manoel marino martins

7/25/2019 Manoel Marino Martins

http://slidepdf.com/reader/full/manoel-marino-martins 1/49

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

LOG RITMOS

TR B LHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

M NOEL M RINO M RTINS

FLORIANÓPOLIS GOSTO DE

2000

cc

C

66

SCFM



UNIVERSID DE FEDER L DE S NT C T RIN

ENTRO DE CIÊNCI S FÍSIC S E M TEMÁTIC S

DEP RT MENTO DE M TEMÁTIC

ogaritmos

Trabalho D e

Conclusão De Curso

cadêmico

Manoel Marino Martins

Orientado por

Prof

Nereu Estanislau urin

Florianópolis gosto De

2000



Esta Monografia foi julgada adequada como

TR B LHO DE CONCLUSÃO

DE CURSO

no Curso de Matemática — Habilitação Licenciatura

e

aprovada em

sua forma final pela anca Examinadora designada pela Portaria

n° 07 /SCG/00.

Proff Carmem Suzane Comitre Gimenez

Professora da disciplina

Banca Examinadora:

ac

NereuiEstanislau

Burin

Nilo Kuelkamp

À0P

R v

In

Joana Benedita de Oliveira Quandt



GR DECIMENTOS

As

irmãs lara D Avila e

Silvia

D Avila

Fernandez pelos prestativo

e

simpáticos

atendimentos fornecidos na

coordenadoria

durante o

curso

Ao José

Alcino

Furtado que sempre esteve disposto a ajudar no que se

refere ao

laboratório de informática.

A acadêmica

e

professora de Português Tatiana de Oliveira pela

orientações ortográficas e semânticas.

Ao professor

Nereu Estanislau

Burin pela

orientação, estimulo

e

confiança

em minha pessoa.

Aos professores Antônio

Vladimir Martins

e Méricles Thadeu

oretti

pelos materiais cedidos.

Aos professores Rubens Starke

Carmem Suzane Comitre Gimenez,

Joana Benedita de Oliveira

Quandt

e

Jane de Oliveira

crippa,

que mostraram-me a

importância

de bons profissionais na educação e

que hoje servem de espelho para

minha vida

profissional.

Diretora Shirley Nobre Scharf do Colégio Estadual Governador Ivo

Silveira pelo apoio e confiança

no meu trabalho.

A minha

mãe e

meus

irmãos

por todo apoio

e valorização

durante o

período

de curso.

Em especial

agradeço

aos contribuintes que financiaram esse curso

bem como a minha esposa

e a meu

filho, pois o

apoio e

a credibilidade dentro do

lar num momento

tão

árduo e difícil,

teve

importância

primordial nesta

conclusão

de

curso,

que foi impulsionada pela

preocupação

com os seus futuros

o

que

acabou levando-me à Universidade.

A Deus por mais essa

vitória.



SUM RIO

1

INTRODUÇÃO

1.1.

Justificativa e

problemas de pesquisa

1.2. Objetivos

1 2 1 0bjetivo Geral

1.2.2.

Objetivo Especifico

1.2.3.

Metodologia Utilizada

2 HISTORIA

2.1.

JOHN NAPIER

2.2.

JOST BORGI

1

2 3 CONSTRUÇÃO DA PRIMEIRA TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS 12

3

FUNÇÕES LOGARiTMICAS

8

4 LOGARITMOS NATURAIS

4

5 NÚMERO

1

6 APLICAÇÕES

5

6.1. Juros Continuos

5

6 2 Desintegração

radioativa

7

6 3 0 método do carbono 14

8

6.4. Acústica e

logaritmo

9

6.5

Logaritmos

e

terremotos

0

7

CONCLUSÃO

4

8

BIBLIOGRAFIA

5



LOGARITMOS

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como suporte maior os conhecimentos adquiridos no

curso de

graduação

em

Matemática, habilitação

licenciatura, bem como a

experiência obtida como professor de

matemática

durante

9

nove) anos em

escolas públicas.

Nesse

período,

foi

possível

perceber que

o

assunto logaritmo

muitas vezes

é

mal trabalhado, principalmente em

rel ção

a sua

historia

motivação

Portanto, procurou-se expor

o

assunto para que aquele que

o ler

continue, ou passe a dar ao assunto

logaritmos

a sua devida

e merecida

importância.

1.1.

JUSTIFICATIVA

E

PROBLEMA DE

PESQUISA

Por ser uma ferramenta

matemática

de grande

aplicação

em diversas

ciências,

tornou-se atraente escrever sobre logaritmos. Os logaritmos exercem um

certo

fascínio

por conta de suas

aplicações

e

beleza operacional,

o

que

proporciona uma certa

gratificação

ao fazer um trabalho de esclarecimento sobre

o

assunto e

uma

percepção

de que se aprende muito com a pesquisa.

material de pesquisa para

elaboração

do trabalho exigiu uma leitura

refinada e

cuidadosa para obtermos um bom entendimento do tema proposto

e

podermos assim elaborar uma boa

exposição

do assunto, principalmente no que

se refere à

definição.

Como uma das vantagens que os logaritmos ofereciam era

facilitar os

cálculos

de potência, surgiu

então

a curiosidade de saber como teriam



2

conseguido elaborar a tabela de logaritmos de base

10,

se para a sua

construção

seria

necessário

operar com potência

e

que, na maioria das vezes,

não eram

naturais. Tal

questionamento

acabou por levar a

compreensão

de que a

responsabilidade pela obra de logaritmos

não

fora apenas de Napier.

Embora a pesquisa tenha sido, de certa forma, trabalhosa,

principalmente na

construção

dos gráficos,

ela foi de muito valor compreensivo

e

deixou

transparecer

de

maneira

significativa a beleza das

funções logarítmicas.

Ademais, a

compreensão

leva ao belo dos logaritmos,

o

que influenciou

fortemente este trabalho de

conclusão

de curso

1.2. OBJETIVOS

1.2.1.

Objetivo Geral

Mostrar a

importância

dos logaritmos como ferramenta

matemática

1.2.2.

Objetivos

Específicos

a Dar

valorização

ao contexto

histórico

dos logaritmos;

b

Apresentar a

importância

da leitura

gráfica

dos logaritmos;

c

Mostrar exemplos de

aplicação

dos

logaritmos.

1.3.

METODOLOGIA

UTILIZADA

Utilizou-se como

referência bibliográfica

livros de

Matemática e

alguns

específicos

em logaritmos, que abordavam

o

assunto, bem como Boletins de

Matemática.

Convém ressaltar que também foram muito dais as

informações

obtidas em conversas com professores de escolas

públicas,

privadas e

professores

universitários ,

da mesma forma que com acadêmicos de

Matemática,



sendo que alguns esclarecidos explanaram melhor

o

assunto e os outros com

suas dificuldades apontaram rumos importantes que deveriam ser pesquisados

fato que acabou

servindo

e inspiração e

fonte instigadora

da pesquisa.



2 HISTÓRIA

No fim do século XVI o

desenvolvimento da Astronomia

e da

Navegação

exigia longos

e

laboriosos

cálculos

aritméticos. Um auxilio precioso

fora obtido com a invenção

das

frações

decimais, embora ainda

não

suficientemente difundida. Praticamente no fim do século XVI estavam

aparecendo identidades trigonométricas de

vários

tipos em todas as partes da

Europa. Entre essas identidades trigonométricas havia um grupo de

fórmulas

conhecidas como regra de

prostaférese

que transformavam um produto de

funções

numa soma ou

diferença

dai o nome

prosthaphaeresis,

palavra grega

que significa adição e subtração ). Então

naquela

época,

por exemplo a

identidade

cos a cos b =

cos

a

+ b ) +

cos

a

— b ) ,

ou seja :

cos

a

b )+ cos

a

-

b

cos a

cos

b —

2

dados dois

números a e para multiplicar, mudavam seus sinais

e a

posição

das

virgulas, podendo supor que A

e B estão compreendidos entre

0 e 1 .

Por meio

da tábua

de funções trigonométricas que existe desde o tempo de

Ptolomeu),

achavam números A

e

B

tais que cos a

= A e cos b =

B. Calculavam a

soma

a b

ea

diferença a

—

b . Novamente

a tábua lhes fornecia cos a

+ b )

e

cos

a

— b ). 0

produto AB procurado seria simplesmente a metade da soma

cos

a

+ b + cos

a —

b)

Por exemplo: para efetuar a multiplicação de

234187

por 578206.

