ma slides lecture 8

5/14/2018 Ma Slides Lecture 8 - slidepdf.com

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Corso di Motori Aeronautici

Mauro Valorani

Laurea Magistrale in Ingegneria Aeronautica (MAER)Sapienza, Universita di Roma

Anno Accademico 2011-12

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Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale Compressori e Turbine As

Sett. 8: Turbomacchine (II)1 Rendimenti Turbomacchine

Classificazione Rendimento TurbineLavoro Turbine total-total e total-staticRendimento adiabatico total to total e total to static di turbine

Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbineConfronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbineRelazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbineDivergenza isobareRendimento di una turbina pluristadioRendimento di una macchina a infiniti stadiRelazione tra Rendimento politropico e Indice della politropicaFattore di recupero politropico

2 Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionaleTurbomacchine termiche

Parametri di prestazione adimensionaliEspressioni equivalenti dei parametri adimensionaliParametri adimensionali per macchine a flusso compressibileCurve caratteristiche per compressori e turbineCondizione di massimo rendimentoNumero di giri e diametro specificiClassificazione macchine tramite numero di giri e diametro specificiApplicazioni dell’analisi dimensionale

3 Compressori e Turbine AssialiTipologie di triangoli di velocitaCompressore assiale

Turbina assialeCifre adimensionaliTriangoli di velocita di compressore assialeTriangoli di velocita di turbina assialeRelazioni cinematicheLavoro di stadioLavoro di stadio adimensionaleSchiere di pale per compressori e turbineRendimento di stadioRapporto delle pressioniGrado di ReazioneGrado di Reazione e Angoli dei PalettaggiGrado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori AssialiGrado di Reazione e An oli dei Paletta i di Turbine Assiali

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Lez. 16: Rendimenti delle Turbomacchine

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Rendimenti Turbomacchine

Figure: Schematizzazione del flusso

energetico in un compressore. Figure: Schematizzazione del flussoenergetico in una turbina.

R di ti T b hi A li i d ll t i i l’ ili d ll’ li i di i l C i T bi A

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Classificazione Rendimento Turbine

Classificazione Rendimento Turbine

Rendimento adiabatico (o isentropico) dimacchina:

Rendimento total-to-total;

Rendimento total-to-static;

Rendimento pluri-stadio

Numero finito di stadi;

Numero infinito di stadi:rendimento politropico. Figure: Evoluzione del flusso in turbina

riportata nel piano entalpico.

R di ti T b hi A li i d ll t i i l’ ili d ll’ li i di i l C i T bi A

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Lavoro Turbine total-total e total-static

Lavoro Turbine total-total e total-static

Espansione adiabatica ideale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore:

∆sStator = ∆sRotor = 0 ⇒ E v ≡ 0

Se l’energia cinetica del flusso in uscita e utile allora il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to total e vale:

W idttm

= −∆ [h0]idtt = h01 − h03s (s1, p03s) (19)

Se l’energia cinetica residua non e utile si definisce il lavoro utile ideale estraibiledalla turbina e detto total to static e vale:

W id

tsm = −∆ [h0]idts = h01 − h3s (s1, p3) (20)

Entrambe le forme sono funzione delle sole condizioni a monte e del rapporto di

espansione della turbina .


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Rendimenti Turbomacchine Analisi delle prestazioni con l ausilio dell analisi dimensionale Compressori e Turbine As

Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine

Rendimento adiabatico total to total e total to static di turbine

Espansione adiabatica reale Q = 0 attraverso uno statore ed un rotore.

Perdite non nulle: vanno sottratte al lavoro ideale per avere il valore reale estratto.

W re

m= −∆ [h0]re = −∆ [h0]idtt −

Ev

m+

Erec

m= h01 − h03s (s1, p03s) −

Ev

m+

Erec

m

W re

m= −∆ [h0]

re= −∆ [h0]

idts−

V 23

2−

Ev

m+

Erec

m= h01−h3s (s1, p3s)−

Ev

m−

Erec

m+

V 23

2

Introduciamo quindi il rendimento adiabatico total to total:

ηtt =W re

W idtt=

h01 − h03

h01 − h03s

= 1 −Ev − Erec

m (h01 − h03s)

e il rendimento adiabatico total to static:

ηts =W re

W idts=

h01 − h03

h01 − h3s

= 1−

Ev − Erec + mV 23 /2

m (h01 − h3s)

Il lavoro estratto sara :

W re =

ηtt

h03s, Ev, Erec

W idtt (h03s)

ηts

h3s, Ev , Erec,

V 232

W idts (h3s)


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Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine

