я. С. Пiдстригача НАН України, Львiв, Україна, [email protected]

Роздiляючi полiноми та рiвномiрно аналiтичнi i роздiляючи функцiї є важливимиоб’єктами у теорiї наближення неперервних функцiї на банахових простарах, оскiлькиосновнi результати, щодо наближення неперервних функцiї на дiйсних банаховихпросторах ( див. [1] ) вимагають наявностi на просторi роздiляючого полiнома, а рiв-номiрно неперервних функцiї ( див. [2]) вимагають наявностi на просторi рiвномiрноаналiтичної i роздiляючої функцiї.

Роздiляючi полiноми введено у розгляд Курцвейлом у працi [1]. У працi [3] вве-дено у розгляд не еквiвалентне до означення Курцвейла наступне означення роздi-ляючого полiнома, та дано грунтовний огляд властивостей роздiляючих полiномiв.

Означення 1. Нехай X є нормованим простором над полем дiйсних чисел R. Дiйс-ний полiном q : X → R називається роздiляючим полiномом, якщо q(x) задовольняєумови:

1) q(0) = 0;

2) infP (x) : ||x|| = 1 > 0.

Проте, питання про iснування роздiляючого полiнома на просторi має однаковувiдповiдь у сенсi класично означення Курцвейла, та означення 1. Тому, при потребi,ми будемо використовувати це означення.

Рiвномiрно аналiтичнi i роздiляючи функцiї введенi у розгляд у працi Босiо iГаєка [2].

Означення 2. Нехай X є дiйсним банаховим простором. Будемо говорити, щодiйсна функцiя d, визначена на X, є рiвномiрно аналiтичною i роздiляючою, якщовона задовольняє наступнi умови:

1) d є дiйсною аналiтичною функцiєю на X з радiусом збiжностi Rdx (див. наприк-лад [4]) в кожнiй точцi x ∈ X бiльшим або рiвним за Rd для деякого Rd > 0;

2) iснує α ∈ R таке, що для всiх x ∈ X множина d(x) < α є непорожньою i лежитьу вiдкритiй одиничнiй кулi B.


Автору вдалося довести наступне:

Теорема 1. Якщо F : X → Y полiномiальний автоморфiзм (полiномiальне бiєк-тивне вiдображення таке, що F−1 — полiном), p : Y → R роздiляючий полiномта всi його однорiднi компоненти додатньо визначенi, тодi p(F ) : X → R будероздiляючим полiномом.

Теорема 2. Нехай X та Y банаховi простори, f : Y → R є рiвномiрно аналiтич-ною i роздiляючою функцiєю обмеженого типу (тобто обмежена на обмеженихмножинах), g : X → Y однорiдне полiномiальне вiдображення, яке має наступнувластивiсть:

||g(x)|| > ||x|| для довiльного x ∈ X такого, що ||x|| = 1. (1)

Тодi iснує рiвномiрно аналiтична i роздiляюча функцiя обмеженого типу g : X → R,така що g = f g.

Теорема 3. Нехай X та Y банаховi простори, f : Y → R, є рiвномiрно аналiтичноюi роздiляючою функцiєю g : X → Y лiнiйне вiдображення, яке має властивiсть (1)з теореми 2. Тодi iснує рiвномiрно аналiтична i роздiляюча функцiя g : X → R,така що g = f g.

Даний наслiдок частково отримано у працi [2].

Наслiдок 1. Рiвномiрно неперервнi функцiї апроксимуються аналiтичними, рiв-номiрно на довiльнiй вiдкритiй пiдмножинi простору ⊕∞k=1`2k з нормою `p вигляду

||x|| =

(∑k

||xk||p`2k

) 1p

для парних p, або з c0-нормою вигляду

||x|| = supk||xk||`2k .

1. J. Kurzweil, On approximation in real Banach spaces, Studia Math. 14 (1954), 214–231.

2. M. C. Boiso, P. Hajek, Analytic Approximations of Uniformly Continuous Functions in Real Ba-nach Spaces, J. Math. Analysis Appl. 256 (2001), 80–98.

3. R. Gonzalo, J. A. Jaramillo, Separating polynomials on Banach spaces, Extracta Math. 12:2(1997), 145–164.

4. J. Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland,1986.


Порядковые эргодические теоремы вперестановочно-инвариантных пространствах

М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова, Б. А. Рубштейн

Таврический национальный университет, Симферополь, УкраинаBen-Gurion University, Beer-Sheva, Israel [email protected]

Мы изучаем порядковую сходимость Чезаровских средних

An,Tf =1

n

n∑k=1

T k−1f , f ∈ E,

где E — перестановочно-инвариантное банахово пространство измеримых функций,T — абсолютное (L1 − L∞)-сжатие.