A

= 0,234187 e

B = 0,578206

cos a =A cos

b = B

em

Graus) cos

0

a = 76,45629593701

0,234187

b = 54,67553908725

0,578206

4



5

0

coso

a

+ b = 131,131835

-0,6577938433876

a

— b = 21,78075685

0,928610500749

cos a

= 0,234187

os

b = 0,578206

a=76,45629593701

=

54,67553908725

0,234187 x 0,578206 =

cos

76,45629593701+

54,67553908725) cos

76,45629593701—

54,67553908725)

_

2

cos

131, 131835 ) +

cos

21, 78075 685 )

2

—

- 0

6577938437065 + 0,9286105007506

— 0,135408328522

2

portanto

: 0,234187 x 0,578206 = 0,135408328522.

Com o

resultado obtido deslocavam a virgula para direita

o

mesmo

número

de

casas que deslocaram para a esquerda.

Assim descobriam

que

234187 x 578206. =

135408328522

Nota

—

se que o

produto é

encontrado sem que qualquer

multiplicação

tenha

sido efetuada. Em nosso

exemplo

de

multiplicação

por

prostaférese não

houve grande economia de tempo

e energia,

mas

quando

lembramos que naquela

época não

eram raras as

tábuas

trigonométricas com ate doze ou quinze

algarismos

significativos,

as possibilidades da

prostaférese

como meio de

economizar

esforço

se

tornam

mais atraentes.

artificio era usado nos principais

observatórios astronômicos,

inclusive no do

astrônomo

Tycho

Brahe

1546-

1601)

na

Dinamarca

Uma das desvantagens do método da

prostaférese

é

a dificuldade em

aplica — lo

para produtos de mais de três fatores.

Isso

sem falar na sua inutilidade

para

cálculos

de potências

e raizes.

Achar um método que permitisse efetuar com presteza

multiplicação, divisão,

potenciação

e extração

de raiz quadrada era, nos anos

próximos

a

1600, um

problema fundamental. Tal problema mobilizou muitos

matemáticos

do século XVI



6

e

a

solução foi descoberta simultaneamente por Jost

Bürgi 1552 — 1632),

suíço,

fabricante de instrumentos

astronômicos, matemático e

inventor e John Napier

(1550 — 1617),

um nobre

escocês, teólogo

e matemático cada um deles

desconhecia inteiramente o

outro publicaram as primeiras tábuas

de logaritmos.

Em 1 61 4

John Napier publicou seu Miricifi Logarithmorum Canonis Descriptio

( Uma Descrição

da Admirável

Tábua

de

Logaritmos ), Bürgi

publicou suas

tábuas em

1620.

1.1.JOHN

NAPIER

A Napier que também inventou a

virgula

decimal devemos uma

invenção tão

importante para a matemática quanto os

números arábicos: o

conceito

e

zero

e o principio da notação de posição.

Sem eles a matemática não

teria avançado

além do

estágio

que atingira

2000 anos antes. Sem os logaritmos

os

cálculos

realizados diariamente com facilidade por qualquer

matemático

bisonho esgotariam as energias dos maiores

matemáticos.

A influência de Napier no desenvolvimento dos logaritmos foi muito

maior que a de Bürgi

devido as suas

publicações e

seu relacionamento com

professores

universitários. Napier trabalhou na sua invenção

de logaritmos

durante vinte anos para s6

depois publicar seus resultados em 1 61 4 com origem

de suas idéias em

1594

aproximadamente. Ele pensou nas

seqüências de

potências sucessivas de um dado

número — como na rithmética Integra de

Stifel

cinqüenta

anos antes assim como nas obras de

Arquimedes.

Nessas

seqüências

era evidente que as somas e as diferenças

dos expoentes das potências

correspondiam

a produtos

e

quocientes das

próprias

potências: mas uma

seqüência de potências inteiras de uma base tal como dois

não podia ser usada

para

computações,

porque as grandes lacunas entre termos sucessivos tornavam

a

interpolação

demasiado imprecisa. Enquanto Napier refletia sobre

o assunto o

Dr. John Craig médico de James VI da Escócia,

falou-lhe no uso da

prostaférese

na Dinamarca. Presumivelmente Craig fez parte do grupo que em

1590

viajara



para Dinamarca com James

VI,

para este encontrar sua noiva Anne, da

Dinamarca. 0

grupo acabou desembarcando

não

longe do

observatório

do

astrônomo

Tycho

Brahe,

onde conversaram com

o astrônomo. Superficialmente

foi mencionado o

maravilhoso artificio da

prostaférese,

muito usado em

computações

o

observatório;

o

que encorajou John Napier a redobrar seus

esforços e

seus estudos para

finalmente publicá-los

em

1614

no

Miricifi

Logarithmorum Canonis Descriptio.

A obra de John Napier pode ser

explicada

de maneira simples. Para

conservar

próximo

os termos numa

progressão

geométrica de potências inteiras

de um

número dado, é necessário

tomar

o número

dado muito próximo

de um.

Napier por isso escolheu como seu

número dado

1 — 10

7

ou 0

9999999 ).

Assim

os termos na

progressão

de potências crescentes ficam realmente

próximos. Para

chegar a um

equilíbrio e

evitar decimais Napier multiplicou cada

potência por 10

isso

6 N = 10

1 — 10

7

ntãoL é

o

logaritmo de Napier do

número

N

Assim

seu logaritmo de 10

7 é

zero

),

seu logaritmo de

9999999

é 1

um

) ,

e

assim

por diante. Dividindo seus

números

e

logaritmos por

10

7

teríamos

virtualmente um

sistema de logaritmos de base

—

pois

e

7

n

=

_

e

fica

perto de

i i

m

1 — —

n

o7

Deve-se lembrar, no

entanto,

que Napier

não

tinha

o

conceito de base de um

sistema de logaritmos, pois sua

definição

era diferente da nossa. Construiu suas

tabelas numericamente em vez de geometricamente como a palavra logaritmo ,

que ele fabricou, implica. Logaritmo

é

uma composição

de duas palavras gregas,

Logos ou razão)

e arithmos

ou número).

Napier

não

pensou numa base para seu sistema, mas suas tabelas eram

compiladas por

multiplicações

repetidas, equivalentes a potências de

0,9999999.

Evidentemente a potência

ou

número) decresce a medida que

o

expoente

ou

logaritmo) cresce. Isso

era de se esperar, pois ele usava essencialmente a

base

-

1

que

é

menor que

1.

Uma

diferença

mais importante entre seus logaritmos

e

e os atuais

esta

em que seu logaritmo de

um

produto ou

quociente)

não era igual



soma (ou diferença) dos logaritmos. Se Li

= Log Ni

e

L2 = Log

N2, então

z 10 7

(1-10 7 1 1 e

N2 = 1 7 0 iII

2

de modo que a sorna dos logaritmos de

N 2

Napier será

o

logaritmo

não

de

N.I.N2

mas de

N 1

odificações

semelhantes

107

valem, naturalmente, para logaritmos de quocientes, potências

e

raizes. Se

= Log

N, por exemplo, então nL

1 In

r

.

Essas

diferenças

não são

muito

10

-

signifi

cativas, pois envolvem apenas um deslocamento da virgule decimal.

Sendo

necessários cálculos

assombrosos para construir as

tábuas

trigonométricas para

Navegação

e

Astronomia, Napier se

propôs

inventar algum

artificio

que facilitasse tais

cálculos.

Embora seus

contemporâneos

com,

Vieta

e

Ceulen,

rivalizassem nas

dificeis

tarefa aritimética,

eram trabalhos de amor, muito

sacrifício e

penosa

dedicação,

e

que muitas vezes perdido por causa de um

pequeno descuido. Napier conseguiu atingir seu objetivo, abreviando as

operações

de

multiplicação

e

divisão, operações

"tão

fundamentals em sua

própria

natureza que parece

impossível

simplificá-las".

Contudo, por meio dos logaritmos,

qualquer problema de

multiplicação

e

divisão,

por mais complicado que seja, se

reduz a outro, relativamente simples, de

adição e

subtração.

Tal como muitas das profundas

e fecundas

invenções

em

Matemática,

a idéia

básica

era

tão

simples que nos admiramos de

não

haver sido pensada

antes. Cajori

conta que Henry Briggs

(1556-1631),

professor de Geometria em

Oxford, 'ficou

tão cheio de

admiração

pelo livro de Napier que largou seus

estudos

em Londres para ir prestar homenagem ao

filósofo escocês.

Briggs se atrasou na

viagem

e

Napier queixou-se a um amigo comum, Ah, John,

o

Sr. Briggs

não

virá ".

Neste exato momento bateram à porta,

e

Briggs entrou. Levaram quase

um quarto de hora se abraçando, sem dizer uma palavra. Por fim, Briggs

começou:

Senhor, fiz esta longa viagem exclusivamente para vir

conhece-lo

pessoalmente

e

saber por que

razões

de talento ou engenhosidade

o

senhor foi o

primeiro a pensar nestes excelentes auxiliares da Astronomia, os logaritmos; mas,



9

meu caro, tendo sido descobertos pelo senhor, eu me admiro como ninguém

o fez,

antes, agora que sabemos que seria tão

fácil .