Rendimento, rapporto di espansione, e lavoro estratto di turbine

Il rendimento adiabatico total to static e esprimibile in funzione del rapporto diespansione e il lavoro estratto:

ηts =cp (T 01 − T 03)

cp (T 01 − T 3s)=

1 −T 03

T 01

1 −T 3s

T 01

=

1 −T 03

T 01

1 −

p3

p01

γ−1γ

=W /m

cpT 01

1 −

p3

p01

γ−1γ

(21)

visto che nel caso ideale l’espansione e isentropica; per il rendimento total to total:

ηtt =

1 −T 03

T 01

1 −

p03

p01

γ−1γ

=W /m

cpT 01

1 −

p03

p01

γ−1γ

(22)

e il lavoro per unita di massa puo essere quindi espresso come:

W

m= ηtscpT 01

1 −

p3

p01

γ−1γ

(23)

oppure

W

m= ηttcpT 01

1 −

p03

p01

γ−1γ

(24)


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Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine

Confronto rendimento total-to-total/total-to-static di turbine

Se le diff erenze tra le energie cinetiche residue nel caso ideale e reale sono piccole:

V 23

2 V 23s

2

allora sussiste una semplice relazione tra i due rendimenti:

ηtt =ηts

1 − V 23

[2cp (T 01 − T 3s)]

(25)

e risulta subito:

ηtt > ηts


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p p

Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine

Relazione tra il salto di entropia e il rendimento adiabatico di turbine

Dalla relazione:

ηts =

1

−

T 03

T 01

1 −

p3

p01

γ−1γ

e poiche lo stato (03) e (03s) hanno la stessa pressione totale

∆s

cp= ln

T 03

T 03s

−R

cpln

p03

p03s

= lnT 03

T 03s

Inoltre:T 03

T 01

=T 03

T 03s

T 03s

T 01

= e∆scp

p03

p01

γ−1γ

e quindi:

ηts =

1 −

p03

p01

γ−1γ

e∆scp

1 −

p3

p01

γ−1γ

ed analogamente:

ηtt =

1 −

p03

p01

γ−1γ

e∆scp

1 − p03

p01γ−1γ


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Divergenza isobare

Divergenza isobare

Dalla definizione di entropia e dal I principio si ha:

ds = cpdT 0

T 0−R

dp0

p0

ma per un’isobara (dp0 = 0) si ha che la pendenza aumenta all’aumentare dellatemperatura (e quindi dell’entalpia):

dT 0

ds

p0 =cost.

=T 0

cp


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Rendimento di una turbina pluristadio

Rendimento di una turbina pluristadioFattore di recupero

Consideriamo una macchina a tre stadi; ogni stadio ha lostesso rendimento adiabatico ηst definito come:

ηst =h01 − h02

h01 − h02s

=h02 − h03

h02 − h03ss

=h03 − h04

h03 − h04sss

mentre il rendimento totale sara definito come:

ηT =h01 − h04

h01 − h04s

= ηst(h01 − h02s) + (h02 − h03ss) + (h03 − h04sss)

h01 − h04sEsplicitando le perdite entalpiche si ottiene:

h02 = h02s + ∆h

2 ; h03 = h03ss + ∆h

3 ; h04sss = h04s + ∆h

4 + ∆h

4

e sostituendo:

ηT

= ηst

h01 − h02s +

h02s + ∆h2 − h03ss

+

h03ss + ∆h3 −

h04s + ∆h4 + ∆h4

h01 − h04s

ossia:

ηT

= ηst

1 +

∆h

2 + ∆h

3 −∆h

4 + ∆h

4

h01 − h04s

con ηT > ηst vista la divergenza delle isobare.


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Rendimento di una macchina a infiniti stadi

Rendimento di una macchina a infiniti stadiRendimento politropico

Per una turbina formata da infiniti stadi, attraverso ognunodei quali si verifica un salto di pressione infinitesimo, sidefinisce rendimento politropico:

ηp :=dh0

dhid0

Dall’espressione dell’entropia si ha:

T ds = dh0 −1

ρ0

dp0

Nel caso isoentropico ds = 0 e quindi:

dhid0 =1

ρ0

dp0

per cui il rendimento politropico diventa:

ηp =ρ0cpdT 0

dp0

=p0

T 0

γ

γ − 1

dT 0

dp0

Considerando ηp = cost tra due stati (01) e (02) e integrando per separazione dellevariabili si ha:

T 02

T 01

= p02

p01γ−1γ

ηp


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Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica

Relazione tra Rendimento politropico e Indice della politropica

Per una trasformazione politropica di indice n rappresentata dall’espressione

p0 · ρ−n0 = cost.