Пусть f ∗ — убывающая перестановка функции |f |, f ∗(+∞) = limx→∞

f ∗(x), и

f ∗∗(x) :=1

x

x∫0

f ∗(u) du , x ∈ (0,+∞)

— соответствующая максимальная функция Харди-Литтвуда.Обозначим

EH = EH(Ω, µ) = f ∈ (L1 + L∞)(Ω, µ) : f ∗∗ ∈ E(R+,m)

и положим ‖f‖EH= ‖f ∗∗‖E.

Пространство (EH, ‖ · ‖EH) является перестановочно инвариантным.

ПустьR0 = f ∈ L1 + L∞ : f ∗(+∞) := lim

x→+∞f ∗(x) = 0.

Теорема. Пусть E — перестановочно инвариантное пространство. Тогда, длявсех f ∈ EH∩R0 и T ∈ PAC последовательность средних An,Tf порядково сходитсяв E. Обратно, пусть E — такое перестановочно инвариантное пространство, чтоE 6= EH∩R0. Тогда существуют f ∈ E и T ∈ PAC такие, что последовательностьAn,Tf не является порядково сходящейся в E.


Про симетричну квазiнеперервнiсть та клiковiстьфункцiй двох змiнних

В. В. Нестеренко


В [1] було одержано найслабшi серед вiдомих умови на вiдображення f : X ×Y → Z (властивiсть N ), де X – топологiчний простiр, простiр Y задовольняє другуаксiому злiченностi i Z – метричний простiр, при яких в просторi X iснує таказалишкова множина A, що вiдображення f неперервне в кожнiй точцi множиниA×Y . N -вiдображення є iстотним розширенням класу KhC(X×Y, Z) горизонтальноквазiнеперервних i неперервних вiдносно другої змiнної вiдображень. Фактичнорозширення одержується за рахунок замiни умови горизонтальної квазiнеперервностiна слабку* горизонтальну квазiнеперервнiсть.

Тут ми, використовуючи поняття слабкої* горизонтальної квазiнеперервностi,одержуємо результати про множину точок симетричної квазiнеперервностi та клi-ковостi, якi подiбнi до результатiв з [2] i покращують вiдповiднi результати з [3].

Нехай X, Y i Z – топологiчнi простори. Вiдображення f : X → Z – називаєтьсяквазiнеперервним у точцi x ∈ X, якщо для кожного околу U точки x в X i длякожного околу W точки z = f(x) в Z iснує вiдкрита непорожня множина U1, така,що U1 ⊆ U i f(U1) ⊆ W . Вiдображення f : X × Y → Z називається симетричноквазiнеперервним вiдносно x в точцi p0 = (x0, y0), якщо для довiльних околiв U , V iW вiдповiдно точок x0 ∈ X, y0 ∈ Y i z0 = f(p0) ∈ W iснують окiл U1 точки x0 в X iвiдкрита непорожня множина V1 в Y , такi, що U1 × V1 ⊆ U × V i f(U1 × V1) ⊆ W .

Вiдображення f є квазiнеперервним чи симетрично квазiнеперервним вiдносноx, якщо воно є таким в кожнiй точцi.

Нехай Z – метричний простiр. Позначимо через ωf (A) коливання функцiї f намножинi A. Функцiя f : X → Z називається клiковою в точцi x0, якщо для кожногоε > 0 i довiльного околу U точки x0 в X iснує вiдкрита непорожня множина U1, така,що U1 ⊆ U i ωf (U1) < ε, i просто клiковою, якщо вона є такою в кожнiй точцi.

Ми кажемо, що функцiя f : X × Y → Z слабко* горизонтально квазiнеперервна,якщо виконуються наступнi умови:

1) для довiльних вiдкритих непорожнiх множин U i V вiдповiдно в X i Y тадовiльної множини A в X, для якої U ⊆ A, iснує вiдкрита непорожня множинаG в X, така, що G ⊆ U i f(G× V ) ⊆ f((G ∩ A)× V );

2) для кожного ε > 0 множина Qε(f) = (x, y) ∈ X×Y : ωfy(x) < ε всюди щiльнав просторi X × Y .

Теорема 1. Нехай X – топологiчний простiр, простiр Y має злiченну псевдобазу,Z – метричний простiр, вiдображення f : X × Y → Z слабко* горизонтальноквазiнеперервне i fx – квазiнеперервне для всiх x з деякої залишкової множини вX. Тодi iснує залишкова в X множина A, така, що вiдображення f симетричноквазiнеперервне вiдносно x в кожнiй точцi множини A× Y .