A concepção

de Napier dos logaritmos era baseada em uma engenhosa

e

bem conhecida idéia: uma

comparação

entre 2

pontos em movimento, um dos

quais gera uma

progressão

aritmética

e o

outro, uma progressão

geométrica.

As duas

progressões:

Aritmética:

1 2 3 4

Geométrica:

1 2 4 8 16 32 64 128 256

guardam, entre si, esta

relação

interessante: se os termos da

progressão

aritmética são considerados como expoentes de

2

os termos correspondentes na

progressão geométrica representam as quantidades resultantes da

operação

indicada. Assim,

2 ° = 1, 2

1 = 2, 2

2 =, 4, 23

= 8, 24 = 16, 2°

= 32,

etc. Além disso,

para determinar o

valor do produto

2 2 x 23

basta somar os expoentes, obtendo

2 2 3 = 2

°

= 32,

que é o

produto procurado. Chamando-se

2 de

base cada termo

da

progressão

aritmética o

LOGARITMO

do termo correspondente na

progressão geometrica

Napier explicou esta

noção

geometricamente da seguinte maneira: um

ponto

S

move-se ao longo de uma linha reta, AB, com uma velocidade, em cada

ponto Si,

proporcional

à

distancia

restante

S 1 1 3 .

Outro ponto

R

move-se ao longo

de uma linha sem fim, CD, com uma velocidade uniforme,

igual

à velocidade inicial

de

S. Se os dois pontos partem

de A e

ao mesmo tempo,

o logaritmo do

número

medido pela

distância 518

é medido pela

distancia

A

1

C

1

Por este método, à

proporção

que

S

i a

diminui, seu logaritmo

CRi

aumenta, conforme já visto isso ocorre porque Napier usava a base

1/e

que

menor que

1.

Mas logo se tornou evidente que seria vantajoso de

fi

nir o

logaritmo

de

(um) como zero

e fazer

o

logaritmo crescer com

o número.



10

Em 1 6 1 5 Henry Briggs visitou Napier em sua casa na

Escócia e la eles

discutiram

possíveis

modificações

no método dos logaritmos. Briggs

prop6s o uso

de potências de dez, e Napier disse que tinha pensado nisso

e concordava.

Napier uma vez tinha proposto uma tabela usando

log1 = 0 e log10 = 1

(para evitar

frações).

Os dois homens finalmente concordaram em que o

logaritmo de um deveria ser zero

e que

o

logaritmo de dez

deveria ser um Mas

Napier já não

tinha a energia

su

ciente para por em pr tic essas idéias

e

morreu

em

1617. 0 segundo de seus

lássi os

tratados sobre logaritmos,

o

Mirifici

logarithmorum canonis constructio

em que dava uma

exposição

completa dos

métodos que usava para construir suas tabelas, apareceu postumamente em

1619.

Por isso recaiu sobre Briggs a tarefa de construir a primeira tabela de

logaritmos comuns, ou

Briggsianos.

Em vez de tomar as potências

de um número

proximo de um, como fizera Napier, Briggs começou

com log10 =1 e depois achou

outros logaritmos tomando

raizes sucessivas. Calculando que-ITC. 3,162277,

Briggs tinha que log

3,162277 = 0,5,

3

ou seja 10

5 = 3,162277

e

de 10

= 31,62277 = 5,623413 Unha

que

log

5,623413 = 0,75. Continuando desse modo, ele calculou outros logaritmos

comuns. No ano da morte de Napier,

1 6 1 7

Briggs publicou seu Logarithmorum

Chi/ias Prima sto 6 os logaritmos dos números

de

1

a

1 0 0 0 cada um calculado

com quatorze casas. Em 1624 em Arithmetica logarithmica Briggs ampliou a

tabela incluindo logaritmos comuns dos

números

de

1 a

20000

e

de

90000

a

1 0 0 0 0 0

novamente com quatorze casas.

trabalho com logaritmos podia a partir

dai

ser realizado exatamente como hoje, pois para as tabelas de Briggs todas as

leis usais sobre logaritmos se aplicavam.

Incidentalmente

a do livro de Briggs de

1624

que provêm

nossas palavras mantissa e característica . Enquanto Briggs

estava computando suas tabelas de logaritmos comuns, um

contemporâneo,

John

Speideli, calculou os logaritmos naturais das

funções trigonométricas,

publicando-os em seu

New

Logarithmes

de

1619. Alguns logaritmos naturais

tinham já

aparcido

antes, em 1 6 1 6

numa tradução

para o

inglês feita por Edward

Wright (1559 - 1615)

da primeira obra de Napier sobre logaritmos. Poucas vezes



1 1

uma descoberta nova pegou tão depressa quanto a invenção dos logaritmos,

e o

resultado foi

o

aparecimento imediato de tabelas de logaritmos que eram mais que

adequadas para a

época.

1.2.JOST

BURG

Napier foi de fato

o

primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, mas

idéias muito semelhantes foram desenvolvidas independentemente na Suiga por

Jobst Bürgi mais ou menos ao mesmo tempo. Na verdade,

é possível que a idéia

de logaritmo tenha ocorrido a Bürgi em 1588,

o

que seria 6 anos antes de Napier

começar

a trabalhar na mesma direção. Porém Bürgi s6 publicou seus resultados

em 1620, meia dúzia de anos depois de Napier publicar sua

Descriptio.

A obra de

Bürgi apareceu em Praga num livro intitulado

Arithmetische und geometrische

Progress-Tabuien

isso indica que as influências que guiaram seu trabalho foram

semelhantes as que operaram no caso de Napier. Os dois partiram das

propriedades das seqüências aritméticas

e

geométricas, estimulados,

provavelmente, pelo método de prostaférese. As

diferenças

entre as obras dos

dois homens estão principalmente na terminologia

e

nos valores numéricos que

usavam: os

princípios

fundamentals eram os mesmos. Em vez de partir de um

número um pouco menor que um ((como Napier que usava (1 —10

-7 )), Bürgi

escolheu um numero um

pouco maior

que um

o número 1+10

4

; e

em vez de

multiplicar as potências desse número por 10

7

, Bürgi multiplicava por 10

. Havia

ainda outra pequena diferença:

em sua tabulação Bürgi multiplicava todos os seus

expoente de potência por dez. Isto 6, se N=10 5

(1 +10 4 )

, Bürgi chamava 10L o

número

vermelho correspondente ao número preto N. Se nesse esquema

dividirmos todos os números pretos por 10

8 e todos os vermelhos por 10

5 , teremos

virtualmente um sistema de logaritmos naturais. Por exemplo, Bürgi dava para

o

número preto 1000000000

o número vermelho 230270,022,

o

que, deslocando a

virgule, eqüivale a dizer que In10 = 2,30270022. Isso não

é uma má aproximação

do valor moderno, especialmente quando lembramos que ( 1+10

4

)

não

é bem



12

a mesma coisa que u m (1+1/n) , embora os valores coincidam até quatro casas

n - c i o

significativas. Em suas tabelas Bürgi colocava seus números vermelhos do lado

da página

e

os pretos no corpo da tabela, portanto tinha

o

que

chamaríamos uma

tabela de antilogaritmos; mas isso

é

um pequeno detalhe. A essência do principio

dos logaritmos está 16, e Bürgi

deve ser considerado um descobridor

independente, que não teve crédito pela

invenção,

principalmente pelo fato de

Napier ter publicado primeiro seu

Miricifi Logarithmorum Canonis Descriptio.

Num

ponto seus logaritmos se aproximam mais dos nossos que os de Napier, pois

quando os números pretos de Bürgi crescem também os vermelhos crescem; mas

os dois sistemas partilham da desvantagem de

o

logaritmo de um produto ou

quociente não ser a soma ou

diferença

dos logaritmos.

1.3.CONSTRLOO

DA PRIMEIRA TABELA DE LOGARITMO S DECIMAIS

Briggs, partiu da idéia que, tendo os números primos escritos como

potência de base 10 poderia escrever os números como potência de base 10. Por

exemplo, sabendo que 2 = 10 03

e que 3 = 10 4 7 7 , poderia escrever o número

6

como uma potência de base 10. No entanto para descobrir que 2 = 10

0 . 3 0 1

e que

3 = 10 Briggs usou a noção de média geométrica.