Diff erenziando si ha:dp0

p0− n

dρ0

ρ0= 0 (26)

Diff erenziando l’equazione di stato per un gas ideale e sostituendo la precedente siottiene:

dT 0

T 0=

dp0

p0− dρ0

ρ0=

n− 1

n

dp0

p0(27)

Integrando la precedente e confrontando con il risultato scritto in funzione di ηp siha

T 02

T 01 = p02

p01

n−1n

= p02

p01γ−1γ

ηp

(28)

da cui si ricava la relazione fra ηp e indice della politropica n:

ηp =γ

γ − 1

n− 1

n(29)


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Fattore di recupero politropico


Il rendimento della turbina si puo esprimere in funzione del rendimento politropicoe del rapporto di espansione:

ηt

ηp,

p02

p01

=

h01 − h02

h01 − h02s=

1−T 02

T 01

1 − T 02s

T 01

=1− p02

p01

γ−1γ

ηp

1−

p02

p01

γ−1γ

Si dimostra che il rapporto (fattore di recupero) F R := ηt

ηp, p02

p01

/ηp, e sempre

maggiore di uno a causa della divergenza delle isobare


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Lez. 17: Analisi Dimensionale per le Turbomacchine


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Analisi delle prestazioni con l’ausilio dell’analisi dimensionale

L’analisi e il confronto tra le turbomacchine e reso piu agevole dall’analisidimensionale: con l’ausilio del Teorema Π di Buckingham possiamo ridurre il

numero dei parametri che caratterizzano il sistema in esame. Possiamo distinguere:

parametri di funzionamento

velocita angolare ω (o numero di giri N );portata massica m (o volumetrica Q );coppia applicata M a;variazione caratteristiche fluidodinamiche del fluido (pressione p, temperatura

T , volume specifico v);parametri di prestazione

variazione di entalpia totale ∆ [h0];rendimento η;potenza trasmessa o ricevuta dall’asse W ;

proprieta del fluido

densita del flusso entrante ρ ;viscosita dinamica µ;peso molecolareM;calore specifico cp;

geometria del sistema

dimensione caratteristica della turbomacchina D (tipicamente un diametro);altre lunghezze caratteristiche, i (sezioni di ingresso/uscita, giochi, ecc. . . )


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Turbomacchine termiche

Turbomacchine termiche

Nei flussi non isotermi si nota la presenza della temperatura tra le grandezzefondamentali; dalla sperimentazione si ottengono delle relazioni del tipo:

∆h

0

= h ( m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ , i)

η = η ( m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ , i)

W = W ( m,N,D, ρ01, µ01, a01, γ , i)

ove il pedice ()01 indica la grandezza alla condizione di ristagno nella sezione diingresso


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Parametri di prestazione adimensionali

Parametri di prestazione adimensionali

Grandezze fondamentali: densita ρ, diametro caratteristico D, numero di giri N temperatura T :

cifra di flussoϕ =

m

ρ01N D3

numero di Reynolds di macchina

ReD =ρ01N D2

µ01

numero di Mach di pala

M aD =N D

a01

cifra di pressione

ψ =∆

h0is

(N D)2

cifra di potenza

λ =W

ρ01N 3D5

Le prestazioni della macchina potranno essere quindi espresse da funzionali deltipo:

ψ = ψ (ϕ, ReD, M aD, γ ) ; η = η (ϕ, ReD, M aD, γ ) ; λ = λ (ϕ, ReD, M aD, γ )


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Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali

Espressioni equivalenti dei parametri adimensionali

Espressioni equivalenti:

cifra di flusso in funzione del numero di Mach di pala

ϕ =m

ρ01N D3=

m

ρ01a01D2

a01

N D=

m

ρ01a01D2

1

M aD=

m√

RT 01

p01D2√ γ 1

M aD

cifra di pressione in funzione del rapporto tra le pressioni:

ψ =cp (T 01 − T 02s)

(N D)2=

cpT 01

(N D)2

1−

p02

p01

γ−1γ

=γ RT 01

(γ

−1) (N D)2

1−

p02

p01

γ−1γ

=

1

(γ

−1) M a2

D

1−

p02

p01

γ−1γ

cifra di potenza in funzione del salto di temperature totali

λ =W

ρ01N 3D5=

mcp∆T 0

ρ01 (N D) (N D)2

a201

a201

=ϕ

M 2D

cp∆T 0

γ RT 01=

ϕ

(γ − 1) M 2D

∆T 0

T 01


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Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile

