manual 2014-i 02 matemática ii gn (1530)
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8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II
Segundo ciclo2013
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
ndice
Presentacin
Red de contenidos
Unidad de aprendizaje 1
1.1. Tema 1 : Inecuaciones
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.41.1.5
: Desigualdad
Inecuacin
Inecuacin lineal de una sola variable
Inecuacin de segundo grado ( mtodo punto crtico)Inecuacin de orden superior( factor con exponente par e
impar)
7
7
7
1117
Unidad de aprendizaje 2
2.1 Tema 2 : Plano cartesiano y ecuacin de la recta.
2.1.1
2.1.2
2.1.3
Distancia entre dos puntos - punto medio de un segmento
Angulo de inclinacin, rectas paralelas y perpendiculares
Ecuacin de la recta: punto pendiente, dados dos puntos
28
37
402.2 Tema 3
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
: La parbola
Definicin
Ecuacin cannica
Ecuacin ordinaria
Ecuacin general
47
48
52
53
Unidad de aprendizaje 3
3.1 Tema 4
3.1.1
3.1.2
: Dominio y Rango
Definicin de funcin
Dominio y rango
60
63
3.2 Tema 5
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
: Funciones bsicas:
Funcin constante
Funcin Identidad
Funcin Lineal
Funcin valor absoluto
70
70
71
71
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MATEMTICA II 3
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
3.2.5
3.2.6
Funcin raz cuadrada
Funcin cuadrtica.
72
72
Unidad de aprendizaje 4
4.1 Tema64.1.1
4.1.2
4.1.3
: Lmites de funcionesDefinicin
Lmites indeterminados: polinmicas y con radicales
Lmites en el infinito
81
82
84
Unidad de aprendizaje 5
5.1 Tema7 : La Derivada
5.1.1
5.1.2
Interpretacin de la derivada, definicin
Derivada de funciones algebraicas ( teoremas bsicos )
91
93
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Presentacin
MatemticaII pertenece a la lnea formativa, analtica y de solucin deproblemas, propios del clculo diferencial y se dicta en todas las CarrerasProfesionales de Cibertec. El curso brinda un conjunto de herramientasalgebraicas y geomtricas que permitirn el desarrollo de las capacidades deabstraccin y de resolucin de problemas. La forma didctica en quepresentamos los temas permitir que sea un material complementario paraafianzar el aprendizaje de nuestros alumnos.
El presente manual de matemtica II, ha sido diseado bajo la modalidad deunidades de aprendizaje (UA), las que se desarrollarn durante las 15 semanasde clases programadas. En cada una de ellas, se hallarn los logros que sedeben alcanzar al final del desarrollo de la unidad. El tema tratado de cada UA,ser ampliamente desarrollado tanto en el fundamento terico del tema, como enla parte prctica, los mismos que tendrn problemas desarrollados, problemaspropuestos y auto-evaluaciones que en su mayora son problemas deevaluaciones continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados.Las sesiones de aprendizaje fomentarn la participacin activa de los alumnos
mediante ejercicios dirigidos, dinmicas individuales y grupales, adems de laprctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen un nivel ptimo deaprendizaje. Se utilizarn controles de desempeo con el fin de promover eltrabajo en equipo, el pensamiento crtico, la argumentacin y justificacin de susideas as como la comunicacin
El curso es de naturaleza prctica. Se inicia resolviendo inecuaciones lineales yde grado superior; luego en el plano cartesiano, aprenderemos a construirgrficas de rectas y parbolas, as como reconocer dichas elementos a partir de
sus ecuaciones. Del mismo modo, se analizarn las grficas y el comportamientoen el plano de funciones algebraicas. Se analizarn el lmite de un funcin yfinalmente saber calcular la derivad a de una funcin, a fin de hallar y manejarlas diferentes aplicaciones del clculo diferencial.
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RED DE CONTENIDOS
INECUACIONES
MATEMATICA II
GEOMETR AANALITICA FUNCIONES LMITES DERIVADAS
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DESIGUALDADES E INECUACIONES
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al trmino de la unidad, el alumno resuelve inecuaciones mediante elempleo de las grficas del conjunto solucin en la recta de los nmerosreales y el mtodo de los puntos crticos, aplicando para ello, teoremassobre desigualdades y las propiedades de los factores de potencia yfactores cuadrticos.
TEMARIO
TEMA 1: INECUACIONES1.1 Desigualdad1.2 Inecuacin
1.3 Inecuacin lineal de una sola variable.1.4 Inecuaciones de segundo grado (mtodo de puntos crticos)1.5 Inecuaciones de grado superior: factor elevado a exponente
par e impar.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Los alumnos, por medio de exposiciones y resolucin de ejercicios por parte delprofesor, trabajarn de manera grupal y obtendrn los resultados a los ejerciciospropuestos para la clase.
Los alumnos resolvern ejercicios propuestos para que lo desarrollen en su
domicilio y se revisar en la prxima clase.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
1
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MATEMTICA II 7
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
TEMA 1: INECUACIONES
1.1 Desigualdad
Una desigualdad es una relacin que existe entre cantidades que tiene diferente
valor. Esta relacin puede ser:
mayor que (>) ; mayor o igual que ( )menor que (
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
5x + 5 - 4x + 12 > 10x + 30 - 20x + 80
5x - 4x -10x + 20x > 30 + 80 - 5 - 12
11x > 93
x >11
93
- 0 93/11 +
o
] [
Problemas propuestos para la clase
1) Determine el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:
a) 7x33
5x2
b) x5
4
1x
3
2x
c)
3
1x2
4
1
2
x
2) Halle el conjunto solucin de:
a) 4 (7x)3 (1x) > 5 ( x + 2 )
b) 3 (x - 5)4 (43 x ) 2 ( 7x )3 ( x5 )
3) Resuelva las siguiente inecuacin:
5 x - 2 < 10 x + 8 < 2 x - 8
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Como la expresin es menor que cero , el conjunto solucin ser el intervalo quetiene el signo menos.
C.S. : ]-1/2 , 3[
Problemas propuestos para la clase
1) Halle el conjunto solucin de:
a) 13x6
9x3
b ) 0392
xx
c ) 0x84
8x2
2) Halle AB si :
4
7
x322/RxB;
1x
xx/RxA
2
3) Halle PQ si:
1423562/;1613
2
1
/
2
xxxxRxQx
xx
RxP
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MATEMTICA II 11
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
1.4 Inecuaciones cuadrticas
Son inecuaciones que tienen la siguiente forma:
; a0
Teorema: Si x es un nmero real pero diferente de cero entonces
a) Inecuaciones cuadrticas factorizables
Ejemplo: Resuelva: 0342 xx
Resolucin:
Factorizando la expresin:( x3 ) ( x1 ) 0
Empleando el mtodo de los puntos crticos : 3 y 1 ( puntos crticos cerrados )
Como la expresin es mayor o igual a cero, entonces el conjunto solucin est dadopor la unin de los intervalos que tengan el signo ms:
C.S. = [- , 1] U [3 , + ]
0202 cbxaxcbxax o
0x2
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Problemas propuestos para la clase
1) Halle el conjunto solucin de:
010xx2 2
2) Resuelva:
02xx3 2
3) Halle :siBA
37xx2x3/RxA 222 ; 222 3x2x1x/RxB
4) Halle PQ si:
3x3x22x1x/RxP 22 303x51x/RxQ 2
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MATEMTICA II 13
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
b) Inecuaciones cuadrticas no factorizables
Para resolver este tipo de inecuaciones, se emplea el mtodo de completarcuadrados, pero teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
1)
Ejemplos:
CERO.que
menoronegativonmerounresultadocomod27xquetalxrealnmeroningnexisteNo
Falso!027xdoFactorizan:Solucin
0.4914x2x:Resolvere)
.3sersolucinconjuntoelLuego,0.23-x3xparasperoCERO)
quemenordecir,(esnegativosea23-xquetalxlvalor reaningnhayNo023-xd)R.:solucinconjuntoelluego
CERO,aigualopositivoes21xqueresultaxdevalorcualquierPara021xc)
0502
5b)
09023a)
C.S :
2)
Ejemplo: Resuelva: x2 25debe ser positivo.