Dados dois números a e

b

positivos

chamamos de média geométrica

de a

b

ao número :ra7

Por exemplo :

-

a média geométrica de 4 a 9

é igual a 6, pois 4x9 =6

-

a media geométrica de 2 a 8

é igu l a 4, pois 2 x 8 =4

-

a média geométrica de 7 a 7

é

igual a 7, pois -‘,/ 7 x 7 =7.

Dados dois números positivos a e b,

corn a b a

média

geométrica

deles

é

sempre um número situado entre a e b .

Então

na construção da primeira tabela de logaritmos decimais (base 10)



13

publicada em 1617 para obter por exemplo

o número 3

na forma de potência de

base 10 Henry Briggs começou encontrando uma potência de 10 que

é

inferior a

3, e outra que

é

superior a 3. No caso temos 10

= 1 e 10 1 = 10.

Observe o esquema abaixo:

0

1 0

o

6

Nesse esquema abaixo de cada número considerado encontramos

o

seu valor escrito na forma de potência de base 10.

A seguir Briggs obteve a média geométrica dos números que estão

representados nas extremidades do esquema calculando essa média geométrica

de dois modos diferentes: primeiro obteve

o

valor da média geométrica depois

obteve essa média escrita como uma potência de base 10. Observe:

x

0

=VIC=

3 1623

1 1 o

° o l

0

1o

=1 2=1o

Se partimos de expressões iguais os resultados também são iguais

isto 6 3 1623 = 10

°5

Podemos então fazer o seguinte esquema:

3

1623

1 0

° 0 9 0

05

Agora repetindo

o

processo: Henry Briggs obteve a média geométrica

dos números que estão nas extremidades do esquema. Isso sett feito de dois

modos: primeiro com os números que estão nas extremidades mas acima da reta



14

do esquema; depois, com os que estão abaixo. Não

esqueça,

porém, que abaixo

de cada número esta

o

seu próprio valor, mas escrito como uma potência de

base 10.

11x3,1623 —1

-

3,1623 =1,7783

0 5

10

0 x1005 –I

10°±Q 5

41

=10 2

=10025

Logo 1,7783 = 10

02 5

Podemos, então, fazer o

seguinte esquema:

1.7783

,1623

100 2 5

0?

0

Ao fazer esse esquema, utilizando, dentre os números que já se tem

como potência de base 10,

o

que esta mais próximo de 3, mas

é

menor que 3; e o

que esta mais próximo de 3, mas

é

maior que 3.

Repete

o processo:

V 1,7783 x 3,1623 -= 3,1623

=2,3714

0,75

110

025 x10 5

=

025 0,5 =

10075

=10

2

=1

375

o

esquema fica assim:

2,3714

1623

1 7 5

0 9

0

Repetindo esse processo mais três vezes,

o

esquema fica assim:

A

f 2,3714 x 3,1623 -= /7,4990 = 2,7384

0 1375

A l

10

°

375

X10

0

5

=110

375 05

4

0

0 875

=1

2

=1

04

375



15

2,7384

,1623

1004375

02

0

0 5

V 2,7384 x 3,1623

=18,6596 =2,9427

0,9375

00,4375

x 00,5 =

1 0 0,4375 0,5 =

° 937 5 =10

=10046875

2 9427 3

,1623

100,46875 1 0?

0

05

2,9427 x 3,1623 = -

‘1 9 3057

=3,0502

0,96875

i

0

0,46875

x 10

0,5

00,46875 0,5 = ji 0 0,96875 = 1

0

100,4844

2 9427 3

,0502

1 0 0 4 6 8 7 5 1 0?

0 0 4 5 4 4

Com mais

três

repetições

fica

V 2,9427 x 3,0502 = V 8,9758 -= 2,996

0,95315

=10

100.4765

-1

100.46875

X 10

0,4844 = 10

0,46875

0,4844

= 1/ 10

0

95 31 5

2 9960 3

,0502

1

0

0 4 7 6 5

0 ?

0 4 8 4 4



1 6

V 2,9960 x 3,0502

,1384

=3 023

0,9609

10

0

4765 x 1 0

0 4844

=

1 100,4765 0,4844 = 10 0,9609 =10

2

0

0 4804

2,9960

023

1 0 0 4 7 6 5

0 ?

00 4804

V 2,9960 x 3,023 = V 9,057 =3,009

0 9569

1

100 4765

x

00,4804 =

100 4765

0,4804 =

100 9569

= 1 2 1 00 4784

2,9960 3

,009

1004765

0 9

0 4784

No último

esquema, os dois expoentes

são 0,4765

e 0,4784 e

as duas

primeiras casas

são

iguais. Portanto, se quisermos apresentar

o expoente com

duas casas decimais, podemos interromper

o processo de

cálculo

de médias

geométricas. Nesse caso teremos

3 = 10 0 4 7

No entanto, se quisermos apresentar

o

expoente com três casas

decimais, devemos retomar

o

processo até que, nos dois expoentes as três

primeiras

casas sejam iguais. Teremos

então : 3 = 10 0 477

E

se quiséssemos valores ainda mais precisos,

deveríamos

ter feito os

cálculos

das raizes

quadradas com maior

número

de casas decimais.

Para escrever

o número 7 como uma

potência de base

1 0 Briggs adotou

o

mesmo processo utilizado para

o número 3,

mas selecionando as potências

mais

próximas

de

7

em vez de as mais próximas de

3.

Para números

que

não são

primos

o cálculo é

feito por outro caminho,

bem mais simples, que consiste em decompor

o número em seu fatores primos.



17

Em sua tabela e

1617 Briggs apresentou os logaritmos com 14 casas

decimais. Todo esse trabalho realça a importância que os logaritmos assumiram

naquela

época

permitindo que se efetuassem cálculos trabalhosos que

emperravam

o

desenvolvimento do comércio da astronomia

e

de inúmeras outras

atividades.



1 8

3.

FUNÇÕES LOG RÍTMIC S

Uma

função

real

L :F e L — >

R, cujo domínio é o

conjunto R

chama-se

uma função log rítmic quando tem as seguintes propriedades:

A

L um

função

crescente se sua base

é maior que 1 , isto 6,

x

<y

L x) < L y)

A 1

L um

função

decrescente se sua base é

menor que

1 , isto

6,

x < y L x) > L y)

B L xy) = L x)+L y) p r qu isquer x, y

Esboçaremos

abaixo os

gráficos de duas funções, uma crescente

e

outra decrescente

Função crescente

y = log2 x, observe que a base

é maior que

1

x

y = log 2

x

1/8 -3

1 /4 -2

1/2

-1

1

0

2

1

4 2

8 3



Fun* decrescente y = logla x,

observe que a base

é

menor que 1 .

19

x

y --- logi/2 x

1/8

3

1/4

2

1/2

0

2

-1

4

-2

8

-3

Listaremos outras propriedades da

função logarítmica

que são

conseqüências

de A

e

B. Mostraremos as propriedades para a função

crescente

que também

são válidas para as

função

decrescente.

ropriedade

1.

Uma


L: R* ,— > Ré

sempre injetiva.

Sejam

x,

R*,

com x y

10) Se

x < y,

pela propriedade A temos que

L x) < L y).

2° ) e

x

y, pela propriedade A temos que

L x) > L y).

Portanto em qualquer

hipótese, x y

concluímos

que

L(x) L(y).

ropriedade

2.

logaritmo de

é zero.

Pela propriedade

B

temos que:

L 1) = L 1.1) = L 1) + L 1),

logo

L 1) =



20

ropriedade

3.

Os

números

maiores do que

têm logaritmos positivos

e os

números

menores do que

1 têm

logaritmos negativos.

Como Ló crescente para 0<

x < l< y

temos

L x) < L 1)< L y)

mas temos que

L 1) = 0 logo L x)

co < L y).

ropriedade 4.

Para todo x> 0 ,

tem-se

L 1 /x) = - L x)

Desde que

x. 1/x) -= 1,

pela propriedade

temos:

L x) + L 1/x) = L x. — = L 1) =

O. Portanto L 1/x) = - L x)

x

ropriedade

5. Para quaisquer

x y

e

R

vale L

= L x) — L y).

De fato,

xj =

Y

L x. 1) B= L x)

Y

1 \

= L x) — L y).

ropriedade

6.

Para qualquer

XE

R

±

e

todo número

racional r = —

tem-se

L x r

) = r.L x).

A

demonstração

da propriedade 6

faremos por etapas.

Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade

L xy) = L x)+L y)

se

estende para um

número qualquer e

fatores.