Теорема 2. Нехай X – берiвський простiр, простiр Y має злiченну псевдобазу, Z –метричний простiр, функцiя f : X×Y → Z слабко* горизонтально квазiнеперервнаi fx – клiкова для всiх x з деякої залишкової множини в X. Тодi функцiя f клiковаза сукупнiстю змiнних.

1. В. К. Маслюченко, В. В. Нестеренко, Точки сукупної неперервностi та великi коливання,Укр. мат. журн. 62:6 (2010), 791–800.

2. В. В. Нестеренко, Про симетричну квазiнеперервнiсть та їх аналоги, Науковий вiсникЧернiвецького унiверситету. Математика. 485 (2009),78–83.

3. Z. Piotrowski, A survey of results concerning generalized continuity in topological spaces// ActaMath. Comen. 52-53 (1987), 91–110.

Сукупна неперервнiсть горизонтальноквазiнеперервних мультифункцiй

В. В. Нестеренко, О. Г. Фотiй


Поняття квазiнеперервностi, яке було введене С. Кемпiстим в [1] для однозначнихвiдображень, було перенесено на мультифункцiї i дослiджувалось в працях багатьохматематикiв, зокрема в оглядi Т. Нойбруна [2]. В [3] було встановлено, що дляоднозначної функцiї f : X×Y → Z, яка горизонтально квазiнеперервна i неперервнавiдносно другої змiнної iснує залишкова множина A в X, така, що функцiя f не-перервна за сукупнiстю змiнних в кожнiй точцi з A × Y , якщо X – топологiчнийпростiр, простiр Y задовольняє другу аксiому злiченностi i Z – метризовний простiр.

Тут ми переносимо згаданий результат з [3] на випадок мультифункцiй.Нехай X, Y, Z – топологiчнi простори. Мультифункцiя F : X → Z називається

неперервною зверху (знизу) в точцi x0 ∈ X, якщо для довiльної вiдкритої непорожньоїмножини W в Z, такої, що F (x0) ⊆ W (F (x0) ∩W 6= Ø) iснує окiл U точки x0 ∈ X,такий, що F (x) ⊆ W (F (x) ∩W 6= Ø) для всiх x ∈ U . Мультифункцiя F : X → Zназивається квазiнеперервною зверху (знизу) в точцi x0 ∈ X, якщо для довiльноївiдкритої непорожньої множини W в Z, такої, що F (x0) ⊆ W (F (x0) ∩ W 6= Ø)i довiльного околу U точки x0 ∈ X iснує вiдкрита непорожня множина U1 в X,така, що U1 ⊆ U i F (x) ⊆ W /F (x) ∩W 6= Ø/ для всiх x ∈ U1. МультифункцiяF : X × Y → Z називається горизонтально квазiнеперервною зверху (знизу) в точцip0 ∈ X × Y , якщо для довiльної вiдкритої непорожньої множини W в Z, такої,що F (p0) ⊆ W (F (p0) ∩ W 6= Ø) i довiльних околiв U та V точок x0 ∈ X таy0 ∈ Y вiдповiдно, iснують вiдкрита непорожня множина U1 в X i точка y1 в Y ,такi, що U1 ⊆ U, y1 ∈ V i F (p) ⊆ W (F (p) ∩ W 6= Ø) для всiх p ∈ U1 × y1.Мультифункцiя називається неперервною зверху (знизу), квазiнеперервною зверху(знизу) чи горизонтально квазiнеперервною зверху (знизу), якщо воно є такою вкожнiй точцi. Мультифункцiя називається замкненозначною, якщо образ кожноїточки є замкненою множиною.


Позначимо через C+(F ) множину точок неперервностi зверху вiдображення F , ачерез C−(F ) – множину точок неперервностi знизу вiдображення F . Для множиниB ⊆ Y покладемо C+

B (F ) = x ∈ X : x ×B ∈ C+(F ), C−B (F ) = x ∈ X : x ×B ∈C−(F ).

Пiдмножина B топологiчного простору Y називається множиною злiченного ти-пу, якщо iснує така не бiльш нiж злiченна система V = Vn : n ∈ N вiдкритихмножин Vn в Y , що для кожної точки y ∈ B система V(y) = Vn : y ∈ Vn є базоюоколiв точки y в просторi Y . Така система V називається злiченною базою для B.Увесь простiр Y є множиною злiченного типу тодi i тiльки тодi, коли вiн має не бiльшнiж злiченну базу, тобто задовольняє другу аксiому злiченностi, а виконання першоїаксiоми злiченностi в Y означає, що всi одноточковi множини y в Y є множинамизлiченного типу.

