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  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    1/112

    M A 4 0 0 6 - E n g i n e e r i n g M a t h e m a t i c s V

    ( V e c t o r C a l c u l u s a n d P a r t i a l D i e r e n t i a l

    E q u a t i o n s )

    D r . S a r a h M i t c h e l l ( s a r a h . m i t c h e l l @ u l . i e )

    O c e : B 3 0 4 2

    A p r i l 6 , 2 0 1 2

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    2/112

    + D = F J A H

    V e c t o r f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e

    1 . 1 D e n i t i o n o f a V e c t o r f u n c t i o n

    D e n i t i o n 1 . 1 . 1 S u p p o s e t h e c o m p o n e n t s o f a v e c t o r

    f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)), ( 1 . 1 )

    a r e s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n s o f a r e a l v a r i a b l e . T h e n f

    i s c a l l e d a v e c t o r f u n c t i o n o ft

    .

    f(t)i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f

    ti f

    f1(t) , f2(t) a n d f3(t) a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . ( R o u g h l y s p e a k i n g ,

    a f u n c t i o n i s c o n t i n u o u s i f i t s v a l u e d o e s n o t c h a n g e s u d d e n l y a t a n y p o i n t ) .

    E x a m p l e s :

    f(t) = (2,

    t, sin t), 0 t < f(t) = (t3, t, 3), t 2f(t) = (2t2, 2, 6t1), 2 < t < .

    1 . 2 G e o m e t r i c a l R e p r e s e n t a t i o n o f a V e c t o r f u n c t i o n

    C o n s i d e r a p o s i t i o n v e c t o r

    OP

    w h e r e O i s t h e o r i g i n a n d P i s t h e p o i n t f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) .

    A s t v a r i e s o v e r i t ' s r a n g e o f v a l u e s , P d e s c r i b e s a c u r v e i n 3 d i m e n s i o n s . T h e e q u a t i o n

    OP = r = f(t),

    ( 1 . 2 )

    w h e r e r = (x,y ,z)

    i s c a l l e d t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f t h e c u r v e d e s c r i b e d b y P

    (t

    i s t h e

    p a r a m e t e r ) . H e r e t

    i s c a l l e d t h e p a r a m e t e r a n d t o c o m p l e t e l y s p e c i f y t h e c u r v e , t h e r a n g e o v e r

    w h i c h t

    v a r i e s m u s t a l s o b e g i v e n a s i n t h e e x a m p l e s a b o v e ( s e e F i g u r e 1 . 1 ) .

    E x a m p l e 1 . 2 . 1 F i n d t h e l o c u s o f

    Pa s

    v a r i e s

    (0 2)( w i t h

    c o n s t a n t ) i f

    OP = ( cos , 0, sin ).

    1

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    3/112

    z

    x

    y

    P

    r(t)

    C

    F i g u r e 1 . 1 : A c u r v e i n 3 D d e s c r i b e d b y a p o i n t P

    w h o s e p o s i t i o n i s g i v e n b y a n e q u a t i o n o f t h e t y p e

    r = f(t).

    E x a m p l e 1 . 2 . 2 L e ta

    a n db

    b e t h e p o s i t i o n v e c t o r s r e l a t i v e t o t h e o r i g i n o f t h e p o i n t s A

    ,B

    . S h o w

    t h a t t h e e q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A

    ,B

    c a n b e e x p r e s s e d i n t h e f o r m :

    r = a + (b a)t,( 1 . 3 )

    w h e r e t

    i s a p a r a m e t e r i n t h e r a n g e < t < .

    S o l u t i o n . T h e p o s i t i o n v e c t o r o f B

    r e l a t i v e t o A

    i s

    AB = b a.

    T h e p o i n t P

    w i t h p o s i t i o n v e c t o r r

    l i e s o n t h e l i n e t h r o u g h A

    a n dB

    ( s e e F i g u r e 1 . 2 ) i f a n d o n l y i f

    AP = (b a)t,

    w h e r e t

    i s s o m e r e a l n u m b e r . N o t i n g t h a t

    OP =

    OA +

    AP ,

    w e h a v e r = a + (b a)t

    . T h i s i s t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A

    a n dB

    b e c a u s e t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a l l p o i n t s o n t h e l i n e c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h i s f o r m .

    I n t u i t i v e l y n o t e t h a t t h e v e c t o r b a i s p a r a l l e l t o AB s o i n e q u a t i o n ( 1 . 3 ) t h e r s t t e r m o n t h e R H S p i c k s o u t t h e p o i n t

    Aa n d t h e s e c o n d t e r m m o v e s t h e p o i n t i n a d i r e c t i o n p a r a l l e l t o t h e l i n e

    AB. T h e v a l u e o f

    td e t e r m i n e s w h i c h p a r t i c u l a r p o i n t o n t h e l i n e i s p i c k e d o u t .

    1 . 3 D i e r e n t i a t i o n o f V e c t o r s

    D e n i t i o n 1 . 3 . 1 S u p p o s e f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)) a n d fi(t) a r e d i e r e n t i a b l e w i t h t i n s o m e g i v e n

    i n t e r v a l . T h e n w e d e n e

    df

    dt=

    df1dt

    ,df2dt

    ,df3dt

    ,

    ( 1 . 4 )

    2

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    4/112

    A

    B

    b

    a

    r

    O

    F i g u r e 1 . 2 : E q u a t i o n o f t h e s t r a i g h t l i n e t h r o u g h A

    ,B

    .

    t o b e t h e r s t d e r i v a t i v e o ff(t)

    .

    T h e r e i s a n a t u r a l e x t e n s i o n t o h i g h e r d e r i v a t i v e s

    dnfdtn , e . g .

    d2f

    dt2=

    d2f1dt2

    ,d2f2dt2

    ,d2f3dt2

    .

    E x a m p l e 1 . 3 . 1 F i n d t h e v a l u e s f o r w h i c h a = (cos x, sin x, 0)

    s a t i s e s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n

    d2a

    dx2= 9a.

    1 . 4 D i e r e n t i a t i o n r u l e s

    I fa(t)

    ,b(t)

    a n d(t)

    ( a s c a l a r ) a r e d i e r e n t i a b l e w . r . t t

    :

    ( i )

    d(a + b)

    dt=

    da

    dt+

    db

    dt

    ( i i )

    d(a)

    dt=

    da

    dt+

    d

    dta

    ( i i i )

    d(a b)dt

    =da

    dt b + db

    dt a

    ( i v )

    d(a b)dt

    =da

    dt b + a db

    dt.

    N o t e : T h e o r d e r i s i m p o r t a n t i n ( i v ) b u t n o t i n ( i i i ) . T h e o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e d o t p r o d u c t o f

    t w o v e c t o r s i s c o m m u t a t i v e ; t h e o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e v e c t o r p r o d u c t i s n o t . I . e . a b = b a b u t

    a b = b a.

    E x a m p l e 1 . 4 . 1 S h o w t h a t t h e r s t d e r i v a t i v e o f a u n i t v e c t o r a = a(t)

    i s a l w a y s p e r p e n d i c u l a r t o

    ap r o v i d e d t h e d e r i v a t i v e i s n o t z e r o .

    3

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    5/112

    S o l u t i o n .

    a a = 1 dadt

    a + a dadt

    = 0 2a dadt

    = 0,

    w h i c h i m p l i e s t h a t a

    i s p e r p e n d i c u l a r t o

    dadt .

    E x a m p l e 1 . 4 . 2 A p p l y t h e a b o v e t o t h e p a r t i c u l a r e x a m p l e w h e r e

    a = (cos t, sin t, 0).

    1 . 5 T h e t a n g e n t t o a c u r v e

    S u p p o s e a c o n t i n u o u s c u r v e C ( i . e . a c u r v e w i t h o u t a n y b r e a k o r j u m p , w h i c h c a n b e d r a w n w i t h o u t

    r e m o v i n g t h e p e n f r o m t h e p a p e r ) i s t h e l o c u s o f t h e p o i n t P

    w h o s e p o s i t i o n v e c t o r r e l a t i v e t o t h e

    o r i g i n O

    i s d e s c r i b e d b y

    OP = r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

    ( 1 . 5 )

    ( N o t e t h a t w e c o u l d h a v e w r i t t e n r = f(t)

    b u t t h e c o m m o n p r a c t i c e i s t o u s e r

    t o s y m b o l i s e t h e

    f u n c t i o n ) . L e t P

    b e a p a r t i c u l a r p o i n t o n C

    a t w h i c h

    drdt e x i s t s a n d i s n o t z e r o .

    T h e n a t t h i s p o i n t

    drdt l i e s a l o n g t h e t a n g e n t t o t h e c u r v e i n t h e s e n s e i n w h i c h t h e c u r v e i s d e s c r i b e d

    b yP

    a st

    i n c r e a s e s ( s e e F i g u r e 1 . 3 ) .

    z

    x

    y

    P

    r(t)d r

    d t

    F i g u r e 1 . 3 : T a n g e n t t o a c u r v e :

    drdt i s t a n g e n t a t t h e p o i n t P0 .

    I f t h e t a n g e n t a t P

    i s

    drdt a t t = t0 , t h e n t h e u n i t t a n g e n t i s d e n e d t o b e t h e v e c t o r :

    t =dr/dt

    |dr/dt| . ( 1 . 6 )

    E x a m p l e 1 . 5 . 1 C o n s i d e r t h e v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n r(t) = (t, t3, 1)

    . F i n d i t s d e r i v a t i v e a n d h e n c e

    t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r t o t h e c u r v e a t t h e p o i n t (0, 0, 1)

    .

    4

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    6/112

    1 . 6 S m o o t h n e s s

    T h e c u r v e d e s c r i b e d b y r = r(t) = (x(t), y(t), z(t))

    , i s s a i d t o b e s m o o t h i ft

    e x i s t s a t a l l p o i n t s a n d

    i s c o n t i n u o u s . S m o o t h n e s s m e a n s t h e c u r v e d o e s n o t u n d e r g o a n y s u d d e n c h a n g e s i n d i r e c t i o n .

    ( S e e F i g u r e 1 . 4 ) .

    (a) (b)

    F i g u r e 1 . 4 : C l a s s i c a t i o n o f c u r v e s : ( a ) i s s m o o t h a n d ( b ) i s p i e c e w i s e s m o o t h .

    A p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e r = r(t)

    i s o n e w h i c h i s c o n t i n u o u s a n d c o n s i s t s o f a n i t e n u m b e r o f

    s m o o t h c u r v e s l i n k e d e n d t o e n d .

    E x a m p l e 1 . 6 . 1 S h o w t h a t t h e u n i t t a n g e n t t o t h e c u r v e

    r(t) =

    (t2, 2t, 0), 1 t 1(1, 4 2t, 0), 1 < t 2,

    i s d i s c o n t i n u o u s a t

    t = 1. V e r i f y t h a t i t i s p i e c e w i s e s m o o t h .

    1 . 7 A r c l e n g t h

    L e tr(t) = (x(t), y(t), z(t))

    b e a p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e . D e n e

    ds

    dt=

    drdt =

    dx

    dt

    2+

    dy

    dt

    2+

    dz

    dt

    2,

    ( 1 . 7 )

    a n d s o ,

    s(t) =

    t

    t0

    drdt dt = t

    t0

    dxdt

    2+

    dydt

    2+

    dzdt

    2dt,

    ( 1 . 8 )

    i s t h e a r c l e n g t h o fC

    f r o m t h e x e d p o i n t t0 t o t h e v a r i a b l e p o i n t t . S u p p o s e t h e c u r v e e x t e n d s

    f r o m A

    t oB

    w i t h r(t0) =

    OA

    a n dr(t1) =

    OB

    . T h e n s(t0) = 0 a n d s(t1) i s t h e l e n g t h o f c u r v e

    f r o m A

    t oB

    .

    T h e e l e m e n t o f a r c l e n g t h ds

    s a t i s e s ds2 = dx2 + dy2 + dz2

    a n d i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e 2 D

    s i t u a t i o n ( s e e F i g u r e 1 . 5 ) .

    E x a m p l e 1 . 7 . 1 F i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e a r c l e n g t h o f t h e c u r v e e x p r e s s e d p a r a m e t r i c a l l y a s r(t) =

    (cos t, sin t, 4t), w h e r e

    0 t 2 .

    5

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    7/112

    ds

    dx

    dy

    x

    y C

    F i g u r e 1 . 5 : G e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f ds

    i n 2 D .

    1 . 7 . 1 I n t r i n s i c E q u a t i o n o f a C u r v e

    W e c a n c h a n g e p a r a m e t e r s i n a p a r a m e t r i c f o r m u l a t i o n q u i t e e a s i l y . C o n s i d e r r = r(t), a n d t = t(u)

    w i t h

    dtdu > 0 a t a l l p o i n t s , t h e n w e c a n d e s c r i b e r p a r a m e t r i c a l l y i n t e r m s o f u ( w i t h t h e s a m e s e n s e

    a s

    t) .