Solucin:
Si x R entonces x20
mxm-:Entonces
positivo.seamcuandoysiempremxSi 2
5x5
25x25entonces25xSi
mxmentoncesmxSi
2
2
5,5x.S.C
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3)
Ejemplo: Resuelva: x2
49
Solucin:
Grficamente:
-7 7 +-
Ahora, aplicaremos el mtodo de COMPLETAR CUADRADOS. Aqu se recomienda
que el coeficiente del trmino cuadrtico sea UNO.
Ejemplo: Resuelva 04xx2 2
Resolucin:
2042 2 xx
02
2
4
12
4
1x
2
12x
:cuadradosoCompletand
02x
2
12x
0216
1
4
1 2
x
4
331x
4
331x
4
33
4
1x
4
33
4
1x
16
33
4
1x
16
33
4
1x
16
33
4
1x
016
33
4
1x
2
2
,
4
331
4
331,xCS
mxmx:Entonces
positivo.seamcuandoysiempremxSi 2
7x7x
49x49xentonces49xSi
mxmxentoncesmxSi
2
2
,77,xCS
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MATEMTICA II 15
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Problemas propuestos para la casa
1) Halle el conjunto solucin de la siguiente inecuacin:072xx2
2) Cuntos valores enteros satisfacen a la siguiente inecuacin?
02x2x2
3) Sean los conjuntos:
04xx3/RxB
015x2x/RxA
2
2
Halle A B
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4 . Resuelva:
1. 2x + 5 > 4x -7 Rpta x 6,
2. 15
5
1
2
xxRpta x 5,21,5
3. 3(x2) + 2x(x +3) > (2x - 1)(x + 4) Rpta x ,1
4. 2x +7 < 6x - 5 Rpta x ,3
5. xx2
153
4
1 Rpta x ,1451
6. 3x2 - 11x + 5 > 0 ; Rpta x
,
6
6111
6
6111,
7. Determine: A BAB , , A-B y B-A , sabiendo que :
A= 47,3015,47,20 y B= 50,4030,70,12
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MATEMTICA II 17
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
PARb)(ax
IMPARb)(ax
1,1,2RxCS
1.5 Inecuaciones de orden superior: con factor elevado a potenciapar, impar y factor cuadrtico.
a) Factor lineal elevada a potencia PAR
Son de la forma:
Para simplificar o eliminar el exponente, se debe tener en cuenta el siguienteteorema:
Lo que quiere decir que el factor es mayor o igual a cero.
Ejemplo: Resuelva:
0
1x
1x2x50
1002
Solucin:
; Restricciones:
x-2 valores que no puede tomar x porque hara
x-1 CERO el factor y la pregunta es MAYORx 1 que CERO.
b) Factor lineal elevada a potencia IMPAR
Son de la forma ; para simplificar o eliminar el exponente, se
copia solamente la base y se saca los puntos crticos para graficarlo y resolverlo.
Ejemplo: Resuelva:
0
3x2
2xx2x101
6531
Solucin: Se copia solamente la base de cada factor:
0
3x2
2xx2x
0xRxSi 2
0
1x
1x2x
50
1002
++
+
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
0cbxax2
P.C. =
2
3,2,0,2
+-
- + -+ +
-2 -3/2 0 2
c) Factor cuadrtico
Son de la forma ; a 0. Este caso ya lo hemos estudiado en laque establecimos que se debe factorizar en todos los casos.
Ejemplo: Resuelva:
0
7xx8
1x2x5x32
22
Solucin: Factorizando el numerador y denominador:
8
7,1,1,
3
2..
1Re;0
17811123
CP
xstriccin
xxxxxx
+-
- + -+ +
-1 -7/8 2/3 1
2,02
3,2xCS
,1
3
2,
8
71,xCS
-
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MATEMTICA II 19
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejemplo: Resuelva:
0
5x4x5x
21x3x4x4x
269
40220
Solucin:
5,2
1.C.P
05x
2
1x
1x
3x
4x
:sstriccioneRe
05x4x5x
2
1x1x3x4x
269
404020
El factor cuadrtico x2-4x+5siempre es positivo paracualquier valor de x. Adems su
determinante es D< 0.se descarta este factor.
+ + +
+
4,3,12
1,5
xCS
-
-+
-5 1/2 +
+
-
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Problemas propuestos para la clase
1) Resuelva:
0
8x6x
3x2x5x1x
20
19310
2) Resuelva:
03x4x
3
1x2x3x1x
5040
3120
3) Resuelva:
0
3x9x4x
5x1x4x212
602
4) Resuelva:
0
106
934452
6125022
xxx
xxxxx
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MATEMTICA II 21
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Problemas propuestos para la casa
I. Inecuaciones de primer grado
1. Si se tiene:
A = { xR / 1 -2x [ -11, 11> }
B = { xR / 6x + 2 + 4 4x + 18 + 3x }
2
C = { xR / (x + 1)2> ( x - 1)2}
D = { xR / x + 7 2 + 2x + 16 }
3Halle: CBDAK
2. Si se tiene:
A = { x R / 2 0
c) (x2+ 4x +5) (x-3)2(x) (x+1) < 0
d) x5+ 5x4+ 7x3-x2- 8x - 4 > 0
e) (x3- 1)3(x4- 1) (-x2+ x) (-x - 2)2< 0
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
4. Inecuaciones racionales:Resuelva:
a) (x-8) (x-5) (x+ 3) (x+2) (x-10 0(x + 5) (x - 2) (x -11)
b) (x-2)3(x+1)2(x-1)> 0x3-3x2+ 3x - 1
c) (x2+ x - 6) (x2- x- 6)0(x2+ 4) (x2-16)
d) 2x + 12x - 3x + 3 x + 1
5. Resuelva:
(x2- 1)3 (x3 - 13x + 12) _ 0(x + 4)5(x3+ 8x2+ 4x48)
6. Resuelva:
(x + 5)3(x + 1)4(x + 2) (x2- 7x + 12) (8 - x)40(x + 7)6( x - 8) (x3- 8) (x2 - 14x + 48)
7. Un carpintero hizo cierto nmero de mesas. Vendi 70 y le quedan por vender msde la mitad. Hace, despus, 6 mesas ms y vende 36, por lo que le quedan menosde 42 mesas por vender. Cuntas mesas ha hecho el carpintero?
8. Si al doble de la edad de Tovar se le resta 17 aos, resulta menor que 39; pero si ala mitad de la edad se le suma 3, resulta mayor que 15 Cul es la edad de Tovar?