Теорема 1. Нехай X i Y – топологiчнi простори, B – множина злiченного типув Y , Z – метризовний сепарабельний простiр, мультифункцiя F : X × Y → Zгоризонтально квазiнеперервна зверху i неперервна знизу вiдносно другої змiнної.Тодi множина C−B (F ) залишкова в X.

Теорема 2. Нехай X i Y – топологiчнi простори, B – множина злiченного типув Y , Z – метризовний сепарабельний простiр, замкненозначна мультфункцiя F :X×Y → Z горизонтально квазiнеперервна знизу i неперервна зверху вiдносно другоїзмiнної. Тодi множина C+

B (F ) залишкова в X.

1. S. Kempisty, Sur les fuctions quasicontinues, Fund. Math. 19 (1932), 184–197.

2. T. Neubrunn, Quasi-continuity, Real Anal. Exch. 14:3 (1988–1989), 259–306.

3. В. К. Маслюченко, В. В. Нестеренко, Сукупна неперервнiсть та квазiнеперервнiсть гори-зонтально квазiнеперервних функцiй, Укр. мат. журн. 52:2 (2000), 1711–1714.

Система тригонометричних функцiї iз змiннимперiодом та деякi їх властивостi

М. В. Приймак

Тернопiльський нацiональний технiчний унiверситет iменi Iвана ПулюяТернопiль, Україна, [email protected]

В прикладних дослiдженнях зустрiчаються ритмiчнi сигнали, перiод яких змi-нюється, наприклад, електрокардiограми, отриманi пiсля фiзичного навантаження.Щоб вивчати подiбного роду сигнали, в [1] введено означення перiодичних функцiйiз змiнним перiодом. Нагадаємо його.

Означення. Функцiя f(x), x ∈ I називається перiодичною iз змiнним перiодом,якщо iснує така функцiя T (x) > 0, що для любих точок x i x + T (x) iз областi Iзначення функцiї в цих точках повторюються, тобто

f(x) = f(x+ T (x)) (1).


Figure 1: Графiки функцiй: sinx (графiк 1); sinx5/6 (графiк 2), sinx6/5 (графiк 3).

Змiнний перiод T (x) повинен задовольняти певним умовам.Найпростiшим функцями iз змiнним перiодом є тригонометричнi функцiї

sinxα та cosxα, α > 0, x ∈ I, I = (0,∞) графiки яких наведено на рисунку 1.Подiбно до ортогональностi функцiй 1, sinmx, cosmx,m = 1, 2, ..., має мiсце

Теорема. Система тригонометричнi функцiї iз змiнним перiодом sinmxα, cosmxα,x ≥ 0, α > 0, m = 1, 2, ..., є ортогональною на любому вiдрiзку [x0, x0 + Tα(x0)],x0 ∈ I, iз ваговою функцiєю ρ(x) = xα−1, де Tα(x) = −x+ (xα + 2π)1/α:

x+Tα(x0)∫x0

xα−1 sinmxα cosnxα dx = 0, m, n = 1, 2, . . . ,

x+Tα(x0)∫x0

xα−1 sinmxα sinnxα dx = 0, m 6= n,

x+Tα(x0)∫x0

xα−1 cosmxα cosnxα dx = 0, m 6= n,

x0+Tα(x0)∫x0

xα−1 sin2mxα dx =π

α,

x0+Tα(x0)∫x0

xα−1 cos2mxα dx =π

α.

(2)

Враховуючи поняття норми, вирази (2) можна записати у виглядi

‖ sinmxα‖2 =π

α, ‖ cosmxα‖2 =

π

α, x ≥ 0, m = 1, 2, . . .

Зауважимо, що поки залишається вiдкритим питання повноти системи функцiйsinmxα, cosmxα, x ≥ 0, α > 0,m = 1, 2, .... В доповiдi розглядаються також бiльшзагальнi тригонометричнi функцiї iз змiнним перiодом, а саме sin f(x) та cos f(x).

1. М. В. Приймак, I. О. Боднарчук, С. А. Лупенко, Умовно перiодичнi випадковi процеси iззмiнним перiодом, Вiсник Тернопiльського державного технiчного ун-ту 2 (2005), 143–152.


