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8/2/2019 MA4006 Notes
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M A 4 0 0 6 - E n g i n e e r i n g M a t h e m a t i c s V
( V e c t o r C a l c u l u s a n d P a r t i a l D i e r e n t i a l
E q u a t i o n s )
D r . S a r a h M i t c h e l l ( s a r a h . m i t c h e l l @ u l . i e )
O c e : B 3 0 4 2
A p r i l 6 , 2 0 1 2
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+ D = F J A H
V e c t o r f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e
1 . 1 D e n i t i o n o f a V e c t o r f u n c t i o n
D e n i t i o n 1 . 1 . 1 S u p p o s e t h e c o m p o n e n t s o f a v e c t o r
f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)), ( 1 . 1 )
a r e s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e . T h e n f
i s c a l l e d a v e c t o r f u n c t i o n o ft
.
f(t)i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f
ti f
f1(t) , f2(t) a n d f3(t) a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . ( R o u g h l y s p e a k i n g ,
a f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s i f i t s v a l u e d o e s n o t c h a n g e s u d d e n l y a t a n y p o i n t ) .
E x a m p l e s :
f(t) = (2,
t, sin t), 0 t < f(t) = (t3, t, 3), t 2f(t) = (2t2, 2, 6t1), 2 < t < .
1 . 2 G e o m e t r i c a l R e p r e s e n t a t i o n o f a V e c t o r f u n c t i o n
C o n s i d e r a p o s i t i o n v e c t o r
OP
w h e r e O i s t h e o r i g i n a n d P i s t h e p o i n t f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) .
A s t v a r i e s o v e r i t ' s r a n g e o f v a l u e s , P d e s c r i b e s a c u r v e i n 3 d i m e n s i o n s . T h e e q u a t i o n
OP = r = f(t),
( 1 . 2 )
w h e r e r = (x,y ,z)
i s c a l l e d t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f t h e c u r v e d e s c r i b e d b y P
(t
i s t h e
p a r a m e t e r ) . H e r e t
i s c a l l e d t h e p a r a m e t e r a n d t o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e c u r v e , t h e r a n g e o v e r
w h i c h t
v a r i e s m u s t a l s o b e g i v e n a s i n t h e e x a m p l e s a b o v e ( s e e F i g u r e 1 . 1 ) .
E x a m p l e 1 . 2 . 1 F i n d t h e l o c u s o f
Pa s
v a r i e s
(0 2)( w i t h
c o n s t a n t ) i f
OP = ( cos , 0, sin ).
1
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z
x
y
P
r(t)
C
F i g u r e 1 . 1 : A c u r v e i n 3 D d e s c r i b e d b y a p o i n t P
w h o s e p o s i t i o n i s g i v e n b y a n e q u a t i o n o f t h e t y p e
r = f(t).
E x a m p l e 1 . 2 . 2 L e ta
a n db
b e t h e p o s i t i o n v e c t o r s r e l a t i v e t o t h e o r i g i n o f t h e p o i n t s A
,B
. S h o w
t h a t t h e e q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A
,B
c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m :
r = a + (b a)t,( 1 . 3 )
w h e r e t
i s a p a r a m e t e r i n t h e r a n g e < t < .
S o l u t i o n . T h e p o s i t i o n v e c t o r o f B
r e l a t i v e t o A
i s
AB = b a.
T h e p o i n t P
w i t h p o s i t i o n v e c t o r r
l i e s o n t h e l i n e t h r o u g h A
a n dB
( s e e F i g u r e 1 . 2 ) i f a n d o n l y i f
AP = (b a)t,
w h e r e t
i s s o m e r e a l n u m b e r . N o t i n g t h a t
OP =
OA +
AP ,
w e h a v e r = a + (b a)t
. T h i s i s t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A
a n dB
b e c a u s e t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a l l p o i n t s o n t h e l i n e c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h i s f o r m .
I n t u i t i v e l y n o t e t h a t t h e v e c t o r b a i s p a r a l l e l t o AB s o i n e q u a t i o n ( 1 . 3 ) t h e r s t t e r m o n t h e R H S p i c k s o u t t h e p o i n t
Aa n d t h e s e c o n d t e r m m o v e s t h e p o i n t i n a d i r e c t i o n p a r a l l e l t o t h e l i n e
AB. T h e v a l u e o f
td e t e r m i n e s w h i c h p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e l i n e i s p i c k e d o u t .
1 . 3 D i e r e n t i a t i o n o f V e c t o r s
D e n i t i o n 1 . 3 . 1 S u p p o s e f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) a n d fi(t) a r e d i e r e n t i a b l e w i t h t i n s o m e g i v e n
i n t e r v a l . T h e n w e d e n e
df
dt=
df1dt
,df2dt
,df3dt
,
( 1 . 4 )
2
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A
B
b
a
r
O
F i g u r e 1 . 2 : E q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A
,B
.
t o b e t h e r s t d e r i v a t i v e o ff(t)
.
T h e r e i s a n a t u r a l e x t e n s i o n t o h i g h e r d e r i v a t i v e s
dnfdtn , e . g .
d2f
dt2=
d2f1dt2
,d2f2dt2
,d2f3dt2
.
E x a m p l e 1 . 3 . 1 F i n d t h e v a l u e s f o r w h i c h a = (cos x, sin x, 0)
s a t i s e s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
d2a
dx2= 9a.
1 . 4 D i e r e n t i a t i o n r u l e s
I fa(t)
,b(t)
a n d(t)
( a s c a l a r ) a r e d i e r e n t i a b l e w . r . t t
:
( i )
d(a + b)
dt=
da
dt+
db
dt
( i i )
d(a)
dt=
da
dt+
d
dta
( i i i )
d(a b)dt
=da
dt b + db
dt a
( i v )
d(a b)dt
=da
dt b + a db
dt.
N o t e : T h e o r d e r i s i m p o r t a n t i n ( i v ) b u t n o t i n ( i i i ) . T h e o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e d o t p r o d u c t o f
t w o v e c t o r s i s c o m m u t a t i v e ; t h e o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e v e c t o r p r o d u c t i s n o t . I . e . a b = b a b u t
a b = b a.
E x a m p l e 1 . 4 . 1 S h o w t h a t t h e r s t d e r i v a t i v e o f a u n i t v e c t o r a = a(t)
i s a l w a y s p e r p e n d i c u l a r t o
ap r o v i d e d t h e d e r i v a t i v e i s n o t z e r o .
3
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S o l u t i o n .
a a = 1 dadt
a + a dadt
= 0 2a dadt
= 0,
w h i c h i m p l i e s t h a t a
i s p e r p e n d i c u l a r t o
dadt .
E x a m p l e 1 . 4 . 2 A p p l y t h e a b o v e t o t h e p a r t i c u l a r e x a m p l e w h e r e
a = (cos t, sin t, 0).
1 . 5 T h e t a n g e n t t o a c u r v e
S u p p o s e a c o n t i n u o u s c u r v e C ( i . e . a c u r v e w i t h o u t a n y b r e a k o r j u m p , w h i c h c a n b e d r a w n w i t h o u t
r e m o v i n g t h e p e n f r o m t h e p a p e r ) i s t h e l o c u s o f t h e p o i n t P
w h o s e p o s i t i o n v e c t o r r e l a t i v e t o t h e
o r i g i n O
i s d e s c r i b e d b y
OP = r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)).
( 1 . 5 )
( N o t e t h a t w e c o u l d h a v e w r i t t e n r = f(t)
b u t t h e c o m m o n p r a c t i c e i s t o u s e r
t o s y m b o l i s e t h e
f u n c t i o n ) . L e t P
b e a p a r t i c u l a r p o i n t o n C
a t w h i c h
drdt e x i s t s a n d i s n o t z e r o .
T h e n a t t h i s p o i n t
drdt l i e s a l o n g t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e i n t h e s e n s e i n w h i c h t h e c u r v e i s d e s c r i b e d
b yP
a st
i n c r e a s e s ( s e e F i g u r e 1 . 3 ) .
z
x
y
P
r(t)d r
d t
F i g u r e 1 . 3 : T a n g e n t t o a c u r v e :
drdt i s t a n g e n t a t t h e p o i n t P0 .
I f t h e t a n g e n t a t P
i s
drdt a t t = t0 , t h e n t h e u n i t t a n g e n t i s d e n e d t o b e t h e v e c t o r :
t =dr/dt
|dr/dt| . ( 1 . 6 )
E x a m p l e 1 . 5 . 1 C o n s i d e r t h e v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n r(t) = (t, t3, 1)
. F i n d i t s d e r i v a t i v e a n d h e n c e
t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r t o t h e c u r v e a t t h e p o i n t (0, 0, 1)
.
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1 . 6 S m o o t h n e s s
T h e c u r v e d e s c r i b e d b y r = r(t) = (x(t), y(t), z(t))
, i s s a i d t o b e s m o o t h i ft
e x i s t s a t a l l p o i n t s a n d
i s c o n t i n u o u s . S m o o t h n e s s m e a n s t h e c u r v e d o e s n o t u n d e r g o a n y s u d d e n c h a n g e s i n d i r e c t i o n .
( S e e F i g u r e 1 . 4 ) .
(a) (b)
F i g u r e 1 . 4 : C l a s s i c a t i o n o f c u r v e s : ( a ) i s s m o o t h a n d ( b ) i s p i e c e w i s e s m o o t h .
A p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e r = r(t)
i s o n e w h i c h i s c o n t i n u o u s a n d c o n s i s t s o f a n i t e n u m b e r o f
s m o o t h c u r v e s l i n k e d e n d t o e n d .
E x a m p l e 1 . 6 . 1 S h o w t h a t t h e u n i t t a n g e n t t o t h e c u r v e
r(t) =
(t2, 2t, 0), 1 t 1(1, 4 2t, 0), 1 < t 2,
i s d i s c o n t i n u o u s a t
t = 1. V e r i f y t h a t i t i s p i e c e w i s e s m o o t h .
1 . 7 A r c l e n g t h
L e tr(t) = (x(t), y(t), z(t))
b e a p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e . D e n e
ds
dt=
drdt =
dx
dt
2+
dy
dt
2+
dz
dt
2,
( 1 . 7 )
a n d s o ,
s(t) =
t
t0
drdt dt = t
t0
dxdt
2+
dydt
2+
dzdt
2dt,
( 1 . 8 )
i s t h e a r c l e n g t h o fC
f r o m t h e x e d p o i n t t0 t o t h e v a r i a b l e p o i n t t . S u p p o s e t h e c u r v e e x t e n d s
f r o m A
t oB
w i t h r(t0) =
OA
a n dr(t1) =
OB
. T h e n s(t0) = 0 a n d s(t1) i s t h e l e n g t h o f c u r v e
f r o m A
t oB
.
T h e e l e m e n t o f a r c l e n g t h ds
s a t i s e s ds2 = dx2 + dy2 + dz2
a n d i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e 2 D
s i t u a t i o n ( s e e F i g u r e 1 . 5 ) .
E x a m p l e 1 . 7 . 1 F i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e a r c l e n g t h o f t h e c u r v e e x p r e s s e d p a r a m e t r i c a l l y a s r(t) =
(cos t, sin t, 4t), w h e r e
0 t 2 .
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ds
dx
dy
x
y C
F i g u r e 1 . 5 : G e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f ds
i n 2 D .
1 . 7 . 1 I n t r i n s i c E q u a t i o n o f a C u r v e
W e c a n c h a n g e p a r a m e t e r s i n a p a r a m e t r i c f o r m u l a t i o n q u i t e e a s i l y . C o n s i d e r r = r(t), a n d t = t(u)
w i t h
dtdu > 0 a t a l l p o i n t s , t h e n w e c a n d e s c r i b e r p a r a m e t r i c a l l y i n t e r m s o f u ( w i t h t h e s a m e s e n s e
a s
t) .
F o r c u r v e s i n s p a c e i t i s n a t u r a l t o u s e t h e a r c l e n g t h a s p a r a m e t e r . F r o m t h e d e n i t i o n o f a r c l e n g t h
dsdt 0 s o t = t(s) i s a l l o w a b l e a n d
r = r(s) = (x(s), y(s), z(s)), ( 1 . 9 )
i s a n a l t e r n a t i v e p a r a m e t r i c d e s c r i p t i o n o f t h e c u r v e c a l l e d t h e i n t r i n s i c e q u a t i o n o f t h e c u r v e . I f
t h e a r c l e n g t h i s t h e p a r a m e t e r t h e n a t a n y p o i n t o n r(s) t h e u n i t t a n g e n t i s drds .