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MATEMTICA II 23
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Ejercicios adicionales
1) Resuelva: 02x3x4x4x 12x13x6xx 1002232
2) Resuelva:
01x3x3x
x91x2x23
29069
02x1xx2x
1x2x2x1x2x/RxB
2,2x22/RxA:Sea)3
342
222
Halle AB
CBAHalla
02xx2x/NxC
3
1x42x2
2
x3/ZxB
2,2x24/ZxA)4
45
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Resumen
Desigualdades.- Es una relacin que existe entre dos cantidades.
Inecuaciones Lineales.- Para resolverlas, tenemos que tomar en cuenta laspropiedades. Estas nos permiten mantener o variar el sentido de la desigualdad.Al resolver una inecuacin obtenemos un conjunto infinito de respuestas.
Inecuaciones Cuadrticas.- Son de la forma 2 0ax bx c . Estas pueden ser:
a) Factorizables.- Aquellas que se convierten en producto de factores; proceso:obtener sus puntos crticos, ubicarlo en la recta real y, finalmente, sombrearlopara obtener el conjunto solucin.
b) No factorizables.- Para resolverlas, tenga presente: Completar cuadrados Aplicar uno de los siguientes teoremas, segn sea el caso:
Si 2x m m x m
Si 2x m x m x m
Factor elevado a potencia PAR e IMPAR:
a) PAR.- Para eliminar la potencia, tenga presente si2
0x R x b) IMPAR.- Toda potencia impar se elimina la potencia y se copia la base, y sesigue los pasos ya conocidos.
Inecuaciones de Orden Superior.- Por regla, toda inecuacin de grado dos omayor se factoriza y se sigue los pasos ya conocidos. Es decir: Factorizar empleando cualquier mtodo Si hay factores comunes, se suman exponentes o se cancelan con su
restriccin respectiva. Sacar puntos crticos (PC) Los PC ubicarlos en la recta real Finalmente, sombrear el signo resultante obtenido por la regla de signos y
este ser el conjunto solucin.
Si desea saber ms acerca de estos temas, puede consultar las siguiente pgina.
.
http://www.unapiquitos.edu.pe/intranet/pagsphp/docentes/archivos/inecuaciones.pdf
En esta pgina, hallar informacin sobre el tema.
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MATEMTICA II 25
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
GEOMETRA ANALTICA
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al trmino de la unidad, el alumno resuelve problemas geomtricos aplicandola ecuacin de la recta y de la parbola con diferentes mtodos de solucin.Adicionalmente, utiliza el plano cartesiano para la construccin de grficos e
indica los elementos correspondientes de las cnicas.
TEMARIO
Tema 2: Plano cartesiano y Ecuacin de la recta
2.1 Distancias entre dos puntos, punto medio de un segmento2.2 ngulo de inclinacin de una recta, rectas paralelas y perpendiculares2.3 Ecuacin de recta: Punto-pendiente; dados dos puntos.
Tema 3: La parbola
3.1. Definicin3.2. Ecuacin cannica3.3. Ecuacin ordinaria3.4. Ecuacin general
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano. Calcula permetros y reas tanto analtica como geomtricamente. Calcula las coordenadas del baricentro del tringulo.
TEMA 2 :EL PLANO CARTESIANO
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
2
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MATEMTICA II 27
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:
Ubicando los puntos obtenidos, podemos esbozar la grfica de la ecuacin con los
valores indicados.
X Y
-3
0
2
1
x-x
y
-y
5,3
1,0
2,
2
1
-3
-5
12
1
2
5,3
1,0
2,
2
1
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
El D P1QP 2 es recto en Q , Entonces, aplicando Teorema de Pitgoras a dicho
tringulo, obtenemos: d2
= (x2x1)2
+ (y2y1)2
de donde: d = 2
12
2
12 )()( yyxx , d:distancia entre los puntos P1y P2.
Por lo tanto la frmula, para determinar la Distancia entre 111 yxP ; y 222 yxP ; es:
212
212 yyxxd
Ejemplo:
1.Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).
Solucin:
d= 22 )35()33( = 22 86 = 10
2.Demuestre que el tringulo con vrtices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es
issceles. Adems halle el permetro.
Solucin:
Demostraremos que el D tiene dos lados iguales.
2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
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MATEMTICA II 29
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
a) dAB
= 22 )14()52( = 22 33 = 3 2
dAB
= 3 2
b) dBC
= 2222 )4(1)51()65(
dBC
= 17
c) dAC
= 2222 1454)62( = 17
dBC
= dAC
= 17
ABCD es issceles.
El permetro es la suma de todas las distancias =3 2 +2 17
3.-Calcule la distancia entre los siguientes puntos.
a) A (2, 7) y B (-2, 4)b) T (-2, 5) y R (4,-3)
c) M (4, 0) y N (11, )5
d) L(0,4) y S(- )9,11 e) S( )1,5 y Q (- )15,3
4.-Calcule el permetro y el rea del polgono cuyos vrtices son los puntos:a) A(4,1) , B(7, 1) , C(9, 3) , D(7, 5) , E(4, 5) y F(2, 3)b) )1,11()5,9(,)5,2( 321 PyPP
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Ejercicios propuestos1. Demuestre que el tringulo con vrtices en A (3, -6), B (8, -2) y (-1, -1) es un tringulo
rectngulo. (Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes delos lados de un tringulo rectngulo, teorema de Pitgoras).
2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces Cul es el
producto de los valores de y?
3. F es el punto simtrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simtrico de (2;-6)
respecto al eje X; C es el punto simtrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el
permetro del tringulo FAC, entonces cul es el valor numrico de la expresin
2113p ?.
4. Si M (k,1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.
5. Si M (k, 1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.
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MATEMTICA II 31
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y del punto M ubicado a
igual distancia de los extremos P y Q del segmento PQ .
Para el caso, digamos que se trata de los puntos:
),(),;(,);(2211
yxMQP yxyx
Obtencin de la Abscisa X de M:
a. Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X. (
QCMBPA //// por ser perpendiculares a una misma recta).
b. Aplicando el teorema de Thales se tiene: ,BC
AB
MQ
PM pero como M es un
punto medio, .MQPM
Entonces,BC
AB1
c. Observamos que 1XXAB , XXBC 2 . Sustituyendo en 2:
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
12
1
xx
xx
2
2121
xxxxxxx
Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada y de Mes
2
21 YYY
(Queda como ejercicio para los alumnos)
Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos
: PM(x, y), donde
22
2121 yyxxPM ;
Ejemplos:
1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)
Solucin:
Se tiene que:
2.Los puntos medios de los lados de un tringulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).
Halle las coordenadas de los tres vrtices.
Solucin:
Se tiene la grfica:
:;; 2211 sonyxyx y
),(..
;..
32
2
82
2
48
MP
MP
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios propuestos
1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los
puntos dados.
a.- A = (1, 5) B =(2,3)
b. - E = (0,1) D =(3,1)
c. - Q= (2, 1) W=(2, 0)
2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos 1,0A
5,3B 2,7C 2,4D son sus vrtices .Tambin halle el rea del
cuadrado construido con sus puntos medios.
3. Dos vrtices de un tringulo equiltero son )1,1(A 1,3B . Encuentre las
coordenadas del tercer vrtice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).
4. El punto medio de un segmento es 2,1M y uno de sus extremos es
5,2N , encuentre las coordenadas del otro extremo.