Про еквiвалентнiсть спектральних задач дляоператора дифузiї та оператора Дiрака

Н. Пронська

Iнститут прикладних проблем механiки i математики, Львiв, Україна,[email protected]

Нехай p — дiйснозначна функцiя з L2(0, 1), а q — дiйснозначний розподiл зW−1

2 (0, 1). Розглянемо у просторi L2(0, 1) спектральну задачу для оператора дифузiї[1]

−y′′ + qy + 2λpy = λ2y (1)

з умовами Дiрiхлеy(0) = y(1) = 0. (2)

Рiвняння (1) часом називають рiвнянням Шрединґера з енергозалежними по-тенцiалами i використовують для для опису руху квантової частинки без спiна, щорухається зi швидкiстю, значно меншою за швидкiсть свiтла. Також такi задачiвиникають при розв’язуваннi рiвнянь Клейна–Гордона, що описують рух реляти-вiстської безспiнової частинки.

Спектром задачi (1) називатимемо множину таких λ, для яких оператор−d2/dx2+(q + 2λp− λ2) з умовами (2) не є оборотнiм.

Мета доповiдi — показати, що при деяких додаткових припущеннях описанаспектральна задача є еквiвалентною до спектральної задачi для оператора Дiрака.А саме, позначимо через D оператор Дiрака на L2(0, 1)× L2(0, 1) заданий так

Dy := Bdy

dx+Qy,

де

B =

(0 1−1 0

), Q =

(0 −v−v 2p

), y =

(y1

y2

),

з крайовими умовами y2(0) = y2(1) = 0. Нехай також T — оператор Штурма–Лiувiлля

Ty := −y′′ + qy

з крайовими умовами Дiрiхле y(0) = y(1) = 0.

Теорема. Нехай оператор T додатнiй. Тодi iснує дiйснозначна функцiя v ∈ L2(0, 1)така, що спектр задачi (1)–(2) спiвпадає зi спектром оператора Дiрака D з ураху-ванням кратностi.

Наслiдок 1 [2, гл. VII.1]. Спектр задачi 1)–(2) дiйсний, простий i дискретний.

Наслiдок 2 [2, гл. VII.2]. Власнi значення λk задачi (1)–(2) можна занумеруватитак, що λk < λk+1 для всiх k ∈ Z i λk = πk + a+ bk, де a =

∫p(x) dx i послiдовнiсть

(bk) належить до `2(Z).


Для доведення використовується той факт, що за припущень теореми рiвнянняy′′ = qy має розв’язок y0, що є додатнiм на [0, 1], i тодi диференцiальний вираз−d2/dx2 + q можна факторизувати у виглядi

−(d

dx+ v

)(d

dx− v)

з v = y′0/y0.

1. М. Г. Гасымов, Г. Ш. Гусейнов, Определение оператора диффузии по спектральным данным,Докл. АН Азерб. ССР 37:2 (1981), 19–23.

2. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака, М., Наука, 1988.

О слабой сходимости линейных операторов вбанаховых алгебрахА. В. Ревенко, А. А. Ревенко

Луганский национальный университет имени Тараса Шевченко, [email protected]

Приводятся утверждения о слабой сходимости последовательности положитель-ных ограниченных линейных операторов и функционалов и их приложения на бана-ховой алгебре A с единицей e над полем действительных чисел.

Пусть A[a] - замкнутая унитальная подалгебра алгебры A с образующей a ∈ Aи M [a] - набор ограниченных линейных мультипликативных функционалов на A[a],определяющих частичный порядок ≤ (∀x, y ∈ A[a] (x ≤ y ⇐⇒ ∀µ ∈ M [a] (µ(x) ≤µ(y)))). Тогда в основе всех приведенных утверждений лежит следующий аналогтеоремы Коровкина П. П. о трех функциях для алгебры C[a, b] [1].

Теорема. Если для последовательности fn∞n=1 ограниченных линейных положи-тельных функционалов на A[a]

fn(e)→ 1, fn((a− µ(a)e)2)→ 0(n→∞),

то эта последовательность слабо сходится на A[a] к ограниченному линейномумультипликативному функционалу µ ∈M [a].

1. П. П. Коровкин, Линейные операторы и теория приближений, М., 1959.

2. А. Я. Хелемский, Банаховы и полинормированные алгебры. Общая теория, представления,гомологии, М., Наука, 1989.


Оператори перетворень для гiперболiчної системидвох рiвнянь

Ю. М. Сидоренко, О. I. Чвартацький

Львiвський нацiональний унiверситет iм. I. Франка, Львiв, Україна,[email protected], [email protected]

Ми дослiджуємо гiперболiчну систему вигляду:∂Y1(x, y)

∂y− α1

∂Y1(x, y)

∂x= u1(x, y)Y2(x, y),

∂Y2(x, y)

∂y− α2

∂Y2(x,y)∂x

= u2(x, y)Y1(x, y),α1 > α2 > 0, (1)

в припущеннi, що коефiцiєнти (потенцiали) u1(x, y), u2(x, y) є комплекснозначними,вимiрними за x та y функцiями, iнтегровними з квадратом за двома змiнними

u1, u2 ∈ L2(R2 → C). (2)

Розв’язок системи (1) розглядатимемо у просторi Υ пар функцiй Y1(x, y), Y2(x, y), дефункцiї Y1, Y2 вимiрнi за змiнними x та y з нормою

||Y (x, y)||Υ := max

vrai sup

x

[ ∫∞−∞ |Y1(x− α2s, s)|2ds

] 12,

vrai supx

[ ∫∞−∞ |Y2(x− α1s, s)|2ds

] 12

.