Por exemplo:

L x.y.z) = L x.y).z)= L x.y) + L z) = L x) + L y) + L z),

e

analogamente L x 1 x

= L x1) +

L x2)+...+L xn)

1° caso: nE N

L x

° )= L x x

) = L x) + L x) + ...+ L x) = n - L x)

A propriedade também vale para

n = 0,

pois para todo x>

temos que

x

° = 1, logo

L x

°) = L 1) = O

= 01 x)



21

2° caso: n é

um

inteiro negativo:

Para todo

x> O temos x -

x°

= 1

Logo L(f) +

L

(x

= L(x) = L(x

°

) -= L(1)=0 e

portanto L(x ) = - L(x) = - n-L(x)

Finalmente, o caso geral, em que r = p/q onde p

Zeq

e N. Para

todo x

R,

temos:

(x o

= (xpicip = xP.

Logo

q,L(x r

) = L[(x

r

)] = L(x) = p.L(x), em virtude

do

que

já foi

provado.

a

igualdade q .L(x = p.L(x) resulta que L(x

) =

(p/q).L(x), ou seja, que

L(x

) =

r.L x).

Isto termina a demonstração

da Propriedade

6,

A

restrição de que

o

expoente

r seja

racional

provém do fato de

sabermos apenas definir potências com expoente

racional.

Na verdade, a teoria

dos logaritmos fornece a melhor maneira de definir

x

r

quando r

é

um

número

irracional.

Convém enfatizar que as Propriedades de

1

a

5,

bem como as demais a serem

estabelecidas

neste

capitulo,

valem para todas as

funções

logarítmicas,

isto 6,

resultam apenas das propriedades A

e B,

e

não

da maneira particular como os

logaritmos venham a ser

definidos.

ropriedade

7 Uma

função logarítmica L:

> IR

é ilimitada

superior e

inferiormente.

Suponhamos que nos seja dado um

número

real

3

e

que sejamos

desafiados a achar um

número x

E

R

I

;

tal que L(x) >1 3. Procederemos da seguinte

maneira: tomamos um

número

natural

tão

grande que n>

j3/ L(2).

Como

L(2)

é

positivo Propriedade

3 )

temos

n.L(2) > 13.

Usando a propriedade

5

vemos que

n.L(2) = L(2 ).

Portanto,

L(2 ) > 13.

Agora

é

só escolher

x = 2

e

temos

L(x) > p .

Isto mostra que

L é

ilimitada superiormente.

Para provar que

L

também é

ilimitada inferiormente, basta lembrar que

L(14x) = - L(x).

Dado qualquer

número

real a, como vimos acima, podemos achar



22

X E

R

tal que L(x) > -

a.

Então, pondo y = 14x, teremos L

y) =

- L (x) <

a.

Observação.

Uma função

logarítmica

L não

poderia estar definida para x = O.

Com

efeito, se tal fosse o

caso, para todo x eríamos:

L(0) = L(x - 0) = L(x) + L(0), donde L(x) = O. Assim, L seria identicamente nula,

contrariando a propriedade A. Também não

é possível estender satisfatoriamente

o domínio

de uma função

logarítmica

de modo que L(x) seja um

número real,

definido para todo x < O.

Evidentemente, se L:

R:

R

é

uma função

logarítmica e c é constante

positiva arbitrária, então a função M:

R:

R, definida por M(x) = c.L(x),

é

também

uma função

logarítmica. eorema abaixo mostra que esta

é

a única maneira de

obter funções

logarítmicas uma vez que se

conheça

uma delas.

Em outras palavras, depois de provado

o teorema abaixo ficaremos

sabendo que, para estudar logaritmos, basta obter uma

função

L: R*,— > R tal que

L(xy) = L (x) + L (y).

Todas as demais funções

ogarítmicas (ou sistemas de

logaritmos) resultarão de L pela multiplicação por uma constante conveniente.

Assim, temos a liberdade de escolher a definição da função L da maneira que nos

pareça mais natural, mais intuitiva

e

que nos permita dar as demonstrações mais

simples.

eorema

1 Dadas as

funções logarítmicas

M,L: p:-4

R, existe urna constante c>

0 tal que M x) = c.L x) para todo x> O.

Demonstração:

Suponhamos inicialmente que exista um número a > 1

tal que L(a) = M(a). Provaremos, neste caso, que L(x) = M(x) para todo x > O.

sendo L(a) M(a), então L(a

) = M(a

) para todo r racional.

Com efeito, Va

t

) = r.L(a) = r. M(a) = M(a

).

Suponhamos, por absurdo, que existe algum b> 0 tal que L(b) # M(b),

Seja L(b) < M(b) e

natural tão grande que n.[M(b) - L(b)] > L(a).

Então Va

) = L(a)/n < M(b) - L(b).



23

Escrevamos c -= L(a l

l ).

Os números c 2c, 3c,... dividem

R

ntervalos

justapostos de mesmo comprimento c.

Como c < M (b) - L (b), pelo menos um desses números,

digamos

m.c

pertence

ao interior do intervalo

(L (b), M (b)), ou seja L (b) < m.c < M (b). Ora

m.c = m. L(a

l in r- en .

= M(a

m in

). Então

L(b) < L(a m i ) = M(

a

m) < M(b)

Como L

é

crescente a primeira das desigualdades acima implica que

b <

a

Por outro lado como M também é

crescente a segunda desigualdade implica que

a

m n

< b

Logo

b < am

m

e

< b,

que

é

uma

contradição.

Portanto não existe

L(b)* M(b)

e M(x) = L(x)

para todo x> O.

0

caso geral reduz-se ao caso particular acima. Dadas L

e

M, funções

logarítmicas

arbitrárias,

temos L 2) > 0

e

M 2) > 0 porque 2 > 1. Seja

c

M(2)/L(2) e

seja a


N: —>

R definida por

N (x) = c.L (x).

Como

N (2) = c.L (2) = [ M (2) / L (2)

I.

L(2) = M(2), segue-se do que se provou

acima que

N(x) = M(x)

para todo x>

0, ou seja que

M(x) = c.L(x) para todo

x > 0,

como

queríamos

demonstrar.



4

LOG RITMOS N TUR IS

Para falarmos de logaritmos naturais, primeiro faremos uma

exposição

a respeito da

área de uma

faixa

de hipérbole para depois

então

definirmos os

logaritmos naturais. A concepção

geométrica de uma

função

logarítmica é

uma

idéia antiga, com mais de

3 séculos

e meio de

existência.

Além de antiga ela

é

natural, intuitiva

e

instrutiva porque constitui uma excelente

introdução

ao

Cálculo

Integral.

Seja

H o

ramo positivo do

gráfico

da

função y = 1/x, isto 6,

H é

gráfico

da função

que associa a cada

número

real positivo

x o

número y = 1/x;

H é o

subconjunto do plano

constituído

pelos pontos da forma

( x, 1/x )

onde x> O. Em

simbolos:

H

= { (x, y );

x

0, y =1/x } .Geometricamente,

H é o

ramo da hipérbole

xy = 1

que

está

contido no primeiro quadrante, isto

6 um ponto

(x, y)

do plano pertence a

conjunto

H

se e

somente se,

x > 0

e

xy = 1.

)

Uma faixa

e hipérbole

é

obtida quando

fixamos dois

números

reais positivos

a e

com a

< b

e

tomamos a

região

do plano

limitada

pelas duas retas verticais

x a

e

x= b,

pelo eixo das abscissas

e pela

hipérbole

H b

24



25

Portanto, a faixa H 2 é

formada pelos pontos x, y ) cujas coordenadas cumprem

simultaneamente as condições: a x 13

e Osy 1/x

Para calcular a área de uma faixa H decompomos

o intervalo

a, IA

num número finito de intervalos justapostos, por meio de pontos intermediários.

Com

base em cada um dos intervalos ti] da

decomposição, onde t

1-1 < ti)

consideramos

o retângulo

de altura igual a 1/ ti. 0 vértice superior direito desse

retângulo toca a hipérbole

H o que chamaremos um retângulo inscrito na faixa

11. A reunião desses

retângulos

inscritos constitui

o

que chamaremos um

polígono retangular inscrito na faixa A soma das áreas desses retângulos

A

) fornece um valor aproximado por falta para a área de HILL Assim, I AR

A H) como podemos ver na figura abaixo :



6

Se em vez do

retângulo

inscrito com base [ti_1, t

], consideramos

o

trapézio secante, o

qual tem a mesma base, os dois lados verticais tendo

comprimento t1_1

e t,

respectivamente, de modo que dois dos seus vértices

toquem a hipérbole

H e

como a curva y =1/x tem a concavidade voltada para cima,

esse trapézio contém a faixa

l

em seu interior. A reunião dos trapézios

assim obtidos forma um

polígono

trapezoidal secante a faixa H t

a

e

a soma das

areas desse trapézios A

) da uma

aproximação

por excesso da area de I-1g .