5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se
divida en tres partes iguales por los puntos P (2; 2) y Q(1,5).
6. Hasta qu punto debe prolongarse el segmento que une a 1,1A y
5,4B en la direccin de AB para que su longitud se triplique?
7. Hallar el rea del tringulo formado por los ejes coordenados: X, Y y la recta
L: 5x + 4y - 2 = 0. Construya su grfica en cada caso
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MATEMTICA II 35
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Autoevaluacin
1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:
a) A(-3;2) y B(5;2) b) E(-2;-1) y F(3;4) c) P(6;4) y Q(8;2)
d) R(-2;-1) y S(7;3)e) )
2
1;0(M y N (9; 0) f) T(2,5; 8) y )
4
3;3(S
2. Se sabe que 6EF siendo E(x;2) ,F(5;8) y que 8CD cuando C(-3;4), D(5;y).
Entonces el valor de 3 )3(2 yx es:
a)
3
152 b)
3
153 c)
3
15 d)
3
154 3. Conociendo que 72PQ ; P(2;y) ,Q(8;7) y que 25RS ; R(x;-1) ,S(5;-2). el
producto del mayor valor de y por el menor valor de x, es:
a)24 b)18 c) -12 d) -26
4. Los vrtices del D EFG son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto el tringulo es:
a) Issceles b) escaleno c) equiltero d) rectngulo
5.ACes la base del D issceles ABC cuyos vrtices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C
pertenece al II cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:
a) 445 b) 443 c) 130671 d) 127441
6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:
a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Resumen
1) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
d = 212
2
12 )()( yyxx ,
2) PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS
22
2121 yyxxPM ;
BIBLIOGRAFIA:
Lehmman,Charles
Geometra Analtica EditorialLIMUSA USA 2001
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MATEMTICA II 37
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Dada una recta L ubicada en el plano cartesiano, se llama ngulo de
inclinacin de una recta, al ngulo que forma dicha recta respecto a la horizontal
(eje x), medido en sentido anti horario.
As, en los grficos siguientes, y 1 son los ngulos de inclinacin de las rectas L y
L1 respectivamente.
El ngulo de inclinacin (alfa) de cualquier recta est comprendido entre 0
y 180.
PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor est dado por la funcin
tangente de su ngulo de inclinacin .
tgm
Si la recta es paralela al eje x, su ngulo de inclinacin es 0.
Si la recta es perpendicular al eje x, su ngulo de inclinacin es 90.
00 1800
1
y
x x
y
L 1L
2.2. NGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
12
12
xxyym
La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos ),(),( 222111 yxPyyxP
es el nmero: 1212
xx
yym
Demostracin
12 yyQA ; 12 xxAP
AP
QAtg
12
12
xx
yytg
Ejemplo:Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos P 1(1,2) yP2(-3,4).
Resolucin:
Aplicando la frmula de la pendiente
Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los ejes X e Y.
Por lo tanto en el tringulo rectngulo PAQ: QPA =
12
12
xx
yy
m
PENDIENTE DE UNA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS
Frmula Pendiente
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MATEMTICA II 39
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mmLL 2121//
1. 2121 mmLL
Ejemplo:Se definen 2 pares de rectas
.
Determine qu rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares.
A. Calculamos las pendientes de L1y L2.
Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la condicin de
paralelismo (L1y L2son rectas paralelas).
B. Calculamos las pendientes de L3 y L4.
16
6
24
6
24
393 )(mL 12
2
02
204 mL
Las pendiente de las rectas no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con lacondicin de Perpendicularidad (L3 y L4son perpendiculares).
Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual pendiente.
Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces son paralelas.
Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es1.
Si el producto de las pendientes de dos rectas es1, entonces las rectas son
perpendiculares.
2
1
4
2
)3(1
42;
2
1
4
2
13
24
mm
L1: (1,3) y (2,5)L2: (3,11) y (-4,-3)
L3: (-2,3) y (4,9)L4: (0,2) y (2,0)
27
14
34
1132 mL21
2
12
351 mL
RECTAS P RALELAS Y PERPENDICULARES
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Es aquella expresin matemtica que indica la condicin que deben cumplir todos los
puntos que pertenecen a una misma recta.
a. Primer caso: Conociendo dos puntos
DATOS:
),(,),( 222111 yxPyxP
Por divisin de segmento con una razn dada: rPP
PP
2
1 luego:
)1.......(2
1
xx
xxr
y
Igualando ambas ecuaciones (1) = (2):xx
xx
2
1 =yy
yy
2
1
y resolviendo, obtenemos la ecuacin:
a la cual llamamos Ecuacin Punto-Punto.
)2.(..........2
1
yy
yyr
)( 112
121 xx
xx
yyyy
2.3 ECUACIN DE LA RECTA
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MATEMTICA II 41
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Figura A
Ejemplos:
1. Calcule la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5).
Solucin:
Ya que conocemos 2 puntos de la recta, podemos utilizar la ecuacin Punto-Punto.
Para aplicar esta ecuacin, debemos escoger cul de los puntos ser ),(: 111 yxP y
222 ,: yxP . Recordemos que es irrelevante cul sea P1y cual P2a nivel del resultado.
)3,1(:1P 5,2:2P
2. Dado el trapecio A (-4;-2), B (8,2), C (4,6) y D (-2,4). Halle las ecuaciones de
sus diagonales. (Figura A)
Resolucin:
Primero, calcularemos la ecuacin de AC.
2,4:1 P y 6,4:2P
)( 112
353 xy
)4()4(4
)2(6)2( xy )4(
44
262
xy
)4(
8
82 xy 42 xy 02yx
)1(12
353
xy )1(1
23 xy 12xy
-
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Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener la ecuacin de la diagonal que pasa
por BD y verificar que es
b. Segundo caso: Conociendo un punto y lapendiente
Si analizamos las ecuaciones y
Nos damos cuenta que tienen en comn la expresin de la pendiente. Entonces, al sustituir
una expresin en la otra nos queda:
a la que llamaremos: Ecuacin Punto Pendiente.
Ejemplo:
Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente igual
a 2.
Resolucin: Aplicando la ecuacin Punto Pendiente
En los ltimos dos ejemplos hemos expresado la ecuacin de la recta pedida escribiendo a
x e y en el mismo miembro e igualando toda la expresin a cero. Podemos generalizar
estas expresiones de la forma Ax+By+C=0, siendo sta la ecuacin general de la recta.
0185 yx
12
12
xx
yym
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
11 xxmyy
223 xy 423 xy 012 yx
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MATEMTICA II 43
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c. Tercer caso: Ecuacin pendienteintercepto
Conociendo la pendiente y el intercepto con el eje y
Datos:
),0(1 bP
Pendiente =m
L: yb = m(x0)
L: y = m x + b ( Ecuacin Pendiente Intercepto)
Ejemplo:
Dada la ecuacin de la recta L: 3x + 4y = 7, halle la pendiente y el intercepto de dicharecta.
Solucin:
De la ecuacin L tenemos: 4y = -3x + 7
4
7
4
3
xy Luego: y
4
7b
4
3m
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Ejercicios propuestos
1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por )3,2(1
P y tiene la misma pendiente que la
recta 2x+ 3y = 1.
2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por )2,3(1P y su pendiente es inversa y con
signo contrario de la pendiente de la recta x + 2y = 3.