[ T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t dr = (dx,dy,dz) s o
drds
= (dxds )2 + (dyds)2 + (dzds)2 =(
dsds
)2= 1
. ]
1 . 8 C u r v e s a n d S u r f a c e s
I n 3 D s p a c e , w e c a n d e s c r i b e a c u r v e p a r a m e t r i c a l l y b y r = r(t) = (x(t), y(t), z(t))
, i . e . o n l y o n e
p a r a m e t e r i s n e c e s s a r y i n t h e p a r a m e t r i c d e s c r i p t i o n . A s u r f a c e c a n b e r e p r e s e n t e d p a r a m e t r i c a l l y
b yr = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
, i . e . t w o p a r a m e t e r s a r e r e q u i r e d t o d e n e a s u r f a c e .
E x a m p l e s :
r(t) = (cos t, sin t, t)i s c a l l e d a c i r c u l a r h e l i x ( i . e . a c u r v e ) ,
t . I t l i e s o n t h e
c y l i n d e r x2 + y2 = a2
.
r(u, v) = (cos u, sin u, v)i s a c y l i n d e r
v ,
0 u 2.
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1 . 9 C u r v a t u r e
A n i m p o r t a n t p h y s i c a l q u a n t i t y w h e n d e a l i n g w i t h c u r v e s i s t h e i r c u r v a t u r e . L e t a c u r v e h a v e a n
i n t r i n s i c e q u a t i o n r = r(s)
. T h e c u r v a t u r e o f t h e c u r v e a t a n y p o i n t ( i . e . a t a n y v a l u e o f s
) i s
d e n e d t o b e :
(s) =d2rds2 . ( 1 . 1 0 )
T h e q u a n t i t y = 1 i s c a l l e d t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e a n d c o r r e s p o n d s t o t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e t h a t
w o u l d " t " i n t o t h e c u r v e a t a n y p o i n t . T h i s m a y o f c o u r s e v a r y f r o m p o i n t t o p o i n t .
E x a m p l e 1 . 9 . 1 F i n d t h e c u r v a t u r e a n d r a d i u s o f c u r v a t u r e f o r r(t) = (cos t, sin t, 4t)
, w h e r e 0
t 2.
1 . 1 0 V e l o c i t y & A c c e l e r a t i o n
L e tr(t)
b e t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a p o i n t P
i n s p a c e , w h e r e t
i s t i m e . ( J u s t t h i n k o f t
a s b e i n g a
p a r a m e t e r w h i c h i n t h i s c a s e p h y s i c a l l y c o r r e s p o n d s t o t h e t i m e ) . T h e n r(t)
r e p r e s e n t s t h e p a t h C
o fP
i n s p a c e . F r o m p r e v i o u s w o r k w e k n o w t h a t t h e v e c t o r f u n c t i o n
v =dr
dt,
( 1 . 1 1 )
i s t a n g e n t t o C
a n d t h e r e f o r e p o i n t s i n t h e i n s t a n t a n e o u s d i r e c t i o n o f P
. W e r e c a l l a l s o t h a t
|v| =drdt = dsdt , ( 1 . 1 2 )
w h e r e s i s t h e a r c l e n g t h , w h i c h m e a s u r e s t h e d i s t a n c e o f P
f r o m a x e d p o i n t ( s = 0
) o nC
a l o n g
t h e c u r v e . H e n c e
dsdt i s t h e s p e e d o f P. T h e v e c t o r v c a l l e d t h e v e l o c i t y v e c t o r o f t h e m o t i o n .
T h e d e r i v a t i v e o f t h e v e l o c i t y v e c t o r i s c a l l e d t h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r a n d w i l l b e d e n o t e d a
. T h u s
a(t) =dv
dt=
d2r
dt2.
( 1 . 1 3 )
E x a m p l e : C e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n
T h e v e c t o r f u n c t i o n r(t) = R cos ti + R sin tj
( w h e r e
i s a k n o w n c o n s t a n t a n d t
i s t h e t i m e )
r e p r e s e n t s a c i r c l e o f r a d i u s R
w i t h c e n t r e a t t h e o r i g i n i n t h e xy
- p l a n e a n d d e s c r i b e s t h e m o t i o n o f a
p a r t i c l e P
i n t h e a n t i - c l o c k w i s e d i r e c t i o n . T h e v e l o c i t y v e c t o r v(t) = drdt = R sin ti + R cos tj
i s t a n g e n t t o C
a n d i t s m a g n i t u d e , t h e s p e e d , i s c o n s t a n t ( = R
) . T h e a n g u l a r s p e e d ( s p e e d
d i v i d e d b y t h e d i s t a n c e R
f r o m t h e c e n t r e ) i s e q u a l t o
. T h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r i s
a =dv
dt= R2 cos i R2 sin j = 2r.
7
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W e s e e t h a t t h e r e i s a n a c c e l e r a t i o n o f c o n s t a n t m a g n i t u d e |a|
t o w a r d s t h e o r i g i n , t h e s o - c a l l e d
c e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n , w h i c h r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t t h e v e l o c i t y v e c t o r i s c h a n g i n g d i r e c t i o n
a t a c o n s t a n t r a t e . T h e c e n t r i p e t a l f o r c e i s t h u s ma
w h e r e m
i s t h e m a s s o f P
. ( N o t e t h a t t h e
o p p o s i t e v e c t o r ma
i s c a l l e d t h e c e n t r i f u g a l f o r c e ) .
I t i s c l e a r t h a t a
i s t h e r a t e o f c h a n g e o f v
. I n t h e e x a m p l e , |v| i s c o n s t a n t , b u t |a| = 0 w h i c h i l l u s t r a t e s t h a t t h e m a g n i t u d e o f
ai s n o t i n g e n e r a l t h e r a t e o f c h a n g e o f |v| . T h e r e a s o n i s t h a t a
i s n o t , i n g e n e r a l , t a n g e n t t o t h e p a t h C
. I n f a c t , b y a p p l y i n g t h e c h a i n r u l e o f d i e r e n t i a t i o n t o
( 1 . 1 1 ) a n d d e n o t i n g d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o s
b y p r i m e s (
) , w e h a v e
v =dr
dt=
dr
ds
ds
dt= r
ds
dt,
a n d b y d i e r e n t i a t i n g t h i s a g a i n
a = dvdt
= ddt
rds
dt
= r
dsdt
2 + r d2s
dt2.
( 1 . 1 4 )
S i n c e r
i s t h e t a n g e n t v e c t o r a n d i t s d e r i v a t i v e r
i s p e r p e n d i c u l a r t o r
, t h e f o r m u l a ( 1 . 1 4 ) i s
a d e c o m p o s i t i o n o f t h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r i n t o i t s n o r m a l c o m p o n e n t r(dsdt
)2a n d i t s t a n g e n t i a l
c o m p o n e n t r d
2sdt2
. F r o m t h i s w e s e e t h a t i f , a n d o n l y i f , t h e n o r m a l c o m p o n e n t i s z e r o , |a| e q u a l s t h e r a t e o f c h a n g e o f |v| = dsdt , e x c e p t f o r p o s s i b l y t h e s i g n , b e c a u s e |a| = |r|
d2sdt2
= d2sdt2
( s i n c e
r = drds
i s t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r ) .
E x a m p l e : C o r i o l i s a c c e l e r a t i o n
A p a r t i c l e P
m o v e s i n a s t r a i g h t l i n e f r o m t h e c e n t r e o f a d i s c t o w a r d s t h e e d g e , t h e p o s i t i o n v e c t o r
b e i n g
r(t) = tb,( 1 . 1 5 )
w h e r e b
i s a u n i t v e c t o r , r o t a t i n g t o g e t h e r w i t h t h e d i s c w i t h c o n s t a n t a n g u l a r s p e e d
i n t h e
a n t i - c l o c k w i s e s e n s e . ( s e e F i g u r e 1 . 6 ) . F i n d t h e a c c e l e r a t i o n a
o fP
.
S o l u t i o n . B e c a u s e o f t h e r o t a t i o n , b i s o f t h e f o r m
b(t) = cos ti + sin tj.( 1 . 1 6 )
D i e r e n t i a t i n g ( 1 . 1 6 ) w . r . t . t
w e o b t a i n t h e v e l o c i t y
v =dr
dt= b + t
db
dt.
( 1 . 1 7 )
O b v i o u s l y b
i s t h e v e l o c i t y o f P
r e l a t i v e t o t h e d i s c , a n d tdbdt i s t h e a d d i t i o n a l v e l o c i t y d u e t o t h e
r o t a t i o n . D i e r e n t i a t i n g o n c e m o r e , w e o b t a i n t h e a c c e l e r a t i o n
a =dv
dt= 2
db
dt+ t
d2b
dt2.
( 1 . 1 8 )
8
-
8/2/2019 MA4006 Notes
10/112
I n t h e l a s t t e r m o f ( 1 . 1 8 ) w e h a v e
d2bdt2
= 2bw h i c h f o l l o w s f r o m d i e r e n t i a t i n g ( 1 . 1 6 ) . H e n c e t h i s
a c c e l e r a t i o n
d2bdt2 i s d i r e c t e d t o w a r d s t h e c e n t r e o f t h e d i s c a n d f r o m t h e l a s t e x a m p l e w e s e e t h a t
t h i s i s t h e c e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n d u e t o t h e r o t a t i o n . I n f a c t , t h e d i s t a n c e o f P
f r o m t h e c e n t r e i s
e q u a l t o t
w h i c h t h e r e f o r e p l a y s t h e r o l e o f R
i n t h e l a s t e x a m p l e .
T h e m o s t i n t e r e s t i n g a n d p r o b a b l y u n e x p e c t e d t e r m i n ( 1 . 1 8 ) i s 2db
dt
, t h e s o - c a l l e d C o r i o l i s a c c e l -
e r a t i o n , w h i c h r e s u l t s f r o m t h e i n t e r a c t i o n o f t h e d i s c a n d t h e m o t i o n o f P
o n t h e d i s c . I t h a s t h e
d i r e c t i o n o f
dbdt , t h a t i s , i t i s t a n g e n t i a l t o t h e e d g e o f t h e d i s c a n d i t p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e
r o t a t i o n . I f P
i s a p e r s o n o f m a s s m
w a l k i n g o n t h e d i s c a c c o r d i n g t o ( 1 . 1 5 ) , t h e n P
w i l l f e e l a f o r c e
2mdbdt i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n , t h a t i s , a g a i n s t t h e s e n s e o f r o t a t i o n .
bb
x
y
F i g u r e 1 . 6 : M o t i o n f o r c o r i o l i s a c c e l e r a t i o n .
9
-
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11/112
+ D = F J A H
S c a l a r & V e c t o r F i e l d s
2 . 1 R e g i o n s
D e n i t i o n 2 . 1 . 1 L e tV
b e a s e t o f p o i n t s i n s p a c e . A p o i n t P V
i s a n i n t e r i o r p o i n t o fV
i f
t h e r e e x i s t s a s p h e r e ( h o w e v e r s m a l l ) w i t h c e n t r e P
s . t . e v e r y p o i n t o f t h e s p h e r e i s c o n t a i n e d i n
V. A p o i n t
P Vi s a b o u n d a r y p o i n t i f e v e r y s p h e r e c e n t r e d o n
Pc o n t a i n s i n t e r i o r p o i n t s a n d
p o i n t s t h a t a r e n o t i n V
. T h e s e t V
f o r m s a r e g i o n R
i f e a c h p o i n t o f V
i s e i t h e r a n i n t e r i o r o r
b o u n d a r y p o i n t a n d i f e v e r y p a i r o f p o i n t s c a n b e j o i n e d b y a c o n t i n u o u s c u r v e c o n s i s t i n g e n t i r e l y o f
p o i n t s i n V
.R
i s o p e n i f i t c o n t a i n s n o b o u n d a r y p o i n t s . R
i s c l o s e d i f a l l p o i n t s n o t i n R
f o r m
o n e o r m o r e o p e n r e g i o n s .