    F o r c u r v e s i n s p a c e i t i s n a t u r a l t o u s e t h e a r c l e n g t h a s p a r a m e t e r . F r o m t h e d e n i t i o n o f a r c l e n g t h

    dsdt 0 s o t = t(s) i s a l l o w a b l e a n d

    r = r(s) = (x(s), y(s), z(s)), ( 1 . 9 )

    i s a n a l t e r n a t i v e p a r a m e t r i c d e s c r i p t i o n o f t h e c u r v e c a l l e d t h e i n t r i n s i c e q u a t i o n o f t h e c u r v e . I f

    t h e a r c l e n g t h i s t h e p a r a m e t e r t h e n a t a n y p o i n t o n r(s) t h e u n i t t a n g e n t i s drds .

    [ T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t dr = (dx,dy,dz) s o

    drds

    = (dxds )2 + (dyds)2 + (dzds)2 =(

    dsds

    )2= 1

    . ]

    1 . 8 C u r v e s a n d S u r f a c e s

    I n 3 D s p a c e , w e c a n d e s c r i b e a c u r v e p a r a m e t r i c a l l y b y r = r(t) = (x(t), y(t), z(t))

    , i . e . o n l y o n e

    p a r a m e t e r i s n e c e s s a r y i n t h e p a r a m e t r i c d e s c r i p t i o n . A s u r f a c e c a n b e r e p r e s e n t e d p a r a m e t r i c a l l y

    b yr = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

    , i . e . t w o p a r a m e t e r s a r e r e q u i r e d t o d e n e a s u r f a c e .

    E x a m p l e s :

    r(t) = (cos t, sin t, t)i s c a l l e d a c i r c u l a r h e l i x ( i . e . a c u r v e ) ,

    t . I t l i e s o n t h e

    c y l i n d e r x2 + y2 = a2

    .

    r(u, v) = (cos u, sin u, v)i s a c y l i n d e r

    v ,

    0 u 2.

    6

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    8/112

    1 . 9 C u r v a t u r e

    A n i m p o r t a n t p h y s i c a l q u a n t i t y w h e n d e a l i n g w i t h c u r v e s i s t h e i r c u r v a t u r e . L e t a c u r v e h a v e a n

    i n t r i n s i c e q u a t i o n r = r(s)

    . T h e c u r v a t u r e o f t h e c u r v e a t a n y p o i n t ( i . e . a t a n y v a l u e o f s

    ) i s

    d e n e d t o b e :

    (s) =d2rds2 . ( 1 . 1 0 )

    T h e q u a n t i t y = 1 i s c a l l e d t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e a n d c o r r e s p o n d s t o t h e r a d i u s o f t h e c i r c l e t h a t

    w o u l d " t " i n t o t h e c u r v e a t a n y p o i n t . T h i s m a y o f c o u r s e v a r y f r o m p o i n t t o p o i n t .

    E x a m p l e 1 . 9 . 1 F i n d t h e c u r v a t u r e a n d r a d i u s o f c u r v a t u r e f o r r(t) = (cos t, sin t, 4t)

    , w h e r e 0

    t 2.

    1 . 1 0 V e l o c i t y & A c c e l e r a t i o n

    L e tr(t)

    b e t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a p o i n t P

    i n s p a c e , w h e r e t

    i s t i m e . ( J u s t t h i n k o f t

    a s b e i n g a

    p a r a m e t e r w h i c h i n t h i s c a s e p h y s i c a l l y c o r r e s p o n d s t o t h e t i m e ) . T h e n r(t)

    r e p r e s e n t s t h e p a t h C

    o fP

    i n s p a c e . F r o m p r e v i o u s w o r k w e k n o w t h a t t h e v e c t o r f u n c t i o n

    v =dr

    dt,

    ( 1 . 1 1 )

    i s t a n g e n t t o C

    a n d t h e r e f o r e p o i n t s i n t h e i n s t a n t a n e o u s d i r e c t i o n o f P

    . W e r e c a l l a l s o t h a t

    |v| =drdt = dsdt , ( 1 . 1 2 )

    w h e r e s i s t h e a r c l e n g t h , w h i c h m e a s u r e s t h e d i s t a n c e o f P

    f r o m a x e d p o i n t ( s = 0

    ) o nC

    a l o n g

    t h e c u r v e . H e n c e

    dsdt i s t h e s p e e d o f P. T h e v e c t o r v c a l l e d t h e v e l o c i t y v e c t o r o f t h e m o t i o n .

    T h e d e r i v a t i v e o f t h e v e l o c i t y v e c t o r i s c a l l e d t h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r a n d w i l l b e d e n o t e d a

    . T h u s

    a(t) =dv

    dt=

    d2r

    dt2.

    ( 1 . 1 3 )

    E x a m p l e : C e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n

    T h e v e c t o r f u n c t i o n r(t) = R cos ti + R sin tj

    ( w h e r e

    i s a k n o w n c o n s t a n t a n d t

    i s t h e t i m e )

    r e p r e s e n t s a c i r c l e o f r a d i u s R

    w i t h c e n t r e a t t h e o r i g i n i n t h e xy

    - p l a n e a n d d e s c r i b e s t h e m o t i o n o f a

    p a r t i c l e P

    i n t h e a n t i - c l o c k w i s e d i r e c t i o n . T h e v e l o c i t y v e c t o r v(t) = drdt = R sin ti + R cos tj

    i s t a n g e n t t o C

    a n d i t s m a g n i t u d e , t h e s p e e d , i s c o n s t a n t ( = R

    ) . T h e a n g u l a r s p e e d ( s p e e d

    d i v i d e d b y t h e d i s t a n c e R

    f r o m t h e c e n t r e ) i s e q u a l t o

    . T h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r i s

    a =dv

    dt= R2 cos i R2 sin j = 2r.

    7

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    9/112

    W e s e e t h a t t h e r e i s a n a c c e l e r a t i o n o f c o n s t a n t m a g n i t u d e |a|

    t o w a r d s t h e o r i g i n , t h e s o - c a l l e d

    c e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n , w h i c h r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t t h e v e l o c i t y v e c t o r i s c h a n g i n g d i r e c t i o n

    a t a c o n s t a n t r a t e . T h e c e n t r i p e t a l f o r c e i s t h u s ma

    w h e r e m

    i s t h e m a s s o f P

    . ( N o t e t h a t t h e

    o p p o s i t e v e c t o r ma

    i s c a l l e d t h e c e n t r i f u g a l f o r c e ) .

    I t i s c l e a r t h a t a

    i s t h e r a t e o f c h a n g e o f v

    . I n t h e e x a m p l e , |v| i s c o n s t a n t , b u t |a| = 0 w h i c h i l l u s t r a t e s t h a t t h e m a g n i t u d e o f

    ai s n o t i n g e n e r a l t h e r a t e o f c h a n g e o f |v| . T h e r e a s o n i s t h a t a

    i s n o t , i n g e n e r a l , t a n g e n t t o t h e p a t h C

    . I n f a c t , b y a p p l y i n g t h e c h a i n r u l e o f d i e r e n t i a t i o n t o

    ( 1 . 1 1 ) a n d d e n o t i n g d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o s

    b y p r i m e s (

    ) , w e h a v e

    v =dr

    dt=

    dr

    ds

    ds

    dt= r

    ds

    dt,

    a n d b y d i e r e n t i a t i n g t h i s a g a i n

    a = dvdt

    = ddt

    rds

    dt

    = r

    dsdt

    2 + r d2s

    dt2.

    ( 1 . 1 4 )

    S i n c e r

    i s t h e t a n g e n t v e c t o r a n d i t s d e r i v a t i v e r

    i s p e r p e n d i c u l a r t o r

    , t h e f o r m u l a ( 1 . 1 4 ) i s

    a d e c o m p o s i t i o n o f t h e a c c e l e r a t i o n v e c t o r i n t o i t s n o r m a l c o m p o n e n t r(dsdt

    )2a n d i t s t a n g e n t i a l

    c o m p o n e n t r d

    2sdt2

    . F r o m t h i s w e s e e t h a t i f , a n d o n l y i f , t h e n o r m a l c o m p o n e n t i s z e r o , |a| e q u a l s t h e r a t e o f c h a n g e o f |v| = dsdt , e x c e p t f o r p o s s i b l y t h e s i g n , b e c a u s e |a| = |r|

    d2sdt2

    = d2sdt2

    ( s i n c e

    r = drds

    i s t h e u n i t t a n g e n t v e c t o r ) .

    E x a m p l e : C o r i o l i s a c c e l e r a t i o n

    A p a r t i c l e P

    m o v e s i n a s t r a i g h t l i n e f r o m t h e c e n t r e o f a d i s c t o w a r d s t h e e d g e , t h e p o s i t i o n v e c t o r

    b e i n g

    r(t) = tb,( 1 . 1 5 )

    w h e r e b

    i s a u n i t v e c t o r , r o t a t i n g t o g e t h e r w i t h t h e d i s c w i t h c o n s t a n t a n g u l a r s p e e d

    i n t h e

    a n t i - c l o c k w i s e s e n s e . ( s e e F i g u r e 1 . 6 ) . F i n d t h e a c c e l e r a t i o n a

    o fP

    .

    S o l u t i o n . B e c a u s e o f t h e r o t a t i o n , b i s o f t h e f o r m

    b(t) = cos ti + sin tj.( 1 . 1 6 )

    D i e r e n t i a t i n g ( 1 . 1 6 ) w . r . t . t

    w e o b t a i n t h e v e l o c i t y

    v =dr

    dt= b + t

    db

    dt.

    ( 1 . 1 7 )

    O b v i o u s l y b

    i s t h e v e l o c i t y o f P

    r e l a t i v e t o t h e d i s c , a n d tdbdt i s t h e a d d i t i o n a l v e l o c i t y d u e t o t h e

    r o t a t i o n . D i e r e n t i a t i n g o n c e m o r e , w e o b t a i n t h e a c c e l e r a t i o n

    a =dv

    dt= 2

    db

    dt+ t

    d2b

    dt2.

    ( 1 . 1 8 )

    8

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    10/112

    I n t h e l a s t t e r m o f ( 1 . 1 8 ) w e h a v e

    d2bdt2

    = 2bw h i c h f o l l o w s f r o m d i e r e n t i a t i n g ( 1 . 1 6 ) . H e n c e t h i s

    a c c e l e r a t i o n

    d2bdt2 i s d i r e c t e d t o w a r d s t h e c e n t r e o f t h e d i s c a n d f r o m t h e l a s t e x a m p l e w e s e e t h a t

    t h i s i s t h e c e n t r i p e t a l a c c e l e r a t i o n d u e t o t h e r o t a t i o n . I n f a c t , t h e d i s t a n c e o f P

    f r o m t h e c e n t r e i s

    e q u a l t o t

    w h i c h t h e r e f o r e p l a y s t h e r o l e o f R

    i n t h e l a s t e x a m p l e .

    T h e m o s t i n t e r e s t i n g a n d p r o b a b l y u n e x p e c t e d t e r m i n ( 1 . 1 8 ) i s 2db

    dt

    , t h e s o - c a l l e d C o r i o l i s a c c e l -

    e r a t i o n , w h i c h r e s u l t s f r o m t h e i n t e r a c t i o n o f t h e d i s c a n d t h e m o t i o n o f P

    o n t h e d i s c . I t h a s t h e

    d i r e c t i o n o f

    dbdt , t h a t i s , i t i s t a n g e n t i a l t o t h e e d g e o f t h e d i s c a n d i t p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e

    r o t a t i o n . I f P

    i s a p e r s o n o f m a s s m

    w a l k i n g o n t h e d i s c a c c o r d i n g t o ( 1 . 1 5 ) , t h e n P

    w i l l f e e l a f o r c e

    2mdbdt i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n , t h a t i s , a g a i n s t t h e s e n s e o f r o t a t i o n .

    bb

    x

    y

    F i g u r e 1 . 6 : M o t i o n f o r c o r i o l i s a c c e l e r a t i o n .

    9

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    11/112

    + D = F J A H

    S c a l a r & V e c t o r F i e l d s

    2 . 1 R e g i o n s

    D e n i t i o n 2 . 1 . 1 L e tV

    b e a s e t o f p o i n t s i n s p a c e . A p o i n t P V

    i s a n i n t e r i o r p o i n t o fV

    i f

    t h e r e e x i s t s a s p h e r e ( h o w e v e r s m a l l ) w i t h c e n t r e P

    s . t . e v e r y p o i n t o f t h e s p h e r e i s c o n t a i n e d i n

    V. A p o i n t

    P Vi s a b o u n d a r y p o i n t i f e v e r y s p h e r e c e n t r e d o n

    Pc o n t a i n s i n t e r i o r p o i n t s a n d

    p o i n t s t h a t a r e n o t i n V

    . T h e s e t V

    f o r m s a r e g i o n R

    i f e a c h p o i n t o f V

    i s e i t h e r a n i n t e r i o r o r

    b o u n d a r y p o i n t a n d i f e v e r y p a i r o f p o i n t s c a n b e j o i n e d b y a c o n t i n u o u s c u r v e c o n s i s t i n g e n t i r e l y o f

    p o i n t s i n V

    .R

    i s o p e n i f i t c o n t a i n s n o b o u n d a r y p o i n t s . R

    i s c l o s e d i f a l l p o i n t s n o t i n R

    f o r m

    o n e o r m o r e o p e n r e g i o n s .