Parametri adimensionali per macchine a flusso compressibile

Definizioni alternative:

portata ridotta

m√ RT 01

p01D2√ γ cifra di pressione espressa come rapporto tra le pressioni:

p02

p01=

p02

p01

m√

RT 01

p01D2√ γ , ReD, M aD, γ

cifra di potenza espressa come salto di temperature totali∆T 0

T 01=∆T 0

T 01

m√

RT 01


rendimento

η = η

m√

RT 01


Con le ipotesi:

stesso fluido per tutte le macchine in esame: medesimi γ ed R;

le macchine con lo stesso diametro D;

allora si possono definire una portata e numero di giri ridotti come segue

m√

T 01

p01

N

√ T 01


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Curve caratteristiche per compressori e turbine

Curve caratteristiche per compressori e turbine

Le prestazioni delle turbomacchine in condizioni di fuori progetto (curvecaratteristiche) possono essere sintetizzate utilizzando ad esempio un piano (portata ridotta, rapporto delle pressioni totali )

Figure: Curve caratteristiche per compressori e turbine


C di i di i di

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Condizione di massimo rendimento

Condizione di massimo rendimento

Le curve caratteristiche descrivono le prestazioni in condizioni di fuoriprogetto di una macchina in termini di cifra di pressione e rendimento infunzione della cifra di flusso.

Come si puo invece caratterizzare una macchina in base ad un solo punto difunzionamento ?

Si considera la condizione di massimo rendimento a cui corrisponde la cifra diflusso ϕ∗:

∂η

∂ϕ

ϕ∗

= 0

ovveroϕ∗ = η−1 (ηmax)

e quindi si trova il valore della cifra di pressione corrispondente

ψ∗ = ψη−1 (ηmax)

= ψ (ηmax)

La coppia(ϕ∗ (ηmax) ,ψ∗ (ηmax))

caratterizza univocamente una macchina


N di i i di t ifi i

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Numero di giri e diametro specifici

Numero di giri e diametro specifici

ϕ∗ (ηmax) ,ψ∗ (ηmax) dipendono pero sia dal numero di giri che dal diametro;conviene allora definire:

numero di giri specifico

per una pompa come

N s =(ϕ∗)

12

(ψ∗)34

=N √

Q∆

p0

ρ

34

(30)

che dipende solo dal numero di giri;

per una turbina a gas invece si preferisce invece la definizione

N sp =λ

12

ψ54

= N W

12

√ ρ01 (∆ [h0])

54

(31)

diametro specifico (dipende solo dal diametro)

Ds = (ψ∗)1

4

(ϕ∗)12

= D∆

h0 1

4√ Q

ϕ∗ e ψ∗ sono funzione del disegno e delle condizioni operative della macchina(dimensioni, portata, numero di giri);

N s e Ds sono funzioni della sola architettura della turbina o pompa (assiale,

radiale o mista).


Classificazione macchine tramite numero di giri e diametro specifici

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Nel piano (N s, Ds) tutte le macchine si trovano in una ristretta fascia a pendenza

negativa . si ha inoltre che:macchine ad angolo di uscita β2 costante sono su curve a pendenza negativaall’incirca parallele tra di loro;

macchine al medesimo rendimento massimo si trovano a su curve crescentidecrescenti con i rendimenti maggiori a numeri di giri specifici maggiori;

le macchine assiali sono quelle a numero di giri specifici superiori

Il numero di giri ed il diametro specifici sono fra loro inversamente proporzionali, equindi macchine con una una piu elevata prevalenza (diametro specifico maggiore)hanno rendimenti sempre piu bassi; per ovviare a questo inconveniente si ricorrealla stadiazione.


Applicazioni dell’analisi dimensionale

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Applicazioni dell analisi dimensionale


Con l’analisi dimensionale e possibile, tra gli altri, risolvere i seguenti problemi:

dati il lavoro compiuto sul fluido (in termini di prevalenza o salto di entalpiatotale), la portata (massica o di volume) e il numero di giri e possibiledeterminare il numero di giri specifico e quindi il tipo di macchina;

dal tipo di macchina (N s), il salto entalpico e la portata si puo trovare ilnumero di giri al quale abbiamo il massimo rendimento (quindi adottabilecome condizione di progetto);

noto il diametro specifico (Ds), il salto entalpico e la portata si puodeterminare il diametro della macchina che fornisce il massimo rendimento;

dato N s e il range di valori che puo assumere il numero di giri(N ∈ [N min, N max]) si possono determinare gli estremi valori assunti dallapotenza;

si possono determinare le tipologie di macchine da costruire in serie: sisuddivide il diagramma (N s, Ds) in zone a ciascuna delle quali verraassegnata una condizione di riferimento da cui costruire la macchina;

la classificazione delle turbomacchine;

la prova su diverse scale.