Assim, podemos escrever: A I-1

) <

EA

T

Portanto :

EA

R

< A I-1

< E

T

Convém observar que, como os lados inclinados desses trapézios se

aproximam mais da hipérbole

H

do que as bases superiores dos

retângulos

inscritos, as aproximações obtidas deste modo são melhores do que as

encontradas através dos retângulos.

Exemplo: Seja a faixa KT . Se tomarmos a decomposição do intervalo [1,3] através

dos pontos intermediários 1, 3/2, 2, 5/2, 3, obteremos um polígono retangular cuja



27

area é

igual à soma das areas dos quatro retângulos

abaixo

hachurados, ou seja:

E A R = )

2 rl x 1V1 x 21

1 1 = 1

1

1 + 1 = 57

=

0,95 < A H).

2 3

) )

3 4 5 6 60

0,95

é

uma primeira aproximação por falta para a area de

K T

Agora calcularemos

a area usando trapézios para obtermos uma

aproximação

por excesso



8

1AT. i

2)

+

1

2 _4)

4 .

1 /1 ± 2)

+

1

r2

+

4

) 4 0 2) 4

) 4 ,5 3)

= ±x 1+++

1-H -1-+++

1\ 1,117 >A Hn.

4

3 2 2 5 5 3 60

Portanto: 0,95<

A H) <

1,1,117

Vale lembrar que com uma

divisão

mais fina do

intervalo

1

1, 3],

teremos uma

melhor aproximação para

A Fln.

Aproveitaremos

o

estudo do calculo

da area de uma faixa de uma

hipérbole

para darmos a

definição

de logaritmos naturais:

Seja

x

um

número

real positivo. Definiremos

o

logaritmo natural de

x como a area

da faixa .

Assim, por

definição:

Quando x>

1,

escrevendo In

x

para indicar

o logaritmo natural de

x

temos: In

x = Area Fe

i

>

0

Quando

0 < x < 1

temos: In

x = Area H)) <

Na figura abaixo, a area

hachurada

é

igual a In

x.

Em

particular,

quando x = 1, H

0 reduz-se a um segmento de reta, portanto tem

area igual a zero. Podemos

então

escrever

In 1= 0; n x > 0

se

x >1;

n

x < 0 .

se 0 < x <1.

Não esta

definido In

x quando x < 0.



1 5 4 614

7 4 2 9 4 10 4 11 4 3

4 5\

4 6

4 7

2

4 9

4 10

4 H

3

9

Exemplo: Calculemos urn valor aproximado para In

2.

Subdividamos

o

intervalo

[1, 2]

em dez partes iguais

por meio dos pontos de

subdivisào.

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2.

Os valores de

1/x quando x

assume os onze valores acima

são:

1 0,909 0,833 0,769 0,714 0,666 0,625 0,588 0,555 0,526 0,500.

Uma

aproximação

inferior para In

2 será

fornecida pela

área do

polígono

retangular inscrito na faixa

H?),

formado por

10 retângulos cujas

bases

medem

0 1

e cujas

alturas

são os dez

últimos

valores de 1/x

na lista acima.

A área

desse polígono

retangular

será

portanto igual a

0 6685.

Obtemos assim

0,6685

como um valor aproximado por falta) de In

2.

Para ter uma

aproximação

por excesso do valor In

2

consideraremos os

10

trapézios

circunscritos à faixa

H?) determinados pela mesma

subdivisão.

A soma

das dez áreas desses

trapézios será

igual a

0 6935.

Podemos

então afirmar que

In2

é

um

número

compreendido entre

0,6685

e 0,6935.

Ou seja:

0,6685 <

In

2 <0,6935

Exemplo:

Calculemos um valor aproximado para In

3 .Subdividamos o intervalo

[1 3]

em oito partes iguais, por meio dos pontos de

subdivisão.



30

Uma aproximação inferior para o valor In

3

sera fornecida pela area do

poligono retangular inscrito na faixa

H?), formado por 8 retângulo. Para ter uma

aproximação

por excesso para

o

valor de In

3 ,

calcularemos a area do

polígono

trapezoidal formado pelos

8 trapézios que circunscreve a faixa H?)

determinados pela mesma

subdivisão.

EAR

= rixAVFÍAx4-)+Í-lxin+Íl

x±r\

L4 5) L4 6) L4 7) L4 8,

= 1 + + + + + 1 + 1 + 1 =

84.813

_ 1,0198

5 6 7 8 9 10 11 12 83.160

=

8

1

5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 11 11 3

= 1 +0,8 + 0,8 + 0,666 + 0,666+ 0,571+ 0,571 + 0,5 + 0,5 + 0,444 + 0,444 + 0,4+

+ 0 , 3 6 3 + 0 , 3 6 3 + 0 , 3 3 3 ) =

= -1

x

0,5 + 0,8 + 0,666 + 0,571 + 0,5 + 0,444 + 0,4+ 0,363 + 0,166 )=

4

= 4,410

-1,1025.

4

Podemos

então

afirmar que In

3 é um número entre 1,0198 e 1,1025.

Em outros termos:

1,0198 <

In 3<

1 ,10 25

Comprovando que as

aproximações trapezoidais são

melhores do que as

retangulares pois

o valor de In

2, com algarismos decimais exatos

é

0,6931 e o

valor de In 3 ,

com

4

algarismos decimais exatos é

1,0986.

Abaixo apresentamos

o

gráfico da

função

y = n

x, 0,1 x 10

3

2

0

3

4

6

6 lb

1

-2

-3

± x cr +

l x

4141

x

4)

+

Li

x

,4 9, L4 10) L4 11) L4 3)

EAT =



3

5.

0 NCIMERO e

Existe um

único número

real positivo cujo logaritmo natural é

igual a

1 .

Tal

número

(chamado constante de Euler) recebeu de Euler

o símbolo

e e foi

calculado por Euler com

23

casas decimais

Ele é

a base do sistema de

logaritmos naturais. Portanto, as

afirmações

In

x = 1 e x =

e são

equivalentes. Em simbolos,

temos: In

x =1 <=> x = e .

Geometricamente

temos :

A faixa (HT) tem

área

menor do que

1 ,

enquanto que (HO

tem área

maior do que

1 .

Ou seja In 2<

1

<In

3.

Concluímos dai que 2< e

<3,

ou seja,

que o número

está

compreendido entre

2

e 3.

Entre os sistemas de logaritmos,

o

de base

é

predominante.

0 número é

transcendental, na verdade mais que um

número a

começar

pela beleza de sua

definição tradicional

e =

um

n

Mais que um

número, já

que

não poderá ser jamais

expresso precisamente por:

E

um

número

finito de algarismos;



32

LI como a raiz de uma

equação algébrica com coe

cientes inteiros;

El como uma dizima periódica.

Ele só

pode ser expresso, com

precisão,

como o limite de uma série

infinita

convergente ou de uma fração continua.

A mais simples

mais familiar das séries infinitas que

dão o

valor de 6:

e

1

3 4 5

9 10

Desta forma, seu valor

poderá

ser tão

aproximado quanto se queira,

adicionando-se outros termos da série. Até a décima casa decimal,

e

2,71828182845.

Uma olhada na tabela abaixo

mostrará

como uma série

convergente infinita se comporta, à

proporção

que são adicionados mais

mais

termos

1

1

1+-

1

1+-

+-+-

1

1+—+-+-

+—

1

.±+

1

1+—+-+-

+-

1

1+-

1

1+-+-+-+-

1 2 3 4

1+—

+—+-

1

5

5

5

+-

5

+-

5

+—

6

6

+-

6

+-

6

7

+-

7

+-

7

+-

8

+-

8

+—

9

=

2

= 2,5

=

2,6666666..

= 2,7083334...

= 2,7166666...

= 2,7180555...

= 2,7182539...

= 2,7182787...

= 2,7182818... , depois de mais alguns

termos,

e

aparece assim:

2,7182818284590452353602874...