    E x a m p l e s :

    I n 2 D r e p l a c e t h e w o r d s p h e r e i n t h e a b o v e d e n i t i o n w i t h c i r c l e .

    x2 + y2 < 1i s a n o p e n r e g i o n .

    x2 + y2 1i s a c l o s e d r e g i o n ;

    (1, 0)i s a n e x a m p l e o f a b o u n d a r y p o i n t ;

    (0, 0)i s a n i n t e r i o r

    p o i n t ( b o u n d a r y i s t h e c i r c l e x2 + y2 = 1

    ) .

    I n 3 D ,

    x2 + y2 + z2 < 1i s o p e n .

    x2 + y2 + z2 1i s a c l o s e d r e g i o n ;

    (1, 0, 0)i s a b o u n d a r y p o i n t ,

    (0, 0, 0)i s a n i n t e r i o r p o i n t

    ( b o u n d a r y i s t h e s p h e r e x2 + y2 + z2 = 1

    ) .

    N o t e : 1 < x2 + y2 2 i s n e i t h e r a n o p e n r e g i o n n o r a c l o s e d r e g i o n s o a r e g i o n m a y b e n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d .

    1 0

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    12/112

    2 . 2 F u n c t i o n s o f S e v e r a l V a r i a b l e s

    W e a r e f a m i l i a r w i t h f u n c t i o n s o f o n e v a r i a b l e , e . g . y = f(x)

    , a n d i t s c o n t i n u i t y , d i e r e n t i a b i l i t y

    e t c . R e c a l l t h a t , l o o s e l y s p e a k i n g , y = f(x)

    i s c o n t i n u o u s i f i t c a n b e d r a w n w i t h o u t r e m o v i n g t h e

    p e n f r o m t h e p a g e . T h i s i s r e p r e s e n t e d b y a c u r v e i n t h e xy

    - p l a n e .

    A f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s z = f(x, y) r e p r e s e n t s a s u r f a c e i n 3 D .

    C o n s i d e r a f u n c t i o n o f t h r e e v a r i a b l e s w = f(x,y ,z)

    d e n e d o v e r s o m e r e g i o n o f s p a c e R

    .f(x,y ,z)

    i s

    c o n t i n u o u s i f n o s u d d e n j u m p s o c c u r i n i t s v a l u e a s x, y, z

    v a r y i n a n a n a l o g o u s w a y t o f u n c t i o n s o f a

    s i n g l e v a r i a b l e . M o s t p h y s i c a l q u a n t i t i e s c a n b e r e p r e s e n t e d b y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , e . g . T(x,y ,z)

    m a y r e p r e s e n t t h e t e m p e r a t u r e a t e a c h p o i n t i n a r o o m .

    A f u n c t i o n o f m o r e t h a n t w o v a r i a b l e s

    w = f(x1, x2, . . . , xn1), ( 2 . 1 )

    i s d e n e d i n R

    n, a n d i s n o t p o s s i b l e t o d r a w f o r

    n > 3.

    2 . 3 P a r t i a l D e r i v a t i v e s

    D e n i t i o n 2 . 3 . 1 T h e r s t o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e

    fx o f f(x,y ,z) a t t h e p o i n t (x,y ,z) w . r . t . x i s

    d e n e d a s ,

    f

    x= lim

    h0

    f(x + h,y ,z) f(x,y ,z)h

    w i t h s i m i l a r d e n i t i o n s f o r

    fy a n d

    fz . T h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e o f t e n w r i t t e n a s fx , fy a n d fz .

    N o t e : I n t h e d e n i t i o n o f

    fx , t h e o t h e r v a r i a b l e s y , z a r e h e l d c o n s t a n t , s o i n p r a c t i s e w e t r e a t y ,

    za s c o n s t a n t s a n d d i e r e n t i a t e i n t h e u s u a l w a y w . r . t .

    x.

    E x a m p l e 2 . 3 . 1 F i n d t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f f(x,y ,z) = x3 + x2y + xyz

    .

    S o l u t i o n .

    fx = 3x2 + 2xy + yz, f y = x

    2 + xz, f z = xy.

    T o e v a l u a t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a t a p a r t i c u l a r p o i n t , e . g . fx a t (1, 2, 3) r s t e v a l u a t e t h e p a r t i a l

    d e r i v a t i v e s y m b o l i c a l l y r s t a n d t h e n s u b s t i t u t e i n t h e v a l u e s x = 1

    ,y = 2

    a n dz = 3

    . T h u s i n t h e

    a b o v e e x a m p l e , fx(1, 2, 3) = 3x

    2 + 2xy + yz(x,y,z)=(1,2,3)

    = 3 + 4 + 6 = 13.

    H i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e s a r e d e n e d i n t h e o b v i o u s w a y :

    2f

    x2 = fxx =

    xf

    x

    .

    1 1

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    13/112

    F o r e x a m p l e , i f f = (x + 2y + 3z)4

    t h e n

    fx = 4(x + 2y + 3z)3, fxx = 12(x + 2y + 3z)

    2, fxx = 24(x + 2y + 3z).

    S i m i l a r l y w e h a v e :

    fxy =

    xf

    y = 2f

    xy,

    w i t h a s i m i l a r i n t e r p r e t a t i o n f o r fxz , fyz e t c .

    T h e o r e m 2 . 3 . 1 I f a l l t h e m i x e d s e c o n d o r d e r d e r i v a t i v e s e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s a t a p o i n t , t h e n

    a t t h a t p o i n t :

    fxy = fyx, fyz = fzy , fzx = fxz. ( 2 . 2 )

    ( p r o o f o m i t t e d ) .

    2 . 3 . 1 C o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s :

    T h e f u n c t i o n f(x,y ,z)

    i s s a i d t o b e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e i f i t s r s t o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s

    fx , fy a n d fz e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s a t e v e r y p o i n t .

    E x a m p l e 2 . 3 . 2 D e m o n s t r a t e t h e a b o v e r e s u l t s f o r f(x,y ,z) = sin (ax + by + cz)

    .

    2 . 3 . 2 T h e C h a i n R u l e

    S u p p o s e F = F(f , g , h)

    i s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f t h r e e v a r i a b l e s f

    ,g

    a n dh

    w h e r e

    f = f(x,y ,z),

    g = g(x,y ,z)a n d

    h = h(x,y ,z)a r e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s o f

    x,

    ya n d

    z. T h e n

    Fi s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n o f

    x, y, za n d i t s d e r i v a t i v e s w . r . t .

    x, y, za r e

    g i v e n b y

    F

    x=

    F

    f

    f

    x+

    F

    g

    g

    x+

    F

    h

    h

    xF

    y=

    F

    f

    f

    y+

    F

    g

    g

    y+

    F

    h

    h

    y( 2 . 3 )

    Fz

    = Ff

    fz

    + Fg

    gz

    + Fh

    hz

    .

    N o t e : T h e r e i s a d i c u l t y w i t h t h e n o t a t i o n a b o v e a s w e h a v e w r i t t e n F(f , g , h)

    a n d a l s o i n e e c t

    F(x,y ,z). I t i s s t r i c t l y b e t t e r t o w r i t e

    F(f , g , h)a n d

    G(x,y ,z)s a y , w h e r e

    G(x,y ,z) = F(f , g , h).

    T h i s w a y w e c o u l d w r i t e t h e c h a i n r u l e r e p l a c i n g t h e L H S o f ( 2 . 3 ) t h e c h a i n r u l e w i t h

    G/x,

    G/y

    a n dG/z

    w h i c h r e m o v e s t h e a m b i g u i t y a s G = G(x,y ,z)

    .

    E x a m p l e 2 . 3 . 3 S u p p o s e t h a t

    F(f, g) = f + sin g, f = x cos y, g = x sin y.

    1 2

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    14/112

    W h e n w e w r i t e F

    a s a f u n c t i o n o f (x, y)

    w e s h o u l d w r i t e i t a s a n e w f u n c t i o n G(x, y)

    w i t h G(x, y) =

    x cos y + sin (x sin y)a n d

    G(x, y) = F(f, g). I f w e u s e t h i s n o t a t i o n , n o a m b i g u i t y a r i s e s w h e n w e

    w r i t e p a r t i a l d e r i v a t i v e s . D i r e c t l y f r o m t h i s d e n i t i o n w e t h e r e f o r e h a v e

    G

    x= cos y + cos (x sin y)sin y.

    ( 2 . 4 )

    N o w , f r o m t h e c h a i n r u l e

    G

    x=

    F

    f

    f

    x+

    F

    g

    g

    x= cos y + cos g sin y = cos y + cos (x sin y)sin y,

    a n d t h i s e q u a l s ( 2 . 4 ) .

    2 . 4 D e n i t i o n s o f S c a l a r & V e c t o r F i e l d s

    D e n i t i o n 2 . 4 . 1 S u p p o s e a s c a l a r (x,y ,z)

    i s d e n e d o n a p o i n t s e t U

    i n 3 D s p a c e , i . e . t o e a c h

    p o i n t

    P(x,y ,z)i n

    Ut h e r e c o r r e s p o n d s a s i n g l e s c a l a r v a l u e o f

    . T h e n

    i s c a l l e d a s c a l a r f u n c t i o n

    o f p o s i t i o n o r a s c a l a r e l d . L i k e w i s e i f a v e c t o r v(x,y ,z)

    i s d e n e d o n a p o i n t s e t U

    , t h e n v

    i s c a l l e d a v e c t o r f u n c t i o n o f p o s i t i o n o r a v e c t o r e l d . (U

    w i l l u s u a l l y b e a r e g i o n ) . A l t e r n a t i v e

    n o t a t i o n f o r (x,y ,z)

    a n dv(x,y ,z)

    i s(r)

    a n dv(r)

    w h e r e r

    i s t h e p o s i t i o n v e c t o r f o r t h e p o i n t

    P(x,y ,z). N o t e t h a t

    vh a s t h r e e c o m p o n e n t s l i k e a n y v e c t o r .

    W e e m p h a s i s e t h e n o t a t i o n f o r t h e p o s i t i o n v e c t o r w h i c h w e w i l l g i v e t h e s p e c i a l l a b e l r

    . W e w i l l

    o f t e n w r i t e r = (x,y ,z)

    a n d b y t h i s w e s t r i c t l y m e a n t h e v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s xi + yj + zk

    , i . e .

    t h e v e c t o r j o i n i n g t h e p o i n t

    (0, 0, 0)t o t h e g e n e r a l p o i n t w i t h c o o r d i n a t e s

    (x,y ,z). O n o c c a s i o n

    h o w e v e r w e w i l l a l s o u s e r

    t o r e f e r t o t h e p o i n t w i t h c o o r d i n a t e s (x,y ,z)

    .

    E x a m p l e 2 . 4 . 1 I n a o w i n g l i q u i d , t h e v e l o c i t y e l d m i g h t b e g i v e n b y u = (z, x + y, x + zy)

    a n d

    t h e p r e s s u r e b y p = x + z

    . T h u s u

    i s a v e c t o r e l d a n d p

    i s a s c a l a r e l d . W h a t i s u

    a t t h e p o i n t

    w i t h p o s i t i o n v e c t o r r = (0, 0, 1)

    ? W h a t d i r e c t i o n i s t h e o w a t t h i s p o i n t ? W h a t i s t h e p r e s s u r e a t

    r = (1, 1, 1)?

    2 . 5 G r a d i e n t o f a S c a l a r F i e l d

    D e n i t i o n 2 . 5 . 1 I ff(x,y ,z)

    i s d e n e d a n d c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e i n s o m e o p e n r e g i o n R t h e n

    t h e g r a d i e n t o ff

    i s d e n e d a s :

    g r a d f = f =

    f

    x,

    f

    y,

    f

    z

    ,

    ( 2 . 5 )

    w h e r e

    =

    x,

    y,

    z .E x a m p l e 2 . 5 . 1 F i n d f w h e n f(x, y) = x2 + xy + y2 .

    1 3

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    15/112

    2 . 6 P r o p e r t i e s o f t h e G r a d i e n t ( o f a s c a l a r )

    2 . 6 . 1 T h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e

    W e a r e u s e d t o n d i n g ( p a r t i a l ) d e r i v a t i v e s w . r . t . t h e c o - o r d i n a t e a x e s x, y, z

    . C o n s i d e r a s c a l a r

    f u n c t i o n o f a s i n g l e v a r i a b l e , e . g . y = f(x)

    . G e o m e t r i c a l l y t h i s i s r e p r e s e n t e d b y a c u r v e a n d t h e

    o n l y p o s s i b l e d e r i v a t i v e i s

    dydx , a n d i t d e n o t e s t h e r a t e o f c h a n g e o f y i n t h e d i r e c t i o n o f i n c r e a s i n g

    x. S u p p o s e w e n o w h a v e a s c a l a r f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , e . g .

    z = f(x, y). I n t h i s c a s e w e h a v e

    t w o p a r t i a l d e r i v a t i v e s

    fx a n d

    fy . G e o m e t r i c a l l y t h e s e c o r r e s p o n d t o t h e r a t e o f c h a n g e o f f(x, y)

    i n t h e d i r e c t i o n s x

    a n dy

    r e s p e c t i v e l y .