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Applicazioni dell analisi dimensionale

Lez. 18: Compressore Vs Turbina


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Compressori e Turbine AssialiFlusso nel piano meridiano e inter-palare


Tipologie di triangoli di velocita

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Tipologie di triangoli di velocita

Figure: Triangoli di ingresso ed uscitacon base condivisa Figure: Triangolo di ingresso ed uscita con

vertice condiviso


Compressore assiale

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Piano TS e triangoli di velocita di un compressore assiale

Figure: Piano (T,s) e sezione su pianomeridiano

Figure: Sezione su piano inter-palare


Turbina assiale

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Piano TS e triangoli di velocita di una turbina assiale

Figure: Sezione su piano meridiano e pianointer-palare

Figure: Piano (T,s) e triangoli divelocita


Cifre adimensionali

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Cifre adimensionali

Cifra di flusso

ϕ :=

C a

U

Cifra di pressione

ψ :=|cp∆[T 0]st|

U 2=

|W st|

U 2


Triangoli di velocita di compressore assiale

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Triangoli di velocita di compressore assiale


Triangoli di velocita di turbina assiale

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Triangoli di velocita di turbina assiale


Relazioni cinematiche

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Relazioni cinematiche

In un triangolo di velocita di compressore assiale valgono le seguenti relazionicinematiche

1

ϕ1= tanα1 + tanβ1

1

ϕ2= tanβ2 + tanα2

dalle quali si possono ricavare α1 and α2, per un assegnato valore di ϕ e degliangoli metallo β1 and β2

In un triangolo di velocita di turbina assiale valgono le seguenti relazionicinematiche

1

ϕ2

= tanα2

−tanβ2

1

ϕ3= tanβ3 − tanα3

dalle quali si possono ricavare α2 and α3, per un assegnato valore di ϕ e degliangoli metallo β2 and β3


Lavoro di stadio

L di di

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Lavoro di stadio

Il Lavoro di stadio di un compressore si ottienedall’Equazione di Eulero:

−W st,comp = cp∆ [T 0]st = ∆ [UCu] +E

m

con ∆ [T 0]st = T 03 − T 01 = T 02 − T 01 > 0

In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:

−W st = ∆ [UCu] = U 2Ca,2 tanα2−Ca,1U 1 tanα1

In un triangolo di velocita, valgono le seguentirelazioni

1

ϕ1

= tanα1 +tan β11

ϕ2

= tanβ2 + tanα2

Se U 1 = U 2 e Ca,1 = Ca,2 (ϕ1 = ϕ2), allora:

tanα2 − tanα1= tanβ1 − tanβ2

e quindi:

−W st = cp∆ [T 0]st = UCa (tanβ1 − tanβ2) > 0

ovvero, la deviazione del flusso relativodiminuisce attraverso il rotore: β1 > β2 > 0

Il Lavoro di stadio di una turbina si ottienedall’Equazione di Eulero:

−W st,turb = cp∆ [T 0]st = ∆ [UCu] +E

m

con ∆ [T 0]st = T 03 − T 01 = T 03 − T 02 < 0

In assenza di perdite (Ev = 0) si ha:

W st = − U ∆

C ·

U

U

=

C2 · U 2 − C3 ·

U 3= U 2Ca,2 tanα2 − (−U 3Ca,3 tanα3)

= U 2Ca,2 tanα2 + U 3Ca,3 tanα3

Dalle relazioni

1

ϕ2

= tanα2 −tanβ21

ϕ3

= tanβ3 −tanα3

e se U 2 = U 3 e Ca,2 = Ca,3 (ϕ2 = ϕ3), allora:

tanα2 + tanα3 = tanβ3 + tanβ2

e quindi:

W st = −cp∆ [T 0]st = UCa (tanβ2 + tanβ3 ) > 0

ovvero, la deviazione del flusso relativoaumenta attraverso il rotore: β2 > 0 > β3


Lavoro di stadio adimensionale

L di t di di i l

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Lavoro di stadio adimensionale

Espressioni adimensionali del lavoro di stadio di compressore e turbina

Coefficiente di carico di stadio di compressore (stage loading)

Lavoro specifico cp∆ [T 0]st = U C a (tanβ1 − tanβ2)

Coefficiente di carico ψ = ϕ (tanβ1 − tanβ2)

Coefficiente di carico di stadio di turbina (blade loading coefficient)

Lavoro specifico W st = U C a (tanβ2 + tanβ3)