(3)

Вектор-функцiю Y (x, y) :=

(Y1(x, y)Y2(x, y)

)будемо називати припустимим розв’язком

системи (1), якщо Y1(x, y), Y2(x, y) задовольняють систему (1) в сенсi теорiї узагаль-нених функцiй.

Зауваження. При α1 = −α2 = 1 рiвняння (1) є вiдомою нестацiонарною системоюДiрака [1, 2] в лабораторних змiнних, де y є еволюцiйним параметром. Її конуснийаналог дослiджувався, також, в [2-4].

Теорема. Нехай коефiцiєнти системи (1) задовольняють умови (2). Тодi для при-

пустимого розв’язку Y =

(Y1

Y2

)системи (1) iснують в L2(R → C) границi при

x+ α1y = const:Y1(x, y) = a1(x+ α1y) + o(1), y → −∞,Y1(x, y) = b1(x+ α1y) + o(1), y → +∞, (4)

та при x+ α2y = const:

Y2(x, y) = a2(x+ α2y) + o(1), y → −∞,Y2(x, y) = b2(x+ α2y) + o(1), y → +∞. (5)

Для кожної з пар (a1, a2), (b1, b2), (a1, b2), (b1, a2) довiльно заданих функцiй з L2(R→C) iснує єдиний припустимий розв’язок, для якого ця пара є вiдповiдною (4)-(5)асимптотикою на безмежностi.


Теорема дає можливiсть розв’язати пряму задачу розсiяння, яка полягає в зна-ходженнi розв’язкiв системи (1) за однiєю iз згадуваних пар асимптотик. З теоремислiдує, що кожнiй парi a1, a2 функцiй з L2(R → C) вiдповiдає єдиний розв’язокпрямої задачi розсiяння для системи (1) i цьому ж розв’язку вiдповiдає пара асимп-тотик b1, b2 ∈ L2(R → C) на iншiй безмежностi. Це означає, що iснує операторS, який переводить падаючi хвилi a = (a1(x + α1y), a2(x + α2y))> в розсiянi b =(b1(x+ α1y), b2(x+ α2y))> i визначається рiвнiстю:(

b1(x+ α1y)b2(x+ α2y)

)= S

(a1(x+ α1y)a2(x+ α2y)

). (6)

Обернена задача розсiяння для системи (1) полягає в знаходженнi коефiцiєнтiв (по-тенцiалiв) u1, u2 за заданим оператором S, який надалi ми називатимемо операторомрозсiяння.

Лема. Оператор розсiяння S та обернений до нього S−1 однозначно визначаютьсяоднiєю з пар операторiв (S12, (S

−1)21) або (S21, (S−1)12), якi називатимемо даними

розсiяння.

У випадку вироджених даних розсiяння знайдено в явному виглядi оператори S,S−1, оператори перетворень оберненої задачi i явнi формули для потенцiалiв u1, u2.Методом бiнарних перетворень [5, 6] знайдено всi основнi об’єкти оберненої задачiрозсiяння та доведено їх еквiвалентнiсть з операторами, отриманими класичнимпiдходом Марченка-Гельфанда-Левiтана.

1. Л. П. Нижник, Обратная нестационарная задача рассеяния, Киев, Наук. думка, 1973, 182 с.

2. Л. П. Нижник, Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений, Киев, Наук.думка, 1991, 232 с.

3. Л. П. Нижник, М. Д. Починайко, В. Г. Тарасов, Обратная задача рассеяния для системыДирака в характеристических переменных, Спектральная теория операторов в задачах мате-матической физики. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1983. 72–93.

4. М. Д. Починайко, Ю. М. Сидоренко, Побудова операторiв розсiяння методом бiнарнихперетворень Дарбу, Укр. мат. журн. 58:8 (2006), 1097–1115.

5. Ю.М. Сидоренко, Бiнарнi перетворення i (2+1)-вимiрнi iнтегровнi системи, Укр. мат.журн. 54:11 (2002), 1531–1550.