Além de servir de base para os logaritmos naturais,

é

um número

muito ON em toda a Matemática

e

nas ciências aplicadas. Nenhuma outra

constante matemática, nem mesmo Tr,

é

mais intimamente ligado aos problemas

humanos. Em Economia,

Estatística,

na Teoria das Probabilidades

e na função

exponencial,

tem auxiliado a fazer alguma coisa

e fazê-lo

melhor que qualquer

outro número descoberto até agora. Tem desempenhado um papel saliente em

auxiliar os matemáticos a descrever

e

greyer

o

que, para

o homem,

é o

mais

importante de todos os fenômenos naturais,

o

do crescimento. A

função

exponencial, y = e x

é o

instrumento usado, de uma ou outra forma, para

descrever

o

comportamento de tudo

o

que cresce. Para isso,

é singularmente

apropriada: é

única função

de

x

com uma taxa de

variação em

relação x

igual à

própria função

Devemos lembrar que uma

função

exceto a função

constante) é

uma tabela que dá a relação entre duas variáveis, onde uma variação

em uma delas corresponde a alguma variação na outra. 0 custo de uma

quantidade de carne

é uma

função

de seu peso; a velocidade de um trem

é

uma

função

da quantidade de carvão consumida; a quantidade da transpiração

é uma

função

da temperatura. Em cada uma dessas ilustrações, uma

mudança

na

segunda variável peso, carvão consumido, temperatura)

é correlacionada

com

uma alteração da primeira variável custo, velocidade, volume de transpiração).

simbolismo da Matemática permite que relações funcionais sejam simples

e

concisamente expressas. Assim, y = x, y = x

, y = sen x, y = cos x, y = ex

são exemplos de

funções.

Uma função não

é

apenas adequada para descrever

o

comportamento

de um projétil em sua trajetória, de um volume de gás sob

variações

de pressão,

de uma corrente elétrica em um fio, mas também de outros processos que

admitem variação, tais como

o crescimento de população,

o

crescimento de uma

árvore

o

desenvolvimento de uma ameba ou o

aumento de capital e

juros. 0 que

é

peculiar a cada processo orgânico é

que a razão de crescimento

é proporcional

ao estado de crescimento. Em condições ideais, quanto maior for a população de

um pais, tanto mais rapidamente crescerá. A variação de velocidade de muitas



34

reações químicas

em geral, é

proporcional

à

concentração de substâncias

reagentes que estiverem presentes. A quantidade de calor transmitida por um

corpo aquecido ao meio ambiente é proporcional

a sua temperatura. A velocidade

com que a quantidade total de uma

substancia radioativa diminui a cada instante,

devido as

emanações, é proporcional à quantidade total existente no instante

considerado. Todos estes

fenômenos, que

são,

ou parecem ser processos

orgânicos,

podem ser precisamente descritos por uma forma de função

exponencial

das quais a mais simples

é

y =

e x .

Um universo em que faltassem

e e

T C

não seria inconcebível.

Dificilmente se pode imaginer que

o

sol deixasse de nascer ou as marés de fluir se

faltassem e e

T C Mas sem estes dois artefatos

matemáticos, o

que sabemos do

sol

e

das marés, na verdade toda a nossa capacidade de descrever todos os

fenômenos

naturais físicos,

biológicos, químicos

ou

estatísticos,

seria reduzido a

dimensões

primitivas.

Pelo fato de termos omitido no capitulo de funções,

apresentaremos

agora o

gráfico

das funções:

y =

e

y =

e x para

2 x 2



35

6 APLICAÇÕES

Daremos aqui uma breve amostra de como os logaritmos,

especialmente os logaritmos naturais e

a

função e

surgem espontaneamente

em certas questões onde o

aumento ou a diminuição de uma grandeza se faz

proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante.

6.1.

Juros Continuos

Um capital c, empregado a uma taxa de

por cento ao ano,

apresentara no fim de um ano

o

montante

M =

c + ck,

fazendo

a

temos:

100

00

M =

c +

Ca

=C 1+

a)

Passados dois anos,

o

novo montante M =

c 1 +

a

empregado A mesma taxa,

será:

M2 =

o 14 a) +

C 1+ a)a=

= 1+a)X C+Ca) =

= 1+a)XC 1+

a) =

=C 1+ a

) 2

Assim passados 3 anos teremos um montante de :

M3 = C 1+

a )

2

+

C 1+

a

) 2

a=

= 1+a)

2

X C+

Ca ) =

= 1 + a)

2

X C 1+ a)

0 1+

a

)

3

Assim para

m

anos teremos M

= c 1+ a r.

Se tomarmos uma fração 1/n de ano,

o

capital c

empregado A mesma

taxa de juros, deverá render ac/n de juros, de modo que, decorrida a

fração 1/n



36

de ano,

o

capital

transforma-se

em:

c

+ ca/n = c

(1 + a/n).

Empregando este novo capital

c/ e

esperando mais

1/n

de ano, temos

cl(1+a/n),

ou seja,

c (1 + a/n)2 .

Prosseguindo assim, vemos que, se dividirmos

o

ano em

n

partes iguais e, depois

de decorrido cada um desses

períodos

e

1/n

de ano, capitalizarmos os juros

rendidos, reinvestindo sucessivamente à mesma taxa,

quando

chegar o

fim do

ano, em vez de

c(1 +

a ,

obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos

Um investidor exigente

desejará

que seus juros sejam capitalizados a

cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele

recebera,

em troca do

investimento

c o

total de Um

c 1+

mas:

n

4

lirrl C 1 ± =

n Ke

\ l

= lim c 1+ —

rice

a

\

a

lim c

n — >

.4

,

cea

Por exemplo,

o capital de R

1,00

empregado a juros continuos de

100%

ao ano, no final de um ano sera transformado em

e reais.

Se a taxa de juros

é

referida a anos

(k%

ao ano, a

= k/100), então

um capital

empregado a essa taxa

será

transformado, depois de

t

anos, em

n

at

hm c

1+ — =

e at

nco



37

Exemplo: Empregando-se um capital

c

a juros continuos de

40

ao ano, em

quanto tempo este capital

será

triplicado?

temos:

40/100 = 0,4.

Devemos achar

t

para que:

ce

0 4 t

= 3c

ou seja

em

t = 3

dai 0,4t = In3, portanto: t =

—

n 3

1,0986/0,4 2,75

anos.

0,4

6.2. Desintegração

radioativa

Os

átomos de uma

substância

radioativa tendem a se desintegrarem

naturalmente emitindo

partículas e

transformando-se em outra

substancia não-

radioativa.

Com

o

passar do tempo, a quantidade de

substância

original diminui

e

a massa da nova

substância

aumenta. Isto é

feito de tal maneira que, num

determinado instante, a

quantidade

de matéria que se desintegra de um corpo

radioativo é proporcional

à massa da

substância

original presente no corpo

naquele instante. A constante de proporcionalidade

é

determinada

experimentalmente. Cada

substância radioativa

tem sua constante de

desintegração

a

Seja um corpo de massa

Mo,

desintegrando instantaneamente. Assim

no fim de cada segundo, sendo

M o a massa no tempo

t = 0,

decorrido

o

tempo

t = 1 segundo, haveria uma perda de

a M o

unidades de massa, restando apenas a

massa

M = M o - aM

o

= M 3 1 - a .

Decorridos 2 segundos, a massa restante seria

M 2 =M1 1

a

=M

0

- a )

2

Assim, decorridos s

segundos, restaria a massa M = M

0

1 -

Como a desintegração

se processa continuamente devemos encontrar

uma

aproximação

melhor para

o fenômeno. Então

fixemos um inteiro

n > 0 e

imaginemos que a

desintegração se dá

em cada intervalo de

1/n

de segundo.

Depois da primeira

fração 1/n

de segundo a massa do corpo a reduziria a



38

Mo - —

j

kilo

M0

1 1-

2

Ui

)

Assim decorrido

1 segundo

teriam

ocorrido

n

desintegrações instantâneas

e

fetuadas as

reduções,

restaria do corpo a massa

M o

1- —

Dividindo o

n

intervalo

[0, 1]

em um

número

n

cada vez maior de partes iguais chegaremos a

conclusão

de que ao final de

segundo a massa do corpo

ficará

reduzida a

um

o — —

o t

= M0

e

n — > Q 0

Para calcular a massa ao fim de

t

segundos dividimos

o

intervalo

[0, t

em

partes iguais

Em cada intervalo parcial a perda de massa sera

Mo .at/n.

Repetindo

o

argumento acima chegaremos à

expressão M(t) = Mo e

a

l

a qual nos

fornecerá

a massa do corpo depois de decorridos

t segundos.

6.3.

método do carbono

14

0 carbono

14,

indicado por C

1 4 ,

é

um

isótopo

radioativo do carbono

que os seres vivos absorvem

e

perdem mas a taxa de

C 1 4 se

mantém

constante.

orém

quando

o

ser morre a

absorção

cessa mas

o C

1 4

nele existente continua a

desintegrar-se. Este fato pode ser usado para determinar a idade de um

fóssil ou

de um objeto muito antigo feito de madeira.

Para isto precisamos saber que a meia-vida do

C

6

de

5570

anos.

Se sabemos que um certo elemento radioativo tem meia-vida igual a to unidades

de tempo isto

signi

fica

que uma unidade de massa desse elemento se reduz

metade no tempo to. Assim

1/2 = e

-at °

Aplicando logaritmos temos:

In(1/2) = -at o

assim

-In 2 = -

ato, então

a

= 1n2/t0



39

Isto nos mostra como calcular a taxa de desintegração a quando se conhece a

meia-vida to. Assim como, tem-se to

= In 2/a, o que permite determinar a meia-vida

to

em

função

da taxa -a.