    C o n s i d e r t h e e x a m p l e i n F i g u r e 2 . 1 , s h o w i n g a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s , a n d x a t t e n t i o n o n s o m e

    p o i n t o n t h e s u r f a c e r e p r e s e n t e d b y z = f(x, y)

    . A t t h i s p o i n t t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e r e e c t s t h e r a t e

    o f c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n s x

    a n dy

    o f t h e c o - o r d i n a t e a x e s . I f a c y c l i s t w e r e l o c a t e d a t t h e p o i n t

    i n q u e s t i o n , t h e n i f t h e y f a c e d i n t h e p o s i t i v e x d i r e c t i o n , t h e s l o p e o f t h e l a n d i m m e d i a t e l y a h e a d

    w o u l d b e g i v e n b y

    fx w h i l e i f t h e y f a c e d i n t h e p o s i t i v e y d i r e c t i o n t h e s l o p e w o u l d b e g i v e n b y

    fy .

    W h e n w e m o v e t o f u n c t i o n s o f t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , i t i s n o t s o e a s y t o b u i l d u p a g e o m e t r i c

    p i c t u r e , b u t t h e p i c t u r e f o r f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s i s s u c i e n t t o u n d e r s t a n d w h a t f o l l o w s . W e

    w o u l d l i k e t o g e n e r a l i s e o u r p a r t i a l d e r i v a t i v e s s o t h a t w e c a n o b t a i n e x p r e s s i o n s f o r t h e r a t e o f

    c h a n g e o f t h e s c a l a r f u n c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n i n a n y d i r e c t i o n . I n F i g u r e 2 . 1 w e w i s h t o a l l o w

    t h e c y c l i s t t o f a c e i n a n y d i r e c t i o n ( n o t j u s t p a r a l l e l t o t h e c o - o r d i n a t e a x e s ) a n d s t i l l b e a b l e t o

    e s t i m a t e t h e s l o p e i n t h a t p a r t i c u l a r d i r e c t i o n .

    L e tf(x,y ,z)

    b e a s c a l a r e l d . W e d e n e t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f

    i n t h e d i r e c t i o n o f a n y

    v e c t o r n

    i n t h e f o l l o w i n g w a y . L e t P

    b e a x e d p o i n t a n d P

    a n o t h e r p o i n t w h i c h v a r i e s i n s u c h a

    w a y t h a t t h e v e c t o r

    P P

    i s a l w a y s p a r a l l e l t o a x e d u n i t v e c t o r n

    . A s s u m e t h a t t h e s c a l a r e l d f

    t a k e s t h e v a l u e s f(P)

    ,f(P)

    a tP

    a n dP

    r e s p e c t i v e l y . T h e d e r i v a t i v e o f f

    a tP

    i n t h e d i r e c t i o n o f

    n, w h i c h w e d e n o t e

    fn , i s d e n e d a s

    f

    n:= lim

    PPf(P) f(P)

    P P,

    w h e r e v e r t h e l i m i t e x i s t s . I t i s c l e a r t h a t , i n g e n e r a l , f

    w i l l v a r y a t d i e r e n t r a t e s a s w e m o v e

    a w a y f r o m P

    i n d i e r e n t d i r e c t i o n s ; t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e m e a s u r e s t h e r a t e o f v a r i a t i o n i n t h e

    d i r e c t i o n o f n

    .

    T h e m o s t i m p o r t a n t f o r m u l a i n v o l v i n g t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e i s :

    f

    n=

    g r a d f n = f n, ( 2 . 6 )

    i . e . i t i s t h e c o m p o n e n t o f g r a d f

    i n t h e d i r e c t i o n o f n

    .

    T h e n o t a t i o n

    fn m i g h t b e m i s l e a d i n g : w e a r e n o t d i e r e n t i a t i n g f w . r . t . n !

    1 4

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    16/112

    0

    1

    2

    3

    4

    0

    1

    2

    3

    4

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    yx

    z

    F i g u r e 2 . 1 : G r a p h o f t h e s u r f a c e z = f(x, y) = sin xey

    f o r0 x , 0 y 4 .

    E x a m p l e 2 . 6 . 1 F i n d t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f(x,y ,z) = 2x2 + 3y2 + z2

    a t t h e p o i n t P(2, 1, 3)

    i n t h e d i r e c t i o n o f t h e v e c t o r n = i 2k.

    E x a m p l e 2 . 6 . 2 F i n d t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f f(x,y ,z) = x2y2z2 + x + y + z

    i n t h e d i r e c t i o n

    o f t h e v e c t o r 2i j + 2k

    a t t h e p o i n t (1, 1, 1)

    .

    2 . 6 . 2 D i r e c t i o n o f m a x i m u m i n c r e a s e

    N o w

    f

    n= f n = |f||n| cos ,

    w h e r e

    i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e v e c t o r s f

    a n dn

    . C l e a r l y t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e h a s i t s l a r g e s t

    v a l u e w h e n = 0

    ( i . e . w h e n cos = 1

    ) . T h i s i s t h e d i r e c t i o n o f m a x i m u m i n c r e a s e a n d n o w

    f

    n= |f|.

    E x a m p l e 2 . 6 . 3 T h e o w o f h e a t i n a t e m p e r a t u r e e l d t a k e s p l a c e i n t h e d i r e c t i o n o f m a x i m u m

    d e c r e a s e o f t e m p e r a t u r e T = x/y

    . F i n d t h i s d i r e c t i o n a t t h e p o i n t P(8, 1)

    .

    2 . 6 . 3 L e v e l c u r v e s a n d s u r f a c e s

    C o n s i d e r a s c a l a r e l d z = f(x, y)

    , t h i s r e p r e s e n t s a s u r f a c e i n 3 D . A t p o i n t s w h e r e f

    h a s a m a x -

    i m a / m i n i m a w e w i l l h a v e m o u n t a i n s / v a l l e y s . W e c a n a l s o r e p r e s e n t f(x, y)

    i n a 2 D r e p r e s e n t a t i o n

    b y d r a w i n g c o n t o u r s o r l e v e l c u r v e s w h i c h a r e c u r v e s a l o n g w h i c h f i s a c o n s t a n t . F o r e x a m p l e , i f

    fh a s a l o c a l m a x i m u m ( m o u n t a i n t o p ) t h e c o n t o u r s o r l e v e l c u r v e s m i g h t l o o k l i k e t h o s e i n F i g u r e

    1 5

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    17/112

    2 . 2 . W e d r a w c o n t o u r s b y s e t t i n g f(x, y) = c

    , a p a r a m e t e r , a n d n d i n g a l l t h e p o i n t s (x, y)

    w h i c h

    a r e a t t h i s p a r t i c u l a r h e i g h t . B y v a r y i n g c

    w e c a n d r a w a l l t h e c o n t o u r s a n d g e t a n d i d e a o f w h a t

    t h e s c a l a r e l d l o o k s l i k e w i t h o u t h a v i n g t o d r a w a 3 D p i c t u r e .

    A n o t h e r e x a m p l e i s a w e a t h e r m a p o n w h i c h i s o b a r s a r e l i n e s o f e q u a l p r e s s u r e p

    , w h i c h i s a s c a l a r

    f u n c t i o n p = p(x, y)

    w h e r e (x, y)

    r e p r e s e n t t h e l o c a t i o n o n t h e e a r t h ' s s u r f a c e . W e c a n p i c t u r e w h a t

    t h e s u r f a c e r e p r e s e n t i n g t h e p r e s s u r e p(x, y)

    w o u l d l o o k l i k e f r o m a c o n s i d e r a t i o n o f t h e c o n t o u r s : a

    c e n t r e o f h i g h p r e s s u r e w o u l d b e g e o m e t r i c a l l y s i m i l a r t o a m o u n t a i n t o p .

    f = 1f = 2

    f = 3

    f = 1

    f = 3

    f = 2

    "Mountain top" "Valley"

    F i g u r e 2 . 2 : C o n t o u r s f o r a m o u n t a i n - t o p a n d a v a l l e y .

    E x a m p l e 2 . 6 . 4 D r a w t h e c o n t o u r s f(x, y) = x2 + y2

    .

    I n 3 D w i t h w = f(x,y ,z)

    , w e c a n n o t d r a w t h i s i n 4 D . H o w e v e r , i f w e g e n e r a l i s e t h e a b o v e , t h e n t h e

    c o n t o u r s n o w b e c o m e l e v e l s u r f a c e s d e n e d b y f(x,y ,z) = c

    . A sc

    v a r i e s w e g e t d i e r e n t c o n t o u r s

    e a c h o f w h i c h i s n o w a s u r f a c e i n s p a c e .

    E x a m p l e 2 . 6 . 5 W h a t a r e t h e l e v e l s u r f a c e s o f f(x,y ,z) = x2 + y2 + z2

    ?

    2 . 6 . 4 I m p o r t a n t c o n n e c t i o n b e t w e e n

    fa n d i t s l e v e l s u r f a c e

    T h e o r e m 2 . 6 . 1 S u p p o s e f(x,y ,z)

    i s a s c a l a r e l d . C o n s i d e r a l e v e l s u r f a c e g i v e n b y f(x,y ,z) = c

    a n d c h o o s e a p a r t i c u l a r p o i n t P(x,y ,z)

    o n t h e l e v e l s u r f a c e . I f g r a d f

    d o e s n o t v a n i s h a t t h i s p o i n t ,

    t h e n t h e v e c t o r g r a d f

    i s n o r m a l t o t h e l e v e l s u r f a c e f = c

    a tP

    .

    P r o o f . C o n s i d e r a c u r v e i n s p a c e p a s s i n g t h r o u g h P

    a n d l y i n g o n t h e l e v e l s u r f a c e f = c

    . T h i s c u r v e

    ( c a l l i t C

    ) m a y b e w r i t t e n p a r a m e t r i c a l l y a sr(t) = (x(t), y(t), z(t))

    . A sC

    l i e s o n t h e s u r f a c e f = c

    w e h a v e f(x(t), y(t), z(t)) = c

    . D i e r e n t i a t i n g t h i s e q u a t i o n b y t h e c h a i n r u l e g i v e s :

    f

    x

    dx

    dt+

    f

    y

    dy

    dt+

    f

    z

    dz

    dt=

    dc

    dt= 0.

    1 6

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    18/112

    T h a t i s ,

    f drdt

    = 0.

    N o wr

    i s a c u r v e o n t h e s u r f a c e f = c

    a n d

    drdt i s t a n g e n t t o t h e c u r v e d e n e d b y r. F r o m t h e r e s u l t s

    i n C h a p t e r 1 w e k n o w t h a t i t i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e v e c t o r r(t)

    . B u t r(t)

    i s a n y c u r v e o n t h e s u r f a c e

    f = ca n d s o g r a d

    f = f m u s t b e p e r p e n d i c u l a r t o t h e t a n g e n t p l a n e o f t h e l e v e l s u r f a c e f = c ,i . e .

    fi s o r t h o g o n a l t o a l l v e c t o r s

    drdt i n t h e t a n g e n t p l a n e . T h u s f i s p e r p e n d i c u l a r t o i t s o w n

    l e v e l s u r f a c e s .

    T h i s i s a v e r y u s e f u l r e s u l t a s w e c a n a p p l y i t t o a n y s u r f a c e o r c u r v e . S u p p o s e w e h a v e a c u r v e

    g i v e n b y y = f(x)

    o r a s u r f a c e g i v e n b y z = g(x, y)

    . T h e n w e r e w r i t e e a c h f o r m u l a a s y f(x) = 0

    a n dz g(x, y) = 0

    a n d t h e t h e o r e m t e l l s u s t h a t t h e n o r m a l v e c t o r t o t h e c u r v e o r s u r f a c e i s

    (y

    f(x))

    a n d

    (z

    g(x, y))

    r e s p e c t i v e l y .

    E x a m p l e 2 . 6 . 6 C o n s i d e r a s u r f a c e g i v e n b y f(x, y) = ln(x2 + y2)

    . D e m o n s t r a t e t h e a b o v e r e s u l t .

    S o l u t i o n . W e n e e d t o s h o w t h a t f i s n o r m a l t o t h e l e v e l c u r v e s o f f. T h e l e v e l s u r f a c e s ( c u r v e s i n t h i s c a s e ) a r e g i v e n b y

    f = c,c a r b i t r a r y

    = ln(x2 + y2) = c = x2 + y2 = ec = ,

    w h e r e

    = eci s a r b i t r a r y . S o t h e l e v e l s u r f a c e s a r e d e n e d b y

    x2 + y2 = , f o r a r b i t r a r y

    . T h u s

    t h e l e v e l c u r v e s a r e c i r c l e s .