E x a m p l e s :
I n 2 D r e p l a c e t h e w o r d s p h e r e i n t h e a b o v e d e n i t i o n w i t h c i r c l e .
x2 + y2 < 1i s a n o p e n r e g i o n .
x2 + y2 1i s a c l o s e d r e g i o n ;
(1, 0)i s a n e x a m p l e o f a b o u n d a r y p o i n t ;
(0, 0)i s a n i n t e r i o r
p o i n t ( b o u n d a r y i s t h e c i r c l e x2 + y2 = 1
) .
I n 3 D ,
x2 + y2 + z2 < 1i s o p e n .
x2 + y2 + z2 1i s a c l o s e d r e g i o n ;
(1, 0, 0)i s a b o u n d a r y p o i n t ,
(0, 0, 0)i s a n i n t e r i o r p o i n t
( b o u n d a r y i s t h e s p h e r e x2 + y2 + z2 = 1
) .
N o t e : 1 < x2 + y2 2 i s n e i t h e r a n o p e n r e g i o n n o r a c l o s e d r e g i o n s o a r e g i o n m a y b e n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d .
1 0
-
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12/112
2 . 2 F u n c t i o n s o f S e v e r a l V a r i a b l e s
W e a r e f a m i l i a r w i t h f u n c t i o n s o f o n e v a r i a b l e , e . g . y = f(x)
, a n d i t s c o n t i n u i t y , d i e r e n t i a b i l i t y
e t c . R e c a l l t h a t , l o o s e l y s p e a k i n g , y = f(x)
i s c o n t i n u o u s i f i t c a n b e d r a w n w i t h o u t r e m o v i n g t h e
p e n f r o m t h e p a g e . T h i s i s r e p r e s e n t e d b y a c u r v e i n t h e xy
- p l a n e .
A f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s z = f(x, y) r e p r e s e n t s a s u r f a c e i n 3 D .
C o n s i d e r a f u n c t i o n o f t h r e e v a r i a b l e s w = f(x,y ,z)
d e n e d o v e r s o m e r e g i o n o f s p a c e R
.f(x,y ,z)
i s
c o n t i n u o u s i f n o s u d d e n j u m p s o c c u r i n i t s v a l u e a s x, y, z
v a r y i n a n a n a l o g o u s w a y t o f u n c t i o n s o f a
s i n g l e v a r i a b l e . M o s t p h y s i c a l q u a n t i t i e s c a n b e r e p r e s e n t e d b y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , e . g . T(x,y ,z)
m a y r e p r e s e n t t h e t e m p e r a t u r e a t e a c h p o i n t i n a r o o m .
A f u n c t i o n o f m o r e t h a n t w o v a r i a b l e s
w = f(x1, x2, . . . , xn1), ( 2 . 1 )
i s d e n e d i n R
n, a n d i s n o t p o s s i b l e t o d r a w f o r
n > 3.
2 . 3 P a r t i a l D e r i v a t i v e s
D e n i t i o n 2 . 3 . 1 T h e r s t o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e
fx o f f(x,y ,z) a t t h e p o i n t (x,y ,z) w . r . t . x i s
d e n e d a s ,
f
x= lim
h0
f(x + h,y ,z) f(x,y ,z)h
w i t h s i m i l a r d e n i t i o n s f o r
fy a n d
fz . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e o f t e n w r i t t e n a s fx , fy a n d fz .
N o t e : I n t h e d e n i t i o n o f
fx , t h e o t h e r v a r i a b l e s y , z a r e h e l d c o n s t a n t , s o i n p r a c t i s e w e t r e a t y ,
za s c o n s t a n t s a n d d i e r e n t i a t e i n t h e u s u a l w a y w . r . t .
x.
E x a m p l e 2 . 3 . 1 F i n d t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f f(x,y ,z) = x3 + x2y + xyz
.
S o l u t i o n .
fx = 3x2 + 2xy + yz, f y = x
2 + xz, f z = xy.
T o e v a l u a t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a t a p a r t i c u l a r p o i n t , e . g . fx a t (1, 2, 3) r s t e v a l u a t e t h e p a r t i a l
d e r i v a t i v e s y m b o l i c a l l y r s t a n d t h e n s u b s t i t u t e i n t h e v a l u e s x = 1
,y = 2
a n dz = 3
. T h u s i n t h e
a b o v e e x a m p l e , fx(1, 2, 3) = 3x
2 + 2xy + yz(x,y,z)=(1,2,3)
= 3 + 4 + 6 = 13.
H i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s a r e d e n e d i n t h e o b v i o u s w a y :
2f
x2 = fxx =
xf
x
.
1 1
-
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13/112
F o r e x a m p l e , i f f = (x + 2y + 3z)4
t h e n
fx = 4(x + 2y + 3z)3, fxx = 12(x + 2y + 3z)
2, fxx = 24(x + 2y + 3z).
S i m i l a r l y w e h a v e :
fxy =
xf
y = 2f
xy,
w i t h a s i m i l a r i n t e r p r e t a t i o n f o r fxz , fyz e t c .
T h e o r e m 2 . 3 . 1 I f a l l t h e m i x e d s e c o n d o r d e r d e r i v a t i v e s e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s a t a p o i n t , t h e n
a t t h a t p o i n t :
fxy = fyx, fyz = fzy , fzx = fxz. ( 2 . 2 )
( p r o o f o m i t t e d ) .
2 . 3 . 1 C o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s :
T h e f u n c t i o n f(x,y ,z)
i s s a i d t o b e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e i f i t s r s t o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s
fx , fy a n d fz e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s a t e v e r y p o i n t .
E x a m p l e 2 . 3 . 2 D e m o n s t r a t e t h e a b o v e r e s u l t s f o r f(x,y ,z) = sin (ax + by + cz)
.
2 . 3 . 2 T h e C h a i n R u l e
S u p p o s e F = F(f , g , h)
i s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f t h r e e v a r i a b l e s f
,g
a n dh
w h e r e
f = f(x,y ,z),
g = g(x,y ,z)a n d
h = h(x,y ,z)a r e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s o f
x,
ya n d
z. T h e n
Fi s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f
x, y, za n d i t s d e r i v a t i v e s w . r . t .
x, y, za r e
g i v e n b y
F
x=
F
f
f
x+
F
g
g
x+
F
h
h
xF
y=
F
f
f
y+
F
g
g
y+
F
h
h
y( 2 . 3 )
Fz
= Ff
fz
+ Fg
gz
+ Fh
hz
.
N o t e : T h e r e i s a d i c u l t y w i t h t h e n o t a t i o n a b o v e a s w e h a v e w r i t t e n F(f , g , h)
a n d a l s o i n e e c t
F(x,y ,z). I t i s s t r i c t l y b e t t e r t o w r i t e
F(f , g , h)a n d
G(x,y ,z)s a y , w h e r e
G(x,y ,z) = F(f , g , h).
T h i s w a y w e c o u l d w r i t e t h e c h a i n r u l e r e p l a c i n g t h e L H S o f ( 2 . 3 ) t h e c h a i n r u l e w i t h
G/x,
G/y
a n dG/z
w h i c h r e m o v e s t h e a m b i g u i t y a s G = G(x,y ,z)
.
E x a m p l e 2 . 3 . 3 S u p p o s e t h a t
F(f, g) = f + sin g, f = x cos y, g = x sin y.
1 2
-
8/2/2019 MA4006 Notes
14/112
W h e n w e w r i t e F
a s a f u n c t i o n o f (x, y)
w e s h o u l d w r i t e i t a s a n e w f u n c t i o n G(x, y)
w i t h G(x, y) =
x cos y + sin (x sin y)a n d
G(x, y) = F(f, g). I f w e u s e t h i s n o t a t i o n , n o a m b i g u i t y a r i s e s w h e n w e
w r i t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s . D i r e c t l y f r o m t h i s d e n i t i o n w e t h e r e f o r e h a v e
G
x= cos y + cos (x sin y)sin y.
( 2 . 4 )
N o w , f r o m t h e c h a i n r u l e
G
x=
F
f
f
x+
F
g
g
x= cos y + cos g sin y = cos y + cos (x sin y)sin y,
a n d t h i s e q u a l s ( 2 . 4 ) .
2 . 4 D e n i t i o n s o f S c a l a r & V e c t o r F i e l d s
D e n i t i o n 2 . 4 . 1 S u p p o s e a s c a l a r (x,y ,z)
i s d e n e d o n a p o i n t s e t U
i n 3 D s p a c e , i . e . t o e a c h
p o i n t
P(x,y ,z)i n
Ut h e r e c o r r e s p o n d s a s i n g l e s c a l a r v a l u e o f
. T h e n
i s c a l l e d a s c a l a r f u n c t i o n
o f p o s i t i o n o r a s c a l a r e l d . L i k e w i s e i f a v e c t o r v(x,y ,z)
i s d e n e d o n a p o i n t s e t U
, t h e n v
i s c a l l e d a v e c t o r f u n c t i o n o f p o s i t i o n o r a v e c t o r e l d . (U
w i l l u s u a l l y b e a r e g i o n ) . A l t e r n a t i v e
n o t a t i o n f o r (x,y ,z)
a n dv(x,y ,z)
i s(r)
a n dv(r)
w h e r e r
i s t h e p o s i t i o n v e c t o r f o r t h e p o i n t
P(x,y ,z). N o t e t h a t
vh a s t h r e e c o m p o n e n t s l i k e a n y v e c t o r .
W e e m p h a s i s e t h e n o t a t i o n f o r t h e p o s i t i o n v e c t o r w h i c h w e w i l l g i v e t h e s p e c i a l l a b e l r
. W e w i l l
o f t e n w r i t e r = (x,y ,z)
a n d b y t h i s w e s t r i c t l y m e a n t h e v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s xi + yj + zk
, i . e .
t h e v e c t o r j o i n i n g t h e p o i n t
(0, 0, 0)t o t h e g e n e r a l p o i n t w i t h c o o r d i n a t e s
(x,y ,z). O n o c c a s i o n
h o w e v e r w e w i l l a l s o u s e r
t o r e f e r t o t h e p o i n t w i t h c o o r d i n a t e s (x,y ,z)
.
E x a m p l e 2 . 4 . 1 I n a o w i n g l i q u i d , t h e v e l o c i t y e l d m i g h t b e g i v e n b y u = (z, x + y, x + zy)
a n d
t h e p r e s s u r e b y p = x + z
. T h u s u
i s a v e c t o r e l d a n d p
i s a s c a l a r e l d . W h a t i s u
a t t h e p o i n t
w i t h p o s i t i o n v e c t o r r = (0, 0, 1)
? W h a t d i r e c t i o n i s t h e o w a t t h i s p o i n t ? W h a t i s t h e p r e s s u r e a t
r = (1, 1, 1)?
2 . 5 G r a d i e n t o f a S c a l a r F i e l d
D e n i t i o n 2 . 5 . 1 I ff(x,y ,z)
i s d e n e d a n d c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e i n s o m e o p e n r e g i o n R t h e n
t h e g r a d i e n t o ff
i s d e n e d a s :
g r a d f = f =
f
x,
f
y,
f
z
,
( 2 . 5 )
w h e r e
=
x,
y,
z .E x a m p l e 2 . 5 . 1 F i n d f w h e n f(x, y) = x2 + xy + y2 .
1 3
-
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2 . 6 P r o p e r t i e s o f t h e G r a d i e n t ( o f a s c a l a r )
2 . 6 . 1 T h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e
W e a r e u s e d t o n d i n g ( p a r t i a l ) d e r i v a t i v e s w . r . t . t h e c o - o r d i n a t e a x e s x, y, z
. C o n s i d e r a s c a l a r
f u n c t i o n o f a s i n g l e v a r i a b l e , e . g . y = f(x)
. G e o m e t r i c a l l y t h i s i s r e p r e s e n t e d b y a c u r v e a n d t h e
o n l y p o s s i b l e d e r i v a t i v e i s
dydx , a n d i t d e n o t e s t h e r a t e o f c h a n g e o f y i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g
x. S u p p o s e w e n o w h a v e a s c a l a r f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , e . g .
z = f(x, y). I n t h i s c a s e w e h a v e
t w o p a r t i a l d e r i v a t i v e s
fx a n d
fy . G e o m e t r i c a l l y t h e s e c o r r e s p o n d t o t h e r a t e o f c h a n g e o f f(x, y)
i n t h e d i r e c t i o n s x
a n dy
r e s p e c t i v e l y .