Coefficiente di carico ψ = ϕ (tanβ2 + tanβ3)


Schiere di pale per compressori e turbine

S hi di l i t bi

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Schiere di pale per compressori e turbine

Figure: Stadio di turbinaassiale

la deviazione del flussorelativo aumenta(inverte direzione !)attraverso il rotoreturbina:

β2 > 0 > β3

la deviazione del flusso

relativo diminuisce(stessa direzione !)attraverso il rotorecompressore:

β1 > β2 > 0

Figure: Stadio dicompressore assiale


Rendimento di stadio

R di t di st di

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Rendimento di stadio

Il Rendimento di stadioadiabatico di un compressore si

scrive:

ηst :=h03,ss − h01

h03 − h01

=T 03,ss − T 01

T 03 − T 01

da cui

T 03,ss

T 01

= 1 + ηst∆ [T 0 ]

T 01

con ∆ [T 0

] = T 03− T

01Dalla definizione di rapporto dicompressione di stadio si ha

Πst :=p03

p01

=

T 03,ss

T 01

γγ−1

=

1 + ηst

∆ [T 0]

T 01

γγ−1

e per la ∆[T 0]T 01

= ∆[UCu]cpT 01

, si ha

Πst =

1 + ηst

∆ [UCu]

cpT 01

γγ−1

Dalle definizioni di rendimenti di stadio adiabatico total-totale total-static

ηts :=h01 − h03

h01 − h3,ss

=T 01 − T 03

T 01 − T 3,ss=

1 −T 03T 01

1 −p3p01

γ−1γ

ηtt :=h01 − h03

h01 − h03,ss

=T 01 − T 03

T 01 − T 03,ss

=1 −

T 03T 01

1 − p03p01

γ−1γ

da cui

T 03,ss

T 01

= 1 −−∆ [T 0 ]st

ηttT 01

T 3,ss

T 01

= 1 −−∆ [T 0]st

ηtsT 01

I rapporti di espansione tt e ts in funzione ηtt e ηtssono

Πtt :=p01

p03

=

T 03,ss

T 01

−

γγ−1

=

1 −

−∆ [T 0]st

ηttT 01

− γγ−1

Πts :=p01

p3

=

T 3,ss

T 01

− γγ−1

=

1 −

−∆ [T 0]st

ηtsT 01

− γγ−1

ovvero

Πtt/ts =

1 −

−∆ [UCu]

ηtt/tscpT 01

−

γγ−1


Rapporto delle pressioni


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In un triangolo di velocita di compressoresi ha:

∆ [Cu] = Wu,1 − Wu,2 = Ca (tanβ1 − tanβ2 )

= Cu,2 − Cu,1 = Ca (tanα2 − tanα1)

Per una macchina assiale quindi

∆ [UCu] = UCa (tanβ1 − tanβ2)

= UCa (tanα2 − tanα1)

e quindi il rapporto di compressionediviene

Πst =

1 + ηst

UCa

cpT 01

(tanβ1 − tanβ2)

γγ−1

Dalla relazione

cp∆

[T 0]st =˙W st = UCa (tanβ1

−

tanβ2 )si ha che

W st = cp∆ [T 0 ]st =cpT 01

ηst

1 −Π

γ−1γ

st

In un triangolo di velocita di turbina si ha:

−∆ [Cu] = Wu,3 − (−Wu,2 ) = Ca (tanβ3 + tanβ2)

= Cu,2 − (−Cu,3 ) = Ca (tanα2 + tanα3)

Per una macchina assiale quindi

−∆ [UCu] = UCa (tanβ3 + tanβ2 )

= UCa (tanα2 + tanα3)

e quindi il rapporto di espansione diviene

Πtt/ts =

1 −

UCa

ηtt/tscpT 01

(tanβ2 + tanβ3)

−

γγ−1

Dalla relazione

cp∆ [T 0]st = W st = UCa (tan β2 + tanβ3 )

si ha che

cp∆ [T 0 ]st = W tt/ts = ηtt/tscpT 01

1 −Π

−γ−1γ

tt/ts

NB: i rendimenti non sono costanti ma diminuiscono all’aumentare della deflessione del flussoimposta dalla pala !