Assim se a

meia-vida

do

C 1 4 6

de

5570

anos, sua taxa de

desintegração 6:

a -

1n2 0,6931 _

0,0001244.

5570 5570

Exemplo

Num castelo

inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que

muitos afirmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Artur, soberano que viveu

no século V. Por meio de um contador Geiger instrumento que mede

radioatividade) constatou-se que a massa M = M(t)

de

C

4 hoje existente na mesa

é 0,894

vezes a massa

M o de

C 1 4 que existe num pedaço de madeira viva com o

mesmo peso da mesa. M o

é

também a massa de C

4

que existia na mesa quando

ela foi feita,

há t anos.

Sabemos que M =

M o e a t

donde M /M o = a r

a t

Isto significa que

0 894 = =e-

0 0001244t.

Portanto temos:

In (0,894)

1121

t=

901,12 anos

0,0001244 0,0001244

Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de

1500

anos.

6.4.

Acústica

logaritmo

Dentre as

ciências a

acústica

é

mais uma beneficiada pelo advento do

logaritmo.

0

som apresenta

características

como: altura, intensidade

e

timbre.

Na

intensidade

que

é potência

de uma onda sonora por unidade de area

=

w

encontramos detalhes interessantes como a limitação

auditiva.

É necessário

que uma onda sonora tenha no

mínimo

uma intensidade de

= 12 limiar de audibilidade) e no

máximo

de w limiar da dor) para

m2

2

que

o tímpano

humano a perceba.

m

2



40

O

nível sonoro

N)

representa a

comparação

entre a intensidade sonora

I) e o

limiar da audibilidade lo).

A sua unidade mais

prática é o decibel dB)

A grandeza

nível sonoro N)

obedece a uma escala

logarítmica, sendo

definida

por N = 1 log

I

6.5.

ogaritmos

e terremotos

A

força

de um terremoto

é

determinada por uma

função

logarítmica

que relaciona a amplitude das

ondas

sismológicas

com o

tempo.

Tal

função constitui

o

que hoje se conhece como escala Richter. A escala Richter

foi desenvolvida por Charles

F

Richter, em

1935, no

Instituto de Tecnologia da

California USA para comparar dados

e

efeitos de terremotos.

Ondas

sísmicas

são vibr ções provocadas por terremotos que

acontecem na Terra.

Sismógrafos são

aparelhos que gravam tais

vibrações

usando taws em ziguezague que mostram a

variação de amplitude dos

terremotos. A

duração, a

localização e a magnitude de cada terremoto podem ser

determinadas por estes aparelhos instalados em

estações sismológicas em todo o

mundo. A magnitude de um terremoto

é

determinada por uma


da amplitude das ondas

sismológicas

gravadas em um

sismógrafo. Ajustes são

feitos para incluir dados como a

distância

entre a estação sismológica e o

epicentro do terremoto

ponto

d

superfície da erra localizado diretamente sobre

o

foco do terremoto

e o

intervalo entre duas ondas.

Richter usou a formula abaixo para determinar uma escala para medição

da

força

dos terremotos:

M = logio. A mm) + 3.

log

o [8 .At s)] -2,92

em que

M é

a magnitude do terremoto

o

que originou a tabela Richter).

A mm)

é

a amplitude

em milimetros)

do terremoto medida em um sismógrafo e

At é o

intervalo em

segundos) entre as ondas

S superficial) e

P

pressão máxima),

também medidas no

sismógrafo.



AMPL ITUDE 3 nun

1 2

4 1

Abaixo temos a escala original de Richter para os dados de uma

estação sismográfica do sul da Califórnia.

Na escala temos:

At = 24s

A = 23 mm.

Usando a fórmula para determinar a magnitude:

M = logio 23

+3. logio 8 .24) -2,92 =

= 1,36 + 3.2,28 -2,92 = 5,28

A tabela abaixo relaciona a magnitude dos terremotos

e

seu efeito:

Magnitude Richter feitos

Menor que 3,5

Geralmente não sentido, mas gravado.

Entre 3,5 e 5 4

As vezes sentido, mas raramente causa danos.

N o

áximo

ausa

equenos

anos rédios

e m

Entre 5,5 e 6,0

construidos, mas pode danificar seriamente casas mal

construídas em

regiões próximas.

Entre 6 1 e 6,9

Pode ser destrutivo em areas em torno de até

00

quilômetros

do epicentro.

Entre 7,0 e 7,9

Grande terremoto, pode causar sérios danos numa grande

faixa de area.

8,0 ou mais

Enorme terremoto, pode causar grandes danos em muitas

areas mesmo que estejam a centenas de quilômetros.



LIMA

Elon

Lages

Logaritmos

Rio de Janeiro

SBM 1991

BARRETO FILHO Benigno

SILVA Claudio Xavier da

Matemática

Aula por

Aula

São

Paulo

FTD 2000.

SANTOS Carlos Alberto

Marcondes

dos GENTIL Nelson GRECO

Sérgio

Emilio

Matemática

novo ensino médio Sao Paulo

Ática

2000

KASNER

Edward

NEWMAN James.

Matemática e Imaginação

São

Paulo

Zahar 1976.

MORETTI

Méricles Thadeu

Boletim de

Educação

Matemática

N° 3

Florianópolis

UFSC 1998.

BOYER Carl B História

da Matemática

Sao Paulo

Edgradd Blücher 1974



erremoto mata mais de

mil na urquia

Um dos mais fortes terremotos das últimas décadas

atingiu a Turquia na madrugada de ontem causando a

morte de pelo menos 2 mil pessoas

e

ferindo

outras 10 mil,

segundo cálculos Milhares estão soterrados, que Ala nos

proteja disse

o primeiro-ministro, Bu

lent Ecevit, indicando

que

o número

de modes poderá aumentar. 0 tremor 7 8

graus na escala Richter, de acordo com

o

registro nos EUA,

foi sentido em várias cidades, entre elas Istambul, onde 20

edifícios

desabaram

e 150

pessoas morreram. Em pânico,

a população da capital turca, de 7,7 milhões de pessoas, foi

para as ruas. Cerca de 250 pequenos abalos se seguiram

ao primeiro e

mais intenso, que durou 45 segundos,

Numa base naval morreram cerca de 300 ma-

rinheiros Centenas de feridos aguardavam atendimento

nas

ruas. Pontes ruiram

e

fendas no asfalto dificultavam a

chegada de socorro. Boa parte do pais

cou sem agua

e

energia. Também

as comunicações foram cortadas. A

ONU, EUA, Alemanha, Franga

e

Italia ofereceram ajuda

Turquia.

Tremor atingiu 7,8 graus

da

escala Richter, milhares de

pessoas continuam soterradas

o

socorro

é

lento.

Extraido

de: 0

Estado de S.

Pau/o, 18 de agosto de 1999.

propósito

mostramos texto acima primeiro sem informações

matemáticas

para que fique aqui registrado um exemplo simples, mas que prova a

veracidade da frase

A matemática está no dia-a-dia de todos .

Fica então aqui

registrado que, além de ferramenta para outras ciências, jamais conseguiríamos

nos informar com precisão se não fosse essa maravilhosa ciência chamada

Matemática

43



44

7 CONCLUSÃO

Este trabalho evidenciou parte da grande

importância

dos logaritmos

para os seres humanos bem como parte do seu valor em toda a

Matemática.

Portanto devemos procurar ser

responsáveis

ao ensinar tal

conteúdo

para que

seja bem entendido

e

seu valor percebido.

Ao pensarmos ou falarmos sobre

Matemática

devemos lembrar que o

assunto vai muito além de

números

e operações. Basta assistirmos aos jornais

que

não

falam de logaritmos mas quase a totalidade de suas reportagens

abrangem de maneira

explicita

o

uso efetivo das

informações matemáticas.

Pelo contexto

histórico dos logaritmos onde sua vantagem era

facilitar

simples operações fica claro a

evolução

dessa descoberta uma vez que sua

aplicação primeira hoje

é perfeitamente

substituida

pelas calculadoras mas as

vantagens que os logaritmos apresentam para as outras ciências jamais

serão

substituidas

por qualquer advento

eletrônico

de

cálculo.

A

experiência

adquirida nesse trabalho trouxe a satisfação

de ter

compreendido melhor os logaritmos e despertou o desejo de conhecer cada vez

mais a

relação d

Matemática com as outras ciências e em especial aquelas

relacionadas aos

logaritmos

manoel marino martins

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