3. Hallar la ecuacin de la mediatriz de un segmento cuyos extremos son:).3,5()1,3(
21 PP y
4. Un punto P de abscisa 2, pertenece a una recta cuya pendiente es 1 y que pasa por
. Calcule la ordenada de P.
5. Determine la pendiente, la ordenada en el origen y grafique, dadas las rectas:
6. El punto de interseccin de las rectas 022:,0: 21 yxLyxL , Es el puntomedio del segmento cuyos extremos son: M (a,2) y N(2,b) .Halle el valor de a y b.
7.Se tienen las rectas 02054:,04: 21 yxLyxL , encuentre el rea de la
regin limitada por las rectas 21,LL y el eje x.
8. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (2,-1) y cuyo ngulo de
inclinacin es 45.
9. En las ecuaciones L1: a x + (2 - b) y23= 0, L2: (a1) x + by =15. Halle los valores
de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P (2,-3).
10. Determine la ecuacin de la recta cuya pendiente es2
1 y que corta al eje de las
y en (0,5).
23
2) xya 334) yxb
)1,2(1
P
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MATEMTICA II 45
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Autoevaluacin1. Halle la ecuacin de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos
A (7,4) y B (-1,-2).
2. Si la recta L1 que contiene a los puntos A(a ,2 ) y B (0 , 2 a) es paralela a la recta L 2que contiene a los puntos C (-a ,3 ) y D(1 ,-2 a ), Hallar el valor de a
1. Dado el tringulo de vrtices A (-4,3), B (5,-1) y C(7,5). Halle las ecuaciones de las
rectas que pasan por el vrtice C y trisecan al lado opuesto AB .
2. Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina
sobre los ejes coordenados es 10. Halle la ecuacin de la recta.
3. Calcule la ecuacin de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 ycuya pendiente es 9/5.
4. El producto de los interceptos de una recta con los ejes coordenadas es igual a -6.
Halle la ecuacin de la recta, si su pendiente es igual a 3.
5. Calcule la ecuacin de una recta cuya ordenada al origen es el doble de la
ordenada de la recta 2x-3y+5=0, sabiendo que pasa por el punto P, siendo P el
punto medio de A(3,-1) y B(-2,8).
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Resumen
Sea La recta L cuyo ngulo de inclinacin es el ngulo de medida
Pendiente de una recta: tanm
Para los puntos: ),(),( 222111 yxPyyxP la pendiente es:12
12
xx
yym
BIBLIOGRAFIA:
Lehmman,Charles
Geometra Analtica EditorialLIMUSA USA 2001
00 1800
mmLL 2121// 1. 2121 mmLL
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MATEMTICA II 47
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TEMA 3: LA PARBOLA
3.1. Definicin
Es el conjunto de puntos ubicados en el plano cartesiano, que equidistan de una recta
fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.
ELEMENTOS:
a. Vrtice (V): Es el punto de interseccin de la parbola con el eje de
simetra.
b. Foco (F):Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetra, ubicado a p
unidades del vrtice.
c. Eje de simetra o Eje Focal ( l ): Es la recta perpendicular a la directriz ypasa por el vrtice y foco.
d. Cuerda (AR):Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera
de la parbola.
e. Directriz (d): Es la recta fija perpendicular al eje de simetra ubicada a p
unidades del vrtice, en sentido opuesto al foco.
f. Cuerda focal ( AB): Segmento de recta que une dos puntos de la
parbola, pasando por el foco.
g. Lado recto (LR ): Es una cuerda focal, perpendicular al eje de simetra.
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h. Radio vector (PF ):Segmento de recta que une el foco con un punto de la
parbola.
La ecuacin cannica modela parbolas cuyo vrtice est en el origen de
coordenadas. El eje de simetra de la parbola puede ser horizontal o vertical.
Ecuacin cannica Horizontal
Cuando el eje de simetra coincide con el eje x.
Se sabe que:
PFPQ
22222
222
22
22
2-2
-
0)(
yppxxxpxp
ypxxp
ypxxp
ypxxp
Ecuacin de la Parbola: pxy 42 .Esto es conocido como la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en elorigen de coordenadas y su eje de simetra coincide con el eje x. El grfico dela parbola se abre dirigido hacia el eje x, porque en la ecuacin se ve que eslineal en la variable x.
Analizando:
pxpxy 24
p y x deben tener el mismo signo, es decir que p< 0 p> 0, de donde se
concluye que:
3.2 ECUACIN CANNICA DE LA PARBOLA
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MATEMTICA II 49
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a. Si p >0, la parbola se abre hacia la derecha. y el foco est en laparte positiva del eje x.
b. Si p0 p0 la parbola se abre hacia arriba y el foco est en la parte positiva
de y.
b) Si p
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pyx 42 pyx 42 Ejemplos:
1. Halle la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el origen de coordenadas,
sabiendo que es simtrica respecto al eje Y; y que pasa por el punto (4,-8)
Solucin:
)8-(444: 22 ppyxP
2. Halle en la parbola xy 122 los puntos cuyos radios vectores son iguales a
6
Solucin:Se tiene
2
1
32-16
p
p
yxyx 2-)2
1(4
22
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MATEMTICA II 51
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6,1 rrpx
Sabemos que
39
6363
666
11
11
111
xx
xx
pxpxpx
)6,3()6,3(
636
)3(12
2
2
yy
y
Ejercicios Propuestos
1. Una parbola tiene su vrtice en el origen y su eje coincide con el eje x. Si P
(2,-2) es un punto de la parbola, halle la ecuacin de la parbola, lascoordenadas del foco y la ecuacin de su directriz.
2. Halle las coordenadas del vrtice, del foco y la ecuacin de la directriz de lasparbolas cuyas ecuaciones son:
312442 pppxy
a) xy 32 b) xy 122 c) yx 42 d) yx 82
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
La ecuacin ordinaria modela una parbola cuyo vrtice est en un punto (x,y) que no
coincide con el origen del sistema de coordenadas. La ecuacin cannica es un caso
particular de la ecuacin ordinaria cuando las coordenadas del vrtice son (0,0). La
forma de la ecuacin varia con el eje de simetra de la parbola a la que representa.
Ecuacin Ordinaria de la Parbola con eje de simetra paralela al eje y
Ecuacin Ordinaria de la Parbola con eje de simetra paralela al eje x
3.2 ECUACIN ORDINARIA DE LA PARBOLA
kyphxFrmula 42:
),(: pkhFoco
pkyDirectriz :
hxpkyFrmula 42:
),(: kphFoco
phxDirectriz :
-
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MATEMTICA II 53
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Ecuacin general de la parbola:
1. Calcule el vrtice, el foco y la directriz de las siguientes parbolas.
Solucin:
A. Resolvamos en primer lugar a
Las parbolas estn expresadas en forma de ecuacin general
02 DCyBxAx o 02 DCxByAy . Para calcular las
coordenadas 0=F+Ey+Dx+2x y 0=F+Ey+Dx+2y de sus elementos
(foco, vrtice y directriz) vamos a expresarlas en su ecuacin ordinaria
siguiendo los siguientes pasos.
i. Determina si el eje de simetra de la parbola es Horizontal o
Vertical.