C o n s i d e r t h e e x a m p l e i n F i g u r e 2 . 1 , s h o w i n g a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , a n d x a t t e n t i o n o n s o m e
p o i n t o n t h e s u r f a c e r e p r e s e n t e d b y z = f(x, y)
. A t t h i s p o i n t t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e r e e c t s t h e r a t e
o f c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n s x
a n dy
o f t h e c o - o r d i n a t e a x e s . I f a c y c l i s t w e r e l o c a t e d a t t h e p o i n t
i n q u e s t i o n , t h e n i f t h e y f a c e d i n t h e p o s i t i v e x d i r e c t i o n , t h e s l o p e o f t h e l a n d i m m e d i a t e l y a h e a d
w o u l d b e g i v e n b y
fx w h i l e i f t h e y f a c e d i n t h e p o s i t i v e y d i r e c t i o n t h e s l o p e w o u l d b e g i v e n b y
fy .
W h e n w e m o v e t o f u n c t i o n s o f t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , i t i s n o t s o e a s y t o b u i l d u p a g e o m e t r i c
p i c t u r e , b u t t h e p i c t u r e f o r f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s i s s u c i e n t t o u n d e r s t a n d w h a t f o l l o w s . W e
w o u l d l i k e t o g e n e r a l i s e o u r p a r t i a l d e r i v a t i v e s s o t h a t w e c a n o b t a i n e x p r e s s i o n s f o r t h e r a t e o f
c h a n g e o f t h e s c a l a r f u n c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n i n a n y d i r e c t i o n . I n F i g u r e 2 . 1 w e w i s h t o a l l o w
t h e c y c l i s t t o f a c e i n a n y d i r e c t i o n ( n o t j u s t p a r a l l e l t o t h e c o - o r d i n a t e a x e s ) a n d s t i l l b e a b l e t o
e s t i m a t e t h e s l o p e i n t h a t p a r t i c u l a r d i r e c t i o n .
L e tf(x,y ,z)
b e a s c a l a r e l d . W e d e n e t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f
i n t h e d i r e c t i o n o f a n y
v e c t o r n
i n t h e f o l l o w i n g w a y . L e t P
b e a x e d p o i n t a n d P
a n o t h e r p o i n t w h i c h v a r i e s i n s u c h a
w a y t h a t t h e v e c t o r
P P
i s a l w a y s p a r a l l e l t o a x e d u n i t v e c t o r n
. A s s u m e t h a t t h e s c a l a r e l d f
t a k e s t h e v a l u e s f(P)
,f(P)
a tP
a n dP
r e s p e c t i v e l y . T h e d e r i v a t i v e o f f
a tP
i n t h e d i r e c t i o n o f
n, w h i c h w e d e n o t e
fn , i s d e n e d a s
f
n:= lim
PPf(P) f(P)
P P,
w h e r e v e r t h e l i m i t e x i s t s . I t i s c l e a r t h a t , i n g e n e r a l , f
w i l l v a r y a t d i e r e n t r a t e s a s w e m o v e
a w a y f r o m P
i n d i e r e n t d i r e c t i o n s ; t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e m e a s u r e s t h e r a t e o f v a r i a t i o n i n t h e
d i r e c t i o n o f n
.
T h e m o s t i m p o r t a n t f o r m u l a i n v o l v i n g t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e i s :
f
n=
g r a d f n = f n, ( 2 . 6 )
i . e . i t i s t h e c o m p o n e n t o f g r a d f
i n t h e d i r e c t i o n o f n
.
T h e n o t a t i o n
fn m i g h t b e m i s l e a d i n g : w e a r e n o t d i e r e n t i a t i n g f w . r . t . n !
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0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
yx
z
F i g u r e 2 . 1 : G r a p h o f t h e s u r f a c e z = f(x, y) = sin xey
f o r0 x , 0 y 4 .
E x a m p l e 2 . 6 . 1 F i n d t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f(x,y ,z) = 2x2 + 3y2 + z2
a t t h e p o i n t P(2, 1, 3)
i n t h e d i r e c t i o n o f t h e v e c t o r n = i 2k.
E x a m p l e 2 . 6 . 2 F i n d t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f(x,y ,z) = x2y2z2 + x + y + z
i n t h e d i r e c t i o n
o f t h e v e c t o r 2i j + 2k
a t t h e p o i n t (1, 1, 1)
.
2 . 6 . 2 D i r e c t i o n o f m a x i m u m i n c r e a s e
N o w
f
n= f n = |f||n| cos ,
w h e r e
i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e v e c t o r s f
a n dn
. C l e a r l y t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e h a s i t s l a r g e s t
v a l u e w h e n = 0
( i . e . w h e n cos = 1
) . T h i s i s t h e d i r e c t i o n o f m a x i m u m i n c r e a s e a n d n o w
f
n= |f|.
E x a m p l e 2 . 6 . 3 T h e o w o f h e a t i n a t e m p e r a t u r e e l d t a k e s p l a c e i n t h e d i r e c t i o n o f m a x i m u m
d e c r e a s e o f t e m p e r a t u r e T = x/y
. F i n d t h i s d i r e c t i o n a t t h e p o i n t P(8, 1)
.
2 . 6 . 3 L e v e l c u r v e s a n d s u r f a c e s
C o n s i d e r a s c a l a r e l d z = f(x, y)
, t h i s r e p r e s e n t s a s u r f a c e i n 3 D . A t p o i n t s w h e r e f
h a s a m a x -
i m a / m i n i m a w e w i l l h a v e m o u n t a i n s / v a l l e y s . W e c a n a l s o r e p r e s e n t f(x, y)
i n a 2 D r e p r e s e n t a t i o n
b y d r a w i n g c o n t o u r s o r l e v e l c u r v e s w h i c h a r e c u r v e s a l o n g w h i c h f i s a c o n s t a n t . F o r e x a m p l e , i f
fh a s a l o c a l m a x i m u m ( m o u n t a i n t o p ) t h e c o n t o u r s o r l e v e l c u r v e s m i g h t l o o k l i k e t h o s e i n F i g u r e
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17/112
2 . 2 . W e d r a w c o n t o u r s b y s e t t i n g f(x, y) = c
, a p a r a m e t e r , a n d n d i n g a l l t h e p o i n t s (x, y)
w h i c h
a r e a t t h i s p a r t i c u l a r h e i g h t . B y v a r y i n g c
w e c a n d r a w a l l t h e c o n t o u r s a n d g e t a n d i d e a o f w h a t
t h e s c a l a r e l d l o o k s l i k e w i t h o u t h a v i n g t o d r a w a 3 D p i c t u r e .
A n o t h e r e x a m p l e i s a w e a t h e r m a p o n w h i c h i s o b a r s a r e l i n e s o f e q u a l p r e s s u r e p
, w h i c h i s a s c a l a r
f u n c t i o n p = p(x, y)
w h e r e (x, y)
r e p r e s e n t t h e l o c a t i o n o n t h e e a r t h ' s s u r f a c e . W e c a n p i c t u r e w h a t
t h e s u r f a c e r e p r e s e n t i n g t h e p r e s s u r e p(x, y)
w o u l d l o o k l i k e f r o m a c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o n t o u r s : a
c e n t r e o f h i g h p r e s s u r e w o u l d b e g e o m e t r i c a l l y s i m i l a r t o a m o u n t a i n t o p .
f = 1f = 2
f = 3
f = 1
f = 3
f = 2
"Mountain top" "Valley"
F i g u r e 2 . 2 : C o n t o u r s f o r a m o u n t a i n - t o p a n d a v a l l e y .
E x a m p l e 2 . 6 . 4 D r a w t h e c o n t o u r s f(x, y) = x2 + y2
.
I n 3 D w i t h w = f(x,y ,z)
, w e c a n n o t d r a w t h i s i n 4 D . H o w e v e r , i f w e g e n e r a l i s e t h e a b o v e , t h e n t h e
c o n t o u r s n o w b e c o m e l e v e l s u r f a c e s d e n e d b y f(x,y ,z) = c
. A sc
v a r i e s w e g e t d i e r e n t c o n t o u r s
e a c h o f w h i c h i s n o w a s u r f a c e i n s p a c e .
E x a m p l e 2 . 6 . 5 W h a t a r e t h e l e v e l s u r f a c e s o f f(x,y ,z) = x2 + y2 + z2
?
2 . 6 . 4 I m p o r t a n t c o n n e c t i o n b e t w e e n
fa n d i t s l e v e l s u r f a c e
T h e o r e m 2 . 6 . 1 S u p p o s e f(x,y ,z)
i s a s c a l a r e l d . C o n s i d e r a l e v e l s u r f a c e g i v e n b y f(x,y ,z) = c
a n d c h o o s e a p a r t i c u l a r p o i n t P(x,y ,z)
o n t h e l e v e l s u r f a c e . I f g r a d f
d o e s n o t v a n i s h a t t h i s p o i n t ,
t h e n t h e v e c t o r g r a d f
i s n o r m a l t o t h e l e v e l s u r f a c e f = c
a tP
.
P r o o f . C o n s i d e r a c u r v e i n s p a c e p a s s i n g t h r o u g h P
a n d l y i n g o n t h e l e v e l s u r f a c e f = c
. T h i s c u r v e
( c a l l i t C
) m a y b e w r i t t e n p a r a m e t r i c a l l y a sr(t) = (x(t), y(t), z(t))
. A sC
l i e s o n t h e s u r f a c e f = c
w e h a v e f(x(t), y(t), z(t)) = c
. D i e r e n t i a t i n g t h i s e q u a t i o n b y t h e c h a i n r u l e g i v e s :
f
x
dx
dt+
f
y
dy
dt+
f
z
dz
dt=
dc
dt= 0.
1 6
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18/112
T h a t i s ,
f drdt
= 0.
N o wr
i s a c u r v e o n t h e s u r f a c e f = c
a n d
drdt i s t a n g e n t t o t h e c u r v e d e n e d b y r. F r o m t h e r e s u l t s
i n C h a p t e r 1 w e k n o w t h a t i t i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e v e c t o r r(t)
. B u t r(t)
i s a n y c u r v e o n t h e s u r f a c e
f = ca n d s o g r a d
f = f m u s t b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e t a n g e n t p l a n e o f t h e l e v e l s u r f a c e f = c ,i . e .
fi s o r t h o g o n a l t o a l l v e c t o r s
drdt i n t h e t a n g e n t p l a n e . T h u s f i s p e r p e n d i c u l a r t o i t s o w n
l e v e l s u r f a c e s .
T h i s i s a v e r y u s e f u l r e s u l t a s w e c a n a p p l y i t t o a n y s u r f a c e o r c u r v e . S u p p o s e w e h a v e a c u r v e
g i v e n b y y = f(x)
o r a s u r f a c e g i v e n b y z = g(x, y)
. T h e n w e r e w r i t e e a c h f o r m u l a a s y f(x) = 0
a n dz g(x, y) = 0
a n d t h e t h e o r e m t e l l s u s t h a t t h e n o r m a l v e c t o r t o t h e c u r v e o r s u r f a c e i s
(y
f(x))
a n d
(z
g(x, y))
r e s p e c t i v e l y .
E x a m p l e 2 . 6 . 6 C o n s i d e r a s u r f a c e g i v e n b y f(x, y) = ln(x2 + y2)
. D e m o n s t r a t e t h e a b o v e r e s u l t .
S o l u t i o n . W e n e e d t o s h o w t h a t f i s n o r m a l t o t h e l e v e l c u r v e s o f f. T h e l e v e l s u r f a c e s ( c u r v e s i n t h i s c a s e ) a r e g i v e n b y
f = c,c a r b i t r a r y
= ln(x2 + y2) = c = x2 + y2 = ec = ,
w h e r e
= eci s a r b i t r a r y . S o t h e l e v e l s u r f a c e s a r e d e n e d b y
x2 + y2 = , f o r a r b i t r a r y
. T h u s
t h e l e v e l c u r v e s a r e c i r c l e s .