Grado di Reazione

Grado di Reazione

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Grado di Reazione

Λ :=∆T

rot∆T st

C1 = C3 ⇒ ∆T st = ∆T 0,st =U∆[Cu]

Cp

∆I0,rot = 0 = h1 +W 21

2−

U21

2= h2 +

W 22

2−

U22

2

Se U1 = U2 ⇒ h1 +W 21

2

= h2 +W 22

2

∆T rot := T 2 − T 1 =W 21 −W 22

2Cp

con W 2

= C2a + (U − Cu)

2

∆T rot =1

2Cp

−∆[C

2a] −∆[C

2u] + 2U∆[Cu]

Λ =∆T

rot∆T st

=−∆[C2

a

] −∆[C2

u

] + 2U∆[Cu]2U∆[Cu]

Λ = 1 +∆[C2

a]

2U∆[Cu]−

Cu,1 + Cu,2

2U

Infine se: Ca,1 = Ca,2 ⇒ Λ = 1 −Cu,1 + Cu,2

2U

Λ :=∆T

rot∆T st

C1 = C3 ⇒ ∆T st = ∆T 0,st = −

U∆[Cu]

Cp

∆I0,rot = 0 = h2 +W 22

2−

U22

2= h3 +

W 23

2−

U23

2

Se U2 = U3 ⇒ h2 +W 22

2

= h3 +W 23

2

∆T rot := T 2 − T 3 =W 23 −W 22

2Cp

con W 2

= C2a + (U − Cu)

2

∆T rot =1

2Cp

−∆[C

2a] −∆[C

2u] + 2U∆[Cu]

Λ =∆T

rot∆T st

=−∆[C2

a

] −∆[C2

u

] + 2U∆[Cu]2U∆[Cu]

Λ = 1 +∆[C2

a]

2U∆[Cu]−

Cu,2 + Cu,3

2U

Infine se: Ca,2 = Ca,3 ⇒ Λ = 1 −Cu,2 + Cu,3

2U


Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi


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Per uno stadio di compressore ripetuto e convelocita assiale costante, il grado di reazionepuo essere scritto come

Λ = 1 −Cu,1 + Cu,2

2U

e sostituendo le relazioni valide per i triangolidi velocita si hanno le seguenti espressioniequivalenti

Λ = Ca2U

(tanβ1 + tanβ2)

Λ =1

2−

Ca

2U(tanα1 − tan β2)

Λ = 1 −Ca

2U(tanα1 + tanα2)

da cui

Λ = 0 ⇒ 0 =Ca

2U(tanβ1 + tanβ2) ⇒ β1 = −β2

Λ =1

2⇒

1

2=

1

2−

Ca

2U(tanα1 − tanβ2) ⇒ α1 = β2

Λ = 1 ⇒ 1 = 1 −Ca

2U(tanα1 + tanα2) ⇒ α1 = −α2

Per uno stadio di Turbina ripetuto e con velocita assialecostante, il grado di reazione puo essere scritto come

Λ = 1 −Cu,2 + (−Cu,3)

2U= 1 −

Cu,2 − Cu,3

2U

e sostituendo le relazioni valide per i triangoli divelocita si hanno le seguenti espressioni equivalenti

Λ =Ca

2U(tanβ3 − tanβ2 ) =

ϕ

2(tanβ3 − tanβ2 )

Λ =1

2−

Ca

2U(tanα2 − tanβ3 ) =

1

2−

ϕ

2(tanα2 − tanβ3 )

Λ = 1 −Ca

2U(tanα2 + tanα3) = 1 −

ϕ

2(tanα2 + tan α3 )

da cui

Λ= 0

⇒

0 =

ϕ

2 (tanβ3−

tanβ2)⇒

β3 =−

β2

Λ =1

2⇒

1

2=

1

2−

ϕ

2(tanα2 − tanβ3 ) ⇒ α2 = β3

Λ = 1 ⇒ 1 = 1 −ϕ

2(tanα2 + tan α3 ) ⇒ α2 = −α3


Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Compressori Assiali


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Grado di Reazione e Angoli dei Palettaggi di Turbine Assiali


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Disegno di stadio di compressore


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Per uno stadio di compressore ripetuto e con velocita assiale costante, valgonocontemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:

ψ=ϕ (tanβ1 − tanβ2)

Λ=ϕ

2(tanβ1 + tanβ2) =

1

2− ϕ

2(tanα1 − tanβ2) = 1− ϕ

2(tanα1 + tanα2)

Risolvendo rispetto agli angoli β1 e β2 si puo costruire uno stadio di compressoreche sviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato Λ .


