managerial decision modeling
DESCRIPTION
Managerial Decision Modeling. Cliff Ragsdale 6. edition. Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming. Innledning. Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Managerial Decision Modeling
Cliff Ragsdale6. edition
Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE
Chapter 2Introduction to Optimization
and Linear Programming
2Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE
Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som:
- Naturressurser, som oljereserver
- Areal
- Tid
- Penger
- Ansatte
Innledning
BØK350 OPERASJONSANALYSE 3Rasmus Rasmussen
MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon.
m.a.o. Optimering
Matematisk programmering
BØK350 OPERASJONSANALYSE 4Rasmus Rasmussen
Bestemme produksjonsmiks
Produksjonsplanlegging
Ruteplanlegging og logistikk
Finansiell planlegging
Anvendelser av Matematisk Optimering
BØK350 OPERASJONSANALYSE 5Rasmus Rasmussen
Beslutninger - Handlingsvariabler
Restriksjoner - Begrensninger
Målsetting - Målfunksjon
Karakteristika for optimeringsproblemer
BØK350 OPERASJONSANALYSE 6Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn)
Slik at : f1(X1, X2, …, Xn)<=b1
:
fk(X1, X2, …, Xn)>=bk
:
fm(X1, X2, …, Xn)=bm
Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP).
Generell form på et optimeringsproblem
BØK350 OPERASJONSANALYSE 7Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn
Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1
:
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk
:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm
Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP)
BØK350 OPERASJONSANALYSE 8Rasmus Rasmussen
Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes.
Eksempel på et LP Problem
Data Aqua-Spa Hydro-LuxPumper 1 1Arbeid 9 timer 6 timerRør 12 dm 16 dmDB/pr. stk $350 $300
Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 9Rasmus Rasmussen
1. Forstå problemet.
2. Identifiser beslutningsvariablene.X1=antall Aqua-Spa produsert
X2=antall Hydro-Lux produsert
3. Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene.
MAX: 350X1 + 300X2
5 trinn i formulering av LP modeller:
BØK350 OPERASJONSANALYSE 10Rasmus Rasmussen
4. Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene.
1X1 + 1X2 <= 200 } pumper
9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid
12X1 + 16X2 <= 2880 } rør
5. Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene.
X1 >= 0
X2 >= 0
5 trinn i formulering av LP modeller:
BØK350 OPERASJONSANALYSE 11Rasmus Rasmussen
LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs
Max 350X1 + 300X2
S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200
9X1 + 6X2 <= 1566
12X1 16X2 <= 2880
X1 >= 0
X2 >= 0
BØK350 OPERASJONSANALYSE 12Rasmus Rasmussen
Idé: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det største dekningsbidraget ($350), produser derfor så mange som mulig!
Hvor mange kan vi produsere?La X2 = 0
1. restriksjon: 1X1 <= 200
2. restriksjon: 9X1 <=1566 eller X1 <=174
3. restriksjon: 12X1 <= 2880 eller X1 <= 240
Hvis X2=0, så er den største mulige verdien av X1 lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900
Denne løsningen er mulig, men er den optimal? NEI!
Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel
BØK350 OPERASJONSANALYSE 13Rasmus Rasmussen
Restriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsområde.
Det beste punktet i mulighetsområdet er den optimale løsningen av problemet.
For LP problemer med 2 variabler er det lett å plotte mulighetsområdet og finne den optimale løsningen.
En akse for hver variabelEn linje for hver restriksjonEn linje for målfunksjonen
Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel
BØK350 OPERASJONSANALYSE 14Rasmus Rasmussen
Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene.
For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 1·X1 + 1·X2 = 200
Om vi bare har X2 på venstre side får vi:1·X2 = 200 – 1·X1 X2 = 200/1 – 1/1·X1
Vi får dermed: X2 = 200 – 1·X1
Dette kan vi tegne inn i et diagram.
Tegne restriksjonene
BØK350 OPERASJONSANALYSE 15Rasmus Rasmussen
Plotte den første restriksjonen
X1
X2Bruk av pumper: X2 = 200 – 1·X1
200
X1 = 0 X2 = 200 (punkt på Y-aksen)
X2 = 0 200 – 1·X1 = 0 1·X1 = 200 X1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen)
200
Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200
Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 ≤ 200
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0Merk ikke-negativitet:X2 ≥ 0
BØK350 OPERASJONSANALYSE 16Rasmus Rasmussen
Plotte den andre restriksjonen
X1
X2
Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566
X1 = 0 6X2 = 1566 X2 = 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen)
X2 = 0 9X1 = 1566 X1 = 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen)
261
174
Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 = 1566
Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 ≤ 1566
BØK350 OPERASJONSANALYSE 17Rasmus Rasmussen
Felles mulighetsområde
X1
X2
200
200
Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200
261
174
Bruk av arbeid:9X1 + 6X2 = 1566
Område som tilfredsstiller begge restriksjonene
BØK350 OPERASJONSANALYSE 18Rasmus Rasmussen
Plotte den tredje restriksjonen
X1
X2
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880
X1 = 0 16X2 = 2880 X2 = 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen)
X2 = 0 12X1 = 2880 X1 = 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) 180
240
Bruk av rør:12X1 + 16X2 = 2880
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 ≤ 2880
BØK350 OPERASJONSANALYSE 19Rasmus Rasmussen
Felles mulighetsområde
X1
X2
200
200
Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200
261
174
Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566
Område som tilfredsstiller alle restriksjonene
180
240
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880
BØK350 OPERASJONSANALYSE 20Rasmus Rasmussen
Vi ønsker å maksimere DB = 350X1 + 300X2.