    C o n s i d e r t h e c a s e = 4

    a n d e x a m i n e t h e p o i n t (2, 0)

    o n t h e l e v e l c u r v e x2 + y2 = 4

    . A t(2, 0)

    , t h e

    n o r m a l t o t h i s c u r v e i s i ( i . e . t h e u n i t v e c t o r i n t h e x d i r e c t i o n ) . I n a d d i t i o n

    f =

    2x

    x2 + y2,

    2y

    x2 + y2

    ,

    s o a t t h e p o i n t (2, 0)

    , f = (1, 0) = i a n d s o f|(1,0) i s i n t h e d i r e c t i o n o f t h e n o r m a l t o t h e c u r v e a t t h i s p o i n t . T h i s i s r e p r e s e n t e d g e o m e t r i c a l l y i n F i g u r e 2 . 3 .

    E x a m p l e 2 . 6 . 7 F i n d a u n i t n o r m a l v e c t o r f o r t h e c u r v e y = 1 x2 a t P = (1, 0).

    2 . 6 . 5 T a y l o r ' s E x p a n s i o n

    F o r a f u n c t i o n o f o n e r e a l v a r i a b l e y = f(x)

    , T a y l o r ' s e x p a n s i o n a l l o w s u s t o w r i t e d o w n t h e v a l u e

    o f a f u n c t i o n n e a r a p o i n t x0 , s o l e l y i n t e r m s o f i t s v a l u e o f x0 a n d d e r i v a t i v e s o f t h e f u n c t i o n a t x0 ,

    i . e . s o l e l y i n t e r m s o f q u a n t i t i e s e v a l u a t e d a t t h e p o i n t x0 .

    T h u s i f f(x)

    i s a w e l l b e h a v e d f u n c t i o n :

    f(x) = f(x0) + hdf

    dx

    x=x0

    +h2

    2

    d2f

    dx2

    x=x0

    + O(h3),( 2 . 7 )

    1 7

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    19/112

    x + y = 42 2

    direction of f at (2,0)

    F i g u r e 2 . 3 : 2 D e x a m p l e o f t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l e v e l s u r f a c e s o f f

    a n df

    .

    w h e r e h = x x0 . S u c h e x p a n s i o n s a r e v e r y u s e f u l i f h 1 a s w e c a n u s u a l l y t r u n c a t e a f t e r t w o

    t e r m s . [ R e c a l l t h a t i f

    h 1, t h e n

    h2

    a n d h i g h e r p o w e r s a r e e v e n s m a l l e r s o t h a t f o r

    h 1t h e r s t

    t w o ( o r t h r e e ) t e r m s o n t h e R H S w i l l b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e L H S ] .

    F o r a f u n c t i o n o f s e v e r a l v a r i a b l e s f(x,y ,z)

    , t h e a n a l o g o u s r e s u l t i s :

    f(x,y ,z) = f(x0, y0, z0) + hf

    x

    (x0,y0,z0)

    + kf

    y

    (x0,y0,z0)

    + lf

    z

    (x0,y0,z0)

    + O(h2 + k2 + l2),( 2 . 8 )

    w h e r e h = x x0 , k = y y0 a n d l = z z0 .

    S o , w e h a v e a n e x p r e s s i o n f o r f

    a t s o m e p o i n t r e m o v e d f r o m (x0, y0, z0) i n t e r m s o f q u a n t i t i e s

    e v a l u a t e d s o l e l y a t

    (x0, y0, z0). T h i s a p p r o x i m a t i o n i s m o s t u s e f u l f o r h,k,l 1.N o t e i f w e d e n e t h e v e c t o r

    (h,k,l) = r, t h e n w e c a n w r i t e t h e a b o v e e x p r e s s i o n i n v e c t o r n o t a t i o n :

    f(x,y ,z) = f(x0, y0, z0) + r f|(x0,y0,z0) + O(|r|2).

    E x a m p l e 2 . 6 . 8 U s e T a y l o r ' s e x p a n s i o n t o n d a r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r f(1.5, 2.5)

    b a s e d o n

    q u a n t i t i e s e s t i m a t e d o n l y a t t h e p o i n t (1, 3)

    i ff(x, y) = x2 + y2

    . W h a t i s t h e e r r o r i n y o u r e s t i m a t e ?

    2 . 7 D i v e r g e n c e a n d C u r l o f a V e c t o r F i e l d

    S u p p o s e f

    i s a c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e v e c t o r e l d

    f = f(x,y ,z) = (f1(x,y ,z), f2(x,y ,z), f3(x,y ,z)),

    i n s o m e o p e n r e g i o n R

    .

    T h e n , i n R

    , t h e d i v e r g e n c e o f t h e v e c t o r e l d f(x,y ,z)

    i s d e n e d t o b e t h e s c a l a r q u a n t i t y :

    d i vf =

    f1x

    +f2y

    +f3z

    .( 2 . 9 )

    1 8

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    20/112

    I n i n d e x n o t a t i o n t h i s c a n b e r e p r e s e n t e d a s

    fixi

    .

    T h e c u r l o f t h e v e c t o r e l d f(x,y ,z)

    i s d e n e d t o b e t h e v e c t o r w i t h c o m p o n e n t s :

    c u r l f =

    f3y

    f2z

    ,f1z

    f3x

    ,f2x

    f1y

    ,

    ( 2 . 1 0 )

    w h i c h c a n b e m o r e e a s i l y e x p r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g f o r m :

    c u r l f =

    d e t

    i j k

    x

    y

    z

    f1 f2 f3

    , ( 2 . 1 1 )

    a n d s o c u r l f

    i s a v e c t o r e l d .

    N o t e :

    1 . I n u i d s e v e r y o w o f a n i n c o m p r e s s i b l e u i d m u s t s a t i s f y div v = 0

    w h e r e v(x,y ,z)

    i s t h e

    v e l o c i t y a t a n y p o i n t i n t h e u i d .

    2 . A v e c t o r e l d f o r w h i c h div v = 0

    i s s a i d t o b e a d i v e r g e n c e - f r e e v e c t o r e l d .

    3 . I f v(x,y ,z)

    i s t h e v e l o c i t y o f a u i d , t h e n

    curl vi s t e r m e d t h e v o r t i c i t y a n d c o n c e r n s w h e t h e r

    o r n o t u i d p a r t i c l e s r o t a t e .

    4 . I f curl v = 0 e v e r y w h e r e t h e o w i s t e r m e d i r r o t a t i o n a l a n d u i d p a r t i c l e s d o n o t r o t a t e .

    E x a m p l e 2 . 7 . 1 F i n d t h e d i v e r g e n c e o f f

    i f ( i ) f = (x2 + 2y + z)i + (3y)j + (x3 + y)k

    , ( i i ) f = r =

    (x,y ,z).

    E x a m p l e 2 . 7 . 2 F i n d c u r l f

    a n d c u r l c u r l f

    w h e r e f = (z + x, x + y, y + z)

    .

    N o t e : T h e a b o v e e x a m p l e s h o w s t h a t f o r a c o n s t a n t v e c t o r e l d F, w e a l w a y s h a v e c u r l F = 0 ( w h i c h

    c a n e a s i l y b e s e e n f r o m ( 2 . 1 1 ) s i n c e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e z e r o i f f1, f2, f3 a r e c o n s t a n t ) .

    2 . 7 . 1 P h y s i c a l I n t e r p r e t a t i o n o f t h e D i v e r g e n c e

    I m a g i n e a c o m p r e s s i b l e u i d i n a t w o d i m e n s i o n a l o w w i t h d e n s i t y = (x, y)

    a n d v e l o c i t y v e c t o r

    e l d u(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

    , i . e . i n t h i s s i m p l e c a s e t h e v e l o c i t y v e c t o r o n l y h a s t w o c o m p o n e n t s .

    C o n s i d e r a s m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n o f d i m e n s i o n s x

    a n dy

    a n d i m a g i n e a n a m o u n t o f

    l i q u i d e n t e r i n g a n d l e a v i n g t h e e l e m e n t i n u n i t t i m e ( i . e . p e r s e c o n d ) , s e e F i g u r e 2 . 4 .

    1 9

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    21/112

    elementu u

    v

    v(x, y) (x + x, y)

    (x, y + y) (x + x, y + y)

    F i g u r e 2 . 4 : S m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n .

    T h e m a s s o f l i q u i d p a s s i n g t h r o u g h t h e l e f t h a n d u p r i g h t e d g e i n t h e p o s i t i v e x

    d i r e c t i o n i n u n i t

    t i m e ( m a s s u x ) i s a p p r o x i m a t e l y

    (x, y + y/2)u(x, y + y/2)y.

    T h e m a s s o f l i q u i d p a s s i n g t h r o u g h t h e r i g h t h a n d u p r i g h t e d g e i n t h e p o s i t i v e x

    d i r e c t i o n i n u n i t

    t i m e i s

    (x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2)y.

    T h u s t h e n e t m a s s o w o f l i q u i d p a s s i n g o u t ( t h r o u g h b o t h t h e l e f t h a n d a n d r i g h t h a n d e d g e s ) o f

    t h e e l e m e n t p e r u n i t t i m e i s

    [(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]y=

    [(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]

    xxy.

    F r o m e l e m e n t a r y c a l c u l u s i f (x, y)u(x, y)

    i s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s x

    ,y

    t h e n :

    (u)

    x= lim

    x0

    [(x + x, y + y/2)u(x + x, y + y/2) (x, y + y/2)u(x, y + y/2)]

    x,

    a n d s o l e t t i n g t h e s i z e o f t h e u i d e l e m e n t t e n d t o z e r o ( i . e . l e t t i n g x 0 a n d y 0 ) w e a r r i v e a t t h e r e s u l t :

    n e t m a s s o w r a t e o f l i q u i d o u t o f e l e m e n t t h r o u g h v e r t i c a l e d g e s a s x 0

    i s

    (u)x xy .

    B y a s i m i l a r a r g u m e n t :

    n e t m a s s o w t h r o u g h t h e h o r i z o n t a l e d g e s i s

    (v)y xy .

    H e n c e t h e n e t o w o f l i q u i d o u t o f t h e ( i n n i t e s i m a l l y ) s m a l l e l e m e n t o f a r e a dxdy

    i s g i v e n b y

    (u)x

    dxdy + (v)y

    dxdy =d i v

    (u)dxdy =d i v

    (u)dV,

    2 0

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    22/112

    w h e r e dV

    i s t h e " v o l u m e " o f t h e e l e m e n t ( i n t h i s 2 D p r o b l e m i t i s t h e a r e a o f t h e e l e m e n t ) . T h i s i s

    t h e o r i g i n o f t h e t e r m d i v e r g e n c e : i t r e f e r s t o t h e a m o u n t o f s o m e q u a n t i t y d i v e r g i n g o u t o f e a c h

    p o i n t i n t h e r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n .

    T h e a b o v e a r g u m e n t c a n b e g e n e r a l i s e d t o 3 D p r o b l e m s w h e r e t h e o w o c c u r s i n t h r e e d i m e n s i o n s .

    T h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n r e s u l t s ( w i t h u

    n o w a v e c t o r w i t h 3 c o m p o n e n t s ) :

    T h e n e t o w o f l i q u i d o u t o f a n e l e m e n t dxdydz

    p e r u n i t t i m e e q u a l s

    d i v((x,y ,z)u(x, y, z)) dx dy dz.

    I f t h e l i q u i d i s i n c o m p r e s s i b l e , t h e n (x,y ,z)

    i s c o n s t a n t a n d s o d i v (u) =

    d i vu

    . B u t b y c o n s e r -

    v a t i o n o f m a s s , t h e s a m e m a s s o f l i q u i d m u s t b e o w i n g i n t o t h e e l e m e n t a s o u t o f i t ( a s t h e r e i s

    n o c h a n g e i n d e n s i t y i n t h e l i q u i d e l e m e n t ) a n d s o f o r a n i n c o m p r e s s i b l e l i q u i d

    d i vu = 0

    a n d h e n c e

    d i vu = 0

    . I fu

    r e p r e s e n t s t h e v e l o c i t y v e c t o r e l d f o r a n y i n c o m p r e s s i b l e o w , t h e n n e c e s s a r i l y

    d i vu = 0

    e v e r y w h e r e i n t h e o w .

    2 . 7 . 2 P h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f c u r l

    A s i m i l a r s o r t o f a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d f o r a o w i n g l i q u i d t o s h o w t h a t i f u

    i s t h e v e l o c i t y

    v e c t o r , t h e n c u r l u

    a t a n y p o i n t i s a m e a s u r e o f t h e t e n d e n c y o f t h e u i d e l e m e n t a t t h a t p o i n t t o

    r o t a t e . I n p r i n c i p l e c u r l u

    c o u l d b e m e a s u r e d b y i n s e r t i n g a l i t t l e p a d d l e w h e e l i n t o t h e u i d a t a n y

    p o i n t . T h e r o t a t i o n o f t h e w h e e l w o u l d b e a m e a s u r e o f t h e c u r l .