Esto lo puedes determinar analizando cul es la variable que NO EST
ELEVADA AL CUADRADO, ya que sta determina a cul de los ejes del
sistema de referencia es paralelo el eje de simetra de la parbola.En el caso concreto de la parbola, el eje de
simetra es paralelo al eje Y.
ii. Escoge la ecuacin segn el eje de simetra y completa
cuadrado.
En nuestro ejemplo, la ecuacin a utilizar es kyphx -4- 2 .El proceso de completar cuadrado y obtener la ecuacin es como sigue:
)2(2)3(
4296
2
6132
2
66
1326
2
2
22
2
2
-
-
-
-
yx
yyx
yyx
yxx
Coor denadas de l vrt ice: Vrtice (-3,2)
Valor de :
013262 yxx 0232246 2 xyy
013262 yxx
021 p
0=13+y2x6+2x -
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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54
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Coor denadas del vrt ice:
Recta directr iz:2
3
2
12 yy
Grfic a
B.Aplicando el mismo procedimiento para
Se tiene:
Coordenadas del Vrtice:
2,2
1
Valor de P: 00 la grfica se abre hacia arriba. Si a
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II 73
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Como
a
bac
a
bxaxf
a
bc
a
bx
a
bxaxfcbxaxxf
4
4)
2()(
4)
4()()(
22
2
2
222
Luego el vrtice de la parbola es: )4
4,
2(
2
a
bac
a
bV
Si a>0 se tiene :
RDf ; ,
a
bacRf
4
4 2
Si a
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
74/99
74
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
FUNCIONES SECCIONADAS
Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia
22
11
,)(
,)(
)( Axsixf
AxsixfxF donde
)()()(
)(
21
21
fRafRafRan
AAfDom
Ejercicios propuestos
1. Construya la grfica y calcule el dominio y rango de:
32,524)( xparaxxf
2. Halle el dominio y la grfica de la siguiente funcin:
1)( xxf
3. Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:
,6;6
6,0[;4
0,5;3
1
5
1
6,9;
9,;
)(
x
xx
xx
xx
xx
xf
4. Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:
8,212
84,42
40,2
0,,2
)(
xsix
xsix
xsixx
xsi
xf
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II 75
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
5. Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin :
() { | |
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES
a. Un fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000, costos de
produccin de S/. 20 por unidad y un precio de venta unitario de S/. 30.
Determina las funciones de costos, ingresos y ganancias para Rango.
Adems indica su punto de equilibrio y grfica.
b. Juan Manuel es dueo de la panadera Pan y Sabor y contrat un consultor
para analizar las operaciones del negocio. El consultor dice que sus
ganancias P(x) de la venta de x unidades de panes estn dadas por P(x)
120x x2. Cuntos panes debe vender para maximizar las ganancias?
Cul es la ganancia mxima?
c. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de
produccin es de $ 5 y los costos fijos son de $200 diarios. Si se vende cada
libro a $15
a. Cuntos libros se debern producir y vender diariamente para mantener el
negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.
b. Si se producen y venden 75 libros pierde o gana? cunto?
d. Los impuesto personales en Estados Unidos entre 1960 y 1990 son
aproximados por:
1990197563614351975196045097
adex
adexxf
..
..
Trace la grfica de la funcin si x = 0 representa 1960. Qu sucedi a los
impuestos personales en 1975?
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
76/99
76
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Autoevaluacin
1.Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:
9,6[,
]3,22,22,3[,4
3,,2410
6,3,5
30,9,1
)( 2
xx
x
xxx
xx
xx
xf
2.Hallar dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:
,4,18
4,2,12
2,4,2
4,13,42
)( 2
xx
xx
xx
xx
xf
3.Halle el dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin.
2,63
,10,6
10,8,4
8,4,102
4,2,2
]2,2,44
1
)(
2 xxx
xx
x
xx
xx
xx
xf
4.Dada la siguiente funcin
2
2
2
1
4
3/),( xyRyxf
Halle )()( fRangfDomA
5. Dada la siguiente funcin
22 2
4
14/),( xyRyxf
Halle )()( fRangfDomB
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II 77
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
6. Halle dominio, rango y esbozar la grfica de la funcin:
4,4
2,1,42
1,32
)( 2
xx
xxx
xx
xf
8. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES:
A. Supngase que el costo de fabricacin de x artculos diariamente tiene el
siguiente modelo: C(x) = 0.2x + 10x +320y cada una se vende a S/ 30 .00.o Determine el punto de equilibrio
o Determina el nivel de produccin que maximice sus utilidades.
o Cul es la utilidad mxima?
o Realiza la grfica correspondiente
B. Para una fbrica de zapatos, el costo de mano de obra y materiales por cada
par de zapatos es de S/. 20 y los costos fijos son S/. 3000 diarios. Si se vende
cada par de zapatos a S/. 35 Modele matemticamente el Costo Total y la Venta Total.
Encuentre el punto de equilibrio e interprtelo econmicamente.
Si vende 800 pares de zapatos diarios, gana o pierde? Cunto?
C. Para una editorial, el costo de mano de obra y materiales por unidad de
produccin es de $ 5 y los costos fijos son de $500 diarios. Si se vende cada
libro a $15
o Cuntos libros se debern producir y vender diariamente para
mantener el negocio en un punto de equilibrio? Grafique el modelo.
o Si se producen y venden 100 libros pierde o gana? cunto?
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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78
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
MISCELANEA DE PROBLEMAS SOBRE FUNCIONESI. Asocia cada funcin con su grfica:
a) 5xy
b) 3x2
3y
c) x2
1y
d) 2xy 2
e) 1xy 2
f)x
2y
g)2
3y
h) 2x2y
1. 2.
3.4.
5. 6.7.
8.
Rp. a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7)
II. El permetro de un rectngulo es de 30 cm. Obtn la funcin del rea delrectngulo en funcin de la longitud de la base x.
III. Determina el dominio, el rango y esboza la grfica de las siguientes funciones:
1.
5x,9x2
5x10,8x3)x(f
,1)x(fRan
,10)x(fDom
3x,1
3x2,1x
2x,1x6x
)x(f
2
,8)x(fRan
R)x(fDom
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II 79
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Resumen*) Funcin constante: Cxf )(
*) Funcin identidad: xxf )(
*)Funcin lineal: baxxf )(
*) Funcin valor absoluto:
0,
0,
xx
xx
x
Si a>0 la grfica se abre hacia arriba. Si a
-
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80
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
LMITES
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al trmino de la unidad, el alumno resuelve problemas de lmitesindeterminados en el infinito, utilizando las propiedades de lmites, las leyes dellgebra bsica y las representaciones grficas en el plano cartesiano.
TEMARIO
Tema 6: Lmites de funciones
6.1 Definicin
6.2 Lmites indeterminados: Polinmicas y con radicales0
0
6.3 Lmites en el infinito
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Calcula lmites indeterminados de funciones algebraicas, racionales e irracionales.
Calcula lmites indeterminados cuando la variable tiende al infinito.