Anta at vi f.eks. produserer X1 = 100 og X2 = 0. Da blir DB = 350·100 + 300·0 = 35 000.
Om vi skal ha samme DB men lar X1 = 0, må: DB = 350·0 + 300· X2 = 35 000 300· X2 = 35 000 X2 = 35 000/300 ≈ 116,67.
Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = 35 000 .
Tegne målfunksjonen
BØK350 OPERASJONSANALYSE 21Rasmus Rasmussen
Plotte nivåkurver for målfunksjonen
X1
X2
200
200
Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200
261
174
Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566
180
240
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880
100
116
DB =350X1 + 300X2
Totalt DB= 35 000
BØK350 OPERASJONSANALYSE 22Rasmus Rasmussen
Ny nivåkurve for målfunksjonen
X1
X2
100
116
DB =350X1 + 300X2
Totalt DB= 52 500
150
175
(0,175)
(150, 0)
Første nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 100.Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 150.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 23Rasmus Rasmussen
I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik 52 500.
Alle punkt på denne linjen har samme DB.
Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB).
Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig.
Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt.
Maksimalt dekningsbidrag
BØK350 OPERASJONSANALYSE 24Rasmus Rasmussen
Parallellforskyve nivåkurver
X1
X2
100
116DB: 350X1 + 300X2= 52 500
150
175
DB: 350X1 + 300X2= 35 000
Optimal løsning
Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 25Rasmus Rasmussen
Optimal løsning
X1
X2
200
200
Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 200
261
174
Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566
180
240
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880
DB =350X1 + 300X2
Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre
BØK350 OPERASJONSANALYSE 26Rasmus Rasmussen
Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser.Det skjer når de er like:
X1 + X2 = 200 (1)9X1 + 6X2 = 1566 (2)
Fra (1) får vi, X2 = 200 -X1 (3)
Setter vi (3) for X2 inn i (2) får vi,9X1 + 6 (200 -X1) = 1566Som forenkles til X1 = 122
Så den optimale løsningen er, X1=122, X2= 200 – X1 X2 =200 – 122 = 78
Totalt DB = $350122 + $30078 = $66,100
Beregne den optimale løsningen
BØK350 OPERASJONSANALYSE 27Rasmus Rasmussen
Undersøke alle hjørneløsninger
X1
X2
(0,0)Målfunksjon = 0
(0,180)Målfunksjon = 54 000
(80,120)Målfunksjon = 64 000
(122,78)Målfunksjon = 66 100
(174,0)Målfunksjon = 60 900
MERK:Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 28Rasmus Rasmussen
1. Plott grenselinjen for hver restriksjon.
2. Identifiser mulighetsområdet.
3. Finn optimal løsning enten ved:1. Plott nivåkurver for målfunksjonen,
eller2. Beregn alle hjørneløsningene.
Sammendrag Grafisk løsning av LP Problemer
BØK350 OPERASJONSANALYSE 29Rasmus Rasmussen
Forskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer:
Alternative optimale løsninger
Overflødige restriksjoner
Ubegrenset gode løsninger
Ingen mulige løsninger
Spesielle tilfeller av LP Modeller
BØK350 OPERASJONSANALYSE 30Rasmus Rasmussen
Alternative optimale løsninger
X1
X2
Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt.I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode.
DB: 450X1 + 300X2= 78 300
(122,78)
(174,0) MERK:Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 31Rasmus Rasmussen
Overflødig restriksjon
X1
X2
225
225
Bruk av pumper: 1·X1 + 1·X2 = 225
261
174
Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2 = 1566
180
240
Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880
MERK:«Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse.
Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet
BØK350 OPERASJONSANALYSE 32Rasmus Rasmussen
Ubegrenset løsning
X1
X2
400
600
-1·X1 + 2·X2 ≤ 400800
400
Max: X1 + X2
200
800
X1 + X2 ≥ 400
MERK:Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning.
Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger.
Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige.Problemet har derfor en ubegrenset god løsning.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 33Rasmus Rasmussen
Ingen mulig løsning
X1
X2
150
150
X1 + X2 ≤ 150
200
Max: X1 + X2
200
X1 + X2 ≥ 200
MERK:Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser.Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet)
Mulighetsområdet er tomt.
Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig.
BØK350 OPERASJONSANALYSE 34Rasmus Rasmussen
Slutt på kapittel 2
BØK350 OPERASJONSANALYSE 35Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn
Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1
:
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk
:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm
LP på generell form
BØK350 OPERASJONSANALYSE 36Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn
Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1
:
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk
:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm
Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=”
LP på standard form
BØK350 OPERASJONSANALYSE 37Rasmus Rasmussen
ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk
Multipliser gjennom med -1:
-1| ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >= bk
-ak1X1 - ak2X2 - … - aknXn <= -bk
Tilsvarende erstattes en ”=” med både ”<=” og ”>=”:
am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm
am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm
og am1X1 + am2X2 + … + amnXn >= bm
dvs. am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm
og -am1X1 - am2X2 - … - amnXn <= -bm
Omformulering til standard form
BØK350 OPERASJONSANALYSE 38Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN):
Slik at:
LP på kompakt form
1
n
i ii
c X
1
n
ij i ji
a X b j = 1, ... , m
0 iX i = 1, ... , n
BØK350 OPERASJONSANALYSE 39Rasmus Rasmussen
MAX (eller MIN):
Slik at:
Der:
LP på matriseform
CXAX B
1 2, ,..., nC c c c1
2
:
n
XX
X
X
11 1
1
n
m mn
a aA
a a
1
2
:
m
bb
B
b