MA 327 Algebra LinearPetronio Pulino

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Exerccios SelecionadosAutovalores e Autovetores de Operadores Lineares

Exerccio 1. Sejam V um espaco vetorial sobre o corpoIF , T um operador linearsobre V , 2 IF e E o subconjunto de V denido por:

E = f v 2 V = T(v) = v g :

Prove que T(E ) E .

Exerccio 2. Sejam V um espaco vetorial de dimens~aon sobre o corpo IF e T umoperador linear sobreV .

(a) Se v 2 V e um autovetor de T , quantos autovalores associados av podem existir,no maximo? Justique sua resposta.

(b) Se = 0 e um autovalor de T , podemos armar que T n~ao e um operador injetor?A recproca e verdadeira? Justique suas respostas.

(c) Se o operador linear T possui somente dois autovalores distintos 1 e 2 comdim(V 1 ) = n 1, prove que T e um operador diagonalizavel.

Exerccio 3. Seja T : IR 2 ! IR 2 o operador linear denido por

T(x; y) = (5 x 6y ; x) :

(a) Calcule os autovalores e os autovetores do operadorT .

(b) Exiba uma base para cada um dos autoespacos do operadorT .

(c) Utilizando o resultado do item (a), calcule os valores dea; b; c; d2 IR , tais que

T8(x; y) = ( ax + by ; cx+ dy) ;

onde Tn : IR 2 ! IR 2 e o operador linear denido por:

T0 = I e Tn = Tn 1 T para todo natural n 1 :

Exerccio 4. Determine explicitamente a express~ao do operador linearT sobre IR 4,diagonalizavel, satisfazendo simultaneamente as seguintes condic~oes:

(a) Ker (T) = f (x; y; z; t) 2 IR 4 = x + y z + t = 0 e z t = 0 g.

(b) T(0; 0; 1; 0) = (0 ; 0; 2; 0).

(c) (0; 1; 0; 0) 2 Im (T).

(d) = 3 e um autovalor do operador T .

Exerccio 5. Considere o operador linearT sobre P2(IR ) denido por:

T(a + bx + cx2) = (3 a + 2b + c) + ( b c)x + 2cx2 :

Determine os autovalores e os autovetores do operador linearT , exibindo uma base paracada um dos autoespacos deT . O operador T e diagonalizavel? Justique sua resposta.

Exerccio 6. Considere o operador linearT sobre IR 2 tal que

[T ] = 1 1

0 1

;

onde = f (0; 1) ; (1; 0) g e = f ( 1; 0) ; (0; 1) g s~ao bases ordenadas deIR 2.

(a) Determine T(1; 0) e T(0; 1).

(b) Determine a matriz [I ] .

(c) Determine explicitamente a express~ao do operador linearT .

(d) O operador linear T2 e diagonalizavel? Justique sua resposta.

Exerccio 7. Seja T o operador linear sobreIR 3 dado por:

T(x; y; z) = ( 3x 4y; 2x + 3y; z)

(a) Encontre os autovalores e os autovetores deT .

(b) T e um operador diagonalizavel ? Justique sua resposta.

Exerccio 8. Diga se e Falsa ou Verdadeira cada uma das armac~oes, justicando suaresposta.

(a) ConsidereV um espaco vetorial real munido do produto internoh ; i . Se T e umoperador simetrico sobre V , ent~ao autovetores associados a autovalores distintos s~aoortogonais.

(b) Seja V um espaco vetorial real munido do produto internoh ; i . Existe um operadorlinear T sobre V tal que hT(u) ; T(v) i = hu ; v i para todo u; v 2 V eT(v) = 2 v para algum v 2 V , v 6= 0V .

Exerccio 9. De um exemplo de um operador linear diagonalizavelT : P2(IR ) ! P 2(IR )satisfazendo simultaneamente as seguintes propriedades:

1. = 3 e autovalor de T ,

2. Ker (T) = [1 x],

3. T(p(x)) 6= p(x) para todo p(x) n~ao-nulo.

Exerccio 10. Considere o operador linear T : P3(IR ) ! P 3(IR ) dado por:

T(p)(x) = x2p00(x) + p0(x) + p(x) ; x 2 IR :

(a) Determine a matriz [T ] , onde e a base canonica deP3(IR ).

(b) Determine os autovalores e os autovetores do operadorT .

(c) Para cada um dos autovalores do operadorT , diga qual e o subespaco associado.

(e) O operador T e diagonalizavel ? Justique sua resposta.

Exerccio 11. Considere o operador linear T : IM 2(IR ) ! IM 2(IR ) denido daseguinte forma:

T

a bc d

=

2a + b 2b

2c 3d

:

T e um operador linear diagonalizavel ? Justique sua resposta.

Exerccio 12. Provar que se e um autovalor da matriz A com o autovetor associadov, ent~ao n e um autovalor da matriz An com o autovetor associadov.

Exerccio 13. Considere o operador linearT : IR 3 ! IR 3 dado por:

T(x; y; z) = ( y + z ; x + z ; x + y + 2z ) ;

e as seguintes bases para o espaco vetorial realIR 3

= f (1; 0; 0 ); (0; 1; 0); (0; 0; 1) g e = f (1; 0; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1) g :

(a) Determine [T ] e [T ] .

(b) Encontre os autovalores e autovetores do operador linearT .

(c) Encontre uma base para o IR 3 de modo que [T ] seja uma matriz diagonal eexiba a matriz [T ] . Justique sua resposta.

Exerccio 14. Considere o espaco vetorial real P2(IR ) e o operador linear T sobreP2(IR ) denido da seguinte forma:

T(p(x)) = p(x) + ( x + 1) p0(x) :

(a) Determine os autovalores e os autovetores do operador linearT .

(b) Determine uma base ordenada para P2(IR ) de modo que [T ] seja uma matrizdiagonal. Justique sua resposta.

Exerccio 15. Considere o espaco vetorial realIM 3(IR ) e o operador linear T sobreIM 3(IR ) denido por: T(A) = A t . Se possvel, determine uma base ordenada paraIM 3(IR )tal que [T ] seja uma matriz diagonal.