C o n s i d e r t h e c a s e = 4
a n d e x a m i n e t h e p o i n t (2, 0)
o n t h e l e v e l c u r v e x2 + y2 = 4
. A t(2, 0)
, t h e
n o r m a l t o t h i s c u r v e i s i ( i . e . t h e u n i t v e c t o r i n t h e x d i r e c t i o n ) . I n a d d i t i o n
f =
2x
x2 + y2,
2y
x2 + y2
,
s o a t t h e p o i n t (2, 0)
, f = (1, 0) = i a n d s o f|(1,0) i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e n o r m a l t o t h e c u r v e a t t h i s p o i n t . T h i s i s r e p r e s e n t e d g e o m e t r i c a l l y i n F i g u r e 2 . 3 .
E x a m p l e 2 . 6 . 7 F i n d a u n i t n o r m a l v e c t o r f o r t h e c u r v e y = 1 x2 a t P = (1, 0).
2 . 6 . 5 T a y l o r ' s E x p a n s i o n
F o r a f u n c t i o n o f o n e r e a l v a r i a b l e y = f(x)
, T a y l o r ' s e x p a n s i o n a l l o w s u s t o w r i t e d o w n t h e v a l u e
o f a f u n c t i o n n e a r a p o i n t x0 , s o l e l y i n t e r m s o f i t s v a l u e o f x0 a n d d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n a t x0 ,
i . e . s o l e l y i n t e r m s o f q u a n t i t i e s e v a l u a t e d a t t h e p o i n t x0 .
T h u s i f f(x)
i s a w e l l b e h a v e d f u n c t i o n :
f(x) = f(x0) + hdf
dx
x=x0
+h2
2
d2f
dx2
x=x0
+ O(h3),( 2 . 7 )
1 7
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19/112
x + y = 42 2
direction of f at (2,0)
F i g u r e 2 . 3 : 2 D e x a m p l e o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l e v e l s u r f a c e s o f f
a n df
.
w h e r e h = x x0 . S u c h e x p a n s i o n s a r e v e r y u s e f u l i f h 1 a s w e c a n u s u a l l y t r u n c a t e a f t e r t w o
t e r m s . [ R e c a l l t h a t i f
h 1, t h e n
h2
a n d h i g h e r p o w e r s a r e e v e n s m a l l e r s o t h a t f o r
h 1t h e r s t
t w o ( o r t h r e e ) t e r m s o n t h e R H S w i l l b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e L H S ] .
F o r a f u n c t i o n o f s e v e r a l v a r i a b l e s f(x,y ,z)
, t h e a n a l o g o u s r e s u l t i s :
f(x,y ,z) = f(x0, y0, z0) + hf
x
(x0,y0,z0)
+ kf
y
(x0,y0,z0)
+ lf
z
(x0,y0,z0)
+ O(h2 + k2 + l2),( 2 . 8 )
w h e r e h = x x0 , k = y y0 a n d l = z z0 .
S o , w e h a v e a n e x p r e s s i o n f o r f
a t s o m e p o i n t r e m o v e d f r o m (x0, y0, z0) i n t e r m s o f q u a n t i t i e s
e v a l u a t e d s o l e l y a t
(x0, y0, z0). T h i s a p p r o x i m a t i o n i s m o s t u s e f u l f o r h,k,l 1.N o t e i f w e d e n e t h e v e c t o r
(h,k,l) = r, t h e n w e c a n w r i t e t h e a b o v e e x p r e s s i o n i n v e c t o r n o t a t i o n :
f(x,y ,z) = f(x0, y0, z0) + r f|(x0,y0,z0) + O(|r|2).
E x a m p l e 2 . 6 . 8 U s e T a y l o r ' s e x p a n s i o n t o n d a r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r f(1.5, 2.5)
b a s e d o n
q u a n t i t i e s e s t i m a t e d o n l y a t t h e p o i n t (1, 3)
i ff(x, y) = x2 + y2
. W h a t i s t h e e r r o r i n y o u r e s t i m a t e ?
2 . 7 D i v e r g e n c e a n d C u r l o f a V e c t o r F i e l d
S u p p o s e f
i s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e v e c t o r e l d
f = f(x,y ,z) = (f1(x,y ,z), f2(x,y ,z), f3(x,y ,z)),
i n s o m e o p e n r e g i o n R
.
T h e n , i n R
, t h e d i v e r g e n c e o f t h e v e c t o r e l d f(x,y ,z)
i s d e n e d t o b e t h e s c a l a r q u a n t i t y :
d i vf =
f1x
+f2y
+f3z
.( 2 . 9 )
1 8
-
8/2/2019 MA4006 Notes
20/112
I n i n d e x n o t a t i o n t h i s c a n b e r e p r e s e n t e d a s
fixi
.
T h e c u r l o f t h e v e c t o r e l d f(x,y ,z)
i s d e n e d t o b e t h e v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s :
c u r l f =
f3y
f2z
,f1z
f3x
,f2x
f1y
,
( 2 . 1 0 )
w h i c h c a n b e m o r e e a s i l y e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g f o r m :
c u r l f =
d e t
i j k
x
y
z
f1 f2 f3
, ( 2 . 1 1 )
a n d s o c u r l f
i s a v e c t o r e l d .
N o t e :
1 . I n u i d s e v e r y o w o f a n i n c o m p r e s s i b l e u i d m u s t s a t i s f y div v = 0
w h e r e v(x,y ,z)
i s t h e
v e l o c i t y a t a n y p o i n t i n t h e u i d .
2 . A v e c t o r e l d f o r w h i c h div v = 0
i s s a i d t o b e a d i v e r g e n c e - f r e e v e c t o r e l d .
3 . I f v(x,y ,z)
i s t h e v e l o c i t y o f a u i d , t h e n
curl vi s t e r m e d t h e v o r t i c i t y a n d c o n c e r n s w h e t h e r
o r n o t u i d p a r t i c l e s r o t a t e .
4 . I f curl v = 0 e v e r y w h e r e t h e o w i s t e r m e d i r r o t a t i o n a l a n d u i d p a r t i c l e s d o n o t r o t a t e .
E x a m p l e 2 . 7 . 1 F i n d t h e d i v e r g e n c e o f f
i f ( i ) f = (x2 + 2y + z)i + (3y)j + (x3 + y)k
, ( i i ) f = r =
(x,y ,z).
E x a m p l e 2 . 7 . 2 F i n d c u r l f
a n d c u r l c u r l f
w h e r e f = (z + x, x + y, y + z)
.
N o t e : T h e a b o v e e x a m p l e s h o w s t h a t f o r a c o n s t a n t v e c t o r e l d F, w e a l w a y s h a v e c u r l F = 0 ( w h i c h
c a n e a s i l y b e s e e n f r o m ( 2 . 1 1 ) s i n c e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e z e r o i f f1, f2, f3 a r e c o n s t a n t ) .
2 . 7 . 1 P h y s i c a l I n t e r p r e t a t i o n o f t h e D i v e r g e n c e
I m a g i n e a c o m p r e s s i b l e u i d i n a t w o d i m e n s i o n a l o w w i t h d e n s i t y = (x, y)
a n d v e l o c i t y v e c t o r
e l d u(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
, i . e . i n t h i s s i m p l e c a s e t h e v e l o c i t y v e c t o r o n l y h a s t w o c o m p o n e n t s .
C o n s i d e r a s m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n o f d i m e n s i o n s x
a n dy
a n d i m a g i n e a n a m o u n t o f
l i q u i d e n t e r i n g a n d l e a v i n g t h e e l e m e n t i n u n i t t i m e ( i . e . p e r s e c o n d ) , s e e F i g u r e 2 . 4 .
1 9
-
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elementu u
v
v(x, y) (x + x, y)
(x, y + y) (x + x, y + y)
F i g u r e 2 . 4 : S m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n .
T h e m a s s o f l i q u i d p a s s i n g t h r o u g h t h e l e f t h a n d u p r i g h t e d g e i n t h e p o s i t i v e x
d i r e c t i o n i n u n i t
t i m e ( m a s s u x ) i s a p p r o x i m a t e l y
(x, y + y/2)u(x, y + y/2)y.
T h e m a s s o f l i q u i d p a s s i n g t h r o u g h t h e r i g h t h a n d u p r i g h t e d g e i n t h e p o s i t i v e x
d i r e c t i o n i n u n i t
t i m e i s
(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2)y.
T h u s t h e n e t m a s s o w o f l i q u i d p a s s i n g o u t ( t h r o u g h b o t h t h e l e f t h a n d a n d r i g h t h a n d e d g e s ) o f
t h e e l e m e n t p e r u n i t t i m e i s
[(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]y=
[(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]
xxy.
F r o m e l e m e n t a r y c a l c u l u s i f (x, y)u(x, y)
i s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s x
,y
t h e n :
(u)
x= lim
x0
[(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]
x,
a n d s o l e t t i n g t h e s i z e o f t h e u i d e l e m e n t t e n d t o z e r o ( i . e . l e t t i n g x 0 a n d y 0 ) w e a r r i v e a t t h e r e s u l t :
n e t m a s s o w r a t e o f l i q u i d o u t o f e l e m e n t t h r o u g h v e r t i c a l e d g e s a s x 0
i s
(u)x xy .
B y a s i m i l a r a r g u m e n t :
n e t m a s s o w t h r o u g h t h e h o r i z o n t a l e d g e s i s
(v)y xy .
H e n c e t h e n e t o w o f l i q u i d o u t o f t h e ( i n n i t e s i m a l l y ) s m a l l e l e m e n t o f a r e a dxdy
i s g i v e n b y
(u)x
dxdy + (v)y
dxdy =d i v
(u)dxdy =d i v
(u)dV,
2 0
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w h e r e dV
i s t h e " v o l u m e " o f t h e e l e m e n t ( i n t h i s 2 D p r o b l e m i t i s t h e a r e a o f t h e e l e m e n t ) . T h i s i s
t h e o r i g i n o f t h e t e r m d i v e r g e n c e : i t r e f e r s t o t h e a m o u n t o f s o m e q u a n t i t y d i v e r g i n g o u t o f e a c h
p o i n t i n t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n .
T h e a b o v e a r g u m e n t c a n b e g e n e r a l i s e d t o 3 D p r o b l e m s w h e r e t h e o w o c c u r s i n t h r e e d i m e n s i o n s .
T h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n r e s u l t s ( w i t h u
n o w a v e c t o r w i t h 3 c o m p o n e n t s ) :
T h e n e t o w o f l i q u i d o u t o f a n e l e m e n t dxdydz
p e r u n i t t i m e e q u a l s
d i v((x,y ,z)u(x, y, z)) dx dy dz.
I f t h e l i q u i d i s i n c o m p r e s s i b l e , t h e n (x,y ,z)
i s c o n s t a n t a n d s o d i v (u) =
d i vu
. B u t b y c o n s e r -
v a t i o n o f m a s s , t h e s a m e m a s s o f l i q u i d m u s t b e o w i n g i n t o t h e e l e m e n t a s o u t o f i t ( a s t h e r e i s
n o c h a n g e i n d e n s i t y i n t h e l i q u i d e l e m e n t ) a n d s o f o r a n i n c o m p r e s s i b l e l i q u i d
d i vu = 0
a n d h e n c e
d i vu = 0
. I fu
r e p r e s e n t s t h e v e l o c i t y v e c t o r e l d f o r a n y i n c o m p r e s s i b l e o w , t h e n n e c e s s a r i l y
d i vu = 0
e v e r y w h e r e i n t h e o w .
2 . 7 . 2 P h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f c u r l
A s i m i l a r s o r t o f a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d f o r a o w i n g l i q u i d t o s h o w t h a t i f u
i s t h e v e l o c i t y
v e c t o r , t h e n c u r l u
a t a n y p o i n t i s a m e a s u r e o f t h e t e n d e n c y o f t h e u i d e l e m e n t a t t h a t p o i n t t o
r o t a t e . I n p r i n c i p l e c u r l u
c o u l d b e m e a s u r e d b y i n s e r t i n g a l i t t l e p a d d l e w h e e l i n t o t h e u i d a t a n y
p o i n t . T h e r o t a t i o n o f t h e w h e e l w o u l d b e a m e a s u r e o f t h e c u r l .