6. Ю. М. Сидоренко, О. I. Чвартацький, Бiнарнi перетворення просторово-двовимiрних iнтег-родиференцiальних операторiв i рiвнянь Лакса, Вiсн. Київ. нацiон. ун-ту iм. Т. Шевченка.Математика. Механiка. 22 (2009), 32–35.


Деякi властивостi однiєї крайової задачi дляоператора Штурма-Лiувiлля

М. М. Федик, О. П. Гнатюк

Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана ФранкаУнiверситетська 1, Львiв, 79000, Україна, [email protected],

[email protected]

Дослiджено залежнiсть власних значень операторiв A(α, β) : L2[0, 1]→ L2[0, 1]

A(α, β)x := −x′′ + q(t)x, q(t) ∈ C[0, 1]

D(A(α, β)) = x ∈ L2(0, 1) : x′′ ∈ L2(0, 1),

x(0) = αx(1), x′(0) = βx′(1) α, β ∈ R.вiд параметрiв крайових умов α та β для неперервного на [0, 1] потенцiала q.

Показано, що для випадку сталого потенцiала q власнi значення операторiвA(α, β)є однаковими для тих пар (α, β), що знаходяться на деяких гiперболах в площинi(α, β). Всi цi гiперболи проходять через точки (1,−1) та (−1, 1). При цьому, якщоq ∈ R i (1−α2)(1− β2) < 0, то спектри всiх операторiв A(α, β) лежать на дiйснiй осi.

Об’єднання всiх спектрiв операторiв A(α, β) (при α+β 6= 0) утворюють множину,що складається з променя, який виходить з точки q, паралельно додатному напрямкудiйсної осi, i деякої сiм’ї парабол, вершини яких лежать на цьому променi.

Якщо q(t) є неперервною функцiєю, то дiйсне власне значення λ деякого оператораA(α0, β0) є власним значенням операторiв A(α, β) для тих пар (α, β), що знаходятьсяна деякiй гiперболi в площинi (α, β).

Показано, що спектри операторiв (A(α, β)) та (A(α, β))∗ для дiйсного потенцiалаq(t) спiвпадають. Крiм того, якщо q = const, спектри операторiв (A(α, β))∗ такожоднаковi на згаданих вище гiперболах.

Про алгебраїчну незалежнiсть повних елiптичнихiнтегралiв першого роду

Ярослав Холявка

Львiвський нацiональний унiверситет iм. I. Франка, Львiв, Україна, [email protected]

Нехай K(κ) – повний елiптичний iнтеграл першого роду [1], κ ∈ (0, 1),

K(κ) =

∫ 1

0

dx√(1− x2)(1− κ2x2)

.

Теорема. Якщо κ1 i κ2 лiнiйно незалежнi над Q, то K(κ1) та K(κ2) алгебраїчнонезалежнi.

Цей результат подiбний до теорем про алгебраїчну незалежнiсть елiптичних функ-цiй Вейєрштрасса [2], [3].


1. D. F. Lawden, Elliptic functions and applications, Springer, 1989.

2. N. I. Fel’dman, Yu. V. Nesterenko, Transcendental Numbers, Springer, 1998.

3. Н. И. Фельдман, Седьмая проблема Гильберта. М., 1982. 311 с.

Про формулу слiду для несамоспряженої моделiФрiдрiхсаЄ. В. Черемних

Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”, Львiв, Україна,[email protected]

У просторi H = L2ρ(0,∞) розглядається збурення оператора множення на неза-

лежну змiнну T = S + V , де Sϕ(τ) ≡ τϕ(τ), τ ∈ (0,∞). Збурення має виглядV = A∗B, A, B : H → G, G− деякий допомiжний гiльбертiв простiр i

Aϕ =

∞∫0

ϕ(s)α(s)ρ(s)ds, Bϕ =

∞∫0

ϕ(s)β(s)ρ(s)ds,

де α(s), β(s) ∈ G, s > 0.Припускається, що функцiї ρ(s), α(s), β(s) достатньо диференцiйовнi i

1)∞∫0

dsρ(s)·(1+s)

<∞;

2) α(s), β(s), ρ(s), s ∈ (0,∞) має n неперервних похiдних для деякого n ≥ 1;

3) α′(s), β′(s),(

1

ρ(s)

)′= o(1), α(s), β(s) = o

(1

lnζ

), s→∞;

4) 4) sup[0,∞)

ρ(s) ‖α(s)‖ <∞, sup[0,∞)

ρ(s) ‖β(s)‖ <∞;

5) оператори A, B : L2ρ(0,∞)→ G обмеженi i R(A), R(B) = G.

Для оператора T подано аналог формули слiду, добре вiдомої для випадку само-спряженого оператора.