    (x, y) (x + dx, y)

    (x, y + dy) (x + dx, y + dy)

    1

    2

    3

    4

    F i g u r e 2 . 5 : S m a l l e l e m e n t i n t h e o w d o m a i n .

    T o s e e t h i s i m a g i n e a l i q u i d o w i n g ( i n 2 D ) w i t h v e l o c i t y v e c t o r u = (u, v)

    . C o n s i d e r n o w a s m a l l

    s q u a r e i n t h e o w i n g l i q u i d a s i n F i g u r e 2 . 5 . T h e c i r c u l a t i o n o f t h e v e l o c i t y v e c t o r a b o u t t h e s q u a r e

    2 1

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    23/112

    i n d i c a t e s t h e t e n d e n c y o f t h e l i q u i d t o m o v e a r o u n d t h e s q u a r e a n d i s d e n e d b y : I G K = H A

    u dr =

    I E @ A

    u dx +

    I E @ A

    v dy

    I E @ A !

    u dx

    I E @ A "

    v dy

    =c a l c u l a t i o n o f i n t e g r a l a b o u t t h e s q u a r e

    1234.

    N o w w r i t e a l l t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s a s T a y l o r s e r i e s a b o u t (x, y)

    w h i l e a s s u m i n g v e l o c i t y a l o n g

    1 i s ( a p p r o x i m a t e l y ) u(x + dx/2, y)

    , a l o n g 2 i s u(x + dx,y + dy/2)

    , a l o n g 3 i s u(x + dx/2, y + dy)

    a n d a l o n g 4 i s u(x, y + dy/2)

    . T h u s , u s i n g T a y l o r s e r i e s t o r s t o r d e r :

    a l o n g 1 : u(x + dx/2, y) = u(x + dx/2, y) u(x, y) + dx

    2

    u

    x

    a l o n g 2 : u(x + dx,y + dy/2) = v(x + dx,y + dy/2) v(x, y) + dx v

    x+

    dy

    2

    v

    y

    a l o n g 3 : u(x + dx/2, y + dy) = u(x + dx/2, y + dy) u(x, y) + dx

    2

    u

    x+ dy

    u

    y

    a l o n g 4 : u(x, y + dy/2) = v(x, y + dy/2)

    v(x, y) +

    dy

    2

    v

    y

    .

    N o t e t h a t t h e v e l o c i t y v e c t o r i s u(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

    . I n t h e d i r e c t i o n o f s i d e 1 t h e c o m p o n e n t

    o f t h e v e l o c i t y v e c t o r i s j u s t u(x, y)

    . S i m i l a r l y i n t h e d i r e c t i o n o f s i d e 2 t h e c o m p o n e n t i s j u s t v(x, y)

    e t c . T h u s I G K = H A

    u dr

    u +dx

    2

    u

    x

    dx +

    v + dx

    v

    x+

    dy

    2

    v

    y

    dy

    u +dx

    2

    u

    x+ dy

    u

    y

    dx

    v +

    dy

    2

    v

    y

    dy

    v

    x u

    y

    dxdy.

    B u t

    vx uy i s t h e t h i r d c o m p o n e n t o f c u r l u, s e e ( 2 . 1 0 ) , a n d s o t h e c i r c u l a t i o n p e r u n i t a r e a ( a s

    dxdyi s t h e a r e a o f t h e s q u a r e ) i s t h e t h i r d c o m p o n e n t o f c u r l

    u. W e c a n a l s o i n t e r p r e t t h i s a s

    m e a n i n g t h a t t h e c i r c u l a t i o n a b o u t a n i n n i t e s i m a l a r e a e q u a l s t h e c o m p o n e n t o f t h e c u r l n o r m a l

    t o t h e a r e a ( a s t h e s q u a r e i n F i g u r e 2 . 5 w a s i n t h e (x, y)

    p l a n e w h i l e t h e c i r c u l a t i o n p e r u n i t a r e a

    w a s t h e c o m p o n e n t o f t h e c u r l i n t h e z

    - d i r e c t i o n ) .

    V e c t o r e l d s f o r w h i c h t h e c u r l i s z e r o e v e r y w h e r e a r e s a i d t o b e c u r l - f r e e o r i r r o t a t i o n a l v e c t o r

    e l d s .

    E x a m p l e 2 . 7 . 3 A u i d h a s v e l o c i t y e l d u = (x+z, y2, 0)

    . C h e c k w h e t h e r t h e o w i s i n c o m p r e s s i b l e

    a n d / o r i r r o t a t i o n a l .

    2 . 8 T h e D e l O p e r a t o r

    A n e q u a t i o n l i k e

    d2y

    dx2 + 2

    dy

    dx+ 3y = 0

    i s s o m e t i m e s w r i t t e n a s d2

    dx2+ 2

    d

    dx+ 3

    y = 0

    o r(D2 + 2D + 3)y = 0

    w i t h D d

    dx.

    2 2

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    24/112

    Di s c a l l e d a n o p e r a t o r a n d i t n e e d s a n o p e r a n d t o m a k e s e n s e , i . e i t c a n n o t s t a n d a l o n e . S o , f o r

    e x a m p l e

    D(y) =dy

    dx.

    .

    N o t e t h a t t h e

    Do p e r a t o r o b e y s s o m e b u t n o t a l l t h e r u l e s o f o r d i n a r y a l g e b r a , e . g .

    D(uv) =uD(v) = uvD

    . I n f a c t , D(uv) = uD(v) + vD(u)

    w h i c h i s j u s t t h e p r o d u c t r u l e f o r d i e r e n t i a t i o n .

    2 . 8 . 1 T h e D e l O p e r a t o r i n C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s

    T h e e x p r e s s i o n

    i x

    +j

    y+ k

    z=

    x,

    y,

    z

    ,

    ( 2 . 1 2 )

    i s c a l l e d t h e d e l o p e r a t o r o r d e l o r n a b l a .

    U n d e r r o t a t i o n o f a x e s ( o r t r a n s l a t i o n ) b e h a v e s l i k e a v e c t o r a n d i s t e r m e d a v e c t o r o p e r a t o r ( c o m p a r e

    Da b o v e ) . T h u s w e f o r m a l l y d e n e :

    = g r a d , ( 2 . 1 3 )

    a n d w e t h i n k o f a s o p e r a t i n g o n t h e s c a l a r e l d (x,y ,z). S i m i l a r l y w e d e n e ( f o r t h e v e c t o r e l d v(x,y ,z)) :

    v = d i v v, ( 2 . 1 4 )

    a n d l i k e w i s e

    v = c u r l v. ( 2 . 1 5 )

    A s w i t h t h e D

    o p e r a t o r , t h e c o m p o n e n t s o f a c t o n l y u p o n t h e f u n c t i o n t o t h e i r r i g h t .

    2 3

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    25/112

    + D = F J A H !

    L i n e , S u r f a c e & V o l u m e I n t e g r a l s

    T y p i c a l l y a d e n i t e i n t e g r a l w i l l l o o k l i k e

    ba f(x) dx w h e r e f(x) i s c a l l e d t h e i n t e g r a n d a n d a, b a r e

    t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n w h i c h p h y s i c a l l y c o r r e s p o n d s t o g e t t i n g t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e b e t w e e n

    aa n d

    b( s e e F i g u r e 3 . 1 ) . T h i s i n t e g r a l i s d e n e d a s f o l l o w s :

    ba

    f(x) dx = limm

    mi=1

    f(xi)xi. ( 3 . 1 )

    I n t e g r a t i o n i s m e r e l y a l i m i t i n g s u m m a t i o n a n d f o r m o r e a d v a n c e d t y p e s o f i n t e g r a t i o n , w e d e n e

    e v e r y t h i n g i n a n a n a l o g o u s f a s h i o n .

    y

    xa bx

    y = f(x)

    F i g u r e 3 . 1 :

    ba f(x) dx =

    a r e a u n d e r c u r v e

    y = f(x)b e t w e e n

    x = aa n d

    x = b.

    I n p r a c t i c e , o n e o f t e n u s e s t h e f a c t t h a t i n t e g r a t i o n a n d d i e r e n t i a t i o n a r e i n v e r s e o p e r a t i o n s t o

    c a r r y o u t i n t e g r a t i o n s , e . g .

    sin x dx = cos x b e c a u s e ddx(cos x) = sin x. I t i s i m p o r t a n t t o

    a p p r e c i a t e t h a t t h i s i s a u s e f u l w a y o f e v a l u a t i n g m a n y e l e m e n t a r y i n t e g r a l s b u t t h a t i n t e g r a t i o n

    i s a c t u a l l y d e n e d a s t h e l i m i t i n g s u m m a t i o n i n ( 3 . 1 ) . I f o n e k n o w s t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n f(x)

    a t a l l v a l u e s o f x [a, b], t h e n i n p r i n c i p l e o n e c a n e v a l u a t e t h e a r e a u n d e r t h e c u r v e i n F i g u r e 3 . 1

    ( i . e . e s t i m a t e t h e v a l u e o f t h e d e n i t e i n t e g r a l ) w h e t h e r o r n o t o n e k n o w s t h e a n t i d e r i v a t i v e o f t h e

    i n t e g r a n d .

    2 4

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    26/112

    A s t h e d e n i t e i n t e g r a l i s t h e m o s t b a s i c t y p e o f i n t e g r a l t h e u s u a l s t r a t e g y i n e v a l u a t i n g m o r e

    c o m p l i c a t e d i n t e g r a l s ( t o b e i n t r o d u c e d i n t h i s c h a p t e r ) i s b y r e d u c t i o n t o d e n i t e i n t e g r a l s b y

    s o m e m e a n s o r a n o t h e r .

    3 . 1 L i n e I n t e g r a l o f a s c a l a r e l d

    T h i s i s a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e d e n i t e i n t e g r a l . C o n s i d e r a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e i n s p a c e C

    w i t h

    i n t r i n s i c p a r a m e t r i c e q u a t i o n

    r = r(s) = (x(s), y(s), z(s)), 0 s l,( 3 . 2 )

    w h e r e s

    i s t h e a r c l e n g t h a l o n g t h e c u r v e . S u p p o s e t h a t s o m e s c a l a r f u n c t i o n (x,y ,z)

    i s d e n e d

    a t e v e r y p o i n t o f C

    . W e b r e a k C

    u p i n t o l i t t l e s t r i p s ( s e e F i g u r e 3 . 2 ) a n d c o n s i d e r

    a s b e i n g

    a p p r o x i m a t e l y c o n s t a n t o v e r e a c h s t r i p .

    A

    B

    C

    s

    P

    PP

    1

    2

    3

    F i g u r e 3 . 2 : B r e a k i n g t h e c u r v e C

    i n t o s t r i p s .

    N o w c o n s i d e r t h e s u m :

    (P1)s + (P2)s + . . . + (Pn)s =n

    i=1

    (Pi)s

    a n d d e n e t h e l i m i t :

    limn

    ni=1

    (Pi)s =

    C

    (x,y ,z) ds =

    C

    (s) ds,( 3 . 3 )

    t o b e t h e l i n e i n t e g r a l o f t h e s c a l a r f u n c t i o n (x,y ,z)

    a l o n g t h e c u r v e C

    , c a l l e d t h e p a t h o f i n t e g r a -

    t i o n . T h e l a s t e q u a l i t y c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t b e c a u s e t h e c u r v e C

    i s r e p r e s e n t e d b y ( 3 . 2 ) , t h e n

    a l o n g t h e c u r v e e a c h o f x

    ,y

    ,z

    i s a f u n c t i o n o f s

    a n d s o = (s)

    a l o n g C

    a l s o . I n ( 3 . 3 ) i t i s p o s s i b l e

    t o p u t l i m i t s o n t h e i n t e g r a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e v a l u e s o f s

    a t t h e s t a r t a n d e n d p o i n t s o f t h e

    c u r v e C

    . T h u s t h e i n t e g r a l c a n a l s o b e w r i t t e n a s : s1s0

    (s)ds,( 3 . 4 )

    2 5

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    27/112

    w h e r e s0 , s1 a r e t h e v a l u e s o f t h e a r c l e n g t h c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o e n d s o f t h e c u r v e ( t y p i c a l l y

    s0 = 0 i f w e c h o o s e t o m e a s u r e t h e d i s t a n c e f r o m t h i s p o i n t ) .

    T h e n o r m a l w a y o f e v a l u a t i n g a l i n e i n t e g r a l i s b y o b t a i n i n g a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e

    p a t h o f i n t e g r a t i o n C

    , t h a t i s C

    :x = x(t)

    ,y = y(t)

    ,z = z(t)

    , w i t h t

    v a r y i n g , i . e . t

    . T h e n

    C

    (x,y ,z)ds =

    (x(t), y(t), z(t))ds

    dt dt

    =

    (x(t), y(t), z(t))

    dx

    dt

    2+

    dy

    dt

    2+

    dz

    dt

    2dt,

    ( 3 . 5 )

    u s i n g t h e e x p r e s s i o n i n ( 1 . 7 ) t o r e p l a c e

    dsdt . T h e m e t h o d i s b e s t i l l u s t r a t e d b y a n e x a m p l e .