(x, y) (x + dx, y)
(x, y + dy) (x + dx, y + dy)
1
2
3
4
F i g u r e 2 . 5 : S m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n .
T o s e e t h i s i m a g i n e a l i q u i d o w i n g ( i n 2 D ) w i t h v e l o c i t y v e c t o r u = (u, v)
. C o n s i d e r n o w a s m a l l
s q u a r e i n t h e o w i n g l i q u i d a s i n F i g u r e 2 . 5 . T h e c i r c u l a t i o n o f t h e v e l o c i t y v e c t o r a b o u t t h e s q u a r e
2 1
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i n d i c a t e s t h e t e n d e n c y o f t h e l i q u i d t o m o v e a r o u n d t h e s q u a r e a n d i s d e n e d b y : I G K = H A
u dr =
I E @ A
u dx +
I E @ A
v dy
I E @ A !
u dx
I E @ A "
v dy
=c a l c u l a t i o n o f i n t e g r a l a b o u t t h e s q u a r e
1234.
N o w w r i t e a l l t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s a s T a y l o r s e r i e s a b o u t (x, y)
w h i l e a s s u m i n g v e l o c i t y a l o n g
1 i s ( a p p r o x i m a t e l y ) u(x + dx/2, y)
, a l o n g 2 i s u(x + dx,y + dy/2)
, a l o n g 3 i s u(x + dx/2, y + dy)
a n d a l o n g 4 i s u(x, y + dy/2)
. T h u s , u s i n g T a y l o r s e r i e s t o r s t o r d e r :
a l o n g 1 : u(x + dx/2, y) = u(x + dx/2, y) u(x, y) + dx
2
u
x
a l o n g 2 : u(x + dx,y + dy/2) = v(x + dx,y + dy/2) v(x, y) + dx v
x+
dy
2
v
y
a l o n g 3 : u(x + dx/2, y + dy) = u(x + dx/2, y + dy) u(x, y) + dx
2
u
x+ dy
u
y
a l o n g 4 : u(x, y + dy/2) = v(x, y + dy/2)
v(x, y) +
dy
2
v
y
.
N o t e t h a t t h e v e l o c i t y v e c t o r i s u(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
. I n t h e d i r e c t i o n o f s i d e 1 t h e c o m p o n e n t
o f t h e v e l o c i t y v e c t o r i s j u s t u(x, y)
. S i m i l a r l y i n t h e d i r e c t i o n o f s i d e 2 t h e c o m p o n e n t i s j u s t v(x, y)
e t c . T h u s I G K = H A
u dr
u +dx
2
u
x
dx +
v + dx
v
x+
dy
2
v
y
dy
u +dx
2
u
x+ dy
u
y
dx
v +
dy
2
v
y
dy
v
x u
y
dxdy.
B u t
vx uy i s t h e t h i r d c o m p o n e n t o f c u r l u, s e e ( 2 . 1 0 ) , a n d s o t h e c i r c u l a t i o n p e r u n i t a r e a ( a s
dxdyi s t h e a r e a o f t h e s q u a r e ) i s t h e t h i r d c o m p o n e n t o f c u r l
u. W e c a n a l s o i n t e r p r e t t h i s a s
m e a n i n g t h a t t h e c i r c u l a t i o n a b o u t a n i n n i t e s i m a l a r e a e q u a l s t h e c o m p o n e n t o f t h e c u r l n o r m a l
t o t h e a r e a ( a s t h e s q u a r e i n F i g u r e 2 . 5 w a s i n t h e (x, y)
p l a n e w h i l e t h e c i r c u l a t i o n p e r u n i t a r e a
w a s t h e c o m p o n e n t o f t h e c u r l i n t h e z
- d i r e c t i o n ) .
V e c t o r e l d s f o r w h i c h t h e c u r l i s z e r o e v e r y w h e r e a r e s a i d t o b e c u r l - f r e e o r i r r o t a t i o n a l v e c t o r
e l d s .
E x a m p l e 2 . 7 . 3 A u i d h a s v e l o c i t y e l d u = (x+z, y2, 0)
. C h e c k w h e t h e r t h e o w i s i n c o m p r e s s i b l e
a n d / o r i r r o t a t i o n a l .
2 . 8 T h e D e l O p e r a t o r
A n e q u a t i o n l i k e
d2y
dx2 + 2
dy
dx+ 3y = 0
i s s o m e t i m e s w r i t t e n a s d2
dx2+ 2
d
dx+ 3
y = 0
o r(D2 + 2D + 3)y = 0
w i t h D d
dx.
2 2
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Di s c a l l e d a n o p e r a t o r a n d i t n e e d s a n o p e r a n d t o m a k e s e n s e , i . e i t c a n n o t s t a n d a l o n e . S o , f o r
e x a m p l e
D(y) =dy
dx.
.
N o t e t h a t t h e
Do p e r a t o r o b e y s s o m e b u t n o t a l l t h e r u l e s o f o r d i n a r y a l g e b r a , e . g .
D(uv) =uD(v) = uvD
. I n f a c t , D(uv) = uD(v) + vD(u)
w h i c h i s j u s t t h e p r o d u c t r u l e f o r d i e r e n t i a t i o n .
2 . 8 . 1 T h e D e l O p e r a t o r i n C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s
T h e e x p r e s s i o n
i x
+j
y+ k
z=
x,
y,
z
,
( 2 . 1 2 )
i s c a l l e d t h e d e l o p e r a t o r o r d e l o r n a b l a .
U n d e r r o t a t i o n o f a x e s ( o r t r a n s l a t i o n ) b e h a v e s l i k e a v e c t o r a n d i s t e r m e d a v e c t o r o p e r a t o r ( c o m p a r e
Da b o v e ) . T h u s w e f o r m a l l y d e n e :
= g r a d , ( 2 . 1 3 )
a n d w e t h i n k o f a s o p e r a t i n g o n t h e s c a l a r e l d (x,y ,z). S i m i l a r l y w e d e n e ( f o r t h e v e c t o r e l d v(x,y ,z)) :
v = d i v v, ( 2 . 1 4 )
a n d l i k e w i s e
v = c u r l v. ( 2 . 1 5 )
A s w i t h t h e D
o p e r a t o r , t h e c o m p o n e n t s o f a c t o n l y u p o n t h e f u n c t i o n t o t h e i r r i g h t .
2 3
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+ D = F J A H !
L i n e , S u r f a c e & V o l u m e I n t e g r a l s
T y p i c a l l y a d e n i t e i n t e g r a l w i l l l o o k l i k e
ba f(x) dx w h e r e f(x) i s c a l l e d t h e i n t e g r a n d a n d a, b a r e
t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n w h i c h p h y s i c a l l y c o r r e s p o n d s t o g e t t i n g t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e b e t w e e n
aa n d
b( s e e F i g u r e 3 . 1 ) . T h i s i n t e g r a l i s d e n e d a s f o l l o w s :
ba
f(x) dx = limm
mi=1
f(xi)xi. ( 3 . 1 )
I n t e g r a t i o n i s m e r e l y a l i m i t i n g s u m m a t i o n a n d f o r m o r e a d v a n c e d t y p e s o f i n t e g r a t i o n , w e d e n e
e v e r y t h i n g i n a n a n a l o g o u s f a s h i o n .
y
xa bx
y = f(x)
F i g u r e 3 . 1 :
ba f(x) dx =
a r e a u n d e r c u r v e
y = f(x)b e t w e e n
x = aa n d
x = b.
I n p r a c t i c e , o n e o f t e n u s e s t h e f a c t t h a t i n t e g r a t i o n a n d d i e r e n t i a t i o n a r e i n v e r s e o p e r a t i o n s t o
c a r r y o u t i n t e g r a t i o n s , e . g .
sin x dx = cos x b e c a u s e ddx(cos x) = sin x. I t i s i m p o r t a n t t o
a p p r e c i a t e t h a t t h i s i s a u s e f u l w a y o f e v a l u a t i n g m a n y e l e m e n t a r y i n t e g r a l s b u t t h a t i n t e g r a t i o n
i s a c t u a l l y d e n e d a s t h e l i m i t i n g s u m m a t i o n i n ( 3 . 1 ) . I f o n e k n o w s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f(x)
a t a l l v a l u e s o f x [a, b], t h e n i n p r i n c i p l e o n e c a n e v a l u a t e t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e i n F i g u r e 3 . 1
( i . e . e s t i m a t e t h e v a l u e o f t h e d e n i t e i n t e g r a l ) w h e t h e r o r n o t o n e k n o w s t h e a n t i d e r i v a t i v e o f t h e
i n t e g r a n d .
2 4
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A s t h e d e n i t e i n t e g r a l i s t h e m o s t b a s i c t y p e o f i n t e g r a l t h e u s u a l s t r a t e g y i n e v a l u a t i n g m o r e
c o m p l i c a t e d i n t e g r a l s ( t o b e i n t r o d u c e d i n t h i s c h a p t e r ) i s b y r e d u c t i o n t o d e n i t e i n t e g r a l s b y
s o m e m e a n s o r a n o t h e r .
3 . 1 L i n e I n t e g r a l o f a s c a l a r e l d
T h i s i s a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e d e n i t e i n t e g r a l . C o n s i d e r a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e i n s p a c e C
w i t h
i n t r i n s i c p a r a m e t r i c e q u a t i o n
r = r(s) = (x(s), y(s), z(s)), 0 s l,( 3 . 2 )
w h e r e s
i s t h e a r c l e n g t h a l o n g t h e c u r v e . S u p p o s e t h a t s o m e s c a l a r f u n c t i o n (x,y ,z)
i s d e n e d
a t e v e r y p o i n t o f C
. W e b r e a k C
u p i n t o l i t t l e s t r i p s ( s e e F i g u r e 3 . 2 ) a n d c o n s i d e r
a s b e i n g
a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t o v e r e a c h s t r i p .
A
B
C
s
P
PP
1
2
3
F i g u r e 3 . 2 : B r e a k i n g t h e c u r v e C
i n t o s t r i p s .
N o w c o n s i d e r t h e s u m :
(P1)s + (P2)s + . . . + (Pn)s =n
i=1
(Pi)s
a n d d e n e t h e l i m i t :
limn
ni=1
(Pi)s =
C
(x,y ,z) ds =
C
(s) ds,( 3 . 3 )
t o b e t h e l i n e i n t e g r a l o f t h e s c a l a r f u n c t i o n (x,y ,z)
a l o n g t h e c u r v e C
, c a l l e d t h e p a t h o f i n t e g r a -
t i o n . T h e l a s t e q u a l i t y c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t b e c a u s e t h e c u r v e C
i s r e p r e s e n t e d b y ( 3 . 2 ) , t h e n
a l o n g t h e c u r v e e a c h o f x
,y
,z
i s a f u n c t i o n o f s
a n d s o = (s)
a l o n g C
a l s o . I n ( 3 . 3 ) i t i s p o s s i b l e
t o p u t l i m i t s o n t h e i n t e g r a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a l u e s o f s
a t t h e s t a r t a n d e n d p o i n t s o f t h e
c u r v e C
. T h u s t h e i n t e g r a l c a n a l s o b e w r i t t e n a s : s1s0
(s)ds,( 3 . 4 )
2 5
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27/112
w h e r e s0 , s1 a r e t h e v a l u e s o f t h e a r c l e n g t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o e n d s o f t h e c u r v e ( t y p i c a l l y
s0 = 0 i f w e c h o o s e t o m e a s u r e t h e d i s t a n c e f r o m t h i s p o i n t ) .
T h e n o r m a l w a y o f e v a l u a t i n g a l i n e i n t e g r a l i s b y o b t a i n i n g a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e
p a t h o f i n t e g r a t i o n C
, t h a t i s C
:x = x(t)
,y = y(t)
,z = z(t)
, w i t h t
v a r y i n g , i . e . t
. T h e n
C
(x,y ,z)ds =
(x(t), y(t), z(t))ds
dt dt
=
(x(t), y(t), z(t))
dx
dt
2+
dy
dt
2+
dz
dt
2dt,
( 3 . 5 )
u s i n g t h e e x p r e s s i o n i n ( 1 . 7 ) t o r e p l a c e
dsdt . T h e m e t h o d i s b e s t i l l u s t r a t e d b y a n e x a m p l e .