1. В. С. Буслаев, Спектральные тождества и формула следа в модели Фридрихса, Проб. мат.физ. 4 (1970), 48–60.

Index

Ахрамович, М. В., 62Анiкушин, A. B., 60Антонова, Т. М., 61Бабаева, Севиндж Ф., 63Бер, А. Ф., 64Боднар, Д. I., 61Черемних, Є. В., 93Чвартацький, О. I., 90Дубей, М. В., 71Федик, М. М., 92Фiлiмонов, А. М., 74Фотiй, О. Г., 85Гладун, В. Р., 61Глушко, Г. А., 66Гнатюк, О. П., 92Гоєнко, Н. П., 61Горбачук, М. Л., 68Горбачук, В. I., 68Горбачук, В. М., 68Губреєв, Г. М., 69Гуран, Iгор, 70Холявка, Ярослав, 92Єршова, Ю. Ю., 71Iвасик, Г. В., 72Карабин, О. О., 73Кирилич, В. М., 74Кишакевич, Ю. Л., 75Кудрик, Т. С., 76Мартинюк, О. М., 78Маслюченко, О. В., 79Маслюченко, В. К., 66Мирзоев, С. С., 80Митрофанов, М. А., 81Муратов, М. А., 62, 83Нестеренко, В. В., 84, 85Пашкова, Ю. С., 83Приймак, М. В., 86Пронська, Н., 88Ревенко, А. А., 89

Ревенко, А. В., 89Рубштейн, Б. А., 83Сафаров, Р. Ф., 80Самойленко, Ю. С., 71Сидоренко, Ю. М., 90Василишин, Т. В., 64Велиев, С. Г., 65

Ahmadov, H. I., 6Ait-Yania, R., 58Akhmedov, Ali M., 6Akhundov, H. S., 7Aliev, A. A., 55Aliev, A. R., 8Aliyev, J. M., 9Aliyeva, A. J., 9Amirshadyan, A. A., 10Arlinskiı, Yury, 11Atamanyuk, O. B., 12

Banakh, T. O., 12Banakh, Taras, 13Benzekri, T., 15Berezhnoi, E. I., 15Bokalo, B. M., 12Bosenko, T. V., 17Bozhok, R., 18Bruk, V. M., 18

Chernega, I., 19Chuchman, Ivan, 20Cojuhari, P. A., 21

Didenko, V. D., 22Dilnyi, V., 22Dmytryshyn, M. I., 23

Efendiev, R. F., 24El-Shabrawy, Saad R., 6

Gok, Omer , 25Gorka, Przemys law, 27

94

INDEX 95

Goloshchapova, N., 25Golovaty, Yu., 26Gulieva, F. A., 46Gutik, Oleg, 20, 28

Hentosh, O. Ye., 29Hernane, D., 58Hernane-Boukari, D., 30Hryniv, R., 31Hubal’, O., 31Huseynova, N. Sh., 6

Iskenderov, Nizameddin Sh., 32Ismailov, Mansur I., 32

Kachanovsky, N. A., 33Kachurivs’ka, Hanna, 34Karchevska, L. I., 35Kiselev, Alexander V., 36Klymenko, M. V., 37Kolos, N. M., 12Koshmanenko, V., 18Kovalev, Yu. G., 38

Lopushansky, Andriy, 39Lopushansky, O., 39, 40Lopushansky, O. V., 57Lozynska, V. Ya., 41Lyaskovska, N., 42

Man’ko, S. S., 42Melnik, Roderick, 43Mikhailets, V. A., 44, 45Mirzoev, S. S., 46Mohamed, A. S., 8Molyboga, V. M., 44Mozhyrovska, Z. H., 47Murach, A. A., 45Mykytyuk, Ya., 48

Naboko, Serguei N., 36Nykyforchyn, O. R., 49

Oleksienko, M. V., 40Osipchuk, T. M., 59Ostrovska, O., 49

Patsiuk, O. M., 50Pavlyk, Kateryna, 28Potyatynyk, Oles, 13

Proskurin, D., 49Puyda, D. V., 51Pyrch, N. M., 52

Radul, Taras, 35, 53Reiter, Andriy, 28Repovs, Dusan, 54Rustamova, L. A., 55

Sharyn, S. V., 56Sidorik, Anna, 56Solomko, A. V., 57Storozh, Oleh, 34Sytnyk, Dmytro, 43

Teniou, D., 58Titri-Bouadjenak, C., 58Tkachuk, M. V., 59

Vekilov, M. M., 6

Zagorodnyuk, A., 19Zagrebnov, Valentin, 11Zarichnyi, Ihor, 13Zelinskii, Yu. B., 59

lyantse conf

Documents