    E x a m p l e 3 . 1 . 1 E v a l u a t e

    C ds w h e r e (x,y ,z) = xy

    3a n d

    Ci s t h e s e g m e n t o f t h e l i n e

    y = 2x,

    z = 0i n t h e

    xyp l a n e f r o m

    (1, 2, 0) t o (1, 2, 0).

    S u m m a r i s i n g : l i n e i n t e g r a l s a r e e v a l u a t e d b y o b t a i n i n g a p a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e p a t h

    o f i n t e g r a t i o n r = r(t), u s i n g t h e f a c t t h a t ds = dsdt dt a n d t h e n w r i t i n g t h e i n t e g r a n d a n ddsdt i n

    t e r m s o f

    tr e d u c i n g i t t o a d e n i t e i n t e g r a l .

    E x a m p l e 3 . 1 . 2 E v a l u a t e

    C ds w h e n = x

    2 + y2a n d

    Ci s t h e t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t

    (0, 0, 0),

    (1, 0, 0),

    (0, 1, 0)( s e e F i g u r e 3 . 3 ) .

    x

    y

    z

    O

    A(1,0,0)

    B(0,1,0)

    F i g u r e 3 . 3 : T r i a n g l e w i t h v e r t i c e s a t

    (0, 0, 0),

    (1, 0, 0),

    (0, 1, 0).

    R e m a r k s :

    ( i ) T h e l i n e i n t e g r a l a l o n g a c u r v e C

    i s i n d e p e n d e n t o f t h e d i r e c t i o n a l o n g w h i c h t h e c u r v e i s

    t r a v e r s e d a s l o n g a s a r c l e n g t h i s t a k e n t o b e i n c r e a s i n g w h e n w e m o v e f r o m t h e d e s i g n a t e d

    s t a r t p o i n t t o t h e d e s i g n a t e d e n d p o i n t , i . e . C

    ds =

    C

    ds.

    2 6

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    28/112

    ( i i ) F o r a l i n e i n t e g r a l a b o u t a c l o s e d c u r v e ( f o r e x a m p l e a c i r c l e ) t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l i s

    i n d e p e n d e n t o f t h e p o i n t a t w h i c h o n e s t a r t s . S u c h i n t e g r a l s a r e o f t e n w r i t t e n a s

    C ds t o

    e m p h a s i z e t h e f a c t t h a t t h e i n t e g r a t i o n c u r v e i s c l o s e d .

    ( i i i ) A n a l o g o u s t o d e n i t e i n t e g r a l s w e h a v e

    Ck ds = k

    C ds

    w h e r e k

    i s a c o n s t a n t . I n a d d i t i o n

    ( a s o c c u r r e d i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e ) i t i s p o s s i b l e t o s p l i t u p t h e r a n g e o f i n t e g r a t i o n a n d

    a d d t h e c o n s t i t u e n t p a r t s t o g e t h e r : C

    ds =

    C1

    ds +

    C2

    ds,

    w h e r e C = C1 + C2 . F i n a l l y , a n a l o g o u s t o d e n i t e i n t e g r a l s w e h a v e :

    C(f + g) ds =

    C

    f ds +

    C

    g ds.

    E x e r c i s e : E v a l u a t e t h e l i n e i n t e g r a l o f = (a2y2/b2+b2x2/a2)1/2 a r o u n d t h e e l l i p s e x2/a2+y2/b2 =

    1,

    z = 0, w h e r e

    a,

    ba r e k n o w n c o n s t a n t s . [ H i n t : T h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n s o f t h e e l l i p s e a r e :

    x = a cos ,

    y = b sin ,

    z = 0, f o r

    0 2 ] .

    3 . 2 L i n e I n t e g r a l s o f a V e c t o r F i e l d

    L e tf

    b e a v e c t o r d e n e d a t a l l p o i n t s o n a p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e C

    . L e t t

    d e n o t e t h e u n i t t a n g e n t

    a l o n g C

    . W e d e n e :

    I =C

    f t ds, ( 3 . 6 )

    t o b e t h e s c a l a r l i n e i n t e g r a l o f f

    a l o n g C

    . ( I t i s a s c a l a r b e c a u s e o f t h e d o t p r o d u c t ) .

    I fr = r(s)

    i s t h e p o s i t i o n v e c t o r o f a n y p o i n t o n C

    t h e n

    t =dr

    ds,

    ( 3 . 7 )

    a n d w e c a n w r i t e t h e i n t e g r a l a s :

    I =C f

    dr

    ds ds =C f dr,

    ( 3 . 8 )

    ( w h e r e r = (x,y ,z) i s t h e u s u a l p o s i t i o n v e c t o r a n d dr = (dx,dy,dz)) .

    I f t h e c u r v e C

    i s c l o s e d t h e i n t e g r a l i s c a l l e d t h e c i r c u l a t i o n o f t h e v e c t o r f

    a b o u t t h e c u r v e a n d

    i s w r i t t e n :

    C i r c u l a t i o n =

    C

    f dr. ( 3 . 9 )

    I n u i d m e c h a n i c s i f u

    i s t h e v e l o c i t y e l d v e c t o r t h e c i r c u l a t i o n a b o u t a c l o s e d c u r v e i . e .

    Cu dr

    i n d i c a t e s t h e t e n d e n c y o f u i d e l e m e n t s t o m o v e a r o u n d t h e c u r v e C

    .

    N o t e t h a t t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e i n t e g r a t i o n i s c a r r i e d o u t i n a l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d i s

    i m p o r t a n t . I f w e r e v e r s e t h e d i r e c t i o n o f i n t e g r a t i o n t

    i s a l s o r e v e r s e d a n d t h e i n t e g r a l c h a n g e s s i g n .

    2 7

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    29/112

    S o , f o r e x a m p l e i f w e a r e t a l k i n g a b o u t t h e s c a l a r l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d a b o u t a c i r c l e , w e

    m u s t d e n e t h e d i r e c t i o n i n w h i c h t h e i n t e g r a t i o n i s t o b e c a r r i e d o u t ( c l o c k w i s e o r a n t i c l o c k w i s e ) .

    T h e t e c h n i q u e f o r e v a l u a t i n g s c a l a r l i n e i n t e g r a l s o f a v e c t o r e l d i s s i m i l a r t o t h a t u s e d f o r l i n e

    i n t e g r a l s o f a s c a l a r e l d . A p a r a m e t r i c d e n i t i o n o f t h e c u r v e C

    m u s t b e f o u n d i n t h e f o r m r = r(t)

    ( n o t e t h a t t h i s p a r a m e t e r t

    i s a d u m m y p a r a m e t e r : w e c o u l d h a v e j u s t a s e a s i l y w r i t t e n r = r()

    ) .

    T h e n t h e i n t e g r a n d i s w r i t t e n c o m p l e t e l y i n t e r m s o f t h e p a r a m e t e r t

    . F i n a l l y , w e u s e t h e f a c t t h a t

    dr = drdt dt = r(t)dt

    ( c o m p a r e w i t h t h e e q u i v a l e n t s t e p f o r w r i t i n g ds

    i n t e r m s o f dt

    i n t h e c a s e o f

    t h e l i n e i n t e g r a l o f a s c a l a r e l d ) .

    E x a m p l e 3 . 2 . 1 E v a l u a t e

    C f dr f o r t h e v e c t o r e l d f = (z ,x,y) a l o n g t h e c u r v e C = t h e c i r c l e

    x2 + y2 = a2,

    z = 0, d e s c r i b e d i n a c l o c k w i s e s e n s e f o r a n o b s e r v e r l o o k i n g a l o n g t h e p o s i t i v e

    z- a x i s .

    3 . 2 . 1 W o r k

    I n m e c h a n i c s , i f a f o r c e f

    m o v e s i t s p o i n t o f a p p l i c a t i o n a l o n g a c u r v e C

    i n d o i n g w o r k t h e n t h e

    a m o u n t o f w o r k d o n e i s g i v e n b y t h e l i n e i n t e g r a l :

    W o r k d o n e =

    C

    f dr.

    E x a m p l e 3 . 2 . 2 F i n d t h e w o r k d o n e i n m o v i n g a p a r t i c l e i n a f o r c e e l d g i v e n b y

    F(x,y ,z) = 3xyi 5zj + 10xk,

    a l o n g t h e c u r v e w i t h p a r a m e t r i c d e n i t i o n r(t) = (t2 + 1, 2t2, t3)

    , f o r 1 t 2.

    3 . 2 . 2 C o n s e r v a t i v e F i e l d s

    F r o m i n t r o d u c t o r y c a l c u l u s w e h a d t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m o f C a l c u l u s w h i c h t o l d u s h o w

    t o e v a l u a t e d e n i t e i n t e g r a l s , i . e . b

    aF(x) dx = F(b) F(a).

    I t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s a v e r s i o n o f t h i s f o r l i n e i n t e g r a l s o v e r c e r t a i n k i n d s o f v e c t o r e l d s :

    T h e o r e m 3 . 2 . 1 S u p p o s e t h a t C

    i s a s m o o t h c u r v e g i v e n b y r(t)

    , f o r a t b. A l s o s u p p o s e t h a t

    fi s a f u n c t i o n w h o s e g r a d i e n t v e c t o r , f, i s c o n t i n u o u s o n C. T h e n

    Cf dr = f

    (r(b)

    ) f(

    r(a)

    ).

    ( 3 . 1 0 )

    [ W e o m i t t h e p r o o f ] .

    2 8

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    30/112

    E x a m p l e 3 . 2 . 3 E v a l u a t e

    Cf dr w h e r e f(x,y ,z) = cos x + sin y xyz a n d C i s a n y p a t h

    t h a t s t a r t s a t t h e p o i n t (1, 12 , 2) a n d e n d s a t (2, 1, 1).

    S o l u t i o n . F i r s t n o t i c e t h a t w e d i d n o t s p e c i f y t h e p a t h f o r g e t t i n g f r o m t h e i n i t i a l p o i n t t o t h e e n d

    p o i n t . T h e r e a s o n f o r t h i s i s s i m p l e : T h e o r e m 3 . 2 . 1 t e l l s u s t h a t a l l w e n e e d a r e t h e i n i t i a l a n d e n d

    p o i n t s o n t h e c u r v e i n o r d e r t o e v a l u a t e t h i s k i n d o f l i n e i n t e g r a l . T h u s C

    f dr = f(2, 1, 1) f

    1,1

    2, 2

    = cos 2 + sin (2)(1)(1)

    cos + sin

    2 (1)

    1

    2

    (2)

    = 4.

    T h e i m p o r t a n t i d e a f r o m t h i s e x a m p l e i s t h a t , f o r t h e s e k i n d s o f l i n e i n t e g r a l s , w e d i d n o t n e e d t o

    k n o w t h e p a t h t o g e t t h e a n s w e r . I n o t h e r w o r d s , w e c o u l d u s e a n y p a t h w e w a n t a n d w e w i l l a l w a y s

    g e t t h e s a m e r e s u l t s .

    D e n i t i o n 3 . 2 . 1 ( i )F

    i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d i f t h e r e i s a s c a l a r f u n c t i o n

    s u c h t h a t

    F = . T h e f u n c t i o n i s c a l l e d a p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e v e c t o r e l d .

    ( i i )

    CF dr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h i f

    C1

    F dr = C2 F dr w h e r e C1 a n d C2 a r e a n y t w o p a t h s w i t h t h e s a m e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s .

    T h e n w e h a v e t h e f o l l o w i n g t w o f a c t s :

    ( i )

    Cfdr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h . [ T h i s i s e a s y e n o u g h t o p r o v e s i n c e a l l w e n e e d t o d o i s l o o k

    a t T h e o r e m 3 . 2 . 1 . I t t e l l s u s t h a t i n o r d e r t o e v a l u a t e t h i s i n t e g r a l a l l w e n e e d a r e t h e i n i t i a l

    a n d e n d p o i n t s o f t h e c u r v e . T h i s i n t u r n t e l l s u s t h a t t h e l i n e i n t e g r a l m u s t b e i n d e p e n d e n t

    o f p a t h ] .

    ( i i ) I f F

    i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d t h e n

    CF dr i s i n d e p e n d e n t o f p a t h . [ T h i s f a c t i s a l s o

    e a s y e n o u g h t o p r o v e . I f F

    i s c o n s e r v a t i v e t h e n i t h a s a p o t e n t i a l f u n c t i o n ,

    , a n d s o t h e l i n e

    i n t e g r a l b e c o m e s C dr. T h e n , u s i n g f a c t ( i ) w e k n o w t h a t t h i s l i n e i n t e g r a l m u s t b e i n d e p e n d e n t o f p a t h ] .

    F a c t ( i i ) t e l l s u s t h a t w e c a n e a s i l y e v a l u a t e t h i s l i n e i n t e g r a l p r o v i d e d w e c a n n d a p o t e n t i a l

    f u n c t i o n f o r F: C

    F dr =C

    dr = (r(b)) (r(a)). ( 3 . 1 1 ) T h e r e a r e t w o q u e s t i o n s w e w i s h t o a s k :

    1 . G i v e n a v e c t o r e l d F

    i s t h e r e a n y w a y o f d e t e r m i n i n g i f i t i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d ?