UNIDAD DE
APRENDIZAJE
4
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
81/99
MATEMTICA II 81
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
LMITE DE UNA FUNCIN
6.1 DEFINICIN:
Sea F(x) una funcin definida en un intervalo que contiene o no al nmero a. Sedice que cuando x se aproxima al nmero a la funcin F(x) tiende al nmero L,
que se denota por: F(x)ax
Lim
=L, s para todo nmero positivo > 0 existe un
nmero positivo tal que F(x)-L
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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82
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejemplos :
Calcule:
a)
6
42322
432
432432
2
2
2
2
22
2
2
2
2
)(
)x(LmxLm
)(Lm)x(Lm)x(LmxxLm
xx
xxxx
b) 2851355 31
31
31
13
3
13
xLmxLm
xx
FORMAS INDETERMINADAS
Las formas indeterminadas que analizaremos en este captulo son las siguientes:
,0
0
6.2 LMITES ALGEBRAICOS :
1)Calcule:3222324
1222324
1
lim
xxxx
xxxx
x
Resolucin:
0
0
322
23
24
1222324
1
lim
xxxx
xxxx
x
(forma indeterminada)
Factorizando por el Mtodo de Evaluacin Binmica o Ruffini
)35233(
)1323(
1
lim
)35233)(1(
)1323)(1(
1
lim
xxx
xxx
xxxxx
xxxx
x
3
1
123531
1311 4
, luego3
1
3222324
1222324
1
lim
xxxx
xxxx
x
-
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MATEMTICA II 83
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2) Calcule:22
2
2
lim
xx
x
Solucin:
0
0
22
2
2
lim
x
x
x
Racional izando tanto el numerador como el denominador
22
22
2
2
22
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x=
2
1
4)Calcule:x
x
x 412
3
3 lim
Resolucin:
00
3412
33
412
3
3
lim
x
x
xIndeterminado
Levantamos la indeterminacin:
4
1
4
1
)3(
)3(
)3(4
)3(
33
x
xLim
x
xLim
xx
5) Calcule:x
xLimx
33
0
Resolucin:
0
0
0
30333
0
x
xLim
x
indeterminado
Levantando la indeterminacin:
6
3
33
1
0,)33()33(
3)3(
)33(
)33()33(33
0
00
00
x
Lim
xxx
xLim
xx
xLim
x
x
x
xLim
x
xLim
x
xx
xx
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
6)Halle34
23
2
2
1 xxxx
Limx
Solucin:
0
0
341
231
34
232
2
1
xx
xxLim
xindeterminado
Levantando la indeterminacin:
2
1
2
1
)3(
)2(
1)1)(3(
)1)(2(
34
23
1
12
2
1
x
xLim
xxx
xxLim
xx
xxLim
x
xx
6.3LMITES AL INFINITO
Casos a) LxfLimx
)( b) LxfLimx
)(
c)
)(xfLim
x d)
)(xfLim
x
Ejemplos:
1.Calcule:52
124 2
x
xxLimx
Solucin:
0
4
00
004
52
124
52
124
52
124
52
124
2
2
2
2
2
2
xx
xx
Lim
x
xx
xx
Limx
xxLim
x
xx
-
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MATEMTICA II 85
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
2. Calcule:23
22
2
x
xLimx
Solucin:
3
1
23
21
)23(
)21(
23
2
23
2
22
22
2
2
2
2
x
Lim
xx
xx
Lim
x
xLim
x
xLim
x
xx
3. Calcule:3342
12
34
6lim
xxxxx
x
Solucin:
3
4
312
4
1
3
1
2
3
lim
3342
12346lim6
xx
xxx
xxx
xxx
x
4. Calcule: 511243
35 x xxx ))((lim
Solucin:
m xfx
m xfx
propiedadlaAplicando
x
xxx
x
L
x
xx
xL
)(lim
)(lim
:
;5
11243
3155lim
511243
)3)(5(lim
511
243
1521
511
243
1521
lim5
11243
152lim
x
xx
xx
xx
x
L315
2431
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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86
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios propuestos
Calcula los siguientes lmites:
1.1x536
3xx2lm
2
1x
Rp.3
4
2.31x10
x540lm
48x
Rp. 54
3.25
23
2x x8x
4x7x3lm
Rp.6
1
4. 24x 4x
4x4xlm
Rp.161
5.1x
3
1x
xlm
21x
Rp.
2
5
6.xx
xxlm
30x
Rp.
7.2
31x x9x61
x124lm
Rp.
8. bxaxxlmx
Rp.2
ba
9.x4
1xx3x3x3lm
3222
x
Rp.4
3
10.
32
3
3 2
x
3x2x5
1x8
lm
Rp. 4
11.1222
243lim234
23
xxxxxxx
xRp. 0
12.107
6102lim
x
xxx Rp. 1/7
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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MATEMTICA II 87
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
Autoevaluacin
I. CALCULE LOS SIGUIENTES LMITES:
33
64.1
6
x
xLmx
8
8.2
2
2
x
xLmx
xx
xLmx 4
16.3
3
2
4
4
2
.4 2
23
2
x
xx
Lmx
4
165.5
4
x
xLmx
25
425.6
2
5
2
x
xLmx
3
27.7
3
3
x
xLmx
7
49.8
2
7
x
xLmx
8
64.9
2
8
x
xLmx
xx
xxLmx 4
25.10
2
2
0
1
2.11
2
1
x
xx
Lmx
6
158.12
2
2
3
xx
xxLmx
543
27212.13
2
2
9
xx
xxLmx
5112
5214.14
2
2
5
xx
xxLmx
87
1.15
2
3
1
xx
xLmx
8
81610.16
3
2
2
x
xxLmx
6416
24192.17
2
2
8
xx
xxLmx
164
1432.18
3
2
4
1
x
xx
Lmx
16249
43.19
2
2
3
4
xx
xxLmx
16
143.20
2
2
3
1
xx
xxLmx
II. CALCULE LOS SIGUIENTES LMITES:
3x
9+x
9x
lim.1
-
61-
4-
16
lim.2
x
x
x
1x1x
1x
lim.3
--
8.x
x
x
1
32
1
lim 2
5
5
5
lim.9
x
x
x
660lim..10
xx
x
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
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88
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
3-2
49-
7
lim.4
2
x
x
x
2
4
4
lim.5
x
x
x
9
3
9
lim.6
x
x
x
7.xxxx
xxx
x 232
123lim257
34
x51
x+53
4x
lim.11
--
-
3
k
3
x
7k
7x
kx
lim.12
-
-
13.4
1024
413416lim
xx
xx
x
RESPUESTAS DE I:
1)2 2)-6/5 3)0 4)-1 5) 6)4 7)27 8)14 9)16 10)1/2 11)3 12)-2/5 13)1 14)19/9
15)1/3 16)2 17) 18)1 19)- 20)2/5
RESPUESTAS DE II:1) 2)1/8 3)2 4)-56 5)4 6)-1/6 7)0 8)60 9)1/2 10)2 5
11)2 6
RESUMEN1. )()()()()(
00
xhLmLxfLmxhxgxfSxxxx
LxgLmxx
)(0
2. :)()( 2100
entoncesLxgLmLxfLmSixxxx
a) 21000
LL)x(gLm)x(fLm)x(g)x(flmxxxxxx
b) 21.)().()().(000
LLxgLmxfLmxgxfLmxxxxxx
c)2
2
1110
0
0 L)x(gLm)x(gLmLS
xx
xx
d)2
12
0
0
0
0L
L
)x(gLm
)x(fLm
)x(g
)x(fLmLS
xx
xx
xx
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
89/99
MATEMTICA II 89
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
e) RCLCxfLmCxfCLmxxxx
,.)(.)(. 100
.
f) CxfLmteConsCxfSixx
)(tan)(0
g) Si NmLxfxx
Lmxf
xx
Lmm
mm
,)()())(( 100
BIBLIOGRAFIA:
FIGUEROA,Ricardo
Matemtica Bsica Edit GrficasAmrica S.R.L Lima 2004
LEITHOLD,Louis
Clculo conGeometra analtica
EditorialOxford Mxico 2004
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
90/99
90
CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
LA DERIVADA
Logros de la Unidad de Aprendizaje
Al trmino de la unidad, el alumno resuelve ejercicios y problemas dederivacin de funciones algebraicas aplicando las propiedades de laderivacin, el lgebra bsica y las representaciones grficas en el planocartesiano.