E x a m p l e 3 . 1 . 1 E v a l u a t e
C ds w h e r e (x,y ,z) = xy
3a n d
Ci s t h e s e g m e n t o f t h e l i n e
y = 2x,
z = 0i n t h e
xyp l a n e f r o m
(1, 2, 0) t o (1, 2, 0).
S u m m a r i s i n g : l i n e i n t e g r a l s a r e e v a l u a t e d b y o b t a i n i n g a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e p a t h
o f i n t e g r a t i o n r = r(t), u s i n g t h e f a c t t h a t ds = dsdt dt a n d t h e n w r i t i n g t h e i n t e g r a n d a n ddsdt i n
t e r m s o f
tr e d u c i n g i t t o a d e n i t e i n t e g r a l .
E x a m p l e 3 . 1 . 2 E v a l u a t e
C ds w h e n = x
2 + y2a n d
Ci s t h e t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t
(0, 0, 0),
(1, 0, 0),
(0, 1, 0)( s e e F i g u r e 3 . 3 ) .
x
y
z
O
A(1,0,0)
B(0,1,0)
F i g u r e 3 . 3 : T r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t
(0, 0, 0),
(1, 0, 0),
(0, 1, 0).
R e m a r k s :
( i ) T h e l i n e i n t e g r a l a l o n g a c u r v e C
i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i r e c t i o n a l o n g w h i c h t h e c u r v e i s
t r a v e r s e d a s l o n g a s a r c l e n g t h i s t a k e n t o b e i n c r e a s i n g w h e n w e m o v e f r o m t h e d e s i g n a t e d
s t a r t p o i n t t o t h e d e s i g n a t e d e n d p o i n t , i . e . C
ds =
C
ds.
2 6
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( i i ) F o r a l i n e i n t e g r a l a b o u t a c l o s e d c u r v e ( f o r e x a m p l e a c i r c l e ) t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i s
i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t a t w h i c h o n e s t a r t s . S u c h i n t e g r a l s a r e o f t e n w r i t t e n a s
C ds t o
e m p h a s i z e t h e f a c t t h a t t h e i n t e g r a t i o n c u r v e i s c l o s e d .
( i i i ) A n a l o g o u s t o d e n i t e i n t e g r a l s w e h a v e
Ck ds = k
C ds
w h e r e k
i s a c o n s t a n t . I n a d d i t i o n
( a s o c c u r r e d i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e ) i t i s p o s s i b l e t o s p l i t u p t h e r a n g e o f i n t e g r a t i o n a n d
a d d t h e c o n s t i t u e n t p a r t s t o g e t h e r : C
ds =
C1
ds +
C2
ds,
w h e r e C = C1 + C2 . F i n a l l y , a n a l o g o u s t o d e n i t e i n t e g r a l s w e h a v e :
C(f + g) ds =
C
f ds +
C
g ds.
E x e r c i s e : E v a l u a t e t h e l i n e i n t e g r a l o f = (a2y2/b2+b2x2/a2)1/2 a r o u n d t h e e l l i p s e x2/a2+y2/b2 =
1,
z = 0, w h e r e
a,
ba r e k n o w n c o n s t a n t s . [ H i n t : T h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s o f t h e e l l i p s e a r e :
x = a cos ,
y = b sin ,
z = 0, f o r
0 2 ] .
3 . 2 L i n e I n t e g r a l s o f a V e c t o r F i e l d
L e tf
b e a v e c t o r d e n e d a t a l l p o i n t s o n a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e C
. L e t t
d e n o t e t h e u n i t t a n g e n t
a l o n g C
. W e d e n e :
I =C
f t ds, ( 3 . 6 )
t o b e t h e s c a l a r l i n e i n t e g r a l o f f
a l o n g C
. ( I t i s a s c a l a r b e c a u s e o f t h e d o t p r o d u c t ) .
I fr = r(s)
i s t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a n y p o i n t o n C
t h e n
t =dr
ds,
( 3 . 7 )
a n d w e c a n w r i t e t h e i n t e g r a l a s :
I =C f
dr
ds ds =C f dr,
( 3 . 8 )
( w h e r e r = (x,y ,z) i s t h e u s u a l p o s i t i o n v e c t o r a n d dr = (dx,dy,dz)) .
I f t h e c u r v e C
i s c l o s e d t h e i n t e g r a l i s c a l l e d t h e c i r c u l a t i o n o f t h e v e c t o r f
a b o u t t h e c u r v e a n d
i s w r i t t e n :
C i r c u l a t i o n =
C
f dr. ( 3 . 9 )
I n u i d m e c h a n i c s i f u
i s t h e v e l o c i t y e l d v e c t o r t h e c i r c u l a t i o n a b o u t a c l o s e d c u r v e i . e .
Cu dr
i n d i c a t e s t h e t e n d e n c y o f u i d e l e m e n t s t o m o v e a r o u n d t h e c u r v e C
.
N o t e t h a t t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e i n t e g r a t i o n i s c a r r i e d o u t i n a l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d i s
i m p o r t a n t . I f w e r e v e r s e t h e d i r e c t i o n o f i n t e g r a t i o n t
i s a l s o r e v e r s e d a n d t h e i n t e g r a l c h a n g e s s i g n .
2 7
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S o , f o r e x a m p l e i f w e a r e t a l k i n g a b o u t t h e s c a l a r l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d a b o u t a c i r c l e , w e
m u s t d e n e t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e i n t e g r a t i o n i s t o b e c a r r i e d o u t ( c l o c k w i s e o r a n t i c l o c k w i s e ) .
T h e t e c h n i q u e f o r e v a l u a t i n g s c a l a r l i n e i n t e g r a l s o f a v e c t o r e l d i s s i m i l a r t o t h a t u s e d f o r l i n e
i n t e g r a l s o f a s c a l a r e l d . A p a r a m e t r i c d e n i t i o n o f t h e c u r v e C
m u s t b e f o u n d i n t h e f o r m r = r(t)
( n o t e t h a t t h i s p a r a m e t e r t
i s a d u m m y p a r a m e t e r : w e c o u l d h a v e j u s t a s e a s i l y w r i t t e n r = r()
) .
T h e n t h e i n t e g r a n d i s w r i t t e n c o m p l e t e l y i n t e r m s o f t h e p a r a m e t e r t
. F i n a l l y , w e u s e t h e f a c t t h a t
dr = drdt dt = r(t)dt
( c o m p a r e w i t h t h e e q u i v a l e n t s t e p f o r w r i t i n g ds
i n t e r m s o f dt
i n t h e c a s e o f
t h e l i n e i n t e g r a l o f a s c a l a r e l d ) .
E x a m p l e 3 . 2 . 1 E v a l u a t e
C f dr f o r t h e v e c t o r e l d f = (z ,x,y) a l o n g t h e c u r v e C = t h e c i r c l e
x2 + y2 = a2,
z = 0, d e s c r i b e d i n a c l o c k w i s e s e n s e f o r a n o b s e r v e r l o o k i n g a l o n g t h e p o s i t i v e
z- a x i s .
3 . 2 . 1 W o r k
I n m e c h a n i c s , i f a f o r c e f
m o v e s i t s p o i n t o f a p p l i c a t i o n a l o n g a c u r v e C
i n d o i n g w o r k t h e n t h e
a m o u n t o f w o r k d o n e i s g i v e n b y t h e l i n e i n t e g r a l :
W o r k d o n e =
C
f dr.
E x a m p l e 3 . 2 . 2 F i n d t h e w o r k d o n e i n m o v i n g a p a r t i c l e i n a f o r c e e l d g i v e n b y
F(x,y ,z) = 3xyi 5zj + 10xk,
a l o n g t h e c u r v e w i t h p a r a m e t r i c d e n i t i o n r(t) = (t2 + 1, 2t2, t3)
, f o r 1 t 2.
3 . 2 . 2 C o n s e r v a t i v e F i e l d s
F r o m i n t r o d u c t o r y c a l c u l u s w e h a d t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f C a l c u l u s w h i c h t o l d u s h o w
t o e v a l u a t e d e n i t e i n t e g r a l s , i . e . b
aF(x) dx = F(b) F(a).
I t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s a v e r s i o n o f t h i s f o r l i n e i n t e g r a l s o v e r c e r t a i n k i n d s o f v e c t o r e l d s :
T h e o r e m 3 . 2 . 1 S u p p o s e t h a t C
i s a s m o o t h c u r v e g i v e n b y r(t)
, f o r a t b. A l s o s u p p o s e t h a t
fi s a f u n c t i o n w h o s e g r a d i e n t v e c t o r , f, i s c o n t i n u o u s o n C. T h e n
Cf dr = f
(r(b)
) f(
r(a)
).
( 3 . 1 0 )
[ W e o m i t t h e p r o o f ] .
2 8
-
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E x a m p l e 3 . 2 . 3 E v a l u a t e
Cf dr w h e r e f(x,y ,z) = cos x + sin y xyz a n d C i s a n y p a t h
t h a t s t a r t s a t t h e p o i n t (1, 12 , 2) a n d e n d s a t (2, 1, 1).
S o l u t i o n . F i r s t n o t i c e t h a t w e d i d n o t s p e c i f y t h e p a t h f o r g e t t i n g f r o m t h e i n i t i a l p o i n t t o t h e e n d
p o i n t . T h e r e a s o n f o r t h i s i s s i m p l e : T h e o r e m 3 . 2 . 1 t e l l s u s t h a t a l l w e n e e d a r e t h e i n i t i a l a n d e n d
p o i n t s o n t h e c u r v e i n o r d e r t o e v a l u a t e t h i s k i n d o f l i n e i n t e g r a l . T h u s C
f dr = f(2, 1, 1) f
1,1
2, 2
= cos 2 + sin (2)(1)(1)
cos + sin
2 (1)
1
2
(2)
= 4.
T h e i m p o r t a n t i d e a f r o m t h i s e x a m p l e i s t h a t , f o r t h e s e k i n d s o f l i n e i n t e g r a l s , w e d i d n o t n e e d t o
k n o w t h e p a t h t o g e t t h e a n s w e r . I n o t h e r w o r d s , w e c o u l d u s e a n y p a t h w e w a n t a n d w e w i l l a l w a y s
g e t t h e s a m e r e s u l t s .
D e n i t i o n 3 . 2 . 1 ( i )F
i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d i f t h e r e i s a s c a l a r f u n c t i o n
s u c h t h a t
F = . T h e f u n c t i o n i s c a l l e d a p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e v e c t o r e l d .
( i i )
CF dr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h i f
C1
F dr = C2 F dr w h e r e C1 a n d C2 a r e a n y t w o p a t h s w i t h t h e s a m e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s .
T h e n w e h a v e t h e f o l l o w i n g t w o f a c t s :
( i )
Cfdr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h . [ T h i s i s e a s y e n o u g h t o p r o v e s i n c e a l l w e n e e d t o d o i s l o o k
a t T h e o r e m 3 . 2 . 1 . I t t e l l s u s t h a t i n o r d e r t o e v a l u a t e t h i s i n t e g r a l a l l w e n e e d a r e t h e i n i t i a l
a n d e n d p o i n t s o f t h e c u r v e . T h i s i n t u r n t e l l s u s t h a t t h e l i n e i n t e g r a l m u s t b e i n d e p e n d e n t
o f p a t h ] .
( i i ) I f F
i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d t h e n
CF dr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h . [ T h i s f a c t i s a l s o
e a s y e n o u g h t o p r o v e . I f F
i s c o n s e r v a t i v e t h e n i t h a s a p o t e n t i a l f u n c t i o n ,
, a n d s o t h e l i n e
i n t e g r a l b e c o m e s C dr. T h e n , u s i n g f a c t ( i ) w e k n o w t h a t t h i s l i n e i n t e g r a l m u s t b e i n d e p e n d e n t o f p a t h ] .
F a c t ( i i ) t e l l s u s t h a t w e c a n e a s i l y e v a l u a t e t h i s l i n e i n t e g r a l p r o v i d e d w e c a n n d a p o t e n t i a l
f u n c t i o n f o r F: C
F dr =C
dr = (r(b)) (r(a)). ( 3 . 1 1 ) T h e r e a r e t w o q u e s t i o n s w e w i s h t o a s k :
1 . G i v e n a v e c t o r e l d F
i s t h e r e a n y w a y o f d e t e r m i n i n g i f i t i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d ?