    2 . I f w e k n o w t h a t F

    i s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d h o w d o w e g o a b o u t n d i n g a p o t e n t i a l f u n c t i o n

    f o r t h e v e c t o r e l d ?

    2 9

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    31/112

    T h e r s t q u e s t i o n i s e a s y t o a n s w e r b e c a u s e i t t u r n s o u t t h a t t o d e t e r m i n e i f a e l d i s c o n s e r v a t i v e

    i t i s s u c i e n t t o c h e c k i f t h e e l d i s i r r o t a t i o n a l , t h a t i s ,

    Fc o n s e r v a t i v e

    c u r l

    F = F = 0.

    T h i s f o l l o w s s i n c e a c o n s e r v a t i v e e l d t h e v e c t o r F

    h a s a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l

    , t h a t i s ,

    = F. T h e n f r o m t h e d e n i t i o n i n ( 2 . 1 1 ) w e h a v e c u r l

    = = 0. T h i s c a n b e s e e n f r o m

    e v a l u a t i n g t h e d e t e r m i n a n t :

    =

    i j k

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    = 0.

    N o w t h a t w e k n o w h o w t o i d e n t i f y i f a v e c t o r e l d i s c o n s e r v a t i v e w e n e e d t o a d d r e s s h o w t o n d

    a p o t e n t i a l f u n c t i o n f o r t h e v e c t o r e l d . T h i s i s a c t u a l l y a f a i r l y s i m p l e p r o c e s s . F i r s t , w e a s s u m e

    t h a t t h e v e c t o r e l d i s c o n s e r v a t i v e a n d s o w e k n o w t h a t a p o t e n t i a l f u n c t i o n e x i s t s s u c h t h a t

    F = . I f

    F = (P,Q,R)w e c a n t h e n s a y t h a t

    =

    x,

    y,

    z

    = (P,Q,R).

    O r , e q u a t i n g c o m p o n e n t s

    x= P,

    y= Q,

    z= R.

    W e t h e n i n t e g r a t e e a c h o f t h e s e w i t h r e s p e c t t o t h e a p p r o p r i a t e v a r i a b l e . I t i s u s u a l l y b e s t t o s e e

    h o w t o n d a p o t e n t i a l f u n c t i o n i n p r a c t i c e f r o m a n e x a m p l e o r t w o .

    E x a m p l e 3 . 2 . 4 S h o w t h a t t h e v e c t o r e l d v = gk

    ( w h e r e g

    i s t h e c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n d u e t o

    g r a v i t y ) i s c o n s e r v a t i v e . D e t e r m i n e a n a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l

    f o r t h e v e c t o r e l dv

    .

    E x a m p l e 3 . 2 . 5 ( O l d e x a m q u e s t i o n ) S h o w t h a t F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k

    i s a c o n s e r v a t i v e

    v e c t o r e l d a n d d e t e r m i n e a n a n a s s o c i a t e d s c a l a r p o t e n t i a l

    f o r t h i s v e c t o r e l d . H e n c e n d CFdrw h e r e C i s t h e c u r v e d e s c r i b e d b y r(t) = (t2 + 1, 2t2, t3), f o r 1 t 2.

    S o l u t i o n . N o w

    F =

    i j k

    x

    y

    z

    2xy + z3 x2 3xz2

    = i

    y

    z

    x

    2

    3xz

    2

    j

    x

    z

    2xy + z

    3

    3xz

    2

    + k

    x

    y

    2xy + z

    3

    x

    2

    = i(0) j(3z2 3z2) + k(2x 2x) = 0.

    3 0

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    32/112

    S oF

    i s c o n s e r v a t i v e a n d t h e r e e x i s t s

    s u c h t h a t F =

    o r

    ( i )

    x= 2xy + z3,

    ( i i )

    y= x2,

    ( i i i )

    z= 3xz2.

    I n t e g r a t i n g ( i ) w . r . t . x

    g i v e s

    = x2y + z3x + f(y, z).

    N o w d i e r e n t i a t i n g t h i s w . r . t . y

    g i v e s

    y= x2 +

    f

    y.

    F r o m c o m p a r i n g w i t h ( i i ) w e d e d u c e t h a t

    fy = 0 a n d i n t e g r a t i n g w . r . t . y t h e n g i v e s f = f(z).

    H e n c e

    b e c o m e s

    = x2y + z3x + f(z).

    N o w d i e r e n t i a t i n g t h i s w . r . t . z g i v e s

    z= 3z2x +

    f

    z.

    F r o m c o m p a r i n g w i t h ( i i i ) w e d e d u c e t h a t

    fz = 0 a n d s o f = c = c o n s t . H e n c e

    = x2y + z3x + c.

    F i n a l l y , t o n d

    CF dr w e u s e T h e o r e m 3 . 2 . 1 , n o i n t e g r a t i o n i s r e q u i r e d ! N o w , r(a) = r(1) =

    (2, 2, 1)a n d

    r(b) = r(2) = (5, 8, 8). H e n c e

    CF dr =

    C

    dr = (r(b)) (r(a))

    =[

    (5)2(8) + (8)3(5) + c] [(2)2(2) + (1)3(2) + c] = 2570.

    N o t e t h a t t h e u n k n o w n c o n s t a n t c

    c o n v e n i e n t l y c a n c e l l e d o u t i n t h i s c a l c u l a t i o n .

    3 . 2 . 3 V e c t o r L i n e I n t e g r a l s

    A n o t h e r c o m m o n t y p e o f l i n e i n t e g r a l o f a v e c t o r e l d c a l l e d a v e c t o r l i n e i n t e g r a l t a k e s t h e f o r m C fds a n d i s d e n e d a s f o l l o w s :

    Cfds = i

    C

    f1ds +j

    C

    f2 ds + k

    C

    f3 ds,

    w h e r e f = (f1, f2, f3). T h i s i n t e g r a l r e s u l t s i n a v e c t o r a n d t o c a r r y i n t e g r a t i o n i n v o l v e s c o m p u t i n g

    t h r e e s c a l a r l i n e i n t e g r a l s ( w h i c h w e s a w h o w t o d e a l w i t h i n 3 . 1 ) .

    3 1

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    33/112

    3 . 3 R e p e a t e d I n t e g r a l s

    A n i n t e g r a l o f t h e f o r m : ba

    q(x)p(x)

    f(x, y) dy dx,

    w h e r e a

    ,b

    a r e k n o w n c o n s t a n t s , p(x)

    ,q(x)

    a r e k n o w n f u n c t i o n s o f x

    , a n d f(x, y)

    i s a k n o w n f u n c t i o n

    o f(x, y)

    i s c a l l e d a r e p e a t e d i n t e g r a l . I t i s e v a l u a t e d b y r s t c a l c u l a t i n g t h e i n n e r i n t e g r a l :

    q(x)p(x)

    f(x, y) dy,

    w h i l e h o l d i n g x

    c o n s t a n t i n t h e i n t e g r a t i o n , i . e . c a r r y i n g o u t t h i s i n t e g r a t i o n a s i f x

    w e r e a c o n s t a n t .

    W h e n t h i s i n t e g r a l h a s b e e n e v a l u a t e d a n d t h e l i m i t v a l u e s l l e d i n , w h a t r e m a i n s i s a f u n c t i o n o f

    xo n l y

    = I(x)a s w h e r e v e r

    ya p p e a r s i t h a s b e e n r e p l a c e d b y

    p(x),

    q(x). N o w w e h a v e :

    baq(x)p(x) f(x, y) dy dx =

    baq(x)

    p(x) f(x, y) dy

    dx =ba I(x)dx,

    a n d e v a l u a t i o n o f t h e r e p e a t e d i n t e g r a l h a s r e d u c e d t o e v a l u a t i o n o f a d e n i t e i n t e g r a l a s I(x)

    i s a

    k n o w n f u n c t i o n o f x

    .

    G e n e r a l R u l e o f T h u m b :

    T h e l i m i t s o n t h e i n n e r i n t e g r a t i o n c a n b e f u n c t i o n s o f t h e o u t e r v a r i a b l e ( x

    a b o v e ) b u t t h e l i m i t s o n

    t h e o u t e r m o s t i n t e g r a l m u s t b e c o n s t a n t s . I n t h e s p e c i a l c a s e w h e n b o t h s e t s o f l i m i t s a r e c o n s t a n t s

    t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n m a y b e r e v e r s e d , i . e . ba

    dc

    f(x, y) dy dx =

    dc

    ba

    f(x, y) dxdy,

    p r o v i d e d a

    ,b

    ,c

    ,d

    a r e c o n s t a n t s .

    E x a m p l e 3 . 3 . 1 E v a l u a t e

    I =

    10

    xx/2

    xy dy dx.

    E x a m p l e 3 . 3 . 2 E v a l u a t e

    I =

    /40

    y0

    sin y

    ydxdy.

    3 . 4 D o u b l e a n d a r e a i n t e g r a l s

    L e tf(x, y)

    b e a s c a l a r f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s d e n e d o v e r a c l o s e d r e g i o n R

    i nxy

    s p a c e a s s h o w n

    i n F i g u r e 3 . 4 . W e s u b d i v i d e R

    b y d r a w i n g p a r a l l e l l i n e s t o t h e x

    a n dy

    a x e s a n d n u m b e r t h o s e

    r e c t a n g l e s w h i c h a r e w i t h i n R f r o m 1 t o n . I n e a c h s u c h r e c t a n g l e w e c h o o s e a p o i n t , s a y (xk, yk)

    i n t h e k

    t h r e c t a n g l e , a n d d e n e :

    3 2

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    34/112

    y

    x

    R

    F i g u r e 3 . 4 : I n t e g r a l o v e r a 2 D a r e a R

    .

    Jn =n

    k=1

    f(xk, yk)Ak,

    w h e r e Ak i s t h e a r e a o f t h e k t h r e c t a n g l e . N o w l e t n t e n d t o i n n i t y :

    limn

    Jn = limn

    nk=1

    f(xk, yk)Ak =

    R

    f dA =

    R

    f dxdy,

    w h e r e t h e l i m i t s o f t h e i n t e g r a t i o n i n t e r m s o f x

    a n dy

    a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e r e g i o n R

    . T h u s

    w e w r i t e t h e a r e a i n t e g r a l a s a r e p e a t e d i n t e g r a l w h i c h w e c a n e v a l u a t e a s i n 3 . 3 . T h e m a i n

    d i c u l t y i n e v a l u a t i n g a r e a i n t e g r a l s i s i n c h o o s i n g t h e l i m i t s o f i n t e g r a t i o n t o c o r r e s p o n d t o t h e

    r e g i o n o f i n t e g r a t i o n R

    . N o t e , t h e n o t a t i o n R

    f dAi n s t e a d o f

    Rf dA

    c a n a l s o b e u s e d .

    E x a m p l e 3 . 4 . 1 E v a l u a t e

    R xydA w h e r e R i s t h e s q u a r e f o r m e d b y t h e p o i n t s (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).

    E x a m p l e 3 . 4 . 2 E v a l u a t e

    R xydA w h e r e R i s b o u n d e d b y t h e c o o r d i n a t e p l a n e s a n d t h e l i n e s y =

    x/2a n d

    y = 1/2.

    S o l u t i o n . T h e r e g i o n o f i n t e g r a t i o n i s c l e a r l y t h a t i n F i g u r e 3 . 5 .

    L e t u s c h o o s e t o i n t e g r a t e r s t w . r . t . x

    a n d t h e n w . r . t . y

    s o t h e x

    v a r i a b l e i s t h e i n n e r v a r i a b l e

    a n d d u r i n g t h e r s t i n t e g r a t i o n y

    i s h e l d c o n s t a n t . I n t h i s c a s e t h e r e g i o n R

    i s d e s c r i b e d b y t h e

    i n e q u a l i t i e s : 0 x 2y ; 0 y 1/2 a n d t h e a r e a i n t e g r a l i s

    I =

    R

    xydA =

    y=1/2y=0

    x=2yx=0

    xydxdy

    =

    y=1/2y=0

    x2y

    2

    x=2yx=0

    dy

    =1/20

    2y3 dy =

    y

    4

    21/20

    = 132 .

    3 3

  • 8/2/2019 MA4006 Notes

    35/112

    y = x/2

    (1, 0)x

    y

    (1, 1/2)(0, 1/2)

    F i g u r e 3 . 5 : R e g i o n o f i n t e g r a t i o n f o r E x a m p l e 3 . 4 . 2 .

    N o t e a g a i n t h a t i n p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n w . r . t . x

    r s t w e a r e i n t e g r a t i n g a c r o s s h o r i z o n t a l

    s t r i p s a n d t h e l i m i t s o n x

    v a r y ( a s f u n c t i o n s o f y

    f r o m s t r i p t o s t r i p , s e e F i g u r e 3 . 5 ) .

    A l t e r n a t i v e l y , w e c a n r e v e r s e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n n o t i n g t h a t