TEMARIO
Tema 7: La derivada
7.1 Interpretacin geomtrica de la derivada, definicin7.2 Derivada de funciones algebraicas (teoremas bsicos)
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Calcula la derivada como el lmite de una funcin, siempre que esta exista.
Calcula derivadas de funciones algebraicas bsicas en un punto dado.
UNIDAD DEAPRENDIZAJE
5
-
8/12/2019 Manual 2014-I 02 Matemtica II GN (1530)
91/99
MATEMTICA II 91
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
7.1 INTERPRETACIN DE LA DERIVADA
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del clculo
infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos estn
relacionados por el Teorema Fundamental del Clculo.A su vez, los dos conceptos
centrales del clculo estn basados en el concepto de Lmite, el cual separa las
matemticas previas, como el lgebra, laTrigonometra o la Geometra Analtica,
del Clculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante del Clculo
Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidezcon que se produce el cambio de una
magnitud o situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de
Fsica, Qumica y Biologa, o en ciencias sociales como la Economa y la
Sociologa.Por ejemplo, cuando se refiere a lagrfica de dos dimensiones de , se
considera la derivada como la pendiente de la rectatangente del grfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el lmite cuando la
distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecante tiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin,
pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de
funciones, tales comoconcavidad oconvexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.Afortunadamente, gran cantidad
de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica
es unacurva suave,por lo que es susceptible de derivacin.
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Concavidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discontinuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_angulosohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suavehttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suavehttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_angulosohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discontinuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Convexidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Concavidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Infinitesimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_Anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico -
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Definicin
Sea y = F(x) , x Dom(F )Entonces F (x) representa la derivada de la funcin F(x) con respecto a x, y sedefine por:
F(x) =xx D
DD
F(x)-x)F(x
0
lim o F(x) =
h
h
h
F(x)-)F(x
0
lim
Siempre que el lmite exista, 0D hx
hxD es el incremento o variacin de la variable independiente de la funcin F(x)y como consecuencia la funcin tambin se incrementa en yxF DD )( , su valor
secalcula por: )()()()( xFhxFxFxxFyF DDD
La nueva funcinF (x)es conocido como funcin derivada o primera derivada de lafuncin F(x).
Derivada de una funcin en un punto dado
El valor de la derivada en un punto x0conocido, se calcula con la expresin:
F(0x) =
xx D
D
D
)F(x-x)xF(
0
lim00 o F(
0x) =
h
h
h
)F(x-)F(x
0
lim00
Siempre que el lmite exista.
La tasax
y
D
Des conocida como razn de cambio promedio
Y )(0
xfx
y
x
Lm
DD
Des una razn de cambio instantnea.
Otras notaciones de la primera derivada de la funcin y= f (x)
yyDdx
df
dx
dyyxf x )(
-
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MATEMTICA II 93
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
7.2 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS: Reglas Prcticas
a) Derivada de una Constante
b) Derivada de x
c) Derivada de una funcin lineal
d) Derivada de una potencia
e) Derivada de una Adicin o Diferencia
f) Derivada de una Constante por una Funcin
g) Derivada de un Producto
h) Derivada de un cociente
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejemplos:
1. Halle y si4 22 5123 xxy )(
Solucin:
)6(51)51(4
10)23( 4 2
4 32
2 xxx
xxy
2. Halle y si534 33 1 ).()()( xxxxxxf
Solucin:
532
4 3)1()
213.(
)(43)( xxx
xx
xxxf
34 3
3
243 )(
2
1
12
3)1(5 xxx
xx
x
xxxx
3. Halle )(xf si 83 3 xxxfy )( Solucin:
)8()()3()( 3
dx
dx
dx
dx
dx
dxfy
0)()(3)( 3 x
dx
dx
dx
dxf
0)(1))(3(3)( 02 xxxf 19)( 2 xxf
4. Halle )(xf si 331)(
3 xxxfy
Solucin:
)3()()3
1()( 3
dx
dx
dx
dx
dx
dxfy
0)()(3
1)( 3 x
dx
dx
dx
dxf
-
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MATEMTICA II 95
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
0)(1))(3(3
1)( 02 xxxf
1)( 2 xxf
5. Halle la derivada de: 33 32)( xxxf
Solucin:
36323)(
32323)(
32)(
223
323
33
xxxxf
xxxxxf
xxxf
6.Si y =dt
dyCalcul etttuuvv .,, 13
2323 Solucin:
Utilizando regla prctica para el clculo dedt
dy
3
223 )13( ttty Entonces y 3
)163()13(2 231
23
ttttt
7. Si567 )12(40
1
)12(24
1
)12(56
3)(
xxxxf , Calcula:
dx
dy
Solucin:
y
X0X0X
L
L
)(xf
x
)( xf
{
{
0
LMITE LATERAL POR LA DERECHA
{
0X
L
-
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CARRERAS PROFESIONALES CIBERTEC
Ejercicios propuestos
I. Determine la deriva de las siguientes funciones:
a) 1)( 2 xxxf
b) xxf 32)(
105
5024
5024105
3028
5024
)1(
)53()
)53()1()
)138(4)
)53()
xx
xxxyd
xxxxxyc
xxxyb
xxxya
II. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto x=1:
a) 1,012 22)( xxxxf
b) 8233)( 3 xxxxf
c) 7,03 611 43)( xxxxxf
d) )2)(13()( 32 xxxf
e) )1)(1()( 122
xxxxxf
f)1
3)(
2
x
xxf
g)1
2)(
2
3
xx
xxf
h)x
xxxf
1)(
2
-
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MATEMTICA II 97
CIBERTEC CARRERAS PROFESIONALES
AutoevaluacinI. Determine la derivada de las siguientes funciones:a) 3x)x(f
b) 21
x)x(f
c)
1
12
x
)x(f
d) 52 x)x(f
e) )1(,5
1
44
1)( '
24 3 fhalleadems
x
xxxf
III. Encuentre el valor de verdad o falsedad en las siguientes proposiciones:
a) La grfica de la funcin derivada de y=0.5 2x , es la funcin identidad.
b) La derivada de f(x) =x
5, existe en x= 0.
c) 283
30
3
3
ttt
t
Lim
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Ejercicios propuestos
1. Halle la funcin derivada para las siguientes funciones :
322
2
1 xxy
.
xxxy
14
2
223 xxxy
() ()
2. Si f(x) =2
1
1
x
x, calcule el valor de k en la ecuacin
21202
0 23
)(f.k)('fk)(f
)('fk
3. Si2
2
1x
1x)x(f
, determina el valor de k en: )0('f4k5)1(f3
Bibliografa:
LARSON, RON Clculo EditorialMcGraw Hill Mxico 2006
SOBEL, MAX A. Preclculo Pearson Mxico 2006
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