neprekidnostgradst.unist.hr/portals/9/docs/katedre/matematika/psgg ma... · 2017-05-30 · 0 (tzv....
TRANSCRIPT
Neprekidnost
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija.
Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija,
te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X .
Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0
ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena.
Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene.
Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Neka je f : X → R funkcija, te x0 ∈ X . Kazemo da je fneprekidna u x0 ako vrijedi
limx→x0
f (x) = f (x0).
U suprotnom kazemo da f ima prekid u x0 ∈ X .
Napomena. Funkcija moze imati prekid samo u tockama domene. Trebarazlikovati prekid domene od prekida funkcije.
D(f ) = 〈−∞,+∞〉 D(f ) = 〈−∞, x0〉 ∪ 〈x0,+∞〉
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 3 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Kazemo da funkcija f ima:
uklonjivi prekid u x0 ako vrijedi
limx→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = L 6= f (x0).
prekid prve vrste u x0 (tzv. "skok") ako su jednostrani limesi u tockix0 konacni, ali me�usobno razliciti.
prekid druge vrste u tocki x0 ako su jedan (ili oba) jednostrana limesau tocki x0 beskonacni ili ne postoje.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 4 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak.
Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2,
b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2,
c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki?
Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje.
a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a)
Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b)
Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c)
Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Skiciraj graf neke funkcije za koju vrijedi:
a)
f (1) = 2limx→1−
f (x) = −∞
limx→1+
f (x) = 2, b)
f (3) = 3limx→3−
f (x) = 1
limx→3+
f (x) = 2, c)
f (2) = 3limx→2−
f (x) = 1
limx→2+
f (x) = 1.
Je li funkcija neprekidna u istaknutoj tocki? Ako funkcija ima prekid, kojeje prekid vrste?
Rješenje. a) Funkcija ima prekid druge vrste u x = 1.
b) Funkcija ima prekid prve vrste (tzv. skok) u x = 3.
c) Funkcija ima uklonjivi prekid u x = 2.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 5 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija.
Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna
ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
Neprekidnost funkcije
Definicija. Kazemo da je funkcija f : X → R neprekidna ako jeneprekidna u svakoj tocki domene X .
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 6 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;
2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,
2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Kod razmatranja neprekidnosti elementarnih funkcija, mozemo:
1 neprekidnost funkcije utvr�ivati po definiciji;2 neprekidnost funkcije utvr�ivati koristeci strukturu klase elementarnihfunkcija:
1 utvrdimo neprekidnost svih osnovnih elementarnih funkcija,2 utvrdimo da svih 5 racunskih operacija cuvaju neprekidnost,
iz cega mozemo zakljuciti da su sve elementarne funkcije neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 7 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem.
Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem.
Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0.
Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem.
Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0,
a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0),
onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem.
Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Za osnovne elementarne funkcije vrijedi:
Teorem. Sve osnovne elementarne funkcije su neprekidne.
Za racunske operacije vrijedi:
Teorem. Neka su funkcije f i g neprekidne u x0. Tada su u x0 neprekidnei funkcije f + g , f − g , f · g i fg (uz uvjet g(x0) 6= 0).
Teorem. Ako je funkcija f neprekidna u x0, a funkcija g neprekidna uy0 = f (x0), onda je kompozicija g ◦ f neprekidna u x0.
Zakljucujemo:
Teorem. Sve elementarne funkcije su neprekidne.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 8 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak.
Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 ,
b) f (x) ={x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje.
a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =
11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11=
1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) =
limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 =
[1
1− 0+ 1 =1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] =
−∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) =
limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x=
[11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] =
1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. a) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 1.
f (1) =11= 1
limx→1−
f (x) = limx→1−
1x − 1 = [
11− 0+ 1 =
1−0 ] = −∞
limx→1+
f (x) = limx→1+
1x= [
11] = 1
Funkcija u x0 = 1 ima prekid druge vrste.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 9 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) =
22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 =
3
limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3
limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) =
limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) =
[4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] =
3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) =
limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) =
[3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] =
1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. b) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = 2.
f (2) = 22 − 1 = 3limx→2−
f (x) = limx→2−
(x2 − 1) = [4− 1] = 3
limx→2+
f (x) = limx→2+
(3− x) = [3− 2] = 1
Funkcija u x0 = 2 ima prekid prve vrste (tzv. skok).
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 10 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c)
Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) =
2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) =
21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 =
2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) =
limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x =
[2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] =
2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) =
limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) =
[3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] =
2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Zadatak. Ispitaj neprekidnost funkcija:
a) f (x) =
{ 1x−1 za x < 11x za x ≥ 1 , b) f (x) =
{x2 − 1 za x ≤ 23− x za x > 2
,
c) f (x) =
{2−x za x ≤ −13− x2 za x > −1 .
Rješenje. c) Funkcija moze imati prekid jedino u x0 = −1.
f (−1) = 2−(−1) = 21 = 2
limx→−1−
f (x) = limx→−1−
2−x = [2−(−1)] = 2
limx→−1+
f (x) = limx→−1+
(3− x2) = [3− (−1)2] = 2
Funkcija je neprekidna u x0 = −1.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 11 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti).
Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna
nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] .
Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost.
Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena.
Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna,
2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren,
su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni
jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Napomena. Zahtjevi da: 1) funkcija bude neprekidna, 2) interval budezatvoren, su jako vazni jer bez njih tvrdnja Teorema opcenito ne vrijedi.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 12 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica:
ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi
da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka,
onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem (o ekstremnoj vrijednosti). Neka je f neprekidna nazatvorenom intervalu [a, b] . Tada f postize maksimalnu i minimalnuvrijednost. Štoviše, f postize sve vrijednosti izme�u minimuma imaksimuma.
Posljedica: ako za neprekidnu funkciju f vrijedi da su f (a) i f (b) brojevisuprotnog predznaka, onda postoji x ∈ [a, b] takav da je f (x) = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 13 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem.
Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0,
onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14
Neprekidnost funkcije
Teorem. Ako jelimx→x0
f (x) = y0
i ako je funkcija g neprekidna u tocki y0, onda vrijedi
limx→x0
g (f (x)) = g(limx→x0
f (x))= g(y0).
Kazemo da limes i neprekidna funkcija g komutiraju.
Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 14 / 14