2 . I f w e k n o w t h a t F
i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d h o w d o w e g o a b o u t n d i n g a p o t e n t i a l f u n c t i o n
f o r t h e v e c t o r e l d ?
2 9
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31/112
T h e r s t q u e s t i o n i s e a s y t o a n s w e r b e c a u s e i t t u r n s o u t t h a t t o d e t e r m i n e i f a e l d i s c o n s e r v a t i v e
i t i s s u c i e n t t o c h e c k i f t h e e l d i s i r r o t a t i o n a l , t h a t i s ,
Fc o n s e r v a t i v e
c u r l
F = F = 0.
T h i s f o l l o w s s i n c e a c o n s e r v a t i v e e l d t h e v e c t o r F
h a s a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l
, t h a t i s ,
= F. T h e n f r o m t h e d e n i t i o n i n ( 2 . 1 1 ) w e h a v e c u r l
= = 0. T h i s c a n b e s e e n f r o m
e v a l u a t i n g t h e d e t e r m i n a n t :
=
i j k
x
y
z
x
y
z
= 0.
N o w t h a t w e k n o w h o w t o i d e n t i f y i f a v e c t o r e l d i s c o n s e r v a t i v e w e n e e d t o a d d r e s s h o w t o n d
a p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e v e c t o r e l d . T h i s i s a c t u a l l y a f a i r l y s i m p l e p r o c e s s . F i r s t , w e a s s u m e
t h a t t h e v e c t o r e l d i s c o n s e r v a t i v e a n d s o w e k n o w t h a t a p o t e n t i a l f u n c t i o n e x i s t s s u c h t h a t
F = . I f
F = (P,Q,R)w e c a n t h e n s a y t h a t
=
x,
y,
z
= (P,Q,R).
O r , e q u a t i n g c o m p o n e n t s
x= P,
y= Q,
z= R.
W e t h e n i n t e g r a t e e a c h o f t h e s e w i t h r e s p e c t t o t h e a p p r o p r i a t e v a r i a b l e . I t i s u s u a l l y b e s t t o s e e
h o w t o n d a p o t e n t i a l f u n c t i o n i n p r a c t i c e f r o m a n e x a m p l e o r t w o .
E x a m p l e 3 . 2 . 4 S h o w t h a t t h e v e c t o r e l d v = gk
( w h e r e g
i s t h e c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n d u e t o
g r a v i t y ) i s c o n s e r v a t i v e . D e t e r m i n e a n a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l
f o r t h e v e c t o r e l dv
.
E x a m p l e 3 . 2 . 5 ( O l d e x a m q u e s t i o n ) S h o w t h a t F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k
i s a c o n s e r v a t i v e
v e c t o r e l d a n d d e t e r m i n e a n a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l
f o r t h i s v e c t o r e l d . H e n c e n d CFdrw h e r e C i s t h e c u r v e d e s c r i b e d b y r(t) = (t2 + 1, 2t2, t3), f o r 1 t 2.
S o l u t i o n . N o w
F =
i j k
x
y
z
2xy + z3 x2 3xz2
= i
y
z
x
2
3xz
2
j
x
z
2xy + z
3
3xz
2
+ k
x
y
2xy + z
3
x
2
= i(0) j(3z2 3z2) + k(2x 2x) = 0.
3 0
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32/112
S oF
i s c o n s e r v a t i v e a n d t h e r e e x i s t s
s u c h t h a t F =
o r
( i )
x= 2xy + z3,
( i i )
y= x2,
( i i i )
z= 3xz2.
I n t e g r a t i n g ( i ) w . r . t . x
g i v e s
= x2y + z3x + f(y, z).
N o w d i e r e n t i a t i n g t h i s w . r . t . y
g i v e s
y= x2 +
f
y.
F r o m c o m p a r i n g w i t h ( i i ) w e d e d u c e t h a t
fy = 0 a n d i n t e g r a t i n g w . r . t . y t h e n g i v e s f = f(z).
H e n c e
b e c o m e s
= x2y + z3x + f(z).
N o w d i e r e n t i a t i n g t h i s w . r . t . z g i v e s
z= 3z2x +
f
z.
F r o m c o m p a r i n g w i t h ( i i i ) w e d e d u c e t h a t
fz = 0 a n d s o f = c = c o n s t . H e n c e
= x2y + z3x + c.
F i n a l l y , t o n d
CF dr w e u s e T h e o r e m 3 . 2 . 1 , n o i n t e g r a t i o n i s r e q u i r e d ! N o w , r(a) = r(1) =
(2, 2, 1)a n d
r(b) = r(2) = (5, 8, 8). H e n c e
CF dr =
C
dr = (r(b)) (r(a))
=[
(5)2(8) + (8)3(5) + c] [(2)2(2) + (1)3(2) + c] = 2570.
N o t e t h a t t h e u n k n o w n c o n s t a n t c
c o n v e n i e n t l y c a n c e l l e d o u t i n t h i s c a l c u l a t i o n .
3 . 2 . 3 V e c t o r L i n e I n t e g r a l s
A n o t h e r c o m m o n t y p e o f l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d c a l l e d a v e c t o r l i n e i n t e g r a l t a k e s t h e f o r m C fds a n d i s d e n e d a s f o l l o w s :
Cfds = i
C
f1ds +j
C
f2 ds + k
C
f3 ds,
w h e r e f = (f1, f2, f3). T h i s i n t e g r a l r e s u l t s i n a v e c t o r a n d t o c a r r y i n t e g r a t i o n i n v o l v e s c o m p u t i n g
t h r e e s c a l a r l i n e i n t e g r a l s ( w h i c h w e s a w h o w t o d e a l w i t h i n 3 . 1 ) .
3 1
-
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33/112
3 . 3 R e p e a t e d I n t e g r a l s
A n i n t e g r a l o f t h e f o r m : ba
q(x)p(x)
f(x, y) dy dx,
w h e r e a
,b
a r e k n o w n c o n s t a n t s , p(x)
,q(x)
a r e k n o w n f u n c t i o n s o f x
, a n d f(x, y)
i s a k n o w n f u n c t i o n
o f(x, y)
i s c a l l e d a r e p e a t e d i n t e g r a l . I t i s e v a l u a t e d b y r s t c a l c u l a t i n g t h e i n n e r i n t e g r a l :
q(x)p(x)
f(x, y) dy,
w h i l e h o l d i n g x
c o n s t a n t i n t h e i n t e g r a t i o n , i . e . c a r r y i n g o u t t h i s i n t e g r a t i o n a s i f x
w e r e a c o n s t a n t .
W h e n t h i s i n t e g r a l h a s b e e n e v a l u a t e d a n d t h e l i m i t v a l u e s l l e d i n , w h a t r e m a i n s i s a f u n c t i o n o f
xo n l y
= I(x)a s w h e r e v e r
ya p p e a r s i t h a s b e e n r e p l a c e d b y
p(x),
q(x). N o w w e h a v e :
baq(x)p(x) f(x, y) dy dx =
baq(x)
p(x) f(x, y) dy
dx =ba I(x)dx,
a n d e v a l u a t i o n o f t h e r e p e a t e d i n t e g r a l h a s r e d u c e d t o e v a l u a t i o n o f a d e n i t e i n t e g r a l a s I(x)
i s a
k n o w n f u n c t i o n o f x
.
G e n e r a l R u l e o f T h u m b :
T h e l i m i t s o n t h e i n n e r i n t e g r a t i o n c a n b e f u n c t i o n s o f t h e o u t e r v a r i a b l e ( x
a b o v e ) b u t t h e l i m i t s o n
t h e o u t e r m o s t i n t e g r a l m u s t b e c o n s t a n t s . I n t h e s p e c i a l c a s e w h e n b o t h s e t s o f l i m i t s a r e c o n s t a n t s
t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n m a y b e r e v e r s e d , i . e . ba
dc
f(x, y) dy dx =
dc
ba
f(x, y) dxdy,
p r o v i d e d a
,b
,c
,d
a r e c o n s t a n t s .
E x a m p l e 3 . 3 . 1 E v a l u a t e
I =
10
xx/2
xy dy dx.
E x a m p l e 3 . 3 . 2 E v a l u a t e
I =
/40
y0
sin y
ydxdy.
3 . 4 D o u b l e a n d a r e a i n t e g r a l s
L e tf(x, y)
b e a s c a l a r f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s d e n e d o v e r a c l o s e d r e g i o n R
i nxy
s p a c e a s s h o w n
i n F i g u r e 3 . 4 . W e s u b d i v i d e R
b y d r a w i n g p a r a l l e l l i n e s t o t h e x
a n dy
a x e s a n d n u m b e r t h o s e
r e c t a n g l e s w h i c h a r e w i t h i n R f r o m 1 t o n . I n e a c h s u c h r e c t a n g l e w e c h o o s e a p o i n t , s a y (xk, yk)
i n t h e k
t h r e c t a n g l e , a n d d e n e :
3 2
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y
x
R
F i g u r e 3 . 4 : I n t e g r a l o v e r a 2 D a r e a R
.
Jn =n
k=1
f(xk, yk)Ak,
w h e r e Ak i s t h e a r e a o f t h e k t h r e c t a n g l e . N o w l e t n t e n d t o i n n i t y :
limn
Jn = limn
nk=1
f(xk, yk)Ak =
R
f dA =
R
f dxdy,
w h e r e t h e l i m i t s o f t h e i n t e g r a t i o n i n t e r m s o f x
a n dy
a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e r e g i o n R
. T h u s
w e w r i t e t h e a r e a i n t e g r a l a s a r e p e a t e d i n t e g r a l w h i c h w e c a n e v a l u a t e a s i n 3 . 3 . T h e m a i n
d i c u l t y i n e v a l u a t i n g a r e a i n t e g r a l s i s i n c h o o s i n g t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n t o c o r r e s p o n d t o t h e
r e g i o n o f i n t e g r a t i o n R
. N o t e , t h e n o t a t i o n R
f dAi n s t e a d o f
Rf dA
c a n a l s o b e u s e d .
E x a m p l e 3 . 4 . 1 E v a l u a t e
R xydA w h e r e R i s t h e s q u a r e f o r m e d b y t h e p o i n t s (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
E x a m p l e 3 . 4 . 2 E v a l u a t e
R xydA w h e r e R i s b o u n d e d b y t h e c o o r d i n a t e p l a n e s a n d t h e l i n e s y =
x/2a n d
y = 1/2.
S o l u t i o n . T h e r e g i o n o f i n t e g r a t i o n i s c l e a r l y t h a t i n F i g u r e 3 . 5 .
L e t u s c h o o s e t o i n t e g r a t e r s t w . r . t . x
a n d t h e n w . r . t . y
s o t h e x
v a r i a b l e i s t h e i n n e r v a r i a b l e
a n d d u r i n g t h e r s t i n t e g r a t i o n y
i s h e l d c o n s t a n t . I n t h i s c a s e t h e r e g i o n R
i s d e s c r i b e d b y t h e
i n e q u a l i t i e s : 0 x 2y ; 0 y 1/2 a n d t h e a r e a i n t e g r a l i s
I =
R
xydA =
y=1/2y=0
x=2yx=0
xydxdy
=
y=1/2y=0
x2y
2
x=2yx=0
dy
=1/20
2y3 dy =
y
4
21/20
= 132 .
3 3
-
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35/112
y = x/2
(1, 0)x
y
(1, 1/2)(0, 1/2)
F i g u r e 3 . 5 : R e g i o n o f i n t e g r a t i o n f o r E x a m p l e 3 . 4 . 2 .
N o t e a g a i n t h a t i n p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n w . r . t . x
r s t w e a r e i n t e g r a t i n g a c r o s s h o r i z o n t a l
s t r i p s a n d t h e l i m i t s o n x
v a r y ( a s f u n c t i o n s o f y
f r o m s t r i p t o s t r i p , s e e F i g u r e 3 . 5 ) .
A l t e r n a t i v e l y , w e c a n r e v e r s e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n n o t i n g t h a t