Disegno di stadio di turbina


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Per uno stadio di turbina ripetuto e con velocita assiale costante, valgono

contemporaneamente due condizioni che legano lavoro e grado di reazione agliangoli dei palettaggi:

ψ = ϕ (tanα3 + tanα2) = ϕ (tanβ3 + tan β2)

Λ =ϕ

2(tanβ3 − tanβ2) =

1

2− ϕ

2(tanα2 − tanβ3) = 1− ϕ

2(tanα2 + tanα3)

Risolvendo rispetto agli angoli β2 e β3 si puo costruire uno stadio di turbina chesviluppi un lavoro adimensionale ψ che viene ripartito tra statore e rotore inaccordo con un grado di reazione assegnato Λ:

tanβ2 =1

2ϕ

ψ − 2Λ

tanβ3 =

1

2ϕ

ψ + 2Λ

ovvero

tanα2 =1

2ϕ

ψ − 2Λ + 2

tanα3 =

1

2ϕ

ψ + 2Λ− 2


Parametri di disegno di uno stadio

Parametri di disegno di uno stadio

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g

Dall’analisi delle relazioni che esprimono:

il rapporto di compressione

Πst =

1 + ηst

UCa

cpT 01

(tanβ1 − tanβ2)

γγ−1

il rapporto di espansione

Πtt/ts =

1 −UCa

ηtt/tscpT 01(tanβ3 + tanβ2)

− γγ−1

si evince che i principali parametri di disegno per avere un elevato rapporto di pressioneattraverso lo stadio sono:

elevata velocita periferica U = ωD/2, ovvero elevata velocita di rotazione o grandiingombri

elevate velocita assiali (alte portate) che realizzano piccole sezioni frontali (bassaresistenza aerodinamica)

elevate deflezioni del fluido, che pero comportano maggiori perdite di palettaggio(compromesso)

bassa temperatura totale di ingresso (inter–refrigerazione fra stadi)


Vincoli sui parametri di disegno

Vincoli sui parametri di disegno

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p g

Vincoli parametri di disegno compressore:

sulla velocita periferica

U < U max ∼ √ σ in cui

σ =ρpalaω

2

Aradice pala

rt

rr

rA(r)dr

sulla velocita assiale C a,1 tale che:M tip ∼ 1.1 per compressoretransonico;

∼1.5 - 1,7 per fan, con

M tip definito come

M tip :=W 1,max

a=

C 2a,1 + U 2tip γRT 1,tip

=

U tip

C2a,1

U2tip

+ 1

γR

T 01 −

C2a,1

2Cp

sulla deflessione del fluido tale che nonsi verifichino separazioni di flusso:criterio de Haller e/o del Fattore dideflessione (NASA)

Vincoli parametri di disegno turbina:

Tensioni dovute alla forza centrifuga

come nei compressori

Tensioni derivanti dall’interazioneflusso/struttura

Inversamente proporzionali alnumero di palette e dipendentidalla forma dei profili palari(criterio di Zweifel)

direttamente proporzionaliall’altezza delle palette ed allavoro specifico assegnato allaschiera

Minimizzazione del peso dellamacchina: scelta del numero di stadi

Scelta di un grado di reazione vicino al

50% e minimo swirl allo scarico


Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore

Vincolo sulla deflessione del fluido nel compressore

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p

Criterio di de Haller

DH :=V 2

V 1< 0.72

Fattore di deflessione (NASA)

DF := V max − V 2

V 1≈ 1− V 2

V 1+ ∆ [UC u]

2σV 1

con σ :=c (chord)

s (pitch)

DF < 0.6 per prevenire lo stallo

DF ≈ 0.45 buona scelta di primo disegno


Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)

Scelta del numero di pale in una turbina (Zweifel)

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( )

La scelta del rapporto passo inter-palare s con la corda del profilo puo essereeff ettuato utilizazndo il criterio di Zweifel:

s basso: numero elevato di pale forniscono una capacita di guida notevole maelevate perdite per attrito;

s

alto: numero basso di pale determinano un elevato carico specifico della singolapaletta che quindi favorisce la separazione del flusso

Si “rendimento” del profilo, ψT , il rapporto tra la componente tangenziale della forzaagente sul profilo, F Y , e quella massima ideale, F idY , che si avrebbe qualora il lato in

pressione/aspirazione si trovasse alla massima ( p01)/minima ( p2) pressione possibile:

ψT :=F Y

F idY in cui

F Y =

t p d y = ρsV m

W θ2

− W θ1

F idY =

p0

1 − p2

= ρ

W 222

Al diminuire del numero di pale F Y aumenta mentre pmin diminuisce fino aseparazione; si dimostra che ψT si puo scrivere come:

ψT =

s

sin2

β2

1

tanβ2

−1

tanβ1

Per ogni valore di ψT si ricava il rapporto s/ corrispondente ad un valore di angolo dipala al bordo di attacco, β1, e di uscita, β2. Nota la corda del profilo si ottienedunque il numero di palette: z = πD/s

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ma slides lecture 8

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